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Metodo de Gauss-JordanColunas Basicas da Matriz Aumentada
ExemplosRelacao entre colunas
Metodo de Gauss-Jordan e Colunas Basicas de uma Matriz
Marcio Nascimento
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em MatematicaDisciplina: Algebra Matricial - 2015.1
8 de julho de 2015
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Metodo de Gauss-JordanColunas Basicas da Matriz Aumentada
ExemplosRelacao entre colunas
Lembremos que na Eliminacao Gaussiana o plano e:
Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]↓Realizar Operacoes Elementares sobre as linhas de [A | b]↓Obter a Forma Escalonada [E | b�]↓Escrever o Sistema Equivalente↓Aplicar Substituicao Reversa e encontrar a SOLUCAO
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ExemplosRelacao entre colunas
Alem disso, quando resolvemos o sistema atraves de Eliminacao Gaussiana, nossoobjetivo e triangularizar a matriz dos coeficientes e depois resolver o sistema porsubstituicao reversa.
S
x − y + z = 0−x + y + z = −6x + y − 2z = 4
1 −1 1 | 0−1 1 1 | −61 1 −2 | 4
1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6
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ExemplosRelacao entre colunas
Para sistemas onde o numero de equacoes e igual ao numero de variaveis,podemos melhorar a Forma Escalonada para exibir a solucao de uma forma maisdireta: atraves da DIAGONALIZACAO da Matriz dos Coeficientes.
Vamos considerar, novamente, o sistema
S
x − y + z = 0−x + y + z = −6x + y − 2z = 4
Ja vimos que sua forma escalonada e:
[E | b�] =
1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6
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ExemplosRelacao entre colunas
Vamos anular os coeficientes que estao tambem ACIMA de cada pivot.
1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6
1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6
← 2L1 + L2
2 0 −1 | 40 2 −3 | 40 0 2 | −6
← 2L1 + L3← L2 +
32L3
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ExemplosRelacao entre colunas
Assim, essa e uma outra Forma Escalonada para o sistema original S
4 0 0 | 20 2 0 | −50 0 2 | −6
Sistema Equivalente:
S �
4x = 22y = −5
2z = −6
Substituicao:
4x = 2 =⇒ x =1
2
2y = −5 =⇒ x = −5
22z = −6 =⇒ z = −3
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ExemplosRelacao entre colunas
Poderıamos facilitar ainda mais a determinacao da solucao se em cada posicao depivot (na Forma Escalonada) tivessemos 1.
4 0 0 | 20 2 0 | −50 0 2 | −6
4 0 0 | 20 2 0 | −50 0 2 | −6
←
�14
�L1
←�12
�L2
←�12
�L3
1 0 0 | 12
0 1 0 | −52
0 0 1 | −3
→ x = 12
→ y = −52
→ z = −3
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ExemplosRelacao entre colunas
O processo de TRIANGULARIZACAO da matriz aumentada do sistema [A | b],e a ELIMINACAO GAUSSIANA.
Ela nos da uma Forma Escalonada do Sitema [E | b�].O processo de DIAGONALIZACAO da matriz aumentada do sistema, e oMETODO DE GAUSS-JORDAN.
Ela nos da a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema [EA |s].Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termos independentes ja e apropria solucao do sistema!
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ExemplosRelacao entre colunas
Eliminacao Gaussiana -Triangularizacao daMatriz dos Coeficientes
� � . . . � �0 � . . . � �...
.... . .
......
0 0 . . . � �
Metodo de Gauss-Jordan- Diagonalizacao daMatriz dos Coeficientes
1 0 . . . 0 ξ10 1 . . . 0 ξ2...
.... . .
......
0 0 . . . 1 ξn
ξ1, ξ2, . . . , ξn: Solucao doSistema!
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ExemplosRelacao entre colunas
Resolva o seguinte problema usando o Metodo de Gauss-Jordan:
“Tres fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita medıocre e umfardo de uma colheita ruim foram vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, tres damedıocre e um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa, dois da medıocree tres da ruim, foram vendidos por 26 dou. Qual o preco recebido pela venda decada fardo associado a boa colheita, a colheita medıocre e a colheita ruim?”
Resposta...
Colheita boa: 9,25 dou; Colheita medıocre: 4,25 dou; Colheita ruim: 2,75 dou.
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Resolva o seguinte problema usando o Metodo de Gauss-Jordan:
Uma loja vende kits de presentes para o dia das criancas conforme a tabela aseguir:Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $)
2 0 2 2 150,001 1 1 2 180,000 2 2 2 240,002 2 2 2 300,00
Qual o valor de cada item separadamente?
Resposta...
Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 e Fantasia: R$ 30,00.
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COLUNAS BASICAS DE UMA MATRIZ
Ate agora vimos casos onde o numero de equacoes e igual ao numero de variaveis.Vamos “complicar”um pouco mais!
Considere um sistema cuja matriz aumentada e:
[A | b] =
1 2 1 3 3 52 4 0 4 4 61 2 3 5 5 92 4 0 4 7 9
Uma forma escalonada para tal matriz e a seguinte:
[E | b�] =
1 2 1 3 3 50 0 -2 −2 −2 −40 0 0 0 3 30 0 0 0 0 0
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ExemplosRelacao entre colunas
COLUNAS BASICAS DE UMA MATRIZ
Repare que no processo de Eliminacao Gaussiana, tivemos 3 pivots.
[E | b�] =
1 2 1 3 3 50 0 -2 −2 −2 −40 0 0 0 3 30 0 0 0 0 0
Chamaremos de colunas basicas de [A | b] as colunas 1, 3 e 5
[A | b] =
1 2 1 3 3 52 4 0 4 4 61 2 3 5 5 92 4 0 4 7 9
O posto da Matriz [A | b] sera o numero de pivots encontrados em [E | b�].Neste caso, posto([A|b]) = 3.
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COLUNAS BASICAS DE UMA MATRIZ
IMPORTANTE: Seja [A | b] a Matriz Aumentada de um sistema S e [E | b�] umaforma escalonada.
1 As colunas basicas em [A | b] independem da forma escalonada;
2 O numero de pivots e suas posicoes tambem independem da forma escalonada;
3 posto([A|b]) = numero de colunas basicas de [A | b];4 posto([A|b]) = numero de linhas nao nulas em [E | b�].
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EXEMPLOS
Exemplo 01: Encontre as colunas basicas e o posto da seguinte matriz:
3 3 −1 4 | 21 −2 −3 0 | 13 2 4 5 | 7
Uma forma escalonada:1 −2 −3 0 | 10 9 8 4 | −10 0 53 13 | 44
Colunas Basicas: 1, 2, 3 � Posto: 3
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EXEMPLOS
Exemplo 02: Encontre as colunas basicas e o posto da seguinte matriz:
1 4 2 −2 5 | 14 −1 3 3 5 | −12 −2 2 −2 2 | −20 8 −3 0 2 | 22 1 1 5 3 | −3
Uma forma escalonada:
1 4 2 −2 5 | 10 −17 −5 11 −15 | −50 0 16 −76 14 | −180 0 0 −5508 −102 | −17340 0 0 0 0 | −68
Colunas Basicas: 1,2, 3, 4 e 6
Posto: 5
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RELACAO ENTRE COLUNAS
Retomando o sistema
[A | b] =
1 2 1 3 3 52 4 0 4 4 61 2 3 5 5 92 4 0 4 7 9
Vimos que uma forma escalonada e:
[E | b�] =
1 2 1 3 3 50 0 −2 −2 −2 −40 0 0 0 3 30 0 0 0 0 0
Colunas Basicas: 1,3,5 (A∗1,A∗3,A∗5)Colunas nao Basicas: 2,4,6 (A∗2,A∗4,A∗6)
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RELACAO ENTRE COLUNAS
[E | b�] =
1 2 1 3 3 50 0 −2 −2 −2 −40 0 0 0 3 30 0 0 0 0 0
Na forma escalonada, observando as colunas nao basicas, vemos que
Coluna 2 = dobro da coluna 1 (E∗2 = 2E∗1)
Coluna 4 = 2×coluna 1 + coluna 3 (E∗4 = 2E∗1 + E∗3)
Coluna 6 = coluna 1+coluna 3+coluna 5 (E∗6 = E∗1 + E∗3 + E∗5)
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RELACAO ENTRE COLUNAS
E∗2 = 2E∗1 | E∗4 = 2E∗1 + E∗3 | E∗6 = E∗1 + E∗3 + E∗5Na matriz aumentada (inicial)
[A | b] =
1 2 1 3 3 52 4 0 4 4 61 2 3 5 5 92 4 0 4 7 9
Ocorrem as mesmas relacoes:
Coluna nao basica 2 = dobro da coluna basica 1 (A∗2 = 2A∗1)Coluna nao basica 4 = 2×coluna basica 1 + col. basica 3 (A∗4 = 2A∗1 + A∗3)Coluna nao basica 6 = col. basica 1+col. basica 3+col. basica 5(A∗6 = A∗1 + A∗3 + A∗5)
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ExemplosRelacao entre colunas
RELACAO ENTRE COLUNAS
Teorema
Dada uma matriz A, cada uma de suas colunas nao basicas pode ser escrita comocombinacao linear das colunas basicas precedentes. A mesma relacao ocorre entre ascolunas de qualquer forma escalonada de A.
IMPORTANTE: veja que o resultado se aplica a qualquer matriz e naoapenas a matrizes aumentadas de sistemas lineares!
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ExemplosRelacao entre colunas
Exemplo 03: Encontre as relacoes entre as colunas da matriz
U =
2 1 3 4 0 11 3 4 2 1 23 4 2 1 2 34 2 1 3 3 0
E =
1 3 4 2 1 20 −5 −5 0 −2 −30 0 −5 −5 1 00 0 0 0 2 −2
posto(U) = 4. Colunas basicas: U∗1,U∗2,U∗3,U∗5
Colunas nao basicas: U∗4 = U∗1 − U∗2 + U∗3 e
U∗6 =1
5U∗1 +
6
5U∗2 −
1
5U∗3 − U∗5
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