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1 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
SUMÁRIO
Apresentação ------------------------------------------------- 2
Capítulo 2 ------------------------------------------------------ 3
2. Intervalos, Inequações e Módulo -------------------- 3
2.1. Intervalos ---------------------------------------------- 3
2.1.1. Intervalos Limitados ------------------------------- 3
2.1.2. Intervalos Não Limitados ------------------------- 4
2.2. Inequações -------------------------------------------- 7
2.1.3. Propriedades da desigualdade -------------------- 7
2.3. Módulo ----------------------------------------------- 19
2.3.1. Propriedades --------------------------------------- 20
LISTA DE EXERCÍCIOS ---------------------------------- 24
GABARITO -------------------------------------------------- 27
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2 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
Apresentação
Ao chegar à UFPA, você tem a possibilidade de
cursar gratuitamente cursos de nivelamento em Ciências
Básicas (Física, Química e Matemática). Assistindo às aulas
no próprio ambiente em que cursará sua graduação, isso
auxiliará você a adquirir o conhecimento necessário para
enfrentar melhor o programa curricular do seu curso.
Então seja Bem-vindo ao Curso de Nivelamento em
Matemática Elementar do PCNA. Este é o segundo de uma
série de cinco E-books que vão lhe acompanhar durante
o curso, o professor utilizará este material como apoio às
suas aulas e é fundamental que você o leia e acompanhe as
atividades propostas.
A série “E-books PCNA-Matemática” foi desenvolvida
com o propósito de apresentar o conteúdo do curso de
Matemática Elementar, fornecendo também ferramentas
para facilitar o ensino e a aprendizagem do Cálculo
Diferencial e Integral que você irá encontrar em breve na sua
graduação.
Neste fascículo você irá encontrar o conteúdo de
Intervalos, Inequações e Módulo. É bom lembrar que não
se pode aprender Cálculo sem alguns pré-requisitos, que
muitas das vezes não valorizamos por acharmos simples e
descomplicados, todavia, atenção e compreensão se fazem
necessária.
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3 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
Capítulo 2
2. Intervalos, Inequações e Módulo
2.1. Intervalos
Intervalos são trechos contínuos da reta numérica.
2.1.1. Intervalos Limitados
Sejam a e b números reais com a <b:
a) Intervalo aberto de a até b:
Observe que, este intervalo é limitado por a e b, porém eles não pertencem ao intervalo. Assim, representamos na reta numérica com “bolinha aberta” e utilizamos os colchetes com abertura “para fora” para indicar que o intervalo é aberto. Caso, a e b pertencessem ao intervalo, veríamos o símbolo ≥ ou ≤, para indicar que a ou b pertencem aos intervalos, além disso, na reta numérica a representação seria com “bolinha fechada” como veremos adiante.
(𝑎, 𝑏) = ]𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
b) Intervalo fechado de a até b
Neste caso, a e b fazem parte do intervalo, tendo assim os símbolos ≤ e ≥, indicando que x é maior que a e menor que b.
a b
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4 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
Leia-se: x pertence aos reias, tais que, x maior que a e menor que b.
c) Intervalo fechado em a e aberto em b:
[𝑎, 𝑏) = [𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
d) Intervalo aberto em a e fechado em b
(𝑎, 𝑏] = ]𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
2.1.2. Intervalos Não Limitados
Os intervalos não limitados são aqueles em que não há um limite definido previamente, por exemplo, o conjunto dos números reais maiores que 1. Temos apenas um dos limites
a b
a b
a b
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5 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
definidos. Quando pensamos em números maiores que 1, podemos imaginar qualquer número até o infinito.
A noção de infinito é abstrata, mostra que existem tantos números maiores que 1 que não possível mensurar. Ao se deparar com +∞ ou -∞, lembre-se que não são números, e sim notações para intervalos não limitados.
a) Intervalo aberto de a até +∞
(𝑎, +∞) = ]𝑎, +∞[ = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 > 𝑎}
b) Intervalo fechado de a até +∞
[𝑎, +∞) = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≥ 𝑎}
c) Intervalo aberto de −∞ até a
(−∞, 𝑎) = ]−∞, 𝑎[ = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 < 𝑎}
d) Intervalo fechado de −∞ até a
a
a
a
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6 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
(−∞, 𝑎] = ]−∞, 𝑎] = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≤ 𝑎}
Exemplo 1: Dado o intervalo represente-o na reta numérica
𝒂) ]−2 , 5 ]
Solução:
𝒃) [−1 , 2 ]
Solução:
𝒄) ]−∞ , 4 [
Solução:
a
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7 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
Exemplo 2: Descreva o intervalo indicado na reta numérica:
𝑎) 𝐼 = [−2, +∞) = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≥ −2}
Solução:
𝑏) 𝐼 = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≤ 1 𝑂𝑈 3 ≤ 𝑥 < 6}
Solução:
2.2. Inequações
Inequação é uma expressão algébrica que contém sinal de desigualdade (< ; > ; ≤ ; ≥ ).
2.1.3. Propriedades da desigualdade
Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 números reais:
1) Somar ou subtrair um número qualquer em ambos os
lados da inequação não altera o sinal da mesma.
Exemplo 1: Se 𝑎 < 𝑏 então 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐. Como
em: 𝑎 = −2; 𝑏 = 4; 𝑐 = −3.
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8 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
Solução:
𝑎 < 𝑏 → −2 < 4
𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 → −2 − 3 < 4 − 3 → −5 < 1
Exemplo 2: Se 𝑎 > 𝑏 então 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐. Como
em: 𝑎 = 5 ; 𝑏 = −4 ; 𝑐 = 2.
Solução:
𝑎 > 𝑏 → 5 > −4
𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 → 5 + 2 > −4 + 2 → 7 > −2
2) Multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por
um número POSITIVO, não altera o sinal da mesma.
Exemplo 1: Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 > 0 então 𝑎. 𝑐 <
𝑏. 𝑐 e 𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐. Como em: 𝑎 = −4; 𝑏 = 4; 𝑐 = 2.
Solução:
𝑎 < 𝑏 → −4 < 4
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9 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
𝑎 ∙ 𝑐 < 𝑏 ∙ 𝑐 → −4 ∙ 2 < 4 ∙ 2 → −8 < 8
𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐→ −
4
2<
4
2→ −2 < 2
Exemplo 2: Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 > 0 então 𝑎. 𝑐 >
𝑏. 𝑐 e 𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐. Como em: 𝑎 = 4 ; 𝑏 = 2; 𝑐 = 2.
Solução:
𝑎 > 𝑏 → 4 > 2
𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐 → 4 ∙ 2 > 2 ∙ 2 → 8 > 4
𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐→
4
2>
2
2→ 2 > 1
3) Multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por
um número NEGATIVO, resulta na inversão do sinal da
desigualdade.
Exemplo 1: Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 < 0 então 𝑎. 𝑐 >
𝑏. 𝑐 e 𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐. Como em: 𝑎 = −2; 𝑏 = 4; 𝑐 = −3.
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10 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
Solução:
𝑎 < 𝑏 → −2 < 4
𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 → −2 ∙ (−3) > 4 ∙ (−3) → 6 > −12
𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐 →
−2
−3>
4
−3 →
2
3> −
4
3
Exemplo 2: Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 < 0 então 𝑎. 𝑐 <
𝑏. 𝑐 e 𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐. Como em: 𝑎 = 4; 𝑏 = 2; 𝑐 = −2.
Solução:
𝑎 > 𝑏 → 4 > 2
𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 → 4 ∙ (−2) < 2 ∙ (−2) → −8 < −4
𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐 →
4
−2<
2
−2 → −2 < −1
Obs.: As propriedades acima continuam válidas para
as desigualdades não estritas ≤ e ≥.
4) Desigualdade Triangular: |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|
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11 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
Exemplo 1: 𝑥 = 4; 𝑦 = −2.
|4 + (−2)| ≤ |4| + |−2| → |2| ≤ 4 + 2 → 2 ≤ 6
Obs.: |𝑥 + 𝑦| = |𝑥| + |𝑦| somente se 𝑥 e 𝑦 forem
simultaneamente positivos ou negativos.
5) |𝑥| ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
Demonstração:
Se 𝑥 for positivo:
|𝑥| = 𝑥 → 𝑥 ≤ 𝑎
Se 𝑥 for negativo:
|𝑥| = −𝑥 → − 𝑥 ≤ 𝑎 → 𝑥 ≥ −𝑎
Então: 𝑥 ≤ 𝑎 E 𝑥 ≥ −𝑎, ou seja, −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
6) |𝑥| ≥ 𝑎 ⇔ 𝑥 ≥ 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 ≤ −𝑎
Demonstração:
Se 𝑥 for positivo:
|𝑥| = 𝑥 → 𝑥 ≥ 𝑎
Se 𝑥 for negativo:
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12 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
|𝑥| = −𝑥 → − 𝑥 ≥ 𝑎 → 𝑥 ≤ −𝑎
Então 𝑥 ≥ 𝑎 OU 𝑥 ≤ −𝑎
7) √𝑥𝑛𝑛= {
|𝑥| 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Exemplo 1: Se 𝑥 = √222
Solução:
√42
= |𝑥| = |2| = 2
Exemplo 2: Se 𝑥 = √(−2)22
Solução:
√42
= |𝑥| = |−2| = 2
Resolver uma inequação é determinar todos os valores da variável que torna verdadeira a mesma. Este conjunto de valores é chamado conjunto solução da inequação. O conjunto solução da inequação representa um trecho contínuo da reta numérica, ou seja, é um intervalo.
Exemplo 1: Determine se os valores de 𝑥 = −3; 𝑥 = 0
e 𝑥 = 2 são soluções da inequação 𝑥 + 3 < 5𝑥 − 1.
Solução:
Substituindo 𝑥 = −3 na inequação:
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13 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
−3 + 3 < 5 ∙ (−3) → 0 < −15 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜
Substituindo 𝑥 = 0 na inequação
0 + 3 < 5 ∙ (0) → 3 < 0 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜
Substituindo 𝑥 = 2 na inequação:
2 + 3 < 5 ∙ (2) → 5 < 10 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜
Portanto 𝑥 = 2 é uma das soluções da inequação
Exemplo 2: Resolva as inequações abaixo e
represente o conjunto solução na reta numérica:
𝒂) 𝑥 + 3 < 5𝑥 − 1
Solução:
𝑥 − 5𝑥 < −1 − 3
−4𝑥 < −4
4 𝑥 > 4
𝑥 > 1
1
(1, +∞)
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14 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 > 1}
𝒃) 13 ≥ 2𝑥 − 3 ≥ 5
Solução:
Nesse caso, devemos separar em duas inequações, e realizar a interseção das soluções para que a solução seja válida para ambas as inequações. Interseção de dois intervalos é agrupar em um terceiro intervalo o que os dois intervalos têm em comum.
Separando em duas inequações temos:
𝐴) 13 ≥ 2𝑥 − 3
13 + 3 ≥ 2𝑥
2𝑥 ≤ 16 → 𝑥 ≤ 8
𝑆𝐴 = {𝑥 ≤ 8}
E (significa a interseção)
𝐵) 2𝑥 − 3 ≥ 5
2𝑥 ≥ 8 − 𝑥 ≥ 4
𝑆𝐵 = {𝑥 ≥ 4}
𝑥 ≤ 8
𝑥 ≥ 4
𝑆𝐴 ∩ 𝑆𝐵 [4 , 8]
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15 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ | 4 ≤ 𝑥 ≤ 8}
𝒄) |3𝑥 + 2| ≥ 5
Solução:
Da propriedade 6 temos:
3𝑥 + 2 ≥ 5 OU 3𝑥 + 2 ≤ −5
Lembre-se que OU em matemática significa união. União, é agrupar em um mesmo intervalo as soluções das duas inequações. Resolvendo as inequações separadamente:
𝐴) 3𝑥 + 2 ≥ 5
3𝑥 ≥ 3 → 𝑥 ≥ 1
B) 3𝑥 + 2 ≤ −5
3𝑥 ≤ −7 → 𝑥 ≤ −7
3
-7/3
1
-7/3 1
𝑥 ≥ 1
𝑥 ≤ −7
3
𝑆𝐴 ∪ 𝑆𝐵
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16 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
(−∞, − 7 3⁄ ] ∪ [1, +∞)
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≤ −7
3 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1}
𝒅)(𝑥 − 3)4 ≤ 16
Solução:
(𝑥 − 3)4 ≤ 16 → √(𝑥 − 3)44≤ √16
4→ |𝑥 − 3| ≤ 2
Da propriedade 7
−2 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 2 ∴ 𝑥 − 3 ≤ 2 E 𝑥 − 3 ≥ −2
Lembre-se que E em matemática significa interseção. Resolvendo as inequações:
𝐴) 𝑥 − 3 ≤ 2 → 𝑥 ≤ 5
𝐵) − 2 ≤ 𝑥 − 3 − 1 ≤ 𝑥 → 𝑥 ≥ 1
1
5
1 5
𝑥 ≤ 5
𝑥 ≥ 1
𝑆𝐴 ∩ 𝑆𝐵
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17 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ |1 ≤ 𝑥 ≤ 5}𝑆 = [1 , 5]
𝒆) |2𝑥 − 5| < 3.
Solução:
Da propriedade 5) temos:
−3 < 2𝑥 − 5 < 3
Resolvendo sem separar as inequações:
−3 + 5 < 2𝑥 < 3 + 5
2 < 2𝑥 < 8
2
2< 𝑥 <
8
2
1 < 𝑥 < 4
1
4
1 4
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18 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ| 1 < 𝑥 < 4}
𝑓) |6 − 2𝑥| ≥ 7.
Solução:
Da propriedade 6 temos:
𝐴) 6 − 2𝑥 ≤ −7
−2𝑥 ≤ −7 − 6
−2𝑥 ≤ −13 → 𝑥 ≥13
2
OU
𝐵) 6 − 2𝑥 ≥ 7
−2𝑥 ≥ 7 − 6
−2𝑥 ≥ 1 → 𝑥 ≤−1
2
-1/2
13/2
-1/2 13/2
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19 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ| 𝑥 ≤−1
2 𝑜𝑢 𝑥 ≥
13
2}
2.3. Módulo
A todo número real 𝑥 associa-se um valor absoluto, também chamado de módulo, representado por |𝑥| definido por:
|𝑥| = {𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
• O módulo de um número positivo ou nulo é o próprio
número
|4| = 4 ; |0| = 0
• O módulo de um número negativo é o oposto dele
mesmo
|−3| = −(−3) = 3 ; |−√5| = −(−√5 ) = √5
De acordo com a definição acima, para todo 𝑥 ∈ ℜ tem-se |𝑥| ≥ 0, ou seja, o módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. Geometricamente, o módulo um número real é, na reta numérica, a distância entre este número e a origem.
0 -2 3
2 3
ℜ
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20 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
O número -2 está a 2 unidades de medida à esquerda da origem. Assim, sua distância à origem é 2. Dizemos, então, que o módulo ou valor absoluto de -2 é 2, indicado por |−2| =2.
O número 3 está a 3 unidades de medida à direita da origem. Assim, sua distância à origem é 3. Dizemos, então, que o módulo ou valor absoluto de 3 é 3, indicado por |3| =3.
Se considerarmos dois números reais 𝑥 e 𝑦 associados aos pontos 𝑋 e 𝑌 na reta real, então |𝑥 – 𝑦| corresponde a distância entre os dois pontos.
2.3.1. Propriedades 1) |𝑥| ≥ 0
2) |𝑥| = | − 𝑥|
3) |𝑥. 𝑦| = |𝑥|. |𝑦|
4) |𝑥/𝑦| = |𝑥|/|𝑦| com 𝑦 ≠ 0
5) |𝑥| = |𝑦| 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥 = ± 𝑦
6) √𝑥𝑛𝑛= {
|𝑥| 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
; 𝑥 ∈ ℛ
Observação:|𝑥 ± 𝑦| ≠ |𝑥| ± |𝑦|
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21 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
Exemplos:
1) De acordo com a definição e as propriedades do módulo,
calcule:
𝑎) |−3 + 5| = | 2| = 2
𝑏) |−3 − 5| − |−3| = |−8| − |−3| = 8 − 3 = 5
𝑐) |(−2). 3| = |−2|. |3| = 2 . 3 = 6
𝑑) √(−3)2 = |−3| = 3
𝑒) √(−3)33 = −3
𝑓) |2 𝑥 + 1
𝑥| 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −3
|2 (−3) + 1
−3| = |
−5
−3| =
| − 5|
| − 3|=
5
3
2) Sejam |𝑎| = 10, |𝑏| = 2 e 𝑐 = −5, calcule as expressões:
𝑎) |𝑎2. 𝑏|=|𝑎2|. |𝑏| = |𝑎|. |𝑎|. |𝑏| = 10.10.2 = 200
𝑏) |𝑎
𝑐| =
|𝑎|
|𝑐|=
10
| − 5|=
10
5= 2
𝑐) √𝑐22= |𝑐| = |−5| = 5
𝑑) √𝑐33= 𝑐 = −5
3) Resolva as equações abaixo:
𝑎) |𝑥 + 2| = 8
Solução:
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22 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
𝑠𝑒 𝑥 + 2 ≥ 0
|𝑥 + 2| = (𝑥 + 2) = 8 ∴ 𝑥 = 8 − 2 = 6
𝑠𝑒 𝑥 + 2 < 0
|𝑥 + 2| = −(𝑥 + 2) = 8
𝑥 + 2 = −8 ∴ 𝑥 = −8 − 2 ∴ 𝑥 = −10
Portanto 𝑥 = 6 ou 𝑥 = −10
𝑏) |2𝑥 + 1| = 3.
Solução:
se (2𝑥 + 1) ≥ 0 → |2𝑥 + 1| = 2𝑥 + 1 = 3
2𝑥 + 1 = 3 → 2𝑥 = 3 − 1 → 2𝑥 = 2 →
𝑥 =2
2= 1
se (2𝑥 + 1) < 0 → |2𝑥 + 1| = −( 2𝑥 + 1) = 3
-(2𝑥 + 1) = 3 → 2𝑥 + 1 = −3 →
2𝑥 = −4 → 𝑥 =−4
2→ 𝑥 = −2
Portanto 𝑥 = 1 ou 𝑥 = −2
𝑐) |4𝑥 + 1| = |5 − 2𝑥|
Solução:
Pela propriedade 5 temos:
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23 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
4𝑥 + 1 = ±(5 − 2𝑥)
• 4𝑥 + 1 = 5 − 2𝑥 → 6𝑥 = 4 → 𝑥 =2
3
• 4𝑥 + 1 = −5 + 2𝑥 → 2𝑥 = −6 → 𝑥 = −3
Portanto 𝑥 = −3 ou 𝑥 =2
3
𝑑) √𝑥2 = 8
Solução:
√𝑥2 = |𝑥| = 8
𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 → |𝑥| = 𝑥 = 8 ∴ 𝑥 = 8
𝑠𝑒 𝑥 < 0 → |𝑥| = −𝑥 = 8 ∴ − 𝑥 = 8 ∴ 𝑥 = −8
Portanto 𝑥 = 8 ou 𝑥 = −8
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24 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Escreva na forma de intervalo cada representação
geométrica dada abaixo.
2) Dados os conjuntos abaixo, expresse-os na forma de
intervalo:
a) {𝑥 ∈ 𝑅|6 ≤ 𝑥 ≤ 10}
b) {𝑥 ∈ 𝑅| − 1 < 𝑥 ≤ 5}
c) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥ −4}
d) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < 1}
3) Dados os intervalos abaixo, expresse-os na forma
geométrica:
a) [1
2, +∞)
b) (0, 7]
c) (−∞, 3)
d)[−6, +∞)
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25 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
4) Sendo A=]-3,4[ e B =[-1,6[, calcule 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 −
𝐵 𝑒 𝐵 − 𝐴.
5) Dados A = ]-3,2]; B = ]-1,4[ e C = (-∞, +∞) determine:
a) (𝐴 𝑈 𝐶) ∩ 𝐵
b) (𝐵 𝑈 𝐶) − 𝐴
c) 𝐴 – 𝐵
d) 𝐵 – 𝐶
e) (𝐶 – 𝐴) ∩ 𝐵
f) 𝐴 ∩ 𝐵
6) Resolva a seguinte inequação:
a) 4𝑥 − 43 − 2𝑥 − 2 > 3𝑥 + 13
b) 2𝑥 − 43 + 𝑥 + 14 > 𝑥 − 12 + 𝑥
c) 𝑥² + 1 < 2𝑥² − 3 ≤ −5𝑥
7) Resolva as equações:
a) |5𝑥 − 3| = 12 b) |3𝑥 + 2| = 5 − 𝑥 c) |3𝑥 + 1| = |𝑥 − 3| d) |𝑥2 − 6𝑥| = 9 e) 2|𝑥|2 + 3|𝑥| = 2
f) |𝑥|2 + |𝑥| − 6 = 0
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26 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
8) Elimine o módulo:
a) |𝑥 + 1| + |𝑥| b) |𝑥 + 2| − |𝑥 + 1| c) |2𝑥 − 1| + |𝑥 − 2| d) |𝑥| + |𝑥 − 1| + |𝑥 − 2|
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27 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
GABARITO 1) a) (−2, 3] b) [4, +∞) c) (−∞, −5) d) (0, 1) 2) a) [6, 10] b) (−1, 5] c) [4, +∞) d) (−∞, −1)
3)
a) [1
2, +∞) -
b) (0, 7] -
c) (−∞, 3) -
d)[−6, +∞) -
4) 𝐴 ∪ 𝐵 = ] − 3, 6[ 𝐴 ∩ 𝐵 = [−1, 4[ 𝐴 − 𝐵 = ] − 3, −1[ 𝐵 − 𝐴 = [4, 6[
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28 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 2
5) a) 𝐵 b) ] − ∞, −3] ∪]2, +∞[ c) ] − 3, −1] d) ∅ e) ]2, 4[ f) ] − 1, 2]
6) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 < −58} b) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 > −17} c) 𝑆 = ∅
7) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 < −6 𝑜𝑢 − 1 ≤ 𝑥 < 4 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 6}
a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = −9/5} b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 3/4 𝑜𝑢 𝑥 = −7/2} c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 1/2}
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 3 + 3√2 𝑜𝑢 𝑥 = 3 − 3√2 𝑜𝑢 𝑥 = −3}
e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = ±1/2} f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −2} 8)
a) 𝑆 = {−2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 11, 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 02𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 > 0
}
b) 𝑆 = {−1, 𝑠𝑒 𝑥 < −1
−2𝑥 − 3, 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 21, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
}
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