Matrizes Definição Uma matriz é uma tabela com elementos dispostos em forma retangular. Se uma...

Matrizes Definição

Uma matriz é uma tabela com elementos dispostos em forma retangular. Se uma matriz tem m linhas e n colunas dizemos que ela é do tipo m x n. Exemplo:

Matriz 14 x 10

Exemplo 2:

Matrizes Definição

Matriz 4 x 2

Linhas (filas horiz.)

Panamericano 2003 - São Domingos

Linha 1Linha 2Linha 3Linha 4Linha 5

Matrizes Linhas

Colunas (filas vert.)

COL

1

COL

2

COL

3

Linhas (filas horiz.)

Matrizes Colunas

3227205439294256293941727481117

M

Elemento a41

LINHA 4

COL

1a41 = 29

Matrizes Elementos

3227205439294256293941727481117

M

a52 = 27

LINHA 5COL

2

Matrizes Elementos

Matrizes Representação dos elementos

874100245210221

3x5

a13= 2

a34= 7

Exemplo:

Cada elemento de uma matriz é representado por aij, sendo i o número da linha do elemento, e j, o da coluna.

Matrizes Classificação

Amxn = [aij]mxn

As matrizes podem ser classificadas segundo:

II) A natureza dos elementos

I) A forma

Matrizes Classificação

Amxn = [aij]mxnSegundo a forma em:Retangular

Quadrada

Coluna

Linha

Se o número de linhas é diferente do número de colunas.

Se o número de linhas é igual do número de colunas.

Se o número de colunas é igual a um.

Se o número de linhas é igual a um.

53

054421252043201

33

231310201

13

101

31221

Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m.

Matrizes Classificação

Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:Real:

Complexa:

Nula:

Todos os seus elementos são reais. ijij aAa :

Pelo menos um dos seus elementos é complexo.

CaAa ijij :

Todos os seus elementos são nulos0: ijij aAa

100251

10251

i

000000

Matrizes Classificação

Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:

Triangular Superior:

Triangular Inferior:

0: ijij ajiAa

Matriz quadrada em que os elementos abaixoda diagonal principal são nulos.

Matriz quadrada em que os elementos acimada diagonal principal são nulos.

0: ijij ajiAa

5000620003007211

5103022000250001

Matrizes Classificação

Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:

Diagonal:

Escalar:

0: ijij ajiAaMatriz quadrada em que os elementos não principais são nulos.

5000020000000001

Matriz diagonal em que os elementos principais são iguais.

ij

ijij

aji

ajiAa 0:

2000020000200002

Matrizes Classificação

Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:

Simétrica:

Densa:

Dispersa:

5740723243010211

Os elementos aij são iguais aos aji

A maioria dos seus elementos são não nulos.

A maioria dos seus elementos são nulos.

645046633

BAC

Matrizes

Soma de MatrizesSejam A e B duas matrizes do mesmo tipo. Denomina-se soma de

342015321

A

303031312

B

A com B uma matriz C, do mesmo tipo, que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.

njmibac

BACMCMBA

ijijij

nmnm

,,1,,1;

:,

Operações com Matrizes

Matrizes

ABBAMBA nm ,

Operações com Matrizes

goza das seguintes propriedades:

Comutativa

Associativa

Elemento neutro

Existência da matriz oposta

A soma de matrizes do mesmo tipo

)()(,, CBACBAMCBA nm

AOAMOMA nmnm :

OBAMBMA nmnm :

Matrizes

Produto por um escalarSejam A uma matriz e um escalar.O produto de por A é uma matriz C

342015321

A

91260315963

3 A

que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por

njmiac

ACMAMA

ijij

nmnm

,,1,,1;

:

Operações com Matrizes

, do mesmo tipo de A,

Matrizes

AA

Operações com Matrizes

e os escalares e as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo

AAA )(

BABA

AA1

Matrizes

1 2 32 5 3

2

1 2 32 5 31 0 2

=x3

3x3=

2x3

Operações com Matrizes

Produto de matrizes

Exemplo:

x

Matrizes

1 2 32 5 3

2

1 2 32 5 31 0 2

=x3

3x3

8

2x3

Operações com Matrizes

Matrizes

1 2 32 5 3

2

1 2 32 5 31 0 2

=x3

3x3

8

2x3

12

Operações com Matrizes

Matrizes

1 2 32 5 3

2

1 2 32 5 31 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 15

Operações com Matrizes

Matrizes

1 2 32 5 3

2

1 2 32 5 31 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 15

Operações com Matrizes

Matrizes

1 2 32 5 3

2

1 2 32 5 31 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 1515

Operações com Matrizes

Matrizes

1 2 32 5 3

2

1 2 32 5 31 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 1515 29

Operações com Matrizes

Matrizes

1 2 32 5 3

2

1 2 32 5 31 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 1515 29 27

Operações com Matrizes

Matrizes Operações com Matrizes

Produto de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo

O produto de A por B é uma matriz C do tipo

cujos elementos são dados por:

mxp

n

kjkkiji bac

1

e escreve-se C=AB.

nxp.

O produto de matrizes não é comutativo.

Matrizes

CBACBA

Operações com Matrizes

Se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,as seguintes propriedades serão válidas:

Considere as matrizes A, B e C, e um escalar.

CBCACBA )(

CABACBA

BABABA

Matrizes Operações com Matrizes

Transposição de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn.Denomina-se transposta de A a matriz B do tipo nxm tal que:

jiji ab mjni ,....;,..., 11

e escreve-se B=AT

53054421252043201

A

35014523452420201

TA

Matrizes

AATT

Operações com Matrizes

Se todas as operações a seguir indicadas forem definidas,as seguintes propriedades serão válidas:

Considere as matrizes A e B e um escalar.

TTT BABA )(

TT AA

TTT ABBA