Oscilações e Ondas Mecânicas. exemplos Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua...

Oscilações e

Ondas Mecânicas

exemplos

Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação.

Movimento Oscilatório

Movimento Harmónico Simples

Quando um movimento se repete a si mesmo em intervalos de tempo regulares é chamado Movimento Harmónico Simples (MHS)

Frequência , f – número de oscilações completadas por unidade de tempo (Hz, s-1)

Período, T – tempo necessário para completar uma oscilação (s)

Amplitude – deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio produzido pela oscilação

fT

1

Movimento Harmónico Simples Um caso particular de MHS

Onde ω corresponde à frequência angular,

txtx m cos

Tf

22

Movimento Harmónico Simples Velocidade de uma partícula a oscilar será dada por:

txdt

tdxtv m sin

txtx m cos

Movimento Harmónico Simples A sua aceleração será dada por:

txdt

xd

dt

tdvta m cos2

2

2

txta 2

Sempre que a aceleração de um objecto é proporcional ao seu deslocamento e é oposta à sua direcção, o objecto move-se com um MHS

txdt

tdxtv m sin

txta m cos2

txtv m sin

txtx m cos

Movimento Harmónico Simples

Exemplo: A função

dá-nos o MHS de uma partícula. Determine para t = 2.0 s:

1. o deslocamento;2. a velocidade;3. a aceleração;4. a fase;5. a frequência;6. e o período.

33cos0.6 ttx

Movimento de um corpo preso a uma mola

Movimento Harmónico Simples

eFF

kxma

kxdt

xdm

2

2

02

2

xm

k

dt

xd

2

002

2

xm

k

dt

xd

Movimento Harmónico Simples

Se a oscilação fosse na vertical

ge FFF

mgkxma

mgkxdt

xdm

2

2

gxm

k

dt

xd

2

2

Dependência de ω: com a massa - depende com a amplitude – não depende

Movimento Harmónico Simples

Energia Energia cinética

Energia Potencial

Energia Mecânica

Movimento Harmónico Simples

2

212

21 sin tAmmvEC

tkAEC22

21 sin

2

212

21 cos tAkkxEP

tkAEP22

21 cos

221 kAEEE PCM

Movimento de um Pêndulo Simples

mas e

Movimento Harmónico Simples

TFF g

sinmgmat

sin2

2

gdt

sd

2

2

2

2

dt

dL

dt

sd sin

02

2

L

g

dt

d2

Movimento de um Pêndulo Composto

mas

Movimento Harmónico Simples

FgMM

sin..mghI

sin..

2

2

mghdt

dI

15 sin

0.

2

2

I

mgh

dt

d2

mgh

IT 2

Sobreposição de MHSIgual direcção e período

Movimento Harmónico Simples

11 cos tas 22 cos tbs

0cos tRs

10

22

cos

sinarctan

cos2

ba

b

abbaR

Interf. Construtiva

Interf. Parc. Destrutiva

Movimento Harmónico SimplesSobreposição de MHS

Igual direção e período diferente – mov. resultante não é MHS

a) T1/T2 = p/q (p,q, inteiros, primos) - o período do movimento resultante é o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) dos períodos componentes.

b) T1/T2 = p/q (p é múltiplo inteiro de q) - o período do movimento resultante é igual ao maior dos períodos componentes.

c) T1/T2 = p/q (p próximo de q) - batimento - o período de batimento associado ao movimento resultante é Tb = (T1 x T2)/|T1 - T2|; a frequência de batimento é fb = |f2 - f1|, o período do movimento resultante é o m.m.c. dos períodos componentes.

Movimento Harmónico SimplesSobreposição de MHS

Direções perpendiculares (ortogonais) e mesmo período

a1) Δφ = 0 rad - a = b –                           a ≠ b –

a2) Δφ = π/2 rad - a = b –                              a ≠ b –

a3) Δφ = π rad - a = b –                            a ≠ b –

a4) Δφ = 3 π/2 rad - a = b –                                  a ≠ b –

Movimento Harmónico SimplesSobreposição de MHS

Direcções perpendiculares (ortogonais) e períodos diferentes

se os períodos componentes são comensuráveis, o movimento resultante é periódico e seu período é o m.m.c. dos períodos componentes. As trajetórias são figuras particulares e denominam-se figuras de Lissajous.

Movimento Harmónico SimplesOsciladores ligados

k1 ka k2m1 m2

x1x2

-k1x1

ka(x2-x1) -ka(x2-x1)

-k2x2

121121

2

1 xxkxkdt

xdm a 12222

22

2 xxkxkdt

xdm a 2

11

1

121

2

xm

kx

m

kk

dt

xd aa

12

22

22

22

xm

kx

m

kk

dt

xd aa

2121

2

xm

kx

m

kk

dt

xd aa

1222

2

xm

kx

m

kk

dt

xd aa

kkkmmm 2121 e se

tAx cos1 tAx cos2

Movimento Harmónico SimplesOsciladores ligados

k1 ka k2m1 m2

x1 x2

tAx cos1

mk

Modos normais de oscilação

tAx cos2

em fase:

k1 ka k2m1 m2

x1x2

em oposição de fase:

m

kk a

Movimento Harmónico SimplesOsciladores ligados – exemplos

moleculares

Movimento Oscilatório Amortecidosuporte rígido

const. mola, k

massa, m

disco

amortecimento, λ

kxFe

vFa

vkxmaF

02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

textx tm cos

2

2

4mm

k m2

Movimento Oscilatório Forçadosuporte rígido

const. mola, k

massa, m

disco

amortecimento, λ

kxFe

vFa tFF fcos0

tFkxdt

dx

dt

xdm f cos02

2

tm

Fx

m

k

dt

dx

mdt

xdf

cos02

2

tm

Fx

dt

dx

dt

xdf cos2 02

02

2

fAx cos 22220

2

0

4 ff

mFA

f

f

2

tan20

2

Movimento Oscilatório Forçado

fAx cos 22220

2

0

4 ff

mFA

f

f

2

tan20

2

quando

0 fmáximoARESSONÂNCIA

Tacoma Bridge

Num MHS

Movimento Não Harmónico

202

1xxkEP

FxxkdxdEP 0 kdxEd P 22

m

dxEd

m

k P22

Para um mov. não harmónico

Movimento Não Harmónico

...6

1

2

1 30

200 xxkxxkxExE PP

Teorema de Taylor

...6

1

2

1 30

0

3

32

0

0

2

2

00

0

xx

dx

fdxx

dx

fdxx

dx

dfxfxf

...6

1

2

1 30

0

3

32

0

0

2

2

00

0

xx

dx

Edxx

dx

Edxx

dx

dExExE PPP

PP

0 k k

Movimento Não Harmónico

Para um mov. não harmónico Potencial de Lennard-Jones

12

0

6

00, 2

r

r

r

rEE PP

121 r

61 r

V

0r

0r

Movimento nunca se repete a si mesmo

movimento caótico ≠ movimento desordenado

Movimento caótico pode apresentar uma estrutura bem definida e caracteriza-se por

ser extremamente sensível às suas condições iniciais

Oscilações Caóticas