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Engenharia Civil – Campus Estoril

Geometria Analítica e Álgebra Linear – Problemas contextualizados – Professor: Luiz Carlos Fernandes

Questão 1) As grandes cidades brasileiras, principalmente as capitais, têm sofrido com o elevado

número de veículos circulando nas ruas. Se por um lado tivemos um aumento considerável na frota

de veículos, o planejamento urbano e os investimentos em infraestrutura não acompanharam o

crescimento da frota.

A ponte Rio-Niterói, também conhecida como Ponte Presidente Costa e Silva, inaugurada em

1974, se estende ao longo da Bahia da Guanabara ligando dois importantes centros urbanos do

estado. Com um comprimento de 13,29 km, a ponte liga a cidade do Rio de Janeiro ao município

de Niterói.

Fonte: CCR Pontes – disponível

Fonte: CCR Pontes – disponível em: http://www.ponte.com.br/

Com um fluxo de quase 200 mil veículos/dia a própria ponte já se encontra em vias de ser um

gargalo no trânsito da cidade.

Uma solução para evitar esse gargalo no trânsito seria uma saída/entrada alternativa para a ponte

Rio-Niterói, partindo da Via Elevada da Perimetral (ponto C no mapa) que, pela menor distância

possível, ligasse o continente à ponte. Suponha um sistema coordenado referenciado à figura acima

de tal forma que tenhamos 𝐴 −12,1 , 𝐵 0,0 e 𝐶 −8, −4 , com escala em 𝑘𝑚. Suponha que a

ponte liga os pontos 𝐴 e 𝐵 por uma reta.

O comprimento da nova ponte que, partindo do ponto 𝐶, ligasse o continente à ponte Rio-Niterói é,

em 𝑘𝑚, aproximadamente:

a) 3,89

b) 4,01

c) 4,65

d) 5,02

e) 5,19 Questão 2) A figura representa um galpão. Os números representam

as dimensões do galpão. Dadas as alternativas abaixo:

I - A equação do plano BCDG é 𝑦 + 12 = 0

II -BCDG ┴ EOAF

III – BCDG // ABGF

IV – A distância do ponto E ao plano BCDG é 12 .

É correto apenas o que se afirma em:

a) I e IV.

b) IV.

c) I

d) I, III, IV

e) II e III.

Questão 3)

Observe atentamente a figura. Ela representa um terreno após trabalhos de terraplenagem

Descrevendo matematicamente podemos afirmar que OABC é um quadrado de lado 25m, sendo O a origem

do sistema cartesiano, A um ponto do eixo x e C é um ponto do eixo y. Os pontos D, E, F, G, H e I estão em

uma mesma altura e são as extremidades de um platô. O ponto F tem coordenadas (25 , -15 , 20) e o ponto

D tem coordenadas (-10 , 25 , 20). As retas AO, FE e GH são paralelas, como também são paralelas as retas

OC, DE e IH.

Considerando as ideias do texto e utilizando o metro como unidade de medida nessa questão, avalie as

afirmações a seguir.

I. As coordenadas do ponto E são (-15 , -10 , 20)

II. A distância entre o ponto E e a origem é um pouco maior que 26,9m

III. O vetor (2 , 0 , 1) é perpendicular ao paredão OCDE

IV. Os paredões OAFE e OCDE são perpendiculares.

É correto apenas o que se afirma em

a) II

b) III

c) II e III

d) I e IV

e) I e II

Questão 4) Marcos trabalha no Aeroporto Internacional do Rio de Janeiro. Sua função é controlar o tráfico

aéreo na região próxima ao aeroporto onde, devido ao grande número de decolagens e aterrissagens, o risco

de colisão é muito maior. Durante um único turno de trabalho, Marcos deve analisar centenas de trajetórias

percorridas pelos aeroplanos que aparecem na tela do radar, à sua frente. Se os cursos de dois aviões se

aproximam perigosamente, Marcos deve avisar a um deles para alterar a sua rota. Para desempenhar sua

tarefa com sucesso, Marcos necessita conhecer com precisão, a rota percorrida por cada aeroplano e o

instante em que os aviões passam por cada ponto deste percurso. Analisando sua tela de trabalho, Marcos

percebe que o avião A está seguindo uma rota que é a reta de equação x = −12 + 5t e y = −30 + 8t;

enquanto o avião B segue outra rota reta, de equação x = 2 − t e y = −10 +2t. Quais são as coordenadas do

ponto de encontro das rotas desses aviões ?

a) ( 4,67 ; -3,32 )

b) ( 3,34 ; -4,67 )

c) ( 1,33 ; -8,67 )

d) ( -4,67; 3,32 )

e) ( -3,34; 4,67 )

Questão 5) Um bairro de uma cidade foi planejado em

uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares,

delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de

coordenadas cartesianas ao lado, esse bairro localiza-se no

segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em

quilômetros. A reta de equação 𝑦 = 𝑥 + 4 representa o

planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo

que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No

ponto 𝑃 = (−5,5), localiza-se um hospital público. A

comunidade solicitou ao comitê de planejamento que

fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua

distância ao hospital medida em linha reta, não fosse

maior que 5 km.

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê

argumentou que isso seria automaticamente satisfeito,

pois já estava previsto uma estação cuja saída fica no

ponto:

a) −5,0 b) (-3,2)

c) (-2,1)

d) (0,4)

e) (2,6)

Questão 6) Considere os planos 𝜋1: 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 4 = 0 e 𝜋2: 𝑘𝑥 + 4𝑦 + 4𝑧 + 7 = 0. O valor de k para

que 𝜋1 seja paralelo a 𝜋2 será:

a) k = 1/4.

b) k = 3/4.

c) k = 12.

d) Os planos não podem ser paralelos.

e) k = 2/5

Questão 7) O detonador de uma bomba está localizado no ponto P = (2, 1, 2). Para provocar a explosão,

acende-se a extremidade A = (2, 1, 1) de uma haste combustível paralela ao vetor )2,0,1(u

cuja

extremidade B toca o ponto inicial de um rastilho de pólvora retilíneo que termina no detonador. Sabendo

que o fogo se propaga com velocidade unitária na haste e no rastilho e que este está contido no plano

022: zyx , o intervalo de tempo (em segundos) entre o início do processo e a explosão é de

aproximadamente:

a) 2 e 3

b) 3 e 4

c) 4 e 5

d) 5 e 6

e) 6 e 7

Questão 8) Dois apaixonados por aeromodelismo

observam, em uma apresentação, as manobras

executadas por dois modelos A e B diferentes.

Considere que em um determinado período os

movimentos sejam retilíneos e uniformes. Além

disso, sabe-se que no instante 1t a aeronave B

ocupa a posição P = (1, 0, -2) e no instante

posterior 2t ela já se encontra em Q = (-2, -3, -5).

Além disso, a aeronave A, tem um movimento

descrito por )4,2,1()0,0,0( tX .

Analisando essa situação é correto afirmar que:

a) As trajetórias seguidas por A e B são reversas e, por esta razão, não há perigo de colisão.

b) As trajetórias seguidas por A e B são paralelas e, por esta razão, não há perigo de colisão.

c) As trajetórias seguidas por A e B são concorrentes, mas não há perigo de colisão, já que as

aeronaves não passam juntas pelo ponto de interseção.

d) As trajetórias seguidas por A e B são concorrentes e há colisão em C = (-1, -2, -4).

e) As trajetórias seguidas por A e B são concorrentes e há colisão em D = (-2, -4, -8).

Questão 9) A figura abaixo mostra a rota de dois aviões.

Da sala de controle do espaço aéreo de um aeroporto observam-se dois aviões. O primeiro avião está no

ponto A = (3 , -5 , 1) e segue a direção do vetor 𝑢 = (0,4 , 1,4 , 0,6). O segundo avião está no ponto B = (-4 ,

-4 , -2), seguindo a direção do vetor 𝑣 = (0,45 , 0,3 , 0,3). A unidade de medida usada é o quilômetro.

Nesse momento um alarme soa na sala do controle aéreo, indicando que esses aviões estão em rota de

colisão. Na realidade, se os aviões mantiverem a direção em que estão voando, eles poderão colidir no ponto

C. Determine as coordenadas do ponto C.

Questão 10) Um trecho de uma estrada de rodagem, contido em uma planície, passa sob um viaduto. Um

levantamento topográfico mostrou que, com boa aproximação, a planície pode ser representada pelo plano

0202045: zyx e o ponto mais baixo do viaduto pela reta )1,5,0()4,3,3(: Xr . A

unidade de medida adotada é o metro. Qual é a distância entre a estrada e o ponto mais baixo do viaduto ?

Questão 11) Observe a figura abaixo

Ela representa dois terrenos, um em formato triangular e outro na forma quadrangular.Considere que cada

unidade representada está expressa em quilômetros.

Uma empresa deve construir um cabo de fibra ótica que atravessará os terrenos, unindo os pontos

representados por C e D. Para isso terá que pagar R$ 2,50 por cada metro de cabo construído entre os pontos

A e B ao proprietário desse terreno, a título de autorização de construção.

Qual o valor total a ser pago nessa autorização de construção?