View
221
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
1
Sumário e Objectivos
Sumário: Função de Prandtl. Torção de Veios de Secção Elíptica e Rectangular e de Secções Abertas de paredes delgadas. Perfis TubularesObjectivos da Aula: Apreensão dos conceitos Fundamentais associados à torção de veios de forma arbitrária.
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
2
Vigas
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
3
Camião
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
4
Bicicleta
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
5
Função de Tensão de Prandtl
A solução do problema de torção de um veio de secção arbitrária, na ausência de forças de massa, passa pela solução do sistema de equações
zyzx 0x y
∂∂ ττ + =∂ ∂
zyzx 2Gy x
∂∂ ττ − = − θ∂ ∂
considerando as condições de fronteira seguintes
zx zyl m 0+ =τ τ na superfície lateral do sólido
t yz xzA(x y )dxdyM = −τ τ∫∫ para z=0 e z=L.
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
6
Função de Tensão de Prandtl
Para resolver este problema um dos métodos disponíveis recorre à chamada função de tensão de Prandtl que é uma função tal que
zx zy e y x∂φ ∂φ
= = −τ τ∂ ∂
verificando automaticamente as equações de equilíbrio.
Substituindo estas expressões na equação de compatibilidade obtém-se2 2
222G
yxφ φ∂ ∂+ = − θ
∂ ∂
Esta equação é muitas vezes referida como Equação de Poisson. A solução do problema passa agora pela solução da equação de compatibilidade sujeita às condições de fronteira
l m 0y x∂φ ∂φ
− =∂ ∂
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
7
Veio de Secção Elíptica
x
xy
a
b
A função φ a considerar é22
2 2
yxk 1a b
⎛ ⎞φ = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
sendo k uma constante
Substituindo a função φ na equação de compatibilidade, obtém-se
2 2
2k 2k 2G Ha b
+ = − θ =2 2
2 2a bk H
2( )b a=
+
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
8
Veio de Secção Elíptica
A função de Prandtl para o veio de secção elíptica toma a forma
( )22 2 2
2 22 2
ya b xH 12 a ba b
⎛ ⎞φ = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
A1ª condição de fronteira refere-se ao contorno do veio e é y x 0
y s x s s∂φ ∂ ∂φ ∂ ∂φ
+ = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
A outra condição de fronteira diz respeito aos extremos do veio e é
t yz xzA(x y )dxdyM = −τ τ∫∫ A
(x y )dxdyx y∂φ ∂φ
− +∂ ∂∫∫=
por aplicação do teorema de Gauss obtém-se
t A
C A
( x) ( y)( y 2 )dxdyM x y
=- (x cos( , x) y cos( , y))ds 2 dxdy
∂ φ ∂ φ= − + − φ =
∂ ∂
φ ν + φ ν + φ
∫∫
∫ ∫∫
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
9
Veio de Secção Elíptica
O integral estendido ao contorno é nulo pela 1ª condição de Fronteira e o Momento torsor é
tA
2 dxdyM = φ∫∫ Ou seja( )
3 3
t 2 2a b GM
a bπ= θ+
No caso do veio elíptico a função de Prandtl pode ser escrita em termos do Momento torsor, com a seguinte forma 22
t2 2
yM x 1ab a b
⎛ ⎞φ = − + −⎜ ⎟π ⎝ ⎠
As tensões sãot t
xz 3x
2 y yM My a 2b I∂φ
= = − = −τ∂ π
t txz 3
y
2 x xM Mx b 2a I∂φ
= − = =τ∂ π
( )1/ 2
221/ 2t2 2
zx zyz4 4
yx2Mab a b
α = =τ τ +τ +π
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Tensão Resultante
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
10
Membrana Elástica
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
11
Membrana Elástica
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
12
Membrana Elástica
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
13
Membrana Elástica
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
14
Analogia de Membrana
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
15
Analogia de Membrana de Prandtl
2 2
222G
yxφ φ∂ ∂+ = − θ
∂ ∂
2 2
22
z z pTyx
∂ ∂+ = −∂ ∂
x
z
α p
x
y
dydx
S
S
Prandtl mostrou que as deformações de corte numa barra elástica rectilínea sujeita a um momento torsor estão relacionadas com as inclinações da membrana estendida num orifício de uma placa plana e sujeita a uma pressão p, considerando o orifício com a forma da secção recta da barra e a membrana ligada
à fronteira do orifício.
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
16
Analogia de MembranaSecção Rectangular
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
17
Analogia de MembranaSecção Rectangular
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
18
Analogia de MembranaSecção Rectangular
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
19
Secções Abertas de parede delgada
t 3p3
13M ; C=G b GtIG 3btθ = =t
max 23M G t;bt
= = θτ
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
20
Secções Abertas de parede delgada
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
21
Secções Abertas de parede delgada
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
22
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
23
Secções Abertas de Paredes Delgadas
n3
p i ii 1
GC G k b aI 3 =
= = ∑ tiG sendo = / Ca Mτ = θ θ
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
24
Secção Tubular de parede Fina
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
25
Secção Tubular de parede Fina
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
26
Secção Tubular de parede Fina
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
27
Secção Tubular de parede Fina
L é o perímetro
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
28
Secção Tubular de parede Fina
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
29
Secção Tubular de parede Fina
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
30
Secção Tubular de parede Fina
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
31
Secção Multicelular
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
32
Secção Multicelular
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
33
Secção Multicelular
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
34
Veio Circular de Secção Variável
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
35
Veio Circular de Secção Variável
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
36
Veio Circular de Secção Variável
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
37
Veio Circular
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
38
Energia de Deformação de Torção
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
39
Problema 1
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
40
Resolução Problema 1
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
41
Resolução Problema 1
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
42
Resolução Problema 1
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
43
Resolução Problema 1
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
44
Resolução Problema 1
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
45
Resolução Problema 1
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
46
Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
47
Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
48
Resolução Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
49
Resolução Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
50
Resolução Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
51
Resolução Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
52
Resolução Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
53
Resolução Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
54
Resolução Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
55
Resolução Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
56
Resolução Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
57
Resolução Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
58
Resolução Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
59
Resolução Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
60
Resolução Problema 2
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
61
Problema 3
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
62
Resolução Problema 3
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
63
Resolução Problema 3
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
64
Resolução Problema 3
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
65
Problemas Propostos
1. Calcule o cociente entre as tensões máxima e o cociente entre os ângulos de torção produzidos para um mesmo momento torsor numa barra de secção rectangular (b/a=3) e numa barra de secção circular com área equivalente à secção rectangular. Considere as barras com o mesmo comprimento e construídas do mesmo material.
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
66
Problemas Propostos
2. Determine a tensão máxima instalada e o ângulo de torção por unidade de comprimento numa cantoneira 100×100×10mm, submetida a um momento torsor de 1kN.m.
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos8ªAula
67
Problemas Propostos
3. Mostre que a função de tensãoG 2a 2a ax 3y x 3y x2a 3 3 3θ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤φ = − − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
é adequada para efeitos de cálculo das tensões num triângulo equilátero com a forma representada na figura. Determine as tensões tangenciais
a/3
x
2a/3
Recommended