Professor Jairo Weber -...

GEOMETRIA ANALÍTICA

Professor Jairo Weber

EXEMPLO.

1. Para que valor(es) de a o ponto P(a+2; -2) está

situado sobre o eixo das ordenadas?

2. Seja o ponto T(2s+4; 10) um ponto da primeira

bissetriz. Qual o valor numérico de s?

PONTO E RETA

Plano Cartesiano.

EXERCÍCIOS

PONTO E RETA

Dados dois pontos

quaisquer, A e B, de

coordenadas (xA, yA) e (xB,

yB), respectivamente, a

distância entre os pontos

A e B pode ser obtida

pela aplicação do teorema

de Pitágoras.

EXERCÍCIOS

ENEM - 2013 Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em

termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador.Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital.Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia.Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisãopretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenasA, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das cidades estãorepresentadas no plano cartesiano:

a) (65 ; 35)

b) (53 ; 30)

c) (45 ; 35)

d) (50 ; 20)

e) (50 ; 30)

A torre deve estar situada em um ponto

equidistante das três antenas. O local

adequado para a construção dessa torre

corresponde ao ponto de coordenadas.

ENEM 2011

Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana,com ruas paralelas e perpendiculares, delimitandoquadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadascartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundoquadrante, e as distâncias nos eixos são dadas emquilômetros.

A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento dopercurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará obairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5),localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou aocomitê de planejamento que fosse prevista uma estação dometrô de modo que sua distância ao hospital, medida emlinha reta, não fosse maior que 5 km.

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentoucorretamente que isso seria automaticamente satisfeito,pois já estava prevista a construção de uma estação noponto

a) (–5, 0).

b) (–3, 1).

c) (–2, 1).

d) (0, 4).

e) (2, 6).

PONTO E RETA

Ponto médio.

Exemplo: Dados os pontos A(2;1) e

B(2;-6), determine as coordenadas

do ponto médio do segmento AB.

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

PONTO E RETA

Baricentro (G) de um triângulo ABC

Exemplo: Determine as

coordenas do baricentro

do triângulo, cujos

vértices são (2;3), (0;5) e (-

1;8)

ENEM

Num triângulo, o baricentro é o ponto de encontro dasmedianas. Uma mediana une um vértice ao meio dolado oposto. A palavra baricentro vem do gregobarys, que significa pesado ou grave. Podemosentender o baricentro como o “centro de gravidade”de uma superfície triangular. Quando soltamos umobjeto no ar, ele cai no chão, como se estivesse sendoatraído para baixo, por conta da força da gravidade.Na figura seguinte, observe que, quando se apóiauma superfície triangular pelo seu baricentro, elatende a ficar parada, ou seja, em equilíbrio.

Esse triângulo de cartolina ficaria em equilíbrio se o apoiássemos, preferencialmente, no ponto:

A) RB) SC) TD) UE) V

PONTO E RETA

Área de um triângulo a partir dos

Vértices:

Exemplo: Determine a área do

triângulo, cujos vértices são A(1;2),

B(2;-6) e C(0;0).

EXERCÍCIO

1. Calcule a área do quadrilátero de vértices

A(4,0), B(6,2), C(2,4) e D(0,2). (Dante, 2008)

PONTO RETA

Condição de alinhamento de três pontos.

Exemplo: Dados os pontos H(2.3),

T(1,0) e R(0,-2).Verifique se os

pontos são colineares.

PONTO E RETA

Verifique se os pontos A(2;3), B(3;4) e C(-5;-4) são colineares.

Exercício.

(UEA-05) Qual é o valor de p para o qual os pontos (3p, 2p), (4, 1) e (2, 3) são colineares?

(A) -1(B) 0(C) 1(D) 2(E) 3

(Puc-rio) O valor de x para que os pontos (1,3), (- 2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é:

a) 8. b) 9. c) 11. d) 10. e) 5.

EXERCÍCIOS DO LIVRO

Página 17 do 1 ao 5.

PONTO E RETA

Equação geral da reta (ax+by+c=0) pela

condição de alinhamento entre três pontos.

Exemplo. Determine a equação geral da reta que

passa pelos pontos A(1,4) e B(2,6).

EXERCÍCIO.

1. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A (-1,-2) e B (5,2).

2. Escreva as equações gerais das retas determinadas por:

a) A(2,3) B(0,1).

b) M(-3,-1) N(2,-5).

3. (Cesgranrio) A equação da reta mostrada na figura a seguir é:

a) 3x + 4y - 12 = 0

b) 3x - 4y + 12 = 0

c) 4x + 3y + 12 = 0

d) 4x - 3y - 12 = 0

e) 4x - 3y + 12 = 0

4. Determine a equação geral da reta representada

no plano cartesiano abaixo.

(Uerj) Sabedoria egípcia Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que asombra no chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (umtipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre aomeio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava detamanho. Depois de chegar a um comprimento máximo, ela recuava até pertoda vareta. As sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as mais curtas,com dias quentes. (Adaptado de Revista "Galileu", janeiro de 2001.)

Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, utilizando umavareta OA de 2 metros de comprimento. No início do inverno, mediu ocomprimento da sombra OB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representarsua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo dasordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, ossegmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinavano chão. Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta quecontém o segmento AB:

a) y = 8 - 4x b) x = 6 - 3y c) x = 8 - 4y d) y = 6 - 3x

(Ufrn) Na figura a seguir, tem-se o gráfico de uma reta

que representa a quantidade, medida em mL, de um

medicamento que uma pessoa deve tomar em função

de seu peso, dado em kgf, para tratamento de

determinada infecção. O medicamento deverá ser

aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa

85kgf receberá em cada dose:

a) 7 mL b) 9 mL c) 8 mL d) 10 mL

EXERCÍCIOS DO LIVRO.

Página 19: 1, 2 e 3.

ESTUDO DA RETA.

Coeficiente angular da reta e equação fundamental da reta.

Exemplo. Determine o coeficiente angular da reta que passapor A(2,-3) e B(-4,3).

Exemplo. A partir do coeficiente calculado do exemploanterior determine o ângulo de inclinação da reta emrelação ao eixo das abscissas.

)(

)(

00

12

12

xxmyy

xx

yymtg

EXERCÍCIOS

1. Determine a equação geral

da reta que passa no eixo

das abscissas em 4 e

determina com o mesmo

eixo um ângulo de 60º.

R:

2. Qual é a equação geral

dessa reta (use tg 135°= -

1)?Resposta: x+y-4=0

3. Qual a equação geral que

forma com o eixo das

abscissas um ângulo de 60º

e passa pelo P(5,2)?

Resposta:

4. (UFES) A equação da reta

que passa por P(3, -2) com

inclinação de 60º, é:

0343 yx03523 yx

5. (UEMG) Na figura, tem-se representada, em um

sistema de coordenadas cartesianas, a trajetória

de um móvel que parte de uma cidade A e vai

para a cidade D, passando por B e C. Sendo os 4

pontos pertencentes a reta de equação 5x – 3y –

15 = 0 e B e C pontos de interseções,

respectivamente, com os eixos y e x. Determine as

coordenadas de B e C e a distâncias entre essas

duas cidades B e C

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA.Exemplo. Determine a

equação reduzida da

reta 2x-2y-10=0 e

determine:

a) o ângulo de

inclinação em relação

ao eixo das abscissas.

b) o ponto de interseção

com o eixo das

ordenas.

c) o ponto de interseção

com o eixo das

abscissas.

EXERCÍCIOS

1) (G1 – CFTSC 2008) Se o ponto P(2,k) pertence à reta de equação 2x +

3y – 1 = 0, então o valor de k é:

a) 1.

b) 0.

c) 2.

d) -1.

e) -2.

PONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE RETAS.

As retas r: e s: são

concorrentes sobre um mesmo plano. Isto

significa que existe entre elas um ponto em

comum, chamado ponto de interseção. O ponto de

interseção entre as retas r e s é:

a) (-2,-3)

b) (2,3)

c) (-3,-2)

d) (-2,-5)

e) (-2,5)

072 yx 05 yx