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Prof. Fabio Lima - fabionl.wordpress.comMatemática Financeira
Conceitos GeraisJuros Simples
Regimes de Capitalização
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Gestão Financeira
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Matemática Financeira - Conceito
• Na sua opinião, pra que serve a Matemática Financeira?
• A Matemática Financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo.
• Objetiva efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos.
• Receber uma quantia hoje ou no futuro são a mesma coisa? O que você preferiria?
2 (ASSAF NETO, 2012)
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Matemática Financeira - Conceito
• Em princípio, uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária no futuro.
• Postergar um recebimento por certo tempo envolve sacrifício,
• O qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros.
• De forma que são os juros que induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupança e de novos investimentos na economia.
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Cont.
(ASSAF NETO, 2012)
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Taxas de Juros
• O Risco Envolvido na Operação (empréstimo ou aplicação),
• Incerteza do futuro.
• A Perda do Poder de Compra do Capital.
• Inflação.
• O Capital Emprestado/Aplicado.
• Lucro para compensar o sacrifício pelo período de tempo.
• Definido a partir do Custo de Oportunidade.
4 (ASSAF NETO, 2012)
• Devem remunerar:
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Taxas de Juros
• É o coeficiente que determina a remuneração do fator capital utilizado durante certo período de tempo.
• Refere-se a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano, etc.) e pode ser representada de 2 maneiras
• Taxa Percentual
• Taxa Unitária
5 (ASSAF NETO, 2012)
Cont.
20%0,20
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Taxas de Juros - Exemplos• Taxa Percentual
• Um capital de $ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juros, ao final deste período:
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• A Remuneração total da aplicação no período é, portanto, de $ 200,00.
(ASSAF NETO, 2012)
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Taxas de Juros - Exemplos• Taxa Unitária
• Um capital de $ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juros, ao final deste período:
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• A Remuneração total da aplicação no período é, portanto, de $ 200,00.
cont…
(ASSAF NETO, 2012)
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Taxas de Juros - Exemplos• Portanto:
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Taxa Percentual Taxa Unitária
1,5% 0,015
8% 0,08
17% 0,17
86% 0,86
120% 1,20
1.500% 15,0
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(ASSAF NETO, 2012)
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Diagrama de Fluxo de Caixa
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Diagrama de Fluxo de Caixa
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• A Linha Horizontal registra a escala de tempo (Horizonte financeiro da Operação).
• O Ponto Zero indica o momento inicial.• Os demais pontos representam os períodos de tempo (datas).• As Setas para Cima indicam Entradas (ou recebimentos) de dinheiro.
• As Setas para Baixo indicam Saídas (ou aplicações) de dinheiro.
cont…
(ASSAF NETO, 2012)
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Diagrama de Fluxo de Caixa
• Os movimentos monetários, que a matemática financeira estuda,
• São identificados temporalmente através de um conjunto de entradas e saídas de caixa
• definido como Fluxo de Caixa.
• O Fluxo de Caixa é útil para as operações da matemática financeira por permitir visualizar-se o que ocorre com o capital no tempo.
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cont…
(ASSAF NETO, 2012)
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Matemática Financeira - Regras BásicasMatemática Financeira - Regras Básicas
• Portanto, caso a Taxa de Juros seja anual e o prazo for de 1 mês,
• é indispensável transformar a taxa de juro de anual para o intervalo de tempo definido pelo prazo da operação (ou vice e versa)
• Somente após a definição do prazo e da taxa de juro na mesma unidade de tempo
• É que as formulações da matemática financeira podem ser operadas.
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cont…
(ASSAF NETO, 2012)
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Matemática Financeira - Regras Básicas
• Os critérios de Transformação do Prazo e da Taxa para a mesma Unidade de Tempo,
• Podem ser efetuados através das Regras de:
• Juros Simples
• Média Aritmética
• Juros Compostos
• Média Geométrica
• Dependendo do regime de Capitalização definido para a operação.
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Matemática Financeira - Regras Básicas
(ASSAF NETO, 2012)
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Matemática Financeira - Regras BásicasMatemática Financeira - Regras Básicas
• Nas Fórmulas de Matemática Financeira, tanto
• O Prazo da operação, como
• A Taxa de Juros,
• Precisam estar expressos na mesma Unidade de Tempo.
• Exemplo: Fundo de Poupança oferece juros de 2% ao mês e os rendimentos creditados mensalmente.
14 (ASSAF NETO, 2012)
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Critérios de Capitalização dos Juros
• Os Critérios (Regimes) de Capitalização
• Demonstram como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo.
• Podemos Identificar 2 regimes de capitalização dos juros:
• Simples (ou linear)
• Composto (ou exponencial)
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Regime de Capitalização Simples• Comporta-se como uma Progressão Aritmética (PA),
• Crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo.
• Os Juros somente incidem sobre o Capital Inicial da operação (aplicação ou empréstimo)
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(ASSAF NETO, 2012)
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Regime de Capitalização Simples• Admita um empréstimo de $ 1.000,00 pelo prazo de 5
anos, pagando-se juros simples à razão de 10% ao ano.
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Ano Saldo no Início de cada ano ($)
Juros Apurados para cada ano
($)
Saldo Devedor ao final de cada
ano ($)
Crescimento anual do Saldo Devedor
($)
Início do 1º ano 1.000,00Fim do 1º Ano 1.000,00 100,00 1.100,00 100,00Fim do 2º ano 1.100,00 100,00 1.200,00 100,00Fim do 3º ano 1.200,00 100,00 1.300,00 100,00Fim do 4º ano 1.300,00 100,00 1.400,00 100,00Fim do 5º ano 1.400,00 100,00 1.500,00 100,00
500,00
cont…
(ASSAF NETO, 2012)
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Regime de Capitalização Simples• Portanto, para apurar o Custo Total da Dívida no
prazo contratado,
• Basta multiplicar o número de anos pela taxa anual.
• 5 anos x 10% ao ano = 50% para 5 anos.
• Para converter a taxa anual para mensal,
• Basta dividir a taxa anual por 12.
• 10% ao ano / 12 meses = 0,8333% ao mês.
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cont…
(ASSAF NETO, 2012)
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Regime de Capitalização Composta• Comporta-se como uma Progressão Geométrica (PG)
• Os Juros incidem sobre o Saldo Apurado no início do período correspondente.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(ASSAF NETO, 2012)
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Regime de Capitalização Composta• Admita um empréstimo de $ 1.000,00 pelo prazo de 5
anos, pagando-se juros compostos à razão de 10% ao ano.
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Ano Saldo no Início de cada ano ($)
Juros Apurados para cada ano
($)
Saldo Devedor ao final de cada
ano ($)
Crescimento anual do Saldo Devedor
($)
Início do 1º ano 1.000,00Fim do 1º Ano 1.000,00 100,00 1.100,00 100,00Fim do 2º ano 1.100,00 110,00 1.210,00 110,00Fim do 3º ano 1.210,00 121,00 1.331,00 121,00Fim do 4º ano 1.331,00 133,10 1.464,10 133,10Fim do 5º ano 1.464,10 146,41 1.610,51 146,41
610,51
cont…
(ASSAF NETO, 2012)
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Regimes de Capitalização - Comparação
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Capitalização Simples
Capitalização Composta Diferença
Juros ($) SD ($) Juros ($) SD ($) Juros ($) SD ($)
1.000,00 1.000,00
1º ano 100,00 1.100,00 100,00 1.100,00 0,00 0,00
2º ano 100,00 1.200,00 110,00 1.210,00 10,00 10,00
3º ano 100,00 1.300,00 121,00 1.331,00 21,00 31,00
4º ano 100,00 1.400,00 133,10 1.464,10 33,10 64,10
5º ano 100,00 1.500,00 146,41 1.610,51 46,41 110,51
(ASSAF NETO, 2012)
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Regimes de Capitalização - Comparação
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1.000,00
1.130,00
1.260,00
1.390,00
1.520,00
1.650,00
0 1 2 3 4 5
Simples Composto cont…
(ASSAF NETO, 2012)
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Juros Simples - Fórmulas
• J = valor dos juros expresso em unidades monetárias;
• C = capital. (Valor representativo de terminado momento);
• i = taxa de juros expressa em forma unitária
• n = prazo.
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Exercícios
• (1) Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.
• (2) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% a.m durante 9 meses. Ao final deste período, calculou em $ 270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.
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Exercícios
• (3) Um capital de $ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de $ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação.
• (4) Uma aplicação de $ 250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de $ 27.000,00. Calcular o prazo da aplicação.
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cont…
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Para Estudar
• Mathias e Gomes (2010)
• Capítulo 1 - Juro e Montante.
• Fazer Exercícios propostos (página 41).
• MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010.
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Bibliografia• Bibliografia Básica
• MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010.
• SILVA, André Luiz Carvalhal da. Matemática financeira aplicada. Coleção Coppead de Administração. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2010.
• ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 12a ed., São Paulo: Atlas, 2012.
• Bibliografia Complementar
• BRUNI, Adriano leal. Matemática financeira com hp12c e excel. São Paulo: Atlas, 2010.
• VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Manual de aplicações financeiras HP-12C: tradicional, platinum, prestige. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2008.
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