View
0
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
I N S T I T U T O D E P E S Q U I S A S E N E R G É T I C A S E N U C L E A R E S SECRETARIA DA INDÚSTRIA, COMÉRCIO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
AUTARQUIA ASSOCIADA À UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
A A P R O X I M A Ç Ã O FN P A R A A S O L U Ç Ã O D E P R O B L E M A S D E T R A N S P O R T E
José Eduardo Fernandes
Dissertação apresentada ao Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares como parte dos requisitos para otitençãc do Grau de "Mestre • Área Reatores Nucleares de Potência e Tecnologia do Combustível Nuclear".
Orientador: Dr. YuJI Ishiguro
S ã o Paulo 1 9 7 9
INSTITUTO DE PESQUISAS ENERGÉTICAS E NUCLEARES
Secretaria da Industria, Comércio, Ciência e Tecnologia Autarquia associada à Universidade de São Paulo
A A P R O X I M A Ç Ã O F N P A R A A S O L U Ç Ã O D E
P R O B L E M A S D E T R A N S P O R T E
JOSÉ EDUARDO FERNANDES
Dissertação apresentada ao Instituto de Pesquisas
Energéticas e Nucleares como parte dos requisitos
para obtenção do grau de "Mestre - Área Reatores
Nucleares de Potência e Tecnologia do
Combustível Nuclear"
Orientador: Dr. YUJI ISHIGURO
São Paulo
1979
fTÑs-f I T U T O C E P E S Q U S A S E .^E R G É T I C ^ S E N U C L E A R E S I I P F N .
A meus pais e Maria de Lourdes
A Edna
Expresso meus agradecimentos a todas as pessoas
e instituições que de forma direta ou indireta contribui^
ram para a exeoução deste trabalho^ e em particular :
Professor Dr. Yugi Ishiguro pela segura orienta
ção no desenvolvimento deste trabalho;
Colega, Adimir dos Santos pelo auxílio prestado
e sugestões valiosas;
Pessoal do Centro de Processamento de Dados pelo
auxílio no trabalho computacional;
Srta. Creusa Moreira Diniz pelo excelente traba
lho de datilografia.
Pronuclear - Programa de Formação de Recurso Hu
manos para o Setor Nuclear pelo auxílio financeiro neces
sário na execução deste trabalho;
Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares
pelas facilidades apresentadas i
Professor Dr. José Antonio Dias Dieguez, gerente
do Centro de Engenharia Nuclear.
RESUMO
O método F^, recentemente introduzido, ê
um método aproximado para solução de problemas de transporte.
Investigações prelimiinarcs atravãs de
aplicações a problemas de modelos simples da teoria de trans-
porte revelam que o método F̂ ^ possui um grande potencial na
solução de alguns problemas » que sao difíceis e/ou exigem mui
to trabalho computacional pelo método exato, devido âs suas
duas características, ou seja,{l) simplicidade na analise e
computação e (2) boa precisão, mesmo para ordens de aproxima-
ção relativam.ente baixas.
Neste trabalho, o método F^ é estudado nas
teorias de um e dois grupos com espalhamento isotrópico e geo
metria plana.
Na teoria de um grupo, o problema de cri-
ticalidade para reatores com tres regiões é solucionado, sa ~
lientando-se que a utilização da variável complexa na aplica-
ção do método F̂ ^ é uma nova característica.
Os resultados analíticos e numéricos con-
firmam as conclusões anteriores sobre a facilidade de uso e
boa precisão do método para o caso que requer computação no
campo complexo.
No modelo de dois grupos a teoria do raêto
do F̂ ^ é desenvolvida, pela primeira vez, e aplicada â solu-
ção de dois tipos de problemas, i.ê., o problema clássico de
Milne para semi-espaço e o problema de criticalidade para rea
tores tipo placa refletida.
Algumas dificuldades vem sendo encontra -
das na obtenção de resultados numéricos precisos e são neces-
sárias mais investigações para que se estabeleça o método F^
no modelo de dois grupos como um método preciso e simples pa-
ra a solução de problemas de transporte.
ABSTRACT
The recently introduced F̂ ^ method is an approximate method of solution of transport px-oblems. •
Initial investigations in its applications C O sirp.ple model problems of transport theory show that the Fĵ-j method has a great potential in the solution of some problems, that are difficult and/or require much computational effort in exact theory, through its two properties, i.e. , (l) Sihiplicitj/ in analysis and computation and (2) good ac_ curacy obtainable in relatively low-order approximations.
In this work the F̂ . method is studied in one-group and two-group theory with isotropic scattering in plane geometry.
In one-group theory, the critical proolem for three-region reactors is solved. The introduction of the complex variable is a nev/ feature in the application of the F,,j method.-
Analytical and numerical results confirm -the earlier conclusions on the ease of use and the good accuracy of the method for the case that requires complex ma d e c omput at ions.
In the two-group model the theory of the F^ method is developed, for the first time, and applied to solve two model problems,i.e., the classical Milne problem for a half-space ând the critical problem for reflected slab reactor?.
Some difficulties have been encoimtered in obtaining accurate num,erical results and further investigations are necessary to establish the two-group Ifj^ method as a simple and accurate method of solution of transport pro hi eras ̂
These difficulties are discussed and dire£ tions of further research are suggested.
http://sirp.pl
S U M A R I O
Pag.
1 1. INTRODUÇÃO
1.1- Aspectos Gerais 1
1.2- Histórico ®
1.3- Método Aproximado F̂ ^ 1 1
1.4- Objetivos 1 2
2 . FUNDAMENTOS B A S I C O S DA TEORIA DE TRANSPORTE 13
2.1- A Equação de Transporte de Neutrons 13
2 . 2 - A Equação de Transporte em Geometria Plana no
Modelo Multigrupo e Espalhamento Isotrópico 19
2 . 3 - Solução Elementar da Equação de Transporte no
pódelo de um Grupo 2 2
2.4- Solução Elementar da Equação de Transporte no
Modelo de Dois Grupos 3 1
3. FUNDAMENTOS DA TEORIA DO MÉTODO F̂ ^ 43
4. DESENVOLVIMENTO DA TEORIA DO MËTODO F̂ ^ PARA O MODE
LO DE DOIS GRUPOS 56
5. O PROBLEMA DE CRITICAI.IDADE PARA SISTEMAS COM TRÊS
REGIÕES NO MODELO DE UM GRUPO 68
5.1- Sistema Critico com Refletor Finito 68
5.2- Sistema Crítico com Refletor Infinito 78
pag.
6. PROBLEMAS CONSIDERADOS NO MODELO DE DOIS GRUPOS 80
6.1-0 Problema de Milne 80
6.2- Problema de Criticalidade 84
6.2.1- Sistema Crítico com Refletor Finito 84
7. RESULTADOS NUMÉRICOS 9 5
7.1- Modelo de um Grupo 95
7.2- Modelo de Dois Grupos 117
7.2.1- Problema de Milne 118
8. CONCLUSÕES E SUGESTÕES 1^4
APÊNDICE A - DETALHES DEDUTIVOS DAS FUNÇÕES
A^( Ç) E B^( O E FORMULARIO DAS
EXPRESSÕES ANALÍTICAS DE A^(£) E B^(4) 145
A-1 - Modelo de um Grupo - Funções A^{Ç) e
P.^(Ç) 145
A-2- Modelo de Dois Grupos - Função A^(Ç) e
B^(0 150
APÊNDICE B - PROCEDIMENTOS COMPUTACIONAL - MODELO
DE UM GRUPO 153
APÊNDICE C - PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL - MODELO DE
DOIS GRUPOS 155
C-1- Problema de Milne 155
C-2- Problema de Criticalidade 156
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 158
LISTA DAS FIGURAS E TABELAS
P a g .
FIG.5.1.1- Geometría do Problema 70
FIG.6.2.1.1- Geometria do Problema 86
TABELA VII.1.1- Casos Estudados y6
TABELA VII,1.2- Meia Distância Crítica do Cerne
Multiplicador 97
TABELA VII,1.3- Desvios Percentuais 99
TABELA VII.1.4- Tempo de Computação e Número de
Iterações para os Casos 3 e 12 100
TABELA VII.1.5- Fluxo Angular para o Caso 3 - inter
face oi 103
TABELA VII.1.6- Fluxo Angular para o Caso 3 - Inter
face B 104
TABELA VII.1.7- Fluxo Angular para o Caso 12 - Inter
face O j 10 5
TABELA VII.1.8- Fluxo Angular para o Caso 12 - Inter
face 6- 106
TABELA VII.1,9- Comparação entre os Fluxos Angulares
(Exato e Aproximados) para o caso 3 -
Interface ai 107
TABELA VII.1.10- Cálculo da Meia Distância Crítica
«1 - Caso 3 108
TABELA VII,1.11- Cálculo da Meia Distância Crítica
dl - Caso 12 108
TABELA VII.1.12- Fluxos Angulares para o Caso 3 109
FIG. 7.1.1- Fluxo Angular para o Caso 1 110
FIG. 7.1.2- Fluxo Angular para o Caso 3 111
Paq.
Fig. 7.1.3- Fluxo Angular para o Caso 7 112
Fig. 7.1.4- Fluxo Angular para o Caso 12 113
TABELA VII.1.13- Fluxos Escalares para o Sistema
com Refletor Finito e Infinito
Caso 3 ' 116
TABELA VII,1.14- Correntes para o Sistema com Re-
fletor Finito e Infinito - Caso 3 116
TABELA VI1.2.1.1- Secções de Choque Macroscópicas 119
TABELA VII.2.1.2- Distribuição de Saída do Problema
de Milne l(0,-u) 120
TABELA VII.2.1.3- Fluxos Angulares para o Caso I 122
TABELA VII.2.1.4- Fluxos Angulares para o Caso 2 124
TABELA VII.2.1.5- Fluxos Angulares para o Caso 1 128
TABELA VII.2.1.6- Fluxos Angulares para o Caso 2 129
TABELA VII.2.1.7- Fluxos Angulares para o Caso 1 130
TABELA VII.2.1.8- Fluxos Angulares para o Caso 2 131
TABELA VII.2.1.9- Fluxos Angulares para o Caso 1 133
TABELA VII.2.1.10- Fluxos Angulares para o Caso 2 134
TABELA VII.2.1.11- Fluxos Angulares para o Caso 1 135
TABELA VII,2,1,12- Fluxos Angulares para o Caso 2 136
TABELA VII,2,2.1- Secções de Choque Macroscópicas 138
TABELA VII.2.2.2- Autovalores discretos positivos 138
TABELA VII.2.2.3- Meia Espessura Crítica (aj 140
TABELA VII.2.2.4- Mela Espessura Crítica (a,) 141
TABELA VII.2.2.5- Tempo de Computação e Número de
Iterações 14 3
1. INTRODUÇÃO
1.1- Aspectos Gerais
Um dos problemas essenciais &a pesquisa de reatores ê
predizer com detalhes e precisão o comportamento da dis-
tribuição neutrônica e como está vinculada a operação de
tais sistemas.
O comportamento da distribuição angular, espacial e
energética de neutrons é descrito matematicamente pela
Equação de Boltzroann, derivada considerando-se o princí
pio de conservação do numero de neutrons no interior de ura
elemento de volume arbitrário. De forma similar são obtl -
das as equações básicas de outros fenômenos físicos tais
como: condução de calor, transferência de massa, ener-
gia, etc.
Esta equação constitui a parte central âa teoria â@
transporte,originariamente desenvolvida por Boltzmann em
problemas de cinética de gases.
A grandeza fundamental que caracteriza esta equação ê
a densidade angular de neutrons Nír̂ fl̂ Ê -fc ) (*) , função -
de sete variáveis independentes , que são;
- três para a posição ( r)
(*) N e s t e t r a b a l h o , o til c o l o c a d o embaixo da representa -
çao de umã d a d a g r a n d e s a d e n o t a que a mesiaa e tsm vetor ou
laatriz. O til c o l o c a d o acima r e p r e s e n t a a o p e r a ç ã o de t r a n £
p o s i ç ã o .
- duas para a direção de movimento de neutrons (ñ)
- energia do neutron ( E )
- tempo (t )
A equação de Boltzmann descreve o comportamento me-
dio da população de neutrons nura melo material, utilizan
do-se parâmetros conhecidos COSBO secções de choque, que
caracterizam as probabilidades de ocorrência de determi-
nados tipos de interação entre neutrons e o meio material.
As secções de choque são determinadas por processos
experimentais e corrigidas, quando necessário, por mode -
los teóricos desenvolvidos pela Física Nuclear.
Portanto a equação de Boltzmann estabelece a conexão
entre os efeitos no nível microscópico (interação neu -
tron-núcleo caracterizado pelas secções de choque) ao ni
vel macroscópico no meio material (densidade angular de
neutrons).
O objetivo da Teoria de Transporte de neutrons é
pesquisar a solução desta equação num sisteasa definido por
ura certo contorno de interesse, utilizando-se as secções -
de choque que descrevem o comportamento dos neutrons no
meio material. Entretanto, o modelo físico real contisn uma
imensa quantidade de detalhes, tais como: heterogeneidade
geométrica, isótopos com diferentes propriedades físicas ,
função representativa da secção de choque ccan a energia do
neutron extremamente complexa, efeito de anisotropia no es
palhamento do neutron, etc.
Portanto, a pesquisa das soluções para a Equação de
Transporte somente se t o m a viável se o sistema for sia -
pli ficado ou ideal la ado, de tal modo que se obtenha uma
formulação matemática mais concisa.
Assim, pode-se considerar constantes as propriedades
do sistema num intervalo de tesapo determinado. Tem-se, as
sinv o sistema operando no estado estacionario.
Em relação â sua variável energética, geralmente ado
ta-se o modelo de multigrupos. Este método consiste em
proceder-se a uma partição no intervalo total de interes-
se da energia, em subintervalos denominados grupos de
energia.
Em cada intervalo de energia ura grupo de neutrons é
considerado e os parâmetros são ponderados sobse o mesmo
de maneira aproximada. Em princípio, haverá uma melhor
identidade entre o modelo e a realidade física, quanto
maior for o niãraero de grupos considerados. Entretanto,con
siderando-se o aspecto computacional, é importante que se
estabeleça um certo critério de escolha. Outra alterna
tiva ê expandir-se a dependência angular em polinomios com
intervalo de definição conveniente (zero a infinito), uti-
iizàrtdo-se, por exemplo, os polinomios de Chebyshev- Laguer
rëi
Otí^nt» ao fato do aspalhamento ©."̂ ibir anisotropia, o
que se faz é expandlr-srí a fuíição de transferência em po-
linomios de Legendre, truncando-se a série num certo ter-
mo. O modelo de espalhamento isotrópico ê obtido reten -
f í Ñ s T I T U i C Di P f c S Q U ¿ A S E ^ ( ' r l Z ^ - -
do-se apenas o terao de ordem zero, e para o modelo linear
mente anlsotrópico retéro-se o termo de ordem um.
Assim, por meio dessas aproximações, a Equação geral -
de Transporte recai nura sistema de equações integro-dife-
renciais simplificad©,
Este trabalho constitui uma parte da pesquisa para o
desenvolvimento do novo método F̂ ^ , Os modelos de um e dois
grupos com espalhamento isotrópico são considerados em geo-
metria plana.
Devido às dificuldades matemáticas encontradas na ob -
tenção de soluções, surgiram duas correntes básicas de pes-
quisa, onde diversos métodos são empregados, que são:
1 - Métodos aproximados para a obtenção de soluções ma
tematicamente aproximadas. Estes métodos são de
grande interesse por serem üteis era aplicações
práticas, ccmo cálculo de reatores, etc.
2 - Métodos exatos - obtenção de "soluções analíticas','
cujos resultados poden servir como padrão para os
métodos aproximados, alem de conduzirem a uma com-
preensão da estrutura matemática da equação de
transporte e de sua solução, abrindo campo P^ra
que se investigue a solução de problemas mais com-
plexos. Salienta-se ainda, que, em algumas situa -
ções especiais os métodos exatos conseguem repre -
sentar com boa aproximação a realidade física
Atualmente, estes métodos se restringem ã aplica-
ção de problemas em geometria plana, nos modelos
de um e dois grupos de energia, havendo, entretan
to, trabalhos em geometria cilíndrica / 4 3 / e esfê
rica /II/.
Em relação aos métodos exatos, o mais utilizado ê o
de expemsão em autofunçoes singulares, ou método de Ca-
se /6/, inspirado inicialmente nos trabalhos de Van Kam-
pen /42/, sobre oscilações do plasma. A utilidade principal
deste método é a de fornecer uma boa compreensão da estrutu
ra matemática e do comportamento geral das soluções da equa
ção de transporte. Este método consiste numa separação de
variáveis conveniente no fluxo angular, gerando um conjun-
to completo de autofunçoes singulares ortogonais, A solvtção
do problema é expressa por uma combinação linear das auto -
funções com coeficientes arbitrários, sendo estes determina
dos através do uso das propriedades de ortogonalidade e nor-
malização dessas autofunçoes, impondo-se condições de con -
torno.
A mesma teoria mat^aâtica/ •^^'^ãeste método v&a sendo
aplicada em outros campos, tais como física do plasma,trans
ferencia radiativa, etc.
Uma alternativa diferente foi introduzida pelo astro -
físico Ambarzumian /l/, conhecida como método da invariân -
ça ("invariant imbedding"). Este método consiste na formu-
lação de equações integrais para funções que descrevem a
reflexão e transmissão de radiação por meio do princípio da
invariança. Este método foi sistentatizado por Chandra -
sekar /8/ e em seguida aplicado ã teoria de transporte de
neutrons.
Soluções exatas da equação de transporte só podem ser
obtidas para problemas idealizados, mesmo limitando-se o
número de variáveis. Portanto, no início do desenvolvimen-
to dos reatores nucleares, optou-se pela teoria da difu -
são /23/, que ê uma aproximação da teoria de transporte .
Nesta teoria utiliza-se uma equação diferencial (equação -
de Helraholtz) para o fluxo total de neutrons e uma direção
preferencial na migração de neutrons e considerada, obede-
cendo a lei de Pick. Esta teoria ê relativamente simples ,
entretanto, devido às hipóteses simplificadoras assumidas
durante a sua derivação, a mesma não descreve bem o compor
taroento neutronico nas proximidades de fontes explícitas e
fronteiras físicas. Estes fatores são de extrema importân-
cia em pequenos sistemas, como por ex^tiplo, os reatores de
pesquisa.
Outros métodos foram desenvolvidos em que soluções da
teoria de transporte são obtidas com boa precisão, tais co
mo o método de expansão em termos de harmônicos esféricos -
(Pjj) é o método de ordenadas discretas ou simplesmente meto
do .
Nó método Pjj, devido a Mark /Itf, a dependência angu-
lar dò fluxo de neutrons ê representada por uma expansão ,
mais comumente em harmônicos esféricos (*), e a dependên-
(*)Em geometria plana ou esférica, o matodo utiliza a expan sao em polinomios de Legeadre simplesmente. ~
cia espacial ê considerada em termos dos coeficientes des-
sa expansão.
No método Sj^, devido a Carlson /5/, a dependência an
guiar do fluxo neutronico ê discretizada para um conjunto -
conveniente de direções. As integrais angulares são então -
transformadas por somatórias sobre as direções discretas
A dependência espacial também ê considerada para pontos dis
cretos do sistema.
üm método aproximado que foi recentemente desenvolvi-
do, o método /19, 3/ fornece resultados cora boa precisão
e exige tempo de computação pequeno em relação aos métodos
aproximados citados anteriormente.
Uma versão mais simples deste último vem sendo desen-
volvida atualmente, o método F̂ .̂ Suas equações básicas são
mais simples e mesmo sua solução numérica ê mais eficiente.
A obtenção de suas equações analíticas básicas é feita com
o emprego do método exato de Case(*), e em seguida o fluxo
angular é aproximado por uma expansão em série, tjnancada nura
determinado termo. Os fluxos angulares são determinados ape
nas nas fronteiras dos meios físicos, portanto, a variável -
espacial não aparece explícitamente. Entretanto, os fluxos -
no interior dos meios físicos podem ser deterrüínadoa através
dos fltixos nas interfaces.
(*) O m é t o d o emprega epenas as propt i edades de ortogoaali^
dade de intervalo c o m p l e t o , que é simples em r e l a ç ã o ãa pro-
p r i e d a d e s ' meio intfsrvalo.
1.2- Histórico
Nesta secção ê apresentado de forma resumida, © desen-
volvimento histórico da teoria de transporte atê o atual es
tigio» dando-se ênfase ao método exato de expansão era auto -
funções singulares, tima vez que o método aproximado P^, con
siderado neste trstóalho é estabelecido a partir do mesmo.
Os primeiros trabalhos relacionados â teoria de trans-
porte surgiram em estudos de transferência radiativa no
campo da astrofísica /15,29/, a partir de 1921.
Quanto â aplicação da teoria de transporte no campo
nuclear; o seu desenvolvimento teve Início através dos méto-
dos aproximados (P̂ ,̂ e outros) /2,10/ devido âs necessida
des de caráter essencialmente prático que a construção dos
primeiros reatores impunha na época.
Em relação aos métodos exatos, tun grande desenvolvimen
to foi atingido com a introdução da técnica de expansão em
autofunçoes singulares, independentemente proposta por Da-
vison /9/ em 194 5 e por Wigner /44/ em 1959 e sua aplicação
foi feita por Van Kampen /42/ em 1955 em trabalhos de oscila
ção do plasma. No entanto somente em 1960 é que Case demons-
trou convincentemente a generalidade e o poder deste método,
A publicação deste trabalho permitiu a solução de diversos
problemas nos modelos de um e dois grupos de energia,em geo-
metria plana. Pode-se citar entre outros, o problema do rea -
tor tipo placa, sem refletores, devido a Zelazny /4 5/ e o
mesmo problema , com a placa constituída por várias camadas
de materiais diferentes e com refletores por Kussell/22/
Nesta mesma época Case e Zweifel /7/ demonstraram os teore
mas de existência e unicidade das autofunçoes.
Os trabalhos citados utilizam as propriedades de orto-
gonalidade de intervalo completo, isto e, para iie(-lsl)(*)
tornando a aplicação bastante dificultosa era problemas de
um raeio semi-infinito e problemas de dois ou mais meios adja
centes.
Kuscer et al/21/ simplificaram aa soluções de tais pro
blemas com a introdução de propriedade de semi-intexvalo
(O, 1 ) , o que facilitou e extendeu o campo de aplicação do
método, Estas propriedades permitiram soluções de problemas
de meios finitos /25/, problemas ctm espalhajTiento anisotrôpi-
co / 2 4 , 3 4 / , como também, foram resolvidos problemas em geo -
metria cilíndrica e esférica / 4 3 , ̂ 1 / .
Para o modelo de dois grupos de energia, o método de
Case foi aplicado inicialmente por Zelasny e Kuszell / 4 6 / ,
Posteriormente, Siewert e Shieh / 3 9 / conferiram maior rigor
matemático (no mesmo modelo) discutindo ® teorema da completi
vidade das autofunçoes para expansões de intervalo completo ,
bem como propriedades de ortogonalidade e normalização. Estes
problemas se restringiram a meios infinitos.
(*) Em gsoaetrla plana, y cocO, sendo 9 o angulo compreen-
dido eatre a coordenada esiistcíal iodependente e a direçio de
movimento de neutrons.
10
Pahor e Zweifel /32/ , em 1969, empregjgrara uma nova
técnica baseada na combinação do método da invariança com
o método de Case, demonstrando sua aplicabilidade em pro-
blemas de semi-espaços. Este método determinava a distri-
buição de niutrons emergentes da superfície de um meio se
mi-infinito, conhecendo-se a incidente. Era 1972, Siewert
e Ishiguro /38/ introduziram a matriz H para determinar -
as propriedades de ortogonalidade de meio intervalo e re-
solveram problemas de semi-espaços. A existencia e unici -
dade foram demonstradas paralelamente por Siewert et al/41/
e Burminston et al /4/,
As dificuldades destes métodos é a de.eecair em sis
temas de equações singulares para os coeficientes, tornan-
do a solução numérica muito trabalhosa de acordo com o
problema considerado, e âs vezes são inviáveis como é o ca-
so dos problemas multi-regiões. Entretanto, num trabalho
recente /16/, Ishiguro propôs um novo método ( m.êtodo de
regularização das equações integrais singulares), válido -
nos modelos de um e dois grupos de energia, e em princípio
pode ser aplicado a qualquer problema de multi-regiões. Di-
versos problemas foram resolvidos, seguindo esta filosofia,
por Ishiguro e Garcia /13, 17/.
Quanto ao método aproximado F^, o seu desenvolvimento
teve início em 1978 nos primeiros trabalhos devido a C. E.
Siewert e P. Benoist /37/ e em seguida por P. Grandjean e
C E . Siewert /14/. Este método vem sendo introduzido também
na área de transferência radiativa /35, 36/. Todos os pro -
I N S T I T U T O Ct-: P E S O U P A S E M , R . É - I C - - ^ S E N U C L E A R E S
I. p . e . N .
11
blemas atê o momento são considerados em gemetria plana.
1,3 - Método Aproximado F, N
Os métodos de "soluções exatas" (método de expansão
em autofunçoes singulares e o método da antitransformada ,
basicamente), apesar de gerar«n resultados numa forma ana-
lítica fechada ou pelo menos desenvolverem a maior parte do
problema analiticamente, são, em diversas situações de di -
fícil aplicação, como por exemplo: restrição qua^e exclusi-
va era geometria plana, a complexidade analítica se eleva -
muito com o número de diferentes meios homogêneos ou se a
conliguração da fonte i modificada, dificuldade matemática
na descrição dos modelos de mxjltigrupos , etc.
O método aproximado foi,pela primeira vez,introduzi
do por Siewert e Benoist /37/ em 1978 e vem sendo ainda de
senvolvido.
Inicialmente este método foi aplicado com sucesso em
problemas padrões para modelos simplificados, tais como:pro
blema de semi-espaço com meio homogêneo na teoria de \m gru
po e espalhíunento isotrópico, problema da placa plana no -
mesrao modelo.
Os resultados das pesquisaír iniciais mostram que o
método conduz a equações finais particularmente concisaEi ,
que são resolvidas numéricamente com facilidade, fornecendo
12
resultados com boa precisão, Além do que este método é eco
nomico no que se refere âs exigencias do tempo de computa-
cao e promete ser de grande utilidade na aplicação a pro -
bleraas raultiregiões , o que constitui uma das principais -
dificuldades dos métodos exatos atuais, e ao modelo de multi
grupos.
Ha possibilidade ainda que a sua aplicação a gecme -
trias esférica e cilindrica venha a se tornar viável.
1.4 - Objetivos
1 - Confirmar a simplicidade de aplicação e a boa pre
cisão do método numérico F^, recentemente desenvolvido, no
modelo de um grupo de energia, através da aplicação do mes-
mo a problemas de criticalidade era reatores constituidos de
três regiões; cerne multiplicador, "blanket" e refletor
Esta última é considerada para duas situações diferentes ,
dependendo da espessura ser finita ou infinita ( a solução
desses problemas por este método é original).
2 - Desenvolver a teoria do método F̂ j para o modelo
de dois grupos. Aplicá-la a alguns problemas simples, obten
do resultados numéricos , discutl-los e apresentar suges
toes para trabalhos posteriores.
13
2. FUNDAMENTOS BÁSICOS DA TEORÍA DE TRANSPORTE
O método aproximado F^, que i o escopo deste trabalho,
ê estabelecido a partir de propriedades básicas da solução -
exata da equação de transporte, por meio da expansão em auto
funções singulares /7/.
Portanto, neste capítulo, são consideradas os fundamen
tos teóricos necessários para os modelos de um e dois grupos.
Achou-se conveniente incluir preliminarmente o modelo de muí
tigrupos, uma vez que os modelos de um e dois grupos consti
tuem casos particulares do mesmo. Este capítulo é apresenta-
do de forma condensada, uma vez que descrições teóricas mais
pormenorizadas podem ser encontradas nas referências bási-
cas /2, 10, 7, 38, 39/.
2.1 - A Equação de Transporte de Neutrons
Seja um volume arbitrário dv, localizado na posição ge
nérica r do espaço.
Define-se no interior deste volume:
N( r,n,E,t) = Densidade angular de neutrons , que representa
o número médio de neutrons na posição r, com
velocidades na direção e energia E no tempo t,
por unidade de volume , ângulo sólido e ener
gia.
14
V
De acordo com a definição de N (r,n,E,t) ,N (r ,n,E,t)dv í),E)vN(r,í2',E',t)
15
tre E e E+dE de uma interação,em t, ocorrida
entre um neutron,cora direção Q' e energia
E', e um núcleo,
Q(r,n,E,t) = Termo fonte - número de neutrons que são in
trodusidoa na posição r por fontes exter -
nas , por unidade de volume, de ângulo sôli
do, de energia e de tempo.
O significado físico de cada termo da equação, apôs a
multiplicação de cada um por dE dííd^ , ê o seguinte:
^ N(r ,n,E,t)dEdMv = Taxa de variação da densidade angular 3t
de neutrons, que possuem energias e dire-
ções entre E e E + dE , e n e n+ dQ, res
pectivamente, no volume dv situado em r .
vfÍV (r ,n,E,t)dEdndv = Taxa líquida de neutrons que saem atra-
vés da fronteira do volume dv localizado na
posição r , com ©nergias e direções entre
E e E + dE, n e fJ + dQ, respectivamente,no
instante t.
vo(r,E)N(r,í2,E,t)dEdQdv = Taxa de neutrons que sofrem intera
ções, no volume dv localizado na posição r,
que são absorvidos ou saem do intervalo con
siderado de energia e direção.
/j.,/jj,a(r,E')f {r;n',E'-»-Ç,EjvN(r;n',E',t)dE'dn'dEdndv= Taxa -
de neutrons transferidos, no volume dv loca
lizado em r, de quaisquer energias e dire -
ções, para quaisquer energias e/ou direções
16
entre E e E dE . e, Ü e fi + dSÎ , r@s
pectivamente, no volume dv, no instante t.
Q(r,fi,E,t)dvdEdfi = Taxa de neutrons produzidos por uma fonte
externa, com energias e direções entre E
e E + d E e Q e f i + d n ^ respectivamente, no
volume dv, no instante t.
A equação de transporte também pode ser representada
por:
-i- ^ (r,n,E,t)+fiVt(r,n,E,t)+o(r,E)^(r,fi,E,t) =
= Jg , / j j,a{r,EMf (r ;a;E'-^«,E)({í(r ,Q' ,E' ,t)dn'+Q(r,fi,E,t) ,
2,1.2
onde: T Í j(r ,Q,E,t) = vN(r,fi,E,t) 2.1.3
Esta última expressão i o fluxo angular de neutrons ,
definido como sendo o número de neutrons por cm^, por según
do e por unidade de ângulo no volume dv, localizado na posi
ção r do espaço.
Ao ser derivada a equação de transporte, algumas hipó
teses foram consideradas, que a rigor, nem ®empre podem ser
justificadas na pratica. Principalmente, os seguintes efei-
tos são desprezados:
I N S I I T U I O Dil P b S Q U : - - ' . S c R „ É : I C - S F. N U C L E A R E S
17
- Comportamento Ondulatorio
O neutron é considerado uma partícula puntvial, sendo
assim completamente caracterizado pela sua posição e velo-
cidade. Para neutrons de energia muito baixa, o com.primen-
to de onda é comparável âs distancias interatômicas. Coro
isto, as secções de choque sofrem uma dependencia da orien-
tação dos neutrons. Mo entanto, estes efeitos são despre-
zíveis em Teoria de Reatores.
- Flutuações Estatísticas
Em estado estacionario, as flutuações não causam des
vios apreciáveis na densidade angular de niutrons preditos
pela equação de transporte. Essas flutuações, em regime per
manente, são denominadas ruídos do reator de modo geral, e
sua descrição pode ser feita através de outras teorias, co-
mo a análise de Fourier.
- Correções Relativisticas
Nos casos de interesse para a Engenharia Nuclear não
hâ necessidade de se considerar os niutrons de energia mui^
to alta, onde as correções relativisticas seriam importan -
tes.
- Interação Niutron-Niutron
Mesmo em reatores térmicos operando em um alto fluxo
de niutrons, a densidade dos mesmos é menor que 10''"̂ niutrons
por cm"', que é pequena quando comparada com densidades nu
18
? 2 3 ' oleares que são da ordein de 10' núcleos por cm nos solidos.
Assim, as interações nêutron-nêutron são bem menos frequentes
do que interações nêutron-núcleo. Desprezando-se essas intera
ções a equação de transporte fica linear.
A equação de transporte (Boltzmann) inclui termo não
linear para a teoria cinética de gases, onde colisões ocorren
do entre moléculas são relevantes, que não e o caso dos nêu -
trons.
- Neutrons Atrasados
Considerados no estudo de cinética de reatores, onde é
descrito o comportamento temporal do sistema. Para o estudo -
em estado estacionário não há necessidade de considerâ-los ,
como ê o caso deste trabalho.
- Dependência Angular das Secções de Choque
Ocorre para casos muito raros, como para alguns cris -
tais.
- Desintegração Radioativa do Neutron
Visto que o tempo de vida dos neutrons no raeio mate -
rial ê insignificante, comparado â sua meia-vida, deslnte -
grações radioativas não são levadas em conta.
- Polarização
Os efeitos de polarização devido a interações do "spin"
e momento magnético dos neutrons, não são relevantes em teo-
19
ria de reatores.
A equação geral de transporte de niutrons representa
bem a realidade física para os casos de interesse em Engenha
ria Nuclear, apesar das limitações descritas, serem, impostas
no desenvolvimento.
2,2- A Equação de Transporte em Geometria Plana no Modelo Mui
tigrupo e Espalhamento Isotrópico
Considerando-se o caso estacionário, em geometria pla-
na com simetria azimutal (simetria na superfície de qualquer
cone gerado em torno do eixo z ) , a equação de transporte re
duz-se a:
y — t|í(z,y,E)+o(z,E) i}
20
Retendo-se apenas o termo de ordem g, = O ( espalhamen-
to isotrópico), a equação (2.2.1) pode ser escrita comos
p_l ^(z,ii,E)+a(E)tf»(z,y,E)= i Jg./^,a^(E'-^E)ij)(z,v',E')ày'dE' +
+ Q(z,y,E) 2.2.3
O intervalo total de energia é dividido em G grupos .
Integrando-se a Equação (2.2.3) para cada sub-intervalo de
energia, obtém-se um sistema de equações integro-diferenciais
acopladas do tipo:
y — (z,p)+a.4i . (z,y)= i l I a. . ij». (z ,y ' )dp'-f-q (z ,y) ; 32 ^ ^ ^ 2 j=l ^-1 ^ ^
i = 1, 2,...,G, 2.2.4
onde,por definiçãos
}̂>i(z,y) = /^^(z,M,E)dE 2.2.5
f,0(E)ii^{z,y,E)dE = ii 2.2.6
Jj,i})(z,y ,E)dE
/,,*(z,y,E')/^a^(E«-.>E)dEdE' a s o = -J
^ ̂ /ji|»(z,y,E')dE'
q^(z,y) = Q(2,y,E)dE, 2.2.8
para i = l,2,.,,,G e j =1 , 2,.., ,G .
As secções de choque medias de grupo e ^, seguin
do as definições acima, deveriam ser escritas como funções
21
de z e p. No entanto, evita-se, sempre que possível, traba-
lhar com secções de choque dependentes de z e y, para slmpli
ficar o problema. A maneira usual ê assumir a separabilidade
do fluxo angular em funções de ( z,vi) e (E) , o que mêitas -
vezes não é uma boa suposição. Métodos melhores são apresen-
tados na literatura / 2 / . Neste trabalho considera-se que es-
tes parâmetros sejam calculados, de alguma maneira, como sen
do independentes de z e u no meio homogêneo.
A secção de choque de transferência a^^ ê dada por;
'̂ ij = ^sij ^̂ sj °f1 ^'^'^
onde a .. representa a secção de choque macroscópica de trans S 1 3
ferencia do grupo j para o grupo i por espalhainento isotrópi-
co, é a secção de choque macroscópica de fissão do grupo
j, V . é o número médio de niutrons emitidos por fissão gera s j
da por niutrons do grupo j e x¿ ê definido como sendo a fra-
ção de niutrons de fissão que aparecem no grupo i.
0 sistema de equações do tipo da Eq.(2.2.4) pode ser
representado por uma equação na fojrma matricial:
3 1 y t(z»y) + l^{z,\i) ^ S / Í>{z,M')ãM' + q(z,ui. 2.2.10
32 ~ " - 1 -
onde,
^(z,u) - vetor dos fluxos angulares dos G grupos 1 1 •• representa a matriz diagonal G x G com os elemen
tos na diagonal principal;
22
S - representa ima matriz quadrada G x G com ele
mentos síj = i a^^ .
Como neste trabalho somente são considerados sistemas
sem fontes externas, a equação (2.2.10) pode ser reescrita:
3 U —
3z
¿(2,y)+ lt{z,]i) = s jl^^{-z,\í)ãM' 2.2.11
Hâ,assim, necessidade de encontrar-se apenas as soluções
homogêneas das equações.
2.3 - Solução Elementar da Equação de Transporte no Modelo
de um Grupo
Para este caso particular considera-se o grupo como
contendo o intervalo total de energias possíveis dos nêu -
trons.
Retomando-se a equação matricial(2.2.11) para G=l, ob-
tém-se a equação valida para o grupo.
1_ . . . X - 1
23
Da definição (2.2.9) , a secção de choque que aparece
no integrando da equação (2.3.1), pode ser expsessa como
sendo:
^11 = ^s ^ ^s ^f ' ^'^'^
onde a representa a secção de choque macroscópica de espa-
3 Ihamento , é a seção de choque macroscópica de fissão e V é o numero medio de niutrons emitidos por fissão, s
É conveniente expressar-se distancias em termos de li-
vre caminho medio de colisão, através da variável ótica, de
finida como sendo (na sua forma mais geral)s
X = 1^ a(z')dz'. 2.3.3 o
Como neste trabalho somente se consideram meios homo-
gêneos :
x = az 2.3.4
Considerando-se esta definição, obtem-se de (2.3.1) :
y t(x,y)+i!;(x,v)= c/2 J^.tMx,M')dy« , 2,.3.5 3x
onde,
c , 2.3.6 a
que representa o número médio de niutrons secundários que
emergem de uma interação entre um neutrón e um núcleo.
A equação (2.3.5) representa a equação básica do mo-
delo de um grupo de energia a ser utilizada neste trabalho.
24
- Técnica de Expandió em Autofunçoes Singulares
Nesta secção descreve-se resumidamente o método de ex
pansão em autofunçoes singulares { método de Case) /7/.
O processo utilizado ê o de separação de variáveis, e
a solução geral obtida para o fluxo angular de neutrons é
constituida de termos assimptôticos e de um termo contínuo.
O método empregado é descrito a seguir:
Considerando-se a equação (2.3.5), propõe-se a solu -
ção do tipo:
i})(x,y) = (v,u) « ^ 2.3.8 2
onde se fez uso da normalização ã unidade:
J].l (v,ii' ) d)j' « 1 2.3.9
Ha dois casos a serem considerados:
25
CASO 1 V ¿ (-1,1)
Neste caso, da expressão ( 2 . 3 . 8 ) resulta:
26
(4) Pelo teorema do argumento demonstra-se que Mz) ten somen
te dois zeros no domínio definido em (3) /7/. Logo, de
(3) e (2) segue que as raizes de Mz) podem estar somente
no eixo real (exceto no intervalo de -1 a 1) ou então so-
mente no eixo imaginario. Considerando-se somente o eixo
real positivo, verifica-se ainda que:
(5) í,im A(z) = - «>
z^l+
(6) lím A(z) = 1- c
Se c < ,A(z) muda de sinal entre z = 1 e z = «>, assim de^
verexistir urna raiz v real neste intervalo e outra raiz ~ v o
real como decorrência da propriedade (1).
Como A(z) possui raízes reais somente para c < 1 segue
que para c > 1 as raízes são imaginárias puras. Para c -l,A(z)
apresenta raiz dupla no infinito.
Simboliza-se essas raízes por + v^, que são autovalores
discretos . As autofunçoes associadas a esses dois auto\'alores
são dadas por:
({,{+ v^,y) = ^ - - 4 ^ , 2.3.15 2 v ^ í p
e as duas soluções para a equação de transporte são:
\¡j +(x,y) = (|)(+ V ,y)exp(+ x/vj 2.3.16
CASO 2 VG(-1,1)
Neste caso,como a variável y pertence ao mesmo inter-
l I N S T I T U T O ce P E S O U S A S E - v t R C É H C - S E N U C L E A R E S {
2 7
valo que o autovalor v, podem coincidir e, a rigor, a equa-
ção (2.3.10) não pode ser obtida da expressão (2.3.8), de-
vido ãs singularidades. Se a autofunção ^{"4,]}) puder ser
uma distribuição /31/ , ela devera conter um termo propor-
cional a 6 (v -vj) . Portanto, da equação (2.3.8) pode-se con
cluir somente que: o
(v,p) = - P v - H — + X(v)Ô(u, V ) , 2.3.17 2 V - y
onde o símbolo Pv significa que a integral sobre p ou v de-
ve ser efetuada pelo valor principal de Cauchy /12/, 6 ê o
delta de Dirac e X(v) ê uma função a ®er determinada através
da condição de normalização. Logo, inserindo-se a equação -
(2.3.17) na equação (2.3.9) resulta:
1 = " V Pv ^ X(v), 2.3.18 2 '^-l V- y
encontrando-se, explicitaiTiente:
X(v) =̂ 1 - cv tanh'-^v 2.3.19
Portanto, existe \ima continuidade de soluções, dadas
por:
° 4> (v,y)exp(-x/v) , 2^3.20
para todos os autovalores contínuos reais tal que -l
28
O
Resumindo cada caso descrito:
(1) Para v^(-l,l), existem:
a) para c < 1 -^2 raízes reais -
b) para c > 1 •*• 2 raízes imaginarias para -
c) para c = 1 -•• "° (raíz dupla).
com as correspondentes autofunçoes (+Vq ,v) , fornecendo duas
soluções discretas através da expressão (2,3.16).
(2) Para v real e(-l,l) existem:
uma continuidade de autovalores v no intervalo citado, sen
do que, a cada autovalor v corresponde urna autofunção
(|){v,y), fornecendo uma continuidade de soluções do tipo
(2.3.20).
Portanto, a solução geral pode ser representada por
uma combinação linear das soluções encontradas:
tj;(x,u)=A(v̂ )(!> (v^,y)exp(-x/v^)+A(-v^)(f.(-v^,y)exp(x/v^) +
A(v)(}.(v,p)exp(-x/v)dv 2.3.22
^-1
onde A(v^), A(-v^) e A(v) são os coeficientes da expansão,
que podem ser determinados por meio das condições de contor
no do problema específico. Entretanto, a determinação des-
tes coeficientes não é necessária na solução através do mé-
todo aproximado P^j, pois os meamos aparecem apenas em pas
sagens intermediárias do desenvolvimento de equações.
29
As condições de contorno podem ser classificadas em
dois tipos:
de intervalo completo ~ que resultam em expansões do
tipo:
f ( M ) = A(v^ )(í.( v^,u ) -í- A(-v^) 4»(-v^,M ) +
+ jl^ A(v)(!)( v,ü )ãM , ii€(-l,l), 2.3.23
de meio intervalo - que resultam CTI expansões do tipo:
g(u)=A{v^)
30
A solução de problemas através do método aproximado
Fçj, entretanto, requer apenas as relações de ortogonalida-
de de intervalo completo, que é de aplicação muito simples
em comparação âs de meio intervalo.
Ortogonalidade e Normalização das Autofunçoes de In-
tervalo Completo t
Para este trabalho são suficientes as seguintes rela
ções de ortogonalidade /2,7/:
u
2.4 - Solução Elementar da Equação de Transporte no Modelo
de Dois Grupos
Para este caso particular, considera-se o intervalo to
tal de energia dividido em dois grupos ,
A equação de transporte no modelo de dois grupos na for
ma matricial pode ser obtida da equação (2.2.11), onde os pa-
râmetros e o fluxo angular são considerados para G - 2, obten
do-se um sist^a de duas equações integro-diferenciaia aco -
piadas.
Nesta equação o fluxo de cada grupo representa a inte
gral do fluxo angular no intervalo de energia de cada grupo ,
e as secções de choque de cada grupo representam as secçõas -
de choque (dependentes da energia) ponderadas pelo fluxo angu
lar no intervalo de energia de cada grupo , de acordo com de-
finições ( 2.2.5) a (2,2.7).
Escolhendo-se convenientemente os grupos de energia po-
de-se ter sempre oi > az- Dividindo-se as duas equações por
Oj , o que é equivalente a se considerar as duas equações es -
cri tas em termos da variável adimensional x =» OjS (medida em
livres caminhos médios dos nêufcrons do segundo grtipo de
energia), denominada variável óptica.
As duas equações são:
V -A_4,^(x,y) + oi|,j(x,y)= qj3^/];4'j(x,li')dy'+q^2 /-l'í'2Í^^^'>^y'' 3x
2,4,1
32
3x
onde, a = o i / o¿ > 1 ,
e, q^j = Oj^j/ 2a2 , i » 1,2 e j = 1,2
2.4.2
2.4.3
2.4.4
As duas equações (2.4,1) e (2.4.2) podem ser represen-
tadas pela forma matricial:
U — I (x,ii)+ EI(x,p) ^ Q I(x,y')dy' , 3x -1
2.4.5
onde foram definidas as novas matrizes:
I(x,y) 4», (x,v)
Jf^ (x,v)
2.4.6
o o
o 1
2.4.7
Q
'11 '̂ 12
'21 ^22
2.4.8
Supondo-se que a matriz Q não seja diagonal ou trian-
gular ^^\2'^2\ ^ ' define-se uma matriz:
33
2.4.9
1 J
Fazendo-se a transformação:
I (x,u) = P"-̂ ^ (x,ii) 2.4.10
substituindo-a na equação (2.4.5) e a seguir multiplicando-se
cada termo pela matriz P , pela esquerda, obtêro-sej
3x ^(x,u)+ l ^{yi,\y) = Ç j^^^(x,y')du' 2.4.11
onde a matriz simétrica C é definida como sendo:
C = P.Q.P -1 2.4.12
O caso em que a matriz Q ê triangular pode ser resolvido
pela teoria de um grupo de energia. O caso particular em que
det.Q = O, foi resolvido por Siev/ert e Zv/eifel /40/.
- Técnica de Expansão em Autofunçoes Singulares
Propondo-se para a equação (2.4.11) uma solução do
tipo /37/:
(x,y) = F(v,n)exp(-x/v) 2.4.13
onde, analogajnente ao efetuado para o modelo de um grupo, v
f i M S T I T L M O C c F E 2 Q U S A S E .-v R::. í T ; C ' S E N U C L E A R E S ¡
34
representa os autovalores e F(v,u)representa, o vetor de au-
tofunçoes ( ou autovetor).
A expressão (2.4.13) substituída na equação (2.4.11 )
fornece:
[ V E - u l]F(v,y) = ^Ç??^'^) 2.4.14
onde: I é a matriz unitária.
M(v) = F(v,y')dy' 2.4.15
Existem dois casos a se considerar:
Caso 1 - V ¿ (-1,1)
Para este caso o autovetor ê representado por:
F(+ v,y) V D(v, + y)CM(v), 2.4.16
onde definiu-se:
D(v, + y) = [v 5 ; Vil]"''" 2. 4.17
Substituindo-se a equação (2.4.16) na equação (2.4.15)
resulta:
; I - V jl^ D(v,vi)dy Ç"]M(^) = O 2.4.18
Considerando-se esta equação como duas equações linea-
res acopladas para os elementos do vetor M(v), o autovalor -
deve satisfazer:
35
A(v) = det.A (v) = O, 2 .4 ,19
onde define-se a matriz de dispersão como sendo:
A(z) = I - z jl^ D(z,y)duÇ,
que pode ser representada tamb&n por:
A{z) = I + z jli^lVi) dp
M- Z
onde.
E (p) o
o 1
2 . 4 , 2 0
2 . 4 . 2 1
0(p)=l, para p e ( - 1 / ^ , 1 /^) 2 .4 .22
E(p)í=0, de outro modo.
Nota-se na expressão ( 2 . 4 .20 ) que.
A(-z) A (z)
deduzindo-se, portanto, que:
2 ,4 .23
M(-z) = M(z) 2 .4 .24
Siewert e Shieh / 3 9 / publicaram o numero e os tipos de
raízes da função de dispersão; havendo a possibilidade de -
existir um par de raízes (+v¡) ou dois pares de raízes (+ V j
et Vi) reais e/ou imaginárias (possibilidade de duas raízes
no infinito também). O número e tipo das raízes dependem de
a e dos elementos da matriz C.
36
Essas raízes são denotadas , neste trabalho, por
+ V. , k = 1,2,..., K.
Caso 2 - V€(-l,l)
fi conveniente definir-se inicialmente:
Região (T) v£(- l/o , l/a)
Região @ * ve{-l,-l/a) U (l/o ,1)
Foi verificado que os autovetores encontrados para
este caso são:
F^^^ ( v , y ) » r v K ( v , u ) + w ^ ^ N v ) 6 ( v , y ) ] C M y (V) , a=l,2 ; v e região(J) (1) (1)
2.4.25
F^^^ (v,u)»[vK(v,p)+(tí^^Nv) 6 ( v , y ) ] C M ^ ^ M v ) , V ¿ r e g i a o @ (2) (2)
onde.
2.4.26
K(v,y) =• Py( ~ ^ )
O V - U O
Pv( )
2.4.27
37
5 ( V , lí} =
6 (av- m) O
O 5(v- y) 2.4.28
e ü ) ( v ) ê um parâmetro determinado pela inserção das equações
(2.4.25) e (2.4.26) na equação (2.4.15), isto ê, da condição:
det. r ^ (v) - u (v) il { V) 1 = O, A.4.29
onde, X(v) = I -í- v Pv f-'", i|>(y)-^ ''-1 - u- V
2.4.30
A equação (2.4.29) fornece uma soíução ta (v) para
V£ região (g) e duas soluções para ve re
38
os coeficientes de expansão em autofunçoes de Case, podendo
ser determinados com a aplicação das condições de contorno
específicas para cada problema considerado. Entretanto ,
estes coeficientes não são necessários na solução de proble
mas através do método aproximado F̂ ^ .
Estes novos autovetores são expressos como sendos
$1^^ (1I,U) 'll^^^V- vi")"*" ^ s í Í ^ ^ ^ Í " ^ ~
Cj^Vl + Xai {v)6( V -y )
2.4.32
* 2 ^ ^ (v,y)' üv -y
u C22VPvf A) - y
+ Xi2(v)6(ov- y )
+ X 2 1 (v)«( V -y ) .
2 .4.33
(v,y)
^12^
39
ou,
X(Ç) = 1 - 2C^^ÇT( ^ ) - 2c22ÇtCÇ)+4Cc 'T(Ç )T(5|- ) , 2.4,37
para Ç = vc região ( 2 )
f ( Ç ) = C 2 2 - 2 C C T ( ^ ) , para ^ =' ± on vt região (2), 1,4.38
e X^j(C), i,j = 1,2 são os elementos de XÎÇ), utilizados pa
ra Ç = ve região (ï) .
Nestas expressões as abreviações C = det, C e
T(Ç) « arctanh U ) foram introduzidas.
Dma propriedade imediata para os autovetores, conforme
expressão (2.4,32) a (2.4.35) é:
iK," V) =
(2.4.31) forma um conjunto completo de autofunçoes /40/.
Similarmente ao modelo de im grupo; a solução de pro-
blemas através do método aproximado no modelo de dois
grupos, requer apenas as relações de ortogonalidade de in -
tervalo completo.
- Ortogonalidade e Normalização dos Autovetores de
Intervalo Completo
Os autovetores ̂ ''"Nv,v) , a = 1,2, embora mais conci-
sos que os autovetores F^^Nv,v) , não são ortogonais para
V «a v'. Entretanto, como foi discutido por Siewert e Zwei-
fel/40/, utiliza-se vetores adjuntos convenientes,assim:
/-l-^-^k'"^í ^i^k'^^^*^^ ° - N^^k^' ^ 1,2,..., K 2.4.40
B = 1,2; v,v'e região (l)
2.4.41
jl^X^^^ (v',y)^^2) (v,M)ydM = N^^^ (v)6(v- V ' ) ;
v,v'c. região (?) 2,4.42
onde,
X(i Vĵ ,|i) = $ ( + Vjç,y) 2,4.43
x{^'(v',u)=N22(v')${^^ (v',y)-N^2 $j^Nv',y) 2.4.44
X^^^(v',u)= N^j^(v')$^^Nv,u)-N23^(V) ${^^(v',ii)
2.4.45
41
2.4.46
também, os fatores de ortogonalidade são os seguintes
Nj^^(v) = 1 - 4QjL3^VT(ov)+4v2[c3^^T* (av)+ C i 2 ° 2 l ' ^ ' ^
2.4.47
- 2 V T ( V ) + IT^V^C^j^j^ + ° 2 2 ^ ^ ' ^ ^ ' 2.4.48
N22(v) = 1-4C22''^^^^ 4v*fc^2^^í^i+ ''l2'^21^^ ̂ ^"^ ̂
+ ^'vMc22 + 0^2^21^ ' 2.4.49
0V, 1 .^2
av.
v2 p V- , ^ \ 2.4.50
N^^'(v) >= VA ' ^ ( V ) A " ( V ) , ve r e g i ã o © . 2.4.51
N^^Nv) « VA " ^ (V ) A " (V) , ve r e g i ã o @ , 2.4.52
Óhde^ A-(v) denota os valores dos cortes dos ramos de A(z)
guando este tende pelo semiplano superior (+) ou inferior(-)
em relação ao eixo real.
Das expressões (2.4.47) a (2.4.49) verifica-se a se-
guinte propriedade imediata:
42
N^j(v) = N^^ (-V), i = 1,2 e j = 1,2, ve regiio ® 2.4.53
Das expressões (2.4.50) a (2.4.52) tem-se que:
N ( - 0 = - N(C), ^'^'^^
para qualquer autovalor Ç
43
3. FUNDAMENTOS DA TEORIA DO MÉTODO F̂ ^
O método F^, como citado no Capítulo 1, foi recentemen
te introduzido por Siewert e Benoist /37/ para resolver apro
ximadamente problemas da teoria de transporte,
Primeircimente, o método foi aplicado aos problemas pa-
drões nos modelos simples tais como, problemas de semi-espa-
ço de meios homogéneos na teoria de um grupo com espalhamen-
to isotrópico, e problemas de placa plana no mesmo modelo.
Mais recentemente, o método foi aplicado a problemas -
de multi-regiões /35/,
Nestes problemas foram mostrados os seguintes méritos
do método F„ : N
1. Análise básica e estabelecimento das equações funda
mentais, são simples era comparação com a teoria de
difusão e o método aproximado P^, especialmente, pa
ra os problemas de multi-regiões /3 5/.
2. cálculos necessários para se resolver as equações -
finais, são muito menores do que se precisa para a
solução exata e, são comparáveis aos dos outros mé-
todos aproximados.
3. Pode-se ter boa precisão numérica com relativamente
baixa ordem de aproximação, por exemplos 3 a 4 dígi
gitos com aproximação de ordem 5,
44
O método F„ esta ainda em fase de desenvolvimento e N
as pesquisas vim sendo feitas em varios aspectos tais como:
aplicação do método a problemas com meio multiplicador, ex-
tensão do método para outras geometrias, e desenvolvimento
da teoria do F„ no modelo de dois grupos. N
Neste trabalho serão abordados dois desses problemas:
aplicação do F̂ ^ para o problema de criticalidade em geome -
tria plana usando-se modelo de um grupo, e desenvolvimento
da teoria do F̂ ^ e a sua aplicação a problemas padrões no mo
delo de dois grupos em geometria plana. O desenvolvimento
do método F̂ ^ no modelo de dois grupos será considerado no
Capitulo 4.
Basicamente, o método F̂ ^ consiste das seguintes fases:
1. A solução da equação de transporte é escrita pela
expansão em autofunçoes singulares, isto é, a solu
ção de Case.
2. üm sistema de equações integrais, exatas, acopla -
das é derivado, usando-se as propriedades das auto
funções para os fluxos angulares nas interfaces.
3. Os fluxos angulares nas interfaces são aproximados
por expansões polinomiais , com os coeficientes ar
bitrãrios.
4. Substituindo-se estas expansões no sistema de equa
ções exatas, citado na fase 2, é deduzido um siste
ma de equações lineares algébricas para os coefi -
cientes das equações da fase 3.
45
5. Este sistema de equações é resolvido por um método
padrão.
Neste Capitulo, o método básico de aproximação F̂ ^ é
apresentado considerando-se dois problemas simples, no mode
lo de um grupo.
O primeiro problema consiste basicamente, em se deter
minar o fluxo refletido na interface situada em x = -a^ e
o fluxo transmitido na salda situada â direita ( x = â ^ ) ,
sob as seguintes condições físicas impostas.
- Fluxo incidente em x = - â ,̂ do tipo:
,y ) = ,ye(0,l), 3 = 0,1,2,... 3.1
- Inexistência de fluxo incidente em. x = â ^ .
r\> (o. ,- y) = 0 , ye{íQ,l) 3.2
A equação de transporte homogênea (2.3,5) juntamente
com a respectiva soluçãç geral (2.3.22) são reescritas, a
seguir, para a região - «ĵ £ x £ Oj^ .
3 c ^ y- tp(x,y)+ \f»(x,y)= - / ,t|;(x,y ' )dy ', xe(-a, ,a,) 3.3 3x 2
i(>(x,y)= A(vQ)())(v^,y)exp(-x/v^)+ A(-v^)
46
Na expressão (3.4), para x = + â ,̂ tem-se:
\}j(+ aj^,ii)=A(v^)(t. (vQ,vi)exp(Í a-^/\>^)-i-A{-v^,\i)exp{+ a^/v^) +
^ A(v)(l) (v,y)exp(- a^/ v)dv, vie(~l,l) 3.5
Nota-se que estas expressões representam duas expan-
sões típicas de intervalo completo em termos das autofun -
ções de Case. Pode-se aplicar, então, as relações de ortogo
nalidade de intervalo completo ( 2.3.25) a (2.3.27), isto e,
multiplicando-se a expressão (3.5) por y
4 7
f'̂ V= Piit(-Ç,p)M%y, ÇeP, 3 . 1 0 J o
py*(Ç,v)^( a,,y)du+g^(Ç) Í̂ y(|) (-Ç ,P )'l» (-«i,-P ) clu =
= F^iO j\v^il,v)\i^àv, ÇeP , 3 . 1 1
N o t a - s e q u e e s t a s e q u a ç õ e s r e p r e s e n t a m o s i s t e m a d e e q u a
ç õ e s i n t e g r a i s a c o p l a d a s e x a t a s p a r a o s f l u x o s d a s i n t e r f a c e s .
N a a p r o x i m a ç ã o F^^, p r o p õ e - s e a s u b s t i t u i ç ã o d o s f l u x o s
a n g u l a r e s n a s i n t e r f a c e s p e l a s e x p a n s õ e s em s é r i e d o s s e g u i n -
t e s t i p o s .
N
,j>(-a,,-y) = d^ y*̂ , pe(0,l) , 3 . 1 2 -'• a
a = 0 V
4;(a,,y) = E , V e ( 0 , 1 ) , 3 . 1 3
a«= o
o n d e N é a o r d e m d e e x p a n s ã o d o s p o l i n o m i o s , o u s e j a , a s é -
r i e é t r u n c a d a n o t e r m o d e o r d e m ( N + 1 ) .
D e s d o b r a n c l o - s e c a d a i n t e g r a l d a s e q u a ç õ e s (3.8) e (3.9)
em o u t r a s d u a s com l i m i t e s d e d e f i n i ç ã o p a r a a v a r i á v e l u e n -
t r e ( - 1 , 0 ) e ( 0 , 1 ) , e f e t u a n d o - s e a l g u m a s m a n i p u l a ç õ e s a l g é -
b r i c a s n a s i n t e g r a i s com l i m i t e s ( - 1 , 0 ) d e modo q u e e s t a s f_i
quem d e f i n i d a s e n t r e o s l i m i t e s ( 0 , 1 ) , f a z e n d o - s e u s o d a p r o -
p r i e d a d e ( 2 . 3 . 2 1 ) e f i n a l m e n t e a p l i c a n d o - s e a s c o n d i ç õ e s d e
f r o n t e i r a ( 3 . 1 ) e ( 3 . 2 ) , o b t é m - s e a s s e g u i n t e s e q u a ç õ e s e x p r è s
s a s numa f o r m a m a i s c o n v e n i e n t e .
4 8
Substituindo-se (3.12) e (3.13) nas equações (3.10) e
(3.11) e invertendo-se a ordem das somatórias com as integrais
obtém-se as seguintes equações:
R d^ fí;*(Ç,y)y°'"*"% + E, (Ç) ? d^ ({. (-Ç ,y)y°'"*"̂ dM a=o ^ ° 1 a=o " o
=/o (-Ç,y)y^'"^dy, Ç eP ^'^^
? df fí;(S>(Ç,Y)y°'"*'̂ dy + E , (Ç) E d^ P * ( - Ç , Y ) y^^^^dy = a=o « ^ a=o " Jo
= E ^ ( Ç )
49
A (O = 1 - Ç îln (1 Î3.20) o
Substltuindo-ae estas funções (3.18) a (3.21), nas
equações (3.14) e (3.15) , tem-se:
N ^
N E
B^(CJ+ ^^iVãl \iV] = Ag(Ç), ÇeP, (3.22)
B (Ç)+ E, (Ç)d^ A (Ç)]= E, (Ç)B^(Ç), ÇeP (3.23) a a i a a - ' x p
Nota-se que os coeficientes d^ e d^ constituem 2(N+1) ^ • a a
valores desconhecidos (incógnitas) que devem ser determina-
das para os cálculos dos fluxos . Logo, há necessidade em se
considerar 2(N+1) equações para a solução do sistema linear-
mente independente, o que pode ser feito selecionando-se
(N+1) valores de Ç, ou seja, Çj , j = 0,1,...,N.
O esquema adotado para a seleção dos autovalores Ç^ -
exerce influencia na precisão dos resultados, urna vez que o
método é um método aproximado.
O esquema de seleção adotado neste trabalho é o mesmo
esquema ótimo estabelecido por P. Grandjean e C E . Sie -
wert /14/, após alguns resultados preliminares, que consis-
te no seguinte: ÇQ= ,Çĵ =» O e os restantes autovalores -
selecionados no intervalo (0,1), igualmente espaçados entre
50
si, ou seja:
f =, 3 " 1 , j » 2,3,..., N 3.24 3 N - 1
Dessa forma âas equações (3.22) e (3.23), obtêm - se
o seguinte sistema com 2(K+1) equações a 2 (N+1) incógni-
tas:
N 1 ..2 l
a^o
3.25
^ ^ 2 l K Ba^^jí-^ ^ 1 ^ ^ ) ^ Ei(?j)B0ÍÇj), 3.26 a=o
onde, Ç^cP, j = 0,1,2,,..,N
Este sistema de equações ê resolvido, determinando-
1 2
se assim os coeficientes d^ e d^ , que det®rminam, por sua
vez, os polinomios que representam os fluxos !íi(-aĵ -p) e
t|;(aĵ ,M), respectivamente ( os polinomios são apenas funções
aproximadas que representam os fluxos ^xatos, pois a sê -
rie foi truncada no termo de o r d ^ N + 1 ).
Estes fluxos possibilitam a computação do albedo /IO/
na interface , definido como sendo a razão entre corren-
te refletida de neutrons e corrente de neutrons que incide
na interface , isto ê:
M^i) (-a^,-y)dvi
/Jy^(-a,,M)dy « ^
N d ̂ •= (e+2) S — 3 .27
^-se ainda calcular o fator de transmissão / 8 /
51
na interface a^, definido como sendo a razão entre a corren
te de neutrons que sai pela corrente d e neutrons que entra,
ou seja:
ñ Ut | . { a j , p ) d M N d^
« (3+2) i . " 3 . 2 8
y^yt^(-a^,Vi)dy a -o a + 2
Como citado anteriormente, a solução do método foi
considerada apenas nas interfaces do meio. Entretanto, é
possível determinar-se o comportamento da função íp(x,u) pa-
ra qualquer ponto no interior do meio através do conhecimen
to do fluxo em uma das interfaces, isto ê, ú> (ai,\i) ou
t(-aj^,vi).
De fato, os coeficientes da expansão podem ser deter-
minados por meio da aplicação das relações de ortogonalida-
de (2.3.25) a (2.3.27). Como isto já foi efetuado na deriva
ção das expressões (3.6) e (3.7), obtém-se das mesmas as
seguintes expressões:
A(-|) « N"'^(-Ç)exp {t a^/O ¡I y*(-C,u)'í'{+a^,u)dp, ÇeP
3.29
-1 -
A( Ç) = N (+Ç)exp(+ttj/Ç) /_3^M^(Ç,y)!Í»(-5- aĵ ,vi)dy , ÇeP
3.30
onde as funções N(- Ç) são dadas por (2.3,28) e (2.3.29).
As autofunçoes são conhecidas, conforme (2.3.15) e
(2.3.17). Portanto a solução geral para o interior do meio.
I N S T I T U T O U L P E G O U S A S & P G.É l ;C - S E N U C L E A R E S ,1
52
de acordo com (2.3.22), ê determinada pela expressãos
\|;(x,u) = A(v^) (f) (v^,y)exp(-x/v^)+â(-VQf(-v.^,fj)exp(+x/v^_) +
+ 1^ A(v)*(v,y)exp(-x/v)dv 3.31
Para o segundo problema considera-se um sistema tipo
placa constituída de um material homogêneo e multiplicador -
(c > 1). O problema em questão consiste em se detemünar o
valor de â ^ para que o sistema seja crítico (meia espessura
crítica da placa ctĵ )̂ , e os fluxos de niutrons qtie saem pe-
las interfaces.
As novas condições físicas sioí
- Inexistencia de fluxos incidentes era x = - â ^
i|)í- a,, + y)= O , ye(0,l) 3,32
- Simetria em relação ao plano x = O, pois o material
da placa ê homogêneo.
«í»(x,y) =ij>(-x,-p) , ye (-1,1) 3.33
Portanto, da condição (3,33) , tem-se que os fluxos •
nas interfaces e -a^^, dados pelas expressões (3.12) e
(3.13) respectivamente, devem ser iguais. Disto resulta;
» d^ = d^ , a « 0,1,..., N , 3,34
reduzindo assim, o número de coeficientes ã metade.
53
Logo , aplicando-se as duas condições físicas,(3.32)
e ( 3 . 3 3 ) , diretamente em uma das equações (3.25) ou ( 3 . 2 6 ) ,
obtém-se o seguinte sistema homogêneo de equações lineares
algébricas:
N
« a s o
B^(Çj)+E^(Ç^)A^j^(Çj)J= O, ÇjeP,j = 0,1,...,N 3 . 3 5
Este sistema possui (N+1) equações e (N+1) coeficien-
tes d a serem determinados, além de a,, ou seja, o núme-
ct J
ro de incógnitas excede o número de equações de uma unidade.
Logo, o sistema é indeterminado.
Entretanto, deseja-se encontrar uma solução não tri -
vial para o fluxo, o que implica que os coeficientes não po
dem ser todos nulos para um determinado valor de meia espes
sura crítica ct^ = â ^̂ .
Para a solução não trivial, é necessário que o deter-
minante da matriz desses coeficientes seja nulo.
Esta condição possibilita a determinação de â ^̂ , En-
tretanto, este procedimento não ê conveniente na pratica ,
pois os cálculos envolvidos são, de modo geral, muito traba
Ihósos, Dessa forma, prefere-se empregar outro procedimento,
que, ê descrito a seguir.
Primeiramente, notarse que a magnitude da solução (flu
xo) para o reator depende da sua potência de operação, o que
introduz um grau de liberdade no sistema. Portanto, pode- se
normalizar arbitrariamente um dos coeficientes.
54
N r 1 r 1
Ç^eP,j « 1,2,...,N
3.36
N E d.
a = o = O 3.37
©a equação (3.37) explicita-se otĵ , resultando na seguin
te expressão:
a. In
N
(gas o d B !v ) a a o
N E d A (v^ ) _ a a o
3.38
V
«1
N
( i T Í)alo ^a^^^
1 ~ E d„ A„ ( v„)
a—o
3.39
Como c > 1, decorre que o autovalor ê imaginário ,
portanto,
3.40
que introduzido- na expressão (3.39) e após algumas passagens
algébricas chega-se, finalmente, à seguinte expressão:
r ; N E T I T U P E S O U E"S E \ E P
I P P M É S E N U C L E A R E S
° 1 ir V
N T ã B (v )
> _ a a o . 0 ,
N
a=o
3.41
üm processo iterativo entre o sistema de equações
(3.36) e é efetuado, então, para a determinação da meia
espessura crítica â ^̂ .
56
4. DESENVOLVIMENTO DA TEORIA DO MËTODO F̂ ^ PARA O MODELO DE
DOIS GRUPOS
Como citado anteriormente, o método F̂ ^ ainda está em
fase de desenvolvimento e a teoria deste método para o mo-
delo de dois grupos é um dos campos em aberto para pesqui-
sa.
Neste Capítulo a teoria básica do método F^ no mode-
lo de dois grupos é desenvolvida.
Os conceitos básicos da teoria para o modelo de dois
grupos são semelhantes àqueles estabelecidos no modelo de
um grupo. Entretanto, no modelo de dois grupos, a complexl
dade é maior, devido aos seguintes motivos:
1. Os fluxos das interfaces são vetores logo hã um
maior número de incógnitas para uma dada ordem de aproxima
ção, o que implica na seleção de maior quantidade de auto-
valores Çj .
2. O critério de seleção dos autovalores Ç^ ê mais
complicado do que aquele para o modelo de um grupo, deven-
do-se distinguir dois intervalos (O, l/o) e (l/o,l), para
a escolha dos autovalores.
3. Como mostrado no Capítulo 3, para o modelo de um
grupo, obtém-se um sistema de equações lineares algébricas,
cujos coeficientes são funções de Ç^, nas quais estão con-
tidas as expressões logarítmicas de.A^{Çj)e B^ÍÇ^). As fun
57
ções A^(C) e B^(Ç) são contínuas em todo o intervalo Çe(0,l).
Analogamente, no modelo de dois grupos, chega-se tam -
bem a equações lineares algébricas, cujos coeficientes são
funções de Ç, nas quais estão contidos termos logarítmicos .
A partir dessas equações um sistema de equações lineares al-
gébricas ê montado, escolhendo-se autovalores no interva
lo (0,1) ( além dos autovalores discretos). Entretanto, es -
tas funções são expressas por formas analíticas diferentes
para os intervalos (O, l/o ) e (l/o, 1) , salientando-se que
são descontínuas para Ç = l/o . Além disso, algumas das fun-
ções referentes ao intervalo (l/o ,1) tornam-se singulares -
no limite de ç l/o , pela direita. Logo, neste intervalo,
(l/o ,1) , o autovalor Ç --l/o e os que lhe sejam muito prõ -
ximos devem ser excluídos da seleção.
A seguir um problema simples é considerado, através do
qual a teoria do método Fj^ no modelo de dois grupos de ener-
gia é desenvolvida.
Para isto, o sistema dado no segundo problema do Capí -
tulo 3, é considerado novamente neste Capítulo, ou seja, de -
terminação da meia espessura crítica â ^̂ de uma placa plana
infinita constituída de um material homogêneo e multiplicador.
Considera-se que as propriedades físicas desse material
sejam dadas e que o mesmo preencha a região-a^ £ x £ .
A equação de transporte no modelo de dois grupos(2.4.11)
ê reescrita como sendo:
58
3 X
para - O j £ x £ .
As condições físicas que a solução I(x,vi)= P ^]j;(X,M)
deve obedecer são:
- Inexistência de fluxo incidente em x = + a^.
- Simetria era relação ao plano x ° O, pois o material
da placa é homogêneo.
$(x,u) = 4;(-x,-y), ye(-l,l), 4.3
logo, fiO.M) (0,-y), ye(-l,l) 4,4
Tendó-se em vista a condição de simetria, pode-se con
siderar apenas o semi-espaço x > O para se encontrar a so
luçâo do problema.
A solução geral dada por (2.4.31) ê escrita novamente
para a placa:
K t (X,p) E [A ( ) $ (Vj^, y) exp (-x/Vj^) +A (-Vj^) * (-Vj^,y) exp (x/v^)] +
+ / ^ [ A { ^ ^ (V)^{^^ (v,y)+ A ] ^ ^ (v)$j^^ (v,y)]exp(-x/v)dv +
J ^ À ^ 2 ^ (v)$^2Mv,y)exp(-x/v)dv, ye(-l,l) 4.5
Incorporando-se a condição de simetria (4.4) na
59
expressão (4.5) para x = 0^e utilizando-se a propriedade pa
ra autofunçoes (2.4.39), tem-sej
K l/o r [A(Vj^)$(v,^,y)-9-A(-Vjç)$(-v^,v)]+|Q '^[A^^Nv)$|^^ (v,y) + = 1 1
K ^ , íl/o
k
+ /^^""[A}^^ (-v,y)+A^^^ {-vy^^^^ (-v,ii)]dv +
+ li, A^^^ ( v ) t ^ ^ ^ ( v , y ) d v +
1 K + ( - v ) $ ^ ^ ^ ( - v , v ) d v=^E ^ f A ( V j^)n - V j ç » y í + A ( - v ^ ) M V j^,u)] +
+ J ^ ^ ^ [ A | ^ ^ ( v ) ^ | ^ ^ (- v,v) + A ^ ^ ^ (V) ^ ( - v , p ) 1 dv +
-•o
+ A^^^ (v)̂ ^̂ (-v,M)dv+ í}yh^^U'V)^^^Uv»v)àv, ye(-l,l) •'l/o "
4.6
Aplicando-se as relações de ortogonalidade de interva-
lo completo , (2.4.40) a (2.4,42), na equação (4.6) , ou se-
ja , multiplicando-se cada termo por yX(Ç ,y) ou yX(-f,u) pa-
ra Ç « Vj, ou ve(0,l), e integrando-se sobre ue(-l,l), ob -
têm-seI
A(Ç) = A(-Ç), Ç = ou ve(0,l) 4,7
Portanto, aplicando-se a expressão (4,7) na solução da
da pela expressão (4,5), obtêm-se para x =» ,
60
4»(a,,M) » E A(Vj^) [MVj^,y)exp(-ayvj,)H(-Vj^,y)exp(a,/Vj,),] + k=l
-¥ A^^Nv) [$^^Nv,y)exp(~ax/v)+^^^M-v,y)exp(ai/v)ldv +
1/a
l/o
+ J A{^NV)[(|»|^^ (v,y)exp(-aj/v) + (-v,y)exp(oi/v)ldv +
+ |^'^'^AJ^Nv)f¿^^^ {v,y)exp(-aj/v) + ^^^N-v,y)exp(a/v)}dv o
4.8
A meia espessura crítica a^^ é agora procurada através
do método .
Aplicando-se as relações de ortogonalidade de interva-
lo completo (2.4.40) a (2.4.42) na equação (4.8) , obtém -se*.
j[^yX(Ç,y)|{»(a, ,y)dy =» A(Ç) N (O exp {-a,/Ç) , 4.9
j^yX(-Ç,y)4í (ax/y) dy •= A(-Ç)N (-Ç)exp(aa/Ç) , 4.10
onde os símbolos X(Ç,y), A(Ç) e N(Ç) representam generaliza
ções dos autovetores, coeficientes de expansão e fatores de
normalização, respectivamente, daqueles representados para
Ç = , C = ve(0,l/o)e Ç = V€(l/o,l).
Como A(Ç) = A(-Ç) , conforme (4.7) , e N(-Ç) = -N(Ç) ,
conforme (2.4.54), das equações (4.9) e (4.10) obtém-se:
61
j];ĵ yX(Ç,M)]||(ai ,y)dv + E^iO J^j^yX (-Ç ,y) (ai ,y) dy = O, 4.11
onde novamente , E^^ÍÇ) exp(-2ai/Ç).
Desdobrando-se cada integral em duas cora intervalo de
integração para y igual a (0,1) , e incorporando-se a condi-
ção física (4.2) chega-se às seguintes equações para C ^'j^,
Ç = ve(0,l/a) e Ç= ve(l/o,l).
j¿ pX(v,^,y)$(ai,y)dy + E^ív,,) J¿MX(-Vj^,y))j|(a, ,y)dy = ©
4.12
{\),M)^(a ,y)dy+ E, (v) í^yx;^'(-v,y)(j;(oi ,y)dy=0,a= 1,2
4.13
JJyX^2Nv,u)$(a» ,v)dy + Ej^ (v)/^yX^^N-v,y)iji (oj ,y)dii = O
4.14
fi conveniente exprimir-se as equações (4.12) a (4.14)
em termos dos autovetores MÇ,y) em todo o desenvolvimento
que segue. Para isto , substitui-se nessas equações as
expressões dos autovetores ortogonais (2.4,43) a (2.4.46) ,
qua gãô escritas a seguir:
X(+ v^,y) = $ ( + Vj^,y) 4.15
x|^Mv,y) = N3^(v)|j|^^ (v,y) - Nj2^^^*2^^ ^'^^
X^^>(v,y)=N^^(v)$^l>(v,y) - (v) ̂ ^«^^ (v ,y) 4.17
62
4.18
Dessa maneira, substituindo-se (4.16) e (4.17) nas equa
ções dadas por (4.13) para a = 1 e a = 2 respectivamente, ob-
tém-se:
N 2 2 ( v ) [ J ^ (u,y)tí;(a, , y )ày+E^(v )J"Jy N - v , y ) $ ( a í , y)dy]-
-^12^"^^ jjOHt'^ ( v , y ) H a i , y)dM+E^ ( v ) j^4>2^^ (-v,ij)i)j(ai ,y)dyj= O,
ve(0, 1/0) 4.19
-N2j^{v) tjo^í{^' ( v , i i ) t ( a i , y ) d y+E^ ( v ) j ^ y $ | ^ ^ {-v,M)f{(x^ , y ) à y ] +
+Nj^j^(v)y^ $2^^ (v,y)!j|(ai ,u )dy+Ej^(v)jJy$^^^ (-v,y)|^(oti , y ) d y j=0,
v e(0 , l / a ) 4.20
Nota-se que estas duas expressões podem ser representa
das na seguinte forma matricial;
-»21 (v) Hĵ iCv)
flvl[^^ ( v , p ) $ { i i , ,ii)dM+E (̂v)/Jy^}^^ (-v,p)|í;(a, ,u)dy
IIH2^^ (v ,p )$(a i ,u )dv+Ei (v>/Jy$í^' {-v ,v) J í a » ,v)dy
0
4.21
63
O determinante da matriz que contém os elementos
Nj^j(v), 1= l,2,j=l,2, de modo geral, não é nulo. Logo -
segue que:
io^ía^^ (v,ii)|i|(aa ,y) du+E^ (v)J¿y$¿-^' (-v,y)j||(aí ,n) dy«0 ,a=l ,2 1 .1(1)
4.22
Esta expressão representa as duas equações válidas pa
ra Ç =ve{0,l/a).
De forma análoga, substituindo-se (4.15) e (4.18) nas
equações (4.12) e (4.14), respectivamente, obtéra-se:
/¿yf (Vj^,íi)ij;(a, ,y)dy+Ej, (Vjç)/^y$(-v^,y)i(»(aí ,y)dy = O 4.23
J^y$^^Nv,y)ij|(ai,y)dy+Ej^(v)j¿$^^N-v,y)t(oij,y)dy = O 4.24 11(2)
Estas equações são válidas para Ç = Vj^ e Ç=ve{l/o,l )
respectivamente.
As equações (4.22) a (4,24) constituem as equações bá-
sicas do método F̂ î desenvolvido para o modelo de dois grupos.
A seguir, é proposto neste modelo, representar-se apro-
ximadamente, o fluxo angular na interface O j v c o m o sendo:
I(ai,y) = Z D.y^ , i=o~^
onde.
5i=
4.25
4.26
64
1 2 ~ sendo d^ e d^ os coeficientes da expansão nos grupos 1 e 2,
respectivamente,
Tem-se de ( 2 . 4 . 1 0 ) que ^{ai,]i) ~ P I ( a i , y ) , ou seja:
N
t|>(ai ,y) = P £ D.y-~ 1=0""̂
4 . 2 7
A expressão ( 4 . 2 7 ) ê substituída nas equações ( 4 . 2 2 ) a
( 4 . 2 4 ) , das quais , após algumas manipulações algébricas^re
sultam as seguintes equações:
N -
1=0" ~ 1=0 5i ° ' 4 . 2 8
N " ( 1 ) " ~ ( 1 )
Z B¡^1 (V)P + E,(V) I A;^'(V)P D^» O, 4 . 2 9
Z B)^^ (V)P + E,(V) Z A}^'(V)P i=o"^ ~ ^ 1=0"
5i" °' 4 . 3 0
onde foram introduzidas as seguintes definições;
A^(ÇJ 1 fl i + 1 ^ , V J
= V $(-Ç,y)dy 4 . 3 1
BJ(Ç)
BJ(0
4 . 3 2
Para i = O, A (Ç) e B (Ç) são calculadas diretamente
65
efetuando-se as integrais nas definições (4.31) e (4.32) res
pectivamente. Para i > 1, A^(Ç) e Bj^(Ç) são obtidas através
de A^_i(Ç) e B^_j^(Ç) .
Esses cálculos são efetuados, considerando-se os dois
grupos de energia e as três regiões possíveis para a seleção
dos autovalores, Ç =Vj, , Ç = ve(0,l/a)e Ç « VE(1/0,1). AS ex
pressões resultantes possuem estruturas analíticas diferen -
tes , de modo geral, üm formulário completo das expressões fi
nais é fornecido no Apêndice A.
As equações (4.28) a (4.30) podem ser representadas nu
ma forma genérica através da seguinte equação:
r N - N - 1 Z B. (Ç) P E. (Ç) E A. (Ç)P D.= O 4.33
i=o - 1 - 1 i^o"^ " -^"^
Efetuando-se o produto matricial de cada termo -
A^(Ç)P e Aj^(Ç)P , obtém-se o seguinte tipo de equação
linear algébricas
N N r p E \b} (Ç) + E, (Ç) Aj(Ç)]d^ + l [BJ(Ç)+E, (Ç)Aj(C)ldJ = O
1=0 ^ í •> 1. ^^Q- X i 1 J 1
4.34
onde,
P =V^21/ ' , 4.35 '12
eonforme definição de P era (2.4.9).
66
Nota-se na equação (4.34) que existem 2(N+1) coefi-
cientes di a serem determinados ( o dobro do número de coe
ficientes considerados no modelo de um grupo para o mesmo
reator), que juntamente com ai(implícita na exponencial )
formam 2(N+1)+1 incógnitas.
O processo nvimêrico de solução ê totalmente análogo -
ao considerado para o modelo de um grupo,no Capítulo 3, ou
seja, consideram'^se 2(N+1) equações selecionando-se 2(N+1 )
autovalores , desmembra-se a primeira equação , da qual
explicita-se ai e em seguida efetua-se uma iteração entre ô ,
e o sistema de equações remanescente» determinando-se, assim
O nú@ero e os valores dos autovalrea selecionados nos
intervalos (O,l/o) e (l/o, 1) são arbitrários. Entretanto ,
emalogcunente ao modelo de \an grupo, o critério de escolha -
exerce influência sobre os resultados numéricos obtidos. Al-
gumas opções de escolha sao discutidas na secção de resulta-
dos numéricos do modelo de dois grupos, no Capítulo 7.
Em princípio, os números de autovalores escolhidos nos
intervalos (O, l/o) e (l/a,l) satisfazem a seguinte relação
de igualdade:
Numero de equações = 2(N+i) = K + 2mj + m2 4.36
onde,
K = número de autovalores discretos ( 1 ou 2) (que de-
vem ser considerados com primazia sobre os autova-
lores contínuos);
67
= número arbitrário de autovalores selecionados no
intervalo (0,l/o);
TOj = número arbitrário de autovalores selecionados no
intervalo (l/a,l).
O número m^ aparece duplicado em (4.36) devido a
existência de duas equações distintas para um mesmo autova-
lor selecionado no intervalo (O, l/a).
68
5. O PROBLEMA DE CRITICALIDADE PARA SISTEMAS COM TRÊS REGIÕES
NO MODELO DE UM GRUPO
O objetivo deste Capítulo ê aplicar o método aproximado
Fjj, no modelo de um grupo, para a solução do problema de cri
ticalldade do sistema tipo placa plana, composto por três re
gioes distintas: um cerne multiplicador, um "blanket" e um
refletor.
Dois casos distintos foram considerados para este proble
ma no que concerne âs dimensões da região refletora. Os ca-
sos considerados são:
1) A espessura do refletor é finita.
2) A espessura do refletor é infinita.
A formulação matemática do problema é elaborada inicial-
mente para o primeiro caso, uma vez que a segunda configura-
ção é um caso particular, podendo ser derivado do primeiro
fazendo-se, no limite, a espessura do refletor tender ao in-
finito.
5.1 - Sistema Crítico ccxn Refletor Finito
éòrisidera-se aqui o sistema constituído de uma placa de
material multiplicador (meio 1, ĉ ^ > 1) ocupando a r e -
gião - ài < x< Oi , um "blanket" de espessura oa( meio 2 ,
Cj < 1 ) ocupando a região a» £ |x |< (3 e um material refle-
tor de espessura a, (meio 3, C3 < 1 ) ocupando a região
69
B £ ! X i £ Y, confonne mostra a Figura 5.1.1, sendo os
tris materiais homogêneos.
O problema em questão consiste em se determinar o va-
lor da meia espessura da placa multiplicadora para que exis
ta \ima solução estacionária não trivial, ou seja, deseja-
se, determinar o valor de a,, para o qual o sistema seja
crítico.
A equação de transporte (2.3.5) é reescrita para os
tris meios como sendo:
^ (x,ii)+ ij;, (x,y) = — i l . (x,yMdii' , 5.1.1 3x . 2 * -1
onde:
2. = 1 , -CXj < X <
i = 2, a j < x < B
I , = 3 , P < x < Y
As condições físicas que a solução ij/̂^ (x ,y) deve obede-
cer são:
- Condição de simetria em relação ao plano x " O
i|;̂ (x,y) = (|;ĵ (-x,-y) , ye(-l,l) 5.1.2
Portanto, pode-se considerar apenas o semi-espaço
X >^ O para se encontrar a solução do problema. Em x = O,
de (5.1.2), tem-se que:
70
(T) M e i o m u l t i j í l i e s d o r
0 " e i o n f e e í "
(3) M e i o r e f l e t o r
00 ®
sCOS
-8
-EO -00
-06. .)
-co
PIE. 5.4.1 - GEOMETRÍA 00 PROSLEM/̂
I INSTITU C Vf C U R É IC S E N U C L E A R E S I I C3 q fvl
71
iPj{0,y) =({/,(0,-y) , vie(-l,l) 5.1.3
- Condição de continuidade dos fluxos nas interfaces
entre dois meios materiais.
if), ( Oj ,y) =ijíj{aj,y) , ye(-l,l) 5.1.4
tjíB^y ) = (B,y ) , yE(-l,l) 5.1.5
- Inexistência de fluxo incidente na interface y.
^\,^[ y,- y) = O, ye{0,l) 5.1.6
A solução geral para a equação de transporte (5.1.1)
pode ser reescrita da equação (2,3.22), para cada região l,
como sendo:
(x,y)=Aj^ (Vj^)(í)^(Vj^,y)exp(-x/Vjj)+Aj^(-Vj^)4>£ (-v̂^ ,y)exp(x/\)¿) +
+ ií:iAjj(v)
72
A, (V ) = A. (-V.) 5.1.8 1 1 1 '
e,
A^( V) = A ^ ( - v ) , ve(0,l) 5.1.9
Assim a solução, para a região do meio 1, ê dada por :
ifî (x,y)=Aj^(Vj) ( V i ,M)exp(-x/vi)+j(-vi ,p) exp (x/vi)] +
+ A^ (v) [*i (v,y)exp(-x/v)+(})i (-v,vi)exp{x/v)] dv
5.1.10
As soluções para as regiões dos meios 2 e 3 são dadas
pela equação (5.1.7) com í, = 2 e 3, respectivamente.
A meia espessura critica do cerne é agora procurada -
através do método F̂ .̂
Aplicando-se as relações de ortogonalidade de interva
lo completo (2.3.25) a (2.3.27) na equação (5.1.10), para
X = Oi , obtém-se:
ĵy())i (Ç,y)t|íi (ai ,y)dy=A^(Ç)N^(Ç)exp(-a»/0 ,Çe Pĵ , 5.1.11
ií:;̂ y4'j(-Ç,y)'{'i (aj ,y) dy=A3^ (Ç)N^ (-Ç)exp(ai/Ç) ,ÇeP2^ ' 5.1.12
onde Pj^ representa o conjunto de autovalores positivos Ç,
tal que, Ç = v̂ ^ ou ve (0,1).
73
Como pode ser observado de (2.3.28) e (2.3.29),
= - N(Ç), logo obtém-se de (5.1.11) e ( 5.1.12) a
seguinte equação.
j^^U(|)^ (Ç,y)i!.i (ai ,y)dy+E^(Ç)/^^U, (ttj ,ia)du = O
5.1.13
onde, Ej^(Ç)= exp(-2ai/Ç) , conforme considerado no Capítu-
lo 3.
De forma análoga ao que foi efetuado nas equações
(3.8) e (3.9) do Capítulo 3, desdobra-se cada integral em
outras duas com intervalos de integração definidos pelos li
mites (0,1) , obtendo-se:
Vi j {-Ç ,y) tí/j (aj ,-u) dy +
+ E^(Ç) /Jyi (C , y) t» (ot, ,-y) dy=0
5.1.14
que é a equação para o cerne do sistema.
Pelo fato dos fluxos angulares serem contínuos nas in
terfaces, omite-se de ora em diante, o índice representa -
tivo dos mesmos, assimj
t|;(a^,y) = «1̂^ (a^ ,y) = tp̂^ (a, ,y) 5.1.15
^(B,y ) = i>^(B,M ) = t})3(B,y ) 5.1.16
Aplicando-se agora as relações de ortogonalidade na
74
equação (5.1.7) com í. = 2 , para cada interface x = Oj e
X = B, obtém-se:
(Ç,y)'('(cij ,vi)du= A j í a W j í r j e x p í - a / Ç ) 5.1.17
i^j^y(^^{C,y).{
75
5 . 1 . 2 4
que são as duas equações para a região do "blanket ".
Através de tratamento matemático cuiálogo ao efetuado pa
ra as regiões do cerne e do "blanket", obtém-se as seguin -
tes equações para a região do material refletor:
- - / Q (C,y)ií'(Y,y)dM = O, 5 . 1 . 2 5
./^y(í)^(-Ç,y)ií»(B,y)dy - ./¿y*^ (Ç,y)t|;(6y)dy -
-E^(OJ^ yj(-ç,y) y,)i)
7G
N c ^¡>{y,M) = E d ^ * ^ , ye (0,1) 5.1.31
Estas expansões substituídas nas equações (5.1.14) e
(5.1.23) a (5.1.26), e através de desenvolvimento analíti-
co análogo ao efetuado no Capítulo 3, fornecem o seguinte
sistema de 5(N-^l) equações lineares algébricas:
? d^[Bj(Ç.)-HE^(Ç.)Aj(Ç.)J- ? d^[Aj(Ç.)+E^(Çj)B^(Ç.)]= O
a=o a=o 5.1.32
ÇjeP^, j = O ,1,... , N,
M r d j E^it, )bI(X^)- Í d2E-(Ç.)A2(Ç.)- Ç d ^ B2(Ç ) +
a 1 a • J a-o a 2 a J a=o a ct 3 a=o
^ 4 -) + l d X í ^ - í ) = O' 3 = 0 , 1 , . 5 . 1 . 3 3
a=o °' " J J ^
N 1 2 ^ 2 2 N 3 2
N 4 2 + Z d^E2(^)B;(Ç ) = O, Ç.e P,, j = 0,1,..., N
a=o J J J 5.1.34
?d3 E^U)B¡iF ) - E d ^ E 3 ^ S ^ \ ' ^ S ^ " ^ á«(Çj)Sa^^^j^= ^' a=o a=o ' -' a=o
Çj e P 3
Recommended