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MEF solidos
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Mtodo dos elementos finitos aplicado anlise de slidos:concepo e implementao
Rui Miguel da Costa Alves Maciel
Dissertao para a obteno de Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Jri
Presidente: Fernando Manuel Fernandes Simes
Orientador: Carlos Manuel Tiago Tavares Fernandes
Vogais: Manuel da Cunha Ritto Corra
Maio de 2013
Agradecimentos
Ao Professor Jos Paulo Baptista Moitinho de Almeida pela disponibilidade e apoio dado ao longo do
trabalho, sem o qual no teria sido possvel realizar uma parte significativa.
Ao meu orientador, Professor Carlos Tiago Fernandes, pelo desempenho verdadeiramente exemplar e
dedicao mpar, pela amizade e por demonstrar que excelncia acadmica e pedaggica podem coexistir.
minha famlia, por todo o apoio e fora que tem dado e sem o qual nada teria sido possvel ou valido
a pena.
Por ltimo, mas sempre em primeiro lugar, minha cara-metade, Daniela, por ter o dom de, indepen-
dente da quantidade de nuvens e neblina, mostrar que o cu est sempre azul.
iii
Resumo
Neste trabalho apresentada uma aplicao completa de software que, a partir de uma implemen-
tao do mtodo dos elementos finitos, permite a obteno de solues aproximadas do problema de
valores de fronteira da teoria de elasticidade tridimensional com utilidade prtica no campo da anlise de
slidos e de estruturas.
O mtodo dos elementos finitos, conforme abordado neste trabalho, desenvolvido a partir da aplica-
o do mtodo de Bubnov-Galerkin ao problema na valores de fronteira associado teoria de elasticidade
linear tridimensional. O conceito de elemento isoparamtrico tambm apresentado, sendo usado como
base para a definio dos oito tipos de elementos finitos empregues na anlise de problemas tridimensio-
nais: os elementos finitos hexadricos Lagrangeanos de 8 e 27 ns, hexadrico Serendipiano de 20 ns,
tetradricos de 4 e 10 ns, e prismticos de 6, 15 e 18 ns. ainda discutido o problema associado
integrao da formulao fraca resultante.
O mtodo implementado como um programa de anlise numrica, com suporte para pr- e ps-
processamento. A gerao de malhas, no estando includa no mbito deste trabalho, foi realizada me-
diante o uso de programas desenvolvidos por terceiros. O programa desenvolvido na linguagem de
programao C++, concebido com base no uso de padres de desenvolvimento de software e seguindo
o paradigma de programao orientada por objectos. O interface grfico, desenvolvido em Qt 4.7, em
conjunto com o componente de visualizao, desenvolvido em OpenGL 2.1, permite atribuir materiais,
condies de fronteira, e regras de integrao, bem como visualizar o campo de deslocamentos, tenses,
deformaes, e direces principais de tensores das tenses.
tambm apresentado um conjunto de exemplos de aplicao do programa, usados para validar
os resultados da implementao e demonstrar propriedades intrnsecas deste mtodo, tais como a taxa
de convergncia associada a cada tipo de elemento finito, o nmero de operaes exigido e o tempo
de processamento associado ao seu uso. So ainda realizados exemplos destinados a comparar os
resultados produzidos pelo programa com aqueles resultantes de teorias estruturais de barras e lajes.
Palavras-chave
mtodo de Bubnov-Galerkin
mtodo dos elementos finitos
teoria da elasticidade tridimensional
visualizao
Abstract
This work presents a complete software application that, through an implementation of the finite ele-
ment method, can be used to obtain approximate solutions of the boundary value problem of the three-
dimensional theory of elasticity, with practical applications in the field of solid and structural analysis.
The finite element method, as covered in this work, is presented as the Bubnov-Galerkin method
applied to the three dimensional linear elasticity boundary value problem. The isoparametric element
concept is also presented, which is used as a basis for the definition of eight finite element types employed
in the analysis of three-dimensional problems: the Lagrangean 8 and 27-node hexahedrical elements, the
20-node Serendipian hexahedrical element, the 4 and 10-node tetrahedral element, and the 6, 15 and
18-node triangular prism elements. The integration of the weak form problem is also discussed.
The method is implemented as a numerical analysis software program, with support for pre- and
post-processing. Mesh generation, being beyond the scope of this work, was performed by third-party
programs. The software was developed in the C++ programming language, based on the use of software
design patterns and following the object-oriented programming paradigm. The graphical user interface,
developed with Qt, paired with the visualization component, developed using OpenGL 2.1, lets the user
assign material properties, boundary conditions, configure the numerical integration rules, as well as visu-
alize the displacements field, stresses, strains, and principal directions of stress tensors.
A set of examples is also presented, used to validate the implementations results and to demonstrate
intrinsic properties of this method, such as the convergence rates associated with each finite element type,
the number of operations required and the processing time associated with their use. Examples are also
performed to compare the results obtained from the software application with those from beam and plate
structural theories.
Keywords
Bubnov-Galerkin method
finite element method
three-dimensional elasticity theory
visualization
ndice
Agradecimentos iii
ndice i
Lista de Figuras v
Lista de Tabelas xi
Notao xiii
1 Introduo 1
1.1 Enquadramento geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 O problema de elasticidade tridimensional 5
2.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Domnio do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Relaes de equilbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Relaes de compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Relaes constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 A elasticidade tridimensional como um problema de valores de fronteira . . . . . . . . . . . 8
3 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridi mensional 11
3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Mtodo dos resduos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Mtodo de Bubnov-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Formulao fraca do mtodo de Bubnov-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Mtodo dos elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6 Princpio dos trabalhos virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7 Recuperao de grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
i
ii ndice
3.8 Erro e convergncia de solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Elementos finitos e regras de quadratura 35
4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 O conceito de elemento finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Conceito de elemento isoparamtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Elementos suportados pelo programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.1 Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.2 Quadrilaterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.3 Tetradricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4.4 Hexadricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.5 Prismticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Integrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6 Erro e convergncia das solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Desenvolvimento de um programa de clculo 59
5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Tecnologias empregues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Funcionalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4.1 Estrutura de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.2 Importao de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4.3 Clculo da matriz de rigidez global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4.4 Clculo do vector de foras nodais equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4.5 Elementos suportados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4.6 Integrao numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4.7 Interface grfico de utilizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.8 Representao grfica dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.9 lgebra matricial e resoluo de sistemas de equaes . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5 Utilizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.1 Criao de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.2 Prescrio de condies de fronteira e foras volmicas . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5.3 Execuo de anlises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5.4 Representao dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5.5 Configurao do programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Exemplos de aplicao 87
6.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
ndice iii
6.2 Patch test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3 Consola curta cbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.2 Energia de deformao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3.3 Campo de deslocamentos e grandezas derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4 Esfera oca sujeita a presso interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.5 Laje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.6 Perfil IPE biencastrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.7 Perfil LNP curvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.8 Placa com orifcio circular sujeita a traco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7 Concluso 123
A Funes de base 125
A.1 Tringulo de 3 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.2 Tringulo de 6 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
A.3 Quadriltero de 4 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.4 Quadriltero de 8 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.5 Quadriltero de 9 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.6 Tetraedro de 4 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A.7 Tetraedro de 10 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.8 Hexaedro de 8 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.9 Hexaedro de 20 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.10 Hexaedro de 27 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A.11 Prisma de 6 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.12 Prisma de 15 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.13 Prisma de 18 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
B Regras de quadratura 139
C Patch test: representao do campo de deformaes de eleme ntos regulares 141
D Patch test: representao do campo de deformaes de eleme ntos distorcidos 143
E Consola curta: campos de deformaes e tenses 145
F Esfera oca sujeita a presso interna: resultados 149
G Exemplo do formato MSH 151
iv ndice
H Exemplos do formato FEM.JSON 153
Bibliografia 155
Lista de Figuras
2.1 Representao abstracta do domnio do problema da elasticidade tridimensional. . . . . . . . . 6
2.2 Diagrama de Tonti para o problema de elasticidade linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Representao de um domnio genrico a) de acordo com a sua definio original e b) submetido
a uma partio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Poltopo regular de referncia e sub-domnios de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Funes de base dos elementos e a sua correspondncia com as funes de base globais. . . . 24
3.4 Erro na modelao de um perfil LNP curvo causado pelo uso de uma malha grosseira de ele-
mentos lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Erro na modelao das condies de fronteira de um modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1 Mapeamento nas coordenadas locais de elementos triangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Expanso polinomial da parametrizao de elementos triangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Mapeamento nas coordenadas locais de parametrizaes Lagrangeanas de domnios quadril-
teros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Expanso polinomial da parametrizao de elementos quadrilaterais. . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 Mapeamento nas coordenadas locais da parametrizao Serendipiana de 8 ns de um domnio
quadriltero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6 Termos envolvidos na construo de uma funo de base N1(1,2) pelo processo Serendipiano. 46
4.7 Expanso polinomial da parametrizao do elemento Serendipiano quadrangular de 8 ns. . . . 47
4.8 Mapeamento nas coordenadas locais de elementos tetradricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9 Representao grfica da funo de forma do elemento finito tetradrico de 4 ns N1(). . . . . 48
4.10 Representao grfica das funes de forma do elemento finito tetradrico de 10 ns. . . . . . . 49
4.11 Mapeamento nas coordenadas locais de elementos hexadricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.12 Representao grfica da funo de forma N7() do elemento finito hexadrico de 8 ns. . . . . 50
4.13 Representao grfica das funes de forma do elemento finito hexadrico de 20 ns. . . . . . . 50
4.14 Representao grfica das funes de forma do elemento finito hexadrico de 27 ns. . . . . . . 51
4.15 Mapeamento nas coordenadas locais de elementos prismticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.16 Representao grfica da funo de forma N3() do elemento finito prismtico de 6 ns. . . . . 52
v
vi Lista de Figuras
4.17 Representao grfica das funes de forma do elemento finito prismtico de 15 ns. . . . . . . 52
4.18 Representao grfica das funes de forma do elemento finito prismtico de 18 ns. . . . . . . 53
4.19 Representao grfica da aplicao regra de quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos. . . . . 54
5.1 Representao da associao entre as definies de elementos finitos e dos respectivos ns. . . 61
5.2 Diagrama de classe da estrutura de dados Model, com mtodos e atributos omitidos. . . . . . . 62
5.3 Representao simplificada do algoritmo do mtodo dos elementos finitos. . . . . . . . . . . . . 64
5.4 Diagrama de classes para as classes que definem os elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5 Diagrama de actividade simplificado do algoritmo de construo da matriz de rigidez. . . . . . . 65
5.6 Interface do programa, com vrias janelas com representaes diferentes do modelo. . . . . . . 68
5.7 Diagrama de classes da implementao das janelas MDI, omitidos os mtodos e atributos. . . . 69
5.8 Diagrama de classes da implementao da representao das cenas. . . . . . . . . . . . . . . 69
5.9 Descrio do uso de um padro de desenvolvimento Strategy na representao de um modelo. . 70
5.10 Diagrama de classes da implementao do sistema de seleco de objectos. . . . . . . . . . . 70
5.11 Diagrama de sequncia do sistema de seleco de objectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.12 Representao do funcionamento do grafo de cena: a) estrutura de dados do modelo b) objectos
da cena criados a partir da estrutura de dados c) representao do modelo pelo grafo da cena a
partir dos objectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.13 Representao do funcionamento do padro de desenvolvimento do tipo Observer. . . . . . . . 72
5.14 Representao da organizao dos objectos da cena no grafo da cena em funo da fronteira
que os delimita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.15 Representao da visualizao dos objectos que compem o grafo da cena em funo da inter-
seco da sua fronteira com o volume de viso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.16 Representao do funcionamento do picking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.17 Diagrama de classes da implementao das rotinas de resoluo de sistemas de equaes
lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.18 Menu file. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.19 Wizard de importao de malhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.20 Wizard de importao de malhas: processo de importao de uma malha. . . . . . . . . . . . . 78
5.21 Resultado final da importao de uma malha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.22 Menu Edit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.23 Caixas de dilogo de prescrio de condies de fronteira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.24 Menu Project. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.25 Mtodos de resoluo de sistemas de equaes disponveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.26 Caixa de dilogo do progresso da anlise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.27 Janela MDI com a representao tabelada dos resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.28 Menu Window->New. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Lista de Figuras vii
5.29 Visualizao dos resultados via gradiente de cores, eixo de simetria transversal de uma laje
quadrada sujeita ao peso prprio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.30 Visualizao das direces principais dos tensores, eixo de simetria transversal de uma laje
quadrada sujeita ao peso prprio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.31 Janela MDI com a representao tabelada da matriz de rigidez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1 Modelo da barra traccionada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2 Campo 33 da barra sujeita a presso axial: modelos compostos por elementos hexadricos de
8 ns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 Distoro dos elementos finitos obtida a partir da alterao da partio do modelo da barra. . . . 90
6.4 Representao da discretizao do modelo de uma consola curta, composto por 8 elementos
hexadricos de 8 ns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5 Parties primitivas do domnio do modelo, representadas atravs do Gmsh. . . . . . . . . . . . 92
6.6 Representao do refinamento-h de um modelo composto por elementos hexadricos Lagran-
geanos lineares de 8 ns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.7 Grfico da energia de deformao em funo da dimenso caracterstica dos elementos. . . . . 93
6.8 Grfico da convergncia do erro na energia em funo do refinamento-h dos modelos. . . . . . . 95
6.9 Durao mdia do clculo de uma matriz de rigidez elementar por tipo de elemento. . . . . . . . 97
6.10 Grfico da convergncia do erro na energia de deformao em funo da durao da anlise. . . 98
6.11 Durao relativa das etapas de montagem da matriz de rigidez global e resoluo do sistema de
equaes para modelos compostos por elementos prismticos lineares de 6 ns. . . . . . . . . 99
6.12 Grfico da convergncia do erro na energia em funo do nmero de coeficientes da matriz de
rigidez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.13 Representao de um modelo composto por 512 elementos hexadricos Lagrangeanos lineares
de 8 ns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.14 Representao do campo de deslocamentos de um modelo composto por 4096 elementos he-
xadricos Lagrangeanos lineares de 8 ns: vista do plano x1 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.15 Campo 23 no plano x1 = 0 obtido a partir da partio do domnio em elementos hexadricos
Lagrangeanos lineares de 8 ns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.16 Comparao das tenses na fibra vertical mdia do plano de encastramento, calculadas atravs
da teoria de Euler-Bernoulli e do mtodo dos elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.17 Modelo da esfera, sujeito a simplificao por simetria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.18 Modelo composto por elementos tetradricos de 10 ns gerado pelo Gmsh, exibindo uma falha
na continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.19 Grfico do erro na energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.20 Grfico do erro no volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.21 Representao das condies de apoio da laje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
viii Lista de Figuras
6.22 Comparao da implementao das condies de fronteira cinemtica da simplificao por si-
metria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.23 Modelo de elementos finitos da laje com condies de fronteira representativas da simplificao
por simetria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.24 Ns do plano de simetria de um modelo de 1000 elementos hexadricos lineares de 8 ns
representados na configurao deformada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.25 Campo de tenses na fibra vertical do centro da laje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.26 Tenso de von Mises avaliada na fibra do canto da laje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.27 Campo de tenses na fibra horizontal inferior contida no plano de simetria da laje, modelo com-
posto por elementos finitos lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.28 Campo de tenses na fibra horizontal inferior contida no plano de simetria da laje, modelo com-
posto por elementos finitos quadrticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.29 Representao das tenses principais no plano de simetria da laje, modelo composto por ele-
mentos finitos quadrticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.30 Partio da seco de um modelo de um perfil IPE 80, representado pelo Gmsh. . . . . . . . . . 110
6.31 Representao das tenses 33 do perfil IPE 80 na configurao deformada. . . . . . . . . . . . 111
6.32 Representao das tenses 33 na seco x3 = 0,50l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.33 Representao das tenses 13 no banzo superior em vrias seces ao longo do eixo. . . . . . 113
6.34 Representao das tenses 13 no banzo superior na seco x3 = 0,25l . . . . . . . . . . . . . 113
6.35 Representao das tenses de von Mises no banzo superior em vrias seces ao longo do eixo.114
6.36 Perfil LNP 200 100 16 com um raio de curvatura de 1,00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.37 Partio da seco de um modelo de um perfil LNP 200 100 16, representado pelo Gmsh. . . . 115
6.38 Configurao deformada do perfil LNP 200 100 16 sujeito a uma carga pontual na extremidade
livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.39 Representao do campo da tenso de comparao de von Mises. . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.40 Representao de uma barra com orifcio circular sujeita a traco. . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.41 Modelos de uma placa com um orifcio circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.42 Discretizao do domnio da placa com um orifcio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.43 Representao dos resultados da anlise de um modelo composto por elementos finitos lineares. 119
6.44 Tenses ao longo do segmento de recta m n: expresso analtica e resultados obtidospelo mtodo dos elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.45 Campos de tenses obtidos a partir de modelos compostos por elementos finitos quadrticos.120
6.46 Campos de tenses obtidos a partir do modelo de uma placa com um orifcio de dimetro
igual a 10%da largura da placa, compostos por elementos finitos quadrticos. . . . . . . . . . . 121
6.47 Representao dos resultados da anlise de um modelo composto por elementos finitos qua-
drticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Lista de Figuras ix
A.1 Mapeamento do tringulo de 3 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . 125
A.2 Mapeamento do tringulo de 3 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . 126
A.3 Mapeamento do quadriltero de 4 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . 127
A.4 Mapeamento do quadriltero de 8 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . 128
A.5 Mapeamento do quadriltero de 9 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . 129
A.6 Mapeamento do tetraedro de 4 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . 130
A.7 Mapeamento do tetraedro de 10 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . 131
A.8 Mapeamento do hexaedro Lagrangeano de 8 ns das coordenadas locais para coordenadas
globais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.9 Mapeamento do hexaedro Serendipiano de 20 ns das coordenadas locais para coordenadas
globais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.10 Mapeamento do hexaedro Serendipiano de 20 ns das coordenadas locais. . . . . . . . . . . . 134
A.11 Mapeamento do prisma de 6 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . . 135
A.12 Mapeamento do prisma de 15 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . 136
A.13 Mapeamento do prisma de 18 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . 137
C.1 Campo 33 da barra sujeita a presso axial: malhas de 8 elementos hexadricos. . . . . . . . . 141
C.2 Campo 33 da barra sujeita a presso axial: malhas de 16 elementos prismticos. . . . . . . . . 141
C.3 Campo 33 da barra sujeita a presso axial: malhas de 48 elementos tetradricos. . . . . . . . . 142
D.1 Campo 33 da barra sujeita a presso axial: malhas de 8 elementos hexadricos. . . . . . . . . 143
D.2 Campo 33 da barra sujeita a presso axial: malhas de 16 elementos prismticos. . . . . . . . . 143
D.3 Campo 33 da barra sujeita a presso axial: malhas de 48 elementos tetradricos. . . . . . . . . 144
E.1 Campo de deformaes 11 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
E.2 Campo de deformaes 22 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
E.3 Campo de deformaes 33 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
E.4 Campo de deformaes 12 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
E.5 Campo de deformaes 13 no plano YZ (lateral da consola)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
E.6 Campo de deformaes 23 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
E.7 Campo de tenses 11 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
E.8 Campo de tenses 22 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
E.9 Campo de tenses 33 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
E.10 Campo de tenses 12 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
E.11 Campo de tenses 13 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
E.12 Campo de tenses 23 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
E.13 Campo de tenses de von Mises no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . 148
x Lista de Figuras
Lista de Tabelas
6.1 Campos de deformaes obtidos em modelos distorcidos sujeitos a presso constante. . . . . . 90
6.2 Energia de deformao em funo do nmero de elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Nmero de operaes necessrias para avaliar os valores funes de interpolao e suas deri-
vadas em um dado ponto do domnio elementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.4 Nmero de ciclos executados por diferentes etapas do algoritmo de construo da matriz de
rigidez elementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.5 Resultados da aplicao do mtodo dos elementos finitos anlise do modelo da laje. . . . . . . 107
6.6 Comparao das tenses 33 em pontos da seco do perfil IPE 80. . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.7 Comparao dos valores de max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
B.1 Regras adoptadas para integrao numrica na superfcie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B.2 Regras adoptadas para integrao numrica no volume: tetraedros e hexaedros. . . . . . . . . . 139
B.3 Regras adoptadas para integrao numrica no volume: prismas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
F.1 Resultados dos modelos compostos por elementos hexadricos Lagrangeanos lineares de 8 ns. 149
F.2 Resultados dos modelos compostos por elementos hexadricos Serendipianos quadrticos de
20 ns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
F.3 Resultados dos modelos compostos por elementos hexadricos Lagrangeanos quadrticos de
27 ns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
F.4 Resultados dos modelos compostos por elementos tetradricos lineares de 4 ns. . . . . . . . . 150
F.5 Resultados dos modelos compostos por elementos tetradricos quadrticos de 10 ns. . . . . . 150
xi
xii Lista de Tabelas
Notao
Notao indicial
ai Componente i do tensor de primeira ordem a
ai j Componente i j do tensor de segunda ordem a
ai jkl Componente i jkl do tensor de quarta ordem a
ai, j Derivada parcial da componente i do tensor a em ordem componente
j da varivel independente, ai(x)xj
Escalares, vectores e matrizes
a Escalar
{a} Vector/matriz-coluna
{a}t Vector/matriz-linha
[A] Matriz quadrada ou rectangular
[A]t Matriz transposta de [A]
Smbolos presentes no texto
Domnio do problema, R3
Fecho do domnio
int() Interior do domnio
x Ponto includo em descrito em coordenadas globais
x1,x2,x3 Coordenadas do ponto x, x= (x1,x2,x3) R3
Fronteira do problema
N Conjunto de pontos na fronteira onde so impostas condies de
fronteira estticas/de Neumann
xiii
xiv Notao
D Conjunto de pontos na fronteira onde so impostas condies de
fronteira cinemticas/de Dirichlet
(x) Tensor das tenses no ponto x, : R3 R33
i j Componente i j do tensor das tenses
b j Componente j da fora prescrita por unidade de volume
t j Componente j da fora prescrita por unidade de rea
u(x) Campo de deslocamentos, soluo exacta, u : R3 R3
ui(x) Componente i do campo de deslocamentos, ui : R3 R
ui(x) Componente prescrita i do campo de deslocamentos no ponto x
(x) Tensor das deformaes no ponto x, : R3 R33
i j Componente i j do tensor das deformaes
D Tensor das constantes elsticas
E Mdulo de Young
Coeficiente de Poisson
i j Componente i j do tensor das tenses iniciais
n(x) Vector unitrio normal superfcie, n : R3
n j Componente j do vector unitrio normal superfcie
u(x) Funo de aproximao do campo de deslocamentos, soluo
aproximada, u : R3 R3
ui(x) Componente i da funo de aproximao do campo de deslocamentos,
ui : R3 R
Vn Espao de funes ao qual pertence u(x)
Ni(x) i-sima funo de base que gera o espao Vn, Ni : R3 R
[K] Matriz de rigidez global
{d} Vector dos graus de liberdade do problema
{dE} Sub-conjunto do vector dos graus de liberdade do problema que agrupaos graus de liberdade prescritos
{dF} Sub-conjunto do vector dos graus de liberdade do problema que agrupaos graus de liberdade livres
Notao xv
{ f} Vector das foras nodais equivalentes
{ fE} Sub-conjunto de coeficientes do vector das foras nodais equivalentesque incidem nos graus de liberdade prescritos
{ fF} Sub-conjunto de coeficientes do vector das foras nodais equivalentesque incidem nos graus de liberdade livres
[KE] Sub-matriz de [K] dos coeficientes afectados s condies de fronteira
essenciais/graus de liberdade prescritos
[KF ] Sub-matriz de [K] dos coeficientes afectados aos graus de liberdade
livres
[KEF] Sub-matriz de [K] que, multiplicada por {dF}, contribui para o equilbriode {rE} e { fE} nos graus de liberdade prescritos
[KFE] = [KEF]T Sub-matriz de [K] que, multiplicada por {dE}, contribui para o equilbriodo vector das foras nodais equivalentes nos graus de liberdade livres
{dE} Vector dos graus de liberdade correspondentes s condies defronteira essenciais, graus de liberdade fixados a priori
{dF} Vector dos graus de liberdade correspondentes s incgnitas doproblema, graus de liberdade livres (free)
e Trabalho virtual das foras exteriores
i Trabalho virtual das foras interiores
[A] Matriz associada ao operador diferencial de compatibilidade
[B], [B(x)] Matriz global que resulta da aplicao de [A] sobre as funes de base
[Bi ], [Bi(x)] Sub-matriz de [B] que resulta da aplicao de [A] apenas a Ni(x)
[D] Matriz constitutiva
ik Delta de Kronecker
ek Sub-domnio de
e,localk Domnio do poltopo de referncia, sub-domnio de representado em
coordenadas locais
ek Fecho de ek
uek(x) Sub-funo de aproximao do campo de deslocamentos cujo suporte
ek, uek :
ek R3 R3
xvi Notao
ueik(x) Componente i de uek(x), u
eik :
ek R3 R
Venk Espao de funes ao qual pertence a funo uek(x)
Nekl(x) l -sima funo de base que gera o sub-espao Venk, N
ekl :
ek R3 R
sup(Ni()) Suporte da funo Ni()
Ponto includo em ei , descrito em coordenadas locais
1,2,3 Coordenadas do ponto , = (1,2,3) e,locali
een Erro na energia
V() Factor pontual de converso de volumes
[Dx()] Matriz jacobiana da parametrizao que mapeia as coordenadas locais
em coordenadas globais
det([A]) determinante da matriz A
x() Representao de coordenadas globais em funo de coordenadas
locais, x : R3 R3
f Norma de mximo da funo f
Captulo 1
Introduo
1.1 Enquadramento geral
Desde sempre houve a necessidade de compreender e explicar o comportamento da natureza. Como
parte desse processo tm vindo a ser dirigidos esforos para identificar os diversos sistemas que a cons-
tituem e, consequentemente, dar incio a um processo iterativo de observao, formulao de hipteses
relativas ao seu funcionamento e verificao da sua validade. Validadas as hipteses, abrem-se assim as
portas descoberta de leis da natureza, e a sua consequente aplicao no s na explicao do funci-
onamento dos respectivos sistemas como tambm para estimar o comportamento exibido em funo da
variao dos factores intervenientes (Belytschko et al., 2001, pg. 1-2).
A validao e emprego dessas hipteses parte do desenvolvimento de modelos matemticos, mode-
los esses que constituem uma descrio simplificada mas representativa dos fenmenos analisados. Ao
descrever um sistema atravs da definio de um conjunto de variveis e de equaes que exprimem as
relaes que se observam entre elas, torna-se possvel analisar o desenvolvimento destes fenmenos em
funo da variao dos parmetros usados na caracterizao do problema. Ao tratar-se de modelos cuja
validade j se encontra corroborada (e cujos limites de aplicao se encontram bem definidos), sobressai
ainda outra grande vantagem inerente a este tipo de modelos: a possibilidade de se analisar o compor-
tamento dos sistemas sob condies idealizadas, sem a influncia de parmetros externos e com total
controle sobre as variveis que intervm no problema. Assim, possvel analisar o comportamento do
sistema de forma idealizada e possuir um elevado controlo sobre todos os parmetros intervenientes.
Entre as vrias formas de modelos matemticos disponveis para o estudo da natureza encontram-se
os modelos definidos a partir de equaes diferenciais. Esta forma de modelar sistemas permite relacionar
os valores apresentados por um conjunto de parmetros constituintes do modelo com a taxa de variao
que podero apresentar. A partir destas relaes, e considerando a configurao atribuda ao domnio
do problema e o conjunto de condies impostas na sua fronteira, torna-se possvel chegar a resultados
plausveis do comportamento do fenmeno a ser modelado.
Devido complexidade que o problema acima descrito assume na generalidade dos casos, quer na
1
2 Introduo
definio do seu domnio como nas condies impostas na sua fronteira, na prtica torna-se impossvel
obter solues analticas que cumpram exactamente todas as condies impostas.
De maneira a contornar esta dificuldade, tm vindo a ser desenvolvidas vrias abordagens que abdicam
da procura de expresses analticas que representem solues exactas em prol da obteno de solues
aproximadas. Entre estas abordagens encontra-se um grupo de mtodos que tem em comum a definio
arbitrria de funes destinadas a aproximar a soluo exacta do problema. Posteriormente o erro a elas
associado reduzido mediante a aplicao de um critrio de minimizao. nesse mbito que surgem
mtodos tais como o mtodo das diferenas finitas, o mtodo dos elementos fronteira e o mtodo dos
elementos finitos.
O mtodo dos elementos finitos foi desenvolvido a fim de obter solues aproximadas de problemas
representados atravs de sistemas de equaes diferenciais. Para atingir este objectivo, parte-se da defi-
nio de uma funo destinada a aproximar a soluo exacta do problema em todo o seu domnio. Esta
assume a forma de uma funo definida por troos, e resulta da composio de um conjunto de sub-fun-
es, cada uma com o suporte restringido a um sub-domnio do problema que lhe exclusivo e que tem a
particularidade de a sua unio definir uma funo cujo suporte abrange o domnio do problema. Definida
esta funo, que representa uma tentativa de aproximar a soluo exacta do problema e assim referida
por funo tentativa, resta aplicar um critrio minimizador que permita optimizar o seu ajustamento.
O detalhe marcante neste mtodo, que est na origem do seu nome, a construo da funo que se
destina a aproximar a soluo exacta. Esta funo tentativa formada a partir da unio de um conjunto de
sub-funes, cujo suporte limitado a uma regio finita do espao, disjunta das regies de todos os outros
elementos e que, atravs de uma unio, compem o domnio do problema (Babuka e Strouboulis, 2001,
pg. 52). Esta associao entre o sub-domnio finito no espao e a sub-funo de aproximao que o tem
como suporte, que recebe o nome elemento finito, est na origem do poder de anlise associado a este
mtodo, bem como a simplicidade da sua implementao.
Assim, definido um problema (ou seja, o domnio e condies de fronteira), possvel organizar o
mtodo dos elementos finitos nas seguintes etapas:
partio do domnio do problema em elementos finitos;
construo do sistema de equaes do mtodo dos elementos finitos;
resoluo do sistema de equaes;
calcular as grandezas de interesse com base na soluo obtida.
Por fim, tudo isto s possvel devido aos progressos observados no domnio da computao. ca-
pacidade inerente ao mtodo dos elementos finitos de construir solues to prximas da soluo exacta
quanto se deseje, em particular para os problemas mais complexos, est associado um aumento do custo
computacional exigido pelo processo de obteno de uma soluo aproximada. Assim, quer se procure
1.2. Objectivos 3
melhorar os resultados ao recorrer a discretizaes mais refinadas do domnio, refinamento-h, como pela
adopo de funes tentativa com melhores caractersticas, refinamento-p, o aumento da dimenso do
sistema de equaes leva a que apenas seja possvel resolver este problema recorrendo a programas de
clculo automtico concebidos para o efeito e a mquinas de clculo com um poder considervel.
1.2 Objectivos
O objectivo deste trabalho consiste no desenvolvimento de um programa que permite a anlise do com-
portamento mecnico de slidos tridimensionais. No mbito deste trabalho limitou-se a anlise a slidos
compostos por materiais isotrpicos que exibem um comportamento geomtrica e fisicamente linear. Este
comportamento modelado recorrendo teoria da elasticidade aplicada a slidos tridimensional. O modelo
adoptado para este fim consiste na equao diferencial de equilbrio, expressa em funo dos deslocamen-
tos atravs da aplicao da lei de Hooke (Timoshenko e Goodier, 1970, pg. 233). Como este modelo
expresso atravs de um sistema de equaes diferenciais parciais, recorre-se ao mtodo dos elementos
finitos para obter as correspondentes solues aproximadas. Para tal, foram implementados oito tipos de
elementos finitos: os elementos finitos hexadricos Lagrangeanos de 8 e 27 ns, hexadrico Serendipiano
de 20 ns, tetradricos de 4 e 10 ns, e prismticos de 6, 15 e 18 ns. Obtida uma soluo aproximada, os
resultados so sujeitos a um ps-processamento e apresentados ao utilizador recorrendo a um componente
de visualizao desenvolvido para este efeito. Por fim, o programa empregue na anlise de um conjunto
de problemas de elasticidade linear tridimensional a fim de demonstrar a validade da implementao e
observar respostas que no so reproduzidas pelas vulgares teorias estruturais.
1.3 Estrutura do trabalho
No captulo 2 apresentado o problema de elasticidade tridimensional como problema de valores na
fronteira. No captulo 3 apresentado o mtodo dos elementos finitos aplicado anlise de slidos. Este
mtodo, conforme descrito neste trabalho, derivado da aplicao do mtodo Bubnov-Galerkin para a ob-
teno de solues aproximadas de equaes diferenciais mediante o ajuste soluo exacta de funes
polinomiais definidas por troos. No captulo 4 apresentado o conceito de elemento finito, seguido da
descrio de um conjunto de tipos de elemento finito e da problemtica da sua implementao. No cap-
tulo 5 feita uma descrio sucinta do processo de planeamento e desenvolvimento de uma aplicao de
software que implementa o mtodo dos elementos finitos aplicado anlise esttica linear de slidos, com
suporte para visualizao bem como pr e ps-processamento: o Finite Element Method Program (FEMP).
No captulo 6 so expostos alguns exemplos de aplicao do FEMP destinados a aferir a validade da im-
plementao do mtodo dos elementos finitos, observar algumas propriedades de convergncia dos tipos
de elemento finito suportados pelo programa, e comparar os resultados obtidos com aqueles resultantes da
aplicao de um conjunto de teorias estruturais.
Captulo 2
O problema de elasticidade tridimensional
2.1 Introduo
possvel observar que, quando um dado corpo slido submetido a uma dada solicitao, este passa
a apresentar uma configurao deformada. Em certas condies observa-se que o grau da deformao
varia no s com a natureza do material como tambm com a magnitude das aces e, aps estas serem
retiradas, o corpo recupera a sua configurao original. Essa propriedade fsica designada por elasti-
cidade. Com base em observaes deste fenmeno desenvolveram-se modelos capazes de descrever e
prever com alguma preciso o comportamento de slidos em resposta aplicao de conjuntos de aces.
O estudo do problema da elasticidade parte da definio de um modelo que, respeitando o seu do-
mnio de aplicao, permite reproduzir com uma preciso aceitvel o comportamento do sistema. Este
comportamento simulado a partir da definio de relaes que se do entre parmetros que regem o
comportamento do modelo. Assim, considerando como aces apenas as solicitaes aplicadas tanto no
domnio como na fronteira do corpo, pode-se partir para a caracterizao do comportamento de qualquer
material tido como elstico considerando apenas um conjunto limitado de parmetros: as aces aplicadas
no corpo, as tenses que se formam no seu interior, os deslocamentos de pontos do corpo, as deformaes,
as propriedades associadas aos materiais constituintes e a geometria do corpo em anlise.
2.2 Domnio do problema
Sendo o problema abordado o da elasticidade aplicada a slidos, o modelo assumir a forma de um sis-
tema de equaes diferenciais parciais que procuram descrever a relao que h entre as aces aplicadas
a um slido e os deslocamentos que da resultam, satisfazendo as condies impostas em um conjunto de
pontos pertencentes regio que definida como seu domnio e a respectiva fronteira. Assim, a definio
do modelo parte do estabelecimento das equaes que caracterizam o comportamento a partir da anlise
dos parmetros que o influenciam, bem como o seu domnio e as condies a serem verificadas na sua
fronteira.
5
6 O problema de elasticidade tridimensional
O domnio do problema em estudo, tratando-se de um problema de elasticidade tridimensional, ser
definido como uma regio R3. Um ponto genrico includo no domnio do problema ser referido por x,tal que x= (x1,x2,x3) .
A regio , representada genericamente na figura 2.1, decomposta da seguinte forma:
= (2.1)
sendo = int(), o subconjunto de que rene todos os pontos interiores, e = \, o subconjuntode todos os pontos da fronteira de .
O conjunto contm, por sua vez, dois sub-conjuntos, N e D, que definem os conjuntos de pontos
na fronteira onde so definidas, respectivamente, as condies de fronteira esttica e cinemtica. Estas
condies de fronteira so tambm referidas, respectivamente, por condies de Neumann e de Dirichlet.
D
N
x1 x2
x3
Figura 2.1: Representao abstracta do domnio do problema da elasticidade tridimensional.
2.3 Relaes de equilbrio
No que se segue, considerou-se que os slidos em anlise se encontram em equilbrio esttico na
posio indeformada. Para essa condio ser verificada necessrio que em qualquer ponto do interior
do corpo o somatrio de foras volmicas e tenses actuantes nas superfcies de um qualquer volume
infinitesimal seja nulo. Considerando a distribuio de foras e tenses actuantes no volume infinitesimal,
esse requisito definido atravs da seguinte equao diferencial de equilbrio:
i j ,i(x)+ b j(x) = 0 ,x (2.2)
em que representa o tensor das tenses e b a fora por unidade de volume aplicada no ponto x, contido
no domnio do problema.
A hiptese dos slidos se encontrarem em equilbrio esttico tambm implica que o somatrio dos
momentos resultantes das tenses actuantes no corpo sejam nulos em qualquer ponto do domnio do
problema, condio essa que traduzida pela seguinte expresso:
2.4. Relaes de compatibilidade 7
i j = ji (2.3)
tambm necessrio garantir que na fronteira esttica do corpo o somatrio das foras distribudas
na fronteira do corpo com as tenses tambm nulo. Essa condio de fronteira traduz-se na seguinte
expresso:
t j(x) = i j (x)ni(x) ,x N (2.4)
em que t representa a fora por unidade de rea que prescrita em N e n o vector unitrio normal exterior
superfcie no ponto x.
2.4 Relaes de compatibilidade
assumido que o campo de deslocamentos obtido em resposta a uma dada solicitao, expresso aqui
atravs da funo u(x), contnuo em todo o domnio.
Assumindo tambm que as derivadas do campo de deslocamentos so muito pequenas em comparao
com a unidade, as deformaes podem ser expressas em funo do campo de deslocamentos atravs da
seguinte equao diferencial:
i j (x) =12(ui, j(x)+u j ,i(x)) (2.5)
em que representa o tensor das deformaes infinitesimais.
tambm imposto que o campo de deslocamentos satisfaa as condies de fronteira cinemticas do
problema. Assim, a funo que representa a soluo do problema ter de exibir valores prescritos partida
em pontos especficos da fronteira. Esta condio representada atravs da expresso seguinte:
ui(x) = ui(x) ,x D (2.6)
2.5 Relaes constitutivas
Por fim resta definir a forma como as tenses e as deformaes se relacionam. O modelo constitutivo
adoptado para esse efeito a lei de Hooke, que na sua forma generalizada representada atravs da
seguinte expresso:
i j = Di jkl (kl kl)+i j (2.7)
em que D representa o tensor das constantes elsticas e e representam, respectivamente, os tensores
das tenses e das deformaes iniciais. Para simplificar a exposio, deste ponto em diante assumir-se-
que e so nulos. A substituio dessa hiptese na expresso (2.7) resulta em:
8 O problema de elasticidade tridimensional
i j = Di jkl kl (2.8)
Para o caso em que o material isotrpico, a relao constitutiva passa a ser expressa em funo de
duas constantes independentes, conforme indicado no sistema de equaes apresentado em (2.9):
11 = E(1+)(12) [(1)11+22+33]22 = E(1+)(12) [11+(1)22+33]33 = E(1+)(12) [11+22+(1)33]12 = E1+12
23 = E1+23
13 = E1+13
(2.9)
em que E referido como o mdulo de Young e o coeficiente de Poisson.
A representao matricial do sistema de equaes (2.9) conseguida atravs da seguinte expresso:
11
22
33
12
23
13
=E
(1+)(12)
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 122 0 0
0 0 0 0 122 0
0 0 0 0 0 122
11
22
33
212
223
213
(2.10)
2.6 A elasticidade tridimensional como um problema de valor es de fronteira
Reunida a informao necessria, torna-se possvel definir o problema de valores de fronteira da elasti-
cidade tridimensional em (2.11), cujo diagrama de Tonti apresentado na Figura 2.2.
i j =12(ui, j +u j ,i) ,x
i j ,i + b j = 0 ,x
i j = Di jkl kl ,x
ui = ui ,x D
i j ni = t j ,x N
(2.11a)
(2.11b)
(2.11c)
(2.11d)
(2.11e)
em que u representa o campo de deslocamentos, bi as foras prescritas por unidade de volume e ui e ti
constituem os valores prescritos na fronteira para, respectivamente, o campo de deslocamentos e as foras
prescritas por unidade de rea.
2.6. A elasticidade tridimensional como um problema de valo res de fronteira 9
Foras
bi
Equilbrio
i j ,i + b j = 0
Tenses
i j
Elasticidade
i j = Di jkl kl
Deformaes
i j
Compatibilidade
i j = 12(ui, j +u j,i)
Deslocamentos
ui
Figura 2.2: Diagrama de Tonti para o problema de elasticidade linear.
Captulo 3
Obteno de solues para problemas da
elasticidade tridimensional
3.1 Introduo
Como foi apresentado no captulo 2, o problema da elasticidade em corpos tridimensionais pode ser
descrito sob a forma de um problema de valores de fronteira. Assim, o estudo deste problema passa pela
procura de uma funo que, para o caso em anlise, satisfaa o conjunto de condies imposto em (2.11).
Devido complexidade que a configurao do domnio e as condies de fronteira podero assumir
nos problemas da elasticidade tridimensional, na prtica torna-se impossvel obter, para a generalidade dos
problemas, uma expresso analtica que satisfaa o sistema de equaes diferenciais parciais considerado
no seu domnio, bem como as condies de fronteira (i.e., a soluo exacta), sendo apenas possvel obter
tal expresso em casos excepcionalmente simples.
Uma das abordagens alternativas que permite contornar estas dificuldades foi originalmente proposta
por Courant (1943). Esta abordagem consiste em substituir o problema P em anlise, que possui uma
soluo S, por um problema relacionado Pn to simples que permita que a sua soluo Sn seja obtida com
relativa facilidade. Posteriormente, ao melhorar a aproximao de Pn a P pode-se esperar, assumir ou
demonstrar que a soluo aproximada Sn converge para a soluo desejada Sde P.
Esta abordagem, descrita de forma genrica, parte da definio de uma funo destinada a aproximar
a soluo exacta, ajustando-a subsequentemente em todo o domnio do problema tal que uma medida do
erro de aproximao seja to reduzida quanto possvel. Essa abordagem possui a capacidade de obter
solues para um conjunto de problemas mais vasto em troca da aceitao de resultados aos quais est
associado uma margem de erro, erro este que possvel controlar.
Motivado por estas caractersticas, e consequentemente pelo interesse prtico a elas associado, na
seco seguinte focar-se- uma classe de mtodos de obteno de solues aproximadas para problemas
de valores de fronteira: a classe dos mtodos dos resduos ponderados.
11
12 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridim ensional
3.2 Mtodo dos resduos ponderados
De acordo com essa classe de mtodos, considere-se a seguinte descrio de um problema de valores
de fronteira:
L [u(x)] = b(x) ,x
ui(x) = ui(x) ,x D
B[u(x)] = t(x) ,x N
(3.1a)
(3.1b)
(3.1c)
onde u(x) representa a soluo exacta do problema, ui(x) a componente i de u(x), L[.] e B[.] correspondem
a operadores diferenciais e as expresses (3.1b) e (3.1c) definem as condies de fronteira do problema.
Ao substituir nas expresses (3.1a) e (3.1c) a soluo exacta do problema por uma sua aproximao que
satisfaa a priori a condio (3.1b), funo que daqui em diante ser referida por funo de aproximao da
soluo exacta ou simplesmente funo de aproximao, e representada por u(x), passa a no ser possvel
garantir que se cumpram as condies expressas em (3.1a) e (3.1c). Como consequncia, poder surgir
um erro associado ao uso de aproximaes da soluo exacta nessa expresso, erro esse designado por
erro residual ou resduo.
Deste ponto em diante, o trabalho focar-se- no problema de valores de fronteira da elasticidade linear
tridimensional, conforme expresso em (2.11). Assim, u(x) corresponde ao seguinte mapeamento:
u : 7R3 (3.2)
com conforme definido na seco 2.2.
Quando considerados individualmente, cada componente de u(x) corresponde ao seguinte mapea-
mento.
ui : 7R (3.3)
O mapeamento de u(x), bem como as respectivas componentes, idntico.
A partir das condies expressas em (3.1), o resduo deste problema representado respectivamente
pelas expresses (3.4a) e (3.4b).
Ri(x) = Li [u(x)] bi(x)
RNi(x) = Bi [u(x)] ti(x)
(3.4a)
(3.4b)
onde Ri(x) e RNi(x) representam, respectivamente, o resduo da condio de equilbrio no domnio do
problema e na fronteira esttica segundo o eixo coordenado i. Note-se que a definio a priori de u(x) de
maneira a garantir o cumprimento da condio (3.1b) implica que, para qualquer aproximao da soluo
construda desta forma, garantido que o resduo da condio de compatibilidade na fronteira cinemtica
seja nulo.
3.2. Mtodo dos resduos ponderados 13
Conforme foi referido anteriormente, o objectivo da aplicao desta classe de mtodos a obteno
de uma funo que aproxime adequadamente u(x). Na impossibilidade de achar u(x) que satisfaa as
condies expressas em (3.1a) e (3.1c), esta classe de mtodos parte da escolha de uma definio mais
genrica de u(x), representada por u(x,DoF), que representa o seguinte mapeamento:
u :{
,DoF}
7 R3 (3.5)
onde DoF representa o conjunto de parmetros, referidos como graus de liberdade, que define o compor-
tamento da funo ao longo do seu domnio. Estes so definidos da seguinte forma:
DoF =3
i=1
{di1, ,din} Rn (3.6)
onde dik representa o grau de liberdade k que est associado definio de ui(x).
A funo u(x,DoF), quando atribudos valores concretos ao conjunto de parmetros DoF, corresponde
a u(x). Esta funo referida como funo tentativa, e pertence a uma classe de funes cujos membros
so capazes de aproximar de forma adequada a soluo exacta, tanto no domnio do problema como na sua
fronteira, mediante a manipulao dos graus de liberdade que a compem. Subsequentemente, u(x,DoF)
ajustada a u(x) mediante a aplicao de um critrio de optimizao capaz de obter os valores de DoF
que minimizem o erro da aproximao. Desta forma, a distino entre o conceito de funo de aproximao
da soluo exacta e funo tentativa , respectivamente, a determinao ou no dos valores assumidos
pelos graus de liberdade da funo. Considerando esta distino, deste ponto em diante ambas as funes
sero representadas por u(x), com o estado da determinao dos valores atribudos aos graus de liberdade
a depender do contexto.
No mtodo dos resduos ponderados, o critrio de optimizao aplicado atravs da imposio do
anulamento em mdia do resduo sobre o domnio do problema. De forma genrica, este procedimento
traduz-se na afectao a cada expresso de resduo de uma funo de ponderao (tambm referida por
funo peso) e aqui representada por W(x), conforme indicado na expresso (3.7):
Wi(x)Ri(x) d = 0 , i {1,2,3}
NWi(x)RNi(x) dN = 0 , i {1,2,3}
(3.7)
A partir do conjunto de produtos internos de funes definidos em (3.7) possvel ajustar os parmetros
que definem u(x) de maneira a obter aproximaes da soluo exacta que cumpram de forma aproximada
as condies estipuladas pelo problema. O erro associado a u(x) variar em funo de um conjunto de
factores, entre os quais se encontram o critrio de optimizao adoptado (ou seja, o mtodo empregue
para definir a aproximao de u(x) a u(x)), o espao de funes ao qual pertence u(x) e as condies de
fronteira prescritas no problema.
A classe dos mtodos dos resduos ponderados engloba um conjunto alargado de mtodos, entre os
quais se destacam o mtodo da colocao pontual, o mtodo da colocao por subdomnio, e o mtodo
14 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridim ensional
de Galerkin, ver Zienkiewicz et al. (2005, pg. 61). No domnio do mtodo de Galerkin destaca-se uma
variante, o mtodo de Bubnov-Galerkin, sobre o qual o presente trabalho se focar deste ponto em diante.
3.3 Mtodo de Bubnov-Galerkin
De acordo com o mtodo de Bubnov-Galerkin, as componentes das funes de ponderao, Wi(x),
e das funes de aproximao, ui(x), pertencem ao mesmo espao linear de funes, referido daqui em
diante por Vn, ver Hughes (2000, pg. 8) e oln (2006, pg. 46). Por sua vez, este espao de funes
gerado atravs da combinao linear de um conjunto de n funes de base, escolhidas criteriosamente, as
quais so referidas deste ponto em diante por Nk(x), k {1, . . . ,n}. Assim, as funes de ponderao efunes tentativa so definidas doravante da seguinte forma:
Wi(x) =n
k=1
cikNk(x)
ui(x) =n
k=1
dikNk(x)
(3.8)
Tendo em conta estas exigncias, a substituio de (3.8) em (3.7) produz a seguinte expresso:
n
k=1
cik
Nk(x)Ri(x)d = 0
n
k=1
cik
N
Nk(x)RN i(x)dN = 0(3.9)
Considerando as propriedades fundamentais do produto interno de funes reais, a expresso (3.7)
s ser satisfeita se ui(x) pertencer a Vn, e assim seja possvel que ui(x) represente a soluo exacta do
problema, ou se ambos os resduos forem ortogonais a Wi(x).
Na impossibilidade de usar a primeira opo, para que o resduo seja ortogonal para qualquer Wi(x)
ento a funo que o define ter de ser ortogonal a todas as funes de base que geram Vn. Desta forma,
torna-se possvel expressar esta condio atravs do seguinte sistema de equaes:
N1(x)Ri(x)dx= 0
...
Nn(x)Ri(x)dx= 0
NN1(x)RN i(x)dx= 0
...N
Nn(x)RN i(x)dx= 0
(3.10)
Como o espao de funes Vn gerado por um conjunto de n funes de base, o sistema de equa-
es representado em (3.10) representa um sistema de (23n) equaes com (3n) incgnitas, sendo as
3.4. Formulao fraca do mtodo de Bubnov-Galerkin 15
incgnitas os escalares dik que intervm na definio de ui(x). Note-se que ui(x) resulta da combinao
linear das funes de base Nk(x) onde intervm os escalares dik, e consequentemente a imagem de ui(x)
depende exclusivamente destes escalares. Esta forma permite simplificar e sistematizar o processo de
obteno de solues aproximadas para problemas de valor na fronteira, bem como relaxar as exigncias
impostas seleco das funes de base que geram o espao Vn. Uma outra propriedade deste mtodo
a da convergncia de u(x) para u(x) depender directamente do nmero de funes de base que geram
o espao Vn, e que mediante uma escolha criteriosa de funes de base possvel definir sucesses de
espaos vectoriais de funes Vn que permitem que a respectiva sucesso de funes u(x) geradas por
eles convirja para a soluo exacta do problema, ver oln (2006, pg. 46).
O mtodo dos resduos ponderados pode ainda ser formulado de maneira a relaxar as exigncias de
continuidade impostas ao espao de funes Vn. sobre esta formulao, denominada formulao fraca
do problema, que ir incidir a seco seguinte.
3.4 Formulao fraca do mtodo de Bubnov-Galerkin
Como ponto de partida considere-se a aplicao do mtodo de Bubnov-Galerkin ao problema de valores
de fronteira da elasticidade tridimensional, conforme apresentado em (2.11). Uma vez que necessrio
anular o resduo produzido pela expresses de equilbrio tanto no domnio como na fronteira esttica, obtm-
-se a seguinte expresso:
Wi(x)(
ji , j(x)+ bi(x))
d = 0
NWi(x)( ji (x)n j(x) ti(x)) dN = 0
(3.11a)
(3.11b)
Aplicando a frmula de integrao por partes a (3.11a), a expresso do equilbrio no domnio passa a
assumir a seguinte forma:
Wi, j(x)i j (x)d =
(Wi(x)i j (x)), j d+
Wi(x)bi(x)d (3.12)
A principal consequncia da aplicao da frmula de integrao por partes reside na reduo da ordem
das derivadas de ui(x). Isto implica que o espao Vn passa a poder ser gerado por um conjunto de funes
de base que pertenam a uma classe de diferenciabilidade inferior quela exigida pela formulao anterior.
Outra consequncia importante que possvel constatar na expresso anterior prende-se com a deriva-
o agora imposta a Wi(x). Substituindo a expresso (2.11a) em (2.11c), verifica-se que i j , presente no
primeiro termo, inclui derivadas de primeira ordem de ui(x). Com esta alterao possvel constatar que
ambas as funes pertencem ao mesmo espao de funes: o sub-espao de Vn gerado pelas derivadas
das funes de base de Vn. Esta formulao do mtodo Bubnov-Galerkin permite a reduo da ordem de
diferenciabilidade exigida s funes de base. Devido a este enfraquecimento das exigncias de conti-
16 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridim ensional
nuidade, esta formulao referida como formulao fraca ou forma fraca do problema, ver Reddy (1993,
pg. 30) e Wunderlich e Pilkey (2003, pg. 450).
Tomando em considerao as condies de equilbrio na fronteira definidas atravs da expresso (2.11e)
(ou seja, as condies de fronteira estticas), aplica-se o teorema da divergncia ao primeiro termo do se-
gundo membro da equao (3.12). Ao somar o resduo do domnio (3.11a) com o resduo na fronteira
(3.11b), chega-se a:
Wi, j(x)i j (x)d =
NWi(x)ti(x)dN +
Wi(x)bi(x)d (3.13)
Com esta etapa, a dimenso do problema da anulao dos resduos na fronteira e no domnio passou
de (6n) equaes para (3n), ambas com (6n) incgnitas.
Substituindo em (3.13) a definio de Wi(x) conforme indicado em (3.8) obtm-se a seguinte expresso:
n
k=1
cikNk, j (x)i j (x)d =
N
n
k=1
cikNk(x)ti(x)dN +
n
k=1
cikNk(x)bi(x)d (3.14)
Devido forma como foram definidas as funes Wi(x) e ui(x), e tendo em conta que o espao Vn
gerado a partir de um conjunto de n funes de base, cada equao possui (6n) incgnitas, constitudas
pelos escalares cik e dik que compem, respectivamente, Wi(x) e ui(x).
Apesar desta expresso apresentar uma forma consideravelmente diferente daquela encontrada em
(3.11), ela constitui ainda a aplicao do mtodo de Bubnov-Galerkin para obteno de solues aproxi-
madas para o problema da elasticidade. Portanto, e conforme a seco anterior, o objectivo ainda consiste
em obter uma funo ui(x) que anule o resduo das equaes de equilbrio no domnio e na fronteira do
problema. Para tal, as expresses do resduo tero novamente de ser ortogonais a qualquer funo Wi(x),
o que conseguido ao garantir que o resduo ortogonal a qualquer funo de base que gera o espao Vn.
Refactorizando a expresso (3.14) de maneira a pr em evidncia os escalares cik, possvel reorga-
niz-la em um sistema de (3n) equaes, cada uma representando a ponderao dos resduos no domnio
e na fronteira pelo respectivo conjunto de funes de base que geram de Vn, conforme indicado na ex-
presso seguinte:
cik
(
Nk, j (x)i j (x)d+
N
Nk(x)ti(x)dN +
Nk(x)bi(x)d
)
= 0 (3.15)
Novamente, como os resduos devem ser eliminados para qualquer Wi(x), ento o sistema de equaes
(3.15) ter de ser vlido para qualquer valor assumido pelos escalares cik. Como consequncia, torna-se
possvel ignorar a soluo trivial cik = 0, eliminando assim a interveno destes escalares na obteno de
uma soluo para o problema. Com este passo o nmero de incgnitas do problema reduzido de (6n)
para (3n) e o problema reduzido a um sistema de (3n) equaes com (3n) incgnitas, sendo as incgnitas
do problema os escalares dik usados na definio de uk(x), conforme apresentada em (3.8).
Reorganizando as equaes chega-se ao seguinte sistema de equaes:
3.4. Formulao fraca do mtodo de Bubnov-Galerkin 17
Nk, j(x)i j (x)d =
NNk(x)ti(x)dN +
Nk(x)bi(x)d (3.16)
Focando agora a ateno no primeiro membro de (3.16), possvel expandir os ndices i e j , obtendo-
-se:
Nk, j (x)1 j(x)d =
Nk,1(x)11(x)+Nk,2(x)12(x)+Nk,3(x)13(x)d
Nk, j (x)2 j(x)d =
Nk,1(x)21(x)+Nk,2(x)22(x)+Nk,3(x)23(x)d
Nk, j (x)3 j(x)d =
Nk,1(x)31(x)+Nk,2(x)32(x)+Nk,3(x)33(x)d
(3.17)
Agora, substituindo a definio das relaes deformaes-deslocamentos apresentada em (2.5) na re-
lao constitutiva (2.9), considerando a definio de ui(x) conforme apresentada em (3.8) e omitindo os
vectores associados s deformaes e tenses residuais, obtm-se a seguinte expresso para as relaes
tenses-deslocamentos:
11 =E
(1+)(12)
[
(1)n
l
Nl ,1(x)d1l +n
l
Nl ,2(x)d2l +n
l
Nl ,3(x)d3l
]
22 =E
(1+)(12)
[
n
l
Nl ,1(x)d1l +(1)n
l
Nl ,2(x)d2l +n
l
Nl ,3(x)d3l
]
33 =E
(1+)(12)
[
n
l
Nl ,1(x)d1l +n
l
Nl ,2(x)d2l +(1)n
l
Nl ,3(x)d3l
]
12 =E
1+
(
n
l
Nl ,2(x)d1l +n
l
Nl ,1(x)d2l
)
23 =E
1+
(
n
l
Nl ,3(x)d2l +n
l
Nl ,2(x)d3l
)
13 =E
1+
(
n
l
Nl ,3(x)d1l +n
l
Nl ,1(x)d3l
)
(3.18)
Substituindo as definies de (3.18) em (3.17), considerando a condio de simetria expressa em (2.3),
e reagrupando os factores associados aos parmetros dik obtm-se a seguinte expresso:
18 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridim ensional
Nk, j 1 j d =
nl=1
(
Nk,1E(1)
(1+)(12)Nl ,1+Nk,2E
1+ Nl ,2+Nk,3E
1+Nl ,3)
dd1l+
+nl=1
(
Nk,1E
(1+)(12)Nl ,2+Nk,2E
1+Nl ,1)
dd2l+
+nl=1
(
Nk,1 E(1+)(12)Nl ,3+Nk,3E
1+Nl ,1)
dd3l
Nk, j 2 j d = nl=1
(
Nk,1E
1+Nl ,2+Nk,2E
(1+)(12)Nl ,1)
dd1l+
+nl=1
(
Nk,1 E1+Nl ,1+Nk,2E(1)
(1+)(2)Nl ,2+Nk,3E
1+ Nl ,3)
dd2l+
+nl=1
(
Nk,2E
(1+)(12)Nl ,3+Nk,3E
1+Nl ,2)
dd3,l Nk, j 3 j d =
nl=1
(
Nk,1 E1+Nl ,3+Nk,3E
(1+)(12)Nl ,1)
dd1l+
+nl=1
(
Nk,2E
1+Nl ,3+Nk,3E
(1+)(12)Nl ,2)
dd2l+
+nl=1
(
Nk,1 E1+Nl ,1+Nk,2E
1+ Nl ,2+Nk,3E(1)
(1+)(12)Nl ,3)
dd3l
(3.19)
Chegado a este ponto, agora possvel expressar a aplicao da forma fraca do problema da elastici-
dade tridimensional em notao matricial.
a(11)(11) a(11)(21) a(11)(31) a(11)(1n) a(11)(2n) a(11)(3n)a(21)(11) a(21)(21) a(21)(31) a(21)(1n) a(21)(2n) a(21)(3n)a(31)(11) a(31)(21) a(31)(31) a(31)(1n) a(31)(2n) a(31)(3n)
.... . .
...
a(1n)(11) a(1n)(21) a(1n)(31) a(1n)(1n) a(1n)(2n) a(1n)(3n)a(2n)(11) a(2n)(21) a(2n)(31) a(2n)(1n) a(2n)(2n) a(2n)(3n)a(3n)(11) a(3n)(21) a(3n)(31) a(3n)(1n) a(3n)(2n) a(3n)(3n)
d11
d21
d31...
d1n
d2n
d3n
=
f11
f21
f31...
f1n
f2n
f3n
(3.20)
em que:
a(ik)( jl ) =
(
Nk,iE(1)
(1+)(12)Nl , j +3
m6=i, j
Nk,mE
1+Nl ,m
)
d , i = j
(
Nk,iE
(1+)(12)Nl , j +Nk, jE
1+Nl ,i
)
d , i 6= j(3.21)
e
fik =
NNk(x)ti(x)dN +
Nk(x)bi(x)d (3.22)
A expresso (3.22) pode ainda ser representado da seguinte forma:
fik = fNik + f
ik (3.23)
em que f Nik e fik correspondem, respectivamente, contribuio das cargas distribudas na superfcie e
no domnio, i.e.,
f Nik =
NNk(x)ti(x)dN (3.24)
3.4. Formulao fraca do mtodo de Bubnov-Galerkin 19
e
f ik =
Nk(x)bi(x)d (3.25)
Renomeando os ndices usados na expresso (3.20) de maneira a apresentarem uma numerao se-
quencial (i, j = 1...3n) possvel reescrever o resultado da aplicao do mtodo de Bubnov-Galerkin ao
problema da elasticidade tridimensional na forma cannica da equao do mtodo dos elementos finitos,
conforme apresentado em (3.26):
Ki j d j = fi (3.26)
onde a matriz K referida por matriz de rigidez global e o vector f por vector de foras nodais equivalentes.
Em notao matricial tem-se:
[K]{d}= { f} (3.27)
Separando as contribuies para o vector de foras nodais equivalentes, conforme representado em
(3.23), a expresso (3.26) assume a seguinte forma:
[K]{d}={
f N}
+ { f } (3.28)
Por fim, necessrio referir a forma como so contabilizadas as condies de fronteira cinemticas.
Enquanto as condies de fronteira esttica so contabilizadas directamente na expresso do resduo, e
assim so naturalmente incorporadas no problema, ainda necessrio impor as condies de fronteira
cinemtica.
Atendendo definio de ui(x) conforme indicado em (3.8) e considerando que o conjunto de funes
de base a partir do qual ui(x) gerada adequado ao problema, a imposio de restries a ui(x)
conseguida atravs da atribuio prvia de valores a um conjunto de incgnitas dik de maneira a garantir
logo partida que a funo de aproximao cumpre estas condies de fronteira. Como os escalares dik
que entram na definio de ui(x) constituem as incgnitas do problema (3.26), a fixao do valor de um
conjunto de graus de liberdade dik implica a reduo do nmero de incgnitas que necessrio determinar
atravs da resoluo do sistema de equaes, juntamente com a reduo do nmero de equaes que
necessrio empregar para que o sistema seja determinado.
Desta forma, o sistema de equaes expresso em (3.26) pode ser representado de maneira a reflec-
tir a atribuio de valores a um conjunto de escalares d j (Fish e Belytschko, 2007, pg. 21), conforme
apresentado em (3.29).
KE KEF
KFE KF
dE
dF
=
fE + rE
fF
(3.29)
em que {dE} representa o vector das condies de fronteira essenciais, que corresponde ao conjunto degraus de liberdade cujo valor foi previamente prescrito de modo a cumprir logo partida as condies
cinemticas impostas pelo problema na fronteira do seu domnio. Da mesma forma, {dF} representa oconjunto de graus de liberdade livres, ou seja, o conjunto de incgnitas de d j que se pretende determinar,
20 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridim ensional
com a resoluo do sistema de equaes. Os vectores { fE} e { fF} representam o conjunto de forasnodais equivalentes que incidem, respectivamente, nos graus de liberdade com deslocamentos previamente
prescritos e livres. O vector {rE} corresponde s foras de reaco nodais equivalentes que surgem nosgraus de liberdade com deslocamentos prescritos de maneira a equilibrar a contribuio das foras nodais
equivalentes.
A atribuio de valores a um conjunto de incgnitas de d j com o intuito de garantir o cumprimento
de um conjunto de condies cinemticas do problema referido por prescrio de graus de liberdade,
enquanto que as restantes incgnitas so referidas por graus de liberdade livres, (Wunderlich e Pilkey, 2003,
pg. 451). Na matriz de rigidez, [KE] representa a sub-matriz de [K] onde so agrupados os coeficientes que
so afectados aos graus de liberdade prescritos, [KF ] a sub-matriz onde se agrupam os coeficientes de [K]
afectados apenas aos graus de liberdade livres. Por fim, a matriz [KEF] representa a sub-matriz composta
pelos coeficientes de [K] que, ao ser multiplicada por {dF}, contribui para o equilbrio da equao nos grausde liberdade prescritos. Da mesma forma, a matriz [KFE], quando multiplicada por {dE}, contribui para oequilbrio da expresso nos graus de liberdade livres (Fish e Belytschko, 2007, pg. 21).
Atendendo a que a obteno de uma soluo para o problema (ou seja, a definio de u(x)) passa pela
resoluo do sistema de equaes expresso em (3.29), e como parte dos graus de liberdade do problema
j se encontram determinados partida, basta obter uma soluo para os graus de liberdade livres para
poder definir a aproximao da soluo exacta do problema. Desta forma, o sistema de equaes passa a
ser expressa da seguinte maneira:
[KF ]{dF}= { fF} [KFE]{dE} (3.30)
Atravs da resoluo do sistema de equaes (3.30) possvel determinar as incgnitas {dF}. Ao con-jugar {dE} com {dF} torna-se possvel completar a definio de u e assim obter uma soluo aproximadapara o campo de deslocamentos do problema em anlise e consequentemente permitir o ps-processa-
mento dos resultados.
3.5 Mtodo dos elementos finitos
O mtodo dos elementos finitos, conforme ser aqui exposto, corresponde aplicao da formulao
fraca do mtodo de Bubnov-Galerkin para a obteno de solues aproximadas de problemas de valores
de fronteira. O pormenor que destaca esta formulao a forma como definida ui(x). Com este mtodo,
ui(x) assume a forma de uma funo definida por troos1, com cada troo a corresponder a uma sub-regio
de que serve de suporte a uma sub-funo de aproximao. Cada troo da funo definido de maneira
a que o seu suporte corresponda a uma regio com uma configurao geomtrica simples. Estas regies
necessitam ainda de ser disjuntas entre si e que a unio de todas elas corresponda ao domnio do problema,
ver Babuka e Strouboulis (2001, pg. 52). Esta escolha criteriosa da forma como ui(x) construda tem
1No presente texto, o termo troo refere-se a um sub-domnio de uma funo de varivel n-dimensional.
3.5. Mtodo dos elementos finitos 21
(a) (b)
Figura 3.1: Representao de um domnio genrico a) de acordo com a sua definio original e b) submetidoa uma partio.
implicaes profundas na aplicabilidade prtica da formulao fraca do mtodo de Bubnov-Galerkin, como
se ver nesta seco.
A definio de ui(x) realizada com base na diviso de nos sub-domnios que serviro de suporte
a cada troo da funo. Considera-se ento a diviso do domnio do problema em sub-domnios ek tais
que (Pina, 1995, pg. 587):
=k
ek,k
ek = /0
Uma sub-diviso do domnio do problema que cumpra estas condies, conforme representado na
figura 3.1, daqui em diante referido como partio do domnio ou simplesmente partio.
De modo a definir os troos de ui(x), cada um dos sub-domnios ek corresponder ao suporte de uma
funo ueik(x), adoptada para aproximar a soluo exacta. Cada funo ueik(x) pertence a um espao de
funes especfico de cada sub-regio ek, referido a partir deste ponto por Venk. Como cada
ek corresponde
a uma regio com uma configurao geomtrica simples, o problema da obteno de ueik(x) reduzido
ao problema de encontrar, para cada uma destas regies simples, um espao de funes que, com o
suporte restrito a essa regio, permita gerar funes capazes de aproximar a soluo do problema na
regio considerada.
Como a partio de realizada de forma arbitrria, esta operao pode ser conduzida de maneira
a definir apenas sub-domnios ek que, por meio de uma transformao, correspondero a um poltopo de
referncia, referido por e,localk , conforme representado na figura 3.2. A este poltopo de referncia poder
ser associado um sistema de coordenadas escolhido criteriosamente de maneira a mapear conveniente
os pontos nele contidos. Este sistema de coordenadas recebe o nome de sistema de coordenadas local,
ou simplesmente coordenadas locais, em contraste com o sistema de coordenadas usado como referncia
para o domnio do problema na sua globalidade, referido por sistema de coordenadas global (Hughes,
2000, pg. 37). tambm de notar que o termo coordenadas naturais tambm usado como sinnimo de
coordenadas locais (Fish e Belytschko, 2007, pg. 164).
Ao representar qualquer ek em funo de um e,localk , o problema da obteno de qualquer u
eik(x)
reduz-se adopo de conjuntos de funes de base para e,localk de maneira a gerar um sub-espao de
22 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridim ensional
Figura 3.2: Poltopo regular de referncia e sub-domnios de .
funes no domnio do poltopo de referncia. Posteriormente, cada um destes conjuntos de funes de
base, ao ser sujeito a uma transformao apropriada, permite que se obtenha para qualquer ek o conjunto
de funes de base que gerar o respectivo Venk, o que torna possvel obter ueik em qualquer troo da funo.
Com isto, importante apontar que cada poltopo de referncia pode servir de base a vrias formas
distintas de aproximar a soluo exacta, bastando apenas que atribuam conjuntos distintos de funes de
base.
De acordo com esta abordagem, a definio de ui(x) para um domnio repartido em m sub-domnios
passa a ser expressa da seguinte forma:
ui(x) =
uei1(x) ,x e1...
ueim(x) ,x em
(3.31)
A associao de cada ueik(x), includa em cada Venk, com o respectivo suporte
ek, correspondente a um
troo de ui(x), recebeu o nome de elemento finito, (Reddy, 1993, pg. 4). a partir deste conceito donde
deriva o nome atribudo ao mtodo, conforme indicado em Clough (1980). No entanto, tambm de referir
que este conceito j referido pelo termo elemento em Courant (1943).
O uso do conceito de elemento finito para definir o domnio do problema e gerar aproximaes da so-
luo exacta possibilita a sistematizao da gerao de u(x) para qualquer problema em anlise. Aps a
definio de um conjunto de tipos de elementos finitos, o problema da gerao de u(x) reduz-se essencial-
mente a um problema da partio do domnio em sub-domnios cuja forma corresponda, por meio de uma
transformao, ao poltopo de referncia de um dos elementos finitos adoptados para construir u(x). Como
se trata de um problema essencialmente geomtrico, para o qual existe uma multitude de algoritmos dis-
posio, isto implica que a sistematizao da gerao de u(x) depende essencialmente da implementao
de um destes algoritmos de forma a sistematizar a partio de qualquer em um conjunto de elementos
finitos.
Uma propriedade das solues produzidas pelo mtodo dos elementos finitos ui(x) passar a repre-
sentar uma unio de um conjunto de funes, cada uma gerada de forma independente, empregues para
aproximar a soluo exacta somente em cada ek (de Arantes e Oliveira, 1968, pg. 7). Por conseguinte, a
3.5. Mtodo dos elementos finitos 23
definio da funo empregue em cada troo independente das funes geradas em troos adjacentes.
Isto leva a que cada elemento finito includo em um problema possa ser analisado de forma largamente
independente de todos os outros elementos.
Considerando a definio de ui(x) apresentada em (3.8) e adoptando-a para ueik(x), como cada ueik(x)
tem como suporte ek, ento estas funes podem ser expressas da seguinte forma:
ueik(x) =
n
l=1
deikl Nekl(x) ,x ek
0 ,x / ek
(3.32)
Uma vez que repartido em msub-domnios, ui(x) pode ser definida atravs de uma combinao das
funes ueik(x) que tem como suporte cada um dos m sub-domnios ek definidos em uma partio de .
Desta forma, e adoptando para qualquer ueik(x) a definio apresentada em (3.32), ui(x) definida atravs
da seguinte expresso:
ui(x) =m
k=1
ueik(x) (3.33)
Esta composio leva a que haja graus de liberdade a serem partilhados por vrios elementos. Consi-
derando a definio (3.32), esta partilha de graus de liberdade expressa a partir de:
deimo = deinp = dik (3.34)
em que deimo representa o grau de liberdade o do elemento m e deinp representa o grau de liberdade p do
elemento n. Esse grau de liberdade corresponde, conforme (3.8), ao grau de liberdade dik do problema.
Substituindo (3.34) na expresso (3.33) e tendo em considerao a definio (3.32), chega-se seguinte
expresso:
dikNk(x) = dik (Nekm(x)+N
ekn(x)) (3.35)
Uma vez que no h um limite para o nmero de elementos que partilhem um determinado grau de
liberdade, a partir da expresso (3.35) chega-se ao seguinte resultado:
Nk(x) = l
Nekl(x) (3.36)
A relao expressa em (3.36) indica que, atravs do mtodo dos elementos finitos, cada funo de
base que intervm na gerao do espao Vn uma funo de base de um elemento, caso o grau de
liberdade esteja exclusivamente associado a esse elemento, ou uma funo que resulta da soma de
um conjunto de funes de base de um conjunto de elementos associadas ao mesmo grau de liberdade.
Outra consequncia da definio (3.32) reside no impacto que ela tem na definio da equao do mtodo
dos elementos finitos, conforme apresentado em (3.26). Considerando a definio apresentada em (3.20),
constata-se que cada elemento a(ik)( jl ) que compe a matriz de rigidez global representa um integral de uma
24 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridim ensional
Ne11 Ne12 N
e21 N
e22
N1 = Ne11 N2 = Ne12+N
e21 N3 = N
e22
Figura 3.3: Funes de base dos elementos e a sua correspondncia com as funes de base globais.
expresso composta por derivadas de funes de base de Vn sobre o domnio do problema. Considerando
a definio de ui(x) apresentada em (3.33) e notando que em cada elemento finito a soluo exacta
aproximada por uma sub-funo de aproximao ueik(x), conforme definida em (3.32), a substituio de
(3.33) em (3.20) implica que alguns elementos a(ik)( jl ) sero nulos. Esta propriedade implica que a largura
de banda da matriz de rigidez, e consequentemente o seu grau de esparsidade, depende das funes de
base adoptadas para cada elemento.
Esta propriedade permite constatar uma caracterstica im
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