Matematica Discreta

MATEMÁTICA DISCRETA

TEORIA DOS CONJUNTOS

PROFESSOR

WALTER PAULETTE FATEC SP 2009 02

2

2

TEORIA DOS CONJUNTOS

1. CONCEITO DE CONJUNTOS

A teoria dos conjuntos tem inicio com o matemático Georg Cantor ( 1845-1918).

Como na Geometria Euclidiana adota-se ponto, reta e plano como conceitos primitivos e

são aceitas sem definição, assim também são conceitos primitivos:

Conjunto, elemento e a relação de pertinência.

Podemos descrever um conjunto, citando um a um seus elementos, ou apresentando

uma propriedade característica dos mesmos.

Para dar nome aos conjuntos usamos as letras maiúsculas A, B, C, etc. e colocamos

seus elementos entre chaves. Os objetos que compõem os conjuntos são denominados

elementos.

Exemplo 1:

Chamamos de A o conjunto dos números pares e indicamos por: A= {0,2,4,6,8,...}

e representamos pelo diagrama de Venn (John Venn,(1834– 1923), matemático e lógico

inglês), como:

A

0 2 4

6 8 ...

Para indicarmos que um elemento a pertence a um conjunto A escrevemos

a A ( leia: a pertence a A) caso contrário a A ( leia: a não pertence a A)

Exemplo 2:

Seja A = {1,2,3,4,5}. Nesse caso lê-se :

2 A (2 pertence a A)

0 A (não pertence a A)

2. INCLUSÃO DE CONJUNTOS

Definição 01:

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo

elemento de A é também um elemento de B.

Notação: A B ( A é subconjunto de B ), caso contrário A B .

Exemplo 3:

a) Se A={1,2} e B={1,2,3,4}, então A B

b) Se A={2,3} e B={1,2,3,4}, então A B

3

3

3. IGUALDADE

Definição 02:

Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos.

Simbolicamente

A = B A B e B A .

Exemplo 4:

Seja A={1,2} e B ={1,2}, nesse caso A = B ,pois, A B e B A .

Exercícios de aplicação 1:

Use a noção de pertence e a definição de subconjunto e coloque (V) se as

sentenças forem verdadeiras e (F) se as sentenças forem falsas.

1) Sejam A = {1,2,3,4} e B = {1,3,4}, então

a) B A ( ) d) {1,2} A ( )

b) 3 A ( ) e) {1,2} A ( )

c) ( ) f) {4} A ( )

2) Sejam A = {a, b,{a},{a, b}} e B = {a, b,{a, b}}, então

a) B A ( ) d) {a, b} A ( ) e) {a, b} A ( )

b) a A ( ) c) b B ( ) f) {a} A ( )

3)Sejam A={1,2,{1,2}} e B={{1,2,3},3}, complete com , , e

a) A.........B c) {1,2,3}.......B

b) {1,2}.....A d) 3.............B

4. CONJUNTO VAZIO

Definição 03:

Chama-se conjunto vazio aquele que é formado por nenhum elemento.

O Símbolo usual para conjunto vazio é

Exemplo 5:

O conjunto dos números que multiplicados por zero produz resultado 3 é vazio.

Simbolicamente

| 0. 3x x

5. CONJUNTOS DAS PARTES

Definição 04:

Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, e se indica P(A), ao conjunto de

todos os subconjuntos do conjunto A.

Exemplo 6:

Se A = {a, b, c}, então o conjunto das partes de A é formado por:

P(A) = {{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}, }. Nesse caso o número de

elementos de P(A) é 8 = 32 ( 2 elevado ao número de elementos de A )

4

4

Exemplo 7:

Dar o número de elementos do conjunto das partes de A, n(A) sendo:

a) A=

b) A={a}

c) A= {a, b}

d) A= {a, b, c}

Resolução:

(a) A = , P(A) ={ } , logo n(P(A)) = 1 = 2°

(b) A = {a}, P(A)= { , {a}}, logo n(P(A)) = 2 = 2¹

(c) A = {a, b}, P(A) = {{a},{b},{a, b}, }. logo n(P(A)) = 4 = 2²

(d) A={a,b,c},P(A)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A, }, logo n(P(A))=8 =2³.

Dessa maneira podemos escrever:

Se n(A) = , então n(P(A)) = 2° = 1

Se n(A) = 1, então n(P(A)) = 2¹ = 2

Se n(A) = 2, então n(P(A)) = 2² = 4

Se n(A) = 3, então n(P (A)) = 2³ = 8

.........................................................

Se n(A) = n, então n(P(A)) = 2n (n {0,1,2,3,4,5,6,7,...} )

Conclusão: Para sabermos quantos elementos têm o conjunto das partes de A, n(P(A)) é sò

escrever: ( )( ( )) 2n An A

6. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

Na teoria dos números temos as operações adição e multiplicação, o mesmo ocorre

na teoria dos conjuntos.

6.1 - União ( )

Definição 05: Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se união do conjunto A com o conjunto

B, ao conjunto de todos os elementos de A ou de B.

Em símbolos: |A B x x A ou x B

Exemplo 8:

Sejam A = {1,3,5,7} e B = {2,3,4,6}, então A B = {1,2,3,4,5,6,7}

A

1 B

7 3 4 2

5 6

6.2 - Intersecção ( )

Definição 06: Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se intersecção dos conjuntos A e B, ao

conjunto formado pelos elementos que estão em A e estão em B.

Em símbolos: |A B x x A e x B

5

5

Exemplo 9:

Sejam A = {a, b, c, d} e B={b, c, d, e}, então A B {b, c, d}

A

b B

a c e

d

PROPRIEDADES

Aceitamos as propriedades da união e da intersecção que seguem, sem

demonstração. Para um maior entendimento faça o diagrama de Venn hachurando a região

definida pela propriedade.

P1 . Se A B, então A B = A e A B = B

A

B

A

B

A B = A A B = B

P2 . A A =A e A A = A (Idempotência)

P3 . e A = A

P4 . A B B A e A B = B A (Comutativa)

P5 . ( )A B C ( )A B C e

(A B) C = A (B C) (Associativa)

P6 . ( )A B C ( ) ( )A B A C e

A (B C) = (A B) (A C) (Distributiva)

6.3 - DIFERENÇA (-)

Definição 07:

Dados os conjuntos A e B, denominamos conjunto diferença de A em relação a B,

ao conjunto dos elementos B que não são elementos de A.

Em símbolos: |B A x x B e x A

6

6

Exemplos 10:

1) Se A = {a, b, c, d} e B={b, c, d, e}, então A-B = {a}

2) Se A = {a, b, c, d} e B={ c, d}, então A-B = {a,b}

3) Se A = {1,2,3,4} e B={1,2,3}, então A-B = {4}

6.4 - COMPLEMENTAR ( A )

Definição 08:

Se A B, chama-se conjunto complementar de A em relação a B ao conjunto dos

elementos de B que não são elementos de A.

Em símbolos: A ' B-A= x x B e x AA

A

Exemplos 11:

Demonstrar que A-(B C)= (A-B) (A-C)

Solução:

A-(B C)= : ( )x x Ae x B C

= : ( )x x Ae x Be x C

= : ( ) ( )x x Ae x B e x Ae x C

= : } { :x x Ae x B x x Ae x C =(A-B) (A-C)

Exemplo 12:

Sejam A = {1,2,3} e B={1,2,3,4,5}, então B-A={4,5}

Propriedades:

1. A A

2. A B A B e A B A B Leis de De Morgan

3. A A

4. A A U

5. A B A B

7

7

10

10

30

20

90

110

40

6.5 - DIFERENÇA SIMÉTRICA

Definição 09:

Definimos diferença simétrica e indicamos por ao conjunto

Propriedades:

1.

2.

3.

6.6– NÚMERO DE ELEMENTOS DE CONJUNTOS FINITO

Número de elementos de dois conjuntos: ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B

Número de elementos para três conjuntos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C

Exemplo 13:

Três Cursos universitários são os mais procurados, para o vestibular, pelos alunos

de em uma Escola de Ensino Médio, são eles: Administração (A), Biologia (B) e Contábeis

(C). Após a pesquisa foram apresentados os seguintes resultados.

Cursos A B C A e B A e C B e C A e B e C

Preferência 90 130 170 20 40 30 10

Determinar:

a) Quantos alunos consultados preferem só o Curso de Administração (A)?

b) Quantos alunos consultados preferem só dois Cursos?

c) Quantos alunos consultados preferem Administração (A) ou Contábeis (C) ?

d) Quantos alunos consultados preferem Administração (A) e não Contábeis (C)?

Resolução: Usando a representação de Venn podemos escrever o número de alunos

com suas preferências.

AB

C Portanto,

a) Os alunos consultados que preferem só o Curso de Administração são 40.

b) Os alunos consultados que preferem só dois Cursos são 60.

c) Os alunos consultados que preferem Administração (A) ou Biologia(B) são 200.

d) Os alunos consultados que preferem Administração e não Contábeis são 50.

8

8

Exercícios de aplicação 2:

1. Sejam X, Y e Z os conjuntos tais que n(Y Z) = 20, n(X Y)= 5,

n(X Z)=4, n(X Y Z) = 1 e n(X Y Z) = 22, determinar o número de elementos

do conjunto X - (Y Z).

2. Assinale a resposta correta.

a) A - (B C) ( ) b) (B C) - A( ) c) C - (A B) ( )

3. Três produtos A, B e C são consumidos. Feita uma pesquisa de mercado sobre o

consumo desses produtos, foram colhidos os resultados.

Produtos A B C A e B A e C B e C A e B e C

Consumidores 100 140 180 20 40 30 10

Determinar:

a) Quantas pessoas consultadas consomem só o produto A?

b) Quantas pessoas consultadas consomem só dois produtos?

c) Quantas pessoas consultadas consomem A ou B ?

d) Quantas pessoas consultadas consomem A e não consomem C ?

4. De um torneio de atletismo, tem-se as informações no quadro sobre as proveniências e

sexos dos participantes. Determine o número de mulheres de Rio Pardo.

Cidades \ Sexos Homens Mulheres Total

RIO PRETO 4 3

RIO CLARO a b

RIO PARDO a b

RIO BRANCO 8 b

TOTAL 2b 17

5. O quadro indica o resultado de uma pesquisa feita sobre as pessoas que freqüentam

cinema (C), teatro (T), e shows musicais ao vivo (S).

Entretenimentos C T S C,T C,S T,S C,T,S

Participantes (%) 80 15 6 6 4 3 2

Verifique se esta pesquisa feita é consistente.

9

9

Exercícios de aplicação 3:

01)Se 1,2,3 , 1,2,4,5,7, e 1,3,4,5,8 ,A B C então ( )A B C é igual a

(A) 1,2,3 (B) 2,3 (C) 4,5 (D) 1 (E) nda

02)Se o conjunto A tem 20 elementos, o conjunto A B tem 12 elementos e o conjunto

A B tem 50 elementos, então o conjunto B tem

(A) 20 (B) 38 (C) 50 (D) 42 (E) nda

03) Indique a resposta verdadeira.

(A) 3 1,3,5

(B) 3 1,3,5

(C) 1,3,5

(D) 0 0,1, 0

(E) nda

04) Sejam os conjuntos A,B e C finitos. Se ( )n A B )=18, n( A C )=20 e

( ) 8n A B C , então ( ( )n A B C é

(A) 10 (B) 20 (C) 25 (D) 30 (E) 40

05) O quadro indica o resultado de uma pesquisa com pessoas que lêem os jornais A, B e

C

Jornais A B C A,B A,C B,C A,B,C

Leitores 100 90 110 15 20 30 5

Nestas condições podemos dizer que lêem

(A) só A 75 pessoas. (B) só B 57 pessoas (C) só C 64 pessoas (D) dois jornais

50 pessoas (E) os três jornais 10 pessoas

10

10

06) Use a noção de pertence e a definição de subconjunto e coloque (V) se as sentenças

forem verdadeiras e (F) se as sentenças forem falsas.

i) Sejam A = {a, b,{a},{a, b}} e B = {a, b,{a, b}}, então

a) B A ( ) b) a A ( ) c) b B ( )

d) {a,b} B ( ) e) {a} A ( )

ii) Sejam A={1,2,{1,2}} e B={{1,2,3},3}, complete com , , e .

a) A.........B c) {1,2,3}...........B

b) {1,2}.......A d) 2.............B

07) Determinar A B e A B, sendo:

a) A = {1,2,3,4} e B = {0,3,4,5}

A B = A B =

b) A = {a, c, e, g} e B = {b, d, f, g}

A B = A B =

08) Sejam A = {0,1,{2},{0,1}} e B = {1,{2},{0,1}} e C = {0,1,2,{2},{0,1}}.

Determinar:

a) A B = b)B C =

c) (A B) C = d) C-(A B)=

9) No diagrama hachurar o que se pede

a) A-(B C) b)(A-B) (A-C)

AB

C

AB

C

11

11

Exercícios de aplicação 4:

1. Sendo A= {x x< 5} e B= {x x<5}, assinale com (V) as sentenças

a) A B ( ) d) A B = {0,1,2} ( )

b) A B ( ) e) A - B = {3,4,5} ( )

c) A B = {1,2,3,4} ( ) f) B - A = ( )

2. Hachurar o diagrama usando a lei C - (A B)

A B

C

3. Assinale a resposta correta no diagrama:

a) A B b) (A B) - C c) C - (A B) d) A B C

4. Seja A = {0, }, determinar o conjunto das partes de A , ( ( )A )).

5. Sejam A, B e C os conjuntos finitos. Se n(A B) = 30,

n(A C) = 20 e n(A B C) = 15, então o n(A (B C)) é:

a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) n.d.a.

12

12

6. Se n(A) = 90, n(B) = 50 e n(A B) = 30 então n(A B) é:

a) 60 b) 90 c) 100 d) 110 e) n.d.a.

7. Sobre os membros de uma comissão sabe-se que:

a) 9 são solteiros; b) 5 são homens

c) 10 não são mulheres casadas;

d) 8 não são homens solteiros.

Pede - se:

1) Quantos membros existem nessa comissão ?

2) Quantos membros dessa comissão são homens casados ?

8. Sendo A={1, 2, {1}} e B={1, {1}, {1,2}}. Coloque (V) ou (F)

a) A B ( )

c) {1, 2} B ( )

b) {1, 2} B ( )

d) {1, 2} A ( )

9. Sendo:

A = {n n < 1}

B = {n -1 < n}

C = {n -2< n <1}

Determinar:

a) A B C

b) A - (B C)

c) C - (A B)

Exercícios de aplicação 5:

1) Em uma agência de turismo, o quadro de funcionários era composto por pessoas

que falavam apenas um dos seguintes idiomas (além do português): francês, inglês e

espanhol. Sabendo que 70 falavam inglês; 40, francês; e 60% falavam espanhol, quantos

funcionários da empresa falam espanhol ou francês?

(A) 205 (B) 165 (C) 235 (D) 110 (E) 275

13

13

2) Em um grupo há 40 homens e 40 mulheres. 30% dos homens fumam e 6 mulheres

fumam. A porcentagem de fumantes no grupo é

(A) 20%. (B) 24%. (C) 26,25%. (D) 22,5%. (E) 28,5%.

3) Em um grupo de 30 gatos, há gatos brancos e gatos pretos.Nesse grupo, existem 20

gatos machos, 15 gatos pretos, e sabe-se que 4 fêmeas são brancas. O número de machos

pretos é:

(A) 7. (B) 9. (C) 8. (D) 11. (E) 10.

4) Os elementos dos dois conjuntos a seguir são números naturais: A = {1,2,3,...,48}

B = {15,16,17,...,63} . O número de elementos do conjunto A B é:

(A) 48. (B)34. (C) 33. (D) 63. (E) 35.

5) Durante uma viagem, choveu cinco vezes. A chuva caía pela manhã ou à tarde, nunca

durante a manhã e à tarde no mesmo dia. Houve seis manhãs e três tardes sem chuva

durante a viagem. Quantos dias duraram a viagem?

(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 6 (E) 7

6) Após uma pesquisa realizada numa cidade, constatou-se que as famílias que consomem

arroz não consomem macarrão.Sabe-se que 40% consomem arroz;30%consomem

macarrão; 15% consomem feijão e arroz; 20% consomem feijão e macarrão; 60%

consomem feijão. Calcule a percentagem correspondente às famílias que não consomem

nenhum desses três produtos.

(A) 4% (B) 5% (C) 6% (D) 7% (E) 8%

14

14

7) Um banco de sangue catalogou 60 doadores assim distribuídos: 29 com sangue do tipo

0; 30 com fator Rh negativo; 14 com fator Rh positivo e tipo sanguíneo diferente de 0.

Quantos doadores possuem tipo sanguíneo diferente de 0 e fator Rh negativo?

(A) 19 (B) 18 (C) 20 (D) 21 (E)17

Exercícios de aplicação 6:

1. Coloque (V) nas verdadeiras e (F) nas falsas. (Justificando)

( ) a) ( ) ( )A B B B A A B A B

( ) b) ( )A B A B A

( ) c) ( )B B A A B

15

15

2. ( )A A B é igual a

a) A B b) A B c) A B

3.Mostre que ( ) ( )A B A B A B

4. Mostre que ( ) ( )A B A B A B U

5. Prove que para quaisquer A e B, A B B A

6. Coloque (V) nas verdadeiras e (F) nas falsas. (Justificando)

a)

16

16

b) ( ) ( ) ( )A B C A B A C

c)

d)

7. Sabendo-se que ( ( ) ( ( ) 32n A n B A e determinar

( )n A B .

17

17

8. Se A e B são subconjuntos de U tais que ( ) ( )A B A B . Se ( )n U é

ímpar, mostre que ( ) ( )n A n B

Exercícios de aplicação 7:

1)Em um grupo de 18 pessoas, o número de pessoas casadas é igual ao número de homens

solteiros. Há 10 pessoas solteiras e o número de homens casados é igual ao números de

mulheres casadas. Qual o número de mulheres solteiras?

2)Em um grupo de 20 pessoas, 14 são não fumantes. O número de não fumantes

estrangeiros é simultaneamente o quádruplo do número de fumantes brasileiros e o

dobro do número de fumantes estrangeiros.Quantos são os brasileiros não fumantes?

3)Use o P.I.F. e mostre a lei de De Morgan generalizada.

18

18

4)Mostre que a sentença é verdadeira

Respostas dos exercícios de aplicação 1.

1) V,V,V,F,V,F 2) V,V,F,V,V,V 2) , , .

Respostas dos exercícios de aplicação 2.

1) 9 elementos 2) F,V,F 3) a) 50 b) 60 c) 220 d) 60

4) 6 mulheres 5) É consistente

Respostas dos exercícios de aplicação 3.

1) B 2) D 3) D 4) D 5) D 6) i)V,V,F,V,V ii) , , ,

7) a) {0,1,2,3,4,5}, {3,4} b) { a,b,c,d,e,f,g} , {g}

8) a) {1,{2},{0,1}} b) {1,{2},{0,1}} c) {1,{2},{0,1}} d)= {2}

Respostas dos exercícios de aplicação 4:

1) F,V,F,F,F,V 3) d)

4) ( )A = 0 , , , 0, 5) c) 6) d) 7) 1) 12membros

2) 1 membro 8) F,V,V,V. 9) a) 1,0 b) ... 3, 2,1 c) 2

Respostas dos exercícios de aplicação 5:

1) A 2) D 3) B 4) B 5) E 6) B 7) E

Respostas dos exercícios de aplicação 6:

1) F,F,V 2) a 6 a) V b) V c)V d) V 7) 3

Respostas dos exercícios de aplicação 7:

1) 2 2) 6