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8/6/2019 Introducao Sinais
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UNIVASFUNIVASF
An An á álise de Sinais e Sistemaslise de Sinais e Sistemas
Prof. Rodrigo Ramos
godoga@gmail.com
IntroduIntroduçção aos Sinaisão aos Sinais
8/6/2019 Introducao Sinais
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ClassificaClassificaçção de Sinaisão de Sinais
8/6/2019 Introducao Sinais
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Sinais geralmente transportam informações a respeito do
estado ou do comportamento de um sistema físico e,geralmente, são sintetizados para a comunicação entrehumanos ou entre humanos e máquinas
Sinais são representados matematicamente como funçõesde uma ou mais variáveis independentes
– Um sinal de voz pode ser representado matematicamentecomo uma função do tempo
– Um imagem fotográfica pode ser representadamatematicamente como a variação do brilho e da cor emfunção de duas variáveis no espaço
SinaisSinais
8/6/2019 Introducao Sinais
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Sinais Determinísticos
– Podem ser representados por uma função analítica• É possível determinar precisamente o valor do sinal em um dado
instante de tempo
• ex: f(t)=Acos(ωot), onde A e ωo são constantes
Sinais DeterminSinais Determiní í sticos x Sinais Aleatsticos x Sinais Aleatóóriosrios
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (s)
A m p l i t u d e ( V )
Sinal Determinístico
8/6/2019 Introducao Sinais
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Sinais Aleatórios
– Sinal sobre o qual há incerteza antes de sua ocorrência. – Só podem ser representados por suas características estocásticas
(média, variância, autocorrelação etc)
• Não podem ser representados por uma função analítica (não é
possível determinar precisamente o valor do sinal em um dadoinstante de tempo)
• ex: f(t)=Acos(ωot), onde A é uma V.A. contínua Gaussiana• ex: f(t) é um sinal de voz
Sinais DeterminSinais Determiní í sticos x Sinais Aleatsticos x Sinais Aleatóóriosrios
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Tempo (s)
A m p l i t u d e ( V )
Sinal Aleatório - Voz
8/6/2019 Introducao Sinais
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Sinais em Tempo Contínuo
– Definidos ao longo de todos os instantes de tempo num intervalopossível de valores. Portanto, podem ser representados por umavariável independente contínua
• x(t ) onde t pode assumir qualquer valor real
Sinais em Tempo Discreto – Definidos apenas em instantes distintos do tempo num intervalo
possível de valores. Portanto, podem ser representados por umavariável independente discreta
– São matematicamente representados como sequências denúmeros
• x[n] onde n ∈ ...-3,-2,-1,0,1,2,3...
– Normalmente são derivados de sinais em tempo contínuo atravésdo processo de amostragem
Tempo ContTempo Contí í nuo x Tempo Discretonuo x Tempo Discreto
8/6/2019 Introducao Sinais
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Sinais Analógicos
– Variação contínua da amplitude – Número infinito de símbolos
Sinais Digitais – Variação discreta da amplitude
– Número finito de símbolos
– Maior imunidade ao ruído e distorção do canal
– Regeneração do sinal empregando repetidores (TX noise free)
– Codificação• Multiplexação de sinais digitais é mais simples e eficiente
Sinais Digitais x Sinais AnalSinais Digitais x Sinais Analóógicosgicos
1-1
8/6/2019 Introducao Sinais
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Sinais Digitais x Sinais AnalSinais Digitais x Sinais Analóógicosgicos
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sinal Analógico
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sinal em Tempo Discreto
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2
-1
0
1
2
3
4
Sinal Digital
Sinal Contínuoem Amplitude e
no Tempo
(Sinal Analógico)
Sinal Contínuoem Amplitude e
Discreto no Tempo
Sinal Discretoem Amplitude e
no Tempo
(Sinal Digital)
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Tempo-Contínuo x Tempo-Discreto
– O termo discreto significa quantização no tempo Analógico x Digital
– Digital significa quantização na amplitude
Um processador de sinais digitais (DSP) é um sistemadigital em tempo discreto – Um DSP é adequado para implementação de filtros digitais LTI
Tempo ContTempo Contí í nuo x Tempo Discretonuo x Tempo Discreto
8/6/2019 Introducao Sinais
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f ( t )
na er co
Sinais Periódicos – Apresentam uma repetição de seus valores de amplitude a
intervalos regulares de tempo – Satisfazem a condição:
• f (t ) = f (t + kT0), para todo t
• Onde, T0 é o período fundamental de repetição e k é um no inteiro
• De forma equivalente, f0 = 1/T0 é a freqüência fundamental – A área sob qualquer intervalo de duração igual a kT0 é a mesma
• Integrar de 0 a T0 é equivalente a integrar de –T0 /2 a T0 /2
Sinais PeriSinais Perióódicos x Sinais Aperidicos x Sinais Aperióódicosdicos
To 2To
8/6/2019 Introducao Sinais
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Sinais Aperiódicos
– Não existe T0 que satisfaça a condição de periodicidade – Não apresentam um repetição de seus valores de amplitude a
intervalos regulares de tempo
Sinais PeriSinais Perióódicos x Sinais Aperidicos x Sinais Aperióódicosdicos
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
f ( t )
na per co
8/6/2019 Introducao Sinais
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Sinais Causais
– Definidos apenas para t>0 Sinais Não-Causais
– Definidos para t>0 e t<0
Sinais Anti-Causais – Definidos apenas para valores de t<0
Sinais Causais x Sinais NãoSinais Causais x Sinais Não--CausaisCausais
8/6/2019 Introducao Sinais
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Energia e Potência de Sinais (Tamanho do sinal)
– A energia e a potência de um sinal podem ser definidasconsiderando uma resistência normalizada de 1 Ω
– Deste modo, tem-se que a energia total e potência média de umsinal podem ser obtidas por:
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
dt t f E T
T T ∫
−∞→
=2 /
2 /
2)(lim
∫ −∞→
=
2 /
2 /
2)(
1lim
T
T T
dt t f
T
P
– Para sinais periódicos, a potência média do sinal é dada por:
∫ −
=
2
2
2)(
1 o
o
T
T o
dt t f
T
P
P = v2 / R
P = i2 . R
8/6/2019 Introducao Sinais
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Sinal de Energia
– Um sinal é dito de energia se 0 < E < ∞
Sinal de Potência – Um sinal é dito de potência se 0 < P < ∞
Regra geral – Sinais periódicos e os aleatórios são sinais de potência(power signal )
– Sinais determinísticos aperiódicos são sinais de energia(energy signal )
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
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Exemplo: Determinar as medidas adequadas para ossinais abaixo:
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
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Exemplo de Sinal de Energia
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
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8/6/2019 Introducao Sinais
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Sinais de Potência
– Duração infinita – Potência normalizada finita
e não-zero
– Energia média normalizada
sobre um intervalo infinitoigual a infinito
– Tratável matematicamente
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia Sinais de Energia
– Duração finita – Energia normalizada finita e
não-zero
– Potência média normalizada
sobre um intervalo infinitoigual a zero
– Fisicamente realizável
8/6/2019 Introducao Sinais
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Sinal Par – Um sinal x
e (t) é dito ser par se x
e (t) = x
e (-t).
– Um sinal par possui os mesmos valores para os instantes t e-t (simétrico).
Sinal Ímpar – Um sinal x
o (t) é dito ser ímpar se x
o (t) = -x
o (-t).
– O valor do sinal ímpar no instante t é o negativo de seu valorem -t (anti-simétrico).
Sinais Pares x SinaisSinais Pares x Sinais ÍÍmparesmpares
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Área – Sinais pares
– Sinais ímpares
Sinais Pares x SinaisSinais Pares x Sinais ÍÍmparesmpares
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OperaOperaçções Bões Báásicassicas
com Sinaiscom Sinais
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Multiplicação por escalar
– Modifica a amplitude do sinal original – Se x(t) for um sinal, uma mudança de escala é dado
pelo sinal y(t) = cx(t)
• Se c > 1 tem-se uma amplificação• Se 0 < c < 1 tem-se uma atenuação
OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais
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Escalonamento temporal – Modifica a duração do sinal original
OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais
O sinal f(2t) é f(t) comprimido porum fator de 2.
O sinal f(t/2) é f(t) expandido por umfator de 2.
Em geral:
- se f(t) é comprimido de um fatora > 1, o sinal resultante será f(at).
- se f(t) é expandido de um fatora > 1, o sinal resultante será f(t/a).
8/6/2019 Introducao Sinais
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Deslocamento Temporal – Realiza o deslocamento do sinal original sobre o eixo do tempo
– y(t) = x(t - T)
• Se T > 0 tem-se atraso no tempo
• Se T < 0 tem-se adiantamento no tempo
OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais
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8/6/2019 Introducao Sinais
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Tipos de SinaisTipos de Sinais
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Pulso Unitário com largura τ e amplitude 1/ τ
cuja área é unitária:
Pulso UnitPulso Unitááriorio
∫ ∞
∞−=1)( dt t p
τ
t
><
<<=
τ
τ τ τ
t out
t t p
0001)(
0 τ
pτ(t )
1/τ
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Um Pulso Porta Unitário tem largura ∆ e amplitude 1
Pulso Porta UnitPulso Porta Unitááriorio
τ/2−τ/2t
0
1
( )
>
<
=
20
21
τ
τ
t
t t ret
Nota: paraτ
= 1, a áreado pulso é unitária
τ
t ret
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Um Pulso Triangular Unitário tem base ∆ e altura 1
Pulso Triangular UnitPulso Triangular Unitááriorio
( )
≥
<−
=∆
2
0
221
τ
τ
τ
t
t t
t
0
1
t τ/2−τ/2
( )t ∆
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Idealismo matemático para um evento instantâneo
– Função Delta de Dirac• δ(t ) = 0 para t ≠ 0
• δ(0) é indefinida, mas tem área unitária:
• Caso limite do pulso retangular unitário:
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
∫
∞
∞−
=1)( dt t δ
( ) ( )t pt ε
ε
δ 0
lim→
=
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Principais Propriedades
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
∫
∞
∞−
=−⋅
)()()( oo t f dt t t t f δ
)(1
)( t a
at δ δ ⋅=
)()( t t −= δ δ
∫ ∞
∞−=1)( dt t δ
)()0()()( t xt t x δ δ = )()()()( T t T xT t t x −=− δ δ
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Operações com a função δ (t )
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
t
( )t δ
0
∫ ∞
∞−
=⋅ )0()()( f dt t t f δ ∫ ∞
∞−
=−⋅ )()()( oo t f dt t t t f δ
t
( )ot t −δ
0 t o
f (t) f (t)
f (0) f (t o)
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Pode-se simplificar δ (t ) sob a operação de integração
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
( ) ( ) ( )∫ ∞
∞−=⋅ 0 f dt t t f δ
( ) ( )∫
−
∞− =⋅
1
?dt t t f δ
O que resulta de
Resposta: 0
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Outros exemplos
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
O que ocorre nas vizinhanças da origem?
( )
( )
( ) ( ) ( )
∫
∫ ∫
∞
∞−
−−−−
∞
∞−
∞
∞−
−
=−
=
−
=
222
2
04
cos2
1
xt x
t j
edt t e
dt t
t
dt et
δ
π δ
δ ϖ
∫ −
∞−=
00)( dt t δ
∫ +
∞−=
01)( dt t δ
∫ ∞−
=0
?)( dt t δ
8/6/2019 Introducao Sinais
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Degrau Unitário
– A função degrau foi introduzida por Heaviside e é comumentereferida na matemática como função de Heaviside
Degrau UnitDegrau Unitááriorio
( )
>
<=
01
00
t
t t u
0
1
t
u(t )
Relação entre o Impulso Unitário e o Degrau Unitário
( )( )t
dt
t duδ =( ) ( )
<
>== ∫
∞−0001
t
t d t u
t
τ τ δ
8/6/2019 Introducao Sinais
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Se quisermos um sinal que comece em t = 0 , bastamultiplicá-lo por
u(t).
Por exemplo, e -at representa uma exponencial não-causal. Para obtermos sua forma causal, fazemose -at u(t)
Degrau UnitDegrau Unitááriorio
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Resumo de operações com o Degrau Unitário
FunFunçção Degrau Unitão Degrau Unitááriorio
t
u(t )
0
t
t
u(t - ∆)
∆
u(t + ∆)
-∆
t
u(-t )
0
t
t ∆
u(-t + ∆)
-∆
t -u(t )
0
t
t
-u(t - ∆) ∆
-u(t + ∆) -∆
t u(t) – u(t) u(t – 1) u(t + 1) u(– t – 1) u(– t + 1)
-2 u(-2)= 0 u(-2)= 0 u(-3)=0 u(-1)=0 u(1)=1 u(3)=1
-1 u(-1)= 0 u(-1)= 0 u(-2)=0 u(0)=1 u(0)=1 u(2)=1
0 u(0)= 1 u(0)= -1 u(-1)=0 u(1)=1 u(-1)=0 u(1)=1
1 u(1)= 1 u(1)= -1 u(0)=1 u(2)=1 u(-2)=0 u(0)=1
2 u(2)= 1 u(2)= -1 u(1)=1 u(3)=1 u(-3)=0 u(-1)=0
u(-t - ∆)
8/6/2019 Introducao Sinais
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Relação entre o Pulso Unitário e o Degrau Unitário
FunFunçção Degrau Unitão Degrau Unitááriorio
( )
−−
+=
22τ τ t ut ut ret
( ) ( ) ( )[ ]τ τ
τ −−= t ut ut p 1
Relação entre o pulso Porta Unitário e o Degrau Unitário
1
t
0
t
t
u(t - τ /2)
u(t + τ /2) - u(t - τ /2)
τ /2
1/ τ
t
u(t )
0
t
t
u(t - τ)
u(t ) - u(t - τ)
τ
u(t + τ /2)
-τ /2
8/6/2019 Introducao Sinais
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Função Sign
FunFunçção Sign (Sinal)ão Sign (Sinal)
( )
>
<−=
0101
sgnt
t t
0
1
t
sgn(t )
–1
8/6/2019 Introducao Sinais
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Relação entre a função Sign e o Degrau Unitário
FunFunçção Sign (Sinal)ão Sign (Sinal)
( ) ( ) ( )t ut ut −−=sgn
( ) ( ) 12sgn −⋅= t ut
1
t
u(t )
0
t
t
u(-t )
u(t ) - u(-t )
-1
8/6/2019 Introducao Sinais
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Função de Amostragem (Sampling)
– Função Par – Zeros em ±π, ±2π, ±3π, … – Amplitude decai proporcionalmente à 1/ x
FunFunçção de Amostragemão de Amostragem
0
1
x
Sa( x)
π −π 2π 3π −2π −3π
( ) x
x xSa
)sen(=
Em vários livros de comunicação (Lathi)
costuma-se usar a mesma definição
para as funções de amostragem (Sa) e
de interpolação (Sinc)
8/6/2019 Introducao Sinais
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Propriedades Básicas das Funções Senoidais
Sinal SenoidalSinal Senoidal
8/6/2019 Introducao Sinais
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Principais Identidades Trigonométricas
Sinal SenoidalSinal Senoidal
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