Medidas de Sensibilidade : Duração

Medidas de Sensibilidade:Duração

José Augusto Carvalho FilhoAgosto 2013

Proposta do Curso

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Aula Tema Conteúdo

1 Princípios Gerais • Mercado Futuro de DI e a estimacao da Estrutura a Termo da Taxa de Juros;

2 Estrutura a Termo da taxa de juros

• Metodos de estimacao da curva de juros - Modelos de Nelson-Siegel, Nelson- Siegel-Svenson e Supoerbell;

3 Estrutura a Termo da taxa de juros • Metodos de estimacao da curva de juros - Modelos de Nelson-Siegel, Nelson- Siegel-Svenson e Supoerbell;

4 Sensitividade da taxa de juro

• Aproximacoes de primeira ordem, Duracao de Macaulay, Duracao modificada, Outras medidas de duracao: Valor e Fischer, Limites de duracao, Aproximacoes de ordem superior, Convexidade, Outras medidas;

• Casos Especiais – modelos de taxas de juro (Black, Black-Derman-Toy e Outros modelos);

5 Sensitividade da taxa de juro • Aproximacoes de primeira ordem, Duracao de Macaulay, Duracao modificada, Outras medidas de duracao: Valor e Fischer, Limites de duracao, Aproximacoes de ordem superior, Convexidade, Outras medidas;• Casos Especiais – modelos de taxas de juro (Black, Black-Derman-Toy e Outros modelos);

6 Sensitividade da taxa de juro • Aproximacoes de primeira ordem, Duracao de Macaulay, Duracao modificada, Outras medidas de duracao: Valor e Fischer, Limites de duracao, Aproximacoes de ordem superior, Convexidade, Outras medidas; • Casos Especiais – modelos de taxas de juro (Black, Black-Derman-Toy e Outros modelos);

AgendaAula 4

Prazo Médio

Motivacao

t0

T

P

Fn

F1 F2 F3 F4

t1 t2 t3 t4

Qual é o prazo do título de renda fixo apresentado abaixo?

a) T

b) t1

c) t2

d) t3

e) t4

Prazo Médio

O fato de haver fluxos espalhados temporalmente cria uma

dificuldade natural na comparação com outros títulos.

Faz-se necessário, portanto, definir alguma medida (um único

número) que nos dê uma idéia sobre o prazo da aplicação;

Uma medida inicial, bastante intuitiva, é o prazo médio,

calculado como a média ponderada pelos prazos.

Medidas de Sensibilidade

Prazo Médio

Medidas de Sensibilidade

t0

T

P

Fn

F1 F2 F3 F4

t1 t2 t3 t4

Prazo Médio

Medidas de Sensibilidade

t0

T

P

Fn

F1 F2 F3 F4

t1 t2 t3 t4

Prazo Médio

Perceba que uma vez calculada a média do prazo, tem-se um fluxos similar ao

de um título de cupom zero:

Medidas de Sensibilidade

t0

d

P

FV

Prazo Médio Exemplo: Considere a seguinte carteira de duplicatas que será

descontada na data t0:

Medidas de Sensibilidade

Valor Duplicata

Dias para o Vencimento

R$150.000 25 R$200.000 30 R$250.000 38 R$300.000 33 R$100.000 35

R$1.000.000 d = ?

Prazo Médio Exemplo:

Calculando-se os produtos dos Fluxos pelos seus respectivos

prazos, tem-se:

Medidas de Sensibilidade

Valor Duplicata

Dias para o Vencimento

Fd

R$150.000 25 R$3.750.000 R$200.000 30 R$6.000.000 R$250.000 38 R$9.500.000 R$300.000 33 R$9.900.000 R$100.000 35 R$3.500.000

R$1.000.000 d = ? R$32.650.000

Prazo Médio Exemplo:

Finalmente, tem-se o valor do prazo médio d:

Medidas de Sensibilidade

Valor Duplicata

Dias para o Vencimento

Fd

R$150.000 25 R$3.750.000 R$200.000 30 R$6.000.000 R$250.000 38 R$9.500.000 R$300.000 33 R$9.900.000 R$100.000 35 R$3.500.000

R$1.000.000 d = ? R$32.650.000

Prazo Médio Exemplo:

Supondo que o valor da taxa de desconto seja de 4% a.m.,

podemos calcular o valor do desconto D:

Com o valor do desconto, podemos calcular o valor do a ser

recebido PV:

Medidas de Sensibilidade

Prazo Médio Exemplo:

Finalmente, podemos calcular o valor do retorno efetivo:

Se tivéssemos calculado o retorno, como YTM, que valor

teríamos encontrado ?

Medidas de Sensibilidade

Duration

Duration Sabendo-se que o preço de um título pode ser expresso como

uma função da yield e do tempo, podemos escrever a seguinte

expressão de diferenças infinitesimais:

onde o primeiro termo da direita refere-se a variação do preço em

relação a uma pequena variação do valor da Yield y.

Medidas de Sensibilidade

Duration Portanto, podemos calcular o primeiro termo de diferença para

um preço de um título:

Medidas de Sensibilidade

Duration Seguindo com as derivadas internamente:

que é o mesmo que

Medidas de Sensibilidade

Duration Dividindo ambos lados por P:

Se considerarmos apenas o termo entre colchetes, tem-se a

conhecida Duration de Macaulay (DM).

Medidas de Sensibilidade

Duration A função Duration de Macaulay pode ser expressa de forma mais

geral, como sendo:

Medidas de Sensibilidade

Duration Se decidirmos por considerar todo o termo, temos a chamada

duration modificada D:

Portanto, temos que a variação infinitesimal relativa de preço é

igual a –D.

Medidas de Sensibilidade

Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a

3,5 anos de seu vencimento com notional de R$100, cupom anual

8% e considerando uma yield de 11% a.a.

Medidas de Sensibilidade

Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de

seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma

yield de 11% a.a.

Com base nas informações, temos o seguinte fluxo de caixa, e seus respectivos

valores presentes:

Medidas de Sensibilidade

Períodos F(t) PV

0,5 R$3,9230 3,72361,0 R$3,9230 3,53431,5 R$3,9230 3,35462,0 R$3,9230 3,18402,5 R$3,9230 3,02223,0 R$3,9230 2,86853,5 R$103,9230 72,1243

Price 91,81

Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de

seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma

yield de 11% a.a.

Com base nas informações, temos o seguinte fluxo de caixa, e seus respectivos valores

presentes;

Em seguida, podemos calcular as ponderações dos fluxos em relação ao

tempo e descontá-los pela yield:

Medidas de Sensibilidade

Períodos F(t) PV PV*t/P

0,5 R$3,9230 3,7236 0,02031,0 R$3,9230 3,5343 0,03851,5 R$3,9230 3,3546 0,05482,0 R$3,9230 3,1840 0,06942,5 R$3,9230 3,0222 0,08233,0 R$3,9230 2,8685 0,09373,5 R$103,9230 72,1243 2,7495

Price 91,81 Duration 3,108

Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de

seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma

yield de 11% a.a.

Com base nas informações, temos o seguinte fluxo de caixa, e seus respectivos valores

presentes;

Em seguida, podemos calcular as ponderações dos fluxos em relação ao

tempo e descontá-los pela yield. De forma análoga, podemos a duration

modificada DM.

Medidas de Sensibilidade

Períodos F(t) PV PV*t/P

0,5 R$3,9230 3,7236 0,02031,0 R$3,9230 3,5343 0,03851,5 R$3,9230 3,3546 0,05482,0 R$3,9230 3,1840 0,06942,5 R$3,9230 3,0222 0,08233,0 R$3,9230 2,8685 0,09373,5 R$103,9230 72,1243 2,7495

Price 91,81 Duration 3,108Duration Modif. 2,800

Duration Exemplo: Considere o seguinte fluxo de um título de renda fixa, a 3,5 anos de

seu vencimento com notional de R$100, cupom anual 8% e considerando uma

yield de 11% a.a.

O valor da Duration nos dá uma idéia de prazo médio do título.

No nosso exemplo, teríamos 3,108 anos como sendo o prazo médio do título.

Logo, é muito comum associar todo fluxo do título apresentado a um título

sintético de prazo 3,108 anos cujo valor de face é R$ 100.

Medidas de Sensibilidade

Períodos F(t) PV PV*t/P

0,5 R$3,9230 3,7236 0,02031,0 R$3,9230 3,5343 0,03851,5 R$3,9230 3,3546 0,05482,0 R$3,9230 3,1840 0,06942,5 R$3,9230 3,0222 0,08233,0 R$3,9230 2,8685 0,09373,5 R$103,9230 72,1243 2,7495

Price 91,81 Duration 3,108Duration Modif. 2,800

Duration como Medida de Variação do Preço Até o momento, as medidas de Duration (Macaulay e Modificada) nos deram

idéia de prazo médio.

Consideremos mais uma vez a expressão da Duration:

Multiplicando-se ambos lados da equação por dy temos a seguinte relação:

Medidas de Sensibilidade

Duration como Medida de Variação do Preço Essa equação nos diz a variação relativa do preço em função de uma

determinada taxa de retorno dy.

No caso de nosso título de renda apresentado anteriormente, onde tínhamos

uma duration de 3,108 anos, poderíamos a variação do preço do título em

função de uma variação da taxa de retorno de 11% para 12% (100bp).

Medidas de Sensibilidade

Duration como Medida de Variação do Preço Portanto, é imediato perceber que a Duration pode ser usada para calcular

uma medida aproximada do de um título de renda Fixa.

Lembrando que quanto menor for o valor de dy, menor é a estimação do

preço baseado apenas na duration.

Medidas de Sensibilidade

Duration como Medida de Variação do Preço

Medidas de Sensibilidade

Erro

Erro

Duration como Medida de Variação do Preço No caso de nosso título de renda apresentado anteriormente, onde tínhamos

uma duration de 3,108 anos, calcule:

a) os valores dos preços com base em variações da taxa de retorno e os compare

com os preços obtidos a partir da fórmula do preço de um título.

b) faça um gráfico mostrando as diferenças entre as duas abordagens.

Medidas de Sensibilidade

Duration de Carteiras e o Título Sintético

Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:

Com base nas informações acima, podemos usar a Duration como forma de representar a carteira como um título sintético de cupom zero e prazo T.

Medidas de Sensibilidade

Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00 Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%Titulo LTN CDB Debênture

Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:

Nossa carteira pode ser representada da seguinte forma:

Medidas de Sensibilidade

Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00 Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%Titulo LTN CDB Debênture

t0t

LTN

t1 t2 t3

CDB

Debênture

Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:

Nosso objetivo é encontrar um título sintético que represente toda a carteira, com apenas um prazo e uma taxa de retorno.

Medidas de Sensibilidade

Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00 Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%Titulo LTN CDB Debênture

t0t

FV

PV

D

Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:

Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos.

Medidas de Sensibilidade

Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00

Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%

Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98

Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:

Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos;

Medidas de Sensibilidade

Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00

Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%

Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98

Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:

Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos;

Medidas de Sensibilidade

Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00

Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%

Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98

Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:

Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos; Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título

sintético de prazo de 77 dias úteis.

Medidas de Sensibilidade

Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00

Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%

Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98

Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:

Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos; Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título

sintético de prazo de 77 dias úteis Finalmente, podemos levar cada um dos fluxos à data da duration encontrada. Com

isso saberemos o valor ‘a ser resgatado’ do título sintético e, consequentemente, a taxa de retorno da carteira.

Medidas de Sensibilidade

Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00

Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%

Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98

Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:

Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos; Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título

sintético de prazo de 77 dias úteis Finalmente, podemos levar cada um dos fluxos à data da duration encontrada. Com

isso saberemos o valor ‘a ser resgatado’ do título sintético e, consequentemente, a taxa de retorno da carteira.

Medidas de Sensibilidade

Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00

Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%

Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98

FV (t=D) R$1.636,05 R$1.335,03 R$2.598,83 R$5.569,91

Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:

Primeiramente, devemos calcular os valores presentes de cada um dos fluxos. Com base nos valores presentes, podemos ponderá-los pelos respectivos prazos; Portanto, essa carteira pode ser representada (de forma aproximada) como um título

sintético de prazo de 77 dias úteis Finalmente, podemos levar cada um dos fluxos à data da duration encontrada. Com

isso saberemos o valor ‘a ser resgatado’ do título sintético e, consequentemente, a taxa de retorno da carteira.

Medidas de Sensibilidade

Titulo LTN CDB DebêntureFace R$1.580,00 R$1.300,00 R$2.700,00

Prazo (du) 29 42 125Taxa Spot (% a.a.) 1,60% 1,70% 1,75%

Total DurationPV (dc/22) R$1.547,66 R$1.258,56 R$2.445,75 R$5.251,96 76,98

Taxa EfetivaFV (t=D) R$1.636,05 R$1.335,03 R$2.598,83 R$5.569,91 1,694%

Duration no cálculo de um Título Sintético - Caso 1 Portanto, a seguinte carteira de renda fixa

pode ser aproximada através de um título sintético, conforme o seguinte fluxo:

Medidas de Sensibilidade

= R$5.569,91

= R$5.251,96

= 77 dias úteis

= R$1.580,00 = R$1.300,00

= R$2.700,00

= 29 = 42 = 125

Duration de Carteiras e o Título SintéticoEstudo de Caso

Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:

Além disso, considere a seguinte curva de taxas Spot dos títulos:

Medidas de Sensibilidade

Titulo LTN CDB_1 CDB_2 Debênture

Face R$150.000,00 R$90.000,00 R$120.000,00 R$100.000,00

Prazo (du) 27 65 43 73

Curva Spot (%a.a.252)du LTN CDB_1 CDB_2 Debêntures

1 9,500% 10,140% 10,647% 11,925%10 9,673% 10,165% 10,673% 11,954%20 9,618% 10,190% 10,700% 11,983%30 9,643% 10,215% 10,726% 12,013%40 9,870% 10,240% 10,752% 12,042%50 9,798% 10,265% 10,778% 12,072%60 9,899% 10,290% 10,805% 12,101%70 9,957% 10,315% 10,831% 12,130%80 10,147% 10,340% 10,857% 12,160%

Considere uma carteira composta de três títulos de renda fixa:

Com base nas informações disponíveis, calcule:

a) A Duration da carteira;

b) O valor presente da carteira;

c) O valor futuro da carteira;

d) A taxa de retorno da carteira baseada na Duration;

e) Para fins de interpolação, responda as questões acima considerando o método exponencial e o spline spectral.

Medidas de Sensibilidade

Titulo LTN CDB_1 CDB_2 Debênture

Face R$150.000,00 R$90.000,00 R$120.000,00 R$100.000,00

Prazo (du) 27 65 43 73

Mercados, Análise e Estrategias de Bônus; Fabozzi,

Frank J. ed. Qualitymark, 2000.

Securato, Jose Roberto, 1947, Cálculo Financeiro das

Tesourarias: Bancos e Empresas.

Fortuna, Mercado Financeiro – Produtos e Serviços.

Mercado Aberto no Brasil – Aspectos Históricos e

Operacionais; Araújo, Carlos H. , in Notas Tecnicas do

Banco Central do Brasil, nº 12 – Jan/2002.

BibliografiaBásica

Hull, C. John, Options, Futures and Other Derivatives,

6th Edition.

Yield Curve Modelling at the Bank of Canada; Bank of

Canada Technical Report #84, 1999.

Understanding the Yield Curve; Salomon Brothers –

United States Research Portfolio Strategies, 1995

(mimeo).

BibliografiaComplementar

http://www.anbima.com.br/

http://www.tesouro.fazenda.gov.br/

http://www.bcb.gov.br/

http://www.bmfbovespa.com.br

http://www.wolframalpha.com

Fontes Eletrônicas

Contatos

augusto.carvalho@phynancial.com

augusto.carvalho@sas.com

gugadrum@gmail.com

Prof. Augusto Carvalho