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Introdução aos Métodos Numéricos
Instituto de Computação UFFDepartamento de Ciência da Computação
Otton Teixeira da Silveira Filho
Conteúdo da disciplina
● Erros em Aproximações Numéricas
● Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos
● Interpolação
● Ajuste de Curvas
● Zeros de Função
● Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos
● Integração Numérica
● Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
Conteúdo específico
● Limitação na representação numérica
● Mudança de base numérica
● Problemas mal-condicionados
Limitação de representação numérica
Computadores usam representação limitada de números sejam inteiros, reais ou complexos
Seria necessário uma memória infinita para representar números com um número potencialmente infinito de algarismos
Limitação de representação numérica
● Computadores usam representação limitada:
● “inteiros“ : 2 Baites (-32 768 − 32 767)
● 4 Baites (-2 147 483 648 − 2 147 483 647)
Limitação de representação numérica
● Computadores usam representação limitada:
● “reais“ (ponto flutuante):
4 Baites − 7 algarismos significativos (base 10)
8 Baites − 15 algarismos significativos (base 10)
Calculando com precisão limitada
Denominaremos Ruido Numérico aos valores gerados na computação de números de ponto flutuante e que tem como fonte os cálculos oriundos de usarmos precisão finita
Calculando com precisão limitada
A=~A+δ A ; A ,δ A∈ℜ ;~A Ponto Flutuante
B=~B+δB ;B ,δB∈ℜ;~B Ponto Flutuante
Calculando com precisão limitada
● Todo sistema de cálculo numérico tem precisão limitada
● Para facilitar o entendimento, trabalharemos com um dispositivo de cálculo que representa 5 algarismos significativos
● Usaremos o formato onde 123 são os algarismos não representáveis.
3,1458|123
Soma
A+B=~A+δ A+
~B+δB=~A+
~B+δ A+δb
Soma
A+B=~A+δ A+
~B+δB=~A+
~B+δ A+δb
A=3,1435 x 101 ;B=4,2356 x 10−2
Soma
A+B=~A+δ A+
~B+δB=~A+
~B+δ A+δb
A=3,1435 x 101 ;B=4,2356 x 10−2
31,435|0+0,042|356=31,477|356
Observe que se B fosse, por exemplo, cem vezes menor seria como se ele fosse zero. Toda informação de B seria perdida.
Soma
Quanto maior for a diferença de magnitude entre os números, maior será o ruido numérico na soma.
Subtração
A−B=~A+δ A−(~B+δB )=~A−
~B+δ A+δB
Subtração
Por oposição, veja que se dois números forem muito próximos mas sua representação for idêntica, podemos ter como resultado da subtração um valor representando zero para um valor que não é zero.
Subtração
Quanto menor for a diferença de magnitude entre os números, maior será o ruido numérico
Multiplicação
A×B=(~A+δ A )×(δB+~B )=~A×
~B+~A δb+
~Bδ A
Multiplicação
A×B=(~A+δ A )×(δB+~B )=~A×
~B+~A δb+
~Bδ A
A=3,1435 x 101 ;B=4,2356 x 10−2
Multiplicação
A×B=(~A+δ A )×(δB+~B )=~A×
~B+~A δb+
~Bδ A
A=3,1435 x 101 ;B=4,2356 x 10−2
31,435×0,0423|56=1,3314|6086
Multiplicação
Quanto maior for a diferença de magnitude entre os números, maior será o ruido numérico
Divisão
AB
=~A+δ A~B+δB
=~A /
~B+δ A /~B
1+δB /~B
;~B≠0
Divisão
AB
=~A+δ A~B+δB
=~A /
~B+δ A /~B
1+δB /~B
;~B≠0
SérieGeométrica :1
1+r=1−r+r2
−r3+⋯;|r|<1
Divisão
AB
=~A+δ A~B+δB
=~A /
~B+δ A /~B
1+δB /~B
;~B≠0
SérieGeométrica :1
1+r=1−r+r2
−r3+⋯;|r|<1
~A /~B+δ A /~B1+δB /
~B=(
~A~B
+δ A~B )× 1
1+δB /~B
=(~A~B
+δ A~B )× [1−
δB~B
+( δB~B )
2
+⋯]
Divisão
AB
=~A~B
+δ A~B
−~A~B
δB~B
−δ A~B
δB~B
+⋯
Repare que se B for “pequeno“ em relação a A, a representação de B ao quadrado no segundo termo, por exemplo, fará a representação de A ser amplificada, levando a perder algarismos significativos de B
Divisão
Quanto menor for o valor do divisor em relação ao dividendo, maior será o ruido numérico
Mudança de base numérica
Números que não são dízima periódica em decimal podem o ser em binário:
0,110 e 0,0110 são dízimas periódicas na base 2 usada pelos computadores, ou seja,
Portanto, 100 X 0,01 pode ser diferente de 1...
0,110=0,0 00112 ;0,0110=0,00 000010100011110101112
Mudança de base numérica
● Faça um programa em sua linguagem favorita somando 0,0110 100 vezes e veja o resultado
● Use a função rationalize() do Maxima para ver qual é a representação como números racionais para os números 0,110 e 0,0110 no computador
Problemas mal condicionados
Um problema é dito malcondicionado se mudança em seus parâmetros produz uma mudança numa ordem de grandeza superior à mudança original
Um exemplo simples
x2−2 x+1=0
1,01 x2−2 x+1=0
0,99 x2−2 x+1=0
Um exemplo simples
a x2+bx+c=0 ; x=−b±√b2
−4 ac2a
Um exemplo simples
x2−2 x+1=0 ; x=2±
√4−42
=1;raiz dupla
Um exemplo simples
1,01 x2−2 x+1=0; x=
2±√4−4,042,02
=1±0,1 i
1,01
Um exemplo simples
0,99 x2−2 x+1=0 ; x=
2±√4−3,961,98
=1±0,10,99
={1,110, 90
Problemas mal condicionados
A natureza do problema (raiz dupla, raizes complexas conjugadas, raizes reais distintas) muda radicalmente com a variação que fizemos no coeficiente de segundo grau da equação
Problemas mal condicionados
A natureza do problema (raiz dupla, raizes complexas conjugadas, raizes reais distintas) muda radicalmente com a variação que fizemos no coeficiente de segundo grau da equação
De fato haveria, neste caso específico, a mesma mudança de natureza do problema para qualquer pequena variação no coeficiente do segundo grau
Mais um exemplo simples
( 9 162,5 7 ) x⃗=(12 )
Mais um exemplo simples
( 9 162,5 7 ) x⃗=(12 ) x⃗=( 10
−89 )
Mais um exemplo simples
( 9 162,5 7 ) x⃗=(12 ) x⃗=( 10
−89 )
( 9 162,6 7 ) x⃗=(12 )
Mais um exemplo simples
( 9 162,5 7 ) x⃗=(12 ) x⃗=( 10
−89 )
( 9 162,6 7 ) x⃗=(12 ) x⃗=( 12,5
−111,5 )
Mais um exemplo simples
( 9 162,5 7 ) x⃗=(12 ) x⃗=( 10
−89 )
( 9 162,6 7 ) x⃗=(12 ) x⃗=( 12,5
−111,5 )
( 9,01 162,5 7 ) x⃗=(12 )
Mais um exemplo simples
( 9 162,5 7 ) x⃗=(12 ) x⃗=( 10
−89 )
( 9 162,6 7 ) x⃗=(12 ) x⃗=( 12,5
−111,5 )
( 9,01 162,5 7 ) x⃗=(12 ) x⃗≈( 8,771929
−78,035087 )
Problemas mal condicionados
Aqui temos novamente que uma pequena variação nos parâmetros do problema gera uma mudança muito maior na solução deste sistema
Problemas mal condicionados
Problemas que envolvem:
● Sistemas de Equações Lineares
● Sistemas de Equações Não-lineares
● Equações Diferenciais
● Integração Numérica
● Cálculo de funções
● Etc.
Problemas mal condicionados
...podem ser mal-condicionados!
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