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IntegralAutores:
Sílvia Maria Medeiros CaporaleJoão Paulo Rezende
Karine Angélica de DeusColaboradores:
José Antônio Araújo Andrade Marielle Aparecida Silva
Uma ideia intuitiva do conceito de integral pode surgir de um procedimento simples, porém
engenhoso, desenvolvido por Arquimedes na Grécia Antiga.
O cálculo de áreas de figuras planas pode ser trivial, quando se trata de uma figura
conhecida como um quadrado, por exemplo.
O problema é que em diversas situações temos que calcular áreas de superfícies totalmente irregulares como essa que vocês vêem.
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?
?
? ??
???
?É possível fazer isso?
Arquimedes resolveu esse problema, aproximando a área da figura irregular à soma de áreas de figuras
conhecidas.
No nosso exemplo, utilizaremos o quadrado. Sobrepondo diversos quadrados sobre a figura dada, podemos dizer que
sua área se aproxima da soma das áreas de todos os quadrados inscritos na figura.
Mas parece que nossa
aproximação não é das melhores.
Porém, se reduzirmos o tamanho dos quadrados, podemos
perceber que a aproximação fica
um pouco, melhor.
Procedendo assim,
sucessivamente, pode-se obter
uma aproximação tão precisa quanto
se queira.
Procedendo assim,
sucessivamente, pode-se obter
uma aproximação tão precisa quanto
se queira.
Veremos adiante, o quanto esse procedimento pode nos ser útil para compreendermos a idéia
intuitiva de Integral definida. Mas antes, vejamos um exemplo que norteará nossas discussões.
Singapore Flyer, 165 metros de altura.
Diversas situações cotidianas podem ser descritas através de uma relação ou modelo matemático.
O ato de encontrar esse modelo, que pode ser uma equação ou uma função, se chama modelagem.
Imagine um carro, ao longo de uma estrada, se movendo com uma velocidade constante.
Sabendo que a velocidade é a taxa de variação da distância com relação ao tempo,
t
SVV m
Sabendo que a velocidade é a taxa de variação da distância com relação ao tempo,
podemos encontrar modelos, que descrevem a distância percorrida, analisando o comportamento da velocidade.
t
SVV m
Sabendo que a velocidade é a taxa de variação da distância com relação ao tempo,
podemos encontrar modelos, que descrevem a distancia percorrida, analisando o comportamento da velocidade.
t
SVV m
Isolando o ∆S, teremos:
tVS .
Suponha que esse carro esteja a uma velocidade constante de e viaja, com a mesma
velocidade, por .
Suponha que esse carro esteja a uma velocidade constante de e viaja, com a mesma
velocidade, por .
Nesse caso, qual seria a distância percorrida por este carro?
Suponha que esse carro esteja a uma velocidade constante de e viaja, com a mesma
velocidade, por .
Nesse caso, qual seria a distância percorrida por este carro?
Suponha que esse carro esteja a uma velocidade constante de e viaja, com a mesma
velocidade, por .
Nesse caso, qual seria a distância percorrida por este carro?
Tempo (s) 1 2 3 4
Velocidade (m/s) 20 20 20 20
Logo, a distância percorrida por esse carro:
tVS .
Vejamos o gráfico dessa situação...
Observe que a distância percorrida é exatamente
a área da figura sob o gráfico, logo:
? ??
??
? ??
???
?E quando a velocidade
não for constante?
É interessante analisarmos essa situação pois, normalmente os carros tem velocidades que variam de acordo com o tempo.
Voltemos ao nosso exemplo: Imagine que depois dos quatro
segundos, nosso carro aumente a cada instante de tempo sua
velocidade em
Tempo(s)
1 2 3 4 5 6 7 8
Velocidade(m/s)
20 20 20 20 24 28 32 36
Tempo (s)
1 2 3 4 5 6 7 8
Velocidade(m/s)
20 20 20 20 24 28 32 36
Assim, a velocidade entre4 e 8 segundos será dado pela
expressão:
Vejamos o gráfico dessa situação...
Observe que a distância percorrida é exatamente
a área da figura sob o gráfico, logo:
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? ??
???
? E se carro frear?
O quê irá acontecer?
? ??
??
? ??
???
?
Como calcular a distância percorrida,
ou seja, como determinara área sob o gráfico?
Área de um polígono inscrito.
Isto nos sugere fazer tender a largura dos retângulos a zero e assumir a área sobre o gráfico
como um valor limite da soma das área .
Vejamos:
Seja o número de subintervalos que dividimos
,ou seja , para nosso caso.
Dessa forma, a largura dos retângulos é dado por:
Podemos aumentar cada vez mais a quantidade de
subintervalos (n)
e assim, teremos que a área será o limite das
aproximações daárea
quando os subintervalos (n) crescem sem parar.
Logo, a área sob a curva é dada por:
Integral definida
Resolver a Integral definida acima é encontrar uma função F(x) cuja derivada resulta na f(x), e substituir em F(x), x = b
e x = a.
Voltemos a situação-problema do carro:
Sabe-se que o espaço percorrido é dado pela área sob a curva é essa por sua vez é calculada por:
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