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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
GABRIELLA AUTRAN GURGEL COÊLHO
OTIMIZAÇÃO DE PÓRTICOS PLANOS DE CONCRETO
ARMADO UTILIZANDO AJUSTE DE PARÂMETROS E
OPERADORES DO ALGORITMO GÉNETICO
Recife
2017
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GABRIELLA AUTRAN GURGEL COÊLHO
OTIMIZAÇÃO DE PÓRTICOS PLANOS DE CONCRETO
ARMADO UTILIZANDO AJUSTE DE PARÂMETROS E
OPERADORES DO ALGORITMO GÉNETICO
Dissertação apresentada à Universidade Federal de
Pernambuco como parte dos requisitos para
obtenção do Título de Mestre em Engenharia Civil.
Área de concentração: Estruturas
Orientador: Prof.ª Dr.ª Silvana Maria Bastos
Afonso da Silva
Coorientador: Prof. Dr. Bernardo Horowitz
Recife
2017
Catalogação na fonte Bibliotecária Rosineide Mesquita G. Luz, CRB-4 / 1163
C672o Coêlho, Gabriella Autran Gurgel.
Otimização de pórticos planos de concreto armado utilizando ajuste de parâmetros e operadores do algoritmo génetico / Gabriella Autran Gurgel Coêlho. – 2017.
131 folhas, il., gráfs., tabs.
Orientadora: Prof.ª Dr.ª Silvana Maria Bastos Afonso da Silva. Coorientador: Prof. Dr. Bernardo Horowitz. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG.
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, 2017. Inclui Referências e Apêndice. 1. Engenharia Civil. 2. Otimização. 3. Algoritmo genético. 4.
Parâmetros. 5. Pórticos planos. I. Silva, Silvana Maria Bastos Afonso da (Orientadora). II. Horowitz, Bernardo (Coorientador). III. Título.
UFPE 624 CDD (22. ed.) BCTG/2017-176
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
A comissão examinadora da Defesa de Dissertação de Mestrado
OTIMIZAÇÃO DE PÓRTICOS PLANOS DE CONCRETO ARMADO
UTILIZANDO AJUSTE DE PARÂMETROS E OPERADORES DO
ALGORITMO GÉNETICO
defendida por
Gabriella Autran Gurgel Coêlho
Considera a candidata APROVADA
Recife, 23 de fevereiro de 2017
Prof.ª Dr.ª Silvana Maria Bastos Afonso da Silva – Orientadora – UFPE
Prof. Dr. Bernardo Horowitz – Coorientador – UFPE
Banca Examinadora:
___________________________________________
Prof.ª Dr.ª Silvana Maria Bastos Afonso da Silva – UFPE
(orientadora)
___________________________________________
Prof. Dr. Leonardo Correira de Oliveira – UFPE
(examinador externo)
___________________________________________
Prof. Dr. Renato de Siqueira Motta – UFPE
(examinador interno)
A Deus, que me deu forças para persistir
e conseguir chegar ao fim, e a minha
família, pelo apoio incondicional durante
toda minha vida.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todos que contribuíram de forma direta e indireta para realização desse
trabalho.
RESUMO
Muitas das aplicações da Engenharia requerem a solução de problemas de otimização na
obtenção do projeto ótimo. Esses podem ser computacionalmente resolvidos por diversas
estratégias de otimização, dentre as quais estão os Algoritmos Genéticos (GA). Devido à
facilidade de programação, por não necessitar do cálculo de gradientes das funções e nem
que estas sejam contínuas, além do bom desempenho para encontrar o ótimo global, essa
técnica apresenta-se como uma potencial ferramenta para resolução de problemas de
otimização. Esta será abordada neste trabalho através da análise dos seus parâmetros e
operadores visto que a escolha adequada destes é fundamental para o uso eficiente do GA
como otimizador e consiste em um dos obstáculos no emprego de tal método. Nesse
trabalho, é apresentado um procedimento para ajuste off-line de parâmetros e operadores
do GA utilizando a técnica meta-evolucionária, que consiste em aplicá-lo no nível da
otimização de parâmetros do GA e do problema em si. Para validação da metodologia
proposta e sua implementação computacional, realizada no MATLAB, testes foram
conduzidos selecionando exemplos numéricos de diferentes complexidades e exemplos
associados à análise estrutural de pórticos planos de concreto armado, todos disponíveis
na literatura. No caso dos exemplos de pórticos planos, a função objetivo do problema é
o custo total da estrutura, que inclui o custo do concreto, forma e aço. As variáveis de
projeto são as seções transversais das vigas e pilares, diâmetros padrões para as barras da
armação e número de barras. Os pórticos são dimensionados de forma a atender as
especificações da NBR 6118:2014 e requisitos para obtenção de projetos exequíveis. Eles
são submetidos à análise não-linear pelo Método dos Elementos Finitos (MEF),
conduzida a cada iteração da otimização para atualização dos esforços na estrutura. Como
o problema de pórticos envolve restrições diversas, é conduzido ainda o estudo de
aplicação do Método de Penalização (APM) para lidar com estas no GA. Com aplicação
do APM, o problema é interpretado como irrestrito, o que permite configurar outros
parâmetros que não são possíveis quando as restrições são tratadas internamente pelo GA
do MATLAB. Os resultados obtidos são satisfatórios e permitiram a obtenção de
melhores respostas com o GA devidamente configurado pela ferramenta implementada,
o que evidencia e ratifica a importância da configuração dos parâmetros e operadores do
GA além de permitir o direcionamento de futuros trabalhos nessa linha de pesquisa.
Palavras-Chave: Otimização. Algoritmo genético. Parâmetros. Pórticos planos.
ABSTRACT
Optimization techniques have been successfully employed to solve many practical
engineering problems. Since such applications commonly present responses with
multimodal characteristics, the selection of a global optimization technique as the strategy
of choice in the solution process is often required. Genetic Algorithms (GAs) are a well-
established, extensively used option with certain advantages: they are able to handle
discontinuous functions, discrete and continuous variables, and can be conducted without
gradient information. On the other hand, a significant obstacle to their employment is the
time-consuming process to define the problem-dependent control parameters. The current
work presents a procedure for configuring GA parameters and operators using a meta-
level technique, thus GAs are shown to be suitable for both levels of the system
optimization problem. To validate the studied approach and all necessary computational
implementations using MATLAB benchmark side constraint problems with different
complexities and reinforced concrete planes frames examples are the applications
addressed by the study, all cases are available in literature. For the plane frames, the
objective function involves the material and placement costs of concrete, reinforcement
and formwork. The design variables are the dimensions of cross section of beams and
columns which compose the frame, the standard reinforcement bar diameters and the
numbers of bars. The frames are designed considering practical requirements in addition
to relevant provisions and the requirements of NBR 6118:2014 to obtain allowable
designs. These structural response quantities are computed for each frame design using
the Finite Element Method (FEM). A non-linear analysis is performed via FEM each
iteration of the optimization for obtaining the current load effects in the frame during the
iterative process. Since such applications present many constraints, the adaptive penalty
method (APM) is also employed here in order to form an ‘‘unconstrained problem’’ and
allow the study of configuring other parameters since MATLAB restricts the change of
some parameters configuration for situations of constrained problems in which the
constraints are internally dealt by MATLAB´s GA. The results obtained from the design
examples optimized are satisfactory and better than those achieved with the non-
configured MATLAB GA. It clearly indicates the importance of configuring the GA
parameters and can be used as a basis of studies for future works in this research line.
Keywords: Optimization. Genetic algorithm. Parameters. Plane frames.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 - Fluxograma do processo geral de otimização. ............................................... 19
Figura 2 – Função unimodal x função multimodal......................................................... 21
Figura 3 – Espaço de representação gráfica de problema de otimização bidimensional.22
Figura 4 – Otimização topológica de uma estrutura discreta. ........................................ 27
Figura 5 - Otimização topológica de uma estrutura contínua. ........................................ 27
Figura 6 - Exemplo de otimização da geometria, que envolve achar a função 𝜼(𝒙) que descreve a forma de uma viga genérica. ......................................................................... 28
Figura 7 – Diagrama parábola-retângulo para o concreto em compressão. ................... 32
Figura 8 - Diagrama tensão-deformação dos aços.......................................................... 32
Figura 9 - Representação dos efeitos em estruturas de edifícios altos: 1) perspectiva; 2)
estrutura indeformada; 3) edificação sujeita a instabilidade global; 4) instabilidade local
de pilares centrais inferiores. .......................................................................................... 35
Figura 10 – Forças atuantes no elemento de viga com 3 graus de liberdade por nó. ..... 36
Figura 11- Fluxograma do MEF com análise não-linear (implementado neste trabalho).
........................................................................................................................................ 38
Figura 12 - Esquema de forças verticais (a) e horizontais fictícias (b). ......................... 39
Figura 13 - Deslocamentos horizontais entre os pavimentos. ........................................ 39
Figura 14 - Domínios de dimensionamento. .................................................................. 41
Figura 15 - Posição da solicitação normal nos eixos de simetria. .................................. 43
Figura 16 - Diagrama de interação para taxa mecânica de armadura ω. ....................... 44
Figura 17 - Elementos que compõem a estrutura de um edifício. .................................. 47
Figura 18 - Viga de concreto armado simplesmente apoiada. ........................................ 49
Figura 19 - Análise gráfica do problema da viga de concreto armado simplesmente
apoiada. ........................................................................................................................... 50
Figura 20 - Pórtico plano testado. ................................................................................... 51
Figura 21 - Correspondência entre termos da Biologia e Algoritmo Genético na
linguagem de programação. ............................................................................................ 55
Figura 22 - Esquema para representação de um problema com 5 dimensões (5 variáveis
de projeto) e com 3 indivíduos (possíveis soluções). ..................................................... 55
Figura 23 - Exemplos de cromossomo codificados nas representações mais comuns. .. 58
Figura 24 - Tipos de mutação por tipo de codificação. (a) Inversão de bit (codificação
binária); (b) Mudança de ordem e (c) Inserção (codificação por permutação); (d) Adição
(ou subtração) de número pequeno a determinadas posições do gene. .......................... 60
Figura 25 - Taxonomia para ajuste de parâmetros. ........................................................ 62
Figura 26 - Fluxo de informações e controle de qualidade no ajuste de parâmetros. .... 63
Figura 27 - Resumo de pesquisas recentes desenvolvidas sobre ajuste de parâmetros,
divididas por tipo de técnica utilizada. ........................................................................... 64
Figura 28 - Resumo de pesquisas recentes desenvolvidas sobre ajuste de parâmetros,
divididas por parâmetro ajustado. ................................................................................... 65
Figura 29 - Representação Gráfica da Função Schwefel. ............................................... 66
Figura 30 - População inicial. ......................................................................................... 66
Figura 31 - População final e resultados obtidos para as taxas de cruzamento de 0,2, 0,5
e 0,8. ............................................................................................................................... 67
Figura 32 - Descrição ilustrativa da função f(x). ............................................................ 71
Figura 33 - Representação esquemática do exemplo ny =1. .......................................... 74
Figura 34 - Código esquemático de GA1 para ny =1 ..................................................... 75
Figura 35 - Comunicação entre GA1 e GA2 .................................................................. 76
Figura 36 - Código esquemático de GA2 para ny=1. ..................................................... 77
Figura 37 - Roteiros para GA1 e GA2. ........................................................................... 78
Figura 38 - Típica ftarget para uma função analítica...................................................... 78
Figura 39 - Metodologia dos experimentos conduzidos. ................................................ 80
Figura 40 - Etapas problema de otimização. .................................................................. 89
Figura 41 - Pórtico PF1 (αL). ......................................................................................... 90
Figura 42 - Pórtico PF2 (3B3S): Organização das variáveis. ......................................... 92
Figura 43 - Pórtico PF2: Representação da estrutura e nós utilizando o SAP................ 93
Figura 44 - Problema PF2_01: Gráfico de evolução resultado obtido para os testes 1,2 e
3 (valores normalizados), respectivamente (a), (b) e (c). ............................................. 100
Figura 45 - Pórtico PF3 (2B6S): Organização das variáveis. ....................................... 106
Figura 46 - Pórtico PF3: Representação da estrutura e nós no SAP............................. 107
Figura 47 - Pórtico PF3: Casos de carga estudados...................................................... 108
Figura 48 - Pórtico PF3: Configuração da armação das vigas para o i-ésimo grupo (viga
com 2 vãos) ................................................................................................................... 111
Figura 49 - Pórtico PF3: Configuração das variáveis de projeto referente à armação dos
pilares ........................................................................................................................... 112
Figura 50 - Gráfico normalizado desempenho dos testes 2 e 3 em relação ao resultado
obtido com o teste 1. ..................................................................................................... 117
Figura 51 - Gráfico comparativo da constituição de cada geração do GA em função da
frequência de aplicação do crossover/mutação e elitismo. ........................................... 118
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Resumo dos domínios em função das condições de solicitação da seção
transversal. ...................................................................................................................... 40
Tabela 2 - Valores para esforço normal reduzido ν e parâmetro β. ................................ 44
Tabela 3 – Resultados viga de concreto armado simplesmente apoiada. ....................... 51
Tabela 4 – Resultados pórtico plano, =1 .................................................................... 52 Tabela 5 – Resultados pórtico plano, =0,4 ................................................................. 52 Tabela 6 – Parâmetros do GA estudados ........................................................................ 72
Tabela 7 - Tipos de crossover e mutação estudados ....................................................... 72
Tabela 8 – Problemas numéricos estudados ................................................................... 81
Tabela 9 - Equações dos problemas numéricos estudados ............................................. 81
Tabela 10 - Problemas numéricos: Parâmetros estudados pelo M_GA ......................... 82
Tabela 11 - Problemas numéricos: Parâmetros/operadores usados para os testes de 1 a 3
........................................................................................................................................ 82
Tabela 12 – Problemas numéricos: Comparação entre resultados obtidos .................... 83
Tabela 13 - Dados dos testes aplicados a exemplos associados à analise estrutural. ..... 85
Tabela 14 – Aços utilizados nos reforços das seções de concreto.................................. 88
Tabela 15 - Problema PF1: Parâmetros estudados M_GA ............................................. 90
Tabela 16 – Problema PF1: Rodadas do M_GA ............................................................ 90
Tabela 17 – Problema PF1: Comparação entre resultados obtidos. ............................... 91
Tabela 18 – Problema PF1: Verificação das restrições do problema no ponto ótimo
obtido. ............................................................................................................................. 91
Tabela 19 – Pórtico PF2: Variáveis de projeto das vigas (por grupo de viga) ............... 94
Tabela 20 - Pórtico PF2: Variáveis de projeto dos pilares (por grupo de pilar) ............. 94
Tabela 21 - Problema PF2_01: teste 01 .......................................................................... 97
Tabela 22 – Problema PF2_01: Parâmetros estudados M_GA ...................................... 98
Tabela 23 – Problema PF2_01: Rodadas do M_GA ...................................................... 98
Tabela 24 – Problema PF2_01: teste 02 ......................................................................... 99
Tabela 25 – Problema PF2_01: teste 03 ......................................................................... 99
Tabela 26 – Problema PF2_01: Parâmetros/operadores usados para os testes de 1 a 3 . 99
Tabela 27 - Problema PF2_01: Comparação entre resultados obtidos ........................... 99
Tabela 28 – Problema PF2_02: teste 01 ....................................................................... 102
Tabela 29 – Problema PF2_02: Parâmetros estudados M_GA .................................... 102
Tabela 30 – Problema PF2_02: Rodadas do M_GA .................................................... 102
Tabela 31 – Problema PF2_02: teste 02 ....................................................................... 103
Tabela 32 – Problema PF2_02: teste 03 ....................................................................... 103
Tabela 33 – Problema PF2_02: Parâmetros/operadores usados para os testes de 1 a 3 104
Tabela 34 - Problema PF2_02: Comparação entre resultados obtidos ......................... 104
Tabela 35 – Comparação dos resultados da análise linear via o MEF implementado x
SAP 2000 (pórtico PF3). .............................................................................................. 109
Tabela 36 – Comparação resultados da análise não-linear via o MEF implementado x
SAP 2000 (pórtico PF3). .............................................................................................. 109
Tabela 37 – Pórtico PF3: Variáveis de projeto das vigas (por grupo de viga) ............. 110
Tabela 38 - Pórtico PF3: Variáveis de projeto dos pilares (por grupo de pilar) ........... 112
Tabela 39 – Problema PF3: teste 01 ............................................................................. 113
Tabela 40 – Problema PF3: Rodadas do M_GA .......................................................... 113
Tabela 41 - Problema PF3: teste 02 .............................................................................. 114
Tabela 42 - Problema PF3: teste 03 .............................................................................. 114
Tabela 43 – Problema PF3: Parâmetros/operadores usados para os testes de 1 a 3 ..... 115
Tabela 44 - Problema PF3: Comparação entre resultados obtidos ............................... 115
Tabela 45 – Resumo dos resultados obtidos ................................................................. 116
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 14 1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS ......................................................................... 14 1.2 MOTIVAÇÃO ................................................................................................. 15 1.3 OBJETIVO ...................................................................................................... 15
1.4 METODOLOGIA ............................................................................................ 15 1.5 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO ......................................................... 16
2 OTIMIZAÇÃO 18 2.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 18
2.2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ... 19 2.3 ELEMENTOS QUE CONSTITUEM UM PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO 20
2.3.1 Variáveis de projeto ....................................................................................... 20
2.3.2 Função objetivo .............................................................................................. 21 2.3.3 Restrições ........................................................................................................ 22 2.4 TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO ..................................................................... 23
3 ANÁLISE E OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL 26 3.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 26
3.2 REVISÃO DE LITERATURA ........................................................................ 29 3.3 DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 31
3.3.1 Hipóteses de cálculo ....................................................................................... 31
3.3.2 Análise estrutural ........................................................................................... 33 3.3.3 Estabilidade de uma estrutura ...................................................................... 34 3.3.4 Procedimento empregado para análise estrutural ...................................... 35
3.3.5 Critério de ruptura das seções de concreto armado ................................... 39 3.3.6 Considerações sobre o cálculo de pilares ..................................................... 41
3.3.7 Considerações sobre o cálculo de vigas ........................................................ 44 3.3.8 Introdução ao cálculo de pórticos planos..................................................... 46 3.3.9 Formulação do dimensionamento ótimo em problemas estruturais ......... 48
3.3.10 Exemplos para validação ............................................................................... 48 3.3.10.1 Viga simplesmente apoiada ............................................................................. 48
3.3.10.2 Pórtico plano .................................................................................................... 51
3.3.10.3 Conclusão ......................................................................................................... 53
4 ALGORITMO GENÉTICO 54 4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 54 4.2 OPÇÕES DO ALGORITMO GENÉTICO E OPERADORES GENÉTICOS 56
4.2.1 Representação dos indivíduos ....................................................................... 57 4.2.2 Geração da população inicial ........................................................................ 58
4.2.3 Escalonamento e seleção dos indivíduos ...................................................... 58 4.2.4 Crossover ........................................................................................................ 59 4.2.5 Mutação .......................................................................................................... 59 4.2.6 Elitismo ........................................................................................................... 61 4.2.7 Critérios de parada ........................................................................................ 61 4.3 AJUSTE DE PARÂMETROS ......................................................................... 61
4.3.1 Impacto dos operadores do GA no processo de otimização ....................... 65 4.3.2 Parâmetros mais comumente ajustados....................................................... 67 4.3.2.1 Mutação ........................................................................................................... 67
4.3.2.2 Crossover ......................................................................................................... 68 4.3.2.3 Tamanho da população .................................................................................... 68 4.4 FERRAMENTA PROPOSTA ......................................................................... 69
4.4.1 Algoritmo genético utilizado ......................................................................... 69 4.4.2 Método de penalização adaptativa (APM) .................................................. 70 4.4.3 Objetivo principal da ferramenta proposta ................................................ 71 4.4.4 Implementação ............................................................................................... 73 4.4.5 Descrição do algoritmo .................................................................................. 74
5 CASOS ESTUDADOS 79 5.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 79 5.2 APLICAÇÃO 1: EXEMPLOS NUMÉRICOS (FUNÇÕES ANALÍTICAS) . 80
5.3 APLICAÇÃO 2: PÓRTICOS PLANOS .......................................................... 83
5.3.1 Problema PF1 ................................................................................................. 89 5.3.1.1 Apresentação .................................................................................................... 89 5.3.1.2 Resultados ........................................................................................................ 90
5.3.2 Problema PF2 ................................................................................................. 92 5.3.2.1 Apresentação .................................................................................................... 92 5.3.2.2 Otimização ....................................................................................................... 93 5.3.2.3 Resultados ........................................................................................................ 97
5.3.3 Problema PF3 ............................................................................................... 104 5.3.3.1 Apresentação .................................................................................................. 104 5.3.3.2 Otimização ..................................................................................................... 110
5.3.3.3 Resultados ...................................................................................................... 112
5.4 CONCLUSÕES GERAIS .............................................................................. 115
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 119 6.1 DESENVOLVIMENTOS .............................................................................. 119
6.2 CONCLUSÕES GERAIS .............................................................................. 120 6.3 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ......................................... 121
REFERÊNCIAS.............................................................................................122
APÊNDICE A – PARÂMETROS E OPERADORES DO GA DO
MATLAB....................................................................................................... 127
14
1 INTRODUÇÃO
1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS
Ao projetar uma estrutura, o engenheiro pode optar pelo procedimento tradicional
que consiste em adotar, de maneira intuitiva, uma configuração inicial para geometria e
materiais e então, a partir do carregamento definido, calcular as capacidades resistentes e
deslocamentos para verificação do atendimento aos critérios de segurança e utilização.
Esse processo é repetido a partir de alterações nessas configurações pré-estabelecidas até
que os critérios sejam devidamente satisfeitos. Ainda assim, a solução pode não ser a mais
econômica, visto que se parte de uma seleção intuitiva.
Entretanto, devido à crescente necessidade de obtenção de projetos que envolvam
soluções econômicas e viáveis em tempo hábil, os procedimentos tradicionais vêm dando
espaço a metodologias de otimização que se tornaram ao longo das últimas décadas
fundamentais no uso de métodos computacionais para aplicações na Engenharia prática.
Com tais procedimentos, o projetista pode avaliar mais alternativas, e, portanto, obter de
maneira automática um projeto melhor e economicamente mais efetivo.
Neste trabalho são projetados pórticos de concreto armado de baixo custo que
satisfaçam as especificações e limites da NBR 6118 (ABNT, 2014) utilizando o
Algoritmo Genético (GA). A classe dos GAs se distingue das demais técnicas de
otimização pelo uso de conceitos da genética em populações para guiar a busca. Ele
simula a seleção natural que conduz a evolução biológica ao fim e são usados para
solucionar problemas restritos e irrestritos que não podem ser resolvidos por algoritmos
de programação matemática quando estes envolvem funções objetivo descontínuas, não-
diferenciáveis ou multimodais. Também apresentam habilidade de lidar com variáveis
contínuas e inteiras e não requerem informação de gradientes.
A escolha de parâmetros e operadores de um GA pode resultar em respostas bem
distintas. Uma boa configuração pode acarretar em uma boa convergência do algoritmo
para melhores resultados em um tempo menor de processamento, enquanto que fazendo
uso de uma configuração inadequada pode inclusive resultar na não obtenção de uma
solução viável.
Neste estudo foi desenvolvida e aplicada uma ferramenta de ajuste off-line de
parâmetros e operadores do GA utilizando técnica meta-evolucionária. Essa técnica foi
introduzida em Grefenstette (1986) e apresenta o problema de controle dinâmico dos
parâmetros do algoritmo primário como um problema de otimização secundário. Dessa
15
forma, o GA é aplicado tanto no nível de otimização de parâmetros/operadores como no
nível de otimização do problema em si.
O objetivo principal deste trabalho consiste em determinar parâmetros que
originam uma configuração ótima para procedimentos de otimização utilizando o GA
aplicado a exemplos numéricos e a exemplos associados à análise estrutural (pórticos
planos em concreto armado).
1.2 MOTIVAÇÃO
O desafio de utilizar o Algoritmo Genético devidamente configurado de forma a
obter resultados ótimos que essa técnica tem capacidade de encontrar ainda se constitui
um desafio para os pesquisadores. Esta pesquisa se insere nesse contexto, em que uma
das motivações é atingir esses resultados melhores a partir do uso de ferramenta para
seleção de parâmetros e configuração do GA aplicado a problemas estruturais. Além
disso, essa pesquisa também permite a aplicação dos conceitos e implementação do
método dos elementos finitos com análise não-linear e o estudo de técnicas de penalização
para lidar com restrições.
1.3 OBJETIVO
O objetivo principal desta dissertação consiste em encontrar configurações
adequadas para o GA que propiciem a obtenção de resultados ótimos e melhores do que
um GA não configurado de forma a mostrar os ganhos que podem ser conseguidos com
o investimento nessa etapa de ajuste de parâmetros.
Além disso, o conhecimento adquirido nesse trabalho de pesquisa servirá de base
para serem aplicados a problemas mais complexos no futuro e no uso de técnicas de ajuste
de parâmetros complementando a abordagem aqui empregada.
1.4 METODOLOGIA
A linguagem de programação MATLAB foi escolhida para o desenvolvimento
das rotinas e para análise estrutural devido à simplicidade e grande capacidade numérica
proveniente da vasta biblioteca matemática acoplada ao mesmo. A metodologia
empregada para elaboração deste trabalho pode ser resumida pelas etapas a seguir.
a) Implementação do código M_GA para ajuste de parâmetros, fazendo uso da
ferramenta de computação paralela do MATLAB com distribuição de tarefas
entre 2 laboratórios que se comunicam e que trabalham de maneira
independente (um laboratório aguarda a resposta do outro);
16
b) Implementação dos exemplos numéricos para primeira aplicação do M_GA;
c) Aplicação do M_GA a funções analíticas e verificação dos resultados obtidos;
d) Seleção dos problemas estruturais para estudo;
e) Implementação das funções objetivo, restrições, configurações de cada
estrutura estudada;
f) Verificação das rotinas implementadas para otimização e da configuração de
cada problema estudado;
g) Implementação da rotina mef_pf.m para análise linear e não-linear de pórticos
planos via método dos elementos finitos. Inicialmente a análise iria ser
totalmente conduzida no SAP 2000, entretanto, devido ao tempo de
processamento e visando reduzir o esforço computacional, optou-se pela
implementação e uso do MEF no MATLAB;
h) Verificação dos resultados obtidos pela rotina mef_pf.m e comparação com os
resultados obtidos utilizando o software comercial (SAP 2000), com o
objetivo de verificar o código implementado;
i) Execução de 4 etapas de testes para cada exemplo estudado:
A. Teste 1: Otimização usando GA do MATLAB;
B. Aplicação do M_GA, ferramenta proposta pelo presente trabalho para
investigação da configuração de parâmetros do GA;
C. Teste 2: Otimização usando GA com parâmetros/operadores que foram
melhor solução obtida dentre as rodadas de aplicação do M_GA;
D. Teste 3: Otimização usando GA com os parâmetros/operadores médios das
soluções das rodadas de aplicação do M_GA.
j) Compilação e análise dos resultados obtidos.
1.5 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO
Esta dissertação consiste de seis capítulos organizados de maneira a facilitar o
entendimento dos estudos realizados. Uma breve descrição do conteúdo de cada capítulo
é dada a seguir.
O presente capítulo mostra uma visão geral do estudo.
O Capítulo 2 apresenta a definição e aspectos gerais sobre o procedimento de
otimização, como formulação matemática padrão, elementos que constituem um
problema dessa natureza e as diversas técnicas de otimização disponíveis.
17
O Capítulo 3 faz a conexão entre otimização e sua aplicação a problemas
estruturais, descrevendo a formulação matemática para otimização de pórticos de
concreto armado e apresentando revisão de literatura sobre o tema. Neste capítulo, faz-se
uma descrição detalhada sobre análise e estabilidade de estruturas, com ênfase no
procedimento empregado para análise das estruturas modeladas neste trabalho. Também
são ilustrados exemplos introdutórios sobre otimização de estruturas.
O Capítulo 4 discorre sobre o Algoritmo Genético e sobre as técnicas de ajuste
de parâmetros. Neste capítulo é descrito com detalhes o procedimento para elaboração do
código do M_GA, ferramenta para configuração de parâmetros do GA proposta neste
trabalho.
O Capítulo 5 trata dos exemplos considerados. Os mesmos são divididos em
Aplicação 1 referente aos 6 exemplos numéricos estudados e Aplicação 2, referentes aos
3 pórticos planos estudados. Para cada exemplo é feita a apresentação da função
analítica/estrutura, formulação matemática do problema de otimização, considerações
utilizadas nos testes e resultados obtidos. Ao fim do capítulo são tecidos comentários
acerca dos resultados e feito um resumo de todos.
No último capítulo deste trabalho, Capítulo 6, será resumido às realizações feitas
nesta dissertação. As conclusões obtidas através dos diversos resultados serão também
descritas e discutidas neste capítulo, que se encerra com sugestões para trabalhos futuros.
A bibliografia consultada é apresentada no final desta dissertação.
18
2 OTIMIZAÇÃO
2.1 INTRODUÇÃO
De acordo com Silva (2009), a otimização pode ser definida como o estudo de um
conjunto de técnicas que têm como objetivo obter melhor resultado para uma função e
parâmetros (variáveis de projeto) pré-especificados dentro de um conjunto permitido
(espaço de projeto viável). Os problemas de engenharia geralmente envolvem um grande
número de variáveis, então cabe ao projetista encontrar uma combinação para que estas
resultem em um projeto mais eficiente e econômico possível.
O interesse pelos processos de otimização tem aumentado com o avanço dos
recursos computacionais. As técnicas têm avançado rapidamente e progresso
considerável tem sido obtido, e agora problemas complexos de otimização são passiveis
de serem solucionados utilizando as técnicas e recursos disponíveis.
Não existe uma única técnica de otimização que possa ser aplicada de maneira
eficiente em todos os problemas e a escolha depende das características da função
objetivo, da dimensão do problema, da natureza das restrições e tipo das variáveis.
As principais etapas do projeto de otimização de um produto podem ser resumidas
no fluxograma apresentado na Figura 1. No caso do sistema estrutural de uma ponte, por
exemplo, as etapas consistem em:
• Concepção do projeto:
Definição do uso do produto que será otimizado, que implica na definição do
comprimento e largura do vão, quantidade de pistas e cargas que são esperadas para atuar
na estrutura, etc.;
Definição de concepção da estrutura (treliçada, estaiada, em arco) e do material
(concreto, aço, mista);
• Elaboração do problema de otimização:
Definição da função objetivo (minimização do custo, peso da estrutura) e das
Variáveis de projeto (seções transversais, por exemplo);
Definição das restrições (relacionadas às tensões máximas, deslocamentos
máximos, condições de apoio, etc.);
• Detalhes e desenvolvimento do modelo para o processo:
Definição do tipo de análise e da forma de condução da análise estrutura;
Definição de estratégias para simplificação do problema e de metodologias para
lidar com restrições, etc.;
19
• Análise crítica:
Análise da solução obtida e da sensibilidade frente a variações em parâmetros dos
modelos e as hipóteses adotadas.
Figura 1 - Fluxograma do processo geral de otimização.
Fonte: Elaborado pelo autor.
2.2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO
Matematicamente, em um problema de otimização genérico (Kirsch, 1993)
definido na Eq.(1) se deseja encontrar um conjunto de n variáveis de projeto contido em
um vetor x, que:
Minimize ( )
(ou maximize)
Sujeito a: ( ) ( 1,2,3,..., )
( ) ( 1,2,3,..., )
i i
i i
l u
f = f
g g i m
h h j l
x
x
x
x x x
(1)
Os componentes x são as variáveis de projeto. A função f (x) é a meta do problema.
As funções gi(x) e hj(x) representam, respectivamente, as restrições de desigualdade e de
igualdade. As restrições geométricas são os limites inferiores xl e os limites superiores xu.
20
Quando o problema é de maximização, o problema é resolvido através da minimização
da função objetivo em sua forma negativa (-f (x)). Operações matemáticas também são
aplicadas no caso das desigualdades.
A discrepância entre a magnitude das variáveis de projeto e/ou das funções
objetivo e de restrições pode levar a dificuldades numéricas na solução dos problemas de
otimização. Diante disso, é importante que as funções e variáveis envolvidas nos
problemas sejam normalizadas. Como nos casos reais da Engenharia é comum começar
o projeto como uma configuração pré-estabelecida, pode-se utilizar esse valor inicial para
efetuar a normalização. Sendo assim, a magnitude das variáveis e das funções será
conforme Eq.(2) a Eq.(4) (Silva, 2009).
0
ii
i
x
xx
(2)
em que ix e 0ix são, respectivamente, o valor da variável i (corrente) no ponto x
e o valor da variável i (inicial) do ponto x0 .
0
( )( )
( )
ff
f
xx
x (3)
em que f (x) e f (x0) são, respectivamente, a função objetivo avaliada no ponto x
(corrente) e a função objetivo avaliada no ponto x0 (inicial). A normalização das restrições
de igualdade pode ser feita da mesma forma apresentada nessa equação.
( )( ) 0
u
j j
j u
j
g gg
g
xx (4)
em que gj(x) e u
jg são, respectivamente, o valor da restrição j correspondente a
variável x (corrente) e valor limite superior da mesma. Da mesma forma pode ser obtida
a normalização para restrições com limite inferior.
2.3 ELEMENTOS QUE CONSTITUEM UM PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO
2.3.1 Variáveis de projeto
As variáveis de projeto são parâmetros numéricos responsáveis pela modificação
do projeto. Por meio de limites, é definido o espaço viável das mesmas. O potencial de
mudanças para obter o melhor desempenho do projeto através da otimização é expresso
em termo das variações permitidas nesse grupo de parâmetros (Silva, 2009).
As variáveis de projeto podem assumir valores contínuos ou discretos. Problemas
com variáveis discretas, em geral, são mais complicados de serem resolvidos
21
(dependendo do algoritmo utilizado). No geral envolvem o ajuste da solução continua da
solução ótima para o valor discreto mais próximo (Silva, 2009).
2.3.2 Função objetivo
É uma função que mede a eficiência ou qualidade do projeto, e pode ser
unidimensional ou multidimensional de acordo com o número de variáveis utilizadas para
compô-la. Um problema de otimização também pode ser formulado com uma ou mais
funções objetivo (problema uniobjetivo e multiobjetivo, respectivamente), que por sua
vez podem ser caracterizadas ainda segundo o comportamento entre as variáveis (linear
ou não-linear) e a presença ou não de pontos de mínimo local (multimodal ou unimodal,
respectivamente). Esse último conceito é exemplificado na Figura 2 partir dos gráficos
das funções extraídas de Molga et al. (2005).
Figura 2 – Função unimodal x função multimodal.
(a) Função De Jong´s (unimodal)
(b) Função Griewangk (multimodal)
Fonte: Elaborado pelo autor.
22
2.3.3 Restrições
São funções ou parâmetros que fornecem limitações ao projeto (em algumas ou
em todas as variáveis de projeto). É comum distinguir as restrições em:
1) Geométricas: determinadas através da imposição de limites
inferiores/superiores das variáveis de projeto e são funções de desigualdade
por natureza L U x x x ;
2) De comportamento: determinadas através de especificações de funções que
dependem das variáveis de projeto, impondo a limitação das mesmas a um
semi-espaço, através de funções de desigualdade, ou em superfície, através de
funções de igualdade.
O espaço de projeto é delimitado pelas restrições geométricas, e a viabilidade do
projeto é determinada pela intersecção entre o espaço delimitado pelas restrições
geométricas e as restrições de comportamento. Uma restrição de desigualdade gi (x) ≤ 0
é dita ativa para um ponto x* quando gi (x*) = 0, é dita inativa ou passiva se gi (x*) < 0 e
dita violada se gi (x*) > 0. Uma restrição de igualdade hi (x) = 0 é dita violada para um
ponto x* de um dado projeto se hi (x*) é diferente de zero, e ativa caso contrário (Torres,
2001). Na Figura 3 é ilustrado um exemplo de representação gráfica de um problema de
otimização bidimensional envolvendo restrições de desigualdade. No ponto ótimo,
indicado na figura, todas as restrições estão ativas (gi (x*) = 0).
Figura 3 – Espaço de representação gráfica de problema de otimização bidimensional.
Fonte: Elaborado pelo autor.
É importante ressaltar que o número de restrições de igualdade deve ser menor ou
igual ao número de variáveis para que não se tenha um sistema superdeterminado,
23
enquanto que para as restrições de desigualdade não há limitação do número de funções
(Silva, 2009).
A resolução de problemas restritos geralmente é mais difícil do que de problemas
irrestritos (Antoniou & Lu, 2007). Diante disso, ao longo do tempo vem sendo estudadas
e desenvolvidas técnicas para reformulação de problemas com restrições em problemas
irrestritos através, por exemplo, da incorporação das restrições na função objetivo.
2.4 TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO
Conforme mencionado anteriormente, não existe um único otimizador que possa
ser aplicado de maneira eficiente em todos os problemas e a escolha depende das
características do problema a ser resolvido. Existem na literatura várias formas de
classificar as técnicas de otimização. Adaptando a classificação proposta por Antoniou &
Lu (2007), as abordagens disponíveis podem ser classificadas em:
(a) Métodos analíticos
(b) Métodos gráficos
(c) Métodos experimentais
(d) Métodos numéricos
(e) Métodos de busca heurística
Os métodos analíticos são baseados em técnicas de cálculo diferencial, em que o
critério de minimização/maximização é definido em termos da derivada de f(x1, x2,..,xn) e
dos valores dos parâmetros x1, x2,..,xn que levam a derivada a se anular. Essa técnica não
pode ser aplicada a problemas como muitas variáveis nem com alto grau de não-
linearidade.
Métodos gráficos podem ser utilizados para plotar a função objetivo, porém o
problema só pode envolver até 2 variáveis. Podem ser plotados gráficos x1 versus f(x1) no
caso de 1 variável de projeto, ou ainda curvas de contorno, ou seja, gráficos em que os
ambos os eixos são as variáveis de projeto (caso de problemas bidimensionais). Como a
maioria dos problemas da engenharia envolve um grande número de variáveis, a aplicação
dessa metodologia fica restrita a poucas situações.
No método experimental o sistema é configurado a partir do ajuste “manual” das
variáveis e o critério de eficiência é medido a cada ajuste de configuração. A aplicação
desse método pode não garantir a obtenção de resultados ótimos globais devido à
interação entre variáveis dos problemas.
24
A abordagem mais comum é baseada em métodos numéricos, que a partir de uma
estimativa inicial para solução. Procedimentos iterativos são usados para gerar uma série
de soluções ao longo do processo de otimização. O processo termina quando algum
critério de parada é satisfeito (como por exemplo, critério de convergência e número de
iterações). Essas técnicas são usadas para resolver problemas complexos de otimização,
e ainda podem ser subdivididas em técnicas de programação linear, inteira, quadrática,
não-linear e dinâmica (Antoniou & Lu, 2007). Cada uma delas é adequada a um tipo de
problema de otimização bem como da natureza da função objetivo e das restrições. A
programação não-linear é a mais geral, podendo a linear e quadrática serem consideradas
casos particulares desta. Dentre os métodos de programação não-linear podem ser citados
o método das penalidades, método das funções de barreiras e métodos das direções
viáveis, dentre outros.
Os métodos de busca heurística se baseiam em análises probabilísticas das
possíveis soluções para um determinado problema. Dentro desse grupo tem-se os
Algoritmos Evolucionários (EAs), que usam a seleção natural como instrumento de busca
para resolver problemas (Oliveira, 2013).
Na década de 60, foram desenvolvidos os algoritmos genéticos (Genetic
Algorithms – GAs) (Oliveira, 2013). Nos anos 80 e 90 também ocorreu grande avanço
nas pesquisas utilizando algoritmos meta-heurísticos, com o surgimento de diversas
metodologias inspiradas em fenômenos da natureza, como o resfriamento simulado
(Simulated Annealing – SA); a busca tabu (Tabu Search); o algoritmo de otimização da
colônia de formigas (Ant Colony Optimization – ACO); e o algoritmo do enxame de
partículas (Particle Swarm Optimization – PSO), bastante utilizado na atualidade
(Oliveira, 2013).
Devido à disponibilidade de várias versões do GA em programas computacionais,
além do desenvolvimento de técnicas que já foram implementadas para tornar este
algoritmo mais robusto, ele é um dos EAs mais populares nos dias atuais.
Por fim, a escolha do algoritmo de otimização depende do comportamento
matemático do problema e da função objetivo. Os problemas da Engenharia geralmente
envolvem funções não-lineares e requerem, portanto, algoritmos robustos e eficientes.
No presente trabalho foi utilizado o GA como método de otimização. Ele simula
a seleção natural que conduz a evolução biológica ao fim e são usados para solucionar
problemas restritos e irrestritos apesar de geralmente requererem grande número de
avaliações de função. Muitos destes problemas não podem ser resolvidos por algoritmos
25
de programação matemática quando envolvem funções objetivo descontínuas, não-
diferenciáveis ou multimodais. Também apresentam habilidade de lidar com variáveis
contínuas e discreta e não requerem informação de gradientes. Podem ser citados os
trabalhos de Camp et al. (2003) e Lee et al. (2003) como exemplos de pesquisas
envolvendo o GA na otimização discreta. Mais detalhes sobre o GA serão apresentados
nas seções subsequentes deste trabalho.
26
3 ANÁLISE E OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL
3.1 INTRODUÇÃO
A prática comum do projeto de estruturas de concreto armado inclui a escolha das
dimensões das seções transversais e das armaduras de reforço que atendam aos requisitos
de rigidez, ductilidade, condições de serviço e outras restrições associadas às
especificações de dimensionamento das peças segundo a norma corrente adotada no
projeto. Os procedimentos de otimização vêm sendo cada vez mais utilizados e capazes,
a depender da ferramenta utilizada, de determinar de maneira eficiente e confiável
soluções ótimas e adequadas em comparação com a abordagem tradicional de tentativa e
erro.
Em geral, vários objetivos são considerados no projeto estrutural (Liang, 2005).
São eles:
A. Funcionalidade
B. Condições de Serviço
C. Resistência
D. Economia
Códigos e normas impõem restrições para as condições de serviço e resistência,
que são objetivos relacionados à segurança a fim de garantir que a estrutura projetada se
comporte conforme a função esperada para ela. A funcionalidade e economia não tem
relação com a função estrutural do sistema, mas podem ser usadas para classificar os
projetos que satisfazem o desempenho estrutural exigido. É importante destacar que a
escolha de uma configuração global adequada para a estrutura pode ser mais eficiente do
que modificar as dimensões das peças estruturais que a compõem. O problema de
otimização com múltiplos objetivos de desempenho em geral é resolvido selecionando
apenas uma das funções (A-D) e considerando as demais como restrições.
Muitos livros e artigos a respeito do desenvolvimento teórico e prático da
otimização estrutural foram sido publicados desde 1960 (Liang, 2005). A maioria das
publicações se refere a aspectos matemáticos, ao invés de práticos devido à complexidade
matemática que, em geral, esses métodos apresentam.
Os problemas de otimização estrutural podem ser classificados de acordo com a
classe de suas variáveis de projeto (Torres, 2001). São elas:
a) Propriedades dos materiais/ dimensões: os materiais convencionais possuem
variáveis que são representadas por valores discretos, como módulo de
27
elasticidade, resistência característica e peso específico. O objetivo nesse tipo
de otimização é maximizar o desempenho da estrutura em termos de seu peso
e rigidez global ou resistência. O espaço de projeto é mantido fixo durante o
processo de otimização; A variável pode ser também alguma medida, como
área da seção transversal e momento de inércia de um pilar.
b) Topologia: consiste na definição ótima do leiaute estrutural. O projeto tem
condições de contorno e domínio pré-estabelecido. No caso discreto, como é
de uma treliça (vide Figura 4), as variáveis de projeto são as áreas das barras
que a compõem. Permitindo que essas variáveis assumam valor zero admite-
se que elas possam ser removidas da estrutura e, portanto, a conectividade dos
nós é variável e a topologia da treliça é alterada. Caso seja uma estrutura
contínua (vide Figura 5), a mudança na topologia por ser feita ao permitir
valores nulos para espessura do elemento.
Figura 4 – Otimização topológica de uma estrutura discreta.
(a) Situação inicial (b) Projeto otimizado
Fonte: Christensen & Klarbring (2009, p.06).
Figura 5 - Otimização topológica de uma estrutura contínua.
Fonte: Christensen & Klarbring (2009, p.06).
c) Geometria (forma): a geometria de pórticos e treliças, por exemplo, é descrita
pelas coordenadas dos nós ou pelo comprimento e inclinação das barras. Em
28
um corpo sólido genérico, a variável de projeto representa a forma ou o
contorno de alguma parte da fronteira do domínio da estrutura. A otimização
consiste em escolher um domínio de integração para as equações diferenciais
de maneira ótima. A otimização de geometria (ou forma) é ilustrada na Figura
6. Nesse tipo de otimização, o espaço de projeto não é fixo.
Figura 6 - Exemplo de otimização da geometria, que envolve achar a função 𝜼(𝒙) que descreve a forma de uma viga genérica.
Fonte: Christensen & Klarbring (2009, p.06).
De acordo com Liang (2005), a otimização integrada da topologia, geometria e
dimensões também é conhecida como otimização de “layout”. Na otimização topológica
de estruturas contínuas, em geral, não se considera a possibilidade de diminuir o tamanho
da estrutura, que tem impacto direto no comportamento do projeto. Esse autor ainda
observa que a otimização topológica pode diminuir significativamente os custos de uma
estrutura quando comparando a otimização de geometria e de dimensões.
De acordo com Christensen & Klarbring (2009), o ideal seria a otimização de
geometria ser considerada uma subclasse da otimização topológica.
Outros autores, como Torres (2001) ainda trazem outras classes, como a
otimização de apoios e carregamentos, em que as condições de contorno ou distribuição
de carga na estrutura são as variáveis de projeto. As localizações do apoio da estrutura e
forças externas são exemplos dessa classe e podem apresentar valores discretos ou
contínuos.
De acordo com Nina (2006), as técnicas de otimização utilizadas no projeto de
estruturas podem ser classificadas em três grandes grupos:
1) Programação matemática: pode ser dividida em programação linear e não-
linear, de acordo com maneira de combinação das variáveis de projeto e
distinguem-se entre algoritmos de ordem zero, primeira e segunda ordem
dependendo do número de derivadas que a função exige. Métodos de ordem
29
zero são Busca Aleatória, Busca em Grelha e Método Simplex. Como
exemplos de primeira ordem têm-se: Método do Gradiente (Steepest Descent)
e o Método dos Gradientes Conjugados. O Método de Newton é um exemplo
de programação matemática de segunda ordem.
2) Método dos critérios de otimização: foi criado para ser aplicado indiretamente,
combinado com multiplicadores de Lagrange. De acordo com Nina (2006),
esse método vem sendo aplicado principalmente em problemas que envolvem
grandes estruturas, dividindo o problema em subproblemas de forma a garantir
a convergência dos resultados.
3) Algoritmos evolucionários (EAs): os EAs clássicos são os algoritmos
genéticos, estratégias de evolução, computação evolutiva, dentre outros. São
algoritmos inspirados na natureza e é o enfoque desse trabalho.
3.2 REVISÃO DE LITERATURA
A otimização aplicada a estruturas de concreto armado obteve um considerável
avanço nas últimas décadas. Com o levantamento dos trabalhos realizados nessa área
observa-se que o principal problema ao comparar a eficiência e aplicabilidade das
diferentes abordagens relaciona-se ao fato delas se basearem em diferentes códigos
normativos, que implica em diferentes regras para posicionamento e cálculo de armaduras
bem como restrições e outras premissas de cálculo, como diâmetros de barras e
espaçamentos.
De acordo com Sias & Alves (2014), a utilização da programação matemática
como técnica para resolução de problemas de otimização em estruturas é muitas vezes
impraticável, visto que ela envolve derivação para encontrar a solução ótima e a maioria
dos problemas estruturais são definidos por funções não-lineares.
No trabalho de Sias & Alves (2014), os autores ainda destacam que os GAs tem
sido bastante utilizados, pois eles se adaptam bem aos problemas estruturais, já que essa
técnica não possui restrições quanto ao tipo, à continuidade da função, se é derivável, etc.
Este trabalho ainda cita um estudo realizado por Medeiros e Kripka (2012) que comparou
o uso de métodos heurísticos, como colônia de formigas (Ant Colony Optimization –
ACO (Sucupira, 2004)), enxame de partículas (Particle Swarm Optimization – PSO
(Silva,2011)), resfriamento simulado (Simulated Annealing – AS (Ferreira,2008)) e GAs
(Oliveira, 2013), dentre outros, e concluíram que os mais consolidados são estes dois
30
últimos embora os pesquisadores alertem que a eficiência do método é dependente da
calibração dos parâmetros utilizados.
Argolo (2000) resolveu problemas de dimensionamento ótimo de seções
retangulares de concreto armado submetidas à flexo-compressão reta. Utilizando
parâmetros de penalização na implementação do algoritmo, este autor verificou que o GA
é mais eficaz e robusto ao ser comparado com outros métodos de otimização.
Cohn e Dinovitzer (1994), a partir do levantamento de cerca de 2.500 exemplos
estruturais apresentados em livros e artigos, chegaram às seguintes conclusões:
• 25% desta literatura refere-se a estudos sobre vigas, treliças planas e espaciais e
pórticos. Os demais exemplos da literatura referem-se a grelhas, chapas, placas,
arcos, cabos dentre outros;
• 88% dos casos considera o carregamento estático;
• 12% considera carregamentos dinâmicos (este número tem crescido nas últimas
décadas);
• Mais de 90% dos casos considera estruturas de aço.
Rath et al. (1999) utilizou como função objetivo o custo total da estrutural,
levando em consideração o material, fabricação, montagem e custo da forma proporcional
ao volume de concreto. Foi conseguida uma redução de material e custo de 40% e 56%,
respectivamente. Interfere diretamente, por exemplo, na economia de uma fábrica de pré-
moldados.
Progressos foram feitos na área de otimização de pórticos em concreto armado via
programação matemática. No trabalho de Hoit et al. (1991) foram projetados pórticos
planos usando o método do Lagrangeano Aumentado e técnica de programação não-
linear. Em Torres (2001) a otimização de pórticos planos é contínua e obedece às
normativas do ACI (American Concrete Institute).
Vianna (2003) pesquisou a otimização de pórticos planos, otimizando
separadamente vigas e pilares (considerando apenas a compressão excêntrica no domínio
5 e trabalhando somente à flexão normal em um eixo), recalculando os esforços e
novamente modelando a estrutura a partir da nova condição ótima. Este procedimento foi
realizado iterativamente até que a solução fosse julgada ótima. Foi utilizada a técnica
determinística de Lagrange.
No trabalho de Kwak & Kim (2008) foi sugerida uma técnica de otimização
discreta através do desenvolvimento de um algoritmo simplificado em que as seções de
31
concreto armado disponíveis em um banco de dados pré-estabelecido são pesquisadas
utilizando regressão a partir da relação delas com sua capacidade resistente.
A otimização discreta de estruturas de concreto armado tem sido conduzida
utilizando algoritmos evolucionários, dentre os quais o GA (Lee et al, 2003). Ele simula
a seleção natural que conduz a evolução biológica ao fim e são usados para solucionar
problemas restritos e irrestritos que não podem ser resolvidos por algoritmos de
programação matemática quando estes envolvem funções objetivo descontínuas, não-
diferenciáveis ou multimodais. Também apresentam habilidade de lidar com variáveis
contínuas e discretas e não requerem informação de gradientes. Podem ser citados os
trabalhos de Camp et al. (2003) e Lee et al. (2003) como exemplos de pesquisas
envolvendo o GA na otimização discreta.
3.3 DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO
3.3.1 Hipóteses de cálculo
A NBR 6118 (ABNT, 2014) define no item 17.2.2 as seguintes hipóteses para
análise dos esforços resistentes de uma seção de viga ou pilar no Estado Limite Último
(ELU)1:
a) A seção transversal do elemento permanece plana e normal ao eixo do
elemento estrutural após a deformação. Dessa hipótese resulta uma
distribuição linear das deformações normais ao longo da altura das seções
transversais;
b) Aderência perfeita entre concreto e aço (não escorregamento entre esses
materiais);
c) É desprezada a resistência à tração do concreto, sendo esta resistido apenas
pelas armaduras.
d) Para o concreto em compressão, é empregado o diagrama parábola-retângulo
mostrado na Figura 7, em que 𝜀𝑐 é a deformação e 𝜎𝑐 a tensão de compressão
no concreto e fcd é a resistência à compressão de cálculo do concreto, dada pela
razão entre o fck (resistência característica do concreto) e 𝛾𝑐 (coeficiente parcial
de segurança), mostrada na Eq.(5). As deformações 𝜀0 e 𝜀𝑢 são em geral
adotadas como 2‰ e 3.5‰, respectivamente.
1 ELU é o estado limite relacionado ao colapso, ou qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine
a paralisação do uso da estrutura.
32
ckcd
c
ff
(5)
Figura 7 – Diagrama parábola-retângulo para o concreto em compressão.
Fonte: Araujo (2009, p.02)
e) Para os aços para concreto armado, admite-se comportamento idêntico em
tração e compressão. É adotado o diagrama tensão-deformação mostrado na
Figura 8, em que 𝜀𝑠 é a deformação do aço, 𝜎𝑠 a tensão nas barras de aço, fyk
a tensão de escoamento característica e 𝛾𝑠 o coeficiente parcial de segurança.
A tensão de escoamento de cálculo, fyd, é dada pela Eq.(6). A deformação de
escoamento de cálculo, 𝜀𝑦𝑑, é dada pela razão entre fyd e o módulo de
elasticidade longitudinal do aço (𝐸𝑠).
yk
yd
s
ff
(6)
Figura 8 - Diagrama tensão-deformação dos aços.
Fonte: Araujo (2009, p.02)
33
3.3.2 Análise estrutural
A NBR 6118/2014 define, nos itens 14.2.1 e 14.2.2, a análise estrutural a partir de
seus objetivos e princípios da seguinte forma: “O objetivo da análise estrutural é
determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar
verificações dos estados-limites últimos e de serviço”. A análise estrutural permite
estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos,
em uma parte ou em toda a estrutura.
A análise estrutural deve ser feita a partir de um modelo estrutural adequado ao
objetivo da análise. Em um projeto pode ser necessário mais de um modelo para realizar
as verificações previstas nesta Norma. O modelo deve representar a geometria dos
elementos estruturais, os carregamentos atuantes, as condições de contorno, as
características e respostas dos materiais, sempre em função do objetivo específico da
análise. A resposta dos materiais pode ser representada por um dos tipos de análise
estrutural apresentados nos itens 14.5.1 a 14.5.5 da referida norma (NBR 6118/2014). Os
tipos de análise estrutural que a norma aborda são:
a) Análise Linear: admite-se comportamento elástico-linear para os materiais. Na
análise global, as características podem ser determinadas pela seção bruta de
concreto e na eventualidade da fissuração, deve ser considerada para análise
local de deslocamentos. Geralmente são empregados para verificação de
Estados Limites de Serviço (ELS)2 e podem servir de base para o
dimensionamento de elementos estruturais no ELU desde que se garanta uma
ductilidade mínima às peças.
b) Análise Linear com Redistribuição: “os efeitos das ações, determinadas em
uma análise linear, são redistribuídos na estrutura, para as combinações de
carregamento do ELU.” Não se recomenda utilizar esse tipo de análise nas
verificações de serviço e, quando utilizadas para verificar ELU, as condições
de equilíbrio e ductilidade devem ser obrigatoriamente satisfeitas e esforços
internos devem ser recalculados.
c) Análise Plástica (item 14.5.4): A análise estrutural é denominada plástica
quando as não linearidades puderem ser consideradas, admitindo-se materiais
de comportamento rígido-plástico perfeito ou elastoplástico perfeito. Este tipo
2 Item 10.4 NBR 6118 (2014): Estados-limites de serviço são aqueles relacionados ao conforto do usuário
e à durabilidade, aparência e boa utilização das estruturas, seja em relação aos usuários, seja em relação às
máquinas e aos equipamentos suportados pelas estruturas.
34
de análise deve ser usado apenas para verificações de ELU. A análise plástica
de estruturas reticuladas não pode ser adotada quando: a) se consideram os
efeitos de segunda ordem global; b) não houver suficiente ductilidade para que
as configurações adotadas sejam atingidas.
d) Análise não-linear: admite-se comportamento não-linear para os materiais e
pode ser usada tanto para verificações no ELU como no ELS. Neste caso, toda
a geometria da estrutura bem como suas armaduras precisam ser conhecidas
para que esse tipo de análise possa ser conduzido visto que a resposta da
estrutura depende de como ela foi armada. Devem ser satisfeitas as condições
de equilíbrio, compatibilidade e ductilidade.
e) Análise através de modelos físicos: o comportamento estrutural é
determinado a partir de ensaios realizados com modelos físicos de concreto.
Esse tipo de análise é recomendado quando os modelos de cálculo são
insuficientes.
3.3.3 Estabilidade de uma estrutura
A estabilidade de pórticos está ligada a diversos fatores, como rigidez das
ligações, deformações por cortante, efeitos de 2ª ordem e imperfeições geométricas e dos
materiais empregados (Schuwartz et al, 2016).
A obtenção dos esforços e deslocamentos pode ser realizada por análise de
primeira ordem, na qual é pressuposto o equilíbrio da estrutura na sua posição inicial
indeformada, ou análise de segunda ordem, na qual o equilíbrio da estrutura se dá a partir
de sua posição deformada, o que gera esforços adicionais denominados efeitos de 2ª
ordem.
Estes efeitos podem ser classificados em:
A. Globais: surgem em decorrência dos deslocamentos dos nós da estrutura quando
esta é submetida à ação de cargas horizontais e verticais;
B. Locais: os eixos das barras da estrutura não se mantêm retilíneos, surgindo os
efeitos locais que afetam os esforços solicitantes ao longo das barras da estrutura.
A consideração dos efeitos de 2ª ordem conduzem a não-linearidade entre as ações
e deformações (não-linearidade geométrica) e a consideração da fissuração e fluência do
concreto conduzem a não-linearidade física. A análise estrutural com efeitos de 2ª ordem
deve assegurar que, para as combinações mais desfavoráveis das ações de cálculo, não
35
ocorra perda de estabilidade nem esgotamento da capacidade resistente de cálculo (NBR
6118 (2014)).
Nos pilares-parede ainda existem os efeitos de 2ª ordem localizados, que possuem
maior magnitude e aumentam os esforços de flexão longitudinal e transversal em
determinadas regiões da estrutura. Na Figura 9 são representadas as possibilidades de
instabilidade devido aos efeitos globais e locais de 2ª ordem.
Figura 9 - Representação dos efeitos em estruturas de edifícios altos: 1) perspectiva; 2) estrutura
indeformada; 3) edificação sujeita a instabilidade global; 4) instabilidade local de pilares centrais
inferiores.
Fonte: Carvalho & Filho (2002, p.02)
Para conduzir a análise de estabilidade global de um pórtico primeiramente é
necessário classificá-lo como estrutura de nós fixos ou como de nós móveis. As estruturas
de deslocamentos horizontais pequenos (efeito global de 2ª ordem menor do que 10% dos
esforços de 1ª ordem) são classificadas como de nós fixos (contraventado) e, portanto, os
efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis.
As estruturas em que os deslocamentos horizontais são grandes (efeito global de
2ª ordem maior do que 10% dos esforços de 1ª ordem) são classificadas como de nós
móveis (não-contraventadas). A análise desse tipo de estrutura implica em considerar,
obrigatoriamente, os efeitos locais e globais de 2ª ordem.
3.3.4 Procedimento empregado para análise estrutural
Neste trabalho foi utilizado o Método dos Elementos Finitos (MEF) para a análise
estrutural. Essa técnica numérica tem sido muito empregada por projetistas e
pesquisadores nos campos da Engenharia por ser versátil e poder ser aplicada a problemas
que envolvem diferentes tipos de seções transversais, carregamentos, condições de apoio,
36
materiais etc. (Liang, 2005). Para aplicação do MEF foi feita a implementação no
ambiente do MATLAB (rotina principal mef_pf.m) e aferição dos resultados por meio da
comparação com os deslocamentos e esforços obtidos para o pórtico modelado no SAP
2000 (um exemplo de comparação dos resultados é apresentado no Capítulo 5). Vale
ressaltar que todas as análises foram conduzidas considerando estrutura de pórtico não
contraventado. No MEF o pórtico é definido como uma série de elementos lineares
rigidamente conectados, em que as vigas e pilares são representados pelos seus eixos
baricêntricos. Cada elemento, representado na Figura 10, possui 2 nós, cada nó com 3
graus de liberdade (duas translações dx, dy e uma rotação ϕz).
Figura 10 – Forças atuantes no elemento de viga com 3 graus de liberdade por nó.
Fonte: Logan (2007, p.216)
O vetor de deslocamentos d é obtido pela resolução do sistema de equação dado
pela Eq. (7), em que K é a matriz de rigidez do elemento em coordenadas globais dada
na Eq. (8). A matriz de rigidez do elemento em coordenadas locais é representada por k̂
e T a matriz de rotação dos eixos (vide Logan (2007)).
F K d (7)
ˆTK T kT (8)
Na rotina mef_pf.m para análise de segunda ordem foi implementado o
procedimento iterativo em que a matriz de rigidez e os esforços tem seus valores
corrigidos até que seja atingida a convergência. Esta matriz de rigidez local das barras de
rigidez EI submetidas a flexo-compressão considera as funções de estabilidade C e S
dadas na Eq. (9) e Eq. (10) (Schuwartz et al, 2016).
37
2 34 2 44
15 25000
L EI PL P LC
EI L EI
(9)
2 32 26
30 25000
L EI PL P LS
EI L EI
(10)
em que L é o comprimento do elemento, P é a força axial na barra (sinal positivo
para compressão e negativo para tração). A matriz de rigidez para consideração da análise
não-linear ˆnlk é dada na Eq. (11) e considera efeitos axiais, cortante e flexão (quando
P=0, C=2 e S = 2 esta corresponde à matriz para análise de 1º ordem).
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
0 0 0 0
2 20 ( ) ( ) 0 ( ) ( )
0 ( ) 0 ( )ˆ
0 0 0 0
2 20 ( ) ( ) 0 ( ) ( )
0 ( ) 0 ( )
nl
EA EA
L L
EI P EI EI P EIC S C S C S C S
L LL L L L
EI EI EI EIC S C C S S
L LL Lk
EA EA
L L
EI P EI EI P EIC S C S C S C S
L LL L L L
EI EI EI EIC S S C S C
L LL L
(11)
Na Figura 11 é ilustrado o fluxograma com as etapas principais implementadas
para análise de pórticos planos via MEF com análise de 2º ordem.
Para a comparação dos resultados da análise não-linear implementada no
MATLAB, o SAP 2000 foi configurado para calcular os efeitos de segunda ordem por
meio do processo P-Delta disponível nesse programa (Computers and Structures, 2009).
38
Figura 11- Fluxograma do MEF com análise não-linear (implementado neste trabalho).
Fonte: Elaborado pelo autor.
O processo P-Delta, também denominado Método da Carga Lateral Fictícia,
consiste em um processo aproximado de análise não-linear geométrica feito através de
cálculo iterativo em que o efeito dos deslocamentos sucessivos são transformados em
forças horizontais equivalentes (Moncayo, 2011).
A aplicação do carregamento vertical origina os esforços horizontais fictícios
(cortante fictício V’ e carga lateral fictícia H’) mostrados na Figura 12. Esses esforços
podem ser obtidos pelas seguintes expressões dadas na Eq.(12) e Eq.(13), em que i
representa o pavimento, Pi a carga aplicada, hi altura entre os pavimentos e Δi os
deslocamentos. O deslocamento entre os pavimentos (Figura 13) dão origem a momentos.
39
Para obtenção do momento final de segunda ordem global, são realizadas algumas
iterações até que a posição de equilíbrio seja atingida (Moncayo, 2011).
1' ( )i
i i
i
PV
h
(12)
1' ' 'i iH V V (13)
Figura 12 - Esquema de forças verticais (a) e horizontais fictícias (b).
(a) (b)
Fonte: Moncayo (2001, p.54)
Figura 13 - Deslocamentos horizontais entre os pavimentos.
(a) (b) (c)
Fonte: Moncayo (2001, p.53)
3.3.5 Critério de ruptura das seções de concreto armado
A ruína de uma seção transversal pode ocorrer por ruptura do concreto ou por
deformação excessiva da armadura. Na Figura 14 são mostrados os estados (domínios de
40
dimensionamento) em que a condição da deformada plana do elemento pode ser
enquadrada. O enquadramento da distribuição das deformações ao longo da altura da
seção transversal em um dos domínios reflete o modo de ocorrência da ruína, que
caracteriza o ELU.
Nos domínios 1 e 2 há deformação excessiva da armadura, se distinguindo pelo
fato de no domínio 1 não haver tensões de compressão. No domínio 2 não há ruptura por
compressão do concreto e há o máximo alongamento permitido para as armaduras,
portanto caracteriza-se uma ruptura dúctil (com aviso prévio) em função da intensa
fissuração que precede a ruptura. As peças subarmadas (com taxa de armadura muito
pequena) rompem no domínio 2.
Nos domínios 3, 4 e 4a ocorre esmagamento do concreto em seções parcialmente
comprimidas. Tanto o domínio 3 como 4 são em flexão simples ou compostas com ruptura
à compressão do concreto, com e sem o escoamento do aço, respectivamente. No domínio
4a ocorre compressão das armaduras em flexão composta. As peças normalmente
armadas rompem no domínio 3 e o tipo de ruptura é semelhante ao 2, ou seja, dúctil. As
peças superarmadas (taxa de aço alta) tem ruptura frágil e brusca, no domínio 4. O
domínio 5 caracteriza compressão não-uniforme (flexo-compressão), sem tensões de
tração. Na Tabela 1 são mostrados os possíveis domínios para enquadramento das
estruturas em função das condições de solicitação da seção transversal.
Tabela 1 - Resumo dos domínios em função das condições de solicitação da seção transversal.
Condições de solicitação Possíveis domínios
Flexão Simples 2,3,4
Flexo-Tração 1,2,3,4
Flexo-Compressão 2,3,4,5 Fonte: Elaborado pelo autor.
Tradicionalmente, o dimensionamento à flexão simples era realizado
considerando todo o domínio 3 (Araujo, 2010). Entretanto, devido ao uso de concretos
cada vez mais resistentes, é necessário impor restrições mais severas para a profundidade
da linha neutra para obtenção de uma ruptura dúctil e com aviso prévio, portanto, o ideal
é que o dimensionamento seja considerado entre os domínios 2 e 3.
41
Figura 14 - Domínios de dimensionamento.
Fonte: Torres (2001, p.43)
3.3.6 Considerações sobre o cálculo de pilares
De acordo com Torres (2001), no projeto ótimo de pilares a armadura é controlada
pela resistência da coluna ou pela taxa de armadura mínima.
Projetados para suportar cargas axiais e momentos fletores gerados a partir de
solicitações normais, nessas estruturas existem efeitos de 1º ordem devido ao ponto
teórico de aplicação da força normal não estar localizado no centro de gravidade da seção
transversal (Bastos, 2015). Reiterando o introduzido na seção 3.3.3, podem existir
também os efeitos de 2ª ordem decorrentes dos deslocamentos horizontais da estrutura
quando submetida à ação de cargas horizontais e verticais. Nessa situação os eixos do
pilar não mais se mantêm retilíneos, surgindo efeitos locais de 2ª ordem que, a princípio,
afetam os esforços solicitantes ao longo do elemento.
Quando a estrutura tem nós que se deslocam mais do que o aceitável para permitir
uma análise apenas de efeitos locais, é necessário considerar os efeitos de 2ª ordem
globais (vide considerações feitas sobre estabilidade de estruturas na seção 3.3.3).
Quanto à esbeltez (l), dada na Eq.(14), os pilares podem ser classificados em
algumas categorias segundo Araujo (2010):
a) Curtos: nesses casos podem ser desprezados os efeitos de 2º ordem;
b) Moderadamente esbeltos: os efeitos de 2ª ordem têm que ser considerados, mas
permite-se o emprego de processo simplificado;
c) Esbeltos: os efeitos de 2ª ordem têm que ser considerados, levando em conta as
não-linearidades física e geométrica de forma rigorosa.
42
el
i
(14)
sendo
Ii
A
(15)
em que:
le = comprimento de flambagem do pilar e é em função do comprimento real (L) do
mesmo e das vinculações na base e no topo;
i = raio de giração da seção geométrica da peça (sem consideração de armadura na seção);
I = momento de inércia;
A = área de seção.
O limite que define cada categoria acima apresentada depende do índice de
esbeltez, da excentricidade relativa de primeira ordem e da forma do diagrama de
momentos de primeira ordem (Araujo, 2010).
Os pilares ainda podem ser classificados, de acordo com a posição na estrutura,
como:
a) Intermediários: correspondem aos apoios intermediários das vigas. Considerando
apenas o carregamento vertical atuante nelas, os momentos transmitidos a esses
pilares são pequenos e, em geral, podem ser desprezados. Quando as vigas
adjacentes possuem carregamento ou vão muito diferentes (não simetria), pode
ser necessário considerar os momentos transmitidos pelas vigas. Dessa forma, um
pilar intermediário contraventado (Araujo, 2010), em geral e excluindo erros de
execução ou excentricidade na posição das vigas em relação ao seu eixo, está em
uma situação de compressão centrada (também conhecida como compressão
simples ou uniforme).
b) De extremidade: nesse caso os momentos transmitidos devem ser considerados e
a situação de projeto é de flexo-compressão normal (ou seja, a força normal e o
momento fletor atuam em uma direção). Este é o tipo estudado neste trabalho e é
ilustrado na Figura 15.
c) De canto: a situação de projeto é flexo-compressão oblíqua (ou seja, força
normal e momentos fletores que atuam nas duas direções principais do pilar), já
que devem ser considerados os momentos de ambas as vigas que nele terminam.
43
No caso de pórticos planos, ocorrem apenas os dois primeiros casos descritos, de
pilares intermediários e de extremidade.
Figura 15 - Posição da solicitação normal nos eixos de simetria.
Fonte: Nina (2006, p.29)
O dimensionamento de pilares pode ser feito a partir do diagrama de interação,
que é um conjunto de curvas representadas no sistema de eixos do esforço normal e fletor
reduzidos ( , respectivamente). Cada curva corresponde a uma dada taxa mecânica
de armadura , e representa o lugar geométrico dos pares de esforço normal e fletor
reduzidos que levam a seção ao estado limite último. A geometria da seção, bem como a
disposição e quantidade de armaduras são pré-estabelecidas.
Para uma seção genérica de concreto armado submetida a um momento fletor Md
e esforço normal Nd, a obtenção do diagrama de interação é feita através da definição
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