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Repaso Algebra lineal
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cual serıa el vector vector nulo o vector cero?
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cual serıa el vector vector nulo o vector cero?
0 =
00...0
.
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.EJEM: Los vectores
e1 =
10...0
, e2 =
01...0
, · · · , en =
00...1
son vectores de Rn. A estos vectores los llamamos vectores
canonicos de Rn
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cuando dos vectores x, y son iguales?
x = y ⇔
x1x2...xn
=
y1y2...yn
⇔ xi = yi
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar
como puntos;
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar
como puntos;
En las aplicaciones fısicas, es importante que pensemos en un vector,no como un punto, sino como algo que tiene magnitud, direccion ysentido. Estos vectores los llamaremos vectores libres.
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
SUMA: Dados u =
u1u2...un
y v =
v1v2...vn
, definimos
u+ v =
u1 + v1u2 + v2
...un + vn
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
PRODUCTO POR ESCALAR: Dados u =
u1u2...un
y λ ∈ R , definimos
λu =
λu1λu2...
λun
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
RESTA: Definimos u− v
u− v = u+ (−v)
PR = OR − OP .
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
Teorema
Sean u, v y w vectores de Rn y sean α, β dos numeros reales. Entonces
1 u+ v ∈ Rn. Ley clau. para +
2 (u+ v) +w = u+ (v+w). Ley asoc. para +
3 u+ v = v+ u. Ley conm. para +
4 Existe un unico vector z ∈ Rn tal que u+ z = z+ u = u (z = 0).
Ley mod. para la suma
5 Para cada u, existe un unico vector 0 ∈ Rn tal que
u+ 0 = 0+ u = 0, (0 = −u). Existencia del opuesto para suma.
6 αu ∈ Rn. Ley clau para el producto por escalar
7 α(u+ v) = αu+ αv. Ley dist del producto por escalar resp +
8 (α+ β)u = αu+ βu. Ley dist del producto por escalar respecto a +de escalares.
9 (αβ)u = α(βu) = β(αu). Ley asoc respecto al producto por
escalares
10 αu = 0, si y solo si, α = 0 o u = 0.
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Combinacion Lineal)
Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk
lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A los
escalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacion
lineal.
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Combinacion Lineal)
Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk
lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A los
escalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacion
lineal.
EJEM: Sean u =
(
−12
)
y v =
(
25
)
y w =
(
3−2
)
. Calculemos la
combinacion lineal de ellos dada por 3u− v+ 2w.
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Combinacion Lineal)
Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk
lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A los
escalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacion
lineal.
EJER: ¿los vectores
−140
y
20−1
son combinaciones lineales de
10−2
y
−52−3
?.
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk}
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo
llamamos conjunto generador de V .
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo
llamamos conjunto generador de V .
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo
llamamos conjunto generador de V .
OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo
llamamos conjunto generador de V .
OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.
EJEM: Si V = Gen{u, v}, entonces 2u+√5v, 0, u, 3v, u− v son
vectores de V .
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo
llamamos conjunto generador de V .
OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.
EJEM: Si V = Gen{u, v}, entonces 2u+√5v, 0, u, 3v, u− v son
vectores de V .
EJER: ¿El vector
302
pertenece a Gen
101
,
00−1
?.
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo
llamamos conjunto generador de V .
OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.
EJER: Demuestre que Gen{e1, e2, . . . , en} = Rn.
EJER: Determine Gen{e1, e3} si ei ∈ R3.
EJER: Determine Gen{v} si v es cualquier vector no nulo.
EJER: Halle Gen{(
12
)
,
(
24
)
}
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo
llamamos conjunto generador de V .
OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.
EJER: Determine un conjunto generador de
V =
3r − s
r + 5sr
, r , s ∈ R
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente si
los unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente si
los unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
EJER: Demostremos que
13−2
,
−1−54
,
1−20
, es un conj l.i.
EJER: Demostremos que
13−2
,
−123
,
21−5
, es un conj l.d.
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente si
los unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
EJER: Demuestre que todo conjunto de Rn que contenga al vector 0 es
un conjunto l.d.
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente si
los unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
EJER: Demuestre que todo conjunto de Rn que contenga al vector 0 es
un conjunto l.d.OBS: Si hay mas vectores que componentes, los vectores son l.d.
EJEM: Gen
{(
02
)
,
(
12
)
,
(
21
)}
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...
un
y v =
v1...
vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...
un
y v =
v1...
vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
EJER: Dados
21−5
,
130
,
−2−1−1
, Calcule u · v, u ·w, v · w,
(3u) · v, (u+ v) · w y v · u.
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...
un
y v =
v1...
vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
EJER: Suponga que un fabricante produce cuatro artıculos. La demanda
para los artıculos esta dada por d =
30204010
. Los precios unitarios para los
artıculos estan dados por el vector p =
20151840
. Si satisface su demanda.
¿Cuanto dinero recibira el fabricante?
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...
un
y v =
v1...
vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
Teorema
Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces
1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v+w) = u · v+ u ·w. Ley dist
3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...
un
y v =
v1...
vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
Teorema
Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces
1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v+w) = u · v+ u ·w. Ley dist
3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.
Note que no tiene sentido la prop. asociativa para ·
Algebra lineal
Repaso Algebra Lineal
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...
un
y v =
v1...
vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
EJER: Encuentre α y β de forma que los vectores sean ortogonales
1−α
23
y
45
−2β7
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21+ · · ·+ u2
n=
√u · u
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21+ · · ·+ u2
n=
√u · u
EJER: Dados u =
21−5
, y los puntos P =
523
, Q =
1−13
, Calcule
‖u‖ y ‖PQ‖,
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21+ · · ·+ u2
n=
√u · u
Teorema (Propiedades)
Dados los vectores u, v ∈ Rn, y λ ∈ R tenemos que
(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)(d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv para
algun λ ∈ R. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
(e) ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖. La igualdad se cumple, si y solo si, u = λv
con λ ≥ 0. Desigualdad triangular.
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21+ · · ·+ u2
n=
√u · u
OBS:1) La distancia euclidiana entre dos vectores u y v es d(u, v) = ‖u− v‖.2) Cuando ‖w‖ = 1, se dice que w es un vector unitario
Algebra lineal
Repaso Algebra lineal
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21+ · · ·+ u2
n=
√u · u
OBS:1) La distancia euclidiana entre dos vectores u y v es d(u, v) = ‖u− v‖.2) Cuando ‖w‖ = 1, se dice que w es un vector unitario
EJER:
1) Halle la distancia entre
−1230
y
−2020
.
2) Halle el vector unitario en la direccion v =
1−21
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con
vertice(
− b
2a, c − b
2
4a
)
en el semiplano superior.
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con
vertice(
− b
2a, c − b
2
4a
)
en el semiplano superior. entonces
0 ≤ c − b2
4a
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con
vertice(
− b
2a, c − b
2
4a
)
en el semiplano superior. entonces
0 ≤ c − b2
4a= ‖v‖2 − 4(u · v)2
4‖u‖2
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con
vertice(
− b
2a, c − b
2
4a
)
en el semiplano superior. entonces
0 ≤ c − b2
4a= ‖v‖2 − 4(u · v)2
4‖u‖2
Ademas, si u = λv entonces
|u · v| = |λv · v| = |λ||v · v| = |λ|‖v‖2 = |λ|‖v‖‖v‖= ‖λv‖‖v‖ = ‖u‖‖v‖
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
OBS: Dados dos vectores u y v no nulos, siempre podemos construir untriangulo como el de la siguiente figura
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos
‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ
Entonces cos θ =u · v
‖u‖‖v‖
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos
‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ
Entonces cos θ =u · v
‖u‖‖v‖
EJEM: Calcule el angulo de u =
1−1−11
y v =
1−1−1−1
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos
‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ
Entonces cos θ =u · v
‖u‖‖v‖DEF: Diremos que los vectores no nulos u y v son ortogonales⇔ u · v = 0.
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos
‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ
Entonces cos θ =u · v
‖u‖‖v‖DEF: Diremos que los vectores no nulos u y v son ortogonales⇔ u · v = 0.
EJER: u =
−1230
y v =
0−154
son ortogonales?
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Proyeccion ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v
sobre u como el vector
proyuv =( v · uu · u
)
u
Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Proyeccion ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v
sobre u como el vector
proyuv =( v · uu · u
)
u
Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Proyeccion ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v
sobre u como el vector
proyuv =( v · uu · u
)
u
Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
Algebra lineal
Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Proyeccion ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v
sobre u como el vector
proyuv =( v · uu · u
)
u
Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
EJEM: Halle la proyuv y la componente vectorial de v ortogonal a u
(Esto es vc), para cada uno de los siguientes casos:
(a) u =
1−1−1
y v =
1−11
(b) u = e1 y v =
2−103
proyvu =( v · u‖v‖2
)
v
Algebra lineal
Rectas, Planos e Hiperplanos
DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la
recta que contiene a P y tiene direccion d es
el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d.
Algebra lineal
Rectas, Planos e Hiperplanos
DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la
recta que contiene a P y tiene direccion d es
el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d. Al vector d lo llamamos vector director de la recta.
x− 0 = td ⇒ x = 0+ td
Algebra lineal
Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = 0+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Algebra lineal
Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = 0+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,
x1 − p1
d1=
x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
Algebra lineal
Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = 0+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,
x1 − p1
d1=
x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuacion vectorial L :
(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.
Algebra lineal
Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = 0+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,
x1 − p1
d1=
x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuacion vectorial L :
(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.
2 Determine si R =
(
3−1−2
)
y S =
(
4−10
)
pertenecen a la recta L.
Algebra lineal
Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = 0+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,
x1 − p1
d1=
x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuacion vectorial L :
(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.2 Halle un vector d que sea un vector director de la recta L y verifique
que el vector PQ, de (a), es paralelo a d.
Algebra lineal
EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
Algebra lineal
EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
Algebra lineal
EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.
1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =
3−21
y Q =
530
y
L2 es la recta con ecuacion vectorial
x
y
z
=
0−43
+ t
410−2
Algebra lineal
EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.
1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =
3−21
y tiene vector
direccion v =
23−1
y L2 es la recta que pasa por los puntos
Q =
0−21
y P =
231
Algebra lineal
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.
Algebra lineal
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
Algebra lineal
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
Algebra lineal
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1
Algebra lineal
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =
321
y Q =
130
y L2
es la recta con ecuacion vectorial
x
y
z
=
5−41
+ t
22−2
Algebra lineal
Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =
0−20
y tiene vector
direccion v =
13−1
y L2 es la recta que pasa por los puntos
Q =
1−21
y R =
23−1
Algebra lineal
PLANOS
DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c,d ∈ R
n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d, es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.
Algebra lineal
PLANOS
DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c,d ∈ R
n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d, es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.
Observe que PX = tc+ sd con t, s ∈ R. Ahora si x = OX y 0 = OP ,entonces para t, s ∈ R
x− 0 = tc+ sd x = 0+ tc+ sd
Esta es la ecuacion vectorial del plano.Algebra lineal
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
Algebra lineal
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = 0+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
Algebra lineal
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = 0+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − s
x2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.
Algebra lineal
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = 0+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − s
x2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P
Algebra lineal
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = 0+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − s
x2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?
Algebra lineal
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = 0+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − s
x2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?
4 ¿Los puntos M =
221−2
N =
64−9−2
se encuentran en el plano P?.
Algebra lineal
Ecuaciones del plano
EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los
puntos P =
(
−253
)
, Q =
(
0−21
)
y R =
(
20−3
)
Algebra lineal
Ecuaciones del plano
EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los
puntos P =
(
−253
)
, Q =
(
0−21
)
y R =
(
20−3
)
El plano que contiene los puntos P , Q y R tiene como vectores directoresa d1 = PQ y d2 = PR .
Algebra lineal
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.
Algebra lineal
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.
Teorema (Planos iguales)
Dos planos son iguales, si y solo si, los dos planos son paralelos y tienen
al menos un punto comun
Algebra lineal
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Algebra lineal
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Algebra lineal
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusion de una recta en un plano)
Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si,
L||P y P ∩ L 6= ∅.
Algebra lineal
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusion de una recta en un plano)
Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si,
L||P y P ∩ L 6= ∅.
EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:
x
y
z
=
0−21
+ t
0−21
+ s
20−3
Algebra lineal
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusion de una recta en un plano)
Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si,
L||P y P ∩ L 6= ∅.
EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:
x
y
z
=
0−21
+ t
0−21
+ s
20−3
PREG: Existe otra recta contenida en P? Cuantas rectas contenidas enP existen?
Algebra lineal
Rectas y planos ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al
plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.
Algebra lineal
Rectas y planos ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al
plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.
Algebra lineal
Ejercicios
1. Determine si la recta L:
x
y
z
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela a P:
x
y
z
=
0−21
+ r
0−21
+ s
20−3
.
Algebra lineal
Ejercicios
1. Determine si la recta L:
x
y
z
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela a P:
x
y
z
=
0−21
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: N000
Algebra lineal
Ejercicios
1. Determine si la recta L:
x
y
z
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela a P:
x
y
z
=
0−21
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: N000
2. Determine si la recta L que contiene los puntos P =
1−11
y
Q =
403
es ortogonal al plano P:
x
y
z
=
5−23
+ r
0−21
+ s
20−3
.
Algebra lineal
Ejercicios
1. Determine si la recta L:
x
y
z
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela a P:
x
y
z
=
0−21
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: N000
2. Determine si la recta L que contiene los puntos P =
1−11
y
Q =
403
es ortogonal al plano P:
x
y
z
=
5−23
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: Sıii
Algebra lineal
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n.
.
Algebra lineal
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
.
Algebra lineal
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.
Algebra lineal
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
Algebra lineal
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
PORQUE
(x − p) · n = 0 equivalentemente a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = d (2)
donde con d = a1p1 + a2p2 + · · ·+ anpn = n · p.
Algebra lineal
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
PORQUE
(x − p) · n = 0 equivalentemente a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = d (2)
donde con d = a1p1 + a2p2 + · · ·+ anpn = n · p.A esta ecuacion lallamamos ecuacion general del hiperplano que pasa por P y es ortogonala n.
Algebra lineal
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
Algebra lineal
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
-Hiperplanos en R son puntos-Hiperplanos en R
2 son de la forma ax + by + d = 0 (Rectas)-Hiperplanos en R
3 son de la forma ax + by + cz + d = 0 (Planos)
Algebra lineal
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
Algebra lineal
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
Algebra lineal
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
Algebra lineal
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
Algebra lineal
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
SOL: Una ecuacion del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.
Algebra lineal
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
SOL: Una ecuacion del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?Ejer. 82 Talle2parteC
Algebra lineal
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
Algebra lineal
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
Algebra lineal
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
.
Algebra lineal
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
. Como un
punto de H1 es el origen, su ecuacion es
(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.
Algebra lineal
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
. Como un
punto de H1 es el origen, su ecuacion es
(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.
PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?
Algebra lineal
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
Algebra lineal
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Algebra lineal
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Teorema (Propiedades)
Si u, v y w son vectores de R3 y λ es un escalar, entonces:
1) u× v = −v× u 2) u× (v+ w) = u× v+ u× w
3) (u+ v)× w = u× w+ v× w. 4) λ(u× v) = (λu)× v = u× (λv)5) u× 0 = 0× u = 0. 6) u× u = 0.7) u× (v× w) = (u · w)v− (u · v)w. 8) (u× v) · u = (u× v) · v = 0.9) u · (v× w) = w · (u× v)
Algebra lineal
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
DEM Prop. 8
u× v · u =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
·(
u1u2u3
)
Algebra lineal
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
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∣
DEM Prop. 8
u× v · u =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
·(
u1u2u3
)
= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3
= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3
= 0
De manera analoga u× v · v = 0
Algebra lineal
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:
(e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2)
Algebra lineal
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:
(e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2)
Note que e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1 y e3 × e1 = e2
Algebra lineal
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Algebra lineal
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 =
Algebra lineal
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v
Algebra lineal
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v
= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7
= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2
Algebra lineal
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v
= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7
= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)
= ‖u‖2‖v‖2sin2θ
Algebra lineal
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v
= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7
= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)
= ‖u‖2‖v‖2sin2θ
‖u× v‖ ≤ ‖u‖‖v‖
Algebra lineal
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Algebra lineal
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
DEM: ⇒ si u es paralelo a v, v = λu, entonces,
u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0
.
Algebra lineal
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
DEM: ⇐ Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0, pero‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ ahora, como u, v 6= 0 entonces sinθ = 0, por lotanto θ = 0 o θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.
Algebra lineal
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Corolario
El area del paralelogramo cuyos lados no paralelos estan dados por los
vectores u y v de R3 esta dada por la magnitud del producto vectorial de
ellos, es decir, ‖u× v‖.
Algebra lineal
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Corolario
El area del paralelogramo cuyos lados no paralelos estan dados por los
vectores u y v de R3 esta dada por la magnitud del producto vectorial de
ellos, es decir, ‖u× v‖.
DEM: Observe que h, la altura del paralelogramo, esta dada porh = ‖u‖ sin θ y el area del paralelogramo, es base por altura, tenemos
A = ‖v‖h = ‖v‖‖u‖ sin θ = ‖u × v‖
Algebra lineal
Corolario
El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas por
los vectores u, v y w de R3 esta dado por el valor absoluto del producto
mixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM:
Algebra lineal
Corolario
El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas por
los vectores u, v y w de R3 esta dado por el valor absoluto del producto
mixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
Algebra lineal
Corolario
El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas por
los vectores u, v y w de R3 esta dado por el valor absoluto del producto
mixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
Observemos que h, la altura del paralelepıpedo, es la norma del vector
proyv×wu =u · (v × w)
‖v × w‖2v × w
Vol=(area del paral)(altura)=‖v × w‖ h=‖v × w‖ |u · (v × w)|‖v × w‖ = |u·(v×w)|
Algebra lineal
Corolario
El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas por
los vectores u, v y w de R3 esta dado por el valor absoluto del producto
mixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
Corolario
Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares, si y solo si, u · (v×w) = 0
Algebra lineal
Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y
d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a
n = c × d, son iguales.
Algebra lineal
Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y
d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a
n = c × d, son iguales.
Algebra lineal
Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y
d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a
n = c × d, son iguales.
DEM: ⊆ Sea X ∈ P. Entonces existen α, β ∈ R tal que PX = αc + βd .Luego,
PX · n = (αc + βd) · (c × d) = αc · (c × d) + βd · (c × d) = 0
por lo tanto, PX⊥n, de donde, concluimos que X ∈ H.
Algebra lineal
Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y
d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a
n = c × d, son iguales.
DEM: ⊇ Sea X ∈ H. Entonces PX · (c × d) = 0 por el corolario anteriortenemos que PX , c y d son coplanares. Como c y d no son paralelos yson vectores distintos de cero entonces existen α, β ∈ R tal que
PX = αc + βd .
Luego, X ∈ P.
Algebra lineal
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)
Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.
P1||P2, si y solo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.
P1⊥P2, si y solo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.
Algebra lineal
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)
Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.
P1||P2, si y solo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.
P1⊥P2, si y solo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.
Algebra lineal
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)
Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.
P1||P2, si y solo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.
P1⊥P2, si y solo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.
EJEM: Determine si el plano P1 que contiene el punto P =
−253
y
tiene vectores directores c1 =
27−2
y d1 =
4−5−6
es paralelo o es
ortogonal al plano P2 definido por 3x − z = 4.
Algebra lineal
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector
normal n ∈ R3.
L||P, si y solo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.
L⊥P, si y solo si, d ||n; es decir, d = λn.
Algebra lineal
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector
normal n ∈ R3.
L||P, si y solo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.
L⊥P, si y solo si, d ||n; es decir, d = λn.
Algebra lineal
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector
normal n ∈ R3.
L||P, si y solo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.
L⊥P, si y solo si, d ||n; es decir, d = λn.
EJEM: Determine si la recta L :
x
y
z
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela u
ortogonal al plano P que contiene al punto M =
5−23
y tiene vectores
directores c1 =
0−21
y d1 =
20−3
.
Algebra lineal
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