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MAT 146 - Calculo Diferencial e Integral I para Economia - 1◦ semestre de 2013
Registro das aulas e exercıcios sugeridos - Atualizado 15.6.2013
1. Segunda-feira, 4 de marco de 2013
Apresentacao do curso. Veja-se o arquivo relativo as informacoes do curso na minha pagina web
www.ime.usp.br/∼pluigi
***
Os principais sistemas numericos usados no curso: o conjunto N dos numeros naturais, Z dos numeros
inteiros relativos, Q dos numeros racionais e R dos numeros reais.
Definicao (intuitiva) de numero real: um numero real e um alinhamento decimal, limitado ou nao,
periodico ou nao, com sinal. Em R sao definidas duas operacoes, soma e produto e uma relacao de ordem.
A parte seguinte, em azul, e facultativa; pode ser pulada
Estas operacoes verificam as propriedades seguintes:
S1) Propriedade comutativa da soma: ∀a, b ∈ R, a+ b = b+ a;
S2) Propriedade associativa da soma: ∀a, b, c ∈ R, (a+ b) + c = a+ (b+ c);
S3) Existencia do elemento neutro da soma: ∀a ∈ R, a+ 0 = a e 0 e dito elemento neutro da soma;
S4) Existencia do oposto: ∀a ∈ R existe um elemento de R, −a, dito oposto de a, tal que a+(−a) = 0
(a+ (−a) = 0 pode ser escrito simplesmente a− a = 0).
Analogamente temos propriedade do produto:
P1) Propriedade comutativa do produto: ∀a, b ∈ R, ab = ba;
P2) Propriedade associativa do produto: ∀a, b, c ∈ R, (ab)c = a(bc);
P3) Existencia do elemento neutro do produto: ∀a ∈ R, a · 1 = a e 1 e dito elemento neutro do
produto;
P4) Existencia do inverso: ∀a ∈ R, a 6= 0, existe um elemento de R, 1/a, tal que a · 1/a = 1.
A propriedade distributiva liga soma e produto:
SP) ∀a, b, c ∈ R, (a+ b)c = ac+ bc.
As duas propriedades seguintes ligam a soma e o produto ao ordenamento:
OS) ∀a, b, c ∈ R, se a ≤ b, entao a+ c ≤ b+ c;
OP) ∀a, b, c ∈ R, con c > 0, se a ≤ b, entao ac ≤ bc.
Exercıcio 1. (feito em sala de aula) Nao existe nenhum numero racional cujo quadrado e igual a 2.
Dado un numero real a, definimos modulo (ou valor absoluto) de a numero nao negativo
|a| ={a se a ≥ 0
−a se a < 0.
Exercıcio 2. Provar as desigualdades triangulares seguintes: para todos a, b ∈ R,
|a+ b| ≤ |a|+ |b|, |a− b| ≥ |a| − |b|.1
2
Exercıcio 3. (feito em sala de aula) Determine o conjunto das solucoes da inequacao
|x− 4| ≥ x+ 2.
Exercıcio 4. Verdadeiro ou falso? (justifique)
(1) a soma de dois numeros irracionais e irracional;
(2) a soma de dois numeros racionais e racional;
(3) a soma de dois numeros um racional e o outro irracional e irracional;
Exercıcio 5. Prove que nao existe nenhum numero racional cujo quadrado e igual a 3.
Exercıcio 6. Sejam dados quatro numeros reais positivos a, b, c, d. Prove que
min{ab,c
d
}≤ a+ b
c+ d≤ max
{ab,c
d
}.
O sımbolo acima min{ab,c
d
}denota o mınimo entre
a
bec
d. Analogamente o outro.
Exercıcio. Resolver algumas das inequacoes seguintes.
7. x2 − 2x− 1 ≤ 0 8. 3x2 − x+ 2 > 0
9.x− 2
x+ 1>
1
x− 110.
x2 + x− 1
x2 − 2x+ 1≤ 1
2
11. x4 − 3
4x2 >
1
412. x2 ≤ 1
13.2
x+ 3 <
4
x− 1 14.
3
x2+ 1 ≤ x2 − 1
15.√x− 1 < x− 3 16.
√x2 + 2x− 1 > 3− x
17.√x− 1 <
√x 18. |x2 − 4x− 5| > −x
19.√−x < 5 + x 20. | − 6x+ 3| > −x+ 2
21.(2x− 1)(x+ 1)
x≥ 0 22.
x
|x|(1− x) ≤ 1 + x
23.
√2x+ 1
x2 − 4≤ 0 24.
√|x− 1| ≤ 2− x
Exercıcio 25. Dado um numero x ∈ R, a parte inteira de x, denotada por [x], e definida como o
maior numero inteiro menor ou igual a x. Por exemplo: [3/2] = 1, [4] = 4, [−3] = −3, [−9/10] = −1,
[π] = 3, [√
26] = 5, etc.
Prove que, dados x, y ∈ R quaisquer, temos [x+ y] ≥ [x] + [y].
Outros exercıcios:
Guidorizzi, pagg. 10-14, num. 1-23, faca alguns; pagg. 29-30, num. 1-12, faca alguns.
2. Quarta feira 6 marco 2013
Definicao de raiz n-esima. Dados um numero inteiro n ≥ 1 e um numero real nao negativo x, a
raiz enesima de x, em sımbolos n√x, e o numero nao negativo y tal que yn = x.
Teorema – Existencia e unicidade da raiz n-esima. (Sem demonstracao.) Dado um numero real
nao negativo x existe e e unica a raiz enesima de x.
3
Observacao: e facil ver que se x < 0 e n e par, nao existe a raiz n-esima de x. Por outro lado, se
n e impar, pode ser definida n√x = − n
√−x. Note que o termo n
√−x e a raiz definida acima, sendo −x
positivo.
Exercıcio 26. Provar que, dado x > 0, a raiz quadrada de x e unica (sugestao: usar a propriedade
que liga o ordenamento e o produto).
Dados a e b reais, definicao de intervalo de extremos a e b:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b},
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.O primeiro e dito fechado, o quarto e dito aberto. Intervalos ilimitados:
[a,+∞) = {x ∈ R : a ≤ x}, (a,+∞) = {x ∈ R : a < x},
(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}, (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}.Observacao: +∞ e −∞ nao sao numeros.
Definicao de funcao. Dados A e B conjuntos quaisquer, uma funcao f : A → B e una lei que a
cada elemento de A associa um e so um elemento de B.
A se chama domınio da funcao, B e dito contradomınio. O conjunto dos valores atingidos por f se
chama imagem de f , Im (f) ou f(A), ou seja:
Im (f) = {y ∈ B : existe x ∈ A tal que f(x) = y}.
Im (f) e um subconjunto do contradomınio (pode ser igual).
A funcao e dita injetora se, para todos a, b ∈ A, tais que a 6= b, temos f(a) 6= f(b). E dita sobrejetora
se Im (f) = B. Se f e injetora e sobrejetora e chamada bijetora (ou correspondencia biunıvoca).
Definicao. Dado um subconjunto E de R, uma funcao real e uma funcao f : E → R.
Exemplos.
(1) f : R→ R, f(x) = x.
(2) f : R→ R, f(x) =√x, nao e uma funcao. De fato, para cada x < 0,
√x nao existe.
(3) Pelo contrario, e bem definida a funcao f : [0,+∞)→ R, f(x) =√x.
(4) f : R→ R, f(x) = x2. Im (f) = [0,+∞).
(5) f : [0, 1] → R, f(x) = x2. O domınio e a imagem desta funcao sao diferentes dos aqueles do
exemplo anterior. Se duas funcoes tem domınios diferentes sao duas funcoes, ainda se possuem a
mesma lei.
(6) f : R→ R, f(x) =
{1/x se x 6= 0
0 se x = 0.
(7) f : [0, 4]→ R, f(x) =
{x+ 3 se 0 ≤ x ≤ 3
x2 − 5 se 3 < x ≤ 4.
E dito grafico de f o subconjunto de R2
G(f) = {(x, y) ∈ R2 tal que x ∈ E, y = f(x)}.
Exercıcios: dadas as funcoes seguintes, calcule a imagem dos conjuntos indicados ao lado
4
27. x3 + 2, (−1, 1) 28. x+ 3, [0, 5]
29. 2|x|, (−1, 3) 30. x2 + |x|, (−3, 2)
31. [x− 2]2, (−2, 2] 32. (difıcil) x(x− [x]), (−1,+∞)
No exercıcio acima [x− 2] e a parte inteira de x− 2.
Exercıcio 33. Uma funcao f : R→ R e chamada par se f(x) = f(−x), para todo x. E chamada impar
se f(x) = −f(−x), para todo x. Prove que x2 + 1 e par e quex3 − xx2 + 1
e impar.
Sejam A, B dois conjuntos, e f : A → B uma funcao dada. Dado um subconjunto C de B, e dito
imagem inversa de C o conjunto {x ∈ A : f(x) ∈ C}.
Dada f : E → R e dado um suconjunto B de E, a funcao g : B → R, definida por g(x) = f(x) para
todo x ∈ B e dita restricao de f em B, o sımbolo e f |B .
Se f : A → B e injetora, definimos a funcao inversa de f como a funcao g : Im f → A que associa a
cada y ∈ Im f o unico x ∈ A tal que f(x) = y. Neste caso f e tambem chamada inversıvel e a funcao
inversa e denotada, em geral, por f−1.
Observacao: cuidado em nao fazer confusao entre a imagem inversa (de um conjunto) que sempre e
um conjunto e a funcao inversa, quando existe, que e uma funcao. A notacao nao ajuda, sendo f−1 o
mesmo sımbolo para os dois conceitos.
Sejam duas funcoes f : A → R e g : B → R, tais que Im f ⊆ B. Definimos funcao composta
g ◦ f : A→ R, a funcao
(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Analogamente, se Im g ⊆ A, definimos f ◦ g : A→ R como (f ◦ g)(x) = f(g(x)).
Uma funcao f : E → R e dita monotona crescente (resp. estritamente crescente) se, para cada x1, x2em E, com x1 < x2, resulta f(x1) ≤ f(x2) (resp. f(x1) < f(x2)).
Uma funcao f : E → R e dita monotona decrescente (resp. estritamente decrescente) se, para cada
x1, x2 em E, com x1 < x2, resulta f(x1) ≥ f(x2) (resp. f(x1) > f(x2)).
Exercıcio 34. Estudar a monotonia das funcoes seguintes:
(1) f : R→ R, f(x) = x2,
(2) f : [2, 6]→ R, f(x) = x4,
(3) f : [0,+∞)→ R, f(x) =√x,
(4) f : (−∞,−2), f(x) =√−x,
(5) f [−5,−4] ∪ [1, 2], f(x) = 1/x.
Exercıcio 35. Desenhar os graficos das funcoes acima.
Exercıcio 36. Provar que a soma e de duas funcoes crescentes e uma funcao crescente. A composicao
de duas funcoes crescentes e uma funcao crescente? E o produto?
Exercıcios: dadas as funcoes seguintes, calcule a imagem inversa dos conjuntos indicados
ao lado
37. 2− x, (−10, 3] 38. x2 − x+ 3, (0, 5)
5
39.x
x− 2, R 40.
√|x− 1|, [0, 1]
41. [1 + x2], (1, 4) 42. sign (x2 − 2), (1/2, 2)
Escreva as composicoes f ◦ g e g ◦ f das funcoes seguintes, determinando os domınios das
funcoes obtidas
43. f(x) = x+ x3, g(x) = 3− x 44. f(x) = x2, g(x) =√x
45. f(x) =x+ 1
x− 1, g(x) = 2− x2 46. f(x) =
1
x2, g(x) = (
√x)2
47. f(x) =1 + x
x, g(x) = 2− x 48. f(x) = 2x, g(x) = 3x− 1
Escreva as funcoes seguintes como composicao de funcoes. (As composicoes obtidas
podem nao ser as unicas possıveis.)
49.x2√x2 − 1
50. x4
Determine, para cada funcao seguinte, o maior domınio onde e inversıvel.
51. f(x) =
{x+ 2 se 0 < x < 1
x+ 1 se 2 < x < 352. f(x) =
{x2 se − 1 < x ≤ 0
x− 1 se 1 ≤ x < 2
Exercıcio 53. Provar que uma funcao estritamente crescente ou decrescente e inversıvel. Se
f : A→ R e inversıvel, necessariamente e estritamente monotona? Procure exemplos.
Exercıcio 54. A funcao f : R→ R, definida como f(x) = x2 e invertıvel?
Exercıcio 55. A funcao f : R→ R, definida como f(x) = x3 e invertıvel?
Exercıcio 56. A funcao f : [−3,−2] ∪ [0, 1]→ R, definida como f(x) = x2 e invertıvel?
Exercıcio 57. A funcao f : R→ R, definida como f(x) =√|x| e invertıvel?
Exercıcio 58. A funcao f : [0,+∞)→ R, definida como f(x) =√x3 + x4 + 2 e invertıvel?
Outros Exercıcios:
Guidorizzi, pag. de 49 a 55, faca alguns.
Stewart, pag. 23 e 24, faca alguns dos exercıcios da cada grupo, a partir do num. 21 ate o fim. Pag. 47
e 48, faca alguns dos exercıcios entre 1 e 12; entre 35 e 53, e 59a
3. Sexta-feira 8 marco 2013
Exercıcio 59. (feito em sala de aula) Determine a imagem inversa f−1([1, 2]), onde f(x) =x+ 1
x2 + 1.
Observacao: Facam atencao: infelizmente o sımbolo “f−1” pode representar duas coisas bem difer-
entes: seja a imagem inversa de um conjunto (ou de um ponto), seja a funcao inversa de f (quando f e
inversıvel ou injetora, o que e a mesma coisa). No exercıcio acima podemos escrever
f−1([1, 2]) = {x ∈ R : f(x) ∈ [1, 2]}.
Uma outra famılia de funcoes sao as potencias com expoente racional. Se n e inteiro, n ≥ 1, sabemos
que existe e e unica a raiz n-esima de x (veja-se o teorema da pagina ??). Portanto e definida a funcaon√x. Se n e par, o domınio e [0,+∞), se n e impar, o domınio e R. A raiz n
√x pode ser denotada pelo
sımbolo x1n .
6
Dado um racional positivo qualquer, m/n, onde m e n sao primos ente si, e definida a funcao xm/n =n√xm, cujo domınio e [0,+∞) se n e par, enquanto e R se n e impar.
Dado um racional negativo, m/n, onde m,n ∈ Z sao primos ente si, e definida a funcao xm/n =1
x−m/n,
cujo domınio e (0,+∞) se n e par, enquanto e R\{0} se n e impar.
O leitor deve entender que a definicao acima e totalmente abstrata. Se a potencia com expoente inteiro
e positivo e simplesmente uma maneira de escrever mais rapidamente um produto de fatores iguais, a
potencia com expoente inteiro e negativo, ou mais em geral, racional (positivo ou negativo) ou com
expoente nulo nao sao produtos.
A razao que jusifica a definicao acima de ar, r ∈ Q, e a necessidade de definir uma funcao que verifique
as propriedades das potencias e que seja uma extensao do caso com expoente inteiro e positivo.
Observacao: para nao correr o risco de encontrar raizes com ındice par de numeros negativos, a
potencia ar sera definida (exceto casos muito particulares) geralmente com a positivo.
Resumindo, a potencia com expoente racional verifica as propriedades seguintes: para cada
1) a0 = 1;
2) ∀r ∈ R, 1r = 1;
3) ∀r ∈ R, ar > 0;
4) ∀r1, r2 ∈ R, ar1+r2 = ar1ar2 ;
5) ∀r ∈ R, (ab)r = arbr;
6) ∀r1, r2 ∈ R, (ar1)r2 = ar1r2 ;
7) ∀r1, r2 ∈ R, tali che r1 < r2: se a > 1 allora ar1 < ar2 , mentre se a < 1 allora ar1 > ar2 ;
8) ∀r ∈ R, r > 0, se a < b allora ar < br.
Lembramos que 0n = 0 se n e inteiro e positivo. Por outro lado a operacao 00 nao faz sentido.
Exercıcio 60. O leitor pode tentar dar uma justificativa do fato que 00 nao pode ser definido?
Exercıcio 61. E um interessante exercıcio para o leitor provar as propriedades 7 e 8 acima.
Observacao: A propriedade 7 quer dizer que a funcao f : Q → R, definida por f(r) = ar e estrita-
mente crescente se a > 1, estritamente decrescente se 0 < a < 1. A propriedade 8 quer dizer que a funcao
g : [0,+∞)→ R, definida por g(x) = xr, onde r e racional positivo fixado, e estritamente crescente.
A funcao ar onde a variavel e o expoente e a base e fixada se chama funcao exponencial, enquanto xr,
onde a base e variavel e o expoente e fixado, se chama funcao potencia.
As potencias com expoente racional podem ser estendidas as potencias com expoente real, da maneira
seguinte. Seja a ∈ R, a > 0 e seja b ∈ R. Por exemplo suponhamos a > 1. O numero b pode
ser representado em notacao decimal b = b0, b1b2..., onde b0 e inteiro e os bi, i ≥ 1, sao as cifras
decimais alinhadas (as cifras decimais podem ser finitas, ou seja, B pode ser racional, nao necessariamente
irracional). Sendo a > 1, a seqencia de numeros ab0 , ab0,b1 , ab0,b1b2 , ... etc. e crescente.
Poderia provar-se (nao entramos nos detalhes, nao e tao facil) que a sequencia acima ”tende”, quando
n crescer, para um numero real. Este numero real sera definido como ab.
A definicao de ab no caso 0 < a < 1e analoga, so que a sequencia de potencias considerada decresce.
Enfim, com o memso processo, chegamos a definir que 1b = 1.
Observacao: a funcao exponencial ax e estritamente crescente em R se a > 1 e estritametne decres-
cente se 0 < a < 1. Em ambos os casos e inversivel. Mais em geral, poderia provar-se que as potencias
com expoente real verificam todas as propriedades 1-8 acima (nao damos aqui a demonstracao).
7
Seja a positivo fixado e a 6= 1. A funcao inversa de ax e chamada logaritmo em base a de x. Sendo
(0,+∞) a imagem de ax (seja com a > 1 que com 0 < a < 1), o domınio do logaritmo e (0,+∞) enquanto
a imagem do logaritmo e tudo R porque o domınio de ax e R.
Exercıcio 62. O leitor refleta sobre o fato acima e prove entende-lo com clareza.
O sımbolo da funcao logaritmo e loga x
Exercıcio 63. Usando o fato que ax e estritamente crescente em R se a > 1 e estritamente decrescente
se 0 < a < 1, prove que loga x e estritamente crescente em (0,+∞) se a > 1 e estritamente decrescente
se 0 < a < 1.
O logaritmo satisfaz as propriedades seguintes que podem ser obtidas diretamente das propriedades
das potencias.
1) ∀a, x, y ∈ R, a > 0, x > 0, y > 0, segue loga(xy) = loga x+ loga y;
2) ∀a, x, y ∈ R, a > 0, x > 0, y > 0, segue loga(x/y) = loga x− loga y;
3) ∀a, x, α ∈ R, a > 0, x > 0, segue loga(xα) = α loga x;
4) ∀a, b, x ∈ R, a > 0, b > 0 x > 0, segue loga x = loga b · logb x.
Exercıcio 64. Prove as propriedades do logaritmo.
graficos de f(x) = ax e f(x) = loga x, con a > 1 e a < 1.
-
6
y = ax, a > 1 y = ax, a < 1
-
6 y = loga x, a > 1
y = loga x, a < 1
Observacao: observando o tipo de “curvatura” dos graficos acima, dizemos que, ax e uma funcao
convexa; o logaritmo e convexo se 0 < a < 1, enquanto e concavo se a > 1. As informacoes que temos
agora nao permitem esclarecer a razao destas afirmacoes. Precisa o conceito de derivada de uma funcao,
que sera introduzido depois.
As funcoes trigonometricas. Seja a circunferencia C do plano cartesiano, com centro na origem e raio
1, dita circunferencia trigonoometrica. Observando a figura, A e o ponto de coordenadas (1, 0) enquanto
P e um ponto qualquer em C. Movendo-se P sobre a circunferencia, o arco de extremos A e P no sentido
anti-horario, tem um comprimento entre 0 e 2π.
8
-
6
������
�����
AO
P
Chamo x este comprimento, portanto x ∈ [0, 2π]. Definimos o seno de x, senx, como a ordenada de
P , e o cosseno de x, cosx, como a abscissa di P .
O domınio pode ser estendido de [0, 2π] a R.
Outros Exercıcios:
Guidorizzi, pag. 66/7, faca alguns.
Stewart, pag. 23 e 24, faca alguns dos exercıcios da cada grupo, a partir do num. 21 ate o fim. Pag. 47
e 48, faca alguns dos exercıcios entre 1 e 12; entre 35 e 53, e 59a
4. Segunda-feira, 11 de marco de 2013
Em relacao a construcao das potencias com expoente real podemos dizer que a expressao 00 nao tem
significado. Isso porque queremos que a potencia ab mude ”com continuidade” se mudam a ou b.
Se olhamos 01/n, nao temos problemas em dizer que 01/n = 0 (simplesmente pela definicao de raiz).
Quando n tende para +∞, 1/n tende para zero. Portanto um valor coerente de 00 seria zero. Por outro
lado a0 = 1 para qualquer a > 0. Neste caso, como a0 fica constante igual a 1 mesmo quando a tende
para zero, um valor coerente de 00 seria 1. Como estamos vendo, nao temos possibilidade de definir 00
que esteja de acordo com as outras propriedades.
Seja agora E um subconjunto de R. Um numero real M e dito majorante de E se x ≤ M para todo
x ∈ E. Um numero real m e dito menorante de E se x ≥ m para todo x ∈ E.
Um conjunto E e dito limitado superiormente se admite pelo menos um majorante, enquanto e dito
limitado inferiormente se admite pelo menos um menorante. E dito limitado se e limitado superiormente
e inferiormente.
Se E e limitado superiormente definimos supremo de E, supE, o mınimo dos majorantes; se E e
limitado inferiormente definimos ınfimo de E, inf E, o maximo dos minorantes. Se E e ilimitado superi-
ormente escrevemos supE = +∞, se E e ilimitado inferiormente escrevemos inf E = −∞.
O maximo de um conjunto E e o elemento maior, se existe, enquanto o mınimo e o elemento menor,
se existe.
Um conjunto e dito finito se possui um numero finito de elementos.
Propriedade de continuidade de R (sem prova): um conjunto de numeros reais, limitado supe-
riormente (inferiormente) admite supremo (ınfimo) em R.
9
Q nao verifica a propriedade de continuidade. Verifique este fato como exercıcio. E uma consequencia
do fato que, por exemplo, nao existe nenhum racional cujo quadrado seja 2.
Exercıcio Determine o supremo e o ınfimo dos conjuntos seguintes e, se existem, o maximo e o mınimo.
65. (2, 3) 66. [0,+∞)
67. [−5, 1) ∪ (1, 4] 68. (0, 3] ∪ [3, 5]
69.
{1− 1
n, n ≥ 1
}70.
{1 +
1
n, n ≥ 1
}71. {x ∈ Q : x2 < 2} 72.
{2n
n2 + 1, n ∈ N
}Uma funcao e dita limitada (superiormente, inferiormente) se a imagem dela e limitada (superior-
mente, inferiormente). Neste caso o supremo (ınfimo) de f , sup f (inf f) e, por definicao, o supremo
(ınfimo) de Im f .
***********
As funcoes senx e cosx sao definidas em R com imagem igual ao intervalo [−1, 1]; sao periodicas com
perıodo 2π.
Consequencia imediata do teorema de Pitagora: sen 2x+ cos2 x = 1 para todo x ∈ R.
As formulas algebricas das funcoes trigonometricas podem ser provadas usando a ferramenta classica
da geometria euclidiana. Vamos lembrar algumas delas, sem prova.
Dados x, y ∈ R,
adicao:
sen (x+ y) = senx cos y + sen y cosx, cos(x+ y) = cosx cos y − senx sen y;
prostaferese
senx− sen y = 2 cosx+ y
2sen
x− y2
, cosx− cos y = −2 senx+ y
2sen
x− y2
.
Exercıcio 73. Determine sen 2x e cos 2x em funcao de senx e cosx (formulas de duplicacao).
Determine senx
2e cos
x
2em funcao de senx e cosx (formulas de divisao).
Uma outra funcao trigonometrica e a tangente:
tgx =senx
cosx,
definida quando o coseno nao e nulo; portanto o domınio e o conjunto{x ∈ R : x 6= π
2+ kπ, k ∈ Z
}.
Exercıcio 74. Provar que a tangente e periodica com perıodo π. Dica: use as formulas de duplicacao.
A funcoes trigonometricas nao sao invertıveis (porque sao priodicas). Porem, observamos que senx
e estritamente crescente em [−π/2, π/2]. Entao, a restricao de senx a [−π/2, π/2] e invertıvel. A sua
funcao inversa se chama arcoseno, arcsen : [−1, 1]→ R com imagem igual a [−π/2, π/2].
Analogamente, cosx e invertıvel em [0, π]. A sua funcao inversa se chama arcocosseno, arccos :
[−1, 1]→ R, com imagem [0, π].
10
A tangente e invertıvel em (−π/2, π/2). A sua funcao inversa se chama arcotangente, arctg : R→ R,
e tem imagem (−π/2, π/2).
graficos de f(x) = senx e f(x) = cosx.
-
6
y = senx
-
6
y = cosx
grafico de f(x) = tgx.
-
6
y = tgx
graficos de f(x) = arcsenx, f(x) = arccosx e f(x) = arctgx.
-
6
-
6
-
6
Exercıcio 75. Desenhe o grafico de f(x) = [2x+ 1] (parte inteira).
Exercıcio (difıcil) 76. Desenhe o grafico de f(x) = 1 + 2
[x
1 + x2
](parte inteira).
Exercıcios. Diga se as funcoes seguintes sao periodicas. Se sim, encontre o perıodo.
77. x cosx, 78. 6 sen 2x,
79. 1 + tgx, 80. sen (x2),
81. 4, 82. [x],
83. cos 4x, 84. sen (3x).
Exercıcios. Diga se as funcoes seguintes sao pares ou impares.
11
85. x2 + 1, 86.senx
x,
87.x3 − xx2 + 1
, 88. [x],
89. senx2, 90. cos 3x.
Exercıcio 91. Determine alguns exemplos de funcoes injetoras e nao monotonas.
Exercıcio 92. Em relacao aos graficos acima, dados os graficos das funcoes exponenciais e trigono-
metricas, justifique os desenhos dos graficos das funcoes inversas.
Exercıcios. Escreva as funcoes seguintes como soma de uma funcao par e de uma impar.
93. x2 − x+ 3 94.x− 1
x2 + 1
95. sen 2x+ cosx
2− x 96. f(x)
No ultimo exercıcio (que e difıcil) f(x) e uma funcao qualquer. Pede-se que f seja escrita como g + h
onde g e par e h e impar e as duas funcoes sao obtidas atraves de operacoes algebricas oportunas sobre
f .
Exercıcios
97. Desenhe os graficos das funcoes f(x) = max{x, x2} e g(x) = max{|x|, x2}
98. Desenhe o grafico de |2x+ 3| − 2x
99. Dada f(x) = x2 + 2x, determine a imegaem inversa de (0, 3)
100. Determine o perıodo de cos 3x
Exercıcios Desenhe os grafico das funcoes seguintes.
101. sen (2x), 102. cos(x/2), 103. | senx|, 104. 2 cosx, 105.1
xsenx,
106. sen1
x, 107. x2 sen
1
x, 108. x+ senx, 109. x senx.
Exercıcios Determine a inversa (se existir) das funcoes seguintes.
110. 3x, 111. 1 − 2x, 112. x2 − 1, 113.x− 1
x+ 2, 114. arctgx, 115. 1/x,
116. x− |x|, 117. 2x− |x|, 118. 1 + log10(1 + x), 119.2x
1 + 2x.
Exercıcio 120. Desenhe o grafico de f(x) = arcsen ( senx) (precisa pensar com calma sobre o fato
que seno e arcoseno sao uma a inversa da outra – claramente quando seno e restrito ao domınio onde e
inversıvel)
121.√x− 2,
Exercıcios Determine o domınio das funcoes seguintes:
122.√x− 2, 123.
√x3|x| − 1, 124. 5
√x− 2
x− 1, 125. arcsen (1+x), 126. x sen
√1−x,
127. log(1 + 3x), 128. log arctg (1− x2), 129. arccosx
x+ 1.
12
Outros Exercıcios:
Stewart, pag. 78, do num. 11 ao num. 20, e 23, 24, 25, 26; pag. 76, faca alguns (sao todos importantes).
5. Quarta-feira 13 de marco de 2013
Como foi dito para mim, o exercıcio 6 esta errado. A versao correta e a seguinte:
Sejam dados quatro numeros reais positivos a, b, c, d. Prove que
min{ab,c
d
}≤ a+ c
b+ d≤ max
{ab,c
d
}.
O sımbolo acima min{ab,c
d
}denota o mınimo entre
a
bec
d. Analogamente o outro.
Observacao: a expressao log x (ou seja, sem denotar a base) significara logaritmo em base e. Nos
livro e muitas vezes denotado por lnx. Eu do contrario usarei a notacao log x.
Introducao ao conceito de limite de uma funcao.
Primeiro tipo de limite.
Definicao 1. Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I (as duas condicoes nao sao
necessariamente alternativas). Seja f : I → R uma funcao dada. O numero real l e dito limite de f(x)
para x que tende para x, em sımbolos escreve-se
limx→x
f(x) = l,
se, para cada ε > 0, esiste δ > 0 tal que |f(x)− l| < ε para cada x ∈ I, tal que 0 < |x− x| < δ.
Exercıcios: prove, usando a definicao de limite, que os limites seguintes sao corretos.
130. limx→3
x = 3 131. limx→0
x2 = 0
132. limx→0|x| = 0 133. lim
x→0x2/|x| = 0
Observacao: os exercıcios acima sao difıceis; nao se preocupe se nao conseguir
Exercıcios: tente justificar o fato que os limites seguinte nao existem.
134. limx→0
1
xnao existe 135. lim
x→2[x] nao existe
Segundo tipo de limite.
Definicao 2. Seja f : (a,+∞)→ R uma funcao dada. O numero real l e dito limite de f(x) para x que
tende para +∞, em sımbolos escreve-se
limx→+∞
f(x) = l,
se, para cada ε > 0, esiste r ∈ R tal que |f(x)− l| < ε para cada x ∈ (a,+∞), tal que x > r.
13
Exercıcio 136. Escreva a definicao acima no caso analogo onde x tende para −∞
Exercıcio 137. Prove, usando a definicao de limite, que limx→+∞1
x= 0.
Terceiro tipo de limite.
Definicao 3. Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Seja f : I → R uma funcao dada.
Dizemos que +∞ e o limite de f(x) para x que tende para x, em sımbolos escreve-se
limx→x
f(x) = +∞,
se, para cada m ∈ R, esiste δ > 0 tal que f(x) > m para cada x ∈ I, tal que 0 < |x− x| < δ.
Exercıcio 138. Escreva a definicao acima no caso analogo onde o limite e −∞.
Exercıcios: prove, usando a definicao de limite, que os limites seguintes sao corretos.
139. limx→0
1
x2= +∞ 140. lim
x→+∞
1
x2= 0
Quarto tipo de limite.
Definicao 4. Seja f : (a,+∞) → R uma funcao dada. Dizemos que +∞ e o limite de f(x) para x que
tende para +∞, em sımbolos escreve-se
limx→+∞
f(x) = +∞,
se, para cada m ∈ R, esiste r ∈ R tal que f(x) > m para cada x ∈ (a,+∞), tal que x > r.
Exercıcio 141. Escreva a definicao acima nos casos analogos onde x tende para −∞ e o limite e
−∞ (quantos sao os casos?)
Exercıcios: prove, usando a definicao de limite, que os limites seguintes sao corretos.
142. limx→0
1
x4= +∞ 143. lim
x→+∞x = +∞
144. limx→−∞
x2 = +∞ 145. limx→+∞
x
x+ 1= 1
Observacao: e importante destacar que a definicao de limite nao cuida do valor da funcao no ponto
x. A funcao pode nao ser definida (como no caso 1/x e no estudo para x→ 0) ou pode ser definida e ter
valor diferente do limite, que, de fato, estuda o comportamento da funcao quando x tende para x. Por
exemplo, dada
f(x) =
{x+ 2 se x 6= 4
1 se x = 4
(que, repito, e uma funcao, nao sao duas funcoes), podemos provar que limx→4
f(x) = 6 (e nao 1).
Vamos agora apresentar uma lista de limites. Sao resultados que podem ser provados so atraves da
definicao. Nao vamos entrar em detalhes. O leitor usara os limites desta lista como ferramenta (junta
com outras ferramentas que iremos ver) para abordar limites mais complexos.
14
limx→x
x = x;
limx→x
ax = ax, para cada a > 0, a 6= 1;
limx→x
loga x = loga x, para cada a > 0, a 6= 1 x > 0;
limx→x
senx = senx;
limx→x
cosx = cosx;
limx→+∞
ax = +∞, se a > 1; limx→+∞
ax = 0, se 0 < a < 1;
limx→−∞
ax = 0, se a > 1; limx→−∞
ax = +∞, se 0 < a < 1;
limx→+∞
loga x = +∞, se a > 1; limx→+∞
loga x = −∞, se 0 < a < 1;
limx→0
loga x = −∞, se a > 1; limx→0
loga x = +∞, se 0 < a < 1;
limx→±∞
senx nao existe; limx→±∞
cosx = nao existe.
Teorema (Algebra dos limites - formas finitas) (sem demonstracao)
Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I → R duas funcoes dadas; ou
sejam f, g : (a,+∞)→ R ou f, g : (−∞, b)→ R. Sejam dados os limites
limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = l ∈ R, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R.
Entao,
(1) limx→x(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = l +m (soma);
(2) limx→x(ou x→±∞)
(f(x)− g(x)) = l −m (diferenca);
(3) limx→x(ou x→±∞)
(f(x) · g(x)) = l ·m (produto);
(4) limx→x(ou x→±∞)
(f(x)/g(x)) = l/m, se m 6= 0 (razao).
Os limites limx→x
x = x e, dada uma constante real a, limx→x
a = a podem ser provados so usando a definicao.
A partir dos dois resultados, todos os limites de polinomios e funcoes racionais (razoes de polinomios),
se sao das formas finitas acima, podem ser obtidos usando a algebra dos limites.
6. Sexta-feira 15 de marco de 2013
Um outra lista de limites que vamos dar sem prova e a seguinte:
seja α ∈ R fixado e a funcao xα definida in (0,+∞). Entao:
limx→x
xα = xα;
limx→+∞
xα = +∞, se α > 0; limx→+∞
xα = 0, se α < 0;
Observacao: o leitor pode observar facilmente que, no caso que α ∈ Z, os limites acima podem ser
deduzidos sabendo que limx→x
x = x e usando a algebra dos limites no caso do produto. Se o expoente nao
for inteiro precisa usar a definicao para provar os limites acima.
15
Exercıcio 146. Nos casos particulares em que o expoente seja de formas oportunas, o domınio da
funcao xα pode nao ser limitado ao intervalo (0,+∞). Analize os varios casos e determine as varias
extensoes possıveis do domınio.
Algebra dos limites - formas infinitas: resolvıveis e indeterminadas (sem demonstracao)
Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I\{x} → R duas funcoes dadas; ou
sejam f, g : (a,+∞)→ R ou f, g : (−∞, b)→ R. Temos os casos seguintes:
1) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, entao limx→x
(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = +∞;
2) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, entao limx→x
(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = −∞;
3) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = +∞, entao limx→x
(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = +∞;
4) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = −∞, entao limx→x
(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = −∞;
Produto: limx→x(ou x→±∞)
(f(x) · g(x)) = +∞ nos casos seguintes:
5a) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
5b) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m < 0;
5c) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = +∞;
5d) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = −∞;
limx→x(ou x→±∞)
(f(x) · g(x)) = −∞ nos casos seguintes:
6a) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
6b) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
6c) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = −∞;
Quociente: limx→x(ou x→±∞)
(f(x)/g(x)) = +∞ nos casos seguintes:
7a) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
16
7b) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m < 0;
7c) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞ ou l > 0, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = 0, com sinal positivo em um intervalo (x−δ, x+δ);
7d) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞ ou l < 0, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = 0, com sinal negativo em um intervalo (x−δ, x+δ);
limx→x(ou x→±∞)
(f(x)/g(x)) = −∞ nos casos seguintes:
7a) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
7b) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m < 0;
7c) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞ ou l < 0, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = 0, com sinal positivo em um intervalo (x−δ, x+δ);
7d) se limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞ ou l > 0, e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = 0, com sinal negativo em um intervalo (x−δ, x+δ);
Os casos acima representam as formas resolvıveis porque conseguimos estabelecer uma regra geral.
Os casos abaixo sao as assim chamadas formas indeterminadas. Nao temos de fato a possibilidade de
escrever uma algebra dos limites para as formas seguintes. A existencia e o valor dos limites nos casos
seguintes depende do exercıcio:
+∞−∞, 0 · (±∞), ±∞/±∞, 0/0.
Exercıcios: calcule os limites seguintes (se existem)
147. limx→0
x
x+ 1148. lim
x→1
x2 + 1
x− 1
149. limx→0
x3 + x+ 3
4x2 − 2x+ 1150. lim
x→+∞
2x+ x2
2x2 + x− 1
151. limx→+∞
x3 + 3x− 2
x2 − 2x+ 1152. lim
x→0
x2 + x− 4
2x2
153. limx→2
x2 + x− 5
x2 − 4x+ 4154. lim
x→a
ex√x2 + 2
155. limx→+∞
√x2 + 1− x 156. lim
x→+∞
√x2 + 1− 2x
157. limx→−∞
√x2 + 1− x 158. lim
x→+∞
x3 − 1
x2 − 1
Exercıcio 159. Prove a formula seguinte: (xn − 1) = (xn−1 + xn−2 + ... + x + 1)(x − 1), onde n e
inteiro positivo fixado. Procure uma formula analoga para a fatoracao de xn + 1
Outros exercıcios:
Guidorizzi, pag. 93, num. 1,4,5;
17
7. Segunda-feira 18 de marco de 2013
Aula de Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
Excercıcios abordados e resolvidos em sala de aula.
1. Estude a inequacao√x− 1 < x− 3.
2. Prove que a soma de dois numeros racionais e racional. Prove que a soma de um numero racional
e um numero irracional e irracional.
3. Prove que [x] + [y] ≤ [x+ y] para todo x, y ∈ R ([x] denota a parte inteira de x).
4. Determine a imagem do intervalo (−1, 1) atraves da funcao x3 + 2. Para abordar o exercıcio uma
tecnica possıvel e a seguinte: use a propriedade do ordenamento dos numeros reais segundo a qual ac ≤ bcse a ≤ b e c > 0. Use para provar que x3 (e consequentemente x3 + 2) e uma funcao crescente.
5. Determine a imagem do intervalo (−2, 1] atraves da funcao [x − 2]2 (de novo [·] denota a parte
inteira).
6. Determine a imagem inversa de (0, 5) atraves da funcao x2 − x+ 3.
7. Escreva f(x) =x− 1
x2 + 1como soma de uma funcao par e de uma impar.
8. Desenhe o grafico da funcao f(x) = max{x, x2} e da funcao g(x) = max{|x|, x2}.
9. Calcule o domınio de arccosx
x+ 1.
8. Quarta-feira 20 de marco de 2013
Teorema do confronto. (com prova do primeiro resultado feita na sala de aula e que pode
ser cobrada nos exercıcios das provas)
Primeiro resultado.
Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g, h : I → R funcoes dadas. Suponhamos
que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para cada x. Sejam dados os limites
limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = l, e limx→x
(ou x→±∞)
h(x) = l, onde l ∈ R.
Entao,
limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = l.
Exercıcio 160. Em sala de aula foi provado o caso x→ x. Prove o caso x→ +∞ ou x→ −∞
Segundo resultado.
Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I → R funcoes dadas. Suponhamos
que f(x) ≤ g(x) para cada x. Seja dado o limite
limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = l ∈ R,
18
e suponhamos que exista o limite
limx→x
(ou x→±∞)
g(x).
Entao, este limite e ≥ l.
Terceiro resultado.
Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I → R funcoes dadas. Suponhamos
que f(x) ≤ g(x) para cada x. Seja dado o limite
limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞.
Entao,
limx→x
(ou x→±∞)
g(x) = +∞.
Exercıcio 161. Prove este terceiro resultado. Em seguida, de o enunciado no outro caso possıvel
(qual pode ser?).
Exercıcio 162. Prove, usando a definicao, que limx→0 |x| = 0.
Exercıcio 163. Prove, usando a definicao, que limx→+∞n√x = +∞, para cada n ≥ 1, n ∈ N.
Exercıcio 164. (dıficil) Prove, usando a definicao, que limx→+∞ senx nao existe (dica: senx tem
infinitas vezes os valores 1 e −1. Ou seja, imagens con distancia 2. Se o limite existisse, chamamos l ∈ Re se pegassemos ε < 1, senx deveria ficar, definitivamente, dentro de uma faixa de largura < 2... acerte
os detalhes).
Exercıcio 165. Usando o comportamento de senx, tente entender (e desenhar o grafico) o compor-
tamente de sen (1/x) quando, em particular, x e proximo de zero.
Aplicacao do teorema do confronto. (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada
nos exercıcios das provas): se f(x) e limitada e limx→x(ou x→±∞)
g(x) = 0, entao, limx→x(ou x→±∞)
(f(x)g(x)) = 0.
Exercıcios: calcule os limites seguintes (se existem)
166. limx→0
(x− 1)√x2 + 1 167. lim
x→+∞( senx+ x)
168. limx→1
x2 + 1
x− 1169. lim
x→−∞([x] + x)
170. limx→0
x2 + 1
x− 1171. lim
x→2x(x+ 2)(x− 3)
172. limx→1
x3 − 1
x2 − 1173. lim
x→0
3√
1 + x− 3√
1− xx
174. limx→0
√2 + x−
√2
x175. lim
x→0
1
x
(3x− 2
2x+ 3− 3x+ 2
2x− 3
)176. lim
x→0
1− cosx
x senx177. lim
x→π
1 + cosx
π − x
178. limx→0
1
1− cosx179. lim
x→02/|x|
19
180. limx→+∞
x2 + 3
4x2 + x181. lim
x→+∞
3− x3 − x1− 2x2
182. limx→+∞
(x2
x+ 1− x)
183. limx→+∞
x2 + senx
2x+ x2 + 3
184. limx→+∞
√1 + x2 +
√x√
x− x185. lim
x→−∞x(√
1 + x4 − x2)
Teorema (limite de funcoes compostas – sem prova). Seja f(x) dada e suponhamos que exista o limite
limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = l onde l ∈ R ou l = ±∞.
Seja g(x) uma outra funcao dada e suponhamos que exista o limite
limx→l
g(x) = m onde m ∈ R ou m = ±∞.
Suponhamos que a composicao g(f(x)) seja bem definida e que, se l ∈ R, f(x) 6= l para x 6= x e x proximo
de x. Entao,
limx→x
(ou x→±∞)
g(f(x)) = m.
Observacao: parece estranha a hipotese f(x) 6= l para x 6= x e x proximo de x. Todavia, se nao for
verificada a condicao, o limite da composicao pode nao ser m, como no caso seguinte:
f(x) = 0,∀x ∈ R, g(x) =
{0 se x 6= 0
1 se x = 0.
E facil ver que limx→0 g(f(x)) = 1, enquanto limx→0 g(x) = 0.
Uma condicao que pode substituir a condicao acima e g(l) = m, se m e l for reais. Esta condicao sera
encontrada no caso das funcoes contınuas.
Exemplos de limites que podem ser provados usando o teorema acima:
limx→+∞√x2 + 1, limx→0
senx2
x2, limx→0
sen 2x
3x, limx→0
1− cos√x
x.
Exercıcio 186. Calcule os limites acima, mostrando, nos detalhes, como e usado o teorema.
Definicao (limites direito e esquerdo)
Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, x ∈ I e f : I → R uma funcao dada. Denotamos por
g : (x, b)→ R, g(x) = f(x)
a restricao de f a (x, b). Dizemos que l ∈ R ou l = ±∞ e o limite direito de f(x) para x que tende para
x, em sımbolos e
limx→x+
f(x) = l,
se
limx→x
g(x) = l.
Analogamente, denotamos por
h : (a, x)→ R, h(x) = f(x)
20
a restricao de f a (a, x). Dizemos que l ∈ R ou l = ±∞ e o limite esquerdo de f(x) para x que tende
para x, em sımbolos e
limx→x−
f(x) = l,
se
limx→x
h(x) = l.
Teorema (sem prova) Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, x ∈ I e f : I → R uma funcao dada.
Entao,
limx→x
f(x) = l se e somente se limx→x+
f(x) = l = limx→x−
f(x).
Outros exercıcios:
Guidorizzi, pag. 94, num. 4, 5, 8; pag. 104, num. 1,2,3; pag. 108, faca alguns; pag. 112/3, faca alguns;
pag. 117, faca alguns; pag. 125/6, faca alguns.
Stewart, pag. 112/3, num. de 39 a 44, de 45 a 51.
9. Sexta-feira 22 de marco de 2013
Exercıcio 187. Diga se existe o limite seguinte:
limx→π
1 + cosx
π − x.
Exercıcio: calcule, se existem, os limites seguintes:
188. limx→+∞
( senx+ x) 189. limx→−∞
[x]− x2
190. limx→+∞
senx√x+ cosx
191. limx→−∞
(√x2 − 2x+ x)
192. Diga qual e, entre as seguintes, a definicao correta do limite limx→4
f(x) = 7.
a) Para cada λ e µ positivos, se |x−4| < µ
e x 6= 4 entao, |f(x)− 7| < λ.
b) Para cada λ > 0 e para cada µ > 0,
se |x− 4| < µ entao, |f(x)− 7| < λ.
c) Para cada µ > 0 existe λ > 0 e existe
x tal que |x− 4| < λ e |f(x)− 7| < µ.
d) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que
se |x−4| < λ e x 6= λ entao, |f(x)−7| <µ.
e) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que se
|x− 4| < λ e x 6= 4 entao |f(x)− 7| < µ.
f) Nenhuma das respostas acima e cor-
reta.
193. Suponhamos que
limx→+∞
f(x) = −∞.
Diga qual, entre as afirmacoes seguintes, e correta .
21
a) Se x > 0 entao f(x) < 0. b) Existe ε > 0 tal que f(x) < 0 para
cada x > ε.
c) Para cada ε > 0 existe η > 0 tal que
para x > η temos f(x) > ε > 0.
d) Nenhuma das respostas acima e cor-
reta.
194. Consideramos a proposicao seguinte: dadas f e g definidas em um intervalo I,
seja x0 ∈ I fixado. Suponhamos que f(x) ≥ g(x) para cada x e que limx→x0
f(x) = 0.
Entao, limx→x0
g(x) = 0. A proposicao e:
a) Verdadeira se colocamos a hipotese su-
plementar g(x) ≤ 0, ∀x ∈ I.
b) Verdadeira se colocamos a hipotese
suplementar g(x) ≥ 0, ∀x ∈ I.
c) Verdadeira sem necessidade de outras
hipoteses suplementares.
d) Verdadeira se colocamos a hipotese
suplementar f(x0) = g(x0) = 0.
e) Falsa, tambem colocando as hipoteses
suplementares acima.
195. Dada f : R→ R, suponhamos que limx→+∞
f(x) = −∞. Entao:
a) f e decrescente. b) limx→+∞
f(x2) = +∞.
c) ∀m ≥ 0, temos f(x) ≤ 0 se x ≥ m. d) ∀m ≥ 0 e ∀k ≥ 0 f(x) ≤ k se x ≥ m.
e) limx→−∞
f(x) = +∞ f) Nenhuma das respostas acima e cor-
reta.
196. Dada f : N → N, f(x) = x + 1 diga quais (podem ser mais que uma) das
afirmacoes sao corretas.
a) f e injetora. b) f e sobrejetora.
c) f e limitada inferiormente. d) A notacao f(x) = x+ 1 non faz sen-
tido porque o domınio e N e a variavel a
ser usada deve ser denotada por n.
Exercıcio 197. Procure uma f : R→ R que nao seja crescente, mas que verifique
limx→+∞
f(x) = +∞. Esta funcao deve ser definitivamente crescente? Isto e, existe r
tal que f e crescente em (r,+∞)?
Definicao de funcao contınua. Sejam I intervalo de R, f : I → R uma funcao dada e x ∈ I dado.
f e dita contınua em x sex→x
f(x) = f(x). f e dita contınua em I (ou, simplesmente, contınua) se e
contınua em todos os pontos de I.
O conceito de continuidade de uma funcao e pontual. Ou seja, dizemos que uma funcao e contınua
em um ponto. Outros conceitos, ja encontrados, sao so globais: invertibilidade, limitacao de uma funcao,
monotonia. Nao faz sentido, por exemplo, dizer que uma funcao e limitada (ou inversıvel, ou crescente)
em um ponto.
22
Exemplos: diretamente da definicao e de alguns limites das funcoes elementares, ja vistos nas
aulas anteriores (e dados sem prova) segue que sao contınuas: os polinomios P (x), as funcoes racionais
P (x)/Q(x) nos pontos x tais que Q(x) 6= 0, as raizes, as funcoes trigonometricas, as funcoes exponenciais
e logarıtmicas.
Definicao: se f : I → R e descontınua em x ∈ I, dizemos que x e um ponto de descontinuidade.
Portanto nao faz sentido dizer que x e um ponto de descontinuidade para f se x nao pertence ao
domınio da funcao.
Exercıcio 198. Determine em quais pontos sao contınuas as funcoes seguintes (determine, inclusive,
os pontos de descontinuidade):
f(x) = 1/x, f(x) =
{1/x se x 6= 0
0 se x = 0.g(x) =
{−x2 + 1 se x ≥ 2
1− 2x se x < 3.f(x) =
senx
x
g(x) =
{cosx se x > π
−1 se x < π.f(x) =
{x+ 3 se x > 1
2− x2 se x < 1.g(x) =
x2 se x > 1
1 se x = 1
x2 se x < 1.
Exercıcio 199. Determine em quais pontos sao contınuas a funcao sinal, a funcao parte inteira e a
funcao de Dirichlet (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade).
Teorema (Algebra das funcoes contınuas – sem prova). Sejam f, g : I → R contınuas em um ponto
x ∈ I. Entao, sao contınuas em x: f + g, f − g, f · g, f/g se x 6= 0.
Teorema (sem prova). Seja f : I → R contınua em x ∈ I. Seja J um intervalo que contem Im f e
seja g : J → R contınua em y = f(x). Entao, g ◦ f e contınua em x.
Exercıcio 200. Determine em quais pontos sao contınuas as funcoes seguintes (determine, inclusive,
os pontos de descontinuidade):
f(x) =
{x/|x| se x 6= 0
0 se x = 0.f(x) =
x+ 2
|x|+ 1se x ≥ 0
2− x se x < 0.
f(x) =
{sen (1/x) se x 6= 0
0 se x = 0.
f(x) =
x+ |x|x2
se x 6= 0
0 se x = 0.f(x) = [x]2 − x2
Exercıcio 201. (muito dıficil) Seja f : (0, 1]→ R definida como
f(x) =
{1/n se x = m/n, m e n inteiros positivos e primos entre si (m ≤ n)
0 se x e irracional.
Prove que f e contınua nos pontos irracionais de (0, 1] e discontınua nos racionais.
Outros exercıcios:
Guidorizzi, pag. 81, num. de 5 a 12; e 27.
Stewart, pag. 133, num. de 15 a 20.
23
10. Segunda-feira 1 de abril de 2013
Aula de Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
Excercıcios abordados e resolvidos em sala de aula.
1. Calcule (se existir) limx→+∞
senx√x+ cosx
2. Calcule (se existir) limx→+∞
√1 + x2 +
√x√
x− x
3. Calcule (se existir) limx→+∞
x2 + senx
2x+ x2 + 3
4. Seja f : R→ R uma funcao que verifica a propriedade seguinte: limx→+∞)
f(x) = −∞. Diga se alguma
das afirmacoes seguintes e verdadeira:
a) f(x) < 0 para todo x real.
b) f(x) < 0 para todo x positivo.
c) existe ε > 0 tal que f(x) < 0 para todo x > ε.
5. Determine os pontos onde f(x) = 1/x e contınua onde nao e contınua e os pontos de descontinuidade.
(Dizer que x e um ponto onde f nao e contınua e a mesma coisa que dizer que x e um ponto de
descontinuidade?)
6. Diga se f(x) =x+ |x|x2
admite um ”prolongamento contınuo na origem”
7. Calcule (se existir) limx→+∞
3√
1 + x− 3√
1− xx
11. Quarta-feira 3 de abril de 2013
Teorema da conservacao do sinal para as funcoes contınuas. (com prova feita na sala de
aula e que pode ser cobrada nos exercıcios das provas) Sejam I intervalo e f : I → R contınua
em x ∈ I. Suponhamos f(x) 6= 0. Entao existe δ > 0 tal que f(x) tem o mesmo sinal de f(x) para todo
x ∈ (x− δ, x+ δ) ∩ I.
Teorema do anulamento para as funcoes contınuas. (com prova feita na sala de aula e
que pode ser cobrada nos exercıcios das provas) Seja f : [a, b]→ R contınua (em todo o domınio).
Seja f(a)f(b) < 0. Entao, existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
Uma consequencia do teorema do anulamento e o resultado seguinte.
Teorema dos valores intermediarios para as funcoes contınuas. (sem prova) Seja I intervalo
(qualquer) e f : I → R contınua. Entao, f atinge todos os valores entre inf f e sup f
Lembramos que inf f e sup f sao, respectivamente, o ınfimo e o supremo de Im f . O teorema diz que
o intervalo aberto (inf f, sup f) e contido em Im f . Nao podemos saber, em geral, se [inf f, sup f ] = Im f
(ou um dos extremos pertence a imagem), porque nao sabemos a priori se f possui maximo ou mınimo.
Uma consequencia (corolario) imediato do teorema e que, dada uma funcao contınua definida em um
intervalo, a imagem e um intervalo.
24
Atencao ao fato que se o domınio nao e um intervalo, a imagem nao necessariamente e um intervalo.
Uma aplicacao importante do teorema dos valores intermediarios e a existencia da raiz quadrada de um
numero positivo qualquer. Para prova-lo, aplique o teorema a funcao x2 definida em (0,+∞) (lembrando
a definicao correta de raiz quadrada).
Uma outra aplicacao e a existencia de, pelo menos, uma solucao real de qualquer equacao polinomial
de grau impar. Devido ao fato que, se P (x) e um polinomio de grau impar, limx→+∞ P (x) = +∞ se o
coeficiente da potencia de grau maximo e positivo (−∞, se negativo) e limx→−∞ P (x) = −∞ (+∞, se
aquele coeficiente e negativo).
Podemos construir algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um numero positivo, como para
aproximar as solucoes reais de equacoes polinomiais ou de equacoes mais complicadas (ex. x tgx = p,
onde p e dado).
Exercıcios:
202. Construa, como feito em sala de aula, algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um numero
positivo e para determinar uma solucao (aproximada) de uma equacao polinomial de grau impar (escolha
o polinomio e o erro na aproximacao)
203. Prove que a equacao x3 + x = a possui uma e so uma solucao real para cada a ∈ R dado.
204. Seja f : R→ R contınua. Suponhamos que x− 5 < f(x) < x+ 1 para cada x ∈ R. Prove que a
equacao f(x) = 0 possui pelo menos uma solucao.
205. Procure Im f , onde f e a funcao do exercıcio acima.
206. Prove que a equacao x8 + 5x5 − 6x4 + 2x3 + 3x− 1 = 0 possui pelo menos uma solucao real.
* * *
E interessante a relacao entre continuidade e invertibilidade de uma funcao. E importante lembrar (ou
observar, se nao lembra) que e obvio que uma funcao estritamente monotona e inversıvel. O vice-versa e
falso.
Exercıcio 207. Consideramos as funcoes seguintes:
f(x) =
{x se x ∈ [0, 1)
x− 1 se x ∈ [2, 3]g(x) =
{x se x ∈ [0, 1)
3− x se x ∈ [1, 2]h(x) =
{x se x ∈ [0, 1)
5− x se x ∈ [2, 3]
Desenhe o grafico de f , g e h. Determine se sao contınuas, inversıveis, monotonas, e se o domınio
e um intervalo. Se sao inversıveis (ou algumas delas) determine as inversas, dizendo se sao contınuas,
monotonas, e se o domınio e um intervalo.
Em particular, a funcao f do exercıcio e contınua e inversıvel, mas a inversa e descontınua. A h e
contınua e inversıvel, mas nao e monotona. Esta falta de propriedade acontece porque o domınio nao e
um intervalo.
Teorema (monotonia de uma funcao inversıvel). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I → Rcontınua e inversıvel. Entao e monotona.
O resultado mais importante e o seguinte (cuja prova e baseada no teorema acima)
25
Teorema (continuidade da funcao inversa). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I → R contınua e
inversıvel. Entao a funcao inversa f−1 e contınua.
Sao contınuas, como consequencia do teorema acima, as funcoes trigonometricas inversas: arcsen,
arccos e arctg .
Outros exercıcios:
Guidorizzi, pag. 140/1, faca alguns.
Stewart, pag. 133, num. 35,36,37,38,39,45,47,48,49,50,62.
12. Sexta-feira 5 de abril de 2013
Concluımos a parte da continuidade com o teorema seguinte, um dos mais importantes do curso.
Lembre que, dada f : A→ R, onde A e um conjunto qualquer, o maximo de f e definido como o maximo
da imagem de f , se existe. Enquanto o mınimo de f e definido como o mınimo da imagem de f (se
existe).
Teorema de Weierstrass. (sem prova) Uma funcao f : [a, b]→ R contınua possui maximo e mınimo.
Exercıcios:
208. Seja f : [0, 1]→ R, f(x) = x− [x] ([x] e a parte inteira de x). Prove que f nao possui maximo.
Qual hipotese do Teorema de Weierstrass nao e respeitada?
209. Seja f : [0, 1) → R, f(x) = x. Prove que f nao possui maximo. Qual hipotese do Teorema de
Weierstrass nao e respeitada?
210. Seja f : [0,+∞)→ R, f(x) = x. Prove que f nao possui maximo. Qual hipotese do Teorema de
Weierstrass nao e respeitada?
211. Procure exmplos de funcoes que nao respeitam algumas das hipoteses do Teorema de Weierstrass,
mas que possuem maximo e mınimo.
Pode ser provado (nao e um exercıcio facil) que a funcao f(x) =
(1 +
1
x
)xe crescente em [1,+∞) e
e limitada. Pelo teorema dos limites das funcoes monotonas, o limite
limx→+∞
(1 +
1
x
)xexiste e e finito. Chamamos “e” este valor. Se chama numero de Neper.
Exercıcio 212. Prove que e ≥ 1. De fato, provaremos em seguida, agora nao e possıvel, que 2 < e < 3.
Exercıcio 213. Determine o domınio de
(1 +
1
x
)x.
Podemos provar (nao e facil) que
limx→−∞
(1 +
1
x
)x= e.
26
Usando o limite das funcoes compostas, podemos provar que
limx→+∞
log
[(1 +
1
x
)x]= 1, e lim
x→−∞log
[(1 +
1
x
)x]= 1.
O limite das funcoes composta, ja visto na pagina ??, e um resultado impostante e que apresenta
problemas. Agora, com o conceito de continuidade, podemos reformula-lo em termos mais simples.
Sejam f(x) e g(y) duas funcoes dadas e suponhamos que a composicao g(f(x)) seja bem definida em um
certo intervalo (vamos fazer as coisas mais simples). Suponhamos que g seja contınua.
Suponhamos que exista o limite
limx→x
(ou x→±∞)
f(x) = l onde l ∈ R ou l = ±∞.
Seja g(x) uma outra funcao dada e suponhamos que exista o limite
limx→l
g(x) = m onde m ∈ R ou m = ±∞.
Entao,
limx→x
(ou x→±∞)
g(f(x)) = m.
Voltando ao limite (pegando so o primeiro dos dois)
limx→+∞
log
[(1 +
1
x
)x],
usando o limite das funcoes compostas, log = g enquanto f(x) =
(1 +
1
x
)x. Sabendo que
limx→+∞
(1 +
1
x
)x= e,
e usando a formula acima temos limy→e log y = 1. Aqui estamos usando o fato que log e uma funcao
contınua.
A formula para calcular o limite de funcoes compostas pode ser vista come uma formula de troca de
variavel. No sentido seguinte. Estudamos de novo o limite
limx→+∞
log
[(1 +
1
x
)x].
Definimos a nova varavel y =
[(1 +
1
x
)x]. Sabemos que y → e quando x → +∞. Portanto o limite
acima se torna igual a limy→e log y. Que sabemos ser 1 porque log e contınua.
A troca de variavel, em geral, pode ser usada se a funcao e contınua.
Sabendo que [(1 +
1
x
)x]= x log
(1 +
1
x
),
temos
limx→+∞
x log
(1 +
1
x
)= 1.
Trocando a variavel, e pondo y = 1/x, vemos que y tende para 0 (com valores positivos) quando x
tende para +∞. Portanto, segue,
limy→0+
log(1 + y)
y= 1
27
Usando o limite
limx→−∞
log
[(1 +
1
x
)x]= 1,
e desenvolvendo os passos analogos aos anteriores, temos (prove como exercıcio)
limy→0−
log(1 + y)
y= 1
Ou seja
limy→0
log(1 + y)
y= 1
Exercıcio 214. Prove, com uma oportuna troca de variavel,
limx→0
ex − 1
x= 1
Exercıcios:
215. Determine as solucoes dex2 − 2x
|x− 1|≥ 1. Em seguida, estude a imagem da funcao f(x) =
x2 − 2x
x− 1,
definida em [0,+∞). Use, agora, a continuidade da funcao e os teoremas sobre as funcoes contınuas.
Podemos responder exaustivamente o a resposta tem que ser incompleta?
216. Determine o domınio de√
2 senx+ 1. A funcao e crescente?
217. Calcule, se existem, os limites seguintes: limx→0
√x+ 1 + x2 − 1
x, limx→0
(√x+ 1 + x2 − 1√
x· sen
1
x
)
218. Determine n ∈ N tal que o limite seguinte seja finito e nao nulo: limx→0
sennx(√
1 + x2 − 1)
x3 + x4.
219. Desenhe o grafico de |x2 − x − 6|. Em seguida, conhecendo o grafico de log x, desenhe mais
ou menos aproximadamente o grafico de f(x) = log(1 + |x2 − x − 6|). Determine em quais intervalos
f e crescente e em quais e decrescente. Determine, enfim, a imagem de f restrita ao intervalo [−4, 4].
(Sugestao: sabemos que y = x2 − x − 6 e a equacao de uma parabola. Uma propriedade geometrica de
uma parabola generica y = x2 +ax+ b diz que, se a curva corta o eixo X em dois pontos α e β, ela atinge
o mınimo no ponto medio entre α e β)
13. Segunda-feira 8 de abril de 2013
Excercıcios em sala de aula e sugeridos para o trabalho em casa.
220. Desenhe o grafico da funcao f(x) = x2 − x− 6. Para este desenho usamos o conhecimento geral
do comportamento das parabolas e o fato de que o mınimo (ou o maximo) sao obtidos nos pontos medios
entre os dois pontos de anulamento de f . Sabendo onde uma parabola e crescente e onde e decrescente,
determine os intervalos onde e crescente e onde e decrescente a funcao g(x) = |f(x)|.Prove o fato geral de que se l(x) for uma funcao crescente, entao −l(x) e decrescente.
Desenhe o grafico de g. Seja h(x) = log(1 + g(x)). Determine os intervalos onde h e crescente e onde
e decrescente, usando (e provando) o fato geral seguinte.
A composicao de duas funcoes crescentes e uma funcao crescente.
221. Determine as solucoes de 1 +√
2x2 + 3x− 2 > x.
28
222. Determine as solucoes de1
2x+ |2x− 1| < 2.
223. Determine o supremo e o ınfimo do conjunto {1/n : n ∈ N, n ≥ 1}.
224. Seja f(x) = 1− 1
x, definida em (0, 1). Determine se e crescente, decrescente ou nenhuma da duas.
Tente explicar os varios detalhe, comecando pela prova do fato de que 1/x e decrescente em (0, 1). Em
seguida, calcule a imagem de f . Use o fato de que f e contınua e o teorema dos valores intermediarios.
225. Determine o domınio das funcoes seguintes:√x− 2,
x
x2 − 4x+ 3,
√x3|x| − 1, (x2 + x+ 1)3/2,
√1− 2x√4− 2x
, log(1 + 3x), log(1− arctgx), arcsen (1 + x).
226. Escreva a inversa (e o domınio dela) se existir. Se a inversa nao existir, determine subconjuntos
do domınio onde e inversıvel.
3x, arctgx, 1/x,
x2 − 1,x− 1
x+ 2,
2x
1 + 2x.
14. Quarta-feira 10 de abril de 2013
Exercıcios para preparacao da prova.
227. Determine o supremo e ınfimo do conjunto A = {1/n, n ∈ N, n ≥ 1}. Determine, depois, se o
conjunto tem maximo e mınimo.
228. Calcule
limx→+∞
x3 cosx+ x5 cos(1/x)
3x4 + 2x2 + 5e lim
x→+∞
x3 cosx+ x5 sen (1/x)
3x4 + 2x2 + 5
229. Calcule
limx→3−
√10− x2 − 1√x3 − 6x2 + 9x
230. Determine para quais valores de a e contınua a funcao seguinte:
f(x) =
{ex se x > 0
x2 + a se x ≤ 0
15. Sexta-feira 12 de abril de 2013
Prova P1
16. Segunda-feira 15 de abril de 2013
Introduzimos agora a nocao de funcao derivavel e de derivada de uma funcao.
29
Seja I um intervalo de R, f : I → R uma funcao dada e x0 ∈ I dado. Variando m ∈ R, as equacoes
y = f(x0) +m(x− x0) representam as retas secantes ao grafico de f no ponto (x0, f(x0)) (so excluindo
a reta vertical que tem equacao x = x0).
Seja agora x ∈ I e o correspondente ponto no grafico de f , (x, f(x)). A razao
f(x)− f(x0)
x− x0se chama razao incremental de f , relativa a x0 e x e e o coeficiente angular da secante por (x0, f(x0))
e (x, f(x)). Se existe o limite desta razao quando x → x0, este limite da, intuitivamente, o coeficiente
angular de uma “reta posicao limite” das secantes (quando x→ x0).
Definicao 5. Se existe e e finito o limite
limx→x0
f(x)− f(x0)
x− x0= l,
entao dizemos que f e derivavel em x0 e o numero l se chama derivada de f em x0.
a derivada de f em x0 (se existe) e denotada, normalmente, por um dos sımbolos seguintes:
f ′(x0),df
dx(x0), Df(x0), Df(x)|x=x0
.
O primeiro e aquele mais comun.
Uma outra forma de escrever a razao incremental e portanto o limite acima e obtida pondo x−x0 = h.
Temosf(x0 + h)− f(x0)
he lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h,
A nocao de derivada e pontual (como a de continuidade), ou seja derivada de uma funcao em um ponto.
Dada f : I → R, se f e derivavel em todos os pontos de I, dizemos que f e derivavel e fica bem definida
uma nova funcao, a derivada de f , x 7→ f ′(x), definida em I.
Se f e derivavel x0, a reta de equacao y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) e definida como a reta tangente ao
grafico de f no ponto (x0, f(x0)).
Atencao: a precedente e a definicao de reta tangente; outras possıveis definicoes, como “a reta que
encosta o grafico so em um ponto”, sao corretas so em casos muito particulares, por exemplo a circun-
ferencia.
Reta secante e reta tangente em (x0, f(x0)).
-
6
x1 x0
-
6HHH
HHHHHH
HHH
x0
Exercıcio 231. Na parabola de equacao y = x2 procure um ponto onde a reta tangente a parabola
forma um angulo de π/4 com o eixo x.
30
Exercıcio 232. Um corpo cai de uma altura de 15 mt, sujeto so a forca peso (desconsiderando o
atrito do ar). A funcao espaco dependendo do tempo e s(t) =1
2gt2, onde g e a constante gravitacional
terrestre, e vale cerca 9, 8 mt/sec2. Calcule a velocidade com que ele chega ao solo.
Derivadas de algumas funcoes elementares.
FUNCAO f(x) DERIVADA f ′(x)
c (funcao constante) 0
xn (n ∈ N , n ≥ 1) nxn−1
senx cosx
cosx − senx
ex ex
Exercıcio 233. Prove os resultados da tabela acima (como feito em sala de aula).
Se α > 0 e x > 0 a funcao f(x) = xα e derivavel em todo (0,+∞) e f ′(x) = αxα−1, analogamente ao
caso xn com n inteiro. So que neste caso a prova e mais difıcil e omitida.
Exercıcio 234. Prove que√x nao e derivavel em zero.
Exercıcio 235. Determine em quais pontos e derivavel |x|.
Exercıcio 236. Dados os graficos seguintes, desenhe (intuitivamente) os graficos das derivadas.
-
6
c a
-
6
a b
-
6
c da
-
6
c d
31
Exercıcio 237. Calcule, usando a definicao, a derivadas das funcoes seguintes: 3x−2, x2−x, x7 +1,√x.
Exercıcio 238. Prove que |x|3 e derivavel em zero. Calcule a derivada de |x|3.
Exercıcio 239. Seja f(x) = x3. Calcule f ′(0), f ′(−2), f(1/2).
Exercıcio 240. Seja f(x) = senx. Encontre um ponto x0 tal que f ′(x0) = 1/2.
Exercıcio 241. Prove que a derivada de uma funcao par e uma funcao impar.
17. Quarta-feira 17 de abril de 2013
Proposicao (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas) Seja
f : I → R uma funcao derivavel em um ponto x0 ∈ I. Entao, f contınua em x0.
Proposicao (Algebra das derivadas) Sejam f, g : I → R duas funcoes derivaveis em um ponto x0 ∈ I.
Entao sao derivaveis em x0 as funcoes f ± g, f · g, 1/g e f/g (nestes ultimos dois casos se g(x0) 6= 0) e
valgono le formule:
(1) (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0),
(2) (f − g)′(x0) = f ′(x0)− g′(x0),
(3) (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0),
(4) (1/g)′(x0) = − g′(x0)
(g(x0))2,
(5) (f/g)′(x0) =f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)
(g(x0))2
Como exemplo, se n e inteiro positivo e x 6= 0, D1
xn= −n 1
xn+1
Do item (5) segue que a tangente e derivavel: D tgx =1
cos2 x= 1 + tg 2x.
Exercıcio 242. Prove o item (1) da proposicao acima.
Proposicao (ideia da prova feita na sala de aula; nao sera cobrada nas provas) (Derivada da funcao
composta) Sejam dadas duas funcoes f : I → R e g : J → R, tais que Im (f) ⊆ J . Sejam f derivavel em
um ponto x0 ∈ I e g derivavel em y0 = f(x0). Entao g ◦ f e derivavel em x0 e (g ◦ f)′(x0) = g′(y0)f ′(x0).
Exercıcio 243. Calcule as derivadas de sen 2x e cosx2.
Proposicao (ideia da prova feita na sala de aula; nao sera cobrada nas provas) (Derivada da funcao
inversa) Seja I intervalo, f : I → R inversıvel e g : Im (f) → R a funcao inversa de f . Se f e derivavel
em um ponto x0 e f ′(x0) 6= 0, entao, g e derivavel em y0 = f(x0) e temos g′(y0) = 1/f ′(x0).
Como aplicacao dos ultimos resultados, temos esta outra tabela de derivadas
FUNCAO f(x) DERIVADA f ′(x)
n√x (= x1/n)
1
nx1/n−1 (veja-se a analogia com as outras formulas)
xm/n (m,n inteiros)m
nxm/n−1 (veja-se a analogia com as outras formulas)
32
arcsenx1√
1− x2
arccosx − 1√1− x2
arctgx1
1 + x2
log x1
x
Exercıcio 244. Prove as formulas acima.
Exercıcio 245. Calcule a derivada de 2x. Sugestao: qualquer numero positivo a pode ser escrito
como a = elog a.
Exercıcio 246. Calcule as derivadas das funcoes seguintes: a)x2 − 1
x(x+ 2), b) senx arccosx, c)
√1 + x2, d) arcsenx− senx, e) x
√1 + x2, f) arctg
√1− x1 + x
, g) arctg (2x−x2), h) cos( sen (x2+
x)).
Exercıcio 247. Encontre um ponto P na hiperbole de equacao y =1
1 + xtal que a tangente por P
encontre a origem do plano.
Exercıcio 248. Calcule a area do triangulo formado pelos eixos do plano e pela tangente a curva
y = senx no ponto
(3π
4,
1√2
)Exercıcio 249. Encontre a equacoes das tangentes a parabola y = x2 − 4x + 3 que passam pela
origem.
Exercıcio 250. Escreva a equacao da reta tangente a elipse de equacao x2 + y2/2 = 1 no ponto
(√
3/2, 1/√
2).
Exercıcio 251. Escreva a equacao da reta tangente ao grafico de senx no ponto (π/3, sen (π/3)).
Exercıcio 252. Calcule a area do triangulo que tem como vertices os pontos comuns das parabolas
y = x2 e y = x − x2 e o ponto de intersecao entre o eixo das abscissas e a tangente a parabola 2y = x2
em (−2, 2).
Exercıcios:
Guidorizzi, pag. 161/2, faca alguns; pag. 165/6, faca alguns; pag. 167, faca alguns; pag. 168/9, faca
alguns; pag. 172, faca alguns; pag. 177/9, faca alguns; pag. 199, de 1 a 4; pag. 205, faca alguns; pag. de
226 a 233, faca alguns;
Stewart, pag. 156/7, faca alguns; pag. 163/4, faca alguns; pag. 174/5, faca alguns.
Exercıcios. Determine em quais pontos sao derivaveis as funcoes seguintes e calcule as derivadas.
253. signx · x2 254.1
tgx
255.√|x| 256. f(x) =
{x2 − 1 x ≥ 1
x x < 1
257. sen |x| 258. [x]
33
Exercıcios. Calcule as derivadas das funcoes seguintes.
259. x sen 2x 260. cos( senx)
261.x2 + 2
x3 − 3x262. cos
(x− 1
x+ 2
)263. arctg
√x 264.
√arctgx
265.senx2
tg (x+ 2)266.
√x+
13√x4 + 1
Exercıcios. Escreva a equacao da reta tangente ao grafico em (x0, f(x0)) das funcoes seguintes.
267. x3 + 2x+ 3, x0 = −1/2 tgx2, x =√π
Exercıcios. Diga em quais pontos as funcoes seguintes sao derivaveis e calcule a derivada (nos pontos
onde existe). Depois, diga se as derivadas sao contınuas.
268. f(x) =
x2 cos1
xx 6= 0
0 x = 0269. f(x) =
{e−
1x2 x > 0
0 x ≤ 0
270. f(x) =
x sen1
xx 6= 0
0 x = 0271. f(x) =
{(x− 1)2 − 1 x > 0
senx x ≤ 0
272. f(x) =
2x
x2 + 2x > 0
0 x = 0x
−x2 − 3x < 0
273. f(x) =
{x2 + 1 x > 0
senx x < 0
18. Sexta-feira 19 de abril de 2013
Maximos e mınimos, absolutos e relativos
Definicao. Seja A um subconjunto de R e f : A→ R uma funcao.
a) O maximo absoluto de f e o maximo (se existe) da imagem de f . O mınimo absoluto de f e o
mınimo (se existe) da imagem de f .
b) Um ponto x0 ∈ A e dito ponto de maximo absoluto se f(x0) e o maximo absoluto de f . Um
ponto x0 ∈ A e dito ponto de mınimo absoluto se f(x0) e o mınimo absoluto de f .
c) Um ponto x0 ∈ A e dito ponto de maximo relativo se existe um intervalo (x0 − δ, x0 + δ), tal que
f(x) ≤ f(x0), para cada x ∈ A∩(x0−δ, x0+δ). Um ponto x0 ∈ A e dito ponto de mınimo relativo
se existe um intervalo (x0 − δ, x0 + δ), tal que f(x) ≥ f(x0), para cada x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ).
Exercıcio 274. Seja a funcao f(x) = 2x, x ∈ [1, 2] ∪ [3, 4]. Determine, justificando a resposta, o
maximo e o mınimo de f (porque existem?) e os pontos de maximo e mınimo relativos.
Exercıcio 275. Seja a funcao f(x) = 2x, x ∈ (1, 2) ∪ [3, 4]. Determine as novidades a respeito do
exercıcio acima.
34
Exercıcio 276. Determine, justificando a resposta, os pontos de maximo e mınimo absoluto de
senx.
Exercıcio 277. Determine, justificando a resposta, os pontos de maximo e mınimo absoluto e
relativo de f(x) =
x2 se − 1 ≤ x < 0
2 se x = 0
3− x se 0 < x ≤ 3.
As definicoes acima envolvem funcoes quaisquer, ou seja, que podem nao ser contınuas nem derivaveis.
Contudo, se a funcao estudada e derivavel, a sua derivada nos da informacoes sobre os maximos e os
mınimos.
Teorema de Fermat. (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas)
(Condicao necessaria para a existencia dos pontos de maximo ou de mınimo relativo.) Seja I intervalo
de R e f : I → R uma funcao dada. Seja x0 um ponto interno de I (ou seja um ponto que pertence a I,
mas nao e extremo) e seja tambem um ponto de maximo ou de mınimo relativo de f . Suponhamos que
f seja derivavel em x0. Entao, f ′(x0) = 0.
Exercıcio 278. Prove o teorema acima como feito em sala de aula.
Dada uma funcao f : I → R, um ponto x0 tal que f ′(0) = 0 se chama ponto crıtico ou ponto
estacionario.
Exemplo: f(x) = x2, x ∈ R. Todos os pontos do domınio sao internos e f e derivavel. Sabemos que
x = 0 e ponto de maximo absoluto (e portanto relativo) de f . O teorema de Fermat nos diz que f ′(0) = 0,
coisa que pode ser calculada facilmente.
O vice-versa do teorema nao vale. Dada uma funcao f , se f ′(x0) = 0, nao sabemos se x0 e ponto de
maximo ou mınimo relativo. x = 0 e ponto crıtico de f(x) = x3, mas nao e ponto de maximo nem de
mınimo relativo.
O teorema de Fermat e usado so para estudar pontos internos ao domınio. Se, por exemplo, consider-
amos f(x) = x, x ∈ [0, 1], sabemos que 0 e ponto de mınimo e 1 e ponto de maximo. Porem, f ′(x) = 1,
para todo x. Neste caso os pontos de maximo e de mınimo sao os extremos do domınio; o teorema de
Fermat nao pode ser aplicado.
Observacao. Resumindo, os ponto de maximo ou de mınimo relativo de uma funcao f : I → R,
devem ser procurados entre:
(1) os pontos internos do domınio onde f e derivavel e a derivada e zero;
(2) os pontos onde f nao e derivavel;
(3) os extremos de I.
Exemplo: f(x) = x3/3 − x2/2 − 3; a funcao e definida em R, que e aberto (todos os pontos sao
interiores), e derivavel em R a derivada se anula em 0 e 1. Este dois pontos sao candidatos a ser pontos
de maximo ou de mınimo relativo, mas ainda nao temos condicoes suficientes para dizer se de fato sao.
Exercıcio 279. (exercıcio importante): analise a observacao acima. Procure exemplos de funcoes
onde pontos de maximo ou mınimo sao pontos crıticos internos, outros exemplos de funcoes onde pontos
35
de maximo ou mınimo sao pontos extremos do domınio onde a funcao e derivavel mas a derivada nao e
zero, e exemplos de funcoes onde pontos de maximo ou mınimo sao pontos onde a derivada nao existe.
Exercıcio. Determine os pontos crıticos das funcoes seguintes, nos domınios associados. Mais em
geral, determine os pontos candidatos a serem pontos de maximo ou mınimo relativo. Enfim, diga quais
funcoes possuem maximo ou mınimo absolutos.
280. senx− cosx, [0, 2π] 281.x
1 + x2, [−2, 3]
282. x(x− 2)2, [0, 3] 283. senx+ | cosx|, [0, π]
284. x2 +2
x, (0,+∞) 285.
x
1 + x2, R
286. x− arctgx, R 287.x2
1 + x2, R
288. x log x, (0,+∞) 289. log x− 3arctgx, (0,+∞).
19. Segunda-feira 22 de abril de 2013
Exemplo. Consideramos f(x) =x4
4− 5
9x3 − x2
3+ 1. A funcao e contınua, porem esta definida em
R, que nao e limitado. Portanto nao podemos aplicar o Teorema de Weierstrass, ou seja, nao sabemos,
a priori, se f possui maximo e mınimo. Podemos ver que limx→±∞
f(x) = +∞ (prove como exercıcio).
Portanto f nao possui maximo absoluto. Por outro lado, possui mınimo absoluto. Para prova-lo, vamos
utilizar o limite acima na maneira seguinte.
Primeiramente pegamos, a caso, um valor do domınio, por exemplo x = 0. Temos f(0) = 1. Portanto
o mınimo absoluto, se existir, sera ≤ 1. Seja M = 2. Pela definicao de limite e pelo fato de que
limx→±∞
f(x) = +∞, existem a e b reais, a < 0 < b, tais que f(x) ≥ 2 se x ≤ a e se x ≥ 2. Portanto, o
mınimo absoluto, se existir, sera atingido no intervalo [a, b]. Neste intervalo podemos aplicar o Teorema
de Weierstrass e dizer que possui mınimo m a funcao f restrita ao intervalo [a, b]. Por outro lado, sendo
m ≤ 1 e sendo f(x) ≥ 2 se x ≤ a e se x ≥ 2, o valor m se torna necessariamente mınimo de f em todo o
domınio R.
Exercıcio 290. Estude a demonstracao acima para entender os passos e os detalhes.
Voltando a funcao, a derivada e f ′(x) = x3−5x2/3−2x/3 = x(x+1/3)(x−2). Como f e derivavel em
R e o domınio nao tem pontos extremos, os uunicos candidatos a serem de maximo ou mınimo relativo
(e mınimo absoluto, que sabemos existir) sao os pontos crıticos de f , 0, −1/3, 2. O prblema e que nao
temos ferramentas para prosseguir a investigacao. As ferramentas sao fornhecidas por um teorema, o
Teorema valor medio (ou de Lagrange), que e um dos mais importantes do curso. Antes de apresentalo,
precisa um resultado introdutorio, o Teorema de Rolle.
Teorema de Rolle (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas)
Seja f : [a, b]→ R uma funcao contınua em [a, b] e derivavel em (a, b). Se f(a) = f(b), entao, existe um
ponto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
36
Teorema do valor medio ou de Lagrange (com prova feita na sala de aula e que pode ser
cobrada nas provas) Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua em [a, b] e derivavel em (a, b). Entao,
existe um ponto c ∈ (a, b) tal quef(b)− f(a)
b− a= f ′(c).
Seja agora f : I → R uma funcao derivavel em x que fica no interior de I (ou seja x nao e extremo
de I) e tal que f ′(x) = 0. Para ver se x e ponto de maximo ou de mınimo relativo usamos os teoremas
seguintes, estritamente ligados ao teorema de Lagrange.
Exercıcio 291. Prove os teoremas de Rolle e Lagrange como feito em sala de aula.
Primeiro teorema de monotonia de uma funcao (com prova feita na sala de aula e que
pode ser cobrada nas provas) Seja I um intervalo e f : I → R uma funcao derivavel em todos os
pontos interns de I. Entao:
a) f e crescente se e somente se f ′(x) ≥ 0 para todo x no interior de I;
b) f e decrescente se e somente se f ′(x) ≤ 0 para todo x no interior de I.
Exercıcio 292. Prove o teorema acima como feito em sala de aula.
Se a funcao nao e definida em um intervalo, as implicacoes
f ′(x) ≥ 0 para todo x no interior de I =⇒ f e crescente,
f ′(x) ≤ 0 para todo x no interior de I =⇒ f e decrescente
sao falsas. A funcao 1/x e definida em R\{0} possui derivada negativa para todo x 6= 0, mas nao e
decrescente (e decrescente nos dois intervalos (−∞, 0) e (0,+∞), separadamente)
Se a funcao nao e definida em um intervalo, mas num domınio A, uniao de intervalos, continuam
valendo as implicacoes seguintes:
f e crescente =⇒ f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ A,
f e decrescente =⇒ f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ A.
Observacao: a implicacao ⇐= do primeiro teorema de monotonia pode ser provada em uma versao
um pouco mais geral (e mais util nas aplicacoes):
a) se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) ≥ 0 nos pontos internos de
I, entao f e crescente em todo I.
b) se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) ≤ 0 nos pontos internos de
I, entao f e decrescente em todo I.
Em outras palavras, se temos f : [a, b]→ R contınua em [a, b]; para dizer que f e crescente em [a, b] e
suficiente provar que f ′(x) ≥ 0 em (a, b).
20. Quarta-feira 24 de abril de 2013
Segundo teorema de monotonia
a) se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) > 0 nos pontos internos de
I, entao f e estritamente crescente em todo I.
b) se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) < 0 nos pontos internos de
I, entao f e estritamente decrescente em todo I.
37
O vice-versa do teorema nao vale, no sentido que existem funcoes estritamente crescentes tais que a
derivada pode nao ser > 0 em todos os pontos (porem deve ser ≥ 0 em todos os pontos, pelo primeiro
teorema de monotonia).
Um exemplo e dado pela funcao x3 que e estritamente crescente em R, mas a derivada e nula em zero.
Sabemos que a derivada de uma funcao constante e nula em todos os pontos. Pelo teorema de Lagrange
podemos provar o vice-versa, se a funcao e definida em um intervalo.
Exercıcio 293. Prove o teorema acima (sugestao: a prova usa o Teorema do valor medio).
Terceiro teorema de monotonia (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada
nas provas) Seja f : I → R (onde I e um intervalo), derivavel e tal que f ′(x) = 0 para todo x ∈ I.
Entao f e constante
Como ja dito, se o domınio nao e um intervalo, o teorema e falso.
f(x) =
{1 se x ∈ (0, 1)
2 se x ∈ (1, 2)
e definida em um conjunto, (0, 1) ∪ (1, 2), que nao e um intervalo, e derivavel com derivada nula em
todos os pontos, mas nao e constante.
Exercıcio 294. Prove o teorema acima como feito em sala de aula.
Exercıcio 295. Estude os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo da funcao f(x) =x2√x2 − 1
.
Diga (justificando) se f possui maximo ou mınimo absoluto.
Exercıcio 296. Seja f : [a, b]→ R derivavel. Prove (pelo menos) uma das relacoes seguintes:
(1) se f ′(a) > 0, entao a e ponto de mınimo relativo;
(2) se f ′(a) < 0, entao a e ponto de maximo relativo;
(3) se f ′(b) > 0, entao a e ponto de maximo relativo;
(4) se f ′(b) < 0, entao a e ponto de mınimo relativo.
Exercıcios: determine os pontos de maximo e mınimo relativo, se existem, das funcoes seguintes.
297. 2x3 − 9x2 + 12x− 1 298. x3 + x2 + x+ 1
299. x3 − x4 300. x(x− 1)2
301.x√
x2 − 1302.
x4√1− x2
Exercıcios: determine os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo, se existem, das funcoes
seguintes, nos conjuntos indicados ao lado. Determine tambem o maximo e o mınimo absoluto, se existem.
303. x3 + x2, [0,+∞) 304. | senx|,[−π
2,π
2
)305. [x], [0, 2] 306. senx− x cosx, R
307. x2, (0, 1) 308. cos2 x2, [−√π,√π]
21. Sexta-feira 26 de abril de 2013
38
Problemas de otimizacao
309. (Feito em sala de aula) Imagine que o desenho a esquerda represente uma praia. Em B temos o
nosso guarda-sol. Queremos ir ao bar que esta em C. No ponto O comeca uma calcada de madeira que
chega ate o bar, e onde imos mais rapidamente do que na areia.
Suponhamos que a velocidade na areia seja 1 metro ao segundo, enquanto na calcada 2m/sec. Supon-
hamos que os segmentos OB e OC sejam perpendiculares. Alem disso, a calcada tem 10 metros de
comprimento, enquanto OB e 15 m. Partindo de B, determine em qual ponto della calcada precisa
entrar (continuando dalı ate o bar) para render mınimo o tempo para chegar ao bar.
310. Olhando o desenho a direita, entre todos os segmentos verticais entre as parabolas de equacoes
2y = 4− x2, onde y ≥ 0, e 3y = x2 − x− 6, determine aquele de comprimento maximo.
B. O.
C.
-
6
Exercıcio 311. (Feito em sala de aula) Queremos produzir latas de bebida gastando a menor quan-
tidade possıvel de alumınio. Supondo que uma lata de bebida seja um cilindro circular reto, com a
capacidade de V dada (por exemplo 350 ml), determine o raio da base e a altura que rendem a area total
mınima.
Exercıcio 312. De informacoes sobre o numero e o sinal das solucoes da equacaox4
4−5
9x3−x
2
3+1 = 0.
Exercıcio 313. De informacoes sobre o numero e o sinal das solucoes da equacaox4
4−5
9x3−x
2
3+k = 0,
dependendo do valor do parametro real k.
Exercıcios: De informacoes sobre o numero e o sinal das solucoes das equacoes seguintes:
Exercıcios: De informacoes sobre o numero e o sinal das solucoes das equacoes seguintes:
314. −1
3x3 − 3
4x2 + x+ 2 = 0 315. x3 − 3x2 + 8x = 0
316. x4 − 6x2 + 4 = 0 317. x4 − 2x3 + x2 + 1 = 0
318. x2 − x− log x = 0
Sugestao para o exercıcio acima: de fato temos a equacao x2−x = log x. Ou seja, estamos procurando
os pontos onde os graficos das funcoes x2 − x e log x se tocam. Um desenho e oportuno e ajuda. Nao
esquecendo que nao existe nenhuma resolucao de exercıcio atraves de uma abordagem ”grafica”. Porem,
o desenho, quando possıvel, da ideias e sugestoes.
319. x3 + x2 − k + 1 = 0, variando k em R 320. x3 − 2x2 + k − 1 = 0, variando k em R
321. (difıcil) (20x3 − 11x2 − 3x) log
(x+
1
2
)= −2 322. ex − x3 + 2x− 2 = 0
39
323. Entre todos os retangulos de perımetro fixado determine aquele de area maxima. Existe aquele de
area mınima?
324. Entre todos os retangulos de area fixada determine aquele de perımetro mınimo. Existe aquele de
perımetro maximo?
325. Seja dado um triangulo retangulo T . Denotamos por a e b as medidas dos catetos. Seja dada a
definicao seguinte: um retangulo e dito inscrito em T se dois dos seus lados estao sobre os catetos do
triangulo e um dos seus vertices V esta na ipotenusa. Determine, entre todos os retangulos inscritos em
T , aquele de area maxima.
b
a
V
326. Seja dado um retangulo de papelao, cujos lados medem h e b respectivamente. Queremos construir
uma caixa cortando, nos cantos, quatro quadrados de lado l e levantandos os pedacos que sobram.
Determine l tal que o volume seja maximo.
bh
l 6
?
-�
327. Entre todas as piramides retas de base quadrada e de area total fixada determine aquela de volume
maximo.
328. Determine em quais pontos a funcao seguinte e derivavel e calcule a derivada:
f(x) =
x2 + x se x > 0
0 se x = 0
senx se x < 0
329. No desenho abaixo o arco acima do retangulo e a semicircunferencia de diametro igual a base
do retangulo. Entre todas as figuras de perımetro fixado P , determine a medida dos lados que rendem a
area maxima.
40
330. Determine os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo (se existem) de f(x) = arctgx +1
x+ 1. Diga se a funcao possui maximo e mınimo.
331. Determine os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo (se existem) de f(x) = |x2− 4|5/3.
Diga se a funcao possui maximo e mınimo.
Test a multipla escolha:
332. Dada uma funcao f : R\{0} → R, condicao suficiente para que f seja inversıvel e que seja
a) contınua em todo o domınio. b) Derivavel com derivada positiva.
c) Estritamente crescente. d) Estritamente crescente em (−∞, 0) e
em (0,+∞), separadamente.
e) Estritamente crescente em (−∞, 0) e
Estritamente decrescente em (0,+∞).
f) Nenhuma das respostas acima e cor-
reta.
333. Seja f : [a, b]→ R derivavel em x0 ∈ [a, b]. Se x0 e ponto de maximo relativo, entao f ′(x0) = 0. Este
enunciado assemelha ao teorema de Fermat, mas escrito assim e falso. Qual hipotese devemos adicionar
para que seja verdadeiro?
a) x0 ∈ (a, b). b) f derivavel em [a, b] (nao so em x0).
c) f derivavel [a, b] com derivada
contınua.
d) nenhuma das resposta acima e cor-
reta.
334. Seja f definida em [−1, 1]. Diga qual das condicao seguintes e suficiente para que a equacao f(x) = 0
tenha solucao:
a) f contınua e f(−1) < f(1). b) f derivavel e f(−1) < f(1).
c) f(−1) < 0 e f(1) > 0. d) f contınua, crescente e f(−1) < f(1).
e) nenhuma das condicoes anteriores
garante a existencia da solucao de f(x) =
0.
Outros Exercıcios:
Guidorizzi, pag. 237/8, faca alguns; pag. 242/4, faca alguns; pag. 254/6, faca alguns; pag. 278/9, faca
alguns; pag. 282/4.
41
22. Segunda-feira 29 de abril de 2013
Aula de Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
Excercıcios abordados e resolvidos em sala de aula.
1. Escreva a derivada da funcao f(x) = cos(log(x2 + x)).
2. Calcule a derivada de f(x) =
x2 + x se x > 0
0 se x = 0
senx se x < 0
3. Calcule a derivada de f(x) =
{x2 cos
1
xse x 6= 0
0 se x = 0
4. Escreva a equacao da reta tangente a funcao f(x) = arctgx no ponto (1, f(1).
23. Sexta-feira 3 de maio de 2013
Exercıcio 335. (feito em sala de aula) Consideramos a funcao f(x) = x4 + tgx+ 1. Prove que existe
um intervalo de tipo (−a, a) (onde a e um oportuno numero positivo) tal que f e inversıvel em (−a, a).
Calcule, em seguida, D(f−1)(1).
A ideia do exercıcio e a seguinte: f e derivavel em todo o domınio e f ′(x) = 4x3 + 1 + tg 2x. Se x > 0,
f ′(x) e obviamente positiva, mas se x < 0, nao podemos dize-lo. Por outro lado f ′(0) = 1. Pelo teorema
da conservacao do sinal das funcoes contınuas (pag. ??) e observando que f ′(x) e contınua, podemos
dizer que existe um intervalo (−a, a) onde f ′(x) mantem o sinal positivo. Portanto, usando o segundo
teorema de monotonia (aula do 24 de abril), podemos dizer que f e estritamente crescente em (−a, a) e
portanto inversıvel.
Observamos que f(0) = 1. Portanto, podemos dizer que D(f−1)(1) =1
f ′(0)=
1
1= 1.
Definicao. Seja f uma funcao definida em um intervalo I e derivavel em I. A segunda derivada de
f em um ponto x0 ∈ I e (se existe) a derivata da derivaaa de f , calculada em x0, ou seja:
f ′′(x0) = limx→x0
f ′(x)− f ′(x0)
x− x0.
Portanto, para distinguir, podemos chamar f ′ de primeira derivada de f .
Podemos continuar e definir, dependendo de como e feita f , as derivadas terceira, quarta, etc. Nao
e difıcil provar que funcoes como os polinomios, as exponenciais, logaritmos, trigonometricas, e muitas
outras, possuem derivadas ate qualquer ordem.
Uma excecao e a funcao
g(x) =
{x2 se x ≥ 0
−x2 se x < 0
que possui primeira derivada em todo R, mas a derivada segunda em zero nao existe.
Exercıcio 336. Prove o fato acima.
Definicao de funcoes convexa e concava. Seja I intervalo e f : I → R uma funcao dada. Dizemos
que f e convexa se, para cada par de pontos x0 e x1 em I temos que a altura do segmento por (x0, f(x0))
e (x1, f(x1)) e maior ou igual da altura do grafico de f entre x0 e x1.
42
Dizemos que f e concava se, para cada par de pontos x0 e x1 em I temos que a altura do segmento
por (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)) e menor ou igual da altura do grafico de f entre x0 e x1.
funcao convexa (a esquerda) e concava (a direita).
-
6
�����������
x0 x1
f(x0)
f(x1)
-
6
HHHHH
HHHHHH
HH
x0 x1
f(x0)
f(x1)
Uma funcao convexa (ou concava) nao e necessariamente derivavel (como o desenho parece indicar):
por exemplo f(x) = |x| e convexa. Alem disso, uma funcao linear (cujo grafico e uma reta) e ao mesmo
tempo convexa e concava.
Exercıcio 337. Prove as observacoes acima.
Sejam I = [a, b] e c ∈ (a, b). Seja f : I → R dada. O ponto c e dito de inflexao se f e convexa em [a, c]
e concava em [c, b] ou se f e concava em [a, c] e convexa [c, b].
o ponto c e de inflexao e a reta r e tangente ao grafico em (c, f(c)).
-
6
c
r
@@@
@@@@
Teorema: relacao entre concavidade/convexidade e derivada segunda. Seja I um intervalo
e f : I → R derivavel duas vezes em I com derivada segunda contınua. Entao:
i) f e convexa se e somente se f ′′(x0) ≥ 0 para todo x ∈ I,
ii) f e concava se e somente se f ′′(x0) ≤ 0 para todo x ∈ I.
Exercıcio 338. Explique qual e a ideia que justifica o resultado acima, conforme o trabalho feito em
sala de aula.
Teorema: uso da segunda derivada para maximos/mınimos. Seja I um intervalo e f : I → Rderivavel duas vezes em I com derivada segunda contınua. Seja x0 ponto interior de I (nao extremo) tal
que f ′(x0) = 0. Entao:
i) se f ′′(x0) > 0, entao x0 e ponto di mınimo relativo de f ,
ii) se f ′′(x0) > 0, entao x0 e ponto di maximo relativo de f .
Se x0 no interior de I for ponto crıtico e f ′′(x0) = 0, nao temos um comportamento geral em relacao
ao problema de maximo/mınimo relativo. Veja-se como exemplos as funcoes x3, x4 −x4: zero e ponto
43
crıtico de todas e todas veem anular-se a segunda derivada em zero. Este ponto e, respectivamente, de
inflexao, de mınimo relativo e de maximo relativo.
Exercıcio 339. Explique qual e a ideia que justifica o resultado acima, conforme o trabalho feito em
sala de aula.
24. Segunda-feira 6 de maio de 2013
Resumo dos conceitos da aula anterior.
Exercıcio 340. Estude os pontos de maximo e mınimo absolutos e relativo de f(x) = x2 log x.
Determine os intervalos onde a funcao e convexa ou concava.
Exercıcio 341. Calcule a segunda e a terceira derivada das funcoes seguintes:
x2 senx2x
log x
√1 + x x2 senx x3 − sen 2x log senx log(x+ x2) ex cosx
Exercıcio 342. Diga se x = 0 e ponto de maximo ou mınimo relativo das funcoes seguintes:
x− sen 2x x3 log(1− x) x4ex1− x4
1 + x2
Exercıcio 343. Determine os intervalos de concavidade e convexidade da funcoes seguintes
x2ex x3 − 3x2 x4 − 2x2 + 1 x log x (x2 + x)e−x1
x2 + 3
25. Quarta-feira 8 de maio de 2013
Excercıcio 326 feito em sala de aula por Jeovanny.
Os teoremas de De L’Hopital sao uma ferramenta importante para o calculo de alguns limites com-
plicados, expressos em forma indeterminada do tipo 0/0 ou ±∞/ ±∞. O enunciado seguinte reune os
varios enunciados em uma forma unica, mais facil.
Teorema (De L’Hopital). Seja I um intervalo (fechado ou nao, limitado ou nao), seja x um ponto de
I ou um extremo de I (que pode pertencer ou nao a I) ou seja x = ±∞. Sejam f, g : I\{x} → R (ou
seja f e g sao definidas em I com a possıvel excecao de x). Suponhamos que f e g sejam derivavels em
I\{x} e que o limite
limx→x
f(x)
g(x)
se apresente em uma forma indeterminada. Se
limx→x
f ′(x)
g′(x)
existe e vale l, onde l pode ser um numero ou ±∞, entao
limx→x
f(x)
g(x)= l.
Exercıcio 344. Calcule o limite
limx→0
log(1 + senx)
x cosx
44
Exercıcio 345. Calcule o limite
limx→0
x− senx
x3
Neste exercıcio precisa aplicar mais vezes o teorema de De L’Hopital. Porem, o limite limx→0senx
xnao
pode ser abordado pelo teorema de De L’Hopital porque o conhecimento da derivada do seno requer o
conhecimento do limite. Ou seja, caimos num cırculo vicioso.
Exercıcio 346. Pela mesma razao, nao podemos aplicar o teorema de De L’Hopital para calcular os
limites
limx→0
ex − 1
xe lim
x→0
log(x+ 1)
x.
Explique os detalhes.
Exercıcio 347. Calcule o limite
limx→1
1
x− 2 + x
sen 2(πx)
Exercıcio 348. Calcule o limite
limx→+∞
log(1 + e2x)
x
Exercıcio 349. Calcule o limite
limx→+∞
log x
x
Exercıcio 350. Calcule o limite (generalizando o caso acima)
limx→+∞
(log x)b
xa
onde a > 0, b > 0.
Exercıcio 351. Calcule o limite
limx→+∞
log x
x
Exercıcio 352. Calcule o limite
limx→+∞
x
ex
Exercıcio 353. Calcule o limite (generalizando o caso acima)
limx→+∞
xb
ax
onde a > 1, b > 0.
Exercıcio 354. Calcule o limite
limx→+∞
x(
arctgx− π
2
)Exercıcio 355. Calcule o limite
limx→0
x log x
Exercıcio 356. Calcule o limite
limx→0
xx
45
Este limite se apresenta em uma forma nova para o curso que estamos estudando, a forma 00. Que e
indeterminada. Por outro lado observe que valem as igualdades xx = elog xx
= ex log x. Agora, usando o
limite anterior e o limite para composicao, podemos resolver o exercıcio.
Exercıcio 357. Calcule o limite
limx→0
x
x+ 1
Este limite e facil. E uma aplicacao da algebra dos limites e o resultado e 0. Se aplicarmos o teorema
de De L’Hopital, encontramos como limite 1. Qual e o problema? O problema esta no fato de que o
limite nao se apresenta em uma forma indeterminada. E portanto o teorema de De L’Hopital nao pode
ser aplicado.
Exercıcio 358. Calcule o limite
limx→+∞
x+ senx2
x2 + 1Este limite pode ser abordado pelo teorema do confronto e vale 0. Se tentarmos aplicar o teorema de
De L’Hopital, vemos que o limite da fracao das derivadas nao existe. Este fato nao esta em contradicao
com o teorema de De L’Hopital. O teorema, de fato, diz que se
limx→x
f ′(x)
g′(x)
existe e vale l, onde l pode ser um numero ou ±∞, entao
limx→x
f(x)
g(x)= l.
Porem, se o limite
limx→x
f ′(x)
g′(x)
nao existe, tudo pode acontecer sobre
limx→x
f(x)
g(x),
porque neste caso o teorema nao diz nada.
Exercıcio 359. Calcule os limites seguintes:
limx→0
ex − 1− xx2
limx→+∞
x log1 + x
xlimx→0
log cosx
x2lim
x→π/4
senx− cosx
sen 4x
limx→−∞
log(3 + senx)
xlimx→0+
cosx
xlimx→1−
√1− x2
arccosx
Exercıcio 360. Diga para quais valores reais a temos limx→+∞(√
4x2 + x− 2x− a) = −1/2.
Outros Exercıcios:
Guidorizzi, pag. 422/4, faca alguns; pag. 261/2.
26. Sexta-feira 10 de maio de 2013
Exercıcios para a preparacao da prova P2.
27. Segunda-feira 13 de maio de 2013
46
Exercıcios para a preparacao da prova P2.
28. Quarta-feira 15 de maio de 2013
Exercıcios para a preparacao da prova P2.
29. Sexta-feira 17 de maio de 2013
Prova P2.
30. Segunda-feira 20 de maio de 2013
Introducao ao calculo integral. Dado um intervalo [a, b], definimos particao de [a, b] um conjunto finito
P de pontos de [a, b], P = {x0, x1, ..., xn}, tal que a = x0 < x1 < ... < xn = b. De fato, P e um conjunto
ordenado de n+ 1 pontos e determina n intervalos Ik = [xk−1, xk], onde k vai de 1 a n.
Uma escolha de pontos E = {c1, ..., cn}, relativa a uma particao P = {x0, x1, ..., xn}, e um conjunto
finito de pontos de [a, b] tal que ck ∈ [xk−1, xk] para cada k = 1, ..., n.
Dadas uma particao P e uma escolha de pontos E relativa a P , o par α = (P, S) e dito particao
pontuada de [a, b].
Consideramos uma funcao f : [a, b]→ R. A cada particao pontuada α = (P,E) associamos o numero
Sf (α) =
n∑k=1
f(ck)(xk − xk−1),
onde xk ∈ P e ck ∈ E. A figura abaixo mostra duas diferentes particoes pontuadas para uma dada funcao
f . A altura de cada retangulo nos desenhos e determinada da escolha de pontos relativa a particao.
x0 x1c1-
6
-
6
Intuitivamente a integral de f em [a, b] e obtida como passagem ao limite dos numeros Sf (α) quando o
numero dos intervalos das particoes tende para infinito e as medidas destes intervalos tendem para zero.
Precisamente: dada α = (P, S), definimos o numero A(α), dito afinacao de α, como o maximo entre
as medidas de todos os intervalos que compoem α.
Definicao. Dizemos que f e integravel em [a, b] se existe um numero real I tal que
limA(α)→0
Sf (α) = I,
47
isto e, lembrando a definicao de limite de uma funcao, se para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que, se α e
uma particao pontuada com afinacao menor de δ, temos |Sf (α)− I| < ε. O numero I e dito integral de
f em [a, b].
A integral de f em [a, b] e geralmente denotada pelo sımbolo∫ b
a
f(x) dx.
A funcao f(x), dentro sımbolo de integracao, e chamada funcao integranda.
Uma consequencia intuitiva que vamos dar sem prova e a proposicao seguinte.
Proposicao. Se uma funcao f : [a, b]→ R e integravel, entao e tambem integravel em cada intervalo
[c, d] contido em [a, b].
Quais sao as funcoes integraveis? O teorema seguinte individua uma parte, importante, mas incom-
pleta. Para a determinacao da classe de todas as funcoes integraveis precisarıamos de nocoes complicadas
que vao alem das necessidades do curso.
Teorema. Se uma funcao f : [a, b] → R e limitada e contınua em todos os pontos exceto (ao mais)
um numero finito, entao e integravel.
Corolario. Uma funcao f : [a, b]→ R contınua e integravel.
Observe que, no corolario acima, o domınio e um intervalo limitado e fechado. Portanto, pelo Teorema
de Weierstrass, f e tambem limitada.
Observacao. A definicao de funcao integravel pode ser estendida a algumas funcoes definidas em
intervalos de tipo [a, b], exceto em um numero finito di pontos. Consideramos por exemplo
f(x) =senx
x, x ∈ (0, 1].
A funcao e contınua e limitada. Ela pode ser prolongada in tudo [0, 1] (nao necessariamente con
continuidade). Consideramos dois prolongamentos
g(x) =
senx
x0 < x ≤ 1
1 x = 0,h(x) =
senx
x0 < x ≤ 1
2 x = 0.
A g e contınua (e o prolongamento contınuo de f), enquanto a h e descontınua em x = 0. Ambas as
funcoes sao integraveis gracas ao teorema anterior e podemos provar, usando a definicao de integral, que∫ 1
0g(x) dx =
∫ 1
0h(x) dx. Portanto, definimos a integral∫ 1
0
senx
xdx,
mesmo se a funcao integranda nao e definida em tudo o intervalo, associando o valor da integral∫ 1
0l(x) dx,
onde l e um qualquer prolongamento de f em [0, 1].
Generalizando este argumento, obtemos uma extensao util do teorema acima, definindo a integral de
funcoes definidas em intervalos, com a excecao (possıvel) de um numero finito de pontos, contınuas e
limitadas.
Teorema. Dado um intervalo [a, b], denotamos por E o intervalo [a, b] sem um numero finito de
puntos. Dada uma funcao f definida em E, contınua e limitada, existe a integral∫ bag(x) dx de cada
prolongamento g(x) de f(x) em [a, b] e tal integral e independente da escolha de g.
48
Definimos portanto∫ baf(x) dx =
∫ bag(x) dx onde g(x) e um prolongamento qualquer de f(x) em [a, b].
Vale, inclusive, a proposicao seguinte.
Proposicao. Se f : [a, b]→ R e integravel e g : [a, b]→ R difere de f por um numero finito de puntos,
entao g(x) e integravel e∫ baf(x) dx =
∫ bag(x) dx.
Exercıcio (difıcil) 361. A assim chamada funcao de Dirichlet f : [0, 1]→ R e definida como
f(x) =
{1 se x e racional
0 se x e irracional.
Prove, aplicando a definicao de integral, que f nao e integravel.
Exercıcio 362. Seja
f(x) =
{1/x se 0 < x ≤ 1
0 se x = 0.
Prove, aplicando a definicao de integral, que f nao e integravel.
Teorema. [propriedades algebricas da integral] Sejam f, g : [a, b] → R duas funcoes integraveis e c
um numero real. Entao segue:
i) f + g e integravel e∫ ba
(f + g)(x) dx =∫ baf(x) dx+
∫ bag(x) dx,
ii) cf e integravel e∫ ba
(cf)(x) dx = c∫ baf(x) dx,
iii) se r ∈ [a, b],∫ baf(x) dx =
∫ raf(x) dx+
∫ brf(x) dx,
iv) se f ≤ g,∫ baf(x) dx ≤
∫ bag(x) dx,
v) se f ≥ 0,∫ baf(x) dx ≥ 0 (caso particular do acima),
vi) |f | e integravel e∣∣∣∫ ba f(x) dx
∣∣∣ ≤ ∫ ba |f(x)| dx (caso particular do iv)).
Exercıcio 363. Calcule, aplicando diretamente a definicao, as integrais seguintes:∫ 2
1
3 dx,
∫ 3
0
2x+ 1 dx.
Exercıcio 364. Explique o processo de Arquimedes, visto em sala de aula, que leva ao calculo da
area do assim chamado segmento de parabola, ou seja da regiao do plano euclidiano R2 delimitada pelas
retas x = 0, x = 1, y = 0 e pela parabola de equacao y = x2.
31. Quarta-feira 22 de maio de 2013
e
32. Sexta-feira 24 de maio de 2013
Ate agora, a integral foi definida pelo classico sımbolo, aquele tipo de letra “s” esticada,1 colocado
em baixo o primeiro extremo ”a” do intervalo [a, b] e colocando em cima o segundo extremo b. Sera util
definir a integral∫ abf(x) dx, porque em varias aplicacoes e contas aparece a necessidade de inverter os
extremos. A definicao desta integral com extremos na ordem inversa e∫ a
b
f(x) dx = −∫ b
a
f(x) dx.
1Este sımbolo deve-se ao fato que a “s” e inicial de soma, e a integral e concebida como uma soma que passa ao limite.
Esta foi a notacao escolhida desde o final do seculo de 1600.
49
A igualdade acima e simplesmente uma definicao, e nao precisa de explicacao logica. Por outro lado,
uma possibilidade de dar um significado a formula acima pode levar em conta a ideia de que na integral∫ baf(x) dx a variavel x e como se viajasse de a ate b, enquanto na integral
∫ abf(x) dx x viaja no sentido
oposto. Neste sentido podemos entender que as duas integrais tem sinal oposto.
Exercıcio 365. Pegue a formula iii) do teorema anterior e use-a para provar que∫ STf(x) dx =∫ U
Tf(x) dx +
∫ SUf(x) dx, qualquer seja a ordem dos numeros reais S, T, U e posto que as tres integrais
acima existam.
* * * * *
O teorema fundamental do calculo integral e o instrumento principal para resolver, quando for possıvel,
o problema do calculo da integral de uma funcao em um intervalo. O teorema precisa do seguinte resultado
preliminar.
Teorema da media integral. (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas)
Dada f : [a, b]→ R contınua, existe c ∈ [a, b] tal que∫ baf(x) dx
b− a= f(c).
Para introduzir teorema fundamental do calculo integral, e preciso o conceito de funcao integral.
Definicao. Dado um intervalo [a, b], seja f : [a, b]→ R uma funcao integravel. A funcao F : [a, b]→ R,
definida por
F (x) =
∫ x
c
f(t) dt,
e dita funcao integral.
Teorema fundamental do calculo integral. (com prova feita na sala de aula e que pode ser
cobrada nas provas) Sejam dados um intervalo [a, b] e uma funcao contınua f : [a, b]→ R. Entao a funcao
integral
F (x) =
∫ x
a
f(t) dt
e derivavel em cada x ∈ [a, b] e temos
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].
Alem disso, se G(x) e uma outra funcao derivavel tal que G′(x) = f(x) para cada x ∈ [a, b], entao
G(b)−G(a) =
∫ b
a
f(x) dx.
A igualdade anterior e chamada formula fundamental do calculo integral.
Dada uma funcao f : I → R (onde I e um qualquer intervalo), se f possui uma funcao G : I → R tal
que G′(x) = f(x) para todo x ∈ I, G e chamada primitiva de f .
Como fiz na pagina ?? para as derivadas, aqui coloco uma lista de primitivas elementares.
FUNCAO f(x) PRIMITIVA G(x)
0 (funcao nula) c, onde c ∈ R
c (c ∈ R, constante) cx
50
xα (α ∈ R, α 6= −1)xα+1
α+ 11
xlog |x|
Acima temos uma pequena excecao a respeito da definicao, sendo 1/x definida em R \ 0 que nao e um
intervalo.
senx − cosx
cosx senx
ex ex
Poderıamos continuar. Observe que, por exemplo, uma primitiva de f(x) = 2x e G(x) = x2, mas nao
e a unica. Todas as (infinitas) funcoes do tipo H(x) = x2 + c, onde c e constante, sao primitivas de 2x.
Assim, se uma funcao possui primitiva G, de fato possui infinitas, ou seja, todas as perturbacoes G(x)+c.
Vice-versa, se f(x) e definida em um intervalo, todas as primitivas diferem entre si por uma constante
(esta e uma consequencia do teorema do valor medio)
Exercıcio 366. Prove a observacao acima. Ou seja, prove que se f(x) e definida em um intervalo e
G(x), H(x) sao duas primitivas, entao existe uma constante c tal que G(x)−H(x) = c.
Exercıcio 367. Escreva duas primitivas de 1/x (lembrando que a funcao nao e definida em um
intervalo) que nao diferem por uma constante.
Exercıcio 368. Prove o teorema da media integral.
Exercıcio 369. Prove o teorema fundamental do calculo integral.
Proposicao. Uma funcao f : I → R, contınua admite uma primitiva.
Definicao. O conjunto de todas as primitivas de uma funcao f (se existem) se chama integral in-
definida de f e denota-se pelo sımbolo ∫f(x) dx.
Cuidado em nao confundir os dois sımbolos∫ b
a
f(x) dx e
∫f(x) dx.
Os sımbolos sao quase iguais, mas representam duas coisas diferentes: o primeiro e a integral, definida
como passagem ao limite na aula do 20 de maio. As vezes e chamada integral definida. A integral definida
e um numero. O segundo e uma famılia de funcoes (ou uma primitiva particular, escolhida).
Exercıcio 370. Calcule as integrais (definidas) seguintes:∫ π/2
0
senx dx
∫ π
0
cosx dx
∫ 1
0
√x dx
∫ 3
2
x2 dx
∫ 4
3
3x+ 5 dx
∫ 2
1
1
xdx
∫ π
0
senx dx
∫ π
0
cos(2x) dx
∫ 1
−1
3√x4dx
∫ 3
2
x2 dx
∫ 4
−3|x| dx
∫ 2
1
1
x2 + 1dx
Exercıcio 371. Determine as areas das porcoes de plano incluidas entre as curvas seguintes:
1) y = x, y = ex, 0 ≤ x ≤ 1
2) y = x2, y = 2x− x2
51
3) y = x2, y = 2x, y = 2− x
Outros exercıcios:
Guidorizzi, pag. 294/5, faca alguns; pag. 306/8, faca alguns; pag. 314/5, faca alguns.
33. Segunda-feira 27 de maio de 2013
Como dito em sala de aula, a procura da primitiva de uma funcao e a operacao exatamente oposta
ao calculo da derivada. Se, por um lado, temos metodos para calcular a derivada de um funcao expressa
como soma, produto, composicao etc. das funcoes elementares, por outro lado, o calculo da primitiva
de uma funcao pode ser muito complicado, ate um nıvel tal que se torna praticamente impossıvel a sua
execucao. Escrevendo, por exemplo, uma funcao como f(x) = cos(log√
1 + x2), nao temos a menor
ideia de qual seja a expressao da primitiva dela (que com certeza existe e e definida em tudo R, sendo a
f contınua).
A situacao e ate pior: foi provado que para algumas funcoes contınuas, que portanto admitem primitiva,
nao e possıvel escrever a primitiva como soma, produto, composicao etc. das funcoes elementares. Uma
breve lista de tais funcoes e a seguinte:
ex2
,senx
x,
log x
1 + x, cosx2.
Vamos tomar por exemplo ex2
. Esta funcao e contınua e entao admite primitiva em tudo R. Pelo
teorema fundamental do calculo integral toda funcao do tipo
Fa(x) =
∫ x
a
et2
dt, a ∈ R, fixado,
e primitiva de ex2
. (Para cada escolha de a real, temos todas as infinitas primitivas de ex2
.) Todavia,
a Fa(x) nao pode ser escrita em termos de funcoes elementares. Quero destacar este fato: nao e que
o problema de representar Fa(x) e dıficil e nao se sabe resolver. Este problema nao tem solucao (foi
demonstrado).
Aquilo que podemos fazer, voltando ao problema geral da procura de primitivas de funcoes contınuas,
e classificar algumas tecnicas para determinar as primitivas de alguns grupos de funcoes especiais.
Integracao por partes. E uma tecnica usada para procurar primitivas de funcoes escritas, geral-
mente, como produto de funcoes. E uma consequencia da formula da derivacao do produto.
Consideramos duas funcoes f(x) e g(x) derivaveis em um intervalo. Temos:
D(f(x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).
entao
f(x)g(x) =
∫f ′(x)g(x)dx+
∫f(x)g′(x) dx.
Se, portanto, queremos resolver∫h(x)k(x)dx, podemos procurar uma primitiva de h(x) ou de k(x), por
exemplo H(x) primitiva de h(x), e depois escrever∫h(x)k(x) dx = H(x)k(x)−
∫H(x)k′(x) dx.
A escolha se procurar primeiro a primitiva h ou de k e em funcao de obter contas mais simples.
Exercıcios 372. Calcule as primitvas seguintes:
52
∫log x dx,
∫(x+ 1)ex dx,
∫arctgx dx,
∫arcsenx dx,
∫cos2 x dx,∫ √
1− x2 dx,∫x log x dx,
∫x2e−x dx,
∫x senx dx,
∫(x3 + 1) log x dx,
∫2xarctgx dx,
∫ex cosx dx,
∫2x log(x+ 1) dx,
∫2xarcsenx dx,
∫sen 2x dx,
Outros exercıcios:
Guidorizzi, pagg. 358-9, faca alguns.
34. Quarta-feira 29 de maio de 2013
Integracao do tipo∫f(g(x)) · g′(x) dx, ou seja, de funcoes do tipo “derivada de funcao
composta”.
Estudamos uma integral indefinida do tipo∫f(g(x)) · g′(x) dx.
A forma f(g(x)) · g′(x), ou seja, a forma do tipo “derivada de funcao composta” e particularmente
simples, posto que conseguimos reconhecer que a integranda e deste tipo. Neste caso a ideia e a seguinte:
abordamos um problema diverso, esquecendo por um minuto a integral acima. Ou seja estudamos∫f(t) dt.
(Podemos pensar ter feita a substituicao t = g(x).) Se conseguimos resolver a primitiva acima, ou seja,
calcular
F (t) =
∫f(t) dt,
escrevemos depois F (g(x)). Fazendo a derivada desta funcao, com a regra de derivacao de funcoes
compostas, obtemos D(F (g(x))) = f(g(x)) · g′(x). Portanto F (g(x)) sera a solucao do nosso problema.
Alguns exemplos: ∫(g(x))a · g′(x) dx =
(g(x))a+1
a+ 1(a 6= −1)∫
g′(x)
g(x)dx = log |g(x)|∫
sen g(x) · g′(x) dx = − cos g(x)∫eg(x) · g′(x) dx = eg(x)
Exercıcio 373. Verifique as formulas acima.
Exercıcio 374. Calcule as integrais seguintes:∫
sen 5x cosx dx,∫
tgx dx,∫ex cos ex dx,
∫xex
2
dx.
53
Observacao: neste casos as integrandas se apresentam como produt ode funcoes, ma nao se usa a
integracao por partes.
35. Segunda-feira 3 de junho de 2013
Aula do Professor Valentin Ferenczi
Primitivas de funcoes racionais.
Seja f(x) =P (x)
Q(x). Procuramos ∫
P (x)
Q(x)dx
onde P e Q sao polinomios. Se o grau de P e ≥ do grau de Q, fazemos a divisao obtendo
f(x) = P (x) +R(x)
Q(x).
O problema e agora ∫R(x)
Q(x)dx.
Entao, voltando a ∫P (x)
Q(x)dx
suponhamos que o grau de P seja < do grau de Q.
Exemplo ∫2x+ 1
x2 + x− 2dx.
O denominador possui duas raizes reais 1 e −2. Escrevemos
2x+ 1
x2 + x− 2=
A
x− 1+
B
x+ 2, (1)
onde A e B sao constantes que queremos determinar para verificar a igualdade acima, para cada x. Temos
2x+ 1
x2 + x− 2=A(x+ 2) +B(x− 1)
(x− 1)(x+ 2)=
(A+B)x+ 2A−B(x− 1)(x+ 2)
.
Ou seja, (A+B)x = 2x e 2A−B = 1. Portanto A e B devem solucionar o sistema{A+B = 2
2A−B = 1
as solucoes sao A = 1 e B = 1. Obtemos
2x+ 1
x2 + x− 2=
1
x− 1+
1
x+ 2,
enfim, ∫2x+ 1
x2 + x− 2dx = log |x− 1|+ log |x+ 2|+ c.
54
No problema ∫x− 2
(x+ 3)2dx.
o denominador possui raiz dupla, −3. Entao, usamos a formula
x− 2
(x+ 3)2=
A
(x+ 3)2+
B
x+ 3
onde A e B sao constantes incognitas. Temos
x− 2
(x+ 3)2=A+B(x+ 3)
(x+ 3)2.
Isso implica B = 1 e A+ 3B = −2, ou seja A = −5. Portanto
x− 2
(x+ 3)2= − 5
(x+ 3)2+
1
x+ 3
enfim ∫x− 2
(x+ 3)2dx =
5
x+ 3+ log |x+ 3|+ c.
Seja o problema ∫1
x2 + x+ 2dx.
Procuramos uma primitiva da forma arctg (f(x)). Para este fim escrevemos o denominador como
x2 + x+ 2 = (x+ a)2 + b. Procuramos a. O termo de grau 1 de (x+ a)2 + b e obviamente 2ax; portanto
deve ser 2ax = x, ou seja a = 1/2. entao, b = 7/4.
Agora precisamos do denominador na forma (αx+ β)2 + 1. No nosso caso
1
x2 + x+ 2=
4
7
1(2√7x+
1√7
)2
+ 1
.
Obtemos portanto ∫1
x2 + x+ 2dx =
2√7
arctg
(2√7x+
1√7
).
em conclusao: ∫3x− 2
x2 + x+ 2dx =
3
2
∫2x+ 1
x2 + x+ 2dx− 7
2
∫1
x2 + x+ 2dx =
3
2log(x2 + x+ 2
)−√
7 arctg
(2√7x+
1√7
)+ c.
Exercıcios 375. Determine as primitivas seguintes
∫1
(x+ 1)(x− 2)dx,
∫1
x2 + x+ 1dx,
∫1
x(x+ 2)dx,
∫x+ 3
x+ 3x2dx,
∫1− x
(1 + x)(1 + 3x)dx,
e seguintes (um pouco mais difıceis)
∫1
x(x+ 1)2dx,
∫x− 3
x(x2 − 2x+ 1)dx,
∫1
(x2 + 1)(x2 − 1)dx,
∫x2 + 1
(x+ 1)2(1− x)dx,
∫1
x(x2 + 1)dx.
55
Outros exercıcios:
Guidorizzi, pagg. 372/3, faca alguns; pagg. 376/7, faca alguns; pag. 381, faca alguns.
36. Quarta-feira 5 de junho de 2013
Aula de Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
Integracao por substituicao: outros exemplos. Seja f(x) contınua em um intervalo I (ou em
um conjunto um pouco mais geral, como a uniao de intervalos).
Seja F (x) uma primitiva de f(x). Consideramos uma funcao derivavel φ(u), tal que a composicao
G(u) = F (φ(u)) faca sentido. Entao G e derivavel (sendo composicao de funcoes derivaveis) e G′(u) =
F ′(φ(u))φ′(u).
Se φ e inversıvel, denotamos por ψ a inversa. Obtemos F (x) = G(ψ(x)) para todo x ∈ I. Resumindo:
se procurar
F (x) =
∫f(x) dx
e difıcil, podemos tentar uma troca de variavel u = ψ(x) (ou seja u(x)). Em seguida, tentamos resolver∫f(φ(u))φ′(u) du.
Se este exercıcio e possıvel, obtemos G(u) e entao F (x) = G(ψ(x)).
Exemplo ∫1
1 +√
1 + xdx
A nova variavel pode ser u =√
1 + x. Ou seja, ψ(x) = u(x) =√
1 + x. Portanto, x = x(u) = φ(u) =
u2 − 1. Enfrentamos ∫f(φ(u))φ′(u) du =
∫2u
1 + udu
Este segundo integral e facil. ∫2u
1 + udu = 2u− 2 log |u+ 1|.
Voltando a variavel x, temos G(u) = 2u−2 log |u+1| = F (x(u)). Portanto F (x) = G(u(x)) = 2√
1 + x−2 log(1 +
√1 + x) (porque aqui nao temos o valor absoluto?).
Exemplo ∫1
1 +√
1 + x2dx
Aqui a substituicao u =√
1 + x2, que parece a mais logıca, da problemas. De fato chegamos a integral∫u(1 + u)√u2 − 1
du
que nao tem nenhma vantagem respeito a acima. E melhor escolher u+ x =√
1 + x2. Pode continuar o
exercıcio.
* * *
56
Estudo de funcoes integrais. Primeiramente, podemos povar que o teorema fundamental do calculo
integral vale tambem se escolher o extremo b na construcao na funcao integral
Teorema: dada uma funcao contınua f : [a, b]→ R, a funcao
H(x) =
∫ x
b
f(t) dt
e derivavel em cada x ∈ [a, b] e vale a igualdade:
H ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].
Exercıcio 376. Prove o teorema acima: a tecnica e de fato a mesma da prova do teorema fundamental
do calculo integral.
Exercıcio 377. Observe que o resultado acima vale de fato para qualquer funcao integral K(x) =∫ xcf(t) dt, ou seja, para qualquer escolha de c ∈ [a, b].
Exercıcio 378. Verifique que H(x) − F (x) e constante, onde H e a do teorema acima e F e a do
teorema fundamental do calculo integral. Calcule quanto vale a constante.
Exercıcio 379. (em sala de aula) Estudo da funcao
F (x) =
∫ x
1
sen t
tdt
Em particular, queremos determinar: o domınio de F , o sinal, a derivada, em quais intervalos F e
crescente ou decrescente, os pontos de maximo e mınimo relativo.
Observamos, inclusive, algumas diferencas com a funcao
G(x) =
∫ x
1
| sen t|t
dt
Exercıcio 380. (em sala de aula) Estudo da funcao
F (x) =
∫ x+1
x
1
(t+ 2)et3dt
Em particular, estudamos o domınio, a derivada de F . Podemos provar que F e decrescente em
(−2,+∞).
Exercıcio 381. Seja a funcao
F (x) =
∫ x2
x
|t|+ 1
t4 + 1dt
Determine o domınio de F , calcule F ′(x), estude o sinal de F e calcule limx→+∞ F (x) (para o limite
use o confronto).
Outros exercıcios:
Guidorizzi, pagg. 367/8, faca alguns.
37. Sexta-feira 7 de junho de 2013
Integracao impropria.
57
Exemplos: ∫ 1
0
1
xdx e
∫ 1
0
1√xdx.
Definicao geral de integral impropria de uma funcao nao limitada em um intervalo [a, b].
Outro caso: integral impropria de uma funcao definida em um intervalo nao limitado. Exemplos e
definicao geral.
Exemplos: convergencia das integrais improprias:∫ 1
0
x−α dx e
∫ +∞
1
x−α dx,
onde α e positivo, fixado, diverso de 1.
Exercıcio 382. (um pouco mais difıcil) Estude a convergencias das integrais improprias∫ 0
−∞xex dx e
∫ +∞
0
1
1 + 4x2dx.
Exercıcio 383. Estude o limite quando x→ +∞ de∫ x2
x
e−t2
dt e
∫ x2
1
e−t2
dt.
38. Segunda-feira 10 de junho de 2013
e
39. Quarta-feira 12 de junho de 2013
Introducao a formula de Taylor.
Seja f : I → R uma funcao derivavel e seja x0 ∈ I fixado. Sejam as duas funcoes
T (x) = f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0), e S(x) = f(x)− f(x0)−m(x− x0), m 6= f ′(x0).
De fato, S(x) representa uma famılia de funcoes, variando m em R. O grafico de T representa a reta
tangente ao grafico de f em (x0, f(x0)), enquanto os graficos das S representam, para cada m, as retas
secantes ao grafico de f em (x0, f(x0)) (exceto so a secante vertical).
T (x) e S(x) aproximam f em x0, onde ”aproximar em x0” significa que
limx→x0
f(x)− T (x) = 0 e limx→x0
f(x)− S(x) = 0.
(Verifique os limites acima como exercıcio, usando o fato que f e contınua sendo derivavel)
A aproximacao dada por T e melhor do que todas as aproximacoes dadas pelas S(x), porque
limx→x0
f(x)− T (x)
x− x0= 0 enquanto lim
x→x0
f(x)− S(x)
x− x0= f ′(x0)−m 6= 0.
(Verifique os limites acima como exercıcio). Dizemos que f(x)−T (x) (o resto, ou erro, da aproximacao
por T ) tende para zero ”mais rapidamente” do que x − x0, enquanto f(x) − S(x) (o resto, ou erro, da
aproximacao por S) tende para zero ”com a mesma velocidade” do que x− x0.
Se f possui derivada segunda em I, podemos usar polinomios de grau 2 para obter aproximacoes
melhores, estendendo o argumento acima.
58
Procuramos um polinomio T2(x) = a0 +a1(x−x0) +a2(x−x0)2 tal que, analogamente ao caso linear,
limx→x0
f(x)−(a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2
)(x− x0)2
= limx→x0
f(x)− T2(x)
(x− x0)2= 0.
E imediato ver (verifique os detalhes) que o limite acima e verificado se e somente se
limx→x0
f(x)− a0 − a1(x− x0)
(x− x0)2= a2 (∗).
Sendof(x)− a0 − a1(x− x0)
(x− x0)2=f(x)− a0 − a1(x− x0)
x− x0· 1
x− x0,
ou seja,f(x)− a0 − a1(x− x0)
(x− x0)2· (x− x0) =
f(x)− a0 − a1(x− x0)
x− x0,
se existe a2 tal que (*) e verificado, entao, pelo produto dos limites, temos
limx→x0
f(x)− a0 − a1(x− x0)
x− x0= 0.
Do resultado visto no caso linear, temos como consequencia o fato que a0 = f(x0) e a1 = f ′(x0) (os
unicos dois valores que permitem o limite acima).
Agora precisa descobrir a2. O limite
limx→x0
f(x)−(f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + a2(x− x0)2
)(x− x0)2
se apresenta em uma forma indeterminada 0/0. Vamos usar o teorema de de l’Hopital.
f ′(x)− f ′(x0)− 2a2(x− x0))
2(x− x0)=f ′(x)− f ′(x0)
2(x− x0)− a2.
Portanto
limx→x0
f ′(x)− f ′(x0)
2(x− x0)− a2 = 0
se e somente se a2 =1
2f ′′(x0).
Qual pode ser a conclusao deste raciocınio? podemos dizer que, se f possui segunda derivada, existe e
e unico um polinomio de grau ≤ 2, T2(x) = f(x0)+f ′(x0)(x−x0)+ 12f′′(x0)(x−x0)2, tal que, escrevendo
f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +1
2f ′′(x0)(x− x0)2 + r(x),
isto e
f(x) = funcao aproximante + funcao resto,
o resto tenda para zero mais rapidamente do que (x− x0)2, ou seja
limx→x0
f(x)− T2(x)
(x− x0)2= 0.
Em particular, a aproximacao dada por T2 e melhor daquela dada por T (x) (a reta tangente), por causa
do fato que f(x)− T (x) tende para zero mais rapidamente ”so” do que x− x0.
Observe que T2(x) pode ser de grau 1 (portanto igual a T ); se f ′′(x0) = 0.
Continuando assim, podemos estender a qualidade da aproximacao na medida em que f possua
derivadas de ordem superior. O resultado geral e o seguinte, que damos sem prova.
59
Teorema de Taylor. Seja f : I → R uma funcao derivavel ate a ordem n. Seja x0 ∈ I fixado. O
polinomio de grau ≤ n
Tn(x, x0) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +1
2f ′′(x0)(x− x0)2 + ...+
1
n!f (n)(x0)(x− x0)n
se chama polinomio de Taylor de f de ordem n e centro x0. Chamando a funcao definida como
Rn(x, x0) = f(x)− Tn(x, x0)
resto n-esimo (de f com centro x0), temos
1) limx→x0
Rn(x, x0)
(x− x0)n= 0;
1b) o polinomio de Taylor (de ordem n e centro x0) e o unico polinomio de grau ≤ n que verifca o
limite acima;
2) se f possui derivada de ordem n+ 1, para cada x ∈ I existe c entre x0 e x tal que
f(x) = Tn(x, x0) +f (n+1)(c)
(n+ 1)!(x− x0)n+1;
A formula acima se chama formula de Taylor de f de ordem n, centro x0 e resto em forma de
Lagrange;
3) se f possui derivada de ordem n+ 1, para cada x ∈ I temos
f(x) = Tn(x, x0) +1
n!
∫ x
x0
f (n+1)(t) (x− t)n dt.
A formula acima se chama formula de Taylor de f de ordem n, centro x0 e resto em forma integral.
Exercıcio 384. Prove o ponto 1b acima.
Aprximacao de e. A formula de Taylor de ex de ordem n e centro 0 e
ex = 1 + x+x2
2+x3
6+ ...+
xn
n!+Rn(x, 0) =
n∑k=0
xk
k!+Rn(x, 0), ∀x ∈ R,
onde, como tivemos visto, Rn(x, 0) verifica o limite
limx→0
Rn(x, 0)
xn= 0.
Em forma de Lagrange o resto e, dado x, Rn(x, 0) =ec
(n+ 1)!xn+1, onde c e um oportuno valor entre 0
e x. Sendo ex uma funcao crescente e lembrando que e < 4, se x = 1, temos∣∣∣∣∣e−n∑k=0
1
k!
∣∣∣∣∣ ≤ ec
(n+ 1)!<
4
(n+ 1)!.
Se, por exemplo, n = 7 (ou n ≥ 7), temos 8! = 40320 e portanto R7(1, 0) < 10−4. Assim,
a =
7∑k=0
1
k!
aproxima e com um erro menor de 10−4. O valor a acima tem os primeiros 4 digitos decimais depois da
virgola iguais aqueles de e.
Exercıcio 385. Determine os primeiros 4 digitos decimais de e.
60
O numero e e irracional. O exercıcio acima mostra que e fica entre 2, 7 e 2, 8, mas ainda nao
sabemos se racional ou nao. Provamos aqui que nao e. Dado n, temos∣∣∣∣∣e−n∑k=0
1
k!
∣∣∣∣∣ < 4
(n+ 1)!
Suponhamos que e seja racional, igual a p/q, p, q inteiros positivos. Seja n multiplo de q e maior de 4.
Multiplicando os dois lados da desigualdade acima por n!,∣∣∣∣∣n!p
q− n!
n∑k=0
1
k!
∣∣∣∣∣ < 4
n+ 1
O membro esquerdo e inteiro, sendo diferenca de inteiros, enquanto4
n+ 1< 1. Absurdo. Portanto e e
irracional.
Exercıcio 386. Prove, conforme feito em sala de aula, isto e, usando as propriedades da funcao
logaritmo, que 2 < e < 4.
40. Sexta-feira 14 de junho de 2013
As formulas seguintes sao centradas em zero.
ex = 1 + x+x2
2!+ ...+
xn
n!+Rn(x, 0),
senx = x− x3
3!+x5
5!+ ...+ (−1)n
x2n+1
(2n+ 1)!+R2n+1(x, 0),
cosx = 1− x2
2!+x4
4!+ ...+ (−1)n
x2n
(2n)!+R2n(x, 0),
log(1 + x) = x− x2
2+x3
3+ ...+ (−1)n−1
xn
n+Rn(x, 0),
(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)
2x2 + ...+
α(α− 1)...(α− n+ 1)
n!xn +Rn(x, 0),
1
1− x= 1 + x+ x2 + ...+ xn +Rn(x, 0),
1
1 + x= 1− x+ x2 + ...+ (−1)nxn +Rn(x, 0).
Exercıcio. Determine a formula de Taylor de ordem 4 e centro em zero das funcoes
seguintes. Determine, a partir das formulas, a primeira e terceira derivada em zero.
387. x2ex 388. e senx
389. x3 − 3x2 + 2x+ 1 390. ex2
391. senx2√
1 + x 392. (log(1 + x))2
393. cosx arctgx 394. e( senx)2
Exercıcio. Calcule os seguintes limites usando a formula de Taylor.
395. limx→0
x− senx
x2396. lim
x→0
cosx− 1
x3
61
397. limx→0
√1 + x2 − 1
sen 2x398. lim
x→0
1−√
1− x22x2
399. limx→0+
e senx − 1
x2400. lim
x→0
tg (2x4)
x2 log (1 + x2)
401. limx→0+
elog(x+1) − 1
(log(1 + x))2 402. lim
x→0
x arctgx
1− cos( senx)
403. limx→π
| cosx| − 1
x sen 2x404. lim
x→1
(x− 1)(π
4− arctgx
)(
1− senπx
2
)x2
405. limx→0
cosx2 − 1
x sen 2x406. lim
x→0
√1 + tgx−
√1 + senx
x2
407. limx→+∞
(x3 + 1)(e1/x2 − 1) 408. lim
x→−∞x arctg
1
1 + 2x
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