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7/23/2019 MA13_U04 - Desigualdade Triangular
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1
D e s i g u a l d a d e T r i a n g u l a r
S u m r i o
4 . 1 A d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r . . . . . . . . . . . . . . . 2
4 . 2 P r o b l e m a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
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U n i d a d e 4 A d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r
4 . 1 A d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r
O o b j e t i v o p r i n c i p a l d e s t a b r e v e s e o p r o v a r q u e , e m t o d o t r i n g u l o , o s
c o m p r i m e n t o s d o s l a d o s g u a r d a m u m a c e r t a r e l a o , d e s c r i t a n a P r o p o s i o 3 ) .
C o m e c e m o s , c o n t u d o , e s t a b e l e c e n d o u m a r e l a o e n t r e o s c o m p r i m e n t o s d o s
l a d o s e a s m e d i d a s d o s n g u l o s a e l e s o p o s t o s , a q u a l t e m i n t e r e s s e i n d e p e n -
d e n t e .
P r o p o s i o 1 S e
ABC u m t r i n g u l o t a l q u e
B > C, e n t o
AC > AB.
D e m o n s t r a o
C o m o
B > C, p o d e m o s t r a a r ( c f . F i g u r a 4 . 1 ) a s e m i r r e t a
BX, i n t e r -
s e c t a n d o o i n t e r i o r d e ABC
e t a l q u e CBX = 1
2( B C)
. S e n d o P
o p o n t o d e
i n t e r s e o d e
BXc o m o l a d o
AC, s e g u e d o t e o r e m a d o n g u l o e x t e r n o q u e
A P B = CBP + B CP =1
2( B C) + C =
1
2( B + C).
M a s , c o m o A BP = B 1
2( B C) = 1
2( B + C)
, s e g u e q u e o t r i n g u l o ABP
B C
A
P X
F i g u r a 4 . 1 : o r d e m d o s l a d o s e n g u l o s d e u m t r i n g u l o .
i s s c e l e s d e b a s e BP
. P o r t a n t o ,
AB = AP < AC.
C o r o l r i o 2
S eABC
u m t r i n g u l o t a l q u e
A 90, e n t o
BC s e u m a i o r l a d o .
E m p a r t i c u l a r , n u m t r i n g u l o r e t n g u l o a h i p o t e n u s a o m a i o r l a d o .
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U n i d a d e 4 D e s i g u a l d a d e T r i a n g u l a r
D e m o n s t r a o
B a s t a o b s e r v a r q u e , s e
A 90 , e n t o A o m a i o r n g u l o d e ABC, d e
m o d o q u e BC
, p e l a p r o p o s i o a n t e r i o r , o m a i o r l a d o .
A p r o p o s i o a s e g u i r c o n h e c i d a c o m o a d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r .
P r o p o s i o 3 E m t o d o t r i n g u l o , c a d a l a d o t e m c o m p r i m e n t o m e n o r q u e a s o m a d o s
c o m p r i m e n t o s d o s o u t r o s d o i s l a d o s .
D e m o n s t r a o
S e j a ABC
u m t r i n g u l o t a l q u e AB = c
,AC = b
eBC = a
. M o s t r e m o s
q u ea < b + c, s e n d o a p r o v a d a s d e m a i s d e s i g u a l d a d e s t o t a l m e n t e a n l o g a .
M a r q u e ( c f . F i g u r a 4 . 2 ) o p o n t o D
s o b r e a s e m i r r e t a
CAt a l q u e
A CDe
AD = AB .
B C
A
D
F i g u r a 4 . 2 : a d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r .
U m a v e z q u e
CD = AC + AD = AC + AB = b + c,
p e l a P r o p o s i o 1 s u c i e n t e m o s t r a r m o s q u e B DC < D BC
. M a s , d e s d e q u e
B DA = D BA, b a s t a o b s e r v a r m o s q u e
B
DC = B
DA = DBA < D
BA + A
BC = D
BC.
S e n d o a
,b
ec
o s c o m p r i m e n t o s d o s l a d o s d e u m t r i n g u l o , s e g u e d a d e -
s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r q u e
a < b + c, b < a + c, c < a + b.
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U n i d a d e 4 A d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r
R e c i p r o c a m e n t e , d a d o s s e g m e n t o s c u j o s c o m p r i m e n t o s a
,b
ec
s a t i s f a z e m a s
d e s i g u a l d a d e s a c i m a , n o d i f c i l p r o v a r q u e s e m p r e p o s s v e l c o n s t r u i r m o s u m
t r i n g u l o t e n d o t a i s s e g m e n t o s c o m o l a d o s .
T e r m i n a m o s e s t a s e o c o l e c i o n a n d o d u a s c o n s e q u n c i a s i n t e r e s s a n t e s d a
d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r .
E x e m p l o 4
S eP
u m p o n t o s i t u a d o n o i n t e r i o r d e u m t r i n g u l o ABC
, e n t o :
( a ) P B + P C < AB + AC.
( b )P A + P B + P C < AB + AC + BC.
D e m o n s t r a o
( a ) P r o l o n g u e a s e m i r r e t a
BPa t q u e a m e s m a e n c o n t r e o l a d o
ACn o p o n t o
Q( c f . F i g u r a 4 . 3 ) . A p l i c a n d o a d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r s u c e s s i v a m e n t e a o s
t r i n g u l o s CP Q
eABQ
, o b t e m o s
P B + P C < P B + ( P Q + CQ) = BQ + CQ
< ( AB + AQ) + CQ = AB + AC.
B C
A
QP
F i g u r a 4 . 3 : c o n s e q u n c i a s d a d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r .
( b ) A r g u m e n t a n d o d e m o d o a n l o g o p r o v a d o i t e m ( a ) , t e m o s
P A + P B BC
. D a d o u m
p o n t o P
n o i n t e r i o r d e ABC
, p r o v e q u e P A + P B + P C < AB + AC.
( S u g e s t o : t r a c e , p o r P
, o s e g m e n t o QR
p a r a l e l o a BC
, c o m Q AB
eR AC. E m s e g u i d a , u s e a P r o p o s i o 1 e a d e s i g u a l d a d e t r i a n g u l a r
p a r a p r o v a r q u e AP < AR
eBP + P C < B Q + QR + CR
. )
1 1 . ( U n i o S o v i t i c a ) . E m u m p a s , c e r t o d i a , u m a v i o p a r t i u d e c a d a c i d a d e
c o m d e s t i n o c i d a d e m a i s p r x i m a . S e a s d i s t n c i a s e n t r e a s c i d a d e s
s o d u a s a d u a s d i s t i n t a s , p r o v e q u e e m n e n h u m a c i d a d e a t e r r i s s a r a m
m a i s d e c i n c o a v i e s . ( S u g e s t o : s e , n a c i d a d e A, a t e r r i s s a r a m a v i e s
p r o v e n i e n t e s d a s c i d a d e s B
eC
, u s e a P r o p o s i o 1 p a r a c o n c l u i r q u e
B AC > 60 . E m s e g u i d a , u s e e s t e f a t o p a r a m o s t r a r , p o r c o n t r a d i o ,
q u e n o p o d e m o s t e r s e i s a v i e s a t e r r i s s a n d o e m u m a m e s m a c i d a d e . )
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R e f e r n c i a s B i b l i o g r c a s
[ 1 ] A K O P Y A N , A . V . e Z A S L A V S K Y A . A . ( 2 0 0 7 ) . G e o m e t r y o f C o n i c s . A m e r -
i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y .
[ 2 ] D E B A R R O S , A . A . e A N D R A D E , P . F . D E A . ( 2 0 0 9 ) . I n t r o d u o G e o -
m e t r i a P r o j e t i v a . S o c i e d a d e B r a s i l e i r a d e M a t e m t i c a .
[ 3 ] B A R B O S A , J . L . M . ( 2 0 0 4 ) . G e o m e t r i a E u c l i d i a n a P l a n a . S o c i e d a d e
B r a s i l e i r a d e M a t e m t i c a .
[ 4 ] B A R B O S A , J . L . M . ( 1 9 9 5 ) . G e o m e t r i a H i p e r b l i c a . I n s t i t u t o N a c i o n a l d e
M a t e m t i c a P u r a e A p l i c a d a .
[ 5 ] C A M I N H A , A . ( 2 0 1 2 ) . T e m a s d e M a t e m t i c a E l e m e n t a r , V o l u m e 1
.
N m e r o s R e a i s . S o c i e d a d e B r a s i l e i r a d e M a t e m t i c a .
[ 6 ] C O X E T E R , H . S . M . e G R E I T Z E R , S . L . ( 1 9 6 7 ) . G e o m e t r y R e v i s i t e d . T h e
M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a .
[ 7 ] H E A T H , T . L . ( 1 9 5 6 ) . T h e T h i r t e e n B o o k s o f E u c l i d ' s E l e m e n t s . D o v e r .
[ 8 ] H O N S B E R G E R , R . ( 1 9 9 5 ) . E p i s o d e s i n N i n e t e e n t h a n d T w e n t i e t h C e n t u r y
E u c l i d e a n G e o m e t r y . T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a .
[ 9 ] J O H N S O N , R . ( 2 0 0 7 ) . A d v a n c e d E u c l i d e a n G e o m e t r y . D o v e r .
[ 1 0 ] Y A G L O M , I . M . ( 1 9 6 2 ) . G e o m e t r i c T r a n s f o r m a t i o n s I . T h e M a t h e m a t i c a l
A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a .
[ 1 1 ] Y A G L O M , I . M . ( 1 9 6 8 ) . G e o m e t r i c T r a n s f o r m a t i o n s I I . T h e M a t h e m a t i c a l
A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a .
[ 1 2 ] Y A G L O M , I . M . ( 1 9 7 3 ) . G e o m e t r i c T r a n s f o r m a t i o n s I I I . T h e M a t h e m a t i c a l
A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a .
[ 1 3 ] Y A G L O M , I . M . e S H E N I T Z E R , A . ( 2 0 0 9 ) . G e o m e t r i c T r a n s f o r m a t i o n s I V .
T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a .
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