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Universidade Federal do Espiacuterito Santo
Centro de Ciecircncias Exatas
Curso de Mestrado Profissional em Matemaacutetica
Alexandre Maia Ferreira
RESGATE DA INSERCcedilAtildeO DAS NOCcedilOtildeES ELEMENTARESDO CAacuteLCULO (EM PARTICULAR DAS NOCcedilOtildeES DE
LIMITE) DURANTE O ENSINO MEacuteDIO
Vitoacuteria
2014
Alexandre Maia Ferreira
RESGATE DA INSERCcedilAtildeO DAS NOCcedilOtildeES ELEMENTARESDO CAacuteLCULO (EM PARTICULAR DAS NOCcedilOtildeES DE
LIMITE) DURANTE O ENSINO MEacuteDIO
Dissertaccedilatildeo apresentada ao Curso de Mestrado Pro-
ssional em Matemaacutetica da UFES como requisito
parcial para a obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Mestre em
Matemaacutetica
Orientador Etereldes Gonccedilalves Juacutenior
Doutor em Matemaacutetica - IMPA-RJ
Vitoacuteria
2014
A minha esposa Taniara e aos meus pais Luiza
e Miguel
Aos colegas e amigos pelo incentivo pela ajuda
e pela paciecircncia
Resumo
Este trabalho eacute uma alternativa de retorno da abordagem de assuntos ligados
ao Caacutelculo Diferencial e Integral de forma intuitiva e construtiva durante o Ensino Meacutedio
O desenvolvimento desse material inicia com a realizaccedilatildeo de uma pesquisa histoacuterica sobre
a evoluccedilatildeo do estudo de limite derivada e integral em seguida eacute feito um levantamento
de dados entre professores e graduandos sobre os impactos (vantagensdesvantagens) que
o resgate do repasse de ideais correlatas do Caacutelculo proporcionaria Com o intuito de
justicar a restauraccedilatildeo proposta foi realizado um mapeamento dos conteuacutedos que neces-
sitam de enfoque de noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo nos principais livros didaacuteticos utilizados
tradicionalmente nas escolas capixabas puacuteblicas e particulares Foi questionada entre pro-
fessores a melhor seacuterie a visatildeo dos Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) o curriacuteculo
baacutesico a existecircncia de cursos de formaccedilatildeo e material didaacutetico especiacuteco para realizaccedilatildeo
de tal iniciativa assim como foi avaliada a situaccedilatildeo em que eacute possiacutevel inserir tais conceitos
sem causar danos e comprometimento ao ensinoaprendizagem dos alunos Apoacutes a anaacutelise
dos assuntos principais que requerem o uso de noccedilotildees de Caacutelculo de uma maneira geral
montou-se a proposta de sequencia didaacutetica com atividades estrateacutegias e metodologias
desenvolvidas e apresentadas de maneira construtiva e intuitiva
Palavras-chaves Caacutelculo Limite Derivada Integral GeoGebra
Abstract
This work is an alternative return of the issues related to Dierential and
Integral Calculus approach intuitive and constructive way during high school The deve-
lopment of this material starts with doing historical research on the evolution of the study
of limit derivative and integral then it is a survey of data between faculty and graduate
students about the impacts (advantagesdisadvantages) that the transfer of redemption
ideals related calculation would provide In order to justify the proposed restoration a
mapping of the contents that require focus on intuitive notions of calculus in the main
textbooks used traditionally in public and private schools capixabas was performed It
was questioned from the grade teachers the vision of the National Curriculum Parame-
ters (PCN) the core curriculum the availability of training courses and specic teaching
materials for conducting such an initiative as well as the situation in which you can enter
these concepts was evaluated harmlessly and commitment to teachinglearning of stu-
dents After analyzing the main issues that require the use of concepts of Calculus in
general was set up to draft sequence with didactic activities strategies and methodologies
developed and presented in a constructive and intuitive way
Keywords Calculus Limit Derivative Ingegral GeoGebra
Agradecimentos
A princiacutepio gostaria de agradecer a Deus por me proporcionar uma vida sau-
daacutevel (repleta de sabedoria inteligecircncia e amizade) uma famiacutelia majestosa amigos mag-
niacutecos e uma esposa formidaacutevel a qual amo muito
Em segundo plano e em caraacuteter especial gostaria de agradecer aos meus pais
(Luiza e Miguel) que satildeo a razatildeo do meu viver a minha avoacute (Salviana) que eacute uma
lutadora e uma educadora incansaacutevel a minha esposa (Taniara) que realizou mudanccedilas
signicativas na minha vida e aleacutem disso meus agradecimentos a todos os meus pro-
fessores da educaccedilatildeo baacutesica ateacute o ensino superior pelo aprendizado pela educaccedilatildeo pela
paciecircncia pelo incentivo e pela dedicaccedilatildeo fervorosa para que o sucesso ateacute aqui conquis-
tado fosse possiacutevel
Enm gostaria de agradecer ao meu orientador (Dr Etereldes) aos professo-
res do PROFMAT e a todos os amigos (alunos e colegas de prossatildeo) que colaboraram
de forma direta (Professores Rubens e Solano) eou indireta para a realizaccedilatildeo dessa
dissertaccedilatildeo
Serei eternamente grato a todos sem distinccedilatildeo e sempre estarei agrave disposiccedilatildeo
para retribuir os gestos de carinho de incentivo e de forccedila a mim repassados nos momentos
difiacuteceis conturbados e desanimadores
A pior ditadura natildeo eacute a que aprisiona
o homem pela forccedila mas sim pela fra-
queza fazendo-o refeacutem de suas proacuteprias
necessidades
Juacutelia Liacutecia
Sumaacuterio
Lista de Figuras 8
Lista de Tabelas 10
1 INTRODUCcedilAtildeO 11
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 15
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 22
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 29
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 32
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 42
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA 45
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
711 Diacutezimas Perioacutedicas 47
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales 50
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas 54
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo 55
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees 60
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de limite 71
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua 72
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri 80
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse 88
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva 90
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica 96
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea 98
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle 100
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada 101
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada 104
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada 106
8 CONCLUSAtildeO 110
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da
FAACZ (Anexo A) 112
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo
B) 115
Referecircncias Bibliograacutecas 119
Lista de Figuras
31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo 22
32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1+ 2460+ 51
602+ 10
603=
1414212 28
71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis 52
74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso) 53
75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos 54
76 Retacircngulo 6 x 5 56
77 Retacircngulo 100 x 80 57
78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita 60
79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5 63
710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50 65
711 Poliacutegono Retangular para n = 100 65
712 Processo recursivo de Quadrados 70
713 Processo recursivo de Triacircngulos Equilaacuteteros 70
714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito) 77
715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8 78
716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10 79
717 Anel Ciliacutendrico 81
718 Casca de Esfera 82
719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica 84
720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 85
721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7 86
722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 87
723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 87
724 Elipse inscrita numa circunferecircncia 89
725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante 91
726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer 91
727 Quadratura do ciacuterculo para n = 11 92
728 Quadratura do ciacuterculo para n = 100 92
729 Poliacutegono Retangular para n = 5 95
730 Poliacutegono Retangular para n = 10 95
731 Poliacutegono Retangular inscrito 95
732 Poliacutegono Retangular circunscrito 95
733 Trapeacutezio retacircngulo 100
734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000 101
735 Reta tangente a uma dada paraacutebola 103
736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda) 105
737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita) 106
738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular 108
739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica 109
9
Lista de Tabelas
51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos 41
71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2 59
72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais 72
73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler 75
74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo 100
75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio 101
11
1 INTRODUCcedilAtildeO
Haacute pontos especiacutecos na educaccedilatildeo baacutesica em que a ideia intuitiva de limite
de derivada e de integral estaacute presente Como satildeo tratados os casos em que eacute necessaacuterio
mencionar as noccedilotildees de limite ou de integral para discutir uma consequecircncia natural de
um assunto elementar Como os livros didaacuteticos tratam o assunto Qual a visatildeo dos pro-
fessores diante do tema Como os Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) lidam com a
situaccedilatildeo Em que estados brasileiros nota-se a presenccedila e a aplicabilidade de tais noccedilotildees
elementares do Caacutelculo Como as consequecircncias imediatas dessa posturaapresentaccedilatildeo
preacute-matura estatildeo interferindo no rendimento dos cursos de Caacutelculo no niacutevel superior De
que maneira podemos introduzir e abordar esse peculiar assunto sem causar constrangi-
mentos e traumas em nossos alunos Em que contexto histoacuterico se deu o processamento
das ideias de limite Tais ideias satildeo largamente empregadas no nosso dia-a-dia Como
explorar as noccedilotildees de limite de derivada e de integral via softwares de geometria dinacircmica
(especicamente o GeoGebra) Como explorar as noccedilotildees de limite via planilhas eletrocirc-
nicas (Microsoft Excel) O que eacute limite e como introduzir sem exageros e formalidades
de maneira que os alunos consigam acompanhar tal abstraccedilatildeo Qual a ordem cronoloacutegica
dos fatos surgiu o Caacutelculo Integral ou primeiro o Caacutelculo Diferencial Como propor a
inserccedilatildeo de limite nos estudo das derivadas O que eacute derivada Soacute se aprende derivada
se souber limite Como interligar a deniccedilatildeo de limite com a noccedilatildeo de integral O que
eacute integral Qual foi a evoluccedilatildeo histoacuterica (limite derivada e integral) Quais principais
precursores (paiacutes cidade natal seacuteculo data problematizaccedilatildeo etc) QueQual percen-
tual de alunos aprendeu alguma noccedilatildeo de limite de derivada ou de integral durante a
educaccedilatildeo baacutesica Quais as vantagens em ensinar as noccedilotildees de limite de derivada e de
integral na educaccedilatildeo baacutesica em particular no ensino meacutedio
Diante de tantos questionamentos surge a necessidade de respondecirc-los por
meio de uma reexatildeo acerca dos pontos destacados na pesquisa desenvolvida na pre-
sente dissertaccedilatildeo Inicialmente foi feita uma pesquisa entre os alunos que estatildeo ingres-
sandocursando na Universidade Federal do Espiacuterito Santo (UFES) e no Instituto Federal
do Espiacuterito Santo (IFES) sobre o estudo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo durante as
fases da educaccedilatildeo baacutesica Quem estudou Em que seacuterie se consolidou tal aprendizado
1 INTRODUCcedilAtildeO 12
Haacute conceitos baacutesicos que utilizam as noccedilotildees de limite de derivada e de integral Quais
vantagens obteriam caso tivessem uma base melhor e satisfatoacuteria de tais ideias intuitivas
durante o ensino baacutesico Em segundo momento os professores foram questionados sobre
as vantagensdesvantagens em propor o ensino das noccedilotildees de limite de derivada e de
integrais durante a educaccedilatildeo baacutesica
Em seguida foi feita uma averiguaccedilatildeo que de fato existem conteuacutedos da edu-
caccedilatildeo baacutesica que necessitam de uma abordagem mais especiacuteca das noccedilotildees de limite de
derivada e de integral tais como a representaccedilatildeo decimalfracionaacuteria das diacutezimas pe-
rioacutedicas ao somar os innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo especial
(0 lt |q| lt 1) ao estudar a capitalizaccedilatildeo contiacutenua ao analisar comportamentos graacute-
cos de uma funccedilatildeo para valores muito grande eou pequeno do domiacutenio de uma funccedilatildeo
(funccedilatildeo 1o grau 2o grau exponencial e logariacutetmica) ao calcular da medida da aacuterea de
uma regiatildeo plana qualquer com lados curvos aleacutem das inuacutemeras aplicaccedilotildees no estudo da
Fiacutesica (emprego da hipeacuterbole equilaacutetera na relaccedilatildeo entre pressatildeo e volume de um gaacutes em
condiccedilotildees isoteacutermicas e do conceito de velocidade instantacircnea)
Uma busca nos livros de Histoacuteria da Matemaacutetica com o intuito de desvendar
as maneiras e o contexto sobre os quais se deu o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas de
limite de derivada e de integral ateacute chegar ao cliacutemax da notaccedilatildeo atual e padratildeo formal
ensinado na disciplina de Caacutelculo nas universidades Nesse iacutenterim pretendeu-se propor
uma viagem no tempo ao longo dos seacuteculos em busca de momentos cruciais em que se
desenvolveuaplicou as noccedilotildees elementares do Caacutelculo
Apoacutes mapear as diversas situaccedilotildees problema que serviram de motivaccedilatildeo para
o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo foi realizada uma conferecircncia nos
livros didaacuteticos mais utilizados na educaccedilatildeo baacutesica especicamente na 3a etapa o Ensino
Meacutedio com o intuito de investigar como o assunto eacute introduzido em que conteuacutedos satildeo
discutidos e qual a linguagem utilizada (notaccedilatildeo usual)
Uma pesquisa com graduandos e com professores foi realizada com o intuito
de averiguar se os mesmos trabalham as noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de
integral no ensino baacutesico e como o fazem Quais satildeo suas anguacutestias temores diculdades
sugestotildees etc Haacute cursos de capacitaccedilatildeoformaccedilatildeo de professores nesse sentido Seria
necessaacuterio criar um algoritmo tipo uma receita de bolo um guia didaacutetico um manual
pedagoacutegico de direcionamento de trabalho que norteasse e ensinasse aos professores com
1 INTRODUCcedilAtildeO 13
sugestotildees de abordagem do tema em estudo Em geral os professores possuem conheci-
mentos na aacuterea de utilizaccedilatildeoaplicaccedilatildeo da teoria de limite de derivada e de integral para
empregar em suas aulas a utilizaccedilatildeo de softwares de geometria dinacircmica e softwares que
trabalham com planilha eletrocircnica de estudos
Tendo em matildeos o mapeamento dos conteuacutedos que necessitam de um enfoque
das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral a opiniatildeo dos professores e
dos graduandos a visatildeo apresentada nos livros didaacuteticos e nos Paracircmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) a evoluccedilatildeo histoacuterica e suas situaccedilotildees-problema
foi possiacutevel articular a sequecircncia didaacutetica que de acordo com a nossa visatildeo facilitaria o
entendimento e minimizaria a distacircncia entre o concreto e o abstrato isto eacute reduziria a
margem de abstraccedilatildeo que tais noccedilotildees requerem Nesse sentido o foco da pesquisa tem
como meta a introduccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral de acordo
com a seacuterie do Ensino Meacutedio em que se pretende inserir tais conceitos Tambeacutem eacute vaacutelido
ressaltar que haacute conteuacutedos do Ensino Fundamental que necessitam de um enfoque das
noccedilotildees de Caacutelculo por exemplo o estudo das diacutezimas perioacutedicas a demonstraccedilatildeo completa
do Teorema de Tales e a deniccedilatildeo de aacuterea de uma regiatildeo retangular Nesse iacutenterim o
presente trabalho propotildee uma metodologia de introduccedilatildeo desses conceitos empregando e
entrelaccedilando as noccedilotildees elementares de limite
Para a 1a seacuterie do Ensino Meacutedio a abordagem algeacutebrica foi realizada a partir
do estudo de funccedilotildees e suas implicaccedilotildees e do estudo de sequecircncias (em particular seacuteries
geomeacutetricas convergentes diacutezimas perioacutedicas) que apresentam caracteriacutesticas peculiares
que necessitam do estudo das noccedilotildees de limite Em seguida foi proposta uma aplicaccedilatildeo
desses conceitos numa situaccedilatildeo-problema presente no estudo de matemaacutetica nanceira
(especicamente no estudo de juros compostos) isto eacute foi realizada uma reproduccedilatildeo e
uma anaacutelise do problema proposto por Jacques Bernoulli sobre capitalizaccedilatildeo contiacutenua ou
seja as implicaccedilotildees sobre a evoluccedilatildeo de crescimento de um capital depositado a juros
compostos ser acrescido de juros subdividindo constantemente o intervalo de correccedilatildeo Jaacute
a abordagem geomeacutetrica a ser apresentada tanto no 1o ano quanto no 2o ano conforme
o plano de curso preacute-estabelecido pela unidade escolar se deu por intermeacutedio do estudo
de aacutereas de guras planas em especial aquelas que apresentam lados curviliacuteneos
Ainda na 1a seacuterie do Ensino Meacutedio foi realizada uma anaacutelise comportamental
de graacutecos de funccedilotildees fazendo um paralelo com os graacutecos presentes no estudo de conceitos
da disciplina de Fiacutesica com o intuito particular de explicar o que signica e como se
1 INTRODUCcedilAtildeO 14
calcula a aacuterea sob o graacuteco de uma curva qualquer que relacionam duas variaacuteveis com
grau de dependecircncia (funccedilatildeo de uma variaacutevel) E tambeacutem foi realizada uma anaacutelise da
desintegraccedilatildeo radioativa de uma substacircncia que consiste num problema interdisciplinar
amplamente discutido na Quiacutemica
Para a 2a seacuterie ou 3a seacuterie do Ensino Meacutedio de acordo com curriacuteculo escolar
baacutesico adotado a introduccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo foi realizada em para-
lelo ao estudo de geometria espacial momento em que houve uma revisatildeo do estudo de
aacutereas de guras planas poligonais e a introduccedilatildeo do caacutelculo da aacuterea de uma gura plana
que contenha algum lado curviliacuteneo Posteriormente tais ideias foram aplicadas para
demonstrar as aacutereas superciais e volumes de corpos redondos especiais (cilindros cones
e esferas) utilizando como fonte e direccedilatildeo de trabalho o meacutetodo dos indivisiacuteveis proposto
por Kepler e Cavalieri
Enm a abordagem das noccedilotildees elementares do Caacutelculo na 3a seacuterie do Ensino
Meacutedio foi construiacuteda de maneira correlacionada com o estudo (deniccedilotildees e propriedades)
das cocircnicas (paraacutebolas e hipeacuterboles)
15
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA
INSERCcedilAtildeO
O objetivo da presente pesquisa foi investigar nesse particular espaccedilo amos-
tral que percentual de graduandos teve contato com as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
durante a educaccedilatildeo baacutesica questionando quatildeo signicante foi tal experiecircncia e quais van-
tagensdesvantagens obtiveramobteriam com o contato preacute-liminar com noccedilotildees intuitivas
do Caacutelculo Aleacutem disso entrevistas foram feitas com professores (rede estadual e privada)
que atuam no Ensino Meacutedio e com professores que lecionamlecionaram a disciplina de
Caacutelculo I (limite derivada e integral) e de Fiacutesica Geral I oportunidade em que a visatildeo
dos mesmos seraacute analisada diante da problemaacutetica aqui retratada
A pesquisa foi realizada com parte da turma de 2012 do PROFMAT-UFES
via envio do questionaacuterio por e-mail dos quais apenas dez alunos retornaram respondidos
os questionaacuterios Tambeacutem participaram os vinte e quatro alunos da turma de ingresso ao
PROFMAT 2014 via questionaacuterio impresso o qual foi aplicado no dia 22 de Fevereiro de
2014 na sala 32 do Centro de Ciecircncias Exatas (CCE) da Universidade Federal do Espiacuterito
Santo (UFES) Aleacutem desses professores mestrandos responderam aos questionaacuterios parte
(dez alunos) de uma turma de graduandos (futuros e atuais professores de matemaacutetica)
pertencentes ao curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica pelo Instituto Federal do
Espiacuterito Santo (IFES) uma miacutenima (apenas oito) amostra de professores que atuam no
Ensino Meacutedio da rede estadual especicamente nas escolas da Serra Sede (EEEFM Pro-
fessor Joatildeo Loyola e EEEFM Cloacutevis Borges Miguel) uma pequena amostra de professores
que atuam somente nas faculdades particulares e com alunos graduandos em engenharia
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) que estavam praticamente concluindo o estudo da
disciplina de Caacutelculo e Fiacutesica I
Para discentes foi articulado um questionaacuterio alternativodiscursivo composto
de perguntas pertinentes agraves experiecircncias com o estudo de Caacutelculo I e em particular das
noccedilotildees de limite na educaccedilatildeo baacutesica e as vantagensdesvantagens que a aprendizagem
de tais conceitos lhe renderia A pesquisa foi realizada com uma pequena amostra de
alunos dos cursos de Licenciatura Plena em Matemaacutetica (IFES) e de Engenharia Mecacircnica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 16
(FAACZ)
Jaacute para os docentes foi pensado um questionaacuterio com escalas de classica-
ccedilatildeo em que o professor repassaria dados histoacutericos de suas experiecircncias com a disciplina
de Caacutelculo I desde a graduaccedilatildeo ateacute a realidade encontrada em sua sala de aula caso
seja professor da disciplina de Caacutelculo I com o intuito de questionar quais as facilida-
desdiculdades que a aprendizagem das noccedilotildees de limite e outras noccedilotildees baacutesicas do
Caacutelculo poderiam produzir A pesquisa foi realizada com professores da UFES do IFES
e de algumas escolas particulares que lecionaramlecionam a disciplina de Caacutelculo I em
qualquer curso superior
De acordo com uma anaacutelise geral dos dados da pesquisa foi possiacutevel constatar
que a maioria dos professores seja da rede puacuteblica ou privada atuantes na educaccedilatildeo
baacutesica (Ensino Fundamental e Meacutedio) embora tenha recebido orientaccedilatildeopreparaccedilatildeo es-
peciacuteca que os formassem de maneira satisfatoacuteria para inserir noccedilotildees intuitivas de limite
e ideias correlatas do Caacutelculo nessa fase de ensino ainda natildeo faz ideia de como aplicar
tais conceitos caso os mesmos sejam implementados no curriacuteculo baacutesico Aleacutem disso em
uma conversa informal (bate-papo apoacutes o preenchimento dos questionaacuterios) com um grupo
atuante na rede estadual foi possiacutevel constatar que haacute diculdade de ensinar a matemaacutetica
elementar quanto mais os toacutepicos que remetem o uso de citaccedilatildeo de ideias avanccediladas cujo
grau de abstraccedilatildeo eacute mais acentuado Segundo os professores os alunos chegam ao Ensino
Meacutedio com niacutevel de aprendizagem abaixo do ideal com defasagens gritantes em aritmeacutetica
baacutesica (operaccedilotildees elementares) e com problemas de domiacutenio da liacutengua portuguesa naquilo
que concerne agrave interpretaccedilatildeo de enunciados e compreensatildeo de teorias Foi de consenso
comum entre os professores pesquisados que o trabalho eacute pertinente e de fundamental
importacircncia para sanar problemas como os altos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de
Caacutelculo e Fiacutesica I Tambeacutem consentiram que caso tal pesquisa inuenciasse uma mudanccedila
no curriacuteculo baacutesico da rede estadual de ensino haveria necessidade de um curso especiacuteco
e produccedilatildeo de um material suplementar que os orientasse Aleacutem disso um seleto grupo
informou que hoje seria possiacutevel repassar algumas orientaccedilotildees somente no 3o ano apoacutes a
aplicaccedilatildeo da prova do ENEM periacuteodo em que os alunos praticamente estatildeo aprovados e
teoricamente jaacute estudaram toda a matemaacutetica elementar dos niacuteveis fundamental e meacutedio
Caso contraacuterio veem atualmente viabilidade de aplicaccedilatildeo do estudo proposto somente em
turmas oliacutempicas de matemaacutetica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 17
Os dados especiacutecos da pesquisa podem induzir uma reexatildeo draacutestica de que
os cursos superiores de formaccedilatildeo de professores de matemaacutetica embora repassem aos seus
alunos fundamentos necessaacuterios e sucientes para que os mesmos estejam habilitados para
trabalhar com a proposta presente nesse trabalho a totalidade dos professores questiona-
dos natildeo se sente seguro para repassar noccedilotildees elementares do Caacutelculo a alunos da educaccedilatildeo
baacutesica E mais a maioria dos professores eacute favoraacutevel quanto agrave grade curricular e quanto
agrave adequaccedilatildeo e suciecircncia das disciplinas de Caacutelculo durante a fase de graduaccedilatildeo Um
verdadeiro paradoxo
Segundo os professores pesquisados a assimilaccedilatildeo e o ensinoaprendizagem
dos graduandos poderiam ser melhorados via curso especiacuteco de preacute-Caacutelculo ou propondo
estrateacutegias motivadoras durante o Ensino Meacutedio Ainda armaram estarem cientes da
distacircncia enorme entre o modelo de ensino ofertada pelas Licenciaturas e a realidade dos
alunos em sala de aula aleacutem disso comentaram que a aversatildeo relativa ao ensino de toacutepi-
cos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio eacute explicada devido a experiecircnciasaprendizagens
decitaacuterias durante a fase de graduaccedilatildeo naquilo que tange a metodologia diferenciada (es-
trateacutegias didaacutetica interessemotivaccedilatildeo do professor em ensinar e utilizaccedilatildeo de recursos
didaacuteticos etc)
A partir da pesquisa tambeacutem foi possiacutevel conjecturar que a realidade atual dos
cursos de Caacutelculo pode ser melhorada com uma fuga ao modelo tradicional de ensino
Nesse iacutenterim faz-se necessaacuterio que os professores universitaacuterios estejam mais atentos agrave
didaacutetica de ensino ao planejamento de suas aulas agrave variaccedilatildeo de metodologias de aprendi-
zagem via recursos computacionais disponiacuteveis e via alternativas modernas que favoreccedilam
um aumento no rendimento escolar universitaacuterio com uma consequente reduccedilatildeo dos iacutendi-
ces de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo Eacute impossiacutevel repassar noccedilotildees elementares do
Caacutelculo para os alunos da educaccedilatildeo baacutesica se a formaccedilatildeo que os professores recebem natildeo
eacute satisfatoacuteria ao ponto de que haja seguranccedila e domiacutenio do tema Para isso eacute necessaacuterio
ampliar o leque de discussatildeo das poliacuteticas puacuteblicas educacionais com uma proposta de re-
formulaccedilatildeo dos PCN com proposiccedilatildeo de cursos de capacitaccedilatildeo de professores convenientes
e em horaacuterios adequados e com a produccedilatildeo de um material didaacutetico especiacuteco adequado
agrave realidade da educaccedilatildeo baacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que a retomada do ensino de Caacutelculo
vem acontecendo desde a deacutecada de 90 mas com a preocupaccedilatildeo de que esse posiciona-
mento natildeo venha a sobrecarregar o curriacuteculo e nem esteja distante da realidade do niacutevel
elementar o Ensino Meacutedio a ser apresentada e incluiacuteda a ideia do presente trabalho
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 18
Caso haja educadores contraacuterios a presente proposta com a justicativa de
que o curriacuteculo baacutesico jaacute estaacute abarrotado de conteuacutedos e de ser um instrumento imutaacutevel
seria interessante promover uma formaccedilatildeo completa sobre os Paracircmetros Curriculares
Nacionais e sobre o curriacuteculo baacutesico adotado com o intuito de explicar aos professores
que haacute muito interpretaccedilatildeo equivocada dos PCN dado que os mesmos devem servir como
elemento norteador indicador das habilidades e competecircncias necessaacuterias para garantir o
miacutenimo de aprendizagem signicativa e sem que seja um instrumento impositivo (dono da
verdade deus do universo etc) ou seja quem faz o curriacuteculo de Matemaacutetica eacute o professor
atrelado ao plano pedagoacutegico da escola e matrizes do ENEM
Para encerrar a anaacutelise relativa aos dados da pesquisa eacute vaacutelido salientar que
muitos professores consideraram o questionaacuterio longo e tedioso Essa aversatildeo inicial pode
representar uma justicativa aparente de que a postura dos professores quanto agrave mu-
danccedilasaiacuteda do estado de platocirc atual sempre seraacute uma barreira agrave produccedilatildeo de conheci-
mentos A presente pesquisa cujos dados estatildeo tabulados no anexo A foi realizada com
38 professores atuantes na rede publica e privada com experiecircncia no mercado Parte
desses professores (10) ainda estavam em fase de conclusatildeo do curso de Licenciatura no
IFES De acordo com os dados da pesquisa foi possiacutevel inferir que muitos desses pro-
fessores natildeo possuem o haacutebito de realizar leituras de revistas especializadas (Revista do
Professor de Matemaacutetica (RPM) Revista Caacutelculo) de livros da Sociedade Brasileira de
Matemaacutetica (SBM) de artigos de seminaacuterios de discussatildeo de educaccedilatildeo matemaacutetica e nem
possuem interesse na participaccedilatildeo em simpoacutesios bienais cursos de capacitaccedilatildeo cursos de
veratildeo etc Nesse iacutenterim eacute bom citar que aqueles poucos professores que participaram
de forma remunerada do multicurso de matemaacutetica promovido pela Secretaria Educaccedilatildeo
do Espiacuterito Santo (SEDU) informaram que natildeo houve qualquer menccedilatildeo aos toacutepicos atuais
de discussatildeo do retorno das noccedilotildees elementares do Caacutelculo ao curriacuteculo baacutesico Jaacute aque-
les que estiveram presentes no Programa de Aperfeiccediloamento de Professores do Ensino
Meacutedio (PAPEM) relataram que houve alguma citaccedilatildeo breve do assunto durante as aulas
de viacutedeo conferecircncia e em problemas propostos nas ocinas no periacuteodo vespertino
A outra tabela que consta no anexo B dessa dissertaccedilatildeo representa a tabulaccedilatildeo
dos dados da pesquisa realizada com uma amostra (32 alunos) de alunos (graduandos) do
curso de engenharia mecacircnica da FAACZ
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 19
Inicialmente eacute interessante citar que participaram da pesquisa 32 alunos em
sua maioria graduandos do sexo masculino estudantes do curso de Engenharia Mecacircnica
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) e desse total eacute importante citar que 31 graduandos
estatildeo na faixa etaacuteria abaixo dos 30 anos
De acordo com os dados analisados foi possiacutevel vericar que a faculdade dispo-
nibiliza aos seus alunos um curso de nivelamento (preacute-Caacutelculo) com o intuito de apresentar
aos alunos uma ajuda consideraacutevel para iniciarem o estudo de Caacutelculo e para minimizar a
distacircncia que haacute entre a matemaacutetica elementar promovida na educaccedilatildeo baacutesica e a mate-
maacutetica superior principalmente as noccedilotildees elementares de limite deriva e integral Nesse
curso de nivelamento foram apresentadas aos alunos situaccedilotildees problema que necessitavam
de emprego de noccedilotildees do Caacutelculo A partir da exposiccedilatildeo de problemas concretos proacutexi-
mos da realidade dos alunos foi possiacutevel introduzir de maneira construtiva toacutepicos que
exigiram o emprego de limite de derivada e integral
Segundo a maioria dos alunos o referido curso de preacute-Caacutelculo ofertado contribui
para melhorar o rendimento em todos os aspectos e responderam que caso a introduccedilatildeo
das ideias difundidas no curso de nivelamento tivessem sido realizadas durante o ensino
meacutedio haveria uma melhora consideraacutevel no ensinoaprendizagem
Ao questionar sobre a sequecircncia da histoacuteria da evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi possiacutevel
constatar que quase a totalidade dos alunos natildeo tiveram uma introduccedilatildeo histoacuterica da
evoluccedilatildeo do Caacutelculo pois a maioria deles (20 alunos) armou que a evoluccedilatildeo do Caacutelculo
estaacute em conformidade com a sequecircncia apresentada nos livros didaacuteticos Tambeacutem foi
possiacutevel perceber que o ensino de Fiacutesica I ocorreu simultaneamente com o ensino de Caacutelculo
I o que eacute uma realidade questionada nos principais cursos de exatas das instituiccedilotildees
puacuteblica e privada do Estado do Espiacuterito Santo Anal como a ementa do curso de Fiacutesica
I requer o conhecimento de um conjunto de aplicaccedilotildees e propriedades do Caacutelculo seria
loacutegico que tal curso fosse realizado apoacutes a introduccedilatildeo das ideias de limite derivada e
integral
De acordo com a pesquisa contatou-se que quase todos os alunos (27) estu-
daram via livros didaacuteticos especiacutecos de Caacutelculo de autores com bastante bagagem e
profundos conhecedores do Caacutelculo (James Stewart e George B Thomas 11a e 5a edi-
ccedilatildeo respectivamente) Do total de alunos entrevistados 5 alunos armaram ter estudado
Caacutelculo via apostilas notas de aulas e viacutedeo aula
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 20
Segundo a visatildeo dos graduandos para realizar a introduccedilatildeo das noccedilotildees ele-
mentares do Caacutelculo faz-se necessaacuterio que os alunos tenham uma base adequada de en-
sinoaprendizagem acumulada das seacuteries anteriores inclusive no Ensino Fundamental
Quanto ao aspecto conteuacutedos do Ensino Meacutedio que exigem a inserccedilatildeo das noccedilotildees elemen-
tares do Caacutelculo os graduandos citaram Funccedilotildees Sequecircncias Aacutereas e volumes em geral
Jaacute no estudo da Fiacutesica mencionaram o estudo de velocidades aceleraccedilotildees e trabalho
Quanto aos iacutendices de aprovaccedilatildeo eacute vaacutelido ressaltar que dos 32 entrevistados
somente 6 caram reprovados em Caacutelculo I A explicaccedilatildeo para esse iacutendice excelente de
aprovaccedilatildeo pode ser justicativa pelo repasse das noccedilotildees elementares do Caacutelculo via curso
de nivelamento Tambeacutem eacute vaacutelido ressaltar que a formaccedilatildeo dos docentes regentes das
disciplinas que zeram o uso das ideias de Caacutelculo para os graduandos partiacutecipes da
presente pesquisa varia da titulaccedilatildeo miacutenima de especialistas ateacute doutores
As aulas de Caacutelculo na FAACZ satildeo muito ecleacuteticas poreacutem arcaicas obsoletas
tradicionais e remetem a ideia de que a maioria dos seus professores prefere um curso de
Caacutelculo que exija uma boa formaccedilatildeo baseada numa conciliaccedilatildeo do processo demonstra-
tivoaplicativo dos teoremas e proposiccedilotildees do Caacutelculo Tambeacutem armaram de maneira
quase unacircnime e satisfatoacuteria sobre as facilidades que a utilizaccedilatildeo dos recursos didaacuteticos
(softwares de geometria dinacircmica e planilhas eletrocircnicas) proporcionaria e favoreceria o
ensinoaprendizagem dos estudantes dessa instituiccedilatildeo Em contrapartida 26 desses alu-
nos responderam natildeo ter recebido trabalhos de abordagem de modelagem matemaacutetica de
uma situaccedilatildeo real cotidiana ou melhor a maioria desses alunos armou que ainda natildeo
sabem o que eacute modelagem matemaacutetica
Quanto agrave experiecircncia desses alunos ao serem expostos agrave teoria de limites com
todas as suas formalidades foi possiacutevel constatar que o curso de nivelamento de prepa-
raccedilatildeo para o estudo de Caacutelculo contribui de forma satisfatoacuteria para melhorar o rendi-
mentoentendimento da maior parte dos graduandos Esse curso de preacute-Caacutelculo foi uma
forma de preencher a lacuna deixada pela educaccedilatildeo baacutesica principalmente pelo Ensino
Meacutedio em que segundo dados da pesquisa natildeo houve citaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de
limite nem muito menos ideias correlatas do Caacutelculo deriva e integral Nesse iacutenterim a
maioria dos alunos armou que os livros didaacuteticos existentes na educaccedilatildeo baacutesica ou satildeo
insucientes quanto ao repasse ou natildeo abordam as noccedilotildees de intuitivas do Caacutelculo E
mais um percentual consideraacutevel dos entrevistados armou jamais ter ouvido qualquer
citaccedilatildeo baacutesica das noccedilotildees de limite deriva e integral durante o Ensino Meacutedio
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 21
Essas informaccedilotildees vecircm ao encontro da nossa proposta a qual propotildee um res-
gate da inserccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas e ideias elementares do Caacutelculo durante o Ensino
Meacutedio com a nalidade de preparar o aluno para ingressar no estudo de Caacutelculo e com
o intuito de justicar proposiccedilotildees elementares com argumentos satisfatoacuterios sem fuga
desculpa ou enrolo Essa inserccedilatildeo deve ser direcionada e atrelada agrave evoluccedilatildeo histoacuterica
do Caacutelculo com um material especiacuteco devido agrave insuciecircncia dos materiais didaacuteticos
existentes no mercado e com atividades interdisciplinares no estudo de Fiacutesica e Quiacutemica
principalmente E mais deve existir um curso especiacuteco de preparaccedilatildeo aos professores
da educaccedilatildeo baacutesicasuperior e a inclusatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo nos PCNEM
com intuito de estimularraticar o repasse das ideias e de contribuir para elevar o rendi-
mento dos estudantes no estudo de Caacutelculo em cursos superiores posteriores pois assim
os educadores receberatildeo a formaccedilatildeo necessaacuteria para trabalharem com maior destreza e
seguranccedila via recursos didaacuteticos disponiacuteveis (softwares educacionais quadro multimeios
laboratoacuterios de matemaacutetica jogos matemaacuteticos etc)
22
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO
CAacuteLCULO
Figura 31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo
Fonte wwwmatematicabrhistoriaprhindhtml[34]
A evoluccedilatildeo do Caacutelculo da origem intuitiva (ideias remotas) ateacute o rigoroso pa-
dratildeo adotado nos livros atuais foi marcada pelas contribuiccedilotildees de diversos estudiosos
dentre os quais pode-se citar em ordem cronoloacutegica de destaque Ahmes (ou Ahmose
escriba egiacutepcio) babilocircnicos Hiacutepias Zenatildeo (ou Zeno de Eleacuteia) Eudoacutexio (ou Eudoxos)
Demoacutecrito Arquimides Papus Kepller Descartes Fermat Roberval Torricelli Cavali-
eri Wallis Barrow Newton Leibnitz famiacutelia Bernoulli De Moivre Taylor Maclaurin
Euler Clairaut DAlembert Lambert Lagrange Laplace Legendre Monge Carnot
Gauss Fourier Poisson Bolzano Cauchy Abel Galois Jacobi Dirichlet Weierstrass
e Riemann Eacute vaacutelido ressaltar que outros personagens zeram contribuiccedilotildees favoraacuteveis
e que natildeo foram mencionados para natildeo haver fuga ao escopo principal dessa pesquisa
Aleacutem disso os personagens destacados foram formidaacuteveis e providenciais para o desen-
volvimento aprimoramento potencialidade aplicabilidade formalidade e padronizaccedilatildeo
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 23
loacutegica do Caacutelculo
A partir do seacuteculo XV II eacute que se evidenciou a evoluccedilatildeo formal no desenvolvi-
mento do Caacutelculo apesar de suas noccedilotildees intuitivas serem encontradas por volta de 1650
aC isto eacute dezessete seacuteculos anteriores aos tempos da era cristatilde foi encontrado no papiro
Rhind cuja coacutepia foi realizada pelo escriba Ahmes (ou Ahmose) evidecircncias de que os
egiacutepcios descobriram de maneira correta que o volume de uma piracircmide de base qua-
drada equivale a 13do volume do prisma retangular de mesma base e mesma altura Eacute
vaacutelido ressaltar que natildeo havia demonstraccedilatildeo de tal relaccedilatildeo nem deveria pois para checar
a veracidade com rigor e precisatildeo eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees de innitesimais perten-
centes ao Caacutelculo Aleacutem dos indiacutecios encontrados nesse papiro tambeacutem foram descobertos
tabulas cuneiformes babilocircnicas que destacam problemas relacionados ao Caacutelculo especi-
camente no algoritmo iterativo empregado para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero
racional e na mensuraccedilatildeo de guras planas
Conforme BOYER [4] (1992 p2)
() Jaacute no seacuteculo XV II aC os babilocircnicos aplicaram sua aacutelgebra admi-ravelmente exiacutevel a uma ampla gama de problemas praacuteticos incluindomensuraccedilatildeo de guras Conhecendo o teorema de Pitaacutegoras acharamcorretamente a diagonal de um quadrado ateacute o equivalente a meia duacuteziade casas decimais Tomavam a aacuterea do ciacuterculo geralmente como o tri-plo da aacuterea do quadrado sobre ao raio ma em pelo menos uma ocasiatildeousaram para uma aproximaccedilatildeo melhor 31
8 ()
Embora egiacutepcios e babilocircnicos em niacutevel mais acentuado tenham deixado evi-
dente a habilidade em aacutelgebra natildeo se pode dizer o mesmo em relaccedilatildeo agrave loacutegica empregada
Nesse sentido de preocupaccedilatildeo com o rigor loacutegico a partir de princiacutepios baacutesicos destacam-
se os trabalhos desenvolvidos na Greacutecia desde a descoberta da incomensurabilidade por
Hiacutepias (c de 425 aC) perpassando pelos quatro paradoxos propostos pelo loacutesofo Ze-
natildeo de Eleacuteia (c de 450 aC) que indicavam a existecircncia de um processo innito e pelo
brilhante trabalho de Eudoacutexio (ou Eudoxo cerca 370 aC) que propocircs uma teacutecnica de
comprovaccedilatildeo de validade de uma proposiccedilatildeo o meacutetodo da Exaustatildeo o qual eacute considerado
um prenuacutencio mais proacuteximo do Caacutelculo por parte de estudiosos gregos ateacute o aacutepice das
experiecircncias argumentos (reduccedilatildeo ao absurdo duplo) e meacutetodos bastante precisos desen-
volvidos por Arquimedes (287 minus 212 aC) para obter suas demonstraccedilotildees rigorosas das
foacutermulas de aacutereas e volumes em que frequentemente guravam seacuteries innitas
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 24
Consideradas duas grandezas desiguais se da maior subtraiacutemos umagrandeza maior que sua metade e da que resta uma grandeza maiorque sua metade e se este processo eacute repetido continuamente restaraacuteuma grandeza que seraacute menor que a menor das grandezas consideradas(BOYER [4] 1992 p 4)
Segundo BOYER [4] (1992 p 4) de maneira geral eis uma das citaccedilotildees mais
elementares das noccedilotildees de limites se A eacute a maior das duas grandezas dadas (positivas)
a e A e se un = A2n
entatildeo limnrarrinfin un = 0 lt a
De acordo BOYER [4]
Deve-se notar que enquanto a notaccedilatildeo moderna recorreu ao siacutembolo deinnito a linguagem antiga cuidadosamente evitava qualquer referecircnciaaberta a um processo innito As duas formulaccedilotildees no entanto natildeo es-tatildeo distantes quanto a seu signicado Para mostrar que limnrarrinfin un = 0deve-se demonstrar que dado um nuacutemero ε positivo mesmo que pequeno(o equivalente da grandeza menor a na proposiccedilatildeo de Euclides) pode-seachar um inteiro N (o equivalente da frase de Euclides se este processoeacute repetido continuamente) tal que para n gt N vale a relaccedilatildeo un lt εO Caacutelculo de Euclides (derivado presumivelmente de Eudoacutexio) pode tersido menos efetivo que o de Newton e Leibniz dois milecircnios mais tardemas em termos de ideias baacutesicas natildeo estava muito longe do conceitode limite usado rudemente por Newton e aprimorado no seacuteculo XIX(1992 p 5)
O uacuteltimo matemaacutetico dos tempos medievais a realizar contribuiccedilotildees favoraacuteveis
agrave evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi Papus (c de 320 dC) A partir daiacute houve um decliacutenio um ver-
dadeiro breu secular e histoacuterico de difusatildeoemancipaccedilatildeoevoluccedilatildeoativaccedilatildeo dos conceitos
do Caacutelculo Somente apareceraacute novamente discussatildeo proacutexima agrave teoria do Caacutelculo nos tem-
pos modernos por meio dos trabalhos de Nicole Oresme no seacuteculo XIV e Regiomontanus
no seacuteculo XV
O seacuteculo XV I foi o periacuteodo de reativaccedilatildeo do desenvolvimento dos concei-
tos principais do Caacutelculo Destacam-se nessa empreitada os trabalhos de Simon Stevin
(1548 minus 1620) e Luca Valerio (cerca de 1552 minus 1618) que evitaram a dupla reduction
ad absurdum do meacutetodo da exaustatildeo e zeram uso de um meacutetodo que fazia uma passa-
gem direta ao limite Aliaacutes Stevin o Arquimedes Holandecircs foi o primeiro a demonstrar
numericamente que uma sequencia de nuacutemeros tendia a um valor limite ao analisar pro-
posiccedilotildees relacionadas ao estudo de pressatildeo de uidos embora admitir mais credibilidade
ao tratamento geomeacutetrico
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 25
Nessa linha de defesa observe o relato EVES [11]
()Stevin usava esse meacutetodo em seu trabalho no campo da hidrostaacute-tica para determinar a forccedila exercida pela pressatildeo de um uido sobreum dique vertical Basicamente sua ideia consistia em dividir o diqueem faixas horizontais e entatildeo fazer cada uma girar em torno de suasbordas superior e inferior ateacute que elas se tornassem paralelas ao planohorizontal Fundamentalmente eacute esse o meacutetodo usado loje em dia emnossos textos elementares de Caacutelculo (2004 [11] p424)
Aleacutem de Stevin Johann Kepler (1573minus 1630) e Galileu Galilei (1564minus 1642)
foram pioneiros a evitar os rigores do meacutetodo da exaustatildeo apesar de utilizar incessante-
mente os meacutetodos de Arquimedes Devido a tal atitude foram os responsaacuteveis pela mudan-
ccedilasmodicaccedilotildees no panorama da anaacutelise innitesimal (innitamente grande e innita-
mente pequeno) Nesse sentido eacute vaacutelido ressaltar que Kepler heuriacutestico demasiadamente
para ganhar tempo e economizar trabalho utilizou a adiccedilatildeo de grandezas innitamente
pequenas quando imaginou o volume de cada barril de vinho formado por uma enorme
quantidade de secccedilotildees circulares com altura tendendo a zero e ainda segundo EVES [11]
(2004 p 424) considerava uma circunferecircncia como um poliacutegono regular de um nuacutemero
innito de ladose a partir desse raciociacutenio pode-se estendecirc-lo para caracterizar uma es-
fera como uma reuniatildeo de innitas piracircmides com as peculiaridades de serem delgadas e
com veacutertice coincidente com o centro da esfera
O seacuteculo XV II eacutepoca em que se destacaram os trabalhos elaborados por
Cavalieri Torricelli (1608 minus 1647) Roberval (1602 minus 1675) Descartes Fermat Wallis
Barrow Newton e Leibniz houve uma consideraacutevel produtividade do desenvolvimento da
matemaacutetica com a criaccedilatildeo da geometria analiacutetica e evoluccedilatildeo das teacutecnicas de quadratura
eou cubatura as quais satildeo empregadas a curvas e soacutelidos especiacutecos ou famiacutelias de cur-
vas Eacute vaacutelido ressaltar que o conceito de limite natildeo foi utilizado pelos ceacutelebres nomes
citados nem sequer reconheciam e perceberam a necessidade da fundamentaccedilatildeo de tal
teoria Dentre os diversos estudos de destaque potencial nesse periacuteodo mencionaremos
a contribuiccedilatildeo de Bonaventura Cavalieri (1598 minus 1647) com seu brilhante meacutetodo dos
indivisiacuteveis (Geometria indivisibilibus) em que nos apresenta as preacutevias dos atuais prin-
ciacutepios de Cavalieri ferramentas essenciais para o Caacutelculo Integral moderno e os estudos
de Reneacute Descartes (1596 minus 1650) e Pierre de Fermat (de 1509 ateacute 1608 ou 1601 minus 1665)
com contribuiccedilotildees pontuais para a fundamentaccedilatildeo e para o desenvolvimento da Geometria
Analiacutetica
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 26
Apoacutes o desenvolvimento do campo da geometria analiacutetica as bases do Caacutelculo
moderno estavam prontas para se tornar cada vez mais evidentes e direcionadas agrave reso-
luccedilatildeo dos dois problemas fundamentais do Caacutelculo encontrar retas tangentes a curvas
e determinar valores exatos para aacutereas de regiotildees limitadas pelo menos em parte por
curvas (problemas de quadratura) Nesse sentido faz-se necessaacuterio citar as contribuiccedilotildees
de grande magnitude de um francecircs Fermat trecircs ingleses John Wallis (1616minus1703) Isaac
Barrow (1630minus 1677) Isaac Newtow (1642minus 1727) e um alematildeo Gottfried Wilhelm Leib-
niz (1646minus1716) para o que futuramente seria batizado de Caacutelculo Diferencial e Integral
Eacute vaacutelido ressaltar que tanto o Newton quanto o Leibniz de maneira independente foram
os responsaacuteveis pelo desenvolvimento das bases notaacuteveis do Caacutelculo moderno e por isso
satildeo considerados responsaacuteveis pela invenccedilatildeo
Note que em momento algum foi destacada a necessidade de utilizaccedilatildeo da
teoria de limite Embora tal conceito tenha sido negligenciado em diversos trabalhos eacute
importante destacar que Newton foi o pioneiro no reconhecimento do papel fundamental
que o limite iria desempenhar no desenvolvimento de problemas relativos ao Caacutelculo
(tangecircncias quadraturas e ans) Tal armativa pode ser constatada em seu Livro I
do Principia Mathematica (1687) na qual haacute uma tentativa de formular um conceito de
limite De acordo com BOYER [3]
Quantidades e as razotildees de quantidades as quais em qualquer temponito convergem continuamente para igualdade e antes do nal daqueletempo se aproximam entre si por qualquer dada diferenccedila tornam-seiguais no nal (BOYER [3] 1996 p 274)
O desenvolvimento da matemaacutetica e em particular as aplicaccedilotildees do Caacutelculo
durante o seacuteculo XV III XIX e XX eacute repleto de histoacuterias esplecircndidas e momentos de
contribuiccedilotildees memoraacuteveis agrave expansatildeo da aplicabilidade das teorias relacionadas ao estudo
de Caacutelculo Vaacuterios satildeo os nomes que se destacaram membros da famiacutelia Bernoulli G
F A de LHospital (1661 minus 1704) Johann I (1667 minus 1748) Nicolas I (1687 minus 1759) e
Daniel (1700minus1782) Brook Taylor (1685minus1731) Leonhard Euler (1707minus1783) e Alexis
Claude Clairaut (1713minus1765) Colin Maclaurin (1698minus1746) Jean Le Rond DAlembert
(1717minus 1783) Joseph-Louis Lagrange (1736minus 1813) etc Dentre os ceacutelebres citados os
quais natildeo estabeleceram uma fundamentaccedilatildeo rigorosa para o Caacutelculo eacute vaacutelido destacar
na corrida pela formalizaccedilatildeo do conceito de limite (pilar baacutesico do Caacutelculo ensinado nos
dias de hoje) uma deniccedilatildeo especial como a que foi posta na ceacutelebre Encyclopeacutedie
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 27
(1751 minus 1776) em que DAlembert ponderou que para denir a derivada precisamente
era necessaacuterio entender as noccedilotildees de limite primeiro
Uma quantidade eacute o limite de uma outra quantidade quando a segundapuder se aproximar da primeira dentro de qualquer precisatildeo dada natildeoimporta quatildeo pequena apesar da segunda quantidade nunca exceder aquantidade que ela aproxima (DALEMBERT 1772 apud FINNEYWEIR GIORDANO 2002 [12])
No nal do seacuteculo XV III e durante todo o seacuteculo XIX foi o periacuteodo de
contribuiccedilotildees dos renomados Carl Friedrich Gauss (1777minus 1855) Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768minus 1830) Bernhard Bolzano (1781minus 1848) Augustin Louis Cauchy (1789minus
1857) Niels Henrik Abel (1802minus1829) Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805minus1859) e Karl
Weierstrass (1815minus 1897) Nesse periacuteodo em que houve um estudo cuidadoso e rigoroso
em busca da deniccedilatildeo de limite destacaremos o trabalho desenvolvido por Cauchy (aluno
de Lagrange na Escola Politeacutecnica) e Weierstrass O primeiro embora tenha deixado
de lado a preocupaccedilatildeo com alguns detalhes teacutecnicos foi responsaacutevel por apresentar a
deniccedilatildeo mais proacutexima de limite que conhecemos atualmente Jaacute o segundo restabeleceu
o conceito original de limite proposto por Cauchy com tratamento estritamente aritmeacutetico
e utilizando apenas valores absolutos e desigualdades Weierstrass aleacutem de corrigir os
descuidos e erros de Cauchy formulou a deniccedilatildeo de limite empregada nos diversos livros
de Caacutelculo da era moderna na matemaacutetica e continuou suas contribuiccedilotildees estabelecendo
todo o rigor aritmeacutetico adotado no Caacutelculo e na anaacutelise matemaacutetica
Segundo BOYER [3] eacute creditada a Cauchy a introduccedilatildeo de limite de maneira
aperfeiccediloada quando publicou em 1821 em seu Cours danalyse de lEacutecole Polytechnique
Quando os valores sucessivos atribuiacutedos a uma variaacutevel aproximam-se indenidamente de
um valor xo chegando a diferir dele tatildeo pouco quanto se deseje este uacuteltimo eacute chamado
limite de todos os outros Jaacute a Weierstrass de acordo Boyer coube o trabalho de explicar
de maneira elegante e precisa substituir as ideias vagas de aproximaccedilatildeo na deniccedilatildeo de
limite de Cauchy-Bolzano por ideias que utilizavam eacutepsilon-deltacom uma linguagem
puramente numeacuterica
() Diz-se que L eacute um limite da funccedilatildeo f(x) para o valor x = a sedado qualquer nuacutemero positivo ε existe um nuacutemero positivo δ tal que|f(x)L| lt ε para qualquer x que verique 0 lt |xa| lt δ (BOYER [4]1992 p 27)
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 28
De acordo com o levantamento histoacuterico realizado eacute possiacutevel constatar que
por diversos seacuteculos o conceito de limite foi um tanto vago confuso losoacuteco intuitivo
indenido impreciso imperceptiacutevel negligenciado dentre outros inuacutemeros adjetivos cor-
relacionados A matemaacutetica moderna foi desfrutar das noccedilotildees de limite somente durante
o periacuteodo europeu intitulado de Iluminismo nal do seacuteculo XV III e iniacutecio do seacuteculo
XIX Jaacute a deniccedilatildeo formal (rigorosa loacutegica e correta) apresentada nos livros de Caacutelculo
atuais foi formalizada por volta do ano 1856 (haacute uns 160 anos)
Figura 32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1 + 2460
+ 51602
+ 10603
= 1414212
Fonte ptwikipediaorgwikiMatemaacuteticababilnica[35]
29
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA
EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA
Segundo os anais da histoacuteria da Matemaacutetica a constataccedilatildeo da presenccedila das no-
ccedilotildees de limite iniciou desde os tempos antigos ateacute o desenrolar da invenccedilatildeoevoluccedilatildeoaplicaccedilatildeo
do Caacutelculo (seacuteculos XV II XV III XIX) De acordo com BOYER [4] tal descoberta
jaacute impressionava e tirava o sono de estudiosos gregos
() Foi um choque para a comunidade matemaacutetica grega tomar conheci-mento de que haacute coisas como segmentos de reta incomensuraacuteveis e que aocorrecircncia dessa situaccedilatildeo eacute espantosamente comum isto eacute que conceitosans ao Caacutelculo aparecem nas mais elementares situaccedilotildees Os diaacutelogosde Platatildeo mostram que os matemaacuteticos da eacutepoca caram profundamentepertubados com essa descoberta (BOYER [4] 1992 p 3)
Ainda nessa linha assim se pronunciou EVES [11]
() Esses conceitos tecircm tanto alcance e tantas implicaccedilotildees no mundomoderno que talvez seja correto dizer que sem algum conhecimento delesdicilmente hoje uma pessoa poderia considerar-se culta (EVES [11]2004 p 417)
Eacute importante ressaltar que a ordem do desenvolvimento histoacuterico do Caacutelculo
foi diferente da ordem apresentada nos livros textos e cursos baacutesicos sobre o assunto isto
eacute houve inicialmente o surgimento do Caacutelculo Integral e muito tempo depois apareceram
os conceitos ligados ao Caacutelculo Diferencial Segundo EVES [11]
() A ideia de integraccedilatildeo teve origens em processos somatoacuterios ligadosao caacutelculo de certas aacutereas e certos volumes e comprimentos A diferen-ciaccedilatildeo criada bem mais tarde resultou de problemas sobre tangentes acurvas e questotildees sobre maacuteximos e miacutenimos Mais tarde ainda vericou-se que a integraccedilatildeo e a diferenciaccedilatildeo estatildeo relacionadas entre si sendocada uma delas operaccedilatildeo inversa da outra (EVES [11] 2004 p 417)
Assim eacute possiacutevel vericar uma gama de assuntos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular nas fases nais do Ensino Fundamental e durante o Ensino Meacutedio que evocam as
ideias correlatas do Caacutelculo e em particular as noccedilotildees de limite Embora seja possiacutevel
constatar a presenccedila das noccedilotildees de limite e de integral no Ensino Fundamental haacute um
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 30
consenso de que natildeo eacute pedagogicamente correto destacar a presenccedila de tais conceitos nessa
fase dado que um nuacutemero consideraacutevel de alunos ainda natildeo possui maturidade (manipula-
ccedilatildeo algeacutebrica soacutelida poder de abstraccedilatildeo consolidado domiacutenio amplo da aritmeacutetica etc)
suciente para compreender tamanho grau de abstraccedilatildeoexigecircncia Caso haja alunos com
tal capacidade eacute recomendado propor em aulas especiais direcionadas didaticamente com
a linguagem de assimilaccedilatildeo proacutepria bem proacutexima dos alunos Nesse iacutenterim a presenccedila
da noccedilatildeo intuitiva de limite e ideais correlatas de integral pode ser destacada de forma
construtiva e com grau de abstraccedilatildeo passiacutevel de entendimento em pelo menos trecircs pontos
especiacutecos estudados no Ensino Fundamental a primeira abordagem pode ser inserida
a partir do momento em que o professor inicia o estudo dos nuacutemeros racionais (diacutezimas
perioacutedicas) o segundo enfoque pode ser aplicado ao demonstrar de maneira completa o
Teorema de Tales e a terceira citaccedilatildeo deve ocorrer ao estudar aacutereas de guras planas
principalmente ao apresentarprovar a aacuterea de uma regiatildeo retangular A exibiccedilatildeo desses
toacutepicos direcionada ao Ensino Fundamental pode ser conferida ao realizar a leitura do
capiacutetulo referente agraves sequencias didaacuteticas sugeridas posteriormente nessa dissertaccedilatildeo
Na ordem cronoloacutegica e didaacutetica dos livros atuais de matemaacutetica do Ensino
Meacutedio nota-se a necessidade de introduccedilatildeo das noccedilotildees de limite jaacute na 1a seacuterie Ao estudar
a representaccedilatildeo decimal de nuacutemeros racionais innitos e perioacutedicos jaacute se faz uso impliacutecito
do conceito de limite Nessa mesma linha ao apresentar os nuacutemeros irracionais e reais
tambeacutem eacute necessaacuterio em diversos pontos citar a ideia de limite Em seguida haacute necessidade
de mencionar a referida teoria ao estudar as minuacutecias de uma funccedilatildeo seja ela qual for
principalmente ao realizar a anaacutelise graacuteca Tambeacutem eacute possiacutevel vericar a aplicabilidade
de limite ao estudar sequecircncias em particular e em maior grau ao estudar a soma de uma
seacuterie convergente (progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo (q) denida por (0 lt |q| lt 1) Aleacutem
disso pode-se adaptar a referida soma numa aplicaccedilatildeo praacutetica usual e diaacuteria que consiste
no estudo de capitalizaccedilatildeo contiacutenua em Matemaacutetica Financeira (deniccedilatildeo do nuacutemero de
Euler) Eacute possiacutevel promover atividades interdisciplinas com a Fiacutesica e com a Quiacutemica
Relativamente agrave primeira justica-se a correspondecircncia durante o estudo de Mecacircnica
(velocidade e aceleraccedilatildeo instantacircnea trabalho realizado por uma forccedila etc) Enquanto
a segunda a associaccedilatildeo pode ser feita durante o estudo de Desintegraccedilatildeo Radioativa Ao
estudar Geometria plana eacute possiacutevel embutir agraves noccedilotildees de limite ao inserir o conceito de
grandezas incomensuraacuteveis ao demonstrar o Teorema de Tales e consequentemente ao
aplicaacute-lo ao estudo de semelhanccedila de triacircngulos e nalmente ao introduzir o estudo de
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 31
aacutereas de guras planas (ciacuterculo e suas partes segmento paraboacutelico hipeacuterboles etc) em
particular aquelas que apresentam pelo menos um lado curviliacuteneo
Durante a 2a seacuterie ou fase nal da 1a haacute necessidade de menccedilatildeo a ideia de
limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas aleacutem de aparecer ao estudar aacutereas
superciais e volumes de soacutelidos geomeacutetricos Tambeacutem nota-se indiacutecio ao estudar o caacutel-
culo de determinantes ao discutir sistemas lineares ao resolver problemas de contagem
(somatoacuterios de seacuteries especiacutecas) pertencentes agrave anaacutelise combinatoacuteria e ao investigar de-
terminadas probabilidades associadas a problemas baacutesicos De maneira interdisciplinar
constata-se a necessidade de ecircnfase no estudo do trabalho realizado por um gaacutes numa
transformaccedilatildeo isoteacutermica (Lei de Boyle) por exemplo
Jaacute na 3a seacuterie eacute possiacutevel incrementar o estudo de Geometria Analiacutetica Cocircnicas
e Polinocircmios com uma abordagem que evoque o emprego das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo
(limite derivada e integral) Aleacutem disso eacute possiacutevel promover atividades suplementares
que apliquem as ideias correlatas do Caacutelculo em toacutepicos do estudo de eletricidade (campo
eleacutetrico potecircncia corrente etc)
32
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS
A importacircncia do estudo de limites derivadas e integrais pode ser vericada
ao analisar os nuacutemeros relativos agraves grades dos cursos ofertados pelas universidades fe-
derais e por algumas faculdades particulares Por exemplo a Universidade Federal do
Espiacuterito Santo (UFES) oferece 90 cursos de graduaccedilatildeo (total de 4975 vagas anuais) e des-
ses haacute uma variedade de cursos cujas ementas empregam direta ou indiretamente noccedilotildees
elementares de Caacutelculo tais como Fiacutesica Quiacutemica Estatiacutestica Matemaacutetica Ciecircncias Bi-
oloacutegicas Administraccedilatildeo Arqueologia Medicina Farmaacutecia Ciecircncias Contaacutebeis Ciecircncias
Econocircmicas Engenharias Arquitetura e Urbanismo Psicologia Agronomia Zootecnia
Sistemas de Informaccedilatildeo Desenho Industrial Tecnologia Mecacircnica Oceanograa e Ciecircncia
da Computaccedilatildeo Dentre os cursos de bacharelados e licenciaturas distribuiacutedos em turnos
(Diurno Vespertino e Noturno) e espalhados pelo Campus da UFES mais de 50 neces-
sita do conhecimento de ideias correlatas do Caacutelculo isto eacute mais da metade dos futuros
prossionais a serem formados pela UFES precisam estudar impliacutecita ou explicitamente
noccedilotildees de limite derivada e integral
Somente os dados relatados no paraacutegrafo anterior seriam sucientes para jus-
ticar o retorno do emprego de noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo no Ensino Meacutedio poreacutem haacute
outros fatores que reforccedilam a temaacutetica abordada nesse trabalho De acordo com informa-
ccedilotildees fornecidas pelos meios regulamentadores da educacional nacional de niacutevel superior
na aacuterea de Engenharias haacute uma reduccedilatildeo (nos vestibulares do paiacutes) no nuacutemero de inscritos
em cursos de exatas e aumento constante da evasatildeo dos alunos matriculados em cursos
que envolvam o emprego de elementos do Caacutelculo em particular os de engenharia de-
vido agrave diculdade encontrada pelos alunos via anaacutelise preliminar da grade curricular do
curso pretendidoe em parte pelo fato de natildeo receber orientaccedilotildees sobre toacutepicos correlatos
do caacutelculo diferencial e integral no ensino fragmentado e desmotivador promovido pela
maioria das escolas brasileiras haacute seacuteculos em geral natildeo estar sendo realizado um traba-
lho interdisciplinar signicativo e com respaldo de preparaccedilatildeo para o ingresso futuro no
ensino superior
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 33
Uma proposta de mudanccedila desse panorama preocupante pode ser realizada via
inclusatildeo de conceitos baacutesicos do Caacutelculo Diferencial e Integral no Ensino Meacutedio fato que
proporcionaria aos alunos aulas motivadoras interdisciplinares e mais proacuteximas da reali-
dade dos alunos com uma discussatildeo mais ampla natural generalizada e contextualizada
de conteuacutedos do proacuteprio Ensino Meacutedio Entretanto para que essa inclusatildeo ocorra eacute ne-
cessaacuterio que os cursos de Licenciatura em Matemaacutetica formem professores capazes de lidar
com essa realidade Sendo assim o Caacutelculo Diferencial e Integral deve ser apresentado
aos licenciandos como uma disciplina baacutesica poreacutem ampla e integradora propiciando aos
futuros professores uma visatildeo mais geral e segura dos conteuacutedos do Ensino Meacutedio Eacute im-
portante salientar que haacute estados brasileiros que apresentam noccedilotildees de Caacutelculo em seus
curriacuteculos escolares baacutesicos do Ensino Meacutedio
Antes de iniciar as consideraccedilotildees quanto agrave existecircncia ou natildeo das noccedilotildees intui-
tivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo nos livros dos diversos autores renomados
cujos livros didaacuteticos satildeo amplamente adotados para tornar completa a breve discussatildeo
histoacuterica e embasada pela opiniatildeo de diversos autores eacute salutar a realizaccedilatildeo de um diag-
noacutestico informal da situaccedilatildeo em que se encontram os cursos de que necessitam do emprego
da disciplina de Caacutelculo em suas grades curriculares Aleacutem disso faremos uma reexatildeo
do ensino de matemaacutetica no Brasil
Segundo a LDB [30] o Ensino Meacutedio eacute a etapa nal da educaccedilatildeo baacutesica(Art35)
e o mesmo deve possuir um curriacuteculo com a caracteriacutestica da terminalidade isto eacute segundo
o PCNEM (2000) [20] o Ensino Meacutedio deve ser capaz de
() assegurar a todos os cidadatildeos a oportunidade de consolidar e apro-fundar os conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental aprimoraro educando como pessoa humana possibilitar o prosseguimento de estu-dos garantir a preparaccedilatildeo baacutesica para o trabalho e a cidadania dotaro educando dos instrumentos que o permitam continuar aprendendotendo em vista o desenvolvimento da compreensatildeo dos fundamentos ci-entiacutecos e tecnoloacutegicos dos processos produtivos(Art35 incisos I a IV)(PCNEM [21] 2000 p 9)
Fazer com que haja continuaccedilatildeo dos estudos posteriormente em niacuteveis superi-
ores eacute uma meta arrojada uma vez que os resultados das avaliaccedilotildees institucionais como o
Sistema Nacional de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) e o Exame Nacional do Ensino
Meacutedio (ENEM) cujas provas satildeo produzidas pelo governo federal indicam um iacutendice de
fracasso ao teacutermino do ensino meacutedio pois uma parcela consideraacutevel dos formandos apre-
sentam diculdades baacutesicas na compreensatildeo de conceitos e procedimentos fundamentais
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 34
quanto agraves operaccedilotildees aritmeacuteticas e compreensatildeo geral via interpretaccedilatildeo Contudo ainda
se faz necessaacuterio propor algo que facilite a vida desses alunos pois aqueles que ingressam
no ensino superior em especial aos cursos que necessitam de uma veia na aacuterea de exatas
vatildeo se deparar com a disciplina de Caacutelculo que requer o domiacutenio amplo da matemaacutetica
baacutesica para conseguir acompanhar o grau de abstraccedilatildeo a ser introduzido por meio da
compreensatildeo das noccedilotildees iniciais de limite derivada e integral
De acordo com NIETO (2005 p7) [36] eacute certo que uma reforma deveria ser
iniciada nos ensinos fundamental e meacutedio no entanto esse aluno estaacute chegando ao curso
superior e noacutes professores universitaacuterios natildeo podemos enviaacute-los de volta E mais eacute
possiacutevel constatar que a situaccedilatildeo vem se agravando nos uacuteltimos anos devido agraves diculda-
des de aprendizagem de Matemaacutetica no Ensino Fundamental e Meacutedio evidenciadas pelos
resultados das avaliaccedilotildees sob a coordenaccedilatildeo do INEP tais como as provas do Sistema de
Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) do Exame Nacional do Ensino Meacutedio (ENEM)
e do Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo de Alunos (PISA) Essa conjuntura implica
diretamente na avaliaccedilatildeo da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral pois os alunos
com pouca bagagem de matemaacutetica baacutesica certamente produziratildeo rendimentos aqueacutem
das possibilidades contribuindo para o aumento dos iacutendices de reprovaccedilatildeo na referida
disciplina Isso nos conduz ao seguinte raciociacutenio Por que natildeo incluir na preparaccedilatildeo dos
alunos do Ensino Meacutedio toacutepicos que faccedilam a conexatildeo com os conceitos do Caacutelculo Dife-
rencial e Integral (um curso de nivelamento preacute-caacutelculo) Por que natildeo criar estrateacutegias
didaacuteticas que promovam a interdisciplinaridade e transforme o aprendizado dos conteuacute-
dos mais sosticado Com absoluta certeza eacute notoacuterio entre os professores e alunos via
anaacutelise de questionaacuterios acessiacuteveis em anexos que tais iniciativas podem tornar o extenso
curriacuteculo menos complexo mais loacutegico e ainda repleto de conteuacutedos natildeo fragmentados e
com signicados respaldados nas diversas contextualizaccedilotildees e interdisciplinaridades dis-
poniacuteveis e acessiacuteveis ao dia-a-dia do aluno Isto eacute eacute possiacutevel ensinar toacutepicos intuitivos
de limite derivada e integral durante o Ensino Meacutedio tanto na Matemaacutetica quanto na
Fiacutesica e Quiacutemica poreacutem eacute necessaacuterio realizar mudanccedilas nos PCN no curriacuteculo baacutesico
escolar capacitar professores e produzir material suplementar que preencha as lacunas
encontradas nos principais livros didaacuteticos utilizados atualmente
Num artigo publicado na RPM o professor Geraldo AacuteVILA [1] faz o seguinte
questionamento sobre a inclusatildeo de toacutepicos do Caacutelculo no Ensino Meacutedio
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 35
Por que natildeo ensinamos Caacutelculo na escola de segundo grau Seraacute queeacute um assunto muito difiacutecil Foi sempre assim no passado ou jaacute houveeacutepoca em que o Caacutelculo era ensinado na escola secundaacuteria E nos outrospaiacuteses como eacute a situaccedilatildeo Eacute ou natildeo conveniente introduzir o Caacutelculo noensino Por que Como fazer isso (AacuteVILA [1] 1991 p1)
Eacute vaacutelido ressaltar que uma introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial e Integral jaacute
esteve presente no curriacuteculo escolar baacutesico Segundo CARVALHO (1996) [5] a participaccedilatildeo
ocorreu em dois momentos distintos em 1891 com a reforma proposta por Benjamim
Constant no iniacutecio da Repuacuteblica foi a primeira oportunidade em que houve constataccedilatildeo
da presenccedila e a segunda iniciou em 1942 durante a Reforma Capanema ocorrida no
governo de Getuacutelio Vargas permanecendo ocialmente ateacute 1961 Durante as deacutecadas de
60 e 70 inuenciado pelo movimento da Matemaacutetica Moderna o ensino brasileiro sofreu
mudanccedilas consideraacuteveis dentre elas a exclusatildeo do Caacutelculo do programa baacutesico de ensino
Tambeacutem eacute importante citar que ateacute nos dias atuais ainda encontra-se alguns
livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio que fazem menccedilatildeo a toacutepicos relativos ao Caacutelculo em-
bora sejam negligenciados por parte dos professores e gestores com o pretexto de que
ampliariam o jaacute extenso curriacuteculo e aleacutem disso a linguagem empregada eacute inacessiacutevel aos
estudantes isto eacute quando haacute presenccedila no livro didaacutetico natildeo ocorre inclusatildeo no curriacuteculo
escolar baacutesico Na verdade o que se faz nos dias atuais nas escolas de Ensino Meacutedio das
redes puacuteblica e privada eacute um verdadeiro curso preacute-ENEM (curso preacute-vestibular) extensivo
aos trecircs anos de estudo no Ensino Meacutedio com o intuito de promover a instituiccedilatildeo com
iacutendices de aprovaccedilatildeo em faculdades e universidades do paiacutes em detrimento ao estiacutemulo a
um ensino construtivo signicativo e passiacutevel de ser aproveitaacutevel em estudos posteriores
no ensino superior ou tecnoloacutegico Imagine como reagiria um professor enclausurado nesse
sistema de ensino que prioriza conteuacutedos fragmentados e sem signicados ao ser questi-
onado com uma pergunta simples do tipo O que eacute limite derivada e integral Onde
aplico tais ideiasMuitos colegas de prossatildeo jaacute responderam assim Quando vocecirc es-
tudar Caacutelculo vocecirc saberaacute Ou entatildeo Isso vocecirc soacute aprende na faculdade Essa atitude
com absoluta certeza desapontaria demais o aluno aacutevido pelo conhecimento e talvez ateacute
sepultaria uma mente prodigiosa apta ao desenvolvimento do Caacutelculo
Ainda nesse sentido observe a opiniatildeo de AacuteVILA (1991 p1-9) [1] o qual
defende que o conceito de derivada pode ser ensinado com grande vantagem logo na
primeira seacuterie do segundo grau ao lado do ensino de funccedilotildeese ainda destaca a importacircncia
do estudo da derivada na continuidade do estudo de funccedilotildees em especial as polinomiais e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 36
as suas variadas aplicaccedilotildees cientiacutecas principalmente no estudo do movimento na Fiacutesica
Antes da compreensatildeo do conceito de derivada eacute necessaacuterio compreender e
dominar as noccedilotildees de limite pois a derivada eacute uma aplicaccedilatildeo de limite e sua deniccedilatildeo
atual utiliza as noccedilotildees de limite O domiacutenio de parte das propriedades decorrentes do
estudo de derivadas faraacute com que o entendimento de determinadas propriedades relativas
ao estudo de funccedilotildees tanto na Matemaacutetica quanto na Fiacutesica seja compreendida com mais
argumentos de maneira mais coerente contextualizada e interdisciplinar
Nessa linha eacute imprescindiacutevel mencionar o artigo Caacutelculo no Segundo Grau
publicado na RPM n 20 do professor Roberto Costallat DUCLOS (1992) [10] que segue
e apoia a linha de defesa do professor AacuteVILA sobre a possibilidade de difusatildeo de novas
ideias e sobretudo pela gama de aplicabilidade de seus meacutetodos
De acordo com os argumentos exposto pelo professor Geraldo AacuteVILA [1] na
RPM 18 eacute possiacutevel introduzir o Caacutelculo Integral no Ensino Meacutedio de modo a incitar o
interesse e a curiosidade desde que seja de maneira intuitiva dando ecircnfase as ideias e
aplicaccedilotildees em detrimento das teacutecnicas e suas propriedades Ele ainda faz uma criacutetica
agravequeles que opinam de forma contraacuteria
A ideia de que os programas de matemaacutetica satildeo extensos e natildeo compor-tariam a inclusatildeo do caacutelculo eacute um equiacutevoco Os atuais programas estatildeoisto sim mal estruturados (AacuteVILA [1] 1991 p 1-9)
Apoacutes exibir o panorama da educaccedilatildeo matemaacutetica nacional e citar as contribui-
ccedilotildees favoraacuteveis da apresentaccedilatildeo das noccedilotildees do Caacutelculo Diferencial e Integral que remetem
a ideia de limite eacute vaacutelido repassar ao leitor do presente trabalho os elementos norteadores
da referida pesquisa ou seja uma lista dos livros didaacuteticos e dos seus respectivos auto-
res com o intuito de criar uma simbologia numeacuterica isto eacute uma legenda de associaccedilatildeo
de cada livro segundo o nuacutemero indicado no rol abaixo com intuito de evitar repeticcedilotildees
desnecessaacuterias
1 Matemaacutetica Contexto amp Aplicaccedilotildees de Luiz Roberto DANTE [9] (Dante) - Editora
Aacutetica 2010
2 Matemaacutetica de Manoel PAIVA [23] Editora Moderna 2009
3 Matemaacutetica Coleccedilatildeo Novo Olhar de Joamir Roberto de SOUZA [25] Editora FTD
2010
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 37
4 Matemaacutetica Ciecircncia e Aplicaccedilotildees de Gelson IEZZI [15] Osvaldo Dolce David
Degenszajn Roberto Peacuterigo e Nilze de Almeira Editora Saraiva 2010
5 Matemaacutetica Completa de Joseacute Ruy GIOVANNI [29] e Joseacute Roberto Bonjorno (Gi-
ovanni e Bonjorno) Editora FTD 2005
6 A Matemaacutetica do Ensino Meacutedio Coleccedilatildeo do Professor de Matemaacutetica de Elon Lages
LIMA [17] Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner e Augusto Ceacutesar Morgado
Editora SBM 2006 (6a ediccedilatildeo)
7 Fundamentos de Matemaacutetica Elementar (vol 8) Editora Atual 1993 (diversos
autores)
8 Noccedilotildees de Caacutelculo (vol 9) - Seacuterie Matemaacutetica por assunto de Nilson Joseacute Machado
Editora Scipione 1988
9 Caacutelculo de Geraldo Aacutevila Editora LTC 1988
10 Caacutelculo de James Stewart (vol I) Editora Pioneira 2003 (4a Ediccedilatildeo)
Os livros didaacuteticos que foram analisados possuem publicaccedilotildees em trecircs volumes
foram numerados de 1 ateacute 6 Jaacute os livros que possuem volume uacutenico integrado ou livros
especiacutecos de coleccedilotildees divididos por assunto conforme a preferecircncia do autor foram
numerados de 7 ateacute 10 Quantos aos primeiros (de 1 a 6) foi feito uma analise minuciosa
tanto dos conteuacutedos quanto dos guias de orientaccedilatildeo do professor Jaacute os uacuteltimos (de 7
ateacute 10) foram citados simplesmente como sugestatildeo de uma leitura mais renada e com o
intuito de repassar aos professores uma oportunidade de enriquecer seus conhecimentos
com um material didaacutetico de qualidade A escolha dos livros de 1 a 6 eacute justicada pelo
fato de que a maioria desses autores estaacute ou jaacute esteve presente de forma maccedilante nas
escolas puacuteblicas e particulares brasileiras
A anaacutelise realizada nos livros consiste numa investigaccedilatildeo especiacuteca e minuciosa
em busca de pontos (conteuacutedos) que faccedilam menccedilatildeo as noccedilotildees elementares e intuitivas do
Caacutelculo (limite derivada e integral)
Dentre todos os livros analisados destaca-se o livro do DANTE (1) como o
mais completo em todos os aspectos (deniccedilotildees mais rigorosas maior nuacutemero de de-
monstraccedilotildees conteuacutedo contextualizada e interdisciplinar etc) poreacutem eacute vaacutelido ressal-
tar que a linguagem adotada natildeo eacute tatildeo simples assim como os exerciacutecios propostos
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 38
possuem grau de diculdade mais acentuado Aleacutem disso consiste no material didaacute-
tico que mais se aproxima do propoacutesito desse trabalho ou seja de explicar eou jus-
ticar os fatosconteuacutedosteoremas com argumentos satisfatoacuterios e com ideias intuiti-
vasinterdisciplinascontextualizadasconstrutivas sem receio de abordar toacutepicos relativos
ao Caacutelculo Diferencial e Integral
No livro (1) volume 1 a presenccedila das noccedilotildees intuitivas de limite pode ser
vericada no estudo de diacutezimas perioacutedicas na apresentaccedilatildeo do nuacutemero irracional e no
estudo do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica na soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita e no caacutelculo da aacuterea do ciacuterculo Tambeacutem eacute notaacutevel a presenccedila das noccedilotildees de
derivada ao trabalhar com taxa de variaccedilatildeo da funccedilatildeo quadraacutetica e consequente aplicaccedilatildeo
no Movimento Uniformemente Variado (MUV) Nesse iacutenterim tambeacutem ocorre menccedilatildeo
elementar do estudo de integral via aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau No
volume 2 da referida da obra a ideia de limite estaacute presente no estudo da aacuterea da superfiacutecie
esfeacuterica Jaacute no volume 3 haacute um estudo completo das noccedilotildees elementares de derivada via
razatildeo incremental e via aplicaccedilotildees em problemas da Fiacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que tais
noccedilotildees motivaram algumas atividades presentes na sequecircncia didaacutetica a ser apresentada
nesse trabalho O manual do professor embora seja pedagoacutegico com excelentes dicas
de atividades utilizando diversas metodologias recursos didaacuteticos softwares educacionais
e sugestotildees de revistas livros e lmes atrelados ao ensino de matemaacutetica natildeo possui
formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo alguma que oriente o professor a trabalhar com ideias correlatas do
Caacutelculo
O volume 1 do livro (2) haacute apenas uma citaccedilatildeo direta das ideias de limite
ao introduzir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita Jaacute no volume
(2) uma citaccedilatildeo indireta das noccedilotildees elementares de limite ao explicar a aacuterea do ciacuterculo
Quanto ao volume 3 natildeo haacute menccedilatildeo alguma das noccedilotildees elementares do Caacutelculo A
propoacutesito o manual destinado aos professores como suporte de preparaccedilatildeo para suas
aulas natildeo apresenta toacutepicos do Caacutelculo e haacute diversos pontos de erros conceituais
A partir da avaliaccedilatildeo do volume 1 do livro (3) foi possiacutevel vericar que haacute
somente um breve comentaacuterio no estudo de soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
das noccedilotildees de limite E mais natildeo existe citaccedilatildeo no volume 2 e no volume 3 temos
apenas um comentaacuterio ao calcular a aacuterea da superfiacutecie da esfera O guia pedagoacutegico natildeo
menciona elementos do caacutelculo embora promova inuacutemeras situaccedilotildees em que o emprego
das noccedilotildees de caacutelculo poderia se explorada de maneira luacutedica criativa interdisciplinar e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 39
contextualizada
No livro (4) volume 1 tambeacutem existe uma abordagem de limite no estudo de
soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Enquanto no volume 2 haacute um preluacutedio
das ideias de limite atreladas as noccedilotildees de integral quando aborda a aacuterea do ciacuterculo e
quando explora a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica Em relaccedilatildeo ao volume 3 natildeo haacute citaccedilotildees
intuitivas de limite derivada e integral Embora a quantidade de abordagens de ideias
correlatas do Caacutelculo seja piacutea o manual pedagoacutegico estaacute coberto de estrateacutegias inovado-
ras que podem ser exploradas e incrementadas de noccedilotildees de limite deriva ou ateacute mesmo
integral
Tambeacutem no volume 1 do livro (5) foi possiacutevel constatar que as ideias de limite
estatildeo sendo difundidas ao inserir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Jaacute no
volume 2 da referida obra o autor faz referencia as noccedilotildees de limite e de integral ao provar
o volume da esfera Enquanto o volume 3 apresenta um estudo das noccedilotildees elementares de
limite e de derivadas assim como suas propriedades e aplicaccedilotildees Embora haja capiacutetulos
especiacutecos que abordam toacutepicos do Caacutelculo de maneira simploacuteria e pouco signicativa
o manual pedagoacutegico do professor mostrou-se deciente quanto ao direcionamento do
trabalho para incitar as ideias correlatas do Caacutelculo Eacute bom salientar que a obra analisada
eacute a coleccedilatildeo de trecircs volumes mais antiga anterior a mudanccedila do novo ENEM e talvez isso
seja uma justicativa para o emprego de limite e derivadas em detrimento ao modelo
padronizado dos livros publicados de 2009 em diante que supervalorizam as atividades em
favor de situaccedilotildees problema tipo ENEM
Enm o livro (6) volume 1 da Coleccedilatildeo Professor de Matemaacutetica (SBM) des-
tinada a professores que atual no ensino meacutedio apresenta citaccedilotildees das noccedilotildees intuitivas
de limite e de derivadas com excesso de rigor e abstraccedilatildeo ao estudar a continuidade da
funccedilatildeo proporcionalidade via limite de uma sequencia e ao estudar de forma interdisci-
plinar o MUV via razatildeo incremental (noccedilatildeo intuitiva de derivada) Tambeacutem haacute citaccedilatildeo
das ideias de derivadas ao citar ao estudar as funccedilotildees polinomiais via meacutetodo de Newton
e ainda haacute citaccedilatildeo das noccedilotildees de limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas
via justicativa do comportamento de graacutecos e estabelecimento no nuacutemero de Euler Jaacute
no volume 2 da referida coleccedilatildeo haacute citaccedilatildeo de limite durante o estudo de soma dos termos
de uma progressatildeo geomeacutetrica innita e menccedilatildeo intuitiva de integral ao propor o volume
de corpos redondos (cilindros cones e esferas) E nalmente no volume 3 ocorre uma
menccedilatildeo ao estudo derivada via equaccedilotildees algeacutebricas Eacute vaacutelido ressaltar que natildeo haacute guia de
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 40
orientaccedilatildeo para os professores pois o proacuteprio livro trata-se de uma guia de reexatildeo criacutetica
em relaccedilatildeo agrave abordagem precaacuteria de matemaacutetica encontrada nos principais livros didaacuteticos
do paiacutes O niacutevel dos exerciacutecios dos trecircs volumes eacute de grau elevadiacutessimo e os idealizadores
do referido material satildeo professores do Instituto de Matemaacutetica Pura e Aplicada (IMPA
RJ) o que certamente explica a fundamentaccedilatildeo precisa a preocupaccedilatildeo com o rigor da
linguagem e o grau de abstraccedilatildeo existentes nas proposiccedilotildees demonstraccedilotildees aplicaccedilotildees e
exerciacutecios dos livros em questatildeo
Assim foi possiacutevel avaliar que todos os livros analisados exibiram as noccedilotildees
elementares do Caacutelculo somente durante o estudo da soma dos termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita e em alguns casos de caacutelculo da aacuterea de ciacuterculos aacuterea supercial e
volume de uma esfera Apenas os livros (1) e (5) possuem apresentaccedilatildeo de elementos do
Caacutelculo de maneira sistecircmica e conceitual poreacutem a metodologia natildeo eacute conveniente e a
linguagem empregada estaacute distante da realidade da educaccedilatildeo puacuteblica da rede estadual do
Espiacuterito Santo Essas consideraccedilotildees reetem o caraacuteter defendido nos PCNEM [21] que
natildeo fazem menccedilatildeo a necessidade de repassar aos alunos elementos essenciais do Caacutelculo e
no curriacuteculo baacutesico estadual que apresenta excesso de conteuacutedo e ausecircnciadeciecircncia de
atividades que estimulem a modelagem matemaacutetica e o estudo dirigido de noccedilotildees intuitivas
de limite derivada e integral
A partir da anaacutelise dispostos de forma tabular a seguir eacute possiacutevel inferir de ma-
neira resumida e simplicada as conclusotildees obtidas a partir da anaacutelise dos livros didaacuteticos
investigados e numerados de 1 a 6
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 41
Tabela 51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos
LIVROS DIDAacuteTICOS ANALISADOS
DANTE PAIVA JOAMIR IEZZI GIOVAN SBM
CONCLUSOtildeES IMEDIATAS 1 2 3 4 5 6
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de limite
SIM SIM SIM SIM SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de derivada
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de integral
SIM NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO NAtildeO
No manual pedagoacutegico do profes-
sor existe orientaccedilatildeo sobre a in-
serccedilatildeo de noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NPM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira contextua-
lizada intuitiva e construtiva
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira interdisci-
plinar
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Dedicam capiacutetulos exclusivos
para as noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO
Haacute exerciacutecios de xaccedilatildeo que ex-
ploram de modo investigativo as
noccedilotildees de Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Haacute alguma atividade de explo-
raccedilatildeo das noccedilotildees de Caacutelculo via
software de geometria dinacircmica
ou planilha eletrocircnica
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO
NPM = NAtildeO POSSUI MANUAL
42
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS
PROFESSORES
De acordo com a anaacutelise dos dados coletados eacute possiacutevel constatar que a maio-
ria dos professores atuantes no niacutevel baacutesico da educaccedilatildeo estaacute negligenciando o ensino das
noccedilotildees intuitivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo em detrimento ao cumprimento
do curriacuteculo preacute-estabelecido pela rede a qual trabalham eou em virtude de direciona-
mento de trabalho visando melhores resultados na prova do Programa de Avaliaccedilatildeo da
Educaccedilatildeo Baacutesica do Espiacuterito Santo (PAEBES) e ENEM Isso se justica por inuacutemeros
fatores formaccedilatildeo deciente durante a graduaccedilatildeo baixo niacutevel de aprendizagem dos alunos
(deacutecit herdado de um Ensino Fundamental tradicional arcaico obsoleto e negligente)
inexistecircncia de material didaacutetico de orientaccedilatildeo especiacuteca ausecircncia de participaccedilatildeo do
tema em estudo no curriacuteculo baacutesico norteador e inexistecircncia de cursos de capacitaccedilatildeo
para aprimorarem seus conhecimentos
Segundo a opiniatildeo geral dos professores que responderam os questionaacuterios os
cursos de licenciaturas em Matemaacutetica poderiam explorar de maneira mais diversicada as
ideias correlatas do Caacutelculo Eacute consensual que a maioria dos professores mestredoutores
das universidades federais poderia aprimorar sua didaacutetica com o intuito de melhorar a
exposiccedilatildeoapresentaccedilatildeo de determinados conteuacutedos e aleacutem disso sugeriram que a apre-
sentaccedilatildeo de conteuacutedos correlacionados ao Caacutelculo seja realizada por meio de estrateacutegias
diferenciadas (recursos didaacuteticos e modelagem matemaacutetica) Isso pode contribuir de ma-
neira signicativa para melhorar os niacuteveis de aprendizagem durante a fase de graduaccedilatildeo
e ao mesmo tempo servir de estiacutemulo para estudos posteriores Eacute certo que a realidade
vem melhorandoultimamente devido exigecircncias impostas pelas poliacuteticas governamen-
tais em melhorar os altos e absurdos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo I mas
em contrapartida os setores responsaacuteveis pela validaccedilatildeo de complementaccedilotildees (licenciatu-
ras curtas) e alguns cursos de Licenciatura a distacircncia sejam mais rigorosos ao avaliar
o conceito dessas graduaccedilotildees para que a formaccedilatildeo desses professores seja qualidade ex-
celente ao ponto de acumular bagagem de estaacutegio e conhecimento especiacuteco suciente
para explorar ao maacuteximo a capacidade de seus alunos A realidade vivenciada nos editais
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 43
de contrataccedilatildeo de professores de designaccedilatildeo temporaacuteria seja da secretaria de educaccedilatildeo
municipal ou estadual do Espiacuterito Santo aparenta nos remeter a ideia de que o tiacutetulo
eacute mais importante do que o conteuacutedo o objeto de estudo analisado Esse dado eacute um
fator que contribui indiretamente para a reduccedilatildeo da procura de alunos para as licencia-
turas na UFES e IFES Por exemplo o curso de Matemaacutetica no processo seletivo 1 UFES
20132014 ofereceu 50 vagas das quais apenas 27 alunos conseguiram obter notas que os
capacitassem para prosseguir o curso
Aqueles professores que relataram citaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
em pontos especiacutecos do Ensino Meacutedio informaram que fazem apenas uma abordagem
supercial sem embasamento teoacuterico com pouca mobilidade metodoloacutegica e sem respaldo
curricular Tambeacutem relataram que os poucos cursos de capacitaccedilatildeo que existem ocorrem
em horaacuterios e dias natildeo convenientes (recesso eou feacuterias nais de semana etc) Quanto ao
respaldo curricular os professores argumentaram que os PCNEM natildeo apresentam menccedilatildeo
alguma agrave introduccedilatildeo das ideias intuitivas do Caacutelculo E caso houvesse uma mudanccedila nesse
documento haveria necessidade de curso de formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo com material didaacutetico
autoexplicativo e focado na realidade da educaccedilatildeo baacutesica dado que os referidos docentes
natildeo fazem ideia de como realizar a introduccedilatildeo de tais conceitos no modelo educacional
vigente
Os docentes tambeacutem nos disseram que caso fossem questionados sobre algum
ponto que requeresse citaccedilatildeo de noccedilotildees elementares do Caacutelculo a priori deixariam a
discussatildeo de forma particular com o aluno que promoveu a pergunta ou entatildeo daria uma
desculpa qualquer de que tais noccedilotildees seratildeo discutidas posteriormente no Ensino Superior
somente para os privilegiados que estudaratildeo a disciplina de Caacutelculo
Os dados da pesquisa servem para uma reexatildeo sobre a situaccedilatildeo do ensino de
matemaacutetica embora o espaccedilo amostral esteja concentrado nas escolas da Grande Vitoacuteria
pode ser que esteja dissipada ao redor do estado Isso pode ser um obstaacuteculo agrave inser-
ccedilatildeo de elementos intuitivos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio pois eacute um tema bastante
discutiacutevel e natildeo dispomos de um modelo de educaccedilatildeo pronto que resolva os problemas men-
1Observaccedilatildeo o processo seletivo da UFES para o curso de Matemaacutetica eacute diferente dos demais pois o
aluno eacute preacute-aprovado para a 2a etapa e em seguida deve cursar durante o proacuteximo semestre duas disciplinas
Matemaacutetica Baacutesica I e II com a prerrogativa de obter rendimento miacutenimo de meacutedia nal de 50 pontos
em cada disciplina caso contraacuterio o aluno natildeo estaacute apto para prosseguir no curso de Matemaacutetica e o
mesmo eacute eliminado do certame
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 44
cionados Talvez tal negligecircncia tenha como consequecircncia agravante rendimentos piacuteos
por parte da maioria dos estudantes evasatildeo universitaacuteria e fuga aos cursos que requerem
conhecimento preacutevio de Caacutelculo poreacutem o universo estatiacutestico analisado natildeo eacute suciente
para tal conclusatildeo mas sim para uma reexatildeo As propostas a seguir tecircm a pretensatildeo
de preencher as lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos quanto ao repasse de noccedilotildees ele-
mentares de limite derivada e integral durante a educaccedilatildeo baacutesica Assim como promover
uma orientaccedilatildeo para os professores da educaccedilatildeo baacutesica por intermeacutedio de atividades praacute-
ticas construtivas contextualizadas e interdisciplinares Eacute vaacutelido ressaltar que o referido
trabalho jaacute eacute realizado em determinados estados brasileiros (Satildeo Paulo Minas Gerais
Rio Grande do Sul e Paranaacute) e aleacutem disso na Franccedila Portugal e Espanha o Caacutelculo
Diferencial e Integral eacute conteuacutedo do curriacuteculo miacutenimo comum obrigatoacuterio na educaccedilatildeo baacute-
sica Nos estados brasileiros que fazem referecircncia as noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio
a inclusatildeo do tema eacute inserida de maneira indireta transversal e interdisciplinar de acordo
com as duacutevidas e o grau de abstraccedilatildeo que o assunto requer A implementaccedilatildeo de nossa
proposta eacute uma tentativa de reduzir o grande abismo entre a educaccedilatildeo baacutesica e o ensino
superior Aleacutem disso pretendemos contribuir para o aumento da procura por cursos de
exatas nos vestibulares para a consideraacutevel melhora no rendimento universitaacuterio dos alu-
nos que cursavam disciplinas de Caacutelculo e para a promoccedilatildeo de um ensinoaprendizagem
mais signicativo concreto interdisciplinar contextualizado e motivador
Embora as noccedilotildees de limite derivada e integral natildeo estejam presentes de forma
direta e obrigatoacuteria no curriacuteculo miacutenimo de conteuacutedos do Ensino Meacutedio no curriacuteculo
escolar paulista (2011) haacute uma argumentaccedilatildeo excelente de defesa do ensino de noccedilotildees de
Caacutelculo na 3a etapa da educaccedilatildeo baacutesica na qual os autores trabalham com a ideia de que
havendo uma boa razatildeo para fazer algo sempre seraacute possiacutevel arquitetar uma maneira de
fazecirc-lo (quem tem um porque arruma um como) Por exemplo haacute uma orientaccedilatildeo
de trabalhar com uma escala de aprofundamento adequada ao grau de conhecimento
do aluno em questatildeo toacutepicos do Caacutelculo Diferencial por meio da anaacutelise de problemas
cotidianos (presentes em jornais e revistas) que medem a rapidez com que uma grandeza
cresce ou decresce em relaccedilatildeo agrave outra (o que futuramente aprenderatildeo como derivada)
Aleacutem disso orientam que o trabalho com o Caacutelculo Integral deve ser ealizado a partir de
uma aproximaccedilatildeo de uma grandeza variaacutevel por uma seacuterie de valores constantes (como se
fosse constante em pequenos intervalos)
45
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA
Com o intuito de realizar o resgate do repasse das noccedilotildees elementares do
Caacutelculo o presente trabalho estaraacute repleto de atividades que de forma direta eou indireta
citaratildeo as ideias intuitivas de limite de derivada e de integral
De fato haacute uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular durante o Ensino Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees
elementares do Caacutelculo e em caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite De fato haacute
uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em particular durante o Ensino
Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees elementares do Caacutelculo e em
caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite Aleacutem disso os dados das pesquisas realiza-
das revelaram agraves diculdades que muitos professores possuemteriam para expor o tema
tambeacutem foi visto que haacute mais pontos favoraacuteveis que desvantajosos em propor o resgate
da inserccedilatildeo de tais conceitos durante o Ensino Meacutedio e para nalizar foram constatadas
as deciecircncias existentes nas diversas literaturas disponiacuteveis
Assim a principal meta desse trabalho consiste em propor situaccedilotildees praacuteticas
em que haacute a necessidade de empregar e justicar o ensino das noccedilotildees intuitivas de limite e
ideias correlatas do Caacutelculo na educaccedilatildeo baacutesica em especial durante o Ensino Meacutedio Com
o intuito de ajudar colegas de prossatildeo tentamos propor abordagens do ensino das noccedilotildees
intuitivas de limite de derivada e de integral por meio de softwares de geometria dinacircmica
e planilhas eletrocircnicas de maneira que tais conceitos sejam introduzidos passo a passo
(algo bem construtivo) Pretendemos gerar um ambiente de reexatildeo sobre a importacircncia
de justicar determinados toacutepicos da matemaacutetica elementar com maior precisatildeo e aleacutem
disso fornecer subsiacutedios garantidos por lei para continuidade de estudos posteriores A
resoluccedilatildeo de cada situaccedilatildeo problema seraacute feita sempre que possiacutevel a partir dos meacutetodos
propostos por POLYA (1995) [28] os quais podem ser expressos em quatro passos
1 Compreender o problema Nesse 1o passo eacute importante fazer perguntas identicar
qual eacute a incoacutegnita do problemavericar quais satildeo os dados e quais satildeo as condiccedilotildees
entre outros
2 Construccedilatildeo de uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo Nesse 2o passo devemos encontrar as
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
conexotildees entre os dados e a incoacutegnita caso seja necessaacuterio considerando problemas
auxiliares ou particulares
3 Execuccedilatildeo da estrateacutegia Frequumlentemente o 3o passo eacute considerado o mais faacutecil do
processo de resoluccedilatildeo de um problema Contudo a maioria dos principiantes tende
a pular esta etapa prematuramente e acabam se dando mal
4 Revisatildeo da soluccedilatildeo O 4o passo consiste numa anaacutelise minuciosa da soluccedilatildeo obtida
em que eacute feita a vericaccedilatildeo dos resultados dos argumentos utilizados e da escrita
matemaacutetica aleacutem de ser uma etapa excelente para oportunizar uma reexatildeo sobre
a possibilidade de uma resoluccedilatildeo de modo diferente
Nesse iacutenterim eacute necessaacuterio ter uma preocupaccedilatildeo contiacutenua em realizar uma boa
interpretaccedilatildeo dos exerciacutecios seguida de uma atenciosa coleta de dados chegando ao ponto
de encontrar a melhor estrateacutegia para solucionar a questatildeo e apoacutes aplicar a melhor teacutecnica
(ou a mais conveniente) de resoluccedilatildeo nalizar a atividade por meio de uma revisatildeo da
soluccedilatildeo realizada com ecircnfase e detalhamento de valores obtidos assim como o estudo do
signicado semacircntico algeacutebrico ou geomeacutetrico eacute uma teacutecnica excelente e sugerimos que
se torne praacutetica diaacuteria de professores e alunos
MACHADO (2008) [19] professor e autor de livros de matemaacutetica elemen-
tarsuperior arma em seu artigo Caacutelculo Diferencial e Integral na Educaccedilatildeo Baacutesica
que a presenccedila das ideias baacutesicas do Caacutelculo eacute inserida em no dia-a-dia a partir do mo-
mento em que haacute o estudo analiacutetico do comportamento de grandezas variando com o
tempo Note o relato de MACHADO (2008 p1)
Eacute do diaacutelogo entre a permanecircncia e a variaccedilatildeo juntamente com a buscade uma forma de caracterizaccedilatildeo da rapidez com que uma grandeza variacom outra que nascem as duas ideias fundamentais do Caacutelculo a integrale a derivada (MACHADO 2008 [19] p1)
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO
FUNDAMENTAL
Embora contrarie as expectativas da maioria dos professores de matemaacutetica
atuantes nessa etapa da educaccedilatildeo baacutesica eacute possiacutevel inserir ideias fundamentais e construti-
vas de limite em diversos pontos do ensino fundamental poreacutem haacute trecircs ocasiotildees especiacutecas
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 47
em que o emprego das noccedilotildees intuitivas de limite faz-se necessaacuterio para completar o en-
tendimento e maximizar o ensinoaprendizagem dos alunos no estudo da representaccedilatildeo
decimal das diacutezimas perioacutedicas no estudo da demonstraccedilatildeo completa do Teorema de Ta-
les e no estudo de aacuterea de aacutereas de guras planas em particular a partir da aacuterea de um
retacircngulo
711 Diacutezimas Perioacutedicas
Em geral as diacutezimas perioacutedicas satildeo introduzidas a partir do 7o ano durante
o estudo da representaccedilatildeo decimal dos nuacutemeros racionais Um nuacutemero racional pode ser
representado por um nuacutemero decimal exato (diacutezima exata) que possui um nuacutemero nito
de casas agrave direita da viacutergula ou por um nuacutemero decimal innito e perioacutedico (diacutezima
perioacutedica) que possui um nuacutemero innito de casas agrave direita da viacutergula Em outras
palavras uma diacutezima perioacutedica eacute uma representaccedilatildeo numeacuterica em que haacute uma sequecircncia
nita de algarismos que se repetem indenidamente
Por deniccedilatildeo os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados
por uma fraccedilatildeo isto eacute nuacutemeros da forma pq com p e q nuacutemeros inteiros e q 6= 0 As
fraccedilotildees que geram diacutezimas perioacutedicas satildeo denominadas de fraccedilotildees geratrizes
Para transformar uma fraccedilatildeo (ab)cujo denominador apresente apenas fatores
2 ou 5 em um nuacutemero decimal pode-se aplicar o seguinte meacutetodo Considere b = 2x middot 5y
com x lt y Em seguida multiplique tanto o numerador quanto o denominador por 2yminusx
isto eacutea
b=
a middot 2yminusx
2x middot 5y middot 2yminusx=a middot 2yminusx
2y5y= a middot 2yminusx10minusy
Isso eacute equivalente a calcular o nuacutemero a middot 2yminusx e escrevecirc-lo apoacutes as x casas decimais apoacutes
a viacutergula Note que o caso x gt y eacute anaacutelogo ao anterior poreacutem o fator multiplicativo seraacute
5yminusx Por exemplo
7
20=
7
22 middot 5=
7 middot 52minus1
22 middot 5 middot 52minus1=
35
100= 0 35
A aplicaccedilatildeo desse procedimento para denominadores particulares que produ-
zem fraccedilotildees decimais nem sempre produz um nuacutemero nito de casas apoacutes a viacutergula Um
exemplo simploacuterio seria a tentativa de escrever a representaccedilatildeo decimal da fraccedilatildeo geratriz13 Note que
1
3=
1 middot 103 middot 10
=1
1010
3=
1
103 middot 3 + 1
3=
1
10(3 +
1
3) =
3
10+
1
101
3= 0 3 +
1
101
3
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 48
Repetindo o processo tem-se
1
3= 0 3 +
1
101
3= 0 3 +
1
10(0 3 +
1
101
3) = 0 3 + 0 03 +
1
1001
3
Observe que novamente apareceu a fraccedilatildeo original um terccedilo e eacute evidente que o
mesmo aconteceraacute nas proacuteximas iteraccedilotildees Isto signica que para a representaccedilatildeo decimal
de um terccedilo eacute necessaacuterio innitas casas decimais agrave direita da viacutergula Assim concluiacute-se
que1
3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()
Note que eacute importante que o professor interra com questionamentos sobre a
regularidade dos elementos que surgem nessa soma e com a solicitaccedilatildeo do Caacutelculo para um
nuacutemero particular de parcelas dessa soma A nalidade dessa tarefa eacute mostrar ao aluno
que um terccedilo eacute igual a uma soma de innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica cujo
primeiro termo eacute a1 = 0 3 e cuja razatildeo q = 0 1 (seacuterie convergente) Para calcular essa
soma eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees intuitivas de limite e isso seraacute realizado posterior-
mente nesse trabalho Note ainda que ao multiplicar a ambos os membros pelo nuacutemero
3 tem-se
3 middot 13= 3 middot 0 333rArr 1 = 0 999 = 0 9
Para que os alunos familiarizem-se com o procedimento anterior que utiliza a
ideia de innito de processo indenido proponha atividade de requeiram a determinaccedilatildeo
da representaccedilatildeo decimal por exemplo para as fraccedilotildees 311
e 17 Note que o grau de
diculdade aumenta e aguccedila a curiosidade do aluno Veja o resultado para a fraccedilatildeo
3
11=
3 middot 1011 middot 10
=1
1030
11=
1
10(2 middot 11 + 8
11) =
1
10(2 +
8
11) =
2
10+
1
108
11
Natildeo apareceu explicitamente a fraccedilatildeo 311
na primeira iteraccedilatildeo poreacutem na se-
gunda etapa tem-se 311
= 3middot1011middot10 = 1
103011
= 110(2middot11+8
11) = 1
10(2 + 8
11) = 2
10+ 1
10 811
=
0 2 + 110 80110
= 0 2 + 1100(7middot11+3
11) = 0 2 + 0 07 + 1
100 311
= 0 27 + 1100 311
Ou seja 311
= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1
100middot 311) = middot middot middot = 0 272727 = 0 27
Espera-se com essas atividades que os estudantes consigam assimilar o caraacuteter
perioacutedico e innito das diacutezimas
Em geral uma diacutezima perioacutedica simples de periacuteodo k eacute um nuacutemero que possui
expansatildeo decimal do seguinte modo a b1b2b3bk = a b1b2b3bk E toda diacutezima perioacutedica
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 49
representa um nuacutemero racional isto eacute possui representaccedilatildeo fracionaacuteria dada por
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk
Considere que
r = 0 b1b2b3bk
Daiacute segue que
10r middot r = 10r middot (0 b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr (10r minus 1)r = b1b2b3bk
rArr r =b1b2b3b410k minus 1
=b1b2b3bk9999
Logo tem-se
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk = a+ b1b2b3bk
999 middot middot middot 9︸ ︷︷ ︸k repeticcedilotildees de 9
Exemplo motivacional Determine a fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 5 777 middot middot middot
1o modo Desenvolvendo raciociacutenio similar a demonstraccedilatildeo
r = 5 777
rArr 10r = 57 777
rArr 10r minus r = 57 777minus r
rArr 9r = 52
rArr r =52
9
2o modo Aplicando o algoritmo demonstrado
5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7
9=
52
9
A reciacuteproca da demonstraccedilatildeo acima tambeacutem eacute verdadeira ou seja todo nuacutemero
racional eacute representado por uma diacutezima perioacutedica A demonstraccedilatildeo desse fato eacute obtida
por intermeacutedio do algoritmo de divisatildeo de Euclides
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 50
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Considere a proposiccedilatildeo a seguir proposta por um rico comerciante Tales da
cidade grega de Mileto por volta do V aC conhecida como Teorema de Tales um conjunto
de retas paralelas entre si (feixe de paralelas) cortado por duas transversais (r e s) forma
sobre elas segmentos correspondentes proporcionais isto eacute a razatildeo entre dois segmentos
quaisquer determinados pelo feixe sobre a reta r por exemplo AB e CD eacute igual agrave razatildeo
de seus correspondentes sobre a reta s AprimeBprime e C primeDprime ou seja
AB
CD=AprimeBprime
C primeDprime
A demonstraccedilatildeo desse teorema em geral natildeo eacute realizada nos livros didaacuteticos
do Ensino Fundamental Jaacute nos livros de Ensino Meacutedio eacute apenas apresentada uma parte
da validade para segmentos comensuraacuteveis Diante desse fato consumado eis que surge o
questionamento Por que os livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio natildeo apresentam a demons-
traccedilatildeo para segmentos natildeo comensuraacuteveis
A explicaccedilatildeo para a omissatildeo da segunda parte da prova pode ser justicada
pelo fato de que a manipulaccedilatildeo com nuacutemeros irracionais requer emprego de completude
dos nuacutemeros reais e com certeza o grau de abstraccedilatildeo necessaacuterio pode estar aleacutem das
possibilidades de entendimento do aluno E mais eacute necessaacuterio utilizar noccedilotildees intuitivas
de limite para completar o raciociacutenio
A seguir eacute apresentada de forma completa a demonstraccedilatildeo do Teorema de
Tales
1a parte da demonstraccedilatildeo Sejam r s t e z retas paralelas e a e b retas
transversais
Suponha que AB e CD sejam comensuraacuteveis e que exista um segmento u
(unidade de medida comum entre os segmentos AB e CD) tal que AB = mu e CD = nu
(mn isin N ) isto eacute o segmento u cabe m vezes dentro de AB assim como cabe n vezes
no segmento CD
Logo a razatildeo ABCD
= munu
= mn(I)
Agora pelos pontos que dividem AB e CD em m e n partes congruentes
ao segmento de medida u trace retas paralelas ao feixe com o intuito de subdividir os
segmentos AprimeBprime e C primeDprime em m e n partes iguais a w A partir dessa consideraccedilatildeo tem-se
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 51
a razatildeo AprimeBprime
CprimeDprime =mwnw
= mn(II)
Figura 71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte DANTE [9] 2010 vol1 p 404
Daiacute concluiacute-se a partir das relaccedilotildees (I) e (II) que ABCD
= AprimeBprime
CprimeDprime conforme
queriacuteamos demonstrar
2a parte da demonstraccedilatildeo Sejam a1 i e j retas paralelas e r e s retas trans-
versais
Figura 72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte GeoGebra
Suponha agora que os segmentos AB e BC sejam incomensuraacuteveis Por co-
modidade suponha que AB seja menor do que BC (caso contraacuterio o raciociacutenio seraacute
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 52
desenvolvido a partir de BC) e divida AB em m partes congruentes com o segmento
u = 1mAB Como u lt AB (dado que a parte eacute menor do que o todo) e como AB lt BC
entatildeo u lt BC
Figura 73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis
Fonte GeoGebra
Pela propriedade Arquimediana (dadas duas magnitudes quaisquer de mesma
natureza a e b existe sempre um nuacutemero inteiro n tal que na gt b) existe um nuacutemero
inteiro n tal que mu gt BC Existindo um nuacutemero com essa propriedade existiraacute uma
innidade porque Nu tambeacutem seraacute maior do que BC para qualquer N gt n Nesse iacutente-
rim pode-se considerar que n eacute o menor dos nuacutemeros inteiros para os quais mu gt BC
Assim sendo (nminus 1)u deveraacute ser menor do que BC ou seja (nminus 1)u lt BC lt nu Como
mu = AB segue que nminus1m
lt BCAB
lt nm Em outras palavras a relaccedilatildeo entre os incomensu-
raacuteveis BC e AB estaacute compreendida entre os racionais nminus1m
e nm Pelas extremidades dos m
segmentos em que AB foi dividido traccedilando-se paralelas ao feixe o segmento DE caraacute
dividido em m partes congruentes com o segmento w = 1mDE ou seja DE = mw Pelas
extremidades dos n segmentos congruentes com u sobre o segmento BC trace as paralelas
ao feixe Sobre a reta s caratildeo determinados n segmentos congruentes a w Denomine
de Kn e Kn+1 as extremidades dos segmentos a partir de C formados respectivamente
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 53
por (nminus 1) e n segmentos congruentes a u Sejam K primen e Kprimen+1 seus correspondentes sobre
a reta s
Observe a situaccedilatildeo descrita geometricamente na gura a seguir
Figura 74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso)
Fonte GeoGebra
Note a partir da gura anterior que C estaacute entre Kn e Kn+1 Agora resta
mostrar que seu correspondente (F ) estaacute entre K primen e K primen+1 Eacute notoacuterio que F natildeo pode
coincidir com K primen ou K primen+1 pois nesses casos DE e EF seriam comensuraacuteveis e por con-
sequecircncia AB e BC tambeacutem seriam o que contrariaria a hipoacutetese imposta O ponto F
correspondente de C natildeo pode estar entre E e K primen pois nesse caso Kn e K primen estariam em
semiplanos opostos em relaccedilatildeo agrave reta KnKprimen de tal modo que a reta Kn+1K
primen+1 cruzaria
a reta KnKprimen o que eacute um absurdo pois ambas satildeo paralelas Com raciociacutenio anaacutelogo
descarta-se a possibilidade de K primen+1 estar entre E e F Logo (nminus1)w lt EF lt nw Como
DE = mw entatildeo nminus1m
lt EFDE
lt nm O que acabou de ser mostrado prova que AB e BC
sobre a reta r satildeo incomensuraacuteveis e a relaccedilatildeo entre eles estaacute entre nminus1m
e nm os segmentos
DE e EF sobre s tambeacutem satildeo incomensuraacuteveis e sua relaccedilatildeo estaacute entre aqueles dois raci-
onais Assim nesse iacutenterim denomina-se nminus1m
e nm respectivamente de aproximaccedilotildees por
falta e por excesso das relaccedilotildees BCAB
e EFDE
Note que a diferenccedila entre tais aproximaccedilotildees eacute1me pode ser feita tatildeo pequena quanto se queira Em outras palavras BC
ABe EFDE
podem
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 54
ser espremidas entre dois nuacutemeros racionais tatildeo proacuteximos quanto se queira ateacute chegar ao
aacutepice intuitivo de que tais razotildees satildeo iguais Para completar a demonstraccedilatildeo eacute necessaacuterio
mostrar que tanto o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por falta natildeo tem maacuteximo como
o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por excesso natildeo tem miacutenimo Essa demonstraccedilatildeo
pode ser encontrada com maior riqueza de detalhes em GARBI (2010 p115) [29]
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas
Em geral o estudo de aacutereas eacute posterior ao estudo de congruecircncia e semelhanccedila
de triacircngulos Embora seja comum nos livros didaacuteticos apresentar o estudo de aacutereas
assim como suas propriedades no nal do curso de Geometria em WAGNER (1992) [31]
haacute antecipaccedilatildeo da inserccedilatildeo das noccedilotildees de aacutereas
Uma das vantagens de realizar tal inversatildeo na apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos
consiste no fato de evitar a anaacutelise da comensurabilidade dos segmentos em questatildeo
A seguir seraacute exposta a demonstraccedilatildeo via aacutereas
Sejam Bprime e C prime os pontos dos lados AB e ABprime respectivamente do triacircngulo
ABC conforme ilustra a gura a seguir
Figura 75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos
Fonte RPM [31] n 21 p7
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 55
Analisando a gura anterior segue que os segmentos BC prime e CBprime satildeo paralelos
ou seja BprimeC primeBC e partir daiacute eacute possiacutevel concluir que os triacircngulos BprimeC primeB e BprimeC primeC
tecircm mesma aacuterea dado que possuem mesma base (BprimeC prime) e alturas relativas a essa base
tambeacutem iguais Acrescentando a esses triacircngulos o triacircngulo ABprimeC prime concluiacutemos que os
triacircngulos ABC prime e ACBprime tambeacutem possuem a mesma aacuterea Portanto segue que
ABprime
AB=S(ABprimeC prime
S(ABC prime)=S(AC primeBprime
S(ACBprime)=AC prime
AC
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo
Os livros didaacuteticos da educaccedilatildeo baacutesica natildeo apresentam o caacutelculo da medida
da aacuterea (S) da regiatildeo retangular de maneira construtiva dinacircmica e com explicaccedilotildees
convincentes de que a superfiacutecie retangular eacute dada pelo produto entre a medida da base
(b) e a medida da altura (h) Os autores optam pela abordagem via repasse da foacutermula
sem o devido cuidado de demonstrar sua validade para todos os nuacutemeros reais isto eacute
S = b middot h
Para demonstrar a validade da referida foacutermula eacute necessaacuterio utilizar um proce-
dimento anaacutelogo ao utilizado na prova completa do Teorema de Tales exibido na atividade
anterior isto eacute primeiro eacute mostrado a validade para nuacutemeros racionais e depois eacute esten-
dida para nuacutemeros irracionais Eacute vaacutelido ressaltar que o foco dessa atividade eacute direcionado
para destacar a necessidade de implementar noccedilotildees intuitivas de limite para concluir a
foacutermula de caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
Considere um retacircngulo de lados m e n nuacutemeros naturais particionado em
m middot n quadrados de lado 1 em que m = 6 e n = 5 Note que o retacircngulo eacute composto por
m middot n = 6 middot 5 = 30 quadrados
Em seguida considere um retacircngulo de lados m1
n1e m2
n2 com (m1m2 n1 n2 isin
N) A partir de n1n2 coacutepias desse novo retacircngulo monta-se um retacircngulo maior de lados
m1 e m2 Adicionando aacutereas iguais concluiacute-se que a aacuterea do retacircngulo dado originalmente
eacute igual a m1middotm2
n1middotn2= m1
n1middot m2
n2
Finalmente toma-se um retacircngulo de lados a e b reais positivos e para k isin N
nuacutemeros racionais xk yk uk vk tais que xk lt a lt yk uk lt b lt vk e yk minus xk uk minus vk lt 1k
Sendo S a aacuterea do retacircngulo de lados a e b um argumento anaacutelogo ao feito para quadrados
garante que S e ab pertencem ambos ao intervalo (ukxk ykvk) e daiacute para todo k isin N
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 56
tem-se
|Aminus ab| lt vkyk minus ukxk
rArr vkyk minus ukxk = (vk minus uk)yk + (yk minus xk)uk lt1
k(yk + uk)
rArr 1
k(yk + uk) =
1
k((yk minus xk) + 2xk + (vk minus uk) + 2uk) lt
1
k(2
k+ 2a+ 2b)
rArr |Aminus ab| lt 1
k(2
k+ 2a+ 2b)
A gura a seguir ilustra o retacircngulo mn em que m = 6 e n = 5
Figura 76 Retacircngulo 6 x 5
Fonte GeoGebra
Note que quanto maior o valor de n as aproximaccedilotildees por falta (xkuk) e por
excesso (vkyk) indicam intuitivamente que a aacuterea do retacircngulo de lados a e b tenderaacute para
S = ab isto eacute
xkuk lt ab lt vkyk
rArr k
nmiddot mnlt
(k + 1)
nmiddot (m+ 1)
n
rArr km(1
n)2 lt ab lt (km+ k +m+ 1)(
1
n)2
rArr 0 lt abminus km(1
n)2 lt (k +m+ 1)(
1
n)2
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
Quanto maior o valor de n (n tendendo ao innito) melhor seraacute a aproximaccedilatildeo
da aacuterea (correspondente agrave soma de todos os retacircngulos de medidas kne m
n) da pretendida
do retacircngulo dada por S = ab
A gura a seguir representa um retacircngulo 100 e 80 em que a base e a altura
respectivamente foram subdivididas em 100(na) e 80(nb) partes com a mesma unidade
de comprimento
Figura 77 Retacircngulo 100 x 80
Fonte GeoGebra
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ES-
TUDO DE FUNCcedilOtildeES
Inicialmente sugere-se a apresentaccedilatildeo de algumas situaccedilotildees problema que
abordam de forma embutida as noccedilotildees intuitivas de limite de forma praacutetica Inclusive
o presente trabalho possui a preocupaccedilatildeo em mostrar aos alunos a simbologia moderna
utilizada em detrimento das expressotildees e locuccedilotildees de tendecircncia Observe
bull a) Se o cacircmbio do doacutelar americano tende a estabilizar em torno de R$ 233 entatildeo o
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 58
valor pago por 100 doacutelares estabiliza em torno de R$ 23300 Logo podemos falar
que o limite (valor pago por 100 doacutelares) eacute igual a R$ 23300 quando o valor pago por
1 doacutelar tende a R$ 233 Pode-se representar tal situaccedilatildeo por limxrarr100
2 33x = 233
bull b) Imagine uma placa metaacutelica quadrada que se expande uniformemente por estar
sendo aquecida Se x representa o comprimento do lado a aacuterea da placa eacute dada
por A(x) = x2 Evidentemente quando x se aproxima de 5 a aacuterea da placa A se
aproxima de 25 Essa situaccedilatildeo pode ser expressa simbolicamente por limxrarr5
x2 = 25
bull c) Suponha agora que vocecirc esteja dirigindo um automoacutevel Se o acelerador for pres-
sionado para baixo em torno de 4 cm entatildeo a velocidade se manteraacute proacutexima aos 120
Kmh Logo podemos dizer que o limite (velocidade instantacircnea do automoacutevel) eacute
igual a 120 Kmh quando o acelerador tender a 4 cm para baixo Matematicamente
escrevemos tal situaccedilatildeo por limxrarr4
v(x) = 120 onde v(x) eacute a velocidade instantacircnea do
automoacutevel e x eacute a medida em centiacutemetros do deslocamento do pedal do acelerador
bull d) Outra aplicaccedilatildeo interessante do limite de uma funccedilatildeo eacute o caacutelculo da velocidade
instantacircnea de um corpo em queda livre sob a accedilatildeo da gravidade dentre outras
inuacutemeras aplicaccedilotildees interdisciplinares disponiacuteveis
Apoacutes apresentar um panorama de aplicaccedilotildees simples faz-se necessaacuterio propor
o repasse das noccedilotildees intuitivas de limite utilizando o estudo de funccedilotildees De acordo com a
estrateacutegia disseminada pelos livros didaacuteticos uma das melhores formas de expor as ideias
de limite via funccedilotildees consiste em observar o comportamento de uma funccedilatildeo dada nas
proximidades de um ponto em sua vizinhanccedila
Vejamos um exemplo praacutetico Exemplo Observe o estudo analiacutetico do compor-
tamento de uma funccedilatildeo f na vizinhanccedila de um ponto Considere a funccedilatildeo f R2 minusrarr R
denida por
f(x) =x2 minus 4
xminus 2=
(x+ 2)(xminus 2)
xminus 2= x+ 2
Estudando o comportamento da referida funccedilatildeo nas proximidades do ponto
x = 2 dado que o mesmo natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada verica-se que
quando aproximamos os valores de x da abscissa x = 2 haacute uma aproximaccedilatildeo abrupta
para a imagem y = f(x) = 4 mesmo que se tome valores agrave esquerda (x lt 2) ou a direita
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 59
(x gt 2) da abscissa x = 2 Tal constataccedilatildeo sob o ponto de vista numeacuterico pode ser
interpretada a seguir via dados tabelados
Tabela 71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2
Aproximaccedilatildeo pela esquerda (x lt 2) Aproximaccedilatildeo pela direita (x gt 2)
x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2
f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4
Nesse momento eacute possiacutevel discutir com os alunos a noccedilatildeo intuitiva de limite
Note que tomando valores na vizinhanccedila de x = 2 o valor da funccedilatildeo permanece nas
proximidades de y = f(x) = 4 Inserindo a linguagem moderna precisa e concisa pode-se
dizer que ao fazer com que os valores de x tendam para a abscissa x = 2 (xrarr 2) os valores
das imagens tenderatildeo para a imagem y = f(x) = 4 (y rarr 4) a qual seraacute denominada de
limite e representada por L = limxrarr2
f(x) = 4 Note que esse limite representa o valor da
funccedilatildeo para x = 2 poreacutem esse valor de x natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada Tal
episoacutedio serve de base para explicar que o conceito de limite independe de a funccedilatildeo estar
denida naquele ponto especiacuteco e mais serve para representar que o limite de uma dada
funccedilatildeo pode natildeo ser o valor da imagem do ponto em que estamos investigando em sua
vizinhanccedila
Embora tal explicaccedilatildeo seja aceitaacutevel eacute bom ser cauteloso ao explicar a situaccedilatildeo
Caso ainda haja duacutevida recomenda-se a construccedilatildeo do graacuteco da referida funccedilatildeo via Geo-
Gebra Nesse software ao inserir no campo entrada as coordenadas do ponto F = (2 f(2))
o programa indicaraacute na janela de Aacutelgebra a informaccedilatildeo de que tal ponto eacute indenido e
quando inserirmos G = (1999 f(1999)) o GeoGebra indicaraacute um ponto praticamente so-
bre o ponto (2 4) o qual eacute o ponto indenido cuja imagem representaraacute o limite da funccedilatildeo
Oportunidade riquiacutessima para mencionar a relaccedilatildeo importacircnciadependecircncialimitaccedilatildeo de
um software no estudo de Matemaacutetica
Para melhor compreensatildeo observe a imagem capturada da tela do GeoGebra
Eacute interessante mencionar que esse fenocircmeno pode ser generalizado de maneira informal
para qualquer funccedilatildeo f(x) denida em um intervalo aberto em torno de x = a exceto
talvez em x = a Se f(x) ca arbitrariamente proacuteximo de L para todos os valores
de x sucientemente proacuteximos de a dizemos que f tem limite L quando x tende para
a e escrevemos limxrarra
f(x) = L Nesse iacutenterim eacute vaacutelido ressaltar que o conceito formal
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 60
utilizando eacutepsilon e delta seraacute visto em um curso especiacuteco de Caacutelculo I E mais haacute
disponiacutevel diversos sites na internet com variados applets (programas desenvolvido via
GeoGebra) com atividades que explicam toacutepicos do estudo de Caacutelculo por exemplo
em BIZELLI (2014) [33] responsaacutevel pelo site do Instituto de Quiacutemica da Universidade
Estadual de Satildeo Paulo (UNESP) em que disponibiliza applets que orientam diversos
assuntos dentre os quais destacamos o estudo da ideia de limite de uma funccedilatildeo que
corresponde a uma contribuiccedilatildeo construtiva para o conhecimento de forma luacutedica concreta
e com possibilidades de inuacutemeras iteraccedilotildees
Figura 78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita
Fonte Imagem capturada de uma janela do GeoGebra
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees
Ao estudar a construccedilatildeo dos graacutecos das principais funccedilotildees estudadas durante
o ensino meacutedio diversos questionamentos satildeo levantados por alunos A principal pergunta
dos alunos consiste em como obter garantias sucientes e esclarecedoras sobre o compor-
tamento das curvas (Quando crescem ou decrescem Quando os eixos ou determinas retas
satildeo consideradas assiacutentotas das curvas em questatildeo Selecionando um intervalo qualquer
presente no 1o quadrante por exemplo o que signica e como se calcula a aacuterea sob o
graacuteco dessa funccedilatildeo) Alguns desses e outros questionamentos satildeo frequentes em sala de
aula e serviram de base para a discussatildeo que seraacute feita a partir desse momento
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 61
Ao representar o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau do 2o grau Exponencial
ou Logariacutetmica geralmente representa-se apenas uma parte da funccedilatildeo a partir de valores
discretos para as abscissas Em seguida traccedilamos o graacuteco de maneira natural de acordo
com a amostragem construiacuteda por exemplo via tabela que relaciona o par (x f(x))
Satildeo raros os professores que abrem a discussatildeo em torno de valores contiacutenuos para a
variaacutevel x Uma estrateacutegia boa para garantir aos alunos que o crescimentoconcavidade
da referida natildeo se altera para algum valor de x e que em alguns casos o crescimento tende
para o innito seria utilizar as ferramentas do Caacutelculo mas tais ferramentas natildeo estatildeo
disponiacuteveis no Ensino Meacutedio Daiacute a necessidade de fornecer um suporte especiacuteco de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo para justicardemonstrar algumas propriedades que satildeo
simplesmente comentadas sem a prova de que satildeo vaacutelidas independentemente do valor do
domiacutenio ser discreto ou contiacutenuo isto eacute a validade eacute para todo o domiacutenio real de deniccedilatildeo
da funccedilatildeo um preluacutedio ao conceito de continuidade de funccedilatildeo
As questotildees referentes agrave tendecircncia de crescimento para o innito ou agrave apro-
ximaccedilatildeo a uma reta assiacutentota satildeo explicadas via noccedilotildees de limites Negligenciar tal
discussatildeo como eacute praxe na educaccedilatildeo baacutesica contribui vertiginosamente para a desmoti-
vaccedilatildeo dos alunos e como consequecircncia reduz o rendimento das escolas de educaccedilatildeo baacutesica
e superior
Por exemplo suponha hipoteticamente que um dado aluno do Ensino Meacutedio
faccedila dois questionamentos acerca do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica Por que a funccedilatildeo
logariacutetmica eacute crescentee O que garante que quando os valores de x tendem para o
innito positivo os valores das imagens (f(x)) tendem tambeacutem para o innito positivo
Eacute notoacuterio que inuacutemeros professores do Ensino Meacutedio teriam diculdade em explicar com
transparecircncia e argumentos vaacutelidos tais perguntas Com o intuito de ajudar colegas
que apresentem inseguranccedila diculdade e alguma outra adversidade na arte de lecionar
esse conteuacutedo particular proposto observe a maneira escolhida para justicaacute-las Note
que para explicaacute-las faz-se necessaacuterio formalizaacute-las segundo proposiccedilotildees (teoremas) e em
seguida demonstraacute-las Aleacutem disso verique que a segunda proposiccedilatildeo torna-se suciente
a partir da prova de monotonicidade da primeira
Proposiccedilatildeo 721 A funccedilatildeo logariacutetmica de base 10 (logaritmos decimais) eacute crescente
isto eacute se 0 lt x lt y entatildeo log x lt log y
Demonstraccedilatildeo Sejam x e y dois nuacutemeros positivos com x lt y ou seja existe um nuacutemero
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 62
m gt 1 tal que y = mx Daiacute temos log y = log (mx) = log m + log y Como m gt 1
segue que log m gt 0 Conclusatildeo log y gt log x como queriacuteamos demonstrar
Proposiccedilatildeo 722 Quando x tende para +infin log x tende para +infin Isto eacute quando
tomamos valores positivos cada vez maiores para x o logaritmo decimal cresce e pode
torna-se maior do que qualquer nuacutemero positivo prexado
Demonstraccedilatildeo Dado qualquer nuacutemero real J gt 0 pode-se obter K gt 0 tal que para
todo x gt K se tem log x gt J Assim dado J gt 0 escolhemos primeiro um nuacutemero inteiro
positivo M tal que M gt Jlog 2
Entatildeo log (2M) = M log 2 gt J Tome agora K = 2M
Note que qualquer que seja x gt K como a funccedilatildeo logaritmo de base 10 eacute crescente
tem-se que log x gt log K gt J Isso prova que todos os nuacutemeros reais x gt K possuem
logaritmos decimais maiores do que J Utilizando uma linguagem moderna e avanccedilada
concluiacutemos que limxrarr+infin
log x = +infin
Eacute vaacutelido ressaltar que a maioria dos livros analisados natildeo demonstra tais pro-
posiccedilotildees apenas faz citaccedilotildees como propriedades vaacutelidas Somente o livro do IEZZI (2010)
[15] e o do LIMA (2006) [17] fazem menccedilatildeo de maneira deciente injusticada e dife-
rente da apresentada Note que a escolha da funccedilatildeo logariacutetmica foi com a nalidade de
escapar da comodidade de trabalhar com funccedilotildees simples (1o e 2o grau) e para mostrar
um questionamento que pode ser uacutetil em sala de aula Foi feita apenas uma apresentaccedilatildeo
simples de demonstraccedilatildeo de uma propriedade muito utilizada no estudo de Logaritmos
mas eacute claro que haacute outras pertinentes e que exigem um olhar diferenciado do professor
regente Tambeacutem eacute bom salientar a necessidade de empregar noccedilotildees intuitivas de limite
para completar e raticar o raciociacutenio
Agora suponha que um aluno faccedila um questionamento interdisciplinar ou seja
vamos admitir que um dado aluno tenha recebido a informaccedilatildeo numa aula de Fiacutesica de que
a aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo representa o espaccedilo percorrido por um moacutevel ou o tra-
balho de uma forccedila por exemplo Diante dessa situaccedilatildeo o aluno lhe peccedila esclarecimentos
sobre tal informaccedilatildeo Como explicar essa situaccedilatildeo utilizando somente matemaacutetica ele-
mentar faltaria argumentos faz-se necessaacuterio inserir noccedilotildees elementares do Caacutelculo para
justicar e esclarecer os fatos para o dado aluno
Por exemplo considere uma paraacutebola denida por y = x2 em que y represente
a velocidade e x o tempo percorrido por um moacutevel num dado instante Caso o interesse
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 63
esteja voltado para o caacutelculo do espaccedilo percorrido pelo moacutevel no primeiro intervalo (uni-
dade) de tempo eacute preciso calcular a aacuterea da faixa de paraacutebola (A(x2)ba) compreendida
entre as retas verticais x = 0 e x = 1 Como as ferramentas de Caacutelculo natildeo estatildeo disponiacute-
veis e tambeacutem natildeo possuiacutemos uma foacutermula especiacuteca para efetuar o caacutelculo a resoluccedilatildeo
do referido problema deve empregar um raciociacutenio que evocaraacute noccedilotildees intuitivas do caacutel-
culo Para realizar e estimar o caacutelculo da aacuterea em questatildeo eacute necessaacuterio decompor a regiatildeo
[0 1] sob a curva em (n+1) intervalos justapostos de mesmo comprimento e calcular uma
aproximaccedilatildeo inferior para a faixa A(x2)01 atraveacutes da aacuterea do poliacutegono retangular Pn+1
inscrito na faixa da paraacutebola y = x2 Vide gura a seguir que exemplica a aproximaccedilatildeo
inferior da aacuterea de uma faixa de paraacutebola por intermeacutedio da aacuterea do poliacutegono retangular
P6com 6 intervalos justapostos de mesmo comprimento (n = 5)
Figura 79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5
Fonte GeoGebra
A aacuterea (S) do poliacutegono retangular Pn+1 inscrito na faixa da paraacutebola y = x2
seraacute dada pela soma das aacutereas de todos os retacircngulos contidos na regiatildeo sob a paraacutebola
isto eacute
S = A1 + A2 + A3 + middot middot middot+ An
rArr S = 1(n+1)
f(
1n+1
)+ 1
(n+1)f(
2(n+1)
)+ 1
(n+1)f(
3(n+1)
)+ middot middot middot+ 1
(n+1)f(
n(n+1)
)
Substituindo os valores da funccedilatildeo em cada particcedilatildeo considerada e utilizando a
fatoraccedilatildeo por evidecircncia tem-se
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 64
S =1
(n+ 1)3(1 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
rArr S =1
(n+ 1)3
(n3
3+n2
2+n
6
)=
1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)
Segue daiacute a conclusatildeo de que tomando valores cada vez maiores para n isto
eacute aumentando o nuacutemero de subintervalos aumentamos o nuacutemero de retacircngulos e con-
sequentemente a diferenccedila entre a aacuterea (S) do poliacutegono retangular e a aacuterea da faixa de
paraacutebola aproxima-se de zero Eacute oacutebvio que quando n tende para o innito (n rarr infin) a
aacuterea S tende para a aacuterea da faixa de paraacutebola ou seja S sim= A(x2)01 =13 Em linguagem
moderna e avanccedilada temos
limsrarrinfin
S = limnrarrinfin
[1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)]=
1
3
A construccedilatildeo da atividade acima deve ser realizada de maneira gradual ou seja
solicitando aos alunos que calculem a aacuterea do poliacutegono retangular a partir de subcasos
supondo valores para n por exemplo n = 5 e depois para n = 10 Essa atividade pode ser
realizada com auxiacutelio de calculadora cientiacuteca ou entatildeo via planilha eletrocircnica (do Excel
ou CALC ou ateacute do GeoGebra) Apoacutes resolver os problemas para os casos particulares
(encontrar a aacuterea por falta) sugira aos alunos para que tentem generalizar o meacutetodo ateacute
conseguir encontrar a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] Essa aacuterea foi encontrada
experimentalmente por Arquimedes atraveacutes de O meacutetodo de equiliacutebrio e demonstrado via
meacutetodo da exaustatildeo com argumentos de dupla reductio ad absurdum Com o meacutetodo de
equiliacutebrio Arquimedes vericava e testava a validade da propriedade Jaacute com o meacutetodo da
exaustatildeo que historicamente eacute creditado a Eudoxos poreacutem segundo EVES (2004) [11]
jaacute havia antecipaccedilatildeo de tais ideias nos trabalhos do sosta Antiacutefon (c 430 aC) o mestre
de Siracusa demonstrava a validade da proposiccedilatildeo formando um verdadeiro preluacutedio agraves
escuras das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular a ideia intuitiva de limite
Veja a construccedilatildeo do graacuteco via GeoGebra da aacuterea do poliacutegono retangular
para cinco cinquenta e cem intervalos de mesmo comprimento
Eacute notoacuterio que fazendo n tender para o innito a faixa escura cresceraacute e tenderaacute
para a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] cuja aacuterea corresponde a um terccedilo da
aacuterea do quadrado de mesma base E mais pode-se concluir que a aacuterea de metade do
segmento paraboacutelico (regiatildeo limitada pela reta secante pontilhada e pela paraacutebola) contido
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 65
Figura 710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50
Fonte Geogebra
Figura 711 Poliacutegono Retangular para n = 100
Fonte Geogebra
no quadrado de lado unitaacuterio mede 23 ou melhor eacute possiacutevel concluir que a aacuterea do segmento
paraboacutelico da paraacutebola em questatildeo mede 43 Esse procedimento consiste na quadratura da
paraacutebola cuja autoria de forma rudimentar isto eacute com as ferramentas disponiacuteveis para a
eacutepoca eacute creditada a Arquimedes via Meacutetodo de Equiliacutebrio e Meacutetodo da Exaustatildeo
Tambeacutem eacute necessaacuterio dizer que o problema de calcular aacute aacuterea referida acima
poderia ser solucionado decompondo o intervalo [0 1] em subintervalos contendo trapeacutezios
circunscritos de forma que a aacuterea do poliacutegono trapezoidal circunscrito agrave faixa de paraacute-
bola fosse uma aproximaccedilatildeo por excesso Possivelmente os alunos vatildeo reclamar muito
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 66
das contas que apareceratildeo pois os caacutelculos natildeo satildeo tatildeo simples assim como a teacutecnica
propriamente dita Mas segundo MACHADO (2008) [19] esse aspecto eacute favoraacutevel pois
prepararaacute o aluno para que venha a apreciar as facilidades que seratildeo depois apresentadas
em um curso de Caacutelculo Inclusive eacute possiacutevel mencionar a existecircncia de um teorema im-
portantiacutessimo que cita a existecircncia um ponto entre as aacutereas por aproximaccedilotildees por falta
e por excesso que as tornam iguais Esse teorema eacute conhecido como Teorema do Valor
Meacutedio
Outra atividade excelente de aplicaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
correlatas do Caacutelculo eacute o caacutelculo da chamada Aacuterea de uma faixa de Hipeacuterbole Antes de
deni-la eacute preciso preacute-estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas em que H seraacute
considerado algebricamente como o ramo positivo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x isto eacute
H = (x y)x gt 0 y = 1x ou geometricamente ramo da Hipeacuterbole Equilaacutetera (xy = 1)
contido no primeiro quadrante A partir dessas consideraccedilotildees eacute possiacutevel denir a faixa
de hipeacuterbole e de forma especiacuteca como consequecircncia imediata propor uma ligaccedilatildeo com
o estudo de logaritmos naturais Esse trabalho pode ser conferido na iacutentegra em LIMA
(1980) [16] em que o autor com maestria faz uma abordagem geomeacutetrica do estudo dos
logaritmos e suas consequecircncias (construccedilatildeo da tabela de logaritmos caacutelculo de raiacutezes
inexatas de iacutendice qualquer caacutelculo de potecircncias de base e expoente qualquer construccedilatildeo
do nuacutemero de Euler e sua ligaccedilatildeo com o logaritmo natural e nalmente propor o estudo
da Funccedilatildeo Exponencial)
Nesse iacutenterim eacute possiacutevel propor uma atividade de aplicaccedilatildeo interdisciplinar
sobre a relaccedilatildeo existente entre o crescimento exponencial e o decaimento (desintegraccedilatildeo)
radioativo Esse problema eacute comum nos livros de Ensino Meacutedio Observe a situaccedilatildeo pro-
blema descrita a seguir em que eacute apresentada uma maneira construtiva de explorarutilizar
as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
Situaccedilatildeo Problema A Desintegraccedilatildeo Radioativa consiste na emissatildeo espontacirc-
nea de raios (partiacuteculas e ondas) de nuacutecleo instaacutevel com o objetivo de adquirir estabilidade
em que um aacutetomo radioativo (por exemplo o Raacutedio e o Uracircnio) eacute transformado num ele-
mento quiacutemico diferente Essa transformaccedilatildeo faz com que a quantidade de substacircncia
original diminua a cada instante de forma que a desintegraccedilatildeo seja proporcional agrave massa
da substacircncia original presente no corpo naquele momento A constante (α) de proporci-
onalidade eacute especiacuteca para cada substacircncia e eacute determinada experimentalmente
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
Suponha hipoteticamente que um corpo de massa M0 seja formado por uma
substacircncia radioativa cuja taxa de desintegraccedilatildeo seja α Caso o processo de desintegraccedilatildeo
seja instantaneamente a cada segundo tem-se que para t = 0 a massa correspondente eacute
M0 Decorrido o tempo t = 1 segundo ocorreraacute uma perda de αM0 unidade de massa
restando somente a massa M1 = M0 minus αM0 = (1 minus α)M0 Para t = 2 segundos implica
que a massa restante seraacute dada porM2 = (1minusα)M1 = (1minusα)2M0 Esse processo pode ser
generalizado isto eacute apoacutes n segundos temos Mn = M0(1minus α)n Poreacutem a desintegraccedilatildeo
se processa de forma contiacutenua e natildeo apenas discreta Daiacute eacute necessaacuterio pensar que a
desintegraccedilatildeo seja feita em fraccedilotildees de intervalos de 1nde segundo Assim apoacutes a primeira
fraccedilatildeo de 1nde segundo a massa do corpo se reduziria para M0 minus α
nM0 =
(1minus α
n
)M0
Realizando uma subdivisatildeo do intervalo [0 1] em um nuacutemero n cada vez maior de particcedilotildees
iguais tem-se que a massa resultante se reduziria para a aproximaccedilatildeo(1minus α
n
)nM0
Logo quando n tender para o innito a expressatildeo(1minus α
n
)nM0 tenderaacute para M0e
minusα
Em linguagem moderna e avanccedilada tem-se limnrarrinfin
(1minus α
n
)nM0 = M0 lim
nrarrinfin
(1minus α
n
)n=
M0eminusα Caso se queira calcular a massa apoacutes t segundos eacute preciso dividir o intervalo [0 t]
em n partes iguais em que cada intervalo parcial receberaacute uma perda de massa de αtnM0
Repetindo esse processo encontra-se a expressatildeo que fornece a massa do corpo apoacutes t
segundo decorridos M(t) = M0eminusα A tiacutetulo de curiosidade vale a pena ressaltar que
a constante α eacute determinada a partir de um nuacutemero baacutesico denominado de meia-vida da
substacircncia (tempo necessaacuterio para que se desintegre a metade da massa de um corpo)
73 EXPLORANDOAS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS
IMPLICACcedilOtildeES
Comumente ao estudar conjuntos numeacutericos em particular ao estudar o con-
junto dos nuacutemeros racionais nos deparamos com nuacutemeros decimais innitos poreacutem perioacute-
dicos os quais satildeo denominados de diacutezimas perioacutedicas Dentre as diacutezimas perioacutedicas mais
ceacutelebres com absoluta certeza estaacute o nuacutemero decimal perioacutedico 0 999 Esse nuacutemero gera
bastante desconforto entre os alunos do Ensino Meacutedio principalmente quando o professor
de Matemaacutetica arma que 1 = 0 999 Anal de contas o que eacute uma diacutezima perioacutedica
e o que representa Esses questionamentos satildeo frequentes e recorrentes durante as aulas
de Matemaacutetica que requerem a utilizaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedicas
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 68
Conforme jaacute foi denido denominamos de diacutezima perioacutedica todo nuacutemero ra-
cional com representaccedilatildeo decimal innita e perioacutedica Haacute diacutezimas perioacutedicas simples e
compostas Nesse trabalho apenas far-se-aacute uma anaacutelise da formaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedi-
cas simples (por exemplo 0 111 0 353535 0 456456456etc)
As diacutezimas perioacutedicas em geral representam uma soma innita de termos de
uma progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo entre 0 e 1 Assim por exemplo a diacutezima perioacutedica
0 111 eacute equivalente a soma S = 0 1 + 0 01 + 0 001 + cujo primeiro termo coincide a
razatildeo numericamente igual a 0 1
Muitos problemas de matemaacutetica elementar exigem que o aluno de Ensino
Meacutedio determine a fraccedilatildeo geratriz correspondente a uma dada diacutezima perioacutedica Para
realizar tal feito os professores utilizam diversos recursos e artimanhas dentre as quais
eacute possiacutevel citar o meacutetodo em que haacute o repasse de uma foacutermula com bastante decoreba
e pouca compreensatildeo o meacutetodo que requer a utilizaccedilatildeo de artifiacutecio via equaccedilatildeo do 1o
grau e o meacutetodo de considerar a diacutezima como uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo (q) variando entre 0 e 1 A exposiccedilatildeo seguinte apenas expotildee
o meacutetodo de obtenccedilatildeo da diacutezima via comparaccedilatildeo como uma soma de termos de progressatildeo
geomeacutetrica innita
Para dar continuidade a exibiccedilatildeo eacute necessaacuterio estudar como eacute feita a soma dos
n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica nita Assim dada uma progressatildeo ge-
omeacutetrica (a1 a2 a3 middot middot middot an) dene-se a soma (S) dos termos dessa progressatildeo geomeacutetrica
da seguinte maneira
S = a1 + a2 + a3 + middot middot middot+ an = a1 + a1q + a1q2 + a1q
3 + middot middot middot+ a1qnminus1 (1)
Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo (1) pela razatildeo q tem-se
qS = qa1 + qa2 + qa3 + middot middot middot+ qan = qa1 + a1q2 + a1q
3 + a1q4 + middot middot middot+ a1q
n (2)
Subtraindo (1) de (2) membro a membro tem-se
qS minus S = a1qn minus a1 = a1(q
n minus 1)rArr S(q minus 1) = a1(qn minus 1)rArr S =
a1(qn minus 1)
q minus 1
Assim a soma (S) dos n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de
razatildeo (q) eacute dada em funccedilatildeo do primeiro termo da razatildeo e do nuacutemero de termos
Quando se dispotildee de uma diacutezima perioacutedica ou melhor de uma soma de termos
de progressatildeo geometria innita cuja razatildeo pertence ao intervalo (0 1) percebemos que
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 69
o termo qn se aproxima de zero a medida que n tende ao innito Em outra linguagem
o limite da soma (S) quando n tende ao innito eacute dado por
limnrarrinfin
S = limnrarrinfin
[a1(q
n minus 1)
q minus 1
]=a1 middot (minus1)q minus 1
=a1
1minus q
Como exemplo observe o caacutelculo da fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 0 999 middot middot middot
Note que 0 999 middot middot middot equivale a soma S = 0 9 + 0 09 + 0 009 + middot middot middot
Essa soma representa o somatoacuterio dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita cuja razatildeo eacute dada por q = 0 1 Substituindo a1 = 0 9 e q = 0 1 tem-se
S = limnrarrinfin
[0 9
[( 110)n minus 1
]0 1minus 1
]=
0 9 middot (minus1)0 1minus 1
=minus0 9minus0 9
= 1
Isto eacute o limite do somatoacuterio dos termos da progressatildeo geomeacutetrica innita em
questatildeo eacute igual a um quando tomamos n tendendo para o innito
Haacute uma seacuterie de problemas que utilizam de tais recursos dentre os quais se
destacam a formaccedilatildeo de determinados mosaicos o processo de divisatildeo celular via meiose
o processo decaimento radioativo etc
O estudo do somatoacuterio de uma quantidade innita resultar numa quantidade
nita aparece historicamente no paradoxo de Zenon (por volta do seacuteculo V aC) que
surpreendentemente promove uma corrida em forma de aposta entre um famoso guerreiro
(Aquiles) da Greacutecia antiga e uma tartaruga Nessa corrida Aquiles conhecedor de sua
superioridade oferece uma vantagem para tartaruga poreacutem Aquiles nunca alcanccedila a
tartaruga pois por mais devagar que ela caminhe quando ele chegar agrave posiccedilatildeo inicial da
tartaruga a mesma teraacute avanccedilado um pouco E quando Aquiles cobrir esta distacircncia
a tartaruga teraacute avanccedilado um pouco mais e assim sucessivamente Embora os gregos
soubessem que do ponto de vista praacutetico Aquiles seria o vencedor natildeo sabiam explicar
tal fato do ponto de vista matemaacutetico Eacute vaacutelido ressaltar que tal ausecircncia de clareza por
parte dos matemaacuteticos gregos era justicada pela ausecircncia do conhecimento das noccedilotildees
intuitivas de limite Note que o limite da diferenccedila entre as distacircncias entre os dois
corredores tende para zero
Aleacutem de Zenon outro matemaacutetico grego percebeu e calculou com bastante
habilidade a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica com innitos termos cuja
razatildeo estava compreendida entre 0 e 1 Nessa eacutepoca o mestre de Siracusa (Arquimedes)
estava estudando e analisando quadraturas Para isso ele utilizava dois meacutetodos antigos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 70
de muito prestiacutegio O meacutetodo de Equiliacutebrio de autoria do proacuteprio Arquimedes e o meacutetodo
da Exaustatildeo credita a Eudoxos Numa de suas pesquisas em busca da quadratura de um
segmento paraboacutelico Arquimedes conseguiu demonstrar experimentalmente via meacutetodo
de Equiliacutebrio que a aacuterea do segmento de paraacutebola correspondia a 43da aacuterea do triacircngulo
inscrito no segmento paraboacutelico Essa demonstraccedilatildeo ismiuccedilada em CONTADOR (2012)
[6] Arquimedes utilizou o conhecimento dessa proposiccedilatildeo para realizar a quadratura da
paraacutebola Nesse trabalho foi encontrada pela primeira vez a soma de uma seacuterie innita
Acompanhe duas aplicaccedilotildees do estudo de somas de progressotildees geomeacutetricas
innitas cuja razatildeo (q) seja dada por |q| lt 1 e q natildeo nulo
Figura 712 Processo re-
cursivo de Quadrados
Figura 713 Processo
recursivo de Triacircngulos
Equilaacuteteros
Note que as guras acima determinam o comportamento das aacutereas e dos pe-
riacutemetros dos novos quadrados e dos novos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir dos
pontos meacutedios dos lados da gura anterior Para isso considere o quadrado inicial de
lado l e o triacircngulo equilaacutetero inicial de lado 2α
Note que as sequecircncias das aacutereas dos quadrados e dos triacircngulos equilaacuteteros
a partir do primeiro quadrado e do primeiro triacircngulo equilaacutetero satildeo dadas respectiva-
mente por(l2 l
2
2 l
2
4 l
2
8 middot middot middot
)e(a2radic3 a
2radic3
4 a
2radic3
8 middot middot middot
)
Por conseguinte a soma (SQ) das aacutereas dos innitos quadrados formados a
partir do quadrado primitivo de lado l representa uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo q = 12a qual seraacute dada por SQ = a1
1minusq =l2
2
1minus 12
=l2
212
= l2 Isto
eacute a soma (SQ) coincide com a aacuterea do quadrado primitivo de lado l Jaacute a soma (STE)
das aacutereas dos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir do triacircngulo equilaacutetero de lado 2a
tambeacutem representa uma soma de termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita de razatildeo
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 71
q = 14 a qual seraacute dada por STE = a1
1minusq = a2radic3
1minus 14
= a2radic3
34
= 43a2radic3 Isto eacute a soma (STE)
equivale a 43da aacuterea do triacircngulo equilaacutetero primitivo de lado 2a
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de
limite
A origem dessa discussatildeo iniciou-se na Greacutecia com a crise na Escola Pitagoacuterica
diante da descoberta de grandezas incomensuraacuteveis isto eacute apoacutes provarem que eacute impossiacutevel
existir um submuacuteltiplo comum (α) entre o lado (L) e a diagonal (D) de quadrado de lado
unitaacuterio tal que L = mα e D = nα
Nesse iacutenterim surgiu o questionamento da existecircncia de uma unidade comum
innitamente pequena (um submuacuteltiplo) de forma que ela pudesse medir o lado e a dia-
gonal do quadrado Caso tal existecircncia se conrmasse seria loacutegica a discussatildeo realizada
por volta do seacuteculo V aC pelo matemaacutetico grego Zenon que questionava o fato de que
uma soma innita pudesse ser nita ou ainda utilizando a linguagem moderna se seria
possiacutevel fazer com que o limite da diferenccedila entre as distacircncias percorridas por Aquiles
e a tartaruga tendesse a zero Segundo os anais da Histoacuteria da Matemaacutetica o paradoxo
de Zenon e suas consequecircncias assim como a descoberta das grandezas incomensuraacuteveis
satildeo relatos pioneiros e rudimentares da presenccedilaintervenccedilatildeo do conceito de limite num
problema matemaacutetico
Atualmente eacute possiacutevel concluir que se o segmento AB eacute incomensuraacutevel com
o segmento unitaacuterio α entatildeo a medida de AB eacute um nuacutemero irracional E como exemplo
ceacutelebre de nuacutemero irracional pode-se citar a medida da razatildeo aacuteurea (o famoso nuacutemero
de ouro 1+radic5
2) e a medida da diagonal de um quadrado de lado unitaacuterio cuja medida
corresponde ao nuacutemero irracionalradic2 Os exemplos escolhidos satildeo excelentes didaacuteticos e
histoacutericos Inclusive em GALARDA et al (1999) [13] haacute uma discussatildeo aberta sobre qual
nuacutemero irracional apareceu primeiro natildeo se sabe se foiradic2 ou
radic5 que primeiro revelou a
existecircncia de grandezas incomensuraacuteveis
Mesmo sabendo que natildeo eacute possiacutevel determinar com exatidatildeo o valor deradic2 eacute
possiacutevel relacionar aproximaccedilotildees por falta e por excesso de nuacutemeros racionais construindo
uma sequecircncia innita de nuacutemeros racionais tais que seus quadrados sejam todos menores
do que 2
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 72
Observe a tabela a seguir em que a primeira coluna representa uma sequecircncia
innita de nuacutemeros racionais a segunda coluna representa seus quadrados e a terceira
coluna representa a diferenccedila entre quadrado da diagonal e cada termo quadraacutetico na seacuterie
gerada Note que tomando aproximaccedilotildees com um nuacutemero reduzido de casas decimais
foi possiacutevel construir uma sequecircncia de quadrados em que com apenas seis iteraccedilotildees
tornou-se miacutenima a diferenccedila entre os valores quadraacuteticos da seacuterie formada e o nuacutemero 2
Assim pode-se tornar a diferenccedila tatildeo pequena quanto se queira aumentando o nuacutemero de
iteraccedilotildees Quando o nuacutemero de iteraccedilotildees tende ao innito de fato tem-se que a diferenccedila
tenderaacute a zero e consequentemente obteacutem-se o valorradic2
Tabela 72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais
Nuacutemero (xi) da Sequecircncia Quadrado de xi 2minus x2i1 1 1
14 196 004
141 19881 00119
1414 1999396 0000604
14142 1999962 0000038360000000237100000000000
141421 199999 0000010075900000128300000000000
Aleacutem de ser uma atividade rica de utilizaccedilatildeo da calculadora em sala de aula
eacute uma excelente oportunidade de expor de maneira compreensiva a inuecircncia de que a
noccedilatildeo de limite estaacute associada agrave ideia de incomensurabilidade
Eacute vaacutelido ressaltar que um procedimento anaacutelogo pode ser aplicado para caacutel-
culo do nuacutemero π por meio da divisatildeo do periacutemetro do poliacutegono regular inscrito pela
maior diagonal desse poliacutegono Quanto maior o nuacutemero de lados desse poliacutegono inscrito
mais proacuteximo do comprimento da circunferecircncia estaraacute seu periacutemetro e consequentemente
promoveraacute uma melhor aproximaccedilatildeo para o valor do nuacutemero π
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua
Embora sugira um aspecto bastante abstrato o nuacutemero de Euler (e) estaacute
presente em diversos processos de crescimento ou decrescimento exponencial dentre os
quais possui destaque o problema de aplicaccedilatildeo de um capital a uma taxa anual de k
com juros compostos capitalizados de forma contiacutenua durante t anos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 73
Suponha hipoteticamente que um determinado capital C0 seja aplicado a
juros de 100 ao ano
Caso sejam incorporados ao capital somente no nal do ano entatildeo ao nal de
um ano teriacuteamos o montante de R$ 200 para cada R$100 investido isto eacute o capital nal
acumulado apoacutes um ano eacute dado por
C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0
Agora a forma de incorporaccedilatildeo dos juros seraacute alterada poreacutem mantendo a
taxa anual de 100
Suponha que a referida taxa seja decomposta em duas taxas semestrais de
50 sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada semestre Daiacute segue que a
partir do capital inicial C0 haveraacute duas acumulaccedilotildees a serem consideradas A primeira
ocorreraacute ao nal do 1o semestre e a segunda ao nal do 2o semestre com a ressalva de
que o capital inicial a ser utilizado no caacutelculo do montante do 2o semestre coincide com o
montante acumulado ao nal do 1o semestre Em outras palavras ou melhor adotando
a linguagem moderna da matemaacutetica tem-se
1 Capital apoacutes o nal do 1o semestre
C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)
rArr C12 = C0(1 + 12)
2 Capital apoacutes o nal do 2o semestre
C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)
rArr C1 = C0(1 + 12)2
3 Suponha que a referida taxa seja decomposta em quatro taxas trimestrais de 25
sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada trimestre Capital apoacutes o
nal do 1o trimestre
C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)
rArr C14 = C0(1 + 14)
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 74
4 Capital apoacutes o nal do 2o trimestre
C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)
rArr C24 = C0(1 + 14)2
5 Capital apoacutes o nal do 3o trimestre
C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)
rArr C34 = C0(1 + 14)3
6 Capital apoacutes o nal do 4o trimestre
C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)
rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4
7 Caso a capitalizaccedilatildeo fosse mensal seria necessaacuterio subdividir ano e a taxa anual de
100 em 12 partes iguais daiacute o resultado seria
C1 = C0(1 + 112)12
8 Caso a incorporaccedilatildeo seja realizada de forma diaacuteria seria preciso subdividir o ano e
a taxa anual de 100 em 365 partes iguais daiacute segue que
C1 = C0(1 + 1365)365
Generalizando o fenocircmeno isto eacute subdividindo o ano e a taxa anual de 100
em n partes iguais e considerando-se que os juros satildeo incorporados ao capital no nal de
cada periacuteodo tem-se
C1 = C0(1 +1
n)n
Esquematizando uma tabela com o objetivo de analisar o comportamento da
expressatildeo (1 + 1n)n quando n cresce indenidamente tem-se
Note que a expressatildeo (1 + 1n)n aproxima-se indenidamente para um nuacutemero
decimal natildeo perioacutedico (nuacutemero irracional ou transcendental) denominado de nuacutemero de
Euler Tal nuacutemero eacute representado por e Uma aproximaccedilatildeo suciente com trecircs casas
decimais para tal nuacutemero eacute dada por e asymp 2 718
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 75
Tabela 73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler
Subdivisatildeo Fator de Acumulaccedilatildeo
n (1 + 1n)n
1 2
2 225
3 237037037
4 244140625
5 248832
10 259374246
50 2691588029
100 2704813829
1000 2716923932
10000 2718145927
100000 2718268237
1000000 2718280469
Assim conclui-se que um capital C0 aplicado a uma taxa de 100 ao ano
com capitalizaccedilatildeo contiacutenua (a cada instante) resultaraacute ao nal do 1o ano um valor C1 tal
que C1 = C0 middot e
Isto eacute quando n tende ao innito (incorporaccedilatildeo de juros de forma continuada
instantacircnea) tem-se que (1 + 1n)n tende para o nuacutemero irracional e
Eacute importante observar que caso a aplicaccedilatildeo seja a uma taxa anual de k ao
ano ao nal de um ano haveraacute um capital expresso por C1 = C0 middot ek Jaacute no nal de t
anos C1 = C0 middot ekt
Uma excelente demonstraccedilatildeo de modelagem matemaacutetica que faz uso do nuacutemero
de Euler de maneira construtiva e natildeo imperativa embora seja uma situaccedilatildeo hipoteacutetica
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteL-
CULO
Conforme jaacute foi visto nas atividades propostas na seccedilatildeo 621 o caacutelculo da
aacuterea de uma regiatildeo com algum lado curviliacuteneo natildeo eacute tatildeo oacutebvio como o caacutelculo da aacuterea de
uma regiatildeo poligonal Quando se pretende analisar a regiatildeo abaixo da curva cujo graacuteco
natildeo eacute retiliacuteneo em sua totalidade com o intuito de obter a medida da aacuterea sob a curva
a resoluccedilatildeo desse problema eacute realizada novamente por aproximaccedilatildeo da aacuterea da faixa de
hiperboacutele a ser calculada por um poliacutegono retangular inferior como se consideraacutessemos
a funccedilatildeo constante em cada instante e somaacutessemos todos os aacutereas dos retacircngulos ideais
Essa estrateacutegia eacute bastante motivadora poreacutem para que a estimativa seja boa eacute necessaacuterio
realizar um nuacutemero de iteraccedilotildees relativamente grande Para calcular aacuterea sob o graacuteco de
uma funccedilatildeo curviliacutenea utilizando a construccedilatildeo de poliacutegonos retangulares acrescentaremos
ao raciociacutenio a aproximaccedilatildeo via retacircngulos superiores fazendo com que a soma das aacutereas
desses retacircngulos (poliacutegono retangular inscrito e circunscrito) seja estimada tanto por
excesso quanto por falta
Eacute possiacutevel generalizar os casos tomando uma funccedilatildeo natildeo negativa e contiacutenua
num dado intervalo e dividi-lo em n subintervalos de mesmo comprimento em que cada
particcedilatildeo conteraacute um retacircngulo de mesma base de acordo com o nuacutemero de particcedilotildees e
cuja altura consiste no valor da funccedilatildeo numa dada extremidade do retacircngulo considerado
poreacutem seraacute proposto um processo mais construtivo que trabalha de forma concreta com
um nuacutemero de casos palpaacutevel por meio da anaacutelise de graacutecos de funccedilotildees quadraacuteticas de
hipeacuterboles equilaacuteteras e de funccedilotildees exponenciais O procedimento geral citado fornece
uma excelente aproximaccedilatildeo e o mesmo eacute amplamente encontrado nos livros de caacutelculo
com a denominaccedilatildeo popularmente conhecida como Somas de Riemann Nele ao tender
o nuacutemero de iteraccedilotildees (subdivisotildees do intervalo) para o innito tem-se que as somas de
Riemann tendem para o valor da aacuterea (A) da regiatildeo sob a curva que eacute denominada de
integral denida ou seja limnrarrinfin
S(n) =nsumk=1
f(xk) 4 x em que f(xk) e 4x representam
altura e comprimento do retacircngulo k
Observe a gura construiacuteda via GeoGebra com vinte retacircngulos inferiores e
superiores sob a curva da funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Note que a soma das aacutereas dos
retacircngulos inferiores (Si) (destacados de azul) e a soma das aacutereas dos retacircngulos superiores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 77
(Ss) (destacados de vermelho) para um nuacutemero de vinte intervalos iguais nos fornece uma
ideia de que a aacuterea pretendida estaacute compreendida entre 031 e 036 Isso serve como
instrumento empiacuterico para raticar uma armaccedilatildeo (quadratura da paraacutebola) demonstrada
na seccedilatildeo 621 em que foi constatado que a aacuterea da faixa de paraacutebola no intervalo [0 1]
mede 13
Figura 714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito)
Fonte Geogebra
Na mesma linha da anaacutelise anterior poreacutem com maior riqueza de detalhes e
consequecircncias pode analisar o comportamento do ramo positivo de uma hipeacuterbole equi-
laacutetera e da parte pertencente ao primeiro quadrante do graacuteco da funccedilatildeo exponencial
Somente seraacute realizada a anaacutelise do signicado geomeacutetrico da aacuterea de uma faixa de hi-
peacuterbole equilaacutetera Via GeoGebra proponha a construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x
e por meio do comando SomaDeRiemann solicite o caacutelculo de aproximaccedilotildees para a aacuterea
pretendida
Inicialmente proponha o caacutelculo da aacuterea do poliacutegono retangular inscrito e
circunscrito para n = 8 isto eacute pretende-se que o aluno determine uma aproximaccedilatildeo para
o valor da aacuterea da faixa da hipeacuterbole para uma subdivisatildeo de oito retacircngulos de mesmo
comprimento Veja o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo descrita
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 78
Figura 715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8
Fonte Geogebra
Espera-se que o aluno seja capaz de calcular a aacuterea da faixa de hipeacuterbole
denotada por H31 realizando o maior nuacutemero de iteraccedilotildees de subdivisotildees do intervalo
[1 3] Por exemplo ao dividi-la em oito particcedilotildees de mesmo comprimento encontra-se
os valores das abscissas 1 54 64 74 84 94 104 114 e 124 E calculando suas
respectivas imagens tem-se 1 45 46 47 48 49 410 411 e 412 Realizando o
caacutelculo da soma dos retacircngulos inferiores obteacutem-se
S =1
4middot 45+
1
4middot 46+
1
4middot 47+
1
4middot 48+
1
4middot 49+
1
4middot 410
+1
4middot 411
+1
4middot 412
rArr S asymp 1 019
O passo seguinte para o prosseguimento da atividade e para completar o racio-
ciacutenio depende de cada professor poreacutem eacute recomendaacutevel solicitar aos alunos que reproduza
a situaccedilatildeo descrita para outros valores de n por exemplo para n = 10 considerando o
intervalo de 1 ateacute 2 Seguindo esse procedimento espera-se que o aluno consiga calcular a
aacuterea com uma precisatildeo de cerca de 067 Observe o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo mencionada
Nesse momento o professor deve intervir diretamente na atividade inserindo
a deniccedilatildeo geomeacutetrica do logaritmo natural de x como a aacuterea da faixa de Hipeacuterbole de 1
ateacute x ou seja ln x = Aacuterea(Hx1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 79
Figura 716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10
Fonte Geogebra
A partir dessa deniccedilatildeo eacute possiacutevel questionar os alunos sobre a existecircncia de
uma dada abscissa que representaraacute a aacuterea de medida igual a 1 unidade Aleacutem disso pode-
se conjecturar uma boa aproximaccedilatildeo entre nuacutemeros inteiros para o nuacutemero neperiano (e)
de acordo com o estudo exposto acima Enm eacute necessaacuterio orientar os alunos com a
nalidade dos mesmos investigarem a existecircncia de uma aacuterea de uma faixa de hipeacuterbole
variando de 1 ateacute um certo x cuja aacuterea seja unitaacuteria ou equivalentemente procurar o
valor de x tal que ln x = Aacuterea(Hx1 ) = 1 A conclusatildeo obtida pelos alunos deve admitir a
existecircncia dessa abscissa e estimar que o valor procurado pertencente ao intervalo entre
2 e 3 Pode-se demonstrar que o valor de x em questatildeo trata-se do nuacutemero irracional e
cuja melhor aproximaccedilatildeo eacute dada por e = 2 718281828459 Nesse ponto eacute satisfatoacuterio
que o professor faccedila uma reexatildeo comparando o nuacutemero obtido com o nuacutemero de Euler
surgido ao resolver o problema de capitalizaccedilatildeo contiacutenua proposto historicamente pelos
irmatildeos Bernoulli
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 80
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri
O procedimento que seraacute apresentado a seguir consiste basicamente num re-
sumo dos estudos realizados no seacuteculo XVII pelo matemaacutetico Bonaventura Francesco
Cavalieri que recebeu forte inuecircncia dos predecessores Arquimedes Kepler Galileu e
Fermat
Esse grandioso trabalho de Cavalieri foi publicado em 1635 e foi intitulado de
Geometria indivisibilibus O meacutetodo proposto considerava um soacutelido formado pela reuniatildeo
de conjunto innito de planos isto eacute seu princiacutepio dizia que qualquer grandeza (plana ou
soacutelida) pode ser dividida numa quantidade innita de porccedilotildees (lacircminas) com espessura
innitesimal de tal modo que mantenham entre si proporccedilotildees desejadas
Segundo CONTADOR (2012 p 214) [7] um dos princiacutepios norteadores do
meacutetodo de Cavaliere dizia que se dois soacutelidos nos quais qualquer plano secante a eles e
paralelo a um plano dado determina neste soacutelido planos cuja razatildeo eacute constante entatildeo a
razatildeo entre os volumes destes soacutelidos tambeacutem seraacute constante
Observe por meio da utilizaccedilatildeo da linguagem moderna da matemaacutetica como
Cavalieri obteve a aacuterea lateral de um cilindro a aacuterea supercial da esfera e volume do
cone de revoluccedilatildeo a partir da reproduccedilatildeo de ideias publicadas em CONTADOR (2012)
[7]
Inicialmente eacute necessaacuterio considerar um soacutelido qualquer com bases paralelas
de altura h e aacuterea S e de volume (VL) dado por VL = Sh Agora imagine uma superfiacutecie
como uma lacircmina soacutelida em que sua altura h eacute innitamente pequena logo seu volume e
sua aacuterea seratildeo praticamente iguais ou seja S = VL
bull a) Caacutelculo da aacuterea (S) lateral de um cilindro
Eacute notoacuterio e consensual que o procedimento adotado na maioria dos livros di-
daacuteticos (caacutelculo da superfiacutecie lateral do cilindro reto eacute obtido a partir de uma regiatildeo
retangular de altura h e base 2π) possui uma abordagem excelente aos olhos da didaacutetica
e de acordo com a visatildeo criacutetica dos alunos tal procedimento eacute considerado de faacutecil assi-
milaccedilatildeocompreensatildeo contribuindo de modo satisfatoacuterio para o ensinoaprendizagem O
procedimento a ser apresentado tem como proposta o caacutelculo da aacuterea lateral de um cilindro
de altura h e raio da base igual a (r + x) a partir do volume VA do anel ciliacutendrico consi-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 81
derando x como uma espessura innitamente pequena pois a partir dessas consideraccedilotildees
eacute possiacutevel inserir a aplicaccedilatildeo das noccedilotildees de limite de uma maneira construtiva
Figura 717 Anel Ciliacutendrico
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 333
Note que o volume do cilindro interno de raio r e altura h eacute dado por Vi =
πr2h Jaacute o volume do cilindro externo de raio (r + x) e de mesma altura h eacute dado por
Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h
Assim o volume do anel ciliacutendrico seraacute dado por
VA = Ve minus Vi
rArr VA = πh(r2 + 2rx+ x2)minus πr2h
rArr VA = πh(2rx+ x2)
rArr VA = πh2rx+ πhx2
Fazendo a divisatildeo por x tanto do 1o membro quanto do 2o membro igualdade
tem-se
rArr VAx
= πh2r + πhx
Como VA = S middot x rArr S = VAx
e sabendo que x eacute innitamente pequeno segue
que a 2a parcela da soma do 2o membro tambeacutem seraacute tatildeo pequena ao ponto de consideraacute-la
nula
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 82
Assim
rArr VAx
= S = 2πhr
Observe que de fato S eacute aacuterea do retacircngulo de altura h e de base idecircntica ao
comprimento de um circunferecircncia de raio r
bull b) Caacutelculo da aacuterea da esfera (S)
O caacutelculo da aacuterea da superfiacutecie de uma esfera seraacute feito a partir da diferenccedila
entre os volumes das esferas externa e interna cujos raios satildeo (r+h) e r respectivamente
Figura 718 Casca de Esfera
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 337
VCasca = Ve minus Vi
rArr VCasca =4
3π(r + h)3 minus 4
3πr3
rArr VCasca =4
3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)
rArr VCasca =4
3π(3r2h+ 3rh2 + h3)
Utilizando procedimento anaacutelogo isto eacute dividindo ambos os termos por h
tem-se
rArr VCascah
=4
3π(3r2 + 3rh+ h2)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 83
Como VCasca = S middothrArr S = VCasca
he sabendo-se que h eacute innitamente pequeno
segue queVCascah
= S =4
3πr2
bull c) Caacutelculo do volume do cone de revoluccedilatildeo
Antes de deduzir a foacutermula VCone = 13πr2h em que r e h representam o raio e a
altura do cone respectivamente eacute vaacutelido ressaltar que historicamente esse feito eacute creditado
inicialmente a Demoacutecrito (c 410 aC) e sua evoluccedilatildeo posteriormente a Arquimedes que
utilizou brilhantemente seu meacutetodo de equiliacutebrio para conjecturar e o meacutetodo da exaustatildeo
de Eudoxo para provar a validade dessa relaccedilatildeo De acordo com EVES (2004) [11] o
pioneiro no Caacutelculo do volume do cone foi Demoacutecrito
() A chave eacute fornecida por Plutarco ao relatar o dilema a que chegoucerta vez Demoacutecrito quando considerou a possibilidade de um cone serformado de uma innidade de secccedilotildees planas paralelas agrave base Se duassecccedilotildees adjacentes fossem do mesmo tamanho o soacutelido seria um cilindroe natildeo um cone Se por outro lado duas secccedilotildees adjacentes tivessem aacutereasdiferentes a superfiacutecie do soacutelido seria formada de uma seacuterie de degrauso que certamente natildeo se verica Nesse caso se assumiu que o volumedo cone pode ser subdividido indenidamente (ou seja numa innidadede secccedilotildees planas atocircmicas) mas que o conjunto dessas secccedilotildees eacute contaacute-vel no sentido de que dada uma delas haacute uma outra que lhe eacute vizinhasuposiccedilatildeo que se situa ateacute certo ponto entre as duas jaacute consideradassobre a divisibilidade de grandezas Demoacutecrito pode ter argumentadoque se duas piracircmides de bases equivalentes e alturas iguais satildeo seccio-nadas por planos paralelos agraves bases vericando-se a divisatildeo das alturasnuma mesma razatildeo entatildeo as secccedilotildees correspondentes assim formadas satildeoequivalentes Portanto as piracircmides conteacutem o mesmo nuacutemero innito desecccedilotildees planas equivalentes o que implica que seus volumes devem seriguais Tem-se aiacute o que seria um exemplo primitivo do chamado meacutetododos indivisiacuteveis de Cavalieri () (EVES [11] 2004 p 420)
Considere o cone de diacircmetro da base AB = 2r e altura H composto pela
junccedilatildeo de n cilindros de raios variando de 0 agrave r e de altura h extremamente pequena tal
que h = Hn
Considere um desses cilindros ideais de ordem k a partir do veacutertice C e raio r1
de tal maneira que o cone que dividido em duas partes Note que eacute possiacutevel por meio da
semelhanccedila de triacircngulos relacionar rr1 H e H1 de tal modo que seja dado em funccedilatildeo
de r k e nr
r1=
H
H1
rArr r
r1=
HkHn
rArr r1 =rk
n
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 84
Figura 719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 339
O volume do cilindro de ordem k seraacute dado por
VCilindro = πr21h
rArr VCilindro = πr2k2
n2
H
n
rArr VCilindro = πr2H1
n3k2
Assim o volume do cone seraacute dado pelo somatoacuterio de todos os cilindros ideais
com k variando de 1 a n
VCone = πr2H1
n312 + πr2H
1
n322 + πr2H
1
n332 + πr2H
1
n342 + middot middot middot+ πr2H
1
n3n2
= πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
Sabe-se que 12+22+32+42+ middot middot middot+n2 = n3
3+ n2
2+ n
6 A validade dessa relaccedilatildeo
pode ser obtida pelo Princiacutepio da Induccedilatildeo Matemaacutetica ou a partir do desenvolvimento do
binocircmio (1 + k)3 = 1+ 3k + 3k2 + k3 variando k de 0 a n e adicionando as igualdades de
ambos os membros (vide em CONTADOR (2012) [8]) Embora essa abstraccedilatildeo algeacutebrica
seja possiacutevel de ser aplicada aos alunos do Ensino Meacutedio a demonstraccedilatildeo geomeacutetrica
consiste num procedimento mais construtivo e de faacutecil assimilaccedilatildeo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 85
Inicialmente faremos a apresentaccedilatildeo da prova geomeacutetrica para a soma dos
nuacutemeros inteiros de 1 a n isto eacute S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n = n(n+1)2
dado que a mesma
seraacute necessaacuteria para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo 12+22+32+42+
middot middot middot+ n2 = n3
3+ n2
2+ n
6= n(n+1)(2n+1)
6()
Antes de generalizar os casos eacute imprescindiacutevel realizar os caacutelculos para um
caso particular por exemplo n = 6 com o intuito de motivar e aguccedilar a curiosidade
dos alunos Aleacutem de contribuir de maneira satisfatoacuteria para a formaccedilatildeo da conjectura dos
alunos
A gura seguinte ilustra a soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) em que a coluna i eacute
composta por i quadrados
Figura 720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Fonte Geogebra
Ao girar a gura anterior e encaixaacute-la tem-se um retacircngulo de base 6 e altura
7 conforme ilustra a imagem seguinte
Note que a medida da aacuterea do retacircngulo construiacutedo eacute dada por 6 middot7 = 6 middot(6+1)
A partir daiacute eacute possiacutevel concluir que a soma (1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6) pretendida
representa a metade do retacircngulo construiacutedo isto eacute
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)
2
Para generalizar o procedimento eacute necessaacuterio construir um retacircngulo de base
n e altura (n + 1) a partir das n colunas que representam geometricamente a soma S =
1 + 2 + 3 + middot middot middot + n A aacuterea (A) do retacircngulo construiacutedo seraacute dada por A = n middot (n + 1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 86
Figura 721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7
Fonte Geogebra
De forma anaacuteloga a soma desejada (S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n) representa a metade do
retacircngulo n(n+ 1) isto eacute
S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot+ n =n(n+ 1)
2
Enm para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo () faz-se ne-
cessaacuterio implementar ideias semelhantes com as devidas ressalvas
Repetindo o procedimento realizado para um caso particular da soma dos 6
primeiros quadrados perfeitos (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)
As guras a seguir sugerem uma visatildeo geomeacutetrica do procedimento detalhado
Note que para realizar o preenchimento eacute preciso acrescentar um quadrado na 2a linha
um quadrado e um retacircngulo (2x1) na 3a linha um quadrado um retacircngulo (2x1) e
retacircngulo (3x1) na 4a linha assim por diante
Logo a aacuterea (A) do retacircngulo (ABCD) cuja base mede b = (1+2+3+4+5+6)
e cuja altura mde 6 unidades eacute dada por A = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) middot 6
Equivalentemente tal aacuterea pode ser calculada a partir da soma das aacutereas que
compotildee o retacircngulo (ABCD) isto eacute
A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]
rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1
(1 + i)i
2]
Portanto tem-se
1+22+32+42+52+62 = (1+2+3+4+5+6)middot6minus[5sumi=1
(1 + i)i
2] = (
6(6 + 1)
2)middot6minus1
2middot[5sumi=1
i+5sumi=1
i2])
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 87
Figura 722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
Fonte Geogebra
Figura 723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
Fonte Geogebra
Daiacute segue que
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot5sumi=1
iminus 1
2middot5sumi=1
i2
rArr6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot5sumi=1
i2
Ainda eacute possiacutevel manipular a referida expressatildeo com o intuito de melhorar a
visualizaccedilatildeo
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot ([
6sumi=1
i2]minus 62)
rArr6sumi=1
i2 +1
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 88
rArr 3
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =62 + 6
2minus 62 minus 6
2+
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)
4
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
4
rArr6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
6
Generalizando o procedimento ou seja representando geometricamente a soma
dos quadrados (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + middot middot middot + n2) de 1 ateacute n e em seguida completando a
gura ateacute que se forme um retacircngulo de base (1+2+3+4+5+ middot+n) e altura n tem-se
6sumi=1
i2 = 1 + 22 + 32 + middot middot middot+ n2 =n(2 middot n+ 1)(n+ 1)
6
Assim dispondo da relaccedilatildeo que representa a soma dos quadrados segue que
VCone = πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
= πr2H1
n3
(n3
3+n2
2+n
6
)= πr2H
(1
3+
1
2n+
1
6n2
)
Como n tende ao innito segue que as fraccedilotildees que conteacutem denominador composto por n
poderatildeo ser desprezadas dado que tenderatildeo a zero Isto eacute o volume do cone seraacute dado
por
VCone =1
3πr2H
Recomenda-se que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada na 2a e 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
Acredita-se que em cinco aulas haacute tempo suciente para complementar todo o aparato de
discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Espacial
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse
Dispondo dos meacutetodos de quadratura do ciacuterculo realizados por Arquimedes
dos conceitos baacutesicos de Geometria Analiacutetica difundida por Descartes e Fermat e aleacutem
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 89
disso dos princiacutepios de Cavalieri eacute possiacutevel aplicar tais ideias para ampliar o estudo de
cocircnica deduzindo a foacutermula para o caacutelculo da aacuterea de uma elipse isto eacute descobrir a
relaccedilatildeo de proporccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo para a elipse de eixo maior igual ao diacircmetro do
ciacuterculo formalizada por Johannes Kepler
Figura 724 Elipse inscrita numa circunferecircncia
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p339
Considere o semi-ciacuterculo de raio r = a e a semi-elipse de semi-eixos positivos
a e b com a gt b A partir dessa convenccedilatildeo eacute possiacutevel descrever as equaccedilotildees reduzidas do
ciacuterculo e da elipse
x2 + y2 = a2 ex2
a2+y2
b2= 1
Escrevendo y em funccedilatildeo de x e tomando o 1o quadrante por simetria am de
que ambos os radicandos sejam positivos tem-se
y =radica2 minus x2
eyprime2
b2= 1minus x2
a2rArrradicb2 minus x2 b
2
a2
rArr yprime =
radicb2(1minus x2
a2
)
=
radicb2(a2 minus x2a2
)=b
a
radica2 minus x2
Ou seja yprime = bay (a razatildeo entre duas cordas verticais correspondentes da elipse
e do ciacuterculo eacute ba)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 90
Note que apesar de adotar a variaacutevel y em cada funccedilatildeo y e yprime satildeo diferentes
isto eacute representam para cada abscissa x ordenadas com valores distintos
Se as ordenadas do ciacuterculo e elipse y e yprime respectivamente guardam entre si a
relaccedilatildeo ba segue que suas aacutereas vatildeo manter a mesma razatildeo Essa armaccedilatildeo eacute garantida
pelo primeiro princiacutepio de Cavalieri em que EVES (2004 p426) [11] destaca Se duas
porccedilotildees planas satildeo tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina
nas porccedilotildees segmentos de reta cuja razatildeo eacute constante entatildeo a razatildeo entre as aacutereas dessas
porccedilotildees eacute a mesma constante Em linguagem moderna temos
Area da elipse
Area do circulo=b
a
rArr Area da elipse =b
aArea do circulo
rArr Area da elipse =b
aπa2 = πab
Eacute vaacutelido ressaltar que a ideia acima pode ser estendida para comparar dois
soacutelidos (segundo princiacutepio de Cavalieri) e por meio dela pode-se deduzir a foacutermula para o
caacutelculo do volume da esfera
Eacute recomendaacutevel que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada durante a 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
A quantidade de aulas sucientes para expor tais ideias variaraacute de acordo com a proposta
do professor mas acredita-se que cinco aulas satildeo bastantes para complementar todo o
aparato de discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Analiacutetica e de Cocircnicas
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva
Ao analisar uma grandeza cuja variaccedilatildeo eacute tomada como constante em subin-
tervalos isto eacute como se a funccedilatildeo tivesse variaccedilatildeo de degrau em degrau e natildeo de forma
continuada haacute uma abordagem de forma impliacutecita das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
elementares de integral
Primeiramente o trabalho estaraacute focado no caso em que a funccedilatildeo eacute constante
em todo o intervalo positivo considerado Suponha que o interesse principal seja o caacutelculo
da aacuterea sob o graacuteco no intervalo considerado Nesse caso o problema se resume em medir
a aacuterea de um retacircngulo cuja base coincide com a variaccedilatildeo do intervalo considerado e a
altura corresponde ao valor xo e constante da funccedilatildeo xada
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 91
Nessa mesma tocircnica veja um exemplo graacuteco de uma funccedilatildeo constante (f(x) =
3x) via GeoGebra com poliacutegono regular inscrito para n = 100
Figura 725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante
Fonte GeoGebra
Figura 726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer
Fonte GeoGebra
A gura anterior representa o caso de uma grandeza positiva e natildeo constante
cuja variaccedilatildeo seja contiacutenua ao longo do intervalo considerado Nesse caso para calcular a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 92
aacuterea sob o graacuteco eacute preciso analisar o problema fragmentando o intervalo contiacutenuo em um
nuacutemero consideraacutevel de partes (degraus) com o intuito de que a grandeza seja analisada
como se fosse praticamente constante em cada subintervalo isto eacute a aacuterea solicitada eacute
obtida adicionando as aacutereas dos inuacutemeros retacircngulos inseridos no intervalo considerado
A gura a seguir ilustra o graacuteco de uma funccedilatildeo qualquer feita a matildeo livre via GeoGebra
com poliacutegono retangular inscrito com n = 10
Esse procedimento descrito acima eacute comum e rotineiro em diversas situaccedilotildees
cotidianas A estrateacutegia de resoluccedilatildeo eacute similar na maioria dos casos e consiste em racio-
cinar a funccedilatildeo dado como se fosse constante em pequenos trechos Tal fenocircmeno jaacute era
realizado desde o seacuteculo III aC por Arquimedes com auxiacutelio do meacutetodo da exaustatildeo Um
exemplo praacutetico motivacional e de faacutecil entendimento eacute a explicaccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo
como uma aproximaccedilatildeo via aacuterea de poliacutegonos regulares inscritos com nuacutemero de lados
em escala crescente e tendendo ao innito Observe a imagem abaixo que foi produzida
no software de geometria dinacircmica GeoGebra Note que haacute um controle deslizante res-
ponsaacutevel por determinar o nuacutemero de lados do poliacutegono regular inscrito Na imagem a
seguir o cursor do controle deslizante foi posicionado em N = 11 isto eacute fez-se surgir o
undecaacutegono regular inscrito Jaacute a gura ao lado estaacute representando o hectaacutegono regular
(poliacutegono regular de 100 lados) inscrito e construiacutedo tambeacutem via GeoGebra
Figura 727 Quadratura do ciacuterculo
para n = 11
Figura 728 Quadratura do ciacuterculo
para n = 100
Tomando uma funccedilatildeo contiacutenua y = f(x) qualquer preferencialmente natildeo
constante denida no intervalo positivo [a b] e supondo que a meta seja o caacutelculo da aacuterea
sob o graacuteco contido no 1o quadrante faz-se necessaacuterio uma subdivisatildeo do intervalo [a b]
em numerosos subintervalos praticamente constantes am de determinar a aacuterea sob o
graacuteco como uma aproximaccedilatildeo pela soma de todos os retacircngulos obtidos ao particionar o
intervalo [a b] Isto eacute considerando n subintervalos de comprimentos x1 x2 x3 middot middot middot xn e
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 93
cujas imagens (alturas dos retacircngulos) sejam y1 y2 y3 middot middot middot yn respectivamente e supostos
constantes em cada subintervalo tem-se uma aproximaccedilatildeo para a aacuterea S sob o graacuteco da
curva dada
S sim= x1y1 + x2x2 + x3y3 + middot middot middot+ xnyn
Note que aumentando o valor de n e reduzindo o comprimento dos subinter-
valos a aproximaccedilatildeo ca melhorada ou seja o valor real da aacuterea sob o graacuteco torna-se
muito proacuteximo da aproximaccedilatildeo considerada via soma de retacircngulos Eacute oacutebvio que ten-
dendo o valor de n para um nuacutemero innito de subdivisotildees sucessivas com as ressalvas
necessaacuterias de reduccedilatildeo dos comprimentos dos subintervalos a soma das innitas aacutereas dos
retacircngulos pertencentes aos trechos particionados tenderaacute para o valor real da aacuterea sob
o graacuteco da funccedilatildeo considerada Tal nuacutemero eacute conhecido como integral denida
Eacute vaacutelido ressaltar que o procedimento exibido acima pode ser contextualizado
aplicado e inserido de forma interdisciplinar com a disciplina de Fiacutesica ao calcular a
distacircncia d percorrida por um moacutevel com velocidade v(t) no intervalo de tempo [a b] ou
entatildeo no caacutelculo do trabalho T realizado por uma forccedila de direccedilatildeo constante e intensidade
f(x) no deslocamento de x de a ateacute b Tambeacutem eacute possiacutevel aplicar o estudo descrito para
calcular o volume de uma trombeta (soacutelido obtido pela rotaccedilatildeo do graacuteco particular
y = f(x) em torno do eixo x com a le x le b e f(x) ge 0) via cascas ciliacutendricas poreacutem essa
atividade pode ser encontrada nos livros de Caacutelculo citados anterioremente e seraacute deixada
como atividade suplementar pois foge ao escopo desse trabalho
Para raticar o estudo exibido propotildee-se um exerciacutecio que pode ser resolvido
passo a passo conforme etapas descritas a seguir
Exerciacutecio Calcule um valor aproximado para a aacuterea sob o graacuteco de f(x) =
100minus x2 no intervalo [0 10]
Atividade a ser desenvolvida no laboratoacuterio de informaacutetica com computadores
compostos por softwares de geometria dinacircmica (especialmente o GeoGebra) Aleacutem disso
eacute recomendaacutevel o uso de calculadora cientiacuteca ou de algum software de planilha (por
exemplo Excel ou CALC)
1o passo Utilize o GeoGebra para plotar o graacuteco da funccedilatildeo com as restriccedilotildees
discriminadas no enunciado
2o passo Inicialmente proponha uma subdivisatildeo do intervalo [0 10] em 5 su-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 94
bintervalos de comprimento igual a 2 Note que em cada subintervalo eacute preciso supor
f(x) constante e de valor correspondente ao ponto meacutedio do subintervalo
3o passo Calcule os valores de f(1) f(3) f(5) f(7) e f(9) Nesse momento
questione os alunos sobre o que essas imagens representam
4o passo Utilize a calculadora cientiacuteca ou uma planilha eletrocircnica para adi-
cionar a aacuterea dos cinco retacircngulos contidos nos subintervalos determinados A soma (S5)
eacute uma aproximaccedilatildeo para o valor da aacuterea sob o graacuteco da funccedilatildeo dada isto eacute eacute uma
estimativa para o valor da integral denida
5o passo Questione os alunos sobre o que aconteceraacute com a estimativaaproximaccedilatildeo
caso fosse uma nova subdivisatildeo em dez subintervalos de comprimento igual a 1 Oriente
os mesmos a realizarem tal experimento
6o passo Maximize o grau de abstraccedilatildeo da atividade supondo uma subdivisatildeo
do intervalo dado em n subintervalos de comprimento igual a 10n Solicite aos alunos que
calculem a nova aproximaccedilatildeo em funccedilatildeo de n fornecendo uma expressatildeo geral e ao nal
dessa tarefa questione os alunos sobre o que aconteceraacute com tal expressatildeo caso o valor de
n seja tendido ao innito
7o passo Revise todas as etapas melhorando a linguagem de forma gradual
e introduzindo uma simbologia de maneira a facilitar a escrita por exemplo insira a
notaccedilatildeo de somatoacuterios Caso observe a maturidade e a compreensatildeo dos conceitos de
maneira satisfatoacuteria por parte dos alunos insira a notaccedilatildeo moderna de limite junto aos
siacutembolos de somatoacuterios Aleacutem disso tambeacutem pode introduzir a simbologia de integrais
A expectativa dessa atividade eacute que a maioria dos alunos construa o graacuteco
no GeoGebra conforme as guras ilustrativas a seguir e que aproxime ao maacuteximo da aacuterea
sob o graacuteco via Soma de Riemann
Note que o aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees de cinco para dez fez com que a
aproximaccedilatildeo da aacuterea do poliacutegono retangular inferior melhorasse de 560 para 615 unidades
de aacuterea E mais aumentando o nuacutemero de interaccedilotildees de 10 para 100 fez com que a
aproximaccedilatildeo via aacuterea do poliacutegono retangular superior melhorasse de 715 para 67165
Tal realizaccedilatildeo conduz a seguinte conclusatildeo a aacuterea procurada eacute um nuacutemero entre 615
e 67165 Utilizando as ideias de Arquimedes sobre quadratura da paraacutebola eacute possiacutevel
constatar que a aacuterea desse segmento paraboacutelico (Asp) eacute dada por 43da aacuterea do triacircngulo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 95
inscrito de base medindo 10 unidades e altura medindo 100 unidades isto eacute Asp = 43de
10middot1002
= 20003
= 666 6
Figura 729 Poliacutegono Retangular
para n = 5
Figura 730 Poliacutegono Retangular
para n = 10
Figura 731 Poliacutegono Retangular
inscrito
Figura 732 Poliacutegono Retangular
circunscrito
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 96
Observe que a Figura 732 representa uma imagem ilustrativa de um poliacutegono
retangular superior em que eacute possiacutevel vericar que a aacuterea estaacute bem proacutexima do valor real
exibido anteriormente Note ainda que a medida que aumentamos o valor do cursor (n)
o poliacutegono retangular inscrito aproximasse cada vez mais da aacuterea da faixa de paraacutebola
pretendida (vide gura 731)
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica
O estudo de funccedilatildeo decorre da necessidade de analisar fenocircmenos descrever
regularidades interpretar interdependecircncias e generalizar Eacute preciso ter em mente que o
termo funccedilatildeo eacute mais abrangente e complexo do que a deniccedilatildeo apresentada ou seja eacute
necessaacuterio mostrar ao aluno que esse toacutepico usado de forma sistemaacutetica em exatas e no
seu cotidiano eacute de suma importacircncia para o meio social pois vaacuterias relaccedilotildees de mercado
e capital engenharia economia (micro e macro) sauacutede transportes induacutestrias artes
energia enm uma diversidade de aacutereas dependem de uma anaacutelise clara e objetiva da
funcionalidade de um modelo ou paracircmetro a ser adotado
Os casos em que haacute o emprego das noccedilotildees elementares no estudo de Fiacutesica
durante a etapa do ensino meacutedio satildeo frequentes e corriqueiros Observe os casos em que
eacute possiacutevel explorar tais ideias durante o ensino meacutedio
No 1o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Velocidade x Tempo (Deslocamento)
bull graacuteco de Aceleraccedilatildeo x Tempo (Velocidade)
bull graacuteco de Forccedila x Distacircncia (Trabalho)
bull graacuteco de Forccedila x tempo (Impulso)
No 2o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Trabalho realizado por um gaacutes ideal)
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Transformaccedilatildeo isoteacutermica)
bull graacuteco de calor especiacuteco x variaccedilatildeo de temperatura (Quantidade de Calor)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 97
No 3o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Corrente x Tempo (Carga)
bull graacuteco de Campo eleacutetrico x distacircncia (Forccedila eleacutetrica)
bull graacuteco de Resistecircncia x corrente (Tensatildeo)
Eacute possiacutevel citar outros casos mais especiacutecos poreacutem fogem ao escopo desse
material A seguir seraacute apresentado um estudo de catildeo referente ao caacutelculo da aacuterea sob o
graacuteco de uma dada relaccedilatildeo entre duas grandezas
A riqueza de tal estudo que eacute uma aplicaccedilatildeo baacutesica do caacutelculo integral vai
ao encontro dos ideais de interdisciplinaridade e contextualizaccedilatildeo defendidos pelos Paracirc-
metros Curriculares Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) [20] e pela Lei de Diretrizes e
Bases da Educaccedilatildeo (LDB) [30]
Os PCNEM (2002) [21] foram formulados a partir da discussatildeo entre especi-
alistas e educadores pertencentes aos domiacutenios do territoacuterio nacional Sua nalidade eacute
bastante abrangente dado que se pretende dar suporte as equipes escolares na execuccedilatildeo
de seus trabalhos com o intuito de promover o aperfeiccediloamento da praacutetica educativa por
meio de estiacutemulo e apoio agrave reexatildeo sobre a praacutetica diaacuteria ao planejamento de aulas e
ao desenvolvimento do curriacuteculo da escola de maneira a construir um processo contiacutenuo
de ensinoaprendizagem e a contribuir satisfatoriamente para a atualizaccedilatildeo prossional e
para a integraccedilatildeo ao mundo contemporacircneo nas dimensotildees fundamentais da cidadania e
do trabalho
Nesse iacutenterim que foca numa aprendizagem de formaccedilatildeo geral em que se pri-
oriza a aquisiccedilatildeo de conhecimentos a preparaccedilatildeo cientiacuteca e a capacidade de utilizar as
diferentes tecnologias relativas agraves aacutereas de atuaccedilatildeo a pretensatildeo dessa sequencia didaacutetico
tem a nalidade de contribuir para a transformaccedilatildeo do ensino meacutedio assim como formar
alunos capazes de buscar analisar e selecionar informaccedilotildees de modo criacutetico em detrimento
do ensino focado nos processos de memorizaccedilatildeo
A integraccedilatildeo e o uso da Matemaacutetica para justicar fatos da Fiacutesica sempre
foram e seratildeo mecanismos favoraacuteveis para o desenvolvimento da ciecircncia e da tecnologia
Eacute vaacutelido ressaltar que para propagar tais ideias eacute necessaacuterio discutircomentar
alguns preacute-requisitos matemaacuteticos e fiacutesicos de acordo com a seacuterie em que haacute pretensatildeo a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 98
aplicar a referida teacutecnica Eacute de suma importacircncia que o aluno saiba e domine os conceitos
de funccedilatildeo uacuteteis na construccedilatildeo do esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo proposta Assim a primeira
etapa de todo o processo consiste numa revisatildeo de toacutepicos de funccedilatildeo (1o grau 2o grau
exponencial logariacutetmica trigonomeacutetrica hipeacuterbole equilaacutetera etc) de acordo com o
enfoque que o professor trabalharaacute
Por exemplo caso o professor esteja interessado apenas em aplicar os conceitos
de limite agraves funccedilotildees do 1o grau cujos graacutecos seratildeo guras planas poligonais natildeo haacute
necessidade de explanar as demais funccedilotildees Jaacute o educador que pretende estudar tais
fenocircmenos que desembocam em graacutecos paraboacutelicos eacute preciso discutir com os alunos
toacutepicos relacionados ao estudo das funccedilotildees quadraacuteticas e suas relaccedilotildees graacutecas com o
estudo da paraacutebola Nos outros casos recomenda-se prosseguir com raciociacutenio anaacutelogo
O nuacutemero de aulas previstas de revisatildeo dependeraacute do niacutevel da turma em que se pretende
aplicar o trabalho
Aleacutem disso eacute preciso utilizar o laboratoacuterio de informaacutetica como recurso suple-
mentar para o ensino e manejo do software de geometria dinacircmica GeoGebra Em geral
de duas a quatro aulas satildeo sucientes para aprender a usar de forma baacutesica desde que haja
planejamento de atividades e interesse por parte discente e docente no aprimoramento da
utilizaccedilatildeo
Apoacutes o domiacutenio das ferramentas baacutesicas do GeoGebra eacute hora de propor a
plotagemconstruccedilatildeo de graacutecos Eacute recomendaacutevel que o professor inicie seu trabalho a
partir de uma situaccedilatildeo problema que empregaraacute conceitos de funccedilatildeo do 1o grau e que
implicaraacute na utilizaccedilatildeo dos conceitos fiacutesicos de acordo com a seacuterie momentacircnea Forneccedila
os dados via tabela via texto ou via foacutermula Solicite a interpretaccedilatildeo da funccedilatildeo com
questionamentos Quem eacute a variaacutevel dependente e a independente Como representamos
tal situaccedilatildeo gracamente O que representa o produto das variaacuteveis Etc
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea
Para compreender o signicado de velocidade instantacircnea de um moacutevel em
movimento faz-se necessaacuterio compreender o conceito de taxa de variaccedilatildeo
Considere que x = f(t) seja equaccedilatildeo que descreve o movimento do moacutevel
(funccedilatildeo horaacuteria do moacutevel) A velocidade meacutedia (vm) de um moacutevel entre os instantes t1
e t2 = t1 +4t eacute denida como a razatildeo entre variaccedilatildeo do espaccedilo percorrido pelo tempo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 99
gasto para executar tal deslocamento
vm =4S4t
=s2 minus s1t2 minus t1
=f(t2)minus f(t1)(t1 +4t)minus t1
=f(t1 +4t)minus f(t1)
4t
Tomando 4trarr 0 tem-se que vm tende para a velocidade instantacircnea isto eacute
vinstatanea = lim4trarr0
f(t1 +4t)minus f(t1)4t
A razatildeo f(t1+4t)minusf(t1)4t eacute denominada de Quociente de Newton Esse quociente eacute
bastante corriqueiro em problemas de Matemaacutetica (problemas de tangecircncia a curvas) Fiacute-
sica (velocidade instantacircnea aceleraccedilatildeo instantacircnea etc) Quiacutemica (quociente de reaccedilotildees
quiacutemicas) e Economia (problemas de custo marginal) No estudo de caacutelculo esse conceito
receberaacute o nome de derivada de uma funccedilatildeo em um dado ponto ou ainda representa
geometricamente a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacuteco no ponto (t f(t))
Nesse momento seria interessante propor atividades de cunho experimental
com carrinhos de exatildeo ou com problemas de queda livre Nessa tarefa aleacutem de realizar
anotaccedilotildees acerca de deslocamentos e tempos decorridos eacute interessante solicitar a cons-
truccedilatildeo de um esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo e propor questionamentos aos alunos acerca da
aacuterea sob o graacuteco da curva obtida ao traccedilar o graacuteco
Situaccedilatildeo Problema Caacutelculo da distacircncia d percorrida por um moacutevel com ve-
locidade v(t) no intervalo de tempo [a b]
1o caso Se a velocidade v(t) for constante e igual a v segue que
d = vt = v(bminus a)
2o caso Se a velocidade v(t) natildeo for constante em [a b] entatildeo eacute possiacutevel
adotar uma subdivisatildeo desse intervalo em n particcedilotildees de mesmo comprimento e supor
que a velocidade seja constante em cada subintervalo Isto eacute adotando t1 t2 t3 t4 middot middot middot tncomo comprimento desses subintervalos tem-se
d sim= v1t1 + v2t2 + v3t3 + middot middot middot+ vntn
Observe a situaccedilatildeo ilustrativa de aplicaccedilatildeo das ideias difundidas acima por
meio da anaacutelise da tabela que fornece a velocidade de um corpo que se desloca com
movimento retiliacuteneo em diversos instantes
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 100
Tabela 74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo
t(segundos) 0 1 2 3 4 5
v (ms) 2 5 8 11 14 17
Figura 733 Trapeacutezio retacircngulo
Fonte GeoGebra
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle
Um gaacutes sofre transformaccedilatildeo isoteacutermica quando haacute variaccedilatildeo da sua pressatildeo e do
seu volume sem que haja variaccedilatildeo de sua temperatura isto eacute a temperatura permanece
constante Daiacute se explica o nome da transformaccedilatildeo que eacute uma fusatildeo do prexo iso (do
grego iso = igual) com a palavra thermo (do grego thermo = calor)
Segundo a Lei de Boyle-Mariotte a pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo
inversamente proporcionais ou seja aumentando a pressatildeo o volume de gaacutes diminui
Um exemplo simples praacutetico e presente diariamente em nosso dia-a-dia eacute o
ecircmbolo de uma seringa Como a Pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo inversamente
proporcionais segue que PV = k Observe a situaccedilatildeo hipoteacutetica tabulada e a construccedilatildeo
do graacuteco a partir de tais dados Daiacute decorre que os pontos da curva geram de fato uma
hipeacuterbole Isto eacute por intermeacutedio da construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo (hipeacuterbole) y = 54x
eacute possiacutevel conjecturar um valor para o trabalho realizado no intervalo [3 24] O eixo das
abscissas conteacutem os valores do volume enquanto o eixo das ordenadas conteacutem os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 101
da pressatildeo do referido gaacutes em estudo
Tabela 75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio
Pressatildeo (atm) Volume (ml) Produto (P middotV )
3 18 54
6 9 54
12 45 54
18 3 54
24 225 54
Note que a aproximaccedilatildeo via poliacutegonos retangulares inferiores quanto a aproxi-
maccedilatildeo via poliacutegonos retangulares superiores estaacute tendendo para um nuacutemero entre 11212
e 11246 unidades de aacuterea Como a aacuterea em questatildeo representa o trabalho realizado pelo
gaacutes e conforme jaacute foi provada a referida aacuterea pode ser obtida a partir de uma subtraccedilatildeo
entre os logaritmos naturais das abscissas do intervalo [3 24] segue que o trabalho (T )
realizado seraacute dado por T = 54(ln 24minus ln 3) sim= 112 289
Figura 734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000
Fonte GeoGebra
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada
Eacute consenso entre os estudiosos do assunto de que a introduccedilatildeo do estudo de
derivadas deve ser realizada por meio de suas aplicaccedilotildees como por exemplo ao introduzir
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 102
conceitos de pressatildeo densidade da massa densidade da carga eleacutetrica e em problemas de
tangecircncia em determinados pontos de uma curva
Vaacuterios artigos da RPM jaacute mencionaram a importacircncia desse estudo e defen-
deram de forma ferrenha e de acordo com histoacuteria o estudo das derivadas Dentre os
inuacutemeros artigos que citam diretaindiretamente o ensino de derivadas merece destaque
os artigos de AacuteVILA (1991) [1] nas revistas de nuacutemero 18 23 e 60 e o artigo dos professores
WAGNER e CARNEIRO (2004) [32] na revista de nuacutemero 53
Analisando o artigo mais recente da RPM de nuacutemero 60 sobre o tema cuja
autoria eacute exclusiva do professor AacuteVILA (2006) [2] eacute possiacutevel vericar a possibilidade de
aplicaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular do estudo inicial de derivadas
no Ensino Meacutedio Nesse artigo o autor critica as abordagens feitas pelos livros didaacuteticos
e propotildee uma abordagem segundo a utilizaccedilatildeo de ferramentas do Caacutelculo diferencial e
integral com o intuito de promover um ensino baacutesico de forma ampla contextualizada e
harmocircnica com outras aacutereas do conhecimento
A princiacutepio AacuteVILA [2] apresenta o estudo das coordenadas do veacutertice de uma
paraacutebola conforme a maioria dos livros didaacuteticos nos apresenta isto eacute um amontoado de
proposiccedilotildees e foacutermulas sem justicativas e aceitas via decoreba sem demonstraccedilatildeo formal
ou intuitiva Um verdadeiro disparate dado que haacute uma desvinculaccedilatildeo entre deniccedilatildeo
do veacutertice e a funccedilatildeo propriamente dita cujo graacuteco eacute uma paraacutebola Segundo SANTOS
(2006) [24]
a deniccedilatildeo mais natural e contextualizada seria a de que o veacutertice daparaacutebola eacute o ponto que representa o extremo (maacuteximo ou miacutenimo) dafunccedilatildeo quadraacutetica sendo a abscissa o ponto onde esse extremo eacute atingidoe a ordenada o valor extremo assumido Dessa forma ao considerar umafunccedilatildeo quadraacutetica como um modelo matemaacutetico ca clara a importacircnciade se obter o veacutertice da paraacutebola ao interpretaacute-lo como o extremo dafunccedilatildeo (SANTOS [24] 2006 p4)
Eacute importante salientar que segundo AacuteVILA (2006) [2] para seguir os proacuteximos
passos propostos na RPM de nuacutemero 60 faz-se necessaacuterio uma abordagem inicial do estudo
de derivadas conforme a maior parte dos livros didaacuteticos de Caacutelculo apresenta em que o
limite das inclinaccedilotildees das retas secantes ao graacuteco de uma paraacutebola (y = ax2 + bx + c)
tende para (2ax+ b) A apresentaccedilatildeo desse estudo eacute feita posteriormente com auxiacutelio do
GeoGebra Caso natildeo seja suciente a atividade proposta eacute recomendado realizar uma
leitura criacutetica e minuciosa da exposiccedilatildeo desse assunto em STEWART (2006) [37]
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 103
A partir desses preacute-requisitos eacute possiacutevel introduzir as noccedilotildees elementares de
derivada difundidas no presente artigo Nele haacute uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica da derivada
relacionada ao coeciente angular da reta tangente ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica em
cada ponto descartando a anaacutelise via zeros da funccedilatildeo Como a inclinaccedilatildeo da reta tangente
no veacutertice da paraacutebola possui valor nulo uma vez que a reta tangente eacute horizontal segue
que a derivada da funccedilatildeo (f(x) = ax2+ bx+ c) no ponto que conteacutem a abscissa do veacutertice
eacute igual a zero isto eacute
f prime(x) = 0hArr 2axv + b = 0hArr minusb2a
Jaacute a ordenada yv pode ser obtida como a imagem da abscissa ou seja substituindo o
valor da abscissa do veacutertice na funccedilatildeo quadraacutetica
Nesse mesmo artigo AacuteVILA (2006) [2] cita uma aplicaccedilatildeo da derivada segunda
para uma anaacutelise da concavidade da paraacutebola e aleacutem disso tambeacutem faz uma citaccedilatildeo de
referecircncia a uma aplicaccedilatildeo da derivada como taxa de variaccedilatildeo no estudo de Mecacircnica na
Fiacutesica A explanaccedilatildeo com riqueza de detalhes caraacute a cargo do leitor pois assim evita-se
uma fuga demasiada do escopo da discussatildeo desse trabalho de dissertaccedilatildeo
Veja o esboccedilo da situaccedilatildeo descrita acima
Figura 735 Reta tangente a uma dada paraacutebola
Fonte RPM [2] n60
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 104
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada
Conforme a maioria dos livros didaacuteticos de caacutelculo propotildee recomenda-se que a
introduccedilatildeo do estudo de derivadas seja realizada a partir da situaccedilatildeo problema de traccedilar
a reta tangente a uma curva num determinado ponto
Se a gura curviliacutenea for uma circunferecircncia basta encontrar a reta que toca
a circunferecircncia em um uacutenico ponto Mas essa noccedilatildeo natildeo pode ser estendida como caso
geral pois haacute diversos exemplos de curvas qualquer em que uma dada reta intercepta
somente em um ponto e tal reta natildeo representa a reta tangente Por exemplo se a
referida curva fosse uma paraacutebola eacute oacutebvio que a reta vertical que representa o eixo da
paraacutebola intercepta a curva somente em seu veacutertice e tal reta natildeo representa uma reta
tangente da paraacutebola Sendo assim faz-se necessaacuterio criar uma deniccedilatildeo geral capaz de
ser utilizada em qualquer graacuteco curviliacuteneo
Para isso eacute necessaacuterio partir de uma situaccedilatildeo concreta por exemplo esco-
lhendo o graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Considere dois pontos nessa curva
P = (a f(a)) e Q = (a+h f(a+h)) A proposta exibida abaixo eacute referente a uma anaacutelise
da inclinaccedilatildeo das retas secantes quando Q se aproxima de P com a intenccedilatildeo de conjectu-
rar uma deniccedilatildeo precisa de reta tangente via razatildeo incremental (inclinaccedilatildeo coeciente
angular)
Observe o procedimento da situaccedilatildeo descrita via representaccedilatildeo no GeoGebra
cujos passos devem ser repassados conforme proposiccedilatildeo abaixo
1o passo Digite na linha de comandos (campo entrada) a lei de formaccedilatildeo da
funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2)
2o passo Crie dois controles deslizantes a e h O primeiro (a) com intervalo
de variaccedilatildeo de -10 ateacute 10 com incremento de 01 O segundo (h) com mesmo intervalo e
com mesmo de 001
3o passo Crie dois pontos (A e Q) O primeiro com coordenadas A = (a f(a))
e o segundo com coordenadas Q = (a+ h f(a+ h)) Em seguida crie a reta denida por
dois pontos (A e Q)
4o passo Crie uma razatildeo incremental (m) tal que
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 105
5o passo Solicite aos alunos que realize variaccedilatildeo no controle deslizante a e no
controle deslizante h
6o passo Mantenha o controle deslizante na posiccedilatildeo a = 1 e faccedila variaccedilotildees no
controle deslizante h
7o passo Solicite aos alunos que comparem o valor do coeciente angular da
reta AQ com o valor da razatildeo incremental (m) quando o ponto Q se aproxima do ponto
A em sua vizinhanccedila
A seguir observe as retas secantes ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2
com representaccedilatildeo de limites laterais (h = minus004 e h = 004) Eacute vaacutelido que apoacutes a
realizaccedilatildeo dos passos descritos e de analisar as conjecturas obtidas pelos alunos o professor
deve realizar diversos questionamentos acerca da atividade desenvolvida dentre os quais
o de maior destaque consiste em observar o que acontece na vizinha do ponto P = (1 1)
Figura 736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda)
Fonte GeoGebra
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 106
Figura 737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita)
Fonte GeoGebra
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada
Apoacutes realizar experimento via GeoGebra e incitar conjecturar a partir de inuacute-
meras modicaccedilotildees nos cursores (a e h) que conduzem alteraccedilotildees no ponto escolhido e no
incremento lateral analisado eacute hora de utilizar o quadro da sala de aula com o intuito
de realizar um estudo algeacutebrico das etapas a partir da anaacutelise da razatildeo incremental (m)
comparando com o valor do coeciente angular da reta secante AQ
Observe como seria o referido estudo analiacutetico e algeacutebrico
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
=f(a+ h)minus f(a)(a+ h)minus h
=(a+ h)2 minus a2
h
=2ah+ h2
h
= 2a+ h
Note que quanto mais proacuteximo o ponto Q estiver em relaccedilatildeo ao ponto A o
valor de h tenderaacute a zero isto eacute
limhrarr0
[m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
] = limhrarr0
[2a+ h] = 2a
Note que para a = 1 implica em m = 2 ou seja a inclinaccedilatildeo da secante
AQ tambeacutem seraacute igual a 2 e nesse momento a reta via GeoGebra secante deixa de
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 107
existir pois natildeo faz sentido para o programa divisatildeo com denominador nulo Mas eacute
vaacutelido ressaltar que a reta existe e trata-se da reta tangente cuja inclinaccedilatildeo (coeciente
angular ou razatildeo incremental) coincide com o valor da derivada no ponto A Caso o
professor ache conveniente introduza a notaccedilatildeo de derivada primeira num ponto qualquer
determinado (f prime(a) = 2a) Essa atitude de acordo com o niacutevel de abstraccedilatildeo da turma
pode ser um belo exemplo e uma boa alternativa de introduccedilatildeo das teacutecnicas e propriedades
de derivaccedilatildeo da funccedilatildeo polinomial
Na atividade proposta tambeacutem foi utilizada a funccedilatildeo quadraacutetica mas eacute vaacute-
lido salientar que haacute viabilidade e facilidade da extensatildeo para demais funccedilotildees (1o grau
exponencial logariacutetmica e ateacute mesmo a funccedilatildeo trigonomeacutetrica)
O problema descrito abaixo eacute referente a uma situaccedilatildeo problema de utilizaccedilatildeo
praacutetica do estudo de derivada com auxiacutelio do GeoGebra
1a Situaccedilatildeo problema Aplicaccedilatildeo num problema de maximizaccedilatildeo
Um terreno em formato retangular possui periacutemetro de medida igual a 74
metros A partir dessa informaccedilatildeo determine a medida dos lados desse retacircngulo para
que a aacuterea desse terreno seja maacutexima
Resoluccedilatildeo passo a passo via GeoGebra
1o passo Equacionar o problema a partir dos dados
Sejam a e b os lados do terreno em questatildeo
Como o periacutemetro mede 74 metros segue que 2a+ 2b = 74
Isto eacute a+ b = 37 que eacute equivalente a b = 37minus a
Como o problema solicita os valores das dimensotildees que geram aacuterea (S)maacutexima
segue que S = ab = a(37minus a) = minusa2 + 37a
2o passo Apoacutes o equacionamento construir via GeoGebra o graacuteco da funccedilatildeo
quadraacutetica obtida (f(x) = minusx2 + 37x)
3o passo Criar um controle deslizante (a) de intervalo de -50 a 50 com incre-
mento de 01
4o passo Criar um ponto de coordenadas P = (a f(a)) Em seguida criar
uma reta tangente no ponto P
5o passo Varie o controle deslizante e observe na janela de aacutelgebra os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 108
das ordenadas do ponto P
Observe a imagem da tela do GeoGebra apoacutes sequencia dos passos anteriores
Figura 738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular
Fonte Imagem capturada de janela do GeoGebra
Note que quando o ponto P atinge o veacutertice (V ) da paraacutebola as coordenadas
desse ponto satildeo dadas por V = (185 34225) Assim eacute possiacutevel concluir que a funccedilatildeo
aacuterea assume valor maacuteximo quando a reta tangente torna-se horizontal isto eacute a maacutexima
aacuterea ocorre quando a inclinaccedilatildeo da reta tangente eacute igual a zero e o retacircngulo torna-se um
quadrado de lado de medida 185 metros Utilizando a linguagem do caacutelculo eacute possiacutevel
dizer que a aacuterea eacute maacutexima quando a derivada no ponto P eacute igual a zero (vide imagem a
seguir)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 109
Figura 739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica
Fonte Imagem capturada da janela do GeoGebra
110
8 CONCLUSAtildeO
Ao tomar a decisatildeo nal de pesquisar sobre o tema em estudo e escrever uma
proposta de sequecircncia didaacutetica de resgate agrave inserccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
durante o Ensino Meacutedio eacute importante confessar que a princiacutepio tal ideia aparentemente
foi considerada absurda antiquada e de discussatildeo despreziacutevel Apoacutes nalizar todo o levan-
tamento de dados dessa dissertaccedilatildeo foi possiacutevel perceber quatildeo eacute pertinente tal discussatildeo
e quanto o ensino estaacute sendo negligenciado por professores experientes e de reputaccedilatildeo
ilibada no mercado da terceira etapa da educaccedilatildeo baacutesica
Assim como opinaram a maioria dos professores que atua na rede municipal
e estadual do Espiacuterito Santo nossa visatildeo a priori do tema da pesquisa era criacutetica e
contraacuteria agrave introduccedilatildeo de conceitos de limite deriva e integral Uma justicativa plausiacutevel
seria dizer que a clientela existente na educaccedilatildeo baacutesica diariamente estaacute constantemente
nos desapontando com problemas simples de matemaacutetica elementar e isso talvez tenha
contribuiacutedo para o equiacutevoco de considerar tal proposta absurda impossiacutevel e incompatiacutevel
com a realidade da maioria das escolas capixabas poreacutem em contrapartida eacute preciso
focar a atenccedilatildeo ao prejuiacutezo que estamos causando agravequela minoria de estudantes aacutevidos
pelo saber e que possuem alto grau de abstraccedilatildeo A preparaccedilatildeo de nossos alunos para
ingressarem no estudo de matemaacutetica superior natildeo estaacute sendo suciente Isso pode ser
uma das justicas para os piacuteos iacutendices de aprovaccedilatildeo da maior parte dos alunos que
estudam Caacutelculo A implementaccedilatildeo de nossa proposta em sala de aula mesmo que seja
para um seleto grupo pode gerar mudanccedilas signicativas com contribuiccedilotildees iacutempares para
o ensinoaprendizagem dos alunos partiacutecipes
Tambeacutem foi possiacutevel reetir sobre vaacuterios pontos da educaccedilatildeo matemaacutetica ca-
pixaba em particular do puacuteblico alvo da pesquisa pertencente agrave Grande Vitoacuteria que
perpassa desde a formaccedilatildeo inconsistente dos professores seja de instituiccedilatildeo puacuteblica ou
privada ateacute a precariedadenegligecircncia de nossos livros didaacuteticos do curriacuteculo estadual
dos PCN da proposta do ENEM e dos cursos de capacitaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao repasse de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo
O presente trabalho serviu para nos alertar sobre a importacircncia da Histoacuteria
8 CONCLUSAtildeO 111
da Matemaacutetica na evoluccedilatildeo dos conceitos Agraves vezes desejamos que os alunos aprendam
algo em um dia sendo que tal conceito demorou seacuteculos para atingir o rigor e o padratildeo
preestabelecido em nossas literaturas de matemaacutetica Aleacutem disso serviu de instrumento
norteador para pensar em mudanccedilas ou adaptaccedilotildees signicativas em nossos livros didaacute-
ticos para que os mesmos estejam em conformidade com a proposta constitucional de
preparaccedilatildeo para uma continuaccedilatildeo de estudos mais avanccedilados Tambeacutem serviu de aper-
feiccediloamento do conhecimento via emprego praacutetico e motivador de planilhas eletrocircnicas e
softwares de geometria dinacircmica (GeoGebra) Como esses recursos podem tornar as aulas
mais interessantes e fazer com que o ensinoaprendizagem seja facilitado
O emprego das noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio via noccedilotildees intuitivas e
via situaccedilotildees problema de aplicaccedilotildees reais pode ser incluso novamente nos PNCEM
no curriacuteculo estadual eou entatildeo nas estrateacutegias suplementares do plano pedagoacutegico da
escola baacutesica com o intuito de oportunizar um aprendizado mais qualicado aos alunos
e de preparaacute-los para estudos posteriores com maior teor de abstraccedilatildeo Foi possiacutevel
vericar que algumas propriedades satildeo justicadas de maneira rigorosa apenas com o
auxiacutelio de ideais correlatas do Caacutelculo (limite derivada e integral) principalmente a
explicaccedilatildeo matemaacutetica de alguns fenocircmenos fiacutesicos e quiacutemicos tornando a matemaacutetica
interdisciplinar
Enm eacute preciso ensinar matemaacutetica com o intuito de formar alunos aptos a
lidar com situaccedilotildees extremas de abstraccedilatildeo nas universidades e natildeo somente para adqui-
rirem bom rendimento nos exames de caraacuteter nacional (ENEM PAEBES etc) Anal
a omissatildeo pode estar causando resultados negativos como desmotivaccedilatildeo dos alunos da
escola baacutesica reduccedilatildeo de procura por cursos que requerem uma boa formaccedilatildeo na aacuterea
de exatas e aulas expositivas cada vez mais distantes da realidade cotidiana dos nossos
alunos Assim as poliacuteticas governamentais assim como os professores devem participar
dessas discussotildees com propostas de viabilidade de cursos de capacitaccedilatildeo que oriente os
prossionais a trabalharem com as noccedilotildees de Caacutelculo via aulas expositivas com adaptaccedilotildees
de recursos didaacuteticos disponiacuteveis e via produccedilatildeo de material especiacuteco que complemente as
lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos disponiacuteveis Essa adaptaccedilatildeo ao modelo tradicional
de ensino que jaacute se mostrou desmotivador arcaico e ultrapassado pode ser uma alterna-
tiva eciente para resgatar a busca incessante pelo aprofundamento do saber matemaacutetico
fiacutesico e quiacutemico por parte dos alunos
112
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos
graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo
A)
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)113
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)114
115
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos
professores de Matemaacutetica (Anexo B)
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 116
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 117
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 118
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Alexandre Maia Ferreira
RESGATE DA INSERCcedilAtildeO DAS NOCcedilOtildeES ELEMENTARESDO CAacuteLCULO (EM PARTICULAR DAS NOCcedilOtildeES DE
LIMITE) DURANTE O ENSINO MEacuteDIO
Dissertaccedilatildeo apresentada ao Curso de Mestrado Pro-
ssional em Matemaacutetica da UFES como requisito
parcial para a obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Mestre em
Matemaacutetica
Orientador Etereldes Gonccedilalves Juacutenior
Doutor em Matemaacutetica - IMPA-RJ
Vitoacuteria
2014
A minha esposa Taniara e aos meus pais Luiza
e Miguel
Aos colegas e amigos pelo incentivo pela ajuda
e pela paciecircncia
Resumo
Este trabalho eacute uma alternativa de retorno da abordagem de assuntos ligados
ao Caacutelculo Diferencial e Integral de forma intuitiva e construtiva durante o Ensino Meacutedio
O desenvolvimento desse material inicia com a realizaccedilatildeo de uma pesquisa histoacuterica sobre
a evoluccedilatildeo do estudo de limite derivada e integral em seguida eacute feito um levantamento
de dados entre professores e graduandos sobre os impactos (vantagensdesvantagens) que
o resgate do repasse de ideais correlatas do Caacutelculo proporcionaria Com o intuito de
justicar a restauraccedilatildeo proposta foi realizado um mapeamento dos conteuacutedos que neces-
sitam de enfoque de noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo nos principais livros didaacuteticos utilizados
tradicionalmente nas escolas capixabas puacuteblicas e particulares Foi questionada entre pro-
fessores a melhor seacuterie a visatildeo dos Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) o curriacuteculo
baacutesico a existecircncia de cursos de formaccedilatildeo e material didaacutetico especiacuteco para realizaccedilatildeo
de tal iniciativa assim como foi avaliada a situaccedilatildeo em que eacute possiacutevel inserir tais conceitos
sem causar danos e comprometimento ao ensinoaprendizagem dos alunos Apoacutes a anaacutelise
dos assuntos principais que requerem o uso de noccedilotildees de Caacutelculo de uma maneira geral
montou-se a proposta de sequencia didaacutetica com atividades estrateacutegias e metodologias
desenvolvidas e apresentadas de maneira construtiva e intuitiva
Palavras-chaves Caacutelculo Limite Derivada Integral GeoGebra
Abstract
This work is an alternative return of the issues related to Dierential and
Integral Calculus approach intuitive and constructive way during high school The deve-
lopment of this material starts with doing historical research on the evolution of the study
of limit derivative and integral then it is a survey of data between faculty and graduate
students about the impacts (advantagesdisadvantages) that the transfer of redemption
ideals related calculation would provide In order to justify the proposed restoration a
mapping of the contents that require focus on intuitive notions of calculus in the main
textbooks used traditionally in public and private schools capixabas was performed It
was questioned from the grade teachers the vision of the National Curriculum Parame-
ters (PCN) the core curriculum the availability of training courses and specic teaching
materials for conducting such an initiative as well as the situation in which you can enter
these concepts was evaluated harmlessly and commitment to teachinglearning of stu-
dents After analyzing the main issues that require the use of concepts of Calculus in
general was set up to draft sequence with didactic activities strategies and methodologies
developed and presented in a constructive and intuitive way
Keywords Calculus Limit Derivative Ingegral GeoGebra
Agradecimentos
A princiacutepio gostaria de agradecer a Deus por me proporcionar uma vida sau-
daacutevel (repleta de sabedoria inteligecircncia e amizade) uma famiacutelia majestosa amigos mag-
niacutecos e uma esposa formidaacutevel a qual amo muito
Em segundo plano e em caraacuteter especial gostaria de agradecer aos meus pais
(Luiza e Miguel) que satildeo a razatildeo do meu viver a minha avoacute (Salviana) que eacute uma
lutadora e uma educadora incansaacutevel a minha esposa (Taniara) que realizou mudanccedilas
signicativas na minha vida e aleacutem disso meus agradecimentos a todos os meus pro-
fessores da educaccedilatildeo baacutesica ateacute o ensino superior pelo aprendizado pela educaccedilatildeo pela
paciecircncia pelo incentivo e pela dedicaccedilatildeo fervorosa para que o sucesso ateacute aqui conquis-
tado fosse possiacutevel
Enm gostaria de agradecer ao meu orientador (Dr Etereldes) aos professo-
res do PROFMAT e a todos os amigos (alunos e colegas de prossatildeo) que colaboraram
de forma direta (Professores Rubens e Solano) eou indireta para a realizaccedilatildeo dessa
dissertaccedilatildeo
Serei eternamente grato a todos sem distinccedilatildeo e sempre estarei agrave disposiccedilatildeo
para retribuir os gestos de carinho de incentivo e de forccedila a mim repassados nos momentos
difiacuteceis conturbados e desanimadores
A pior ditadura natildeo eacute a que aprisiona
o homem pela forccedila mas sim pela fra-
queza fazendo-o refeacutem de suas proacuteprias
necessidades
Juacutelia Liacutecia
Sumaacuterio
Lista de Figuras 8
Lista de Tabelas 10
1 INTRODUCcedilAtildeO 11
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 15
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 22
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 29
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 32
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 42
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA 45
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
711 Diacutezimas Perioacutedicas 47
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales 50
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas 54
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo 55
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees 60
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de limite 71
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua 72
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri 80
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse 88
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva 90
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica 96
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea 98
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle 100
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada 101
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada 104
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada 106
8 CONCLUSAtildeO 110
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da
FAACZ (Anexo A) 112
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo
B) 115
Referecircncias Bibliograacutecas 119
Lista de Figuras
31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo 22
32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1+ 2460+ 51
602+ 10
603=
1414212 28
71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis 52
74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso) 53
75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos 54
76 Retacircngulo 6 x 5 56
77 Retacircngulo 100 x 80 57
78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita 60
79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5 63
710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50 65
711 Poliacutegono Retangular para n = 100 65
712 Processo recursivo de Quadrados 70
713 Processo recursivo de Triacircngulos Equilaacuteteros 70
714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito) 77
715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8 78
716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10 79
717 Anel Ciliacutendrico 81
718 Casca de Esfera 82
719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica 84
720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 85
721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7 86
722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 87
723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 87
724 Elipse inscrita numa circunferecircncia 89
725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante 91
726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer 91
727 Quadratura do ciacuterculo para n = 11 92
728 Quadratura do ciacuterculo para n = 100 92
729 Poliacutegono Retangular para n = 5 95
730 Poliacutegono Retangular para n = 10 95
731 Poliacutegono Retangular inscrito 95
732 Poliacutegono Retangular circunscrito 95
733 Trapeacutezio retacircngulo 100
734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000 101
735 Reta tangente a uma dada paraacutebola 103
736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda) 105
737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita) 106
738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular 108
739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica 109
9
Lista de Tabelas
51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos 41
71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2 59
72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais 72
73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler 75
74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo 100
75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio 101
11
1 INTRODUCcedilAtildeO
Haacute pontos especiacutecos na educaccedilatildeo baacutesica em que a ideia intuitiva de limite
de derivada e de integral estaacute presente Como satildeo tratados os casos em que eacute necessaacuterio
mencionar as noccedilotildees de limite ou de integral para discutir uma consequecircncia natural de
um assunto elementar Como os livros didaacuteticos tratam o assunto Qual a visatildeo dos pro-
fessores diante do tema Como os Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) lidam com a
situaccedilatildeo Em que estados brasileiros nota-se a presenccedila e a aplicabilidade de tais noccedilotildees
elementares do Caacutelculo Como as consequecircncias imediatas dessa posturaapresentaccedilatildeo
preacute-matura estatildeo interferindo no rendimento dos cursos de Caacutelculo no niacutevel superior De
que maneira podemos introduzir e abordar esse peculiar assunto sem causar constrangi-
mentos e traumas em nossos alunos Em que contexto histoacuterico se deu o processamento
das ideias de limite Tais ideias satildeo largamente empregadas no nosso dia-a-dia Como
explorar as noccedilotildees de limite de derivada e de integral via softwares de geometria dinacircmica
(especicamente o GeoGebra) Como explorar as noccedilotildees de limite via planilhas eletrocirc-
nicas (Microsoft Excel) O que eacute limite e como introduzir sem exageros e formalidades
de maneira que os alunos consigam acompanhar tal abstraccedilatildeo Qual a ordem cronoloacutegica
dos fatos surgiu o Caacutelculo Integral ou primeiro o Caacutelculo Diferencial Como propor a
inserccedilatildeo de limite nos estudo das derivadas O que eacute derivada Soacute se aprende derivada
se souber limite Como interligar a deniccedilatildeo de limite com a noccedilatildeo de integral O que
eacute integral Qual foi a evoluccedilatildeo histoacuterica (limite derivada e integral) Quais principais
precursores (paiacutes cidade natal seacuteculo data problematizaccedilatildeo etc) QueQual percen-
tual de alunos aprendeu alguma noccedilatildeo de limite de derivada ou de integral durante a
educaccedilatildeo baacutesica Quais as vantagens em ensinar as noccedilotildees de limite de derivada e de
integral na educaccedilatildeo baacutesica em particular no ensino meacutedio
Diante de tantos questionamentos surge a necessidade de respondecirc-los por
meio de uma reexatildeo acerca dos pontos destacados na pesquisa desenvolvida na pre-
sente dissertaccedilatildeo Inicialmente foi feita uma pesquisa entre os alunos que estatildeo ingres-
sandocursando na Universidade Federal do Espiacuterito Santo (UFES) e no Instituto Federal
do Espiacuterito Santo (IFES) sobre o estudo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo durante as
fases da educaccedilatildeo baacutesica Quem estudou Em que seacuterie se consolidou tal aprendizado
1 INTRODUCcedilAtildeO 12
Haacute conceitos baacutesicos que utilizam as noccedilotildees de limite de derivada e de integral Quais
vantagens obteriam caso tivessem uma base melhor e satisfatoacuteria de tais ideias intuitivas
durante o ensino baacutesico Em segundo momento os professores foram questionados sobre
as vantagensdesvantagens em propor o ensino das noccedilotildees de limite de derivada e de
integrais durante a educaccedilatildeo baacutesica
Em seguida foi feita uma averiguaccedilatildeo que de fato existem conteuacutedos da edu-
caccedilatildeo baacutesica que necessitam de uma abordagem mais especiacuteca das noccedilotildees de limite de
derivada e de integral tais como a representaccedilatildeo decimalfracionaacuteria das diacutezimas pe-
rioacutedicas ao somar os innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo especial
(0 lt |q| lt 1) ao estudar a capitalizaccedilatildeo contiacutenua ao analisar comportamentos graacute-
cos de uma funccedilatildeo para valores muito grande eou pequeno do domiacutenio de uma funccedilatildeo
(funccedilatildeo 1o grau 2o grau exponencial e logariacutetmica) ao calcular da medida da aacuterea de
uma regiatildeo plana qualquer com lados curvos aleacutem das inuacutemeras aplicaccedilotildees no estudo da
Fiacutesica (emprego da hipeacuterbole equilaacutetera na relaccedilatildeo entre pressatildeo e volume de um gaacutes em
condiccedilotildees isoteacutermicas e do conceito de velocidade instantacircnea)
Uma busca nos livros de Histoacuteria da Matemaacutetica com o intuito de desvendar
as maneiras e o contexto sobre os quais se deu o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas de
limite de derivada e de integral ateacute chegar ao cliacutemax da notaccedilatildeo atual e padratildeo formal
ensinado na disciplina de Caacutelculo nas universidades Nesse iacutenterim pretendeu-se propor
uma viagem no tempo ao longo dos seacuteculos em busca de momentos cruciais em que se
desenvolveuaplicou as noccedilotildees elementares do Caacutelculo
Apoacutes mapear as diversas situaccedilotildees problema que serviram de motivaccedilatildeo para
o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo foi realizada uma conferecircncia nos
livros didaacuteticos mais utilizados na educaccedilatildeo baacutesica especicamente na 3a etapa o Ensino
Meacutedio com o intuito de investigar como o assunto eacute introduzido em que conteuacutedos satildeo
discutidos e qual a linguagem utilizada (notaccedilatildeo usual)
Uma pesquisa com graduandos e com professores foi realizada com o intuito
de averiguar se os mesmos trabalham as noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de
integral no ensino baacutesico e como o fazem Quais satildeo suas anguacutestias temores diculdades
sugestotildees etc Haacute cursos de capacitaccedilatildeoformaccedilatildeo de professores nesse sentido Seria
necessaacuterio criar um algoritmo tipo uma receita de bolo um guia didaacutetico um manual
pedagoacutegico de direcionamento de trabalho que norteasse e ensinasse aos professores com
1 INTRODUCcedilAtildeO 13
sugestotildees de abordagem do tema em estudo Em geral os professores possuem conheci-
mentos na aacuterea de utilizaccedilatildeoaplicaccedilatildeo da teoria de limite de derivada e de integral para
empregar em suas aulas a utilizaccedilatildeo de softwares de geometria dinacircmica e softwares que
trabalham com planilha eletrocircnica de estudos
Tendo em matildeos o mapeamento dos conteuacutedos que necessitam de um enfoque
das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral a opiniatildeo dos professores e
dos graduandos a visatildeo apresentada nos livros didaacuteticos e nos Paracircmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) a evoluccedilatildeo histoacuterica e suas situaccedilotildees-problema
foi possiacutevel articular a sequecircncia didaacutetica que de acordo com a nossa visatildeo facilitaria o
entendimento e minimizaria a distacircncia entre o concreto e o abstrato isto eacute reduziria a
margem de abstraccedilatildeo que tais noccedilotildees requerem Nesse sentido o foco da pesquisa tem
como meta a introduccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral de acordo
com a seacuterie do Ensino Meacutedio em que se pretende inserir tais conceitos Tambeacutem eacute vaacutelido
ressaltar que haacute conteuacutedos do Ensino Fundamental que necessitam de um enfoque das
noccedilotildees de Caacutelculo por exemplo o estudo das diacutezimas perioacutedicas a demonstraccedilatildeo completa
do Teorema de Tales e a deniccedilatildeo de aacuterea de uma regiatildeo retangular Nesse iacutenterim o
presente trabalho propotildee uma metodologia de introduccedilatildeo desses conceitos empregando e
entrelaccedilando as noccedilotildees elementares de limite
Para a 1a seacuterie do Ensino Meacutedio a abordagem algeacutebrica foi realizada a partir
do estudo de funccedilotildees e suas implicaccedilotildees e do estudo de sequecircncias (em particular seacuteries
geomeacutetricas convergentes diacutezimas perioacutedicas) que apresentam caracteriacutesticas peculiares
que necessitam do estudo das noccedilotildees de limite Em seguida foi proposta uma aplicaccedilatildeo
desses conceitos numa situaccedilatildeo-problema presente no estudo de matemaacutetica nanceira
(especicamente no estudo de juros compostos) isto eacute foi realizada uma reproduccedilatildeo e
uma anaacutelise do problema proposto por Jacques Bernoulli sobre capitalizaccedilatildeo contiacutenua ou
seja as implicaccedilotildees sobre a evoluccedilatildeo de crescimento de um capital depositado a juros
compostos ser acrescido de juros subdividindo constantemente o intervalo de correccedilatildeo Jaacute
a abordagem geomeacutetrica a ser apresentada tanto no 1o ano quanto no 2o ano conforme
o plano de curso preacute-estabelecido pela unidade escolar se deu por intermeacutedio do estudo
de aacutereas de guras planas em especial aquelas que apresentam lados curviliacuteneos
Ainda na 1a seacuterie do Ensino Meacutedio foi realizada uma anaacutelise comportamental
de graacutecos de funccedilotildees fazendo um paralelo com os graacutecos presentes no estudo de conceitos
da disciplina de Fiacutesica com o intuito particular de explicar o que signica e como se
1 INTRODUCcedilAtildeO 14
calcula a aacuterea sob o graacuteco de uma curva qualquer que relacionam duas variaacuteveis com
grau de dependecircncia (funccedilatildeo de uma variaacutevel) E tambeacutem foi realizada uma anaacutelise da
desintegraccedilatildeo radioativa de uma substacircncia que consiste num problema interdisciplinar
amplamente discutido na Quiacutemica
Para a 2a seacuterie ou 3a seacuterie do Ensino Meacutedio de acordo com curriacuteculo escolar
baacutesico adotado a introduccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo foi realizada em para-
lelo ao estudo de geometria espacial momento em que houve uma revisatildeo do estudo de
aacutereas de guras planas poligonais e a introduccedilatildeo do caacutelculo da aacuterea de uma gura plana
que contenha algum lado curviliacuteneo Posteriormente tais ideias foram aplicadas para
demonstrar as aacutereas superciais e volumes de corpos redondos especiais (cilindros cones
e esferas) utilizando como fonte e direccedilatildeo de trabalho o meacutetodo dos indivisiacuteveis proposto
por Kepler e Cavalieri
Enm a abordagem das noccedilotildees elementares do Caacutelculo na 3a seacuterie do Ensino
Meacutedio foi construiacuteda de maneira correlacionada com o estudo (deniccedilotildees e propriedades)
das cocircnicas (paraacutebolas e hipeacuterboles)
15
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA
INSERCcedilAtildeO
O objetivo da presente pesquisa foi investigar nesse particular espaccedilo amos-
tral que percentual de graduandos teve contato com as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
durante a educaccedilatildeo baacutesica questionando quatildeo signicante foi tal experiecircncia e quais van-
tagensdesvantagens obtiveramobteriam com o contato preacute-liminar com noccedilotildees intuitivas
do Caacutelculo Aleacutem disso entrevistas foram feitas com professores (rede estadual e privada)
que atuam no Ensino Meacutedio e com professores que lecionamlecionaram a disciplina de
Caacutelculo I (limite derivada e integral) e de Fiacutesica Geral I oportunidade em que a visatildeo
dos mesmos seraacute analisada diante da problemaacutetica aqui retratada
A pesquisa foi realizada com parte da turma de 2012 do PROFMAT-UFES
via envio do questionaacuterio por e-mail dos quais apenas dez alunos retornaram respondidos
os questionaacuterios Tambeacutem participaram os vinte e quatro alunos da turma de ingresso ao
PROFMAT 2014 via questionaacuterio impresso o qual foi aplicado no dia 22 de Fevereiro de
2014 na sala 32 do Centro de Ciecircncias Exatas (CCE) da Universidade Federal do Espiacuterito
Santo (UFES) Aleacutem desses professores mestrandos responderam aos questionaacuterios parte
(dez alunos) de uma turma de graduandos (futuros e atuais professores de matemaacutetica)
pertencentes ao curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica pelo Instituto Federal do
Espiacuterito Santo (IFES) uma miacutenima (apenas oito) amostra de professores que atuam no
Ensino Meacutedio da rede estadual especicamente nas escolas da Serra Sede (EEEFM Pro-
fessor Joatildeo Loyola e EEEFM Cloacutevis Borges Miguel) uma pequena amostra de professores
que atuam somente nas faculdades particulares e com alunos graduandos em engenharia
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) que estavam praticamente concluindo o estudo da
disciplina de Caacutelculo e Fiacutesica I
Para discentes foi articulado um questionaacuterio alternativodiscursivo composto
de perguntas pertinentes agraves experiecircncias com o estudo de Caacutelculo I e em particular das
noccedilotildees de limite na educaccedilatildeo baacutesica e as vantagensdesvantagens que a aprendizagem
de tais conceitos lhe renderia A pesquisa foi realizada com uma pequena amostra de
alunos dos cursos de Licenciatura Plena em Matemaacutetica (IFES) e de Engenharia Mecacircnica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 16
(FAACZ)
Jaacute para os docentes foi pensado um questionaacuterio com escalas de classica-
ccedilatildeo em que o professor repassaria dados histoacutericos de suas experiecircncias com a disciplina
de Caacutelculo I desde a graduaccedilatildeo ateacute a realidade encontrada em sua sala de aula caso
seja professor da disciplina de Caacutelculo I com o intuito de questionar quais as facilida-
desdiculdades que a aprendizagem das noccedilotildees de limite e outras noccedilotildees baacutesicas do
Caacutelculo poderiam produzir A pesquisa foi realizada com professores da UFES do IFES
e de algumas escolas particulares que lecionaramlecionam a disciplina de Caacutelculo I em
qualquer curso superior
De acordo com uma anaacutelise geral dos dados da pesquisa foi possiacutevel constatar
que a maioria dos professores seja da rede puacuteblica ou privada atuantes na educaccedilatildeo
baacutesica (Ensino Fundamental e Meacutedio) embora tenha recebido orientaccedilatildeopreparaccedilatildeo es-
peciacuteca que os formassem de maneira satisfatoacuteria para inserir noccedilotildees intuitivas de limite
e ideias correlatas do Caacutelculo nessa fase de ensino ainda natildeo faz ideia de como aplicar
tais conceitos caso os mesmos sejam implementados no curriacuteculo baacutesico Aleacutem disso em
uma conversa informal (bate-papo apoacutes o preenchimento dos questionaacuterios) com um grupo
atuante na rede estadual foi possiacutevel constatar que haacute diculdade de ensinar a matemaacutetica
elementar quanto mais os toacutepicos que remetem o uso de citaccedilatildeo de ideias avanccediladas cujo
grau de abstraccedilatildeo eacute mais acentuado Segundo os professores os alunos chegam ao Ensino
Meacutedio com niacutevel de aprendizagem abaixo do ideal com defasagens gritantes em aritmeacutetica
baacutesica (operaccedilotildees elementares) e com problemas de domiacutenio da liacutengua portuguesa naquilo
que concerne agrave interpretaccedilatildeo de enunciados e compreensatildeo de teorias Foi de consenso
comum entre os professores pesquisados que o trabalho eacute pertinente e de fundamental
importacircncia para sanar problemas como os altos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de
Caacutelculo e Fiacutesica I Tambeacutem consentiram que caso tal pesquisa inuenciasse uma mudanccedila
no curriacuteculo baacutesico da rede estadual de ensino haveria necessidade de um curso especiacuteco
e produccedilatildeo de um material suplementar que os orientasse Aleacutem disso um seleto grupo
informou que hoje seria possiacutevel repassar algumas orientaccedilotildees somente no 3o ano apoacutes a
aplicaccedilatildeo da prova do ENEM periacuteodo em que os alunos praticamente estatildeo aprovados e
teoricamente jaacute estudaram toda a matemaacutetica elementar dos niacuteveis fundamental e meacutedio
Caso contraacuterio veem atualmente viabilidade de aplicaccedilatildeo do estudo proposto somente em
turmas oliacutempicas de matemaacutetica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 17
Os dados especiacutecos da pesquisa podem induzir uma reexatildeo draacutestica de que
os cursos superiores de formaccedilatildeo de professores de matemaacutetica embora repassem aos seus
alunos fundamentos necessaacuterios e sucientes para que os mesmos estejam habilitados para
trabalhar com a proposta presente nesse trabalho a totalidade dos professores questiona-
dos natildeo se sente seguro para repassar noccedilotildees elementares do Caacutelculo a alunos da educaccedilatildeo
baacutesica E mais a maioria dos professores eacute favoraacutevel quanto agrave grade curricular e quanto
agrave adequaccedilatildeo e suciecircncia das disciplinas de Caacutelculo durante a fase de graduaccedilatildeo Um
verdadeiro paradoxo
Segundo os professores pesquisados a assimilaccedilatildeo e o ensinoaprendizagem
dos graduandos poderiam ser melhorados via curso especiacuteco de preacute-Caacutelculo ou propondo
estrateacutegias motivadoras durante o Ensino Meacutedio Ainda armaram estarem cientes da
distacircncia enorme entre o modelo de ensino ofertada pelas Licenciaturas e a realidade dos
alunos em sala de aula aleacutem disso comentaram que a aversatildeo relativa ao ensino de toacutepi-
cos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio eacute explicada devido a experiecircnciasaprendizagens
decitaacuterias durante a fase de graduaccedilatildeo naquilo que tange a metodologia diferenciada (es-
trateacutegias didaacutetica interessemotivaccedilatildeo do professor em ensinar e utilizaccedilatildeo de recursos
didaacuteticos etc)
A partir da pesquisa tambeacutem foi possiacutevel conjecturar que a realidade atual dos
cursos de Caacutelculo pode ser melhorada com uma fuga ao modelo tradicional de ensino
Nesse iacutenterim faz-se necessaacuterio que os professores universitaacuterios estejam mais atentos agrave
didaacutetica de ensino ao planejamento de suas aulas agrave variaccedilatildeo de metodologias de aprendi-
zagem via recursos computacionais disponiacuteveis e via alternativas modernas que favoreccedilam
um aumento no rendimento escolar universitaacuterio com uma consequente reduccedilatildeo dos iacutendi-
ces de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo Eacute impossiacutevel repassar noccedilotildees elementares do
Caacutelculo para os alunos da educaccedilatildeo baacutesica se a formaccedilatildeo que os professores recebem natildeo
eacute satisfatoacuteria ao ponto de que haja seguranccedila e domiacutenio do tema Para isso eacute necessaacuterio
ampliar o leque de discussatildeo das poliacuteticas puacuteblicas educacionais com uma proposta de re-
formulaccedilatildeo dos PCN com proposiccedilatildeo de cursos de capacitaccedilatildeo de professores convenientes
e em horaacuterios adequados e com a produccedilatildeo de um material didaacutetico especiacuteco adequado
agrave realidade da educaccedilatildeo baacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que a retomada do ensino de Caacutelculo
vem acontecendo desde a deacutecada de 90 mas com a preocupaccedilatildeo de que esse posiciona-
mento natildeo venha a sobrecarregar o curriacuteculo e nem esteja distante da realidade do niacutevel
elementar o Ensino Meacutedio a ser apresentada e incluiacuteda a ideia do presente trabalho
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 18
Caso haja educadores contraacuterios a presente proposta com a justicativa de
que o curriacuteculo baacutesico jaacute estaacute abarrotado de conteuacutedos e de ser um instrumento imutaacutevel
seria interessante promover uma formaccedilatildeo completa sobre os Paracircmetros Curriculares
Nacionais e sobre o curriacuteculo baacutesico adotado com o intuito de explicar aos professores
que haacute muito interpretaccedilatildeo equivocada dos PCN dado que os mesmos devem servir como
elemento norteador indicador das habilidades e competecircncias necessaacuterias para garantir o
miacutenimo de aprendizagem signicativa e sem que seja um instrumento impositivo (dono da
verdade deus do universo etc) ou seja quem faz o curriacuteculo de Matemaacutetica eacute o professor
atrelado ao plano pedagoacutegico da escola e matrizes do ENEM
Para encerrar a anaacutelise relativa aos dados da pesquisa eacute vaacutelido salientar que
muitos professores consideraram o questionaacuterio longo e tedioso Essa aversatildeo inicial pode
representar uma justicativa aparente de que a postura dos professores quanto agrave mu-
danccedilasaiacuteda do estado de platocirc atual sempre seraacute uma barreira agrave produccedilatildeo de conheci-
mentos A presente pesquisa cujos dados estatildeo tabulados no anexo A foi realizada com
38 professores atuantes na rede publica e privada com experiecircncia no mercado Parte
desses professores (10) ainda estavam em fase de conclusatildeo do curso de Licenciatura no
IFES De acordo com os dados da pesquisa foi possiacutevel inferir que muitos desses pro-
fessores natildeo possuem o haacutebito de realizar leituras de revistas especializadas (Revista do
Professor de Matemaacutetica (RPM) Revista Caacutelculo) de livros da Sociedade Brasileira de
Matemaacutetica (SBM) de artigos de seminaacuterios de discussatildeo de educaccedilatildeo matemaacutetica e nem
possuem interesse na participaccedilatildeo em simpoacutesios bienais cursos de capacitaccedilatildeo cursos de
veratildeo etc Nesse iacutenterim eacute bom citar que aqueles poucos professores que participaram
de forma remunerada do multicurso de matemaacutetica promovido pela Secretaria Educaccedilatildeo
do Espiacuterito Santo (SEDU) informaram que natildeo houve qualquer menccedilatildeo aos toacutepicos atuais
de discussatildeo do retorno das noccedilotildees elementares do Caacutelculo ao curriacuteculo baacutesico Jaacute aque-
les que estiveram presentes no Programa de Aperfeiccediloamento de Professores do Ensino
Meacutedio (PAPEM) relataram que houve alguma citaccedilatildeo breve do assunto durante as aulas
de viacutedeo conferecircncia e em problemas propostos nas ocinas no periacuteodo vespertino
A outra tabela que consta no anexo B dessa dissertaccedilatildeo representa a tabulaccedilatildeo
dos dados da pesquisa realizada com uma amostra (32 alunos) de alunos (graduandos) do
curso de engenharia mecacircnica da FAACZ
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 19
Inicialmente eacute interessante citar que participaram da pesquisa 32 alunos em
sua maioria graduandos do sexo masculino estudantes do curso de Engenharia Mecacircnica
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) e desse total eacute importante citar que 31 graduandos
estatildeo na faixa etaacuteria abaixo dos 30 anos
De acordo com os dados analisados foi possiacutevel vericar que a faculdade dispo-
nibiliza aos seus alunos um curso de nivelamento (preacute-Caacutelculo) com o intuito de apresentar
aos alunos uma ajuda consideraacutevel para iniciarem o estudo de Caacutelculo e para minimizar a
distacircncia que haacute entre a matemaacutetica elementar promovida na educaccedilatildeo baacutesica e a mate-
maacutetica superior principalmente as noccedilotildees elementares de limite deriva e integral Nesse
curso de nivelamento foram apresentadas aos alunos situaccedilotildees problema que necessitavam
de emprego de noccedilotildees do Caacutelculo A partir da exposiccedilatildeo de problemas concretos proacutexi-
mos da realidade dos alunos foi possiacutevel introduzir de maneira construtiva toacutepicos que
exigiram o emprego de limite de derivada e integral
Segundo a maioria dos alunos o referido curso de preacute-Caacutelculo ofertado contribui
para melhorar o rendimento em todos os aspectos e responderam que caso a introduccedilatildeo
das ideias difundidas no curso de nivelamento tivessem sido realizadas durante o ensino
meacutedio haveria uma melhora consideraacutevel no ensinoaprendizagem
Ao questionar sobre a sequecircncia da histoacuteria da evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi possiacutevel
constatar que quase a totalidade dos alunos natildeo tiveram uma introduccedilatildeo histoacuterica da
evoluccedilatildeo do Caacutelculo pois a maioria deles (20 alunos) armou que a evoluccedilatildeo do Caacutelculo
estaacute em conformidade com a sequecircncia apresentada nos livros didaacuteticos Tambeacutem foi
possiacutevel perceber que o ensino de Fiacutesica I ocorreu simultaneamente com o ensino de Caacutelculo
I o que eacute uma realidade questionada nos principais cursos de exatas das instituiccedilotildees
puacuteblica e privada do Estado do Espiacuterito Santo Anal como a ementa do curso de Fiacutesica
I requer o conhecimento de um conjunto de aplicaccedilotildees e propriedades do Caacutelculo seria
loacutegico que tal curso fosse realizado apoacutes a introduccedilatildeo das ideias de limite derivada e
integral
De acordo com a pesquisa contatou-se que quase todos os alunos (27) estu-
daram via livros didaacuteticos especiacutecos de Caacutelculo de autores com bastante bagagem e
profundos conhecedores do Caacutelculo (James Stewart e George B Thomas 11a e 5a edi-
ccedilatildeo respectivamente) Do total de alunos entrevistados 5 alunos armaram ter estudado
Caacutelculo via apostilas notas de aulas e viacutedeo aula
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 20
Segundo a visatildeo dos graduandos para realizar a introduccedilatildeo das noccedilotildees ele-
mentares do Caacutelculo faz-se necessaacuterio que os alunos tenham uma base adequada de en-
sinoaprendizagem acumulada das seacuteries anteriores inclusive no Ensino Fundamental
Quanto ao aspecto conteuacutedos do Ensino Meacutedio que exigem a inserccedilatildeo das noccedilotildees elemen-
tares do Caacutelculo os graduandos citaram Funccedilotildees Sequecircncias Aacutereas e volumes em geral
Jaacute no estudo da Fiacutesica mencionaram o estudo de velocidades aceleraccedilotildees e trabalho
Quanto aos iacutendices de aprovaccedilatildeo eacute vaacutelido ressaltar que dos 32 entrevistados
somente 6 caram reprovados em Caacutelculo I A explicaccedilatildeo para esse iacutendice excelente de
aprovaccedilatildeo pode ser justicativa pelo repasse das noccedilotildees elementares do Caacutelculo via curso
de nivelamento Tambeacutem eacute vaacutelido ressaltar que a formaccedilatildeo dos docentes regentes das
disciplinas que zeram o uso das ideias de Caacutelculo para os graduandos partiacutecipes da
presente pesquisa varia da titulaccedilatildeo miacutenima de especialistas ateacute doutores
As aulas de Caacutelculo na FAACZ satildeo muito ecleacuteticas poreacutem arcaicas obsoletas
tradicionais e remetem a ideia de que a maioria dos seus professores prefere um curso de
Caacutelculo que exija uma boa formaccedilatildeo baseada numa conciliaccedilatildeo do processo demonstra-
tivoaplicativo dos teoremas e proposiccedilotildees do Caacutelculo Tambeacutem armaram de maneira
quase unacircnime e satisfatoacuteria sobre as facilidades que a utilizaccedilatildeo dos recursos didaacuteticos
(softwares de geometria dinacircmica e planilhas eletrocircnicas) proporcionaria e favoreceria o
ensinoaprendizagem dos estudantes dessa instituiccedilatildeo Em contrapartida 26 desses alu-
nos responderam natildeo ter recebido trabalhos de abordagem de modelagem matemaacutetica de
uma situaccedilatildeo real cotidiana ou melhor a maioria desses alunos armou que ainda natildeo
sabem o que eacute modelagem matemaacutetica
Quanto agrave experiecircncia desses alunos ao serem expostos agrave teoria de limites com
todas as suas formalidades foi possiacutevel constatar que o curso de nivelamento de prepa-
raccedilatildeo para o estudo de Caacutelculo contribui de forma satisfatoacuteria para melhorar o rendi-
mentoentendimento da maior parte dos graduandos Esse curso de preacute-Caacutelculo foi uma
forma de preencher a lacuna deixada pela educaccedilatildeo baacutesica principalmente pelo Ensino
Meacutedio em que segundo dados da pesquisa natildeo houve citaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de
limite nem muito menos ideias correlatas do Caacutelculo deriva e integral Nesse iacutenterim a
maioria dos alunos armou que os livros didaacuteticos existentes na educaccedilatildeo baacutesica ou satildeo
insucientes quanto ao repasse ou natildeo abordam as noccedilotildees de intuitivas do Caacutelculo E
mais um percentual consideraacutevel dos entrevistados armou jamais ter ouvido qualquer
citaccedilatildeo baacutesica das noccedilotildees de limite deriva e integral durante o Ensino Meacutedio
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 21
Essas informaccedilotildees vecircm ao encontro da nossa proposta a qual propotildee um res-
gate da inserccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas e ideias elementares do Caacutelculo durante o Ensino
Meacutedio com a nalidade de preparar o aluno para ingressar no estudo de Caacutelculo e com
o intuito de justicar proposiccedilotildees elementares com argumentos satisfatoacuterios sem fuga
desculpa ou enrolo Essa inserccedilatildeo deve ser direcionada e atrelada agrave evoluccedilatildeo histoacuterica
do Caacutelculo com um material especiacuteco devido agrave insuciecircncia dos materiais didaacuteticos
existentes no mercado e com atividades interdisciplinares no estudo de Fiacutesica e Quiacutemica
principalmente E mais deve existir um curso especiacuteco de preparaccedilatildeo aos professores
da educaccedilatildeo baacutesicasuperior e a inclusatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo nos PCNEM
com intuito de estimularraticar o repasse das ideias e de contribuir para elevar o rendi-
mento dos estudantes no estudo de Caacutelculo em cursos superiores posteriores pois assim
os educadores receberatildeo a formaccedilatildeo necessaacuteria para trabalharem com maior destreza e
seguranccedila via recursos didaacuteticos disponiacuteveis (softwares educacionais quadro multimeios
laboratoacuterios de matemaacutetica jogos matemaacuteticos etc)
22
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO
CAacuteLCULO
Figura 31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo
Fonte wwwmatematicabrhistoriaprhindhtml[34]
A evoluccedilatildeo do Caacutelculo da origem intuitiva (ideias remotas) ateacute o rigoroso pa-
dratildeo adotado nos livros atuais foi marcada pelas contribuiccedilotildees de diversos estudiosos
dentre os quais pode-se citar em ordem cronoloacutegica de destaque Ahmes (ou Ahmose
escriba egiacutepcio) babilocircnicos Hiacutepias Zenatildeo (ou Zeno de Eleacuteia) Eudoacutexio (ou Eudoxos)
Demoacutecrito Arquimides Papus Kepller Descartes Fermat Roberval Torricelli Cavali-
eri Wallis Barrow Newton Leibnitz famiacutelia Bernoulli De Moivre Taylor Maclaurin
Euler Clairaut DAlembert Lambert Lagrange Laplace Legendre Monge Carnot
Gauss Fourier Poisson Bolzano Cauchy Abel Galois Jacobi Dirichlet Weierstrass
e Riemann Eacute vaacutelido ressaltar que outros personagens zeram contribuiccedilotildees favoraacuteveis
e que natildeo foram mencionados para natildeo haver fuga ao escopo principal dessa pesquisa
Aleacutem disso os personagens destacados foram formidaacuteveis e providenciais para o desen-
volvimento aprimoramento potencialidade aplicabilidade formalidade e padronizaccedilatildeo
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 23
loacutegica do Caacutelculo
A partir do seacuteculo XV II eacute que se evidenciou a evoluccedilatildeo formal no desenvolvi-
mento do Caacutelculo apesar de suas noccedilotildees intuitivas serem encontradas por volta de 1650
aC isto eacute dezessete seacuteculos anteriores aos tempos da era cristatilde foi encontrado no papiro
Rhind cuja coacutepia foi realizada pelo escriba Ahmes (ou Ahmose) evidecircncias de que os
egiacutepcios descobriram de maneira correta que o volume de uma piracircmide de base qua-
drada equivale a 13do volume do prisma retangular de mesma base e mesma altura Eacute
vaacutelido ressaltar que natildeo havia demonstraccedilatildeo de tal relaccedilatildeo nem deveria pois para checar
a veracidade com rigor e precisatildeo eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees de innitesimais perten-
centes ao Caacutelculo Aleacutem dos indiacutecios encontrados nesse papiro tambeacutem foram descobertos
tabulas cuneiformes babilocircnicas que destacam problemas relacionados ao Caacutelculo especi-
camente no algoritmo iterativo empregado para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero
racional e na mensuraccedilatildeo de guras planas
Conforme BOYER [4] (1992 p2)
() Jaacute no seacuteculo XV II aC os babilocircnicos aplicaram sua aacutelgebra admi-ravelmente exiacutevel a uma ampla gama de problemas praacuteticos incluindomensuraccedilatildeo de guras Conhecendo o teorema de Pitaacutegoras acharamcorretamente a diagonal de um quadrado ateacute o equivalente a meia duacuteziade casas decimais Tomavam a aacuterea do ciacuterculo geralmente como o tri-plo da aacuterea do quadrado sobre ao raio ma em pelo menos uma ocasiatildeousaram para uma aproximaccedilatildeo melhor 31
8 ()
Embora egiacutepcios e babilocircnicos em niacutevel mais acentuado tenham deixado evi-
dente a habilidade em aacutelgebra natildeo se pode dizer o mesmo em relaccedilatildeo agrave loacutegica empregada
Nesse sentido de preocupaccedilatildeo com o rigor loacutegico a partir de princiacutepios baacutesicos destacam-
se os trabalhos desenvolvidos na Greacutecia desde a descoberta da incomensurabilidade por
Hiacutepias (c de 425 aC) perpassando pelos quatro paradoxos propostos pelo loacutesofo Ze-
natildeo de Eleacuteia (c de 450 aC) que indicavam a existecircncia de um processo innito e pelo
brilhante trabalho de Eudoacutexio (ou Eudoxo cerca 370 aC) que propocircs uma teacutecnica de
comprovaccedilatildeo de validade de uma proposiccedilatildeo o meacutetodo da Exaustatildeo o qual eacute considerado
um prenuacutencio mais proacuteximo do Caacutelculo por parte de estudiosos gregos ateacute o aacutepice das
experiecircncias argumentos (reduccedilatildeo ao absurdo duplo) e meacutetodos bastante precisos desen-
volvidos por Arquimedes (287 minus 212 aC) para obter suas demonstraccedilotildees rigorosas das
foacutermulas de aacutereas e volumes em que frequentemente guravam seacuteries innitas
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 24
Consideradas duas grandezas desiguais se da maior subtraiacutemos umagrandeza maior que sua metade e da que resta uma grandeza maiorque sua metade e se este processo eacute repetido continuamente restaraacuteuma grandeza que seraacute menor que a menor das grandezas consideradas(BOYER [4] 1992 p 4)
Segundo BOYER [4] (1992 p 4) de maneira geral eis uma das citaccedilotildees mais
elementares das noccedilotildees de limites se A eacute a maior das duas grandezas dadas (positivas)
a e A e se un = A2n
entatildeo limnrarrinfin un = 0 lt a
De acordo BOYER [4]
Deve-se notar que enquanto a notaccedilatildeo moderna recorreu ao siacutembolo deinnito a linguagem antiga cuidadosamente evitava qualquer referecircnciaaberta a um processo innito As duas formulaccedilotildees no entanto natildeo es-tatildeo distantes quanto a seu signicado Para mostrar que limnrarrinfin un = 0deve-se demonstrar que dado um nuacutemero ε positivo mesmo que pequeno(o equivalente da grandeza menor a na proposiccedilatildeo de Euclides) pode-seachar um inteiro N (o equivalente da frase de Euclides se este processoeacute repetido continuamente) tal que para n gt N vale a relaccedilatildeo un lt εO Caacutelculo de Euclides (derivado presumivelmente de Eudoacutexio) pode tersido menos efetivo que o de Newton e Leibniz dois milecircnios mais tardemas em termos de ideias baacutesicas natildeo estava muito longe do conceitode limite usado rudemente por Newton e aprimorado no seacuteculo XIX(1992 p 5)
O uacuteltimo matemaacutetico dos tempos medievais a realizar contribuiccedilotildees favoraacuteveis
agrave evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi Papus (c de 320 dC) A partir daiacute houve um decliacutenio um ver-
dadeiro breu secular e histoacuterico de difusatildeoemancipaccedilatildeoevoluccedilatildeoativaccedilatildeo dos conceitos
do Caacutelculo Somente apareceraacute novamente discussatildeo proacutexima agrave teoria do Caacutelculo nos tem-
pos modernos por meio dos trabalhos de Nicole Oresme no seacuteculo XIV e Regiomontanus
no seacuteculo XV
O seacuteculo XV I foi o periacuteodo de reativaccedilatildeo do desenvolvimento dos concei-
tos principais do Caacutelculo Destacam-se nessa empreitada os trabalhos de Simon Stevin
(1548 minus 1620) e Luca Valerio (cerca de 1552 minus 1618) que evitaram a dupla reduction
ad absurdum do meacutetodo da exaustatildeo e zeram uso de um meacutetodo que fazia uma passa-
gem direta ao limite Aliaacutes Stevin o Arquimedes Holandecircs foi o primeiro a demonstrar
numericamente que uma sequencia de nuacutemeros tendia a um valor limite ao analisar pro-
posiccedilotildees relacionadas ao estudo de pressatildeo de uidos embora admitir mais credibilidade
ao tratamento geomeacutetrico
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 25
Nessa linha de defesa observe o relato EVES [11]
()Stevin usava esse meacutetodo em seu trabalho no campo da hidrostaacute-tica para determinar a forccedila exercida pela pressatildeo de um uido sobreum dique vertical Basicamente sua ideia consistia em dividir o diqueem faixas horizontais e entatildeo fazer cada uma girar em torno de suasbordas superior e inferior ateacute que elas se tornassem paralelas ao planohorizontal Fundamentalmente eacute esse o meacutetodo usado loje em dia emnossos textos elementares de Caacutelculo (2004 [11] p424)
Aleacutem de Stevin Johann Kepler (1573minus 1630) e Galileu Galilei (1564minus 1642)
foram pioneiros a evitar os rigores do meacutetodo da exaustatildeo apesar de utilizar incessante-
mente os meacutetodos de Arquimedes Devido a tal atitude foram os responsaacuteveis pela mudan-
ccedilasmodicaccedilotildees no panorama da anaacutelise innitesimal (innitamente grande e innita-
mente pequeno) Nesse sentido eacute vaacutelido ressaltar que Kepler heuriacutestico demasiadamente
para ganhar tempo e economizar trabalho utilizou a adiccedilatildeo de grandezas innitamente
pequenas quando imaginou o volume de cada barril de vinho formado por uma enorme
quantidade de secccedilotildees circulares com altura tendendo a zero e ainda segundo EVES [11]
(2004 p 424) considerava uma circunferecircncia como um poliacutegono regular de um nuacutemero
innito de ladose a partir desse raciociacutenio pode-se estendecirc-lo para caracterizar uma es-
fera como uma reuniatildeo de innitas piracircmides com as peculiaridades de serem delgadas e
com veacutertice coincidente com o centro da esfera
O seacuteculo XV II eacutepoca em que se destacaram os trabalhos elaborados por
Cavalieri Torricelli (1608 minus 1647) Roberval (1602 minus 1675) Descartes Fermat Wallis
Barrow Newton e Leibniz houve uma consideraacutevel produtividade do desenvolvimento da
matemaacutetica com a criaccedilatildeo da geometria analiacutetica e evoluccedilatildeo das teacutecnicas de quadratura
eou cubatura as quais satildeo empregadas a curvas e soacutelidos especiacutecos ou famiacutelias de cur-
vas Eacute vaacutelido ressaltar que o conceito de limite natildeo foi utilizado pelos ceacutelebres nomes
citados nem sequer reconheciam e perceberam a necessidade da fundamentaccedilatildeo de tal
teoria Dentre os diversos estudos de destaque potencial nesse periacuteodo mencionaremos
a contribuiccedilatildeo de Bonaventura Cavalieri (1598 minus 1647) com seu brilhante meacutetodo dos
indivisiacuteveis (Geometria indivisibilibus) em que nos apresenta as preacutevias dos atuais prin-
ciacutepios de Cavalieri ferramentas essenciais para o Caacutelculo Integral moderno e os estudos
de Reneacute Descartes (1596 minus 1650) e Pierre de Fermat (de 1509 ateacute 1608 ou 1601 minus 1665)
com contribuiccedilotildees pontuais para a fundamentaccedilatildeo e para o desenvolvimento da Geometria
Analiacutetica
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 26
Apoacutes o desenvolvimento do campo da geometria analiacutetica as bases do Caacutelculo
moderno estavam prontas para se tornar cada vez mais evidentes e direcionadas agrave reso-
luccedilatildeo dos dois problemas fundamentais do Caacutelculo encontrar retas tangentes a curvas
e determinar valores exatos para aacutereas de regiotildees limitadas pelo menos em parte por
curvas (problemas de quadratura) Nesse sentido faz-se necessaacuterio citar as contribuiccedilotildees
de grande magnitude de um francecircs Fermat trecircs ingleses John Wallis (1616minus1703) Isaac
Barrow (1630minus 1677) Isaac Newtow (1642minus 1727) e um alematildeo Gottfried Wilhelm Leib-
niz (1646minus1716) para o que futuramente seria batizado de Caacutelculo Diferencial e Integral
Eacute vaacutelido ressaltar que tanto o Newton quanto o Leibniz de maneira independente foram
os responsaacuteveis pelo desenvolvimento das bases notaacuteveis do Caacutelculo moderno e por isso
satildeo considerados responsaacuteveis pela invenccedilatildeo
Note que em momento algum foi destacada a necessidade de utilizaccedilatildeo da
teoria de limite Embora tal conceito tenha sido negligenciado em diversos trabalhos eacute
importante destacar que Newton foi o pioneiro no reconhecimento do papel fundamental
que o limite iria desempenhar no desenvolvimento de problemas relativos ao Caacutelculo
(tangecircncias quadraturas e ans) Tal armativa pode ser constatada em seu Livro I
do Principia Mathematica (1687) na qual haacute uma tentativa de formular um conceito de
limite De acordo com BOYER [3]
Quantidades e as razotildees de quantidades as quais em qualquer temponito convergem continuamente para igualdade e antes do nal daqueletempo se aproximam entre si por qualquer dada diferenccedila tornam-seiguais no nal (BOYER [3] 1996 p 274)
O desenvolvimento da matemaacutetica e em particular as aplicaccedilotildees do Caacutelculo
durante o seacuteculo XV III XIX e XX eacute repleto de histoacuterias esplecircndidas e momentos de
contribuiccedilotildees memoraacuteveis agrave expansatildeo da aplicabilidade das teorias relacionadas ao estudo
de Caacutelculo Vaacuterios satildeo os nomes que se destacaram membros da famiacutelia Bernoulli G
F A de LHospital (1661 minus 1704) Johann I (1667 minus 1748) Nicolas I (1687 minus 1759) e
Daniel (1700minus1782) Brook Taylor (1685minus1731) Leonhard Euler (1707minus1783) e Alexis
Claude Clairaut (1713minus1765) Colin Maclaurin (1698minus1746) Jean Le Rond DAlembert
(1717minus 1783) Joseph-Louis Lagrange (1736minus 1813) etc Dentre os ceacutelebres citados os
quais natildeo estabeleceram uma fundamentaccedilatildeo rigorosa para o Caacutelculo eacute vaacutelido destacar
na corrida pela formalizaccedilatildeo do conceito de limite (pilar baacutesico do Caacutelculo ensinado nos
dias de hoje) uma deniccedilatildeo especial como a que foi posta na ceacutelebre Encyclopeacutedie
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 27
(1751 minus 1776) em que DAlembert ponderou que para denir a derivada precisamente
era necessaacuterio entender as noccedilotildees de limite primeiro
Uma quantidade eacute o limite de uma outra quantidade quando a segundapuder se aproximar da primeira dentro de qualquer precisatildeo dada natildeoimporta quatildeo pequena apesar da segunda quantidade nunca exceder aquantidade que ela aproxima (DALEMBERT 1772 apud FINNEYWEIR GIORDANO 2002 [12])
No nal do seacuteculo XV III e durante todo o seacuteculo XIX foi o periacuteodo de
contribuiccedilotildees dos renomados Carl Friedrich Gauss (1777minus 1855) Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768minus 1830) Bernhard Bolzano (1781minus 1848) Augustin Louis Cauchy (1789minus
1857) Niels Henrik Abel (1802minus1829) Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805minus1859) e Karl
Weierstrass (1815minus 1897) Nesse periacuteodo em que houve um estudo cuidadoso e rigoroso
em busca da deniccedilatildeo de limite destacaremos o trabalho desenvolvido por Cauchy (aluno
de Lagrange na Escola Politeacutecnica) e Weierstrass O primeiro embora tenha deixado
de lado a preocupaccedilatildeo com alguns detalhes teacutecnicos foi responsaacutevel por apresentar a
deniccedilatildeo mais proacutexima de limite que conhecemos atualmente Jaacute o segundo restabeleceu
o conceito original de limite proposto por Cauchy com tratamento estritamente aritmeacutetico
e utilizando apenas valores absolutos e desigualdades Weierstrass aleacutem de corrigir os
descuidos e erros de Cauchy formulou a deniccedilatildeo de limite empregada nos diversos livros
de Caacutelculo da era moderna na matemaacutetica e continuou suas contribuiccedilotildees estabelecendo
todo o rigor aritmeacutetico adotado no Caacutelculo e na anaacutelise matemaacutetica
Segundo BOYER [3] eacute creditada a Cauchy a introduccedilatildeo de limite de maneira
aperfeiccediloada quando publicou em 1821 em seu Cours danalyse de lEacutecole Polytechnique
Quando os valores sucessivos atribuiacutedos a uma variaacutevel aproximam-se indenidamente de
um valor xo chegando a diferir dele tatildeo pouco quanto se deseje este uacuteltimo eacute chamado
limite de todos os outros Jaacute a Weierstrass de acordo Boyer coube o trabalho de explicar
de maneira elegante e precisa substituir as ideias vagas de aproximaccedilatildeo na deniccedilatildeo de
limite de Cauchy-Bolzano por ideias que utilizavam eacutepsilon-deltacom uma linguagem
puramente numeacuterica
() Diz-se que L eacute um limite da funccedilatildeo f(x) para o valor x = a sedado qualquer nuacutemero positivo ε existe um nuacutemero positivo δ tal que|f(x)L| lt ε para qualquer x que verique 0 lt |xa| lt δ (BOYER [4]1992 p 27)
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 28
De acordo com o levantamento histoacuterico realizado eacute possiacutevel constatar que
por diversos seacuteculos o conceito de limite foi um tanto vago confuso losoacuteco intuitivo
indenido impreciso imperceptiacutevel negligenciado dentre outros inuacutemeros adjetivos cor-
relacionados A matemaacutetica moderna foi desfrutar das noccedilotildees de limite somente durante
o periacuteodo europeu intitulado de Iluminismo nal do seacuteculo XV III e iniacutecio do seacuteculo
XIX Jaacute a deniccedilatildeo formal (rigorosa loacutegica e correta) apresentada nos livros de Caacutelculo
atuais foi formalizada por volta do ano 1856 (haacute uns 160 anos)
Figura 32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1 + 2460
+ 51602
+ 10603
= 1414212
Fonte ptwikipediaorgwikiMatemaacuteticababilnica[35]
29
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA
EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA
Segundo os anais da histoacuteria da Matemaacutetica a constataccedilatildeo da presenccedila das no-
ccedilotildees de limite iniciou desde os tempos antigos ateacute o desenrolar da invenccedilatildeoevoluccedilatildeoaplicaccedilatildeo
do Caacutelculo (seacuteculos XV II XV III XIX) De acordo com BOYER [4] tal descoberta
jaacute impressionava e tirava o sono de estudiosos gregos
() Foi um choque para a comunidade matemaacutetica grega tomar conheci-mento de que haacute coisas como segmentos de reta incomensuraacuteveis e que aocorrecircncia dessa situaccedilatildeo eacute espantosamente comum isto eacute que conceitosans ao Caacutelculo aparecem nas mais elementares situaccedilotildees Os diaacutelogosde Platatildeo mostram que os matemaacuteticos da eacutepoca caram profundamentepertubados com essa descoberta (BOYER [4] 1992 p 3)
Ainda nessa linha assim se pronunciou EVES [11]
() Esses conceitos tecircm tanto alcance e tantas implicaccedilotildees no mundomoderno que talvez seja correto dizer que sem algum conhecimento delesdicilmente hoje uma pessoa poderia considerar-se culta (EVES [11]2004 p 417)
Eacute importante ressaltar que a ordem do desenvolvimento histoacuterico do Caacutelculo
foi diferente da ordem apresentada nos livros textos e cursos baacutesicos sobre o assunto isto
eacute houve inicialmente o surgimento do Caacutelculo Integral e muito tempo depois apareceram
os conceitos ligados ao Caacutelculo Diferencial Segundo EVES [11]
() A ideia de integraccedilatildeo teve origens em processos somatoacuterios ligadosao caacutelculo de certas aacutereas e certos volumes e comprimentos A diferen-ciaccedilatildeo criada bem mais tarde resultou de problemas sobre tangentes acurvas e questotildees sobre maacuteximos e miacutenimos Mais tarde ainda vericou-se que a integraccedilatildeo e a diferenciaccedilatildeo estatildeo relacionadas entre si sendocada uma delas operaccedilatildeo inversa da outra (EVES [11] 2004 p 417)
Assim eacute possiacutevel vericar uma gama de assuntos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular nas fases nais do Ensino Fundamental e durante o Ensino Meacutedio que evocam as
ideias correlatas do Caacutelculo e em particular as noccedilotildees de limite Embora seja possiacutevel
constatar a presenccedila das noccedilotildees de limite e de integral no Ensino Fundamental haacute um
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 30
consenso de que natildeo eacute pedagogicamente correto destacar a presenccedila de tais conceitos nessa
fase dado que um nuacutemero consideraacutevel de alunos ainda natildeo possui maturidade (manipula-
ccedilatildeo algeacutebrica soacutelida poder de abstraccedilatildeo consolidado domiacutenio amplo da aritmeacutetica etc)
suciente para compreender tamanho grau de abstraccedilatildeoexigecircncia Caso haja alunos com
tal capacidade eacute recomendado propor em aulas especiais direcionadas didaticamente com
a linguagem de assimilaccedilatildeo proacutepria bem proacutexima dos alunos Nesse iacutenterim a presenccedila
da noccedilatildeo intuitiva de limite e ideais correlatas de integral pode ser destacada de forma
construtiva e com grau de abstraccedilatildeo passiacutevel de entendimento em pelo menos trecircs pontos
especiacutecos estudados no Ensino Fundamental a primeira abordagem pode ser inserida
a partir do momento em que o professor inicia o estudo dos nuacutemeros racionais (diacutezimas
perioacutedicas) o segundo enfoque pode ser aplicado ao demonstrar de maneira completa o
Teorema de Tales e a terceira citaccedilatildeo deve ocorrer ao estudar aacutereas de guras planas
principalmente ao apresentarprovar a aacuterea de uma regiatildeo retangular A exibiccedilatildeo desses
toacutepicos direcionada ao Ensino Fundamental pode ser conferida ao realizar a leitura do
capiacutetulo referente agraves sequencias didaacuteticas sugeridas posteriormente nessa dissertaccedilatildeo
Na ordem cronoloacutegica e didaacutetica dos livros atuais de matemaacutetica do Ensino
Meacutedio nota-se a necessidade de introduccedilatildeo das noccedilotildees de limite jaacute na 1a seacuterie Ao estudar
a representaccedilatildeo decimal de nuacutemeros racionais innitos e perioacutedicos jaacute se faz uso impliacutecito
do conceito de limite Nessa mesma linha ao apresentar os nuacutemeros irracionais e reais
tambeacutem eacute necessaacuterio em diversos pontos citar a ideia de limite Em seguida haacute necessidade
de mencionar a referida teoria ao estudar as minuacutecias de uma funccedilatildeo seja ela qual for
principalmente ao realizar a anaacutelise graacuteca Tambeacutem eacute possiacutevel vericar a aplicabilidade
de limite ao estudar sequecircncias em particular e em maior grau ao estudar a soma de uma
seacuterie convergente (progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo (q) denida por (0 lt |q| lt 1) Aleacutem
disso pode-se adaptar a referida soma numa aplicaccedilatildeo praacutetica usual e diaacuteria que consiste
no estudo de capitalizaccedilatildeo contiacutenua em Matemaacutetica Financeira (deniccedilatildeo do nuacutemero de
Euler) Eacute possiacutevel promover atividades interdisciplinas com a Fiacutesica e com a Quiacutemica
Relativamente agrave primeira justica-se a correspondecircncia durante o estudo de Mecacircnica
(velocidade e aceleraccedilatildeo instantacircnea trabalho realizado por uma forccedila etc) Enquanto
a segunda a associaccedilatildeo pode ser feita durante o estudo de Desintegraccedilatildeo Radioativa Ao
estudar Geometria plana eacute possiacutevel embutir agraves noccedilotildees de limite ao inserir o conceito de
grandezas incomensuraacuteveis ao demonstrar o Teorema de Tales e consequentemente ao
aplicaacute-lo ao estudo de semelhanccedila de triacircngulos e nalmente ao introduzir o estudo de
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 31
aacutereas de guras planas (ciacuterculo e suas partes segmento paraboacutelico hipeacuterboles etc) em
particular aquelas que apresentam pelo menos um lado curviliacuteneo
Durante a 2a seacuterie ou fase nal da 1a haacute necessidade de menccedilatildeo a ideia de
limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas aleacutem de aparecer ao estudar aacutereas
superciais e volumes de soacutelidos geomeacutetricos Tambeacutem nota-se indiacutecio ao estudar o caacutel-
culo de determinantes ao discutir sistemas lineares ao resolver problemas de contagem
(somatoacuterios de seacuteries especiacutecas) pertencentes agrave anaacutelise combinatoacuteria e ao investigar de-
terminadas probabilidades associadas a problemas baacutesicos De maneira interdisciplinar
constata-se a necessidade de ecircnfase no estudo do trabalho realizado por um gaacutes numa
transformaccedilatildeo isoteacutermica (Lei de Boyle) por exemplo
Jaacute na 3a seacuterie eacute possiacutevel incrementar o estudo de Geometria Analiacutetica Cocircnicas
e Polinocircmios com uma abordagem que evoque o emprego das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo
(limite derivada e integral) Aleacutem disso eacute possiacutevel promover atividades suplementares
que apliquem as ideias correlatas do Caacutelculo em toacutepicos do estudo de eletricidade (campo
eleacutetrico potecircncia corrente etc)
32
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS
A importacircncia do estudo de limites derivadas e integrais pode ser vericada
ao analisar os nuacutemeros relativos agraves grades dos cursos ofertados pelas universidades fe-
derais e por algumas faculdades particulares Por exemplo a Universidade Federal do
Espiacuterito Santo (UFES) oferece 90 cursos de graduaccedilatildeo (total de 4975 vagas anuais) e des-
ses haacute uma variedade de cursos cujas ementas empregam direta ou indiretamente noccedilotildees
elementares de Caacutelculo tais como Fiacutesica Quiacutemica Estatiacutestica Matemaacutetica Ciecircncias Bi-
oloacutegicas Administraccedilatildeo Arqueologia Medicina Farmaacutecia Ciecircncias Contaacutebeis Ciecircncias
Econocircmicas Engenharias Arquitetura e Urbanismo Psicologia Agronomia Zootecnia
Sistemas de Informaccedilatildeo Desenho Industrial Tecnologia Mecacircnica Oceanograa e Ciecircncia
da Computaccedilatildeo Dentre os cursos de bacharelados e licenciaturas distribuiacutedos em turnos
(Diurno Vespertino e Noturno) e espalhados pelo Campus da UFES mais de 50 neces-
sita do conhecimento de ideias correlatas do Caacutelculo isto eacute mais da metade dos futuros
prossionais a serem formados pela UFES precisam estudar impliacutecita ou explicitamente
noccedilotildees de limite derivada e integral
Somente os dados relatados no paraacutegrafo anterior seriam sucientes para jus-
ticar o retorno do emprego de noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo no Ensino Meacutedio poreacutem haacute
outros fatores que reforccedilam a temaacutetica abordada nesse trabalho De acordo com informa-
ccedilotildees fornecidas pelos meios regulamentadores da educacional nacional de niacutevel superior
na aacuterea de Engenharias haacute uma reduccedilatildeo (nos vestibulares do paiacutes) no nuacutemero de inscritos
em cursos de exatas e aumento constante da evasatildeo dos alunos matriculados em cursos
que envolvam o emprego de elementos do Caacutelculo em particular os de engenharia de-
vido agrave diculdade encontrada pelos alunos via anaacutelise preliminar da grade curricular do
curso pretendidoe em parte pelo fato de natildeo receber orientaccedilotildees sobre toacutepicos correlatos
do caacutelculo diferencial e integral no ensino fragmentado e desmotivador promovido pela
maioria das escolas brasileiras haacute seacuteculos em geral natildeo estar sendo realizado um traba-
lho interdisciplinar signicativo e com respaldo de preparaccedilatildeo para o ingresso futuro no
ensino superior
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 33
Uma proposta de mudanccedila desse panorama preocupante pode ser realizada via
inclusatildeo de conceitos baacutesicos do Caacutelculo Diferencial e Integral no Ensino Meacutedio fato que
proporcionaria aos alunos aulas motivadoras interdisciplinares e mais proacuteximas da reali-
dade dos alunos com uma discussatildeo mais ampla natural generalizada e contextualizada
de conteuacutedos do proacuteprio Ensino Meacutedio Entretanto para que essa inclusatildeo ocorra eacute ne-
cessaacuterio que os cursos de Licenciatura em Matemaacutetica formem professores capazes de lidar
com essa realidade Sendo assim o Caacutelculo Diferencial e Integral deve ser apresentado
aos licenciandos como uma disciplina baacutesica poreacutem ampla e integradora propiciando aos
futuros professores uma visatildeo mais geral e segura dos conteuacutedos do Ensino Meacutedio Eacute im-
portante salientar que haacute estados brasileiros que apresentam noccedilotildees de Caacutelculo em seus
curriacuteculos escolares baacutesicos do Ensino Meacutedio
Antes de iniciar as consideraccedilotildees quanto agrave existecircncia ou natildeo das noccedilotildees intui-
tivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo nos livros dos diversos autores renomados
cujos livros didaacuteticos satildeo amplamente adotados para tornar completa a breve discussatildeo
histoacuterica e embasada pela opiniatildeo de diversos autores eacute salutar a realizaccedilatildeo de um diag-
noacutestico informal da situaccedilatildeo em que se encontram os cursos de que necessitam do emprego
da disciplina de Caacutelculo em suas grades curriculares Aleacutem disso faremos uma reexatildeo
do ensino de matemaacutetica no Brasil
Segundo a LDB [30] o Ensino Meacutedio eacute a etapa nal da educaccedilatildeo baacutesica(Art35)
e o mesmo deve possuir um curriacuteculo com a caracteriacutestica da terminalidade isto eacute segundo
o PCNEM (2000) [20] o Ensino Meacutedio deve ser capaz de
() assegurar a todos os cidadatildeos a oportunidade de consolidar e apro-fundar os conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental aprimoraro educando como pessoa humana possibilitar o prosseguimento de estu-dos garantir a preparaccedilatildeo baacutesica para o trabalho e a cidadania dotaro educando dos instrumentos que o permitam continuar aprendendotendo em vista o desenvolvimento da compreensatildeo dos fundamentos ci-entiacutecos e tecnoloacutegicos dos processos produtivos(Art35 incisos I a IV)(PCNEM [21] 2000 p 9)
Fazer com que haja continuaccedilatildeo dos estudos posteriormente em niacuteveis superi-
ores eacute uma meta arrojada uma vez que os resultados das avaliaccedilotildees institucionais como o
Sistema Nacional de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) e o Exame Nacional do Ensino
Meacutedio (ENEM) cujas provas satildeo produzidas pelo governo federal indicam um iacutendice de
fracasso ao teacutermino do ensino meacutedio pois uma parcela consideraacutevel dos formandos apre-
sentam diculdades baacutesicas na compreensatildeo de conceitos e procedimentos fundamentais
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 34
quanto agraves operaccedilotildees aritmeacuteticas e compreensatildeo geral via interpretaccedilatildeo Contudo ainda
se faz necessaacuterio propor algo que facilite a vida desses alunos pois aqueles que ingressam
no ensino superior em especial aos cursos que necessitam de uma veia na aacuterea de exatas
vatildeo se deparar com a disciplina de Caacutelculo que requer o domiacutenio amplo da matemaacutetica
baacutesica para conseguir acompanhar o grau de abstraccedilatildeo a ser introduzido por meio da
compreensatildeo das noccedilotildees iniciais de limite derivada e integral
De acordo com NIETO (2005 p7) [36] eacute certo que uma reforma deveria ser
iniciada nos ensinos fundamental e meacutedio no entanto esse aluno estaacute chegando ao curso
superior e noacutes professores universitaacuterios natildeo podemos enviaacute-los de volta E mais eacute
possiacutevel constatar que a situaccedilatildeo vem se agravando nos uacuteltimos anos devido agraves diculda-
des de aprendizagem de Matemaacutetica no Ensino Fundamental e Meacutedio evidenciadas pelos
resultados das avaliaccedilotildees sob a coordenaccedilatildeo do INEP tais como as provas do Sistema de
Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) do Exame Nacional do Ensino Meacutedio (ENEM)
e do Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo de Alunos (PISA) Essa conjuntura implica
diretamente na avaliaccedilatildeo da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral pois os alunos
com pouca bagagem de matemaacutetica baacutesica certamente produziratildeo rendimentos aqueacutem
das possibilidades contribuindo para o aumento dos iacutendices de reprovaccedilatildeo na referida
disciplina Isso nos conduz ao seguinte raciociacutenio Por que natildeo incluir na preparaccedilatildeo dos
alunos do Ensino Meacutedio toacutepicos que faccedilam a conexatildeo com os conceitos do Caacutelculo Dife-
rencial e Integral (um curso de nivelamento preacute-caacutelculo) Por que natildeo criar estrateacutegias
didaacuteticas que promovam a interdisciplinaridade e transforme o aprendizado dos conteuacute-
dos mais sosticado Com absoluta certeza eacute notoacuterio entre os professores e alunos via
anaacutelise de questionaacuterios acessiacuteveis em anexos que tais iniciativas podem tornar o extenso
curriacuteculo menos complexo mais loacutegico e ainda repleto de conteuacutedos natildeo fragmentados e
com signicados respaldados nas diversas contextualizaccedilotildees e interdisciplinaridades dis-
poniacuteveis e acessiacuteveis ao dia-a-dia do aluno Isto eacute eacute possiacutevel ensinar toacutepicos intuitivos
de limite derivada e integral durante o Ensino Meacutedio tanto na Matemaacutetica quanto na
Fiacutesica e Quiacutemica poreacutem eacute necessaacuterio realizar mudanccedilas nos PCN no curriacuteculo baacutesico
escolar capacitar professores e produzir material suplementar que preencha as lacunas
encontradas nos principais livros didaacuteticos utilizados atualmente
Num artigo publicado na RPM o professor Geraldo AacuteVILA [1] faz o seguinte
questionamento sobre a inclusatildeo de toacutepicos do Caacutelculo no Ensino Meacutedio
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 35
Por que natildeo ensinamos Caacutelculo na escola de segundo grau Seraacute queeacute um assunto muito difiacutecil Foi sempre assim no passado ou jaacute houveeacutepoca em que o Caacutelculo era ensinado na escola secundaacuteria E nos outrospaiacuteses como eacute a situaccedilatildeo Eacute ou natildeo conveniente introduzir o Caacutelculo noensino Por que Como fazer isso (AacuteVILA [1] 1991 p1)
Eacute vaacutelido ressaltar que uma introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial e Integral jaacute
esteve presente no curriacuteculo escolar baacutesico Segundo CARVALHO (1996) [5] a participaccedilatildeo
ocorreu em dois momentos distintos em 1891 com a reforma proposta por Benjamim
Constant no iniacutecio da Repuacuteblica foi a primeira oportunidade em que houve constataccedilatildeo
da presenccedila e a segunda iniciou em 1942 durante a Reforma Capanema ocorrida no
governo de Getuacutelio Vargas permanecendo ocialmente ateacute 1961 Durante as deacutecadas de
60 e 70 inuenciado pelo movimento da Matemaacutetica Moderna o ensino brasileiro sofreu
mudanccedilas consideraacuteveis dentre elas a exclusatildeo do Caacutelculo do programa baacutesico de ensino
Tambeacutem eacute importante citar que ateacute nos dias atuais ainda encontra-se alguns
livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio que fazem menccedilatildeo a toacutepicos relativos ao Caacutelculo em-
bora sejam negligenciados por parte dos professores e gestores com o pretexto de que
ampliariam o jaacute extenso curriacuteculo e aleacutem disso a linguagem empregada eacute inacessiacutevel aos
estudantes isto eacute quando haacute presenccedila no livro didaacutetico natildeo ocorre inclusatildeo no curriacuteculo
escolar baacutesico Na verdade o que se faz nos dias atuais nas escolas de Ensino Meacutedio das
redes puacuteblica e privada eacute um verdadeiro curso preacute-ENEM (curso preacute-vestibular) extensivo
aos trecircs anos de estudo no Ensino Meacutedio com o intuito de promover a instituiccedilatildeo com
iacutendices de aprovaccedilatildeo em faculdades e universidades do paiacutes em detrimento ao estiacutemulo a
um ensino construtivo signicativo e passiacutevel de ser aproveitaacutevel em estudos posteriores
no ensino superior ou tecnoloacutegico Imagine como reagiria um professor enclausurado nesse
sistema de ensino que prioriza conteuacutedos fragmentados e sem signicados ao ser questi-
onado com uma pergunta simples do tipo O que eacute limite derivada e integral Onde
aplico tais ideiasMuitos colegas de prossatildeo jaacute responderam assim Quando vocecirc es-
tudar Caacutelculo vocecirc saberaacute Ou entatildeo Isso vocecirc soacute aprende na faculdade Essa atitude
com absoluta certeza desapontaria demais o aluno aacutevido pelo conhecimento e talvez ateacute
sepultaria uma mente prodigiosa apta ao desenvolvimento do Caacutelculo
Ainda nesse sentido observe a opiniatildeo de AacuteVILA (1991 p1-9) [1] o qual
defende que o conceito de derivada pode ser ensinado com grande vantagem logo na
primeira seacuterie do segundo grau ao lado do ensino de funccedilotildeese ainda destaca a importacircncia
do estudo da derivada na continuidade do estudo de funccedilotildees em especial as polinomiais e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 36
as suas variadas aplicaccedilotildees cientiacutecas principalmente no estudo do movimento na Fiacutesica
Antes da compreensatildeo do conceito de derivada eacute necessaacuterio compreender e
dominar as noccedilotildees de limite pois a derivada eacute uma aplicaccedilatildeo de limite e sua deniccedilatildeo
atual utiliza as noccedilotildees de limite O domiacutenio de parte das propriedades decorrentes do
estudo de derivadas faraacute com que o entendimento de determinadas propriedades relativas
ao estudo de funccedilotildees tanto na Matemaacutetica quanto na Fiacutesica seja compreendida com mais
argumentos de maneira mais coerente contextualizada e interdisciplinar
Nessa linha eacute imprescindiacutevel mencionar o artigo Caacutelculo no Segundo Grau
publicado na RPM n 20 do professor Roberto Costallat DUCLOS (1992) [10] que segue
e apoia a linha de defesa do professor AacuteVILA sobre a possibilidade de difusatildeo de novas
ideias e sobretudo pela gama de aplicabilidade de seus meacutetodos
De acordo com os argumentos exposto pelo professor Geraldo AacuteVILA [1] na
RPM 18 eacute possiacutevel introduzir o Caacutelculo Integral no Ensino Meacutedio de modo a incitar o
interesse e a curiosidade desde que seja de maneira intuitiva dando ecircnfase as ideias e
aplicaccedilotildees em detrimento das teacutecnicas e suas propriedades Ele ainda faz uma criacutetica
agravequeles que opinam de forma contraacuteria
A ideia de que os programas de matemaacutetica satildeo extensos e natildeo compor-tariam a inclusatildeo do caacutelculo eacute um equiacutevoco Os atuais programas estatildeoisto sim mal estruturados (AacuteVILA [1] 1991 p 1-9)
Apoacutes exibir o panorama da educaccedilatildeo matemaacutetica nacional e citar as contribui-
ccedilotildees favoraacuteveis da apresentaccedilatildeo das noccedilotildees do Caacutelculo Diferencial e Integral que remetem
a ideia de limite eacute vaacutelido repassar ao leitor do presente trabalho os elementos norteadores
da referida pesquisa ou seja uma lista dos livros didaacuteticos e dos seus respectivos auto-
res com o intuito de criar uma simbologia numeacuterica isto eacute uma legenda de associaccedilatildeo
de cada livro segundo o nuacutemero indicado no rol abaixo com intuito de evitar repeticcedilotildees
desnecessaacuterias
1 Matemaacutetica Contexto amp Aplicaccedilotildees de Luiz Roberto DANTE [9] (Dante) - Editora
Aacutetica 2010
2 Matemaacutetica de Manoel PAIVA [23] Editora Moderna 2009
3 Matemaacutetica Coleccedilatildeo Novo Olhar de Joamir Roberto de SOUZA [25] Editora FTD
2010
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 37
4 Matemaacutetica Ciecircncia e Aplicaccedilotildees de Gelson IEZZI [15] Osvaldo Dolce David
Degenszajn Roberto Peacuterigo e Nilze de Almeira Editora Saraiva 2010
5 Matemaacutetica Completa de Joseacute Ruy GIOVANNI [29] e Joseacute Roberto Bonjorno (Gi-
ovanni e Bonjorno) Editora FTD 2005
6 A Matemaacutetica do Ensino Meacutedio Coleccedilatildeo do Professor de Matemaacutetica de Elon Lages
LIMA [17] Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner e Augusto Ceacutesar Morgado
Editora SBM 2006 (6a ediccedilatildeo)
7 Fundamentos de Matemaacutetica Elementar (vol 8) Editora Atual 1993 (diversos
autores)
8 Noccedilotildees de Caacutelculo (vol 9) - Seacuterie Matemaacutetica por assunto de Nilson Joseacute Machado
Editora Scipione 1988
9 Caacutelculo de Geraldo Aacutevila Editora LTC 1988
10 Caacutelculo de James Stewart (vol I) Editora Pioneira 2003 (4a Ediccedilatildeo)
Os livros didaacuteticos que foram analisados possuem publicaccedilotildees em trecircs volumes
foram numerados de 1 ateacute 6 Jaacute os livros que possuem volume uacutenico integrado ou livros
especiacutecos de coleccedilotildees divididos por assunto conforme a preferecircncia do autor foram
numerados de 7 ateacute 10 Quantos aos primeiros (de 1 a 6) foi feito uma analise minuciosa
tanto dos conteuacutedos quanto dos guias de orientaccedilatildeo do professor Jaacute os uacuteltimos (de 7
ateacute 10) foram citados simplesmente como sugestatildeo de uma leitura mais renada e com o
intuito de repassar aos professores uma oportunidade de enriquecer seus conhecimentos
com um material didaacutetico de qualidade A escolha dos livros de 1 a 6 eacute justicada pelo
fato de que a maioria desses autores estaacute ou jaacute esteve presente de forma maccedilante nas
escolas puacuteblicas e particulares brasileiras
A anaacutelise realizada nos livros consiste numa investigaccedilatildeo especiacuteca e minuciosa
em busca de pontos (conteuacutedos) que faccedilam menccedilatildeo as noccedilotildees elementares e intuitivas do
Caacutelculo (limite derivada e integral)
Dentre todos os livros analisados destaca-se o livro do DANTE (1) como o
mais completo em todos os aspectos (deniccedilotildees mais rigorosas maior nuacutemero de de-
monstraccedilotildees conteuacutedo contextualizada e interdisciplinar etc) poreacutem eacute vaacutelido ressal-
tar que a linguagem adotada natildeo eacute tatildeo simples assim como os exerciacutecios propostos
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 38
possuem grau de diculdade mais acentuado Aleacutem disso consiste no material didaacute-
tico que mais se aproxima do propoacutesito desse trabalho ou seja de explicar eou jus-
ticar os fatosconteuacutedosteoremas com argumentos satisfatoacuterios e com ideias intuiti-
vasinterdisciplinascontextualizadasconstrutivas sem receio de abordar toacutepicos relativos
ao Caacutelculo Diferencial e Integral
No livro (1) volume 1 a presenccedila das noccedilotildees intuitivas de limite pode ser
vericada no estudo de diacutezimas perioacutedicas na apresentaccedilatildeo do nuacutemero irracional e no
estudo do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica na soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita e no caacutelculo da aacuterea do ciacuterculo Tambeacutem eacute notaacutevel a presenccedila das noccedilotildees de
derivada ao trabalhar com taxa de variaccedilatildeo da funccedilatildeo quadraacutetica e consequente aplicaccedilatildeo
no Movimento Uniformemente Variado (MUV) Nesse iacutenterim tambeacutem ocorre menccedilatildeo
elementar do estudo de integral via aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau No
volume 2 da referida da obra a ideia de limite estaacute presente no estudo da aacuterea da superfiacutecie
esfeacuterica Jaacute no volume 3 haacute um estudo completo das noccedilotildees elementares de derivada via
razatildeo incremental e via aplicaccedilotildees em problemas da Fiacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que tais
noccedilotildees motivaram algumas atividades presentes na sequecircncia didaacutetica a ser apresentada
nesse trabalho O manual do professor embora seja pedagoacutegico com excelentes dicas
de atividades utilizando diversas metodologias recursos didaacuteticos softwares educacionais
e sugestotildees de revistas livros e lmes atrelados ao ensino de matemaacutetica natildeo possui
formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo alguma que oriente o professor a trabalhar com ideias correlatas do
Caacutelculo
O volume 1 do livro (2) haacute apenas uma citaccedilatildeo direta das ideias de limite
ao introduzir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita Jaacute no volume
(2) uma citaccedilatildeo indireta das noccedilotildees elementares de limite ao explicar a aacuterea do ciacuterculo
Quanto ao volume 3 natildeo haacute menccedilatildeo alguma das noccedilotildees elementares do Caacutelculo A
propoacutesito o manual destinado aos professores como suporte de preparaccedilatildeo para suas
aulas natildeo apresenta toacutepicos do Caacutelculo e haacute diversos pontos de erros conceituais
A partir da avaliaccedilatildeo do volume 1 do livro (3) foi possiacutevel vericar que haacute
somente um breve comentaacuterio no estudo de soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
das noccedilotildees de limite E mais natildeo existe citaccedilatildeo no volume 2 e no volume 3 temos
apenas um comentaacuterio ao calcular a aacuterea da superfiacutecie da esfera O guia pedagoacutegico natildeo
menciona elementos do caacutelculo embora promova inuacutemeras situaccedilotildees em que o emprego
das noccedilotildees de caacutelculo poderia se explorada de maneira luacutedica criativa interdisciplinar e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 39
contextualizada
No livro (4) volume 1 tambeacutem existe uma abordagem de limite no estudo de
soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Enquanto no volume 2 haacute um preluacutedio
das ideias de limite atreladas as noccedilotildees de integral quando aborda a aacuterea do ciacuterculo e
quando explora a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica Em relaccedilatildeo ao volume 3 natildeo haacute citaccedilotildees
intuitivas de limite derivada e integral Embora a quantidade de abordagens de ideias
correlatas do Caacutelculo seja piacutea o manual pedagoacutegico estaacute coberto de estrateacutegias inovado-
ras que podem ser exploradas e incrementadas de noccedilotildees de limite deriva ou ateacute mesmo
integral
Tambeacutem no volume 1 do livro (5) foi possiacutevel constatar que as ideias de limite
estatildeo sendo difundidas ao inserir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Jaacute no
volume 2 da referida obra o autor faz referencia as noccedilotildees de limite e de integral ao provar
o volume da esfera Enquanto o volume 3 apresenta um estudo das noccedilotildees elementares de
limite e de derivadas assim como suas propriedades e aplicaccedilotildees Embora haja capiacutetulos
especiacutecos que abordam toacutepicos do Caacutelculo de maneira simploacuteria e pouco signicativa
o manual pedagoacutegico do professor mostrou-se deciente quanto ao direcionamento do
trabalho para incitar as ideias correlatas do Caacutelculo Eacute bom salientar que a obra analisada
eacute a coleccedilatildeo de trecircs volumes mais antiga anterior a mudanccedila do novo ENEM e talvez isso
seja uma justicativa para o emprego de limite e derivadas em detrimento ao modelo
padronizado dos livros publicados de 2009 em diante que supervalorizam as atividades em
favor de situaccedilotildees problema tipo ENEM
Enm o livro (6) volume 1 da Coleccedilatildeo Professor de Matemaacutetica (SBM) des-
tinada a professores que atual no ensino meacutedio apresenta citaccedilotildees das noccedilotildees intuitivas
de limite e de derivadas com excesso de rigor e abstraccedilatildeo ao estudar a continuidade da
funccedilatildeo proporcionalidade via limite de uma sequencia e ao estudar de forma interdisci-
plinar o MUV via razatildeo incremental (noccedilatildeo intuitiva de derivada) Tambeacutem haacute citaccedilatildeo
das ideias de derivadas ao citar ao estudar as funccedilotildees polinomiais via meacutetodo de Newton
e ainda haacute citaccedilatildeo das noccedilotildees de limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas
via justicativa do comportamento de graacutecos e estabelecimento no nuacutemero de Euler Jaacute
no volume 2 da referida coleccedilatildeo haacute citaccedilatildeo de limite durante o estudo de soma dos termos
de uma progressatildeo geomeacutetrica innita e menccedilatildeo intuitiva de integral ao propor o volume
de corpos redondos (cilindros cones e esferas) E nalmente no volume 3 ocorre uma
menccedilatildeo ao estudo derivada via equaccedilotildees algeacutebricas Eacute vaacutelido ressaltar que natildeo haacute guia de
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 40
orientaccedilatildeo para os professores pois o proacuteprio livro trata-se de uma guia de reexatildeo criacutetica
em relaccedilatildeo agrave abordagem precaacuteria de matemaacutetica encontrada nos principais livros didaacuteticos
do paiacutes O niacutevel dos exerciacutecios dos trecircs volumes eacute de grau elevadiacutessimo e os idealizadores
do referido material satildeo professores do Instituto de Matemaacutetica Pura e Aplicada (IMPA
RJ) o que certamente explica a fundamentaccedilatildeo precisa a preocupaccedilatildeo com o rigor da
linguagem e o grau de abstraccedilatildeo existentes nas proposiccedilotildees demonstraccedilotildees aplicaccedilotildees e
exerciacutecios dos livros em questatildeo
Assim foi possiacutevel avaliar que todos os livros analisados exibiram as noccedilotildees
elementares do Caacutelculo somente durante o estudo da soma dos termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita e em alguns casos de caacutelculo da aacuterea de ciacuterculos aacuterea supercial e
volume de uma esfera Apenas os livros (1) e (5) possuem apresentaccedilatildeo de elementos do
Caacutelculo de maneira sistecircmica e conceitual poreacutem a metodologia natildeo eacute conveniente e a
linguagem empregada estaacute distante da realidade da educaccedilatildeo puacuteblica da rede estadual do
Espiacuterito Santo Essas consideraccedilotildees reetem o caraacuteter defendido nos PCNEM [21] que
natildeo fazem menccedilatildeo a necessidade de repassar aos alunos elementos essenciais do Caacutelculo e
no curriacuteculo baacutesico estadual que apresenta excesso de conteuacutedo e ausecircnciadeciecircncia de
atividades que estimulem a modelagem matemaacutetica e o estudo dirigido de noccedilotildees intuitivas
de limite derivada e integral
A partir da anaacutelise dispostos de forma tabular a seguir eacute possiacutevel inferir de ma-
neira resumida e simplicada as conclusotildees obtidas a partir da anaacutelise dos livros didaacuteticos
investigados e numerados de 1 a 6
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 41
Tabela 51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos
LIVROS DIDAacuteTICOS ANALISADOS
DANTE PAIVA JOAMIR IEZZI GIOVAN SBM
CONCLUSOtildeES IMEDIATAS 1 2 3 4 5 6
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de limite
SIM SIM SIM SIM SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de derivada
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de integral
SIM NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO NAtildeO
No manual pedagoacutegico do profes-
sor existe orientaccedilatildeo sobre a in-
serccedilatildeo de noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NPM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira contextua-
lizada intuitiva e construtiva
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira interdisci-
plinar
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Dedicam capiacutetulos exclusivos
para as noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO
Haacute exerciacutecios de xaccedilatildeo que ex-
ploram de modo investigativo as
noccedilotildees de Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Haacute alguma atividade de explo-
raccedilatildeo das noccedilotildees de Caacutelculo via
software de geometria dinacircmica
ou planilha eletrocircnica
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO
NPM = NAtildeO POSSUI MANUAL
42
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS
PROFESSORES
De acordo com a anaacutelise dos dados coletados eacute possiacutevel constatar que a maio-
ria dos professores atuantes no niacutevel baacutesico da educaccedilatildeo estaacute negligenciando o ensino das
noccedilotildees intuitivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo em detrimento ao cumprimento
do curriacuteculo preacute-estabelecido pela rede a qual trabalham eou em virtude de direciona-
mento de trabalho visando melhores resultados na prova do Programa de Avaliaccedilatildeo da
Educaccedilatildeo Baacutesica do Espiacuterito Santo (PAEBES) e ENEM Isso se justica por inuacutemeros
fatores formaccedilatildeo deciente durante a graduaccedilatildeo baixo niacutevel de aprendizagem dos alunos
(deacutecit herdado de um Ensino Fundamental tradicional arcaico obsoleto e negligente)
inexistecircncia de material didaacutetico de orientaccedilatildeo especiacuteca ausecircncia de participaccedilatildeo do
tema em estudo no curriacuteculo baacutesico norteador e inexistecircncia de cursos de capacitaccedilatildeo
para aprimorarem seus conhecimentos
Segundo a opiniatildeo geral dos professores que responderam os questionaacuterios os
cursos de licenciaturas em Matemaacutetica poderiam explorar de maneira mais diversicada as
ideias correlatas do Caacutelculo Eacute consensual que a maioria dos professores mestredoutores
das universidades federais poderia aprimorar sua didaacutetica com o intuito de melhorar a
exposiccedilatildeoapresentaccedilatildeo de determinados conteuacutedos e aleacutem disso sugeriram que a apre-
sentaccedilatildeo de conteuacutedos correlacionados ao Caacutelculo seja realizada por meio de estrateacutegias
diferenciadas (recursos didaacuteticos e modelagem matemaacutetica) Isso pode contribuir de ma-
neira signicativa para melhorar os niacuteveis de aprendizagem durante a fase de graduaccedilatildeo
e ao mesmo tempo servir de estiacutemulo para estudos posteriores Eacute certo que a realidade
vem melhorandoultimamente devido exigecircncias impostas pelas poliacuteticas governamen-
tais em melhorar os altos e absurdos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo I mas
em contrapartida os setores responsaacuteveis pela validaccedilatildeo de complementaccedilotildees (licenciatu-
ras curtas) e alguns cursos de Licenciatura a distacircncia sejam mais rigorosos ao avaliar
o conceito dessas graduaccedilotildees para que a formaccedilatildeo desses professores seja qualidade ex-
celente ao ponto de acumular bagagem de estaacutegio e conhecimento especiacuteco suciente
para explorar ao maacuteximo a capacidade de seus alunos A realidade vivenciada nos editais
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 43
de contrataccedilatildeo de professores de designaccedilatildeo temporaacuteria seja da secretaria de educaccedilatildeo
municipal ou estadual do Espiacuterito Santo aparenta nos remeter a ideia de que o tiacutetulo
eacute mais importante do que o conteuacutedo o objeto de estudo analisado Esse dado eacute um
fator que contribui indiretamente para a reduccedilatildeo da procura de alunos para as licencia-
turas na UFES e IFES Por exemplo o curso de Matemaacutetica no processo seletivo 1 UFES
20132014 ofereceu 50 vagas das quais apenas 27 alunos conseguiram obter notas que os
capacitassem para prosseguir o curso
Aqueles professores que relataram citaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
em pontos especiacutecos do Ensino Meacutedio informaram que fazem apenas uma abordagem
supercial sem embasamento teoacuterico com pouca mobilidade metodoloacutegica e sem respaldo
curricular Tambeacutem relataram que os poucos cursos de capacitaccedilatildeo que existem ocorrem
em horaacuterios e dias natildeo convenientes (recesso eou feacuterias nais de semana etc) Quanto ao
respaldo curricular os professores argumentaram que os PCNEM natildeo apresentam menccedilatildeo
alguma agrave introduccedilatildeo das ideias intuitivas do Caacutelculo E caso houvesse uma mudanccedila nesse
documento haveria necessidade de curso de formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo com material didaacutetico
autoexplicativo e focado na realidade da educaccedilatildeo baacutesica dado que os referidos docentes
natildeo fazem ideia de como realizar a introduccedilatildeo de tais conceitos no modelo educacional
vigente
Os docentes tambeacutem nos disseram que caso fossem questionados sobre algum
ponto que requeresse citaccedilatildeo de noccedilotildees elementares do Caacutelculo a priori deixariam a
discussatildeo de forma particular com o aluno que promoveu a pergunta ou entatildeo daria uma
desculpa qualquer de que tais noccedilotildees seratildeo discutidas posteriormente no Ensino Superior
somente para os privilegiados que estudaratildeo a disciplina de Caacutelculo
Os dados da pesquisa servem para uma reexatildeo sobre a situaccedilatildeo do ensino de
matemaacutetica embora o espaccedilo amostral esteja concentrado nas escolas da Grande Vitoacuteria
pode ser que esteja dissipada ao redor do estado Isso pode ser um obstaacuteculo agrave inser-
ccedilatildeo de elementos intuitivos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio pois eacute um tema bastante
discutiacutevel e natildeo dispomos de um modelo de educaccedilatildeo pronto que resolva os problemas men-
1Observaccedilatildeo o processo seletivo da UFES para o curso de Matemaacutetica eacute diferente dos demais pois o
aluno eacute preacute-aprovado para a 2a etapa e em seguida deve cursar durante o proacuteximo semestre duas disciplinas
Matemaacutetica Baacutesica I e II com a prerrogativa de obter rendimento miacutenimo de meacutedia nal de 50 pontos
em cada disciplina caso contraacuterio o aluno natildeo estaacute apto para prosseguir no curso de Matemaacutetica e o
mesmo eacute eliminado do certame
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 44
cionados Talvez tal negligecircncia tenha como consequecircncia agravante rendimentos piacuteos
por parte da maioria dos estudantes evasatildeo universitaacuteria e fuga aos cursos que requerem
conhecimento preacutevio de Caacutelculo poreacutem o universo estatiacutestico analisado natildeo eacute suciente
para tal conclusatildeo mas sim para uma reexatildeo As propostas a seguir tecircm a pretensatildeo
de preencher as lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos quanto ao repasse de noccedilotildees ele-
mentares de limite derivada e integral durante a educaccedilatildeo baacutesica Assim como promover
uma orientaccedilatildeo para os professores da educaccedilatildeo baacutesica por intermeacutedio de atividades praacute-
ticas construtivas contextualizadas e interdisciplinares Eacute vaacutelido ressaltar que o referido
trabalho jaacute eacute realizado em determinados estados brasileiros (Satildeo Paulo Minas Gerais
Rio Grande do Sul e Paranaacute) e aleacutem disso na Franccedila Portugal e Espanha o Caacutelculo
Diferencial e Integral eacute conteuacutedo do curriacuteculo miacutenimo comum obrigatoacuterio na educaccedilatildeo baacute-
sica Nos estados brasileiros que fazem referecircncia as noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio
a inclusatildeo do tema eacute inserida de maneira indireta transversal e interdisciplinar de acordo
com as duacutevidas e o grau de abstraccedilatildeo que o assunto requer A implementaccedilatildeo de nossa
proposta eacute uma tentativa de reduzir o grande abismo entre a educaccedilatildeo baacutesica e o ensino
superior Aleacutem disso pretendemos contribuir para o aumento da procura por cursos de
exatas nos vestibulares para a consideraacutevel melhora no rendimento universitaacuterio dos alu-
nos que cursavam disciplinas de Caacutelculo e para a promoccedilatildeo de um ensinoaprendizagem
mais signicativo concreto interdisciplinar contextualizado e motivador
Embora as noccedilotildees de limite derivada e integral natildeo estejam presentes de forma
direta e obrigatoacuteria no curriacuteculo miacutenimo de conteuacutedos do Ensino Meacutedio no curriacuteculo
escolar paulista (2011) haacute uma argumentaccedilatildeo excelente de defesa do ensino de noccedilotildees de
Caacutelculo na 3a etapa da educaccedilatildeo baacutesica na qual os autores trabalham com a ideia de que
havendo uma boa razatildeo para fazer algo sempre seraacute possiacutevel arquitetar uma maneira de
fazecirc-lo (quem tem um porque arruma um como) Por exemplo haacute uma orientaccedilatildeo
de trabalhar com uma escala de aprofundamento adequada ao grau de conhecimento
do aluno em questatildeo toacutepicos do Caacutelculo Diferencial por meio da anaacutelise de problemas
cotidianos (presentes em jornais e revistas) que medem a rapidez com que uma grandeza
cresce ou decresce em relaccedilatildeo agrave outra (o que futuramente aprenderatildeo como derivada)
Aleacutem disso orientam que o trabalho com o Caacutelculo Integral deve ser ealizado a partir de
uma aproximaccedilatildeo de uma grandeza variaacutevel por uma seacuterie de valores constantes (como se
fosse constante em pequenos intervalos)
45
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA
Com o intuito de realizar o resgate do repasse das noccedilotildees elementares do
Caacutelculo o presente trabalho estaraacute repleto de atividades que de forma direta eou indireta
citaratildeo as ideias intuitivas de limite de derivada e de integral
De fato haacute uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular durante o Ensino Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees
elementares do Caacutelculo e em caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite De fato haacute
uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em particular durante o Ensino
Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees elementares do Caacutelculo e em
caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite Aleacutem disso os dados das pesquisas realiza-
das revelaram agraves diculdades que muitos professores possuemteriam para expor o tema
tambeacutem foi visto que haacute mais pontos favoraacuteveis que desvantajosos em propor o resgate
da inserccedilatildeo de tais conceitos durante o Ensino Meacutedio e para nalizar foram constatadas
as deciecircncias existentes nas diversas literaturas disponiacuteveis
Assim a principal meta desse trabalho consiste em propor situaccedilotildees praacuteticas
em que haacute a necessidade de empregar e justicar o ensino das noccedilotildees intuitivas de limite e
ideias correlatas do Caacutelculo na educaccedilatildeo baacutesica em especial durante o Ensino Meacutedio Com
o intuito de ajudar colegas de prossatildeo tentamos propor abordagens do ensino das noccedilotildees
intuitivas de limite de derivada e de integral por meio de softwares de geometria dinacircmica
e planilhas eletrocircnicas de maneira que tais conceitos sejam introduzidos passo a passo
(algo bem construtivo) Pretendemos gerar um ambiente de reexatildeo sobre a importacircncia
de justicar determinados toacutepicos da matemaacutetica elementar com maior precisatildeo e aleacutem
disso fornecer subsiacutedios garantidos por lei para continuidade de estudos posteriores A
resoluccedilatildeo de cada situaccedilatildeo problema seraacute feita sempre que possiacutevel a partir dos meacutetodos
propostos por POLYA (1995) [28] os quais podem ser expressos em quatro passos
1 Compreender o problema Nesse 1o passo eacute importante fazer perguntas identicar
qual eacute a incoacutegnita do problemavericar quais satildeo os dados e quais satildeo as condiccedilotildees
entre outros
2 Construccedilatildeo de uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo Nesse 2o passo devemos encontrar as
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
conexotildees entre os dados e a incoacutegnita caso seja necessaacuterio considerando problemas
auxiliares ou particulares
3 Execuccedilatildeo da estrateacutegia Frequumlentemente o 3o passo eacute considerado o mais faacutecil do
processo de resoluccedilatildeo de um problema Contudo a maioria dos principiantes tende
a pular esta etapa prematuramente e acabam se dando mal
4 Revisatildeo da soluccedilatildeo O 4o passo consiste numa anaacutelise minuciosa da soluccedilatildeo obtida
em que eacute feita a vericaccedilatildeo dos resultados dos argumentos utilizados e da escrita
matemaacutetica aleacutem de ser uma etapa excelente para oportunizar uma reexatildeo sobre
a possibilidade de uma resoluccedilatildeo de modo diferente
Nesse iacutenterim eacute necessaacuterio ter uma preocupaccedilatildeo contiacutenua em realizar uma boa
interpretaccedilatildeo dos exerciacutecios seguida de uma atenciosa coleta de dados chegando ao ponto
de encontrar a melhor estrateacutegia para solucionar a questatildeo e apoacutes aplicar a melhor teacutecnica
(ou a mais conveniente) de resoluccedilatildeo nalizar a atividade por meio de uma revisatildeo da
soluccedilatildeo realizada com ecircnfase e detalhamento de valores obtidos assim como o estudo do
signicado semacircntico algeacutebrico ou geomeacutetrico eacute uma teacutecnica excelente e sugerimos que
se torne praacutetica diaacuteria de professores e alunos
MACHADO (2008) [19] professor e autor de livros de matemaacutetica elemen-
tarsuperior arma em seu artigo Caacutelculo Diferencial e Integral na Educaccedilatildeo Baacutesica
que a presenccedila das ideias baacutesicas do Caacutelculo eacute inserida em no dia-a-dia a partir do mo-
mento em que haacute o estudo analiacutetico do comportamento de grandezas variando com o
tempo Note o relato de MACHADO (2008 p1)
Eacute do diaacutelogo entre a permanecircncia e a variaccedilatildeo juntamente com a buscade uma forma de caracterizaccedilatildeo da rapidez com que uma grandeza variacom outra que nascem as duas ideias fundamentais do Caacutelculo a integrale a derivada (MACHADO 2008 [19] p1)
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO
FUNDAMENTAL
Embora contrarie as expectativas da maioria dos professores de matemaacutetica
atuantes nessa etapa da educaccedilatildeo baacutesica eacute possiacutevel inserir ideias fundamentais e construti-
vas de limite em diversos pontos do ensino fundamental poreacutem haacute trecircs ocasiotildees especiacutecas
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 47
em que o emprego das noccedilotildees intuitivas de limite faz-se necessaacuterio para completar o en-
tendimento e maximizar o ensinoaprendizagem dos alunos no estudo da representaccedilatildeo
decimal das diacutezimas perioacutedicas no estudo da demonstraccedilatildeo completa do Teorema de Ta-
les e no estudo de aacuterea de aacutereas de guras planas em particular a partir da aacuterea de um
retacircngulo
711 Diacutezimas Perioacutedicas
Em geral as diacutezimas perioacutedicas satildeo introduzidas a partir do 7o ano durante
o estudo da representaccedilatildeo decimal dos nuacutemeros racionais Um nuacutemero racional pode ser
representado por um nuacutemero decimal exato (diacutezima exata) que possui um nuacutemero nito
de casas agrave direita da viacutergula ou por um nuacutemero decimal innito e perioacutedico (diacutezima
perioacutedica) que possui um nuacutemero innito de casas agrave direita da viacutergula Em outras
palavras uma diacutezima perioacutedica eacute uma representaccedilatildeo numeacuterica em que haacute uma sequecircncia
nita de algarismos que se repetem indenidamente
Por deniccedilatildeo os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados
por uma fraccedilatildeo isto eacute nuacutemeros da forma pq com p e q nuacutemeros inteiros e q 6= 0 As
fraccedilotildees que geram diacutezimas perioacutedicas satildeo denominadas de fraccedilotildees geratrizes
Para transformar uma fraccedilatildeo (ab)cujo denominador apresente apenas fatores
2 ou 5 em um nuacutemero decimal pode-se aplicar o seguinte meacutetodo Considere b = 2x middot 5y
com x lt y Em seguida multiplique tanto o numerador quanto o denominador por 2yminusx
isto eacutea
b=
a middot 2yminusx
2x middot 5y middot 2yminusx=a middot 2yminusx
2y5y= a middot 2yminusx10minusy
Isso eacute equivalente a calcular o nuacutemero a middot 2yminusx e escrevecirc-lo apoacutes as x casas decimais apoacutes
a viacutergula Note que o caso x gt y eacute anaacutelogo ao anterior poreacutem o fator multiplicativo seraacute
5yminusx Por exemplo
7
20=
7
22 middot 5=
7 middot 52minus1
22 middot 5 middot 52minus1=
35
100= 0 35
A aplicaccedilatildeo desse procedimento para denominadores particulares que produ-
zem fraccedilotildees decimais nem sempre produz um nuacutemero nito de casas apoacutes a viacutergula Um
exemplo simploacuterio seria a tentativa de escrever a representaccedilatildeo decimal da fraccedilatildeo geratriz13 Note que
1
3=
1 middot 103 middot 10
=1
1010
3=
1
103 middot 3 + 1
3=
1
10(3 +
1
3) =
3
10+
1
101
3= 0 3 +
1
101
3
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 48
Repetindo o processo tem-se
1
3= 0 3 +
1
101
3= 0 3 +
1
10(0 3 +
1
101
3) = 0 3 + 0 03 +
1
1001
3
Observe que novamente apareceu a fraccedilatildeo original um terccedilo e eacute evidente que o
mesmo aconteceraacute nas proacuteximas iteraccedilotildees Isto signica que para a representaccedilatildeo decimal
de um terccedilo eacute necessaacuterio innitas casas decimais agrave direita da viacutergula Assim concluiacute-se
que1
3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()
Note que eacute importante que o professor interra com questionamentos sobre a
regularidade dos elementos que surgem nessa soma e com a solicitaccedilatildeo do Caacutelculo para um
nuacutemero particular de parcelas dessa soma A nalidade dessa tarefa eacute mostrar ao aluno
que um terccedilo eacute igual a uma soma de innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica cujo
primeiro termo eacute a1 = 0 3 e cuja razatildeo q = 0 1 (seacuterie convergente) Para calcular essa
soma eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees intuitivas de limite e isso seraacute realizado posterior-
mente nesse trabalho Note ainda que ao multiplicar a ambos os membros pelo nuacutemero
3 tem-se
3 middot 13= 3 middot 0 333rArr 1 = 0 999 = 0 9
Para que os alunos familiarizem-se com o procedimento anterior que utiliza a
ideia de innito de processo indenido proponha atividade de requeiram a determinaccedilatildeo
da representaccedilatildeo decimal por exemplo para as fraccedilotildees 311
e 17 Note que o grau de
diculdade aumenta e aguccedila a curiosidade do aluno Veja o resultado para a fraccedilatildeo
3
11=
3 middot 1011 middot 10
=1
1030
11=
1
10(2 middot 11 + 8
11) =
1
10(2 +
8
11) =
2
10+
1
108
11
Natildeo apareceu explicitamente a fraccedilatildeo 311
na primeira iteraccedilatildeo poreacutem na se-
gunda etapa tem-se 311
= 3middot1011middot10 = 1
103011
= 110(2middot11+8
11) = 1
10(2 + 8
11) = 2
10+ 1
10 811
=
0 2 + 110 80110
= 0 2 + 1100(7middot11+3
11) = 0 2 + 0 07 + 1
100 311
= 0 27 + 1100 311
Ou seja 311
= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1
100middot 311) = middot middot middot = 0 272727 = 0 27
Espera-se com essas atividades que os estudantes consigam assimilar o caraacuteter
perioacutedico e innito das diacutezimas
Em geral uma diacutezima perioacutedica simples de periacuteodo k eacute um nuacutemero que possui
expansatildeo decimal do seguinte modo a b1b2b3bk = a b1b2b3bk E toda diacutezima perioacutedica
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 49
representa um nuacutemero racional isto eacute possui representaccedilatildeo fracionaacuteria dada por
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk
Considere que
r = 0 b1b2b3bk
Daiacute segue que
10r middot r = 10r middot (0 b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr (10r minus 1)r = b1b2b3bk
rArr r =b1b2b3b410k minus 1
=b1b2b3bk9999
Logo tem-se
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk = a+ b1b2b3bk
999 middot middot middot 9︸ ︷︷ ︸k repeticcedilotildees de 9
Exemplo motivacional Determine a fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 5 777 middot middot middot
1o modo Desenvolvendo raciociacutenio similar a demonstraccedilatildeo
r = 5 777
rArr 10r = 57 777
rArr 10r minus r = 57 777minus r
rArr 9r = 52
rArr r =52
9
2o modo Aplicando o algoritmo demonstrado
5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7
9=
52
9
A reciacuteproca da demonstraccedilatildeo acima tambeacutem eacute verdadeira ou seja todo nuacutemero
racional eacute representado por uma diacutezima perioacutedica A demonstraccedilatildeo desse fato eacute obtida
por intermeacutedio do algoritmo de divisatildeo de Euclides
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 50
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Considere a proposiccedilatildeo a seguir proposta por um rico comerciante Tales da
cidade grega de Mileto por volta do V aC conhecida como Teorema de Tales um conjunto
de retas paralelas entre si (feixe de paralelas) cortado por duas transversais (r e s) forma
sobre elas segmentos correspondentes proporcionais isto eacute a razatildeo entre dois segmentos
quaisquer determinados pelo feixe sobre a reta r por exemplo AB e CD eacute igual agrave razatildeo
de seus correspondentes sobre a reta s AprimeBprime e C primeDprime ou seja
AB
CD=AprimeBprime
C primeDprime
A demonstraccedilatildeo desse teorema em geral natildeo eacute realizada nos livros didaacuteticos
do Ensino Fundamental Jaacute nos livros de Ensino Meacutedio eacute apenas apresentada uma parte
da validade para segmentos comensuraacuteveis Diante desse fato consumado eis que surge o
questionamento Por que os livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio natildeo apresentam a demons-
traccedilatildeo para segmentos natildeo comensuraacuteveis
A explicaccedilatildeo para a omissatildeo da segunda parte da prova pode ser justicada
pelo fato de que a manipulaccedilatildeo com nuacutemeros irracionais requer emprego de completude
dos nuacutemeros reais e com certeza o grau de abstraccedilatildeo necessaacuterio pode estar aleacutem das
possibilidades de entendimento do aluno E mais eacute necessaacuterio utilizar noccedilotildees intuitivas
de limite para completar o raciociacutenio
A seguir eacute apresentada de forma completa a demonstraccedilatildeo do Teorema de
Tales
1a parte da demonstraccedilatildeo Sejam r s t e z retas paralelas e a e b retas
transversais
Suponha que AB e CD sejam comensuraacuteveis e que exista um segmento u
(unidade de medida comum entre os segmentos AB e CD) tal que AB = mu e CD = nu
(mn isin N ) isto eacute o segmento u cabe m vezes dentro de AB assim como cabe n vezes
no segmento CD
Logo a razatildeo ABCD
= munu
= mn(I)
Agora pelos pontos que dividem AB e CD em m e n partes congruentes
ao segmento de medida u trace retas paralelas ao feixe com o intuito de subdividir os
segmentos AprimeBprime e C primeDprime em m e n partes iguais a w A partir dessa consideraccedilatildeo tem-se
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 51
a razatildeo AprimeBprime
CprimeDprime =mwnw
= mn(II)
Figura 71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte DANTE [9] 2010 vol1 p 404
Daiacute concluiacute-se a partir das relaccedilotildees (I) e (II) que ABCD
= AprimeBprime
CprimeDprime conforme
queriacuteamos demonstrar
2a parte da demonstraccedilatildeo Sejam a1 i e j retas paralelas e r e s retas trans-
versais
Figura 72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte GeoGebra
Suponha agora que os segmentos AB e BC sejam incomensuraacuteveis Por co-
modidade suponha que AB seja menor do que BC (caso contraacuterio o raciociacutenio seraacute
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 52
desenvolvido a partir de BC) e divida AB em m partes congruentes com o segmento
u = 1mAB Como u lt AB (dado que a parte eacute menor do que o todo) e como AB lt BC
entatildeo u lt BC
Figura 73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis
Fonte GeoGebra
Pela propriedade Arquimediana (dadas duas magnitudes quaisquer de mesma
natureza a e b existe sempre um nuacutemero inteiro n tal que na gt b) existe um nuacutemero
inteiro n tal que mu gt BC Existindo um nuacutemero com essa propriedade existiraacute uma
innidade porque Nu tambeacutem seraacute maior do que BC para qualquer N gt n Nesse iacutente-
rim pode-se considerar que n eacute o menor dos nuacutemeros inteiros para os quais mu gt BC
Assim sendo (nminus 1)u deveraacute ser menor do que BC ou seja (nminus 1)u lt BC lt nu Como
mu = AB segue que nminus1m
lt BCAB
lt nm Em outras palavras a relaccedilatildeo entre os incomensu-
raacuteveis BC e AB estaacute compreendida entre os racionais nminus1m
e nm Pelas extremidades dos m
segmentos em que AB foi dividido traccedilando-se paralelas ao feixe o segmento DE caraacute
dividido em m partes congruentes com o segmento w = 1mDE ou seja DE = mw Pelas
extremidades dos n segmentos congruentes com u sobre o segmento BC trace as paralelas
ao feixe Sobre a reta s caratildeo determinados n segmentos congruentes a w Denomine
de Kn e Kn+1 as extremidades dos segmentos a partir de C formados respectivamente
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 53
por (nminus 1) e n segmentos congruentes a u Sejam K primen e Kprimen+1 seus correspondentes sobre
a reta s
Observe a situaccedilatildeo descrita geometricamente na gura a seguir
Figura 74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso)
Fonte GeoGebra
Note a partir da gura anterior que C estaacute entre Kn e Kn+1 Agora resta
mostrar que seu correspondente (F ) estaacute entre K primen e K primen+1 Eacute notoacuterio que F natildeo pode
coincidir com K primen ou K primen+1 pois nesses casos DE e EF seriam comensuraacuteveis e por con-
sequecircncia AB e BC tambeacutem seriam o que contrariaria a hipoacutetese imposta O ponto F
correspondente de C natildeo pode estar entre E e K primen pois nesse caso Kn e K primen estariam em
semiplanos opostos em relaccedilatildeo agrave reta KnKprimen de tal modo que a reta Kn+1K
primen+1 cruzaria
a reta KnKprimen o que eacute um absurdo pois ambas satildeo paralelas Com raciociacutenio anaacutelogo
descarta-se a possibilidade de K primen+1 estar entre E e F Logo (nminus1)w lt EF lt nw Como
DE = mw entatildeo nminus1m
lt EFDE
lt nm O que acabou de ser mostrado prova que AB e BC
sobre a reta r satildeo incomensuraacuteveis e a relaccedilatildeo entre eles estaacute entre nminus1m
e nm os segmentos
DE e EF sobre s tambeacutem satildeo incomensuraacuteveis e sua relaccedilatildeo estaacute entre aqueles dois raci-
onais Assim nesse iacutenterim denomina-se nminus1m
e nm respectivamente de aproximaccedilotildees por
falta e por excesso das relaccedilotildees BCAB
e EFDE
Note que a diferenccedila entre tais aproximaccedilotildees eacute1me pode ser feita tatildeo pequena quanto se queira Em outras palavras BC
ABe EFDE
podem
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 54
ser espremidas entre dois nuacutemeros racionais tatildeo proacuteximos quanto se queira ateacute chegar ao
aacutepice intuitivo de que tais razotildees satildeo iguais Para completar a demonstraccedilatildeo eacute necessaacuterio
mostrar que tanto o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por falta natildeo tem maacuteximo como
o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por excesso natildeo tem miacutenimo Essa demonstraccedilatildeo
pode ser encontrada com maior riqueza de detalhes em GARBI (2010 p115) [29]
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas
Em geral o estudo de aacutereas eacute posterior ao estudo de congruecircncia e semelhanccedila
de triacircngulos Embora seja comum nos livros didaacuteticos apresentar o estudo de aacutereas
assim como suas propriedades no nal do curso de Geometria em WAGNER (1992) [31]
haacute antecipaccedilatildeo da inserccedilatildeo das noccedilotildees de aacutereas
Uma das vantagens de realizar tal inversatildeo na apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos
consiste no fato de evitar a anaacutelise da comensurabilidade dos segmentos em questatildeo
A seguir seraacute exposta a demonstraccedilatildeo via aacutereas
Sejam Bprime e C prime os pontos dos lados AB e ABprime respectivamente do triacircngulo
ABC conforme ilustra a gura a seguir
Figura 75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos
Fonte RPM [31] n 21 p7
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 55
Analisando a gura anterior segue que os segmentos BC prime e CBprime satildeo paralelos
ou seja BprimeC primeBC e partir daiacute eacute possiacutevel concluir que os triacircngulos BprimeC primeB e BprimeC primeC
tecircm mesma aacuterea dado que possuem mesma base (BprimeC prime) e alturas relativas a essa base
tambeacutem iguais Acrescentando a esses triacircngulos o triacircngulo ABprimeC prime concluiacutemos que os
triacircngulos ABC prime e ACBprime tambeacutem possuem a mesma aacuterea Portanto segue que
ABprime
AB=S(ABprimeC prime
S(ABC prime)=S(AC primeBprime
S(ACBprime)=AC prime
AC
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo
Os livros didaacuteticos da educaccedilatildeo baacutesica natildeo apresentam o caacutelculo da medida
da aacuterea (S) da regiatildeo retangular de maneira construtiva dinacircmica e com explicaccedilotildees
convincentes de que a superfiacutecie retangular eacute dada pelo produto entre a medida da base
(b) e a medida da altura (h) Os autores optam pela abordagem via repasse da foacutermula
sem o devido cuidado de demonstrar sua validade para todos os nuacutemeros reais isto eacute
S = b middot h
Para demonstrar a validade da referida foacutermula eacute necessaacuterio utilizar um proce-
dimento anaacutelogo ao utilizado na prova completa do Teorema de Tales exibido na atividade
anterior isto eacute primeiro eacute mostrado a validade para nuacutemeros racionais e depois eacute esten-
dida para nuacutemeros irracionais Eacute vaacutelido ressaltar que o foco dessa atividade eacute direcionado
para destacar a necessidade de implementar noccedilotildees intuitivas de limite para concluir a
foacutermula de caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
Considere um retacircngulo de lados m e n nuacutemeros naturais particionado em
m middot n quadrados de lado 1 em que m = 6 e n = 5 Note que o retacircngulo eacute composto por
m middot n = 6 middot 5 = 30 quadrados
Em seguida considere um retacircngulo de lados m1
n1e m2
n2 com (m1m2 n1 n2 isin
N) A partir de n1n2 coacutepias desse novo retacircngulo monta-se um retacircngulo maior de lados
m1 e m2 Adicionando aacutereas iguais concluiacute-se que a aacuterea do retacircngulo dado originalmente
eacute igual a m1middotm2
n1middotn2= m1
n1middot m2
n2
Finalmente toma-se um retacircngulo de lados a e b reais positivos e para k isin N
nuacutemeros racionais xk yk uk vk tais que xk lt a lt yk uk lt b lt vk e yk minus xk uk minus vk lt 1k
Sendo S a aacuterea do retacircngulo de lados a e b um argumento anaacutelogo ao feito para quadrados
garante que S e ab pertencem ambos ao intervalo (ukxk ykvk) e daiacute para todo k isin N
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 56
tem-se
|Aminus ab| lt vkyk minus ukxk
rArr vkyk minus ukxk = (vk minus uk)yk + (yk minus xk)uk lt1
k(yk + uk)
rArr 1
k(yk + uk) =
1
k((yk minus xk) + 2xk + (vk minus uk) + 2uk) lt
1
k(2
k+ 2a+ 2b)
rArr |Aminus ab| lt 1
k(2
k+ 2a+ 2b)
A gura a seguir ilustra o retacircngulo mn em que m = 6 e n = 5
Figura 76 Retacircngulo 6 x 5
Fonte GeoGebra
Note que quanto maior o valor de n as aproximaccedilotildees por falta (xkuk) e por
excesso (vkyk) indicam intuitivamente que a aacuterea do retacircngulo de lados a e b tenderaacute para
S = ab isto eacute
xkuk lt ab lt vkyk
rArr k
nmiddot mnlt
(k + 1)
nmiddot (m+ 1)
n
rArr km(1
n)2 lt ab lt (km+ k +m+ 1)(
1
n)2
rArr 0 lt abminus km(1
n)2 lt (k +m+ 1)(
1
n)2
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
Quanto maior o valor de n (n tendendo ao innito) melhor seraacute a aproximaccedilatildeo
da aacuterea (correspondente agrave soma de todos os retacircngulos de medidas kne m
n) da pretendida
do retacircngulo dada por S = ab
A gura a seguir representa um retacircngulo 100 e 80 em que a base e a altura
respectivamente foram subdivididas em 100(na) e 80(nb) partes com a mesma unidade
de comprimento
Figura 77 Retacircngulo 100 x 80
Fonte GeoGebra
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ES-
TUDO DE FUNCcedilOtildeES
Inicialmente sugere-se a apresentaccedilatildeo de algumas situaccedilotildees problema que
abordam de forma embutida as noccedilotildees intuitivas de limite de forma praacutetica Inclusive
o presente trabalho possui a preocupaccedilatildeo em mostrar aos alunos a simbologia moderna
utilizada em detrimento das expressotildees e locuccedilotildees de tendecircncia Observe
bull a) Se o cacircmbio do doacutelar americano tende a estabilizar em torno de R$ 233 entatildeo o
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 58
valor pago por 100 doacutelares estabiliza em torno de R$ 23300 Logo podemos falar
que o limite (valor pago por 100 doacutelares) eacute igual a R$ 23300 quando o valor pago por
1 doacutelar tende a R$ 233 Pode-se representar tal situaccedilatildeo por limxrarr100
2 33x = 233
bull b) Imagine uma placa metaacutelica quadrada que se expande uniformemente por estar
sendo aquecida Se x representa o comprimento do lado a aacuterea da placa eacute dada
por A(x) = x2 Evidentemente quando x se aproxima de 5 a aacuterea da placa A se
aproxima de 25 Essa situaccedilatildeo pode ser expressa simbolicamente por limxrarr5
x2 = 25
bull c) Suponha agora que vocecirc esteja dirigindo um automoacutevel Se o acelerador for pres-
sionado para baixo em torno de 4 cm entatildeo a velocidade se manteraacute proacutexima aos 120
Kmh Logo podemos dizer que o limite (velocidade instantacircnea do automoacutevel) eacute
igual a 120 Kmh quando o acelerador tender a 4 cm para baixo Matematicamente
escrevemos tal situaccedilatildeo por limxrarr4
v(x) = 120 onde v(x) eacute a velocidade instantacircnea do
automoacutevel e x eacute a medida em centiacutemetros do deslocamento do pedal do acelerador
bull d) Outra aplicaccedilatildeo interessante do limite de uma funccedilatildeo eacute o caacutelculo da velocidade
instantacircnea de um corpo em queda livre sob a accedilatildeo da gravidade dentre outras
inuacutemeras aplicaccedilotildees interdisciplinares disponiacuteveis
Apoacutes apresentar um panorama de aplicaccedilotildees simples faz-se necessaacuterio propor
o repasse das noccedilotildees intuitivas de limite utilizando o estudo de funccedilotildees De acordo com a
estrateacutegia disseminada pelos livros didaacuteticos uma das melhores formas de expor as ideias
de limite via funccedilotildees consiste em observar o comportamento de uma funccedilatildeo dada nas
proximidades de um ponto em sua vizinhanccedila
Vejamos um exemplo praacutetico Exemplo Observe o estudo analiacutetico do compor-
tamento de uma funccedilatildeo f na vizinhanccedila de um ponto Considere a funccedilatildeo f R2 minusrarr R
denida por
f(x) =x2 minus 4
xminus 2=
(x+ 2)(xminus 2)
xminus 2= x+ 2
Estudando o comportamento da referida funccedilatildeo nas proximidades do ponto
x = 2 dado que o mesmo natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada verica-se que
quando aproximamos os valores de x da abscissa x = 2 haacute uma aproximaccedilatildeo abrupta
para a imagem y = f(x) = 4 mesmo que se tome valores agrave esquerda (x lt 2) ou a direita
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 59
(x gt 2) da abscissa x = 2 Tal constataccedilatildeo sob o ponto de vista numeacuterico pode ser
interpretada a seguir via dados tabelados
Tabela 71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2
Aproximaccedilatildeo pela esquerda (x lt 2) Aproximaccedilatildeo pela direita (x gt 2)
x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2
f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4
Nesse momento eacute possiacutevel discutir com os alunos a noccedilatildeo intuitiva de limite
Note que tomando valores na vizinhanccedila de x = 2 o valor da funccedilatildeo permanece nas
proximidades de y = f(x) = 4 Inserindo a linguagem moderna precisa e concisa pode-se
dizer que ao fazer com que os valores de x tendam para a abscissa x = 2 (xrarr 2) os valores
das imagens tenderatildeo para a imagem y = f(x) = 4 (y rarr 4) a qual seraacute denominada de
limite e representada por L = limxrarr2
f(x) = 4 Note que esse limite representa o valor da
funccedilatildeo para x = 2 poreacutem esse valor de x natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada Tal
episoacutedio serve de base para explicar que o conceito de limite independe de a funccedilatildeo estar
denida naquele ponto especiacuteco e mais serve para representar que o limite de uma dada
funccedilatildeo pode natildeo ser o valor da imagem do ponto em que estamos investigando em sua
vizinhanccedila
Embora tal explicaccedilatildeo seja aceitaacutevel eacute bom ser cauteloso ao explicar a situaccedilatildeo
Caso ainda haja duacutevida recomenda-se a construccedilatildeo do graacuteco da referida funccedilatildeo via Geo-
Gebra Nesse software ao inserir no campo entrada as coordenadas do ponto F = (2 f(2))
o programa indicaraacute na janela de Aacutelgebra a informaccedilatildeo de que tal ponto eacute indenido e
quando inserirmos G = (1999 f(1999)) o GeoGebra indicaraacute um ponto praticamente so-
bre o ponto (2 4) o qual eacute o ponto indenido cuja imagem representaraacute o limite da funccedilatildeo
Oportunidade riquiacutessima para mencionar a relaccedilatildeo importacircnciadependecircncialimitaccedilatildeo de
um software no estudo de Matemaacutetica
Para melhor compreensatildeo observe a imagem capturada da tela do GeoGebra
Eacute interessante mencionar que esse fenocircmeno pode ser generalizado de maneira informal
para qualquer funccedilatildeo f(x) denida em um intervalo aberto em torno de x = a exceto
talvez em x = a Se f(x) ca arbitrariamente proacuteximo de L para todos os valores
de x sucientemente proacuteximos de a dizemos que f tem limite L quando x tende para
a e escrevemos limxrarra
f(x) = L Nesse iacutenterim eacute vaacutelido ressaltar que o conceito formal
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 60
utilizando eacutepsilon e delta seraacute visto em um curso especiacuteco de Caacutelculo I E mais haacute
disponiacutevel diversos sites na internet com variados applets (programas desenvolvido via
GeoGebra) com atividades que explicam toacutepicos do estudo de Caacutelculo por exemplo
em BIZELLI (2014) [33] responsaacutevel pelo site do Instituto de Quiacutemica da Universidade
Estadual de Satildeo Paulo (UNESP) em que disponibiliza applets que orientam diversos
assuntos dentre os quais destacamos o estudo da ideia de limite de uma funccedilatildeo que
corresponde a uma contribuiccedilatildeo construtiva para o conhecimento de forma luacutedica concreta
e com possibilidades de inuacutemeras iteraccedilotildees
Figura 78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita
Fonte Imagem capturada de uma janela do GeoGebra
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees
Ao estudar a construccedilatildeo dos graacutecos das principais funccedilotildees estudadas durante
o ensino meacutedio diversos questionamentos satildeo levantados por alunos A principal pergunta
dos alunos consiste em como obter garantias sucientes e esclarecedoras sobre o compor-
tamento das curvas (Quando crescem ou decrescem Quando os eixos ou determinas retas
satildeo consideradas assiacutentotas das curvas em questatildeo Selecionando um intervalo qualquer
presente no 1o quadrante por exemplo o que signica e como se calcula a aacuterea sob o
graacuteco dessa funccedilatildeo) Alguns desses e outros questionamentos satildeo frequentes em sala de
aula e serviram de base para a discussatildeo que seraacute feita a partir desse momento
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 61
Ao representar o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau do 2o grau Exponencial
ou Logariacutetmica geralmente representa-se apenas uma parte da funccedilatildeo a partir de valores
discretos para as abscissas Em seguida traccedilamos o graacuteco de maneira natural de acordo
com a amostragem construiacuteda por exemplo via tabela que relaciona o par (x f(x))
Satildeo raros os professores que abrem a discussatildeo em torno de valores contiacutenuos para a
variaacutevel x Uma estrateacutegia boa para garantir aos alunos que o crescimentoconcavidade
da referida natildeo se altera para algum valor de x e que em alguns casos o crescimento tende
para o innito seria utilizar as ferramentas do Caacutelculo mas tais ferramentas natildeo estatildeo
disponiacuteveis no Ensino Meacutedio Daiacute a necessidade de fornecer um suporte especiacuteco de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo para justicardemonstrar algumas propriedades que satildeo
simplesmente comentadas sem a prova de que satildeo vaacutelidas independentemente do valor do
domiacutenio ser discreto ou contiacutenuo isto eacute a validade eacute para todo o domiacutenio real de deniccedilatildeo
da funccedilatildeo um preluacutedio ao conceito de continuidade de funccedilatildeo
As questotildees referentes agrave tendecircncia de crescimento para o innito ou agrave apro-
ximaccedilatildeo a uma reta assiacutentota satildeo explicadas via noccedilotildees de limites Negligenciar tal
discussatildeo como eacute praxe na educaccedilatildeo baacutesica contribui vertiginosamente para a desmoti-
vaccedilatildeo dos alunos e como consequecircncia reduz o rendimento das escolas de educaccedilatildeo baacutesica
e superior
Por exemplo suponha hipoteticamente que um dado aluno do Ensino Meacutedio
faccedila dois questionamentos acerca do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica Por que a funccedilatildeo
logariacutetmica eacute crescentee O que garante que quando os valores de x tendem para o
innito positivo os valores das imagens (f(x)) tendem tambeacutem para o innito positivo
Eacute notoacuterio que inuacutemeros professores do Ensino Meacutedio teriam diculdade em explicar com
transparecircncia e argumentos vaacutelidos tais perguntas Com o intuito de ajudar colegas
que apresentem inseguranccedila diculdade e alguma outra adversidade na arte de lecionar
esse conteuacutedo particular proposto observe a maneira escolhida para justicaacute-las Note
que para explicaacute-las faz-se necessaacuterio formalizaacute-las segundo proposiccedilotildees (teoremas) e em
seguida demonstraacute-las Aleacutem disso verique que a segunda proposiccedilatildeo torna-se suciente
a partir da prova de monotonicidade da primeira
Proposiccedilatildeo 721 A funccedilatildeo logariacutetmica de base 10 (logaritmos decimais) eacute crescente
isto eacute se 0 lt x lt y entatildeo log x lt log y
Demonstraccedilatildeo Sejam x e y dois nuacutemeros positivos com x lt y ou seja existe um nuacutemero
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 62
m gt 1 tal que y = mx Daiacute temos log y = log (mx) = log m + log y Como m gt 1
segue que log m gt 0 Conclusatildeo log y gt log x como queriacuteamos demonstrar
Proposiccedilatildeo 722 Quando x tende para +infin log x tende para +infin Isto eacute quando
tomamos valores positivos cada vez maiores para x o logaritmo decimal cresce e pode
torna-se maior do que qualquer nuacutemero positivo prexado
Demonstraccedilatildeo Dado qualquer nuacutemero real J gt 0 pode-se obter K gt 0 tal que para
todo x gt K se tem log x gt J Assim dado J gt 0 escolhemos primeiro um nuacutemero inteiro
positivo M tal que M gt Jlog 2
Entatildeo log (2M) = M log 2 gt J Tome agora K = 2M
Note que qualquer que seja x gt K como a funccedilatildeo logaritmo de base 10 eacute crescente
tem-se que log x gt log K gt J Isso prova que todos os nuacutemeros reais x gt K possuem
logaritmos decimais maiores do que J Utilizando uma linguagem moderna e avanccedilada
concluiacutemos que limxrarr+infin
log x = +infin
Eacute vaacutelido ressaltar que a maioria dos livros analisados natildeo demonstra tais pro-
posiccedilotildees apenas faz citaccedilotildees como propriedades vaacutelidas Somente o livro do IEZZI (2010)
[15] e o do LIMA (2006) [17] fazem menccedilatildeo de maneira deciente injusticada e dife-
rente da apresentada Note que a escolha da funccedilatildeo logariacutetmica foi com a nalidade de
escapar da comodidade de trabalhar com funccedilotildees simples (1o e 2o grau) e para mostrar
um questionamento que pode ser uacutetil em sala de aula Foi feita apenas uma apresentaccedilatildeo
simples de demonstraccedilatildeo de uma propriedade muito utilizada no estudo de Logaritmos
mas eacute claro que haacute outras pertinentes e que exigem um olhar diferenciado do professor
regente Tambeacutem eacute bom salientar a necessidade de empregar noccedilotildees intuitivas de limite
para completar e raticar o raciociacutenio
Agora suponha que um aluno faccedila um questionamento interdisciplinar ou seja
vamos admitir que um dado aluno tenha recebido a informaccedilatildeo numa aula de Fiacutesica de que
a aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo representa o espaccedilo percorrido por um moacutevel ou o tra-
balho de uma forccedila por exemplo Diante dessa situaccedilatildeo o aluno lhe peccedila esclarecimentos
sobre tal informaccedilatildeo Como explicar essa situaccedilatildeo utilizando somente matemaacutetica ele-
mentar faltaria argumentos faz-se necessaacuterio inserir noccedilotildees elementares do Caacutelculo para
justicar e esclarecer os fatos para o dado aluno
Por exemplo considere uma paraacutebola denida por y = x2 em que y represente
a velocidade e x o tempo percorrido por um moacutevel num dado instante Caso o interesse
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 63
esteja voltado para o caacutelculo do espaccedilo percorrido pelo moacutevel no primeiro intervalo (uni-
dade) de tempo eacute preciso calcular a aacuterea da faixa de paraacutebola (A(x2)ba) compreendida
entre as retas verticais x = 0 e x = 1 Como as ferramentas de Caacutelculo natildeo estatildeo disponiacute-
veis e tambeacutem natildeo possuiacutemos uma foacutermula especiacuteca para efetuar o caacutelculo a resoluccedilatildeo
do referido problema deve empregar um raciociacutenio que evocaraacute noccedilotildees intuitivas do caacutel-
culo Para realizar e estimar o caacutelculo da aacuterea em questatildeo eacute necessaacuterio decompor a regiatildeo
[0 1] sob a curva em (n+1) intervalos justapostos de mesmo comprimento e calcular uma
aproximaccedilatildeo inferior para a faixa A(x2)01 atraveacutes da aacuterea do poliacutegono retangular Pn+1
inscrito na faixa da paraacutebola y = x2 Vide gura a seguir que exemplica a aproximaccedilatildeo
inferior da aacuterea de uma faixa de paraacutebola por intermeacutedio da aacuterea do poliacutegono retangular
P6com 6 intervalos justapostos de mesmo comprimento (n = 5)
Figura 79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5
Fonte GeoGebra
A aacuterea (S) do poliacutegono retangular Pn+1 inscrito na faixa da paraacutebola y = x2
seraacute dada pela soma das aacutereas de todos os retacircngulos contidos na regiatildeo sob a paraacutebola
isto eacute
S = A1 + A2 + A3 + middot middot middot+ An
rArr S = 1(n+1)
f(
1n+1
)+ 1
(n+1)f(
2(n+1)
)+ 1
(n+1)f(
3(n+1)
)+ middot middot middot+ 1
(n+1)f(
n(n+1)
)
Substituindo os valores da funccedilatildeo em cada particcedilatildeo considerada e utilizando a
fatoraccedilatildeo por evidecircncia tem-se
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 64
S =1
(n+ 1)3(1 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
rArr S =1
(n+ 1)3
(n3
3+n2
2+n
6
)=
1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)
Segue daiacute a conclusatildeo de que tomando valores cada vez maiores para n isto
eacute aumentando o nuacutemero de subintervalos aumentamos o nuacutemero de retacircngulos e con-
sequentemente a diferenccedila entre a aacuterea (S) do poliacutegono retangular e a aacuterea da faixa de
paraacutebola aproxima-se de zero Eacute oacutebvio que quando n tende para o innito (n rarr infin) a
aacuterea S tende para a aacuterea da faixa de paraacutebola ou seja S sim= A(x2)01 =13 Em linguagem
moderna e avanccedilada temos
limsrarrinfin
S = limnrarrinfin
[1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)]=
1
3
A construccedilatildeo da atividade acima deve ser realizada de maneira gradual ou seja
solicitando aos alunos que calculem a aacuterea do poliacutegono retangular a partir de subcasos
supondo valores para n por exemplo n = 5 e depois para n = 10 Essa atividade pode ser
realizada com auxiacutelio de calculadora cientiacuteca ou entatildeo via planilha eletrocircnica (do Excel
ou CALC ou ateacute do GeoGebra) Apoacutes resolver os problemas para os casos particulares
(encontrar a aacuterea por falta) sugira aos alunos para que tentem generalizar o meacutetodo ateacute
conseguir encontrar a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] Essa aacuterea foi encontrada
experimentalmente por Arquimedes atraveacutes de O meacutetodo de equiliacutebrio e demonstrado via
meacutetodo da exaustatildeo com argumentos de dupla reductio ad absurdum Com o meacutetodo de
equiliacutebrio Arquimedes vericava e testava a validade da propriedade Jaacute com o meacutetodo da
exaustatildeo que historicamente eacute creditado a Eudoxos poreacutem segundo EVES (2004) [11]
jaacute havia antecipaccedilatildeo de tais ideias nos trabalhos do sosta Antiacutefon (c 430 aC) o mestre
de Siracusa demonstrava a validade da proposiccedilatildeo formando um verdadeiro preluacutedio agraves
escuras das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular a ideia intuitiva de limite
Veja a construccedilatildeo do graacuteco via GeoGebra da aacuterea do poliacutegono retangular
para cinco cinquenta e cem intervalos de mesmo comprimento
Eacute notoacuterio que fazendo n tender para o innito a faixa escura cresceraacute e tenderaacute
para a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] cuja aacuterea corresponde a um terccedilo da
aacuterea do quadrado de mesma base E mais pode-se concluir que a aacuterea de metade do
segmento paraboacutelico (regiatildeo limitada pela reta secante pontilhada e pela paraacutebola) contido
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 65
Figura 710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50
Fonte Geogebra
Figura 711 Poliacutegono Retangular para n = 100
Fonte Geogebra
no quadrado de lado unitaacuterio mede 23 ou melhor eacute possiacutevel concluir que a aacuterea do segmento
paraboacutelico da paraacutebola em questatildeo mede 43 Esse procedimento consiste na quadratura da
paraacutebola cuja autoria de forma rudimentar isto eacute com as ferramentas disponiacuteveis para a
eacutepoca eacute creditada a Arquimedes via Meacutetodo de Equiliacutebrio e Meacutetodo da Exaustatildeo
Tambeacutem eacute necessaacuterio dizer que o problema de calcular aacute aacuterea referida acima
poderia ser solucionado decompondo o intervalo [0 1] em subintervalos contendo trapeacutezios
circunscritos de forma que a aacuterea do poliacutegono trapezoidal circunscrito agrave faixa de paraacute-
bola fosse uma aproximaccedilatildeo por excesso Possivelmente os alunos vatildeo reclamar muito
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 66
das contas que apareceratildeo pois os caacutelculos natildeo satildeo tatildeo simples assim como a teacutecnica
propriamente dita Mas segundo MACHADO (2008) [19] esse aspecto eacute favoraacutevel pois
prepararaacute o aluno para que venha a apreciar as facilidades que seratildeo depois apresentadas
em um curso de Caacutelculo Inclusive eacute possiacutevel mencionar a existecircncia de um teorema im-
portantiacutessimo que cita a existecircncia um ponto entre as aacutereas por aproximaccedilotildees por falta
e por excesso que as tornam iguais Esse teorema eacute conhecido como Teorema do Valor
Meacutedio
Outra atividade excelente de aplicaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
correlatas do Caacutelculo eacute o caacutelculo da chamada Aacuterea de uma faixa de Hipeacuterbole Antes de
deni-la eacute preciso preacute-estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas em que H seraacute
considerado algebricamente como o ramo positivo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x isto eacute
H = (x y)x gt 0 y = 1x ou geometricamente ramo da Hipeacuterbole Equilaacutetera (xy = 1)
contido no primeiro quadrante A partir dessas consideraccedilotildees eacute possiacutevel denir a faixa
de hipeacuterbole e de forma especiacuteca como consequecircncia imediata propor uma ligaccedilatildeo com
o estudo de logaritmos naturais Esse trabalho pode ser conferido na iacutentegra em LIMA
(1980) [16] em que o autor com maestria faz uma abordagem geomeacutetrica do estudo dos
logaritmos e suas consequecircncias (construccedilatildeo da tabela de logaritmos caacutelculo de raiacutezes
inexatas de iacutendice qualquer caacutelculo de potecircncias de base e expoente qualquer construccedilatildeo
do nuacutemero de Euler e sua ligaccedilatildeo com o logaritmo natural e nalmente propor o estudo
da Funccedilatildeo Exponencial)
Nesse iacutenterim eacute possiacutevel propor uma atividade de aplicaccedilatildeo interdisciplinar
sobre a relaccedilatildeo existente entre o crescimento exponencial e o decaimento (desintegraccedilatildeo)
radioativo Esse problema eacute comum nos livros de Ensino Meacutedio Observe a situaccedilatildeo pro-
blema descrita a seguir em que eacute apresentada uma maneira construtiva de explorarutilizar
as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
Situaccedilatildeo Problema A Desintegraccedilatildeo Radioativa consiste na emissatildeo espontacirc-
nea de raios (partiacuteculas e ondas) de nuacutecleo instaacutevel com o objetivo de adquirir estabilidade
em que um aacutetomo radioativo (por exemplo o Raacutedio e o Uracircnio) eacute transformado num ele-
mento quiacutemico diferente Essa transformaccedilatildeo faz com que a quantidade de substacircncia
original diminua a cada instante de forma que a desintegraccedilatildeo seja proporcional agrave massa
da substacircncia original presente no corpo naquele momento A constante (α) de proporci-
onalidade eacute especiacuteca para cada substacircncia e eacute determinada experimentalmente
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
Suponha hipoteticamente que um corpo de massa M0 seja formado por uma
substacircncia radioativa cuja taxa de desintegraccedilatildeo seja α Caso o processo de desintegraccedilatildeo
seja instantaneamente a cada segundo tem-se que para t = 0 a massa correspondente eacute
M0 Decorrido o tempo t = 1 segundo ocorreraacute uma perda de αM0 unidade de massa
restando somente a massa M1 = M0 minus αM0 = (1 minus α)M0 Para t = 2 segundos implica
que a massa restante seraacute dada porM2 = (1minusα)M1 = (1minusα)2M0 Esse processo pode ser
generalizado isto eacute apoacutes n segundos temos Mn = M0(1minus α)n Poreacutem a desintegraccedilatildeo
se processa de forma contiacutenua e natildeo apenas discreta Daiacute eacute necessaacuterio pensar que a
desintegraccedilatildeo seja feita em fraccedilotildees de intervalos de 1nde segundo Assim apoacutes a primeira
fraccedilatildeo de 1nde segundo a massa do corpo se reduziria para M0 minus α
nM0 =
(1minus α
n
)M0
Realizando uma subdivisatildeo do intervalo [0 1] em um nuacutemero n cada vez maior de particcedilotildees
iguais tem-se que a massa resultante se reduziria para a aproximaccedilatildeo(1minus α
n
)nM0
Logo quando n tender para o innito a expressatildeo(1minus α
n
)nM0 tenderaacute para M0e
minusα
Em linguagem moderna e avanccedilada tem-se limnrarrinfin
(1minus α
n
)nM0 = M0 lim
nrarrinfin
(1minus α
n
)n=
M0eminusα Caso se queira calcular a massa apoacutes t segundos eacute preciso dividir o intervalo [0 t]
em n partes iguais em que cada intervalo parcial receberaacute uma perda de massa de αtnM0
Repetindo esse processo encontra-se a expressatildeo que fornece a massa do corpo apoacutes t
segundo decorridos M(t) = M0eminusα A tiacutetulo de curiosidade vale a pena ressaltar que
a constante α eacute determinada a partir de um nuacutemero baacutesico denominado de meia-vida da
substacircncia (tempo necessaacuterio para que se desintegre a metade da massa de um corpo)
73 EXPLORANDOAS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS
IMPLICACcedilOtildeES
Comumente ao estudar conjuntos numeacutericos em particular ao estudar o con-
junto dos nuacutemeros racionais nos deparamos com nuacutemeros decimais innitos poreacutem perioacute-
dicos os quais satildeo denominados de diacutezimas perioacutedicas Dentre as diacutezimas perioacutedicas mais
ceacutelebres com absoluta certeza estaacute o nuacutemero decimal perioacutedico 0 999 Esse nuacutemero gera
bastante desconforto entre os alunos do Ensino Meacutedio principalmente quando o professor
de Matemaacutetica arma que 1 = 0 999 Anal de contas o que eacute uma diacutezima perioacutedica
e o que representa Esses questionamentos satildeo frequentes e recorrentes durante as aulas
de Matemaacutetica que requerem a utilizaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedicas
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 68
Conforme jaacute foi denido denominamos de diacutezima perioacutedica todo nuacutemero ra-
cional com representaccedilatildeo decimal innita e perioacutedica Haacute diacutezimas perioacutedicas simples e
compostas Nesse trabalho apenas far-se-aacute uma anaacutelise da formaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedi-
cas simples (por exemplo 0 111 0 353535 0 456456456etc)
As diacutezimas perioacutedicas em geral representam uma soma innita de termos de
uma progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo entre 0 e 1 Assim por exemplo a diacutezima perioacutedica
0 111 eacute equivalente a soma S = 0 1 + 0 01 + 0 001 + cujo primeiro termo coincide a
razatildeo numericamente igual a 0 1
Muitos problemas de matemaacutetica elementar exigem que o aluno de Ensino
Meacutedio determine a fraccedilatildeo geratriz correspondente a uma dada diacutezima perioacutedica Para
realizar tal feito os professores utilizam diversos recursos e artimanhas dentre as quais
eacute possiacutevel citar o meacutetodo em que haacute o repasse de uma foacutermula com bastante decoreba
e pouca compreensatildeo o meacutetodo que requer a utilizaccedilatildeo de artifiacutecio via equaccedilatildeo do 1o
grau e o meacutetodo de considerar a diacutezima como uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo (q) variando entre 0 e 1 A exposiccedilatildeo seguinte apenas expotildee
o meacutetodo de obtenccedilatildeo da diacutezima via comparaccedilatildeo como uma soma de termos de progressatildeo
geomeacutetrica innita
Para dar continuidade a exibiccedilatildeo eacute necessaacuterio estudar como eacute feita a soma dos
n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica nita Assim dada uma progressatildeo ge-
omeacutetrica (a1 a2 a3 middot middot middot an) dene-se a soma (S) dos termos dessa progressatildeo geomeacutetrica
da seguinte maneira
S = a1 + a2 + a3 + middot middot middot+ an = a1 + a1q + a1q2 + a1q
3 + middot middot middot+ a1qnminus1 (1)
Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo (1) pela razatildeo q tem-se
qS = qa1 + qa2 + qa3 + middot middot middot+ qan = qa1 + a1q2 + a1q
3 + a1q4 + middot middot middot+ a1q
n (2)
Subtraindo (1) de (2) membro a membro tem-se
qS minus S = a1qn minus a1 = a1(q
n minus 1)rArr S(q minus 1) = a1(qn minus 1)rArr S =
a1(qn minus 1)
q minus 1
Assim a soma (S) dos n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de
razatildeo (q) eacute dada em funccedilatildeo do primeiro termo da razatildeo e do nuacutemero de termos
Quando se dispotildee de uma diacutezima perioacutedica ou melhor de uma soma de termos
de progressatildeo geometria innita cuja razatildeo pertence ao intervalo (0 1) percebemos que
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 69
o termo qn se aproxima de zero a medida que n tende ao innito Em outra linguagem
o limite da soma (S) quando n tende ao innito eacute dado por
limnrarrinfin
S = limnrarrinfin
[a1(q
n minus 1)
q minus 1
]=a1 middot (minus1)q minus 1
=a1
1minus q
Como exemplo observe o caacutelculo da fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 0 999 middot middot middot
Note que 0 999 middot middot middot equivale a soma S = 0 9 + 0 09 + 0 009 + middot middot middot
Essa soma representa o somatoacuterio dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita cuja razatildeo eacute dada por q = 0 1 Substituindo a1 = 0 9 e q = 0 1 tem-se
S = limnrarrinfin
[0 9
[( 110)n minus 1
]0 1minus 1
]=
0 9 middot (minus1)0 1minus 1
=minus0 9minus0 9
= 1
Isto eacute o limite do somatoacuterio dos termos da progressatildeo geomeacutetrica innita em
questatildeo eacute igual a um quando tomamos n tendendo para o innito
Haacute uma seacuterie de problemas que utilizam de tais recursos dentre os quais se
destacam a formaccedilatildeo de determinados mosaicos o processo de divisatildeo celular via meiose
o processo decaimento radioativo etc
O estudo do somatoacuterio de uma quantidade innita resultar numa quantidade
nita aparece historicamente no paradoxo de Zenon (por volta do seacuteculo V aC) que
surpreendentemente promove uma corrida em forma de aposta entre um famoso guerreiro
(Aquiles) da Greacutecia antiga e uma tartaruga Nessa corrida Aquiles conhecedor de sua
superioridade oferece uma vantagem para tartaruga poreacutem Aquiles nunca alcanccedila a
tartaruga pois por mais devagar que ela caminhe quando ele chegar agrave posiccedilatildeo inicial da
tartaruga a mesma teraacute avanccedilado um pouco E quando Aquiles cobrir esta distacircncia
a tartaruga teraacute avanccedilado um pouco mais e assim sucessivamente Embora os gregos
soubessem que do ponto de vista praacutetico Aquiles seria o vencedor natildeo sabiam explicar
tal fato do ponto de vista matemaacutetico Eacute vaacutelido ressaltar que tal ausecircncia de clareza por
parte dos matemaacuteticos gregos era justicada pela ausecircncia do conhecimento das noccedilotildees
intuitivas de limite Note que o limite da diferenccedila entre as distacircncias entre os dois
corredores tende para zero
Aleacutem de Zenon outro matemaacutetico grego percebeu e calculou com bastante
habilidade a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica com innitos termos cuja
razatildeo estava compreendida entre 0 e 1 Nessa eacutepoca o mestre de Siracusa (Arquimedes)
estava estudando e analisando quadraturas Para isso ele utilizava dois meacutetodos antigos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 70
de muito prestiacutegio O meacutetodo de Equiliacutebrio de autoria do proacuteprio Arquimedes e o meacutetodo
da Exaustatildeo credita a Eudoxos Numa de suas pesquisas em busca da quadratura de um
segmento paraboacutelico Arquimedes conseguiu demonstrar experimentalmente via meacutetodo
de Equiliacutebrio que a aacuterea do segmento de paraacutebola correspondia a 43da aacuterea do triacircngulo
inscrito no segmento paraboacutelico Essa demonstraccedilatildeo ismiuccedilada em CONTADOR (2012)
[6] Arquimedes utilizou o conhecimento dessa proposiccedilatildeo para realizar a quadratura da
paraacutebola Nesse trabalho foi encontrada pela primeira vez a soma de uma seacuterie innita
Acompanhe duas aplicaccedilotildees do estudo de somas de progressotildees geomeacutetricas
innitas cuja razatildeo (q) seja dada por |q| lt 1 e q natildeo nulo
Figura 712 Processo re-
cursivo de Quadrados
Figura 713 Processo
recursivo de Triacircngulos
Equilaacuteteros
Note que as guras acima determinam o comportamento das aacutereas e dos pe-
riacutemetros dos novos quadrados e dos novos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir dos
pontos meacutedios dos lados da gura anterior Para isso considere o quadrado inicial de
lado l e o triacircngulo equilaacutetero inicial de lado 2α
Note que as sequecircncias das aacutereas dos quadrados e dos triacircngulos equilaacuteteros
a partir do primeiro quadrado e do primeiro triacircngulo equilaacutetero satildeo dadas respectiva-
mente por(l2 l
2
2 l
2
4 l
2
8 middot middot middot
)e(a2radic3 a
2radic3
4 a
2radic3
8 middot middot middot
)
Por conseguinte a soma (SQ) das aacutereas dos innitos quadrados formados a
partir do quadrado primitivo de lado l representa uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo q = 12a qual seraacute dada por SQ = a1
1minusq =l2
2
1minus 12
=l2
212
= l2 Isto
eacute a soma (SQ) coincide com a aacuterea do quadrado primitivo de lado l Jaacute a soma (STE)
das aacutereas dos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir do triacircngulo equilaacutetero de lado 2a
tambeacutem representa uma soma de termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita de razatildeo
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 71
q = 14 a qual seraacute dada por STE = a1
1minusq = a2radic3
1minus 14
= a2radic3
34
= 43a2radic3 Isto eacute a soma (STE)
equivale a 43da aacuterea do triacircngulo equilaacutetero primitivo de lado 2a
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de
limite
A origem dessa discussatildeo iniciou-se na Greacutecia com a crise na Escola Pitagoacuterica
diante da descoberta de grandezas incomensuraacuteveis isto eacute apoacutes provarem que eacute impossiacutevel
existir um submuacuteltiplo comum (α) entre o lado (L) e a diagonal (D) de quadrado de lado
unitaacuterio tal que L = mα e D = nα
Nesse iacutenterim surgiu o questionamento da existecircncia de uma unidade comum
innitamente pequena (um submuacuteltiplo) de forma que ela pudesse medir o lado e a dia-
gonal do quadrado Caso tal existecircncia se conrmasse seria loacutegica a discussatildeo realizada
por volta do seacuteculo V aC pelo matemaacutetico grego Zenon que questionava o fato de que
uma soma innita pudesse ser nita ou ainda utilizando a linguagem moderna se seria
possiacutevel fazer com que o limite da diferenccedila entre as distacircncias percorridas por Aquiles
e a tartaruga tendesse a zero Segundo os anais da Histoacuteria da Matemaacutetica o paradoxo
de Zenon e suas consequecircncias assim como a descoberta das grandezas incomensuraacuteveis
satildeo relatos pioneiros e rudimentares da presenccedilaintervenccedilatildeo do conceito de limite num
problema matemaacutetico
Atualmente eacute possiacutevel concluir que se o segmento AB eacute incomensuraacutevel com
o segmento unitaacuterio α entatildeo a medida de AB eacute um nuacutemero irracional E como exemplo
ceacutelebre de nuacutemero irracional pode-se citar a medida da razatildeo aacuteurea (o famoso nuacutemero
de ouro 1+radic5
2) e a medida da diagonal de um quadrado de lado unitaacuterio cuja medida
corresponde ao nuacutemero irracionalradic2 Os exemplos escolhidos satildeo excelentes didaacuteticos e
histoacutericos Inclusive em GALARDA et al (1999) [13] haacute uma discussatildeo aberta sobre qual
nuacutemero irracional apareceu primeiro natildeo se sabe se foiradic2 ou
radic5 que primeiro revelou a
existecircncia de grandezas incomensuraacuteveis
Mesmo sabendo que natildeo eacute possiacutevel determinar com exatidatildeo o valor deradic2 eacute
possiacutevel relacionar aproximaccedilotildees por falta e por excesso de nuacutemeros racionais construindo
uma sequecircncia innita de nuacutemeros racionais tais que seus quadrados sejam todos menores
do que 2
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 72
Observe a tabela a seguir em que a primeira coluna representa uma sequecircncia
innita de nuacutemeros racionais a segunda coluna representa seus quadrados e a terceira
coluna representa a diferenccedila entre quadrado da diagonal e cada termo quadraacutetico na seacuterie
gerada Note que tomando aproximaccedilotildees com um nuacutemero reduzido de casas decimais
foi possiacutevel construir uma sequecircncia de quadrados em que com apenas seis iteraccedilotildees
tornou-se miacutenima a diferenccedila entre os valores quadraacuteticos da seacuterie formada e o nuacutemero 2
Assim pode-se tornar a diferenccedila tatildeo pequena quanto se queira aumentando o nuacutemero de
iteraccedilotildees Quando o nuacutemero de iteraccedilotildees tende ao innito de fato tem-se que a diferenccedila
tenderaacute a zero e consequentemente obteacutem-se o valorradic2
Tabela 72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais
Nuacutemero (xi) da Sequecircncia Quadrado de xi 2minus x2i1 1 1
14 196 004
141 19881 00119
1414 1999396 0000604
14142 1999962 0000038360000000237100000000000
141421 199999 0000010075900000128300000000000
Aleacutem de ser uma atividade rica de utilizaccedilatildeo da calculadora em sala de aula
eacute uma excelente oportunidade de expor de maneira compreensiva a inuecircncia de que a
noccedilatildeo de limite estaacute associada agrave ideia de incomensurabilidade
Eacute vaacutelido ressaltar que um procedimento anaacutelogo pode ser aplicado para caacutel-
culo do nuacutemero π por meio da divisatildeo do periacutemetro do poliacutegono regular inscrito pela
maior diagonal desse poliacutegono Quanto maior o nuacutemero de lados desse poliacutegono inscrito
mais proacuteximo do comprimento da circunferecircncia estaraacute seu periacutemetro e consequentemente
promoveraacute uma melhor aproximaccedilatildeo para o valor do nuacutemero π
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua
Embora sugira um aspecto bastante abstrato o nuacutemero de Euler (e) estaacute
presente em diversos processos de crescimento ou decrescimento exponencial dentre os
quais possui destaque o problema de aplicaccedilatildeo de um capital a uma taxa anual de k
com juros compostos capitalizados de forma contiacutenua durante t anos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 73
Suponha hipoteticamente que um determinado capital C0 seja aplicado a
juros de 100 ao ano
Caso sejam incorporados ao capital somente no nal do ano entatildeo ao nal de
um ano teriacuteamos o montante de R$ 200 para cada R$100 investido isto eacute o capital nal
acumulado apoacutes um ano eacute dado por
C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0
Agora a forma de incorporaccedilatildeo dos juros seraacute alterada poreacutem mantendo a
taxa anual de 100
Suponha que a referida taxa seja decomposta em duas taxas semestrais de
50 sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada semestre Daiacute segue que a
partir do capital inicial C0 haveraacute duas acumulaccedilotildees a serem consideradas A primeira
ocorreraacute ao nal do 1o semestre e a segunda ao nal do 2o semestre com a ressalva de
que o capital inicial a ser utilizado no caacutelculo do montante do 2o semestre coincide com o
montante acumulado ao nal do 1o semestre Em outras palavras ou melhor adotando
a linguagem moderna da matemaacutetica tem-se
1 Capital apoacutes o nal do 1o semestre
C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)
rArr C12 = C0(1 + 12)
2 Capital apoacutes o nal do 2o semestre
C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)
rArr C1 = C0(1 + 12)2
3 Suponha que a referida taxa seja decomposta em quatro taxas trimestrais de 25
sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada trimestre Capital apoacutes o
nal do 1o trimestre
C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)
rArr C14 = C0(1 + 14)
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 74
4 Capital apoacutes o nal do 2o trimestre
C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)
rArr C24 = C0(1 + 14)2
5 Capital apoacutes o nal do 3o trimestre
C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)
rArr C34 = C0(1 + 14)3
6 Capital apoacutes o nal do 4o trimestre
C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)
rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4
7 Caso a capitalizaccedilatildeo fosse mensal seria necessaacuterio subdividir ano e a taxa anual de
100 em 12 partes iguais daiacute o resultado seria
C1 = C0(1 + 112)12
8 Caso a incorporaccedilatildeo seja realizada de forma diaacuteria seria preciso subdividir o ano e
a taxa anual de 100 em 365 partes iguais daiacute segue que
C1 = C0(1 + 1365)365
Generalizando o fenocircmeno isto eacute subdividindo o ano e a taxa anual de 100
em n partes iguais e considerando-se que os juros satildeo incorporados ao capital no nal de
cada periacuteodo tem-se
C1 = C0(1 +1
n)n
Esquematizando uma tabela com o objetivo de analisar o comportamento da
expressatildeo (1 + 1n)n quando n cresce indenidamente tem-se
Note que a expressatildeo (1 + 1n)n aproxima-se indenidamente para um nuacutemero
decimal natildeo perioacutedico (nuacutemero irracional ou transcendental) denominado de nuacutemero de
Euler Tal nuacutemero eacute representado por e Uma aproximaccedilatildeo suciente com trecircs casas
decimais para tal nuacutemero eacute dada por e asymp 2 718
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 75
Tabela 73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler
Subdivisatildeo Fator de Acumulaccedilatildeo
n (1 + 1n)n
1 2
2 225
3 237037037
4 244140625
5 248832
10 259374246
50 2691588029
100 2704813829
1000 2716923932
10000 2718145927
100000 2718268237
1000000 2718280469
Assim conclui-se que um capital C0 aplicado a uma taxa de 100 ao ano
com capitalizaccedilatildeo contiacutenua (a cada instante) resultaraacute ao nal do 1o ano um valor C1 tal
que C1 = C0 middot e
Isto eacute quando n tende ao innito (incorporaccedilatildeo de juros de forma continuada
instantacircnea) tem-se que (1 + 1n)n tende para o nuacutemero irracional e
Eacute importante observar que caso a aplicaccedilatildeo seja a uma taxa anual de k ao
ano ao nal de um ano haveraacute um capital expresso por C1 = C0 middot ek Jaacute no nal de t
anos C1 = C0 middot ekt
Uma excelente demonstraccedilatildeo de modelagem matemaacutetica que faz uso do nuacutemero
de Euler de maneira construtiva e natildeo imperativa embora seja uma situaccedilatildeo hipoteacutetica
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteL-
CULO
Conforme jaacute foi visto nas atividades propostas na seccedilatildeo 621 o caacutelculo da
aacuterea de uma regiatildeo com algum lado curviliacuteneo natildeo eacute tatildeo oacutebvio como o caacutelculo da aacuterea de
uma regiatildeo poligonal Quando se pretende analisar a regiatildeo abaixo da curva cujo graacuteco
natildeo eacute retiliacuteneo em sua totalidade com o intuito de obter a medida da aacuterea sob a curva
a resoluccedilatildeo desse problema eacute realizada novamente por aproximaccedilatildeo da aacuterea da faixa de
hiperboacutele a ser calculada por um poliacutegono retangular inferior como se consideraacutessemos
a funccedilatildeo constante em cada instante e somaacutessemos todos os aacutereas dos retacircngulos ideais
Essa estrateacutegia eacute bastante motivadora poreacutem para que a estimativa seja boa eacute necessaacuterio
realizar um nuacutemero de iteraccedilotildees relativamente grande Para calcular aacuterea sob o graacuteco de
uma funccedilatildeo curviliacutenea utilizando a construccedilatildeo de poliacutegonos retangulares acrescentaremos
ao raciociacutenio a aproximaccedilatildeo via retacircngulos superiores fazendo com que a soma das aacutereas
desses retacircngulos (poliacutegono retangular inscrito e circunscrito) seja estimada tanto por
excesso quanto por falta
Eacute possiacutevel generalizar os casos tomando uma funccedilatildeo natildeo negativa e contiacutenua
num dado intervalo e dividi-lo em n subintervalos de mesmo comprimento em que cada
particcedilatildeo conteraacute um retacircngulo de mesma base de acordo com o nuacutemero de particcedilotildees e
cuja altura consiste no valor da funccedilatildeo numa dada extremidade do retacircngulo considerado
poreacutem seraacute proposto um processo mais construtivo que trabalha de forma concreta com
um nuacutemero de casos palpaacutevel por meio da anaacutelise de graacutecos de funccedilotildees quadraacuteticas de
hipeacuterboles equilaacuteteras e de funccedilotildees exponenciais O procedimento geral citado fornece
uma excelente aproximaccedilatildeo e o mesmo eacute amplamente encontrado nos livros de caacutelculo
com a denominaccedilatildeo popularmente conhecida como Somas de Riemann Nele ao tender
o nuacutemero de iteraccedilotildees (subdivisotildees do intervalo) para o innito tem-se que as somas de
Riemann tendem para o valor da aacuterea (A) da regiatildeo sob a curva que eacute denominada de
integral denida ou seja limnrarrinfin
S(n) =nsumk=1
f(xk) 4 x em que f(xk) e 4x representam
altura e comprimento do retacircngulo k
Observe a gura construiacuteda via GeoGebra com vinte retacircngulos inferiores e
superiores sob a curva da funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Note que a soma das aacutereas dos
retacircngulos inferiores (Si) (destacados de azul) e a soma das aacutereas dos retacircngulos superiores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 77
(Ss) (destacados de vermelho) para um nuacutemero de vinte intervalos iguais nos fornece uma
ideia de que a aacuterea pretendida estaacute compreendida entre 031 e 036 Isso serve como
instrumento empiacuterico para raticar uma armaccedilatildeo (quadratura da paraacutebola) demonstrada
na seccedilatildeo 621 em que foi constatado que a aacuterea da faixa de paraacutebola no intervalo [0 1]
mede 13
Figura 714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito)
Fonte Geogebra
Na mesma linha da anaacutelise anterior poreacutem com maior riqueza de detalhes e
consequecircncias pode analisar o comportamento do ramo positivo de uma hipeacuterbole equi-
laacutetera e da parte pertencente ao primeiro quadrante do graacuteco da funccedilatildeo exponencial
Somente seraacute realizada a anaacutelise do signicado geomeacutetrico da aacuterea de uma faixa de hi-
peacuterbole equilaacutetera Via GeoGebra proponha a construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x
e por meio do comando SomaDeRiemann solicite o caacutelculo de aproximaccedilotildees para a aacuterea
pretendida
Inicialmente proponha o caacutelculo da aacuterea do poliacutegono retangular inscrito e
circunscrito para n = 8 isto eacute pretende-se que o aluno determine uma aproximaccedilatildeo para
o valor da aacuterea da faixa da hipeacuterbole para uma subdivisatildeo de oito retacircngulos de mesmo
comprimento Veja o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo descrita
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 78
Figura 715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8
Fonte Geogebra
Espera-se que o aluno seja capaz de calcular a aacuterea da faixa de hipeacuterbole
denotada por H31 realizando o maior nuacutemero de iteraccedilotildees de subdivisotildees do intervalo
[1 3] Por exemplo ao dividi-la em oito particcedilotildees de mesmo comprimento encontra-se
os valores das abscissas 1 54 64 74 84 94 104 114 e 124 E calculando suas
respectivas imagens tem-se 1 45 46 47 48 49 410 411 e 412 Realizando o
caacutelculo da soma dos retacircngulos inferiores obteacutem-se
S =1
4middot 45+
1
4middot 46+
1
4middot 47+
1
4middot 48+
1
4middot 49+
1
4middot 410
+1
4middot 411
+1
4middot 412
rArr S asymp 1 019
O passo seguinte para o prosseguimento da atividade e para completar o racio-
ciacutenio depende de cada professor poreacutem eacute recomendaacutevel solicitar aos alunos que reproduza
a situaccedilatildeo descrita para outros valores de n por exemplo para n = 10 considerando o
intervalo de 1 ateacute 2 Seguindo esse procedimento espera-se que o aluno consiga calcular a
aacuterea com uma precisatildeo de cerca de 067 Observe o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo mencionada
Nesse momento o professor deve intervir diretamente na atividade inserindo
a deniccedilatildeo geomeacutetrica do logaritmo natural de x como a aacuterea da faixa de Hipeacuterbole de 1
ateacute x ou seja ln x = Aacuterea(Hx1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 79
Figura 716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10
Fonte Geogebra
A partir dessa deniccedilatildeo eacute possiacutevel questionar os alunos sobre a existecircncia de
uma dada abscissa que representaraacute a aacuterea de medida igual a 1 unidade Aleacutem disso pode-
se conjecturar uma boa aproximaccedilatildeo entre nuacutemeros inteiros para o nuacutemero neperiano (e)
de acordo com o estudo exposto acima Enm eacute necessaacuterio orientar os alunos com a
nalidade dos mesmos investigarem a existecircncia de uma aacuterea de uma faixa de hipeacuterbole
variando de 1 ateacute um certo x cuja aacuterea seja unitaacuteria ou equivalentemente procurar o
valor de x tal que ln x = Aacuterea(Hx1 ) = 1 A conclusatildeo obtida pelos alunos deve admitir a
existecircncia dessa abscissa e estimar que o valor procurado pertencente ao intervalo entre
2 e 3 Pode-se demonstrar que o valor de x em questatildeo trata-se do nuacutemero irracional e
cuja melhor aproximaccedilatildeo eacute dada por e = 2 718281828459 Nesse ponto eacute satisfatoacuterio
que o professor faccedila uma reexatildeo comparando o nuacutemero obtido com o nuacutemero de Euler
surgido ao resolver o problema de capitalizaccedilatildeo contiacutenua proposto historicamente pelos
irmatildeos Bernoulli
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 80
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri
O procedimento que seraacute apresentado a seguir consiste basicamente num re-
sumo dos estudos realizados no seacuteculo XVII pelo matemaacutetico Bonaventura Francesco
Cavalieri que recebeu forte inuecircncia dos predecessores Arquimedes Kepler Galileu e
Fermat
Esse grandioso trabalho de Cavalieri foi publicado em 1635 e foi intitulado de
Geometria indivisibilibus O meacutetodo proposto considerava um soacutelido formado pela reuniatildeo
de conjunto innito de planos isto eacute seu princiacutepio dizia que qualquer grandeza (plana ou
soacutelida) pode ser dividida numa quantidade innita de porccedilotildees (lacircminas) com espessura
innitesimal de tal modo que mantenham entre si proporccedilotildees desejadas
Segundo CONTADOR (2012 p 214) [7] um dos princiacutepios norteadores do
meacutetodo de Cavaliere dizia que se dois soacutelidos nos quais qualquer plano secante a eles e
paralelo a um plano dado determina neste soacutelido planos cuja razatildeo eacute constante entatildeo a
razatildeo entre os volumes destes soacutelidos tambeacutem seraacute constante
Observe por meio da utilizaccedilatildeo da linguagem moderna da matemaacutetica como
Cavalieri obteve a aacuterea lateral de um cilindro a aacuterea supercial da esfera e volume do
cone de revoluccedilatildeo a partir da reproduccedilatildeo de ideias publicadas em CONTADOR (2012)
[7]
Inicialmente eacute necessaacuterio considerar um soacutelido qualquer com bases paralelas
de altura h e aacuterea S e de volume (VL) dado por VL = Sh Agora imagine uma superfiacutecie
como uma lacircmina soacutelida em que sua altura h eacute innitamente pequena logo seu volume e
sua aacuterea seratildeo praticamente iguais ou seja S = VL
bull a) Caacutelculo da aacuterea (S) lateral de um cilindro
Eacute notoacuterio e consensual que o procedimento adotado na maioria dos livros di-
daacuteticos (caacutelculo da superfiacutecie lateral do cilindro reto eacute obtido a partir de uma regiatildeo
retangular de altura h e base 2π) possui uma abordagem excelente aos olhos da didaacutetica
e de acordo com a visatildeo criacutetica dos alunos tal procedimento eacute considerado de faacutecil assi-
milaccedilatildeocompreensatildeo contribuindo de modo satisfatoacuterio para o ensinoaprendizagem O
procedimento a ser apresentado tem como proposta o caacutelculo da aacuterea lateral de um cilindro
de altura h e raio da base igual a (r + x) a partir do volume VA do anel ciliacutendrico consi-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 81
derando x como uma espessura innitamente pequena pois a partir dessas consideraccedilotildees
eacute possiacutevel inserir a aplicaccedilatildeo das noccedilotildees de limite de uma maneira construtiva
Figura 717 Anel Ciliacutendrico
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 333
Note que o volume do cilindro interno de raio r e altura h eacute dado por Vi =
πr2h Jaacute o volume do cilindro externo de raio (r + x) e de mesma altura h eacute dado por
Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h
Assim o volume do anel ciliacutendrico seraacute dado por
VA = Ve minus Vi
rArr VA = πh(r2 + 2rx+ x2)minus πr2h
rArr VA = πh(2rx+ x2)
rArr VA = πh2rx+ πhx2
Fazendo a divisatildeo por x tanto do 1o membro quanto do 2o membro igualdade
tem-se
rArr VAx
= πh2r + πhx
Como VA = S middot x rArr S = VAx
e sabendo que x eacute innitamente pequeno segue
que a 2a parcela da soma do 2o membro tambeacutem seraacute tatildeo pequena ao ponto de consideraacute-la
nula
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 82
Assim
rArr VAx
= S = 2πhr
Observe que de fato S eacute aacuterea do retacircngulo de altura h e de base idecircntica ao
comprimento de um circunferecircncia de raio r
bull b) Caacutelculo da aacuterea da esfera (S)
O caacutelculo da aacuterea da superfiacutecie de uma esfera seraacute feito a partir da diferenccedila
entre os volumes das esferas externa e interna cujos raios satildeo (r+h) e r respectivamente
Figura 718 Casca de Esfera
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 337
VCasca = Ve minus Vi
rArr VCasca =4
3π(r + h)3 minus 4
3πr3
rArr VCasca =4
3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)
rArr VCasca =4
3π(3r2h+ 3rh2 + h3)
Utilizando procedimento anaacutelogo isto eacute dividindo ambos os termos por h
tem-se
rArr VCascah
=4
3π(3r2 + 3rh+ h2)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 83
Como VCasca = S middothrArr S = VCasca
he sabendo-se que h eacute innitamente pequeno
segue queVCascah
= S =4
3πr2
bull c) Caacutelculo do volume do cone de revoluccedilatildeo
Antes de deduzir a foacutermula VCone = 13πr2h em que r e h representam o raio e a
altura do cone respectivamente eacute vaacutelido ressaltar que historicamente esse feito eacute creditado
inicialmente a Demoacutecrito (c 410 aC) e sua evoluccedilatildeo posteriormente a Arquimedes que
utilizou brilhantemente seu meacutetodo de equiliacutebrio para conjecturar e o meacutetodo da exaustatildeo
de Eudoxo para provar a validade dessa relaccedilatildeo De acordo com EVES (2004) [11] o
pioneiro no Caacutelculo do volume do cone foi Demoacutecrito
() A chave eacute fornecida por Plutarco ao relatar o dilema a que chegoucerta vez Demoacutecrito quando considerou a possibilidade de um cone serformado de uma innidade de secccedilotildees planas paralelas agrave base Se duassecccedilotildees adjacentes fossem do mesmo tamanho o soacutelido seria um cilindroe natildeo um cone Se por outro lado duas secccedilotildees adjacentes tivessem aacutereasdiferentes a superfiacutecie do soacutelido seria formada de uma seacuterie de degrauso que certamente natildeo se verica Nesse caso se assumiu que o volumedo cone pode ser subdividido indenidamente (ou seja numa innidadede secccedilotildees planas atocircmicas) mas que o conjunto dessas secccedilotildees eacute contaacute-vel no sentido de que dada uma delas haacute uma outra que lhe eacute vizinhasuposiccedilatildeo que se situa ateacute certo ponto entre as duas jaacute consideradassobre a divisibilidade de grandezas Demoacutecrito pode ter argumentadoque se duas piracircmides de bases equivalentes e alturas iguais satildeo seccio-nadas por planos paralelos agraves bases vericando-se a divisatildeo das alturasnuma mesma razatildeo entatildeo as secccedilotildees correspondentes assim formadas satildeoequivalentes Portanto as piracircmides conteacutem o mesmo nuacutemero innito desecccedilotildees planas equivalentes o que implica que seus volumes devem seriguais Tem-se aiacute o que seria um exemplo primitivo do chamado meacutetododos indivisiacuteveis de Cavalieri () (EVES [11] 2004 p 420)
Considere o cone de diacircmetro da base AB = 2r e altura H composto pela
junccedilatildeo de n cilindros de raios variando de 0 agrave r e de altura h extremamente pequena tal
que h = Hn
Considere um desses cilindros ideais de ordem k a partir do veacutertice C e raio r1
de tal maneira que o cone que dividido em duas partes Note que eacute possiacutevel por meio da
semelhanccedila de triacircngulos relacionar rr1 H e H1 de tal modo que seja dado em funccedilatildeo
de r k e nr
r1=
H
H1
rArr r
r1=
HkHn
rArr r1 =rk
n
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 84
Figura 719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 339
O volume do cilindro de ordem k seraacute dado por
VCilindro = πr21h
rArr VCilindro = πr2k2
n2
H
n
rArr VCilindro = πr2H1
n3k2
Assim o volume do cone seraacute dado pelo somatoacuterio de todos os cilindros ideais
com k variando de 1 a n
VCone = πr2H1
n312 + πr2H
1
n322 + πr2H
1
n332 + πr2H
1
n342 + middot middot middot+ πr2H
1
n3n2
= πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
Sabe-se que 12+22+32+42+ middot middot middot+n2 = n3
3+ n2
2+ n
6 A validade dessa relaccedilatildeo
pode ser obtida pelo Princiacutepio da Induccedilatildeo Matemaacutetica ou a partir do desenvolvimento do
binocircmio (1 + k)3 = 1+ 3k + 3k2 + k3 variando k de 0 a n e adicionando as igualdades de
ambos os membros (vide em CONTADOR (2012) [8]) Embora essa abstraccedilatildeo algeacutebrica
seja possiacutevel de ser aplicada aos alunos do Ensino Meacutedio a demonstraccedilatildeo geomeacutetrica
consiste num procedimento mais construtivo e de faacutecil assimilaccedilatildeo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 85
Inicialmente faremos a apresentaccedilatildeo da prova geomeacutetrica para a soma dos
nuacutemeros inteiros de 1 a n isto eacute S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n = n(n+1)2
dado que a mesma
seraacute necessaacuteria para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo 12+22+32+42+
middot middot middot+ n2 = n3
3+ n2
2+ n
6= n(n+1)(2n+1)
6()
Antes de generalizar os casos eacute imprescindiacutevel realizar os caacutelculos para um
caso particular por exemplo n = 6 com o intuito de motivar e aguccedilar a curiosidade
dos alunos Aleacutem de contribuir de maneira satisfatoacuteria para a formaccedilatildeo da conjectura dos
alunos
A gura seguinte ilustra a soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) em que a coluna i eacute
composta por i quadrados
Figura 720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Fonte Geogebra
Ao girar a gura anterior e encaixaacute-la tem-se um retacircngulo de base 6 e altura
7 conforme ilustra a imagem seguinte
Note que a medida da aacuterea do retacircngulo construiacutedo eacute dada por 6 middot7 = 6 middot(6+1)
A partir daiacute eacute possiacutevel concluir que a soma (1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6) pretendida
representa a metade do retacircngulo construiacutedo isto eacute
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)
2
Para generalizar o procedimento eacute necessaacuterio construir um retacircngulo de base
n e altura (n + 1) a partir das n colunas que representam geometricamente a soma S =
1 + 2 + 3 + middot middot middot + n A aacuterea (A) do retacircngulo construiacutedo seraacute dada por A = n middot (n + 1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 86
Figura 721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7
Fonte Geogebra
De forma anaacuteloga a soma desejada (S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n) representa a metade do
retacircngulo n(n+ 1) isto eacute
S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot+ n =n(n+ 1)
2
Enm para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo () faz-se ne-
cessaacuterio implementar ideias semelhantes com as devidas ressalvas
Repetindo o procedimento realizado para um caso particular da soma dos 6
primeiros quadrados perfeitos (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)
As guras a seguir sugerem uma visatildeo geomeacutetrica do procedimento detalhado
Note que para realizar o preenchimento eacute preciso acrescentar um quadrado na 2a linha
um quadrado e um retacircngulo (2x1) na 3a linha um quadrado um retacircngulo (2x1) e
retacircngulo (3x1) na 4a linha assim por diante
Logo a aacuterea (A) do retacircngulo (ABCD) cuja base mede b = (1+2+3+4+5+6)
e cuja altura mde 6 unidades eacute dada por A = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) middot 6
Equivalentemente tal aacuterea pode ser calculada a partir da soma das aacutereas que
compotildee o retacircngulo (ABCD) isto eacute
A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]
rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1
(1 + i)i
2]
Portanto tem-se
1+22+32+42+52+62 = (1+2+3+4+5+6)middot6minus[5sumi=1
(1 + i)i
2] = (
6(6 + 1)
2)middot6minus1
2middot[5sumi=1
i+5sumi=1
i2])
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 87
Figura 722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
Fonte Geogebra
Figura 723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
Fonte Geogebra
Daiacute segue que
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot5sumi=1
iminus 1
2middot5sumi=1
i2
rArr6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot5sumi=1
i2
Ainda eacute possiacutevel manipular a referida expressatildeo com o intuito de melhorar a
visualizaccedilatildeo
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot ([
6sumi=1
i2]minus 62)
rArr6sumi=1
i2 +1
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 88
rArr 3
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =62 + 6
2minus 62 minus 6
2+
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)
4
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
4
rArr6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
6
Generalizando o procedimento ou seja representando geometricamente a soma
dos quadrados (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + middot middot middot + n2) de 1 ateacute n e em seguida completando a
gura ateacute que se forme um retacircngulo de base (1+2+3+4+5+ middot+n) e altura n tem-se
6sumi=1
i2 = 1 + 22 + 32 + middot middot middot+ n2 =n(2 middot n+ 1)(n+ 1)
6
Assim dispondo da relaccedilatildeo que representa a soma dos quadrados segue que
VCone = πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
= πr2H1
n3
(n3
3+n2
2+n
6
)= πr2H
(1
3+
1
2n+
1
6n2
)
Como n tende ao innito segue que as fraccedilotildees que conteacutem denominador composto por n
poderatildeo ser desprezadas dado que tenderatildeo a zero Isto eacute o volume do cone seraacute dado
por
VCone =1
3πr2H
Recomenda-se que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada na 2a e 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
Acredita-se que em cinco aulas haacute tempo suciente para complementar todo o aparato de
discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Espacial
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse
Dispondo dos meacutetodos de quadratura do ciacuterculo realizados por Arquimedes
dos conceitos baacutesicos de Geometria Analiacutetica difundida por Descartes e Fermat e aleacutem
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 89
disso dos princiacutepios de Cavalieri eacute possiacutevel aplicar tais ideias para ampliar o estudo de
cocircnica deduzindo a foacutermula para o caacutelculo da aacuterea de uma elipse isto eacute descobrir a
relaccedilatildeo de proporccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo para a elipse de eixo maior igual ao diacircmetro do
ciacuterculo formalizada por Johannes Kepler
Figura 724 Elipse inscrita numa circunferecircncia
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p339
Considere o semi-ciacuterculo de raio r = a e a semi-elipse de semi-eixos positivos
a e b com a gt b A partir dessa convenccedilatildeo eacute possiacutevel descrever as equaccedilotildees reduzidas do
ciacuterculo e da elipse
x2 + y2 = a2 ex2
a2+y2
b2= 1
Escrevendo y em funccedilatildeo de x e tomando o 1o quadrante por simetria am de
que ambos os radicandos sejam positivos tem-se
y =radica2 minus x2
eyprime2
b2= 1minus x2
a2rArrradicb2 minus x2 b
2
a2
rArr yprime =
radicb2(1minus x2
a2
)
=
radicb2(a2 minus x2a2
)=b
a
radica2 minus x2
Ou seja yprime = bay (a razatildeo entre duas cordas verticais correspondentes da elipse
e do ciacuterculo eacute ba)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 90
Note que apesar de adotar a variaacutevel y em cada funccedilatildeo y e yprime satildeo diferentes
isto eacute representam para cada abscissa x ordenadas com valores distintos
Se as ordenadas do ciacuterculo e elipse y e yprime respectivamente guardam entre si a
relaccedilatildeo ba segue que suas aacutereas vatildeo manter a mesma razatildeo Essa armaccedilatildeo eacute garantida
pelo primeiro princiacutepio de Cavalieri em que EVES (2004 p426) [11] destaca Se duas
porccedilotildees planas satildeo tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina
nas porccedilotildees segmentos de reta cuja razatildeo eacute constante entatildeo a razatildeo entre as aacutereas dessas
porccedilotildees eacute a mesma constante Em linguagem moderna temos
Area da elipse
Area do circulo=b
a
rArr Area da elipse =b
aArea do circulo
rArr Area da elipse =b
aπa2 = πab
Eacute vaacutelido ressaltar que a ideia acima pode ser estendida para comparar dois
soacutelidos (segundo princiacutepio de Cavalieri) e por meio dela pode-se deduzir a foacutermula para o
caacutelculo do volume da esfera
Eacute recomendaacutevel que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada durante a 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
A quantidade de aulas sucientes para expor tais ideias variaraacute de acordo com a proposta
do professor mas acredita-se que cinco aulas satildeo bastantes para complementar todo o
aparato de discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Analiacutetica e de Cocircnicas
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva
Ao analisar uma grandeza cuja variaccedilatildeo eacute tomada como constante em subin-
tervalos isto eacute como se a funccedilatildeo tivesse variaccedilatildeo de degrau em degrau e natildeo de forma
continuada haacute uma abordagem de forma impliacutecita das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
elementares de integral
Primeiramente o trabalho estaraacute focado no caso em que a funccedilatildeo eacute constante
em todo o intervalo positivo considerado Suponha que o interesse principal seja o caacutelculo
da aacuterea sob o graacuteco no intervalo considerado Nesse caso o problema se resume em medir
a aacuterea de um retacircngulo cuja base coincide com a variaccedilatildeo do intervalo considerado e a
altura corresponde ao valor xo e constante da funccedilatildeo xada
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 91
Nessa mesma tocircnica veja um exemplo graacuteco de uma funccedilatildeo constante (f(x) =
3x) via GeoGebra com poliacutegono regular inscrito para n = 100
Figura 725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante
Fonte GeoGebra
Figura 726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer
Fonte GeoGebra
A gura anterior representa o caso de uma grandeza positiva e natildeo constante
cuja variaccedilatildeo seja contiacutenua ao longo do intervalo considerado Nesse caso para calcular a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 92
aacuterea sob o graacuteco eacute preciso analisar o problema fragmentando o intervalo contiacutenuo em um
nuacutemero consideraacutevel de partes (degraus) com o intuito de que a grandeza seja analisada
como se fosse praticamente constante em cada subintervalo isto eacute a aacuterea solicitada eacute
obtida adicionando as aacutereas dos inuacutemeros retacircngulos inseridos no intervalo considerado
A gura a seguir ilustra o graacuteco de uma funccedilatildeo qualquer feita a matildeo livre via GeoGebra
com poliacutegono retangular inscrito com n = 10
Esse procedimento descrito acima eacute comum e rotineiro em diversas situaccedilotildees
cotidianas A estrateacutegia de resoluccedilatildeo eacute similar na maioria dos casos e consiste em racio-
cinar a funccedilatildeo dado como se fosse constante em pequenos trechos Tal fenocircmeno jaacute era
realizado desde o seacuteculo III aC por Arquimedes com auxiacutelio do meacutetodo da exaustatildeo Um
exemplo praacutetico motivacional e de faacutecil entendimento eacute a explicaccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo
como uma aproximaccedilatildeo via aacuterea de poliacutegonos regulares inscritos com nuacutemero de lados
em escala crescente e tendendo ao innito Observe a imagem abaixo que foi produzida
no software de geometria dinacircmica GeoGebra Note que haacute um controle deslizante res-
ponsaacutevel por determinar o nuacutemero de lados do poliacutegono regular inscrito Na imagem a
seguir o cursor do controle deslizante foi posicionado em N = 11 isto eacute fez-se surgir o
undecaacutegono regular inscrito Jaacute a gura ao lado estaacute representando o hectaacutegono regular
(poliacutegono regular de 100 lados) inscrito e construiacutedo tambeacutem via GeoGebra
Figura 727 Quadratura do ciacuterculo
para n = 11
Figura 728 Quadratura do ciacuterculo
para n = 100
Tomando uma funccedilatildeo contiacutenua y = f(x) qualquer preferencialmente natildeo
constante denida no intervalo positivo [a b] e supondo que a meta seja o caacutelculo da aacuterea
sob o graacuteco contido no 1o quadrante faz-se necessaacuterio uma subdivisatildeo do intervalo [a b]
em numerosos subintervalos praticamente constantes am de determinar a aacuterea sob o
graacuteco como uma aproximaccedilatildeo pela soma de todos os retacircngulos obtidos ao particionar o
intervalo [a b] Isto eacute considerando n subintervalos de comprimentos x1 x2 x3 middot middot middot xn e
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 93
cujas imagens (alturas dos retacircngulos) sejam y1 y2 y3 middot middot middot yn respectivamente e supostos
constantes em cada subintervalo tem-se uma aproximaccedilatildeo para a aacuterea S sob o graacuteco da
curva dada
S sim= x1y1 + x2x2 + x3y3 + middot middot middot+ xnyn
Note que aumentando o valor de n e reduzindo o comprimento dos subinter-
valos a aproximaccedilatildeo ca melhorada ou seja o valor real da aacuterea sob o graacuteco torna-se
muito proacuteximo da aproximaccedilatildeo considerada via soma de retacircngulos Eacute oacutebvio que ten-
dendo o valor de n para um nuacutemero innito de subdivisotildees sucessivas com as ressalvas
necessaacuterias de reduccedilatildeo dos comprimentos dos subintervalos a soma das innitas aacutereas dos
retacircngulos pertencentes aos trechos particionados tenderaacute para o valor real da aacuterea sob
o graacuteco da funccedilatildeo considerada Tal nuacutemero eacute conhecido como integral denida
Eacute vaacutelido ressaltar que o procedimento exibido acima pode ser contextualizado
aplicado e inserido de forma interdisciplinar com a disciplina de Fiacutesica ao calcular a
distacircncia d percorrida por um moacutevel com velocidade v(t) no intervalo de tempo [a b] ou
entatildeo no caacutelculo do trabalho T realizado por uma forccedila de direccedilatildeo constante e intensidade
f(x) no deslocamento de x de a ateacute b Tambeacutem eacute possiacutevel aplicar o estudo descrito para
calcular o volume de uma trombeta (soacutelido obtido pela rotaccedilatildeo do graacuteco particular
y = f(x) em torno do eixo x com a le x le b e f(x) ge 0) via cascas ciliacutendricas poreacutem essa
atividade pode ser encontrada nos livros de Caacutelculo citados anterioremente e seraacute deixada
como atividade suplementar pois foge ao escopo desse trabalho
Para raticar o estudo exibido propotildee-se um exerciacutecio que pode ser resolvido
passo a passo conforme etapas descritas a seguir
Exerciacutecio Calcule um valor aproximado para a aacuterea sob o graacuteco de f(x) =
100minus x2 no intervalo [0 10]
Atividade a ser desenvolvida no laboratoacuterio de informaacutetica com computadores
compostos por softwares de geometria dinacircmica (especialmente o GeoGebra) Aleacutem disso
eacute recomendaacutevel o uso de calculadora cientiacuteca ou de algum software de planilha (por
exemplo Excel ou CALC)
1o passo Utilize o GeoGebra para plotar o graacuteco da funccedilatildeo com as restriccedilotildees
discriminadas no enunciado
2o passo Inicialmente proponha uma subdivisatildeo do intervalo [0 10] em 5 su-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 94
bintervalos de comprimento igual a 2 Note que em cada subintervalo eacute preciso supor
f(x) constante e de valor correspondente ao ponto meacutedio do subintervalo
3o passo Calcule os valores de f(1) f(3) f(5) f(7) e f(9) Nesse momento
questione os alunos sobre o que essas imagens representam
4o passo Utilize a calculadora cientiacuteca ou uma planilha eletrocircnica para adi-
cionar a aacuterea dos cinco retacircngulos contidos nos subintervalos determinados A soma (S5)
eacute uma aproximaccedilatildeo para o valor da aacuterea sob o graacuteco da funccedilatildeo dada isto eacute eacute uma
estimativa para o valor da integral denida
5o passo Questione os alunos sobre o que aconteceraacute com a estimativaaproximaccedilatildeo
caso fosse uma nova subdivisatildeo em dez subintervalos de comprimento igual a 1 Oriente
os mesmos a realizarem tal experimento
6o passo Maximize o grau de abstraccedilatildeo da atividade supondo uma subdivisatildeo
do intervalo dado em n subintervalos de comprimento igual a 10n Solicite aos alunos que
calculem a nova aproximaccedilatildeo em funccedilatildeo de n fornecendo uma expressatildeo geral e ao nal
dessa tarefa questione os alunos sobre o que aconteceraacute com tal expressatildeo caso o valor de
n seja tendido ao innito
7o passo Revise todas as etapas melhorando a linguagem de forma gradual
e introduzindo uma simbologia de maneira a facilitar a escrita por exemplo insira a
notaccedilatildeo de somatoacuterios Caso observe a maturidade e a compreensatildeo dos conceitos de
maneira satisfatoacuteria por parte dos alunos insira a notaccedilatildeo moderna de limite junto aos
siacutembolos de somatoacuterios Aleacutem disso tambeacutem pode introduzir a simbologia de integrais
A expectativa dessa atividade eacute que a maioria dos alunos construa o graacuteco
no GeoGebra conforme as guras ilustrativas a seguir e que aproxime ao maacuteximo da aacuterea
sob o graacuteco via Soma de Riemann
Note que o aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees de cinco para dez fez com que a
aproximaccedilatildeo da aacuterea do poliacutegono retangular inferior melhorasse de 560 para 615 unidades
de aacuterea E mais aumentando o nuacutemero de interaccedilotildees de 10 para 100 fez com que a
aproximaccedilatildeo via aacuterea do poliacutegono retangular superior melhorasse de 715 para 67165
Tal realizaccedilatildeo conduz a seguinte conclusatildeo a aacuterea procurada eacute um nuacutemero entre 615
e 67165 Utilizando as ideias de Arquimedes sobre quadratura da paraacutebola eacute possiacutevel
constatar que a aacuterea desse segmento paraboacutelico (Asp) eacute dada por 43da aacuterea do triacircngulo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 95
inscrito de base medindo 10 unidades e altura medindo 100 unidades isto eacute Asp = 43de
10middot1002
= 20003
= 666 6
Figura 729 Poliacutegono Retangular
para n = 5
Figura 730 Poliacutegono Retangular
para n = 10
Figura 731 Poliacutegono Retangular
inscrito
Figura 732 Poliacutegono Retangular
circunscrito
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 96
Observe que a Figura 732 representa uma imagem ilustrativa de um poliacutegono
retangular superior em que eacute possiacutevel vericar que a aacuterea estaacute bem proacutexima do valor real
exibido anteriormente Note ainda que a medida que aumentamos o valor do cursor (n)
o poliacutegono retangular inscrito aproximasse cada vez mais da aacuterea da faixa de paraacutebola
pretendida (vide gura 731)
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica
O estudo de funccedilatildeo decorre da necessidade de analisar fenocircmenos descrever
regularidades interpretar interdependecircncias e generalizar Eacute preciso ter em mente que o
termo funccedilatildeo eacute mais abrangente e complexo do que a deniccedilatildeo apresentada ou seja eacute
necessaacuterio mostrar ao aluno que esse toacutepico usado de forma sistemaacutetica em exatas e no
seu cotidiano eacute de suma importacircncia para o meio social pois vaacuterias relaccedilotildees de mercado
e capital engenharia economia (micro e macro) sauacutede transportes induacutestrias artes
energia enm uma diversidade de aacutereas dependem de uma anaacutelise clara e objetiva da
funcionalidade de um modelo ou paracircmetro a ser adotado
Os casos em que haacute o emprego das noccedilotildees elementares no estudo de Fiacutesica
durante a etapa do ensino meacutedio satildeo frequentes e corriqueiros Observe os casos em que
eacute possiacutevel explorar tais ideias durante o ensino meacutedio
No 1o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Velocidade x Tempo (Deslocamento)
bull graacuteco de Aceleraccedilatildeo x Tempo (Velocidade)
bull graacuteco de Forccedila x Distacircncia (Trabalho)
bull graacuteco de Forccedila x tempo (Impulso)
No 2o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Trabalho realizado por um gaacutes ideal)
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Transformaccedilatildeo isoteacutermica)
bull graacuteco de calor especiacuteco x variaccedilatildeo de temperatura (Quantidade de Calor)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 97
No 3o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Corrente x Tempo (Carga)
bull graacuteco de Campo eleacutetrico x distacircncia (Forccedila eleacutetrica)
bull graacuteco de Resistecircncia x corrente (Tensatildeo)
Eacute possiacutevel citar outros casos mais especiacutecos poreacutem fogem ao escopo desse
material A seguir seraacute apresentado um estudo de catildeo referente ao caacutelculo da aacuterea sob o
graacuteco de uma dada relaccedilatildeo entre duas grandezas
A riqueza de tal estudo que eacute uma aplicaccedilatildeo baacutesica do caacutelculo integral vai
ao encontro dos ideais de interdisciplinaridade e contextualizaccedilatildeo defendidos pelos Paracirc-
metros Curriculares Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) [20] e pela Lei de Diretrizes e
Bases da Educaccedilatildeo (LDB) [30]
Os PCNEM (2002) [21] foram formulados a partir da discussatildeo entre especi-
alistas e educadores pertencentes aos domiacutenios do territoacuterio nacional Sua nalidade eacute
bastante abrangente dado que se pretende dar suporte as equipes escolares na execuccedilatildeo
de seus trabalhos com o intuito de promover o aperfeiccediloamento da praacutetica educativa por
meio de estiacutemulo e apoio agrave reexatildeo sobre a praacutetica diaacuteria ao planejamento de aulas e
ao desenvolvimento do curriacuteculo da escola de maneira a construir um processo contiacutenuo
de ensinoaprendizagem e a contribuir satisfatoriamente para a atualizaccedilatildeo prossional e
para a integraccedilatildeo ao mundo contemporacircneo nas dimensotildees fundamentais da cidadania e
do trabalho
Nesse iacutenterim que foca numa aprendizagem de formaccedilatildeo geral em que se pri-
oriza a aquisiccedilatildeo de conhecimentos a preparaccedilatildeo cientiacuteca e a capacidade de utilizar as
diferentes tecnologias relativas agraves aacutereas de atuaccedilatildeo a pretensatildeo dessa sequencia didaacutetico
tem a nalidade de contribuir para a transformaccedilatildeo do ensino meacutedio assim como formar
alunos capazes de buscar analisar e selecionar informaccedilotildees de modo criacutetico em detrimento
do ensino focado nos processos de memorizaccedilatildeo
A integraccedilatildeo e o uso da Matemaacutetica para justicar fatos da Fiacutesica sempre
foram e seratildeo mecanismos favoraacuteveis para o desenvolvimento da ciecircncia e da tecnologia
Eacute vaacutelido ressaltar que para propagar tais ideias eacute necessaacuterio discutircomentar
alguns preacute-requisitos matemaacuteticos e fiacutesicos de acordo com a seacuterie em que haacute pretensatildeo a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 98
aplicar a referida teacutecnica Eacute de suma importacircncia que o aluno saiba e domine os conceitos
de funccedilatildeo uacuteteis na construccedilatildeo do esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo proposta Assim a primeira
etapa de todo o processo consiste numa revisatildeo de toacutepicos de funccedilatildeo (1o grau 2o grau
exponencial logariacutetmica trigonomeacutetrica hipeacuterbole equilaacutetera etc) de acordo com o
enfoque que o professor trabalharaacute
Por exemplo caso o professor esteja interessado apenas em aplicar os conceitos
de limite agraves funccedilotildees do 1o grau cujos graacutecos seratildeo guras planas poligonais natildeo haacute
necessidade de explanar as demais funccedilotildees Jaacute o educador que pretende estudar tais
fenocircmenos que desembocam em graacutecos paraboacutelicos eacute preciso discutir com os alunos
toacutepicos relacionados ao estudo das funccedilotildees quadraacuteticas e suas relaccedilotildees graacutecas com o
estudo da paraacutebola Nos outros casos recomenda-se prosseguir com raciociacutenio anaacutelogo
O nuacutemero de aulas previstas de revisatildeo dependeraacute do niacutevel da turma em que se pretende
aplicar o trabalho
Aleacutem disso eacute preciso utilizar o laboratoacuterio de informaacutetica como recurso suple-
mentar para o ensino e manejo do software de geometria dinacircmica GeoGebra Em geral
de duas a quatro aulas satildeo sucientes para aprender a usar de forma baacutesica desde que haja
planejamento de atividades e interesse por parte discente e docente no aprimoramento da
utilizaccedilatildeo
Apoacutes o domiacutenio das ferramentas baacutesicas do GeoGebra eacute hora de propor a
plotagemconstruccedilatildeo de graacutecos Eacute recomendaacutevel que o professor inicie seu trabalho a
partir de uma situaccedilatildeo problema que empregaraacute conceitos de funccedilatildeo do 1o grau e que
implicaraacute na utilizaccedilatildeo dos conceitos fiacutesicos de acordo com a seacuterie momentacircnea Forneccedila
os dados via tabela via texto ou via foacutermula Solicite a interpretaccedilatildeo da funccedilatildeo com
questionamentos Quem eacute a variaacutevel dependente e a independente Como representamos
tal situaccedilatildeo gracamente O que representa o produto das variaacuteveis Etc
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea
Para compreender o signicado de velocidade instantacircnea de um moacutevel em
movimento faz-se necessaacuterio compreender o conceito de taxa de variaccedilatildeo
Considere que x = f(t) seja equaccedilatildeo que descreve o movimento do moacutevel
(funccedilatildeo horaacuteria do moacutevel) A velocidade meacutedia (vm) de um moacutevel entre os instantes t1
e t2 = t1 +4t eacute denida como a razatildeo entre variaccedilatildeo do espaccedilo percorrido pelo tempo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 99
gasto para executar tal deslocamento
vm =4S4t
=s2 minus s1t2 minus t1
=f(t2)minus f(t1)(t1 +4t)minus t1
=f(t1 +4t)minus f(t1)
4t
Tomando 4trarr 0 tem-se que vm tende para a velocidade instantacircnea isto eacute
vinstatanea = lim4trarr0
f(t1 +4t)minus f(t1)4t
A razatildeo f(t1+4t)minusf(t1)4t eacute denominada de Quociente de Newton Esse quociente eacute
bastante corriqueiro em problemas de Matemaacutetica (problemas de tangecircncia a curvas) Fiacute-
sica (velocidade instantacircnea aceleraccedilatildeo instantacircnea etc) Quiacutemica (quociente de reaccedilotildees
quiacutemicas) e Economia (problemas de custo marginal) No estudo de caacutelculo esse conceito
receberaacute o nome de derivada de uma funccedilatildeo em um dado ponto ou ainda representa
geometricamente a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacuteco no ponto (t f(t))
Nesse momento seria interessante propor atividades de cunho experimental
com carrinhos de exatildeo ou com problemas de queda livre Nessa tarefa aleacutem de realizar
anotaccedilotildees acerca de deslocamentos e tempos decorridos eacute interessante solicitar a cons-
truccedilatildeo de um esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo e propor questionamentos aos alunos acerca da
aacuterea sob o graacuteco da curva obtida ao traccedilar o graacuteco
Situaccedilatildeo Problema Caacutelculo da distacircncia d percorrida por um moacutevel com ve-
locidade v(t) no intervalo de tempo [a b]
1o caso Se a velocidade v(t) for constante e igual a v segue que
d = vt = v(bminus a)
2o caso Se a velocidade v(t) natildeo for constante em [a b] entatildeo eacute possiacutevel
adotar uma subdivisatildeo desse intervalo em n particcedilotildees de mesmo comprimento e supor
que a velocidade seja constante em cada subintervalo Isto eacute adotando t1 t2 t3 t4 middot middot middot tncomo comprimento desses subintervalos tem-se
d sim= v1t1 + v2t2 + v3t3 + middot middot middot+ vntn
Observe a situaccedilatildeo ilustrativa de aplicaccedilatildeo das ideias difundidas acima por
meio da anaacutelise da tabela que fornece a velocidade de um corpo que se desloca com
movimento retiliacuteneo em diversos instantes
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 100
Tabela 74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo
t(segundos) 0 1 2 3 4 5
v (ms) 2 5 8 11 14 17
Figura 733 Trapeacutezio retacircngulo
Fonte GeoGebra
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle
Um gaacutes sofre transformaccedilatildeo isoteacutermica quando haacute variaccedilatildeo da sua pressatildeo e do
seu volume sem que haja variaccedilatildeo de sua temperatura isto eacute a temperatura permanece
constante Daiacute se explica o nome da transformaccedilatildeo que eacute uma fusatildeo do prexo iso (do
grego iso = igual) com a palavra thermo (do grego thermo = calor)
Segundo a Lei de Boyle-Mariotte a pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo
inversamente proporcionais ou seja aumentando a pressatildeo o volume de gaacutes diminui
Um exemplo simples praacutetico e presente diariamente em nosso dia-a-dia eacute o
ecircmbolo de uma seringa Como a Pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo inversamente
proporcionais segue que PV = k Observe a situaccedilatildeo hipoteacutetica tabulada e a construccedilatildeo
do graacuteco a partir de tais dados Daiacute decorre que os pontos da curva geram de fato uma
hipeacuterbole Isto eacute por intermeacutedio da construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo (hipeacuterbole) y = 54x
eacute possiacutevel conjecturar um valor para o trabalho realizado no intervalo [3 24] O eixo das
abscissas conteacutem os valores do volume enquanto o eixo das ordenadas conteacutem os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 101
da pressatildeo do referido gaacutes em estudo
Tabela 75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio
Pressatildeo (atm) Volume (ml) Produto (P middotV )
3 18 54
6 9 54
12 45 54
18 3 54
24 225 54
Note que a aproximaccedilatildeo via poliacutegonos retangulares inferiores quanto a aproxi-
maccedilatildeo via poliacutegonos retangulares superiores estaacute tendendo para um nuacutemero entre 11212
e 11246 unidades de aacuterea Como a aacuterea em questatildeo representa o trabalho realizado pelo
gaacutes e conforme jaacute foi provada a referida aacuterea pode ser obtida a partir de uma subtraccedilatildeo
entre os logaritmos naturais das abscissas do intervalo [3 24] segue que o trabalho (T )
realizado seraacute dado por T = 54(ln 24minus ln 3) sim= 112 289
Figura 734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000
Fonte GeoGebra
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada
Eacute consenso entre os estudiosos do assunto de que a introduccedilatildeo do estudo de
derivadas deve ser realizada por meio de suas aplicaccedilotildees como por exemplo ao introduzir
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 102
conceitos de pressatildeo densidade da massa densidade da carga eleacutetrica e em problemas de
tangecircncia em determinados pontos de uma curva
Vaacuterios artigos da RPM jaacute mencionaram a importacircncia desse estudo e defen-
deram de forma ferrenha e de acordo com histoacuteria o estudo das derivadas Dentre os
inuacutemeros artigos que citam diretaindiretamente o ensino de derivadas merece destaque
os artigos de AacuteVILA (1991) [1] nas revistas de nuacutemero 18 23 e 60 e o artigo dos professores
WAGNER e CARNEIRO (2004) [32] na revista de nuacutemero 53
Analisando o artigo mais recente da RPM de nuacutemero 60 sobre o tema cuja
autoria eacute exclusiva do professor AacuteVILA (2006) [2] eacute possiacutevel vericar a possibilidade de
aplicaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular do estudo inicial de derivadas
no Ensino Meacutedio Nesse artigo o autor critica as abordagens feitas pelos livros didaacuteticos
e propotildee uma abordagem segundo a utilizaccedilatildeo de ferramentas do Caacutelculo diferencial e
integral com o intuito de promover um ensino baacutesico de forma ampla contextualizada e
harmocircnica com outras aacutereas do conhecimento
A princiacutepio AacuteVILA [2] apresenta o estudo das coordenadas do veacutertice de uma
paraacutebola conforme a maioria dos livros didaacuteticos nos apresenta isto eacute um amontoado de
proposiccedilotildees e foacutermulas sem justicativas e aceitas via decoreba sem demonstraccedilatildeo formal
ou intuitiva Um verdadeiro disparate dado que haacute uma desvinculaccedilatildeo entre deniccedilatildeo
do veacutertice e a funccedilatildeo propriamente dita cujo graacuteco eacute uma paraacutebola Segundo SANTOS
(2006) [24]
a deniccedilatildeo mais natural e contextualizada seria a de que o veacutertice daparaacutebola eacute o ponto que representa o extremo (maacuteximo ou miacutenimo) dafunccedilatildeo quadraacutetica sendo a abscissa o ponto onde esse extremo eacute atingidoe a ordenada o valor extremo assumido Dessa forma ao considerar umafunccedilatildeo quadraacutetica como um modelo matemaacutetico ca clara a importacircnciade se obter o veacutertice da paraacutebola ao interpretaacute-lo como o extremo dafunccedilatildeo (SANTOS [24] 2006 p4)
Eacute importante salientar que segundo AacuteVILA (2006) [2] para seguir os proacuteximos
passos propostos na RPM de nuacutemero 60 faz-se necessaacuterio uma abordagem inicial do estudo
de derivadas conforme a maior parte dos livros didaacuteticos de Caacutelculo apresenta em que o
limite das inclinaccedilotildees das retas secantes ao graacuteco de uma paraacutebola (y = ax2 + bx + c)
tende para (2ax+ b) A apresentaccedilatildeo desse estudo eacute feita posteriormente com auxiacutelio do
GeoGebra Caso natildeo seja suciente a atividade proposta eacute recomendado realizar uma
leitura criacutetica e minuciosa da exposiccedilatildeo desse assunto em STEWART (2006) [37]
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 103
A partir desses preacute-requisitos eacute possiacutevel introduzir as noccedilotildees elementares de
derivada difundidas no presente artigo Nele haacute uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica da derivada
relacionada ao coeciente angular da reta tangente ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica em
cada ponto descartando a anaacutelise via zeros da funccedilatildeo Como a inclinaccedilatildeo da reta tangente
no veacutertice da paraacutebola possui valor nulo uma vez que a reta tangente eacute horizontal segue
que a derivada da funccedilatildeo (f(x) = ax2+ bx+ c) no ponto que conteacutem a abscissa do veacutertice
eacute igual a zero isto eacute
f prime(x) = 0hArr 2axv + b = 0hArr minusb2a
Jaacute a ordenada yv pode ser obtida como a imagem da abscissa ou seja substituindo o
valor da abscissa do veacutertice na funccedilatildeo quadraacutetica
Nesse mesmo artigo AacuteVILA (2006) [2] cita uma aplicaccedilatildeo da derivada segunda
para uma anaacutelise da concavidade da paraacutebola e aleacutem disso tambeacutem faz uma citaccedilatildeo de
referecircncia a uma aplicaccedilatildeo da derivada como taxa de variaccedilatildeo no estudo de Mecacircnica na
Fiacutesica A explanaccedilatildeo com riqueza de detalhes caraacute a cargo do leitor pois assim evita-se
uma fuga demasiada do escopo da discussatildeo desse trabalho de dissertaccedilatildeo
Veja o esboccedilo da situaccedilatildeo descrita acima
Figura 735 Reta tangente a uma dada paraacutebola
Fonte RPM [2] n60
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 104
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada
Conforme a maioria dos livros didaacuteticos de caacutelculo propotildee recomenda-se que a
introduccedilatildeo do estudo de derivadas seja realizada a partir da situaccedilatildeo problema de traccedilar
a reta tangente a uma curva num determinado ponto
Se a gura curviliacutenea for uma circunferecircncia basta encontrar a reta que toca
a circunferecircncia em um uacutenico ponto Mas essa noccedilatildeo natildeo pode ser estendida como caso
geral pois haacute diversos exemplos de curvas qualquer em que uma dada reta intercepta
somente em um ponto e tal reta natildeo representa a reta tangente Por exemplo se a
referida curva fosse uma paraacutebola eacute oacutebvio que a reta vertical que representa o eixo da
paraacutebola intercepta a curva somente em seu veacutertice e tal reta natildeo representa uma reta
tangente da paraacutebola Sendo assim faz-se necessaacuterio criar uma deniccedilatildeo geral capaz de
ser utilizada em qualquer graacuteco curviliacuteneo
Para isso eacute necessaacuterio partir de uma situaccedilatildeo concreta por exemplo esco-
lhendo o graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Considere dois pontos nessa curva
P = (a f(a)) e Q = (a+h f(a+h)) A proposta exibida abaixo eacute referente a uma anaacutelise
da inclinaccedilatildeo das retas secantes quando Q se aproxima de P com a intenccedilatildeo de conjectu-
rar uma deniccedilatildeo precisa de reta tangente via razatildeo incremental (inclinaccedilatildeo coeciente
angular)
Observe o procedimento da situaccedilatildeo descrita via representaccedilatildeo no GeoGebra
cujos passos devem ser repassados conforme proposiccedilatildeo abaixo
1o passo Digite na linha de comandos (campo entrada) a lei de formaccedilatildeo da
funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2)
2o passo Crie dois controles deslizantes a e h O primeiro (a) com intervalo
de variaccedilatildeo de -10 ateacute 10 com incremento de 01 O segundo (h) com mesmo intervalo e
com mesmo de 001
3o passo Crie dois pontos (A e Q) O primeiro com coordenadas A = (a f(a))
e o segundo com coordenadas Q = (a+ h f(a+ h)) Em seguida crie a reta denida por
dois pontos (A e Q)
4o passo Crie uma razatildeo incremental (m) tal que
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 105
5o passo Solicite aos alunos que realize variaccedilatildeo no controle deslizante a e no
controle deslizante h
6o passo Mantenha o controle deslizante na posiccedilatildeo a = 1 e faccedila variaccedilotildees no
controle deslizante h
7o passo Solicite aos alunos que comparem o valor do coeciente angular da
reta AQ com o valor da razatildeo incremental (m) quando o ponto Q se aproxima do ponto
A em sua vizinhanccedila
A seguir observe as retas secantes ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2
com representaccedilatildeo de limites laterais (h = minus004 e h = 004) Eacute vaacutelido que apoacutes a
realizaccedilatildeo dos passos descritos e de analisar as conjecturas obtidas pelos alunos o professor
deve realizar diversos questionamentos acerca da atividade desenvolvida dentre os quais
o de maior destaque consiste em observar o que acontece na vizinha do ponto P = (1 1)
Figura 736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda)
Fonte GeoGebra
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 106
Figura 737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita)
Fonte GeoGebra
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada
Apoacutes realizar experimento via GeoGebra e incitar conjecturar a partir de inuacute-
meras modicaccedilotildees nos cursores (a e h) que conduzem alteraccedilotildees no ponto escolhido e no
incremento lateral analisado eacute hora de utilizar o quadro da sala de aula com o intuito
de realizar um estudo algeacutebrico das etapas a partir da anaacutelise da razatildeo incremental (m)
comparando com o valor do coeciente angular da reta secante AQ
Observe como seria o referido estudo analiacutetico e algeacutebrico
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
=f(a+ h)minus f(a)(a+ h)minus h
=(a+ h)2 minus a2
h
=2ah+ h2
h
= 2a+ h
Note que quanto mais proacuteximo o ponto Q estiver em relaccedilatildeo ao ponto A o
valor de h tenderaacute a zero isto eacute
limhrarr0
[m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
] = limhrarr0
[2a+ h] = 2a
Note que para a = 1 implica em m = 2 ou seja a inclinaccedilatildeo da secante
AQ tambeacutem seraacute igual a 2 e nesse momento a reta via GeoGebra secante deixa de
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 107
existir pois natildeo faz sentido para o programa divisatildeo com denominador nulo Mas eacute
vaacutelido ressaltar que a reta existe e trata-se da reta tangente cuja inclinaccedilatildeo (coeciente
angular ou razatildeo incremental) coincide com o valor da derivada no ponto A Caso o
professor ache conveniente introduza a notaccedilatildeo de derivada primeira num ponto qualquer
determinado (f prime(a) = 2a) Essa atitude de acordo com o niacutevel de abstraccedilatildeo da turma
pode ser um belo exemplo e uma boa alternativa de introduccedilatildeo das teacutecnicas e propriedades
de derivaccedilatildeo da funccedilatildeo polinomial
Na atividade proposta tambeacutem foi utilizada a funccedilatildeo quadraacutetica mas eacute vaacute-
lido salientar que haacute viabilidade e facilidade da extensatildeo para demais funccedilotildees (1o grau
exponencial logariacutetmica e ateacute mesmo a funccedilatildeo trigonomeacutetrica)
O problema descrito abaixo eacute referente a uma situaccedilatildeo problema de utilizaccedilatildeo
praacutetica do estudo de derivada com auxiacutelio do GeoGebra
1a Situaccedilatildeo problema Aplicaccedilatildeo num problema de maximizaccedilatildeo
Um terreno em formato retangular possui periacutemetro de medida igual a 74
metros A partir dessa informaccedilatildeo determine a medida dos lados desse retacircngulo para
que a aacuterea desse terreno seja maacutexima
Resoluccedilatildeo passo a passo via GeoGebra
1o passo Equacionar o problema a partir dos dados
Sejam a e b os lados do terreno em questatildeo
Como o periacutemetro mede 74 metros segue que 2a+ 2b = 74
Isto eacute a+ b = 37 que eacute equivalente a b = 37minus a
Como o problema solicita os valores das dimensotildees que geram aacuterea (S)maacutexima
segue que S = ab = a(37minus a) = minusa2 + 37a
2o passo Apoacutes o equacionamento construir via GeoGebra o graacuteco da funccedilatildeo
quadraacutetica obtida (f(x) = minusx2 + 37x)
3o passo Criar um controle deslizante (a) de intervalo de -50 a 50 com incre-
mento de 01
4o passo Criar um ponto de coordenadas P = (a f(a)) Em seguida criar
uma reta tangente no ponto P
5o passo Varie o controle deslizante e observe na janela de aacutelgebra os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 108
das ordenadas do ponto P
Observe a imagem da tela do GeoGebra apoacutes sequencia dos passos anteriores
Figura 738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular
Fonte Imagem capturada de janela do GeoGebra
Note que quando o ponto P atinge o veacutertice (V ) da paraacutebola as coordenadas
desse ponto satildeo dadas por V = (185 34225) Assim eacute possiacutevel concluir que a funccedilatildeo
aacuterea assume valor maacuteximo quando a reta tangente torna-se horizontal isto eacute a maacutexima
aacuterea ocorre quando a inclinaccedilatildeo da reta tangente eacute igual a zero e o retacircngulo torna-se um
quadrado de lado de medida 185 metros Utilizando a linguagem do caacutelculo eacute possiacutevel
dizer que a aacuterea eacute maacutexima quando a derivada no ponto P eacute igual a zero (vide imagem a
seguir)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 109
Figura 739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica
Fonte Imagem capturada da janela do GeoGebra
110
8 CONCLUSAtildeO
Ao tomar a decisatildeo nal de pesquisar sobre o tema em estudo e escrever uma
proposta de sequecircncia didaacutetica de resgate agrave inserccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
durante o Ensino Meacutedio eacute importante confessar que a princiacutepio tal ideia aparentemente
foi considerada absurda antiquada e de discussatildeo despreziacutevel Apoacutes nalizar todo o levan-
tamento de dados dessa dissertaccedilatildeo foi possiacutevel perceber quatildeo eacute pertinente tal discussatildeo
e quanto o ensino estaacute sendo negligenciado por professores experientes e de reputaccedilatildeo
ilibada no mercado da terceira etapa da educaccedilatildeo baacutesica
Assim como opinaram a maioria dos professores que atua na rede municipal
e estadual do Espiacuterito Santo nossa visatildeo a priori do tema da pesquisa era criacutetica e
contraacuteria agrave introduccedilatildeo de conceitos de limite deriva e integral Uma justicativa plausiacutevel
seria dizer que a clientela existente na educaccedilatildeo baacutesica diariamente estaacute constantemente
nos desapontando com problemas simples de matemaacutetica elementar e isso talvez tenha
contribuiacutedo para o equiacutevoco de considerar tal proposta absurda impossiacutevel e incompatiacutevel
com a realidade da maioria das escolas capixabas poreacutem em contrapartida eacute preciso
focar a atenccedilatildeo ao prejuiacutezo que estamos causando agravequela minoria de estudantes aacutevidos
pelo saber e que possuem alto grau de abstraccedilatildeo A preparaccedilatildeo de nossos alunos para
ingressarem no estudo de matemaacutetica superior natildeo estaacute sendo suciente Isso pode ser
uma das justicas para os piacuteos iacutendices de aprovaccedilatildeo da maior parte dos alunos que
estudam Caacutelculo A implementaccedilatildeo de nossa proposta em sala de aula mesmo que seja
para um seleto grupo pode gerar mudanccedilas signicativas com contribuiccedilotildees iacutempares para
o ensinoaprendizagem dos alunos partiacutecipes
Tambeacutem foi possiacutevel reetir sobre vaacuterios pontos da educaccedilatildeo matemaacutetica ca-
pixaba em particular do puacuteblico alvo da pesquisa pertencente agrave Grande Vitoacuteria que
perpassa desde a formaccedilatildeo inconsistente dos professores seja de instituiccedilatildeo puacuteblica ou
privada ateacute a precariedadenegligecircncia de nossos livros didaacuteticos do curriacuteculo estadual
dos PCN da proposta do ENEM e dos cursos de capacitaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao repasse de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo
O presente trabalho serviu para nos alertar sobre a importacircncia da Histoacuteria
8 CONCLUSAtildeO 111
da Matemaacutetica na evoluccedilatildeo dos conceitos Agraves vezes desejamos que os alunos aprendam
algo em um dia sendo que tal conceito demorou seacuteculos para atingir o rigor e o padratildeo
preestabelecido em nossas literaturas de matemaacutetica Aleacutem disso serviu de instrumento
norteador para pensar em mudanccedilas ou adaptaccedilotildees signicativas em nossos livros didaacute-
ticos para que os mesmos estejam em conformidade com a proposta constitucional de
preparaccedilatildeo para uma continuaccedilatildeo de estudos mais avanccedilados Tambeacutem serviu de aper-
feiccediloamento do conhecimento via emprego praacutetico e motivador de planilhas eletrocircnicas e
softwares de geometria dinacircmica (GeoGebra) Como esses recursos podem tornar as aulas
mais interessantes e fazer com que o ensinoaprendizagem seja facilitado
O emprego das noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio via noccedilotildees intuitivas e
via situaccedilotildees problema de aplicaccedilotildees reais pode ser incluso novamente nos PNCEM
no curriacuteculo estadual eou entatildeo nas estrateacutegias suplementares do plano pedagoacutegico da
escola baacutesica com o intuito de oportunizar um aprendizado mais qualicado aos alunos
e de preparaacute-los para estudos posteriores com maior teor de abstraccedilatildeo Foi possiacutevel
vericar que algumas propriedades satildeo justicadas de maneira rigorosa apenas com o
auxiacutelio de ideais correlatas do Caacutelculo (limite derivada e integral) principalmente a
explicaccedilatildeo matemaacutetica de alguns fenocircmenos fiacutesicos e quiacutemicos tornando a matemaacutetica
interdisciplinar
Enm eacute preciso ensinar matemaacutetica com o intuito de formar alunos aptos a
lidar com situaccedilotildees extremas de abstraccedilatildeo nas universidades e natildeo somente para adqui-
rirem bom rendimento nos exames de caraacuteter nacional (ENEM PAEBES etc) Anal
a omissatildeo pode estar causando resultados negativos como desmotivaccedilatildeo dos alunos da
escola baacutesica reduccedilatildeo de procura por cursos que requerem uma boa formaccedilatildeo na aacuterea
de exatas e aulas expositivas cada vez mais distantes da realidade cotidiana dos nossos
alunos Assim as poliacuteticas governamentais assim como os professores devem participar
dessas discussotildees com propostas de viabilidade de cursos de capacitaccedilatildeo que oriente os
prossionais a trabalharem com as noccedilotildees de Caacutelculo via aulas expositivas com adaptaccedilotildees
de recursos didaacuteticos disponiacuteveis e via produccedilatildeo de material especiacuteco que complemente as
lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos disponiacuteveis Essa adaptaccedilatildeo ao modelo tradicional
de ensino que jaacute se mostrou desmotivador arcaico e ultrapassado pode ser uma alterna-
tiva eciente para resgatar a busca incessante pelo aprofundamento do saber matemaacutetico
fiacutesico e quiacutemico por parte dos alunos
112
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos
graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo
A)
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)113
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)114
115
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos
professores de Matemaacutetica (Anexo B)
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 116
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 117
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 118
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Thomson Learning 2006
A minha esposa Taniara e aos meus pais Luiza
e Miguel
Aos colegas e amigos pelo incentivo pela ajuda
e pela paciecircncia
Resumo
Este trabalho eacute uma alternativa de retorno da abordagem de assuntos ligados
ao Caacutelculo Diferencial e Integral de forma intuitiva e construtiva durante o Ensino Meacutedio
O desenvolvimento desse material inicia com a realizaccedilatildeo de uma pesquisa histoacuterica sobre
a evoluccedilatildeo do estudo de limite derivada e integral em seguida eacute feito um levantamento
de dados entre professores e graduandos sobre os impactos (vantagensdesvantagens) que
o resgate do repasse de ideais correlatas do Caacutelculo proporcionaria Com o intuito de
justicar a restauraccedilatildeo proposta foi realizado um mapeamento dos conteuacutedos que neces-
sitam de enfoque de noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo nos principais livros didaacuteticos utilizados
tradicionalmente nas escolas capixabas puacuteblicas e particulares Foi questionada entre pro-
fessores a melhor seacuterie a visatildeo dos Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) o curriacuteculo
baacutesico a existecircncia de cursos de formaccedilatildeo e material didaacutetico especiacuteco para realizaccedilatildeo
de tal iniciativa assim como foi avaliada a situaccedilatildeo em que eacute possiacutevel inserir tais conceitos
sem causar danos e comprometimento ao ensinoaprendizagem dos alunos Apoacutes a anaacutelise
dos assuntos principais que requerem o uso de noccedilotildees de Caacutelculo de uma maneira geral
montou-se a proposta de sequencia didaacutetica com atividades estrateacutegias e metodologias
desenvolvidas e apresentadas de maneira construtiva e intuitiva
Palavras-chaves Caacutelculo Limite Derivada Integral GeoGebra
Abstract
This work is an alternative return of the issues related to Dierential and
Integral Calculus approach intuitive and constructive way during high school The deve-
lopment of this material starts with doing historical research on the evolution of the study
of limit derivative and integral then it is a survey of data between faculty and graduate
students about the impacts (advantagesdisadvantages) that the transfer of redemption
ideals related calculation would provide In order to justify the proposed restoration a
mapping of the contents that require focus on intuitive notions of calculus in the main
textbooks used traditionally in public and private schools capixabas was performed It
was questioned from the grade teachers the vision of the National Curriculum Parame-
ters (PCN) the core curriculum the availability of training courses and specic teaching
materials for conducting such an initiative as well as the situation in which you can enter
these concepts was evaluated harmlessly and commitment to teachinglearning of stu-
dents After analyzing the main issues that require the use of concepts of Calculus in
general was set up to draft sequence with didactic activities strategies and methodologies
developed and presented in a constructive and intuitive way
Keywords Calculus Limit Derivative Ingegral GeoGebra
Agradecimentos
A princiacutepio gostaria de agradecer a Deus por me proporcionar uma vida sau-
daacutevel (repleta de sabedoria inteligecircncia e amizade) uma famiacutelia majestosa amigos mag-
niacutecos e uma esposa formidaacutevel a qual amo muito
Em segundo plano e em caraacuteter especial gostaria de agradecer aos meus pais
(Luiza e Miguel) que satildeo a razatildeo do meu viver a minha avoacute (Salviana) que eacute uma
lutadora e uma educadora incansaacutevel a minha esposa (Taniara) que realizou mudanccedilas
signicativas na minha vida e aleacutem disso meus agradecimentos a todos os meus pro-
fessores da educaccedilatildeo baacutesica ateacute o ensino superior pelo aprendizado pela educaccedilatildeo pela
paciecircncia pelo incentivo e pela dedicaccedilatildeo fervorosa para que o sucesso ateacute aqui conquis-
tado fosse possiacutevel
Enm gostaria de agradecer ao meu orientador (Dr Etereldes) aos professo-
res do PROFMAT e a todos os amigos (alunos e colegas de prossatildeo) que colaboraram
de forma direta (Professores Rubens e Solano) eou indireta para a realizaccedilatildeo dessa
dissertaccedilatildeo
Serei eternamente grato a todos sem distinccedilatildeo e sempre estarei agrave disposiccedilatildeo
para retribuir os gestos de carinho de incentivo e de forccedila a mim repassados nos momentos
difiacuteceis conturbados e desanimadores
A pior ditadura natildeo eacute a que aprisiona
o homem pela forccedila mas sim pela fra-
queza fazendo-o refeacutem de suas proacuteprias
necessidades
Juacutelia Liacutecia
Sumaacuterio
Lista de Figuras 8
Lista de Tabelas 10
1 INTRODUCcedilAtildeO 11
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 15
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 22
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 29
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 32
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 42
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA 45
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
711 Diacutezimas Perioacutedicas 47
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales 50
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas 54
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo 55
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees 60
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de limite 71
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua 72
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri 80
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse 88
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva 90
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica 96
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea 98
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle 100
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada 101
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada 104
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada 106
8 CONCLUSAtildeO 110
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da
FAACZ (Anexo A) 112
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo
B) 115
Referecircncias Bibliograacutecas 119
Lista de Figuras
31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo 22
32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1+ 2460+ 51
602+ 10
603=
1414212 28
71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis 52
74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso) 53
75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos 54
76 Retacircngulo 6 x 5 56
77 Retacircngulo 100 x 80 57
78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita 60
79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5 63
710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50 65
711 Poliacutegono Retangular para n = 100 65
712 Processo recursivo de Quadrados 70
713 Processo recursivo de Triacircngulos Equilaacuteteros 70
714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito) 77
715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8 78
716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10 79
717 Anel Ciliacutendrico 81
718 Casca de Esfera 82
719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica 84
720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 85
721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7 86
722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 87
723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 87
724 Elipse inscrita numa circunferecircncia 89
725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante 91
726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer 91
727 Quadratura do ciacuterculo para n = 11 92
728 Quadratura do ciacuterculo para n = 100 92
729 Poliacutegono Retangular para n = 5 95
730 Poliacutegono Retangular para n = 10 95
731 Poliacutegono Retangular inscrito 95
732 Poliacutegono Retangular circunscrito 95
733 Trapeacutezio retacircngulo 100
734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000 101
735 Reta tangente a uma dada paraacutebola 103
736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda) 105
737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita) 106
738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular 108
739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica 109
9
Lista de Tabelas
51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos 41
71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2 59
72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais 72
73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler 75
74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo 100
75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio 101
11
1 INTRODUCcedilAtildeO
Haacute pontos especiacutecos na educaccedilatildeo baacutesica em que a ideia intuitiva de limite
de derivada e de integral estaacute presente Como satildeo tratados os casos em que eacute necessaacuterio
mencionar as noccedilotildees de limite ou de integral para discutir uma consequecircncia natural de
um assunto elementar Como os livros didaacuteticos tratam o assunto Qual a visatildeo dos pro-
fessores diante do tema Como os Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) lidam com a
situaccedilatildeo Em que estados brasileiros nota-se a presenccedila e a aplicabilidade de tais noccedilotildees
elementares do Caacutelculo Como as consequecircncias imediatas dessa posturaapresentaccedilatildeo
preacute-matura estatildeo interferindo no rendimento dos cursos de Caacutelculo no niacutevel superior De
que maneira podemos introduzir e abordar esse peculiar assunto sem causar constrangi-
mentos e traumas em nossos alunos Em que contexto histoacuterico se deu o processamento
das ideias de limite Tais ideias satildeo largamente empregadas no nosso dia-a-dia Como
explorar as noccedilotildees de limite de derivada e de integral via softwares de geometria dinacircmica
(especicamente o GeoGebra) Como explorar as noccedilotildees de limite via planilhas eletrocirc-
nicas (Microsoft Excel) O que eacute limite e como introduzir sem exageros e formalidades
de maneira que os alunos consigam acompanhar tal abstraccedilatildeo Qual a ordem cronoloacutegica
dos fatos surgiu o Caacutelculo Integral ou primeiro o Caacutelculo Diferencial Como propor a
inserccedilatildeo de limite nos estudo das derivadas O que eacute derivada Soacute se aprende derivada
se souber limite Como interligar a deniccedilatildeo de limite com a noccedilatildeo de integral O que
eacute integral Qual foi a evoluccedilatildeo histoacuterica (limite derivada e integral) Quais principais
precursores (paiacutes cidade natal seacuteculo data problematizaccedilatildeo etc) QueQual percen-
tual de alunos aprendeu alguma noccedilatildeo de limite de derivada ou de integral durante a
educaccedilatildeo baacutesica Quais as vantagens em ensinar as noccedilotildees de limite de derivada e de
integral na educaccedilatildeo baacutesica em particular no ensino meacutedio
Diante de tantos questionamentos surge a necessidade de respondecirc-los por
meio de uma reexatildeo acerca dos pontos destacados na pesquisa desenvolvida na pre-
sente dissertaccedilatildeo Inicialmente foi feita uma pesquisa entre os alunos que estatildeo ingres-
sandocursando na Universidade Federal do Espiacuterito Santo (UFES) e no Instituto Federal
do Espiacuterito Santo (IFES) sobre o estudo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo durante as
fases da educaccedilatildeo baacutesica Quem estudou Em que seacuterie se consolidou tal aprendizado
1 INTRODUCcedilAtildeO 12
Haacute conceitos baacutesicos que utilizam as noccedilotildees de limite de derivada e de integral Quais
vantagens obteriam caso tivessem uma base melhor e satisfatoacuteria de tais ideias intuitivas
durante o ensino baacutesico Em segundo momento os professores foram questionados sobre
as vantagensdesvantagens em propor o ensino das noccedilotildees de limite de derivada e de
integrais durante a educaccedilatildeo baacutesica
Em seguida foi feita uma averiguaccedilatildeo que de fato existem conteuacutedos da edu-
caccedilatildeo baacutesica que necessitam de uma abordagem mais especiacuteca das noccedilotildees de limite de
derivada e de integral tais como a representaccedilatildeo decimalfracionaacuteria das diacutezimas pe-
rioacutedicas ao somar os innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo especial
(0 lt |q| lt 1) ao estudar a capitalizaccedilatildeo contiacutenua ao analisar comportamentos graacute-
cos de uma funccedilatildeo para valores muito grande eou pequeno do domiacutenio de uma funccedilatildeo
(funccedilatildeo 1o grau 2o grau exponencial e logariacutetmica) ao calcular da medida da aacuterea de
uma regiatildeo plana qualquer com lados curvos aleacutem das inuacutemeras aplicaccedilotildees no estudo da
Fiacutesica (emprego da hipeacuterbole equilaacutetera na relaccedilatildeo entre pressatildeo e volume de um gaacutes em
condiccedilotildees isoteacutermicas e do conceito de velocidade instantacircnea)
Uma busca nos livros de Histoacuteria da Matemaacutetica com o intuito de desvendar
as maneiras e o contexto sobre os quais se deu o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas de
limite de derivada e de integral ateacute chegar ao cliacutemax da notaccedilatildeo atual e padratildeo formal
ensinado na disciplina de Caacutelculo nas universidades Nesse iacutenterim pretendeu-se propor
uma viagem no tempo ao longo dos seacuteculos em busca de momentos cruciais em que se
desenvolveuaplicou as noccedilotildees elementares do Caacutelculo
Apoacutes mapear as diversas situaccedilotildees problema que serviram de motivaccedilatildeo para
o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo foi realizada uma conferecircncia nos
livros didaacuteticos mais utilizados na educaccedilatildeo baacutesica especicamente na 3a etapa o Ensino
Meacutedio com o intuito de investigar como o assunto eacute introduzido em que conteuacutedos satildeo
discutidos e qual a linguagem utilizada (notaccedilatildeo usual)
Uma pesquisa com graduandos e com professores foi realizada com o intuito
de averiguar se os mesmos trabalham as noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de
integral no ensino baacutesico e como o fazem Quais satildeo suas anguacutestias temores diculdades
sugestotildees etc Haacute cursos de capacitaccedilatildeoformaccedilatildeo de professores nesse sentido Seria
necessaacuterio criar um algoritmo tipo uma receita de bolo um guia didaacutetico um manual
pedagoacutegico de direcionamento de trabalho que norteasse e ensinasse aos professores com
1 INTRODUCcedilAtildeO 13
sugestotildees de abordagem do tema em estudo Em geral os professores possuem conheci-
mentos na aacuterea de utilizaccedilatildeoaplicaccedilatildeo da teoria de limite de derivada e de integral para
empregar em suas aulas a utilizaccedilatildeo de softwares de geometria dinacircmica e softwares que
trabalham com planilha eletrocircnica de estudos
Tendo em matildeos o mapeamento dos conteuacutedos que necessitam de um enfoque
das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral a opiniatildeo dos professores e
dos graduandos a visatildeo apresentada nos livros didaacuteticos e nos Paracircmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) a evoluccedilatildeo histoacuterica e suas situaccedilotildees-problema
foi possiacutevel articular a sequecircncia didaacutetica que de acordo com a nossa visatildeo facilitaria o
entendimento e minimizaria a distacircncia entre o concreto e o abstrato isto eacute reduziria a
margem de abstraccedilatildeo que tais noccedilotildees requerem Nesse sentido o foco da pesquisa tem
como meta a introduccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral de acordo
com a seacuterie do Ensino Meacutedio em que se pretende inserir tais conceitos Tambeacutem eacute vaacutelido
ressaltar que haacute conteuacutedos do Ensino Fundamental que necessitam de um enfoque das
noccedilotildees de Caacutelculo por exemplo o estudo das diacutezimas perioacutedicas a demonstraccedilatildeo completa
do Teorema de Tales e a deniccedilatildeo de aacuterea de uma regiatildeo retangular Nesse iacutenterim o
presente trabalho propotildee uma metodologia de introduccedilatildeo desses conceitos empregando e
entrelaccedilando as noccedilotildees elementares de limite
Para a 1a seacuterie do Ensino Meacutedio a abordagem algeacutebrica foi realizada a partir
do estudo de funccedilotildees e suas implicaccedilotildees e do estudo de sequecircncias (em particular seacuteries
geomeacutetricas convergentes diacutezimas perioacutedicas) que apresentam caracteriacutesticas peculiares
que necessitam do estudo das noccedilotildees de limite Em seguida foi proposta uma aplicaccedilatildeo
desses conceitos numa situaccedilatildeo-problema presente no estudo de matemaacutetica nanceira
(especicamente no estudo de juros compostos) isto eacute foi realizada uma reproduccedilatildeo e
uma anaacutelise do problema proposto por Jacques Bernoulli sobre capitalizaccedilatildeo contiacutenua ou
seja as implicaccedilotildees sobre a evoluccedilatildeo de crescimento de um capital depositado a juros
compostos ser acrescido de juros subdividindo constantemente o intervalo de correccedilatildeo Jaacute
a abordagem geomeacutetrica a ser apresentada tanto no 1o ano quanto no 2o ano conforme
o plano de curso preacute-estabelecido pela unidade escolar se deu por intermeacutedio do estudo
de aacutereas de guras planas em especial aquelas que apresentam lados curviliacuteneos
Ainda na 1a seacuterie do Ensino Meacutedio foi realizada uma anaacutelise comportamental
de graacutecos de funccedilotildees fazendo um paralelo com os graacutecos presentes no estudo de conceitos
da disciplina de Fiacutesica com o intuito particular de explicar o que signica e como se
1 INTRODUCcedilAtildeO 14
calcula a aacuterea sob o graacuteco de uma curva qualquer que relacionam duas variaacuteveis com
grau de dependecircncia (funccedilatildeo de uma variaacutevel) E tambeacutem foi realizada uma anaacutelise da
desintegraccedilatildeo radioativa de uma substacircncia que consiste num problema interdisciplinar
amplamente discutido na Quiacutemica
Para a 2a seacuterie ou 3a seacuterie do Ensino Meacutedio de acordo com curriacuteculo escolar
baacutesico adotado a introduccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo foi realizada em para-
lelo ao estudo de geometria espacial momento em que houve uma revisatildeo do estudo de
aacutereas de guras planas poligonais e a introduccedilatildeo do caacutelculo da aacuterea de uma gura plana
que contenha algum lado curviliacuteneo Posteriormente tais ideias foram aplicadas para
demonstrar as aacutereas superciais e volumes de corpos redondos especiais (cilindros cones
e esferas) utilizando como fonte e direccedilatildeo de trabalho o meacutetodo dos indivisiacuteveis proposto
por Kepler e Cavalieri
Enm a abordagem das noccedilotildees elementares do Caacutelculo na 3a seacuterie do Ensino
Meacutedio foi construiacuteda de maneira correlacionada com o estudo (deniccedilotildees e propriedades)
das cocircnicas (paraacutebolas e hipeacuterboles)
15
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA
INSERCcedilAtildeO
O objetivo da presente pesquisa foi investigar nesse particular espaccedilo amos-
tral que percentual de graduandos teve contato com as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
durante a educaccedilatildeo baacutesica questionando quatildeo signicante foi tal experiecircncia e quais van-
tagensdesvantagens obtiveramobteriam com o contato preacute-liminar com noccedilotildees intuitivas
do Caacutelculo Aleacutem disso entrevistas foram feitas com professores (rede estadual e privada)
que atuam no Ensino Meacutedio e com professores que lecionamlecionaram a disciplina de
Caacutelculo I (limite derivada e integral) e de Fiacutesica Geral I oportunidade em que a visatildeo
dos mesmos seraacute analisada diante da problemaacutetica aqui retratada
A pesquisa foi realizada com parte da turma de 2012 do PROFMAT-UFES
via envio do questionaacuterio por e-mail dos quais apenas dez alunos retornaram respondidos
os questionaacuterios Tambeacutem participaram os vinte e quatro alunos da turma de ingresso ao
PROFMAT 2014 via questionaacuterio impresso o qual foi aplicado no dia 22 de Fevereiro de
2014 na sala 32 do Centro de Ciecircncias Exatas (CCE) da Universidade Federal do Espiacuterito
Santo (UFES) Aleacutem desses professores mestrandos responderam aos questionaacuterios parte
(dez alunos) de uma turma de graduandos (futuros e atuais professores de matemaacutetica)
pertencentes ao curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica pelo Instituto Federal do
Espiacuterito Santo (IFES) uma miacutenima (apenas oito) amostra de professores que atuam no
Ensino Meacutedio da rede estadual especicamente nas escolas da Serra Sede (EEEFM Pro-
fessor Joatildeo Loyola e EEEFM Cloacutevis Borges Miguel) uma pequena amostra de professores
que atuam somente nas faculdades particulares e com alunos graduandos em engenharia
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) que estavam praticamente concluindo o estudo da
disciplina de Caacutelculo e Fiacutesica I
Para discentes foi articulado um questionaacuterio alternativodiscursivo composto
de perguntas pertinentes agraves experiecircncias com o estudo de Caacutelculo I e em particular das
noccedilotildees de limite na educaccedilatildeo baacutesica e as vantagensdesvantagens que a aprendizagem
de tais conceitos lhe renderia A pesquisa foi realizada com uma pequena amostra de
alunos dos cursos de Licenciatura Plena em Matemaacutetica (IFES) e de Engenharia Mecacircnica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 16
(FAACZ)
Jaacute para os docentes foi pensado um questionaacuterio com escalas de classica-
ccedilatildeo em que o professor repassaria dados histoacutericos de suas experiecircncias com a disciplina
de Caacutelculo I desde a graduaccedilatildeo ateacute a realidade encontrada em sua sala de aula caso
seja professor da disciplina de Caacutelculo I com o intuito de questionar quais as facilida-
desdiculdades que a aprendizagem das noccedilotildees de limite e outras noccedilotildees baacutesicas do
Caacutelculo poderiam produzir A pesquisa foi realizada com professores da UFES do IFES
e de algumas escolas particulares que lecionaramlecionam a disciplina de Caacutelculo I em
qualquer curso superior
De acordo com uma anaacutelise geral dos dados da pesquisa foi possiacutevel constatar
que a maioria dos professores seja da rede puacuteblica ou privada atuantes na educaccedilatildeo
baacutesica (Ensino Fundamental e Meacutedio) embora tenha recebido orientaccedilatildeopreparaccedilatildeo es-
peciacuteca que os formassem de maneira satisfatoacuteria para inserir noccedilotildees intuitivas de limite
e ideias correlatas do Caacutelculo nessa fase de ensino ainda natildeo faz ideia de como aplicar
tais conceitos caso os mesmos sejam implementados no curriacuteculo baacutesico Aleacutem disso em
uma conversa informal (bate-papo apoacutes o preenchimento dos questionaacuterios) com um grupo
atuante na rede estadual foi possiacutevel constatar que haacute diculdade de ensinar a matemaacutetica
elementar quanto mais os toacutepicos que remetem o uso de citaccedilatildeo de ideias avanccediladas cujo
grau de abstraccedilatildeo eacute mais acentuado Segundo os professores os alunos chegam ao Ensino
Meacutedio com niacutevel de aprendizagem abaixo do ideal com defasagens gritantes em aritmeacutetica
baacutesica (operaccedilotildees elementares) e com problemas de domiacutenio da liacutengua portuguesa naquilo
que concerne agrave interpretaccedilatildeo de enunciados e compreensatildeo de teorias Foi de consenso
comum entre os professores pesquisados que o trabalho eacute pertinente e de fundamental
importacircncia para sanar problemas como os altos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de
Caacutelculo e Fiacutesica I Tambeacutem consentiram que caso tal pesquisa inuenciasse uma mudanccedila
no curriacuteculo baacutesico da rede estadual de ensino haveria necessidade de um curso especiacuteco
e produccedilatildeo de um material suplementar que os orientasse Aleacutem disso um seleto grupo
informou que hoje seria possiacutevel repassar algumas orientaccedilotildees somente no 3o ano apoacutes a
aplicaccedilatildeo da prova do ENEM periacuteodo em que os alunos praticamente estatildeo aprovados e
teoricamente jaacute estudaram toda a matemaacutetica elementar dos niacuteveis fundamental e meacutedio
Caso contraacuterio veem atualmente viabilidade de aplicaccedilatildeo do estudo proposto somente em
turmas oliacutempicas de matemaacutetica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 17
Os dados especiacutecos da pesquisa podem induzir uma reexatildeo draacutestica de que
os cursos superiores de formaccedilatildeo de professores de matemaacutetica embora repassem aos seus
alunos fundamentos necessaacuterios e sucientes para que os mesmos estejam habilitados para
trabalhar com a proposta presente nesse trabalho a totalidade dos professores questiona-
dos natildeo se sente seguro para repassar noccedilotildees elementares do Caacutelculo a alunos da educaccedilatildeo
baacutesica E mais a maioria dos professores eacute favoraacutevel quanto agrave grade curricular e quanto
agrave adequaccedilatildeo e suciecircncia das disciplinas de Caacutelculo durante a fase de graduaccedilatildeo Um
verdadeiro paradoxo
Segundo os professores pesquisados a assimilaccedilatildeo e o ensinoaprendizagem
dos graduandos poderiam ser melhorados via curso especiacuteco de preacute-Caacutelculo ou propondo
estrateacutegias motivadoras durante o Ensino Meacutedio Ainda armaram estarem cientes da
distacircncia enorme entre o modelo de ensino ofertada pelas Licenciaturas e a realidade dos
alunos em sala de aula aleacutem disso comentaram que a aversatildeo relativa ao ensino de toacutepi-
cos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio eacute explicada devido a experiecircnciasaprendizagens
decitaacuterias durante a fase de graduaccedilatildeo naquilo que tange a metodologia diferenciada (es-
trateacutegias didaacutetica interessemotivaccedilatildeo do professor em ensinar e utilizaccedilatildeo de recursos
didaacuteticos etc)
A partir da pesquisa tambeacutem foi possiacutevel conjecturar que a realidade atual dos
cursos de Caacutelculo pode ser melhorada com uma fuga ao modelo tradicional de ensino
Nesse iacutenterim faz-se necessaacuterio que os professores universitaacuterios estejam mais atentos agrave
didaacutetica de ensino ao planejamento de suas aulas agrave variaccedilatildeo de metodologias de aprendi-
zagem via recursos computacionais disponiacuteveis e via alternativas modernas que favoreccedilam
um aumento no rendimento escolar universitaacuterio com uma consequente reduccedilatildeo dos iacutendi-
ces de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo Eacute impossiacutevel repassar noccedilotildees elementares do
Caacutelculo para os alunos da educaccedilatildeo baacutesica se a formaccedilatildeo que os professores recebem natildeo
eacute satisfatoacuteria ao ponto de que haja seguranccedila e domiacutenio do tema Para isso eacute necessaacuterio
ampliar o leque de discussatildeo das poliacuteticas puacuteblicas educacionais com uma proposta de re-
formulaccedilatildeo dos PCN com proposiccedilatildeo de cursos de capacitaccedilatildeo de professores convenientes
e em horaacuterios adequados e com a produccedilatildeo de um material didaacutetico especiacuteco adequado
agrave realidade da educaccedilatildeo baacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que a retomada do ensino de Caacutelculo
vem acontecendo desde a deacutecada de 90 mas com a preocupaccedilatildeo de que esse posiciona-
mento natildeo venha a sobrecarregar o curriacuteculo e nem esteja distante da realidade do niacutevel
elementar o Ensino Meacutedio a ser apresentada e incluiacuteda a ideia do presente trabalho
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 18
Caso haja educadores contraacuterios a presente proposta com a justicativa de
que o curriacuteculo baacutesico jaacute estaacute abarrotado de conteuacutedos e de ser um instrumento imutaacutevel
seria interessante promover uma formaccedilatildeo completa sobre os Paracircmetros Curriculares
Nacionais e sobre o curriacuteculo baacutesico adotado com o intuito de explicar aos professores
que haacute muito interpretaccedilatildeo equivocada dos PCN dado que os mesmos devem servir como
elemento norteador indicador das habilidades e competecircncias necessaacuterias para garantir o
miacutenimo de aprendizagem signicativa e sem que seja um instrumento impositivo (dono da
verdade deus do universo etc) ou seja quem faz o curriacuteculo de Matemaacutetica eacute o professor
atrelado ao plano pedagoacutegico da escola e matrizes do ENEM
Para encerrar a anaacutelise relativa aos dados da pesquisa eacute vaacutelido salientar que
muitos professores consideraram o questionaacuterio longo e tedioso Essa aversatildeo inicial pode
representar uma justicativa aparente de que a postura dos professores quanto agrave mu-
danccedilasaiacuteda do estado de platocirc atual sempre seraacute uma barreira agrave produccedilatildeo de conheci-
mentos A presente pesquisa cujos dados estatildeo tabulados no anexo A foi realizada com
38 professores atuantes na rede publica e privada com experiecircncia no mercado Parte
desses professores (10) ainda estavam em fase de conclusatildeo do curso de Licenciatura no
IFES De acordo com os dados da pesquisa foi possiacutevel inferir que muitos desses pro-
fessores natildeo possuem o haacutebito de realizar leituras de revistas especializadas (Revista do
Professor de Matemaacutetica (RPM) Revista Caacutelculo) de livros da Sociedade Brasileira de
Matemaacutetica (SBM) de artigos de seminaacuterios de discussatildeo de educaccedilatildeo matemaacutetica e nem
possuem interesse na participaccedilatildeo em simpoacutesios bienais cursos de capacitaccedilatildeo cursos de
veratildeo etc Nesse iacutenterim eacute bom citar que aqueles poucos professores que participaram
de forma remunerada do multicurso de matemaacutetica promovido pela Secretaria Educaccedilatildeo
do Espiacuterito Santo (SEDU) informaram que natildeo houve qualquer menccedilatildeo aos toacutepicos atuais
de discussatildeo do retorno das noccedilotildees elementares do Caacutelculo ao curriacuteculo baacutesico Jaacute aque-
les que estiveram presentes no Programa de Aperfeiccediloamento de Professores do Ensino
Meacutedio (PAPEM) relataram que houve alguma citaccedilatildeo breve do assunto durante as aulas
de viacutedeo conferecircncia e em problemas propostos nas ocinas no periacuteodo vespertino
A outra tabela que consta no anexo B dessa dissertaccedilatildeo representa a tabulaccedilatildeo
dos dados da pesquisa realizada com uma amostra (32 alunos) de alunos (graduandos) do
curso de engenharia mecacircnica da FAACZ
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 19
Inicialmente eacute interessante citar que participaram da pesquisa 32 alunos em
sua maioria graduandos do sexo masculino estudantes do curso de Engenharia Mecacircnica
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) e desse total eacute importante citar que 31 graduandos
estatildeo na faixa etaacuteria abaixo dos 30 anos
De acordo com os dados analisados foi possiacutevel vericar que a faculdade dispo-
nibiliza aos seus alunos um curso de nivelamento (preacute-Caacutelculo) com o intuito de apresentar
aos alunos uma ajuda consideraacutevel para iniciarem o estudo de Caacutelculo e para minimizar a
distacircncia que haacute entre a matemaacutetica elementar promovida na educaccedilatildeo baacutesica e a mate-
maacutetica superior principalmente as noccedilotildees elementares de limite deriva e integral Nesse
curso de nivelamento foram apresentadas aos alunos situaccedilotildees problema que necessitavam
de emprego de noccedilotildees do Caacutelculo A partir da exposiccedilatildeo de problemas concretos proacutexi-
mos da realidade dos alunos foi possiacutevel introduzir de maneira construtiva toacutepicos que
exigiram o emprego de limite de derivada e integral
Segundo a maioria dos alunos o referido curso de preacute-Caacutelculo ofertado contribui
para melhorar o rendimento em todos os aspectos e responderam que caso a introduccedilatildeo
das ideias difundidas no curso de nivelamento tivessem sido realizadas durante o ensino
meacutedio haveria uma melhora consideraacutevel no ensinoaprendizagem
Ao questionar sobre a sequecircncia da histoacuteria da evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi possiacutevel
constatar que quase a totalidade dos alunos natildeo tiveram uma introduccedilatildeo histoacuterica da
evoluccedilatildeo do Caacutelculo pois a maioria deles (20 alunos) armou que a evoluccedilatildeo do Caacutelculo
estaacute em conformidade com a sequecircncia apresentada nos livros didaacuteticos Tambeacutem foi
possiacutevel perceber que o ensino de Fiacutesica I ocorreu simultaneamente com o ensino de Caacutelculo
I o que eacute uma realidade questionada nos principais cursos de exatas das instituiccedilotildees
puacuteblica e privada do Estado do Espiacuterito Santo Anal como a ementa do curso de Fiacutesica
I requer o conhecimento de um conjunto de aplicaccedilotildees e propriedades do Caacutelculo seria
loacutegico que tal curso fosse realizado apoacutes a introduccedilatildeo das ideias de limite derivada e
integral
De acordo com a pesquisa contatou-se que quase todos os alunos (27) estu-
daram via livros didaacuteticos especiacutecos de Caacutelculo de autores com bastante bagagem e
profundos conhecedores do Caacutelculo (James Stewart e George B Thomas 11a e 5a edi-
ccedilatildeo respectivamente) Do total de alunos entrevistados 5 alunos armaram ter estudado
Caacutelculo via apostilas notas de aulas e viacutedeo aula
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 20
Segundo a visatildeo dos graduandos para realizar a introduccedilatildeo das noccedilotildees ele-
mentares do Caacutelculo faz-se necessaacuterio que os alunos tenham uma base adequada de en-
sinoaprendizagem acumulada das seacuteries anteriores inclusive no Ensino Fundamental
Quanto ao aspecto conteuacutedos do Ensino Meacutedio que exigem a inserccedilatildeo das noccedilotildees elemen-
tares do Caacutelculo os graduandos citaram Funccedilotildees Sequecircncias Aacutereas e volumes em geral
Jaacute no estudo da Fiacutesica mencionaram o estudo de velocidades aceleraccedilotildees e trabalho
Quanto aos iacutendices de aprovaccedilatildeo eacute vaacutelido ressaltar que dos 32 entrevistados
somente 6 caram reprovados em Caacutelculo I A explicaccedilatildeo para esse iacutendice excelente de
aprovaccedilatildeo pode ser justicativa pelo repasse das noccedilotildees elementares do Caacutelculo via curso
de nivelamento Tambeacutem eacute vaacutelido ressaltar que a formaccedilatildeo dos docentes regentes das
disciplinas que zeram o uso das ideias de Caacutelculo para os graduandos partiacutecipes da
presente pesquisa varia da titulaccedilatildeo miacutenima de especialistas ateacute doutores
As aulas de Caacutelculo na FAACZ satildeo muito ecleacuteticas poreacutem arcaicas obsoletas
tradicionais e remetem a ideia de que a maioria dos seus professores prefere um curso de
Caacutelculo que exija uma boa formaccedilatildeo baseada numa conciliaccedilatildeo do processo demonstra-
tivoaplicativo dos teoremas e proposiccedilotildees do Caacutelculo Tambeacutem armaram de maneira
quase unacircnime e satisfatoacuteria sobre as facilidades que a utilizaccedilatildeo dos recursos didaacuteticos
(softwares de geometria dinacircmica e planilhas eletrocircnicas) proporcionaria e favoreceria o
ensinoaprendizagem dos estudantes dessa instituiccedilatildeo Em contrapartida 26 desses alu-
nos responderam natildeo ter recebido trabalhos de abordagem de modelagem matemaacutetica de
uma situaccedilatildeo real cotidiana ou melhor a maioria desses alunos armou que ainda natildeo
sabem o que eacute modelagem matemaacutetica
Quanto agrave experiecircncia desses alunos ao serem expostos agrave teoria de limites com
todas as suas formalidades foi possiacutevel constatar que o curso de nivelamento de prepa-
raccedilatildeo para o estudo de Caacutelculo contribui de forma satisfatoacuteria para melhorar o rendi-
mentoentendimento da maior parte dos graduandos Esse curso de preacute-Caacutelculo foi uma
forma de preencher a lacuna deixada pela educaccedilatildeo baacutesica principalmente pelo Ensino
Meacutedio em que segundo dados da pesquisa natildeo houve citaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de
limite nem muito menos ideias correlatas do Caacutelculo deriva e integral Nesse iacutenterim a
maioria dos alunos armou que os livros didaacuteticos existentes na educaccedilatildeo baacutesica ou satildeo
insucientes quanto ao repasse ou natildeo abordam as noccedilotildees de intuitivas do Caacutelculo E
mais um percentual consideraacutevel dos entrevistados armou jamais ter ouvido qualquer
citaccedilatildeo baacutesica das noccedilotildees de limite deriva e integral durante o Ensino Meacutedio
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 21
Essas informaccedilotildees vecircm ao encontro da nossa proposta a qual propotildee um res-
gate da inserccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas e ideias elementares do Caacutelculo durante o Ensino
Meacutedio com a nalidade de preparar o aluno para ingressar no estudo de Caacutelculo e com
o intuito de justicar proposiccedilotildees elementares com argumentos satisfatoacuterios sem fuga
desculpa ou enrolo Essa inserccedilatildeo deve ser direcionada e atrelada agrave evoluccedilatildeo histoacuterica
do Caacutelculo com um material especiacuteco devido agrave insuciecircncia dos materiais didaacuteticos
existentes no mercado e com atividades interdisciplinares no estudo de Fiacutesica e Quiacutemica
principalmente E mais deve existir um curso especiacuteco de preparaccedilatildeo aos professores
da educaccedilatildeo baacutesicasuperior e a inclusatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo nos PCNEM
com intuito de estimularraticar o repasse das ideias e de contribuir para elevar o rendi-
mento dos estudantes no estudo de Caacutelculo em cursos superiores posteriores pois assim
os educadores receberatildeo a formaccedilatildeo necessaacuteria para trabalharem com maior destreza e
seguranccedila via recursos didaacuteticos disponiacuteveis (softwares educacionais quadro multimeios
laboratoacuterios de matemaacutetica jogos matemaacuteticos etc)
22
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO
CAacuteLCULO
Figura 31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo
Fonte wwwmatematicabrhistoriaprhindhtml[34]
A evoluccedilatildeo do Caacutelculo da origem intuitiva (ideias remotas) ateacute o rigoroso pa-
dratildeo adotado nos livros atuais foi marcada pelas contribuiccedilotildees de diversos estudiosos
dentre os quais pode-se citar em ordem cronoloacutegica de destaque Ahmes (ou Ahmose
escriba egiacutepcio) babilocircnicos Hiacutepias Zenatildeo (ou Zeno de Eleacuteia) Eudoacutexio (ou Eudoxos)
Demoacutecrito Arquimides Papus Kepller Descartes Fermat Roberval Torricelli Cavali-
eri Wallis Barrow Newton Leibnitz famiacutelia Bernoulli De Moivre Taylor Maclaurin
Euler Clairaut DAlembert Lambert Lagrange Laplace Legendre Monge Carnot
Gauss Fourier Poisson Bolzano Cauchy Abel Galois Jacobi Dirichlet Weierstrass
e Riemann Eacute vaacutelido ressaltar que outros personagens zeram contribuiccedilotildees favoraacuteveis
e que natildeo foram mencionados para natildeo haver fuga ao escopo principal dessa pesquisa
Aleacutem disso os personagens destacados foram formidaacuteveis e providenciais para o desen-
volvimento aprimoramento potencialidade aplicabilidade formalidade e padronizaccedilatildeo
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 23
loacutegica do Caacutelculo
A partir do seacuteculo XV II eacute que se evidenciou a evoluccedilatildeo formal no desenvolvi-
mento do Caacutelculo apesar de suas noccedilotildees intuitivas serem encontradas por volta de 1650
aC isto eacute dezessete seacuteculos anteriores aos tempos da era cristatilde foi encontrado no papiro
Rhind cuja coacutepia foi realizada pelo escriba Ahmes (ou Ahmose) evidecircncias de que os
egiacutepcios descobriram de maneira correta que o volume de uma piracircmide de base qua-
drada equivale a 13do volume do prisma retangular de mesma base e mesma altura Eacute
vaacutelido ressaltar que natildeo havia demonstraccedilatildeo de tal relaccedilatildeo nem deveria pois para checar
a veracidade com rigor e precisatildeo eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees de innitesimais perten-
centes ao Caacutelculo Aleacutem dos indiacutecios encontrados nesse papiro tambeacutem foram descobertos
tabulas cuneiformes babilocircnicas que destacam problemas relacionados ao Caacutelculo especi-
camente no algoritmo iterativo empregado para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero
racional e na mensuraccedilatildeo de guras planas
Conforme BOYER [4] (1992 p2)
() Jaacute no seacuteculo XV II aC os babilocircnicos aplicaram sua aacutelgebra admi-ravelmente exiacutevel a uma ampla gama de problemas praacuteticos incluindomensuraccedilatildeo de guras Conhecendo o teorema de Pitaacutegoras acharamcorretamente a diagonal de um quadrado ateacute o equivalente a meia duacuteziade casas decimais Tomavam a aacuterea do ciacuterculo geralmente como o tri-plo da aacuterea do quadrado sobre ao raio ma em pelo menos uma ocasiatildeousaram para uma aproximaccedilatildeo melhor 31
8 ()
Embora egiacutepcios e babilocircnicos em niacutevel mais acentuado tenham deixado evi-
dente a habilidade em aacutelgebra natildeo se pode dizer o mesmo em relaccedilatildeo agrave loacutegica empregada
Nesse sentido de preocupaccedilatildeo com o rigor loacutegico a partir de princiacutepios baacutesicos destacam-
se os trabalhos desenvolvidos na Greacutecia desde a descoberta da incomensurabilidade por
Hiacutepias (c de 425 aC) perpassando pelos quatro paradoxos propostos pelo loacutesofo Ze-
natildeo de Eleacuteia (c de 450 aC) que indicavam a existecircncia de um processo innito e pelo
brilhante trabalho de Eudoacutexio (ou Eudoxo cerca 370 aC) que propocircs uma teacutecnica de
comprovaccedilatildeo de validade de uma proposiccedilatildeo o meacutetodo da Exaustatildeo o qual eacute considerado
um prenuacutencio mais proacuteximo do Caacutelculo por parte de estudiosos gregos ateacute o aacutepice das
experiecircncias argumentos (reduccedilatildeo ao absurdo duplo) e meacutetodos bastante precisos desen-
volvidos por Arquimedes (287 minus 212 aC) para obter suas demonstraccedilotildees rigorosas das
foacutermulas de aacutereas e volumes em que frequentemente guravam seacuteries innitas
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 24
Consideradas duas grandezas desiguais se da maior subtraiacutemos umagrandeza maior que sua metade e da que resta uma grandeza maiorque sua metade e se este processo eacute repetido continuamente restaraacuteuma grandeza que seraacute menor que a menor das grandezas consideradas(BOYER [4] 1992 p 4)
Segundo BOYER [4] (1992 p 4) de maneira geral eis uma das citaccedilotildees mais
elementares das noccedilotildees de limites se A eacute a maior das duas grandezas dadas (positivas)
a e A e se un = A2n
entatildeo limnrarrinfin un = 0 lt a
De acordo BOYER [4]
Deve-se notar que enquanto a notaccedilatildeo moderna recorreu ao siacutembolo deinnito a linguagem antiga cuidadosamente evitava qualquer referecircnciaaberta a um processo innito As duas formulaccedilotildees no entanto natildeo es-tatildeo distantes quanto a seu signicado Para mostrar que limnrarrinfin un = 0deve-se demonstrar que dado um nuacutemero ε positivo mesmo que pequeno(o equivalente da grandeza menor a na proposiccedilatildeo de Euclides) pode-seachar um inteiro N (o equivalente da frase de Euclides se este processoeacute repetido continuamente) tal que para n gt N vale a relaccedilatildeo un lt εO Caacutelculo de Euclides (derivado presumivelmente de Eudoacutexio) pode tersido menos efetivo que o de Newton e Leibniz dois milecircnios mais tardemas em termos de ideias baacutesicas natildeo estava muito longe do conceitode limite usado rudemente por Newton e aprimorado no seacuteculo XIX(1992 p 5)
O uacuteltimo matemaacutetico dos tempos medievais a realizar contribuiccedilotildees favoraacuteveis
agrave evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi Papus (c de 320 dC) A partir daiacute houve um decliacutenio um ver-
dadeiro breu secular e histoacuterico de difusatildeoemancipaccedilatildeoevoluccedilatildeoativaccedilatildeo dos conceitos
do Caacutelculo Somente apareceraacute novamente discussatildeo proacutexima agrave teoria do Caacutelculo nos tem-
pos modernos por meio dos trabalhos de Nicole Oresme no seacuteculo XIV e Regiomontanus
no seacuteculo XV
O seacuteculo XV I foi o periacuteodo de reativaccedilatildeo do desenvolvimento dos concei-
tos principais do Caacutelculo Destacam-se nessa empreitada os trabalhos de Simon Stevin
(1548 minus 1620) e Luca Valerio (cerca de 1552 minus 1618) que evitaram a dupla reduction
ad absurdum do meacutetodo da exaustatildeo e zeram uso de um meacutetodo que fazia uma passa-
gem direta ao limite Aliaacutes Stevin o Arquimedes Holandecircs foi o primeiro a demonstrar
numericamente que uma sequencia de nuacutemeros tendia a um valor limite ao analisar pro-
posiccedilotildees relacionadas ao estudo de pressatildeo de uidos embora admitir mais credibilidade
ao tratamento geomeacutetrico
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 25
Nessa linha de defesa observe o relato EVES [11]
()Stevin usava esse meacutetodo em seu trabalho no campo da hidrostaacute-tica para determinar a forccedila exercida pela pressatildeo de um uido sobreum dique vertical Basicamente sua ideia consistia em dividir o diqueem faixas horizontais e entatildeo fazer cada uma girar em torno de suasbordas superior e inferior ateacute que elas se tornassem paralelas ao planohorizontal Fundamentalmente eacute esse o meacutetodo usado loje em dia emnossos textos elementares de Caacutelculo (2004 [11] p424)
Aleacutem de Stevin Johann Kepler (1573minus 1630) e Galileu Galilei (1564minus 1642)
foram pioneiros a evitar os rigores do meacutetodo da exaustatildeo apesar de utilizar incessante-
mente os meacutetodos de Arquimedes Devido a tal atitude foram os responsaacuteveis pela mudan-
ccedilasmodicaccedilotildees no panorama da anaacutelise innitesimal (innitamente grande e innita-
mente pequeno) Nesse sentido eacute vaacutelido ressaltar que Kepler heuriacutestico demasiadamente
para ganhar tempo e economizar trabalho utilizou a adiccedilatildeo de grandezas innitamente
pequenas quando imaginou o volume de cada barril de vinho formado por uma enorme
quantidade de secccedilotildees circulares com altura tendendo a zero e ainda segundo EVES [11]
(2004 p 424) considerava uma circunferecircncia como um poliacutegono regular de um nuacutemero
innito de ladose a partir desse raciociacutenio pode-se estendecirc-lo para caracterizar uma es-
fera como uma reuniatildeo de innitas piracircmides com as peculiaridades de serem delgadas e
com veacutertice coincidente com o centro da esfera
O seacuteculo XV II eacutepoca em que se destacaram os trabalhos elaborados por
Cavalieri Torricelli (1608 minus 1647) Roberval (1602 minus 1675) Descartes Fermat Wallis
Barrow Newton e Leibniz houve uma consideraacutevel produtividade do desenvolvimento da
matemaacutetica com a criaccedilatildeo da geometria analiacutetica e evoluccedilatildeo das teacutecnicas de quadratura
eou cubatura as quais satildeo empregadas a curvas e soacutelidos especiacutecos ou famiacutelias de cur-
vas Eacute vaacutelido ressaltar que o conceito de limite natildeo foi utilizado pelos ceacutelebres nomes
citados nem sequer reconheciam e perceberam a necessidade da fundamentaccedilatildeo de tal
teoria Dentre os diversos estudos de destaque potencial nesse periacuteodo mencionaremos
a contribuiccedilatildeo de Bonaventura Cavalieri (1598 minus 1647) com seu brilhante meacutetodo dos
indivisiacuteveis (Geometria indivisibilibus) em que nos apresenta as preacutevias dos atuais prin-
ciacutepios de Cavalieri ferramentas essenciais para o Caacutelculo Integral moderno e os estudos
de Reneacute Descartes (1596 minus 1650) e Pierre de Fermat (de 1509 ateacute 1608 ou 1601 minus 1665)
com contribuiccedilotildees pontuais para a fundamentaccedilatildeo e para o desenvolvimento da Geometria
Analiacutetica
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 26
Apoacutes o desenvolvimento do campo da geometria analiacutetica as bases do Caacutelculo
moderno estavam prontas para se tornar cada vez mais evidentes e direcionadas agrave reso-
luccedilatildeo dos dois problemas fundamentais do Caacutelculo encontrar retas tangentes a curvas
e determinar valores exatos para aacutereas de regiotildees limitadas pelo menos em parte por
curvas (problemas de quadratura) Nesse sentido faz-se necessaacuterio citar as contribuiccedilotildees
de grande magnitude de um francecircs Fermat trecircs ingleses John Wallis (1616minus1703) Isaac
Barrow (1630minus 1677) Isaac Newtow (1642minus 1727) e um alematildeo Gottfried Wilhelm Leib-
niz (1646minus1716) para o que futuramente seria batizado de Caacutelculo Diferencial e Integral
Eacute vaacutelido ressaltar que tanto o Newton quanto o Leibniz de maneira independente foram
os responsaacuteveis pelo desenvolvimento das bases notaacuteveis do Caacutelculo moderno e por isso
satildeo considerados responsaacuteveis pela invenccedilatildeo
Note que em momento algum foi destacada a necessidade de utilizaccedilatildeo da
teoria de limite Embora tal conceito tenha sido negligenciado em diversos trabalhos eacute
importante destacar que Newton foi o pioneiro no reconhecimento do papel fundamental
que o limite iria desempenhar no desenvolvimento de problemas relativos ao Caacutelculo
(tangecircncias quadraturas e ans) Tal armativa pode ser constatada em seu Livro I
do Principia Mathematica (1687) na qual haacute uma tentativa de formular um conceito de
limite De acordo com BOYER [3]
Quantidades e as razotildees de quantidades as quais em qualquer temponito convergem continuamente para igualdade e antes do nal daqueletempo se aproximam entre si por qualquer dada diferenccedila tornam-seiguais no nal (BOYER [3] 1996 p 274)
O desenvolvimento da matemaacutetica e em particular as aplicaccedilotildees do Caacutelculo
durante o seacuteculo XV III XIX e XX eacute repleto de histoacuterias esplecircndidas e momentos de
contribuiccedilotildees memoraacuteveis agrave expansatildeo da aplicabilidade das teorias relacionadas ao estudo
de Caacutelculo Vaacuterios satildeo os nomes que se destacaram membros da famiacutelia Bernoulli G
F A de LHospital (1661 minus 1704) Johann I (1667 minus 1748) Nicolas I (1687 minus 1759) e
Daniel (1700minus1782) Brook Taylor (1685minus1731) Leonhard Euler (1707minus1783) e Alexis
Claude Clairaut (1713minus1765) Colin Maclaurin (1698minus1746) Jean Le Rond DAlembert
(1717minus 1783) Joseph-Louis Lagrange (1736minus 1813) etc Dentre os ceacutelebres citados os
quais natildeo estabeleceram uma fundamentaccedilatildeo rigorosa para o Caacutelculo eacute vaacutelido destacar
na corrida pela formalizaccedilatildeo do conceito de limite (pilar baacutesico do Caacutelculo ensinado nos
dias de hoje) uma deniccedilatildeo especial como a que foi posta na ceacutelebre Encyclopeacutedie
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 27
(1751 minus 1776) em que DAlembert ponderou que para denir a derivada precisamente
era necessaacuterio entender as noccedilotildees de limite primeiro
Uma quantidade eacute o limite de uma outra quantidade quando a segundapuder se aproximar da primeira dentro de qualquer precisatildeo dada natildeoimporta quatildeo pequena apesar da segunda quantidade nunca exceder aquantidade que ela aproxima (DALEMBERT 1772 apud FINNEYWEIR GIORDANO 2002 [12])
No nal do seacuteculo XV III e durante todo o seacuteculo XIX foi o periacuteodo de
contribuiccedilotildees dos renomados Carl Friedrich Gauss (1777minus 1855) Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768minus 1830) Bernhard Bolzano (1781minus 1848) Augustin Louis Cauchy (1789minus
1857) Niels Henrik Abel (1802minus1829) Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805minus1859) e Karl
Weierstrass (1815minus 1897) Nesse periacuteodo em que houve um estudo cuidadoso e rigoroso
em busca da deniccedilatildeo de limite destacaremos o trabalho desenvolvido por Cauchy (aluno
de Lagrange na Escola Politeacutecnica) e Weierstrass O primeiro embora tenha deixado
de lado a preocupaccedilatildeo com alguns detalhes teacutecnicos foi responsaacutevel por apresentar a
deniccedilatildeo mais proacutexima de limite que conhecemos atualmente Jaacute o segundo restabeleceu
o conceito original de limite proposto por Cauchy com tratamento estritamente aritmeacutetico
e utilizando apenas valores absolutos e desigualdades Weierstrass aleacutem de corrigir os
descuidos e erros de Cauchy formulou a deniccedilatildeo de limite empregada nos diversos livros
de Caacutelculo da era moderna na matemaacutetica e continuou suas contribuiccedilotildees estabelecendo
todo o rigor aritmeacutetico adotado no Caacutelculo e na anaacutelise matemaacutetica
Segundo BOYER [3] eacute creditada a Cauchy a introduccedilatildeo de limite de maneira
aperfeiccediloada quando publicou em 1821 em seu Cours danalyse de lEacutecole Polytechnique
Quando os valores sucessivos atribuiacutedos a uma variaacutevel aproximam-se indenidamente de
um valor xo chegando a diferir dele tatildeo pouco quanto se deseje este uacuteltimo eacute chamado
limite de todos os outros Jaacute a Weierstrass de acordo Boyer coube o trabalho de explicar
de maneira elegante e precisa substituir as ideias vagas de aproximaccedilatildeo na deniccedilatildeo de
limite de Cauchy-Bolzano por ideias que utilizavam eacutepsilon-deltacom uma linguagem
puramente numeacuterica
() Diz-se que L eacute um limite da funccedilatildeo f(x) para o valor x = a sedado qualquer nuacutemero positivo ε existe um nuacutemero positivo δ tal que|f(x)L| lt ε para qualquer x que verique 0 lt |xa| lt δ (BOYER [4]1992 p 27)
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 28
De acordo com o levantamento histoacuterico realizado eacute possiacutevel constatar que
por diversos seacuteculos o conceito de limite foi um tanto vago confuso losoacuteco intuitivo
indenido impreciso imperceptiacutevel negligenciado dentre outros inuacutemeros adjetivos cor-
relacionados A matemaacutetica moderna foi desfrutar das noccedilotildees de limite somente durante
o periacuteodo europeu intitulado de Iluminismo nal do seacuteculo XV III e iniacutecio do seacuteculo
XIX Jaacute a deniccedilatildeo formal (rigorosa loacutegica e correta) apresentada nos livros de Caacutelculo
atuais foi formalizada por volta do ano 1856 (haacute uns 160 anos)
Figura 32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1 + 2460
+ 51602
+ 10603
= 1414212
Fonte ptwikipediaorgwikiMatemaacuteticababilnica[35]
29
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA
EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA
Segundo os anais da histoacuteria da Matemaacutetica a constataccedilatildeo da presenccedila das no-
ccedilotildees de limite iniciou desde os tempos antigos ateacute o desenrolar da invenccedilatildeoevoluccedilatildeoaplicaccedilatildeo
do Caacutelculo (seacuteculos XV II XV III XIX) De acordo com BOYER [4] tal descoberta
jaacute impressionava e tirava o sono de estudiosos gregos
() Foi um choque para a comunidade matemaacutetica grega tomar conheci-mento de que haacute coisas como segmentos de reta incomensuraacuteveis e que aocorrecircncia dessa situaccedilatildeo eacute espantosamente comum isto eacute que conceitosans ao Caacutelculo aparecem nas mais elementares situaccedilotildees Os diaacutelogosde Platatildeo mostram que os matemaacuteticos da eacutepoca caram profundamentepertubados com essa descoberta (BOYER [4] 1992 p 3)
Ainda nessa linha assim se pronunciou EVES [11]
() Esses conceitos tecircm tanto alcance e tantas implicaccedilotildees no mundomoderno que talvez seja correto dizer que sem algum conhecimento delesdicilmente hoje uma pessoa poderia considerar-se culta (EVES [11]2004 p 417)
Eacute importante ressaltar que a ordem do desenvolvimento histoacuterico do Caacutelculo
foi diferente da ordem apresentada nos livros textos e cursos baacutesicos sobre o assunto isto
eacute houve inicialmente o surgimento do Caacutelculo Integral e muito tempo depois apareceram
os conceitos ligados ao Caacutelculo Diferencial Segundo EVES [11]
() A ideia de integraccedilatildeo teve origens em processos somatoacuterios ligadosao caacutelculo de certas aacutereas e certos volumes e comprimentos A diferen-ciaccedilatildeo criada bem mais tarde resultou de problemas sobre tangentes acurvas e questotildees sobre maacuteximos e miacutenimos Mais tarde ainda vericou-se que a integraccedilatildeo e a diferenciaccedilatildeo estatildeo relacionadas entre si sendocada uma delas operaccedilatildeo inversa da outra (EVES [11] 2004 p 417)
Assim eacute possiacutevel vericar uma gama de assuntos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular nas fases nais do Ensino Fundamental e durante o Ensino Meacutedio que evocam as
ideias correlatas do Caacutelculo e em particular as noccedilotildees de limite Embora seja possiacutevel
constatar a presenccedila das noccedilotildees de limite e de integral no Ensino Fundamental haacute um
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 30
consenso de que natildeo eacute pedagogicamente correto destacar a presenccedila de tais conceitos nessa
fase dado que um nuacutemero consideraacutevel de alunos ainda natildeo possui maturidade (manipula-
ccedilatildeo algeacutebrica soacutelida poder de abstraccedilatildeo consolidado domiacutenio amplo da aritmeacutetica etc)
suciente para compreender tamanho grau de abstraccedilatildeoexigecircncia Caso haja alunos com
tal capacidade eacute recomendado propor em aulas especiais direcionadas didaticamente com
a linguagem de assimilaccedilatildeo proacutepria bem proacutexima dos alunos Nesse iacutenterim a presenccedila
da noccedilatildeo intuitiva de limite e ideais correlatas de integral pode ser destacada de forma
construtiva e com grau de abstraccedilatildeo passiacutevel de entendimento em pelo menos trecircs pontos
especiacutecos estudados no Ensino Fundamental a primeira abordagem pode ser inserida
a partir do momento em que o professor inicia o estudo dos nuacutemeros racionais (diacutezimas
perioacutedicas) o segundo enfoque pode ser aplicado ao demonstrar de maneira completa o
Teorema de Tales e a terceira citaccedilatildeo deve ocorrer ao estudar aacutereas de guras planas
principalmente ao apresentarprovar a aacuterea de uma regiatildeo retangular A exibiccedilatildeo desses
toacutepicos direcionada ao Ensino Fundamental pode ser conferida ao realizar a leitura do
capiacutetulo referente agraves sequencias didaacuteticas sugeridas posteriormente nessa dissertaccedilatildeo
Na ordem cronoloacutegica e didaacutetica dos livros atuais de matemaacutetica do Ensino
Meacutedio nota-se a necessidade de introduccedilatildeo das noccedilotildees de limite jaacute na 1a seacuterie Ao estudar
a representaccedilatildeo decimal de nuacutemeros racionais innitos e perioacutedicos jaacute se faz uso impliacutecito
do conceito de limite Nessa mesma linha ao apresentar os nuacutemeros irracionais e reais
tambeacutem eacute necessaacuterio em diversos pontos citar a ideia de limite Em seguida haacute necessidade
de mencionar a referida teoria ao estudar as minuacutecias de uma funccedilatildeo seja ela qual for
principalmente ao realizar a anaacutelise graacuteca Tambeacutem eacute possiacutevel vericar a aplicabilidade
de limite ao estudar sequecircncias em particular e em maior grau ao estudar a soma de uma
seacuterie convergente (progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo (q) denida por (0 lt |q| lt 1) Aleacutem
disso pode-se adaptar a referida soma numa aplicaccedilatildeo praacutetica usual e diaacuteria que consiste
no estudo de capitalizaccedilatildeo contiacutenua em Matemaacutetica Financeira (deniccedilatildeo do nuacutemero de
Euler) Eacute possiacutevel promover atividades interdisciplinas com a Fiacutesica e com a Quiacutemica
Relativamente agrave primeira justica-se a correspondecircncia durante o estudo de Mecacircnica
(velocidade e aceleraccedilatildeo instantacircnea trabalho realizado por uma forccedila etc) Enquanto
a segunda a associaccedilatildeo pode ser feita durante o estudo de Desintegraccedilatildeo Radioativa Ao
estudar Geometria plana eacute possiacutevel embutir agraves noccedilotildees de limite ao inserir o conceito de
grandezas incomensuraacuteveis ao demonstrar o Teorema de Tales e consequentemente ao
aplicaacute-lo ao estudo de semelhanccedila de triacircngulos e nalmente ao introduzir o estudo de
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 31
aacutereas de guras planas (ciacuterculo e suas partes segmento paraboacutelico hipeacuterboles etc) em
particular aquelas que apresentam pelo menos um lado curviliacuteneo
Durante a 2a seacuterie ou fase nal da 1a haacute necessidade de menccedilatildeo a ideia de
limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas aleacutem de aparecer ao estudar aacutereas
superciais e volumes de soacutelidos geomeacutetricos Tambeacutem nota-se indiacutecio ao estudar o caacutel-
culo de determinantes ao discutir sistemas lineares ao resolver problemas de contagem
(somatoacuterios de seacuteries especiacutecas) pertencentes agrave anaacutelise combinatoacuteria e ao investigar de-
terminadas probabilidades associadas a problemas baacutesicos De maneira interdisciplinar
constata-se a necessidade de ecircnfase no estudo do trabalho realizado por um gaacutes numa
transformaccedilatildeo isoteacutermica (Lei de Boyle) por exemplo
Jaacute na 3a seacuterie eacute possiacutevel incrementar o estudo de Geometria Analiacutetica Cocircnicas
e Polinocircmios com uma abordagem que evoque o emprego das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo
(limite derivada e integral) Aleacutem disso eacute possiacutevel promover atividades suplementares
que apliquem as ideias correlatas do Caacutelculo em toacutepicos do estudo de eletricidade (campo
eleacutetrico potecircncia corrente etc)
32
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS
A importacircncia do estudo de limites derivadas e integrais pode ser vericada
ao analisar os nuacutemeros relativos agraves grades dos cursos ofertados pelas universidades fe-
derais e por algumas faculdades particulares Por exemplo a Universidade Federal do
Espiacuterito Santo (UFES) oferece 90 cursos de graduaccedilatildeo (total de 4975 vagas anuais) e des-
ses haacute uma variedade de cursos cujas ementas empregam direta ou indiretamente noccedilotildees
elementares de Caacutelculo tais como Fiacutesica Quiacutemica Estatiacutestica Matemaacutetica Ciecircncias Bi-
oloacutegicas Administraccedilatildeo Arqueologia Medicina Farmaacutecia Ciecircncias Contaacutebeis Ciecircncias
Econocircmicas Engenharias Arquitetura e Urbanismo Psicologia Agronomia Zootecnia
Sistemas de Informaccedilatildeo Desenho Industrial Tecnologia Mecacircnica Oceanograa e Ciecircncia
da Computaccedilatildeo Dentre os cursos de bacharelados e licenciaturas distribuiacutedos em turnos
(Diurno Vespertino e Noturno) e espalhados pelo Campus da UFES mais de 50 neces-
sita do conhecimento de ideias correlatas do Caacutelculo isto eacute mais da metade dos futuros
prossionais a serem formados pela UFES precisam estudar impliacutecita ou explicitamente
noccedilotildees de limite derivada e integral
Somente os dados relatados no paraacutegrafo anterior seriam sucientes para jus-
ticar o retorno do emprego de noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo no Ensino Meacutedio poreacutem haacute
outros fatores que reforccedilam a temaacutetica abordada nesse trabalho De acordo com informa-
ccedilotildees fornecidas pelos meios regulamentadores da educacional nacional de niacutevel superior
na aacuterea de Engenharias haacute uma reduccedilatildeo (nos vestibulares do paiacutes) no nuacutemero de inscritos
em cursos de exatas e aumento constante da evasatildeo dos alunos matriculados em cursos
que envolvam o emprego de elementos do Caacutelculo em particular os de engenharia de-
vido agrave diculdade encontrada pelos alunos via anaacutelise preliminar da grade curricular do
curso pretendidoe em parte pelo fato de natildeo receber orientaccedilotildees sobre toacutepicos correlatos
do caacutelculo diferencial e integral no ensino fragmentado e desmotivador promovido pela
maioria das escolas brasileiras haacute seacuteculos em geral natildeo estar sendo realizado um traba-
lho interdisciplinar signicativo e com respaldo de preparaccedilatildeo para o ingresso futuro no
ensino superior
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 33
Uma proposta de mudanccedila desse panorama preocupante pode ser realizada via
inclusatildeo de conceitos baacutesicos do Caacutelculo Diferencial e Integral no Ensino Meacutedio fato que
proporcionaria aos alunos aulas motivadoras interdisciplinares e mais proacuteximas da reali-
dade dos alunos com uma discussatildeo mais ampla natural generalizada e contextualizada
de conteuacutedos do proacuteprio Ensino Meacutedio Entretanto para que essa inclusatildeo ocorra eacute ne-
cessaacuterio que os cursos de Licenciatura em Matemaacutetica formem professores capazes de lidar
com essa realidade Sendo assim o Caacutelculo Diferencial e Integral deve ser apresentado
aos licenciandos como uma disciplina baacutesica poreacutem ampla e integradora propiciando aos
futuros professores uma visatildeo mais geral e segura dos conteuacutedos do Ensino Meacutedio Eacute im-
portante salientar que haacute estados brasileiros que apresentam noccedilotildees de Caacutelculo em seus
curriacuteculos escolares baacutesicos do Ensino Meacutedio
Antes de iniciar as consideraccedilotildees quanto agrave existecircncia ou natildeo das noccedilotildees intui-
tivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo nos livros dos diversos autores renomados
cujos livros didaacuteticos satildeo amplamente adotados para tornar completa a breve discussatildeo
histoacuterica e embasada pela opiniatildeo de diversos autores eacute salutar a realizaccedilatildeo de um diag-
noacutestico informal da situaccedilatildeo em que se encontram os cursos de que necessitam do emprego
da disciplina de Caacutelculo em suas grades curriculares Aleacutem disso faremos uma reexatildeo
do ensino de matemaacutetica no Brasil
Segundo a LDB [30] o Ensino Meacutedio eacute a etapa nal da educaccedilatildeo baacutesica(Art35)
e o mesmo deve possuir um curriacuteculo com a caracteriacutestica da terminalidade isto eacute segundo
o PCNEM (2000) [20] o Ensino Meacutedio deve ser capaz de
() assegurar a todos os cidadatildeos a oportunidade de consolidar e apro-fundar os conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental aprimoraro educando como pessoa humana possibilitar o prosseguimento de estu-dos garantir a preparaccedilatildeo baacutesica para o trabalho e a cidadania dotaro educando dos instrumentos que o permitam continuar aprendendotendo em vista o desenvolvimento da compreensatildeo dos fundamentos ci-entiacutecos e tecnoloacutegicos dos processos produtivos(Art35 incisos I a IV)(PCNEM [21] 2000 p 9)
Fazer com que haja continuaccedilatildeo dos estudos posteriormente em niacuteveis superi-
ores eacute uma meta arrojada uma vez que os resultados das avaliaccedilotildees institucionais como o
Sistema Nacional de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) e o Exame Nacional do Ensino
Meacutedio (ENEM) cujas provas satildeo produzidas pelo governo federal indicam um iacutendice de
fracasso ao teacutermino do ensino meacutedio pois uma parcela consideraacutevel dos formandos apre-
sentam diculdades baacutesicas na compreensatildeo de conceitos e procedimentos fundamentais
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 34
quanto agraves operaccedilotildees aritmeacuteticas e compreensatildeo geral via interpretaccedilatildeo Contudo ainda
se faz necessaacuterio propor algo que facilite a vida desses alunos pois aqueles que ingressam
no ensino superior em especial aos cursos que necessitam de uma veia na aacuterea de exatas
vatildeo se deparar com a disciplina de Caacutelculo que requer o domiacutenio amplo da matemaacutetica
baacutesica para conseguir acompanhar o grau de abstraccedilatildeo a ser introduzido por meio da
compreensatildeo das noccedilotildees iniciais de limite derivada e integral
De acordo com NIETO (2005 p7) [36] eacute certo que uma reforma deveria ser
iniciada nos ensinos fundamental e meacutedio no entanto esse aluno estaacute chegando ao curso
superior e noacutes professores universitaacuterios natildeo podemos enviaacute-los de volta E mais eacute
possiacutevel constatar que a situaccedilatildeo vem se agravando nos uacuteltimos anos devido agraves diculda-
des de aprendizagem de Matemaacutetica no Ensino Fundamental e Meacutedio evidenciadas pelos
resultados das avaliaccedilotildees sob a coordenaccedilatildeo do INEP tais como as provas do Sistema de
Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) do Exame Nacional do Ensino Meacutedio (ENEM)
e do Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo de Alunos (PISA) Essa conjuntura implica
diretamente na avaliaccedilatildeo da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral pois os alunos
com pouca bagagem de matemaacutetica baacutesica certamente produziratildeo rendimentos aqueacutem
das possibilidades contribuindo para o aumento dos iacutendices de reprovaccedilatildeo na referida
disciplina Isso nos conduz ao seguinte raciociacutenio Por que natildeo incluir na preparaccedilatildeo dos
alunos do Ensino Meacutedio toacutepicos que faccedilam a conexatildeo com os conceitos do Caacutelculo Dife-
rencial e Integral (um curso de nivelamento preacute-caacutelculo) Por que natildeo criar estrateacutegias
didaacuteticas que promovam a interdisciplinaridade e transforme o aprendizado dos conteuacute-
dos mais sosticado Com absoluta certeza eacute notoacuterio entre os professores e alunos via
anaacutelise de questionaacuterios acessiacuteveis em anexos que tais iniciativas podem tornar o extenso
curriacuteculo menos complexo mais loacutegico e ainda repleto de conteuacutedos natildeo fragmentados e
com signicados respaldados nas diversas contextualizaccedilotildees e interdisciplinaridades dis-
poniacuteveis e acessiacuteveis ao dia-a-dia do aluno Isto eacute eacute possiacutevel ensinar toacutepicos intuitivos
de limite derivada e integral durante o Ensino Meacutedio tanto na Matemaacutetica quanto na
Fiacutesica e Quiacutemica poreacutem eacute necessaacuterio realizar mudanccedilas nos PCN no curriacuteculo baacutesico
escolar capacitar professores e produzir material suplementar que preencha as lacunas
encontradas nos principais livros didaacuteticos utilizados atualmente
Num artigo publicado na RPM o professor Geraldo AacuteVILA [1] faz o seguinte
questionamento sobre a inclusatildeo de toacutepicos do Caacutelculo no Ensino Meacutedio
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 35
Por que natildeo ensinamos Caacutelculo na escola de segundo grau Seraacute queeacute um assunto muito difiacutecil Foi sempre assim no passado ou jaacute houveeacutepoca em que o Caacutelculo era ensinado na escola secundaacuteria E nos outrospaiacuteses como eacute a situaccedilatildeo Eacute ou natildeo conveniente introduzir o Caacutelculo noensino Por que Como fazer isso (AacuteVILA [1] 1991 p1)
Eacute vaacutelido ressaltar que uma introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial e Integral jaacute
esteve presente no curriacuteculo escolar baacutesico Segundo CARVALHO (1996) [5] a participaccedilatildeo
ocorreu em dois momentos distintos em 1891 com a reforma proposta por Benjamim
Constant no iniacutecio da Repuacuteblica foi a primeira oportunidade em que houve constataccedilatildeo
da presenccedila e a segunda iniciou em 1942 durante a Reforma Capanema ocorrida no
governo de Getuacutelio Vargas permanecendo ocialmente ateacute 1961 Durante as deacutecadas de
60 e 70 inuenciado pelo movimento da Matemaacutetica Moderna o ensino brasileiro sofreu
mudanccedilas consideraacuteveis dentre elas a exclusatildeo do Caacutelculo do programa baacutesico de ensino
Tambeacutem eacute importante citar que ateacute nos dias atuais ainda encontra-se alguns
livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio que fazem menccedilatildeo a toacutepicos relativos ao Caacutelculo em-
bora sejam negligenciados por parte dos professores e gestores com o pretexto de que
ampliariam o jaacute extenso curriacuteculo e aleacutem disso a linguagem empregada eacute inacessiacutevel aos
estudantes isto eacute quando haacute presenccedila no livro didaacutetico natildeo ocorre inclusatildeo no curriacuteculo
escolar baacutesico Na verdade o que se faz nos dias atuais nas escolas de Ensino Meacutedio das
redes puacuteblica e privada eacute um verdadeiro curso preacute-ENEM (curso preacute-vestibular) extensivo
aos trecircs anos de estudo no Ensino Meacutedio com o intuito de promover a instituiccedilatildeo com
iacutendices de aprovaccedilatildeo em faculdades e universidades do paiacutes em detrimento ao estiacutemulo a
um ensino construtivo signicativo e passiacutevel de ser aproveitaacutevel em estudos posteriores
no ensino superior ou tecnoloacutegico Imagine como reagiria um professor enclausurado nesse
sistema de ensino que prioriza conteuacutedos fragmentados e sem signicados ao ser questi-
onado com uma pergunta simples do tipo O que eacute limite derivada e integral Onde
aplico tais ideiasMuitos colegas de prossatildeo jaacute responderam assim Quando vocecirc es-
tudar Caacutelculo vocecirc saberaacute Ou entatildeo Isso vocecirc soacute aprende na faculdade Essa atitude
com absoluta certeza desapontaria demais o aluno aacutevido pelo conhecimento e talvez ateacute
sepultaria uma mente prodigiosa apta ao desenvolvimento do Caacutelculo
Ainda nesse sentido observe a opiniatildeo de AacuteVILA (1991 p1-9) [1] o qual
defende que o conceito de derivada pode ser ensinado com grande vantagem logo na
primeira seacuterie do segundo grau ao lado do ensino de funccedilotildeese ainda destaca a importacircncia
do estudo da derivada na continuidade do estudo de funccedilotildees em especial as polinomiais e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 36
as suas variadas aplicaccedilotildees cientiacutecas principalmente no estudo do movimento na Fiacutesica
Antes da compreensatildeo do conceito de derivada eacute necessaacuterio compreender e
dominar as noccedilotildees de limite pois a derivada eacute uma aplicaccedilatildeo de limite e sua deniccedilatildeo
atual utiliza as noccedilotildees de limite O domiacutenio de parte das propriedades decorrentes do
estudo de derivadas faraacute com que o entendimento de determinadas propriedades relativas
ao estudo de funccedilotildees tanto na Matemaacutetica quanto na Fiacutesica seja compreendida com mais
argumentos de maneira mais coerente contextualizada e interdisciplinar
Nessa linha eacute imprescindiacutevel mencionar o artigo Caacutelculo no Segundo Grau
publicado na RPM n 20 do professor Roberto Costallat DUCLOS (1992) [10] que segue
e apoia a linha de defesa do professor AacuteVILA sobre a possibilidade de difusatildeo de novas
ideias e sobretudo pela gama de aplicabilidade de seus meacutetodos
De acordo com os argumentos exposto pelo professor Geraldo AacuteVILA [1] na
RPM 18 eacute possiacutevel introduzir o Caacutelculo Integral no Ensino Meacutedio de modo a incitar o
interesse e a curiosidade desde que seja de maneira intuitiva dando ecircnfase as ideias e
aplicaccedilotildees em detrimento das teacutecnicas e suas propriedades Ele ainda faz uma criacutetica
agravequeles que opinam de forma contraacuteria
A ideia de que os programas de matemaacutetica satildeo extensos e natildeo compor-tariam a inclusatildeo do caacutelculo eacute um equiacutevoco Os atuais programas estatildeoisto sim mal estruturados (AacuteVILA [1] 1991 p 1-9)
Apoacutes exibir o panorama da educaccedilatildeo matemaacutetica nacional e citar as contribui-
ccedilotildees favoraacuteveis da apresentaccedilatildeo das noccedilotildees do Caacutelculo Diferencial e Integral que remetem
a ideia de limite eacute vaacutelido repassar ao leitor do presente trabalho os elementos norteadores
da referida pesquisa ou seja uma lista dos livros didaacuteticos e dos seus respectivos auto-
res com o intuito de criar uma simbologia numeacuterica isto eacute uma legenda de associaccedilatildeo
de cada livro segundo o nuacutemero indicado no rol abaixo com intuito de evitar repeticcedilotildees
desnecessaacuterias
1 Matemaacutetica Contexto amp Aplicaccedilotildees de Luiz Roberto DANTE [9] (Dante) - Editora
Aacutetica 2010
2 Matemaacutetica de Manoel PAIVA [23] Editora Moderna 2009
3 Matemaacutetica Coleccedilatildeo Novo Olhar de Joamir Roberto de SOUZA [25] Editora FTD
2010
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 37
4 Matemaacutetica Ciecircncia e Aplicaccedilotildees de Gelson IEZZI [15] Osvaldo Dolce David
Degenszajn Roberto Peacuterigo e Nilze de Almeira Editora Saraiva 2010
5 Matemaacutetica Completa de Joseacute Ruy GIOVANNI [29] e Joseacute Roberto Bonjorno (Gi-
ovanni e Bonjorno) Editora FTD 2005
6 A Matemaacutetica do Ensino Meacutedio Coleccedilatildeo do Professor de Matemaacutetica de Elon Lages
LIMA [17] Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner e Augusto Ceacutesar Morgado
Editora SBM 2006 (6a ediccedilatildeo)
7 Fundamentos de Matemaacutetica Elementar (vol 8) Editora Atual 1993 (diversos
autores)
8 Noccedilotildees de Caacutelculo (vol 9) - Seacuterie Matemaacutetica por assunto de Nilson Joseacute Machado
Editora Scipione 1988
9 Caacutelculo de Geraldo Aacutevila Editora LTC 1988
10 Caacutelculo de James Stewart (vol I) Editora Pioneira 2003 (4a Ediccedilatildeo)
Os livros didaacuteticos que foram analisados possuem publicaccedilotildees em trecircs volumes
foram numerados de 1 ateacute 6 Jaacute os livros que possuem volume uacutenico integrado ou livros
especiacutecos de coleccedilotildees divididos por assunto conforme a preferecircncia do autor foram
numerados de 7 ateacute 10 Quantos aos primeiros (de 1 a 6) foi feito uma analise minuciosa
tanto dos conteuacutedos quanto dos guias de orientaccedilatildeo do professor Jaacute os uacuteltimos (de 7
ateacute 10) foram citados simplesmente como sugestatildeo de uma leitura mais renada e com o
intuito de repassar aos professores uma oportunidade de enriquecer seus conhecimentos
com um material didaacutetico de qualidade A escolha dos livros de 1 a 6 eacute justicada pelo
fato de que a maioria desses autores estaacute ou jaacute esteve presente de forma maccedilante nas
escolas puacuteblicas e particulares brasileiras
A anaacutelise realizada nos livros consiste numa investigaccedilatildeo especiacuteca e minuciosa
em busca de pontos (conteuacutedos) que faccedilam menccedilatildeo as noccedilotildees elementares e intuitivas do
Caacutelculo (limite derivada e integral)
Dentre todos os livros analisados destaca-se o livro do DANTE (1) como o
mais completo em todos os aspectos (deniccedilotildees mais rigorosas maior nuacutemero de de-
monstraccedilotildees conteuacutedo contextualizada e interdisciplinar etc) poreacutem eacute vaacutelido ressal-
tar que a linguagem adotada natildeo eacute tatildeo simples assim como os exerciacutecios propostos
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 38
possuem grau de diculdade mais acentuado Aleacutem disso consiste no material didaacute-
tico que mais se aproxima do propoacutesito desse trabalho ou seja de explicar eou jus-
ticar os fatosconteuacutedosteoremas com argumentos satisfatoacuterios e com ideias intuiti-
vasinterdisciplinascontextualizadasconstrutivas sem receio de abordar toacutepicos relativos
ao Caacutelculo Diferencial e Integral
No livro (1) volume 1 a presenccedila das noccedilotildees intuitivas de limite pode ser
vericada no estudo de diacutezimas perioacutedicas na apresentaccedilatildeo do nuacutemero irracional e no
estudo do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica na soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita e no caacutelculo da aacuterea do ciacuterculo Tambeacutem eacute notaacutevel a presenccedila das noccedilotildees de
derivada ao trabalhar com taxa de variaccedilatildeo da funccedilatildeo quadraacutetica e consequente aplicaccedilatildeo
no Movimento Uniformemente Variado (MUV) Nesse iacutenterim tambeacutem ocorre menccedilatildeo
elementar do estudo de integral via aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau No
volume 2 da referida da obra a ideia de limite estaacute presente no estudo da aacuterea da superfiacutecie
esfeacuterica Jaacute no volume 3 haacute um estudo completo das noccedilotildees elementares de derivada via
razatildeo incremental e via aplicaccedilotildees em problemas da Fiacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que tais
noccedilotildees motivaram algumas atividades presentes na sequecircncia didaacutetica a ser apresentada
nesse trabalho O manual do professor embora seja pedagoacutegico com excelentes dicas
de atividades utilizando diversas metodologias recursos didaacuteticos softwares educacionais
e sugestotildees de revistas livros e lmes atrelados ao ensino de matemaacutetica natildeo possui
formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo alguma que oriente o professor a trabalhar com ideias correlatas do
Caacutelculo
O volume 1 do livro (2) haacute apenas uma citaccedilatildeo direta das ideias de limite
ao introduzir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita Jaacute no volume
(2) uma citaccedilatildeo indireta das noccedilotildees elementares de limite ao explicar a aacuterea do ciacuterculo
Quanto ao volume 3 natildeo haacute menccedilatildeo alguma das noccedilotildees elementares do Caacutelculo A
propoacutesito o manual destinado aos professores como suporte de preparaccedilatildeo para suas
aulas natildeo apresenta toacutepicos do Caacutelculo e haacute diversos pontos de erros conceituais
A partir da avaliaccedilatildeo do volume 1 do livro (3) foi possiacutevel vericar que haacute
somente um breve comentaacuterio no estudo de soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
das noccedilotildees de limite E mais natildeo existe citaccedilatildeo no volume 2 e no volume 3 temos
apenas um comentaacuterio ao calcular a aacuterea da superfiacutecie da esfera O guia pedagoacutegico natildeo
menciona elementos do caacutelculo embora promova inuacutemeras situaccedilotildees em que o emprego
das noccedilotildees de caacutelculo poderia se explorada de maneira luacutedica criativa interdisciplinar e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 39
contextualizada
No livro (4) volume 1 tambeacutem existe uma abordagem de limite no estudo de
soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Enquanto no volume 2 haacute um preluacutedio
das ideias de limite atreladas as noccedilotildees de integral quando aborda a aacuterea do ciacuterculo e
quando explora a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica Em relaccedilatildeo ao volume 3 natildeo haacute citaccedilotildees
intuitivas de limite derivada e integral Embora a quantidade de abordagens de ideias
correlatas do Caacutelculo seja piacutea o manual pedagoacutegico estaacute coberto de estrateacutegias inovado-
ras que podem ser exploradas e incrementadas de noccedilotildees de limite deriva ou ateacute mesmo
integral
Tambeacutem no volume 1 do livro (5) foi possiacutevel constatar que as ideias de limite
estatildeo sendo difundidas ao inserir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Jaacute no
volume 2 da referida obra o autor faz referencia as noccedilotildees de limite e de integral ao provar
o volume da esfera Enquanto o volume 3 apresenta um estudo das noccedilotildees elementares de
limite e de derivadas assim como suas propriedades e aplicaccedilotildees Embora haja capiacutetulos
especiacutecos que abordam toacutepicos do Caacutelculo de maneira simploacuteria e pouco signicativa
o manual pedagoacutegico do professor mostrou-se deciente quanto ao direcionamento do
trabalho para incitar as ideias correlatas do Caacutelculo Eacute bom salientar que a obra analisada
eacute a coleccedilatildeo de trecircs volumes mais antiga anterior a mudanccedila do novo ENEM e talvez isso
seja uma justicativa para o emprego de limite e derivadas em detrimento ao modelo
padronizado dos livros publicados de 2009 em diante que supervalorizam as atividades em
favor de situaccedilotildees problema tipo ENEM
Enm o livro (6) volume 1 da Coleccedilatildeo Professor de Matemaacutetica (SBM) des-
tinada a professores que atual no ensino meacutedio apresenta citaccedilotildees das noccedilotildees intuitivas
de limite e de derivadas com excesso de rigor e abstraccedilatildeo ao estudar a continuidade da
funccedilatildeo proporcionalidade via limite de uma sequencia e ao estudar de forma interdisci-
plinar o MUV via razatildeo incremental (noccedilatildeo intuitiva de derivada) Tambeacutem haacute citaccedilatildeo
das ideias de derivadas ao citar ao estudar as funccedilotildees polinomiais via meacutetodo de Newton
e ainda haacute citaccedilatildeo das noccedilotildees de limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas
via justicativa do comportamento de graacutecos e estabelecimento no nuacutemero de Euler Jaacute
no volume 2 da referida coleccedilatildeo haacute citaccedilatildeo de limite durante o estudo de soma dos termos
de uma progressatildeo geomeacutetrica innita e menccedilatildeo intuitiva de integral ao propor o volume
de corpos redondos (cilindros cones e esferas) E nalmente no volume 3 ocorre uma
menccedilatildeo ao estudo derivada via equaccedilotildees algeacutebricas Eacute vaacutelido ressaltar que natildeo haacute guia de
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 40
orientaccedilatildeo para os professores pois o proacuteprio livro trata-se de uma guia de reexatildeo criacutetica
em relaccedilatildeo agrave abordagem precaacuteria de matemaacutetica encontrada nos principais livros didaacuteticos
do paiacutes O niacutevel dos exerciacutecios dos trecircs volumes eacute de grau elevadiacutessimo e os idealizadores
do referido material satildeo professores do Instituto de Matemaacutetica Pura e Aplicada (IMPA
RJ) o que certamente explica a fundamentaccedilatildeo precisa a preocupaccedilatildeo com o rigor da
linguagem e o grau de abstraccedilatildeo existentes nas proposiccedilotildees demonstraccedilotildees aplicaccedilotildees e
exerciacutecios dos livros em questatildeo
Assim foi possiacutevel avaliar que todos os livros analisados exibiram as noccedilotildees
elementares do Caacutelculo somente durante o estudo da soma dos termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita e em alguns casos de caacutelculo da aacuterea de ciacuterculos aacuterea supercial e
volume de uma esfera Apenas os livros (1) e (5) possuem apresentaccedilatildeo de elementos do
Caacutelculo de maneira sistecircmica e conceitual poreacutem a metodologia natildeo eacute conveniente e a
linguagem empregada estaacute distante da realidade da educaccedilatildeo puacuteblica da rede estadual do
Espiacuterito Santo Essas consideraccedilotildees reetem o caraacuteter defendido nos PCNEM [21] que
natildeo fazem menccedilatildeo a necessidade de repassar aos alunos elementos essenciais do Caacutelculo e
no curriacuteculo baacutesico estadual que apresenta excesso de conteuacutedo e ausecircnciadeciecircncia de
atividades que estimulem a modelagem matemaacutetica e o estudo dirigido de noccedilotildees intuitivas
de limite derivada e integral
A partir da anaacutelise dispostos de forma tabular a seguir eacute possiacutevel inferir de ma-
neira resumida e simplicada as conclusotildees obtidas a partir da anaacutelise dos livros didaacuteticos
investigados e numerados de 1 a 6
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 41
Tabela 51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos
LIVROS DIDAacuteTICOS ANALISADOS
DANTE PAIVA JOAMIR IEZZI GIOVAN SBM
CONCLUSOtildeES IMEDIATAS 1 2 3 4 5 6
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de limite
SIM SIM SIM SIM SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de derivada
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de integral
SIM NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO NAtildeO
No manual pedagoacutegico do profes-
sor existe orientaccedilatildeo sobre a in-
serccedilatildeo de noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NPM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira contextua-
lizada intuitiva e construtiva
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira interdisci-
plinar
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Dedicam capiacutetulos exclusivos
para as noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO
Haacute exerciacutecios de xaccedilatildeo que ex-
ploram de modo investigativo as
noccedilotildees de Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Haacute alguma atividade de explo-
raccedilatildeo das noccedilotildees de Caacutelculo via
software de geometria dinacircmica
ou planilha eletrocircnica
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO
NPM = NAtildeO POSSUI MANUAL
42
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS
PROFESSORES
De acordo com a anaacutelise dos dados coletados eacute possiacutevel constatar que a maio-
ria dos professores atuantes no niacutevel baacutesico da educaccedilatildeo estaacute negligenciando o ensino das
noccedilotildees intuitivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo em detrimento ao cumprimento
do curriacuteculo preacute-estabelecido pela rede a qual trabalham eou em virtude de direciona-
mento de trabalho visando melhores resultados na prova do Programa de Avaliaccedilatildeo da
Educaccedilatildeo Baacutesica do Espiacuterito Santo (PAEBES) e ENEM Isso se justica por inuacutemeros
fatores formaccedilatildeo deciente durante a graduaccedilatildeo baixo niacutevel de aprendizagem dos alunos
(deacutecit herdado de um Ensino Fundamental tradicional arcaico obsoleto e negligente)
inexistecircncia de material didaacutetico de orientaccedilatildeo especiacuteca ausecircncia de participaccedilatildeo do
tema em estudo no curriacuteculo baacutesico norteador e inexistecircncia de cursos de capacitaccedilatildeo
para aprimorarem seus conhecimentos
Segundo a opiniatildeo geral dos professores que responderam os questionaacuterios os
cursos de licenciaturas em Matemaacutetica poderiam explorar de maneira mais diversicada as
ideias correlatas do Caacutelculo Eacute consensual que a maioria dos professores mestredoutores
das universidades federais poderia aprimorar sua didaacutetica com o intuito de melhorar a
exposiccedilatildeoapresentaccedilatildeo de determinados conteuacutedos e aleacutem disso sugeriram que a apre-
sentaccedilatildeo de conteuacutedos correlacionados ao Caacutelculo seja realizada por meio de estrateacutegias
diferenciadas (recursos didaacuteticos e modelagem matemaacutetica) Isso pode contribuir de ma-
neira signicativa para melhorar os niacuteveis de aprendizagem durante a fase de graduaccedilatildeo
e ao mesmo tempo servir de estiacutemulo para estudos posteriores Eacute certo que a realidade
vem melhorandoultimamente devido exigecircncias impostas pelas poliacuteticas governamen-
tais em melhorar os altos e absurdos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo I mas
em contrapartida os setores responsaacuteveis pela validaccedilatildeo de complementaccedilotildees (licenciatu-
ras curtas) e alguns cursos de Licenciatura a distacircncia sejam mais rigorosos ao avaliar
o conceito dessas graduaccedilotildees para que a formaccedilatildeo desses professores seja qualidade ex-
celente ao ponto de acumular bagagem de estaacutegio e conhecimento especiacuteco suciente
para explorar ao maacuteximo a capacidade de seus alunos A realidade vivenciada nos editais
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 43
de contrataccedilatildeo de professores de designaccedilatildeo temporaacuteria seja da secretaria de educaccedilatildeo
municipal ou estadual do Espiacuterito Santo aparenta nos remeter a ideia de que o tiacutetulo
eacute mais importante do que o conteuacutedo o objeto de estudo analisado Esse dado eacute um
fator que contribui indiretamente para a reduccedilatildeo da procura de alunos para as licencia-
turas na UFES e IFES Por exemplo o curso de Matemaacutetica no processo seletivo 1 UFES
20132014 ofereceu 50 vagas das quais apenas 27 alunos conseguiram obter notas que os
capacitassem para prosseguir o curso
Aqueles professores que relataram citaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
em pontos especiacutecos do Ensino Meacutedio informaram que fazem apenas uma abordagem
supercial sem embasamento teoacuterico com pouca mobilidade metodoloacutegica e sem respaldo
curricular Tambeacutem relataram que os poucos cursos de capacitaccedilatildeo que existem ocorrem
em horaacuterios e dias natildeo convenientes (recesso eou feacuterias nais de semana etc) Quanto ao
respaldo curricular os professores argumentaram que os PCNEM natildeo apresentam menccedilatildeo
alguma agrave introduccedilatildeo das ideias intuitivas do Caacutelculo E caso houvesse uma mudanccedila nesse
documento haveria necessidade de curso de formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo com material didaacutetico
autoexplicativo e focado na realidade da educaccedilatildeo baacutesica dado que os referidos docentes
natildeo fazem ideia de como realizar a introduccedilatildeo de tais conceitos no modelo educacional
vigente
Os docentes tambeacutem nos disseram que caso fossem questionados sobre algum
ponto que requeresse citaccedilatildeo de noccedilotildees elementares do Caacutelculo a priori deixariam a
discussatildeo de forma particular com o aluno que promoveu a pergunta ou entatildeo daria uma
desculpa qualquer de que tais noccedilotildees seratildeo discutidas posteriormente no Ensino Superior
somente para os privilegiados que estudaratildeo a disciplina de Caacutelculo
Os dados da pesquisa servem para uma reexatildeo sobre a situaccedilatildeo do ensino de
matemaacutetica embora o espaccedilo amostral esteja concentrado nas escolas da Grande Vitoacuteria
pode ser que esteja dissipada ao redor do estado Isso pode ser um obstaacuteculo agrave inser-
ccedilatildeo de elementos intuitivos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio pois eacute um tema bastante
discutiacutevel e natildeo dispomos de um modelo de educaccedilatildeo pronto que resolva os problemas men-
1Observaccedilatildeo o processo seletivo da UFES para o curso de Matemaacutetica eacute diferente dos demais pois o
aluno eacute preacute-aprovado para a 2a etapa e em seguida deve cursar durante o proacuteximo semestre duas disciplinas
Matemaacutetica Baacutesica I e II com a prerrogativa de obter rendimento miacutenimo de meacutedia nal de 50 pontos
em cada disciplina caso contraacuterio o aluno natildeo estaacute apto para prosseguir no curso de Matemaacutetica e o
mesmo eacute eliminado do certame
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 44
cionados Talvez tal negligecircncia tenha como consequecircncia agravante rendimentos piacuteos
por parte da maioria dos estudantes evasatildeo universitaacuteria e fuga aos cursos que requerem
conhecimento preacutevio de Caacutelculo poreacutem o universo estatiacutestico analisado natildeo eacute suciente
para tal conclusatildeo mas sim para uma reexatildeo As propostas a seguir tecircm a pretensatildeo
de preencher as lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos quanto ao repasse de noccedilotildees ele-
mentares de limite derivada e integral durante a educaccedilatildeo baacutesica Assim como promover
uma orientaccedilatildeo para os professores da educaccedilatildeo baacutesica por intermeacutedio de atividades praacute-
ticas construtivas contextualizadas e interdisciplinares Eacute vaacutelido ressaltar que o referido
trabalho jaacute eacute realizado em determinados estados brasileiros (Satildeo Paulo Minas Gerais
Rio Grande do Sul e Paranaacute) e aleacutem disso na Franccedila Portugal e Espanha o Caacutelculo
Diferencial e Integral eacute conteuacutedo do curriacuteculo miacutenimo comum obrigatoacuterio na educaccedilatildeo baacute-
sica Nos estados brasileiros que fazem referecircncia as noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio
a inclusatildeo do tema eacute inserida de maneira indireta transversal e interdisciplinar de acordo
com as duacutevidas e o grau de abstraccedilatildeo que o assunto requer A implementaccedilatildeo de nossa
proposta eacute uma tentativa de reduzir o grande abismo entre a educaccedilatildeo baacutesica e o ensino
superior Aleacutem disso pretendemos contribuir para o aumento da procura por cursos de
exatas nos vestibulares para a consideraacutevel melhora no rendimento universitaacuterio dos alu-
nos que cursavam disciplinas de Caacutelculo e para a promoccedilatildeo de um ensinoaprendizagem
mais signicativo concreto interdisciplinar contextualizado e motivador
Embora as noccedilotildees de limite derivada e integral natildeo estejam presentes de forma
direta e obrigatoacuteria no curriacuteculo miacutenimo de conteuacutedos do Ensino Meacutedio no curriacuteculo
escolar paulista (2011) haacute uma argumentaccedilatildeo excelente de defesa do ensino de noccedilotildees de
Caacutelculo na 3a etapa da educaccedilatildeo baacutesica na qual os autores trabalham com a ideia de que
havendo uma boa razatildeo para fazer algo sempre seraacute possiacutevel arquitetar uma maneira de
fazecirc-lo (quem tem um porque arruma um como) Por exemplo haacute uma orientaccedilatildeo
de trabalhar com uma escala de aprofundamento adequada ao grau de conhecimento
do aluno em questatildeo toacutepicos do Caacutelculo Diferencial por meio da anaacutelise de problemas
cotidianos (presentes em jornais e revistas) que medem a rapidez com que uma grandeza
cresce ou decresce em relaccedilatildeo agrave outra (o que futuramente aprenderatildeo como derivada)
Aleacutem disso orientam que o trabalho com o Caacutelculo Integral deve ser ealizado a partir de
uma aproximaccedilatildeo de uma grandeza variaacutevel por uma seacuterie de valores constantes (como se
fosse constante em pequenos intervalos)
45
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA
Com o intuito de realizar o resgate do repasse das noccedilotildees elementares do
Caacutelculo o presente trabalho estaraacute repleto de atividades que de forma direta eou indireta
citaratildeo as ideias intuitivas de limite de derivada e de integral
De fato haacute uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular durante o Ensino Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees
elementares do Caacutelculo e em caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite De fato haacute
uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em particular durante o Ensino
Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees elementares do Caacutelculo e em
caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite Aleacutem disso os dados das pesquisas realiza-
das revelaram agraves diculdades que muitos professores possuemteriam para expor o tema
tambeacutem foi visto que haacute mais pontos favoraacuteveis que desvantajosos em propor o resgate
da inserccedilatildeo de tais conceitos durante o Ensino Meacutedio e para nalizar foram constatadas
as deciecircncias existentes nas diversas literaturas disponiacuteveis
Assim a principal meta desse trabalho consiste em propor situaccedilotildees praacuteticas
em que haacute a necessidade de empregar e justicar o ensino das noccedilotildees intuitivas de limite e
ideias correlatas do Caacutelculo na educaccedilatildeo baacutesica em especial durante o Ensino Meacutedio Com
o intuito de ajudar colegas de prossatildeo tentamos propor abordagens do ensino das noccedilotildees
intuitivas de limite de derivada e de integral por meio de softwares de geometria dinacircmica
e planilhas eletrocircnicas de maneira que tais conceitos sejam introduzidos passo a passo
(algo bem construtivo) Pretendemos gerar um ambiente de reexatildeo sobre a importacircncia
de justicar determinados toacutepicos da matemaacutetica elementar com maior precisatildeo e aleacutem
disso fornecer subsiacutedios garantidos por lei para continuidade de estudos posteriores A
resoluccedilatildeo de cada situaccedilatildeo problema seraacute feita sempre que possiacutevel a partir dos meacutetodos
propostos por POLYA (1995) [28] os quais podem ser expressos em quatro passos
1 Compreender o problema Nesse 1o passo eacute importante fazer perguntas identicar
qual eacute a incoacutegnita do problemavericar quais satildeo os dados e quais satildeo as condiccedilotildees
entre outros
2 Construccedilatildeo de uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo Nesse 2o passo devemos encontrar as
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
conexotildees entre os dados e a incoacutegnita caso seja necessaacuterio considerando problemas
auxiliares ou particulares
3 Execuccedilatildeo da estrateacutegia Frequumlentemente o 3o passo eacute considerado o mais faacutecil do
processo de resoluccedilatildeo de um problema Contudo a maioria dos principiantes tende
a pular esta etapa prematuramente e acabam se dando mal
4 Revisatildeo da soluccedilatildeo O 4o passo consiste numa anaacutelise minuciosa da soluccedilatildeo obtida
em que eacute feita a vericaccedilatildeo dos resultados dos argumentos utilizados e da escrita
matemaacutetica aleacutem de ser uma etapa excelente para oportunizar uma reexatildeo sobre
a possibilidade de uma resoluccedilatildeo de modo diferente
Nesse iacutenterim eacute necessaacuterio ter uma preocupaccedilatildeo contiacutenua em realizar uma boa
interpretaccedilatildeo dos exerciacutecios seguida de uma atenciosa coleta de dados chegando ao ponto
de encontrar a melhor estrateacutegia para solucionar a questatildeo e apoacutes aplicar a melhor teacutecnica
(ou a mais conveniente) de resoluccedilatildeo nalizar a atividade por meio de uma revisatildeo da
soluccedilatildeo realizada com ecircnfase e detalhamento de valores obtidos assim como o estudo do
signicado semacircntico algeacutebrico ou geomeacutetrico eacute uma teacutecnica excelente e sugerimos que
se torne praacutetica diaacuteria de professores e alunos
MACHADO (2008) [19] professor e autor de livros de matemaacutetica elemen-
tarsuperior arma em seu artigo Caacutelculo Diferencial e Integral na Educaccedilatildeo Baacutesica
que a presenccedila das ideias baacutesicas do Caacutelculo eacute inserida em no dia-a-dia a partir do mo-
mento em que haacute o estudo analiacutetico do comportamento de grandezas variando com o
tempo Note o relato de MACHADO (2008 p1)
Eacute do diaacutelogo entre a permanecircncia e a variaccedilatildeo juntamente com a buscade uma forma de caracterizaccedilatildeo da rapidez com que uma grandeza variacom outra que nascem as duas ideias fundamentais do Caacutelculo a integrale a derivada (MACHADO 2008 [19] p1)
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO
FUNDAMENTAL
Embora contrarie as expectativas da maioria dos professores de matemaacutetica
atuantes nessa etapa da educaccedilatildeo baacutesica eacute possiacutevel inserir ideias fundamentais e construti-
vas de limite em diversos pontos do ensino fundamental poreacutem haacute trecircs ocasiotildees especiacutecas
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 47
em que o emprego das noccedilotildees intuitivas de limite faz-se necessaacuterio para completar o en-
tendimento e maximizar o ensinoaprendizagem dos alunos no estudo da representaccedilatildeo
decimal das diacutezimas perioacutedicas no estudo da demonstraccedilatildeo completa do Teorema de Ta-
les e no estudo de aacuterea de aacutereas de guras planas em particular a partir da aacuterea de um
retacircngulo
711 Diacutezimas Perioacutedicas
Em geral as diacutezimas perioacutedicas satildeo introduzidas a partir do 7o ano durante
o estudo da representaccedilatildeo decimal dos nuacutemeros racionais Um nuacutemero racional pode ser
representado por um nuacutemero decimal exato (diacutezima exata) que possui um nuacutemero nito
de casas agrave direita da viacutergula ou por um nuacutemero decimal innito e perioacutedico (diacutezima
perioacutedica) que possui um nuacutemero innito de casas agrave direita da viacutergula Em outras
palavras uma diacutezima perioacutedica eacute uma representaccedilatildeo numeacuterica em que haacute uma sequecircncia
nita de algarismos que se repetem indenidamente
Por deniccedilatildeo os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados
por uma fraccedilatildeo isto eacute nuacutemeros da forma pq com p e q nuacutemeros inteiros e q 6= 0 As
fraccedilotildees que geram diacutezimas perioacutedicas satildeo denominadas de fraccedilotildees geratrizes
Para transformar uma fraccedilatildeo (ab)cujo denominador apresente apenas fatores
2 ou 5 em um nuacutemero decimal pode-se aplicar o seguinte meacutetodo Considere b = 2x middot 5y
com x lt y Em seguida multiplique tanto o numerador quanto o denominador por 2yminusx
isto eacutea
b=
a middot 2yminusx
2x middot 5y middot 2yminusx=a middot 2yminusx
2y5y= a middot 2yminusx10minusy
Isso eacute equivalente a calcular o nuacutemero a middot 2yminusx e escrevecirc-lo apoacutes as x casas decimais apoacutes
a viacutergula Note que o caso x gt y eacute anaacutelogo ao anterior poreacutem o fator multiplicativo seraacute
5yminusx Por exemplo
7
20=
7
22 middot 5=
7 middot 52minus1
22 middot 5 middot 52minus1=
35
100= 0 35
A aplicaccedilatildeo desse procedimento para denominadores particulares que produ-
zem fraccedilotildees decimais nem sempre produz um nuacutemero nito de casas apoacutes a viacutergula Um
exemplo simploacuterio seria a tentativa de escrever a representaccedilatildeo decimal da fraccedilatildeo geratriz13 Note que
1
3=
1 middot 103 middot 10
=1
1010
3=
1
103 middot 3 + 1
3=
1
10(3 +
1
3) =
3
10+
1
101
3= 0 3 +
1
101
3
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 48
Repetindo o processo tem-se
1
3= 0 3 +
1
101
3= 0 3 +
1
10(0 3 +
1
101
3) = 0 3 + 0 03 +
1
1001
3
Observe que novamente apareceu a fraccedilatildeo original um terccedilo e eacute evidente que o
mesmo aconteceraacute nas proacuteximas iteraccedilotildees Isto signica que para a representaccedilatildeo decimal
de um terccedilo eacute necessaacuterio innitas casas decimais agrave direita da viacutergula Assim concluiacute-se
que1
3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()
Note que eacute importante que o professor interra com questionamentos sobre a
regularidade dos elementos que surgem nessa soma e com a solicitaccedilatildeo do Caacutelculo para um
nuacutemero particular de parcelas dessa soma A nalidade dessa tarefa eacute mostrar ao aluno
que um terccedilo eacute igual a uma soma de innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica cujo
primeiro termo eacute a1 = 0 3 e cuja razatildeo q = 0 1 (seacuterie convergente) Para calcular essa
soma eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees intuitivas de limite e isso seraacute realizado posterior-
mente nesse trabalho Note ainda que ao multiplicar a ambos os membros pelo nuacutemero
3 tem-se
3 middot 13= 3 middot 0 333rArr 1 = 0 999 = 0 9
Para que os alunos familiarizem-se com o procedimento anterior que utiliza a
ideia de innito de processo indenido proponha atividade de requeiram a determinaccedilatildeo
da representaccedilatildeo decimal por exemplo para as fraccedilotildees 311
e 17 Note que o grau de
diculdade aumenta e aguccedila a curiosidade do aluno Veja o resultado para a fraccedilatildeo
3
11=
3 middot 1011 middot 10
=1
1030
11=
1
10(2 middot 11 + 8
11) =
1
10(2 +
8
11) =
2
10+
1
108
11
Natildeo apareceu explicitamente a fraccedilatildeo 311
na primeira iteraccedilatildeo poreacutem na se-
gunda etapa tem-se 311
= 3middot1011middot10 = 1
103011
= 110(2middot11+8
11) = 1
10(2 + 8
11) = 2
10+ 1
10 811
=
0 2 + 110 80110
= 0 2 + 1100(7middot11+3
11) = 0 2 + 0 07 + 1
100 311
= 0 27 + 1100 311
Ou seja 311
= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1
100middot 311) = middot middot middot = 0 272727 = 0 27
Espera-se com essas atividades que os estudantes consigam assimilar o caraacuteter
perioacutedico e innito das diacutezimas
Em geral uma diacutezima perioacutedica simples de periacuteodo k eacute um nuacutemero que possui
expansatildeo decimal do seguinte modo a b1b2b3bk = a b1b2b3bk E toda diacutezima perioacutedica
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 49
representa um nuacutemero racional isto eacute possui representaccedilatildeo fracionaacuteria dada por
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk
Considere que
r = 0 b1b2b3bk
Daiacute segue que
10r middot r = 10r middot (0 b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr (10r minus 1)r = b1b2b3bk
rArr r =b1b2b3b410k minus 1
=b1b2b3bk9999
Logo tem-se
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk = a+ b1b2b3bk
999 middot middot middot 9︸ ︷︷ ︸k repeticcedilotildees de 9
Exemplo motivacional Determine a fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 5 777 middot middot middot
1o modo Desenvolvendo raciociacutenio similar a demonstraccedilatildeo
r = 5 777
rArr 10r = 57 777
rArr 10r minus r = 57 777minus r
rArr 9r = 52
rArr r =52
9
2o modo Aplicando o algoritmo demonstrado
5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7
9=
52
9
A reciacuteproca da demonstraccedilatildeo acima tambeacutem eacute verdadeira ou seja todo nuacutemero
racional eacute representado por uma diacutezima perioacutedica A demonstraccedilatildeo desse fato eacute obtida
por intermeacutedio do algoritmo de divisatildeo de Euclides
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 50
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Considere a proposiccedilatildeo a seguir proposta por um rico comerciante Tales da
cidade grega de Mileto por volta do V aC conhecida como Teorema de Tales um conjunto
de retas paralelas entre si (feixe de paralelas) cortado por duas transversais (r e s) forma
sobre elas segmentos correspondentes proporcionais isto eacute a razatildeo entre dois segmentos
quaisquer determinados pelo feixe sobre a reta r por exemplo AB e CD eacute igual agrave razatildeo
de seus correspondentes sobre a reta s AprimeBprime e C primeDprime ou seja
AB
CD=AprimeBprime
C primeDprime
A demonstraccedilatildeo desse teorema em geral natildeo eacute realizada nos livros didaacuteticos
do Ensino Fundamental Jaacute nos livros de Ensino Meacutedio eacute apenas apresentada uma parte
da validade para segmentos comensuraacuteveis Diante desse fato consumado eis que surge o
questionamento Por que os livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio natildeo apresentam a demons-
traccedilatildeo para segmentos natildeo comensuraacuteveis
A explicaccedilatildeo para a omissatildeo da segunda parte da prova pode ser justicada
pelo fato de que a manipulaccedilatildeo com nuacutemeros irracionais requer emprego de completude
dos nuacutemeros reais e com certeza o grau de abstraccedilatildeo necessaacuterio pode estar aleacutem das
possibilidades de entendimento do aluno E mais eacute necessaacuterio utilizar noccedilotildees intuitivas
de limite para completar o raciociacutenio
A seguir eacute apresentada de forma completa a demonstraccedilatildeo do Teorema de
Tales
1a parte da demonstraccedilatildeo Sejam r s t e z retas paralelas e a e b retas
transversais
Suponha que AB e CD sejam comensuraacuteveis e que exista um segmento u
(unidade de medida comum entre os segmentos AB e CD) tal que AB = mu e CD = nu
(mn isin N ) isto eacute o segmento u cabe m vezes dentro de AB assim como cabe n vezes
no segmento CD
Logo a razatildeo ABCD
= munu
= mn(I)
Agora pelos pontos que dividem AB e CD em m e n partes congruentes
ao segmento de medida u trace retas paralelas ao feixe com o intuito de subdividir os
segmentos AprimeBprime e C primeDprime em m e n partes iguais a w A partir dessa consideraccedilatildeo tem-se
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 51
a razatildeo AprimeBprime
CprimeDprime =mwnw
= mn(II)
Figura 71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte DANTE [9] 2010 vol1 p 404
Daiacute concluiacute-se a partir das relaccedilotildees (I) e (II) que ABCD
= AprimeBprime
CprimeDprime conforme
queriacuteamos demonstrar
2a parte da demonstraccedilatildeo Sejam a1 i e j retas paralelas e r e s retas trans-
versais
Figura 72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte GeoGebra
Suponha agora que os segmentos AB e BC sejam incomensuraacuteveis Por co-
modidade suponha que AB seja menor do que BC (caso contraacuterio o raciociacutenio seraacute
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 52
desenvolvido a partir de BC) e divida AB em m partes congruentes com o segmento
u = 1mAB Como u lt AB (dado que a parte eacute menor do que o todo) e como AB lt BC
entatildeo u lt BC
Figura 73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis
Fonte GeoGebra
Pela propriedade Arquimediana (dadas duas magnitudes quaisquer de mesma
natureza a e b existe sempre um nuacutemero inteiro n tal que na gt b) existe um nuacutemero
inteiro n tal que mu gt BC Existindo um nuacutemero com essa propriedade existiraacute uma
innidade porque Nu tambeacutem seraacute maior do que BC para qualquer N gt n Nesse iacutente-
rim pode-se considerar que n eacute o menor dos nuacutemeros inteiros para os quais mu gt BC
Assim sendo (nminus 1)u deveraacute ser menor do que BC ou seja (nminus 1)u lt BC lt nu Como
mu = AB segue que nminus1m
lt BCAB
lt nm Em outras palavras a relaccedilatildeo entre os incomensu-
raacuteveis BC e AB estaacute compreendida entre os racionais nminus1m
e nm Pelas extremidades dos m
segmentos em que AB foi dividido traccedilando-se paralelas ao feixe o segmento DE caraacute
dividido em m partes congruentes com o segmento w = 1mDE ou seja DE = mw Pelas
extremidades dos n segmentos congruentes com u sobre o segmento BC trace as paralelas
ao feixe Sobre a reta s caratildeo determinados n segmentos congruentes a w Denomine
de Kn e Kn+1 as extremidades dos segmentos a partir de C formados respectivamente
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 53
por (nminus 1) e n segmentos congruentes a u Sejam K primen e Kprimen+1 seus correspondentes sobre
a reta s
Observe a situaccedilatildeo descrita geometricamente na gura a seguir
Figura 74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso)
Fonte GeoGebra
Note a partir da gura anterior que C estaacute entre Kn e Kn+1 Agora resta
mostrar que seu correspondente (F ) estaacute entre K primen e K primen+1 Eacute notoacuterio que F natildeo pode
coincidir com K primen ou K primen+1 pois nesses casos DE e EF seriam comensuraacuteveis e por con-
sequecircncia AB e BC tambeacutem seriam o que contrariaria a hipoacutetese imposta O ponto F
correspondente de C natildeo pode estar entre E e K primen pois nesse caso Kn e K primen estariam em
semiplanos opostos em relaccedilatildeo agrave reta KnKprimen de tal modo que a reta Kn+1K
primen+1 cruzaria
a reta KnKprimen o que eacute um absurdo pois ambas satildeo paralelas Com raciociacutenio anaacutelogo
descarta-se a possibilidade de K primen+1 estar entre E e F Logo (nminus1)w lt EF lt nw Como
DE = mw entatildeo nminus1m
lt EFDE
lt nm O que acabou de ser mostrado prova que AB e BC
sobre a reta r satildeo incomensuraacuteveis e a relaccedilatildeo entre eles estaacute entre nminus1m
e nm os segmentos
DE e EF sobre s tambeacutem satildeo incomensuraacuteveis e sua relaccedilatildeo estaacute entre aqueles dois raci-
onais Assim nesse iacutenterim denomina-se nminus1m
e nm respectivamente de aproximaccedilotildees por
falta e por excesso das relaccedilotildees BCAB
e EFDE
Note que a diferenccedila entre tais aproximaccedilotildees eacute1me pode ser feita tatildeo pequena quanto se queira Em outras palavras BC
ABe EFDE
podem
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 54
ser espremidas entre dois nuacutemeros racionais tatildeo proacuteximos quanto se queira ateacute chegar ao
aacutepice intuitivo de que tais razotildees satildeo iguais Para completar a demonstraccedilatildeo eacute necessaacuterio
mostrar que tanto o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por falta natildeo tem maacuteximo como
o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por excesso natildeo tem miacutenimo Essa demonstraccedilatildeo
pode ser encontrada com maior riqueza de detalhes em GARBI (2010 p115) [29]
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas
Em geral o estudo de aacutereas eacute posterior ao estudo de congruecircncia e semelhanccedila
de triacircngulos Embora seja comum nos livros didaacuteticos apresentar o estudo de aacutereas
assim como suas propriedades no nal do curso de Geometria em WAGNER (1992) [31]
haacute antecipaccedilatildeo da inserccedilatildeo das noccedilotildees de aacutereas
Uma das vantagens de realizar tal inversatildeo na apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos
consiste no fato de evitar a anaacutelise da comensurabilidade dos segmentos em questatildeo
A seguir seraacute exposta a demonstraccedilatildeo via aacutereas
Sejam Bprime e C prime os pontos dos lados AB e ABprime respectivamente do triacircngulo
ABC conforme ilustra a gura a seguir
Figura 75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos
Fonte RPM [31] n 21 p7
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 55
Analisando a gura anterior segue que os segmentos BC prime e CBprime satildeo paralelos
ou seja BprimeC primeBC e partir daiacute eacute possiacutevel concluir que os triacircngulos BprimeC primeB e BprimeC primeC
tecircm mesma aacuterea dado que possuem mesma base (BprimeC prime) e alturas relativas a essa base
tambeacutem iguais Acrescentando a esses triacircngulos o triacircngulo ABprimeC prime concluiacutemos que os
triacircngulos ABC prime e ACBprime tambeacutem possuem a mesma aacuterea Portanto segue que
ABprime
AB=S(ABprimeC prime
S(ABC prime)=S(AC primeBprime
S(ACBprime)=AC prime
AC
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo
Os livros didaacuteticos da educaccedilatildeo baacutesica natildeo apresentam o caacutelculo da medida
da aacuterea (S) da regiatildeo retangular de maneira construtiva dinacircmica e com explicaccedilotildees
convincentes de que a superfiacutecie retangular eacute dada pelo produto entre a medida da base
(b) e a medida da altura (h) Os autores optam pela abordagem via repasse da foacutermula
sem o devido cuidado de demonstrar sua validade para todos os nuacutemeros reais isto eacute
S = b middot h
Para demonstrar a validade da referida foacutermula eacute necessaacuterio utilizar um proce-
dimento anaacutelogo ao utilizado na prova completa do Teorema de Tales exibido na atividade
anterior isto eacute primeiro eacute mostrado a validade para nuacutemeros racionais e depois eacute esten-
dida para nuacutemeros irracionais Eacute vaacutelido ressaltar que o foco dessa atividade eacute direcionado
para destacar a necessidade de implementar noccedilotildees intuitivas de limite para concluir a
foacutermula de caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
Considere um retacircngulo de lados m e n nuacutemeros naturais particionado em
m middot n quadrados de lado 1 em que m = 6 e n = 5 Note que o retacircngulo eacute composto por
m middot n = 6 middot 5 = 30 quadrados
Em seguida considere um retacircngulo de lados m1
n1e m2
n2 com (m1m2 n1 n2 isin
N) A partir de n1n2 coacutepias desse novo retacircngulo monta-se um retacircngulo maior de lados
m1 e m2 Adicionando aacutereas iguais concluiacute-se que a aacuterea do retacircngulo dado originalmente
eacute igual a m1middotm2
n1middotn2= m1
n1middot m2
n2
Finalmente toma-se um retacircngulo de lados a e b reais positivos e para k isin N
nuacutemeros racionais xk yk uk vk tais que xk lt a lt yk uk lt b lt vk e yk minus xk uk minus vk lt 1k
Sendo S a aacuterea do retacircngulo de lados a e b um argumento anaacutelogo ao feito para quadrados
garante que S e ab pertencem ambos ao intervalo (ukxk ykvk) e daiacute para todo k isin N
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 56
tem-se
|Aminus ab| lt vkyk minus ukxk
rArr vkyk minus ukxk = (vk minus uk)yk + (yk minus xk)uk lt1
k(yk + uk)
rArr 1
k(yk + uk) =
1
k((yk minus xk) + 2xk + (vk minus uk) + 2uk) lt
1
k(2
k+ 2a+ 2b)
rArr |Aminus ab| lt 1
k(2
k+ 2a+ 2b)
A gura a seguir ilustra o retacircngulo mn em que m = 6 e n = 5
Figura 76 Retacircngulo 6 x 5
Fonte GeoGebra
Note que quanto maior o valor de n as aproximaccedilotildees por falta (xkuk) e por
excesso (vkyk) indicam intuitivamente que a aacuterea do retacircngulo de lados a e b tenderaacute para
S = ab isto eacute
xkuk lt ab lt vkyk
rArr k
nmiddot mnlt
(k + 1)
nmiddot (m+ 1)
n
rArr km(1
n)2 lt ab lt (km+ k +m+ 1)(
1
n)2
rArr 0 lt abminus km(1
n)2 lt (k +m+ 1)(
1
n)2
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
Quanto maior o valor de n (n tendendo ao innito) melhor seraacute a aproximaccedilatildeo
da aacuterea (correspondente agrave soma de todos os retacircngulos de medidas kne m
n) da pretendida
do retacircngulo dada por S = ab
A gura a seguir representa um retacircngulo 100 e 80 em que a base e a altura
respectivamente foram subdivididas em 100(na) e 80(nb) partes com a mesma unidade
de comprimento
Figura 77 Retacircngulo 100 x 80
Fonte GeoGebra
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ES-
TUDO DE FUNCcedilOtildeES
Inicialmente sugere-se a apresentaccedilatildeo de algumas situaccedilotildees problema que
abordam de forma embutida as noccedilotildees intuitivas de limite de forma praacutetica Inclusive
o presente trabalho possui a preocupaccedilatildeo em mostrar aos alunos a simbologia moderna
utilizada em detrimento das expressotildees e locuccedilotildees de tendecircncia Observe
bull a) Se o cacircmbio do doacutelar americano tende a estabilizar em torno de R$ 233 entatildeo o
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 58
valor pago por 100 doacutelares estabiliza em torno de R$ 23300 Logo podemos falar
que o limite (valor pago por 100 doacutelares) eacute igual a R$ 23300 quando o valor pago por
1 doacutelar tende a R$ 233 Pode-se representar tal situaccedilatildeo por limxrarr100
2 33x = 233
bull b) Imagine uma placa metaacutelica quadrada que se expande uniformemente por estar
sendo aquecida Se x representa o comprimento do lado a aacuterea da placa eacute dada
por A(x) = x2 Evidentemente quando x se aproxima de 5 a aacuterea da placa A se
aproxima de 25 Essa situaccedilatildeo pode ser expressa simbolicamente por limxrarr5
x2 = 25
bull c) Suponha agora que vocecirc esteja dirigindo um automoacutevel Se o acelerador for pres-
sionado para baixo em torno de 4 cm entatildeo a velocidade se manteraacute proacutexima aos 120
Kmh Logo podemos dizer que o limite (velocidade instantacircnea do automoacutevel) eacute
igual a 120 Kmh quando o acelerador tender a 4 cm para baixo Matematicamente
escrevemos tal situaccedilatildeo por limxrarr4
v(x) = 120 onde v(x) eacute a velocidade instantacircnea do
automoacutevel e x eacute a medida em centiacutemetros do deslocamento do pedal do acelerador
bull d) Outra aplicaccedilatildeo interessante do limite de uma funccedilatildeo eacute o caacutelculo da velocidade
instantacircnea de um corpo em queda livre sob a accedilatildeo da gravidade dentre outras
inuacutemeras aplicaccedilotildees interdisciplinares disponiacuteveis
Apoacutes apresentar um panorama de aplicaccedilotildees simples faz-se necessaacuterio propor
o repasse das noccedilotildees intuitivas de limite utilizando o estudo de funccedilotildees De acordo com a
estrateacutegia disseminada pelos livros didaacuteticos uma das melhores formas de expor as ideias
de limite via funccedilotildees consiste em observar o comportamento de uma funccedilatildeo dada nas
proximidades de um ponto em sua vizinhanccedila
Vejamos um exemplo praacutetico Exemplo Observe o estudo analiacutetico do compor-
tamento de uma funccedilatildeo f na vizinhanccedila de um ponto Considere a funccedilatildeo f R2 minusrarr R
denida por
f(x) =x2 minus 4
xminus 2=
(x+ 2)(xminus 2)
xminus 2= x+ 2
Estudando o comportamento da referida funccedilatildeo nas proximidades do ponto
x = 2 dado que o mesmo natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada verica-se que
quando aproximamos os valores de x da abscissa x = 2 haacute uma aproximaccedilatildeo abrupta
para a imagem y = f(x) = 4 mesmo que se tome valores agrave esquerda (x lt 2) ou a direita
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 59
(x gt 2) da abscissa x = 2 Tal constataccedilatildeo sob o ponto de vista numeacuterico pode ser
interpretada a seguir via dados tabelados
Tabela 71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2
Aproximaccedilatildeo pela esquerda (x lt 2) Aproximaccedilatildeo pela direita (x gt 2)
x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2
f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4
Nesse momento eacute possiacutevel discutir com os alunos a noccedilatildeo intuitiva de limite
Note que tomando valores na vizinhanccedila de x = 2 o valor da funccedilatildeo permanece nas
proximidades de y = f(x) = 4 Inserindo a linguagem moderna precisa e concisa pode-se
dizer que ao fazer com que os valores de x tendam para a abscissa x = 2 (xrarr 2) os valores
das imagens tenderatildeo para a imagem y = f(x) = 4 (y rarr 4) a qual seraacute denominada de
limite e representada por L = limxrarr2
f(x) = 4 Note que esse limite representa o valor da
funccedilatildeo para x = 2 poreacutem esse valor de x natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada Tal
episoacutedio serve de base para explicar que o conceito de limite independe de a funccedilatildeo estar
denida naquele ponto especiacuteco e mais serve para representar que o limite de uma dada
funccedilatildeo pode natildeo ser o valor da imagem do ponto em que estamos investigando em sua
vizinhanccedila
Embora tal explicaccedilatildeo seja aceitaacutevel eacute bom ser cauteloso ao explicar a situaccedilatildeo
Caso ainda haja duacutevida recomenda-se a construccedilatildeo do graacuteco da referida funccedilatildeo via Geo-
Gebra Nesse software ao inserir no campo entrada as coordenadas do ponto F = (2 f(2))
o programa indicaraacute na janela de Aacutelgebra a informaccedilatildeo de que tal ponto eacute indenido e
quando inserirmos G = (1999 f(1999)) o GeoGebra indicaraacute um ponto praticamente so-
bre o ponto (2 4) o qual eacute o ponto indenido cuja imagem representaraacute o limite da funccedilatildeo
Oportunidade riquiacutessima para mencionar a relaccedilatildeo importacircnciadependecircncialimitaccedilatildeo de
um software no estudo de Matemaacutetica
Para melhor compreensatildeo observe a imagem capturada da tela do GeoGebra
Eacute interessante mencionar que esse fenocircmeno pode ser generalizado de maneira informal
para qualquer funccedilatildeo f(x) denida em um intervalo aberto em torno de x = a exceto
talvez em x = a Se f(x) ca arbitrariamente proacuteximo de L para todos os valores
de x sucientemente proacuteximos de a dizemos que f tem limite L quando x tende para
a e escrevemos limxrarra
f(x) = L Nesse iacutenterim eacute vaacutelido ressaltar que o conceito formal
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 60
utilizando eacutepsilon e delta seraacute visto em um curso especiacuteco de Caacutelculo I E mais haacute
disponiacutevel diversos sites na internet com variados applets (programas desenvolvido via
GeoGebra) com atividades que explicam toacutepicos do estudo de Caacutelculo por exemplo
em BIZELLI (2014) [33] responsaacutevel pelo site do Instituto de Quiacutemica da Universidade
Estadual de Satildeo Paulo (UNESP) em que disponibiliza applets que orientam diversos
assuntos dentre os quais destacamos o estudo da ideia de limite de uma funccedilatildeo que
corresponde a uma contribuiccedilatildeo construtiva para o conhecimento de forma luacutedica concreta
e com possibilidades de inuacutemeras iteraccedilotildees
Figura 78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita
Fonte Imagem capturada de uma janela do GeoGebra
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees
Ao estudar a construccedilatildeo dos graacutecos das principais funccedilotildees estudadas durante
o ensino meacutedio diversos questionamentos satildeo levantados por alunos A principal pergunta
dos alunos consiste em como obter garantias sucientes e esclarecedoras sobre o compor-
tamento das curvas (Quando crescem ou decrescem Quando os eixos ou determinas retas
satildeo consideradas assiacutentotas das curvas em questatildeo Selecionando um intervalo qualquer
presente no 1o quadrante por exemplo o que signica e como se calcula a aacuterea sob o
graacuteco dessa funccedilatildeo) Alguns desses e outros questionamentos satildeo frequentes em sala de
aula e serviram de base para a discussatildeo que seraacute feita a partir desse momento
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 61
Ao representar o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau do 2o grau Exponencial
ou Logariacutetmica geralmente representa-se apenas uma parte da funccedilatildeo a partir de valores
discretos para as abscissas Em seguida traccedilamos o graacuteco de maneira natural de acordo
com a amostragem construiacuteda por exemplo via tabela que relaciona o par (x f(x))
Satildeo raros os professores que abrem a discussatildeo em torno de valores contiacutenuos para a
variaacutevel x Uma estrateacutegia boa para garantir aos alunos que o crescimentoconcavidade
da referida natildeo se altera para algum valor de x e que em alguns casos o crescimento tende
para o innito seria utilizar as ferramentas do Caacutelculo mas tais ferramentas natildeo estatildeo
disponiacuteveis no Ensino Meacutedio Daiacute a necessidade de fornecer um suporte especiacuteco de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo para justicardemonstrar algumas propriedades que satildeo
simplesmente comentadas sem a prova de que satildeo vaacutelidas independentemente do valor do
domiacutenio ser discreto ou contiacutenuo isto eacute a validade eacute para todo o domiacutenio real de deniccedilatildeo
da funccedilatildeo um preluacutedio ao conceito de continuidade de funccedilatildeo
As questotildees referentes agrave tendecircncia de crescimento para o innito ou agrave apro-
ximaccedilatildeo a uma reta assiacutentota satildeo explicadas via noccedilotildees de limites Negligenciar tal
discussatildeo como eacute praxe na educaccedilatildeo baacutesica contribui vertiginosamente para a desmoti-
vaccedilatildeo dos alunos e como consequecircncia reduz o rendimento das escolas de educaccedilatildeo baacutesica
e superior
Por exemplo suponha hipoteticamente que um dado aluno do Ensino Meacutedio
faccedila dois questionamentos acerca do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica Por que a funccedilatildeo
logariacutetmica eacute crescentee O que garante que quando os valores de x tendem para o
innito positivo os valores das imagens (f(x)) tendem tambeacutem para o innito positivo
Eacute notoacuterio que inuacutemeros professores do Ensino Meacutedio teriam diculdade em explicar com
transparecircncia e argumentos vaacutelidos tais perguntas Com o intuito de ajudar colegas
que apresentem inseguranccedila diculdade e alguma outra adversidade na arte de lecionar
esse conteuacutedo particular proposto observe a maneira escolhida para justicaacute-las Note
que para explicaacute-las faz-se necessaacuterio formalizaacute-las segundo proposiccedilotildees (teoremas) e em
seguida demonstraacute-las Aleacutem disso verique que a segunda proposiccedilatildeo torna-se suciente
a partir da prova de monotonicidade da primeira
Proposiccedilatildeo 721 A funccedilatildeo logariacutetmica de base 10 (logaritmos decimais) eacute crescente
isto eacute se 0 lt x lt y entatildeo log x lt log y
Demonstraccedilatildeo Sejam x e y dois nuacutemeros positivos com x lt y ou seja existe um nuacutemero
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 62
m gt 1 tal que y = mx Daiacute temos log y = log (mx) = log m + log y Como m gt 1
segue que log m gt 0 Conclusatildeo log y gt log x como queriacuteamos demonstrar
Proposiccedilatildeo 722 Quando x tende para +infin log x tende para +infin Isto eacute quando
tomamos valores positivos cada vez maiores para x o logaritmo decimal cresce e pode
torna-se maior do que qualquer nuacutemero positivo prexado
Demonstraccedilatildeo Dado qualquer nuacutemero real J gt 0 pode-se obter K gt 0 tal que para
todo x gt K se tem log x gt J Assim dado J gt 0 escolhemos primeiro um nuacutemero inteiro
positivo M tal que M gt Jlog 2
Entatildeo log (2M) = M log 2 gt J Tome agora K = 2M
Note que qualquer que seja x gt K como a funccedilatildeo logaritmo de base 10 eacute crescente
tem-se que log x gt log K gt J Isso prova que todos os nuacutemeros reais x gt K possuem
logaritmos decimais maiores do que J Utilizando uma linguagem moderna e avanccedilada
concluiacutemos que limxrarr+infin
log x = +infin
Eacute vaacutelido ressaltar que a maioria dos livros analisados natildeo demonstra tais pro-
posiccedilotildees apenas faz citaccedilotildees como propriedades vaacutelidas Somente o livro do IEZZI (2010)
[15] e o do LIMA (2006) [17] fazem menccedilatildeo de maneira deciente injusticada e dife-
rente da apresentada Note que a escolha da funccedilatildeo logariacutetmica foi com a nalidade de
escapar da comodidade de trabalhar com funccedilotildees simples (1o e 2o grau) e para mostrar
um questionamento que pode ser uacutetil em sala de aula Foi feita apenas uma apresentaccedilatildeo
simples de demonstraccedilatildeo de uma propriedade muito utilizada no estudo de Logaritmos
mas eacute claro que haacute outras pertinentes e que exigem um olhar diferenciado do professor
regente Tambeacutem eacute bom salientar a necessidade de empregar noccedilotildees intuitivas de limite
para completar e raticar o raciociacutenio
Agora suponha que um aluno faccedila um questionamento interdisciplinar ou seja
vamos admitir que um dado aluno tenha recebido a informaccedilatildeo numa aula de Fiacutesica de que
a aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo representa o espaccedilo percorrido por um moacutevel ou o tra-
balho de uma forccedila por exemplo Diante dessa situaccedilatildeo o aluno lhe peccedila esclarecimentos
sobre tal informaccedilatildeo Como explicar essa situaccedilatildeo utilizando somente matemaacutetica ele-
mentar faltaria argumentos faz-se necessaacuterio inserir noccedilotildees elementares do Caacutelculo para
justicar e esclarecer os fatos para o dado aluno
Por exemplo considere uma paraacutebola denida por y = x2 em que y represente
a velocidade e x o tempo percorrido por um moacutevel num dado instante Caso o interesse
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 63
esteja voltado para o caacutelculo do espaccedilo percorrido pelo moacutevel no primeiro intervalo (uni-
dade) de tempo eacute preciso calcular a aacuterea da faixa de paraacutebola (A(x2)ba) compreendida
entre as retas verticais x = 0 e x = 1 Como as ferramentas de Caacutelculo natildeo estatildeo disponiacute-
veis e tambeacutem natildeo possuiacutemos uma foacutermula especiacuteca para efetuar o caacutelculo a resoluccedilatildeo
do referido problema deve empregar um raciociacutenio que evocaraacute noccedilotildees intuitivas do caacutel-
culo Para realizar e estimar o caacutelculo da aacuterea em questatildeo eacute necessaacuterio decompor a regiatildeo
[0 1] sob a curva em (n+1) intervalos justapostos de mesmo comprimento e calcular uma
aproximaccedilatildeo inferior para a faixa A(x2)01 atraveacutes da aacuterea do poliacutegono retangular Pn+1
inscrito na faixa da paraacutebola y = x2 Vide gura a seguir que exemplica a aproximaccedilatildeo
inferior da aacuterea de uma faixa de paraacutebola por intermeacutedio da aacuterea do poliacutegono retangular
P6com 6 intervalos justapostos de mesmo comprimento (n = 5)
Figura 79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5
Fonte GeoGebra
A aacuterea (S) do poliacutegono retangular Pn+1 inscrito na faixa da paraacutebola y = x2
seraacute dada pela soma das aacutereas de todos os retacircngulos contidos na regiatildeo sob a paraacutebola
isto eacute
S = A1 + A2 + A3 + middot middot middot+ An
rArr S = 1(n+1)
f(
1n+1
)+ 1
(n+1)f(
2(n+1)
)+ 1
(n+1)f(
3(n+1)
)+ middot middot middot+ 1
(n+1)f(
n(n+1)
)
Substituindo os valores da funccedilatildeo em cada particcedilatildeo considerada e utilizando a
fatoraccedilatildeo por evidecircncia tem-se
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 64
S =1
(n+ 1)3(1 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
rArr S =1
(n+ 1)3
(n3
3+n2
2+n
6
)=
1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)
Segue daiacute a conclusatildeo de que tomando valores cada vez maiores para n isto
eacute aumentando o nuacutemero de subintervalos aumentamos o nuacutemero de retacircngulos e con-
sequentemente a diferenccedila entre a aacuterea (S) do poliacutegono retangular e a aacuterea da faixa de
paraacutebola aproxima-se de zero Eacute oacutebvio que quando n tende para o innito (n rarr infin) a
aacuterea S tende para a aacuterea da faixa de paraacutebola ou seja S sim= A(x2)01 =13 Em linguagem
moderna e avanccedilada temos
limsrarrinfin
S = limnrarrinfin
[1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)]=
1
3
A construccedilatildeo da atividade acima deve ser realizada de maneira gradual ou seja
solicitando aos alunos que calculem a aacuterea do poliacutegono retangular a partir de subcasos
supondo valores para n por exemplo n = 5 e depois para n = 10 Essa atividade pode ser
realizada com auxiacutelio de calculadora cientiacuteca ou entatildeo via planilha eletrocircnica (do Excel
ou CALC ou ateacute do GeoGebra) Apoacutes resolver os problemas para os casos particulares
(encontrar a aacuterea por falta) sugira aos alunos para que tentem generalizar o meacutetodo ateacute
conseguir encontrar a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] Essa aacuterea foi encontrada
experimentalmente por Arquimedes atraveacutes de O meacutetodo de equiliacutebrio e demonstrado via
meacutetodo da exaustatildeo com argumentos de dupla reductio ad absurdum Com o meacutetodo de
equiliacutebrio Arquimedes vericava e testava a validade da propriedade Jaacute com o meacutetodo da
exaustatildeo que historicamente eacute creditado a Eudoxos poreacutem segundo EVES (2004) [11]
jaacute havia antecipaccedilatildeo de tais ideias nos trabalhos do sosta Antiacutefon (c 430 aC) o mestre
de Siracusa demonstrava a validade da proposiccedilatildeo formando um verdadeiro preluacutedio agraves
escuras das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular a ideia intuitiva de limite
Veja a construccedilatildeo do graacuteco via GeoGebra da aacuterea do poliacutegono retangular
para cinco cinquenta e cem intervalos de mesmo comprimento
Eacute notoacuterio que fazendo n tender para o innito a faixa escura cresceraacute e tenderaacute
para a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] cuja aacuterea corresponde a um terccedilo da
aacuterea do quadrado de mesma base E mais pode-se concluir que a aacuterea de metade do
segmento paraboacutelico (regiatildeo limitada pela reta secante pontilhada e pela paraacutebola) contido
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 65
Figura 710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50
Fonte Geogebra
Figura 711 Poliacutegono Retangular para n = 100
Fonte Geogebra
no quadrado de lado unitaacuterio mede 23 ou melhor eacute possiacutevel concluir que a aacuterea do segmento
paraboacutelico da paraacutebola em questatildeo mede 43 Esse procedimento consiste na quadratura da
paraacutebola cuja autoria de forma rudimentar isto eacute com as ferramentas disponiacuteveis para a
eacutepoca eacute creditada a Arquimedes via Meacutetodo de Equiliacutebrio e Meacutetodo da Exaustatildeo
Tambeacutem eacute necessaacuterio dizer que o problema de calcular aacute aacuterea referida acima
poderia ser solucionado decompondo o intervalo [0 1] em subintervalos contendo trapeacutezios
circunscritos de forma que a aacuterea do poliacutegono trapezoidal circunscrito agrave faixa de paraacute-
bola fosse uma aproximaccedilatildeo por excesso Possivelmente os alunos vatildeo reclamar muito
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 66
das contas que apareceratildeo pois os caacutelculos natildeo satildeo tatildeo simples assim como a teacutecnica
propriamente dita Mas segundo MACHADO (2008) [19] esse aspecto eacute favoraacutevel pois
prepararaacute o aluno para que venha a apreciar as facilidades que seratildeo depois apresentadas
em um curso de Caacutelculo Inclusive eacute possiacutevel mencionar a existecircncia de um teorema im-
portantiacutessimo que cita a existecircncia um ponto entre as aacutereas por aproximaccedilotildees por falta
e por excesso que as tornam iguais Esse teorema eacute conhecido como Teorema do Valor
Meacutedio
Outra atividade excelente de aplicaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
correlatas do Caacutelculo eacute o caacutelculo da chamada Aacuterea de uma faixa de Hipeacuterbole Antes de
deni-la eacute preciso preacute-estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas em que H seraacute
considerado algebricamente como o ramo positivo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x isto eacute
H = (x y)x gt 0 y = 1x ou geometricamente ramo da Hipeacuterbole Equilaacutetera (xy = 1)
contido no primeiro quadrante A partir dessas consideraccedilotildees eacute possiacutevel denir a faixa
de hipeacuterbole e de forma especiacuteca como consequecircncia imediata propor uma ligaccedilatildeo com
o estudo de logaritmos naturais Esse trabalho pode ser conferido na iacutentegra em LIMA
(1980) [16] em que o autor com maestria faz uma abordagem geomeacutetrica do estudo dos
logaritmos e suas consequecircncias (construccedilatildeo da tabela de logaritmos caacutelculo de raiacutezes
inexatas de iacutendice qualquer caacutelculo de potecircncias de base e expoente qualquer construccedilatildeo
do nuacutemero de Euler e sua ligaccedilatildeo com o logaritmo natural e nalmente propor o estudo
da Funccedilatildeo Exponencial)
Nesse iacutenterim eacute possiacutevel propor uma atividade de aplicaccedilatildeo interdisciplinar
sobre a relaccedilatildeo existente entre o crescimento exponencial e o decaimento (desintegraccedilatildeo)
radioativo Esse problema eacute comum nos livros de Ensino Meacutedio Observe a situaccedilatildeo pro-
blema descrita a seguir em que eacute apresentada uma maneira construtiva de explorarutilizar
as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
Situaccedilatildeo Problema A Desintegraccedilatildeo Radioativa consiste na emissatildeo espontacirc-
nea de raios (partiacuteculas e ondas) de nuacutecleo instaacutevel com o objetivo de adquirir estabilidade
em que um aacutetomo radioativo (por exemplo o Raacutedio e o Uracircnio) eacute transformado num ele-
mento quiacutemico diferente Essa transformaccedilatildeo faz com que a quantidade de substacircncia
original diminua a cada instante de forma que a desintegraccedilatildeo seja proporcional agrave massa
da substacircncia original presente no corpo naquele momento A constante (α) de proporci-
onalidade eacute especiacuteca para cada substacircncia e eacute determinada experimentalmente
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
Suponha hipoteticamente que um corpo de massa M0 seja formado por uma
substacircncia radioativa cuja taxa de desintegraccedilatildeo seja α Caso o processo de desintegraccedilatildeo
seja instantaneamente a cada segundo tem-se que para t = 0 a massa correspondente eacute
M0 Decorrido o tempo t = 1 segundo ocorreraacute uma perda de αM0 unidade de massa
restando somente a massa M1 = M0 minus αM0 = (1 minus α)M0 Para t = 2 segundos implica
que a massa restante seraacute dada porM2 = (1minusα)M1 = (1minusα)2M0 Esse processo pode ser
generalizado isto eacute apoacutes n segundos temos Mn = M0(1minus α)n Poreacutem a desintegraccedilatildeo
se processa de forma contiacutenua e natildeo apenas discreta Daiacute eacute necessaacuterio pensar que a
desintegraccedilatildeo seja feita em fraccedilotildees de intervalos de 1nde segundo Assim apoacutes a primeira
fraccedilatildeo de 1nde segundo a massa do corpo se reduziria para M0 minus α
nM0 =
(1minus α
n
)M0
Realizando uma subdivisatildeo do intervalo [0 1] em um nuacutemero n cada vez maior de particcedilotildees
iguais tem-se que a massa resultante se reduziria para a aproximaccedilatildeo(1minus α
n
)nM0
Logo quando n tender para o innito a expressatildeo(1minus α
n
)nM0 tenderaacute para M0e
minusα
Em linguagem moderna e avanccedilada tem-se limnrarrinfin
(1minus α
n
)nM0 = M0 lim
nrarrinfin
(1minus α
n
)n=
M0eminusα Caso se queira calcular a massa apoacutes t segundos eacute preciso dividir o intervalo [0 t]
em n partes iguais em que cada intervalo parcial receberaacute uma perda de massa de αtnM0
Repetindo esse processo encontra-se a expressatildeo que fornece a massa do corpo apoacutes t
segundo decorridos M(t) = M0eminusα A tiacutetulo de curiosidade vale a pena ressaltar que
a constante α eacute determinada a partir de um nuacutemero baacutesico denominado de meia-vida da
substacircncia (tempo necessaacuterio para que se desintegre a metade da massa de um corpo)
73 EXPLORANDOAS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS
IMPLICACcedilOtildeES
Comumente ao estudar conjuntos numeacutericos em particular ao estudar o con-
junto dos nuacutemeros racionais nos deparamos com nuacutemeros decimais innitos poreacutem perioacute-
dicos os quais satildeo denominados de diacutezimas perioacutedicas Dentre as diacutezimas perioacutedicas mais
ceacutelebres com absoluta certeza estaacute o nuacutemero decimal perioacutedico 0 999 Esse nuacutemero gera
bastante desconforto entre os alunos do Ensino Meacutedio principalmente quando o professor
de Matemaacutetica arma que 1 = 0 999 Anal de contas o que eacute uma diacutezima perioacutedica
e o que representa Esses questionamentos satildeo frequentes e recorrentes durante as aulas
de Matemaacutetica que requerem a utilizaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedicas
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 68
Conforme jaacute foi denido denominamos de diacutezima perioacutedica todo nuacutemero ra-
cional com representaccedilatildeo decimal innita e perioacutedica Haacute diacutezimas perioacutedicas simples e
compostas Nesse trabalho apenas far-se-aacute uma anaacutelise da formaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedi-
cas simples (por exemplo 0 111 0 353535 0 456456456etc)
As diacutezimas perioacutedicas em geral representam uma soma innita de termos de
uma progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo entre 0 e 1 Assim por exemplo a diacutezima perioacutedica
0 111 eacute equivalente a soma S = 0 1 + 0 01 + 0 001 + cujo primeiro termo coincide a
razatildeo numericamente igual a 0 1
Muitos problemas de matemaacutetica elementar exigem que o aluno de Ensino
Meacutedio determine a fraccedilatildeo geratriz correspondente a uma dada diacutezima perioacutedica Para
realizar tal feito os professores utilizam diversos recursos e artimanhas dentre as quais
eacute possiacutevel citar o meacutetodo em que haacute o repasse de uma foacutermula com bastante decoreba
e pouca compreensatildeo o meacutetodo que requer a utilizaccedilatildeo de artifiacutecio via equaccedilatildeo do 1o
grau e o meacutetodo de considerar a diacutezima como uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo (q) variando entre 0 e 1 A exposiccedilatildeo seguinte apenas expotildee
o meacutetodo de obtenccedilatildeo da diacutezima via comparaccedilatildeo como uma soma de termos de progressatildeo
geomeacutetrica innita
Para dar continuidade a exibiccedilatildeo eacute necessaacuterio estudar como eacute feita a soma dos
n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica nita Assim dada uma progressatildeo ge-
omeacutetrica (a1 a2 a3 middot middot middot an) dene-se a soma (S) dos termos dessa progressatildeo geomeacutetrica
da seguinte maneira
S = a1 + a2 + a3 + middot middot middot+ an = a1 + a1q + a1q2 + a1q
3 + middot middot middot+ a1qnminus1 (1)
Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo (1) pela razatildeo q tem-se
qS = qa1 + qa2 + qa3 + middot middot middot+ qan = qa1 + a1q2 + a1q
3 + a1q4 + middot middot middot+ a1q
n (2)
Subtraindo (1) de (2) membro a membro tem-se
qS minus S = a1qn minus a1 = a1(q
n minus 1)rArr S(q minus 1) = a1(qn minus 1)rArr S =
a1(qn minus 1)
q minus 1
Assim a soma (S) dos n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de
razatildeo (q) eacute dada em funccedilatildeo do primeiro termo da razatildeo e do nuacutemero de termos
Quando se dispotildee de uma diacutezima perioacutedica ou melhor de uma soma de termos
de progressatildeo geometria innita cuja razatildeo pertence ao intervalo (0 1) percebemos que
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 69
o termo qn se aproxima de zero a medida que n tende ao innito Em outra linguagem
o limite da soma (S) quando n tende ao innito eacute dado por
limnrarrinfin
S = limnrarrinfin
[a1(q
n minus 1)
q minus 1
]=a1 middot (minus1)q minus 1
=a1
1minus q
Como exemplo observe o caacutelculo da fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 0 999 middot middot middot
Note que 0 999 middot middot middot equivale a soma S = 0 9 + 0 09 + 0 009 + middot middot middot
Essa soma representa o somatoacuterio dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita cuja razatildeo eacute dada por q = 0 1 Substituindo a1 = 0 9 e q = 0 1 tem-se
S = limnrarrinfin
[0 9
[( 110)n minus 1
]0 1minus 1
]=
0 9 middot (minus1)0 1minus 1
=minus0 9minus0 9
= 1
Isto eacute o limite do somatoacuterio dos termos da progressatildeo geomeacutetrica innita em
questatildeo eacute igual a um quando tomamos n tendendo para o innito
Haacute uma seacuterie de problemas que utilizam de tais recursos dentre os quais se
destacam a formaccedilatildeo de determinados mosaicos o processo de divisatildeo celular via meiose
o processo decaimento radioativo etc
O estudo do somatoacuterio de uma quantidade innita resultar numa quantidade
nita aparece historicamente no paradoxo de Zenon (por volta do seacuteculo V aC) que
surpreendentemente promove uma corrida em forma de aposta entre um famoso guerreiro
(Aquiles) da Greacutecia antiga e uma tartaruga Nessa corrida Aquiles conhecedor de sua
superioridade oferece uma vantagem para tartaruga poreacutem Aquiles nunca alcanccedila a
tartaruga pois por mais devagar que ela caminhe quando ele chegar agrave posiccedilatildeo inicial da
tartaruga a mesma teraacute avanccedilado um pouco E quando Aquiles cobrir esta distacircncia
a tartaruga teraacute avanccedilado um pouco mais e assim sucessivamente Embora os gregos
soubessem que do ponto de vista praacutetico Aquiles seria o vencedor natildeo sabiam explicar
tal fato do ponto de vista matemaacutetico Eacute vaacutelido ressaltar que tal ausecircncia de clareza por
parte dos matemaacuteticos gregos era justicada pela ausecircncia do conhecimento das noccedilotildees
intuitivas de limite Note que o limite da diferenccedila entre as distacircncias entre os dois
corredores tende para zero
Aleacutem de Zenon outro matemaacutetico grego percebeu e calculou com bastante
habilidade a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica com innitos termos cuja
razatildeo estava compreendida entre 0 e 1 Nessa eacutepoca o mestre de Siracusa (Arquimedes)
estava estudando e analisando quadraturas Para isso ele utilizava dois meacutetodos antigos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 70
de muito prestiacutegio O meacutetodo de Equiliacutebrio de autoria do proacuteprio Arquimedes e o meacutetodo
da Exaustatildeo credita a Eudoxos Numa de suas pesquisas em busca da quadratura de um
segmento paraboacutelico Arquimedes conseguiu demonstrar experimentalmente via meacutetodo
de Equiliacutebrio que a aacuterea do segmento de paraacutebola correspondia a 43da aacuterea do triacircngulo
inscrito no segmento paraboacutelico Essa demonstraccedilatildeo ismiuccedilada em CONTADOR (2012)
[6] Arquimedes utilizou o conhecimento dessa proposiccedilatildeo para realizar a quadratura da
paraacutebola Nesse trabalho foi encontrada pela primeira vez a soma de uma seacuterie innita
Acompanhe duas aplicaccedilotildees do estudo de somas de progressotildees geomeacutetricas
innitas cuja razatildeo (q) seja dada por |q| lt 1 e q natildeo nulo
Figura 712 Processo re-
cursivo de Quadrados
Figura 713 Processo
recursivo de Triacircngulos
Equilaacuteteros
Note que as guras acima determinam o comportamento das aacutereas e dos pe-
riacutemetros dos novos quadrados e dos novos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir dos
pontos meacutedios dos lados da gura anterior Para isso considere o quadrado inicial de
lado l e o triacircngulo equilaacutetero inicial de lado 2α
Note que as sequecircncias das aacutereas dos quadrados e dos triacircngulos equilaacuteteros
a partir do primeiro quadrado e do primeiro triacircngulo equilaacutetero satildeo dadas respectiva-
mente por(l2 l
2
2 l
2
4 l
2
8 middot middot middot
)e(a2radic3 a
2radic3
4 a
2radic3
8 middot middot middot
)
Por conseguinte a soma (SQ) das aacutereas dos innitos quadrados formados a
partir do quadrado primitivo de lado l representa uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo q = 12a qual seraacute dada por SQ = a1
1minusq =l2
2
1minus 12
=l2
212
= l2 Isto
eacute a soma (SQ) coincide com a aacuterea do quadrado primitivo de lado l Jaacute a soma (STE)
das aacutereas dos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir do triacircngulo equilaacutetero de lado 2a
tambeacutem representa uma soma de termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita de razatildeo
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 71
q = 14 a qual seraacute dada por STE = a1
1minusq = a2radic3
1minus 14
= a2radic3
34
= 43a2radic3 Isto eacute a soma (STE)
equivale a 43da aacuterea do triacircngulo equilaacutetero primitivo de lado 2a
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de
limite
A origem dessa discussatildeo iniciou-se na Greacutecia com a crise na Escola Pitagoacuterica
diante da descoberta de grandezas incomensuraacuteveis isto eacute apoacutes provarem que eacute impossiacutevel
existir um submuacuteltiplo comum (α) entre o lado (L) e a diagonal (D) de quadrado de lado
unitaacuterio tal que L = mα e D = nα
Nesse iacutenterim surgiu o questionamento da existecircncia de uma unidade comum
innitamente pequena (um submuacuteltiplo) de forma que ela pudesse medir o lado e a dia-
gonal do quadrado Caso tal existecircncia se conrmasse seria loacutegica a discussatildeo realizada
por volta do seacuteculo V aC pelo matemaacutetico grego Zenon que questionava o fato de que
uma soma innita pudesse ser nita ou ainda utilizando a linguagem moderna se seria
possiacutevel fazer com que o limite da diferenccedila entre as distacircncias percorridas por Aquiles
e a tartaruga tendesse a zero Segundo os anais da Histoacuteria da Matemaacutetica o paradoxo
de Zenon e suas consequecircncias assim como a descoberta das grandezas incomensuraacuteveis
satildeo relatos pioneiros e rudimentares da presenccedilaintervenccedilatildeo do conceito de limite num
problema matemaacutetico
Atualmente eacute possiacutevel concluir que se o segmento AB eacute incomensuraacutevel com
o segmento unitaacuterio α entatildeo a medida de AB eacute um nuacutemero irracional E como exemplo
ceacutelebre de nuacutemero irracional pode-se citar a medida da razatildeo aacuteurea (o famoso nuacutemero
de ouro 1+radic5
2) e a medida da diagonal de um quadrado de lado unitaacuterio cuja medida
corresponde ao nuacutemero irracionalradic2 Os exemplos escolhidos satildeo excelentes didaacuteticos e
histoacutericos Inclusive em GALARDA et al (1999) [13] haacute uma discussatildeo aberta sobre qual
nuacutemero irracional apareceu primeiro natildeo se sabe se foiradic2 ou
radic5 que primeiro revelou a
existecircncia de grandezas incomensuraacuteveis
Mesmo sabendo que natildeo eacute possiacutevel determinar com exatidatildeo o valor deradic2 eacute
possiacutevel relacionar aproximaccedilotildees por falta e por excesso de nuacutemeros racionais construindo
uma sequecircncia innita de nuacutemeros racionais tais que seus quadrados sejam todos menores
do que 2
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 72
Observe a tabela a seguir em que a primeira coluna representa uma sequecircncia
innita de nuacutemeros racionais a segunda coluna representa seus quadrados e a terceira
coluna representa a diferenccedila entre quadrado da diagonal e cada termo quadraacutetico na seacuterie
gerada Note que tomando aproximaccedilotildees com um nuacutemero reduzido de casas decimais
foi possiacutevel construir uma sequecircncia de quadrados em que com apenas seis iteraccedilotildees
tornou-se miacutenima a diferenccedila entre os valores quadraacuteticos da seacuterie formada e o nuacutemero 2
Assim pode-se tornar a diferenccedila tatildeo pequena quanto se queira aumentando o nuacutemero de
iteraccedilotildees Quando o nuacutemero de iteraccedilotildees tende ao innito de fato tem-se que a diferenccedila
tenderaacute a zero e consequentemente obteacutem-se o valorradic2
Tabela 72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais
Nuacutemero (xi) da Sequecircncia Quadrado de xi 2minus x2i1 1 1
14 196 004
141 19881 00119
1414 1999396 0000604
14142 1999962 0000038360000000237100000000000
141421 199999 0000010075900000128300000000000
Aleacutem de ser uma atividade rica de utilizaccedilatildeo da calculadora em sala de aula
eacute uma excelente oportunidade de expor de maneira compreensiva a inuecircncia de que a
noccedilatildeo de limite estaacute associada agrave ideia de incomensurabilidade
Eacute vaacutelido ressaltar que um procedimento anaacutelogo pode ser aplicado para caacutel-
culo do nuacutemero π por meio da divisatildeo do periacutemetro do poliacutegono regular inscrito pela
maior diagonal desse poliacutegono Quanto maior o nuacutemero de lados desse poliacutegono inscrito
mais proacuteximo do comprimento da circunferecircncia estaraacute seu periacutemetro e consequentemente
promoveraacute uma melhor aproximaccedilatildeo para o valor do nuacutemero π
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua
Embora sugira um aspecto bastante abstrato o nuacutemero de Euler (e) estaacute
presente em diversos processos de crescimento ou decrescimento exponencial dentre os
quais possui destaque o problema de aplicaccedilatildeo de um capital a uma taxa anual de k
com juros compostos capitalizados de forma contiacutenua durante t anos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 73
Suponha hipoteticamente que um determinado capital C0 seja aplicado a
juros de 100 ao ano
Caso sejam incorporados ao capital somente no nal do ano entatildeo ao nal de
um ano teriacuteamos o montante de R$ 200 para cada R$100 investido isto eacute o capital nal
acumulado apoacutes um ano eacute dado por
C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0
Agora a forma de incorporaccedilatildeo dos juros seraacute alterada poreacutem mantendo a
taxa anual de 100
Suponha que a referida taxa seja decomposta em duas taxas semestrais de
50 sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada semestre Daiacute segue que a
partir do capital inicial C0 haveraacute duas acumulaccedilotildees a serem consideradas A primeira
ocorreraacute ao nal do 1o semestre e a segunda ao nal do 2o semestre com a ressalva de
que o capital inicial a ser utilizado no caacutelculo do montante do 2o semestre coincide com o
montante acumulado ao nal do 1o semestre Em outras palavras ou melhor adotando
a linguagem moderna da matemaacutetica tem-se
1 Capital apoacutes o nal do 1o semestre
C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)
rArr C12 = C0(1 + 12)
2 Capital apoacutes o nal do 2o semestre
C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)
rArr C1 = C0(1 + 12)2
3 Suponha que a referida taxa seja decomposta em quatro taxas trimestrais de 25
sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada trimestre Capital apoacutes o
nal do 1o trimestre
C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)
rArr C14 = C0(1 + 14)
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 74
4 Capital apoacutes o nal do 2o trimestre
C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)
rArr C24 = C0(1 + 14)2
5 Capital apoacutes o nal do 3o trimestre
C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)
rArr C34 = C0(1 + 14)3
6 Capital apoacutes o nal do 4o trimestre
C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)
rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4
7 Caso a capitalizaccedilatildeo fosse mensal seria necessaacuterio subdividir ano e a taxa anual de
100 em 12 partes iguais daiacute o resultado seria
C1 = C0(1 + 112)12
8 Caso a incorporaccedilatildeo seja realizada de forma diaacuteria seria preciso subdividir o ano e
a taxa anual de 100 em 365 partes iguais daiacute segue que
C1 = C0(1 + 1365)365
Generalizando o fenocircmeno isto eacute subdividindo o ano e a taxa anual de 100
em n partes iguais e considerando-se que os juros satildeo incorporados ao capital no nal de
cada periacuteodo tem-se
C1 = C0(1 +1
n)n
Esquematizando uma tabela com o objetivo de analisar o comportamento da
expressatildeo (1 + 1n)n quando n cresce indenidamente tem-se
Note que a expressatildeo (1 + 1n)n aproxima-se indenidamente para um nuacutemero
decimal natildeo perioacutedico (nuacutemero irracional ou transcendental) denominado de nuacutemero de
Euler Tal nuacutemero eacute representado por e Uma aproximaccedilatildeo suciente com trecircs casas
decimais para tal nuacutemero eacute dada por e asymp 2 718
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 75
Tabela 73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler
Subdivisatildeo Fator de Acumulaccedilatildeo
n (1 + 1n)n
1 2
2 225
3 237037037
4 244140625
5 248832
10 259374246
50 2691588029
100 2704813829
1000 2716923932
10000 2718145927
100000 2718268237
1000000 2718280469
Assim conclui-se que um capital C0 aplicado a uma taxa de 100 ao ano
com capitalizaccedilatildeo contiacutenua (a cada instante) resultaraacute ao nal do 1o ano um valor C1 tal
que C1 = C0 middot e
Isto eacute quando n tende ao innito (incorporaccedilatildeo de juros de forma continuada
instantacircnea) tem-se que (1 + 1n)n tende para o nuacutemero irracional e
Eacute importante observar que caso a aplicaccedilatildeo seja a uma taxa anual de k ao
ano ao nal de um ano haveraacute um capital expresso por C1 = C0 middot ek Jaacute no nal de t
anos C1 = C0 middot ekt
Uma excelente demonstraccedilatildeo de modelagem matemaacutetica que faz uso do nuacutemero
de Euler de maneira construtiva e natildeo imperativa embora seja uma situaccedilatildeo hipoteacutetica
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteL-
CULO
Conforme jaacute foi visto nas atividades propostas na seccedilatildeo 621 o caacutelculo da
aacuterea de uma regiatildeo com algum lado curviliacuteneo natildeo eacute tatildeo oacutebvio como o caacutelculo da aacuterea de
uma regiatildeo poligonal Quando se pretende analisar a regiatildeo abaixo da curva cujo graacuteco
natildeo eacute retiliacuteneo em sua totalidade com o intuito de obter a medida da aacuterea sob a curva
a resoluccedilatildeo desse problema eacute realizada novamente por aproximaccedilatildeo da aacuterea da faixa de
hiperboacutele a ser calculada por um poliacutegono retangular inferior como se consideraacutessemos
a funccedilatildeo constante em cada instante e somaacutessemos todos os aacutereas dos retacircngulos ideais
Essa estrateacutegia eacute bastante motivadora poreacutem para que a estimativa seja boa eacute necessaacuterio
realizar um nuacutemero de iteraccedilotildees relativamente grande Para calcular aacuterea sob o graacuteco de
uma funccedilatildeo curviliacutenea utilizando a construccedilatildeo de poliacutegonos retangulares acrescentaremos
ao raciociacutenio a aproximaccedilatildeo via retacircngulos superiores fazendo com que a soma das aacutereas
desses retacircngulos (poliacutegono retangular inscrito e circunscrito) seja estimada tanto por
excesso quanto por falta
Eacute possiacutevel generalizar os casos tomando uma funccedilatildeo natildeo negativa e contiacutenua
num dado intervalo e dividi-lo em n subintervalos de mesmo comprimento em que cada
particcedilatildeo conteraacute um retacircngulo de mesma base de acordo com o nuacutemero de particcedilotildees e
cuja altura consiste no valor da funccedilatildeo numa dada extremidade do retacircngulo considerado
poreacutem seraacute proposto um processo mais construtivo que trabalha de forma concreta com
um nuacutemero de casos palpaacutevel por meio da anaacutelise de graacutecos de funccedilotildees quadraacuteticas de
hipeacuterboles equilaacuteteras e de funccedilotildees exponenciais O procedimento geral citado fornece
uma excelente aproximaccedilatildeo e o mesmo eacute amplamente encontrado nos livros de caacutelculo
com a denominaccedilatildeo popularmente conhecida como Somas de Riemann Nele ao tender
o nuacutemero de iteraccedilotildees (subdivisotildees do intervalo) para o innito tem-se que as somas de
Riemann tendem para o valor da aacuterea (A) da regiatildeo sob a curva que eacute denominada de
integral denida ou seja limnrarrinfin
S(n) =nsumk=1
f(xk) 4 x em que f(xk) e 4x representam
altura e comprimento do retacircngulo k
Observe a gura construiacuteda via GeoGebra com vinte retacircngulos inferiores e
superiores sob a curva da funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Note que a soma das aacutereas dos
retacircngulos inferiores (Si) (destacados de azul) e a soma das aacutereas dos retacircngulos superiores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 77
(Ss) (destacados de vermelho) para um nuacutemero de vinte intervalos iguais nos fornece uma
ideia de que a aacuterea pretendida estaacute compreendida entre 031 e 036 Isso serve como
instrumento empiacuterico para raticar uma armaccedilatildeo (quadratura da paraacutebola) demonstrada
na seccedilatildeo 621 em que foi constatado que a aacuterea da faixa de paraacutebola no intervalo [0 1]
mede 13
Figura 714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito)
Fonte Geogebra
Na mesma linha da anaacutelise anterior poreacutem com maior riqueza de detalhes e
consequecircncias pode analisar o comportamento do ramo positivo de uma hipeacuterbole equi-
laacutetera e da parte pertencente ao primeiro quadrante do graacuteco da funccedilatildeo exponencial
Somente seraacute realizada a anaacutelise do signicado geomeacutetrico da aacuterea de uma faixa de hi-
peacuterbole equilaacutetera Via GeoGebra proponha a construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x
e por meio do comando SomaDeRiemann solicite o caacutelculo de aproximaccedilotildees para a aacuterea
pretendida
Inicialmente proponha o caacutelculo da aacuterea do poliacutegono retangular inscrito e
circunscrito para n = 8 isto eacute pretende-se que o aluno determine uma aproximaccedilatildeo para
o valor da aacuterea da faixa da hipeacuterbole para uma subdivisatildeo de oito retacircngulos de mesmo
comprimento Veja o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo descrita
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 78
Figura 715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8
Fonte Geogebra
Espera-se que o aluno seja capaz de calcular a aacuterea da faixa de hipeacuterbole
denotada por H31 realizando o maior nuacutemero de iteraccedilotildees de subdivisotildees do intervalo
[1 3] Por exemplo ao dividi-la em oito particcedilotildees de mesmo comprimento encontra-se
os valores das abscissas 1 54 64 74 84 94 104 114 e 124 E calculando suas
respectivas imagens tem-se 1 45 46 47 48 49 410 411 e 412 Realizando o
caacutelculo da soma dos retacircngulos inferiores obteacutem-se
S =1
4middot 45+
1
4middot 46+
1
4middot 47+
1
4middot 48+
1
4middot 49+
1
4middot 410
+1
4middot 411
+1
4middot 412
rArr S asymp 1 019
O passo seguinte para o prosseguimento da atividade e para completar o racio-
ciacutenio depende de cada professor poreacutem eacute recomendaacutevel solicitar aos alunos que reproduza
a situaccedilatildeo descrita para outros valores de n por exemplo para n = 10 considerando o
intervalo de 1 ateacute 2 Seguindo esse procedimento espera-se que o aluno consiga calcular a
aacuterea com uma precisatildeo de cerca de 067 Observe o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo mencionada
Nesse momento o professor deve intervir diretamente na atividade inserindo
a deniccedilatildeo geomeacutetrica do logaritmo natural de x como a aacuterea da faixa de Hipeacuterbole de 1
ateacute x ou seja ln x = Aacuterea(Hx1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 79
Figura 716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10
Fonte Geogebra
A partir dessa deniccedilatildeo eacute possiacutevel questionar os alunos sobre a existecircncia de
uma dada abscissa que representaraacute a aacuterea de medida igual a 1 unidade Aleacutem disso pode-
se conjecturar uma boa aproximaccedilatildeo entre nuacutemeros inteiros para o nuacutemero neperiano (e)
de acordo com o estudo exposto acima Enm eacute necessaacuterio orientar os alunos com a
nalidade dos mesmos investigarem a existecircncia de uma aacuterea de uma faixa de hipeacuterbole
variando de 1 ateacute um certo x cuja aacuterea seja unitaacuteria ou equivalentemente procurar o
valor de x tal que ln x = Aacuterea(Hx1 ) = 1 A conclusatildeo obtida pelos alunos deve admitir a
existecircncia dessa abscissa e estimar que o valor procurado pertencente ao intervalo entre
2 e 3 Pode-se demonstrar que o valor de x em questatildeo trata-se do nuacutemero irracional e
cuja melhor aproximaccedilatildeo eacute dada por e = 2 718281828459 Nesse ponto eacute satisfatoacuterio
que o professor faccedila uma reexatildeo comparando o nuacutemero obtido com o nuacutemero de Euler
surgido ao resolver o problema de capitalizaccedilatildeo contiacutenua proposto historicamente pelos
irmatildeos Bernoulli
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 80
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri
O procedimento que seraacute apresentado a seguir consiste basicamente num re-
sumo dos estudos realizados no seacuteculo XVII pelo matemaacutetico Bonaventura Francesco
Cavalieri que recebeu forte inuecircncia dos predecessores Arquimedes Kepler Galileu e
Fermat
Esse grandioso trabalho de Cavalieri foi publicado em 1635 e foi intitulado de
Geometria indivisibilibus O meacutetodo proposto considerava um soacutelido formado pela reuniatildeo
de conjunto innito de planos isto eacute seu princiacutepio dizia que qualquer grandeza (plana ou
soacutelida) pode ser dividida numa quantidade innita de porccedilotildees (lacircminas) com espessura
innitesimal de tal modo que mantenham entre si proporccedilotildees desejadas
Segundo CONTADOR (2012 p 214) [7] um dos princiacutepios norteadores do
meacutetodo de Cavaliere dizia que se dois soacutelidos nos quais qualquer plano secante a eles e
paralelo a um plano dado determina neste soacutelido planos cuja razatildeo eacute constante entatildeo a
razatildeo entre os volumes destes soacutelidos tambeacutem seraacute constante
Observe por meio da utilizaccedilatildeo da linguagem moderna da matemaacutetica como
Cavalieri obteve a aacuterea lateral de um cilindro a aacuterea supercial da esfera e volume do
cone de revoluccedilatildeo a partir da reproduccedilatildeo de ideias publicadas em CONTADOR (2012)
[7]
Inicialmente eacute necessaacuterio considerar um soacutelido qualquer com bases paralelas
de altura h e aacuterea S e de volume (VL) dado por VL = Sh Agora imagine uma superfiacutecie
como uma lacircmina soacutelida em que sua altura h eacute innitamente pequena logo seu volume e
sua aacuterea seratildeo praticamente iguais ou seja S = VL
bull a) Caacutelculo da aacuterea (S) lateral de um cilindro
Eacute notoacuterio e consensual que o procedimento adotado na maioria dos livros di-
daacuteticos (caacutelculo da superfiacutecie lateral do cilindro reto eacute obtido a partir de uma regiatildeo
retangular de altura h e base 2π) possui uma abordagem excelente aos olhos da didaacutetica
e de acordo com a visatildeo criacutetica dos alunos tal procedimento eacute considerado de faacutecil assi-
milaccedilatildeocompreensatildeo contribuindo de modo satisfatoacuterio para o ensinoaprendizagem O
procedimento a ser apresentado tem como proposta o caacutelculo da aacuterea lateral de um cilindro
de altura h e raio da base igual a (r + x) a partir do volume VA do anel ciliacutendrico consi-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 81
derando x como uma espessura innitamente pequena pois a partir dessas consideraccedilotildees
eacute possiacutevel inserir a aplicaccedilatildeo das noccedilotildees de limite de uma maneira construtiva
Figura 717 Anel Ciliacutendrico
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 333
Note que o volume do cilindro interno de raio r e altura h eacute dado por Vi =
πr2h Jaacute o volume do cilindro externo de raio (r + x) e de mesma altura h eacute dado por
Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h
Assim o volume do anel ciliacutendrico seraacute dado por
VA = Ve minus Vi
rArr VA = πh(r2 + 2rx+ x2)minus πr2h
rArr VA = πh(2rx+ x2)
rArr VA = πh2rx+ πhx2
Fazendo a divisatildeo por x tanto do 1o membro quanto do 2o membro igualdade
tem-se
rArr VAx
= πh2r + πhx
Como VA = S middot x rArr S = VAx
e sabendo que x eacute innitamente pequeno segue
que a 2a parcela da soma do 2o membro tambeacutem seraacute tatildeo pequena ao ponto de consideraacute-la
nula
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 82
Assim
rArr VAx
= S = 2πhr
Observe que de fato S eacute aacuterea do retacircngulo de altura h e de base idecircntica ao
comprimento de um circunferecircncia de raio r
bull b) Caacutelculo da aacuterea da esfera (S)
O caacutelculo da aacuterea da superfiacutecie de uma esfera seraacute feito a partir da diferenccedila
entre os volumes das esferas externa e interna cujos raios satildeo (r+h) e r respectivamente
Figura 718 Casca de Esfera
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 337
VCasca = Ve minus Vi
rArr VCasca =4
3π(r + h)3 minus 4
3πr3
rArr VCasca =4
3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)
rArr VCasca =4
3π(3r2h+ 3rh2 + h3)
Utilizando procedimento anaacutelogo isto eacute dividindo ambos os termos por h
tem-se
rArr VCascah
=4
3π(3r2 + 3rh+ h2)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 83
Como VCasca = S middothrArr S = VCasca
he sabendo-se que h eacute innitamente pequeno
segue queVCascah
= S =4
3πr2
bull c) Caacutelculo do volume do cone de revoluccedilatildeo
Antes de deduzir a foacutermula VCone = 13πr2h em que r e h representam o raio e a
altura do cone respectivamente eacute vaacutelido ressaltar que historicamente esse feito eacute creditado
inicialmente a Demoacutecrito (c 410 aC) e sua evoluccedilatildeo posteriormente a Arquimedes que
utilizou brilhantemente seu meacutetodo de equiliacutebrio para conjecturar e o meacutetodo da exaustatildeo
de Eudoxo para provar a validade dessa relaccedilatildeo De acordo com EVES (2004) [11] o
pioneiro no Caacutelculo do volume do cone foi Demoacutecrito
() A chave eacute fornecida por Plutarco ao relatar o dilema a que chegoucerta vez Demoacutecrito quando considerou a possibilidade de um cone serformado de uma innidade de secccedilotildees planas paralelas agrave base Se duassecccedilotildees adjacentes fossem do mesmo tamanho o soacutelido seria um cilindroe natildeo um cone Se por outro lado duas secccedilotildees adjacentes tivessem aacutereasdiferentes a superfiacutecie do soacutelido seria formada de uma seacuterie de degrauso que certamente natildeo se verica Nesse caso se assumiu que o volumedo cone pode ser subdividido indenidamente (ou seja numa innidadede secccedilotildees planas atocircmicas) mas que o conjunto dessas secccedilotildees eacute contaacute-vel no sentido de que dada uma delas haacute uma outra que lhe eacute vizinhasuposiccedilatildeo que se situa ateacute certo ponto entre as duas jaacute consideradassobre a divisibilidade de grandezas Demoacutecrito pode ter argumentadoque se duas piracircmides de bases equivalentes e alturas iguais satildeo seccio-nadas por planos paralelos agraves bases vericando-se a divisatildeo das alturasnuma mesma razatildeo entatildeo as secccedilotildees correspondentes assim formadas satildeoequivalentes Portanto as piracircmides conteacutem o mesmo nuacutemero innito desecccedilotildees planas equivalentes o que implica que seus volumes devem seriguais Tem-se aiacute o que seria um exemplo primitivo do chamado meacutetododos indivisiacuteveis de Cavalieri () (EVES [11] 2004 p 420)
Considere o cone de diacircmetro da base AB = 2r e altura H composto pela
junccedilatildeo de n cilindros de raios variando de 0 agrave r e de altura h extremamente pequena tal
que h = Hn
Considere um desses cilindros ideais de ordem k a partir do veacutertice C e raio r1
de tal maneira que o cone que dividido em duas partes Note que eacute possiacutevel por meio da
semelhanccedila de triacircngulos relacionar rr1 H e H1 de tal modo que seja dado em funccedilatildeo
de r k e nr
r1=
H
H1
rArr r
r1=
HkHn
rArr r1 =rk
n
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 84
Figura 719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 339
O volume do cilindro de ordem k seraacute dado por
VCilindro = πr21h
rArr VCilindro = πr2k2
n2
H
n
rArr VCilindro = πr2H1
n3k2
Assim o volume do cone seraacute dado pelo somatoacuterio de todos os cilindros ideais
com k variando de 1 a n
VCone = πr2H1
n312 + πr2H
1
n322 + πr2H
1
n332 + πr2H
1
n342 + middot middot middot+ πr2H
1
n3n2
= πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
Sabe-se que 12+22+32+42+ middot middot middot+n2 = n3
3+ n2
2+ n
6 A validade dessa relaccedilatildeo
pode ser obtida pelo Princiacutepio da Induccedilatildeo Matemaacutetica ou a partir do desenvolvimento do
binocircmio (1 + k)3 = 1+ 3k + 3k2 + k3 variando k de 0 a n e adicionando as igualdades de
ambos os membros (vide em CONTADOR (2012) [8]) Embora essa abstraccedilatildeo algeacutebrica
seja possiacutevel de ser aplicada aos alunos do Ensino Meacutedio a demonstraccedilatildeo geomeacutetrica
consiste num procedimento mais construtivo e de faacutecil assimilaccedilatildeo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 85
Inicialmente faremos a apresentaccedilatildeo da prova geomeacutetrica para a soma dos
nuacutemeros inteiros de 1 a n isto eacute S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n = n(n+1)2
dado que a mesma
seraacute necessaacuteria para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo 12+22+32+42+
middot middot middot+ n2 = n3
3+ n2
2+ n
6= n(n+1)(2n+1)
6()
Antes de generalizar os casos eacute imprescindiacutevel realizar os caacutelculos para um
caso particular por exemplo n = 6 com o intuito de motivar e aguccedilar a curiosidade
dos alunos Aleacutem de contribuir de maneira satisfatoacuteria para a formaccedilatildeo da conjectura dos
alunos
A gura seguinte ilustra a soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) em que a coluna i eacute
composta por i quadrados
Figura 720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Fonte Geogebra
Ao girar a gura anterior e encaixaacute-la tem-se um retacircngulo de base 6 e altura
7 conforme ilustra a imagem seguinte
Note que a medida da aacuterea do retacircngulo construiacutedo eacute dada por 6 middot7 = 6 middot(6+1)
A partir daiacute eacute possiacutevel concluir que a soma (1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6) pretendida
representa a metade do retacircngulo construiacutedo isto eacute
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)
2
Para generalizar o procedimento eacute necessaacuterio construir um retacircngulo de base
n e altura (n + 1) a partir das n colunas que representam geometricamente a soma S =
1 + 2 + 3 + middot middot middot + n A aacuterea (A) do retacircngulo construiacutedo seraacute dada por A = n middot (n + 1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 86
Figura 721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7
Fonte Geogebra
De forma anaacuteloga a soma desejada (S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n) representa a metade do
retacircngulo n(n+ 1) isto eacute
S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot+ n =n(n+ 1)
2
Enm para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo () faz-se ne-
cessaacuterio implementar ideias semelhantes com as devidas ressalvas
Repetindo o procedimento realizado para um caso particular da soma dos 6
primeiros quadrados perfeitos (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)
As guras a seguir sugerem uma visatildeo geomeacutetrica do procedimento detalhado
Note que para realizar o preenchimento eacute preciso acrescentar um quadrado na 2a linha
um quadrado e um retacircngulo (2x1) na 3a linha um quadrado um retacircngulo (2x1) e
retacircngulo (3x1) na 4a linha assim por diante
Logo a aacuterea (A) do retacircngulo (ABCD) cuja base mede b = (1+2+3+4+5+6)
e cuja altura mde 6 unidades eacute dada por A = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) middot 6
Equivalentemente tal aacuterea pode ser calculada a partir da soma das aacutereas que
compotildee o retacircngulo (ABCD) isto eacute
A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]
rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1
(1 + i)i
2]
Portanto tem-se
1+22+32+42+52+62 = (1+2+3+4+5+6)middot6minus[5sumi=1
(1 + i)i
2] = (
6(6 + 1)
2)middot6minus1
2middot[5sumi=1
i+5sumi=1
i2])
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 87
Figura 722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
Fonte Geogebra
Figura 723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
Fonte Geogebra
Daiacute segue que
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot5sumi=1
iminus 1
2middot5sumi=1
i2
rArr6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot5sumi=1
i2
Ainda eacute possiacutevel manipular a referida expressatildeo com o intuito de melhorar a
visualizaccedilatildeo
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot ([
6sumi=1
i2]minus 62)
rArr6sumi=1
i2 +1
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 88
rArr 3
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =62 + 6
2minus 62 minus 6
2+
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)
4
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
4
rArr6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
6
Generalizando o procedimento ou seja representando geometricamente a soma
dos quadrados (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + middot middot middot + n2) de 1 ateacute n e em seguida completando a
gura ateacute que se forme um retacircngulo de base (1+2+3+4+5+ middot+n) e altura n tem-se
6sumi=1
i2 = 1 + 22 + 32 + middot middot middot+ n2 =n(2 middot n+ 1)(n+ 1)
6
Assim dispondo da relaccedilatildeo que representa a soma dos quadrados segue que
VCone = πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
= πr2H1
n3
(n3
3+n2
2+n
6
)= πr2H
(1
3+
1
2n+
1
6n2
)
Como n tende ao innito segue que as fraccedilotildees que conteacutem denominador composto por n
poderatildeo ser desprezadas dado que tenderatildeo a zero Isto eacute o volume do cone seraacute dado
por
VCone =1
3πr2H
Recomenda-se que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada na 2a e 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
Acredita-se que em cinco aulas haacute tempo suciente para complementar todo o aparato de
discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Espacial
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse
Dispondo dos meacutetodos de quadratura do ciacuterculo realizados por Arquimedes
dos conceitos baacutesicos de Geometria Analiacutetica difundida por Descartes e Fermat e aleacutem
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 89
disso dos princiacutepios de Cavalieri eacute possiacutevel aplicar tais ideias para ampliar o estudo de
cocircnica deduzindo a foacutermula para o caacutelculo da aacuterea de uma elipse isto eacute descobrir a
relaccedilatildeo de proporccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo para a elipse de eixo maior igual ao diacircmetro do
ciacuterculo formalizada por Johannes Kepler
Figura 724 Elipse inscrita numa circunferecircncia
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p339
Considere o semi-ciacuterculo de raio r = a e a semi-elipse de semi-eixos positivos
a e b com a gt b A partir dessa convenccedilatildeo eacute possiacutevel descrever as equaccedilotildees reduzidas do
ciacuterculo e da elipse
x2 + y2 = a2 ex2
a2+y2
b2= 1
Escrevendo y em funccedilatildeo de x e tomando o 1o quadrante por simetria am de
que ambos os radicandos sejam positivos tem-se
y =radica2 minus x2
eyprime2
b2= 1minus x2
a2rArrradicb2 minus x2 b
2
a2
rArr yprime =
radicb2(1minus x2
a2
)
=
radicb2(a2 minus x2a2
)=b
a
radica2 minus x2
Ou seja yprime = bay (a razatildeo entre duas cordas verticais correspondentes da elipse
e do ciacuterculo eacute ba)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 90
Note que apesar de adotar a variaacutevel y em cada funccedilatildeo y e yprime satildeo diferentes
isto eacute representam para cada abscissa x ordenadas com valores distintos
Se as ordenadas do ciacuterculo e elipse y e yprime respectivamente guardam entre si a
relaccedilatildeo ba segue que suas aacutereas vatildeo manter a mesma razatildeo Essa armaccedilatildeo eacute garantida
pelo primeiro princiacutepio de Cavalieri em que EVES (2004 p426) [11] destaca Se duas
porccedilotildees planas satildeo tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina
nas porccedilotildees segmentos de reta cuja razatildeo eacute constante entatildeo a razatildeo entre as aacutereas dessas
porccedilotildees eacute a mesma constante Em linguagem moderna temos
Area da elipse
Area do circulo=b
a
rArr Area da elipse =b
aArea do circulo
rArr Area da elipse =b
aπa2 = πab
Eacute vaacutelido ressaltar que a ideia acima pode ser estendida para comparar dois
soacutelidos (segundo princiacutepio de Cavalieri) e por meio dela pode-se deduzir a foacutermula para o
caacutelculo do volume da esfera
Eacute recomendaacutevel que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada durante a 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
A quantidade de aulas sucientes para expor tais ideias variaraacute de acordo com a proposta
do professor mas acredita-se que cinco aulas satildeo bastantes para complementar todo o
aparato de discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Analiacutetica e de Cocircnicas
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva
Ao analisar uma grandeza cuja variaccedilatildeo eacute tomada como constante em subin-
tervalos isto eacute como se a funccedilatildeo tivesse variaccedilatildeo de degrau em degrau e natildeo de forma
continuada haacute uma abordagem de forma impliacutecita das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
elementares de integral
Primeiramente o trabalho estaraacute focado no caso em que a funccedilatildeo eacute constante
em todo o intervalo positivo considerado Suponha que o interesse principal seja o caacutelculo
da aacuterea sob o graacuteco no intervalo considerado Nesse caso o problema se resume em medir
a aacuterea de um retacircngulo cuja base coincide com a variaccedilatildeo do intervalo considerado e a
altura corresponde ao valor xo e constante da funccedilatildeo xada
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 91
Nessa mesma tocircnica veja um exemplo graacuteco de uma funccedilatildeo constante (f(x) =
3x) via GeoGebra com poliacutegono regular inscrito para n = 100
Figura 725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante
Fonte GeoGebra
Figura 726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer
Fonte GeoGebra
A gura anterior representa o caso de uma grandeza positiva e natildeo constante
cuja variaccedilatildeo seja contiacutenua ao longo do intervalo considerado Nesse caso para calcular a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 92
aacuterea sob o graacuteco eacute preciso analisar o problema fragmentando o intervalo contiacutenuo em um
nuacutemero consideraacutevel de partes (degraus) com o intuito de que a grandeza seja analisada
como se fosse praticamente constante em cada subintervalo isto eacute a aacuterea solicitada eacute
obtida adicionando as aacutereas dos inuacutemeros retacircngulos inseridos no intervalo considerado
A gura a seguir ilustra o graacuteco de uma funccedilatildeo qualquer feita a matildeo livre via GeoGebra
com poliacutegono retangular inscrito com n = 10
Esse procedimento descrito acima eacute comum e rotineiro em diversas situaccedilotildees
cotidianas A estrateacutegia de resoluccedilatildeo eacute similar na maioria dos casos e consiste em racio-
cinar a funccedilatildeo dado como se fosse constante em pequenos trechos Tal fenocircmeno jaacute era
realizado desde o seacuteculo III aC por Arquimedes com auxiacutelio do meacutetodo da exaustatildeo Um
exemplo praacutetico motivacional e de faacutecil entendimento eacute a explicaccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo
como uma aproximaccedilatildeo via aacuterea de poliacutegonos regulares inscritos com nuacutemero de lados
em escala crescente e tendendo ao innito Observe a imagem abaixo que foi produzida
no software de geometria dinacircmica GeoGebra Note que haacute um controle deslizante res-
ponsaacutevel por determinar o nuacutemero de lados do poliacutegono regular inscrito Na imagem a
seguir o cursor do controle deslizante foi posicionado em N = 11 isto eacute fez-se surgir o
undecaacutegono regular inscrito Jaacute a gura ao lado estaacute representando o hectaacutegono regular
(poliacutegono regular de 100 lados) inscrito e construiacutedo tambeacutem via GeoGebra
Figura 727 Quadratura do ciacuterculo
para n = 11
Figura 728 Quadratura do ciacuterculo
para n = 100
Tomando uma funccedilatildeo contiacutenua y = f(x) qualquer preferencialmente natildeo
constante denida no intervalo positivo [a b] e supondo que a meta seja o caacutelculo da aacuterea
sob o graacuteco contido no 1o quadrante faz-se necessaacuterio uma subdivisatildeo do intervalo [a b]
em numerosos subintervalos praticamente constantes am de determinar a aacuterea sob o
graacuteco como uma aproximaccedilatildeo pela soma de todos os retacircngulos obtidos ao particionar o
intervalo [a b] Isto eacute considerando n subintervalos de comprimentos x1 x2 x3 middot middot middot xn e
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 93
cujas imagens (alturas dos retacircngulos) sejam y1 y2 y3 middot middot middot yn respectivamente e supostos
constantes em cada subintervalo tem-se uma aproximaccedilatildeo para a aacuterea S sob o graacuteco da
curva dada
S sim= x1y1 + x2x2 + x3y3 + middot middot middot+ xnyn
Note que aumentando o valor de n e reduzindo o comprimento dos subinter-
valos a aproximaccedilatildeo ca melhorada ou seja o valor real da aacuterea sob o graacuteco torna-se
muito proacuteximo da aproximaccedilatildeo considerada via soma de retacircngulos Eacute oacutebvio que ten-
dendo o valor de n para um nuacutemero innito de subdivisotildees sucessivas com as ressalvas
necessaacuterias de reduccedilatildeo dos comprimentos dos subintervalos a soma das innitas aacutereas dos
retacircngulos pertencentes aos trechos particionados tenderaacute para o valor real da aacuterea sob
o graacuteco da funccedilatildeo considerada Tal nuacutemero eacute conhecido como integral denida
Eacute vaacutelido ressaltar que o procedimento exibido acima pode ser contextualizado
aplicado e inserido de forma interdisciplinar com a disciplina de Fiacutesica ao calcular a
distacircncia d percorrida por um moacutevel com velocidade v(t) no intervalo de tempo [a b] ou
entatildeo no caacutelculo do trabalho T realizado por uma forccedila de direccedilatildeo constante e intensidade
f(x) no deslocamento de x de a ateacute b Tambeacutem eacute possiacutevel aplicar o estudo descrito para
calcular o volume de uma trombeta (soacutelido obtido pela rotaccedilatildeo do graacuteco particular
y = f(x) em torno do eixo x com a le x le b e f(x) ge 0) via cascas ciliacutendricas poreacutem essa
atividade pode ser encontrada nos livros de Caacutelculo citados anterioremente e seraacute deixada
como atividade suplementar pois foge ao escopo desse trabalho
Para raticar o estudo exibido propotildee-se um exerciacutecio que pode ser resolvido
passo a passo conforme etapas descritas a seguir
Exerciacutecio Calcule um valor aproximado para a aacuterea sob o graacuteco de f(x) =
100minus x2 no intervalo [0 10]
Atividade a ser desenvolvida no laboratoacuterio de informaacutetica com computadores
compostos por softwares de geometria dinacircmica (especialmente o GeoGebra) Aleacutem disso
eacute recomendaacutevel o uso de calculadora cientiacuteca ou de algum software de planilha (por
exemplo Excel ou CALC)
1o passo Utilize o GeoGebra para plotar o graacuteco da funccedilatildeo com as restriccedilotildees
discriminadas no enunciado
2o passo Inicialmente proponha uma subdivisatildeo do intervalo [0 10] em 5 su-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 94
bintervalos de comprimento igual a 2 Note que em cada subintervalo eacute preciso supor
f(x) constante e de valor correspondente ao ponto meacutedio do subintervalo
3o passo Calcule os valores de f(1) f(3) f(5) f(7) e f(9) Nesse momento
questione os alunos sobre o que essas imagens representam
4o passo Utilize a calculadora cientiacuteca ou uma planilha eletrocircnica para adi-
cionar a aacuterea dos cinco retacircngulos contidos nos subintervalos determinados A soma (S5)
eacute uma aproximaccedilatildeo para o valor da aacuterea sob o graacuteco da funccedilatildeo dada isto eacute eacute uma
estimativa para o valor da integral denida
5o passo Questione os alunos sobre o que aconteceraacute com a estimativaaproximaccedilatildeo
caso fosse uma nova subdivisatildeo em dez subintervalos de comprimento igual a 1 Oriente
os mesmos a realizarem tal experimento
6o passo Maximize o grau de abstraccedilatildeo da atividade supondo uma subdivisatildeo
do intervalo dado em n subintervalos de comprimento igual a 10n Solicite aos alunos que
calculem a nova aproximaccedilatildeo em funccedilatildeo de n fornecendo uma expressatildeo geral e ao nal
dessa tarefa questione os alunos sobre o que aconteceraacute com tal expressatildeo caso o valor de
n seja tendido ao innito
7o passo Revise todas as etapas melhorando a linguagem de forma gradual
e introduzindo uma simbologia de maneira a facilitar a escrita por exemplo insira a
notaccedilatildeo de somatoacuterios Caso observe a maturidade e a compreensatildeo dos conceitos de
maneira satisfatoacuteria por parte dos alunos insira a notaccedilatildeo moderna de limite junto aos
siacutembolos de somatoacuterios Aleacutem disso tambeacutem pode introduzir a simbologia de integrais
A expectativa dessa atividade eacute que a maioria dos alunos construa o graacuteco
no GeoGebra conforme as guras ilustrativas a seguir e que aproxime ao maacuteximo da aacuterea
sob o graacuteco via Soma de Riemann
Note que o aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees de cinco para dez fez com que a
aproximaccedilatildeo da aacuterea do poliacutegono retangular inferior melhorasse de 560 para 615 unidades
de aacuterea E mais aumentando o nuacutemero de interaccedilotildees de 10 para 100 fez com que a
aproximaccedilatildeo via aacuterea do poliacutegono retangular superior melhorasse de 715 para 67165
Tal realizaccedilatildeo conduz a seguinte conclusatildeo a aacuterea procurada eacute um nuacutemero entre 615
e 67165 Utilizando as ideias de Arquimedes sobre quadratura da paraacutebola eacute possiacutevel
constatar que a aacuterea desse segmento paraboacutelico (Asp) eacute dada por 43da aacuterea do triacircngulo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 95
inscrito de base medindo 10 unidades e altura medindo 100 unidades isto eacute Asp = 43de
10middot1002
= 20003
= 666 6
Figura 729 Poliacutegono Retangular
para n = 5
Figura 730 Poliacutegono Retangular
para n = 10
Figura 731 Poliacutegono Retangular
inscrito
Figura 732 Poliacutegono Retangular
circunscrito
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 96
Observe que a Figura 732 representa uma imagem ilustrativa de um poliacutegono
retangular superior em que eacute possiacutevel vericar que a aacuterea estaacute bem proacutexima do valor real
exibido anteriormente Note ainda que a medida que aumentamos o valor do cursor (n)
o poliacutegono retangular inscrito aproximasse cada vez mais da aacuterea da faixa de paraacutebola
pretendida (vide gura 731)
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica
O estudo de funccedilatildeo decorre da necessidade de analisar fenocircmenos descrever
regularidades interpretar interdependecircncias e generalizar Eacute preciso ter em mente que o
termo funccedilatildeo eacute mais abrangente e complexo do que a deniccedilatildeo apresentada ou seja eacute
necessaacuterio mostrar ao aluno que esse toacutepico usado de forma sistemaacutetica em exatas e no
seu cotidiano eacute de suma importacircncia para o meio social pois vaacuterias relaccedilotildees de mercado
e capital engenharia economia (micro e macro) sauacutede transportes induacutestrias artes
energia enm uma diversidade de aacutereas dependem de uma anaacutelise clara e objetiva da
funcionalidade de um modelo ou paracircmetro a ser adotado
Os casos em que haacute o emprego das noccedilotildees elementares no estudo de Fiacutesica
durante a etapa do ensino meacutedio satildeo frequentes e corriqueiros Observe os casos em que
eacute possiacutevel explorar tais ideias durante o ensino meacutedio
No 1o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Velocidade x Tempo (Deslocamento)
bull graacuteco de Aceleraccedilatildeo x Tempo (Velocidade)
bull graacuteco de Forccedila x Distacircncia (Trabalho)
bull graacuteco de Forccedila x tempo (Impulso)
No 2o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Trabalho realizado por um gaacutes ideal)
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Transformaccedilatildeo isoteacutermica)
bull graacuteco de calor especiacuteco x variaccedilatildeo de temperatura (Quantidade de Calor)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 97
No 3o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Corrente x Tempo (Carga)
bull graacuteco de Campo eleacutetrico x distacircncia (Forccedila eleacutetrica)
bull graacuteco de Resistecircncia x corrente (Tensatildeo)
Eacute possiacutevel citar outros casos mais especiacutecos poreacutem fogem ao escopo desse
material A seguir seraacute apresentado um estudo de catildeo referente ao caacutelculo da aacuterea sob o
graacuteco de uma dada relaccedilatildeo entre duas grandezas
A riqueza de tal estudo que eacute uma aplicaccedilatildeo baacutesica do caacutelculo integral vai
ao encontro dos ideais de interdisciplinaridade e contextualizaccedilatildeo defendidos pelos Paracirc-
metros Curriculares Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) [20] e pela Lei de Diretrizes e
Bases da Educaccedilatildeo (LDB) [30]
Os PCNEM (2002) [21] foram formulados a partir da discussatildeo entre especi-
alistas e educadores pertencentes aos domiacutenios do territoacuterio nacional Sua nalidade eacute
bastante abrangente dado que se pretende dar suporte as equipes escolares na execuccedilatildeo
de seus trabalhos com o intuito de promover o aperfeiccediloamento da praacutetica educativa por
meio de estiacutemulo e apoio agrave reexatildeo sobre a praacutetica diaacuteria ao planejamento de aulas e
ao desenvolvimento do curriacuteculo da escola de maneira a construir um processo contiacutenuo
de ensinoaprendizagem e a contribuir satisfatoriamente para a atualizaccedilatildeo prossional e
para a integraccedilatildeo ao mundo contemporacircneo nas dimensotildees fundamentais da cidadania e
do trabalho
Nesse iacutenterim que foca numa aprendizagem de formaccedilatildeo geral em que se pri-
oriza a aquisiccedilatildeo de conhecimentos a preparaccedilatildeo cientiacuteca e a capacidade de utilizar as
diferentes tecnologias relativas agraves aacutereas de atuaccedilatildeo a pretensatildeo dessa sequencia didaacutetico
tem a nalidade de contribuir para a transformaccedilatildeo do ensino meacutedio assim como formar
alunos capazes de buscar analisar e selecionar informaccedilotildees de modo criacutetico em detrimento
do ensino focado nos processos de memorizaccedilatildeo
A integraccedilatildeo e o uso da Matemaacutetica para justicar fatos da Fiacutesica sempre
foram e seratildeo mecanismos favoraacuteveis para o desenvolvimento da ciecircncia e da tecnologia
Eacute vaacutelido ressaltar que para propagar tais ideias eacute necessaacuterio discutircomentar
alguns preacute-requisitos matemaacuteticos e fiacutesicos de acordo com a seacuterie em que haacute pretensatildeo a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 98
aplicar a referida teacutecnica Eacute de suma importacircncia que o aluno saiba e domine os conceitos
de funccedilatildeo uacuteteis na construccedilatildeo do esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo proposta Assim a primeira
etapa de todo o processo consiste numa revisatildeo de toacutepicos de funccedilatildeo (1o grau 2o grau
exponencial logariacutetmica trigonomeacutetrica hipeacuterbole equilaacutetera etc) de acordo com o
enfoque que o professor trabalharaacute
Por exemplo caso o professor esteja interessado apenas em aplicar os conceitos
de limite agraves funccedilotildees do 1o grau cujos graacutecos seratildeo guras planas poligonais natildeo haacute
necessidade de explanar as demais funccedilotildees Jaacute o educador que pretende estudar tais
fenocircmenos que desembocam em graacutecos paraboacutelicos eacute preciso discutir com os alunos
toacutepicos relacionados ao estudo das funccedilotildees quadraacuteticas e suas relaccedilotildees graacutecas com o
estudo da paraacutebola Nos outros casos recomenda-se prosseguir com raciociacutenio anaacutelogo
O nuacutemero de aulas previstas de revisatildeo dependeraacute do niacutevel da turma em que se pretende
aplicar o trabalho
Aleacutem disso eacute preciso utilizar o laboratoacuterio de informaacutetica como recurso suple-
mentar para o ensino e manejo do software de geometria dinacircmica GeoGebra Em geral
de duas a quatro aulas satildeo sucientes para aprender a usar de forma baacutesica desde que haja
planejamento de atividades e interesse por parte discente e docente no aprimoramento da
utilizaccedilatildeo
Apoacutes o domiacutenio das ferramentas baacutesicas do GeoGebra eacute hora de propor a
plotagemconstruccedilatildeo de graacutecos Eacute recomendaacutevel que o professor inicie seu trabalho a
partir de uma situaccedilatildeo problema que empregaraacute conceitos de funccedilatildeo do 1o grau e que
implicaraacute na utilizaccedilatildeo dos conceitos fiacutesicos de acordo com a seacuterie momentacircnea Forneccedila
os dados via tabela via texto ou via foacutermula Solicite a interpretaccedilatildeo da funccedilatildeo com
questionamentos Quem eacute a variaacutevel dependente e a independente Como representamos
tal situaccedilatildeo gracamente O que representa o produto das variaacuteveis Etc
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea
Para compreender o signicado de velocidade instantacircnea de um moacutevel em
movimento faz-se necessaacuterio compreender o conceito de taxa de variaccedilatildeo
Considere que x = f(t) seja equaccedilatildeo que descreve o movimento do moacutevel
(funccedilatildeo horaacuteria do moacutevel) A velocidade meacutedia (vm) de um moacutevel entre os instantes t1
e t2 = t1 +4t eacute denida como a razatildeo entre variaccedilatildeo do espaccedilo percorrido pelo tempo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 99
gasto para executar tal deslocamento
vm =4S4t
=s2 minus s1t2 minus t1
=f(t2)minus f(t1)(t1 +4t)minus t1
=f(t1 +4t)minus f(t1)
4t
Tomando 4trarr 0 tem-se que vm tende para a velocidade instantacircnea isto eacute
vinstatanea = lim4trarr0
f(t1 +4t)minus f(t1)4t
A razatildeo f(t1+4t)minusf(t1)4t eacute denominada de Quociente de Newton Esse quociente eacute
bastante corriqueiro em problemas de Matemaacutetica (problemas de tangecircncia a curvas) Fiacute-
sica (velocidade instantacircnea aceleraccedilatildeo instantacircnea etc) Quiacutemica (quociente de reaccedilotildees
quiacutemicas) e Economia (problemas de custo marginal) No estudo de caacutelculo esse conceito
receberaacute o nome de derivada de uma funccedilatildeo em um dado ponto ou ainda representa
geometricamente a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacuteco no ponto (t f(t))
Nesse momento seria interessante propor atividades de cunho experimental
com carrinhos de exatildeo ou com problemas de queda livre Nessa tarefa aleacutem de realizar
anotaccedilotildees acerca de deslocamentos e tempos decorridos eacute interessante solicitar a cons-
truccedilatildeo de um esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo e propor questionamentos aos alunos acerca da
aacuterea sob o graacuteco da curva obtida ao traccedilar o graacuteco
Situaccedilatildeo Problema Caacutelculo da distacircncia d percorrida por um moacutevel com ve-
locidade v(t) no intervalo de tempo [a b]
1o caso Se a velocidade v(t) for constante e igual a v segue que
d = vt = v(bminus a)
2o caso Se a velocidade v(t) natildeo for constante em [a b] entatildeo eacute possiacutevel
adotar uma subdivisatildeo desse intervalo em n particcedilotildees de mesmo comprimento e supor
que a velocidade seja constante em cada subintervalo Isto eacute adotando t1 t2 t3 t4 middot middot middot tncomo comprimento desses subintervalos tem-se
d sim= v1t1 + v2t2 + v3t3 + middot middot middot+ vntn
Observe a situaccedilatildeo ilustrativa de aplicaccedilatildeo das ideias difundidas acima por
meio da anaacutelise da tabela que fornece a velocidade de um corpo que se desloca com
movimento retiliacuteneo em diversos instantes
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 100
Tabela 74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo
t(segundos) 0 1 2 3 4 5
v (ms) 2 5 8 11 14 17
Figura 733 Trapeacutezio retacircngulo
Fonte GeoGebra
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle
Um gaacutes sofre transformaccedilatildeo isoteacutermica quando haacute variaccedilatildeo da sua pressatildeo e do
seu volume sem que haja variaccedilatildeo de sua temperatura isto eacute a temperatura permanece
constante Daiacute se explica o nome da transformaccedilatildeo que eacute uma fusatildeo do prexo iso (do
grego iso = igual) com a palavra thermo (do grego thermo = calor)
Segundo a Lei de Boyle-Mariotte a pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo
inversamente proporcionais ou seja aumentando a pressatildeo o volume de gaacutes diminui
Um exemplo simples praacutetico e presente diariamente em nosso dia-a-dia eacute o
ecircmbolo de uma seringa Como a Pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo inversamente
proporcionais segue que PV = k Observe a situaccedilatildeo hipoteacutetica tabulada e a construccedilatildeo
do graacuteco a partir de tais dados Daiacute decorre que os pontos da curva geram de fato uma
hipeacuterbole Isto eacute por intermeacutedio da construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo (hipeacuterbole) y = 54x
eacute possiacutevel conjecturar um valor para o trabalho realizado no intervalo [3 24] O eixo das
abscissas conteacutem os valores do volume enquanto o eixo das ordenadas conteacutem os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 101
da pressatildeo do referido gaacutes em estudo
Tabela 75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio
Pressatildeo (atm) Volume (ml) Produto (P middotV )
3 18 54
6 9 54
12 45 54
18 3 54
24 225 54
Note que a aproximaccedilatildeo via poliacutegonos retangulares inferiores quanto a aproxi-
maccedilatildeo via poliacutegonos retangulares superiores estaacute tendendo para um nuacutemero entre 11212
e 11246 unidades de aacuterea Como a aacuterea em questatildeo representa o trabalho realizado pelo
gaacutes e conforme jaacute foi provada a referida aacuterea pode ser obtida a partir de uma subtraccedilatildeo
entre os logaritmos naturais das abscissas do intervalo [3 24] segue que o trabalho (T )
realizado seraacute dado por T = 54(ln 24minus ln 3) sim= 112 289
Figura 734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000
Fonte GeoGebra
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada
Eacute consenso entre os estudiosos do assunto de que a introduccedilatildeo do estudo de
derivadas deve ser realizada por meio de suas aplicaccedilotildees como por exemplo ao introduzir
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 102
conceitos de pressatildeo densidade da massa densidade da carga eleacutetrica e em problemas de
tangecircncia em determinados pontos de uma curva
Vaacuterios artigos da RPM jaacute mencionaram a importacircncia desse estudo e defen-
deram de forma ferrenha e de acordo com histoacuteria o estudo das derivadas Dentre os
inuacutemeros artigos que citam diretaindiretamente o ensino de derivadas merece destaque
os artigos de AacuteVILA (1991) [1] nas revistas de nuacutemero 18 23 e 60 e o artigo dos professores
WAGNER e CARNEIRO (2004) [32] na revista de nuacutemero 53
Analisando o artigo mais recente da RPM de nuacutemero 60 sobre o tema cuja
autoria eacute exclusiva do professor AacuteVILA (2006) [2] eacute possiacutevel vericar a possibilidade de
aplicaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular do estudo inicial de derivadas
no Ensino Meacutedio Nesse artigo o autor critica as abordagens feitas pelos livros didaacuteticos
e propotildee uma abordagem segundo a utilizaccedilatildeo de ferramentas do Caacutelculo diferencial e
integral com o intuito de promover um ensino baacutesico de forma ampla contextualizada e
harmocircnica com outras aacutereas do conhecimento
A princiacutepio AacuteVILA [2] apresenta o estudo das coordenadas do veacutertice de uma
paraacutebola conforme a maioria dos livros didaacuteticos nos apresenta isto eacute um amontoado de
proposiccedilotildees e foacutermulas sem justicativas e aceitas via decoreba sem demonstraccedilatildeo formal
ou intuitiva Um verdadeiro disparate dado que haacute uma desvinculaccedilatildeo entre deniccedilatildeo
do veacutertice e a funccedilatildeo propriamente dita cujo graacuteco eacute uma paraacutebola Segundo SANTOS
(2006) [24]
a deniccedilatildeo mais natural e contextualizada seria a de que o veacutertice daparaacutebola eacute o ponto que representa o extremo (maacuteximo ou miacutenimo) dafunccedilatildeo quadraacutetica sendo a abscissa o ponto onde esse extremo eacute atingidoe a ordenada o valor extremo assumido Dessa forma ao considerar umafunccedilatildeo quadraacutetica como um modelo matemaacutetico ca clara a importacircnciade se obter o veacutertice da paraacutebola ao interpretaacute-lo como o extremo dafunccedilatildeo (SANTOS [24] 2006 p4)
Eacute importante salientar que segundo AacuteVILA (2006) [2] para seguir os proacuteximos
passos propostos na RPM de nuacutemero 60 faz-se necessaacuterio uma abordagem inicial do estudo
de derivadas conforme a maior parte dos livros didaacuteticos de Caacutelculo apresenta em que o
limite das inclinaccedilotildees das retas secantes ao graacuteco de uma paraacutebola (y = ax2 + bx + c)
tende para (2ax+ b) A apresentaccedilatildeo desse estudo eacute feita posteriormente com auxiacutelio do
GeoGebra Caso natildeo seja suciente a atividade proposta eacute recomendado realizar uma
leitura criacutetica e minuciosa da exposiccedilatildeo desse assunto em STEWART (2006) [37]
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 103
A partir desses preacute-requisitos eacute possiacutevel introduzir as noccedilotildees elementares de
derivada difundidas no presente artigo Nele haacute uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica da derivada
relacionada ao coeciente angular da reta tangente ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica em
cada ponto descartando a anaacutelise via zeros da funccedilatildeo Como a inclinaccedilatildeo da reta tangente
no veacutertice da paraacutebola possui valor nulo uma vez que a reta tangente eacute horizontal segue
que a derivada da funccedilatildeo (f(x) = ax2+ bx+ c) no ponto que conteacutem a abscissa do veacutertice
eacute igual a zero isto eacute
f prime(x) = 0hArr 2axv + b = 0hArr minusb2a
Jaacute a ordenada yv pode ser obtida como a imagem da abscissa ou seja substituindo o
valor da abscissa do veacutertice na funccedilatildeo quadraacutetica
Nesse mesmo artigo AacuteVILA (2006) [2] cita uma aplicaccedilatildeo da derivada segunda
para uma anaacutelise da concavidade da paraacutebola e aleacutem disso tambeacutem faz uma citaccedilatildeo de
referecircncia a uma aplicaccedilatildeo da derivada como taxa de variaccedilatildeo no estudo de Mecacircnica na
Fiacutesica A explanaccedilatildeo com riqueza de detalhes caraacute a cargo do leitor pois assim evita-se
uma fuga demasiada do escopo da discussatildeo desse trabalho de dissertaccedilatildeo
Veja o esboccedilo da situaccedilatildeo descrita acima
Figura 735 Reta tangente a uma dada paraacutebola
Fonte RPM [2] n60
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 104
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada
Conforme a maioria dos livros didaacuteticos de caacutelculo propotildee recomenda-se que a
introduccedilatildeo do estudo de derivadas seja realizada a partir da situaccedilatildeo problema de traccedilar
a reta tangente a uma curva num determinado ponto
Se a gura curviliacutenea for uma circunferecircncia basta encontrar a reta que toca
a circunferecircncia em um uacutenico ponto Mas essa noccedilatildeo natildeo pode ser estendida como caso
geral pois haacute diversos exemplos de curvas qualquer em que uma dada reta intercepta
somente em um ponto e tal reta natildeo representa a reta tangente Por exemplo se a
referida curva fosse uma paraacutebola eacute oacutebvio que a reta vertical que representa o eixo da
paraacutebola intercepta a curva somente em seu veacutertice e tal reta natildeo representa uma reta
tangente da paraacutebola Sendo assim faz-se necessaacuterio criar uma deniccedilatildeo geral capaz de
ser utilizada em qualquer graacuteco curviliacuteneo
Para isso eacute necessaacuterio partir de uma situaccedilatildeo concreta por exemplo esco-
lhendo o graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Considere dois pontos nessa curva
P = (a f(a)) e Q = (a+h f(a+h)) A proposta exibida abaixo eacute referente a uma anaacutelise
da inclinaccedilatildeo das retas secantes quando Q se aproxima de P com a intenccedilatildeo de conjectu-
rar uma deniccedilatildeo precisa de reta tangente via razatildeo incremental (inclinaccedilatildeo coeciente
angular)
Observe o procedimento da situaccedilatildeo descrita via representaccedilatildeo no GeoGebra
cujos passos devem ser repassados conforme proposiccedilatildeo abaixo
1o passo Digite na linha de comandos (campo entrada) a lei de formaccedilatildeo da
funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2)
2o passo Crie dois controles deslizantes a e h O primeiro (a) com intervalo
de variaccedilatildeo de -10 ateacute 10 com incremento de 01 O segundo (h) com mesmo intervalo e
com mesmo de 001
3o passo Crie dois pontos (A e Q) O primeiro com coordenadas A = (a f(a))
e o segundo com coordenadas Q = (a+ h f(a+ h)) Em seguida crie a reta denida por
dois pontos (A e Q)
4o passo Crie uma razatildeo incremental (m) tal que
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 105
5o passo Solicite aos alunos que realize variaccedilatildeo no controle deslizante a e no
controle deslizante h
6o passo Mantenha o controle deslizante na posiccedilatildeo a = 1 e faccedila variaccedilotildees no
controle deslizante h
7o passo Solicite aos alunos que comparem o valor do coeciente angular da
reta AQ com o valor da razatildeo incremental (m) quando o ponto Q se aproxima do ponto
A em sua vizinhanccedila
A seguir observe as retas secantes ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2
com representaccedilatildeo de limites laterais (h = minus004 e h = 004) Eacute vaacutelido que apoacutes a
realizaccedilatildeo dos passos descritos e de analisar as conjecturas obtidas pelos alunos o professor
deve realizar diversos questionamentos acerca da atividade desenvolvida dentre os quais
o de maior destaque consiste em observar o que acontece na vizinha do ponto P = (1 1)
Figura 736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda)
Fonte GeoGebra
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 106
Figura 737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita)
Fonte GeoGebra
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada
Apoacutes realizar experimento via GeoGebra e incitar conjecturar a partir de inuacute-
meras modicaccedilotildees nos cursores (a e h) que conduzem alteraccedilotildees no ponto escolhido e no
incremento lateral analisado eacute hora de utilizar o quadro da sala de aula com o intuito
de realizar um estudo algeacutebrico das etapas a partir da anaacutelise da razatildeo incremental (m)
comparando com o valor do coeciente angular da reta secante AQ
Observe como seria o referido estudo analiacutetico e algeacutebrico
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
=f(a+ h)minus f(a)(a+ h)minus h
=(a+ h)2 minus a2
h
=2ah+ h2
h
= 2a+ h
Note que quanto mais proacuteximo o ponto Q estiver em relaccedilatildeo ao ponto A o
valor de h tenderaacute a zero isto eacute
limhrarr0
[m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
] = limhrarr0
[2a+ h] = 2a
Note que para a = 1 implica em m = 2 ou seja a inclinaccedilatildeo da secante
AQ tambeacutem seraacute igual a 2 e nesse momento a reta via GeoGebra secante deixa de
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 107
existir pois natildeo faz sentido para o programa divisatildeo com denominador nulo Mas eacute
vaacutelido ressaltar que a reta existe e trata-se da reta tangente cuja inclinaccedilatildeo (coeciente
angular ou razatildeo incremental) coincide com o valor da derivada no ponto A Caso o
professor ache conveniente introduza a notaccedilatildeo de derivada primeira num ponto qualquer
determinado (f prime(a) = 2a) Essa atitude de acordo com o niacutevel de abstraccedilatildeo da turma
pode ser um belo exemplo e uma boa alternativa de introduccedilatildeo das teacutecnicas e propriedades
de derivaccedilatildeo da funccedilatildeo polinomial
Na atividade proposta tambeacutem foi utilizada a funccedilatildeo quadraacutetica mas eacute vaacute-
lido salientar que haacute viabilidade e facilidade da extensatildeo para demais funccedilotildees (1o grau
exponencial logariacutetmica e ateacute mesmo a funccedilatildeo trigonomeacutetrica)
O problema descrito abaixo eacute referente a uma situaccedilatildeo problema de utilizaccedilatildeo
praacutetica do estudo de derivada com auxiacutelio do GeoGebra
1a Situaccedilatildeo problema Aplicaccedilatildeo num problema de maximizaccedilatildeo
Um terreno em formato retangular possui periacutemetro de medida igual a 74
metros A partir dessa informaccedilatildeo determine a medida dos lados desse retacircngulo para
que a aacuterea desse terreno seja maacutexima
Resoluccedilatildeo passo a passo via GeoGebra
1o passo Equacionar o problema a partir dos dados
Sejam a e b os lados do terreno em questatildeo
Como o periacutemetro mede 74 metros segue que 2a+ 2b = 74
Isto eacute a+ b = 37 que eacute equivalente a b = 37minus a
Como o problema solicita os valores das dimensotildees que geram aacuterea (S)maacutexima
segue que S = ab = a(37minus a) = minusa2 + 37a
2o passo Apoacutes o equacionamento construir via GeoGebra o graacuteco da funccedilatildeo
quadraacutetica obtida (f(x) = minusx2 + 37x)
3o passo Criar um controle deslizante (a) de intervalo de -50 a 50 com incre-
mento de 01
4o passo Criar um ponto de coordenadas P = (a f(a)) Em seguida criar
uma reta tangente no ponto P
5o passo Varie o controle deslizante e observe na janela de aacutelgebra os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 108
das ordenadas do ponto P
Observe a imagem da tela do GeoGebra apoacutes sequencia dos passos anteriores
Figura 738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular
Fonte Imagem capturada de janela do GeoGebra
Note que quando o ponto P atinge o veacutertice (V ) da paraacutebola as coordenadas
desse ponto satildeo dadas por V = (185 34225) Assim eacute possiacutevel concluir que a funccedilatildeo
aacuterea assume valor maacuteximo quando a reta tangente torna-se horizontal isto eacute a maacutexima
aacuterea ocorre quando a inclinaccedilatildeo da reta tangente eacute igual a zero e o retacircngulo torna-se um
quadrado de lado de medida 185 metros Utilizando a linguagem do caacutelculo eacute possiacutevel
dizer que a aacuterea eacute maacutexima quando a derivada no ponto P eacute igual a zero (vide imagem a
seguir)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 109
Figura 739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica
Fonte Imagem capturada da janela do GeoGebra
110
8 CONCLUSAtildeO
Ao tomar a decisatildeo nal de pesquisar sobre o tema em estudo e escrever uma
proposta de sequecircncia didaacutetica de resgate agrave inserccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
durante o Ensino Meacutedio eacute importante confessar que a princiacutepio tal ideia aparentemente
foi considerada absurda antiquada e de discussatildeo despreziacutevel Apoacutes nalizar todo o levan-
tamento de dados dessa dissertaccedilatildeo foi possiacutevel perceber quatildeo eacute pertinente tal discussatildeo
e quanto o ensino estaacute sendo negligenciado por professores experientes e de reputaccedilatildeo
ilibada no mercado da terceira etapa da educaccedilatildeo baacutesica
Assim como opinaram a maioria dos professores que atua na rede municipal
e estadual do Espiacuterito Santo nossa visatildeo a priori do tema da pesquisa era criacutetica e
contraacuteria agrave introduccedilatildeo de conceitos de limite deriva e integral Uma justicativa plausiacutevel
seria dizer que a clientela existente na educaccedilatildeo baacutesica diariamente estaacute constantemente
nos desapontando com problemas simples de matemaacutetica elementar e isso talvez tenha
contribuiacutedo para o equiacutevoco de considerar tal proposta absurda impossiacutevel e incompatiacutevel
com a realidade da maioria das escolas capixabas poreacutem em contrapartida eacute preciso
focar a atenccedilatildeo ao prejuiacutezo que estamos causando agravequela minoria de estudantes aacutevidos
pelo saber e que possuem alto grau de abstraccedilatildeo A preparaccedilatildeo de nossos alunos para
ingressarem no estudo de matemaacutetica superior natildeo estaacute sendo suciente Isso pode ser
uma das justicas para os piacuteos iacutendices de aprovaccedilatildeo da maior parte dos alunos que
estudam Caacutelculo A implementaccedilatildeo de nossa proposta em sala de aula mesmo que seja
para um seleto grupo pode gerar mudanccedilas signicativas com contribuiccedilotildees iacutempares para
o ensinoaprendizagem dos alunos partiacutecipes
Tambeacutem foi possiacutevel reetir sobre vaacuterios pontos da educaccedilatildeo matemaacutetica ca-
pixaba em particular do puacuteblico alvo da pesquisa pertencente agrave Grande Vitoacuteria que
perpassa desde a formaccedilatildeo inconsistente dos professores seja de instituiccedilatildeo puacuteblica ou
privada ateacute a precariedadenegligecircncia de nossos livros didaacuteticos do curriacuteculo estadual
dos PCN da proposta do ENEM e dos cursos de capacitaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao repasse de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo
O presente trabalho serviu para nos alertar sobre a importacircncia da Histoacuteria
8 CONCLUSAtildeO 111
da Matemaacutetica na evoluccedilatildeo dos conceitos Agraves vezes desejamos que os alunos aprendam
algo em um dia sendo que tal conceito demorou seacuteculos para atingir o rigor e o padratildeo
preestabelecido em nossas literaturas de matemaacutetica Aleacutem disso serviu de instrumento
norteador para pensar em mudanccedilas ou adaptaccedilotildees signicativas em nossos livros didaacute-
ticos para que os mesmos estejam em conformidade com a proposta constitucional de
preparaccedilatildeo para uma continuaccedilatildeo de estudos mais avanccedilados Tambeacutem serviu de aper-
feiccediloamento do conhecimento via emprego praacutetico e motivador de planilhas eletrocircnicas e
softwares de geometria dinacircmica (GeoGebra) Como esses recursos podem tornar as aulas
mais interessantes e fazer com que o ensinoaprendizagem seja facilitado
O emprego das noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio via noccedilotildees intuitivas e
via situaccedilotildees problema de aplicaccedilotildees reais pode ser incluso novamente nos PNCEM
no curriacuteculo estadual eou entatildeo nas estrateacutegias suplementares do plano pedagoacutegico da
escola baacutesica com o intuito de oportunizar um aprendizado mais qualicado aos alunos
e de preparaacute-los para estudos posteriores com maior teor de abstraccedilatildeo Foi possiacutevel
vericar que algumas propriedades satildeo justicadas de maneira rigorosa apenas com o
auxiacutelio de ideais correlatas do Caacutelculo (limite derivada e integral) principalmente a
explicaccedilatildeo matemaacutetica de alguns fenocircmenos fiacutesicos e quiacutemicos tornando a matemaacutetica
interdisciplinar
Enm eacute preciso ensinar matemaacutetica com o intuito de formar alunos aptos a
lidar com situaccedilotildees extremas de abstraccedilatildeo nas universidades e natildeo somente para adqui-
rirem bom rendimento nos exames de caraacuteter nacional (ENEM PAEBES etc) Anal
a omissatildeo pode estar causando resultados negativos como desmotivaccedilatildeo dos alunos da
escola baacutesica reduccedilatildeo de procura por cursos que requerem uma boa formaccedilatildeo na aacuterea
de exatas e aulas expositivas cada vez mais distantes da realidade cotidiana dos nossos
alunos Assim as poliacuteticas governamentais assim como os professores devem participar
dessas discussotildees com propostas de viabilidade de cursos de capacitaccedilatildeo que oriente os
prossionais a trabalharem com as noccedilotildees de Caacutelculo via aulas expositivas com adaptaccedilotildees
de recursos didaacuteticos disponiacuteveis e via produccedilatildeo de material especiacuteco que complemente as
lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos disponiacuteveis Essa adaptaccedilatildeo ao modelo tradicional
de ensino que jaacute se mostrou desmotivador arcaico e ultrapassado pode ser uma alterna-
tiva eciente para resgatar a busca incessante pelo aprofundamento do saber matemaacutetico
fiacutesico e quiacutemico por parte dos alunos
112
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos
graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo
A)
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)113
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)114
115
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos
professores de Matemaacutetica (Anexo B)
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 116
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 117
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 118
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Resumo
Este trabalho eacute uma alternativa de retorno da abordagem de assuntos ligados
ao Caacutelculo Diferencial e Integral de forma intuitiva e construtiva durante o Ensino Meacutedio
O desenvolvimento desse material inicia com a realizaccedilatildeo de uma pesquisa histoacuterica sobre
a evoluccedilatildeo do estudo de limite derivada e integral em seguida eacute feito um levantamento
de dados entre professores e graduandos sobre os impactos (vantagensdesvantagens) que
o resgate do repasse de ideais correlatas do Caacutelculo proporcionaria Com o intuito de
justicar a restauraccedilatildeo proposta foi realizado um mapeamento dos conteuacutedos que neces-
sitam de enfoque de noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo nos principais livros didaacuteticos utilizados
tradicionalmente nas escolas capixabas puacuteblicas e particulares Foi questionada entre pro-
fessores a melhor seacuterie a visatildeo dos Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) o curriacuteculo
baacutesico a existecircncia de cursos de formaccedilatildeo e material didaacutetico especiacuteco para realizaccedilatildeo
de tal iniciativa assim como foi avaliada a situaccedilatildeo em que eacute possiacutevel inserir tais conceitos
sem causar danos e comprometimento ao ensinoaprendizagem dos alunos Apoacutes a anaacutelise
dos assuntos principais que requerem o uso de noccedilotildees de Caacutelculo de uma maneira geral
montou-se a proposta de sequencia didaacutetica com atividades estrateacutegias e metodologias
desenvolvidas e apresentadas de maneira construtiva e intuitiva
Palavras-chaves Caacutelculo Limite Derivada Integral GeoGebra
Abstract
This work is an alternative return of the issues related to Dierential and
Integral Calculus approach intuitive and constructive way during high school The deve-
lopment of this material starts with doing historical research on the evolution of the study
of limit derivative and integral then it is a survey of data between faculty and graduate
students about the impacts (advantagesdisadvantages) that the transfer of redemption
ideals related calculation would provide In order to justify the proposed restoration a
mapping of the contents that require focus on intuitive notions of calculus in the main
textbooks used traditionally in public and private schools capixabas was performed It
was questioned from the grade teachers the vision of the National Curriculum Parame-
ters (PCN) the core curriculum the availability of training courses and specic teaching
materials for conducting such an initiative as well as the situation in which you can enter
these concepts was evaluated harmlessly and commitment to teachinglearning of stu-
dents After analyzing the main issues that require the use of concepts of Calculus in
general was set up to draft sequence with didactic activities strategies and methodologies
developed and presented in a constructive and intuitive way
Keywords Calculus Limit Derivative Ingegral GeoGebra
Agradecimentos
A princiacutepio gostaria de agradecer a Deus por me proporcionar uma vida sau-
daacutevel (repleta de sabedoria inteligecircncia e amizade) uma famiacutelia majestosa amigos mag-
niacutecos e uma esposa formidaacutevel a qual amo muito
Em segundo plano e em caraacuteter especial gostaria de agradecer aos meus pais
(Luiza e Miguel) que satildeo a razatildeo do meu viver a minha avoacute (Salviana) que eacute uma
lutadora e uma educadora incansaacutevel a minha esposa (Taniara) que realizou mudanccedilas
signicativas na minha vida e aleacutem disso meus agradecimentos a todos os meus pro-
fessores da educaccedilatildeo baacutesica ateacute o ensino superior pelo aprendizado pela educaccedilatildeo pela
paciecircncia pelo incentivo e pela dedicaccedilatildeo fervorosa para que o sucesso ateacute aqui conquis-
tado fosse possiacutevel
Enm gostaria de agradecer ao meu orientador (Dr Etereldes) aos professo-
res do PROFMAT e a todos os amigos (alunos e colegas de prossatildeo) que colaboraram
de forma direta (Professores Rubens e Solano) eou indireta para a realizaccedilatildeo dessa
dissertaccedilatildeo
Serei eternamente grato a todos sem distinccedilatildeo e sempre estarei agrave disposiccedilatildeo
para retribuir os gestos de carinho de incentivo e de forccedila a mim repassados nos momentos
difiacuteceis conturbados e desanimadores
A pior ditadura natildeo eacute a que aprisiona
o homem pela forccedila mas sim pela fra-
queza fazendo-o refeacutem de suas proacuteprias
necessidades
Juacutelia Liacutecia
Sumaacuterio
Lista de Figuras 8
Lista de Tabelas 10
1 INTRODUCcedilAtildeO 11
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 15
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 22
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 29
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 32
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 42
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA 45
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
711 Diacutezimas Perioacutedicas 47
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales 50
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas 54
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo 55
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees 60
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de limite 71
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua 72
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri 80
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse 88
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva 90
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica 96
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea 98
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle 100
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada 101
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada 104
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada 106
8 CONCLUSAtildeO 110
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da
FAACZ (Anexo A) 112
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo
B) 115
Referecircncias Bibliograacutecas 119
Lista de Figuras
31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo 22
32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1+ 2460+ 51
602+ 10
603=
1414212 28
71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis 52
74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso) 53
75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos 54
76 Retacircngulo 6 x 5 56
77 Retacircngulo 100 x 80 57
78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita 60
79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5 63
710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50 65
711 Poliacutegono Retangular para n = 100 65
712 Processo recursivo de Quadrados 70
713 Processo recursivo de Triacircngulos Equilaacuteteros 70
714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito) 77
715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8 78
716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10 79
717 Anel Ciliacutendrico 81
718 Casca de Esfera 82
719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica 84
720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 85
721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7 86
722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 87
723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 87
724 Elipse inscrita numa circunferecircncia 89
725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante 91
726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer 91
727 Quadratura do ciacuterculo para n = 11 92
728 Quadratura do ciacuterculo para n = 100 92
729 Poliacutegono Retangular para n = 5 95
730 Poliacutegono Retangular para n = 10 95
731 Poliacutegono Retangular inscrito 95
732 Poliacutegono Retangular circunscrito 95
733 Trapeacutezio retacircngulo 100
734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000 101
735 Reta tangente a uma dada paraacutebola 103
736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda) 105
737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita) 106
738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular 108
739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica 109
9
Lista de Tabelas
51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos 41
71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2 59
72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais 72
73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler 75
74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo 100
75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio 101
11
1 INTRODUCcedilAtildeO
Haacute pontos especiacutecos na educaccedilatildeo baacutesica em que a ideia intuitiva de limite
de derivada e de integral estaacute presente Como satildeo tratados os casos em que eacute necessaacuterio
mencionar as noccedilotildees de limite ou de integral para discutir uma consequecircncia natural de
um assunto elementar Como os livros didaacuteticos tratam o assunto Qual a visatildeo dos pro-
fessores diante do tema Como os Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) lidam com a
situaccedilatildeo Em que estados brasileiros nota-se a presenccedila e a aplicabilidade de tais noccedilotildees
elementares do Caacutelculo Como as consequecircncias imediatas dessa posturaapresentaccedilatildeo
preacute-matura estatildeo interferindo no rendimento dos cursos de Caacutelculo no niacutevel superior De
que maneira podemos introduzir e abordar esse peculiar assunto sem causar constrangi-
mentos e traumas em nossos alunos Em que contexto histoacuterico se deu o processamento
das ideias de limite Tais ideias satildeo largamente empregadas no nosso dia-a-dia Como
explorar as noccedilotildees de limite de derivada e de integral via softwares de geometria dinacircmica
(especicamente o GeoGebra) Como explorar as noccedilotildees de limite via planilhas eletrocirc-
nicas (Microsoft Excel) O que eacute limite e como introduzir sem exageros e formalidades
de maneira que os alunos consigam acompanhar tal abstraccedilatildeo Qual a ordem cronoloacutegica
dos fatos surgiu o Caacutelculo Integral ou primeiro o Caacutelculo Diferencial Como propor a
inserccedilatildeo de limite nos estudo das derivadas O que eacute derivada Soacute se aprende derivada
se souber limite Como interligar a deniccedilatildeo de limite com a noccedilatildeo de integral O que
eacute integral Qual foi a evoluccedilatildeo histoacuterica (limite derivada e integral) Quais principais
precursores (paiacutes cidade natal seacuteculo data problematizaccedilatildeo etc) QueQual percen-
tual de alunos aprendeu alguma noccedilatildeo de limite de derivada ou de integral durante a
educaccedilatildeo baacutesica Quais as vantagens em ensinar as noccedilotildees de limite de derivada e de
integral na educaccedilatildeo baacutesica em particular no ensino meacutedio
Diante de tantos questionamentos surge a necessidade de respondecirc-los por
meio de uma reexatildeo acerca dos pontos destacados na pesquisa desenvolvida na pre-
sente dissertaccedilatildeo Inicialmente foi feita uma pesquisa entre os alunos que estatildeo ingres-
sandocursando na Universidade Federal do Espiacuterito Santo (UFES) e no Instituto Federal
do Espiacuterito Santo (IFES) sobre o estudo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo durante as
fases da educaccedilatildeo baacutesica Quem estudou Em que seacuterie se consolidou tal aprendizado
1 INTRODUCcedilAtildeO 12
Haacute conceitos baacutesicos que utilizam as noccedilotildees de limite de derivada e de integral Quais
vantagens obteriam caso tivessem uma base melhor e satisfatoacuteria de tais ideias intuitivas
durante o ensino baacutesico Em segundo momento os professores foram questionados sobre
as vantagensdesvantagens em propor o ensino das noccedilotildees de limite de derivada e de
integrais durante a educaccedilatildeo baacutesica
Em seguida foi feita uma averiguaccedilatildeo que de fato existem conteuacutedos da edu-
caccedilatildeo baacutesica que necessitam de uma abordagem mais especiacuteca das noccedilotildees de limite de
derivada e de integral tais como a representaccedilatildeo decimalfracionaacuteria das diacutezimas pe-
rioacutedicas ao somar os innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo especial
(0 lt |q| lt 1) ao estudar a capitalizaccedilatildeo contiacutenua ao analisar comportamentos graacute-
cos de uma funccedilatildeo para valores muito grande eou pequeno do domiacutenio de uma funccedilatildeo
(funccedilatildeo 1o grau 2o grau exponencial e logariacutetmica) ao calcular da medida da aacuterea de
uma regiatildeo plana qualquer com lados curvos aleacutem das inuacutemeras aplicaccedilotildees no estudo da
Fiacutesica (emprego da hipeacuterbole equilaacutetera na relaccedilatildeo entre pressatildeo e volume de um gaacutes em
condiccedilotildees isoteacutermicas e do conceito de velocidade instantacircnea)
Uma busca nos livros de Histoacuteria da Matemaacutetica com o intuito de desvendar
as maneiras e o contexto sobre os quais se deu o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas de
limite de derivada e de integral ateacute chegar ao cliacutemax da notaccedilatildeo atual e padratildeo formal
ensinado na disciplina de Caacutelculo nas universidades Nesse iacutenterim pretendeu-se propor
uma viagem no tempo ao longo dos seacuteculos em busca de momentos cruciais em que se
desenvolveuaplicou as noccedilotildees elementares do Caacutelculo
Apoacutes mapear as diversas situaccedilotildees problema que serviram de motivaccedilatildeo para
o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo foi realizada uma conferecircncia nos
livros didaacuteticos mais utilizados na educaccedilatildeo baacutesica especicamente na 3a etapa o Ensino
Meacutedio com o intuito de investigar como o assunto eacute introduzido em que conteuacutedos satildeo
discutidos e qual a linguagem utilizada (notaccedilatildeo usual)
Uma pesquisa com graduandos e com professores foi realizada com o intuito
de averiguar se os mesmos trabalham as noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de
integral no ensino baacutesico e como o fazem Quais satildeo suas anguacutestias temores diculdades
sugestotildees etc Haacute cursos de capacitaccedilatildeoformaccedilatildeo de professores nesse sentido Seria
necessaacuterio criar um algoritmo tipo uma receita de bolo um guia didaacutetico um manual
pedagoacutegico de direcionamento de trabalho que norteasse e ensinasse aos professores com
1 INTRODUCcedilAtildeO 13
sugestotildees de abordagem do tema em estudo Em geral os professores possuem conheci-
mentos na aacuterea de utilizaccedilatildeoaplicaccedilatildeo da teoria de limite de derivada e de integral para
empregar em suas aulas a utilizaccedilatildeo de softwares de geometria dinacircmica e softwares que
trabalham com planilha eletrocircnica de estudos
Tendo em matildeos o mapeamento dos conteuacutedos que necessitam de um enfoque
das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral a opiniatildeo dos professores e
dos graduandos a visatildeo apresentada nos livros didaacuteticos e nos Paracircmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) a evoluccedilatildeo histoacuterica e suas situaccedilotildees-problema
foi possiacutevel articular a sequecircncia didaacutetica que de acordo com a nossa visatildeo facilitaria o
entendimento e minimizaria a distacircncia entre o concreto e o abstrato isto eacute reduziria a
margem de abstraccedilatildeo que tais noccedilotildees requerem Nesse sentido o foco da pesquisa tem
como meta a introduccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral de acordo
com a seacuterie do Ensino Meacutedio em que se pretende inserir tais conceitos Tambeacutem eacute vaacutelido
ressaltar que haacute conteuacutedos do Ensino Fundamental que necessitam de um enfoque das
noccedilotildees de Caacutelculo por exemplo o estudo das diacutezimas perioacutedicas a demonstraccedilatildeo completa
do Teorema de Tales e a deniccedilatildeo de aacuterea de uma regiatildeo retangular Nesse iacutenterim o
presente trabalho propotildee uma metodologia de introduccedilatildeo desses conceitos empregando e
entrelaccedilando as noccedilotildees elementares de limite
Para a 1a seacuterie do Ensino Meacutedio a abordagem algeacutebrica foi realizada a partir
do estudo de funccedilotildees e suas implicaccedilotildees e do estudo de sequecircncias (em particular seacuteries
geomeacutetricas convergentes diacutezimas perioacutedicas) que apresentam caracteriacutesticas peculiares
que necessitam do estudo das noccedilotildees de limite Em seguida foi proposta uma aplicaccedilatildeo
desses conceitos numa situaccedilatildeo-problema presente no estudo de matemaacutetica nanceira
(especicamente no estudo de juros compostos) isto eacute foi realizada uma reproduccedilatildeo e
uma anaacutelise do problema proposto por Jacques Bernoulli sobre capitalizaccedilatildeo contiacutenua ou
seja as implicaccedilotildees sobre a evoluccedilatildeo de crescimento de um capital depositado a juros
compostos ser acrescido de juros subdividindo constantemente o intervalo de correccedilatildeo Jaacute
a abordagem geomeacutetrica a ser apresentada tanto no 1o ano quanto no 2o ano conforme
o plano de curso preacute-estabelecido pela unidade escolar se deu por intermeacutedio do estudo
de aacutereas de guras planas em especial aquelas que apresentam lados curviliacuteneos
Ainda na 1a seacuterie do Ensino Meacutedio foi realizada uma anaacutelise comportamental
de graacutecos de funccedilotildees fazendo um paralelo com os graacutecos presentes no estudo de conceitos
da disciplina de Fiacutesica com o intuito particular de explicar o que signica e como se
1 INTRODUCcedilAtildeO 14
calcula a aacuterea sob o graacuteco de uma curva qualquer que relacionam duas variaacuteveis com
grau de dependecircncia (funccedilatildeo de uma variaacutevel) E tambeacutem foi realizada uma anaacutelise da
desintegraccedilatildeo radioativa de uma substacircncia que consiste num problema interdisciplinar
amplamente discutido na Quiacutemica
Para a 2a seacuterie ou 3a seacuterie do Ensino Meacutedio de acordo com curriacuteculo escolar
baacutesico adotado a introduccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo foi realizada em para-
lelo ao estudo de geometria espacial momento em que houve uma revisatildeo do estudo de
aacutereas de guras planas poligonais e a introduccedilatildeo do caacutelculo da aacuterea de uma gura plana
que contenha algum lado curviliacuteneo Posteriormente tais ideias foram aplicadas para
demonstrar as aacutereas superciais e volumes de corpos redondos especiais (cilindros cones
e esferas) utilizando como fonte e direccedilatildeo de trabalho o meacutetodo dos indivisiacuteveis proposto
por Kepler e Cavalieri
Enm a abordagem das noccedilotildees elementares do Caacutelculo na 3a seacuterie do Ensino
Meacutedio foi construiacuteda de maneira correlacionada com o estudo (deniccedilotildees e propriedades)
das cocircnicas (paraacutebolas e hipeacuterboles)
15
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA
INSERCcedilAtildeO
O objetivo da presente pesquisa foi investigar nesse particular espaccedilo amos-
tral que percentual de graduandos teve contato com as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
durante a educaccedilatildeo baacutesica questionando quatildeo signicante foi tal experiecircncia e quais van-
tagensdesvantagens obtiveramobteriam com o contato preacute-liminar com noccedilotildees intuitivas
do Caacutelculo Aleacutem disso entrevistas foram feitas com professores (rede estadual e privada)
que atuam no Ensino Meacutedio e com professores que lecionamlecionaram a disciplina de
Caacutelculo I (limite derivada e integral) e de Fiacutesica Geral I oportunidade em que a visatildeo
dos mesmos seraacute analisada diante da problemaacutetica aqui retratada
A pesquisa foi realizada com parte da turma de 2012 do PROFMAT-UFES
via envio do questionaacuterio por e-mail dos quais apenas dez alunos retornaram respondidos
os questionaacuterios Tambeacutem participaram os vinte e quatro alunos da turma de ingresso ao
PROFMAT 2014 via questionaacuterio impresso o qual foi aplicado no dia 22 de Fevereiro de
2014 na sala 32 do Centro de Ciecircncias Exatas (CCE) da Universidade Federal do Espiacuterito
Santo (UFES) Aleacutem desses professores mestrandos responderam aos questionaacuterios parte
(dez alunos) de uma turma de graduandos (futuros e atuais professores de matemaacutetica)
pertencentes ao curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica pelo Instituto Federal do
Espiacuterito Santo (IFES) uma miacutenima (apenas oito) amostra de professores que atuam no
Ensino Meacutedio da rede estadual especicamente nas escolas da Serra Sede (EEEFM Pro-
fessor Joatildeo Loyola e EEEFM Cloacutevis Borges Miguel) uma pequena amostra de professores
que atuam somente nas faculdades particulares e com alunos graduandos em engenharia
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) que estavam praticamente concluindo o estudo da
disciplina de Caacutelculo e Fiacutesica I
Para discentes foi articulado um questionaacuterio alternativodiscursivo composto
de perguntas pertinentes agraves experiecircncias com o estudo de Caacutelculo I e em particular das
noccedilotildees de limite na educaccedilatildeo baacutesica e as vantagensdesvantagens que a aprendizagem
de tais conceitos lhe renderia A pesquisa foi realizada com uma pequena amostra de
alunos dos cursos de Licenciatura Plena em Matemaacutetica (IFES) e de Engenharia Mecacircnica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 16
(FAACZ)
Jaacute para os docentes foi pensado um questionaacuterio com escalas de classica-
ccedilatildeo em que o professor repassaria dados histoacutericos de suas experiecircncias com a disciplina
de Caacutelculo I desde a graduaccedilatildeo ateacute a realidade encontrada em sua sala de aula caso
seja professor da disciplina de Caacutelculo I com o intuito de questionar quais as facilida-
desdiculdades que a aprendizagem das noccedilotildees de limite e outras noccedilotildees baacutesicas do
Caacutelculo poderiam produzir A pesquisa foi realizada com professores da UFES do IFES
e de algumas escolas particulares que lecionaramlecionam a disciplina de Caacutelculo I em
qualquer curso superior
De acordo com uma anaacutelise geral dos dados da pesquisa foi possiacutevel constatar
que a maioria dos professores seja da rede puacuteblica ou privada atuantes na educaccedilatildeo
baacutesica (Ensino Fundamental e Meacutedio) embora tenha recebido orientaccedilatildeopreparaccedilatildeo es-
peciacuteca que os formassem de maneira satisfatoacuteria para inserir noccedilotildees intuitivas de limite
e ideias correlatas do Caacutelculo nessa fase de ensino ainda natildeo faz ideia de como aplicar
tais conceitos caso os mesmos sejam implementados no curriacuteculo baacutesico Aleacutem disso em
uma conversa informal (bate-papo apoacutes o preenchimento dos questionaacuterios) com um grupo
atuante na rede estadual foi possiacutevel constatar que haacute diculdade de ensinar a matemaacutetica
elementar quanto mais os toacutepicos que remetem o uso de citaccedilatildeo de ideias avanccediladas cujo
grau de abstraccedilatildeo eacute mais acentuado Segundo os professores os alunos chegam ao Ensino
Meacutedio com niacutevel de aprendizagem abaixo do ideal com defasagens gritantes em aritmeacutetica
baacutesica (operaccedilotildees elementares) e com problemas de domiacutenio da liacutengua portuguesa naquilo
que concerne agrave interpretaccedilatildeo de enunciados e compreensatildeo de teorias Foi de consenso
comum entre os professores pesquisados que o trabalho eacute pertinente e de fundamental
importacircncia para sanar problemas como os altos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de
Caacutelculo e Fiacutesica I Tambeacutem consentiram que caso tal pesquisa inuenciasse uma mudanccedila
no curriacuteculo baacutesico da rede estadual de ensino haveria necessidade de um curso especiacuteco
e produccedilatildeo de um material suplementar que os orientasse Aleacutem disso um seleto grupo
informou que hoje seria possiacutevel repassar algumas orientaccedilotildees somente no 3o ano apoacutes a
aplicaccedilatildeo da prova do ENEM periacuteodo em que os alunos praticamente estatildeo aprovados e
teoricamente jaacute estudaram toda a matemaacutetica elementar dos niacuteveis fundamental e meacutedio
Caso contraacuterio veem atualmente viabilidade de aplicaccedilatildeo do estudo proposto somente em
turmas oliacutempicas de matemaacutetica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 17
Os dados especiacutecos da pesquisa podem induzir uma reexatildeo draacutestica de que
os cursos superiores de formaccedilatildeo de professores de matemaacutetica embora repassem aos seus
alunos fundamentos necessaacuterios e sucientes para que os mesmos estejam habilitados para
trabalhar com a proposta presente nesse trabalho a totalidade dos professores questiona-
dos natildeo se sente seguro para repassar noccedilotildees elementares do Caacutelculo a alunos da educaccedilatildeo
baacutesica E mais a maioria dos professores eacute favoraacutevel quanto agrave grade curricular e quanto
agrave adequaccedilatildeo e suciecircncia das disciplinas de Caacutelculo durante a fase de graduaccedilatildeo Um
verdadeiro paradoxo
Segundo os professores pesquisados a assimilaccedilatildeo e o ensinoaprendizagem
dos graduandos poderiam ser melhorados via curso especiacuteco de preacute-Caacutelculo ou propondo
estrateacutegias motivadoras durante o Ensino Meacutedio Ainda armaram estarem cientes da
distacircncia enorme entre o modelo de ensino ofertada pelas Licenciaturas e a realidade dos
alunos em sala de aula aleacutem disso comentaram que a aversatildeo relativa ao ensino de toacutepi-
cos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio eacute explicada devido a experiecircnciasaprendizagens
decitaacuterias durante a fase de graduaccedilatildeo naquilo que tange a metodologia diferenciada (es-
trateacutegias didaacutetica interessemotivaccedilatildeo do professor em ensinar e utilizaccedilatildeo de recursos
didaacuteticos etc)
A partir da pesquisa tambeacutem foi possiacutevel conjecturar que a realidade atual dos
cursos de Caacutelculo pode ser melhorada com uma fuga ao modelo tradicional de ensino
Nesse iacutenterim faz-se necessaacuterio que os professores universitaacuterios estejam mais atentos agrave
didaacutetica de ensino ao planejamento de suas aulas agrave variaccedilatildeo de metodologias de aprendi-
zagem via recursos computacionais disponiacuteveis e via alternativas modernas que favoreccedilam
um aumento no rendimento escolar universitaacuterio com uma consequente reduccedilatildeo dos iacutendi-
ces de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo Eacute impossiacutevel repassar noccedilotildees elementares do
Caacutelculo para os alunos da educaccedilatildeo baacutesica se a formaccedilatildeo que os professores recebem natildeo
eacute satisfatoacuteria ao ponto de que haja seguranccedila e domiacutenio do tema Para isso eacute necessaacuterio
ampliar o leque de discussatildeo das poliacuteticas puacuteblicas educacionais com uma proposta de re-
formulaccedilatildeo dos PCN com proposiccedilatildeo de cursos de capacitaccedilatildeo de professores convenientes
e em horaacuterios adequados e com a produccedilatildeo de um material didaacutetico especiacuteco adequado
agrave realidade da educaccedilatildeo baacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que a retomada do ensino de Caacutelculo
vem acontecendo desde a deacutecada de 90 mas com a preocupaccedilatildeo de que esse posiciona-
mento natildeo venha a sobrecarregar o curriacuteculo e nem esteja distante da realidade do niacutevel
elementar o Ensino Meacutedio a ser apresentada e incluiacuteda a ideia do presente trabalho
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 18
Caso haja educadores contraacuterios a presente proposta com a justicativa de
que o curriacuteculo baacutesico jaacute estaacute abarrotado de conteuacutedos e de ser um instrumento imutaacutevel
seria interessante promover uma formaccedilatildeo completa sobre os Paracircmetros Curriculares
Nacionais e sobre o curriacuteculo baacutesico adotado com o intuito de explicar aos professores
que haacute muito interpretaccedilatildeo equivocada dos PCN dado que os mesmos devem servir como
elemento norteador indicador das habilidades e competecircncias necessaacuterias para garantir o
miacutenimo de aprendizagem signicativa e sem que seja um instrumento impositivo (dono da
verdade deus do universo etc) ou seja quem faz o curriacuteculo de Matemaacutetica eacute o professor
atrelado ao plano pedagoacutegico da escola e matrizes do ENEM
Para encerrar a anaacutelise relativa aos dados da pesquisa eacute vaacutelido salientar que
muitos professores consideraram o questionaacuterio longo e tedioso Essa aversatildeo inicial pode
representar uma justicativa aparente de que a postura dos professores quanto agrave mu-
danccedilasaiacuteda do estado de platocirc atual sempre seraacute uma barreira agrave produccedilatildeo de conheci-
mentos A presente pesquisa cujos dados estatildeo tabulados no anexo A foi realizada com
38 professores atuantes na rede publica e privada com experiecircncia no mercado Parte
desses professores (10) ainda estavam em fase de conclusatildeo do curso de Licenciatura no
IFES De acordo com os dados da pesquisa foi possiacutevel inferir que muitos desses pro-
fessores natildeo possuem o haacutebito de realizar leituras de revistas especializadas (Revista do
Professor de Matemaacutetica (RPM) Revista Caacutelculo) de livros da Sociedade Brasileira de
Matemaacutetica (SBM) de artigos de seminaacuterios de discussatildeo de educaccedilatildeo matemaacutetica e nem
possuem interesse na participaccedilatildeo em simpoacutesios bienais cursos de capacitaccedilatildeo cursos de
veratildeo etc Nesse iacutenterim eacute bom citar que aqueles poucos professores que participaram
de forma remunerada do multicurso de matemaacutetica promovido pela Secretaria Educaccedilatildeo
do Espiacuterito Santo (SEDU) informaram que natildeo houve qualquer menccedilatildeo aos toacutepicos atuais
de discussatildeo do retorno das noccedilotildees elementares do Caacutelculo ao curriacuteculo baacutesico Jaacute aque-
les que estiveram presentes no Programa de Aperfeiccediloamento de Professores do Ensino
Meacutedio (PAPEM) relataram que houve alguma citaccedilatildeo breve do assunto durante as aulas
de viacutedeo conferecircncia e em problemas propostos nas ocinas no periacuteodo vespertino
A outra tabela que consta no anexo B dessa dissertaccedilatildeo representa a tabulaccedilatildeo
dos dados da pesquisa realizada com uma amostra (32 alunos) de alunos (graduandos) do
curso de engenharia mecacircnica da FAACZ
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 19
Inicialmente eacute interessante citar que participaram da pesquisa 32 alunos em
sua maioria graduandos do sexo masculino estudantes do curso de Engenharia Mecacircnica
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) e desse total eacute importante citar que 31 graduandos
estatildeo na faixa etaacuteria abaixo dos 30 anos
De acordo com os dados analisados foi possiacutevel vericar que a faculdade dispo-
nibiliza aos seus alunos um curso de nivelamento (preacute-Caacutelculo) com o intuito de apresentar
aos alunos uma ajuda consideraacutevel para iniciarem o estudo de Caacutelculo e para minimizar a
distacircncia que haacute entre a matemaacutetica elementar promovida na educaccedilatildeo baacutesica e a mate-
maacutetica superior principalmente as noccedilotildees elementares de limite deriva e integral Nesse
curso de nivelamento foram apresentadas aos alunos situaccedilotildees problema que necessitavam
de emprego de noccedilotildees do Caacutelculo A partir da exposiccedilatildeo de problemas concretos proacutexi-
mos da realidade dos alunos foi possiacutevel introduzir de maneira construtiva toacutepicos que
exigiram o emprego de limite de derivada e integral
Segundo a maioria dos alunos o referido curso de preacute-Caacutelculo ofertado contribui
para melhorar o rendimento em todos os aspectos e responderam que caso a introduccedilatildeo
das ideias difundidas no curso de nivelamento tivessem sido realizadas durante o ensino
meacutedio haveria uma melhora consideraacutevel no ensinoaprendizagem
Ao questionar sobre a sequecircncia da histoacuteria da evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi possiacutevel
constatar que quase a totalidade dos alunos natildeo tiveram uma introduccedilatildeo histoacuterica da
evoluccedilatildeo do Caacutelculo pois a maioria deles (20 alunos) armou que a evoluccedilatildeo do Caacutelculo
estaacute em conformidade com a sequecircncia apresentada nos livros didaacuteticos Tambeacutem foi
possiacutevel perceber que o ensino de Fiacutesica I ocorreu simultaneamente com o ensino de Caacutelculo
I o que eacute uma realidade questionada nos principais cursos de exatas das instituiccedilotildees
puacuteblica e privada do Estado do Espiacuterito Santo Anal como a ementa do curso de Fiacutesica
I requer o conhecimento de um conjunto de aplicaccedilotildees e propriedades do Caacutelculo seria
loacutegico que tal curso fosse realizado apoacutes a introduccedilatildeo das ideias de limite derivada e
integral
De acordo com a pesquisa contatou-se que quase todos os alunos (27) estu-
daram via livros didaacuteticos especiacutecos de Caacutelculo de autores com bastante bagagem e
profundos conhecedores do Caacutelculo (James Stewart e George B Thomas 11a e 5a edi-
ccedilatildeo respectivamente) Do total de alunos entrevistados 5 alunos armaram ter estudado
Caacutelculo via apostilas notas de aulas e viacutedeo aula
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 20
Segundo a visatildeo dos graduandos para realizar a introduccedilatildeo das noccedilotildees ele-
mentares do Caacutelculo faz-se necessaacuterio que os alunos tenham uma base adequada de en-
sinoaprendizagem acumulada das seacuteries anteriores inclusive no Ensino Fundamental
Quanto ao aspecto conteuacutedos do Ensino Meacutedio que exigem a inserccedilatildeo das noccedilotildees elemen-
tares do Caacutelculo os graduandos citaram Funccedilotildees Sequecircncias Aacutereas e volumes em geral
Jaacute no estudo da Fiacutesica mencionaram o estudo de velocidades aceleraccedilotildees e trabalho
Quanto aos iacutendices de aprovaccedilatildeo eacute vaacutelido ressaltar que dos 32 entrevistados
somente 6 caram reprovados em Caacutelculo I A explicaccedilatildeo para esse iacutendice excelente de
aprovaccedilatildeo pode ser justicativa pelo repasse das noccedilotildees elementares do Caacutelculo via curso
de nivelamento Tambeacutem eacute vaacutelido ressaltar que a formaccedilatildeo dos docentes regentes das
disciplinas que zeram o uso das ideias de Caacutelculo para os graduandos partiacutecipes da
presente pesquisa varia da titulaccedilatildeo miacutenima de especialistas ateacute doutores
As aulas de Caacutelculo na FAACZ satildeo muito ecleacuteticas poreacutem arcaicas obsoletas
tradicionais e remetem a ideia de que a maioria dos seus professores prefere um curso de
Caacutelculo que exija uma boa formaccedilatildeo baseada numa conciliaccedilatildeo do processo demonstra-
tivoaplicativo dos teoremas e proposiccedilotildees do Caacutelculo Tambeacutem armaram de maneira
quase unacircnime e satisfatoacuteria sobre as facilidades que a utilizaccedilatildeo dos recursos didaacuteticos
(softwares de geometria dinacircmica e planilhas eletrocircnicas) proporcionaria e favoreceria o
ensinoaprendizagem dos estudantes dessa instituiccedilatildeo Em contrapartida 26 desses alu-
nos responderam natildeo ter recebido trabalhos de abordagem de modelagem matemaacutetica de
uma situaccedilatildeo real cotidiana ou melhor a maioria desses alunos armou que ainda natildeo
sabem o que eacute modelagem matemaacutetica
Quanto agrave experiecircncia desses alunos ao serem expostos agrave teoria de limites com
todas as suas formalidades foi possiacutevel constatar que o curso de nivelamento de prepa-
raccedilatildeo para o estudo de Caacutelculo contribui de forma satisfatoacuteria para melhorar o rendi-
mentoentendimento da maior parte dos graduandos Esse curso de preacute-Caacutelculo foi uma
forma de preencher a lacuna deixada pela educaccedilatildeo baacutesica principalmente pelo Ensino
Meacutedio em que segundo dados da pesquisa natildeo houve citaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de
limite nem muito menos ideias correlatas do Caacutelculo deriva e integral Nesse iacutenterim a
maioria dos alunos armou que os livros didaacuteticos existentes na educaccedilatildeo baacutesica ou satildeo
insucientes quanto ao repasse ou natildeo abordam as noccedilotildees de intuitivas do Caacutelculo E
mais um percentual consideraacutevel dos entrevistados armou jamais ter ouvido qualquer
citaccedilatildeo baacutesica das noccedilotildees de limite deriva e integral durante o Ensino Meacutedio
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 21
Essas informaccedilotildees vecircm ao encontro da nossa proposta a qual propotildee um res-
gate da inserccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas e ideias elementares do Caacutelculo durante o Ensino
Meacutedio com a nalidade de preparar o aluno para ingressar no estudo de Caacutelculo e com
o intuito de justicar proposiccedilotildees elementares com argumentos satisfatoacuterios sem fuga
desculpa ou enrolo Essa inserccedilatildeo deve ser direcionada e atrelada agrave evoluccedilatildeo histoacuterica
do Caacutelculo com um material especiacuteco devido agrave insuciecircncia dos materiais didaacuteticos
existentes no mercado e com atividades interdisciplinares no estudo de Fiacutesica e Quiacutemica
principalmente E mais deve existir um curso especiacuteco de preparaccedilatildeo aos professores
da educaccedilatildeo baacutesicasuperior e a inclusatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo nos PCNEM
com intuito de estimularraticar o repasse das ideias e de contribuir para elevar o rendi-
mento dos estudantes no estudo de Caacutelculo em cursos superiores posteriores pois assim
os educadores receberatildeo a formaccedilatildeo necessaacuteria para trabalharem com maior destreza e
seguranccedila via recursos didaacuteticos disponiacuteveis (softwares educacionais quadro multimeios
laboratoacuterios de matemaacutetica jogos matemaacuteticos etc)
22
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO
CAacuteLCULO
Figura 31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo
Fonte wwwmatematicabrhistoriaprhindhtml[34]
A evoluccedilatildeo do Caacutelculo da origem intuitiva (ideias remotas) ateacute o rigoroso pa-
dratildeo adotado nos livros atuais foi marcada pelas contribuiccedilotildees de diversos estudiosos
dentre os quais pode-se citar em ordem cronoloacutegica de destaque Ahmes (ou Ahmose
escriba egiacutepcio) babilocircnicos Hiacutepias Zenatildeo (ou Zeno de Eleacuteia) Eudoacutexio (ou Eudoxos)
Demoacutecrito Arquimides Papus Kepller Descartes Fermat Roberval Torricelli Cavali-
eri Wallis Barrow Newton Leibnitz famiacutelia Bernoulli De Moivre Taylor Maclaurin
Euler Clairaut DAlembert Lambert Lagrange Laplace Legendre Monge Carnot
Gauss Fourier Poisson Bolzano Cauchy Abel Galois Jacobi Dirichlet Weierstrass
e Riemann Eacute vaacutelido ressaltar que outros personagens zeram contribuiccedilotildees favoraacuteveis
e que natildeo foram mencionados para natildeo haver fuga ao escopo principal dessa pesquisa
Aleacutem disso os personagens destacados foram formidaacuteveis e providenciais para o desen-
volvimento aprimoramento potencialidade aplicabilidade formalidade e padronizaccedilatildeo
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 23
loacutegica do Caacutelculo
A partir do seacuteculo XV II eacute que se evidenciou a evoluccedilatildeo formal no desenvolvi-
mento do Caacutelculo apesar de suas noccedilotildees intuitivas serem encontradas por volta de 1650
aC isto eacute dezessete seacuteculos anteriores aos tempos da era cristatilde foi encontrado no papiro
Rhind cuja coacutepia foi realizada pelo escriba Ahmes (ou Ahmose) evidecircncias de que os
egiacutepcios descobriram de maneira correta que o volume de uma piracircmide de base qua-
drada equivale a 13do volume do prisma retangular de mesma base e mesma altura Eacute
vaacutelido ressaltar que natildeo havia demonstraccedilatildeo de tal relaccedilatildeo nem deveria pois para checar
a veracidade com rigor e precisatildeo eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees de innitesimais perten-
centes ao Caacutelculo Aleacutem dos indiacutecios encontrados nesse papiro tambeacutem foram descobertos
tabulas cuneiformes babilocircnicas que destacam problemas relacionados ao Caacutelculo especi-
camente no algoritmo iterativo empregado para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero
racional e na mensuraccedilatildeo de guras planas
Conforme BOYER [4] (1992 p2)
() Jaacute no seacuteculo XV II aC os babilocircnicos aplicaram sua aacutelgebra admi-ravelmente exiacutevel a uma ampla gama de problemas praacuteticos incluindomensuraccedilatildeo de guras Conhecendo o teorema de Pitaacutegoras acharamcorretamente a diagonal de um quadrado ateacute o equivalente a meia duacuteziade casas decimais Tomavam a aacuterea do ciacuterculo geralmente como o tri-plo da aacuterea do quadrado sobre ao raio ma em pelo menos uma ocasiatildeousaram para uma aproximaccedilatildeo melhor 31
8 ()
Embora egiacutepcios e babilocircnicos em niacutevel mais acentuado tenham deixado evi-
dente a habilidade em aacutelgebra natildeo se pode dizer o mesmo em relaccedilatildeo agrave loacutegica empregada
Nesse sentido de preocupaccedilatildeo com o rigor loacutegico a partir de princiacutepios baacutesicos destacam-
se os trabalhos desenvolvidos na Greacutecia desde a descoberta da incomensurabilidade por
Hiacutepias (c de 425 aC) perpassando pelos quatro paradoxos propostos pelo loacutesofo Ze-
natildeo de Eleacuteia (c de 450 aC) que indicavam a existecircncia de um processo innito e pelo
brilhante trabalho de Eudoacutexio (ou Eudoxo cerca 370 aC) que propocircs uma teacutecnica de
comprovaccedilatildeo de validade de uma proposiccedilatildeo o meacutetodo da Exaustatildeo o qual eacute considerado
um prenuacutencio mais proacuteximo do Caacutelculo por parte de estudiosos gregos ateacute o aacutepice das
experiecircncias argumentos (reduccedilatildeo ao absurdo duplo) e meacutetodos bastante precisos desen-
volvidos por Arquimedes (287 minus 212 aC) para obter suas demonstraccedilotildees rigorosas das
foacutermulas de aacutereas e volumes em que frequentemente guravam seacuteries innitas
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 24
Consideradas duas grandezas desiguais se da maior subtraiacutemos umagrandeza maior que sua metade e da que resta uma grandeza maiorque sua metade e se este processo eacute repetido continuamente restaraacuteuma grandeza que seraacute menor que a menor das grandezas consideradas(BOYER [4] 1992 p 4)
Segundo BOYER [4] (1992 p 4) de maneira geral eis uma das citaccedilotildees mais
elementares das noccedilotildees de limites se A eacute a maior das duas grandezas dadas (positivas)
a e A e se un = A2n
entatildeo limnrarrinfin un = 0 lt a
De acordo BOYER [4]
Deve-se notar que enquanto a notaccedilatildeo moderna recorreu ao siacutembolo deinnito a linguagem antiga cuidadosamente evitava qualquer referecircnciaaberta a um processo innito As duas formulaccedilotildees no entanto natildeo es-tatildeo distantes quanto a seu signicado Para mostrar que limnrarrinfin un = 0deve-se demonstrar que dado um nuacutemero ε positivo mesmo que pequeno(o equivalente da grandeza menor a na proposiccedilatildeo de Euclides) pode-seachar um inteiro N (o equivalente da frase de Euclides se este processoeacute repetido continuamente) tal que para n gt N vale a relaccedilatildeo un lt εO Caacutelculo de Euclides (derivado presumivelmente de Eudoacutexio) pode tersido menos efetivo que o de Newton e Leibniz dois milecircnios mais tardemas em termos de ideias baacutesicas natildeo estava muito longe do conceitode limite usado rudemente por Newton e aprimorado no seacuteculo XIX(1992 p 5)
O uacuteltimo matemaacutetico dos tempos medievais a realizar contribuiccedilotildees favoraacuteveis
agrave evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi Papus (c de 320 dC) A partir daiacute houve um decliacutenio um ver-
dadeiro breu secular e histoacuterico de difusatildeoemancipaccedilatildeoevoluccedilatildeoativaccedilatildeo dos conceitos
do Caacutelculo Somente apareceraacute novamente discussatildeo proacutexima agrave teoria do Caacutelculo nos tem-
pos modernos por meio dos trabalhos de Nicole Oresme no seacuteculo XIV e Regiomontanus
no seacuteculo XV
O seacuteculo XV I foi o periacuteodo de reativaccedilatildeo do desenvolvimento dos concei-
tos principais do Caacutelculo Destacam-se nessa empreitada os trabalhos de Simon Stevin
(1548 minus 1620) e Luca Valerio (cerca de 1552 minus 1618) que evitaram a dupla reduction
ad absurdum do meacutetodo da exaustatildeo e zeram uso de um meacutetodo que fazia uma passa-
gem direta ao limite Aliaacutes Stevin o Arquimedes Holandecircs foi o primeiro a demonstrar
numericamente que uma sequencia de nuacutemeros tendia a um valor limite ao analisar pro-
posiccedilotildees relacionadas ao estudo de pressatildeo de uidos embora admitir mais credibilidade
ao tratamento geomeacutetrico
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 25
Nessa linha de defesa observe o relato EVES [11]
()Stevin usava esse meacutetodo em seu trabalho no campo da hidrostaacute-tica para determinar a forccedila exercida pela pressatildeo de um uido sobreum dique vertical Basicamente sua ideia consistia em dividir o diqueem faixas horizontais e entatildeo fazer cada uma girar em torno de suasbordas superior e inferior ateacute que elas se tornassem paralelas ao planohorizontal Fundamentalmente eacute esse o meacutetodo usado loje em dia emnossos textos elementares de Caacutelculo (2004 [11] p424)
Aleacutem de Stevin Johann Kepler (1573minus 1630) e Galileu Galilei (1564minus 1642)
foram pioneiros a evitar os rigores do meacutetodo da exaustatildeo apesar de utilizar incessante-
mente os meacutetodos de Arquimedes Devido a tal atitude foram os responsaacuteveis pela mudan-
ccedilasmodicaccedilotildees no panorama da anaacutelise innitesimal (innitamente grande e innita-
mente pequeno) Nesse sentido eacute vaacutelido ressaltar que Kepler heuriacutestico demasiadamente
para ganhar tempo e economizar trabalho utilizou a adiccedilatildeo de grandezas innitamente
pequenas quando imaginou o volume de cada barril de vinho formado por uma enorme
quantidade de secccedilotildees circulares com altura tendendo a zero e ainda segundo EVES [11]
(2004 p 424) considerava uma circunferecircncia como um poliacutegono regular de um nuacutemero
innito de ladose a partir desse raciociacutenio pode-se estendecirc-lo para caracterizar uma es-
fera como uma reuniatildeo de innitas piracircmides com as peculiaridades de serem delgadas e
com veacutertice coincidente com o centro da esfera
O seacuteculo XV II eacutepoca em que se destacaram os trabalhos elaborados por
Cavalieri Torricelli (1608 minus 1647) Roberval (1602 minus 1675) Descartes Fermat Wallis
Barrow Newton e Leibniz houve uma consideraacutevel produtividade do desenvolvimento da
matemaacutetica com a criaccedilatildeo da geometria analiacutetica e evoluccedilatildeo das teacutecnicas de quadratura
eou cubatura as quais satildeo empregadas a curvas e soacutelidos especiacutecos ou famiacutelias de cur-
vas Eacute vaacutelido ressaltar que o conceito de limite natildeo foi utilizado pelos ceacutelebres nomes
citados nem sequer reconheciam e perceberam a necessidade da fundamentaccedilatildeo de tal
teoria Dentre os diversos estudos de destaque potencial nesse periacuteodo mencionaremos
a contribuiccedilatildeo de Bonaventura Cavalieri (1598 minus 1647) com seu brilhante meacutetodo dos
indivisiacuteveis (Geometria indivisibilibus) em que nos apresenta as preacutevias dos atuais prin-
ciacutepios de Cavalieri ferramentas essenciais para o Caacutelculo Integral moderno e os estudos
de Reneacute Descartes (1596 minus 1650) e Pierre de Fermat (de 1509 ateacute 1608 ou 1601 minus 1665)
com contribuiccedilotildees pontuais para a fundamentaccedilatildeo e para o desenvolvimento da Geometria
Analiacutetica
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 26
Apoacutes o desenvolvimento do campo da geometria analiacutetica as bases do Caacutelculo
moderno estavam prontas para se tornar cada vez mais evidentes e direcionadas agrave reso-
luccedilatildeo dos dois problemas fundamentais do Caacutelculo encontrar retas tangentes a curvas
e determinar valores exatos para aacutereas de regiotildees limitadas pelo menos em parte por
curvas (problemas de quadratura) Nesse sentido faz-se necessaacuterio citar as contribuiccedilotildees
de grande magnitude de um francecircs Fermat trecircs ingleses John Wallis (1616minus1703) Isaac
Barrow (1630minus 1677) Isaac Newtow (1642minus 1727) e um alematildeo Gottfried Wilhelm Leib-
niz (1646minus1716) para o que futuramente seria batizado de Caacutelculo Diferencial e Integral
Eacute vaacutelido ressaltar que tanto o Newton quanto o Leibniz de maneira independente foram
os responsaacuteveis pelo desenvolvimento das bases notaacuteveis do Caacutelculo moderno e por isso
satildeo considerados responsaacuteveis pela invenccedilatildeo
Note que em momento algum foi destacada a necessidade de utilizaccedilatildeo da
teoria de limite Embora tal conceito tenha sido negligenciado em diversos trabalhos eacute
importante destacar que Newton foi o pioneiro no reconhecimento do papel fundamental
que o limite iria desempenhar no desenvolvimento de problemas relativos ao Caacutelculo
(tangecircncias quadraturas e ans) Tal armativa pode ser constatada em seu Livro I
do Principia Mathematica (1687) na qual haacute uma tentativa de formular um conceito de
limite De acordo com BOYER [3]
Quantidades e as razotildees de quantidades as quais em qualquer temponito convergem continuamente para igualdade e antes do nal daqueletempo se aproximam entre si por qualquer dada diferenccedila tornam-seiguais no nal (BOYER [3] 1996 p 274)
O desenvolvimento da matemaacutetica e em particular as aplicaccedilotildees do Caacutelculo
durante o seacuteculo XV III XIX e XX eacute repleto de histoacuterias esplecircndidas e momentos de
contribuiccedilotildees memoraacuteveis agrave expansatildeo da aplicabilidade das teorias relacionadas ao estudo
de Caacutelculo Vaacuterios satildeo os nomes que se destacaram membros da famiacutelia Bernoulli G
F A de LHospital (1661 minus 1704) Johann I (1667 minus 1748) Nicolas I (1687 minus 1759) e
Daniel (1700minus1782) Brook Taylor (1685minus1731) Leonhard Euler (1707minus1783) e Alexis
Claude Clairaut (1713minus1765) Colin Maclaurin (1698minus1746) Jean Le Rond DAlembert
(1717minus 1783) Joseph-Louis Lagrange (1736minus 1813) etc Dentre os ceacutelebres citados os
quais natildeo estabeleceram uma fundamentaccedilatildeo rigorosa para o Caacutelculo eacute vaacutelido destacar
na corrida pela formalizaccedilatildeo do conceito de limite (pilar baacutesico do Caacutelculo ensinado nos
dias de hoje) uma deniccedilatildeo especial como a que foi posta na ceacutelebre Encyclopeacutedie
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 27
(1751 minus 1776) em que DAlembert ponderou que para denir a derivada precisamente
era necessaacuterio entender as noccedilotildees de limite primeiro
Uma quantidade eacute o limite de uma outra quantidade quando a segundapuder se aproximar da primeira dentro de qualquer precisatildeo dada natildeoimporta quatildeo pequena apesar da segunda quantidade nunca exceder aquantidade que ela aproxima (DALEMBERT 1772 apud FINNEYWEIR GIORDANO 2002 [12])
No nal do seacuteculo XV III e durante todo o seacuteculo XIX foi o periacuteodo de
contribuiccedilotildees dos renomados Carl Friedrich Gauss (1777minus 1855) Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768minus 1830) Bernhard Bolzano (1781minus 1848) Augustin Louis Cauchy (1789minus
1857) Niels Henrik Abel (1802minus1829) Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805minus1859) e Karl
Weierstrass (1815minus 1897) Nesse periacuteodo em que houve um estudo cuidadoso e rigoroso
em busca da deniccedilatildeo de limite destacaremos o trabalho desenvolvido por Cauchy (aluno
de Lagrange na Escola Politeacutecnica) e Weierstrass O primeiro embora tenha deixado
de lado a preocupaccedilatildeo com alguns detalhes teacutecnicos foi responsaacutevel por apresentar a
deniccedilatildeo mais proacutexima de limite que conhecemos atualmente Jaacute o segundo restabeleceu
o conceito original de limite proposto por Cauchy com tratamento estritamente aritmeacutetico
e utilizando apenas valores absolutos e desigualdades Weierstrass aleacutem de corrigir os
descuidos e erros de Cauchy formulou a deniccedilatildeo de limite empregada nos diversos livros
de Caacutelculo da era moderna na matemaacutetica e continuou suas contribuiccedilotildees estabelecendo
todo o rigor aritmeacutetico adotado no Caacutelculo e na anaacutelise matemaacutetica
Segundo BOYER [3] eacute creditada a Cauchy a introduccedilatildeo de limite de maneira
aperfeiccediloada quando publicou em 1821 em seu Cours danalyse de lEacutecole Polytechnique
Quando os valores sucessivos atribuiacutedos a uma variaacutevel aproximam-se indenidamente de
um valor xo chegando a diferir dele tatildeo pouco quanto se deseje este uacuteltimo eacute chamado
limite de todos os outros Jaacute a Weierstrass de acordo Boyer coube o trabalho de explicar
de maneira elegante e precisa substituir as ideias vagas de aproximaccedilatildeo na deniccedilatildeo de
limite de Cauchy-Bolzano por ideias que utilizavam eacutepsilon-deltacom uma linguagem
puramente numeacuterica
() Diz-se que L eacute um limite da funccedilatildeo f(x) para o valor x = a sedado qualquer nuacutemero positivo ε existe um nuacutemero positivo δ tal que|f(x)L| lt ε para qualquer x que verique 0 lt |xa| lt δ (BOYER [4]1992 p 27)
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 28
De acordo com o levantamento histoacuterico realizado eacute possiacutevel constatar que
por diversos seacuteculos o conceito de limite foi um tanto vago confuso losoacuteco intuitivo
indenido impreciso imperceptiacutevel negligenciado dentre outros inuacutemeros adjetivos cor-
relacionados A matemaacutetica moderna foi desfrutar das noccedilotildees de limite somente durante
o periacuteodo europeu intitulado de Iluminismo nal do seacuteculo XV III e iniacutecio do seacuteculo
XIX Jaacute a deniccedilatildeo formal (rigorosa loacutegica e correta) apresentada nos livros de Caacutelculo
atuais foi formalizada por volta do ano 1856 (haacute uns 160 anos)
Figura 32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1 + 2460
+ 51602
+ 10603
= 1414212
Fonte ptwikipediaorgwikiMatemaacuteticababilnica[35]
29
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA
EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA
Segundo os anais da histoacuteria da Matemaacutetica a constataccedilatildeo da presenccedila das no-
ccedilotildees de limite iniciou desde os tempos antigos ateacute o desenrolar da invenccedilatildeoevoluccedilatildeoaplicaccedilatildeo
do Caacutelculo (seacuteculos XV II XV III XIX) De acordo com BOYER [4] tal descoberta
jaacute impressionava e tirava o sono de estudiosos gregos
() Foi um choque para a comunidade matemaacutetica grega tomar conheci-mento de que haacute coisas como segmentos de reta incomensuraacuteveis e que aocorrecircncia dessa situaccedilatildeo eacute espantosamente comum isto eacute que conceitosans ao Caacutelculo aparecem nas mais elementares situaccedilotildees Os diaacutelogosde Platatildeo mostram que os matemaacuteticos da eacutepoca caram profundamentepertubados com essa descoberta (BOYER [4] 1992 p 3)
Ainda nessa linha assim se pronunciou EVES [11]
() Esses conceitos tecircm tanto alcance e tantas implicaccedilotildees no mundomoderno que talvez seja correto dizer que sem algum conhecimento delesdicilmente hoje uma pessoa poderia considerar-se culta (EVES [11]2004 p 417)
Eacute importante ressaltar que a ordem do desenvolvimento histoacuterico do Caacutelculo
foi diferente da ordem apresentada nos livros textos e cursos baacutesicos sobre o assunto isto
eacute houve inicialmente o surgimento do Caacutelculo Integral e muito tempo depois apareceram
os conceitos ligados ao Caacutelculo Diferencial Segundo EVES [11]
() A ideia de integraccedilatildeo teve origens em processos somatoacuterios ligadosao caacutelculo de certas aacutereas e certos volumes e comprimentos A diferen-ciaccedilatildeo criada bem mais tarde resultou de problemas sobre tangentes acurvas e questotildees sobre maacuteximos e miacutenimos Mais tarde ainda vericou-se que a integraccedilatildeo e a diferenciaccedilatildeo estatildeo relacionadas entre si sendocada uma delas operaccedilatildeo inversa da outra (EVES [11] 2004 p 417)
Assim eacute possiacutevel vericar uma gama de assuntos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular nas fases nais do Ensino Fundamental e durante o Ensino Meacutedio que evocam as
ideias correlatas do Caacutelculo e em particular as noccedilotildees de limite Embora seja possiacutevel
constatar a presenccedila das noccedilotildees de limite e de integral no Ensino Fundamental haacute um
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 30
consenso de que natildeo eacute pedagogicamente correto destacar a presenccedila de tais conceitos nessa
fase dado que um nuacutemero consideraacutevel de alunos ainda natildeo possui maturidade (manipula-
ccedilatildeo algeacutebrica soacutelida poder de abstraccedilatildeo consolidado domiacutenio amplo da aritmeacutetica etc)
suciente para compreender tamanho grau de abstraccedilatildeoexigecircncia Caso haja alunos com
tal capacidade eacute recomendado propor em aulas especiais direcionadas didaticamente com
a linguagem de assimilaccedilatildeo proacutepria bem proacutexima dos alunos Nesse iacutenterim a presenccedila
da noccedilatildeo intuitiva de limite e ideais correlatas de integral pode ser destacada de forma
construtiva e com grau de abstraccedilatildeo passiacutevel de entendimento em pelo menos trecircs pontos
especiacutecos estudados no Ensino Fundamental a primeira abordagem pode ser inserida
a partir do momento em que o professor inicia o estudo dos nuacutemeros racionais (diacutezimas
perioacutedicas) o segundo enfoque pode ser aplicado ao demonstrar de maneira completa o
Teorema de Tales e a terceira citaccedilatildeo deve ocorrer ao estudar aacutereas de guras planas
principalmente ao apresentarprovar a aacuterea de uma regiatildeo retangular A exibiccedilatildeo desses
toacutepicos direcionada ao Ensino Fundamental pode ser conferida ao realizar a leitura do
capiacutetulo referente agraves sequencias didaacuteticas sugeridas posteriormente nessa dissertaccedilatildeo
Na ordem cronoloacutegica e didaacutetica dos livros atuais de matemaacutetica do Ensino
Meacutedio nota-se a necessidade de introduccedilatildeo das noccedilotildees de limite jaacute na 1a seacuterie Ao estudar
a representaccedilatildeo decimal de nuacutemeros racionais innitos e perioacutedicos jaacute se faz uso impliacutecito
do conceito de limite Nessa mesma linha ao apresentar os nuacutemeros irracionais e reais
tambeacutem eacute necessaacuterio em diversos pontos citar a ideia de limite Em seguida haacute necessidade
de mencionar a referida teoria ao estudar as minuacutecias de uma funccedilatildeo seja ela qual for
principalmente ao realizar a anaacutelise graacuteca Tambeacutem eacute possiacutevel vericar a aplicabilidade
de limite ao estudar sequecircncias em particular e em maior grau ao estudar a soma de uma
seacuterie convergente (progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo (q) denida por (0 lt |q| lt 1) Aleacutem
disso pode-se adaptar a referida soma numa aplicaccedilatildeo praacutetica usual e diaacuteria que consiste
no estudo de capitalizaccedilatildeo contiacutenua em Matemaacutetica Financeira (deniccedilatildeo do nuacutemero de
Euler) Eacute possiacutevel promover atividades interdisciplinas com a Fiacutesica e com a Quiacutemica
Relativamente agrave primeira justica-se a correspondecircncia durante o estudo de Mecacircnica
(velocidade e aceleraccedilatildeo instantacircnea trabalho realizado por uma forccedila etc) Enquanto
a segunda a associaccedilatildeo pode ser feita durante o estudo de Desintegraccedilatildeo Radioativa Ao
estudar Geometria plana eacute possiacutevel embutir agraves noccedilotildees de limite ao inserir o conceito de
grandezas incomensuraacuteveis ao demonstrar o Teorema de Tales e consequentemente ao
aplicaacute-lo ao estudo de semelhanccedila de triacircngulos e nalmente ao introduzir o estudo de
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 31
aacutereas de guras planas (ciacuterculo e suas partes segmento paraboacutelico hipeacuterboles etc) em
particular aquelas que apresentam pelo menos um lado curviliacuteneo
Durante a 2a seacuterie ou fase nal da 1a haacute necessidade de menccedilatildeo a ideia de
limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas aleacutem de aparecer ao estudar aacutereas
superciais e volumes de soacutelidos geomeacutetricos Tambeacutem nota-se indiacutecio ao estudar o caacutel-
culo de determinantes ao discutir sistemas lineares ao resolver problemas de contagem
(somatoacuterios de seacuteries especiacutecas) pertencentes agrave anaacutelise combinatoacuteria e ao investigar de-
terminadas probabilidades associadas a problemas baacutesicos De maneira interdisciplinar
constata-se a necessidade de ecircnfase no estudo do trabalho realizado por um gaacutes numa
transformaccedilatildeo isoteacutermica (Lei de Boyle) por exemplo
Jaacute na 3a seacuterie eacute possiacutevel incrementar o estudo de Geometria Analiacutetica Cocircnicas
e Polinocircmios com uma abordagem que evoque o emprego das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo
(limite derivada e integral) Aleacutem disso eacute possiacutevel promover atividades suplementares
que apliquem as ideias correlatas do Caacutelculo em toacutepicos do estudo de eletricidade (campo
eleacutetrico potecircncia corrente etc)
32
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS
A importacircncia do estudo de limites derivadas e integrais pode ser vericada
ao analisar os nuacutemeros relativos agraves grades dos cursos ofertados pelas universidades fe-
derais e por algumas faculdades particulares Por exemplo a Universidade Federal do
Espiacuterito Santo (UFES) oferece 90 cursos de graduaccedilatildeo (total de 4975 vagas anuais) e des-
ses haacute uma variedade de cursos cujas ementas empregam direta ou indiretamente noccedilotildees
elementares de Caacutelculo tais como Fiacutesica Quiacutemica Estatiacutestica Matemaacutetica Ciecircncias Bi-
oloacutegicas Administraccedilatildeo Arqueologia Medicina Farmaacutecia Ciecircncias Contaacutebeis Ciecircncias
Econocircmicas Engenharias Arquitetura e Urbanismo Psicologia Agronomia Zootecnia
Sistemas de Informaccedilatildeo Desenho Industrial Tecnologia Mecacircnica Oceanograa e Ciecircncia
da Computaccedilatildeo Dentre os cursos de bacharelados e licenciaturas distribuiacutedos em turnos
(Diurno Vespertino e Noturno) e espalhados pelo Campus da UFES mais de 50 neces-
sita do conhecimento de ideias correlatas do Caacutelculo isto eacute mais da metade dos futuros
prossionais a serem formados pela UFES precisam estudar impliacutecita ou explicitamente
noccedilotildees de limite derivada e integral
Somente os dados relatados no paraacutegrafo anterior seriam sucientes para jus-
ticar o retorno do emprego de noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo no Ensino Meacutedio poreacutem haacute
outros fatores que reforccedilam a temaacutetica abordada nesse trabalho De acordo com informa-
ccedilotildees fornecidas pelos meios regulamentadores da educacional nacional de niacutevel superior
na aacuterea de Engenharias haacute uma reduccedilatildeo (nos vestibulares do paiacutes) no nuacutemero de inscritos
em cursos de exatas e aumento constante da evasatildeo dos alunos matriculados em cursos
que envolvam o emprego de elementos do Caacutelculo em particular os de engenharia de-
vido agrave diculdade encontrada pelos alunos via anaacutelise preliminar da grade curricular do
curso pretendidoe em parte pelo fato de natildeo receber orientaccedilotildees sobre toacutepicos correlatos
do caacutelculo diferencial e integral no ensino fragmentado e desmotivador promovido pela
maioria das escolas brasileiras haacute seacuteculos em geral natildeo estar sendo realizado um traba-
lho interdisciplinar signicativo e com respaldo de preparaccedilatildeo para o ingresso futuro no
ensino superior
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 33
Uma proposta de mudanccedila desse panorama preocupante pode ser realizada via
inclusatildeo de conceitos baacutesicos do Caacutelculo Diferencial e Integral no Ensino Meacutedio fato que
proporcionaria aos alunos aulas motivadoras interdisciplinares e mais proacuteximas da reali-
dade dos alunos com uma discussatildeo mais ampla natural generalizada e contextualizada
de conteuacutedos do proacuteprio Ensino Meacutedio Entretanto para que essa inclusatildeo ocorra eacute ne-
cessaacuterio que os cursos de Licenciatura em Matemaacutetica formem professores capazes de lidar
com essa realidade Sendo assim o Caacutelculo Diferencial e Integral deve ser apresentado
aos licenciandos como uma disciplina baacutesica poreacutem ampla e integradora propiciando aos
futuros professores uma visatildeo mais geral e segura dos conteuacutedos do Ensino Meacutedio Eacute im-
portante salientar que haacute estados brasileiros que apresentam noccedilotildees de Caacutelculo em seus
curriacuteculos escolares baacutesicos do Ensino Meacutedio
Antes de iniciar as consideraccedilotildees quanto agrave existecircncia ou natildeo das noccedilotildees intui-
tivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo nos livros dos diversos autores renomados
cujos livros didaacuteticos satildeo amplamente adotados para tornar completa a breve discussatildeo
histoacuterica e embasada pela opiniatildeo de diversos autores eacute salutar a realizaccedilatildeo de um diag-
noacutestico informal da situaccedilatildeo em que se encontram os cursos de que necessitam do emprego
da disciplina de Caacutelculo em suas grades curriculares Aleacutem disso faremos uma reexatildeo
do ensino de matemaacutetica no Brasil
Segundo a LDB [30] o Ensino Meacutedio eacute a etapa nal da educaccedilatildeo baacutesica(Art35)
e o mesmo deve possuir um curriacuteculo com a caracteriacutestica da terminalidade isto eacute segundo
o PCNEM (2000) [20] o Ensino Meacutedio deve ser capaz de
() assegurar a todos os cidadatildeos a oportunidade de consolidar e apro-fundar os conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental aprimoraro educando como pessoa humana possibilitar o prosseguimento de estu-dos garantir a preparaccedilatildeo baacutesica para o trabalho e a cidadania dotaro educando dos instrumentos que o permitam continuar aprendendotendo em vista o desenvolvimento da compreensatildeo dos fundamentos ci-entiacutecos e tecnoloacutegicos dos processos produtivos(Art35 incisos I a IV)(PCNEM [21] 2000 p 9)
Fazer com que haja continuaccedilatildeo dos estudos posteriormente em niacuteveis superi-
ores eacute uma meta arrojada uma vez que os resultados das avaliaccedilotildees institucionais como o
Sistema Nacional de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) e o Exame Nacional do Ensino
Meacutedio (ENEM) cujas provas satildeo produzidas pelo governo federal indicam um iacutendice de
fracasso ao teacutermino do ensino meacutedio pois uma parcela consideraacutevel dos formandos apre-
sentam diculdades baacutesicas na compreensatildeo de conceitos e procedimentos fundamentais
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 34
quanto agraves operaccedilotildees aritmeacuteticas e compreensatildeo geral via interpretaccedilatildeo Contudo ainda
se faz necessaacuterio propor algo que facilite a vida desses alunos pois aqueles que ingressam
no ensino superior em especial aos cursos que necessitam de uma veia na aacuterea de exatas
vatildeo se deparar com a disciplina de Caacutelculo que requer o domiacutenio amplo da matemaacutetica
baacutesica para conseguir acompanhar o grau de abstraccedilatildeo a ser introduzido por meio da
compreensatildeo das noccedilotildees iniciais de limite derivada e integral
De acordo com NIETO (2005 p7) [36] eacute certo que uma reforma deveria ser
iniciada nos ensinos fundamental e meacutedio no entanto esse aluno estaacute chegando ao curso
superior e noacutes professores universitaacuterios natildeo podemos enviaacute-los de volta E mais eacute
possiacutevel constatar que a situaccedilatildeo vem se agravando nos uacuteltimos anos devido agraves diculda-
des de aprendizagem de Matemaacutetica no Ensino Fundamental e Meacutedio evidenciadas pelos
resultados das avaliaccedilotildees sob a coordenaccedilatildeo do INEP tais como as provas do Sistema de
Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) do Exame Nacional do Ensino Meacutedio (ENEM)
e do Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo de Alunos (PISA) Essa conjuntura implica
diretamente na avaliaccedilatildeo da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral pois os alunos
com pouca bagagem de matemaacutetica baacutesica certamente produziratildeo rendimentos aqueacutem
das possibilidades contribuindo para o aumento dos iacutendices de reprovaccedilatildeo na referida
disciplina Isso nos conduz ao seguinte raciociacutenio Por que natildeo incluir na preparaccedilatildeo dos
alunos do Ensino Meacutedio toacutepicos que faccedilam a conexatildeo com os conceitos do Caacutelculo Dife-
rencial e Integral (um curso de nivelamento preacute-caacutelculo) Por que natildeo criar estrateacutegias
didaacuteticas que promovam a interdisciplinaridade e transforme o aprendizado dos conteuacute-
dos mais sosticado Com absoluta certeza eacute notoacuterio entre os professores e alunos via
anaacutelise de questionaacuterios acessiacuteveis em anexos que tais iniciativas podem tornar o extenso
curriacuteculo menos complexo mais loacutegico e ainda repleto de conteuacutedos natildeo fragmentados e
com signicados respaldados nas diversas contextualizaccedilotildees e interdisciplinaridades dis-
poniacuteveis e acessiacuteveis ao dia-a-dia do aluno Isto eacute eacute possiacutevel ensinar toacutepicos intuitivos
de limite derivada e integral durante o Ensino Meacutedio tanto na Matemaacutetica quanto na
Fiacutesica e Quiacutemica poreacutem eacute necessaacuterio realizar mudanccedilas nos PCN no curriacuteculo baacutesico
escolar capacitar professores e produzir material suplementar que preencha as lacunas
encontradas nos principais livros didaacuteticos utilizados atualmente
Num artigo publicado na RPM o professor Geraldo AacuteVILA [1] faz o seguinte
questionamento sobre a inclusatildeo de toacutepicos do Caacutelculo no Ensino Meacutedio
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 35
Por que natildeo ensinamos Caacutelculo na escola de segundo grau Seraacute queeacute um assunto muito difiacutecil Foi sempre assim no passado ou jaacute houveeacutepoca em que o Caacutelculo era ensinado na escola secundaacuteria E nos outrospaiacuteses como eacute a situaccedilatildeo Eacute ou natildeo conveniente introduzir o Caacutelculo noensino Por que Como fazer isso (AacuteVILA [1] 1991 p1)
Eacute vaacutelido ressaltar que uma introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial e Integral jaacute
esteve presente no curriacuteculo escolar baacutesico Segundo CARVALHO (1996) [5] a participaccedilatildeo
ocorreu em dois momentos distintos em 1891 com a reforma proposta por Benjamim
Constant no iniacutecio da Repuacuteblica foi a primeira oportunidade em que houve constataccedilatildeo
da presenccedila e a segunda iniciou em 1942 durante a Reforma Capanema ocorrida no
governo de Getuacutelio Vargas permanecendo ocialmente ateacute 1961 Durante as deacutecadas de
60 e 70 inuenciado pelo movimento da Matemaacutetica Moderna o ensino brasileiro sofreu
mudanccedilas consideraacuteveis dentre elas a exclusatildeo do Caacutelculo do programa baacutesico de ensino
Tambeacutem eacute importante citar que ateacute nos dias atuais ainda encontra-se alguns
livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio que fazem menccedilatildeo a toacutepicos relativos ao Caacutelculo em-
bora sejam negligenciados por parte dos professores e gestores com o pretexto de que
ampliariam o jaacute extenso curriacuteculo e aleacutem disso a linguagem empregada eacute inacessiacutevel aos
estudantes isto eacute quando haacute presenccedila no livro didaacutetico natildeo ocorre inclusatildeo no curriacuteculo
escolar baacutesico Na verdade o que se faz nos dias atuais nas escolas de Ensino Meacutedio das
redes puacuteblica e privada eacute um verdadeiro curso preacute-ENEM (curso preacute-vestibular) extensivo
aos trecircs anos de estudo no Ensino Meacutedio com o intuito de promover a instituiccedilatildeo com
iacutendices de aprovaccedilatildeo em faculdades e universidades do paiacutes em detrimento ao estiacutemulo a
um ensino construtivo signicativo e passiacutevel de ser aproveitaacutevel em estudos posteriores
no ensino superior ou tecnoloacutegico Imagine como reagiria um professor enclausurado nesse
sistema de ensino que prioriza conteuacutedos fragmentados e sem signicados ao ser questi-
onado com uma pergunta simples do tipo O que eacute limite derivada e integral Onde
aplico tais ideiasMuitos colegas de prossatildeo jaacute responderam assim Quando vocecirc es-
tudar Caacutelculo vocecirc saberaacute Ou entatildeo Isso vocecirc soacute aprende na faculdade Essa atitude
com absoluta certeza desapontaria demais o aluno aacutevido pelo conhecimento e talvez ateacute
sepultaria uma mente prodigiosa apta ao desenvolvimento do Caacutelculo
Ainda nesse sentido observe a opiniatildeo de AacuteVILA (1991 p1-9) [1] o qual
defende que o conceito de derivada pode ser ensinado com grande vantagem logo na
primeira seacuterie do segundo grau ao lado do ensino de funccedilotildeese ainda destaca a importacircncia
do estudo da derivada na continuidade do estudo de funccedilotildees em especial as polinomiais e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 36
as suas variadas aplicaccedilotildees cientiacutecas principalmente no estudo do movimento na Fiacutesica
Antes da compreensatildeo do conceito de derivada eacute necessaacuterio compreender e
dominar as noccedilotildees de limite pois a derivada eacute uma aplicaccedilatildeo de limite e sua deniccedilatildeo
atual utiliza as noccedilotildees de limite O domiacutenio de parte das propriedades decorrentes do
estudo de derivadas faraacute com que o entendimento de determinadas propriedades relativas
ao estudo de funccedilotildees tanto na Matemaacutetica quanto na Fiacutesica seja compreendida com mais
argumentos de maneira mais coerente contextualizada e interdisciplinar
Nessa linha eacute imprescindiacutevel mencionar o artigo Caacutelculo no Segundo Grau
publicado na RPM n 20 do professor Roberto Costallat DUCLOS (1992) [10] que segue
e apoia a linha de defesa do professor AacuteVILA sobre a possibilidade de difusatildeo de novas
ideias e sobretudo pela gama de aplicabilidade de seus meacutetodos
De acordo com os argumentos exposto pelo professor Geraldo AacuteVILA [1] na
RPM 18 eacute possiacutevel introduzir o Caacutelculo Integral no Ensino Meacutedio de modo a incitar o
interesse e a curiosidade desde que seja de maneira intuitiva dando ecircnfase as ideias e
aplicaccedilotildees em detrimento das teacutecnicas e suas propriedades Ele ainda faz uma criacutetica
agravequeles que opinam de forma contraacuteria
A ideia de que os programas de matemaacutetica satildeo extensos e natildeo compor-tariam a inclusatildeo do caacutelculo eacute um equiacutevoco Os atuais programas estatildeoisto sim mal estruturados (AacuteVILA [1] 1991 p 1-9)
Apoacutes exibir o panorama da educaccedilatildeo matemaacutetica nacional e citar as contribui-
ccedilotildees favoraacuteveis da apresentaccedilatildeo das noccedilotildees do Caacutelculo Diferencial e Integral que remetem
a ideia de limite eacute vaacutelido repassar ao leitor do presente trabalho os elementos norteadores
da referida pesquisa ou seja uma lista dos livros didaacuteticos e dos seus respectivos auto-
res com o intuito de criar uma simbologia numeacuterica isto eacute uma legenda de associaccedilatildeo
de cada livro segundo o nuacutemero indicado no rol abaixo com intuito de evitar repeticcedilotildees
desnecessaacuterias
1 Matemaacutetica Contexto amp Aplicaccedilotildees de Luiz Roberto DANTE [9] (Dante) - Editora
Aacutetica 2010
2 Matemaacutetica de Manoel PAIVA [23] Editora Moderna 2009
3 Matemaacutetica Coleccedilatildeo Novo Olhar de Joamir Roberto de SOUZA [25] Editora FTD
2010
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 37
4 Matemaacutetica Ciecircncia e Aplicaccedilotildees de Gelson IEZZI [15] Osvaldo Dolce David
Degenszajn Roberto Peacuterigo e Nilze de Almeira Editora Saraiva 2010
5 Matemaacutetica Completa de Joseacute Ruy GIOVANNI [29] e Joseacute Roberto Bonjorno (Gi-
ovanni e Bonjorno) Editora FTD 2005
6 A Matemaacutetica do Ensino Meacutedio Coleccedilatildeo do Professor de Matemaacutetica de Elon Lages
LIMA [17] Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner e Augusto Ceacutesar Morgado
Editora SBM 2006 (6a ediccedilatildeo)
7 Fundamentos de Matemaacutetica Elementar (vol 8) Editora Atual 1993 (diversos
autores)
8 Noccedilotildees de Caacutelculo (vol 9) - Seacuterie Matemaacutetica por assunto de Nilson Joseacute Machado
Editora Scipione 1988
9 Caacutelculo de Geraldo Aacutevila Editora LTC 1988
10 Caacutelculo de James Stewart (vol I) Editora Pioneira 2003 (4a Ediccedilatildeo)
Os livros didaacuteticos que foram analisados possuem publicaccedilotildees em trecircs volumes
foram numerados de 1 ateacute 6 Jaacute os livros que possuem volume uacutenico integrado ou livros
especiacutecos de coleccedilotildees divididos por assunto conforme a preferecircncia do autor foram
numerados de 7 ateacute 10 Quantos aos primeiros (de 1 a 6) foi feito uma analise minuciosa
tanto dos conteuacutedos quanto dos guias de orientaccedilatildeo do professor Jaacute os uacuteltimos (de 7
ateacute 10) foram citados simplesmente como sugestatildeo de uma leitura mais renada e com o
intuito de repassar aos professores uma oportunidade de enriquecer seus conhecimentos
com um material didaacutetico de qualidade A escolha dos livros de 1 a 6 eacute justicada pelo
fato de que a maioria desses autores estaacute ou jaacute esteve presente de forma maccedilante nas
escolas puacuteblicas e particulares brasileiras
A anaacutelise realizada nos livros consiste numa investigaccedilatildeo especiacuteca e minuciosa
em busca de pontos (conteuacutedos) que faccedilam menccedilatildeo as noccedilotildees elementares e intuitivas do
Caacutelculo (limite derivada e integral)
Dentre todos os livros analisados destaca-se o livro do DANTE (1) como o
mais completo em todos os aspectos (deniccedilotildees mais rigorosas maior nuacutemero de de-
monstraccedilotildees conteuacutedo contextualizada e interdisciplinar etc) poreacutem eacute vaacutelido ressal-
tar que a linguagem adotada natildeo eacute tatildeo simples assim como os exerciacutecios propostos
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 38
possuem grau de diculdade mais acentuado Aleacutem disso consiste no material didaacute-
tico que mais se aproxima do propoacutesito desse trabalho ou seja de explicar eou jus-
ticar os fatosconteuacutedosteoremas com argumentos satisfatoacuterios e com ideias intuiti-
vasinterdisciplinascontextualizadasconstrutivas sem receio de abordar toacutepicos relativos
ao Caacutelculo Diferencial e Integral
No livro (1) volume 1 a presenccedila das noccedilotildees intuitivas de limite pode ser
vericada no estudo de diacutezimas perioacutedicas na apresentaccedilatildeo do nuacutemero irracional e no
estudo do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica na soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita e no caacutelculo da aacuterea do ciacuterculo Tambeacutem eacute notaacutevel a presenccedila das noccedilotildees de
derivada ao trabalhar com taxa de variaccedilatildeo da funccedilatildeo quadraacutetica e consequente aplicaccedilatildeo
no Movimento Uniformemente Variado (MUV) Nesse iacutenterim tambeacutem ocorre menccedilatildeo
elementar do estudo de integral via aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau No
volume 2 da referida da obra a ideia de limite estaacute presente no estudo da aacuterea da superfiacutecie
esfeacuterica Jaacute no volume 3 haacute um estudo completo das noccedilotildees elementares de derivada via
razatildeo incremental e via aplicaccedilotildees em problemas da Fiacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que tais
noccedilotildees motivaram algumas atividades presentes na sequecircncia didaacutetica a ser apresentada
nesse trabalho O manual do professor embora seja pedagoacutegico com excelentes dicas
de atividades utilizando diversas metodologias recursos didaacuteticos softwares educacionais
e sugestotildees de revistas livros e lmes atrelados ao ensino de matemaacutetica natildeo possui
formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo alguma que oriente o professor a trabalhar com ideias correlatas do
Caacutelculo
O volume 1 do livro (2) haacute apenas uma citaccedilatildeo direta das ideias de limite
ao introduzir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita Jaacute no volume
(2) uma citaccedilatildeo indireta das noccedilotildees elementares de limite ao explicar a aacuterea do ciacuterculo
Quanto ao volume 3 natildeo haacute menccedilatildeo alguma das noccedilotildees elementares do Caacutelculo A
propoacutesito o manual destinado aos professores como suporte de preparaccedilatildeo para suas
aulas natildeo apresenta toacutepicos do Caacutelculo e haacute diversos pontos de erros conceituais
A partir da avaliaccedilatildeo do volume 1 do livro (3) foi possiacutevel vericar que haacute
somente um breve comentaacuterio no estudo de soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
das noccedilotildees de limite E mais natildeo existe citaccedilatildeo no volume 2 e no volume 3 temos
apenas um comentaacuterio ao calcular a aacuterea da superfiacutecie da esfera O guia pedagoacutegico natildeo
menciona elementos do caacutelculo embora promova inuacutemeras situaccedilotildees em que o emprego
das noccedilotildees de caacutelculo poderia se explorada de maneira luacutedica criativa interdisciplinar e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 39
contextualizada
No livro (4) volume 1 tambeacutem existe uma abordagem de limite no estudo de
soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Enquanto no volume 2 haacute um preluacutedio
das ideias de limite atreladas as noccedilotildees de integral quando aborda a aacuterea do ciacuterculo e
quando explora a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica Em relaccedilatildeo ao volume 3 natildeo haacute citaccedilotildees
intuitivas de limite derivada e integral Embora a quantidade de abordagens de ideias
correlatas do Caacutelculo seja piacutea o manual pedagoacutegico estaacute coberto de estrateacutegias inovado-
ras que podem ser exploradas e incrementadas de noccedilotildees de limite deriva ou ateacute mesmo
integral
Tambeacutem no volume 1 do livro (5) foi possiacutevel constatar que as ideias de limite
estatildeo sendo difundidas ao inserir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Jaacute no
volume 2 da referida obra o autor faz referencia as noccedilotildees de limite e de integral ao provar
o volume da esfera Enquanto o volume 3 apresenta um estudo das noccedilotildees elementares de
limite e de derivadas assim como suas propriedades e aplicaccedilotildees Embora haja capiacutetulos
especiacutecos que abordam toacutepicos do Caacutelculo de maneira simploacuteria e pouco signicativa
o manual pedagoacutegico do professor mostrou-se deciente quanto ao direcionamento do
trabalho para incitar as ideias correlatas do Caacutelculo Eacute bom salientar que a obra analisada
eacute a coleccedilatildeo de trecircs volumes mais antiga anterior a mudanccedila do novo ENEM e talvez isso
seja uma justicativa para o emprego de limite e derivadas em detrimento ao modelo
padronizado dos livros publicados de 2009 em diante que supervalorizam as atividades em
favor de situaccedilotildees problema tipo ENEM
Enm o livro (6) volume 1 da Coleccedilatildeo Professor de Matemaacutetica (SBM) des-
tinada a professores que atual no ensino meacutedio apresenta citaccedilotildees das noccedilotildees intuitivas
de limite e de derivadas com excesso de rigor e abstraccedilatildeo ao estudar a continuidade da
funccedilatildeo proporcionalidade via limite de uma sequencia e ao estudar de forma interdisci-
plinar o MUV via razatildeo incremental (noccedilatildeo intuitiva de derivada) Tambeacutem haacute citaccedilatildeo
das ideias de derivadas ao citar ao estudar as funccedilotildees polinomiais via meacutetodo de Newton
e ainda haacute citaccedilatildeo das noccedilotildees de limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas
via justicativa do comportamento de graacutecos e estabelecimento no nuacutemero de Euler Jaacute
no volume 2 da referida coleccedilatildeo haacute citaccedilatildeo de limite durante o estudo de soma dos termos
de uma progressatildeo geomeacutetrica innita e menccedilatildeo intuitiva de integral ao propor o volume
de corpos redondos (cilindros cones e esferas) E nalmente no volume 3 ocorre uma
menccedilatildeo ao estudo derivada via equaccedilotildees algeacutebricas Eacute vaacutelido ressaltar que natildeo haacute guia de
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 40
orientaccedilatildeo para os professores pois o proacuteprio livro trata-se de uma guia de reexatildeo criacutetica
em relaccedilatildeo agrave abordagem precaacuteria de matemaacutetica encontrada nos principais livros didaacuteticos
do paiacutes O niacutevel dos exerciacutecios dos trecircs volumes eacute de grau elevadiacutessimo e os idealizadores
do referido material satildeo professores do Instituto de Matemaacutetica Pura e Aplicada (IMPA
RJ) o que certamente explica a fundamentaccedilatildeo precisa a preocupaccedilatildeo com o rigor da
linguagem e o grau de abstraccedilatildeo existentes nas proposiccedilotildees demonstraccedilotildees aplicaccedilotildees e
exerciacutecios dos livros em questatildeo
Assim foi possiacutevel avaliar que todos os livros analisados exibiram as noccedilotildees
elementares do Caacutelculo somente durante o estudo da soma dos termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita e em alguns casos de caacutelculo da aacuterea de ciacuterculos aacuterea supercial e
volume de uma esfera Apenas os livros (1) e (5) possuem apresentaccedilatildeo de elementos do
Caacutelculo de maneira sistecircmica e conceitual poreacutem a metodologia natildeo eacute conveniente e a
linguagem empregada estaacute distante da realidade da educaccedilatildeo puacuteblica da rede estadual do
Espiacuterito Santo Essas consideraccedilotildees reetem o caraacuteter defendido nos PCNEM [21] que
natildeo fazem menccedilatildeo a necessidade de repassar aos alunos elementos essenciais do Caacutelculo e
no curriacuteculo baacutesico estadual que apresenta excesso de conteuacutedo e ausecircnciadeciecircncia de
atividades que estimulem a modelagem matemaacutetica e o estudo dirigido de noccedilotildees intuitivas
de limite derivada e integral
A partir da anaacutelise dispostos de forma tabular a seguir eacute possiacutevel inferir de ma-
neira resumida e simplicada as conclusotildees obtidas a partir da anaacutelise dos livros didaacuteticos
investigados e numerados de 1 a 6
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 41
Tabela 51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos
LIVROS DIDAacuteTICOS ANALISADOS
DANTE PAIVA JOAMIR IEZZI GIOVAN SBM
CONCLUSOtildeES IMEDIATAS 1 2 3 4 5 6
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de limite
SIM SIM SIM SIM SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de derivada
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de integral
SIM NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO NAtildeO
No manual pedagoacutegico do profes-
sor existe orientaccedilatildeo sobre a in-
serccedilatildeo de noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NPM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira contextua-
lizada intuitiva e construtiva
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira interdisci-
plinar
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Dedicam capiacutetulos exclusivos
para as noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO
Haacute exerciacutecios de xaccedilatildeo que ex-
ploram de modo investigativo as
noccedilotildees de Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Haacute alguma atividade de explo-
raccedilatildeo das noccedilotildees de Caacutelculo via
software de geometria dinacircmica
ou planilha eletrocircnica
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO
NPM = NAtildeO POSSUI MANUAL
42
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS
PROFESSORES
De acordo com a anaacutelise dos dados coletados eacute possiacutevel constatar que a maio-
ria dos professores atuantes no niacutevel baacutesico da educaccedilatildeo estaacute negligenciando o ensino das
noccedilotildees intuitivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo em detrimento ao cumprimento
do curriacuteculo preacute-estabelecido pela rede a qual trabalham eou em virtude de direciona-
mento de trabalho visando melhores resultados na prova do Programa de Avaliaccedilatildeo da
Educaccedilatildeo Baacutesica do Espiacuterito Santo (PAEBES) e ENEM Isso se justica por inuacutemeros
fatores formaccedilatildeo deciente durante a graduaccedilatildeo baixo niacutevel de aprendizagem dos alunos
(deacutecit herdado de um Ensino Fundamental tradicional arcaico obsoleto e negligente)
inexistecircncia de material didaacutetico de orientaccedilatildeo especiacuteca ausecircncia de participaccedilatildeo do
tema em estudo no curriacuteculo baacutesico norteador e inexistecircncia de cursos de capacitaccedilatildeo
para aprimorarem seus conhecimentos
Segundo a opiniatildeo geral dos professores que responderam os questionaacuterios os
cursos de licenciaturas em Matemaacutetica poderiam explorar de maneira mais diversicada as
ideias correlatas do Caacutelculo Eacute consensual que a maioria dos professores mestredoutores
das universidades federais poderia aprimorar sua didaacutetica com o intuito de melhorar a
exposiccedilatildeoapresentaccedilatildeo de determinados conteuacutedos e aleacutem disso sugeriram que a apre-
sentaccedilatildeo de conteuacutedos correlacionados ao Caacutelculo seja realizada por meio de estrateacutegias
diferenciadas (recursos didaacuteticos e modelagem matemaacutetica) Isso pode contribuir de ma-
neira signicativa para melhorar os niacuteveis de aprendizagem durante a fase de graduaccedilatildeo
e ao mesmo tempo servir de estiacutemulo para estudos posteriores Eacute certo que a realidade
vem melhorandoultimamente devido exigecircncias impostas pelas poliacuteticas governamen-
tais em melhorar os altos e absurdos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo I mas
em contrapartida os setores responsaacuteveis pela validaccedilatildeo de complementaccedilotildees (licenciatu-
ras curtas) e alguns cursos de Licenciatura a distacircncia sejam mais rigorosos ao avaliar
o conceito dessas graduaccedilotildees para que a formaccedilatildeo desses professores seja qualidade ex-
celente ao ponto de acumular bagagem de estaacutegio e conhecimento especiacuteco suciente
para explorar ao maacuteximo a capacidade de seus alunos A realidade vivenciada nos editais
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 43
de contrataccedilatildeo de professores de designaccedilatildeo temporaacuteria seja da secretaria de educaccedilatildeo
municipal ou estadual do Espiacuterito Santo aparenta nos remeter a ideia de que o tiacutetulo
eacute mais importante do que o conteuacutedo o objeto de estudo analisado Esse dado eacute um
fator que contribui indiretamente para a reduccedilatildeo da procura de alunos para as licencia-
turas na UFES e IFES Por exemplo o curso de Matemaacutetica no processo seletivo 1 UFES
20132014 ofereceu 50 vagas das quais apenas 27 alunos conseguiram obter notas que os
capacitassem para prosseguir o curso
Aqueles professores que relataram citaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
em pontos especiacutecos do Ensino Meacutedio informaram que fazem apenas uma abordagem
supercial sem embasamento teoacuterico com pouca mobilidade metodoloacutegica e sem respaldo
curricular Tambeacutem relataram que os poucos cursos de capacitaccedilatildeo que existem ocorrem
em horaacuterios e dias natildeo convenientes (recesso eou feacuterias nais de semana etc) Quanto ao
respaldo curricular os professores argumentaram que os PCNEM natildeo apresentam menccedilatildeo
alguma agrave introduccedilatildeo das ideias intuitivas do Caacutelculo E caso houvesse uma mudanccedila nesse
documento haveria necessidade de curso de formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo com material didaacutetico
autoexplicativo e focado na realidade da educaccedilatildeo baacutesica dado que os referidos docentes
natildeo fazem ideia de como realizar a introduccedilatildeo de tais conceitos no modelo educacional
vigente
Os docentes tambeacutem nos disseram que caso fossem questionados sobre algum
ponto que requeresse citaccedilatildeo de noccedilotildees elementares do Caacutelculo a priori deixariam a
discussatildeo de forma particular com o aluno que promoveu a pergunta ou entatildeo daria uma
desculpa qualquer de que tais noccedilotildees seratildeo discutidas posteriormente no Ensino Superior
somente para os privilegiados que estudaratildeo a disciplina de Caacutelculo
Os dados da pesquisa servem para uma reexatildeo sobre a situaccedilatildeo do ensino de
matemaacutetica embora o espaccedilo amostral esteja concentrado nas escolas da Grande Vitoacuteria
pode ser que esteja dissipada ao redor do estado Isso pode ser um obstaacuteculo agrave inser-
ccedilatildeo de elementos intuitivos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio pois eacute um tema bastante
discutiacutevel e natildeo dispomos de um modelo de educaccedilatildeo pronto que resolva os problemas men-
1Observaccedilatildeo o processo seletivo da UFES para o curso de Matemaacutetica eacute diferente dos demais pois o
aluno eacute preacute-aprovado para a 2a etapa e em seguida deve cursar durante o proacuteximo semestre duas disciplinas
Matemaacutetica Baacutesica I e II com a prerrogativa de obter rendimento miacutenimo de meacutedia nal de 50 pontos
em cada disciplina caso contraacuterio o aluno natildeo estaacute apto para prosseguir no curso de Matemaacutetica e o
mesmo eacute eliminado do certame
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 44
cionados Talvez tal negligecircncia tenha como consequecircncia agravante rendimentos piacuteos
por parte da maioria dos estudantes evasatildeo universitaacuteria e fuga aos cursos que requerem
conhecimento preacutevio de Caacutelculo poreacutem o universo estatiacutestico analisado natildeo eacute suciente
para tal conclusatildeo mas sim para uma reexatildeo As propostas a seguir tecircm a pretensatildeo
de preencher as lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos quanto ao repasse de noccedilotildees ele-
mentares de limite derivada e integral durante a educaccedilatildeo baacutesica Assim como promover
uma orientaccedilatildeo para os professores da educaccedilatildeo baacutesica por intermeacutedio de atividades praacute-
ticas construtivas contextualizadas e interdisciplinares Eacute vaacutelido ressaltar que o referido
trabalho jaacute eacute realizado em determinados estados brasileiros (Satildeo Paulo Minas Gerais
Rio Grande do Sul e Paranaacute) e aleacutem disso na Franccedila Portugal e Espanha o Caacutelculo
Diferencial e Integral eacute conteuacutedo do curriacuteculo miacutenimo comum obrigatoacuterio na educaccedilatildeo baacute-
sica Nos estados brasileiros que fazem referecircncia as noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio
a inclusatildeo do tema eacute inserida de maneira indireta transversal e interdisciplinar de acordo
com as duacutevidas e o grau de abstraccedilatildeo que o assunto requer A implementaccedilatildeo de nossa
proposta eacute uma tentativa de reduzir o grande abismo entre a educaccedilatildeo baacutesica e o ensino
superior Aleacutem disso pretendemos contribuir para o aumento da procura por cursos de
exatas nos vestibulares para a consideraacutevel melhora no rendimento universitaacuterio dos alu-
nos que cursavam disciplinas de Caacutelculo e para a promoccedilatildeo de um ensinoaprendizagem
mais signicativo concreto interdisciplinar contextualizado e motivador
Embora as noccedilotildees de limite derivada e integral natildeo estejam presentes de forma
direta e obrigatoacuteria no curriacuteculo miacutenimo de conteuacutedos do Ensino Meacutedio no curriacuteculo
escolar paulista (2011) haacute uma argumentaccedilatildeo excelente de defesa do ensino de noccedilotildees de
Caacutelculo na 3a etapa da educaccedilatildeo baacutesica na qual os autores trabalham com a ideia de que
havendo uma boa razatildeo para fazer algo sempre seraacute possiacutevel arquitetar uma maneira de
fazecirc-lo (quem tem um porque arruma um como) Por exemplo haacute uma orientaccedilatildeo
de trabalhar com uma escala de aprofundamento adequada ao grau de conhecimento
do aluno em questatildeo toacutepicos do Caacutelculo Diferencial por meio da anaacutelise de problemas
cotidianos (presentes em jornais e revistas) que medem a rapidez com que uma grandeza
cresce ou decresce em relaccedilatildeo agrave outra (o que futuramente aprenderatildeo como derivada)
Aleacutem disso orientam que o trabalho com o Caacutelculo Integral deve ser ealizado a partir de
uma aproximaccedilatildeo de uma grandeza variaacutevel por uma seacuterie de valores constantes (como se
fosse constante em pequenos intervalos)
45
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA
Com o intuito de realizar o resgate do repasse das noccedilotildees elementares do
Caacutelculo o presente trabalho estaraacute repleto de atividades que de forma direta eou indireta
citaratildeo as ideias intuitivas de limite de derivada e de integral
De fato haacute uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular durante o Ensino Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees
elementares do Caacutelculo e em caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite De fato haacute
uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em particular durante o Ensino
Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees elementares do Caacutelculo e em
caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite Aleacutem disso os dados das pesquisas realiza-
das revelaram agraves diculdades que muitos professores possuemteriam para expor o tema
tambeacutem foi visto que haacute mais pontos favoraacuteveis que desvantajosos em propor o resgate
da inserccedilatildeo de tais conceitos durante o Ensino Meacutedio e para nalizar foram constatadas
as deciecircncias existentes nas diversas literaturas disponiacuteveis
Assim a principal meta desse trabalho consiste em propor situaccedilotildees praacuteticas
em que haacute a necessidade de empregar e justicar o ensino das noccedilotildees intuitivas de limite e
ideias correlatas do Caacutelculo na educaccedilatildeo baacutesica em especial durante o Ensino Meacutedio Com
o intuito de ajudar colegas de prossatildeo tentamos propor abordagens do ensino das noccedilotildees
intuitivas de limite de derivada e de integral por meio de softwares de geometria dinacircmica
e planilhas eletrocircnicas de maneira que tais conceitos sejam introduzidos passo a passo
(algo bem construtivo) Pretendemos gerar um ambiente de reexatildeo sobre a importacircncia
de justicar determinados toacutepicos da matemaacutetica elementar com maior precisatildeo e aleacutem
disso fornecer subsiacutedios garantidos por lei para continuidade de estudos posteriores A
resoluccedilatildeo de cada situaccedilatildeo problema seraacute feita sempre que possiacutevel a partir dos meacutetodos
propostos por POLYA (1995) [28] os quais podem ser expressos em quatro passos
1 Compreender o problema Nesse 1o passo eacute importante fazer perguntas identicar
qual eacute a incoacutegnita do problemavericar quais satildeo os dados e quais satildeo as condiccedilotildees
entre outros
2 Construccedilatildeo de uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo Nesse 2o passo devemos encontrar as
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
conexotildees entre os dados e a incoacutegnita caso seja necessaacuterio considerando problemas
auxiliares ou particulares
3 Execuccedilatildeo da estrateacutegia Frequumlentemente o 3o passo eacute considerado o mais faacutecil do
processo de resoluccedilatildeo de um problema Contudo a maioria dos principiantes tende
a pular esta etapa prematuramente e acabam se dando mal
4 Revisatildeo da soluccedilatildeo O 4o passo consiste numa anaacutelise minuciosa da soluccedilatildeo obtida
em que eacute feita a vericaccedilatildeo dos resultados dos argumentos utilizados e da escrita
matemaacutetica aleacutem de ser uma etapa excelente para oportunizar uma reexatildeo sobre
a possibilidade de uma resoluccedilatildeo de modo diferente
Nesse iacutenterim eacute necessaacuterio ter uma preocupaccedilatildeo contiacutenua em realizar uma boa
interpretaccedilatildeo dos exerciacutecios seguida de uma atenciosa coleta de dados chegando ao ponto
de encontrar a melhor estrateacutegia para solucionar a questatildeo e apoacutes aplicar a melhor teacutecnica
(ou a mais conveniente) de resoluccedilatildeo nalizar a atividade por meio de uma revisatildeo da
soluccedilatildeo realizada com ecircnfase e detalhamento de valores obtidos assim como o estudo do
signicado semacircntico algeacutebrico ou geomeacutetrico eacute uma teacutecnica excelente e sugerimos que
se torne praacutetica diaacuteria de professores e alunos
MACHADO (2008) [19] professor e autor de livros de matemaacutetica elemen-
tarsuperior arma em seu artigo Caacutelculo Diferencial e Integral na Educaccedilatildeo Baacutesica
que a presenccedila das ideias baacutesicas do Caacutelculo eacute inserida em no dia-a-dia a partir do mo-
mento em que haacute o estudo analiacutetico do comportamento de grandezas variando com o
tempo Note o relato de MACHADO (2008 p1)
Eacute do diaacutelogo entre a permanecircncia e a variaccedilatildeo juntamente com a buscade uma forma de caracterizaccedilatildeo da rapidez com que uma grandeza variacom outra que nascem as duas ideias fundamentais do Caacutelculo a integrale a derivada (MACHADO 2008 [19] p1)
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO
FUNDAMENTAL
Embora contrarie as expectativas da maioria dos professores de matemaacutetica
atuantes nessa etapa da educaccedilatildeo baacutesica eacute possiacutevel inserir ideias fundamentais e construti-
vas de limite em diversos pontos do ensino fundamental poreacutem haacute trecircs ocasiotildees especiacutecas
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 47
em que o emprego das noccedilotildees intuitivas de limite faz-se necessaacuterio para completar o en-
tendimento e maximizar o ensinoaprendizagem dos alunos no estudo da representaccedilatildeo
decimal das diacutezimas perioacutedicas no estudo da demonstraccedilatildeo completa do Teorema de Ta-
les e no estudo de aacuterea de aacutereas de guras planas em particular a partir da aacuterea de um
retacircngulo
711 Diacutezimas Perioacutedicas
Em geral as diacutezimas perioacutedicas satildeo introduzidas a partir do 7o ano durante
o estudo da representaccedilatildeo decimal dos nuacutemeros racionais Um nuacutemero racional pode ser
representado por um nuacutemero decimal exato (diacutezima exata) que possui um nuacutemero nito
de casas agrave direita da viacutergula ou por um nuacutemero decimal innito e perioacutedico (diacutezima
perioacutedica) que possui um nuacutemero innito de casas agrave direita da viacutergula Em outras
palavras uma diacutezima perioacutedica eacute uma representaccedilatildeo numeacuterica em que haacute uma sequecircncia
nita de algarismos que se repetem indenidamente
Por deniccedilatildeo os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados
por uma fraccedilatildeo isto eacute nuacutemeros da forma pq com p e q nuacutemeros inteiros e q 6= 0 As
fraccedilotildees que geram diacutezimas perioacutedicas satildeo denominadas de fraccedilotildees geratrizes
Para transformar uma fraccedilatildeo (ab)cujo denominador apresente apenas fatores
2 ou 5 em um nuacutemero decimal pode-se aplicar o seguinte meacutetodo Considere b = 2x middot 5y
com x lt y Em seguida multiplique tanto o numerador quanto o denominador por 2yminusx
isto eacutea
b=
a middot 2yminusx
2x middot 5y middot 2yminusx=a middot 2yminusx
2y5y= a middot 2yminusx10minusy
Isso eacute equivalente a calcular o nuacutemero a middot 2yminusx e escrevecirc-lo apoacutes as x casas decimais apoacutes
a viacutergula Note que o caso x gt y eacute anaacutelogo ao anterior poreacutem o fator multiplicativo seraacute
5yminusx Por exemplo
7
20=
7
22 middot 5=
7 middot 52minus1
22 middot 5 middot 52minus1=
35
100= 0 35
A aplicaccedilatildeo desse procedimento para denominadores particulares que produ-
zem fraccedilotildees decimais nem sempre produz um nuacutemero nito de casas apoacutes a viacutergula Um
exemplo simploacuterio seria a tentativa de escrever a representaccedilatildeo decimal da fraccedilatildeo geratriz13 Note que
1
3=
1 middot 103 middot 10
=1
1010
3=
1
103 middot 3 + 1
3=
1
10(3 +
1
3) =
3
10+
1
101
3= 0 3 +
1
101
3
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 48
Repetindo o processo tem-se
1
3= 0 3 +
1
101
3= 0 3 +
1
10(0 3 +
1
101
3) = 0 3 + 0 03 +
1
1001
3
Observe que novamente apareceu a fraccedilatildeo original um terccedilo e eacute evidente que o
mesmo aconteceraacute nas proacuteximas iteraccedilotildees Isto signica que para a representaccedilatildeo decimal
de um terccedilo eacute necessaacuterio innitas casas decimais agrave direita da viacutergula Assim concluiacute-se
que1
3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()
Note que eacute importante que o professor interra com questionamentos sobre a
regularidade dos elementos que surgem nessa soma e com a solicitaccedilatildeo do Caacutelculo para um
nuacutemero particular de parcelas dessa soma A nalidade dessa tarefa eacute mostrar ao aluno
que um terccedilo eacute igual a uma soma de innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica cujo
primeiro termo eacute a1 = 0 3 e cuja razatildeo q = 0 1 (seacuterie convergente) Para calcular essa
soma eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees intuitivas de limite e isso seraacute realizado posterior-
mente nesse trabalho Note ainda que ao multiplicar a ambos os membros pelo nuacutemero
3 tem-se
3 middot 13= 3 middot 0 333rArr 1 = 0 999 = 0 9
Para que os alunos familiarizem-se com o procedimento anterior que utiliza a
ideia de innito de processo indenido proponha atividade de requeiram a determinaccedilatildeo
da representaccedilatildeo decimal por exemplo para as fraccedilotildees 311
e 17 Note que o grau de
diculdade aumenta e aguccedila a curiosidade do aluno Veja o resultado para a fraccedilatildeo
3
11=
3 middot 1011 middot 10
=1
1030
11=
1
10(2 middot 11 + 8
11) =
1
10(2 +
8
11) =
2
10+
1
108
11
Natildeo apareceu explicitamente a fraccedilatildeo 311
na primeira iteraccedilatildeo poreacutem na se-
gunda etapa tem-se 311
= 3middot1011middot10 = 1
103011
= 110(2middot11+8
11) = 1
10(2 + 8
11) = 2
10+ 1
10 811
=
0 2 + 110 80110
= 0 2 + 1100(7middot11+3
11) = 0 2 + 0 07 + 1
100 311
= 0 27 + 1100 311
Ou seja 311
= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1
100middot 311) = middot middot middot = 0 272727 = 0 27
Espera-se com essas atividades que os estudantes consigam assimilar o caraacuteter
perioacutedico e innito das diacutezimas
Em geral uma diacutezima perioacutedica simples de periacuteodo k eacute um nuacutemero que possui
expansatildeo decimal do seguinte modo a b1b2b3bk = a b1b2b3bk E toda diacutezima perioacutedica
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 49
representa um nuacutemero racional isto eacute possui representaccedilatildeo fracionaacuteria dada por
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk
Considere que
r = 0 b1b2b3bk
Daiacute segue que
10r middot r = 10r middot (0 b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr (10r minus 1)r = b1b2b3bk
rArr r =b1b2b3b410k minus 1
=b1b2b3bk9999
Logo tem-se
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk = a+ b1b2b3bk
999 middot middot middot 9︸ ︷︷ ︸k repeticcedilotildees de 9
Exemplo motivacional Determine a fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 5 777 middot middot middot
1o modo Desenvolvendo raciociacutenio similar a demonstraccedilatildeo
r = 5 777
rArr 10r = 57 777
rArr 10r minus r = 57 777minus r
rArr 9r = 52
rArr r =52
9
2o modo Aplicando o algoritmo demonstrado
5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7
9=
52
9
A reciacuteproca da demonstraccedilatildeo acima tambeacutem eacute verdadeira ou seja todo nuacutemero
racional eacute representado por uma diacutezima perioacutedica A demonstraccedilatildeo desse fato eacute obtida
por intermeacutedio do algoritmo de divisatildeo de Euclides
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 50
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Considere a proposiccedilatildeo a seguir proposta por um rico comerciante Tales da
cidade grega de Mileto por volta do V aC conhecida como Teorema de Tales um conjunto
de retas paralelas entre si (feixe de paralelas) cortado por duas transversais (r e s) forma
sobre elas segmentos correspondentes proporcionais isto eacute a razatildeo entre dois segmentos
quaisquer determinados pelo feixe sobre a reta r por exemplo AB e CD eacute igual agrave razatildeo
de seus correspondentes sobre a reta s AprimeBprime e C primeDprime ou seja
AB
CD=AprimeBprime
C primeDprime
A demonstraccedilatildeo desse teorema em geral natildeo eacute realizada nos livros didaacuteticos
do Ensino Fundamental Jaacute nos livros de Ensino Meacutedio eacute apenas apresentada uma parte
da validade para segmentos comensuraacuteveis Diante desse fato consumado eis que surge o
questionamento Por que os livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio natildeo apresentam a demons-
traccedilatildeo para segmentos natildeo comensuraacuteveis
A explicaccedilatildeo para a omissatildeo da segunda parte da prova pode ser justicada
pelo fato de que a manipulaccedilatildeo com nuacutemeros irracionais requer emprego de completude
dos nuacutemeros reais e com certeza o grau de abstraccedilatildeo necessaacuterio pode estar aleacutem das
possibilidades de entendimento do aluno E mais eacute necessaacuterio utilizar noccedilotildees intuitivas
de limite para completar o raciociacutenio
A seguir eacute apresentada de forma completa a demonstraccedilatildeo do Teorema de
Tales
1a parte da demonstraccedilatildeo Sejam r s t e z retas paralelas e a e b retas
transversais
Suponha que AB e CD sejam comensuraacuteveis e que exista um segmento u
(unidade de medida comum entre os segmentos AB e CD) tal que AB = mu e CD = nu
(mn isin N ) isto eacute o segmento u cabe m vezes dentro de AB assim como cabe n vezes
no segmento CD
Logo a razatildeo ABCD
= munu
= mn(I)
Agora pelos pontos que dividem AB e CD em m e n partes congruentes
ao segmento de medida u trace retas paralelas ao feixe com o intuito de subdividir os
segmentos AprimeBprime e C primeDprime em m e n partes iguais a w A partir dessa consideraccedilatildeo tem-se
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 51
a razatildeo AprimeBprime
CprimeDprime =mwnw
= mn(II)
Figura 71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte DANTE [9] 2010 vol1 p 404
Daiacute concluiacute-se a partir das relaccedilotildees (I) e (II) que ABCD
= AprimeBprime
CprimeDprime conforme
queriacuteamos demonstrar
2a parte da demonstraccedilatildeo Sejam a1 i e j retas paralelas e r e s retas trans-
versais
Figura 72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte GeoGebra
Suponha agora que os segmentos AB e BC sejam incomensuraacuteveis Por co-
modidade suponha que AB seja menor do que BC (caso contraacuterio o raciociacutenio seraacute
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 52
desenvolvido a partir de BC) e divida AB em m partes congruentes com o segmento
u = 1mAB Como u lt AB (dado que a parte eacute menor do que o todo) e como AB lt BC
entatildeo u lt BC
Figura 73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis
Fonte GeoGebra
Pela propriedade Arquimediana (dadas duas magnitudes quaisquer de mesma
natureza a e b existe sempre um nuacutemero inteiro n tal que na gt b) existe um nuacutemero
inteiro n tal que mu gt BC Existindo um nuacutemero com essa propriedade existiraacute uma
innidade porque Nu tambeacutem seraacute maior do que BC para qualquer N gt n Nesse iacutente-
rim pode-se considerar que n eacute o menor dos nuacutemeros inteiros para os quais mu gt BC
Assim sendo (nminus 1)u deveraacute ser menor do que BC ou seja (nminus 1)u lt BC lt nu Como
mu = AB segue que nminus1m
lt BCAB
lt nm Em outras palavras a relaccedilatildeo entre os incomensu-
raacuteveis BC e AB estaacute compreendida entre os racionais nminus1m
e nm Pelas extremidades dos m
segmentos em que AB foi dividido traccedilando-se paralelas ao feixe o segmento DE caraacute
dividido em m partes congruentes com o segmento w = 1mDE ou seja DE = mw Pelas
extremidades dos n segmentos congruentes com u sobre o segmento BC trace as paralelas
ao feixe Sobre a reta s caratildeo determinados n segmentos congruentes a w Denomine
de Kn e Kn+1 as extremidades dos segmentos a partir de C formados respectivamente
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 53
por (nminus 1) e n segmentos congruentes a u Sejam K primen e Kprimen+1 seus correspondentes sobre
a reta s
Observe a situaccedilatildeo descrita geometricamente na gura a seguir
Figura 74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso)
Fonte GeoGebra
Note a partir da gura anterior que C estaacute entre Kn e Kn+1 Agora resta
mostrar que seu correspondente (F ) estaacute entre K primen e K primen+1 Eacute notoacuterio que F natildeo pode
coincidir com K primen ou K primen+1 pois nesses casos DE e EF seriam comensuraacuteveis e por con-
sequecircncia AB e BC tambeacutem seriam o que contrariaria a hipoacutetese imposta O ponto F
correspondente de C natildeo pode estar entre E e K primen pois nesse caso Kn e K primen estariam em
semiplanos opostos em relaccedilatildeo agrave reta KnKprimen de tal modo que a reta Kn+1K
primen+1 cruzaria
a reta KnKprimen o que eacute um absurdo pois ambas satildeo paralelas Com raciociacutenio anaacutelogo
descarta-se a possibilidade de K primen+1 estar entre E e F Logo (nminus1)w lt EF lt nw Como
DE = mw entatildeo nminus1m
lt EFDE
lt nm O que acabou de ser mostrado prova que AB e BC
sobre a reta r satildeo incomensuraacuteveis e a relaccedilatildeo entre eles estaacute entre nminus1m
e nm os segmentos
DE e EF sobre s tambeacutem satildeo incomensuraacuteveis e sua relaccedilatildeo estaacute entre aqueles dois raci-
onais Assim nesse iacutenterim denomina-se nminus1m
e nm respectivamente de aproximaccedilotildees por
falta e por excesso das relaccedilotildees BCAB
e EFDE
Note que a diferenccedila entre tais aproximaccedilotildees eacute1me pode ser feita tatildeo pequena quanto se queira Em outras palavras BC
ABe EFDE
podem
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 54
ser espremidas entre dois nuacutemeros racionais tatildeo proacuteximos quanto se queira ateacute chegar ao
aacutepice intuitivo de que tais razotildees satildeo iguais Para completar a demonstraccedilatildeo eacute necessaacuterio
mostrar que tanto o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por falta natildeo tem maacuteximo como
o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por excesso natildeo tem miacutenimo Essa demonstraccedilatildeo
pode ser encontrada com maior riqueza de detalhes em GARBI (2010 p115) [29]
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas
Em geral o estudo de aacutereas eacute posterior ao estudo de congruecircncia e semelhanccedila
de triacircngulos Embora seja comum nos livros didaacuteticos apresentar o estudo de aacutereas
assim como suas propriedades no nal do curso de Geometria em WAGNER (1992) [31]
haacute antecipaccedilatildeo da inserccedilatildeo das noccedilotildees de aacutereas
Uma das vantagens de realizar tal inversatildeo na apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos
consiste no fato de evitar a anaacutelise da comensurabilidade dos segmentos em questatildeo
A seguir seraacute exposta a demonstraccedilatildeo via aacutereas
Sejam Bprime e C prime os pontos dos lados AB e ABprime respectivamente do triacircngulo
ABC conforme ilustra a gura a seguir
Figura 75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos
Fonte RPM [31] n 21 p7
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 55
Analisando a gura anterior segue que os segmentos BC prime e CBprime satildeo paralelos
ou seja BprimeC primeBC e partir daiacute eacute possiacutevel concluir que os triacircngulos BprimeC primeB e BprimeC primeC
tecircm mesma aacuterea dado que possuem mesma base (BprimeC prime) e alturas relativas a essa base
tambeacutem iguais Acrescentando a esses triacircngulos o triacircngulo ABprimeC prime concluiacutemos que os
triacircngulos ABC prime e ACBprime tambeacutem possuem a mesma aacuterea Portanto segue que
ABprime
AB=S(ABprimeC prime
S(ABC prime)=S(AC primeBprime
S(ACBprime)=AC prime
AC
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo
Os livros didaacuteticos da educaccedilatildeo baacutesica natildeo apresentam o caacutelculo da medida
da aacuterea (S) da regiatildeo retangular de maneira construtiva dinacircmica e com explicaccedilotildees
convincentes de que a superfiacutecie retangular eacute dada pelo produto entre a medida da base
(b) e a medida da altura (h) Os autores optam pela abordagem via repasse da foacutermula
sem o devido cuidado de demonstrar sua validade para todos os nuacutemeros reais isto eacute
S = b middot h
Para demonstrar a validade da referida foacutermula eacute necessaacuterio utilizar um proce-
dimento anaacutelogo ao utilizado na prova completa do Teorema de Tales exibido na atividade
anterior isto eacute primeiro eacute mostrado a validade para nuacutemeros racionais e depois eacute esten-
dida para nuacutemeros irracionais Eacute vaacutelido ressaltar que o foco dessa atividade eacute direcionado
para destacar a necessidade de implementar noccedilotildees intuitivas de limite para concluir a
foacutermula de caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
Considere um retacircngulo de lados m e n nuacutemeros naturais particionado em
m middot n quadrados de lado 1 em que m = 6 e n = 5 Note que o retacircngulo eacute composto por
m middot n = 6 middot 5 = 30 quadrados
Em seguida considere um retacircngulo de lados m1
n1e m2
n2 com (m1m2 n1 n2 isin
N) A partir de n1n2 coacutepias desse novo retacircngulo monta-se um retacircngulo maior de lados
m1 e m2 Adicionando aacutereas iguais concluiacute-se que a aacuterea do retacircngulo dado originalmente
eacute igual a m1middotm2
n1middotn2= m1
n1middot m2
n2
Finalmente toma-se um retacircngulo de lados a e b reais positivos e para k isin N
nuacutemeros racionais xk yk uk vk tais que xk lt a lt yk uk lt b lt vk e yk minus xk uk minus vk lt 1k
Sendo S a aacuterea do retacircngulo de lados a e b um argumento anaacutelogo ao feito para quadrados
garante que S e ab pertencem ambos ao intervalo (ukxk ykvk) e daiacute para todo k isin N
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 56
tem-se
|Aminus ab| lt vkyk minus ukxk
rArr vkyk minus ukxk = (vk minus uk)yk + (yk minus xk)uk lt1
k(yk + uk)
rArr 1
k(yk + uk) =
1
k((yk minus xk) + 2xk + (vk minus uk) + 2uk) lt
1
k(2
k+ 2a+ 2b)
rArr |Aminus ab| lt 1
k(2
k+ 2a+ 2b)
A gura a seguir ilustra o retacircngulo mn em que m = 6 e n = 5
Figura 76 Retacircngulo 6 x 5
Fonte GeoGebra
Note que quanto maior o valor de n as aproximaccedilotildees por falta (xkuk) e por
excesso (vkyk) indicam intuitivamente que a aacuterea do retacircngulo de lados a e b tenderaacute para
S = ab isto eacute
xkuk lt ab lt vkyk
rArr k
nmiddot mnlt
(k + 1)
nmiddot (m+ 1)
n
rArr km(1
n)2 lt ab lt (km+ k +m+ 1)(
1
n)2
rArr 0 lt abminus km(1
n)2 lt (k +m+ 1)(
1
n)2
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
Quanto maior o valor de n (n tendendo ao innito) melhor seraacute a aproximaccedilatildeo
da aacuterea (correspondente agrave soma de todos os retacircngulos de medidas kne m
n) da pretendida
do retacircngulo dada por S = ab
A gura a seguir representa um retacircngulo 100 e 80 em que a base e a altura
respectivamente foram subdivididas em 100(na) e 80(nb) partes com a mesma unidade
de comprimento
Figura 77 Retacircngulo 100 x 80
Fonte GeoGebra
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ES-
TUDO DE FUNCcedilOtildeES
Inicialmente sugere-se a apresentaccedilatildeo de algumas situaccedilotildees problema que
abordam de forma embutida as noccedilotildees intuitivas de limite de forma praacutetica Inclusive
o presente trabalho possui a preocupaccedilatildeo em mostrar aos alunos a simbologia moderna
utilizada em detrimento das expressotildees e locuccedilotildees de tendecircncia Observe
bull a) Se o cacircmbio do doacutelar americano tende a estabilizar em torno de R$ 233 entatildeo o
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 58
valor pago por 100 doacutelares estabiliza em torno de R$ 23300 Logo podemos falar
que o limite (valor pago por 100 doacutelares) eacute igual a R$ 23300 quando o valor pago por
1 doacutelar tende a R$ 233 Pode-se representar tal situaccedilatildeo por limxrarr100
2 33x = 233
bull b) Imagine uma placa metaacutelica quadrada que se expande uniformemente por estar
sendo aquecida Se x representa o comprimento do lado a aacuterea da placa eacute dada
por A(x) = x2 Evidentemente quando x se aproxima de 5 a aacuterea da placa A se
aproxima de 25 Essa situaccedilatildeo pode ser expressa simbolicamente por limxrarr5
x2 = 25
bull c) Suponha agora que vocecirc esteja dirigindo um automoacutevel Se o acelerador for pres-
sionado para baixo em torno de 4 cm entatildeo a velocidade se manteraacute proacutexima aos 120
Kmh Logo podemos dizer que o limite (velocidade instantacircnea do automoacutevel) eacute
igual a 120 Kmh quando o acelerador tender a 4 cm para baixo Matematicamente
escrevemos tal situaccedilatildeo por limxrarr4
v(x) = 120 onde v(x) eacute a velocidade instantacircnea do
automoacutevel e x eacute a medida em centiacutemetros do deslocamento do pedal do acelerador
bull d) Outra aplicaccedilatildeo interessante do limite de uma funccedilatildeo eacute o caacutelculo da velocidade
instantacircnea de um corpo em queda livre sob a accedilatildeo da gravidade dentre outras
inuacutemeras aplicaccedilotildees interdisciplinares disponiacuteveis
Apoacutes apresentar um panorama de aplicaccedilotildees simples faz-se necessaacuterio propor
o repasse das noccedilotildees intuitivas de limite utilizando o estudo de funccedilotildees De acordo com a
estrateacutegia disseminada pelos livros didaacuteticos uma das melhores formas de expor as ideias
de limite via funccedilotildees consiste em observar o comportamento de uma funccedilatildeo dada nas
proximidades de um ponto em sua vizinhanccedila
Vejamos um exemplo praacutetico Exemplo Observe o estudo analiacutetico do compor-
tamento de uma funccedilatildeo f na vizinhanccedila de um ponto Considere a funccedilatildeo f R2 minusrarr R
denida por
f(x) =x2 minus 4
xminus 2=
(x+ 2)(xminus 2)
xminus 2= x+ 2
Estudando o comportamento da referida funccedilatildeo nas proximidades do ponto
x = 2 dado que o mesmo natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada verica-se que
quando aproximamos os valores de x da abscissa x = 2 haacute uma aproximaccedilatildeo abrupta
para a imagem y = f(x) = 4 mesmo que se tome valores agrave esquerda (x lt 2) ou a direita
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 59
(x gt 2) da abscissa x = 2 Tal constataccedilatildeo sob o ponto de vista numeacuterico pode ser
interpretada a seguir via dados tabelados
Tabela 71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2
Aproximaccedilatildeo pela esquerda (x lt 2) Aproximaccedilatildeo pela direita (x gt 2)
x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2
f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4
Nesse momento eacute possiacutevel discutir com os alunos a noccedilatildeo intuitiva de limite
Note que tomando valores na vizinhanccedila de x = 2 o valor da funccedilatildeo permanece nas
proximidades de y = f(x) = 4 Inserindo a linguagem moderna precisa e concisa pode-se
dizer que ao fazer com que os valores de x tendam para a abscissa x = 2 (xrarr 2) os valores
das imagens tenderatildeo para a imagem y = f(x) = 4 (y rarr 4) a qual seraacute denominada de
limite e representada por L = limxrarr2
f(x) = 4 Note que esse limite representa o valor da
funccedilatildeo para x = 2 poreacutem esse valor de x natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada Tal
episoacutedio serve de base para explicar que o conceito de limite independe de a funccedilatildeo estar
denida naquele ponto especiacuteco e mais serve para representar que o limite de uma dada
funccedilatildeo pode natildeo ser o valor da imagem do ponto em que estamos investigando em sua
vizinhanccedila
Embora tal explicaccedilatildeo seja aceitaacutevel eacute bom ser cauteloso ao explicar a situaccedilatildeo
Caso ainda haja duacutevida recomenda-se a construccedilatildeo do graacuteco da referida funccedilatildeo via Geo-
Gebra Nesse software ao inserir no campo entrada as coordenadas do ponto F = (2 f(2))
o programa indicaraacute na janela de Aacutelgebra a informaccedilatildeo de que tal ponto eacute indenido e
quando inserirmos G = (1999 f(1999)) o GeoGebra indicaraacute um ponto praticamente so-
bre o ponto (2 4) o qual eacute o ponto indenido cuja imagem representaraacute o limite da funccedilatildeo
Oportunidade riquiacutessima para mencionar a relaccedilatildeo importacircnciadependecircncialimitaccedilatildeo de
um software no estudo de Matemaacutetica
Para melhor compreensatildeo observe a imagem capturada da tela do GeoGebra
Eacute interessante mencionar que esse fenocircmeno pode ser generalizado de maneira informal
para qualquer funccedilatildeo f(x) denida em um intervalo aberto em torno de x = a exceto
talvez em x = a Se f(x) ca arbitrariamente proacuteximo de L para todos os valores
de x sucientemente proacuteximos de a dizemos que f tem limite L quando x tende para
a e escrevemos limxrarra
f(x) = L Nesse iacutenterim eacute vaacutelido ressaltar que o conceito formal
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 60
utilizando eacutepsilon e delta seraacute visto em um curso especiacuteco de Caacutelculo I E mais haacute
disponiacutevel diversos sites na internet com variados applets (programas desenvolvido via
GeoGebra) com atividades que explicam toacutepicos do estudo de Caacutelculo por exemplo
em BIZELLI (2014) [33] responsaacutevel pelo site do Instituto de Quiacutemica da Universidade
Estadual de Satildeo Paulo (UNESP) em que disponibiliza applets que orientam diversos
assuntos dentre os quais destacamos o estudo da ideia de limite de uma funccedilatildeo que
corresponde a uma contribuiccedilatildeo construtiva para o conhecimento de forma luacutedica concreta
e com possibilidades de inuacutemeras iteraccedilotildees
Figura 78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita
Fonte Imagem capturada de uma janela do GeoGebra
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees
Ao estudar a construccedilatildeo dos graacutecos das principais funccedilotildees estudadas durante
o ensino meacutedio diversos questionamentos satildeo levantados por alunos A principal pergunta
dos alunos consiste em como obter garantias sucientes e esclarecedoras sobre o compor-
tamento das curvas (Quando crescem ou decrescem Quando os eixos ou determinas retas
satildeo consideradas assiacutentotas das curvas em questatildeo Selecionando um intervalo qualquer
presente no 1o quadrante por exemplo o que signica e como se calcula a aacuterea sob o
graacuteco dessa funccedilatildeo) Alguns desses e outros questionamentos satildeo frequentes em sala de
aula e serviram de base para a discussatildeo que seraacute feita a partir desse momento
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 61
Ao representar o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau do 2o grau Exponencial
ou Logariacutetmica geralmente representa-se apenas uma parte da funccedilatildeo a partir de valores
discretos para as abscissas Em seguida traccedilamos o graacuteco de maneira natural de acordo
com a amostragem construiacuteda por exemplo via tabela que relaciona o par (x f(x))
Satildeo raros os professores que abrem a discussatildeo em torno de valores contiacutenuos para a
variaacutevel x Uma estrateacutegia boa para garantir aos alunos que o crescimentoconcavidade
da referida natildeo se altera para algum valor de x e que em alguns casos o crescimento tende
para o innito seria utilizar as ferramentas do Caacutelculo mas tais ferramentas natildeo estatildeo
disponiacuteveis no Ensino Meacutedio Daiacute a necessidade de fornecer um suporte especiacuteco de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo para justicardemonstrar algumas propriedades que satildeo
simplesmente comentadas sem a prova de que satildeo vaacutelidas independentemente do valor do
domiacutenio ser discreto ou contiacutenuo isto eacute a validade eacute para todo o domiacutenio real de deniccedilatildeo
da funccedilatildeo um preluacutedio ao conceito de continuidade de funccedilatildeo
As questotildees referentes agrave tendecircncia de crescimento para o innito ou agrave apro-
ximaccedilatildeo a uma reta assiacutentota satildeo explicadas via noccedilotildees de limites Negligenciar tal
discussatildeo como eacute praxe na educaccedilatildeo baacutesica contribui vertiginosamente para a desmoti-
vaccedilatildeo dos alunos e como consequecircncia reduz o rendimento das escolas de educaccedilatildeo baacutesica
e superior
Por exemplo suponha hipoteticamente que um dado aluno do Ensino Meacutedio
faccedila dois questionamentos acerca do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica Por que a funccedilatildeo
logariacutetmica eacute crescentee O que garante que quando os valores de x tendem para o
innito positivo os valores das imagens (f(x)) tendem tambeacutem para o innito positivo
Eacute notoacuterio que inuacutemeros professores do Ensino Meacutedio teriam diculdade em explicar com
transparecircncia e argumentos vaacutelidos tais perguntas Com o intuito de ajudar colegas
que apresentem inseguranccedila diculdade e alguma outra adversidade na arte de lecionar
esse conteuacutedo particular proposto observe a maneira escolhida para justicaacute-las Note
que para explicaacute-las faz-se necessaacuterio formalizaacute-las segundo proposiccedilotildees (teoremas) e em
seguida demonstraacute-las Aleacutem disso verique que a segunda proposiccedilatildeo torna-se suciente
a partir da prova de monotonicidade da primeira
Proposiccedilatildeo 721 A funccedilatildeo logariacutetmica de base 10 (logaritmos decimais) eacute crescente
isto eacute se 0 lt x lt y entatildeo log x lt log y
Demonstraccedilatildeo Sejam x e y dois nuacutemeros positivos com x lt y ou seja existe um nuacutemero
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 62
m gt 1 tal que y = mx Daiacute temos log y = log (mx) = log m + log y Como m gt 1
segue que log m gt 0 Conclusatildeo log y gt log x como queriacuteamos demonstrar
Proposiccedilatildeo 722 Quando x tende para +infin log x tende para +infin Isto eacute quando
tomamos valores positivos cada vez maiores para x o logaritmo decimal cresce e pode
torna-se maior do que qualquer nuacutemero positivo prexado
Demonstraccedilatildeo Dado qualquer nuacutemero real J gt 0 pode-se obter K gt 0 tal que para
todo x gt K se tem log x gt J Assim dado J gt 0 escolhemos primeiro um nuacutemero inteiro
positivo M tal que M gt Jlog 2
Entatildeo log (2M) = M log 2 gt J Tome agora K = 2M
Note que qualquer que seja x gt K como a funccedilatildeo logaritmo de base 10 eacute crescente
tem-se que log x gt log K gt J Isso prova que todos os nuacutemeros reais x gt K possuem
logaritmos decimais maiores do que J Utilizando uma linguagem moderna e avanccedilada
concluiacutemos que limxrarr+infin
log x = +infin
Eacute vaacutelido ressaltar que a maioria dos livros analisados natildeo demonstra tais pro-
posiccedilotildees apenas faz citaccedilotildees como propriedades vaacutelidas Somente o livro do IEZZI (2010)
[15] e o do LIMA (2006) [17] fazem menccedilatildeo de maneira deciente injusticada e dife-
rente da apresentada Note que a escolha da funccedilatildeo logariacutetmica foi com a nalidade de
escapar da comodidade de trabalhar com funccedilotildees simples (1o e 2o grau) e para mostrar
um questionamento que pode ser uacutetil em sala de aula Foi feita apenas uma apresentaccedilatildeo
simples de demonstraccedilatildeo de uma propriedade muito utilizada no estudo de Logaritmos
mas eacute claro que haacute outras pertinentes e que exigem um olhar diferenciado do professor
regente Tambeacutem eacute bom salientar a necessidade de empregar noccedilotildees intuitivas de limite
para completar e raticar o raciociacutenio
Agora suponha que um aluno faccedila um questionamento interdisciplinar ou seja
vamos admitir que um dado aluno tenha recebido a informaccedilatildeo numa aula de Fiacutesica de que
a aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo representa o espaccedilo percorrido por um moacutevel ou o tra-
balho de uma forccedila por exemplo Diante dessa situaccedilatildeo o aluno lhe peccedila esclarecimentos
sobre tal informaccedilatildeo Como explicar essa situaccedilatildeo utilizando somente matemaacutetica ele-
mentar faltaria argumentos faz-se necessaacuterio inserir noccedilotildees elementares do Caacutelculo para
justicar e esclarecer os fatos para o dado aluno
Por exemplo considere uma paraacutebola denida por y = x2 em que y represente
a velocidade e x o tempo percorrido por um moacutevel num dado instante Caso o interesse
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 63
esteja voltado para o caacutelculo do espaccedilo percorrido pelo moacutevel no primeiro intervalo (uni-
dade) de tempo eacute preciso calcular a aacuterea da faixa de paraacutebola (A(x2)ba) compreendida
entre as retas verticais x = 0 e x = 1 Como as ferramentas de Caacutelculo natildeo estatildeo disponiacute-
veis e tambeacutem natildeo possuiacutemos uma foacutermula especiacuteca para efetuar o caacutelculo a resoluccedilatildeo
do referido problema deve empregar um raciociacutenio que evocaraacute noccedilotildees intuitivas do caacutel-
culo Para realizar e estimar o caacutelculo da aacuterea em questatildeo eacute necessaacuterio decompor a regiatildeo
[0 1] sob a curva em (n+1) intervalos justapostos de mesmo comprimento e calcular uma
aproximaccedilatildeo inferior para a faixa A(x2)01 atraveacutes da aacuterea do poliacutegono retangular Pn+1
inscrito na faixa da paraacutebola y = x2 Vide gura a seguir que exemplica a aproximaccedilatildeo
inferior da aacuterea de uma faixa de paraacutebola por intermeacutedio da aacuterea do poliacutegono retangular
P6com 6 intervalos justapostos de mesmo comprimento (n = 5)
Figura 79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5
Fonte GeoGebra
A aacuterea (S) do poliacutegono retangular Pn+1 inscrito na faixa da paraacutebola y = x2
seraacute dada pela soma das aacutereas de todos os retacircngulos contidos na regiatildeo sob a paraacutebola
isto eacute
S = A1 + A2 + A3 + middot middot middot+ An
rArr S = 1(n+1)
f(
1n+1
)+ 1
(n+1)f(
2(n+1)
)+ 1
(n+1)f(
3(n+1)
)+ middot middot middot+ 1
(n+1)f(
n(n+1)
)
Substituindo os valores da funccedilatildeo em cada particcedilatildeo considerada e utilizando a
fatoraccedilatildeo por evidecircncia tem-se
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 64
S =1
(n+ 1)3(1 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
rArr S =1
(n+ 1)3
(n3
3+n2
2+n
6
)=
1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)
Segue daiacute a conclusatildeo de que tomando valores cada vez maiores para n isto
eacute aumentando o nuacutemero de subintervalos aumentamos o nuacutemero de retacircngulos e con-
sequentemente a diferenccedila entre a aacuterea (S) do poliacutegono retangular e a aacuterea da faixa de
paraacutebola aproxima-se de zero Eacute oacutebvio que quando n tende para o innito (n rarr infin) a
aacuterea S tende para a aacuterea da faixa de paraacutebola ou seja S sim= A(x2)01 =13 Em linguagem
moderna e avanccedilada temos
limsrarrinfin
S = limnrarrinfin
[1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)]=
1
3
A construccedilatildeo da atividade acima deve ser realizada de maneira gradual ou seja
solicitando aos alunos que calculem a aacuterea do poliacutegono retangular a partir de subcasos
supondo valores para n por exemplo n = 5 e depois para n = 10 Essa atividade pode ser
realizada com auxiacutelio de calculadora cientiacuteca ou entatildeo via planilha eletrocircnica (do Excel
ou CALC ou ateacute do GeoGebra) Apoacutes resolver os problemas para os casos particulares
(encontrar a aacuterea por falta) sugira aos alunos para que tentem generalizar o meacutetodo ateacute
conseguir encontrar a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] Essa aacuterea foi encontrada
experimentalmente por Arquimedes atraveacutes de O meacutetodo de equiliacutebrio e demonstrado via
meacutetodo da exaustatildeo com argumentos de dupla reductio ad absurdum Com o meacutetodo de
equiliacutebrio Arquimedes vericava e testava a validade da propriedade Jaacute com o meacutetodo da
exaustatildeo que historicamente eacute creditado a Eudoxos poreacutem segundo EVES (2004) [11]
jaacute havia antecipaccedilatildeo de tais ideias nos trabalhos do sosta Antiacutefon (c 430 aC) o mestre
de Siracusa demonstrava a validade da proposiccedilatildeo formando um verdadeiro preluacutedio agraves
escuras das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular a ideia intuitiva de limite
Veja a construccedilatildeo do graacuteco via GeoGebra da aacuterea do poliacutegono retangular
para cinco cinquenta e cem intervalos de mesmo comprimento
Eacute notoacuterio que fazendo n tender para o innito a faixa escura cresceraacute e tenderaacute
para a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] cuja aacuterea corresponde a um terccedilo da
aacuterea do quadrado de mesma base E mais pode-se concluir que a aacuterea de metade do
segmento paraboacutelico (regiatildeo limitada pela reta secante pontilhada e pela paraacutebola) contido
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 65
Figura 710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50
Fonte Geogebra
Figura 711 Poliacutegono Retangular para n = 100
Fonte Geogebra
no quadrado de lado unitaacuterio mede 23 ou melhor eacute possiacutevel concluir que a aacuterea do segmento
paraboacutelico da paraacutebola em questatildeo mede 43 Esse procedimento consiste na quadratura da
paraacutebola cuja autoria de forma rudimentar isto eacute com as ferramentas disponiacuteveis para a
eacutepoca eacute creditada a Arquimedes via Meacutetodo de Equiliacutebrio e Meacutetodo da Exaustatildeo
Tambeacutem eacute necessaacuterio dizer que o problema de calcular aacute aacuterea referida acima
poderia ser solucionado decompondo o intervalo [0 1] em subintervalos contendo trapeacutezios
circunscritos de forma que a aacuterea do poliacutegono trapezoidal circunscrito agrave faixa de paraacute-
bola fosse uma aproximaccedilatildeo por excesso Possivelmente os alunos vatildeo reclamar muito
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 66
das contas que apareceratildeo pois os caacutelculos natildeo satildeo tatildeo simples assim como a teacutecnica
propriamente dita Mas segundo MACHADO (2008) [19] esse aspecto eacute favoraacutevel pois
prepararaacute o aluno para que venha a apreciar as facilidades que seratildeo depois apresentadas
em um curso de Caacutelculo Inclusive eacute possiacutevel mencionar a existecircncia de um teorema im-
portantiacutessimo que cita a existecircncia um ponto entre as aacutereas por aproximaccedilotildees por falta
e por excesso que as tornam iguais Esse teorema eacute conhecido como Teorema do Valor
Meacutedio
Outra atividade excelente de aplicaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
correlatas do Caacutelculo eacute o caacutelculo da chamada Aacuterea de uma faixa de Hipeacuterbole Antes de
deni-la eacute preciso preacute-estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas em que H seraacute
considerado algebricamente como o ramo positivo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x isto eacute
H = (x y)x gt 0 y = 1x ou geometricamente ramo da Hipeacuterbole Equilaacutetera (xy = 1)
contido no primeiro quadrante A partir dessas consideraccedilotildees eacute possiacutevel denir a faixa
de hipeacuterbole e de forma especiacuteca como consequecircncia imediata propor uma ligaccedilatildeo com
o estudo de logaritmos naturais Esse trabalho pode ser conferido na iacutentegra em LIMA
(1980) [16] em que o autor com maestria faz uma abordagem geomeacutetrica do estudo dos
logaritmos e suas consequecircncias (construccedilatildeo da tabela de logaritmos caacutelculo de raiacutezes
inexatas de iacutendice qualquer caacutelculo de potecircncias de base e expoente qualquer construccedilatildeo
do nuacutemero de Euler e sua ligaccedilatildeo com o logaritmo natural e nalmente propor o estudo
da Funccedilatildeo Exponencial)
Nesse iacutenterim eacute possiacutevel propor uma atividade de aplicaccedilatildeo interdisciplinar
sobre a relaccedilatildeo existente entre o crescimento exponencial e o decaimento (desintegraccedilatildeo)
radioativo Esse problema eacute comum nos livros de Ensino Meacutedio Observe a situaccedilatildeo pro-
blema descrita a seguir em que eacute apresentada uma maneira construtiva de explorarutilizar
as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
Situaccedilatildeo Problema A Desintegraccedilatildeo Radioativa consiste na emissatildeo espontacirc-
nea de raios (partiacuteculas e ondas) de nuacutecleo instaacutevel com o objetivo de adquirir estabilidade
em que um aacutetomo radioativo (por exemplo o Raacutedio e o Uracircnio) eacute transformado num ele-
mento quiacutemico diferente Essa transformaccedilatildeo faz com que a quantidade de substacircncia
original diminua a cada instante de forma que a desintegraccedilatildeo seja proporcional agrave massa
da substacircncia original presente no corpo naquele momento A constante (α) de proporci-
onalidade eacute especiacuteca para cada substacircncia e eacute determinada experimentalmente
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
Suponha hipoteticamente que um corpo de massa M0 seja formado por uma
substacircncia radioativa cuja taxa de desintegraccedilatildeo seja α Caso o processo de desintegraccedilatildeo
seja instantaneamente a cada segundo tem-se que para t = 0 a massa correspondente eacute
M0 Decorrido o tempo t = 1 segundo ocorreraacute uma perda de αM0 unidade de massa
restando somente a massa M1 = M0 minus αM0 = (1 minus α)M0 Para t = 2 segundos implica
que a massa restante seraacute dada porM2 = (1minusα)M1 = (1minusα)2M0 Esse processo pode ser
generalizado isto eacute apoacutes n segundos temos Mn = M0(1minus α)n Poreacutem a desintegraccedilatildeo
se processa de forma contiacutenua e natildeo apenas discreta Daiacute eacute necessaacuterio pensar que a
desintegraccedilatildeo seja feita em fraccedilotildees de intervalos de 1nde segundo Assim apoacutes a primeira
fraccedilatildeo de 1nde segundo a massa do corpo se reduziria para M0 minus α
nM0 =
(1minus α
n
)M0
Realizando uma subdivisatildeo do intervalo [0 1] em um nuacutemero n cada vez maior de particcedilotildees
iguais tem-se que a massa resultante se reduziria para a aproximaccedilatildeo(1minus α
n
)nM0
Logo quando n tender para o innito a expressatildeo(1minus α
n
)nM0 tenderaacute para M0e
minusα
Em linguagem moderna e avanccedilada tem-se limnrarrinfin
(1minus α
n
)nM0 = M0 lim
nrarrinfin
(1minus α
n
)n=
M0eminusα Caso se queira calcular a massa apoacutes t segundos eacute preciso dividir o intervalo [0 t]
em n partes iguais em que cada intervalo parcial receberaacute uma perda de massa de αtnM0
Repetindo esse processo encontra-se a expressatildeo que fornece a massa do corpo apoacutes t
segundo decorridos M(t) = M0eminusα A tiacutetulo de curiosidade vale a pena ressaltar que
a constante α eacute determinada a partir de um nuacutemero baacutesico denominado de meia-vida da
substacircncia (tempo necessaacuterio para que se desintegre a metade da massa de um corpo)
73 EXPLORANDOAS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS
IMPLICACcedilOtildeES
Comumente ao estudar conjuntos numeacutericos em particular ao estudar o con-
junto dos nuacutemeros racionais nos deparamos com nuacutemeros decimais innitos poreacutem perioacute-
dicos os quais satildeo denominados de diacutezimas perioacutedicas Dentre as diacutezimas perioacutedicas mais
ceacutelebres com absoluta certeza estaacute o nuacutemero decimal perioacutedico 0 999 Esse nuacutemero gera
bastante desconforto entre os alunos do Ensino Meacutedio principalmente quando o professor
de Matemaacutetica arma que 1 = 0 999 Anal de contas o que eacute uma diacutezima perioacutedica
e o que representa Esses questionamentos satildeo frequentes e recorrentes durante as aulas
de Matemaacutetica que requerem a utilizaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedicas
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 68
Conforme jaacute foi denido denominamos de diacutezima perioacutedica todo nuacutemero ra-
cional com representaccedilatildeo decimal innita e perioacutedica Haacute diacutezimas perioacutedicas simples e
compostas Nesse trabalho apenas far-se-aacute uma anaacutelise da formaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedi-
cas simples (por exemplo 0 111 0 353535 0 456456456etc)
As diacutezimas perioacutedicas em geral representam uma soma innita de termos de
uma progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo entre 0 e 1 Assim por exemplo a diacutezima perioacutedica
0 111 eacute equivalente a soma S = 0 1 + 0 01 + 0 001 + cujo primeiro termo coincide a
razatildeo numericamente igual a 0 1
Muitos problemas de matemaacutetica elementar exigem que o aluno de Ensino
Meacutedio determine a fraccedilatildeo geratriz correspondente a uma dada diacutezima perioacutedica Para
realizar tal feito os professores utilizam diversos recursos e artimanhas dentre as quais
eacute possiacutevel citar o meacutetodo em que haacute o repasse de uma foacutermula com bastante decoreba
e pouca compreensatildeo o meacutetodo que requer a utilizaccedilatildeo de artifiacutecio via equaccedilatildeo do 1o
grau e o meacutetodo de considerar a diacutezima como uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo (q) variando entre 0 e 1 A exposiccedilatildeo seguinte apenas expotildee
o meacutetodo de obtenccedilatildeo da diacutezima via comparaccedilatildeo como uma soma de termos de progressatildeo
geomeacutetrica innita
Para dar continuidade a exibiccedilatildeo eacute necessaacuterio estudar como eacute feita a soma dos
n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica nita Assim dada uma progressatildeo ge-
omeacutetrica (a1 a2 a3 middot middot middot an) dene-se a soma (S) dos termos dessa progressatildeo geomeacutetrica
da seguinte maneira
S = a1 + a2 + a3 + middot middot middot+ an = a1 + a1q + a1q2 + a1q
3 + middot middot middot+ a1qnminus1 (1)
Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo (1) pela razatildeo q tem-se
qS = qa1 + qa2 + qa3 + middot middot middot+ qan = qa1 + a1q2 + a1q
3 + a1q4 + middot middot middot+ a1q
n (2)
Subtraindo (1) de (2) membro a membro tem-se
qS minus S = a1qn minus a1 = a1(q
n minus 1)rArr S(q minus 1) = a1(qn minus 1)rArr S =
a1(qn minus 1)
q minus 1
Assim a soma (S) dos n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de
razatildeo (q) eacute dada em funccedilatildeo do primeiro termo da razatildeo e do nuacutemero de termos
Quando se dispotildee de uma diacutezima perioacutedica ou melhor de uma soma de termos
de progressatildeo geometria innita cuja razatildeo pertence ao intervalo (0 1) percebemos que
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 69
o termo qn se aproxima de zero a medida que n tende ao innito Em outra linguagem
o limite da soma (S) quando n tende ao innito eacute dado por
limnrarrinfin
S = limnrarrinfin
[a1(q
n minus 1)
q minus 1
]=a1 middot (minus1)q minus 1
=a1
1minus q
Como exemplo observe o caacutelculo da fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 0 999 middot middot middot
Note que 0 999 middot middot middot equivale a soma S = 0 9 + 0 09 + 0 009 + middot middot middot
Essa soma representa o somatoacuterio dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita cuja razatildeo eacute dada por q = 0 1 Substituindo a1 = 0 9 e q = 0 1 tem-se
S = limnrarrinfin
[0 9
[( 110)n minus 1
]0 1minus 1
]=
0 9 middot (minus1)0 1minus 1
=minus0 9minus0 9
= 1
Isto eacute o limite do somatoacuterio dos termos da progressatildeo geomeacutetrica innita em
questatildeo eacute igual a um quando tomamos n tendendo para o innito
Haacute uma seacuterie de problemas que utilizam de tais recursos dentre os quais se
destacam a formaccedilatildeo de determinados mosaicos o processo de divisatildeo celular via meiose
o processo decaimento radioativo etc
O estudo do somatoacuterio de uma quantidade innita resultar numa quantidade
nita aparece historicamente no paradoxo de Zenon (por volta do seacuteculo V aC) que
surpreendentemente promove uma corrida em forma de aposta entre um famoso guerreiro
(Aquiles) da Greacutecia antiga e uma tartaruga Nessa corrida Aquiles conhecedor de sua
superioridade oferece uma vantagem para tartaruga poreacutem Aquiles nunca alcanccedila a
tartaruga pois por mais devagar que ela caminhe quando ele chegar agrave posiccedilatildeo inicial da
tartaruga a mesma teraacute avanccedilado um pouco E quando Aquiles cobrir esta distacircncia
a tartaruga teraacute avanccedilado um pouco mais e assim sucessivamente Embora os gregos
soubessem que do ponto de vista praacutetico Aquiles seria o vencedor natildeo sabiam explicar
tal fato do ponto de vista matemaacutetico Eacute vaacutelido ressaltar que tal ausecircncia de clareza por
parte dos matemaacuteticos gregos era justicada pela ausecircncia do conhecimento das noccedilotildees
intuitivas de limite Note que o limite da diferenccedila entre as distacircncias entre os dois
corredores tende para zero
Aleacutem de Zenon outro matemaacutetico grego percebeu e calculou com bastante
habilidade a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica com innitos termos cuja
razatildeo estava compreendida entre 0 e 1 Nessa eacutepoca o mestre de Siracusa (Arquimedes)
estava estudando e analisando quadraturas Para isso ele utilizava dois meacutetodos antigos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 70
de muito prestiacutegio O meacutetodo de Equiliacutebrio de autoria do proacuteprio Arquimedes e o meacutetodo
da Exaustatildeo credita a Eudoxos Numa de suas pesquisas em busca da quadratura de um
segmento paraboacutelico Arquimedes conseguiu demonstrar experimentalmente via meacutetodo
de Equiliacutebrio que a aacuterea do segmento de paraacutebola correspondia a 43da aacuterea do triacircngulo
inscrito no segmento paraboacutelico Essa demonstraccedilatildeo ismiuccedilada em CONTADOR (2012)
[6] Arquimedes utilizou o conhecimento dessa proposiccedilatildeo para realizar a quadratura da
paraacutebola Nesse trabalho foi encontrada pela primeira vez a soma de uma seacuterie innita
Acompanhe duas aplicaccedilotildees do estudo de somas de progressotildees geomeacutetricas
innitas cuja razatildeo (q) seja dada por |q| lt 1 e q natildeo nulo
Figura 712 Processo re-
cursivo de Quadrados
Figura 713 Processo
recursivo de Triacircngulos
Equilaacuteteros
Note que as guras acima determinam o comportamento das aacutereas e dos pe-
riacutemetros dos novos quadrados e dos novos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir dos
pontos meacutedios dos lados da gura anterior Para isso considere o quadrado inicial de
lado l e o triacircngulo equilaacutetero inicial de lado 2α
Note que as sequecircncias das aacutereas dos quadrados e dos triacircngulos equilaacuteteros
a partir do primeiro quadrado e do primeiro triacircngulo equilaacutetero satildeo dadas respectiva-
mente por(l2 l
2
2 l
2
4 l
2
8 middot middot middot
)e(a2radic3 a
2radic3
4 a
2radic3
8 middot middot middot
)
Por conseguinte a soma (SQ) das aacutereas dos innitos quadrados formados a
partir do quadrado primitivo de lado l representa uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo q = 12a qual seraacute dada por SQ = a1
1minusq =l2
2
1minus 12
=l2
212
= l2 Isto
eacute a soma (SQ) coincide com a aacuterea do quadrado primitivo de lado l Jaacute a soma (STE)
das aacutereas dos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir do triacircngulo equilaacutetero de lado 2a
tambeacutem representa uma soma de termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita de razatildeo
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 71
q = 14 a qual seraacute dada por STE = a1
1minusq = a2radic3
1minus 14
= a2radic3
34
= 43a2radic3 Isto eacute a soma (STE)
equivale a 43da aacuterea do triacircngulo equilaacutetero primitivo de lado 2a
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de
limite
A origem dessa discussatildeo iniciou-se na Greacutecia com a crise na Escola Pitagoacuterica
diante da descoberta de grandezas incomensuraacuteveis isto eacute apoacutes provarem que eacute impossiacutevel
existir um submuacuteltiplo comum (α) entre o lado (L) e a diagonal (D) de quadrado de lado
unitaacuterio tal que L = mα e D = nα
Nesse iacutenterim surgiu o questionamento da existecircncia de uma unidade comum
innitamente pequena (um submuacuteltiplo) de forma que ela pudesse medir o lado e a dia-
gonal do quadrado Caso tal existecircncia se conrmasse seria loacutegica a discussatildeo realizada
por volta do seacuteculo V aC pelo matemaacutetico grego Zenon que questionava o fato de que
uma soma innita pudesse ser nita ou ainda utilizando a linguagem moderna se seria
possiacutevel fazer com que o limite da diferenccedila entre as distacircncias percorridas por Aquiles
e a tartaruga tendesse a zero Segundo os anais da Histoacuteria da Matemaacutetica o paradoxo
de Zenon e suas consequecircncias assim como a descoberta das grandezas incomensuraacuteveis
satildeo relatos pioneiros e rudimentares da presenccedilaintervenccedilatildeo do conceito de limite num
problema matemaacutetico
Atualmente eacute possiacutevel concluir que se o segmento AB eacute incomensuraacutevel com
o segmento unitaacuterio α entatildeo a medida de AB eacute um nuacutemero irracional E como exemplo
ceacutelebre de nuacutemero irracional pode-se citar a medida da razatildeo aacuteurea (o famoso nuacutemero
de ouro 1+radic5
2) e a medida da diagonal de um quadrado de lado unitaacuterio cuja medida
corresponde ao nuacutemero irracionalradic2 Os exemplos escolhidos satildeo excelentes didaacuteticos e
histoacutericos Inclusive em GALARDA et al (1999) [13] haacute uma discussatildeo aberta sobre qual
nuacutemero irracional apareceu primeiro natildeo se sabe se foiradic2 ou
radic5 que primeiro revelou a
existecircncia de grandezas incomensuraacuteveis
Mesmo sabendo que natildeo eacute possiacutevel determinar com exatidatildeo o valor deradic2 eacute
possiacutevel relacionar aproximaccedilotildees por falta e por excesso de nuacutemeros racionais construindo
uma sequecircncia innita de nuacutemeros racionais tais que seus quadrados sejam todos menores
do que 2
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 72
Observe a tabela a seguir em que a primeira coluna representa uma sequecircncia
innita de nuacutemeros racionais a segunda coluna representa seus quadrados e a terceira
coluna representa a diferenccedila entre quadrado da diagonal e cada termo quadraacutetico na seacuterie
gerada Note que tomando aproximaccedilotildees com um nuacutemero reduzido de casas decimais
foi possiacutevel construir uma sequecircncia de quadrados em que com apenas seis iteraccedilotildees
tornou-se miacutenima a diferenccedila entre os valores quadraacuteticos da seacuterie formada e o nuacutemero 2
Assim pode-se tornar a diferenccedila tatildeo pequena quanto se queira aumentando o nuacutemero de
iteraccedilotildees Quando o nuacutemero de iteraccedilotildees tende ao innito de fato tem-se que a diferenccedila
tenderaacute a zero e consequentemente obteacutem-se o valorradic2
Tabela 72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais
Nuacutemero (xi) da Sequecircncia Quadrado de xi 2minus x2i1 1 1
14 196 004
141 19881 00119
1414 1999396 0000604
14142 1999962 0000038360000000237100000000000
141421 199999 0000010075900000128300000000000
Aleacutem de ser uma atividade rica de utilizaccedilatildeo da calculadora em sala de aula
eacute uma excelente oportunidade de expor de maneira compreensiva a inuecircncia de que a
noccedilatildeo de limite estaacute associada agrave ideia de incomensurabilidade
Eacute vaacutelido ressaltar que um procedimento anaacutelogo pode ser aplicado para caacutel-
culo do nuacutemero π por meio da divisatildeo do periacutemetro do poliacutegono regular inscrito pela
maior diagonal desse poliacutegono Quanto maior o nuacutemero de lados desse poliacutegono inscrito
mais proacuteximo do comprimento da circunferecircncia estaraacute seu periacutemetro e consequentemente
promoveraacute uma melhor aproximaccedilatildeo para o valor do nuacutemero π
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua
Embora sugira um aspecto bastante abstrato o nuacutemero de Euler (e) estaacute
presente em diversos processos de crescimento ou decrescimento exponencial dentre os
quais possui destaque o problema de aplicaccedilatildeo de um capital a uma taxa anual de k
com juros compostos capitalizados de forma contiacutenua durante t anos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 73
Suponha hipoteticamente que um determinado capital C0 seja aplicado a
juros de 100 ao ano
Caso sejam incorporados ao capital somente no nal do ano entatildeo ao nal de
um ano teriacuteamos o montante de R$ 200 para cada R$100 investido isto eacute o capital nal
acumulado apoacutes um ano eacute dado por
C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0
Agora a forma de incorporaccedilatildeo dos juros seraacute alterada poreacutem mantendo a
taxa anual de 100
Suponha que a referida taxa seja decomposta em duas taxas semestrais de
50 sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada semestre Daiacute segue que a
partir do capital inicial C0 haveraacute duas acumulaccedilotildees a serem consideradas A primeira
ocorreraacute ao nal do 1o semestre e a segunda ao nal do 2o semestre com a ressalva de
que o capital inicial a ser utilizado no caacutelculo do montante do 2o semestre coincide com o
montante acumulado ao nal do 1o semestre Em outras palavras ou melhor adotando
a linguagem moderna da matemaacutetica tem-se
1 Capital apoacutes o nal do 1o semestre
C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)
rArr C12 = C0(1 + 12)
2 Capital apoacutes o nal do 2o semestre
C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)
rArr C1 = C0(1 + 12)2
3 Suponha que a referida taxa seja decomposta em quatro taxas trimestrais de 25
sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada trimestre Capital apoacutes o
nal do 1o trimestre
C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)
rArr C14 = C0(1 + 14)
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 74
4 Capital apoacutes o nal do 2o trimestre
C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)
rArr C24 = C0(1 + 14)2
5 Capital apoacutes o nal do 3o trimestre
C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)
rArr C34 = C0(1 + 14)3
6 Capital apoacutes o nal do 4o trimestre
C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)
rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4
7 Caso a capitalizaccedilatildeo fosse mensal seria necessaacuterio subdividir ano e a taxa anual de
100 em 12 partes iguais daiacute o resultado seria
C1 = C0(1 + 112)12
8 Caso a incorporaccedilatildeo seja realizada de forma diaacuteria seria preciso subdividir o ano e
a taxa anual de 100 em 365 partes iguais daiacute segue que
C1 = C0(1 + 1365)365
Generalizando o fenocircmeno isto eacute subdividindo o ano e a taxa anual de 100
em n partes iguais e considerando-se que os juros satildeo incorporados ao capital no nal de
cada periacuteodo tem-se
C1 = C0(1 +1
n)n
Esquematizando uma tabela com o objetivo de analisar o comportamento da
expressatildeo (1 + 1n)n quando n cresce indenidamente tem-se
Note que a expressatildeo (1 + 1n)n aproxima-se indenidamente para um nuacutemero
decimal natildeo perioacutedico (nuacutemero irracional ou transcendental) denominado de nuacutemero de
Euler Tal nuacutemero eacute representado por e Uma aproximaccedilatildeo suciente com trecircs casas
decimais para tal nuacutemero eacute dada por e asymp 2 718
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 75
Tabela 73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler
Subdivisatildeo Fator de Acumulaccedilatildeo
n (1 + 1n)n
1 2
2 225
3 237037037
4 244140625
5 248832
10 259374246
50 2691588029
100 2704813829
1000 2716923932
10000 2718145927
100000 2718268237
1000000 2718280469
Assim conclui-se que um capital C0 aplicado a uma taxa de 100 ao ano
com capitalizaccedilatildeo contiacutenua (a cada instante) resultaraacute ao nal do 1o ano um valor C1 tal
que C1 = C0 middot e
Isto eacute quando n tende ao innito (incorporaccedilatildeo de juros de forma continuada
instantacircnea) tem-se que (1 + 1n)n tende para o nuacutemero irracional e
Eacute importante observar que caso a aplicaccedilatildeo seja a uma taxa anual de k ao
ano ao nal de um ano haveraacute um capital expresso por C1 = C0 middot ek Jaacute no nal de t
anos C1 = C0 middot ekt
Uma excelente demonstraccedilatildeo de modelagem matemaacutetica que faz uso do nuacutemero
de Euler de maneira construtiva e natildeo imperativa embora seja uma situaccedilatildeo hipoteacutetica
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteL-
CULO
Conforme jaacute foi visto nas atividades propostas na seccedilatildeo 621 o caacutelculo da
aacuterea de uma regiatildeo com algum lado curviliacuteneo natildeo eacute tatildeo oacutebvio como o caacutelculo da aacuterea de
uma regiatildeo poligonal Quando se pretende analisar a regiatildeo abaixo da curva cujo graacuteco
natildeo eacute retiliacuteneo em sua totalidade com o intuito de obter a medida da aacuterea sob a curva
a resoluccedilatildeo desse problema eacute realizada novamente por aproximaccedilatildeo da aacuterea da faixa de
hiperboacutele a ser calculada por um poliacutegono retangular inferior como se consideraacutessemos
a funccedilatildeo constante em cada instante e somaacutessemos todos os aacutereas dos retacircngulos ideais
Essa estrateacutegia eacute bastante motivadora poreacutem para que a estimativa seja boa eacute necessaacuterio
realizar um nuacutemero de iteraccedilotildees relativamente grande Para calcular aacuterea sob o graacuteco de
uma funccedilatildeo curviliacutenea utilizando a construccedilatildeo de poliacutegonos retangulares acrescentaremos
ao raciociacutenio a aproximaccedilatildeo via retacircngulos superiores fazendo com que a soma das aacutereas
desses retacircngulos (poliacutegono retangular inscrito e circunscrito) seja estimada tanto por
excesso quanto por falta
Eacute possiacutevel generalizar os casos tomando uma funccedilatildeo natildeo negativa e contiacutenua
num dado intervalo e dividi-lo em n subintervalos de mesmo comprimento em que cada
particcedilatildeo conteraacute um retacircngulo de mesma base de acordo com o nuacutemero de particcedilotildees e
cuja altura consiste no valor da funccedilatildeo numa dada extremidade do retacircngulo considerado
poreacutem seraacute proposto um processo mais construtivo que trabalha de forma concreta com
um nuacutemero de casos palpaacutevel por meio da anaacutelise de graacutecos de funccedilotildees quadraacuteticas de
hipeacuterboles equilaacuteteras e de funccedilotildees exponenciais O procedimento geral citado fornece
uma excelente aproximaccedilatildeo e o mesmo eacute amplamente encontrado nos livros de caacutelculo
com a denominaccedilatildeo popularmente conhecida como Somas de Riemann Nele ao tender
o nuacutemero de iteraccedilotildees (subdivisotildees do intervalo) para o innito tem-se que as somas de
Riemann tendem para o valor da aacuterea (A) da regiatildeo sob a curva que eacute denominada de
integral denida ou seja limnrarrinfin
S(n) =nsumk=1
f(xk) 4 x em que f(xk) e 4x representam
altura e comprimento do retacircngulo k
Observe a gura construiacuteda via GeoGebra com vinte retacircngulos inferiores e
superiores sob a curva da funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Note que a soma das aacutereas dos
retacircngulos inferiores (Si) (destacados de azul) e a soma das aacutereas dos retacircngulos superiores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 77
(Ss) (destacados de vermelho) para um nuacutemero de vinte intervalos iguais nos fornece uma
ideia de que a aacuterea pretendida estaacute compreendida entre 031 e 036 Isso serve como
instrumento empiacuterico para raticar uma armaccedilatildeo (quadratura da paraacutebola) demonstrada
na seccedilatildeo 621 em que foi constatado que a aacuterea da faixa de paraacutebola no intervalo [0 1]
mede 13
Figura 714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito)
Fonte Geogebra
Na mesma linha da anaacutelise anterior poreacutem com maior riqueza de detalhes e
consequecircncias pode analisar o comportamento do ramo positivo de uma hipeacuterbole equi-
laacutetera e da parte pertencente ao primeiro quadrante do graacuteco da funccedilatildeo exponencial
Somente seraacute realizada a anaacutelise do signicado geomeacutetrico da aacuterea de uma faixa de hi-
peacuterbole equilaacutetera Via GeoGebra proponha a construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x
e por meio do comando SomaDeRiemann solicite o caacutelculo de aproximaccedilotildees para a aacuterea
pretendida
Inicialmente proponha o caacutelculo da aacuterea do poliacutegono retangular inscrito e
circunscrito para n = 8 isto eacute pretende-se que o aluno determine uma aproximaccedilatildeo para
o valor da aacuterea da faixa da hipeacuterbole para uma subdivisatildeo de oito retacircngulos de mesmo
comprimento Veja o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo descrita
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 78
Figura 715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8
Fonte Geogebra
Espera-se que o aluno seja capaz de calcular a aacuterea da faixa de hipeacuterbole
denotada por H31 realizando o maior nuacutemero de iteraccedilotildees de subdivisotildees do intervalo
[1 3] Por exemplo ao dividi-la em oito particcedilotildees de mesmo comprimento encontra-se
os valores das abscissas 1 54 64 74 84 94 104 114 e 124 E calculando suas
respectivas imagens tem-se 1 45 46 47 48 49 410 411 e 412 Realizando o
caacutelculo da soma dos retacircngulos inferiores obteacutem-se
S =1
4middot 45+
1
4middot 46+
1
4middot 47+
1
4middot 48+
1
4middot 49+
1
4middot 410
+1
4middot 411
+1
4middot 412
rArr S asymp 1 019
O passo seguinte para o prosseguimento da atividade e para completar o racio-
ciacutenio depende de cada professor poreacutem eacute recomendaacutevel solicitar aos alunos que reproduza
a situaccedilatildeo descrita para outros valores de n por exemplo para n = 10 considerando o
intervalo de 1 ateacute 2 Seguindo esse procedimento espera-se que o aluno consiga calcular a
aacuterea com uma precisatildeo de cerca de 067 Observe o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo mencionada
Nesse momento o professor deve intervir diretamente na atividade inserindo
a deniccedilatildeo geomeacutetrica do logaritmo natural de x como a aacuterea da faixa de Hipeacuterbole de 1
ateacute x ou seja ln x = Aacuterea(Hx1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 79
Figura 716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10
Fonte Geogebra
A partir dessa deniccedilatildeo eacute possiacutevel questionar os alunos sobre a existecircncia de
uma dada abscissa que representaraacute a aacuterea de medida igual a 1 unidade Aleacutem disso pode-
se conjecturar uma boa aproximaccedilatildeo entre nuacutemeros inteiros para o nuacutemero neperiano (e)
de acordo com o estudo exposto acima Enm eacute necessaacuterio orientar os alunos com a
nalidade dos mesmos investigarem a existecircncia de uma aacuterea de uma faixa de hipeacuterbole
variando de 1 ateacute um certo x cuja aacuterea seja unitaacuteria ou equivalentemente procurar o
valor de x tal que ln x = Aacuterea(Hx1 ) = 1 A conclusatildeo obtida pelos alunos deve admitir a
existecircncia dessa abscissa e estimar que o valor procurado pertencente ao intervalo entre
2 e 3 Pode-se demonstrar que o valor de x em questatildeo trata-se do nuacutemero irracional e
cuja melhor aproximaccedilatildeo eacute dada por e = 2 718281828459 Nesse ponto eacute satisfatoacuterio
que o professor faccedila uma reexatildeo comparando o nuacutemero obtido com o nuacutemero de Euler
surgido ao resolver o problema de capitalizaccedilatildeo contiacutenua proposto historicamente pelos
irmatildeos Bernoulli
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 80
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri
O procedimento que seraacute apresentado a seguir consiste basicamente num re-
sumo dos estudos realizados no seacuteculo XVII pelo matemaacutetico Bonaventura Francesco
Cavalieri que recebeu forte inuecircncia dos predecessores Arquimedes Kepler Galileu e
Fermat
Esse grandioso trabalho de Cavalieri foi publicado em 1635 e foi intitulado de
Geometria indivisibilibus O meacutetodo proposto considerava um soacutelido formado pela reuniatildeo
de conjunto innito de planos isto eacute seu princiacutepio dizia que qualquer grandeza (plana ou
soacutelida) pode ser dividida numa quantidade innita de porccedilotildees (lacircminas) com espessura
innitesimal de tal modo que mantenham entre si proporccedilotildees desejadas
Segundo CONTADOR (2012 p 214) [7] um dos princiacutepios norteadores do
meacutetodo de Cavaliere dizia que se dois soacutelidos nos quais qualquer plano secante a eles e
paralelo a um plano dado determina neste soacutelido planos cuja razatildeo eacute constante entatildeo a
razatildeo entre os volumes destes soacutelidos tambeacutem seraacute constante
Observe por meio da utilizaccedilatildeo da linguagem moderna da matemaacutetica como
Cavalieri obteve a aacuterea lateral de um cilindro a aacuterea supercial da esfera e volume do
cone de revoluccedilatildeo a partir da reproduccedilatildeo de ideias publicadas em CONTADOR (2012)
[7]
Inicialmente eacute necessaacuterio considerar um soacutelido qualquer com bases paralelas
de altura h e aacuterea S e de volume (VL) dado por VL = Sh Agora imagine uma superfiacutecie
como uma lacircmina soacutelida em que sua altura h eacute innitamente pequena logo seu volume e
sua aacuterea seratildeo praticamente iguais ou seja S = VL
bull a) Caacutelculo da aacuterea (S) lateral de um cilindro
Eacute notoacuterio e consensual que o procedimento adotado na maioria dos livros di-
daacuteticos (caacutelculo da superfiacutecie lateral do cilindro reto eacute obtido a partir de uma regiatildeo
retangular de altura h e base 2π) possui uma abordagem excelente aos olhos da didaacutetica
e de acordo com a visatildeo criacutetica dos alunos tal procedimento eacute considerado de faacutecil assi-
milaccedilatildeocompreensatildeo contribuindo de modo satisfatoacuterio para o ensinoaprendizagem O
procedimento a ser apresentado tem como proposta o caacutelculo da aacuterea lateral de um cilindro
de altura h e raio da base igual a (r + x) a partir do volume VA do anel ciliacutendrico consi-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 81
derando x como uma espessura innitamente pequena pois a partir dessas consideraccedilotildees
eacute possiacutevel inserir a aplicaccedilatildeo das noccedilotildees de limite de uma maneira construtiva
Figura 717 Anel Ciliacutendrico
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 333
Note que o volume do cilindro interno de raio r e altura h eacute dado por Vi =
πr2h Jaacute o volume do cilindro externo de raio (r + x) e de mesma altura h eacute dado por
Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h
Assim o volume do anel ciliacutendrico seraacute dado por
VA = Ve minus Vi
rArr VA = πh(r2 + 2rx+ x2)minus πr2h
rArr VA = πh(2rx+ x2)
rArr VA = πh2rx+ πhx2
Fazendo a divisatildeo por x tanto do 1o membro quanto do 2o membro igualdade
tem-se
rArr VAx
= πh2r + πhx
Como VA = S middot x rArr S = VAx
e sabendo que x eacute innitamente pequeno segue
que a 2a parcela da soma do 2o membro tambeacutem seraacute tatildeo pequena ao ponto de consideraacute-la
nula
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 82
Assim
rArr VAx
= S = 2πhr
Observe que de fato S eacute aacuterea do retacircngulo de altura h e de base idecircntica ao
comprimento de um circunferecircncia de raio r
bull b) Caacutelculo da aacuterea da esfera (S)
O caacutelculo da aacuterea da superfiacutecie de uma esfera seraacute feito a partir da diferenccedila
entre os volumes das esferas externa e interna cujos raios satildeo (r+h) e r respectivamente
Figura 718 Casca de Esfera
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 337
VCasca = Ve minus Vi
rArr VCasca =4
3π(r + h)3 minus 4
3πr3
rArr VCasca =4
3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)
rArr VCasca =4
3π(3r2h+ 3rh2 + h3)
Utilizando procedimento anaacutelogo isto eacute dividindo ambos os termos por h
tem-se
rArr VCascah
=4
3π(3r2 + 3rh+ h2)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 83
Como VCasca = S middothrArr S = VCasca
he sabendo-se que h eacute innitamente pequeno
segue queVCascah
= S =4
3πr2
bull c) Caacutelculo do volume do cone de revoluccedilatildeo
Antes de deduzir a foacutermula VCone = 13πr2h em que r e h representam o raio e a
altura do cone respectivamente eacute vaacutelido ressaltar que historicamente esse feito eacute creditado
inicialmente a Demoacutecrito (c 410 aC) e sua evoluccedilatildeo posteriormente a Arquimedes que
utilizou brilhantemente seu meacutetodo de equiliacutebrio para conjecturar e o meacutetodo da exaustatildeo
de Eudoxo para provar a validade dessa relaccedilatildeo De acordo com EVES (2004) [11] o
pioneiro no Caacutelculo do volume do cone foi Demoacutecrito
() A chave eacute fornecida por Plutarco ao relatar o dilema a que chegoucerta vez Demoacutecrito quando considerou a possibilidade de um cone serformado de uma innidade de secccedilotildees planas paralelas agrave base Se duassecccedilotildees adjacentes fossem do mesmo tamanho o soacutelido seria um cilindroe natildeo um cone Se por outro lado duas secccedilotildees adjacentes tivessem aacutereasdiferentes a superfiacutecie do soacutelido seria formada de uma seacuterie de degrauso que certamente natildeo se verica Nesse caso se assumiu que o volumedo cone pode ser subdividido indenidamente (ou seja numa innidadede secccedilotildees planas atocircmicas) mas que o conjunto dessas secccedilotildees eacute contaacute-vel no sentido de que dada uma delas haacute uma outra que lhe eacute vizinhasuposiccedilatildeo que se situa ateacute certo ponto entre as duas jaacute consideradassobre a divisibilidade de grandezas Demoacutecrito pode ter argumentadoque se duas piracircmides de bases equivalentes e alturas iguais satildeo seccio-nadas por planos paralelos agraves bases vericando-se a divisatildeo das alturasnuma mesma razatildeo entatildeo as secccedilotildees correspondentes assim formadas satildeoequivalentes Portanto as piracircmides conteacutem o mesmo nuacutemero innito desecccedilotildees planas equivalentes o que implica que seus volumes devem seriguais Tem-se aiacute o que seria um exemplo primitivo do chamado meacutetododos indivisiacuteveis de Cavalieri () (EVES [11] 2004 p 420)
Considere o cone de diacircmetro da base AB = 2r e altura H composto pela
junccedilatildeo de n cilindros de raios variando de 0 agrave r e de altura h extremamente pequena tal
que h = Hn
Considere um desses cilindros ideais de ordem k a partir do veacutertice C e raio r1
de tal maneira que o cone que dividido em duas partes Note que eacute possiacutevel por meio da
semelhanccedila de triacircngulos relacionar rr1 H e H1 de tal modo que seja dado em funccedilatildeo
de r k e nr
r1=
H
H1
rArr r
r1=
HkHn
rArr r1 =rk
n
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 84
Figura 719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 339
O volume do cilindro de ordem k seraacute dado por
VCilindro = πr21h
rArr VCilindro = πr2k2
n2
H
n
rArr VCilindro = πr2H1
n3k2
Assim o volume do cone seraacute dado pelo somatoacuterio de todos os cilindros ideais
com k variando de 1 a n
VCone = πr2H1
n312 + πr2H
1
n322 + πr2H
1
n332 + πr2H
1
n342 + middot middot middot+ πr2H
1
n3n2
= πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
Sabe-se que 12+22+32+42+ middot middot middot+n2 = n3
3+ n2
2+ n
6 A validade dessa relaccedilatildeo
pode ser obtida pelo Princiacutepio da Induccedilatildeo Matemaacutetica ou a partir do desenvolvimento do
binocircmio (1 + k)3 = 1+ 3k + 3k2 + k3 variando k de 0 a n e adicionando as igualdades de
ambos os membros (vide em CONTADOR (2012) [8]) Embora essa abstraccedilatildeo algeacutebrica
seja possiacutevel de ser aplicada aos alunos do Ensino Meacutedio a demonstraccedilatildeo geomeacutetrica
consiste num procedimento mais construtivo e de faacutecil assimilaccedilatildeo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 85
Inicialmente faremos a apresentaccedilatildeo da prova geomeacutetrica para a soma dos
nuacutemeros inteiros de 1 a n isto eacute S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n = n(n+1)2
dado que a mesma
seraacute necessaacuteria para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo 12+22+32+42+
middot middot middot+ n2 = n3
3+ n2
2+ n
6= n(n+1)(2n+1)
6()
Antes de generalizar os casos eacute imprescindiacutevel realizar os caacutelculos para um
caso particular por exemplo n = 6 com o intuito de motivar e aguccedilar a curiosidade
dos alunos Aleacutem de contribuir de maneira satisfatoacuteria para a formaccedilatildeo da conjectura dos
alunos
A gura seguinte ilustra a soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) em que a coluna i eacute
composta por i quadrados
Figura 720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Fonte Geogebra
Ao girar a gura anterior e encaixaacute-la tem-se um retacircngulo de base 6 e altura
7 conforme ilustra a imagem seguinte
Note que a medida da aacuterea do retacircngulo construiacutedo eacute dada por 6 middot7 = 6 middot(6+1)
A partir daiacute eacute possiacutevel concluir que a soma (1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6) pretendida
representa a metade do retacircngulo construiacutedo isto eacute
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)
2
Para generalizar o procedimento eacute necessaacuterio construir um retacircngulo de base
n e altura (n + 1) a partir das n colunas que representam geometricamente a soma S =
1 + 2 + 3 + middot middot middot + n A aacuterea (A) do retacircngulo construiacutedo seraacute dada por A = n middot (n + 1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 86
Figura 721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7
Fonte Geogebra
De forma anaacuteloga a soma desejada (S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n) representa a metade do
retacircngulo n(n+ 1) isto eacute
S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot+ n =n(n+ 1)
2
Enm para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo () faz-se ne-
cessaacuterio implementar ideias semelhantes com as devidas ressalvas
Repetindo o procedimento realizado para um caso particular da soma dos 6
primeiros quadrados perfeitos (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)
As guras a seguir sugerem uma visatildeo geomeacutetrica do procedimento detalhado
Note que para realizar o preenchimento eacute preciso acrescentar um quadrado na 2a linha
um quadrado e um retacircngulo (2x1) na 3a linha um quadrado um retacircngulo (2x1) e
retacircngulo (3x1) na 4a linha assim por diante
Logo a aacuterea (A) do retacircngulo (ABCD) cuja base mede b = (1+2+3+4+5+6)
e cuja altura mde 6 unidades eacute dada por A = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) middot 6
Equivalentemente tal aacuterea pode ser calculada a partir da soma das aacutereas que
compotildee o retacircngulo (ABCD) isto eacute
A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]
rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1
(1 + i)i
2]
Portanto tem-se
1+22+32+42+52+62 = (1+2+3+4+5+6)middot6minus[5sumi=1
(1 + i)i
2] = (
6(6 + 1)
2)middot6minus1
2middot[5sumi=1
i+5sumi=1
i2])
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 87
Figura 722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
Fonte Geogebra
Figura 723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
Fonte Geogebra
Daiacute segue que
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot5sumi=1
iminus 1
2middot5sumi=1
i2
rArr6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot5sumi=1
i2
Ainda eacute possiacutevel manipular a referida expressatildeo com o intuito de melhorar a
visualizaccedilatildeo
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot ([
6sumi=1
i2]minus 62)
rArr6sumi=1
i2 +1
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 88
rArr 3
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =62 + 6
2minus 62 minus 6
2+
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)
4
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
4
rArr6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
6
Generalizando o procedimento ou seja representando geometricamente a soma
dos quadrados (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + middot middot middot + n2) de 1 ateacute n e em seguida completando a
gura ateacute que se forme um retacircngulo de base (1+2+3+4+5+ middot+n) e altura n tem-se
6sumi=1
i2 = 1 + 22 + 32 + middot middot middot+ n2 =n(2 middot n+ 1)(n+ 1)
6
Assim dispondo da relaccedilatildeo que representa a soma dos quadrados segue que
VCone = πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
= πr2H1
n3
(n3
3+n2
2+n
6
)= πr2H
(1
3+
1
2n+
1
6n2
)
Como n tende ao innito segue que as fraccedilotildees que conteacutem denominador composto por n
poderatildeo ser desprezadas dado que tenderatildeo a zero Isto eacute o volume do cone seraacute dado
por
VCone =1
3πr2H
Recomenda-se que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada na 2a e 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
Acredita-se que em cinco aulas haacute tempo suciente para complementar todo o aparato de
discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Espacial
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse
Dispondo dos meacutetodos de quadratura do ciacuterculo realizados por Arquimedes
dos conceitos baacutesicos de Geometria Analiacutetica difundida por Descartes e Fermat e aleacutem
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 89
disso dos princiacutepios de Cavalieri eacute possiacutevel aplicar tais ideias para ampliar o estudo de
cocircnica deduzindo a foacutermula para o caacutelculo da aacuterea de uma elipse isto eacute descobrir a
relaccedilatildeo de proporccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo para a elipse de eixo maior igual ao diacircmetro do
ciacuterculo formalizada por Johannes Kepler
Figura 724 Elipse inscrita numa circunferecircncia
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p339
Considere o semi-ciacuterculo de raio r = a e a semi-elipse de semi-eixos positivos
a e b com a gt b A partir dessa convenccedilatildeo eacute possiacutevel descrever as equaccedilotildees reduzidas do
ciacuterculo e da elipse
x2 + y2 = a2 ex2
a2+y2
b2= 1
Escrevendo y em funccedilatildeo de x e tomando o 1o quadrante por simetria am de
que ambos os radicandos sejam positivos tem-se
y =radica2 minus x2
eyprime2
b2= 1minus x2
a2rArrradicb2 minus x2 b
2
a2
rArr yprime =
radicb2(1minus x2
a2
)
=
radicb2(a2 minus x2a2
)=b
a
radica2 minus x2
Ou seja yprime = bay (a razatildeo entre duas cordas verticais correspondentes da elipse
e do ciacuterculo eacute ba)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 90
Note que apesar de adotar a variaacutevel y em cada funccedilatildeo y e yprime satildeo diferentes
isto eacute representam para cada abscissa x ordenadas com valores distintos
Se as ordenadas do ciacuterculo e elipse y e yprime respectivamente guardam entre si a
relaccedilatildeo ba segue que suas aacutereas vatildeo manter a mesma razatildeo Essa armaccedilatildeo eacute garantida
pelo primeiro princiacutepio de Cavalieri em que EVES (2004 p426) [11] destaca Se duas
porccedilotildees planas satildeo tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina
nas porccedilotildees segmentos de reta cuja razatildeo eacute constante entatildeo a razatildeo entre as aacutereas dessas
porccedilotildees eacute a mesma constante Em linguagem moderna temos
Area da elipse
Area do circulo=b
a
rArr Area da elipse =b
aArea do circulo
rArr Area da elipse =b
aπa2 = πab
Eacute vaacutelido ressaltar que a ideia acima pode ser estendida para comparar dois
soacutelidos (segundo princiacutepio de Cavalieri) e por meio dela pode-se deduzir a foacutermula para o
caacutelculo do volume da esfera
Eacute recomendaacutevel que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada durante a 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
A quantidade de aulas sucientes para expor tais ideias variaraacute de acordo com a proposta
do professor mas acredita-se que cinco aulas satildeo bastantes para complementar todo o
aparato de discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Analiacutetica e de Cocircnicas
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva
Ao analisar uma grandeza cuja variaccedilatildeo eacute tomada como constante em subin-
tervalos isto eacute como se a funccedilatildeo tivesse variaccedilatildeo de degrau em degrau e natildeo de forma
continuada haacute uma abordagem de forma impliacutecita das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
elementares de integral
Primeiramente o trabalho estaraacute focado no caso em que a funccedilatildeo eacute constante
em todo o intervalo positivo considerado Suponha que o interesse principal seja o caacutelculo
da aacuterea sob o graacuteco no intervalo considerado Nesse caso o problema se resume em medir
a aacuterea de um retacircngulo cuja base coincide com a variaccedilatildeo do intervalo considerado e a
altura corresponde ao valor xo e constante da funccedilatildeo xada
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 91
Nessa mesma tocircnica veja um exemplo graacuteco de uma funccedilatildeo constante (f(x) =
3x) via GeoGebra com poliacutegono regular inscrito para n = 100
Figura 725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante
Fonte GeoGebra
Figura 726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer
Fonte GeoGebra
A gura anterior representa o caso de uma grandeza positiva e natildeo constante
cuja variaccedilatildeo seja contiacutenua ao longo do intervalo considerado Nesse caso para calcular a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 92
aacuterea sob o graacuteco eacute preciso analisar o problema fragmentando o intervalo contiacutenuo em um
nuacutemero consideraacutevel de partes (degraus) com o intuito de que a grandeza seja analisada
como se fosse praticamente constante em cada subintervalo isto eacute a aacuterea solicitada eacute
obtida adicionando as aacutereas dos inuacutemeros retacircngulos inseridos no intervalo considerado
A gura a seguir ilustra o graacuteco de uma funccedilatildeo qualquer feita a matildeo livre via GeoGebra
com poliacutegono retangular inscrito com n = 10
Esse procedimento descrito acima eacute comum e rotineiro em diversas situaccedilotildees
cotidianas A estrateacutegia de resoluccedilatildeo eacute similar na maioria dos casos e consiste em racio-
cinar a funccedilatildeo dado como se fosse constante em pequenos trechos Tal fenocircmeno jaacute era
realizado desde o seacuteculo III aC por Arquimedes com auxiacutelio do meacutetodo da exaustatildeo Um
exemplo praacutetico motivacional e de faacutecil entendimento eacute a explicaccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo
como uma aproximaccedilatildeo via aacuterea de poliacutegonos regulares inscritos com nuacutemero de lados
em escala crescente e tendendo ao innito Observe a imagem abaixo que foi produzida
no software de geometria dinacircmica GeoGebra Note que haacute um controle deslizante res-
ponsaacutevel por determinar o nuacutemero de lados do poliacutegono regular inscrito Na imagem a
seguir o cursor do controle deslizante foi posicionado em N = 11 isto eacute fez-se surgir o
undecaacutegono regular inscrito Jaacute a gura ao lado estaacute representando o hectaacutegono regular
(poliacutegono regular de 100 lados) inscrito e construiacutedo tambeacutem via GeoGebra
Figura 727 Quadratura do ciacuterculo
para n = 11
Figura 728 Quadratura do ciacuterculo
para n = 100
Tomando uma funccedilatildeo contiacutenua y = f(x) qualquer preferencialmente natildeo
constante denida no intervalo positivo [a b] e supondo que a meta seja o caacutelculo da aacuterea
sob o graacuteco contido no 1o quadrante faz-se necessaacuterio uma subdivisatildeo do intervalo [a b]
em numerosos subintervalos praticamente constantes am de determinar a aacuterea sob o
graacuteco como uma aproximaccedilatildeo pela soma de todos os retacircngulos obtidos ao particionar o
intervalo [a b] Isto eacute considerando n subintervalos de comprimentos x1 x2 x3 middot middot middot xn e
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 93
cujas imagens (alturas dos retacircngulos) sejam y1 y2 y3 middot middot middot yn respectivamente e supostos
constantes em cada subintervalo tem-se uma aproximaccedilatildeo para a aacuterea S sob o graacuteco da
curva dada
S sim= x1y1 + x2x2 + x3y3 + middot middot middot+ xnyn
Note que aumentando o valor de n e reduzindo o comprimento dos subinter-
valos a aproximaccedilatildeo ca melhorada ou seja o valor real da aacuterea sob o graacuteco torna-se
muito proacuteximo da aproximaccedilatildeo considerada via soma de retacircngulos Eacute oacutebvio que ten-
dendo o valor de n para um nuacutemero innito de subdivisotildees sucessivas com as ressalvas
necessaacuterias de reduccedilatildeo dos comprimentos dos subintervalos a soma das innitas aacutereas dos
retacircngulos pertencentes aos trechos particionados tenderaacute para o valor real da aacuterea sob
o graacuteco da funccedilatildeo considerada Tal nuacutemero eacute conhecido como integral denida
Eacute vaacutelido ressaltar que o procedimento exibido acima pode ser contextualizado
aplicado e inserido de forma interdisciplinar com a disciplina de Fiacutesica ao calcular a
distacircncia d percorrida por um moacutevel com velocidade v(t) no intervalo de tempo [a b] ou
entatildeo no caacutelculo do trabalho T realizado por uma forccedila de direccedilatildeo constante e intensidade
f(x) no deslocamento de x de a ateacute b Tambeacutem eacute possiacutevel aplicar o estudo descrito para
calcular o volume de uma trombeta (soacutelido obtido pela rotaccedilatildeo do graacuteco particular
y = f(x) em torno do eixo x com a le x le b e f(x) ge 0) via cascas ciliacutendricas poreacutem essa
atividade pode ser encontrada nos livros de Caacutelculo citados anterioremente e seraacute deixada
como atividade suplementar pois foge ao escopo desse trabalho
Para raticar o estudo exibido propotildee-se um exerciacutecio que pode ser resolvido
passo a passo conforme etapas descritas a seguir
Exerciacutecio Calcule um valor aproximado para a aacuterea sob o graacuteco de f(x) =
100minus x2 no intervalo [0 10]
Atividade a ser desenvolvida no laboratoacuterio de informaacutetica com computadores
compostos por softwares de geometria dinacircmica (especialmente o GeoGebra) Aleacutem disso
eacute recomendaacutevel o uso de calculadora cientiacuteca ou de algum software de planilha (por
exemplo Excel ou CALC)
1o passo Utilize o GeoGebra para plotar o graacuteco da funccedilatildeo com as restriccedilotildees
discriminadas no enunciado
2o passo Inicialmente proponha uma subdivisatildeo do intervalo [0 10] em 5 su-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 94
bintervalos de comprimento igual a 2 Note que em cada subintervalo eacute preciso supor
f(x) constante e de valor correspondente ao ponto meacutedio do subintervalo
3o passo Calcule os valores de f(1) f(3) f(5) f(7) e f(9) Nesse momento
questione os alunos sobre o que essas imagens representam
4o passo Utilize a calculadora cientiacuteca ou uma planilha eletrocircnica para adi-
cionar a aacuterea dos cinco retacircngulos contidos nos subintervalos determinados A soma (S5)
eacute uma aproximaccedilatildeo para o valor da aacuterea sob o graacuteco da funccedilatildeo dada isto eacute eacute uma
estimativa para o valor da integral denida
5o passo Questione os alunos sobre o que aconteceraacute com a estimativaaproximaccedilatildeo
caso fosse uma nova subdivisatildeo em dez subintervalos de comprimento igual a 1 Oriente
os mesmos a realizarem tal experimento
6o passo Maximize o grau de abstraccedilatildeo da atividade supondo uma subdivisatildeo
do intervalo dado em n subintervalos de comprimento igual a 10n Solicite aos alunos que
calculem a nova aproximaccedilatildeo em funccedilatildeo de n fornecendo uma expressatildeo geral e ao nal
dessa tarefa questione os alunos sobre o que aconteceraacute com tal expressatildeo caso o valor de
n seja tendido ao innito
7o passo Revise todas as etapas melhorando a linguagem de forma gradual
e introduzindo uma simbologia de maneira a facilitar a escrita por exemplo insira a
notaccedilatildeo de somatoacuterios Caso observe a maturidade e a compreensatildeo dos conceitos de
maneira satisfatoacuteria por parte dos alunos insira a notaccedilatildeo moderna de limite junto aos
siacutembolos de somatoacuterios Aleacutem disso tambeacutem pode introduzir a simbologia de integrais
A expectativa dessa atividade eacute que a maioria dos alunos construa o graacuteco
no GeoGebra conforme as guras ilustrativas a seguir e que aproxime ao maacuteximo da aacuterea
sob o graacuteco via Soma de Riemann
Note que o aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees de cinco para dez fez com que a
aproximaccedilatildeo da aacuterea do poliacutegono retangular inferior melhorasse de 560 para 615 unidades
de aacuterea E mais aumentando o nuacutemero de interaccedilotildees de 10 para 100 fez com que a
aproximaccedilatildeo via aacuterea do poliacutegono retangular superior melhorasse de 715 para 67165
Tal realizaccedilatildeo conduz a seguinte conclusatildeo a aacuterea procurada eacute um nuacutemero entre 615
e 67165 Utilizando as ideias de Arquimedes sobre quadratura da paraacutebola eacute possiacutevel
constatar que a aacuterea desse segmento paraboacutelico (Asp) eacute dada por 43da aacuterea do triacircngulo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 95
inscrito de base medindo 10 unidades e altura medindo 100 unidades isto eacute Asp = 43de
10middot1002
= 20003
= 666 6
Figura 729 Poliacutegono Retangular
para n = 5
Figura 730 Poliacutegono Retangular
para n = 10
Figura 731 Poliacutegono Retangular
inscrito
Figura 732 Poliacutegono Retangular
circunscrito
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 96
Observe que a Figura 732 representa uma imagem ilustrativa de um poliacutegono
retangular superior em que eacute possiacutevel vericar que a aacuterea estaacute bem proacutexima do valor real
exibido anteriormente Note ainda que a medida que aumentamos o valor do cursor (n)
o poliacutegono retangular inscrito aproximasse cada vez mais da aacuterea da faixa de paraacutebola
pretendida (vide gura 731)
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica
O estudo de funccedilatildeo decorre da necessidade de analisar fenocircmenos descrever
regularidades interpretar interdependecircncias e generalizar Eacute preciso ter em mente que o
termo funccedilatildeo eacute mais abrangente e complexo do que a deniccedilatildeo apresentada ou seja eacute
necessaacuterio mostrar ao aluno que esse toacutepico usado de forma sistemaacutetica em exatas e no
seu cotidiano eacute de suma importacircncia para o meio social pois vaacuterias relaccedilotildees de mercado
e capital engenharia economia (micro e macro) sauacutede transportes induacutestrias artes
energia enm uma diversidade de aacutereas dependem de uma anaacutelise clara e objetiva da
funcionalidade de um modelo ou paracircmetro a ser adotado
Os casos em que haacute o emprego das noccedilotildees elementares no estudo de Fiacutesica
durante a etapa do ensino meacutedio satildeo frequentes e corriqueiros Observe os casos em que
eacute possiacutevel explorar tais ideias durante o ensino meacutedio
No 1o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Velocidade x Tempo (Deslocamento)
bull graacuteco de Aceleraccedilatildeo x Tempo (Velocidade)
bull graacuteco de Forccedila x Distacircncia (Trabalho)
bull graacuteco de Forccedila x tempo (Impulso)
No 2o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Trabalho realizado por um gaacutes ideal)
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Transformaccedilatildeo isoteacutermica)
bull graacuteco de calor especiacuteco x variaccedilatildeo de temperatura (Quantidade de Calor)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 97
No 3o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Corrente x Tempo (Carga)
bull graacuteco de Campo eleacutetrico x distacircncia (Forccedila eleacutetrica)
bull graacuteco de Resistecircncia x corrente (Tensatildeo)
Eacute possiacutevel citar outros casos mais especiacutecos poreacutem fogem ao escopo desse
material A seguir seraacute apresentado um estudo de catildeo referente ao caacutelculo da aacuterea sob o
graacuteco de uma dada relaccedilatildeo entre duas grandezas
A riqueza de tal estudo que eacute uma aplicaccedilatildeo baacutesica do caacutelculo integral vai
ao encontro dos ideais de interdisciplinaridade e contextualizaccedilatildeo defendidos pelos Paracirc-
metros Curriculares Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) [20] e pela Lei de Diretrizes e
Bases da Educaccedilatildeo (LDB) [30]
Os PCNEM (2002) [21] foram formulados a partir da discussatildeo entre especi-
alistas e educadores pertencentes aos domiacutenios do territoacuterio nacional Sua nalidade eacute
bastante abrangente dado que se pretende dar suporte as equipes escolares na execuccedilatildeo
de seus trabalhos com o intuito de promover o aperfeiccediloamento da praacutetica educativa por
meio de estiacutemulo e apoio agrave reexatildeo sobre a praacutetica diaacuteria ao planejamento de aulas e
ao desenvolvimento do curriacuteculo da escola de maneira a construir um processo contiacutenuo
de ensinoaprendizagem e a contribuir satisfatoriamente para a atualizaccedilatildeo prossional e
para a integraccedilatildeo ao mundo contemporacircneo nas dimensotildees fundamentais da cidadania e
do trabalho
Nesse iacutenterim que foca numa aprendizagem de formaccedilatildeo geral em que se pri-
oriza a aquisiccedilatildeo de conhecimentos a preparaccedilatildeo cientiacuteca e a capacidade de utilizar as
diferentes tecnologias relativas agraves aacutereas de atuaccedilatildeo a pretensatildeo dessa sequencia didaacutetico
tem a nalidade de contribuir para a transformaccedilatildeo do ensino meacutedio assim como formar
alunos capazes de buscar analisar e selecionar informaccedilotildees de modo criacutetico em detrimento
do ensino focado nos processos de memorizaccedilatildeo
A integraccedilatildeo e o uso da Matemaacutetica para justicar fatos da Fiacutesica sempre
foram e seratildeo mecanismos favoraacuteveis para o desenvolvimento da ciecircncia e da tecnologia
Eacute vaacutelido ressaltar que para propagar tais ideias eacute necessaacuterio discutircomentar
alguns preacute-requisitos matemaacuteticos e fiacutesicos de acordo com a seacuterie em que haacute pretensatildeo a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 98
aplicar a referida teacutecnica Eacute de suma importacircncia que o aluno saiba e domine os conceitos
de funccedilatildeo uacuteteis na construccedilatildeo do esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo proposta Assim a primeira
etapa de todo o processo consiste numa revisatildeo de toacutepicos de funccedilatildeo (1o grau 2o grau
exponencial logariacutetmica trigonomeacutetrica hipeacuterbole equilaacutetera etc) de acordo com o
enfoque que o professor trabalharaacute
Por exemplo caso o professor esteja interessado apenas em aplicar os conceitos
de limite agraves funccedilotildees do 1o grau cujos graacutecos seratildeo guras planas poligonais natildeo haacute
necessidade de explanar as demais funccedilotildees Jaacute o educador que pretende estudar tais
fenocircmenos que desembocam em graacutecos paraboacutelicos eacute preciso discutir com os alunos
toacutepicos relacionados ao estudo das funccedilotildees quadraacuteticas e suas relaccedilotildees graacutecas com o
estudo da paraacutebola Nos outros casos recomenda-se prosseguir com raciociacutenio anaacutelogo
O nuacutemero de aulas previstas de revisatildeo dependeraacute do niacutevel da turma em que se pretende
aplicar o trabalho
Aleacutem disso eacute preciso utilizar o laboratoacuterio de informaacutetica como recurso suple-
mentar para o ensino e manejo do software de geometria dinacircmica GeoGebra Em geral
de duas a quatro aulas satildeo sucientes para aprender a usar de forma baacutesica desde que haja
planejamento de atividades e interesse por parte discente e docente no aprimoramento da
utilizaccedilatildeo
Apoacutes o domiacutenio das ferramentas baacutesicas do GeoGebra eacute hora de propor a
plotagemconstruccedilatildeo de graacutecos Eacute recomendaacutevel que o professor inicie seu trabalho a
partir de uma situaccedilatildeo problema que empregaraacute conceitos de funccedilatildeo do 1o grau e que
implicaraacute na utilizaccedilatildeo dos conceitos fiacutesicos de acordo com a seacuterie momentacircnea Forneccedila
os dados via tabela via texto ou via foacutermula Solicite a interpretaccedilatildeo da funccedilatildeo com
questionamentos Quem eacute a variaacutevel dependente e a independente Como representamos
tal situaccedilatildeo gracamente O que representa o produto das variaacuteveis Etc
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea
Para compreender o signicado de velocidade instantacircnea de um moacutevel em
movimento faz-se necessaacuterio compreender o conceito de taxa de variaccedilatildeo
Considere que x = f(t) seja equaccedilatildeo que descreve o movimento do moacutevel
(funccedilatildeo horaacuteria do moacutevel) A velocidade meacutedia (vm) de um moacutevel entre os instantes t1
e t2 = t1 +4t eacute denida como a razatildeo entre variaccedilatildeo do espaccedilo percorrido pelo tempo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 99
gasto para executar tal deslocamento
vm =4S4t
=s2 minus s1t2 minus t1
=f(t2)minus f(t1)(t1 +4t)minus t1
=f(t1 +4t)minus f(t1)
4t
Tomando 4trarr 0 tem-se que vm tende para a velocidade instantacircnea isto eacute
vinstatanea = lim4trarr0
f(t1 +4t)minus f(t1)4t
A razatildeo f(t1+4t)minusf(t1)4t eacute denominada de Quociente de Newton Esse quociente eacute
bastante corriqueiro em problemas de Matemaacutetica (problemas de tangecircncia a curvas) Fiacute-
sica (velocidade instantacircnea aceleraccedilatildeo instantacircnea etc) Quiacutemica (quociente de reaccedilotildees
quiacutemicas) e Economia (problemas de custo marginal) No estudo de caacutelculo esse conceito
receberaacute o nome de derivada de uma funccedilatildeo em um dado ponto ou ainda representa
geometricamente a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacuteco no ponto (t f(t))
Nesse momento seria interessante propor atividades de cunho experimental
com carrinhos de exatildeo ou com problemas de queda livre Nessa tarefa aleacutem de realizar
anotaccedilotildees acerca de deslocamentos e tempos decorridos eacute interessante solicitar a cons-
truccedilatildeo de um esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo e propor questionamentos aos alunos acerca da
aacuterea sob o graacuteco da curva obtida ao traccedilar o graacuteco
Situaccedilatildeo Problema Caacutelculo da distacircncia d percorrida por um moacutevel com ve-
locidade v(t) no intervalo de tempo [a b]
1o caso Se a velocidade v(t) for constante e igual a v segue que
d = vt = v(bminus a)
2o caso Se a velocidade v(t) natildeo for constante em [a b] entatildeo eacute possiacutevel
adotar uma subdivisatildeo desse intervalo em n particcedilotildees de mesmo comprimento e supor
que a velocidade seja constante em cada subintervalo Isto eacute adotando t1 t2 t3 t4 middot middot middot tncomo comprimento desses subintervalos tem-se
d sim= v1t1 + v2t2 + v3t3 + middot middot middot+ vntn
Observe a situaccedilatildeo ilustrativa de aplicaccedilatildeo das ideias difundidas acima por
meio da anaacutelise da tabela que fornece a velocidade de um corpo que se desloca com
movimento retiliacuteneo em diversos instantes
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 100
Tabela 74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo
t(segundos) 0 1 2 3 4 5
v (ms) 2 5 8 11 14 17
Figura 733 Trapeacutezio retacircngulo
Fonte GeoGebra
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle
Um gaacutes sofre transformaccedilatildeo isoteacutermica quando haacute variaccedilatildeo da sua pressatildeo e do
seu volume sem que haja variaccedilatildeo de sua temperatura isto eacute a temperatura permanece
constante Daiacute se explica o nome da transformaccedilatildeo que eacute uma fusatildeo do prexo iso (do
grego iso = igual) com a palavra thermo (do grego thermo = calor)
Segundo a Lei de Boyle-Mariotte a pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo
inversamente proporcionais ou seja aumentando a pressatildeo o volume de gaacutes diminui
Um exemplo simples praacutetico e presente diariamente em nosso dia-a-dia eacute o
ecircmbolo de uma seringa Como a Pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo inversamente
proporcionais segue que PV = k Observe a situaccedilatildeo hipoteacutetica tabulada e a construccedilatildeo
do graacuteco a partir de tais dados Daiacute decorre que os pontos da curva geram de fato uma
hipeacuterbole Isto eacute por intermeacutedio da construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo (hipeacuterbole) y = 54x
eacute possiacutevel conjecturar um valor para o trabalho realizado no intervalo [3 24] O eixo das
abscissas conteacutem os valores do volume enquanto o eixo das ordenadas conteacutem os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 101
da pressatildeo do referido gaacutes em estudo
Tabela 75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio
Pressatildeo (atm) Volume (ml) Produto (P middotV )
3 18 54
6 9 54
12 45 54
18 3 54
24 225 54
Note que a aproximaccedilatildeo via poliacutegonos retangulares inferiores quanto a aproxi-
maccedilatildeo via poliacutegonos retangulares superiores estaacute tendendo para um nuacutemero entre 11212
e 11246 unidades de aacuterea Como a aacuterea em questatildeo representa o trabalho realizado pelo
gaacutes e conforme jaacute foi provada a referida aacuterea pode ser obtida a partir de uma subtraccedilatildeo
entre os logaritmos naturais das abscissas do intervalo [3 24] segue que o trabalho (T )
realizado seraacute dado por T = 54(ln 24minus ln 3) sim= 112 289
Figura 734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000
Fonte GeoGebra
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada
Eacute consenso entre os estudiosos do assunto de que a introduccedilatildeo do estudo de
derivadas deve ser realizada por meio de suas aplicaccedilotildees como por exemplo ao introduzir
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 102
conceitos de pressatildeo densidade da massa densidade da carga eleacutetrica e em problemas de
tangecircncia em determinados pontos de uma curva
Vaacuterios artigos da RPM jaacute mencionaram a importacircncia desse estudo e defen-
deram de forma ferrenha e de acordo com histoacuteria o estudo das derivadas Dentre os
inuacutemeros artigos que citam diretaindiretamente o ensino de derivadas merece destaque
os artigos de AacuteVILA (1991) [1] nas revistas de nuacutemero 18 23 e 60 e o artigo dos professores
WAGNER e CARNEIRO (2004) [32] na revista de nuacutemero 53
Analisando o artigo mais recente da RPM de nuacutemero 60 sobre o tema cuja
autoria eacute exclusiva do professor AacuteVILA (2006) [2] eacute possiacutevel vericar a possibilidade de
aplicaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular do estudo inicial de derivadas
no Ensino Meacutedio Nesse artigo o autor critica as abordagens feitas pelos livros didaacuteticos
e propotildee uma abordagem segundo a utilizaccedilatildeo de ferramentas do Caacutelculo diferencial e
integral com o intuito de promover um ensino baacutesico de forma ampla contextualizada e
harmocircnica com outras aacutereas do conhecimento
A princiacutepio AacuteVILA [2] apresenta o estudo das coordenadas do veacutertice de uma
paraacutebola conforme a maioria dos livros didaacuteticos nos apresenta isto eacute um amontoado de
proposiccedilotildees e foacutermulas sem justicativas e aceitas via decoreba sem demonstraccedilatildeo formal
ou intuitiva Um verdadeiro disparate dado que haacute uma desvinculaccedilatildeo entre deniccedilatildeo
do veacutertice e a funccedilatildeo propriamente dita cujo graacuteco eacute uma paraacutebola Segundo SANTOS
(2006) [24]
a deniccedilatildeo mais natural e contextualizada seria a de que o veacutertice daparaacutebola eacute o ponto que representa o extremo (maacuteximo ou miacutenimo) dafunccedilatildeo quadraacutetica sendo a abscissa o ponto onde esse extremo eacute atingidoe a ordenada o valor extremo assumido Dessa forma ao considerar umafunccedilatildeo quadraacutetica como um modelo matemaacutetico ca clara a importacircnciade se obter o veacutertice da paraacutebola ao interpretaacute-lo como o extremo dafunccedilatildeo (SANTOS [24] 2006 p4)
Eacute importante salientar que segundo AacuteVILA (2006) [2] para seguir os proacuteximos
passos propostos na RPM de nuacutemero 60 faz-se necessaacuterio uma abordagem inicial do estudo
de derivadas conforme a maior parte dos livros didaacuteticos de Caacutelculo apresenta em que o
limite das inclinaccedilotildees das retas secantes ao graacuteco de uma paraacutebola (y = ax2 + bx + c)
tende para (2ax+ b) A apresentaccedilatildeo desse estudo eacute feita posteriormente com auxiacutelio do
GeoGebra Caso natildeo seja suciente a atividade proposta eacute recomendado realizar uma
leitura criacutetica e minuciosa da exposiccedilatildeo desse assunto em STEWART (2006) [37]
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 103
A partir desses preacute-requisitos eacute possiacutevel introduzir as noccedilotildees elementares de
derivada difundidas no presente artigo Nele haacute uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica da derivada
relacionada ao coeciente angular da reta tangente ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica em
cada ponto descartando a anaacutelise via zeros da funccedilatildeo Como a inclinaccedilatildeo da reta tangente
no veacutertice da paraacutebola possui valor nulo uma vez que a reta tangente eacute horizontal segue
que a derivada da funccedilatildeo (f(x) = ax2+ bx+ c) no ponto que conteacutem a abscissa do veacutertice
eacute igual a zero isto eacute
f prime(x) = 0hArr 2axv + b = 0hArr minusb2a
Jaacute a ordenada yv pode ser obtida como a imagem da abscissa ou seja substituindo o
valor da abscissa do veacutertice na funccedilatildeo quadraacutetica
Nesse mesmo artigo AacuteVILA (2006) [2] cita uma aplicaccedilatildeo da derivada segunda
para uma anaacutelise da concavidade da paraacutebola e aleacutem disso tambeacutem faz uma citaccedilatildeo de
referecircncia a uma aplicaccedilatildeo da derivada como taxa de variaccedilatildeo no estudo de Mecacircnica na
Fiacutesica A explanaccedilatildeo com riqueza de detalhes caraacute a cargo do leitor pois assim evita-se
uma fuga demasiada do escopo da discussatildeo desse trabalho de dissertaccedilatildeo
Veja o esboccedilo da situaccedilatildeo descrita acima
Figura 735 Reta tangente a uma dada paraacutebola
Fonte RPM [2] n60
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 104
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada
Conforme a maioria dos livros didaacuteticos de caacutelculo propotildee recomenda-se que a
introduccedilatildeo do estudo de derivadas seja realizada a partir da situaccedilatildeo problema de traccedilar
a reta tangente a uma curva num determinado ponto
Se a gura curviliacutenea for uma circunferecircncia basta encontrar a reta que toca
a circunferecircncia em um uacutenico ponto Mas essa noccedilatildeo natildeo pode ser estendida como caso
geral pois haacute diversos exemplos de curvas qualquer em que uma dada reta intercepta
somente em um ponto e tal reta natildeo representa a reta tangente Por exemplo se a
referida curva fosse uma paraacutebola eacute oacutebvio que a reta vertical que representa o eixo da
paraacutebola intercepta a curva somente em seu veacutertice e tal reta natildeo representa uma reta
tangente da paraacutebola Sendo assim faz-se necessaacuterio criar uma deniccedilatildeo geral capaz de
ser utilizada em qualquer graacuteco curviliacuteneo
Para isso eacute necessaacuterio partir de uma situaccedilatildeo concreta por exemplo esco-
lhendo o graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Considere dois pontos nessa curva
P = (a f(a)) e Q = (a+h f(a+h)) A proposta exibida abaixo eacute referente a uma anaacutelise
da inclinaccedilatildeo das retas secantes quando Q se aproxima de P com a intenccedilatildeo de conjectu-
rar uma deniccedilatildeo precisa de reta tangente via razatildeo incremental (inclinaccedilatildeo coeciente
angular)
Observe o procedimento da situaccedilatildeo descrita via representaccedilatildeo no GeoGebra
cujos passos devem ser repassados conforme proposiccedilatildeo abaixo
1o passo Digite na linha de comandos (campo entrada) a lei de formaccedilatildeo da
funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2)
2o passo Crie dois controles deslizantes a e h O primeiro (a) com intervalo
de variaccedilatildeo de -10 ateacute 10 com incremento de 01 O segundo (h) com mesmo intervalo e
com mesmo de 001
3o passo Crie dois pontos (A e Q) O primeiro com coordenadas A = (a f(a))
e o segundo com coordenadas Q = (a+ h f(a+ h)) Em seguida crie a reta denida por
dois pontos (A e Q)
4o passo Crie uma razatildeo incremental (m) tal que
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 105
5o passo Solicite aos alunos que realize variaccedilatildeo no controle deslizante a e no
controle deslizante h
6o passo Mantenha o controle deslizante na posiccedilatildeo a = 1 e faccedila variaccedilotildees no
controle deslizante h
7o passo Solicite aos alunos que comparem o valor do coeciente angular da
reta AQ com o valor da razatildeo incremental (m) quando o ponto Q se aproxima do ponto
A em sua vizinhanccedila
A seguir observe as retas secantes ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2
com representaccedilatildeo de limites laterais (h = minus004 e h = 004) Eacute vaacutelido que apoacutes a
realizaccedilatildeo dos passos descritos e de analisar as conjecturas obtidas pelos alunos o professor
deve realizar diversos questionamentos acerca da atividade desenvolvida dentre os quais
o de maior destaque consiste em observar o que acontece na vizinha do ponto P = (1 1)
Figura 736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda)
Fonte GeoGebra
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 106
Figura 737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita)
Fonte GeoGebra
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada
Apoacutes realizar experimento via GeoGebra e incitar conjecturar a partir de inuacute-
meras modicaccedilotildees nos cursores (a e h) que conduzem alteraccedilotildees no ponto escolhido e no
incremento lateral analisado eacute hora de utilizar o quadro da sala de aula com o intuito
de realizar um estudo algeacutebrico das etapas a partir da anaacutelise da razatildeo incremental (m)
comparando com o valor do coeciente angular da reta secante AQ
Observe como seria o referido estudo analiacutetico e algeacutebrico
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
=f(a+ h)minus f(a)(a+ h)minus h
=(a+ h)2 minus a2
h
=2ah+ h2
h
= 2a+ h
Note que quanto mais proacuteximo o ponto Q estiver em relaccedilatildeo ao ponto A o
valor de h tenderaacute a zero isto eacute
limhrarr0
[m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
] = limhrarr0
[2a+ h] = 2a
Note que para a = 1 implica em m = 2 ou seja a inclinaccedilatildeo da secante
AQ tambeacutem seraacute igual a 2 e nesse momento a reta via GeoGebra secante deixa de
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 107
existir pois natildeo faz sentido para o programa divisatildeo com denominador nulo Mas eacute
vaacutelido ressaltar que a reta existe e trata-se da reta tangente cuja inclinaccedilatildeo (coeciente
angular ou razatildeo incremental) coincide com o valor da derivada no ponto A Caso o
professor ache conveniente introduza a notaccedilatildeo de derivada primeira num ponto qualquer
determinado (f prime(a) = 2a) Essa atitude de acordo com o niacutevel de abstraccedilatildeo da turma
pode ser um belo exemplo e uma boa alternativa de introduccedilatildeo das teacutecnicas e propriedades
de derivaccedilatildeo da funccedilatildeo polinomial
Na atividade proposta tambeacutem foi utilizada a funccedilatildeo quadraacutetica mas eacute vaacute-
lido salientar que haacute viabilidade e facilidade da extensatildeo para demais funccedilotildees (1o grau
exponencial logariacutetmica e ateacute mesmo a funccedilatildeo trigonomeacutetrica)
O problema descrito abaixo eacute referente a uma situaccedilatildeo problema de utilizaccedilatildeo
praacutetica do estudo de derivada com auxiacutelio do GeoGebra
1a Situaccedilatildeo problema Aplicaccedilatildeo num problema de maximizaccedilatildeo
Um terreno em formato retangular possui periacutemetro de medida igual a 74
metros A partir dessa informaccedilatildeo determine a medida dos lados desse retacircngulo para
que a aacuterea desse terreno seja maacutexima
Resoluccedilatildeo passo a passo via GeoGebra
1o passo Equacionar o problema a partir dos dados
Sejam a e b os lados do terreno em questatildeo
Como o periacutemetro mede 74 metros segue que 2a+ 2b = 74
Isto eacute a+ b = 37 que eacute equivalente a b = 37minus a
Como o problema solicita os valores das dimensotildees que geram aacuterea (S)maacutexima
segue que S = ab = a(37minus a) = minusa2 + 37a
2o passo Apoacutes o equacionamento construir via GeoGebra o graacuteco da funccedilatildeo
quadraacutetica obtida (f(x) = minusx2 + 37x)
3o passo Criar um controle deslizante (a) de intervalo de -50 a 50 com incre-
mento de 01
4o passo Criar um ponto de coordenadas P = (a f(a)) Em seguida criar
uma reta tangente no ponto P
5o passo Varie o controle deslizante e observe na janela de aacutelgebra os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 108
das ordenadas do ponto P
Observe a imagem da tela do GeoGebra apoacutes sequencia dos passos anteriores
Figura 738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular
Fonte Imagem capturada de janela do GeoGebra
Note que quando o ponto P atinge o veacutertice (V ) da paraacutebola as coordenadas
desse ponto satildeo dadas por V = (185 34225) Assim eacute possiacutevel concluir que a funccedilatildeo
aacuterea assume valor maacuteximo quando a reta tangente torna-se horizontal isto eacute a maacutexima
aacuterea ocorre quando a inclinaccedilatildeo da reta tangente eacute igual a zero e o retacircngulo torna-se um
quadrado de lado de medida 185 metros Utilizando a linguagem do caacutelculo eacute possiacutevel
dizer que a aacuterea eacute maacutexima quando a derivada no ponto P eacute igual a zero (vide imagem a
seguir)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 109
Figura 739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica
Fonte Imagem capturada da janela do GeoGebra
110
8 CONCLUSAtildeO
Ao tomar a decisatildeo nal de pesquisar sobre o tema em estudo e escrever uma
proposta de sequecircncia didaacutetica de resgate agrave inserccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
durante o Ensino Meacutedio eacute importante confessar que a princiacutepio tal ideia aparentemente
foi considerada absurda antiquada e de discussatildeo despreziacutevel Apoacutes nalizar todo o levan-
tamento de dados dessa dissertaccedilatildeo foi possiacutevel perceber quatildeo eacute pertinente tal discussatildeo
e quanto o ensino estaacute sendo negligenciado por professores experientes e de reputaccedilatildeo
ilibada no mercado da terceira etapa da educaccedilatildeo baacutesica
Assim como opinaram a maioria dos professores que atua na rede municipal
e estadual do Espiacuterito Santo nossa visatildeo a priori do tema da pesquisa era criacutetica e
contraacuteria agrave introduccedilatildeo de conceitos de limite deriva e integral Uma justicativa plausiacutevel
seria dizer que a clientela existente na educaccedilatildeo baacutesica diariamente estaacute constantemente
nos desapontando com problemas simples de matemaacutetica elementar e isso talvez tenha
contribuiacutedo para o equiacutevoco de considerar tal proposta absurda impossiacutevel e incompatiacutevel
com a realidade da maioria das escolas capixabas poreacutem em contrapartida eacute preciso
focar a atenccedilatildeo ao prejuiacutezo que estamos causando agravequela minoria de estudantes aacutevidos
pelo saber e que possuem alto grau de abstraccedilatildeo A preparaccedilatildeo de nossos alunos para
ingressarem no estudo de matemaacutetica superior natildeo estaacute sendo suciente Isso pode ser
uma das justicas para os piacuteos iacutendices de aprovaccedilatildeo da maior parte dos alunos que
estudam Caacutelculo A implementaccedilatildeo de nossa proposta em sala de aula mesmo que seja
para um seleto grupo pode gerar mudanccedilas signicativas com contribuiccedilotildees iacutempares para
o ensinoaprendizagem dos alunos partiacutecipes
Tambeacutem foi possiacutevel reetir sobre vaacuterios pontos da educaccedilatildeo matemaacutetica ca-
pixaba em particular do puacuteblico alvo da pesquisa pertencente agrave Grande Vitoacuteria que
perpassa desde a formaccedilatildeo inconsistente dos professores seja de instituiccedilatildeo puacuteblica ou
privada ateacute a precariedadenegligecircncia de nossos livros didaacuteticos do curriacuteculo estadual
dos PCN da proposta do ENEM e dos cursos de capacitaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao repasse de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo
O presente trabalho serviu para nos alertar sobre a importacircncia da Histoacuteria
8 CONCLUSAtildeO 111
da Matemaacutetica na evoluccedilatildeo dos conceitos Agraves vezes desejamos que os alunos aprendam
algo em um dia sendo que tal conceito demorou seacuteculos para atingir o rigor e o padratildeo
preestabelecido em nossas literaturas de matemaacutetica Aleacutem disso serviu de instrumento
norteador para pensar em mudanccedilas ou adaptaccedilotildees signicativas em nossos livros didaacute-
ticos para que os mesmos estejam em conformidade com a proposta constitucional de
preparaccedilatildeo para uma continuaccedilatildeo de estudos mais avanccedilados Tambeacutem serviu de aper-
feiccediloamento do conhecimento via emprego praacutetico e motivador de planilhas eletrocircnicas e
softwares de geometria dinacircmica (GeoGebra) Como esses recursos podem tornar as aulas
mais interessantes e fazer com que o ensinoaprendizagem seja facilitado
O emprego das noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio via noccedilotildees intuitivas e
via situaccedilotildees problema de aplicaccedilotildees reais pode ser incluso novamente nos PNCEM
no curriacuteculo estadual eou entatildeo nas estrateacutegias suplementares do plano pedagoacutegico da
escola baacutesica com o intuito de oportunizar um aprendizado mais qualicado aos alunos
e de preparaacute-los para estudos posteriores com maior teor de abstraccedilatildeo Foi possiacutevel
vericar que algumas propriedades satildeo justicadas de maneira rigorosa apenas com o
auxiacutelio de ideais correlatas do Caacutelculo (limite derivada e integral) principalmente a
explicaccedilatildeo matemaacutetica de alguns fenocircmenos fiacutesicos e quiacutemicos tornando a matemaacutetica
interdisciplinar
Enm eacute preciso ensinar matemaacutetica com o intuito de formar alunos aptos a
lidar com situaccedilotildees extremas de abstraccedilatildeo nas universidades e natildeo somente para adqui-
rirem bom rendimento nos exames de caraacuteter nacional (ENEM PAEBES etc) Anal
a omissatildeo pode estar causando resultados negativos como desmotivaccedilatildeo dos alunos da
escola baacutesica reduccedilatildeo de procura por cursos que requerem uma boa formaccedilatildeo na aacuterea
de exatas e aulas expositivas cada vez mais distantes da realidade cotidiana dos nossos
alunos Assim as poliacuteticas governamentais assim como os professores devem participar
dessas discussotildees com propostas de viabilidade de cursos de capacitaccedilatildeo que oriente os
prossionais a trabalharem com as noccedilotildees de Caacutelculo via aulas expositivas com adaptaccedilotildees
de recursos didaacuteticos disponiacuteveis e via produccedilatildeo de material especiacuteco que complemente as
lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos disponiacuteveis Essa adaptaccedilatildeo ao modelo tradicional
de ensino que jaacute se mostrou desmotivador arcaico e ultrapassado pode ser uma alterna-
tiva eciente para resgatar a busca incessante pelo aprofundamento do saber matemaacutetico
fiacutesico e quiacutemico por parte dos alunos
112
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos
graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo
A)
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)113
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)114
115
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos
professores de Matemaacutetica (Anexo B)
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 116
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 117
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 118
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15 de Marccedilo de 2014
REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 122
[35] WIKIPEacuteDIA Desenvolvido pela Wikimedia Foundation Apresenta conteuacutedo enci-
clopeacutedico Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiMatemaacuteticababilnica Aces-
sado em 20 de Marccedilo de 2014
[36] GOMES Gisela Hernandes Lopes Ceacutelia Mendes Carvalho Nieto Solange dos San-
tos Caacutelculo zero uma experiecircncia pedagoacutegica com calouros nos cursos de engenharia
In CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA 33 2005 Cam-
pina Grande Anais Campina Grande UFPB 2005 CD-ROM
[37] STEWART James CALCULO vol I Traduccedilatildeo da 5aEd Satildeo Paulo Pioneira
Thomson Learning 2006
Abstract
This work is an alternative return of the issues related to Dierential and
Integral Calculus approach intuitive and constructive way during high school The deve-
lopment of this material starts with doing historical research on the evolution of the study
of limit derivative and integral then it is a survey of data between faculty and graduate
students about the impacts (advantagesdisadvantages) that the transfer of redemption
ideals related calculation would provide In order to justify the proposed restoration a
mapping of the contents that require focus on intuitive notions of calculus in the main
textbooks used traditionally in public and private schools capixabas was performed It
was questioned from the grade teachers the vision of the National Curriculum Parame-
ters (PCN) the core curriculum the availability of training courses and specic teaching
materials for conducting such an initiative as well as the situation in which you can enter
these concepts was evaluated harmlessly and commitment to teachinglearning of stu-
dents After analyzing the main issues that require the use of concepts of Calculus in
general was set up to draft sequence with didactic activities strategies and methodologies
developed and presented in a constructive and intuitive way
Keywords Calculus Limit Derivative Ingegral GeoGebra
Agradecimentos
A princiacutepio gostaria de agradecer a Deus por me proporcionar uma vida sau-
daacutevel (repleta de sabedoria inteligecircncia e amizade) uma famiacutelia majestosa amigos mag-
niacutecos e uma esposa formidaacutevel a qual amo muito
Em segundo plano e em caraacuteter especial gostaria de agradecer aos meus pais
(Luiza e Miguel) que satildeo a razatildeo do meu viver a minha avoacute (Salviana) que eacute uma
lutadora e uma educadora incansaacutevel a minha esposa (Taniara) que realizou mudanccedilas
signicativas na minha vida e aleacutem disso meus agradecimentos a todos os meus pro-
fessores da educaccedilatildeo baacutesica ateacute o ensino superior pelo aprendizado pela educaccedilatildeo pela
paciecircncia pelo incentivo e pela dedicaccedilatildeo fervorosa para que o sucesso ateacute aqui conquis-
tado fosse possiacutevel
Enm gostaria de agradecer ao meu orientador (Dr Etereldes) aos professo-
res do PROFMAT e a todos os amigos (alunos e colegas de prossatildeo) que colaboraram
de forma direta (Professores Rubens e Solano) eou indireta para a realizaccedilatildeo dessa
dissertaccedilatildeo
Serei eternamente grato a todos sem distinccedilatildeo e sempre estarei agrave disposiccedilatildeo
para retribuir os gestos de carinho de incentivo e de forccedila a mim repassados nos momentos
difiacuteceis conturbados e desanimadores
A pior ditadura natildeo eacute a que aprisiona
o homem pela forccedila mas sim pela fra-
queza fazendo-o refeacutem de suas proacuteprias
necessidades
Juacutelia Liacutecia
Sumaacuterio
Lista de Figuras 8
Lista de Tabelas 10
1 INTRODUCcedilAtildeO 11
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 15
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 22
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 29
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 32
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 42
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA 45
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
711 Diacutezimas Perioacutedicas 47
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales 50
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas 54
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo 55
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees 60
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de limite 71
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua 72
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri 80
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse 88
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva 90
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica 96
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea 98
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle 100
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada 101
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada 104
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada 106
8 CONCLUSAtildeO 110
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da
FAACZ (Anexo A) 112
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo
B) 115
Referecircncias Bibliograacutecas 119
Lista de Figuras
31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo 22
32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1+ 2460+ 51
602+ 10
603=
1414212 28
71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis 52
74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso) 53
75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos 54
76 Retacircngulo 6 x 5 56
77 Retacircngulo 100 x 80 57
78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita 60
79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5 63
710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50 65
711 Poliacutegono Retangular para n = 100 65
712 Processo recursivo de Quadrados 70
713 Processo recursivo de Triacircngulos Equilaacuteteros 70
714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito) 77
715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8 78
716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10 79
717 Anel Ciliacutendrico 81
718 Casca de Esfera 82
719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica 84
720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 85
721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7 86
722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 87
723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 87
724 Elipse inscrita numa circunferecircncia 89
725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante 91
726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer 91
727 Quadratura do ciacuterculo para n = 11 92
728 Quadratura do ciacuterculo para n = 100 92
729 Poliacutegono Retangular para n = 5 95
730 Poliacutegono Retangular para n = 10 95
731 Poliacutegono Retangular inscrito 95
732 Poliacutegono Retangular circunscrito 95
733 Trapeacutezio retacircngulo 100
734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000 101
735 Reta tangente a uma dada paraacutebola 103
736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda) 105
737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita) 106
738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular 108
739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica 109
9
Lista de Tabelas
51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos 41
71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2 59
72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais 72
73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler 75
74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo 100
75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio 101
11
1 INTRODUCcedilAtildeO
Haacute pontos especiacutecos na educaccedilatildeo baacutesica em que a ideia intuitiva de limite
de derivada e de integral estaacute presente Como satildeo tratados os casos em que eacute necessaacuterio
mencionar as noccedilotildees de limite ou de integral para discutir uma consequecircncia natural de
um assunto elementar Como os livros didaacuteticos tratam o assunto Qual a visatildeo dos pro-
fessores diante do tema Como os Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) lidam com a
situaccedilatildeo Em que estados brasileiros nota-se a presenccedila e a aplicabilidade de tais noccedilotildees
elementares do Caacutelculo Como as consequecircncias imediatas dessa posturaapresentaccedilatildeo
preacute-matura estatildeo interferindo no rendimento dos cursos de Caacutelculo no niacutevel superior De
que maneira podemos introduzir e abordar esse peculiar assunto sem causar constrangi-
mentos e traumas em nossos alunos Em que contexto histoacuterico se deu o processamento
das ideias de limite Tais ideias satildeo largamente empregadas no nosso dia-a-dia Como
explorar as noccedilotildees de limite de derivada e de integral via softwares de geometria dinacircmica
(especicamente o GeoGebra) Como explorar as noccedilotildees de limite via planilhas eletrocirc-
nicas (Microsoft Excel) O que eacute limite e como introduzir sem exageros e formalidades
de maneira que os alunos consigam acompanhar tal abstraccedilatildeo Qual a ordem cronoloacutegica
dos fatos surgiu o Caacutelculo Integral ou primeiro o Caacutelculo Diferencial Como propor a
inserccedilatildeo de limite nos estudo das derivadas O que eacute derivada Soacute se aprende derivada
se souber limite Como interligar a deniccedilatildeo de limite com a noccedilatildeo de integral O que
eacute integral Qual foi a evoluccedilatildeo histoacuterica (limite derivada e integral) Quais principais
precursores (paiacutes cidade natal seacuteculo data problematizaccedilatildeo etc) QueQual percen-
tual de alunos aprendeu alguma noccedilatildeo de limite de derivada ou de integral durante a
educaccedilatildeo baacutesica Quais as vantagens em ensinar as noccedilotildees de limite de derivada e de
integral na educaccedilatildeo baacutesica em particular no ensino meacutedio
Diante de tantos questionamentos surge a necessidade de respondecirc-los por
meio de uma reexatildeo acerca dos pontos destacados na pesquisa desenvolvida na pre-
sente dissertaccedilatildeo Inicialmente foi feita uma pesquisa entre os alunos que estatildeo ingres-
sandocursando na Universidade Federal do Espiacuterito Santo (UFES) e no Instituto Federal
do Espiacuterito Santo (IFES) sobre o estudo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo durante as
fases da educaccedilatildeo baacutesica Quem estudou Em que seacuterie se consolidou tal aprendizado
1 INTRODUCcedilAtildeO 12
Haacute conceitos baacutesicos que utilizam as noccedilotildees de limite de derivada e de integral Quais
vantagens obteriam caso tivessem uma base melhor e satisfatoacuteria de tais ideias intuitivas
durante o ensino baacutesico Em segundo momento os professores foram questionados sobre
as vantagensdesvantagens em propor o ensino das noccedilotildees de limite de derivada e de
integrais durante a educaccedilatildeo baacutesica
Em seguida foi feita uma averiguaccedilatildeo que de fato existem conteuacutedos da edu-
caccedilatildeo baacutesica que necessitam de uma abordagem mais especiacuteca das noccedilotildees de limite de
derivada e de integral tais como a representaccedilatildeo decimalfracionaacuteria das diacutezimas pe-
rioacutedicas ao somar os innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo especial
(0 lt |q| lt 1) ao estudar a capitalizaccedilatildeo contiacutenua ao analisar comportamentos graacute-
cos de uma funccedilatildeo para valores muito grande eou pequeno do domiacutenio de uma funccedilatildeo
(funccedilatildeo 1o grau 2o grau exponencial e logariacutetmica) ao calcular da medida da aacuterea de
uma regiatildeo plana qualquer com lados curvos aleacutem das inuacutemeras aplicaccedilotildees no estudo da
Fiacutesica (emprego da hipeacuterbole equilaacutetera na relaccedilatildeo entre pressatildeo e volume de um gaacutes em
condiccedilotildees isoteacutermicas e do conceito de velocidade instantacircnea)
Uma busca nos livros de Histoacuteria da Matemaacutetica com o intuito de desvendar
as maneiras e o contexto sobre os quais se deu o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas de
limite de derivada e de integral ateacute chegar ao cliacutemax da notaccedilatildeo atual e padratildeo formal
ensinado na disciplina de Caacutelculo nas universidades Nesse iacutenterim pretendeu-se propor
uma viagem no tempo ao longo dos seacuteculos em busca de momentos cruciais em que se
desenvolveuaplicou as noccedilotildees elementares do Caacutelculo
Apoacutes mapear as diversas situaccedilotildees problema que serviram de motivaccedilatildeo para
o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo foi realizada uma conferecircncia nos
livros didaacuteticos mais utilizados na educaccedilatildeo baacutesica especicamente na 3a etapa o Ensino
Meacutedio com o intuito de investigar como o assunto eacute introduzido em que conteuacutedos satildeo
discutidos e qual a linguagem utilizada (notaccedilatildeo usual)
Uma pesquisa com graduandos e com professores foi realizada com o intuito
de averiguar se os mesmos trabalham as noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de
integral no ensino baacutesico e como o fazem Quais satildeo suas anguacutestias temores diculdades
sugestotildees etc Haacute cursos de capacitaccedilatildeoformaccedilatildeo de professores nesse sentido Seria
necessaacuterio criar um algoritmo tipo uma receita de bolo um guia didaacutetico um manual
pedagoacutegico de direcionamento de trabalho que norteasse e ensinasse aos professores com
1 INTRODUCcedilAtildeO 13
sugestotildees de abordagem do tema em estudo Em geral os professores possuem conheci-
mentos na aacuterea de utilizaccedilatildeoaplicaccedilatildeo da teoria de limite de derivada e de integral para
empregar em suas aulas a utilizaccedilatildeo de softwares de geometria dinacircmica e softwares que
trabalham com planilha eletrocircnica de estudos
Tendo em matildeos o mapeamento dos conteuacutedos que necessitam de um enfoque
das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral a opiniatildeo dos professores e
dos graduandos a visatildeo apresentada nos livros didaacuteticos e nos Paracircmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) a evoluccedilatildeo histoacuterica e suas situaccedilotildees-problema
foi possiacutevel articular a sequecircncia didaacutetica que de acordo com a nossa visatildeo facilitaria o
entendimento e minimizaria a distacircncia entre o concreto e o abstrato isto eacute reduziria a
margem de abstraccedilatildeo que tais noccedilotildees requerem Nesse sentido o foco da pesquisa tem
como meta a introduccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral de acordo
com a seacuterie do Ensino Meacutedio em que se pretende inserir tais conceitos Tambeacutem eacute vaacutelido
ressaltar que haacute conteuacutedos do Ensino Fundamental que necessitam de um enfoque das
noccedilotildees de Caacutelculo por exemplo o estudo das diacutezimas perioacutedicas a demonstraccedilatildeo completa
do Teorema de Tales e a deniccedilatildeo de aacuterea de uma regiatildeo retangular Nesse iacutenterim o
presente trabalho propotildee uma metodologia de introduccedilatildeo desses conceitos empregando e
entrelaccedilando as noccedilotildees elementares de limite
Para a 1a seacuterie do Ensino Meacutedio a abordagem algeacutebrica foi realizada a partir
do estudo de funccedilotildees e suas implicaccedilotildees e do estudo de sequecircncias (em particular seacuteries
geomeacutetricas convergentes diacutezimas perioacutedicas) que apresentam caracteriacutesticas peculiares
que necessitam do estudo das noccedilotildees de limite Em seguida foi proposta uma aplicaccedilatildeo
desses conceitos numa situaccedilatildeo-problema presente no estudo de matemaacutetica nanceira
(especicamente no estudo de juros compostos) isto eacute foi realizada uma reproduccedilatildeo e
uma anaacutelise do problema proposto por Jacques Bernoulli sobre capitalizaccedilatildeo contiacutenua ou
seja as implicaccedilotildees sobre a evoluccedilatildeo de crescimento de um capital depositado a juros
compostos ser acrescido de juros subdividindo constantemente o intervalo de correccedilatildeo Jaacute
a abordagem geomeacutetrica a ser apresentada tanto no 1o ano quanto no 2o ano conforme
o plano de curso preacute-estabelecido pela unidade escolar se deu por intermeacutedio do estudo
de aacutereas de guras planas em especial aquelas que apresentam lados curviliacuteneos
Ainda na 1a seacuterie do Ensino Meacutedio foi realizada uma anaacutelise comportamental
de graacutecos de funccedilotildees fazendo um paralelo com os graacutecos presentes no estudo de conceitos
da disciplina de Fiacutesica com o intuito particular de explicar o que signica e como se
1 INTRODUCcedilAtildeO 14
calcula a aacuterea sob o graacuteco de uma curva qualquer que relacionam duas variaacuteveis com
grau de dependecircncia (funccedilatildeo de uma variaacutevel) E tambeacutem foi realizada uma anaacutelise da
desintegraccedilatildeo radioativa de uma substacircncia que consiste num problema interdisciplinar
amplamente discutido na Quiacutemica
Para a 2a seacuterie ou 3a seacuterie do Ensino Meacutedio de acordo com curriacuteculo escolar
baacutesico adotado a introduccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo foi realizada em para-
lelo ao estudo de geometria espacial momento em que houve uma revisatildeo do estudo de
aacutereas de guras planas poligonais e a introduccedilatildeo do caacutelculo da aacuterea de uma gura plana
que contenha algum lado curviliacuteneo Posteriormente tais ideias foram aplicadas para
demonstrar as aacutereas superciais e volumes de corpos redondos especiais (cilindros cones
e esferas) utilizando como fonte e direccedilatildeo de trabalho o meacutetodo dos indivisiacuteveis proposto
por Kepler e Cavalieri
Enm a abordagem das noccedilotildees elementares do Caacutelculo na 3a seacuterie do Ensino
Meacutedio foi construiacuteda de maneira correlacionada com o estudo (deniccedilotildees e propriedades)
das cocircnicas (paraacutebolas e hipeacuterboles)
15
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA
INSERCcedilAtildeO
O objetivo da presente pesquisa foi investigar nesse particular espaccedilo amos-
tral que percentual de graduandos teve contato com as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
durante a educaccedilatildeo baacutesica questionando quatildeo signicante foi tal experiecircncia e quais van-
tagensdesvantagens obtiveramobteriam com o contato preacute-liminar com noccedilotildees intuitivas
do Caacutelculo Aleacutem disso entrevistas foram feitas com professores (rede estadual e privada)
que atuam no Ensino Meacutedio e com professores que lecionamlecionaram a disciplina de
Caacutelculo I (limite derivada e integral) e de Fiacutesica Geral I oportunidade em que a visatildeo
dos mesmos seraacute analisada diante da problemaacutetica aqui retratada
A pesquisa foi realizada com parte da turma de 2012 do PROFMAT-UFES
via envio do questionaacuterio por e-mail dos quais apenas dez alunos retornaram respondidos
os questionaacuterios Tambeacutem participaram os vinte e quatro alunos da turma de ingresso ao
PROFMAT 2014 via questionaacuterio impresso o qual foi aplicado no dia 22 de Fevereiro de
2014 na sala 32 do Centro de Ciecircncias Exatas (CCE) da Universidade Federal do Espiacuterito
Santo (UFES) Aleacutem desses professores mestrandos responderam aos questionaacuterios parte
(dez alunos) de uma turma de graduandos (futuros e atuais professores de matemaacutetica)
pertencentes ao curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica pelo Instituto Federal do
Espiacuterito Santo (IFES) uma miacutenima (apenas oito) amostra de professores que atuam no
Ensino Meacutedio da rede estadual especicamente nas escolas da Serra Sede (EEEFM Pro-
fessor Joatildeo Loyola e EEEFM Cloacutevis Borges Miguel) uma pequena amostra de professores
que atuam somente nas faculdades particulares e com alunos graduandos em engenharia
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) que estavam praticamente concluindo o estudo da
disciplina de Caacutelculo e Fiacutesica I
Para discentes foi articulado um questionaacuterio alternativodiscursivo composto
de perguntas pertinentes agraves experiecircncias com o estudo de Caacutelculo I e em particular das
noccedilotildees de limite na educaccedilatildeo baacutesica e as vantagensdesvantagens que a aprendizagem
de tais conceitos lhe renderia A pesquisa foi realizada com uma pequena amostra de
alunos dos cursos de Licenciatura Plena em Matemaacutetica (IFES) e de Engenharia Mecacircnica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 16
(FAACZ)
Jaacute para os docentes foi pensado um questionaacuterio com escalas de classica-
ccedilatildeo em que o professor repassaria dados histoacutericos de suas experiecircncias com a disciplina
de Caacutelculo I desde a graduaccedilatildeo ateacute a realidade encontrada em sua sala de aula caso
seja professor da disciplina de Caacutelculo I com o intuito de questionar quais as facilida-
desdiculdades que a aprendizagem das noccedilotildees de limite e outras noccedilotildees baacutesicas do
Caacutelculo poderiam produzir A pesquisa foi realizada com professores da UFES do IFES
e de algumas escolas particulares que lecionaramlecionam a disciplina de Caacutelculo I em
qualquer curso superior
De acordo com uma anaacutelise geral dos dados da pesquisa foi possiacutevel constatar
que a maioria dos professores seja da rede puacuteblica ou privada atuantes na educaccedilatildeo
baacutesica (Ensino Fundamental e Meacutedio) embora tenha recebido orientaccedilatildeopreparaccedilatildeo es-
peciacuteca que os formassem de maneira satisfatoacuteria para inserir noccedilotildees intuitivas de limite
e ideias correlatas do Caacutelculo nessa fase de ensino ainda natildeo faz ideia de como aplicar
tais conceitos caso os mesmos sejam implementados no curriacuteculo baacutesico Aleacutem disso em
uma conversa informal (bate-papo apoacutes o preenchimento dos questionaacuterios) com um grupo
atuante na rede estadual foi possiacutevel constatar que haacute diculdade de ensinar a matemaacutetica
elementar quanto mais os toacutepicos que remetem o uso de citaccedilatildeo de ideias avanccediladas cujo
grau de abstraccedilatildeo eacute mais acentuado Segundo os professores os alunos chegam ao Ensino
Meacutedio com niacutevel de aprendizagem abaixo do ideal com defasagens gritantes em aritmeacutetica
baacutesica (operaccedilotildees elementares) e com problemas de domiacutenio da liacutengua portuguesa naquilo
que concerne agrave interpretaccedilatildeo de enunciados e compreensatildeo de teorias Foi de consenso
comum entre os professores pesquisados que o trabalho eacute pertinente e de fundamental
importacircncia para sanar problemas como os altos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de
Caacutelculo e Fiacutesica I Tambeacutem consentiram que caso tal pesquisa inuenciasse uma mudanccedila
no curriacuteculo baacutesico da rede estadual de ensino haveria necessidade de um curso especiacuteco
e produccedilatildeo de um material suplementar que os orientasse Aleacutem disso um seleto grupo
informou que hoje seria possiacutevel repassar algumas orientaccedilotildees somente no 3o ano apoacutes a
aplicaccedilatildeo da prova do ENEM periacuteodo em que os alunos praticamente estatildeo aprovados e
teoricamente jaacute estudaram toda a matemaacutetica elementar dos niacuteveis fundamental e meacutedio
Caso contraacuterio veem atualmente viabilidade de aplicaccedilatildeo do estudo proposto somente em
turmas oliacutempicas de matemaacutetica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 17
Os dados especiacutecos da pesquisa podem induzir uma reexatildeo draacutestica de que
os cursos superiores de formaccedilatildeo de professores de matemaacutetica embora repassem aos seus
alunos fundamentos necessaacuterios e sucientes para que os mesmos estejam habilitados para
trabalhar com a proposta presente nesse trabalho a totalidade dos professores questiona-
dos natildeo se sente seguro para repassar noccedilotildees elementares do Caacutelculo a alunos da educaccedilatildeo
baacutesica E mais a maioria dos professores eacute favoraacutevel quanto agrave grade curricular e quanto
agrave adequaccedilatildeo e suciecircncia das disciplinas de Caacutelculo durante a fase de graduaccedilatildeo Um
verdadeiro paradoxo
Segundo os professores pesquisados a assimilaccedilatildeo e o ensinoaprendizagem
dos graduandos poderiam ser melhorados via curso especiacuteco de preacute-Caacutelculo ou propondo
estrateacutegias motivadoras durante o Ensino Meacutedio Ainda armaram estarem cientes da
distacircncia enorme entre o modelo de ensino ofertada pelas Licenciaturas e a realidade dos
alunos em sala de aula aleacutem disso comentaram que a aversatildeo relativa ao ensino de toacutepi-
cos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio eacute explicada devido a experiecircnciasaprendizagens
decitaacuterias durante a fase de graduaccedilatildeo naquilo que tange a metodologia diferenciada (es-
trateacutegias didaacutetica interessemotivaccedilatildeo do professor em ensinar e utilizaccedilatildeo de recursos
didaacuteticos etc)
A partir da pesquisa tambeacutem foi possiacutevel conjecturar que a realidade atual dos
cursos de Caacutelculo pode ser melhorada com uma fuga ao modelo tradicional de ensino
Nesse iacutenterim faz-se necessaacuterio que os professores universitaacuterios estejam mais atentos agrave
didaacutetica de ensino ao planejamento de suas aulas agrave variaccedilatildeo de metodologias de aprendi-
zagem via recursos computacionais disponiacuteveis e via alternativas modernas que favoreccedilam
um aumento no rendimento escolar universitaacuterio com uma consequente reduccedilatildeo dos iacutendi-
ces de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo Eacute impossiacutevel repassar noccedilotildees elementares do
Caacutelculo para os alunos da educaccedilatildeo baacutesica se a formaccedilatildeo que os professores recebem natildeo
eacute satisfatoacuteria ao ponto de que haja seguranccedila e domiacutenio do tema Para isso eacute necessaacuterio
ampliar o leque de discussatildeo das poliacuteticas puacuteblicas educacionais com uma proposta de re-
formulaccedilatildeo dos PCN com proposiccedilatildeo de cursos de capacitaccedilatildeo de professores convenientes
e em horaacuterios adequados e com a produccedilatildeo de um material didaacutetico especiacuteco adequado
agrave realidade da educaccedilatildeo baacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que a retomada do ensino de Caacutelculo
vem acontecendo desde a deacutecada de 90 mas com a preocupaccedilatildeo de que esse posiciona-
mento natildeo venha a sobrecarregar o curriacuteculo e nem esteja distante da realidade do niacutevel
elementar o Ensino Meacutedio a ser apresentada e incluiacuteda a ideia do presente trabalho
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 18
Caso haja educadores contraacuterios a presente proposta com a justicativa de
que o curriacuteculo baacutesico jaacute estaacute abarrotado de conteuacutedos e de ser um instrumento imutaacutevel
seria interessante promover uma formaccedilatildeo completa sobre os Paracircmetros Curriculares
Nacionais e sobre o curriacuteculo baacutesico adotado com o intuito de explicar aos professores
que haacute muito interpretaccedilatildeo equivocada dos PCN dado que os mesmos devem servir como
elemento norteador indicador das habilidades e competecircncias necessaacuterias para garantir o
miacutenimo de aprendizagem signicativa e sem que seja um instrumento impositivo (dono da
verdade deus do universo etc) ou seja quem faz o curriacuteculo de Matemaacutetica eacute o professor
atrelado ao plano pedagoacutegico da escola e matrizes do ENEM
Para encerrar a anaacutelise relativa aos dados da pesquisa eacute vaacutelido salientar que
muitos professores consideraram o questionaacuterio longo e tedioso Essa aversatildeo inicial pode
representar uma justicativa aparente de que a postura dos professores quanto agrave mu-
danccedilasaiacuteda do estado de platocirc atual sempre seraacute uma barreira agrave produccedilatildeo de conheci-
mentos A presente pesquisa cujos dados estatildeo tabulados no anexo A foi realizada com
38 professores atuantes na rede publica e privada com experiecircncia no mercado Parte
desses professores (10) ainda estavam em fase de conclusatildeo do curso de Licenciatura no
IFES De acordo com os dados da pesquisa foi possiacutevel inferir que muitos desses pro-
fessores natildeo possuem o haacutebito de realizar leituras de revistas especializadas (Revista do
Professor de Matemaacutetica (RPM) Revista Caacutelculo) de livros da Sociedade Brasileira de
Matemaacutetica (SBM) de artigos de seminaacuterios de discussatildeo de educaccedilatildeo matemaacutetica e nem
possuem interesse na participaccedilatildeo em simpoacutesios bienais cursos de capacitaccedilatildeo cursos de
veratildeo etc Nesse iacutenterim eacute bom citar que aqueles poucos professores que participaram
de forma remunerada do multicurso de matemaacutetica promovido pela Secretaria Educaccedilatildeo
do Espiacuterito Santo (SEDU) informaram que natildeo houve qualquer menccedilatildeo aos toacutepicos atuais
de discussatildeo do retorno das noccedilotildees elementares do Caacutelculo ao curriacuteculo baacutesico Jaacute aque-
les que estiveram presentes no Programa de Aperfeiccediloamento de Professores do Ensino
Meacutedio (PAPEM) relataram que houve alguma citaccedilatildeo breve do assunto durante as aulas
de viacutedeo conferecircncia e em problemas propostos nas ocinas no periacuteodo vespertino
A outra tabela que consta no anexo B dessa dissertaccedilatildeo representa a tabulaccedilatildeo
dos dados da pesquisa realizada com uma amostra (32 alunos) de alunos (graduandos) do
curso de engenharia mecacircnica da FAACZ
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 19
Inicialmente eacute interessante citar que participaram da pesquisa 32 alunos em
sua maioria graduandos do sexo masculino estudantes do curso de Engenharia Mecacircnica
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) e desse total eacute importante citar que 31 graduandos
estatildeo na faixa etaacuteria abaixo dos 30 anos
De acordo com os dados analisados foi possiacutevel vericar que a faculdade dispo-
nibiliza aos seus alunos um curso de nivelamento (preacute-Caacutelculo) com o intuito de apresentar
aos alunos uma ajuda consideraacutevel para iniciarem o estudo de Caacutelculo e para minimizar a
distacircncia que haacute entre a matemaacutetica elementar promovida na educaccedilatildeo baacutesica e a mate-
maacutetica superior principalmente as noccedilotildees elementares de limite deriva e integral Nesse
curso de nivelamento foram apresentadas aos alunos situaccedilotildees problema que necessitavam
de emprego de noccedilotildees do Caacutelculo A partir da exposiccedilatildeo de problemas concretos proacutexi-
mos da realidade dos alunos foi possiacutevel introduzir de maneira construtiva toacutepicos que
exigiram o emprego de limite de derivada e integral
Segundo a maioria dos alunos o referido curso de preacute-Caacutelculo ofertado contribui
para melhorar o rendimento em todos os aspectos e responderam que caso a introduccedilatildeo
das ideias difundidas no curso de nivelamento tivessem sido realizadas durante o ensino
meacutedio haveria uma melhora consideraacutevel no ensinoaprendizagem
Ao questionar sobre a sequecircncia da histoacuteria da evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi possiacutevel
constatar que quase a totalidade dos alunos natildeo tiveram uma introduccedilatildeo histoacuterica da
evoluccedilatildeo do Caacutelculo pois a maioria deles (20 alunos) armou que a evoluccedilatildeo do Caacutelculo
estaacute em conformidade com a sequecircncia apresentada nos livros didaacuteticos Tambeacutem foi
possiacutevel perceber que o ensino de Fiacutesica I ocorreu simultaneamente com o ensino de Caacutelculo
I o que eacute uma realidade questionada nos principais cursos de exatas das instituiccedilotildees
puacuteblica e privada do Estado do Espiacuterito Santo Anal como a ementa do curso de Fiacutesica
I requer o conhecimento de um conjunto de aplicaccedilotildees e propriedades do Caacutelculo seria
loacutegico que tal curso fosse realizado apoacutes a introduccedilatildeo das ideias de limite derivada e
integral
De acordo com a pesquisa contatou-se que quase todos os alunos (27) estu-
daram via livros didaacuteticos especiacutecos de Caacutelculo de autores com bastante bagagem e
profundos conhecedores do Caacutelculo (James Stewart e George B Thomas 11a e 5a edi-
ccedilatildeo respectivamente) Do total de alunos entrevistados 5 alunos armaram ter estudado
Caacutelculo via apostilas notas de aulas e viacutedeo aula
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 20
Segundo a visatildeo dos graduandos para realizar a introduccedilatildeo das noccedilotildees ele-
mentares do Caacutelculo faz-se necessaacuterio que os alunos tenham uma base adequada de en-
sinoaprendizagem acumulada das seacuteries anteriores inclusive no Ensino Fundamental
Quanto ao aspecto conteuacutedos do Ensino Meacutedio que exigem a inserccedilatildeo das noccedilotildees elemen-
tares do Caacutelculo os graduandos citaram Funccedilotildees Sequecircncias Aacutereas e volumes em geral
Jaacute no estudo da Fiacutesica mencionaram o estudo de velocidades aceleraccedilotildees e trabalho
Quanto aos iacutendices de aprovaccedilatildeo eacute vaacutelido ressaltar que dos 32 entrevistados
somente 6 caram reprovados em Caacutelculo I A explicaccedilatildeo para esse iacutendice excelente de
aprovaccedilatildeo pode ser justicativa pelo repasse das noccedilotildees elementares do Caacutelculo via curso
de nivelamento Tambeacutem eacute vaacutelido ressaltar que a formaccedilatildeo dos docentes regentes das
disciplinas que zeram o uso das ideias de Caacutelculo para os graduandos partiacutecipes da
presente pesquisa varia da titulaccedilatildeo miacutenima de especialistas ateacute doutores
As aulas de Caacutelculo na FAACZ satildeo muito ecleacuteticas poreacutem arcaicas obsoletas
tradicionais e remetem a ideia de que a maioria dos seus professores prefere um curso de
Caacutelculo que exija uma boa formaccedilatildeo baseada numa conciliaccedilatildeo do processo demonstra-
tivoaplicativo dos teoremas e proposiccedilotildees do Caacutelculo Tambeacutem armaram de maneira
quase unacircnime e satisfatoacuteria sobre as facilidades que a utilizaccedilatildeo dos recursos didaacuteticos
(softwares de geometria dinacircmica e planilhas eletrocircnicas) proporcionaria e favoreceria o
ensinoaprendizagem dos estudantes dessa instituiccedilatildeo Em contrapartida 26 desses alu-
nos responderam natildeo ter recebido trabalhos de abordagem de modelagem matemaacutetica de
uma situaccedilatildeo real cotidiana ou melhor a maioria desses alunos armou que ainda natildeo
sabem o que eacute modelagem matemaacutetica
Quanto agrave experiecircncia desses alunos ao serem expostos agrave teoria de limites com
todas as suas formalidades foi possiacutevel constatar que o curso de nivelamento de prepa-
raccedilatildeo para o estudo de Caacutelculo contribui de forma satisfatoacuteria para melhorar o rendi-
mentoentendimento da maior parte dos graduandos Esse curso de preacute-Caacutelculo foi uma
forma de preencher a lacuna deixada pela educaccedilatildeo baacutesica principalmente pelo Ensino
Meacutedio em que segundo dados da pesquisa natildeo houve citaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de
limite nem muito menos ideias correlatas do Caacutelculo deriva e integral Nesse iacutenterim a
maioria dos alunos armou que os livros didaacuteticos existentes na educaccedilatildeo baacutesica ou satildeo
insucientes quanto ao repasse ou natildeo abordam as noccedilotildees de intuitivas do Caacutelculo E
mais um percentual consideraacutevel dos entrevistados armou jamais ter ouvido qualquer
citaccedilatildeo baacutesica das noccedilotildees de limite deriva e integral durante o Ensino Meacutedio
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 21
Essas informaccedilotildees vecircm ao encontro da nossa proposta a qual propotildee um res-
gate da inserccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas e ideias elementares do Caacutelculo durante o Ensino
Meacutedio com a nalidade de preparar o aluno para ingressar no estudo de Caacutelculo e com
o intuito de justicar proposiccedilotildees elementares com argumentos satisfatoacuterios sem fuga
desculpa ou enrolo Essa inserccedilatildeo deve ser direcionada e atrelada agrave evoluccedilatildeo histoacuterica
do Caacutelculo com um material especiacuteco devido agrave insuciecircncia dos materiais didaacuteticos
existentes no mercado e com atividades interdisciplinares no estudo de Fiacutesica e Quiacutemica
principalmente E mais deve existir um curso especiacuteco de preparaccedilatildeo aos professores
da educaccedilatildeo baacutesicasuperior e a inclusatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo nos PCNEM
com intuito de estimularraticar o repasse das ideias e de contribuir para elevar o rendi-
mento dos estudantes no estudo de Caacutelculo em cursos superiores posteriores pois assim
os educadores receberatildeo a formaccedilatildeo necessaacuteria para trabalharem com maior destreza e
seguranccedila via recursos didaacuteticos disponiacuteveis (softwares educacionais quadro multimeios
laboratoacuterios de matemaacutetica jogos matemaacuteticos etc)
22
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO
CAacuteLCULO
Figura 31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo
Fonte wwwmatematicabrhistoriaprhindhtml[34]
A evoluccedilatildeo do Caacutelculo da origem intuitiva (ideias remotas) ateacute o rigoroso pa-
dratildeo adotado nos livros atuais foi marcada pelas contribuiccedilotildees de diversos estudiosos
dentre os quais pode-se citar em ordem cronoloacutegica de destaque Ahmes (ou Ahmose
escriba egiacutepcio) babilocircnicos Hiacutepias Zenatildeo (ou Zeno de Eleacuteia) Eudoacutexio (ou Eudoxos)
Demoacutecrito Arquimides Papus Kepller Descartes Fermat Roberval Torricelli Cavali-
eri Wallis Barrow Newton Leibnitz famiacutelia Bernoulli De Moivre Taylor Maclaurin
Euler Clairaut DAlembert Lambert Lagrange Laplace Legendre Monge Carnot
Gauss Fourier Poisson Bolzano Cauchy Abel Galois Jacobi Dirichlet Weierstrass
e Riemann Eacute vaacutelido ressaltar que outros personagens zeram contribuiccedilotildees favoraacuteveis
e que natildeo foram mencionados para natildeo haver fuga ao escopo principal dessa pesquisa
Aleacutem disso os personagens destacados foram formidaacuteveis e providenciais para o desen-
volvimento aprimoramento potencialidade aplicabilidade formalidade e padronizaccedilatildeo
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 23
loacutegica do Caacutelculo
A partir do seacuteculo XV II eacute que se evidenciou a evoluccedilatildeo formal no desenvolvi-
mento do Caacutelculo apesar de suas noccedilotildees intuitivas serem encontradas por volta de 1650
aC isto eacute dezessete seacuteculos anteriores aos tempos da era cristatilde foi encontrado no papiro
Rhind cuja coacutepia foi realizada pelo escriba Ahmes (ou Ahmose) evidecircncias de que os
egiacutepcios descobriram de maneira correta que o volume de uma piracircmide de base qua-
drada equivale a 13do volume do prisma retangular de mesma base e mesma altura Eacute
vaacutelido ressaltar que natildeo havia demonstraccedilatildeo de tal relaccedilatildeo nem deveria pois para checar
a veracidade com rigor e precisatildeo eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees de innitesimais perten-
centes ao Caacutelculo Aleacutem dos indiacutecios encontrados nesse papiro tambeacutem foram descobertos
tabulas cuneiformes babilocircnicas que destacam problemas relacionados ao Caacutelculo especi-
camente no algoritmo iterativo empregado para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero
racional e na mensuraccedilatildeo de guras planas
Conforme BOYER [4] (1992 p2)
() Jaacute no seacuteculo XV II aC os babilocircnicos aplicaram sua aacutelgebra admi-ravelmente exiacutevel a uma ampla gama de problemas praacuteticos incluindomensuraccedilatildeo de guras Conhecendo o teorema de Pitaacutegoras acharamcorretamente a diagonal de um quadrado ateacute o equivalente a meia duacuteziade casas decimais Tomavam a aacuterea do ciacuterculo geralmente como o tri-plo da aacuterea do quadrado sobre ao raio ma em pelo menos uma ocasiatildeousaram para uma aproximaccedilatildeo melhor 31
8 ()
Embora egiacutepcios e babilocircnicos em niacutevel mais acentuado tenham deixado evi-
dente a habilidade em aacutelgebra natildeo se pode dizer o mesmo em relaccedilatildeo agrave loacutegica empregada
Nesse sentido de preocupaccedilatildeo com o rigor loacutegico a partir de princiacutepios baacutesicos destacam-
se os trabalhos desenvolvidos na Greacutecia desde a descoberta da incomensurabilidade por
Hiacutepias (c de 425 aC) perpassando pelos quatro paradoxos propostos pelo loacutesofo Ze-
natildeo de Eleacuteia (c de 450 aC) que indicavam a existecircncia de um processo innito e pelo
brilhante trabalho de Eudoacutexio (ou Eudoxo cerca 370 aC) que propocircs uma teacutecnica de
comprovaccedilatildeo de validade de uma proposiccedilatildeo o meacutetodo da Exaustatildeo o qual eacute considerado
um prenuacutencio mais proacuteximo do Caacutelculo por parte de estudiosos gregos ateacute o aacutepice das
experiecircncias argumentos (reduccedilatildeo ao absurdo duplo) e meacutetodos bastante precisos desen-
volvidos por Arquimedes (287 minus 212 aC) para obter suas demonstraccedilotildees rigorosas das
foacutermulas de aacutereas e volumes em que frequentemente guravam seacuteries innitas
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 24
Consideradas duas grandezas desiguais se da maior subtraiacutemos umagrandeza maior que sua metade e da que resta uma grandeza maiorque sua metade e se este processo eacute repetido continuamente restaraacuteuma grandeza que seraacute menor que a menor das grandezas consideradas(BOYER [4] 1992 p 4)
Segundo BOYER [4] (1992 p 4) de maneira geral eis uma das citaccedilotildees mais
elementares das noccedilotildees de limites se A eacute a maior das duas grandezas dadas (positivas)
a e A e se un = A2n
entatildeo limnrarrinfin un = 0 lt a
De acordo BOYER [4]
Deve-se notar que enquanto a notaccedilatildeo moderna recorreu ao siacutembolo deinnito a linguagem antiga cuidadosamente evitava qualquer referecircnciaaberta a um processo innito As duas formulaccedilotildees no entanto natildeo es-tatildeo distantes quanto a seu signicado Para mostrar que limnrarrinfin un = 0deve-se demonstrar que dado um nuacutemero ε positivo mesmo que pequeno(o equivalente da grandeza menor a na proposiccedilatildeo de Euclides) pode-seachar um inteiro N (o equivalente da frase de Euclides se este processoeacute repetido continuamente) tal que para n gt N vale a relaccedilatildeo un lt εO Caacutelculo de Euclides (derivado presumivelmente de Eudoacutexio) pode tersido menos efetivo que o de Newton e Leibniz dois milecircnios mais tardemas em termos de ideias baacutesicas natildeo estava muito longe do conceitode limite usado rudemente por Newton e aprimorado no seacuteculo XIX(1992 p 5)
O uacuteltimo matemaacutetico dos tempos medievais a realizar contribuiccedilotildees favoraacuteveis
agrave evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi Papus (c de 320 dC) A partir daiacute houve um decliacutenio um ver-
dadeiro breu secular e histoacuterico de difusatildeoemancipaccedilatildeoevoluccedilatildeoativaccedilatildeo dos conceitos
do Caacutelculo Somente apareceraacute novamente discussatildeo proacutexima agrave teoria do Caacutelculo nos tem-
pos modernos por meio dos trabalhos de Nicole Oresme no seacuteculo XIV e Regiomontanus
no seacuteculo XV
O seacuteculo XV I foi o periacuteodo de reativaccedilatildeo do desenvolvimento dos concei-
tos principais do Caacutelculo Destacam-se nessa empreitada os trabalhos de Simon Stevin
(1548 minus 1620) e Luca Valerio (cerca de 1552 minus 1618) que evitaram a dupla reduction
ad absurdum do meacutetodo da exaustatildeo e zeram uso de um meacutetodo que fazia uma passa-
gem direta ao limite Aliaacutes Stevin o Arquimedes Holandecircs foi o primeiro a demonstrar
numericamente que uma sequencia de nuacutemeros tendia a um valor limite ao analisar pro-
posiccedilotildees relacionadas ao estudo de pressatildeo de uidos embora admitir mais credibilidade
ao tratamento geomeacutetrico
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 25
Nessa linha de defesa observe o relato EVES [11]
()Stevin usava esse meacutetodo em seu trabalho no campo da hidrostaacute-tica para determinar a forccedila exercida pela pressatildeo de um uido sobreum dique vertical Basicamente sua ideia consistia em dividir o diqueem faixas horizontais e entatildeo fazer cada uma girar em torno de suasbordas superior e inferior ateacute que elas se tornassem paralelas ao planohorizontal Fundamentalmente eacute esse o meacutetodo usado loje em dia emnossos textos elementares de Caacutelculo (2004 [11] p424)
Aleacutem de Stevin Johann Kepler (1573minus 1630) e Galileu Galilei (1564minus 1642)
foram pioneiros a evitar os rigores do meacutetodo da exaustatildeo apesar de utilizar incessante-
mente os meacutetodos de Arquimedes Devido a tal atitude foram os responsaacuteveis pela mudan-
ccedilasmodicaccedilotildees no panorama da anaacutelise innitesimal (innitamente grande e innita-
mente pequeno) Nesse sentido eacute vaacutelido ressaltar que Kepler heuriacutestico demasiadamente
para ganhar tempo e economizar trabalho utilizou a adiccedilatildeo de grandezas innitamente
pequenas quando imaginou o volume de cada barril de vinho formado por uma enorme
quantidade de secccedilotildees circulares com altura tendendo a zero e ainda segundo EVES [11]
(2004 p 424) considerava uma circunferecircncia como um poliacutegono regular de um nuacutemero
innito de ladose a partir desse raciociacutenio pode-se estendecirc-lo para caracterizar uma es-
fera como uma reuniatildeo de innitas piracircmides com as peculiaridades de serem delgadas e
com veacutertice coincidente com o centro da esfera
O seacuteculo XV II eacutepoca em que se destacaram os trabalhos elaborados por
Cavalieri Torricelli (1608 minus 1647) Roberval (1602 minus 1675) Descartes Fermat Wallis
Barrow Newton e Leibniz houve uma consideraacutevel produtividade do desenvolvimento da
matemaacutetica com a criaccedilatildeo da geometria analiacutetica e evoluccedilatildeo das teacutecnicas de quadratura
eou cubatura as quais satildeo empregadas a curvas e soacutelidos especiacutecos ou famiacutelias de cur-
vas Eacute vaacutelido ressaltar que o conceito de limite natildeo foi utilizado pelos ceacutelebres nomes
citados nem sequer reconheciam e perceberam a necessidade da fundamentaccedilatildeo de tal
teoria Dentre os diversos estudos de destaque potencial nesse periacuteodo mencionaremos
a contribuiccedilatildeo de Bonaventura Cavalieri (1598 minus 1647) com seu brilhante meacutetodo dos
indivisiacuteveis (Geometria indivisibilibus) em que nos apresenta as preacutevias dos atuais prin-
ciacutepios de Cavalieri ferramentas essenciais para o Caacutelculo Integral moderno e os estudos
de Reneacute Descartes (1596 minus 1650) e Pierre de Fermat (de 1509 ateacute 1608 ou 1601 minus 1665)
com contribuiccedilotildees pontuais para a fundamentaccedilatildeo e para o desenvolvimento da Geometria
Analiacutetica
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 26
Apoacutes o desenvolvimento do campo da geometria analiacutetica as bases do Caacutelculo
moderno estavam prontas para se tornar cada vez mais evidentes e direcionadas agrave reso-
luccedilatildeo dos dois problemas fundamentais do Caacutelculo encontrar retas tangentes a curvas
e determinar valores exatos para aacutereas de regiotildees limitadas pelo menos em parte por
curvas (problemas de quadratura) Nesse sentido faz-se necessaacuterio citar as contribuiccedilotildees
de grande magnitude de um francecircs Fermat trecircs ingleses John Wallis (1616minus1703) Isaac
Barrow (1630minus 1677) Isaac Newtow (1642minus 1727) e um alematildeo Gottfried Wilhelm Leib-
niz (1646minus1716) para o que futuramente seria batizado de Caacutelculo Diferencial e Integral
Eacute vaacutelido ressaltar que tanto o Newton quanto o Leibniz de maneira independente foram
os responsaacuteveis pelo desenvolvimento das bases notaacuteveis do Caacutelculo moderno e por isso
satildeo considerados responsaacuteveis pela invenccedilatildeo
Note que em momento algum foi destacada a necessidade de utilizaccedilatildeo da
teoria de limite Embora tal conceito tenha sido negligenciado em diversos trabalhos eacute
importante destacar que Newton foi o pioneiro no reconhecimento do papel fundamental
que o limite iria desempenhar no desenvolvimento de problemas relativos ao Caacutelculo
(tangecircncias quadraturas e ans) Tal armativa pode ser constatada em seu Livro I
do Principia Mathematica (1687) na qual haacute uma tentativa de formular um conceito de
limite De acordo com BOYER [3]
Quantidades e as razotildees de quantidades as quais em qualquer temponito convergem continuamente para igualdade e antes do nal daqueletempo se aproximam entre si por qualquer dada diferenccedila tornam-seiguais no nal (BOYER [3] 1996 p 274)
O desenvolvimento da matemaacutetica e em particular as aplicaccedilotildees do Caacutelculo
durante o seacuteculo XV III XIX e XX eacute repleto de histoacuterias esplecircndidas e momentos de
contribuiccedilotildees memoraacuteveis agrave expansatildeo da aplicabilidade das teorias relacionadas ao estudo
de Caacutelculo Vaacuterios satildeo os nomes que se destacaram membros da famiacutelia Bernoulli G
F A de LHospital (1661 minus 1704) Johann I (1667 minus 1748) Nicolas I (1687 minus 1759) e
Daniel (1700minus1782) Brook Taylor (1685minus1731) Leonhard Euler (1707minus1783) e Alexis
Claude Clairaut (1713minus1765) Colin Maclaurin (1698minus1746) Jean Le Rond DAlembert
(1717minus 1783) Joseph-Louis Lagrange (1736minus 1813) etc Dentre os ceacutelebres citados os
quais natildeo estabeleceram uma fundamentaccedilatildeo rigorosa para o Caacutelculo eacute vaacutelido destacar
na corrida pela formalizaccedilatildeo do conceito de limite (pilar baacutesico do Caacutelculo ensinado nos
dias de hoje) uma deniccedilatildeo especial como a que foi posta na ceacutelebre Encyclopeacutedie
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 27
(1751 minus 1776) em que DAlembert ponderou que para denir a derivada precisamente
era necessaacuterio entender as noccedilotildees de limite primeiro
Uma quantidade eacute o limite de uma outra quantidade quando a segundapuder se aproximar da primeira dentro de qualquer precisatildeo dada natildeoimporta quatildeo pequena apesar da segunda quantidade nunca exceder aquantidade que ela aproxima (DALEMBERT 1772 apud FINNEYWEIR GIORDANO 2002 [12])
No nal do seacuteculo XV III e durante todo o seacuteculo XIX foi o periacuteodo de
contribuiccedilotildees dos renomados Carl Friedrich Gauss (1777minus 1855) Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768minus 1830) Bernhard Bolzano (1781minus 1848) Augustin Louis Cauchy (1789minus
1857) Niels Henrik Abel (1802minus1829) Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805minus1859) e Karl
Weierstrass (1815minus 1897) Nesse periacuteodo em que houve um estudo cuidadoso e rigoroso
em busca da deniccedilatildeo de limite destacaremos o trabalho desenvolvido por Cauchy (aluno
de Lagrange na Escola Politeacutecnica) e Weierstrass O primeiro embora tenha deixado
de lado a preocupaccedilatildeo com alguns detalhes teacutecnicos foi responsaacutevel por apresentar a
deniccedilatildeo mais proacutexima de limite que conhecemos atualmente Jaacute o segundo restabeleceu
o conceito original de limite proposto por Cauchy com tratamento estritamente aritmeacutetico
e utilizando apenas valores absolutos e desigualdades Weierstrass aleacutem de corrigir os
descuidos e erros de Cauchy formulou a deniccedilatildeo de limite empregada nos diversos livros
de Caacutelculo da era moderna na matemaacutetica e continuou suas contribuiccedilotildees estabelecendo
todo o rigor aritmeacutetico adotado no Caacutelculo e na anaacutelise matemaacutetica
Segundo BOYER [3] eacute creditada a Cauchy a introduccedilatildeo de limite de maneira
aperfeiccediloada quando publicou em 1821 em seu Cours danalyse de lEacutecole Polytechnique
Quando os valores sucessivos atribuiacutedos a uma variaacutevel aproximam-se indenidamente de
um valor xo chegando a diferir dele tatildeo pouco quanto se deseje este uacuteltimo eacute chamado
limite de todos os outros Jaacute a Weierstrass de acordo Boyer coube o trabalho de explicar
de maneira elegante e precisa substituir as ideias vagas de aproximaccedilatildeo na deniccedilatildeo de
limite de Cauchy-Bolzano por ideias que utilizavam eacutepsilon-deltacom uma linguagem
puramente numeacuterica
() Diz-se que L eacute um limite da funccedilatildeo f(x) para o valor x = a sedado qualquer nuacutemero positivo ε existe um nuacutemero positivo δ tal que|f(x)L| lt ε para qualquer x que verique 0 lt |xa| lt δ (BOYER [4]1992 p 27)
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 28
De acordo com o levantamento histoacuterico realizado eacute possiacutevel constatar que
por diversos seacuteculos o conceito de limite foi um tanto vago confuso losoacuteco intuitivo
indenido impreciso imperceptiacutevel negligenciado dentre outros inuacutemeros adjetivos cor-
relacionados A matemaacutetica moderna foi desfrutar das noccedilotildees de limite somente durante
o periacuteodo europeu intitulado de Iluminismo nal do seacuteculo XV III e iniacutecio do seacuteculo
XIX Jaacute a deniccedilatildeo formal (rigorosa loacutegica e correta) apresentada nos livros de Caacutelculo
atuais foi formalizada por volta do ano 1856 (haacute uns 160 anos)
Figura 32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1 + 2460
+ 51602
+ 10603
= 1414212
Fonte ptwikipediaorgwikiMatemaacuteticababilnica[35]
29
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA
EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA
Segundo os anais da histoacuteria da Matemaacutetica a constataccedilatildeo da presenccedila das no-
ccedilotildees de limite iniciou desde os tempos antigos ateacute o desenrolar da invenccedilatildeoevoluccedilatildeoaplicaccedilatildeo
do Caacutelculo (seacuteculos XV II XV III XIX) De acordo com BOYER [4] tal descoberta
jaacute impressionava e tirava o sono de estudiosos gregos
() Foi um choque para a comunidade matemaacutetica grega tomar conheci-mento de que haacute coisas como segmentos de reta incomensuraacuteveis e que aocorrecircncia dessa situaccedilatildeo eacute espantosamente comum isto eacute que conceitosans ao Caacutelculo aparecem nas mais elementares situaccedilotildees Os diaacutelogosde Platatildeo mostram que os matemaacuteticos da eacutepoca caram profundamentepertubados com essa descoberta (BOYER [4] 1992 p 3)
Ainda nessa linha assim se pronunciou EVES [11]
() Esses conceitos tecircm tanto alcance e tantas implicaccedilotildees no mundomoderno que talvez seja correto dizer que sem algum conhecimento delesdicilmente hoje uma pessoa poderia considerar-se culta (EVES [11]2004 p 417)
Eacute importante ressaltar que a ordem do desenvolvimento histoacuterico do Caacutelculo
foi diferente da ordem apresentada nos livros textos e cursos baacutesicos sobre o assunto isto
eacute houve inicialmente o surgimento do Caacutelculo Integral e muito tempo depois apareceram
os conceitos ligados ao Caacutelculo Diferencial Segundo EVES [11]
() A ideia de integraccedilatildeo teve origens em processos somatoacuterios ligadosao caacutelculo de certas aacutereas e certos volumes e comprimentos A diferen-ciaccedilatildeo criada bem mais tarde resultou de problemas sobre tangentes acurvas e questotildees sobre maacuteximos e miacutenimos Mais tarde ainda vericou-se que a integraccedilatildeo e a diferenciaccedilatildeo estatildeo relacionadas entre si sendocada uma delas operaccedilatildeo inversa da outra (EVES [11] 2004 p 417)
Assim eacute possiacutevel vericar uma gama de assuntos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular nas fases nais do Ensino Fundamental e durante o Ensino Meacutedio que evocam as
ideias correlatas do Caacutelculo e em particular as noccedilotildees de limite Embora seja possiacutevel
constatar a presenccedila das noccedilotildees de limite e de integral no Ensino Fundamental haacute um
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 30
consenso de que natildeo eacute pedagogicamente correto destacar a presenccedila de tais conceitos nessa
fase dado que um nuacutemero consideraacutevel de alunos ainda natildeo possui maturidade (manipula-
ccedilatildeo algeacutebrica soacutelida poder de abstraccedilatildeo consolidado domiacutenio amplo da aritmeacutetica etc)
suciente para compreender tamanho grau de abstraccedilatildeoexigecircncia Caso haja alunos com
tal capacidade eacute recomendado propor em aulas especiais direcionadas didaticamente com
a linguagem de assimilaccedilatildeo proacutepria bem proacutexima dos alunos Nesse iacutenterim a presenccedila
da noccedilatildeo intuitiva de limite e ideais correlatas de integral pode ser destacada de forma
construtiva e com grau de abstraccedilatildeo passiacutevel de entendimento em pelo menos trecircs pontos
especiacutecos estudados no Ensino Fundamental a primeira abordagem pode ser inserida
a partir do momento em que o professor inicia o estudo dos nuacutemeros racionais (diacutezimas
perioacutedicas) o segundo enfoque pode ser aplicado ao demonstrar de maneira completa o
Teorema de Tales e a terceira citaccedilatildeo deve ocorrer ao estudar aacutereas de guras planas
principalmente ao apresentarprovar a aacuterea de uma regiatildeo retangular A exibiccedilatildeo desses
toacutepicos direcionada ao Ensino Fundamental pode ser conferida ao realizar a leitura do
capiacutetulo referente agraves sequencias didaacuteticas sugeridas posteriormente nessa dissertaccedilatildeo
Na ordem cronoloacutegica e didaacutetica dos livros atuais de matemaacutetica do Ensino
Meacutedio nota-se a necessidade de introduccedilatildeo das noccedilotildees de limite jaacute na 1a seacuterie Ao estudar
a representaccedilatildeo decimal de nuacutemeros racionais innitos e perioacutedicos jaacute se faz uso impliacutecito
do conceito de limite Nessa mesma linha ao apresentar os nuacutemeros irracionais e reais
tambeacutem eacute necessaacuterio em diversos pontos citar a ideia de limite Em seguida haacute necessidade
de mencionar a referida teoria ao estudar as minuacutecias de uma funccedilatildeo seja ela qual for
principalmente ao realizar a anaacutelise graacuteca Tambeacutem eacute possiacutevel vericar a aplicabilidade
de limite ao estudar sequecircncias em particular e em maior grau ao estudar a soma de uma
seacuterie convergente (progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo (q) denida por (0 lt |q| lt 1) Aleacutem
disso pode-se adaptar a referida soma numa aplicaccedilatildeo praacutetica usual e diaacuteria que consiste
no estudo de capitalizaccedilatildeo contiacutenua em Matemaacutetica Financeira (deniccedilatildeo do nuacutemero de
Euler) Eacute possiacutevel promover atividades interdisciplinas com a Fiacutesica e com a Quiacutemica
Relativamente agrave primeira justica-se a correspondecircncia durante o estudo de Mecacircnica
(velocidade e aceleraccedilatildeo instantacircnea trabalho realizado por uma forccedila etc) Enquanto
a segunda a associaccedilatildeo pode ser feita durante o estudo de Desintegraccedilatildeo Radioativa Ao
estudar Geometria plana eacute possiacutevel embutir agraves noccedilotildees de limite ao inserir o conceito de
grandezas incomensuraacuteveis ao demonstrar o Teorema de Tales e consequentemente ao
aplicaacute-lo ao estudo de semelhanccedila de triacircngulos e nalmente ao introduzir o estudo de
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 31
aacutereas de guras planas (ciacuterculo e suas partes segmento paraboacutelico hipeacuterboles etc) em
particular aquelas que apresentam pelo menos um lado curviliacuteneo
Durante a 2a seacuterie ou fase nal da 1a haacute necessidade de menccedilatildeo a ideia de
limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas aleacutem de aparecer ao estudar aacutereas
superciais e volumes de soacutelidos geomeacutetricos Tambeacutem nota-se indiacutecio ao estudar o caacutel-
culo de determinantes ao discutir sistemas lineares ao resolver problemas de contagem
(somatoacuterios de seacuteries especiacutecas) pertencentes agrave anaacutelise combinatoacuteria e ao investigar de-
terminadas probabilidades associadas a problemas baacutesicos De maneira interdisciplinar
constata-se a necessidade de ecircnfase no estudo do trabalho realizado por um gaacutes numa
transformaccedilatildeo isoteacutermica (Lei de Boyle) por exemplo
Jaacute na 3a seacuterie eacute possiacutevel incrementar o estudo de Geometria Analiacutetica Cocircnicas
e Polinocircmios com uma abordagem que evoque o emprego das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo
(limite derivada e integral) Aleacutem disso eacute possiacutevel promover atividades suplementares
que apliquem as ideias correlatas do Caacutelculo em toacutepicos do estudo de eletricidade (campo
eleacutetrico potecircncia corrente etc)
32
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS
A importacircncia do estudo de limites derivadas e integrais pode ser vericada
ao analisar os nuacutemeros relativos agraves grades dos cursos ofertados pelas universidades fe-
derais e por algumas faculdades particulares Por exemplo a Universidade Federal do
Espiacuterito Santo (UFES) oferece 90 cursos de graduaccedilatildeo (total de 4975 vagas anuais) e des-
ses haacute uma variedade de cursos cujas ementas empregam direta ou indiretamente noccedilotildees
elementares de Caacutelculo tais como Fiacutesica Quiacutemica Estatiacutestica Matemaacutetica Ciecircncias Bi-
oloacutegicas Administraccedilatildeo Arqueologia Medicina Farmaacutecia Ciecircncias Contaacutebeis Ciecircncias
Econocircmicas Engenharias Arquitetura e Urbanismo Psicologia Agronomia Zootecnia
Sistemas de Informaccedilatildeo Desenho Industrial Tecnologia Mecacircnica Oceanograa e Ciecircncia
da Computaccedilatildeo Dentre os cursos de bacharelados e licenciaturas distribuiacutedos em turnos
(Diurno Vespertino e Noturno) e espalhados pelo Campus da UFES mais de 50 neces-
sita do conhecimento de ideias correlatas do Caacutelculo isto eacute mais da metade dos futuros
prossionais a serem formados pela UFES precisam estudar impliacutecita ou explicitamente
noccedilotildees de limite derivada e integral
Somente os dados relatados no paraacutegrafo anterior seriam sucientes para jus-
ticar o retorno do emprego de noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo no Ensino Meacutedio poreacutem haacute
outros fatores que reforccedilam a temaacutetica abordada nesse trabalho De acordo com informa-
ccedilotildees fornecidas pelos meios regulamentadores da educacional nacional de niacutevel superior
na aacuterea de Engenharias haacute uma reduccedilatildeo (nos vestibulares do paiacutes) no nuacutemero de inscritos
em cursos de exatas e aumento constante da evasatildeo dos alunos matriculados em cursos
que envolvam o emprego de elementos do Caacutelculo em particular os de engenharia de-
vido agrave diculdade encontrada pelos alunos via anaacutelise preliminar da grade curricular do
curso pretendidoe em parte pelo fato de natildeo receber orientaccedilotildees sobre toacutepicos correlatos
do caacutelculo diferencial e integral no ensino fragmentado e desmotivador promovido pela
maioria das escolas brasileiras haacute seacuteculos em geral natildeo estar sendo realizado um traba-
lho interdisciplinar signicativo e com respaldo de preparaccedilatildeo para o ingresso futuro no
ensino superior
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 33
Uma proposta de mudanccedila desse panorama preocupante pode ser realizada via
inclusatildeo de conceitos baacutesicos do Caacutelculo Diferencial e Integral no Ensino Meacutedio fato que
proporcionaria aos alunos aulas motivadoras interdisciplinares e mais proacuteximas da reali-
dade dos alunos com uma discussatildeo mais ampla natural generalizada e contextualizada
de conteuacutedos do proacuteprio Ensino Meacutedio Entretanto para que essa inclusatildeo ocorra eacute ne-
cessaacuterio que os cursos de Licenciatura em Matemaacutetica formem professores capazes de lidar
com essa realidade Sendo assim o Caacutelculo Diferencial e Integral deve ser apresentado
aos licenciandos como uma disciplina baacutesica poreacutem ampla e integradora propiciando aos
futuros professores uma visatildeo mais geral e segura dos conteuacutedos do Ensino Meacutedio Eacute im-
portante salientar que haacute estados brasileiros que apresentam noccedilotildees de Caacutelculo em seus
curriacuteculos escolares baacutesicos do Ensino Meacutedio
Antes de iniciar as consideraccedilotildees quanto agrave existecircncia ou natildeo das noccedilotildees intui-
tivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo nos livros dos diversos autores renomados
cujos livros didaacuteticos satildeo amplamente adotados para tornar completa a breve discussatildeo
histoacuterica e embasada pela opiniatildeo de diversos autores eacute salutar a realizaccedilatildeo de um diag-
noacutestico informal da situaccedilatildeo em que se encontram os cursos de que necessitam do emprego
da disciplina de Caacutelculo em suas grades curriculares Aleacutem disso faremos uma reexatildeo
do ensino de matemaacutetica no Brasil
Segundo a LDB [30] o Ensino Meacutedio eacute a etapa nal da educaccedilatildeo baacutesica(Art35)
e o mesmo deve possuir um curriacuteculo com a caracteriacutestica da terminalidade isto eacute segundo
o PCNEM (2000) [20] o Ensino Meacutedio deve ser capaz de
() assegurar a todos os cidadatildeos a oportunidade de consolidar e apro-fundar os conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental aprimoraro educando como pessoa humana possibilitar o prosseguimento de estu-dos garantir a preparaccedilatildeo baacutesica para o trabalho e a cidadania dotaro educando dos instrumentos que o permitam continuar aprendendotendo em vista o desenvolvimento da compreensatildeo dos fundamentos ci-entiacutecos e tecnoloacutegicos dos processos produtivos(Art35 incisos I a IV)(PCNEM [21] 2000 p 9)
Fazer com que haja continuaccedilatildeo dos estudos posteriormente em niacuteveis superi-
ores eacute uma meta arrojada uma vez que os resultados das avaliaccedilotildees institucionais como o
Sistema Nacional de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) e o Exame Nacional do Ensino
Meacutedio (ENEM) cujas provas satildeo produzidas pelo governo federal indicam um iacutendice de
fracasso ao teacutermino do ensino meacutedio pois uma parcela consideraacutevel dos formandos apre-
sentam diculdades baacutesicas na compreensatildeo de conceitos e procedimentos fundamentais
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 34
quanto agraves operaccedilotildees aritmeacuteticas e compreensatildeo geral via interpretaccedilatildeo Contudo ainda
se faz necessaacuterio propor algo que facilite a vida desses alunos pois aqueles que ingressam
no ensino superior em especial aos cursos que necessitam de uma veia na aacuterea de exatas
vatildeo se deparar com a disciplina de Caacutelculo que requer o domiacutenio amplo da matemaacutetica
baacutesica para conseguir acompanhar o grau de abstraccedilatildeo a ser introduzido por meio da
compreensatildeo das noccedilotildees iniciais de limite derivada e integral
De acordo com NIETO (2005 p7) [36] eacute certo que uma reforma deveria ser
iniciada nos ensinos fundamental e meacutedio no entanto esse aluno estaacute chegando ao curso
superior e noacutes professores universitaacuterios natildeo podemos enviaacute-los de volta E mais eacute
possiacutevel constatar que a situaccedilatildeo vem se agravando nos uacuteltimos anos devido agraves diculda-
des de aprendizagem de Matemaacutetica no Ensino Fundamental e Meacutedio evidenciadas pelos
resultados das avaliaccedilotildees sob a coordenaccedilatildeo do INEP tais como as provas do Sistema de
Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) do Exame Nacional do Ensino Meacutedio (ENEM)
e do Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo de Alunos (PISA) Essa conjuntura implica
diretamente na avaliaccedilatildeo da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral pois os alunos
com pouca bagagem de matemaacutetica baacutesica certamente produziratildeo rendimentos aqueacutem
das possibilidades contribuindo para o aumento dos iacutendices de reprovaccedilatildeo na referida
disciplina Isso nos conduz ao seguinte raciociacutenio Por que natildeo incluir na preparaccedilatildeo dos
alunos do Ensino Meacutedio toacutepicos que faccedilam a conexatildeo com os conceitos do Caacutelculo Dife-
rencial e Integral (um curso de nivelamento preacute-caacutelculo) Por que natildeo criar estrateacutegias
didaacuteticas que promovam a interdisciplinaridade e transforme o aprendizado dos conteuacute-
dos mais sosticado Com absoluta certeza eacute notoacuterio entre os professores e alunos via
anaacutelise de questionaacuterios acessiacuteveis em anexos que tais iniciativas podem tornar o extenso
curriacuteculo menos complexo mais loacutegico e ainda repleto de conteuacutedos natildeo fragmentados e
com signicados respaldados nas diversas contextualizaccedilotildees e interdisciplinaridades dis-
poniacuteveis e acessiacuteveis ao dia-a-dia do aluno Isto eacute eacute possiacutevel ensinar toacutepicos intuitivos
de limite derivada e integral durante o Ensino Meacutedio tanto na Matemaacutetica quanto na
Fiacutesica e Quiacutemica poreacutem eacute necessaacuterio realizar mudanccedilas nos PCN no curriacuteculo baacutesico
escolar capacitar professores e produzir material suplementar que preencha as lacunas
encontradas nos principais livros didaacuteticos utilizados atualmente
Num artigo publicado na RPM o professor Geraldo AacuteVILA [1] faz o seguinte
questionamento sobre a inclusatildeo de toacutepicos do Caacutelculo no Ensino Meacutedio
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 35
Por que natildeo ensinamos Caacutelculo na escola de segundo grau Seraacute queeacute um assunto muito difiacutecil Foi sempre assim no passado ou jaacute houveeacutepoca em que o Caacutelculo era ensinado na escola secundaacuteria E nos outrospaiacuteses como eacute a situaccedilatildeo Eacute ou natildeo conveniente introduzir o Caacutelculo noensino Por que Como fazer isso (AacuteVILA [1] 1991 p1)
Eacute vaacutelido ressaltar que uma introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial e Integral jaacute
esteve presente no curriacuteculo escolar baacutesico Segundo CARVALHO (1996) [5] a participaccedilatildeo
ocorreu em dois momentos distintos em 1891 com a reforma proposta por Benjamim
Constant no iniacutecio da Repuacuteblica foi a primeira oportunidade em que houve constataccedilatildeo
da presenccedila e a segunda iniciou em 1942 durante a Reforma Capanema ocorrida no
governo de Getuacutelio Vargas permanecendo ocialmente ateacute 1961 Durante as deacutecadas de
60 e 70 inuenciado pelo movimento da Matemaacutetica Moderna o ensino brasileiro sofreu
mudanccedilas consideraacuteveis dentre elas a exclusatildeo do Caacutelculo do programa baacutesico de ensino
Tambeacutem eacute importante citar que ateacute nos dias atuais ainda encontra-se alguns
livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio que fazem menccedilatildeo a toacutepicos relativos ao Caacutelculo em-
bora sejam negligenciados por parte dos professores e gestores com o pretexto de que
ampliariam o jaacute extenso curriacuteculo e aleacutem disso a linguagem empregada eacute inacessiacutevel aos
estudantes isto eacute quando haacute presenccedila no livro didaacutetico natildeo ocorre inclusatildeo no curriacuteculo
escolar baacutesico Na verdade o que se faz nos dias atuais nas escolas de Ensino Meacutedio das
redes puacuteblica e privada eacute um verdadeiro curso preacute-ENEM (curso preacute-vestibular) extensivo
aos trecircs anos de estudo no Ensino Meacutedio com o intuito de promover a instituiccedilatildeo com
iacutendices de aprovaccedilatildeo em faculdades e universidades do paiacutes em detrimento ao estiacutemulo a
um ensino construtivo signicativo e passiacutevel de ser aproveitaacutevel em estudos posteriores
no ensino superior ou tecnoloacutegico Imagine como reagiria um professor enclausurado nesse
sistema de ensino que prioriza conteuacutedos fragmentados e sem signicados ao ser questi-
onado com uma pergunta simples do tipo O que eacute limite derivada e integral Onde
aplico tais ideiasMuitos colegas de prossatildeo jaacute responderam assim Quando vocecirc es-
tudar Caacutelculo vocecirc saberaacute Ou entatildeo Isso vocecirc soacute aprende na faculdade Essa atitude
com absoluta certeza desapontaria demais o aluno aacutevido pelo conhecimento e talvez ateacute
sepultaria uma mente prodigiosa apta ao desenvolvimento do Caacutelculo
Ainda nesse sentido observe a opiniatildeo de AacuteVILA (1991 p1-9) [1] o qual
defende que o conceito de derivada pode ser ensinado com grande vantagem logo na
primeira seacuterie do segundo grau ao lado do ensino de funccedilotildeese ainda destaca a importacircncia
do estudo da derivada na continuidade do estudo de funccedilotildees em especial as polinomiais e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 36
as suas variadas aplicaccedilotildees cientiacutecas principalmente no estudo do movimento na Fiacutesica
Antes da compreensatildeo do conceito de derivada eacute necessaacuterio compreender e
dominar as noccedilotildees de limite pois a derivada eacute uma aplicaccedilatildeo de limite e sua deniccedilatildeo
atual utiliza as noccedilotildees de limite O domiacutenio de parte das propriedades decorrentes do
estudo de derivadas faraacute com que o entendimento de determinadas propriedades relativas
ao estudo de funccedilotildees tanto na Matemaacutetica quanto na Fiacutesica seja compreendida com mais
argumentos de maneira mais coerente contextualizada e interdisciplinar
Nessa linha eacute imprescindiacutevel mencionar o artigo Caacutelculo no Segundo Grau
publicado na RPM n 20 do professor Roberto Costallat DUCLOS (1992) [10] que segue
e apoia a linha de defesa do professor AacuteVILA sobre a possibilidade de difusatildeo de novas
ideias e sobretudo pela gama de aplicabilidade de seus meacutetodos
De acordo com os argumentos exposto pelo professor Geraldo AacuteVILA [1] na
RPM 18 eacute possiacutevel introduzir o Caacutelculo Integral no Ensino Meacutedio de modo a incitar o
interesse e a curiosidade desde que seja de maneira intuitiva dando ecircnfase as ideias e
aplicaccedilotildees em detrimento das teacutecnicas e suas propriedades Ele ainda faz uma criacutetica
agravequeles que opinam de forma contraacuteria
A ideia de que os programas de matemaacutetica satildeo extensos e natildeo compor-tariam a inclusatildeo do caacutelculo eacute um equiacutevoco Os atuais programas estatildeoisto sim mal estruturados (AacuteVILA [1] 1991 p 1-9)
Apoacutes exibir o panorama da educaccedilatildeo matemaacutetica nacional e citar as contribui-
ccedilotildees favoraacuteveis da apresentaccedilatildeo das noccedilotildees do Caacutelculo Diferencial e Integral que remetem
a ideia de limite eacute vaacutelido repassar ao leitor do presente trabalho os elementos norteadores
da referida pesquisa ou seja uma lista dos livros didaacuteticos e dos seus respectivos auto-
res com o intuito de criar uma simbologia numeacuterica isto eacute uma legenda de associaccedilatildeo
de cada livro segundo o nuacutemero indicado no rol abaixo com intuito de evitar repeticcedilotildees
desnecessaacuterias
1 Matemaacutetica Contexto amp Aplicaccedilotildees de Luiz Roberto DANTE [9] (Dante) - Editora
Aacutetica 2010
2 Matemaacutetica de Manoel PAIVA [23] Editora Moderna 2009
3 Matemaacutetica Coleccedilatildeo Novo Olhar de Joamir Roberto de SOUZA [25] Editora FTD
2010
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 37
4 Matemaacutetica Ciecircncia e Aplicaccedilotildees de Gelson IEZZI [15] Osvaldo Dolce David
Degenszajn Roberto Peacuterigo e Nilze de Almeira Editora Saraiva 2010
5 Matemaacutetica Completa de Joseacute Ruy GIOVANNI [29] e Joseacute Roberto Bonjorno (Gi-
ovanni e Bonjorno) Editora FTD 2005
6 A Matemaacutetica do Ensino Meacutedio Coleccedilatildeo do Professor de Matemaacutetica de Elon Lages
LIMA [17] Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner e Augusto Ceacutesar Morgado
Editora SBM 2006 (6a ediccedilatildeo)
7 Fundamentos de Matemaacutetica Elementar (vol 8) Editora Atual 1993 (diversos
autores)
8 Noccedilotildees de Caacutelculo (vol 9) - Seacuterie Matemaacutetica por assunto de Nilson Joseacute Machado
Editora Scipione 1988
9 Caacutelculo de Geraldo Aacutevila Editora LTC 1988
10 Caacutelculo de James Stewart (vol I) Editora Pioneira 2003 (4a Ediccedilatildeo)
Os livros didaacuteticos que foram analisados possuem publicaccedilotildees em trecircs volumes
foram numerados de 1 ateacute 6 Jaacute os livros que possuem volume uacutenico integrado ou livros
especiacutecos de coleccedilotildees divididos por assunto conforme a preferecircncia do autor foram
numerados de 7 ateacute 10 Quantos aos primeiros (de 1 a 6) foi feito uma analise minuciosa
tanto dos conteuacutedos quanto dos guias de orientaccedilatildeo do professor Jaacute os uacuteltimos (de 7
ateacute 10) foram citados simplesmente como sugestatildeo de uma leitura mais renada e com o
intuito de repassar aos professores uma oportunidade de enriquecer seus conhecimentos
com um material didaacutetico de qualidade A escolha dos livros de 1 a 6 eacute justicada pelo
fato de que a maioria desses autores estaacute ou jaacute esteve presente de forma maccedilante nas
escolas puacuteblicas e particulares brasileiras
A anaacutelise realizada nos livros consiste numa investigaccedilatildeo especiacuteca e minuciosa
em busca de pontos (conteuacutedos) que faccedilam menccedilatildeo as noccedilotildees elementares e intuitivas do
Caacutelculo (limite derivada e integral)
Dentre todos os livros analisados destaca-se o livro do DANTE (1) como o
mais completo em todos os aspectos (deniccedilotildees mais rigorosas maior nuacutemero de de-
monstraccedilotildees conteuacutedo contextualizada e interdisciplinar etc) poreacutem eacute vaacutelido ressal-
tar que a linguagem adotada natildeo eacute tatildeo simples assim como os exerciacutecios propostos
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 38
possuem grau de diculdade mais acentuado Aleacutem disso consiste no material didaacute-
tico que mais se aproxima do propoacutesito desse trabalho ou seja de explicar eou jus-
ticar os fatosconteuacutedosteoremas com argumentos satisfatoacuterios e com ideias intuiti-
vasinterdisciplinascontextualizadasconstrutivas sem receio de abordar toacutepicos relativos
ao Caacutelculo Diferencial e Integral
No livro (1) volume 1 a presenccedila das noccedilotildees intuitivas de limite pode ser
vericada no estudo de diacutezimas perioacutedicas na apresentaccedilatildeo do nuacutemero irracional e no
estudo do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica na soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita e no caacutelculo da aacuterea do ciacuterculo Tambeacutem eacute notaacutevel a presenccedila das noccedilotildees de
derivada ao trabalhar com taxa de variaccedilatildeo da funccedilatildeo quadraacutetica e consequente aplicaccedilatildeo
no Movimento Uniformemente Variado (MUV) Nesse iacutenterim tambeacutem ocorre menccedilatildeo
elementar do estudo de integral via aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau No
volume 2 da referida da obra a ideia de limite estaacute presente no estudo da aacuterea da superfiacutecie
esfeacuterica Jaacute no volume 3 haacute um estudo completo das noccedilotildees elementares de derivada via
razatildeo incremental e via aplicaccedilotildees em problemas da Fiacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que tais
noccedilotildees motivaram algumas atividades presentes na sequecircncia didaacutetica a ser apresentada
nesse trabalho O manual do professor embora seja pedagoacutegico com excelentes dicas
de atividades utilizando diversas metodologias recursos didaacuteticos softwares educacionais
e sugestotildees de revistas livros e lmes atrelados ao ensino de matemaacutetica natildeo possui
formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo alguma que oriente o professor a trabalhar com ideias correlatas do
Caacutelculo
O volume 1 do livro (2) haacute apenas uma citaccedilatildeo direta das ideias de limite
ao introduzir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita Jaacute no volume
(2) uma citaccedilatildeo indireta das noccedilotildees elementares de limite ao explicar a aacuterea do ciacuterculo
Quanto ao volume 3 natildeo haacute menccedilatildeo alguma das noccedilotildees elementares do Caacutelculo A
propoacutesito o manual destinado aos professores como suporte de preparaccedilatildeo para suas
aulas natildeo apresenta toacutepicos do Caacutelculo e haacute diversos pontos de erros conceituais
A partir da avaliaccedilatildeo do volume 1 do livro (3) foi possiacutevel vericar que haacute
somente um breve comentaacuterio no estudo de soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
das noccedilotildees de limite E mais natildeo existe citaccedilatildeo no volume 2 e no volume 3 temos
apenas um comentaacuterio ao calcular a aacuterea da superfiacutecie da esfera O guia pedagoacutegico natildeo
menciona elementos do caacutelculo embora promova inuacutemeras situaccedilotildees em que o emprego
das noccedilotildees de caacutelculo poderia se explorada de maneira luacutedica criativa interdisciplinar e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 39
contextualizada
No livro (4) volume 1 tambeacutem existe uma abordagem de limite no estudo de
soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Enquanto no volume 2 haacute um preluacutedio
das ideias de limite atreladas as noccedilotildees de integral quando aborda a aacuterea do ciacuterculo e
quando explora a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica Em relaccedilatildeo ao volume 3 natildeo haacute citaccedilotildees
intuitivas de limite derivada e integral Embora a quantidade de abordagens de ideias
correlatas do Caacutelculo seja piacutea o manual pedagoacutegico estaacute coberto de estrateacutegias inovado-
ras que podem ser exploradas e incrementadas de noccedilotildees de limite deriva ou ateacute mesmo
integral
Tambeacutem no volume 1 do livro (5) foi possiacutevel constatar que as ideias de limite
estatildeo sendo difundidas ao inserir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Jaacute no
volume 2 da referida obra o autor faz referencia as noccedilotildees de limite e de integral ao provar
o volume da esfera Enquanto o volume 3 apresenta um estudo das noccedilotildees elementares de
limite e de derivadas assim como suas propriedades e aplicaccedilotildees Embora haja capiacutetulos
especiacutecos que abordam toacutepicos do Caacutelculo de maneira simploacuteria e pouco signicativa
o manual pedagoacutegico do professor mostrou-se deciente quanto ao direcionamento do
trabalho para incitar as ideias correlatas do Caacutelculo Eacute bom salientar que a obra analisada
eacute a coleccedilatildeo de trecircs volumes mais antiga anterior a mudanccedila do novo ENEM e talvez isso
seja uma justicativa para o emprego de limite e derivadas em detrimento ao modelo
padronizado dos livros publicados de 2009 em diante que supervalorizam as atividades em
favor de situaccedilotildees problema tipo ENEM
Enm o livro (6) volume 1 da Coleccedilatildeo Professor de Matemaacutetica (SBM) des-
tinada a professores que atual no ensino meacutedio apresenta citaccedilotildees das noccedilotildees intuitivas
de limite e de derivadas com excesso de rigor e abstraccedilatildeo ao estudar a continuidade da
funccedilatildeo proporcionalidade via limite de uma sequencia e ao estudar de forma interdisci-
plinar o MUV via razatildeo incremental (noccedilatildeo intuitiva de derivada) Tambeacutem haacute citaccedilatildeo
das ideias de derivadas ao citar ao estudar as funccedilotildees polinomiais via meacutetodo de Newton
e ainda haacute citaccedilatildeo das noccedilotildees de limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas
via justicativa do comportamento de graacutecos e estabelecimento no nuacutemero de Euler Jaacute
no volume 2 da referida coleccedilatildeo haacute citaccedilatildeo de limite durante o estudo de soma dos termos
de uma progressatildeo geomeacutetrica innita e menccedilatildeo intuitiva de integral ao propor o volume
de corpos redondos (cilindros cones e esferas) E nalmente no volume 3 ocorre uma
menccedilatildeo ao estudo derivada via equaccedilotildees algeacutebricas Eacute vaacutelido ressaltar que natildeo haacute guia de
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 40
orientaccedilatildeo para os professores pois o proacuteprio livro trata-se de uma guia de reexatildeo criacutetica
em relaccedilatildeo agrave abordagem precaacuteria de matemaacutetica encontrada nos principais livros didaacuteticos
do paiacutes O niacutevel dos exerciacutecios dos trecircs volumes eacute de grau elevadiacutessimo e os idealizadores
do referido material satildeo professores do Instituto de Matemaacutetica Pura e Aplicada (IMPA
RJ) o que certamente explica a fundamentaccedilatildeo precisa a preocupaccedilatildeo com o rigor da
linguagem e o grau de abstraccedilatildeo existentes nas proposiccedilotildees demonstraccedilotildees aplicaccedilotildees e
exerciacutecios dos livros em questatildeo
Assim foi possiacutevel avaliar que todos os livros analisados exibiram as noccedilotildees
elementares do Caacutelculo somente durante o estudo da soma dos termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita e em alguns casos de caacutelculo da aacuterea de ciacuterculos aacuterea supercial e
volume de uma esfera Apenas os livros (1) e (5) possuem apresentaccedilatildeo de elementos do
Caacutelculo de maneira sistecircmica e conceitual poreacutem a metodologia natildeo eacute conveniente e a
linguagem empregada estaacute distante da realidade da educaccedilatildeo puacuteblica da rede estadual do
Espiacuterito Santo Essas consideraccedilotildees reetem o caraacuteter defendido nos PCNEM [21] que
natildeo fazem menccedilatildeo a necessidade de repassar aos alunos elementos essenciais do Caacutelculo e
no curriacuteculo baacutesico estadual que apresenta excesso de conteuacutedo e ausecircnciadeciecircncia de
atividades que estimulem a modelagem matemaacutetica e o estudo dirigido de noccedilotildees intuitivas
de limite derivada e integral
A partir da anaacutelise dispostos de forma tabular a seguir eacute possiacutevel inferir de ma-
neira resumida e simplicada as conclusotildees obtidas a partir da anaacutelise dos livros didaacuteticos
investigados e numerados de 1 a 6
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 41
Tabela 51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos
LIVROS DIDAacuteTICOS ANALISADOS
DANTE PAIVA JOAMIR IEZZI GIOVAN SBM
CONCLUSOtildeES IMEDIATAS 1 2 3 4 5 6
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de limite
SIM SIM SIM SIM SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de derivada
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de integral
SIM NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO NAtildeO
No manual pedagoacutegico do profes-
sor existe orientaccedilatildeo sobre a in-
serccedilatildeo de noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NPM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira contextua-
lizada intuitiva e construtiva
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira interdisci-
plinar
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Dedicam capiacutetulos exclusivos
para as noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO
Haacute exerciacutecios de xaccedilatildeo que ex-
ploram de modo investigativo as
noccedilotildees de Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Haacute alguma atividade de explo-
raccedilatildeo das noccedilotildees de Caacutelculo via
software de geometria dinacircmica
ou planilha eletrocircnica
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO
NPM = NAtildeO POSSUI MANUAL
42
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS
PROFESSORES
De acordo com a anaacutelise dos dados coletados eacute possiacutevel constatar que a maio-
ria dos professores atuantes no niacutevel baacutesico da educaccedilatildeo estaacute negligenciando o ensino das
noccedilotildees intuitivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo em detrimento ao cumprimento
do curriacuteculo preacute-estabelecido pela rede a qual trabalham eou em virtude de direciona-
mento de trabalho visando melhores resultados na prova do Programa de Avaliaccedilatildeo da
Educaccedilatildeo Baacutesica do Espiacuterito Santo (PAEBES) e ENEM Isso se justica por inuacutemeros
fatores formaccedilatildeo deciente durante a graduaccedilatildeo baixo niacutevel de aprendizagem dos alunos
(deacutecit herdado de um Ensino Fundamental tradicional arcaico obsoleto e negligente)
inexistecircncia de material didaacutetico de orientaccedilatildeo especiacuteca ausecircncia de participaccedilatildeo do
tema em estudo no curriacuteculo baacutesico norteador e inexistecircncia de cursos de capacitaccedilatildeo
para aprimorarem seus conhecimentos
Segundo a opiniatildeo geral dos professores que responderam os questionaacuterios os
cursos de licenciaturas em Matemaacutetica poderiam explorar de maneira mais diversicada as
ideias correlatas do Caacutelculo Eacute consensual que a maioria dos professores mestredoutores
das universidades federais poderia aprimorar sua didaacutetica com o intuito de melhorar a
exposiccedilatildeoapresentaccedilatildeo de determinados conteuacutedos e aleacutem disso sugeriram que a apre-
sentaccedilatildeo de conteuacutedos correlacionados ao Caacutelculo seja realizada por meio de estrateacutegias
diferenciadas (recursos didaacuteticos e modelagem matemaacutetica) Isso pode contribuir de ma-
neira signicativa para melhorar os niacuteveis de aprendizagem durante a fase de graduaccedilatildeo
e ao mesmo tempo servir de estiacutemulo para estudos posteriores Eacute certo que a realidade
vem melhorandoultimamente devido exigecircncias impostas pelas poliacuteticas governamen-
tais em melhorar os altos e absurdos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo I mas
em contrapartida os setores responsaacuteveis pela validaccedilatildeo de complementaccedilotildees (licenciatu-
ras curtas) e alguns cursos de Licenciatura a distacircncia sejam mais rigorosos ao avaliar
o conceito dessas graduaccedilotildees para que a formaccedilatildeo desses professores seja qualidade ex-
celente ao ponto de acumular bagagem de estaacutegio e conhecimento especiacuteco suciente
para explorar ao maacuteximo a capacidade de seus alunos A realidade vivenciada nos editais
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 43
de contrataccedilatildeo de professores de designaccedilatildeo temporaacuteria seja da secretaria de educaccedilatildeo
municipal ou estadual do Espiacuterito Santo aparenta nos remeter a ideia de que o tiacutetulo
eacute mais importante do que o conteuacutedo o objeto de estudo analisado Esse dado eacute um
fator que contribui indiretamente para a reduccedilatildeo da procura de alunos para as licencia-
turas na UFES e IFES Por exemplo o curso de Matemaacutetica no processo seletivo 1 UFES
20132014 ofereceu 50 vagas das quais apenas 27 alunos conseguiram obter notas que os
capacitassem para prosseguir o curso
Aqueles professores que relataram citaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
em pontos especiacutecos do Ensino Meacutedio informaram que fazem apenas uma abordagem
supercial sem embasamento teoacuterico com pouca mobilidade metodoloacutegica e sem respaldo
curricular Tambeacutem relataram que os poucos cursos de capacitaccedilatildeo que existem ocorrem
em horaacuterios e dias natildeo convenientes (recesso eou feacuterias nais de semana etc) Quanto ao
respaldo curricular os professores argumentaram que os PCNEM natildeo apresentam menccedilatildeo
alguma agrave introduccedilatildeo das ideias intuitivas do Caacutelculo E caso houvesse uma mudanccedila nesse
documento haveria necessidade de curso de formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo com material didaacutetico
autoexplicativo e focado na realidade da educaccedilatildeo baacutesica dado que os referidos docentes
natildeo fazem ideia de como realizar a introduccedilatildeo de tais conceitos no modelo educacional
vigente
Os docentes tambeacutem nos disseram que caso fossem questionados sobre algum
ponto que requeresse citaccedilatildeo de noccedilotildees elementares do Caacutelculo a priori deixariam a
discussatildeo de forma particular com o aluno que promoveu a pergunta ou entatildeo daria uma
desculpa qualquer de que tais noccedilotildees seratildeo discutidas posteriormente no Ensino Superior
somente para os privilegiados que estudaratildeo a disciplina de Caacutelculo
Os dados da pesquisa servem para uma reexatildeo sobre a situaccedilatildeo do ensino de
matemaacutetica embora o espaccedilo amostral esteja concentrado nas escolas da Grande Vitoacuteria
pode ser que esteja dissipada ao redor do estado Isso pode ser um obstaacuteculo agrave inser-
ccedilatildeo de elementos intuitivos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio pois eacute um tema bastante
discutiacutevel e natildeo dispomos de um modelo de educaccedilatildeo pronto que resolva os problemas men-
1Observaccedilatildeo o processo seletivo da UFES para o curso de Matemaacutetica eacute diferente dos demais pois o
aluno eacute preacute-aprovado para a 2a etapa e em seguida deve cursar durante o proacuteximo semestre duas disciplinas
Matemaacutetica Baacutesica I e II com a prerrogativa de obter rendimento miacutenimo de meacutedia nal de 50 pontos
em cada disciplina caso contraacuterio o aluno natildeo estaacute apto para prosseguir no curso de Matemaacutetica e o
mesmo eacute eliminado do certame
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 44
cionados Talvez tal negligecircncia tenha como consequecircncia agravante rendimentos piacuteos
por parte da maioria dos estudantes evasatildeo universitaacuteria e fuga aos cursos que requerem
conhecimento preacutevio de Caacutelculo poreacutem o universo estatiacutestico analisado natildeo eacute suciente
para tal conclusatildeo mas sim para uma reexatildeo As propostas a seguir tecircm a pretensatildeo
de preencher as lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos quanto ao repasse de noccedilotildees ele-
mentares de limite derivada e integral durante a educaccedilatildeo baacutesica Assim como promover
uma orientaccedilatildeo para os professores da educaccedilatildeo baacutesica por intermeacutedio de atividades praacute-
ticas construtivas contextualizadas e interdisciplinares Eacute vaacutelido ressaltar que o referido
trabalho jaacute eacute realizado em determinados estados brasileiros (Satildeo Paulo Minas Gerais
Rio Grande do Sul e Paranaacute) e aleacutem disso na Franccedila Portugal e Espanha o Caacutelculo
Diferencial e Integral eacute conteuacutedo do curriacuteculo miacutenimo comum obrigatoacuterio na educaccedilatildeo baacute-
sica Nos estados brasileiros que fazem referecircncia as noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio
a inclusatildeo do tema eacute inserida de maneira indireta transversal e interdisciplinar de acordo
com as duacutevidas e o grau de abstraccedilatildeo que o assunto requer A implementaccedilatildeo de nossa
proposta eacute uma tentativa de reduzir o grande abismo entre a educaccedilatildeo baacutesica e o ensino
superior Aleacutem disso pretendemos contribuir para o aumento da procura por cursos de
exatas nos vestibulares para a consideraacutevel melhora no rendimento universitaacuterio dos alu-
nos que cursavam disciplinas de Caacutelculo e para a promoccedilatildeo de um ensinoaprendizagem
mais signicativo concreto interdisciplinar contextualizado e motivador
Embora as noccedilotildees de limite derivada e integral natildeo estejam presentes de forma
direta e obrigatoacuteria no curriacuteculo miacutenimo de conteuacutedos do Ensino Meacutedio no curriacuteculo
escolar paulista (2011) haacute uma argumentaccedilatildeo excelente de defesa do ensino de noccedilotildees de
Caacutelculo na 3a etapa da educaccedilatildeo baacutesica na qual os autores trabalham com a ideia de que
havendo uma boa razatildeo para fazer algo sempre seraacute possiacutevel arquitetar uma maneira de
fazecirc-lo (quem tem um porque arruma um como) Por exemplo haacute uma orientaccedilatildeo
de trabalhar com uma escala de aprofundamento adequada ao grau de conhecimento
do aluno em questatildeo toacutepicos do Caacutelculo Diferencial por meio da anaacutelise de problemas
cotidianos (presentes em jornais e revistas) que medem a rapidez com que uma grandeza
cresce ou decresce em relaccedilatildeo agrave outra (o que futuramente aprenderatildeo como derivada)
Aleacutem disso orientam que o trabalho com o Caacutelculo Integral deve ser ealizado a partir de
uma aproximaccedilatildeo de uma grandeza variaacutevel por uma seacuterie de valores constantes (como se
fosse constante em pequenos intervalos)
45
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA
Com o intuito de realizar o resgate do repasse das noccedilotildees elementares do
Caacutelculo o presente trabalho estaraacute repleto de atividades que de forma direta eou indireta
citaratildeo as ideias intuitivas de limite de derivada e de integral
De fato haacute uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular durante o Ensino Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees
elementares do Caacutelculo e em caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite De fato haacute
uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em particular durante o Ensino
Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees elementares do Caacutelculo e em
caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite Aleacutem disso os dados das pesquisas realiza-
das revelaram agraves diculdades que muitos professores possuemteriam para expor o tema
tambeacutem foi visto que haacute mais pontos favoraacuteveis que desvantajosos em propor o resgate
da inserccedilatildeo de tais conceitos durante o Ensino Meacutedio e para nalizar foram constatadas
as deciecircncias existentes nas diversas literaturas disponiacuteveis
Assim a principal meta desse trabalho consiste em propor situaccedilotildees praacuteticas
em que haacute a necessidade de empregar e justicar o ensino das noccedilotildees intuitivas de limite e
ideias correlatas do Caacutelculo na educaccedilatildeo baacutesica em especial durante o Ensino Meacutedio Com
o intuito de ajudar colegas de prossatildeo tentamos propor abordagens do ensino das noccedilotildees
intuitivas de limite de derivada e de integral por meio de softwares de geometria dinacircmica
e planilhas eletrocircnicas de maneira que tais conceitos sejam introduzidos passo a passo
(algo bem construtivo) Pretendemos gerar um ambiente de reexatildeo sobre a importacircncia
de justicar determinados toacutepicos da matemaacutetica elementar com maior precisatildeo e aleacutem
disso fornecer subsiacutedios garantidos por lei para continuidade de estudos posteriores A
resoluccedilatildeo de cada situaccedilatildeo problema seraacute feita sempre que possiacutevel a partir dos meacutetodos
propostos por POLYA (1995) [28] os quais podem ser expressos em quatro passos
1 Compreender o problema Nesse 1o passo eacute importante fazer perguntas identicar
qual eacute a incoacutegnita do problemavericar quais satildeo os dados e quais satildeo as condiccedilotildees
entre outros
2 Construccedilatildeo de uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo Nesse 2o passo devemos encontrar as
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
conexotildees entre os dados e a incoacutegnita caso seja necessaacuterio considerando problemas
auxiliares ou particulares
3 Execuccedilatildeo da estrateacutegia Frequumlentemente o 3o passo eacute considerado o mais faacutecil do
processo de resoluccedilatildeo de um problema Contudo a maioria dos principiantes tende
a pular esta etapa prematuramente e acabam se dando mal
4 Revisatildeo da soluccedilatildeo O 4o passo consiste numa anaacutelise minuciosa da soluccedilatildeo obtida
em que eacute feita a vericaccedilatildeo dos resultados dos argumentos utilizados e da escrita
matemaacutetica aleacutem de ser uma etapa excelente para oportunizar uma reexatildeo sobre
a possibilidade de uma resoluccedilatildeo de modo diferente
Nesse iacutenterim eacute necessaacuterio ter uma preocupaccedilatildeo contiacutenua em realizar uma boa
interpretaccedilatildeo dos exerciacutecios seguida de uma atenciosa coleta de dados chegando ao ponto
de encontrar a melhor estrateacutegia para solucionar a questatildeo e apoacutes aplicar a melhor teacutecnica
(ou a mais conveniente) de resoluccedilatildeo nalizar a atividade por meio de uma revisatildeo da
soluccedilatildeo realizada com ecircnfase e detalhamento de valores obtidos assim como o estudo do
signicado semacircntico algeacutebrico ou geomeacutetrico eacute uma teacutecnica excelente e sugerimos que
se torne praacutetica diaacuteria de professores e alunos
MACHADO (2008) [19] professor e autor de livros de matemaacutetica elemen-
tarsuperior arma em seu artigo Caacutelculo Diferencial e Integral na Educaccedilatildeo Baacutesica
que a presenccedila das ideias baacutesicas do Caacutelculo eacute inserida em no dia-a-dia a partir do mo-
mento em que haacute o estudo analiacutetico do comportamento de grandezas variando com o
tempo Note o relato de MACHADO (2008 p1)
Eacute do diaacutelogo entre a permanecircncia e a variaccedilatildeo juntamente com a buscade uma forma de caracterizaccedilatildeo da rapidez com que uma grandeza variacom outra que nascem as duas ideias fundamentais do Caacutelculo a integrale a derivada (MACHADO 2008 [19] p1)
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO
FUNDAMENTAL
Embora contrarie as expectativas da maioria dos professores de matemaacutetica
atuantes nessa etapa da educaccedilatildeo baacutesica eacute possiacutevel inserir ideias fundamentais e construti-
vas de limite em diversos pontos do ensino fundamental poreacutem haacute trecircs ocasiotildees especiacutecas
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 47
em que o emprego das noccedilotildees intuitivas de limite faz-se necessaacuterio para completar o en-
tendimento e maximizar o ensinoaprendizagem dos alunos no estudo da representaccedilatildeo
decimal das diacutezimas perioacutedicas no estudo da demonstraccedilatildeo completa do Teorema de Ta-
les e no estudo de aacuterea de aacutereas de guras planas em particular a partir da aacuterea de um
retacircngulo
711 Diacutezimas Perioacutedicas
Em geral as diacutezimas perioacutedicas satildeo introduzidas a partir do 7o ano durante
o estudo da representaccedilatildeo decimal dos nuacutemeros racionais Um nuacutemero racional pode ser
representado por um nuacutemero decimal exato (diacutezima exata) que possui um nuacutemero nito
de casas agrave direita da viacutergula ou por um nuacutemero decimal innito e perioacutedico (diacutezima
perioacutedica) que possui um nuacutemero innito de casas agrave direita da viacutergula Em outras
palavras uma diacutezima perioacutedica eacute uma representaccedilatildeo numeacuterica em que haacute uma sequecircncia
nita de algarismos que se repetem indenidamente
Por deniccedilatildeo os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados
por uma fraccedilatildeo isto eacute nuacutemeros da forma pq com p e q nuacutemeros inteiros e q 6= 0 As
fraccedilotildees que geram diacutezimas perioacutedicas satildeo denominadas de fraccedilotildees geratrizes
Para transformar uma fraccedilatildeo (ab)cujo denominador apresente apenas fatores
2 ou 5 em um nuacutemero decimal pode-se aplicar o seguinte meacutetodo Considere b = 2x middot 5y
com x lt y Em seguida multiplique tanto o numerador quanto o denominador por 2yminusx
isto eacutea
b=
a middot 2yminusx
2x middot 5y middot 2yminusx=a middot 2yminusx
2y5y= a middot 2yminusx10minusy
Isso eacute equivalente a calcular o nuacutemero a middot 2yminusx e escrevecirc-lo apoacutes as x casas decimais apoacutes
a viacutergula Note que o caso x gt y eacute anaacutelogo ao anterior poreacutem o fator multiplicativo seraacute
5yminusx Por exemplo
7
20=
7
22 middot 5=
7 middot 52minus1
22 middot 5 middot 52minus1=
35
100= 0 35
A aplicaccedilatildeo desse procedimento para denominadores particulares que produ-
zem fraccedilotildees decimais nem sempre produz um nuacutemero nito de casas apoacutes a viacutergula Um
exemplo simploacuterio seria a tentativa de escrever a representaccedilatildeo decimal da fraccedilatildeo geratriz13 Note que
1
3=
1 middot 103 middot 10
=1
1010
3=
1
103 middot 3 + 1
3=
1
10(3 +
1
3) =
3
10+
1
101
3= 0 3 +
1
101
3
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 48
Repetindo o processo tem-se
1
3= 0 3 +
1
101
3= 0 3 +
1
10(0 3 +
1
101
3) = 0 3 + 0 03 +
1
1001
3
Observe que novamente apareceu a fraccedilatildeo original um terccedilo e eacute evidente que o
mesmo aconteceraacute nas proacuteximas iteraccedilotildees Isto signica que para a representaccedilatildeo decimal
de um terccedilo eacute necessaacuterio innitas casas decimais agrave direita da viacutergula Assim concluiacute-se
que1
3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()
Note que eacute importante que o professor interra com questionamentos sobre a
regularidade dos elementos que surgem nessa soma e com a solicitaccedilatildeo do Caacutelculo para um
nuacutemero particular de parcelas dessa soma A nalidade dessa tarefa eacute mostrar ao aluno
que um terccedilo eacute igual a uma soma de innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica cujo
primeiro termo eacute a1 = 0 3 e cuja razatildeo q = 0 1 (seacuterie convergente) Para calcular essa
soma eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees intuitivas de limite e isso seraacute realizado posterior-
mente nesse trabalho Note ainda que ao multiplicar a ambos os membros pelo nuacutemero
3 tem-se
3 middot 13= 3 middot 0 333rArr 1 = 0 999 = 0 9
Para que os alunos familiarizem-se com o procedimento anterior que utiliza a
ideia de innito de processo indenido proponha atividade de requeiram a determinaccedilatildeo
da representaccedilatildeo decimal por exemplo para as fraccedilotildees 311
e 17 Note que o grau de
diculdade aumenta e aguccedila a curiosidade do aluno Veja o resultado para a fraccedilatildeo
3
11=
3 middot 1011 middot 10
=1
1030
11=
1
10(2 middot 11 + 8
11) =
1
10(2 +
8
11) =
2
10+
1
108
11
Natildeo apareceu explicitamente a fraccedilatildeo 311
na primeira iteraccedilatildeo poreacutem na se-
gunda etapa tem-se 311
= 3middot1011middot10 = 1
103011
= 110(2middot11+8
11) = 1
10(2 + 8
11) = 2
10+ 1
10 811
=
0 2 + 110 80110
= 0 2 + 1100(7middot11+3
11) = 0 2 + 0 07 + 1
100 311
= 0 27 + 1100 311
Ou seja 311
= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1
100middot 311) = middot middot middot = 0 272727 = 0 27
Espera-se com essas atividades que os estudantes consigam assimilar o caraacuteter
perioacutedico e innito das diacutezimas
Em geral uma diacutezima perioacutedica simples de periacuteodo k eacute um nuacutemero que possui
expansatildeo decimal do seguinte modo a b1b2b3bk = a b1b2b3bk E toda diacutezima perioacutedica
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 49
representa um nuacutemero racional isto eacute possui representaccedilatildeo fracionaacuteria dada por
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk
Considere que
r = 0 b1b2b3bk
Daiacute segue que
10r middot r = 10r middot (0 b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr (10r minus 1)r = b1b2b3bk
rArr r =b1b2b3b410k minus 1
=b1b2b3bk9999
Logo tem-se
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk = a+ b1b2b3bk
999 middot middot middot 9︸ ︷︷ ︸k repeticcedilotildees de 9
Exemplo motivacional Determine a fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 5 777 middot middot middot
1o modo Desenvolvendo raciociacutenio similar a demonstraccedilatildeo
r = 5 777
rArr 10r = 57 777
rArr 10r minus r = 57 777minus r
rArr 9r = 52
rArr r =52
9
2o modo Aplicando o algoritmo demonstrado
5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7
9=
52
9
A reciacuteproca da demonstraccedilatildeo acima tambeacutem eacute verdadeira ou seja todo nuacutemero
racional eacute representado por uma diacutezima perioacutedica A demonstraccedilatildeo desse fato eacute obtida
por intermeacutedio do algoritmo de divisatildeo de Euclides
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 50
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Considere a proposiccedilatildeo a seguir proposta por um rico comerciante Tales da
cidade grega de Mileto por volta do V aC conhecida como Teorema de Tales um conjunto
de retas paralelas entre si (feixe de paralelas) cortado por duas transversais (r e s) forma
sobre elas segmentos correspondentes proporcionais isto eacute a razatildeo entre dois segmentos
quaisquer determinados pelo feixe sobre a reta r por exemplo AB e CD eacute igual agrave razatildeo
de seus correspondentes sobre a reta s AprimeBprime e C primeDprime ou seja
AB
CD=AprimeBprime
C primeDprime
A demonstraccedilatildeo desse teorema em geral natildeo eacute realizada nos livros didaacuteticos
do Ensino Fundamental Jaacute nos livros de Ensino Meacutedio eacute apenas apresentada uma parte
da validade para segmentos comensuraacuteveis Diante desse fato consumado eis que surge o
questionamento Por que os livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio natildeo apresentam a demons-
traccedilatildeo para segmentos natildeo comensuraacuteveis
A explicaccedilatildeo para a omissatildeo da segunda parte da prova pode ser justicada
pelo fato de que a manipulaccedilatildeo com nuacutemeros irracionais requer emprego de completude
dos nuacutemeros reais e com certeza o grau de abstraccedilatildeo necessaacuterio pode estar aleacutem das
possibilidades de entendimento do aluno E mais eacute necessaacuterio utilizar noccedilotildees intuitivas
de limite para completar o raciociacutenio
A seguir eacute apresentada de forma completa a demonstraccedilatildeo do Teorema de
Tales
1a parte da demonstraccedilatildeo Sejam r s t e z retas paralelas e a e b retas
transversais
Suponha que AB e CD sejam comensuraacuteveis e que exista um segmento u
(unidade de medida comum entre os segmentos AB e CD) tal que AB = mu e CD = nu
(mn isin N ) isto eacute o segmento u cabe m vezes dentro de AB assim como cabe n vezes
no segmento CD
Logo a razatildeo ABCD
= munu
= mn(I)
Agora pelos pontos que dividem AB e CD em m e n partes congruentes
ao segmento de medida u trace retas paralelas ao feixe com o intuito de subdividir os
segmentos AprimeBprime e C primeDprime em m e n partes iguais a w A partir dessa consideraccedilatildeo tem-se
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 51
a razatildeo AprimeBprime
CprimeDprime =mwnw
= mn(II)
Figura 71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte DANTE [9] 2010 vol1 p 404
Daiacute concluiacute-se a partir das relaccedilotildees (I) e (II) que ABCD
= AprimeBprime
CprimeDprime conforme
queriacuteamos demonstrar
2a parte da demonstraccedilatildeo Sejam a1 i e j retas paralelas e r e s retas trans-
versais
Figura 72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte GeoGebra
Suponha agora que os segmentos AB e BC sejam incomensuraacuteveis Por co-
modidade suponha que AB seja menor do que BC (caso contraacuterio o raciociacutenio seraacute
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 52
desenvolvido a partir de BC) e divida AB em m partes congruentes com o segmento
u = 1mAB Como u lt AB (dado que a parte eacute menor do que o todo) e como AB lt BC
entatildeo u lt BC
Figura 73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis
Fonte GeoGebra
Pela propriedade Arquimediana (dadas duas magnitudes quaisquer de mesma
natureza a e b existe sempre um nuacutemero inteiro n tal que na gt b) existe um nuacutemero
inteiro n tal que mu gt BC Existindo um nuacutemero com essa propriedade existiraacute uma
innidade porque Nu tambeacutem seraacute maior do que BC para qualquer N gt n Nesse iacutente-
rim pode-se considerar que n eacute o menor dos nuacutemeros inteiros para os quais mu gt BC
Assim sendo (nminus 1)u deveraacute ser menor do que BC ou seja (nminus 1)u lt BC lt nu Como
mu = AB segue que nminus1m
lt BCAB
lt nm Em outras palavras a relaccedilatildeo entre os incomensu-
raacuteveis BC e AB estaacute compreendida entre os racionais nminus1m
e nm Pelas extremidades dos m
segmentos em que AB foi dividido traccedilando-se paralelas ao feixe o segmento DE caraacute
dividido em m partes congruentes com o segmento w = 1mDE ou seja DE = mw Pelas
extremidades dos n segmentos congruentes com u sobre o segmento BC trace as paralelas
ao feixe Sobre a reta s caratildeo determinados n segmentos congruentes a w Denomine
de Kn e Kn+1 as extremidades dos segmentos a partir de C formados respectivamente
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 53
por (nminus 1) e n segmentos congruentes a u Sejam K primen e Kprimen+1 seus correspondentes sobre
a reta s
Observe a situaccedilatildeo descrita geometricamente na gura a seguir
Figura 74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso)
Fonte GeoGebra
Note a partir da gura anterior que C estaacute entre Kn e Kn+1 Agora resta
mostrar que seu correspondente (F ) estaacute entre K primen e K primen+1 Eacute notoacuterio que F natildeo pode
coincidir com K primen ou K primen+1 pois nesses casos DE e EF seriam comensuraacuteveis e por con-
sequecircncia AB e BC tambeacutem seriam o que contrariaria a hipoacutetese imposta O ponto F
correspondente de C natildeo pode estar entre E e K primen pois nesse caso Kn e K primen estariam em
semiplanos opostos em relaccedilatildeo agrave reta KnKprimen de tal modo que a reta Kn+1K
primen+1 cruzaria
a reta KnKprimen o que eacute um absurdo pois ambas satildeo paralelas Com raciociacutenio anaacutelogo
descarta-se a possibilidade de K primen+1 estar entre E e F Logo (nminus1)w lt EF lt nw Como
DE = mw entatildeo nminus1m
lt EFDE
lt nm O que acabou de ser mostrado prova que AB e BC
sobre a reta r satildeo incomensuraacuteveis e a relaccedilatildeo entre eles estaacute entre nminus1m
e nm os segmentos
DE e EF sobre s tambeacutem satildeo incomensuraacuteveis e sua relaccedilatildeo estaacute entre aqueles dois raci-
onais Assim nesse iacutenterim denomina-se nminus1m
e nm respectivamente de aproximaccedilotildees por
falta e por excesso das relaccedilotildees BCAB
e EFDE
Note que a diferenccedila entre tais aproximaccedilotildees eacute1me pode ser feita tatildeo pequena quanto se queira Em outras palavras BC
ABe EFDE
podem
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 54
ser espremidas entre dois nuacutemeros racionais tatildeo proacuteximos quanto se queira ateacute chegar ao
aacutepice intuitivo de que tais razotildees satildeo iguais Para completar a demonstraccedilatildeo eacute necessaacuterio
mostrar que tanto o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por falta natildeo tem maacuteximo como
o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por excesso natildeo tem miacutenimo Essa demonstraccedilatildeo
pode ser encontrada com maior riqueza de detalhes em GARBI (2010 p115) [29]
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas
Em geral o estudo de aacutereas eacute posterior ao estudo de congruecircncia e semelhanccedila
de triacircngulos Embora seja comum nos livros didaacuteticos apresentar o estudo de aacutereas
assim como suas propriedades no nal do curso de Geometria em WAGNER (1992) [31]
haacute antecipaccedilatildeo da inserccedilatildeo das noccedilotildees de aacutereas
Uma das vantagens de realizar tal inversatildeo na apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos
consiste no fato de evitar a anaacutelise da comensurabilidade dos segmentos em questatildeo
A seguir seraacute exposta a demonstraccedilatildeo via aacutereas
Sejam Bprime e C prime os pontos dos lados AB e ABprime respectivamente do triacircngulo
ABC conforme ilustra a gura a seguir
Figura 75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos
Fonte RPM [31] n 21 p7
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 55
Analisando a gura anterior segue que os segmentos BC prime e CBprime satildeo paralelos
ou seja BprimeC primeBC e partir daiacute eacute possiacutevel concluir que os triacircngulos BprimeC primeB e BprimeC primeC
tecircm mesma aacuterea dado que possuem mesma base (BprimeC prime) e alturas relativas a essa base
tambeacutem iguais Acrescentando a esses triacircngulos o triacircngulo ABprimeC prime concluiacutemos que os
triacircngulos ABC prime e ACBprime tambeacutem possuem a mesma aacuterea Portanto segue que
ABprime
AB=S(ABprimeC prime
S(ABC prime)=S(AC primeBprime
S(ACBprime)=AC prime
AC
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo
Os livros didaacuteticos da educaccedilatildeo baacutesica natildeo apresentam o caacutelculo da medida
da aacuterea (S) da regiatildeo retangular de maneira construtiva dinacircmica e com explicaccedilotildees
convincentes de que a superfiacutecie retangular eacute dada pelo produto entre a medida da base
(b) e a medida da altura (h) Os autores optam pela abordagem via repasse da foacutermula
sem o devido cuidado de demonstrar sua validade para todos os nuacutemeros reais isto eacute
S = b middot h
Para demonstrar a validade da referida foacutermula eacute necessaacuterio utilizar um proce-
dimento anaacutelogo ao utilizado na prova completa do Teorema de Tales exibido na atividade
anterior isto eacute primeiro eacute mostrado a validade para nuacutemeros racionais e depois eacute esten-
dida para nuacutemeros irracionais Eacute vaacutelido ressaltar que o foco dessa atividade eacute direcionado
para destacar a necessidade de implementar noccedilotildees intuitivas de limite para concluir a
foacutermula de caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
Considere um retacircngulo de lados m e n nuacutemeros naturais particionado em
m middot n quadrados de lado 1 em que m = 6 e n = 5 Note que o retacircngulo eacute composto por
m middot n = 6 middot 5 = 30 quadrados
Em seguida considere um retacircngulo de lados m1
n1e m2
n2 com (m1m2 n1 n2 isin
N) A partir de n1n2 coacutepias desse novo retacircngulo monta-se um retacircngulo maior de lados
m1 e m2 Adicionando aacutereas iguais concluiacute-se que a aacuterea do retacircngulo dado originalmente
eacute igual a m1middotm2
n1middotn2= m1
n1middot m2
n2
Finalmente toma-se um retacircngulo de lados a e b reais positivos e para k isin N
nuacutemeros racionais xk yk uk vk tais que xk lt a lt yk uk lt b lt vk e yk minus xk uk minus vk lt 1k
Sendo S a aacuterea do retacircngulo de lados a e b um argumento anaacutelogo ao feito para quadrados
garante que S e ab pertencem ambos ao intervalo (ukxk ykvk) e daiacute para todo k isin N
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 56
tem-se
|Aminus ab| lt vkyk minus ukxk
rArr vkyk minus ukxk = (vk minus uk)yk + (yk minus xk)uk lt1
k(yk + uk)
rArr 1
k(yk + uk) =
1
k((yk minus xk) + 2xk + (vk minus uk) + 2uk) lt
1
k(2
k+ 2a+ 2b)
rArr |Aminus ab| lt 1
k(2
k+ 2a+ 2b)
A gura a seguir ilustra o retacircngulo mn em que m = 6 e n = 5
Figura 76 Retacircngulo 6 x 5
Fonte GeoGebra
Note que quanto maior o valor de n as aproximaccedilotildees por falta (xkuk) e por
excesso (vkyk) indicam intuitivamente que a aacuterea do retacircngulo de lados a e b tenderaacute para
S = ab isto eacute
xkuk lt ab lt vkyk
rArr k
nmiddot mnlt
(k + 1)
nmiddot (m+ 1)
n
rArr km(1
n)2 lt ab lt (km+ k +m+ 1)(
1
n)2
rArr 0 lt abminus km(1
n)2 lt (k +m+ 1)(
1
n)2
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
Quanto maior o valor de n (n tendendo ao innito) melhor seraacute a aproximaccedilatildeo
da aacuterea (correspondente agrave soma de todos os retacircngulos de medidas kne m
n) da pretendida
do retacircngulo dada por S = ab
A gura a seguir representa um retacircngulo 100 e 80 em que a base e a altura
respectivamente foram subdivididas em 100(na) e 80(nb) partes com a mesma unidade
de comprimento
Figura 77 Retacircngulo 100 x 80
Fonte GeoGebra
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ES-
TUDO DE FUNCcedilOtildeES
Inicialmente sugere-se a apresentaccedilatildeo de algumas situaccedilotildees problema que
abordam de forma embutida as noccedilotildees intuitivas de limite de forma praacutetica Inclusive
o presente trabalho possui a preocupaccedilatildeo em mostrar aos alunos a simbologia moderna
utilizada em detrimento das expressotildees e locuccedilotildees de tendecircncia Observe
bull a) Se o cacircmbio do doacutelar americano tende a estabilizar em torno de R$ 233 entatildeo o
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 58
valor pago por 100 doacutelares estabiliza em torno de R$ 23300 Logo podemos falar
que o limite (valor pago por 100 doacutelares) eacute igual a R$ 23300 quando o valor pago por
1 doacutelar tende a R$ 233 Pode-se representar tal situaccedilatildeo por limxrarr100
2 33x = 233
bull b) Imagine uma placa metaacutelica quadrada que se expande uniformemente por estar
sendo aquecida Se x representa o comprimento do lado a aacuterea da placa eacute dada
por A(x) = x2 Evidentemente quando x se aproxima de 5 a aacuterea da placa A se
aproxima de 25 Essa situaccedilatildeo pode ser expressa simbolicamente por limxrarr5
x2 = 25
bull c) Suponha agora que vocecirc esteja dirigindo um automoacutevel Se o acelerador for pres-
sionado para baixo em torno de 4 cm entatildeo a velocidade se manteraacute proacutexima aos 120
Kmh Logo podemos dizer que o limite (velocidade instantacircnea do automoacutevel) eacute
igual a 120 Kmh quando o acelerador tender a 4 cm para baixo Matematicamente
escrevemos tal situaccedilatildeo por limxrarr4
v(x) = 120 onde v(x) eacute a velocidade instantacircnea do
automoacutevel e x eacute a medida em centiacutemetros do deslocamento do pedal do acelerador
bull d) Outra aplicaccedilatildeo interessante do limite de uma funccedilatildeo eacute o caacutelculo da velocidade
instantacircnea de um corpo em queda livre sob a accedilatildeo da gravidade dentre outras
inuacutemeras aplicaccedilotildees interdisciplinares disponiacuteveis
Apoacutes apresentar um panorama de aplicaccedilotildees simples faz-se necessaacuterio propor
o repasse das noccedilotildees intuitivas de limite utilizando o estudo de funccedilotildees De acordo com a
estrateacutegia disseminada pelos livros didaacuteticos uma das melhores formas de expor as ideias
de limite via funccedilotildees consiste em observar o comportamento de uma funccedilatildeo dada nas
proximidades de um ponto em sua vizinhanccedila
Vejamos um exemplo praacutetico Exemplo Observe o estudo analiacutetico do compor-
tamento de uma funccedilatildeo f na vizinhanccedila de um ponto Considere a funccedilatildeo f R2 minusrarr R
denida por
f(x) =x2 minus 4
xminus 2=
(x+ 2)(xminus 2)
xminus 2= x+ 2
Estudando o comportamento da referida funccedilatildeo nas proximidades do ponto
x = 2 dado que o mesmo natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada verica-se que
quando aproximamos os valores de x da abscissa x = 2 haacute uma aproximaccedilatildeo abrupta
para a imagem y = f(x) = 4 mesmo que se tome valores agrave esquerda (x lt 2) ou a direita
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 59
(x gt 2) da abscissa x = 2 Tal constataccedilatildeo sob o ponto de vista numeacuterico pode ser
interpretada a seguir via dados tabelados
Tabela 71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2
Aproximaccedilatildeo pela esquerda (x lt 2) Aproximaccedilatildeo pela direita (x gt 2)
x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2
f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4
Nesse momento eacute possiacutevel discutir com os alunos a noccedilatildeo intuitiva de limite
Note que tomando valores na vizinhanccedila de x = 2 o valor da funccedilatildeo permanece nas
proximidades de y = f(x) = 4 Inserindo a linguagem moderna precisa e concisa pode-se
dizer que ao fazer com que os valores de x tendam para a abscissa x = 2 (xrarr 2) os valores
das imagens tenderatildeo para a imagem y = f(x) = 4 (y rarr 4) a qual seraacute denominada de
limite e representada por L = limxrarr2
f(x) = 4 Note que esse limite representa o valor da
funccedilatildeo para x = 2 poreacutem esse valor de x natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada Tal
episoacutedio serve de base para explicar que o conceito de limite independe de a funccedilatildeo estar
denida naquele ponto especiacuteco e mais serve para representar que o limite de uma dada
funccedilatildeo pode natildeo ser o valor da imagem do ponto em que estamos investigando em sua
vizinhanccedila
Embora tal explicaccedilatildeo seja aceitaacutevel eacute bom ser cauteloso ao explicar a situaccedilatildeo
Caso ainda haja duacutevida recomenda-se a construccedilatildeo do graacuteco da referida funccedilatildeo via Geo-
Gebra Nesse software ao inserir no campo entrada as coordenadas do ponto F = (2 f(2))
o programa indicaraacute na janela de Aacutelgebra a informaccedilatildeo de que tal ponto eacute indenido e
quando inserirmos G = (1999 f(1999)) o GeoGebra indicaraacute um ponto praticamente so-
bre o ponto (2 4) o qual eacute o ponto indenido cuja imagem representaraacute o limite da funccedilatildeo
Oportunidade riquiacutessima para mencionar a relaccedilatildeo importacircnciadependecircncialimitaccedilatildeo de
um software no estudo de Matemaacutetica
Para melhor compreensatildeo observe a imagem capturada da tela do GeoGebra
Eacute interessante mencionar que esse fenocircmeno pode ser generalizado de maneira informal
para qualquer funccedilatildeo f(x) denida em um intervalo aberto em torno de x = a exceto
talvez em x = a Se f(x) ca arbitrariamente proacuteximo de L para todos os valores
de x sucientemente proacuteximos de a dizemos que f tem limite L quando x tende para
a e escrevemos limxrarra
f(x) = L Nesse iacutenterim eacute vaacutelido ressaltar que o conceito formal
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 60
utilizando eacutepsilon e delta seraacute visto em um curso especiacuteco de Caacutelculo I E mais haacute
disponiacutevel diversos sites na internet com variados applets (programas desenvolvido via
GeoGebra) com atividades que explicam toacutepicos do estudo de Caacutelculo por exemplo
em BIZELLI (2014) [33] responsaacutevel pelo site do Instituto de Quiacutemica da Universidade
Estadual de Satildeo Paulo (UNESP) em que disponibiliza applets que orientam diversos
assuntos dentre os quais destacamos o estudo da ideia de limite de uma funccedilatildeo que
corresponde a uma contribuiccedilatildeo construtiva para o conhecimento de forma luacutedica concreta
e com possibilidades de inuacutemeras iteraccedilotildees
Figura 78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita
Fonte Imagem capturada de uma janela do GeoGebra
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees
Ao estudar a construccedilatildeo dos graacutecos das principais funccedilotildees estudadas durante
o ensino meacutedio diversos questionamentos satildeo levantados por alunos A principal pergunta
dos alunos consiste em como obter garantias sucientes e esclarecedoras sobre o compor-
tamento das curvas (Quando crescem ou decrescem Quando os eixos ou determinas retas
satildeo consideradas assiacutentotas das curvas em questatildeo Selecionando um intervalo qualquer
presente no 1o quadrante por exemplo o que signica e como se calcula a aacuterea sob o
graacuteco dessa funccedilatildeo) Alguns desses e outros questionamentos satildeo frequentes em sala de
aula e serviram de base para a discussatildeo que seraacute feita a partir desse momento
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 61
Ao representar o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau do 2o grau Exponencial
ou Logariacutetmica geralmente representa-se apenas uma parte da funccedilatildeo a partir de valores
discretos para as abscissas Em seguida traccedilamos o graacuteco de maneira natural de acordo
com a amostragem construiacuteda por exemplo via tabela que relaciona o par (x f(x))
Satildeo raros os professores que abrem a discussatildeo em torno de valores contiacutenuos para a
variaacutevel x Uma estrateacutegia boa para garantir aos alunos que o crescimentoconcavidade
da referida natildeo se altera para algum valor de x e que em alguns casos o crescimento tende
para o innito seria utilizar as ferramentas do Caacutelculo mas tais ferramentas natildeo estatildeo
disponiacuteveis no Ensino Meacutedio Daiacute a necessidade de fornecer um suporte especiacuteco de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo para justicardemonstrar algumas propriedades que satildeo
simplesmente comentadas sem a prova de que satildeo vaacutelidas independentemente do valor do
domiacutenio ser discreto ou contiacutenuo isto eacute a validade eacute para todo o domiacutenio real de deniccedilatildeo
da funccedilatildeo um preluacutedio ao conceito de continuidade de funccedilatildeo
As questotildees referentes agrave tendecircncia de crescimento para o innito ou agrave apro-
ximaccedilatildeo a uma reta assiacutentota satildeo explicadas via noccedilotildees de limites Negligenciar tal
discussatildeo como eacute praxe na educaccedilatildeo baacutesica contribui vertiginosamente para a desmoti-
vaccedilatildeo dos alunos e como consequecircncia reduz o rendimento das escolas de educaccedilatildeo baacutesica
e superior
Por exemplo suponha hipoteticamente que um dado aluno do Ensino Meacutedio
faccedila dois questionamentos acerca do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica Por que a funccedilatildeo
logariacutetmica eacute crescentee O que garante que quando os valores de x tendem para o
innito positivo os valores das imagens (f(x)) tendem tambeacutem para o innito positivo
Eacute notoacuterio que inuacutemeros professores do Ensino Meacutedio teriam diculdade em explicar com
transparecircncia e argumentos vaacutelidos tais perguntas Com o intuito de ajudar colegas
que apresentem inseguranccedila diculdade e alguma outra adversidade na arte de lecionar
esse conteuacutedo particular proposto observe a maneira escolhida para justicaacute-las Note
que para explicaacute-las faz-se necessaacuterio formalizaacute-las segundo proposiccedilotildees (teoremas) e em
seguida demonstraacute-las Aleacutem disso verique que a segunda proposiccedilatildeo torna-se suciente
a partir da prova de monotonicidade da primeira
Proposiccedilatildeo 721 A funccedilatildeo logariacutetmica de base 10 (logaritmos decimais) eacute crescente
isto eacute se 0 lt x lt y entatildeo log x lt log y
Demonstraccedilatildeo Sejam x e y dois nuacutemeros positivos com x lt y ou seja existe um nuacutemero
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 62
m gt 1 tal que y = mx Daiacute temos log y = log (mx) = log m + log y Como m gt 1
segue que log m gt 0 Conclusatildeo log y gt log x como queriacuteamos demonstrar
Proposiccedilatildeo 722 Quando x tende para +infin log x tende para +infin Isto eacute quando
tomamos valores positivos cada vez maiores para x o logaritmo decimal cresce e pode
torna-se maior do que qualquer nuacutemero positivo prexado
Demonstraccedilatildeo Dado qualquer nuacutemero real J gt 0 pode-se obter K gt 0 tal que para
todo x gt K se tem log x gt J Assim dado J gt 0 escolhemos primeiro um nuacutemero inteiro
positivo M tal que M gt Jlog 2
Entatildeo log (2M) = M log 2 gt J Tome agora K = 2M
Note que qualquer que seja x gt K como a funccedilatildeo logaritmo de base 10 eacute crescente
tem-se que log x gt log K gt J Isso prova que todos os nuacutemeros reais x gt K possuem
logaritmos decimais maiores do que J Utilizando uma linguagem moderna e avanccedilada
concluiacutemos que limxrarr+infin
log x = +infin
Eacute vaacutelido ressaltar que a maioria dos livros analisados natildeo demonstra tais pro-
posiccedilotildees apenas faz citaccedilotildees como propriedades vaacutelidas Somente o livro do IEZZI (2010)
[15] e o do LIMA (2006) [17] fazem menccedilatildeo de maneira deciente injusticada e dife-
rente da apresentada Note que a escolha da funccedilatildeo logariacutetmica foi com a nalidade de
escapar da comodidade de trabalhar com funccedilotildees simples (1o e 2o grau) e para mostrar
um questionamento que pode ser uacutetil em sala de aula Foi feita apenas uma apresentaccedilatildeo
simples de demonstraccedilatildeo de uma propriedade muito utilizada no estudo de Logaritmos
mas eacute claro que haacute outras pertinentes e que exigem um olhar diferenciado do professor
regente Tambeacutem eacute bom salientar a necessidade de empregar noccedilotildees intuitivas de limite
para completar e raticar o raciociacutenio
Agora suponha que um aluno faccedila um questionamento interdisciplinar ou seja
vamos admitir que um dado aluno tenha recebido a informaccedilatildeo numa aula de Fiacutesica de que
a aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo representa o espaccedilo percorrido por um moacutevel ou o tra-
balho de uma forccedila por exemplo Diante dessa situaccedilatildeo o aluno lhe peccedila esclarecimentos
sobre tal informaccedilatildeo Como explicar essa situaccedilatildeo utilizando somente matemaacutetica ele-
mentar faltaria argumentos faz-se necessaacuterio inserir noccedilotildees elementares do Caacutelculo para
justicar e esclarecer os fatos para o dado aluno
Por exemplo considere uma paraacutebola denida por y = x2 em que y represente
a velocidade e x o tempo percorrido por um moacutevel num dado instante Caso o interesse
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 63
esteja voltado para o caacutelculo do espaccedilo percorrido pelo moacutevel no primeiro intervalo (uni-
dade) de tempo eacute preciso calcular a aacuterea da faixa de paraacutebola (A(x2)ba) compreendida
entre as retas verticais x = 0 e x = 1 Como as ferramentas de Caacutelculo natildeo estatildeo disponiacute-
veis e tambeacutem natildeo possuiacutemos uma foacutermula especiacuteca para efetuar o caacutelculo a resoluccedilatildeo
do referido problema deve empregar um raciociacutenio que evocaraacute noccedilotildees intuitivas do caacutel-
culo Para realizar e estimar o caacutelculo da aacuterea em questatildeo eacute necessaacuterio decompor a regiatildeo
[0 1] sob a curva em (n+1) intervalos justapostos de mesmo comprimento e calcular uma
aproximaccedilatildeo inferior para a faixa A(x2)01 atraveacutes da aacuterea do poliacutegono retangular Pn+1
inscrito na faixa da paraacutebola y = x2 Vide gura a seguir que exemplica a aproximaccedilatildeo
inferior da aacuterea de uma faixa de paraacutebola por intermeacutedio da aacuterea do poliacutegono retangular
P6com 6 intervalos justapostos de mesmo comprimento (n = 5)
Figura 79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5
Fonte GeoGebra
A aacuterea (S) do poliacutegono retangular Pn+1 inscrito na faixa da paraacutebola y = x2
seraacute dada pela soma das aacutereas de todos os retacircngulos contidos na regiatildeo sob a paraacutebola
isto eacute
S = A1 + A2 + A3 + middot middot middot+ An
rArr S = 1(n+1)
f(
1n+1
)+ 1
(n+1)f(
2(n+1)
)+ 1
(n+1)f(
3(n+1)
)+ middot middot middot+ 1
(n+1)f(
n(n+1)
)
Substituindo os valores da funccedilatildeo em cada particcedilatildeo considerada e utilizando a
fatoraccedilatildeo por evidecircncia tem-se
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 64
S =1
(n+ 1)3(1 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
rArr S =1
(n+ 1)3
(n3
3+n2
2+n
6
)=
1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)
Segue daiacute a conclusatildeo de que tomando valores cada vez maiores para n isto
eacute aumentando o nuacutemero de subintervalos aumentamos o nuacutemero de retacircngulos e con-
sequentemente a diferenccedila entre a aacuterea (S) do poliacutegono retangular e a aacuterea da faixa de
paraacutebola aproxima-se de zero Eacute oacutebvio que quando n tende para o innito (n rarr infin) a
aacuterea S tende para a aacuterea da faixa de paraacutebola ou seja S sim= A(x2)01 =13 Em linguagem
moderna e avanccedilada temos
limsrarrinfin
S = limnrarrinfin
[1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)]=
1
3
A construccedilatildeo da atividade acima deve ser realizada de maneira gradual ou seja
solicitando aos alunos que calculem a aacuterea do poliacutegono retangular a partir de subcasos
supondo valores para n por exemplo n = 5 e depois para n = 10 Essa atividade pode ser
realizada com auxiacutelio de calculadora cientiacuteca ou entatildeo via planilha eletrocircnica (do Excel
ou CALC ou ateacute do GeoGebra) Apoacutes resolver os problemas para os casos particulares
(encontrar a aacuterea por falta) sugira aos alunos para que tentem generalizar o meacutetodo ateacute
conseguir encontrar a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] Essa aacuterea foi encontrada
experimentalmente por Arquimedes atraveacutes de O meacutetodo de equiliacutebrio e demonstrado via
meacutetodo da exaustatildeo com argumentos de dupla reductio ad absurdum Com o meacutetodo de
equiliacutebrio Arquimedes vericava e testava a validade da propriedade Jaacute com o meacutetodo da
exaustatildeo que historicamente eacute creditado a Eudoxos poreacutem segundo EVES (2004) [11]
jaacute havia antecipaccedilatildeo de tais ideias nos trabalhos do sosta Antiacutefon (c 430 aC) o mestre
de Siracusa demonstrava a validade da proposiccedilatildeo formando um verdadeiro preluacutedio agraves
escuras das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular a ideia intuitiva de limite
Veja a construccedilatildeo do graacuteco via GeoGebra da aacuterea do poliacutegono retangular
para cinco cinquenta e cem intervalos de mesmo comprimento
Eacute notoacuterio que fazendo n tender para o innito a faixa escura cresceraacute e tenderaacute
para a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] cuja aacuterea corresponde a um terccedilo da
aacuterea do quadrado de mesma base E mais pode-se concluir que a aacuterea de metade do
segmento paraboacutelico (regiatildeo limitada pela reta secante pontilhada e pela paraacutebola) contido
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 65
Figura 710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50
Fonte Geogebra
Figura 711 Poliacutegono Retangular para n = 100
Fonte Geogebra
no quadrado de lado unitaacuterio mede 23 ou melhor eacute possiacutevel concluir que a aacuterea do segmento
paraboacutelico da paraacutebola em questatildeo mede 43 Esse procedimento consiste na quadratura da
paraacutebola cuja autoria de forma rudimentar isto eacute com as ferramentas disponiacuteveis para a
eacutepoca eacute creditada a Arquimedes via Meacutetodo de Equiliacutebrio e Meacutetodo da Exaustatildeo
Tambeacutem eacute necessaacuterio dizer que o problema de calcular aacute aacuterea referida acima
poderia ser solucionado decompondo o intervalo [0 1] em subintervalos contendo trapeacutezios
circunscritos de forma que a aacuterea do poliacutegono trapezoidal circunscrito agrave faixa de paraacute-
bola fosse uma aproximaccedilatildeo por excesso Possivelmente os alunos vatildeo reclamar muito
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 66
das contas que apareceratildeo pois os caacutelculos natildeo satildeo tatildeo simples assim como a teacutecnica
propriamente dita Mas segundo MACHADO (2008) [19] esse aspecto eacute favoraacutevel pois
prepararaacute o aluno para que venha a apreciar as facilidades que seratildeo depois apresentadas
em um curso de Caacutelculo Inclusive eacute possiacutevel mencionar a existecircncia de um teorema im-
portantiacutessimo que cita a existecircncia um ponto entre as aacutereas por aproximaccedilotildees por falta
e por excesso que as tornam iguais Esse teorema eacute conhecido como Teorema do Valor
Meacutedio
Outra atividade excelente de aplicaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
correlatas do Caacutelculo eacute o caacutelculo da chamada Aacuterea de uma faixa de Hipeacuterbole Antes de
deni-la eacute preciso preacute-estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas em que H seraacute
considerado algebricamente como o ramo positivo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x isto eacute
H = (x y)x gt 0 y = 1x ou geometricamente ramo da Hipeacuterbole Equilaacutetera (xy = 1)
contido no primeiro quadrante A partir dessas consideraccedilotildees eacute possiacutevel denir a faixa
de hipeacuterbole e de forma especiacuteca como consequecircncia imediata propor uma ligaccedilatildeo com
o estudo de logaritmos naturais Esse trabalho pode ser conferido na iacutentegra em LIMA
(1980) [16] em que o autor com maestria faz uma abordagem geomeacutetrica do estudo dos
logaritmos e suas consequecircncias (construccedilatildeo da tabela de logaritmos caacutelculo de raiacutezes
inexatas de iacutendice qualquer caacutelculo de potecircncias de base e expoente qualquer construccedilatildeo
do nuacutemero de Euler e sua ligaccedilatildeo com o logaritmo natural e nalmente propor o estudo
da Funccedilatildeo Exponencial)
Nesse iacutenterim eacute possiacutevel propor uma atividade de aplicaccedilatildeo interdisciplinar
sobre a relaccedilatildeo existente entre o crescimento exponencial e o decaimento (desintegraccedilatildeo)
radioativo Esse problema eacute comum nos livros de Ensino Meacutedio Observe a situaccedilatildeo pro-
blema descrita a seguir em que eacute apresentada uma maneira construtiva de explorarutilizar
as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
Situaccedilatildeo Problema A Desintegraccedilatildeo Radioativa consiste na emissatildeo espontacirc-
nea de raios (partiacuteculas e ondas) de nuacutecleo instaacutevel com o objetivo de adquirir estabilidade
em que um aacutetomo radioativo (por exemplo o Raacutedio e o Uracircnio) eacute transformado num ele-
mento quiacutemico diferente Essa transformaccedilatildeo faz com que a quantidade de substacircncia
original diminua a cada instante de forma que a desintegraccedilatildeo seja proporcional agrave massa
da substacircncia original presente no corpo naquele momento A constante (α) de proporci-
onalidade eacute especiacuteca para cada substacircncia e eacute determinada experimentalmente
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
Suponha hipoteticamente que um corpo de massa M0 seja formado por uma
substacircncia radioativa cuja taxa de desintegraccedilatildeo seja α Caso o processo de desintegraccedilatildeo
seja instantaneamente a cada segundo tem-se que para t = 0 a massa correspondente eacute
M0 Decorrido o tempo t = 1 segundo ocorreraacute uma perda de αM0 unidade de massa
restando somente a massa M1 = M0 minus αM0 = (1 minus α)M0 Para t = 2 segundos implica
que a massa restante seraacute dada porM2 = (1minusα)M1 = (1minusα)2M0 Esse processo pode ser
generalizado isto eacute apoacutes n segundos temos Mn = M0(1minus α)n Poreacutem a desintegraccedilatildeo
se processa de forma contiacutenua e natildeo apenas discreta Daiacute eacute necessaacuterio pensar que a
desintegraccedilatildeo seja feita em fraccedilotildees de intervalos de 1nde segundo Assim apoacutes a primeira
fraccedilatildeo de 1nde segundo a massa do corpo se reduziria para M0 minus α
nM0 =
(1minus α
n
)M0
Realizando uma subdivisatildeo do intervalo [0 1] em um nuacutemero n cada vez maior de particcedilotildees
iguais tem-se que a massa resultante se reduziria para a aproximaccedilatildeo(1minus α
n
)nM0
Logo quando n tender para o innito a expressatildeo(1minus α
n
)nM0 tenderaacute para M0e
minusα
Em linguagem moderna e avanccedilada tem-se limnrarrinfin
(1minus α
n
)nM0 = M0 lim
nrarrinfin
(1minus α
n
)n=
M0eminusα Caso se queira calcular a massa apoacutes t segundos eacute preciso dividir o intervalo [0 t]
em n partes iguais em que cada intervalo parcial receberaacute uma perda de massa de αtnM0
Repetindo esse processo encontra-se a expressatildeo que fornece a massa do corpo apoacutes t
segundo decorridos M(t) = M0eminusα A tiacutetulo de curiosidade vale a pena ressaltar que
a constante α eacute determinada a partir de um nuacutemero baacutesico denominado de meia-vida da
substacircncia (tempo necessaacuterio para que se desintegre a metade da massa de um corpo)
73 EXPLORANDOAS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS
IMPLICACcedilOtildeES
Comumente ao estudar conjuntos numeacutericos em particular ao estudar o con-
junto dos nuacutemeros racionais nos deparamos com nuacutemeros decimais innitos poreacutem perioacute-
dicos os quais satildeo denominados de diacutezimas perioacutedicas Dentre as diacutezimas perioacutedicas mais
ceacutelebres com absoluta certeza estaacute o nuacutemero decimal perioacutedico 0 999 Esse nuacutemero gera
bastante desconforto entre os alunos do Ensino Meacutedio principalmente quando o professor
de Matemaacutetica arma que 1 = 0 999 Anal de contas o que eacute uma diacutezima perioacutedica
e o que representa Esses questionamentos satildeo frequentes e recorrentes durante as aulas
de Matemaacutetica que requerem a utilizaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedicas
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 68
Conforme jaacute foi denido denominamos de diacutezima perioacutedica todo nuacutemero ra-
cional com representaccedilatildeo decimal innita e perioacutedica Haacute diacutezimas perioacutedicas simples e
compostas Nesse trabalho apenas far-se-aacute uma anaacutelise da formaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedi-
cas simples (por exemplo 0 111 0 353535 0 456456456etc)
As diacutezimas perioacutedicas em geral representam uma soma innita de termos de
uma progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo entre 0 e 1 Assim por exemplo a diacutezima perioacutedica
0 111 eacute equivalente a soma S = 0 1 + 0 01 + 0 001 + cujo primeiro termo coincide a
razatildeo numericamente igual a 0 1
Muitos problemas de matemaacutetica elementar exigem que o aluno de Ensino
Meacutedio determine a fraccedilatildeo geratriz correspondente a uma dada diacutezima perioacutedica Para
realizar tal feito os professores utilizam diversos recursos e artimanhas dentre as quais
eacute possiacutevel citar o meacutetodo em que haacute o repasse de uma foacutermula com bastante decoreba
e pouca compreensatildeo o meacutetodo que requer a utilizaccedilatildeo de artifiacutecio via equaccedilatildeo do 1o
grau e o meacutetodo de considerar a diacutezima como uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo (q) variando entre 0 e 1 A exposiccedilatildeo seguinte apenas expotildee
o meacutetodo de obtenccedilatildeo da diacutezima via comparaccedilatildeo como uma soma de termos de progressatildeo
geomeacutetrica innita
Para dar continuidade a exibiccedilatildeo eacute necessaacuterio estudar como eacute feita a soma dos
n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica nita Assim dada uma progressatildeo ge-
omeacutetrica (a1 a2 a3 middot middot middot an) dene-se a soma (S) dos termos dessa progressatildeo geomeacutetrica
da seguinte maneira
S = a1 + a2 + a3 + middot middot middot+ an = a1 + a1q + a1q2 + a1q
3 + middot middot middot+ a1qnminus1 (1)
Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo (1) pela razatildeo q tem-se
qS = qa1 + qa2 + qa3 + middot middot middot+ qan = qa1 + a1q2 + a1q
3 + a1q4 + middot middot middot+ a1q
n (2)
Subtraindo (1) de (2) membro a membro tem-se
qS minus S = a1qn minus a1 = a1(q
n minus 1)rArr S(q minus 1) = a1(qn minus 1)rArr S =
a1(qn minus 1)
q minus 1
Assim a soma (S) dos n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de
razatildeo (q) eacute dada em funccedilatildeo do primeiro termo da razatildeo e do nuacutemero de termos
Quando se dispotildee de uma diacutezima perioacutedica ou melhor de uma soma de termos
de progressatildeo geometria innita cuja razatildeo pertence ao intervalo (0 1) percebemos que
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 69
o termo qn se aproxima de zero a medida que n tende ao innito Em outra linguagem
o limite da soma (S) quando n tende ao innito eacute dado por
limnrarrinfin
S = limnrarrinfin
[a1(q
n minus 1)
q minus 1
]=a1 middot (minus1)q minus 1
=a1
1minus q
Como exemplo observe o caacutelculo da fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 0 999 middot middot middot
Note que 0 999 middot middot middot equivale a soma S = 0 9 + 0 09 + 0 009 + middot middot middot
Essa soma representa o somatoacuterio dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita cuja razatildeo eacute dada por q = 0 1 Substituindo a1 = 0 9 e q = 0 1 tem-se
S = limnrarrinfin
[0 9
[( 110)n minus 1
]0 1minus 1
]=
0 9 middot (minus1)0 1minus 1
=minus0 9minus0 9
= 1
Isto eacute o limite do somatoacuterio dos termos da progressatildeo geomeacutetrica innita em
questatildeo eacute igual a um quando tomamos n tendendo para o innito
Haacute uma seacuterie de problemas que utilizam de tais recursos dentre os quais se
destacam a formaccedilatildeo de determinados mosaicos o processo de divisatildeo celular via meiose
o processo decaimento radioativo etc
O estudo do somatoacuterio de uma quantidade innita resultar numa quantidade
nita aparece historicamente no paradoxo de Zenon (por volta do seacuteculo V aC) que
surpreendentemente promove uma corrida em forma de aposta entre um famoso guerreiro
(Aquiles) da Greacutecia antiga e uma tartaruga Nessa corrida Aquiles conhecedor de sua
superioridade oferece uma vantagem para tartaruga poreacutem Aquiles nunca alcanccedila a
tartaruga pois por mais devagar que ela caminhe quando ele chegar agrave posiccedilatildeo inicial da
tartaruga a mesma teraacute avanccedilado um pouco E quando Aquiles cobrir esta distacircncia
a tartaruga teraacute avanccedilado um pouco mais e assim sucessivamente Embora os gregos
soubessem que do ponto de vista praacutetico Aquiles seria o vencedor natildeo sabiam explicar
tal fato do ponto de vista matemaacutetico Eacute vaacutelido ressaltar que tal ausecircncia de clareza por
parte dos matemaacuteticos gregos era justicada pela ausecircncia do conhecimento das noccedilotildees
intuitivas de limite Note que o limite da diferenccedila entre as distacircncias entre os dois
corredores tende para zero
Aleacutem de Zenon outro matemaacutetico grego percebeu e calculou com bastante
habilidade a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica com innitos termos cuja
razatildeo estava compreendida entre 0 e 1 Nessa eacutepoca o mestre de Siracusa (Arquimedes)
estava estudando e analisando quadraturas Para isso ele utilizava dois meacutetodos antigos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 70
de muito prestiacutegio O meacutetodo de Equiliacutebrio de autoria do proacuteprio Arquimedes e o meacutetodo
da Exaustatildeo credita a Eudoxos Numa de suas pesquisas em busca da quadratura de um
segmento paraboacutelico Arquimedes conseguiu demonstrar experimentalmente via meacutetodo
de Equiliacutebrio que a aacuterea do segmento de paraacutebola correspondia a 43da aacuterea do triacircngulo
inscrito no segmento paraboacutelico Essa demonstraccedilatildeo ismiuccedilada em CONTADOR (2012)
[6] Arquimedes utilizou o conhecimento dessa proposiccedilatildeo para realizar a quadratura da
paraacutebola Nesse trabalho foi encontrada pela primeira vez a soma de uma seacuterie innita
Acompanhe duas aplicaccedilotildees do estudo de somas de progressotildees geomeacutetricas
innitas cuja razatildeo (q) seja dada por |q| lt 1 e q natildeo nulo
Figura 712 Processo re-
cursivo de Quadrados
Figura 713 Processo
recursivo de Triacircngulos
Equilaacuteteros
Note que as guras acima determinam o comportamento das aacutereas e dos pe-
riacutemetros dos novos quadrados e dos novos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir dos
pontos meacutedios dos lados da gura anterior Para isso considere o quadrado inicial de
lado l e o triacircngulo equilaacutetero inicial de lado 2α
Note que as sequecircncias das aacutereas dos quadrados e dos triacircngulos equilaacuteteros
a partir do primeiro quadrado e do primeiro triacircngulo equilaacutetero satildeo dadas respectiva-
mente por(l2 l
2
2 l
2
4 l
2
8 middot middot middot
)e(a2radic3 a
2radic3
4 a
2radic3
8 middot middot middot
)
Por conseguinte a soma (SQ) das aacutereas dos innitos quadrados formados a
partir do quadrado primitivo de lado l representa uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo q = 12a qual seraacute dada por SQ = a1
1minusq =l2
2
1minus 12
=l2
212
= l2 Isto
eacute a soma (SQ) coincide com a aacuterea do quadrado primitivo de lado l Jaacute a soma (STE)
das aacutereas dos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir do triacircngulo equilaacutetero de lado 2a
tambeacutem representa uma soma de termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita de razatildeo
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 71
q = 14 a qual seraacute dada por STE = a1
1minusq = a2radic3
1minus 14
= a2radic3
34
= 43a2radic3 Isto eacute a soma (STE)
equivale a 43da aacuterea do triacircngulo equilaacutetero primitivo de lado 2a
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de
limite
A origem dessa discussatildeo iniciou-se na Greacutecia com a crise na Escola Pitagoacuterica
diante da descoberta de grandezas incomensuraacuteveis isto eacute apoacutes provarem que eacute impossiacutevel
existir um submuacuteltiplo comum (α) entre o lado (L) e a diagonal (D) de quadrado de lado
unitaacuterio tal que L = mα e D = nα
Nesse iacutenterim surgiu o questionamento da existecircncia de uma unidade comum
innitamente pequena (um submuacuteltiplo) de forma que ela pudesse medir o lado e a dia-
gonal do quadrado Caso tal existecircncia se conrmasse seria loacutegica a discussatildeo realizada
por volta do seacuteculo V aC pelo matemaacutetico grego Zenon que questionava o fato de que
uma soma innita pudesse ser nita ou ainda utilizando a linguagem moderna se seria
possiacutevel fazer com que o limite da diferenccedila entre as distacircncias percorridas por Aquiles
e a tartaruga tendesse a zero Segundo os anais da Histoacuteria da Matemaacutetica o paradoxo
de Zenon e suas consequecircncias assim como a descoberta das grandezas incomensuraacuteveis
satildeo relatos pioneiros e rudimentares da presenccedilaintervenccedilatildeo do conceito de limite num
problema matemaacutetico
Atualmente eacute possiacutevel concluir que se o segmento AB eacute incomensuraacutevel com
o segmento unitaacuterio α entatildeo a medida de AB eacute um nuacutemero irracional E como exemplo
ceacutelebre de nuacutemero irracional pode-se citar a medida da razatildeo aacuteurea (o famoso nuacutemero
de ouro 1+radic5
2) e a medida da diagonal de um quadrado de lado unitaacuterio cuja medida
corresponde ao nuacutemero irracionalradic2 Os exemplos escolhidos satildeo excelentes didaacuteticos e
histoacutericos Inclusive em GALARDA et al (1999) [13] haacute uma discussatildeo aberta sobre qual
nuacutemero irracional apareceu primeiro natildeo se sabe se foiradic2 ou
radic5 que primeiro revelou a
existecircncia de grandezas incomensuraacuteveis
Mesmo sabendo que natildeo eacute possiacutevel determinar com exatidatildeo o valor deradic2 eacute
possiacutevel relacionar aproximaccedilotildees por falta e por excesso de nuacutemeros racionais construindo
uma sequecircncia innita de nuacutemeros racionais tais que seus quadrados sejam todos menores
do que 2
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 72
Observe a tabela a seguir em que a primeira coluna representa uma sequecircncia
innita de nuacutemeros racionais a segunda coluna representa seus quadrados e a terceira
coluna representa a diferenccedila entre quadrado da diagonal e cada termo quadraacutetico na seacuterie
gerada Note que tomando aproximaccedilotildees com um nuacutemero reduzido de casas decimais
foi possiacutevel construir uma sequecircncia de quadrados em que com apenas seis iteraccedilotildees
tornou-se miacutenima a diferenccedila entre os valores quadraacuteticos da seacuterie formada e o nuacutemero 2
Assim pode-se tornar a diferenccedila tatildeo pequena quanto se queira aumentando o nuacutemero de
iteraccedilotildees Quando o nuacutemero de iteraccedilotildees tende ao innito de fato tem-se que a diferenccedila
tenderaacute a zero e consequentemente obteacutem-se o valorradic2
Tabela 72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais
Nuacutemero (xi) da Sequecircncia Quadrado de xi 2minus x2i1 1 1
14 196 004
141 19881 00119
1414 1999396 0000604
14142 1999962 0000038360000000237100000000000
141421 199999 0000010075900000128300000000000
Aleacutem de ser uma atividade rica de utilizaccedilatildeo da calculadora em sala de aula
eacute uma excelente oportunidade de expor de maneira compreensiva a inuecircncia de que a
noccedilatildeo de limite estaacute associada agrave ideia de incomensurabilidade
Eacute vaacutelido ressaltar que um procedimento anaacutelogo pode ser aplicado para caacutel-
culo do nuacutemero π por meio da divisatildeo do periacutemetro do poliacutegono regular inscrito pela
maior diagonal desse poliacutegono Quanto maior o nuacutemero de lados desse poliacutegono inscrito
mais proacuteximo do comprimento da circunferecircncia estaraacute seu periacutemetro e consequentemente
promoveraacute uma melhor aproximaccedilatildeo para o valor do nuacutemero π
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua
Embora sugira um aspecto bastante abstrato o nuacutemero de Euler (e) estaacute
presente em diversos processos de crescimento ou decrescimento exponencial dentre os
quais possui destaque o problema de aplicaccedilatildeo de um capital a uma taxa anual de k
com juros compostos capitalizados de forma contiacutenua durante t anos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 73
Suponha hipoteticamente que um determinado capital C0 seja aplicado a
juros de 100 ao ano
Caso sejam incorporados ao capital somente no nal do ano entatildeo ao nal de
um ano teriacuteamos o montante de R$ 200 para cada R$100 investido isto eacute o capital nal
acumulado apoacutes um ano eacute dado por
C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0
Agora a forma de incorporaccedilatildeo dos juros seraacute alterada poreacutem mantendo a
taxa anual de 100
Suponha que a referida taxa seja decomposta em duas taxas semestrais de
50 sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada semestre Daiacute segue que a
partir do capital inicial C0 haveraacute duas acumulaccedilotildees a serem consideradas A primeira
ocorreraacute ao nal do 1o semestre e a segunda ao nal do 2o semestre com a ressalva de
que o capital inicial a ser utilizado no caacutelculo do montante do 2o semestre coincide com o
montante acumulado ao nal do 1o semestre Em outras palavras ou melhor adotando
a linguagem moderna da matemaacutetica tem-se
1 Capital apoacutes o nal do 1o semestre
C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)
rArr C12 = C0(1 + 12)
2 Capital apoacutes o nal do 2o semestre
C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)
rArr C1 = C0(1 + 12)2
3 Suponha que a referida taxa seja decomposta em quatro taxas trimestrais de 25
sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada trimestre Capital apoacutes o
nal do 1o trimestre
C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)
rArr C14 = C0(1 + 14)
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 74
4 Capital apoacutes o nal do 2o trimestre
C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)
rArr C24 = C0(1 + 14)2
5 Capital apoacutes o nal do 3o trimestre
C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)
rArr C34 = C0(1 + 14)3
6 Capital apoacutes o nal do 4o trimestre
C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)
rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4
7 Caso a capitalizaccedilatildeo fosse mensal seria necessaacuterio subdividir ano e a taxa anual de
100 em 12 partes iguais daiacute o resultado seria
C1 = C0(1 + 112)12
8 Caso a incorporaccedilatildeo seja realizada de forma diaacuteria seria preciso subdividir o ano e
a taxa anual de 100 em 365 partes iguais daiacute segue que
C1 = C0(1 + 1365)365
Generalizando o fenocircmeno isto eacute subdividindo o ano e a taxa anual de 100
em n partes iguais e considerando-se que os juros satildeo incorporados ao capital no nal de
cada periacuteodo tem-se
C1 = C0(1 +1
n)n
Esquematizando uma tabela com o objetivo de analisar o comportamento da
expressatildeo (1 + 1n)n quando n cresce indenidamente tem-se
Note que a expressatildeo (1 + 1n)n aproxima-se indenidamente para um nuacutemero
decimal natildeo perioacutedico (nuacutemero irracional ou transcendental) denominado de nuacutemero de
Euler Tal nuacutemero eacute representado por e Uma aproximaccedilatildeo suciente com trecircs casas
decimais para tal nuacutemero eacute dada por e asymp 2 718
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 75
Tabela 73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler
Subdivisatildeo Fator de Acumulaccedilatildeo
n (1 + 1n)n
1 2
2 225
3 237037037
4 244140625
5 248832
10 259374246
50 2691588029
100 2704813829
1000 2716923932
10000 2718145927
100000 2718268237
1000000 2718280469
Assim conclui-se que um capital C0 aplicado a uma taxa de 100 ao ano
com capitalizaccedilatildeo contiacutenua (a cada instante) resultaraacute ao nal do 1o ano um valor C1 tal
que C1 = C0 middot e
Isto eacute quando n tende ao innito (incorporaccedilatildeo de juros de forma continuada
instantacircnea) tem-se que (1 + 1n)n tende para o nuacutemero irracional e
Eacute importante observar que caso a aplicaccedilatildeo seja a uma taxa anual de k ao
ano ao nal de um ano haveraacute um capital expresso por C1 = C0 middot ek Jaacute no nal de t
anos C1 = C0 middot ekt
Uma excelente demonstraccedilatildeo de modelagem matemaacutetica que faz uso do nuacutemero
de Euler de maneira construtiva e natildeo imperativa embora seja uma situaccedilatildeo hipoteacutetica
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteL-
CULO
Conforme jaacute foi visto nas atividades propostas na seccedilatildeo 621 o caacutelculo da
aacuterea de uma regiatildeo com algum lado curviliacuteneo natildeo eacute tatildeo oacutebvio como o caacutelculo da aacuterea de
uma regiatildeo poligonal Quando se pretende analisar a regiatildeo abaixo da curva cujo graacuteco
natildeo eacute retiliacuteneo em sua totalidade com o intuito de obter a medida da aacuterea sob a curva
a resoluccedilatildeo desse problema eacute realizada novamente por aproximaccedilatildeo da aacuterea da faixa de
hiperboacutele a ser calculada por um poliacutegono retangular inferior como se consideraacutessemos
a funccedilatildeo constante em cada instante e somaacutessemos todos os aacutereas dos retacircngulos ideais
Essa estrateacutegia eacute bastante motivadora poreacutem para que a estimativa seja boa eacute necessaacuterio
realizar um nuacutemero de iteraccedilotildees relativamente grande Para calcular aacuterea sob o graacuteco de
uma funccedilatildeo curviliacutenea utilizando a construccedilatildeo de poliacutegonos retangulares acrescentaremos
ao raciociacutenio a aproximaccedilatildeo via retacircngulos superiores fazendo com que a soma das aacutereas
desses retacircngulos (poliacutegono retangular inscrito e circunscrito) seja estimada tanto por
excesso quanto por falta
Eacute possiacutevel generalizar os casos tomando uma funccedilatildeo natildeo negativa e contiacutenua
num dado intervalo e dividi-lo em n subintervalos de mesmo comprimento em que cada
particcedilatildeo conteraacute um retacircngulo de mesma base de acordo com o nuacutemero de particcedilotildees e
cuja altura consiste no valor da funccedilatildeo numa dada extremidade do retacircngulo considerado
poreacutem seraacute proposto um processo mais construtivo que trabalha de forma concreta com
um nuacutemero de casos palpaacutevel por meio da anaacutelise de graacutecos de funccedilotildees quadraacuteticas de
hipeacuterboles equilaacuteteras e de funccedilotildees exponenciais O procedimento geral citado fornece
uma excelente aproximaccedilatildeo e o mesmo eacute amplamente encontrado nos livros de caacutelculo
com a denominaccedilatildeo popularmente conhecida como Somas de Riemann Nele ao tender
o nuacutemero de iteraccedilotildees (subdivisotildees do intervalo) para o innito tem-se que as somas de
Riemann tendem para o valor da aacuterea (A) da regiatildeo sob a curva que eacute denominada de
integral denida ou seja limnrarrinfin
S(n) =nsumk=1
f(xk) 4 x em que f(xk) e 4x representam
altura e comprimento do retacircngulo k
Observe a gura construiacuteda via GeoGebra com vinte retacircngulos inferiores e
superiores sob a curva da funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Note que a soma das aacutereas dos
retacircngulos inferiores (Si) (destacados de azul) e a soma das aacutereas dos retacircngulos superiores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 77
(Ss) (destacados de vermelho) para um nuacutemero de vinte intervalos iguais nos fornece uma
ideia de que a aacuterea pretendida estaacute compreendida entre 031 e 036 Isso serve como
instrumento empiacuterico para raticar uma armaccedilatildeo (quadratura da paraacutebola) demonstrada
na seccedilatildeo 621 em que foi constatado que a aacuterea da faixa de paraacutebola no intervalo [0 1]
mede 13
Figura 714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito)
Fonte Geogebra
Na mesma linha da anaacutelise anterior poreacutem com maior riqueza de detalhes e
consequecircncias pode analisar o comportamento do ramo positivo de uma hipeacuterbole equi-
laacutetera e da parte pertencente ao primeiro quadrante do graacuteco da funccedilatildeo exponencial
Somente seraacute realizada a anaacutelise do signicado geomeacutetrico da aacuterea de uma faixa de hi-
peacuterbole equilaacutetera Via GeoGebra proponha a construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x
e por meio do comando SomaDeRiemann solicite o caacutelculo de aproximaccedilotildees para a aacuterea
pretendida
Inicialmente proponha o caacutelculo da aacuterea do poliacutegono retangular inscrito e
circunscrito para n = 8 isto eacute pretende-se que o aluno determine uma aproximaccedilatildeo para
o valor da aacuterea da faixa da hipeacuterbole para uma subdivisatildeo de oito retacircngulos de mesmo
comprimento Veja o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo descrita
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 78
Figura 715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8
Fonte Geogebra
Espera-se que o aluno seja capaz de calcular a aacuterea da faixa de hipeacuterbole
denotada por H31 realizando o maior nuacutemero de iteraccedilotildees de subdivisotildees do intervalo
[1 3] Por exemplo ao dividi-la em oito particcedilotildees de mesmo comprimento encontra-se
os valores das abscissas 1 54 64 74 84 94 104 114 e 124 E calculando suas
respectivas imagens tem-se 1 45 46 47 48 49 410 411 e 412 Realizando o
caacutelculo da soma dos retacircngulos inferiores obteacutem-se
S =1
4middot 45+
1
4middot 46+
1
4middot 47+
1
4middot 48+
1
4middot 49+
1
4middot 410
+1
4middot 411
+1
4middot 412
rArr S asymp 1 019
O passo seguinte para o prosseguimento da atividade e para completar o racio-
ciacutenio depende de cada professor poreacutem eacute recomendaacutevel solicitar aos alunos que reproduza
a situaccedilatildeo descrita para outros valores de n por exemplo para n = 10 considerando o
intervalo de 1 ateacute 2 Seguindo esse procedimento espera-se que o aluno consiga calcular a
aacuterea com uma precisatildeo de cerca de 067 Observe o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo mencionada
Nesse momento o professor deve intervir diretamente na atividade inserindo
a deniccedilatildeo geomeacutetrica do logaritmo natural de x como a aacuterea da faixa de Hipeacuterbole de 1
ateacute x ou seja ln x = Aacuterea(Hx1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 79
Figura 716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10
Fonte Geogebra
A partir dessa deniccedilatildeo eacute possiacutevel questionar os alunos sobre a existecircncia de
uma dada abscissa que representaraacute a aacuterea de medida igual a 1 unidade Aleacutem disso pode-
se conjecturar uma boa aproximaccedilatildeo entre nuacutemeros inteiros para o nuacutemero neperiano (e)
de acordo com o estudo exposto acima Enm eacute necessaacuterio orientar os alunos com a
nalidade dos mesmos investigarem a existecircncia de uma aacuterea de uma faixa de hipeacuterbole
variando de 1 ateacute um certo x cuja aacuterea seja unitaacuteria ou equivalentemente procurar o
valor de x tal que ln x = Aacuterea(Hx1 ) = 1 A conclusatildeo obtida pelos alunos deve admitir a
existecircncia dessa abscissa e estimar que o valor procurado pertencente ao intervalo entre
2 e 3 Pode-se demonstrar que o valor de x em questatildeo trata-se do nuacutemero irracional e
cuja melhor aproximaccedilatildeo eacute dada por e = 2 718281828459 Nesse ponto eacute satisfatoacuterio
que o professor faccedila uma reexatildeo comparando o nuacutemero obtido com o nuacutemero de Euler
surgido ao resolver o problema de capitalizaccedilatildeo contiacutenua proposto historicamente pelos
irmatildeos Bernoulli
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 80
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri
O procedimento que seraacute apresentado a seguir consiste basicamente num re-
sumo dos estudos realizados no seacuteculo XVII pelo matemaacutetico Bonaventura Francesco
Cavalieri que recebeu forte inuecircncia dos predecessores Arquimedes Kepler Galileu e
Fermat
Esse grandioso trabalho de Cavalieri foi publicado em 1635 e foi intitulado de
Geometria indivisibilibus O meacutetodo proposto considerava um soacutelido formado pela reuniatildeo
de conjunto innito de planos isto eacute seu princiacutepio dizia que qualquer grandeza (plana ou
soacutelida) pode ser dividida numa quantidade innita de porccedilotildees (lacircminas) com espessura
innitesimal de tal modo que mantenham entre si proporccedilotildees desejadas
Segundo CONTADOR (2012 p 214) [7] um dos princiacutepios norteadores do
meacutetodo de Cavaliere dizia que se dois soacutelidos nos quais qualquer plano secante a eles e
paralelo a um plano dado determina neste soacutelido planos cuja razatildeo eacute constante entatildeo a
razatildeo entre os volumes destes soacutelidos tambeacutem seraacute constante
Observe por meio da utilizaccedilatildeo da linguagem moderna da matemaacutetica como
Cavalieri obteve a aacuterea lateral de um cilindro a aacuterea supercial da esfera e volume do
cone de revoluccedilatildeo a partir da reproduccedilatildeo de ideias publicadas em CONTADOR (2012)
[7]
Inicialmente eacute necessaacuterio considerar um soacutelido qualquer com bases paralelas
de altura h e aacuterea S e de volume (VL) dado por VL = Sh Agora imagine uma superfiacutecie
como uma lacircmina soacutelida em que sua altura h eacute innitamente pequena logo seu volume e
sua aacuterea seratildeo praticamente iguais ou seja S = VL
bull a) Caacutelculo da aacuterea (S) lateral de um cilindro
Eacute notoacuterio e consensual que o procedimento adotado na maioria dos livros di-
daacuteticos (caacutelculo da superfiacutecie lateral do cilindro reto eacute obtido a partir de uma regiatildeo
retangular de altura h e base 2π) possui uma abordagem excelente aos olhos da didaacutetica
e de acordo com a visatildeo criacutetica dos alunos tal procedimento eacute considerado de faacutecil assi-
milaccedilatildeocompreensatildeo contribuindo de modo satisfatoacuterio para o ensinoaprendizagem O
procedimento a ser apresentado tem como proposta o caacutelculo da aacuterea lateral de um cilindro
de altura h e raio da base igual a (r + x) a partir do volume VA do anel ciliacutendrico consi-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 81
derando x como uma espessura innitamente pequena pois a partir dessas consideraccedilotildees
eacute possiacutevel inserir a aplicaccedilatildeo das noccedilotildees de limite de uma maneira construtiva
Figura 717 Anel Ciliacutendrico
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 333
Note que o volume do cilindro interno de raio r e altura h eacute dado por Vi =
πr2h Jaacute o volume do cilindro externo de raio (r + x) e de mesma altura h eacute dado por
Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h
Assim o volume do anel ciliacutendrico seraacute dado por
VA = Ve minus Vi
rArr VA = πh(r2 + 2rx+ x2)minus πr2h
rArr VA = πh(2rx+ x2)
rArr VA = πh2rx+ πhx2
Fazendo a divisatildeo por x tanto do 1o membro quanto do 2o membro igualdade
tem-se
rArr VAx
= πh2r + πhx
Como VA = S middot x rArr S = VAx
e sabendo que x eacute innitamente pequeno segue
que a 2a parcela da soma do 2o membro tambeacutem seraacute tatildeo pequena ao ponto de consideraacute-la
nula
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 82
Assim
rArr VAx
= S = 2πhr
Observe que de fato S eacute aacuterea do retacircngulo de altura h e de base idecircntica ao
comprimento de um circunferecircncia de raio r
bull b) Caacutelculo da aacuterea da esfera (S)
O caacutelculo da aacuterea da superfiacutecie de uma esfera seraacute feito a partir da diferenccedila
entre os volumes das esferas externa e interna cujos raios satildeo (r+h) e r respectivamente
Figura 718 Casca de Esfera
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 337
VCasca = Ve minus Vi
rArr VCasca =4
3π(r + h)3 minus 4
3πr3
rArr VCasca =4
3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)
rArr VCasca =4
3π(3r2h+ 3rh2 + h3)
Utilizando procedimento anaacutelogo isto eacute dividindo ambos os termos por h
tem-se
rArr VCascah
=4
3π(3r2 + 3rh+ h2)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 83
Como VCasca = S middothrArr S = VCasca
he sabendo-se que h eacute innitamente pequeno
segue queVCascah
= S =4
3πr2
bull c) Caacutelculo do volume do cone de revoluccedilatildeo
Antes de deduzir a foacutermula VCone = 13πr2h em que r e h representam o raio e a
altura do cone respectivamente eacute vaacutelido ressaltar que historicamente esse feito eacute creditado
inicialmente a Demoacutecrito (c 410 aC) e sua evoluccedilatildeo posteriormente a Arquimedes que
utilizou brilhantemente seu meacutetodo de equiliacutebrio para conjecturar e o meacutetodo da exaustatildeo
de Eudoxo para provar a validade dessa relaccedilatildeo De acordo com EVES (2004) [11] o
pioneiro no Caacutelculo do volume do cone foi Demoacutecrito
() A chave eacute fornecida por Plutarco ao relatar o dilema a que chegoucerta vez Demoacutecrito quando considerou a possibilidade de um cone serformado de uma innidade de secccedilotildees planas paralelas agrave base Se duassecccedilotildees adjacentes fossem do mesmo tamanho o soacutelido seria um cilindroe natildeo um cone Se por outro lado duas secccedilotildees adjacentes tivessem aacutereasdiferentes a superfiacutecie do soacutelido seria formada de uma seacuterie de degrauso que certamente natildeo se verica Nesse caso se assumiu que o volumedo cone pode ser subdividido indenidamente (ou seja numa innidadede secccedilotildees planas atocircmicas) mas que o conjunto dessas secccedilotildees eacute contaacute-vel no sentido de que dada uma delas haacute uma outra que lhe eacute vizinhasuposiccedilatildeo que se situa ateacute certo ponto entre as duas jaacute consideradassobre a divisibilidade de grandezas Demoacutecrito pode ter argumentadoque se duas piracircmides de bases equivalentes e alturas iguais satildeo seccio-nadas por planos paralelos agraves bases vericando-se a divisatildeo das alturasnuma mesma razatildeo entatildeo as secccedilotildees correspondentes assim formadas satildeoequivalentes Portanto as piracircmides conteacutem o mesmo nuacutemero innito desecccedilotildees planas equivalentes o que implica que seus volumes devem seriguais Tem-se aiacute o que seria um exemplo primitivo do chamado meacutetododos indivisiacuteveis de Cavalieri () (EVES [11] 2004 p 420)
Considere o cone de diacircmetro da base AB = 2r e altura H composto pela
junccedilatildeo de n cilindros de raios variando de 0 agrave r e de altura h extremamente pequena tal
que h = Hn
Considere um desses cilindros ideais de ordem k a partir do veacutertice C e raio r1
de tal maneira que o cone que dividido em duas partes Note que eacute possiacutevel por meio da
semelhanccedila de triacircngulos relacionar rr1 H e H1 de tal modo que seja dado em funccedilatildeo
de r k e nr
r1=
H
H1
rArr r
r1=
HkHn
rArr r1 =rk
n
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 84
Figura 719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 339
O volume do cilindro de ordem k seraacute dado por
VCilindro = πr21h
rArr VCilindro = πr2k2
n2
H
n
rArr VCilindro = πr2H1
n3k2
Assim o volume do cone seraacute dado pelo somatoacuterio de todos os cilindros ideais
com k variando de 1 a n
VCone = πr2H1
n312 + πr2H
1
n322 + πr2H
1
n332 + πr2H
1
n342 + middot middot middot+ πr2H
1
n3n2
= πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
Sabe-se que 12+22+32+42+ middot middot middot+n2 = n3
3+ n2
2+ n
6 A validade dessa relaccedilatildeo
pode ser obtida pelo Princiacutepio da Induccedilatildeo Matemaacutetica ou a partir do desenvolvimento do
binocircmio (1 + k)3 = 1+ 3k + 3k2 + k3 variando k de 0 a n e adicionando as igualdades de
ambos os membros (vide em CONTADOR (2012) [8]) Embora essa abstraccedilatildeo algeacutebrica
seja possiacutevel de ser aplicada aos alunos do Ensino Meacutedio a demonstraccedilatildeo geomeacutetrica
consiste num procedimento mais construtivo e de faacutecil assimilaccedilatildeo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 85
Inicialmente faremos a apresentaccedilatildeo da prova geomeacutetrica para a soma dos
nuacutemeros inteiros de 1 a n isto eacute S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n = n(n+1)2
dado que a mesma
seraacute necessaacuteria para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo 12+22+32+42+
middot middot middot+ n2 = n3
3+ n2
2+ n
6= n(n+1)(2n+1)
6()
Antes de generalizar os casos eacute imprescindiacutevel realizar os caacutelculos para um
caso particular por exemplo n = 6 com o intuito de motivar e aguccedilar a curiosidade
dos alunos Aleacutem de contribuir de maneira satisfatoacuteria para a formaccedilatildeo da conjectura dos
alunos
A gura seguinte ilustra a soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) em que a coluna i eacute
composta por i quadrados
Figura 720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Fonte Geogebra
Ao girar a gura anterior e encaixaacute-la tem-se um retacircngulo de base 6 e altura
7 conforme ilustra a imagem seguinte
Note que a medida da aacuterea do retacircngulo construiacutedo eacute dada por 6 middot7 = 6 middot(6+1)
A partir daiacute eacute possiacutevel concluir que a soma (1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6) pretendida
representa a metade do retacircngulo construiacutedo isto eacute
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)
2
Para generalizar o procedimento eacute necessaacuterio construir um retacircngulo de base
n e altura (n + 1) a partir das n colunas que representam geometricamente a soma S =
1 + 2 + 3 + middot middot middot + n A aacuterea (A) do retacircngulo construiacutedo seraacute dada por A = n middot (n + 1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 86
Figura 721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7
Fonte Geogebra
De forma anaacuteloga a soma desejada (S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n) representa a metade do
retacircngulo n(n+ 1) isto eacute
S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot+ n =n(n+ 1)
2
Enm para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo () faz-se ne-
cessaacuterio implementar ideias semelhantes com as devidas ressalvas
Repetindo o procedimento realizado para um caso particular da soma dos 6
primeiros quadrados perfeitos (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)
As guras a seguir sugerem uma visatildeo geomeacutetrica do procedimento detalhado
Note que para realizar o preenchimento eacute preciso acrescentar um quadrado na 2a linha
um quadrado e um retacircngulo (2x1) na 3a linha um quadrado um retacircngulo (2x1) e
retacircngulo (3x1) na 4a linha assim por diante
Logo a aacuterea (A) do retacircngulo (ABCD) cuja base mede b = (1+2+3+4+5+6)
e cuja altura mde 6 unidades eacute dada por A = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) middot 6
Equivalentemente tal aacuterea pode ser calculada a partir da soma das aacutereas que
compotildee o retacircngulo (ABCD) isto eacute
A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]
rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1
(1 + i)i
2]
Portanto tem-se
1+22+32+42+52+62 = (1+2+3+4+5+6)middot6minus[5sumi=1
(1 + i)i
2] = (
6(6 + 1)
2)middot6minus1
2middot[5sumi=1
i+5sumi=1
i2])
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 87
Figura 722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
Fonte Geogebra
Figura 723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
Fonte Geogebra
Daiacute segue que
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot5sumi=1
iminus 1
2middot5sumi=1
i2
rArr6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot5sumi=1
i2
Ainda eacute possiacutevel manipular a referida expressatildeo com o intuito de melhorar a
visualizaccedilatildeo
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot ([
6sumi=1
i2]minus 62)
rArr6sumi=1
i2 +1
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 88
rArr 3
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =62 + 6
2minus 62 minus 6
2+
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)
4
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
4
rArr6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
6
Generalizando o procedimento ou seja representando geometricamente a soma
dos quadrados (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + middot middot middot + n2) de 1 ateacute n e em seguida completando a
gura ateacute que se forme um retacircngulo de base (1+2+3+4+5+ middot+n) e altura n tem-se
6sumi=1
i2 = 1 + 22 + 32 + middot middot middot+ n2 =n(2 middot n+ 1)(n+ 1)
6
Assim dispondo da relaccedilatildeo que representa a soma dos quadrados segue que
VCone = πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
= πr2H1
n3
(n3
3+n2
2+n
6
)= πr2H
(1
3+
1
2n+
1
6n2
)
Como n tende ao innito segue que as fraccedilotildees que conteacutem denominador composto por n
poderatildeo ser desprezadas dado que tenderatildeo a zero Isto eacute o volume do cone seraacute dado
por
VCone =1
3πr2H
Recomenda-se que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada na 2a e 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
Acredita-se que em cinco aulas haacute tempo suciente para complementar todo o aparato de
discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Espacial
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse
Dispondo dos meacutetodos de quadratura do ciacuterculo realizados por Arquimedes
dos conceitos baacutesicos de Geometria Analiacutetica difundida por Descartes e Fermat e aleacutem
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 89
disso dos princiacutepios de Cavalieri eacute possiacutevel aplicar tais ideias para ampliar o estudo de
cocircnica deduzindo a foacutermula para o caacutelculo da aacuterea de uma elipse isto eacute descobrir a
relaccedilatildeo de proporccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo para a elipse de eixo maior igual ao diacircmetro do
ciacuterculo formalizada por Johannes Kepler
Figura 724 Elipse inscrita numa circunferecircncia
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p339
Considere o semi-ciacuterculo de raio r = a e a semi-elipse de semi-eixos positivos
a e b com a gt b A partir dessa convenccedilatildeo eacute possiacutevel descrever as equaccedilotildees reduzidas do
ciacuterculo e da elipse
x2 + y2 = a2 ex2
a2+y2
b2= 1
Escrevendo y em funccedilatildeo de x e tomando o 1o quadrante por simetria am de
que ambos os radicandos sejam positivos tem-se
y =radica2 minus x2
eyprime2
b2= 1minus x2
a2rArrradicb2 minus x2 b
2
a2
rArr yprime =
radicb2(1minus x2
a2
)
=
radicb2(a2 minus x2a2
)=b
a
radica2 minus x2
Ou seja yprime = bay (a razatildeo entre duas cordas verticais correspondentes da elipse
e do ciacuterculo eacute ba)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 90
Note que apesar de adotar a variaacutevel y em cada funccedilatildeo y e yprime satildeo diferentes
isto eacute representam para cada abscissa x ordenadas com valores distintos
Se as ordenadas do ciacuterculo e elipse y e yprime respectivamente guardam entre si a
relaccedilatildeo ba segue que suas aacutereas vatildeo manter a mesma razatildeo Essa armaccedilatildeo eacute garantida
pelo primeiro princiacutepio de Cavalieri em que EVES (2004 p426) [11] destaca Se duas
porccedilotildees planas satildeo tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina
nas porccedilotildees segmentos de reta cuja razatildeo eacute constante entatildeo a razatildeo entre as aacutereas dessas
porccedilotildees eacute a mesma constante Em linguagem moderna temos
Area da elipse
Area do circulo=b
a
rArr Area da elipse =b
aArea do circulo
rArr Area da elipse =b
aπa2 = πab
Eacute vaacutelido ressaltar que a ideia acima pode ser estendida para comparar dois
soacutelidos (segundo princiacutepio de Cavalieri) e por meio dela pode-se deduzir a foacutermula para o
caacutelculo do volume da esfera
Eacute recomendaacutevel que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada durante a 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
A quantidade de aulas sucientes para expor tais ideias variaraacute de acordo com a proposta
do professor mas acredita-se que cinco aulas satildeo bastantes para complementar todo o
aparato de discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Analiacutetica e de Cocircnicas
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva
Ao analisar uma grandeza cuja variaccedilatildeo eacute tomada como constante em subin-
tervalos isto eacute como se a funccedilatildeo tivesse variaccedilatildeo de degrau em degrau e natildeo de forma
continuada haacute uma abordagem de forma impliacutecita das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
elementares de integral
Primeiramente o trabalho estaraacute focado no caso em que a funccedilatildeo eacute constante
em todo o intervalo positivo considerado Suponha que o interesse principal seja o caacutelculo
da aacuterea sob o graacuteco no intervalo considerado Nesse caso o problema se resume em medir
a aacuterea de um retacircngulo cuja base coincide com a variaccedilatildeo do intervalo considerado e a
altura corresponde ao valor xo e constante da funccedilatildeo xada
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 91
Nessa mesma tocircnica veja um exemplo graacuteco de uma funccedilatildeo constante (f(x) =
3x) via GeoGebra com poliacutegono regular inscrito para n = 100
Figura 725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante
Fonte GeoGebra
Figura 726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer
Fonte GeoGebra
A gura anterior representa o caso de uma grandeza positiva e natildeo constante
cuja variaccedilatildeo seja contiacutenua ao longo do intervalo considerado Nesse caso para calcular a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 92
aacuterea sob o graacuteco eacute preciso analisar o problema fragmentando o intervalo contiacutenuo em um
nuacutemero consideraacutevel de partes (degraus) com o intuito de que a grandeza seja analisada
como se fosse praticamente constante em cada subintervalo isto eacute a aacuterea solicitada eacute
obtida adicionando as aacutereas dos inuacutemeros retacircngulos inseridos no intervalo considerado
A gura a seguir ilustra o graacuteco de uma funccedilatildeo qualquer feita a matildeo livre via GeoGebra
com poliacutegono retangular inscrito com n = 10
Esse procedimento descrito acima eacute comum e rotineiro em diversas situaccedilotildees
cotidianas A estrateacutegia de resoluccedilatildeo eacute similar na maioria dos casos e consiste em racio-
cinar a funccedilatildeo dado como se fosse constante em pequenos trechos Tal fenocircmeno jaacute era
realizado desde o seacuteculo III aC por Arquimedes com auxiacutelio do meacutetodo da exaustatildeo Um
exemplo praacutetico motivacional e de faacutecil entendimento eacute a explicaccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo
como uma aproximaccedilatildeo via aacuterea de poliacutegonos regulares inscritos com nuacutemero de lados
em escala crescente e tendendo ao innito Observe a imagem abaixo que foi produzida
no software de geometria dinacircmica GeoGebra Note que haacute um controle deslizante res-
ponsaacutevel por determinar o nuacutemero de lados do poliacutegono regular inscrito Na imagem a
seguir o cursor do controle deslizante foi posicionado em N = 11 isto eacute fez-se surgir o
undecaacutegono regular inscrito Jaacute a gura ao lado estaacute representando o hectaacutegono regular
(poliacutegono regular de 100 lados) inscrito e construiacutedo tambeacutem via GeoGebra
Figura 727 Quadratura do ciacuterculo
para n = 11
Figura 728 Quadratura do ciacuterculo
para n = 100
Tomando uma funccedilatildeo contiacutenua y = f(x) qualquer preferencialmente natildeo
constante denida no intervalo positivo [a b] e supondo que a meta seja o caacutelculo da aacuterea
sob o graacuteco contido no 1o quadrante faz-se necessaacuterio uma subdivisatildeo do intervalo [a b]
em numerosos subintervalos praticamente constantes am de determinar a aacuterea sob o
graacuteco como uma aproximaccedilatildeo pela soma de todos os retacircngulos obtidos ao particionar o
intervalo [a b] Isto eacute considerando n subintervalos de comprimentos x1 x2 x3 middot middot middot xn e
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 93
cujas imagens (alturas dos retacircngulos) sejam y1 y2 y3 middot middot middot yn respectivamente e supostos
constantes em cada subintervalo tem-se uma aproximaccedilatildeo para a aacuterea S sob o graacuteco da
curva dada
S sim= x1y1 + x2x2 + x3y3 + middot middot middot+ xnyn
Note que aumentando o valor de n e reduzindo o comprimento dos subinter-
valos a aproximaccedilatildeo ca melhorada ou seja o valor real da aacuterea sob o graacuteco torna-se
muito proacuteximo da aproximaccedilatildeo considerada via soma de retacircngulos Eacute oacutebvio que ten-
dendo o valor de n para um nuacutemero innito de subdivisotildees sucessivas com as ressalvas
necessaacuterias de reduccedilatildeo dos comprimentos dos subintervalos a soma das innitas aacutereas dos
retacircngulos pertencentes aos trechos particionados tenderaacute para o valor real da aacuterea sob
o graacuteco da funccedilatildeo considerada Tal nuacutemero eacute conhecido como integral denida
Eacute vaacutelido ressaltar que o procedimento exibido acima pode ser contextualizado
aplicado e inserido de forma interdisciplinar com a disciplina de Fiacutesica ao calcular a
distacircncia d percorrida por um moacutevel com velocidade v(t) no intervalo de tempo [a b] ou
entatildeo no caacutelculo do trabalho T realizado por uma forccedila de direccedilatildeo constante e intensidade
f(x) no deslocamento de x de a ateacute b Tambeacutem eacute possiacutevel aplicar o estudo descrito para
calcular o volume de uma trombeta (soacutelido obtido pela rotaccedilatildeo do graacuteco particular
y = f(x) em torno do eixo x com a le x le b e f(x) ge 0) via cascas ciliacutendricas poreacutem essa
atividade pode ser encontrada nos livros de Caacutelculo citados anterioremente e seraacute deixada
como atividade suplementar pois foge ao escopo desse trabalho
Para raticar o estudo exibido propotildee-se um exerciacutecio que pode ser resolvido
passo a passo conforme etapas descritas a seguir
Exerciacutecio Calcule um valor aproximado para a aacuterea sob o graacuteco de f(x) =
100minus x2 no intervalo [0 10]
Atividade a ser desenvolvida no laboratoacuterio de informaacutetica com computadores
compostos por softwares de geometria dinacircmica (especialmente o GeoGebra) Aleacutem disso
eacute recomendaacutevel o uso de calculadora cientiacuteca ou de algum software de planilha (por
exemplo Excel ou CALC)
1o passo Utilize o GeoGebra para plotar o graacuteco da funccedilatildeo com as restriccedilotildees
discriminadas no enunciado
2o passo Inicialmente proponha uma subdivisatildeo do intervalo [0 10] em 5 su-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 94
bintervalos de comprimento igual a 2 Note que em cada subintervalo eacute preciso supor
f(x) constante e de valor correspondente ao ponto meacutedio do subintervalo
3o passo Calcule os valores de f(1) f(3) f(5) f(7) e f(9) Nesse momento
questione os alunos sobre o que essas imagens representam
4o passo Utilize a calculadora cientiacuteca ou uma planilha eletrocircnica para adi-
cionar a aacuterea dos cinco retacircngulos contidos nos subintervalos determinados A soma (S5)
eacute uma aproximaccedilatildeo para o valor da aacuterea sob o graacuteco da funccedilatildeo dada isto eacute eacute uma
estimativa para o valor da integral denida
5o passo Questione os alunos sobre o que aconteceraacute com a estimativaaproximaccedilatildeo
caso fosse uma nova subdivisatildeo em dez subintervalos de comprimento igual a 1 Oriente
os mesmos a realizarem tal experimento
6o passo Maximize o grau de abstraccedilatildeo da atividade supondo uma subdivisatildeo
do intervalo dado em n subintervalos de comprimento igual a 10n Solicite aos alunos que
calculem a nova aproximaccedilatildeo em funccedilatildeo de n fornecendo uma expressatildeo geral e ao nal
dessa tarefa questione os alunos sobre o que aconteceraacute com tal expressatildeo caso o valor de
n seja tendido ao innito
7o passo Revise todas as etapas melhorando a linguagem de forma gradual
e introduzindo uma simbologia de maneira a facilitar a escrita por exemplo insira a
notaccedilatildeo de somatoacuterios Caso observe a maturidade e a compreensatildeo dos conceitos de
maneira satisfatoacuteria por parte dos alunos insira a notaccedilatildeo moderna de limite junto aos
siacutembolos de somatoacuterios Aleacutem disso tambeacutem pode introduzir a simbologia de integrais
A expectativa dessa atividade eacute que a maioria dos alunos construa o graacuteco
no GeoGebra conforme as guras ilustrativas a seguir e que aproxime ao maacuteximo da aacuterea
sob o graacuteco via Soma de Riemann
Note que o aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees de cinco para dez fez com que a
aproximaccedilatildeo da aacuterea do poliacutegono retangular inferior melhorasse de 560 para 615 unidades
de aacuterea E mais aumentando o nuacutemero de interaccedilotildees de 10 para 100 fez com que a
aproximaccedilatildeo via aacuterea do poliacutegono retangular superior melhorasse de 715 para 67165
Tal realizaccedilatildeo conduz a seguinte conclusatildeo a aacuterea procurada eacute um nuacutemero entre 615
e 67165 Utilizando as ideias de Arquimedes sobre quadratura da paraacutebola eacute possiacutevel
constatar que a aacuterea desse segmento paraboacutelico (Asp) eacute dada por 43da aacuterea do triacircngulo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 95
inscrito de base medindo 10 unidades e altura medindo 100 unidades isto eacute Asp = 43de
10middot1002
= 20003
= 666 6
Figura 729 Poliacutegono Retangular
para n = 5
Figura 730 Poliacutegono Retangular
para n = 10
Figura 731 Poliacutegono Retangular
inscrito
Figura 732 Poliacutegono Retangular
circunscrito
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 96
Observe que a Figura 732 representa uma imagem ilustrativa de um poliacutegono
retangular superior em que eacute possiacutevel vericar que a aacuterea estaacute bem proacutexima do valor real
exibido anteriormente Note ainda que a medida que aumentamos o valor do cursor (n)
o poliacutegono retangular inscrito aproximasse cada vez mais da aacuterea da faixa de paraacutebola
pretendida (vide gura 731)
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica
O estudo de funccedilatildeo decorre da necessidade de analisar fenocircmenos descrever
regularidades interpretar interdependecircncias e generalizar Eacute preciso ter em mente que o
termo funccedilatildeo eacute mais abrangente e complexo do que a deniccedilatildeo apresentada ou seja eacute
necessaacuterio mostrar ao aluno que esse toacutepico usado de forma sistemaacutetica em exatas e no
seu cotidiano eacute de suma importacircncia para o meio social pois vaacuterias relaccedilotildees de mercado
e capital engenharia economia (micro e macro) sauacutede transportes induacutestrias artes
energia enm uma diversidade de aacutereas dependem de uma anaacutelise clara e objetiva da
funcionalidade de um modelo ou paracircmetro a ser adotado
Os casos em que haacute o emprego das noccedilotildees elementares no estudo de Fiacutesica
durante a etapa do ensino meacutedio satildeo frequentes e corriqueiros Observe os casos em que
eacute possiacutevel explorar tais ideias durante o ensino meacutedio
No 1o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Velocidade x Tempo (Deslocamento)
bull graacuteco de Aceleraccedilatildeo x Tempo (Velocidade)
bull graacuteco de Forccedila x Distacircncia (Trabalho)
bull graacuteco de Forccedila x tempo (Impulso)
No 2o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Trabalho realizado por um gaacutes ideal)
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Transformaccedilatildeo isoteacutermica)
bull graacuteco de calor especiacuteco x variaccedilatildeo de temperatura (Quantidade de Calor)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 97
No 3o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Corrente x Tempo (Carga)
bull graacuteco de Campo eleacutetrico x distacircncia (Forccedila eleacutetrica)
bull graacuteco de Resistecircncia x corrente (Tensatildeo)
Eacute possiacutevel citar outros casos mais especiacutecos poreacutem fogem ao escopo desse
material A seguir seraacute apresentado um estudo de catildeo referente ao caacutelculo da aacuterea sob o
graacuteco de uma dada relaccedilatildeo entre duas grandezas
A riqueza de tal estudo que eacute uma aplicaccedilatildeo baacutesica do caacutelculo integral vai
ao encontro dos ideais de interdisciplinaridade e contextualizaccedilatildeo defendidos pelos Paracirc-
metros Curriculares Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) [20] e pela Lei de Diretrizes e
Bases da Educaccedilatildeo (LDB) [30]
Os PCNEM (2002) [21] foram formulados a partir da discussatildeo entre especi-
alistas e educadores pertencentes aos domiacutenios do territoacuterio nacional Sua nalidade eacute
bastante abrangente dado que se pretende dar suporte as equipes escolares na execuccedilatildeo
de seus trabalhos com o intuito de promover o aperfeiccediloamento da praacutetica educativa por
meio de estiacutemulo e apoio agrave reexatildeo sobre a praacutetica diaacuteria ao planejamento de aulas e
ao desenvolvimento do curriacuteculo da escola de maneira a construir um processo contiacutenuo
de ensinoaprendizagem e a contribuir satisfatoriamente para a atualizaccedilatildeo prossional e
para a integraccedilatildeo ao mundo contemporacircneo nas dimensotildees fundamentais da cidadania e
do trabalho
Nesse iacutenterim que foca numa aprendizagem de formaccedilatildeo geral em que se pri-
oriza a aquisiccedilatildeo de conhecimentos a preparaccedilatildeo cientiacuteca e a capacidade de utilizar as
diferentes tecnologias relativas agraves aacutereas de atuaccedilatildeo a pretensatildeo dessa sequencia didaacutetico
tem a nalidade de contribuir para a transformaccedilatildeo do ensino meacutedio assim como formar
alunos capazes de buscar analisar e selecionar informaccedilotildees de modo criacutetico em detrimento
do ensino focado nos processos de memorizaccedilatildeo
A integraccedilatildeo e o uso da Matemaacutetica para justicar fatos da Fiacutesica sempre
foram e seratildeo mecanismos favoraacuteveis para o desenvolvimento da ciecircncia e da tecnologia
Eacute vaacutelido ressaltar que para propagar tais ideias eacute necessaacuterio discutircomentar
alguns preacute-requisitos matemaacuteticos e fiacutesicos de acordo com a seacuterie em que haacute pretensatildeo a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 98
aplicar a referida teacutecnica Eacute de suma importacircncia que o aluno saiba e domine os conceitos
de funccedilatildeo uacuteteis na construccedilatildeo do esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo proposta Assim a primeira
etapa de todo o processo consiste numa revisatildeo de toacutepicos de funccedilatildeo (1o grau 2o grau
exponencial logariacutetmica trigonomeacutetrica hipeacuterbole equilaacutetera etc) de acordo com o
enfoque que o professor trabalharaacute
Por exemplo caso o professor esteja interessado apenas em aplicar os conceitos
de limite agraves funccedilotildees do 1o grau cujos graacutecos seratildeo guras planas poligonais natildeo haacute
necessidade de explanar as demais funccedilotildees Jaacute o educador que pretende estudar tais
fenocircmenos que desembocam em graacutecos paraboacutelicos eacute preciso discutir com os alunos
toacutepicos relacionados ao estudo das funccedilotildees quadraacuteticas e suas relaccedilotildees graacutecas com o
estudo da paraacutebola Nos outros casos recomenda-se prosseguir com raciociacutenio anaacutelogo
O nuacutemero de aulas previstas de revisatildeo dependeraacute do niacutevel da turma em que se pretende
aplicar o trabalho
Aleacutem disso eacute preciso utilizar o laboratoacuterio de informaacutetica como recurso suple-
mentar para o ensino e manejo do software de geometria dinacircmica GeoGebra Em geral
de duas a quatro aulas satildeo sucientes para aprender a usar de forma baacutesica desde que haja
planejamento de atividades e interesse por parte discente e docente no aprimoramento da
utilizaccedilatildeo
Apoacutes o domiacutenio das ferramentas baacutesicas do GeoGebra eacute hora de propor a
plotagemconstruccedilatildeo de graacutecos Eacute recomendaacutevel que o professor inicie seu trabalho a
partir de uma situaccedilatildeo problema que empregaraacute conceitos de funccedilatildeo do 1o grau e que
implicaraacute na utilizaccedilatildeo dos conceitos fiacutesicos de acordo com a seacuterie momentacircnea Forneccedila
os dados via tabela via texto ou via foacutermula Solicite a interpretaccedilatildeo da funccedilatildeo com
questionamentos Quem eacute a variaacutevel dependente e a independente Como representamos
tal situaccedilatildeo gracamente O que representa o produto das variaacuteveis Etc
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea
Para compreender o signicado de velocidade instantacircnea de um moacutevel em
movimento faz-se necessaacuterio compreender o conceito de taxa de variaccedilatildeo
Considere que x = f(t) seja equaccedilatildeo que descreve o movimento do moacutevel
(funccedilatildeo horaacuteria do moacutevel) A velocidade meacutedia (vm) de um moacutevel entre os instantes t1
e t2 = t1 +4t eacute denida como a razatildeo entre variaccedilatildeo do espaccedilo percorrido pelo tempo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 99
gasto para executar tal deslocamento
vm =4S4t
=s2 minus s1t2 minus t1
=f(t2)minus f(t1)(t1 +4t)minus t1
=f(t1 +4t)minus f(t1)
4t
Tomando 4trarr 0 tem-se que vm tende para a velocidade instantacircnea isto eacute
vinstatanea = lim4trarr0
f(t1 +4t)minus f(t1)4t
A razatildeo f(t1+4t)minusf(t1)4t eacute denominada de Quociente de Newton Esse quociente eacute
bastante corriqueiro em problemas de Matemaacutetica (problemas de tangecircncia a curvas) Fiacute-
sica (velocidade instantacircnea aceleraccedilatildeo instantacircnea etc) Quiacutemica (quociente de reaccedilotildees
quiacutemicas) e Economia (problemas de custo marginal) No estudo de caacutelculo esse conceito
receberaacute o nome de derivada de uma funccedilatildeo em um dado ponto ou ainda representa
geometricamente a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacuteco no ponto (t f(t))
Nesse momento seria interessante propor atividades de cunho experimental
com carrinhos de exatildeo ou com problemas de queda livre Nessa tarefa aleacutem de realizar
anotaccedilotildees acerca de deslocamentos e tempos decorridos eacute interessante solicitar a cons-
truccedilatildeo de um esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo e propor questionamentos aos alunos acerca da
aacuterea sob o graacuteco da curva obtida ao traccedilar o graacuteco
Situaccedilatildeo Problema Caacutelculo da distacircncia d percorrida por um moacutevel com ve-
locidade v(t) no intervalo de tempo [a b]
1o caso Se a velocidade v(t) for constante e igual a v segue que
d = vt = v(bminus a)
2o caso Se a velocidade v(t) natildeo for constante em [a b] entatildeo eacute possiacutevel
adotar uma subdivisatildeo desse intervalo em n particcedilotildees de mesmo comprimento e supor
que a velocidade seja constante em cada subintervalo Isto eacute adotando t1 t2 t3 t4 middot middot middot tncomo comprimento desses subintervalos tem-se
d sim= v1t1 + v2t2 + v3t3 + middot middot middot+ vntn
Observe a situaccedilatildeo ilustrativa de aplicaccedilatildeo das ideias difundidas acima por
meio da anaacutelise da tabela que fornece a velocidade de um corpo que se desloca com
movimento retiliacuteneo em diversos instantes
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 100
Tabela 74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo
t(segundos) 0 1 2 3 4 5
v (ms) 2 5 8 11 14 17
Figura 733 Trapeacutezio retacircngulo
Fonte GeoGebra
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle
Um gaacutes sofre transformaccedilatildeo isoteacutermica quando haacute variaccedilatildeo da sua pressatildeo e do
seu volume sem que haja variaccedilatildeo de sua temperatura isto eacute a temperatura permanece
constante Daiacute se explica o nome da transformaccedilatildeo que eacute uma fusatildeo do prexo iso (do
grego iso = igual) com a palavra thermo (do grego thermo = calor)
Segundo a Lei de Boyle-Mariotte a pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo
inversamente proporcionais ou seja aumentando a pressatildeo o volume de gaacutes diminui
Um exemplo simples praacutetico e presente diariamente em nosso dia-a-dia eacute o
ecircmbolo de uma seringa Como a Pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo inversamente
proporcionais segue que PV = k Observe a situaccedilatildeo hipoteacutetica tabulada e a construccedilatildeo
do graacuteco a partir de tais dados Daiacute decorre que os pontos da curva geram de fato uma
hipeacuterbole Isto eacute por intermeacutedio da construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo (hipeacuterbole) y = 54x
eacute possiacutevel conjecturar um valor para o trabalho realizado no intervalo [3 24] O eixo das
abscissas conteacutem os valores do volume enquanto o eixo das ordenadas conteacutem os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 101
da pressatildeo do referido gaacutes em estudo
Tabela 75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio
Pressatildeo (atm) Volume (ml) Produto (P middotV )
3 18 54
6 9 54
12 45 54
18 3 54
24 225 54
Note que a aproximaccedilatildeo via poliacutegonos retangulares inferiores quanto a aproxi-
maccedilatildeo via poliacutegonos retangulares superiores estaacute tendendo para um nuacutemero entre 11212
e 11246 unidades de aacuterea Como a aacuterea em questatildeo representa o trabalho realizado pelo
gaacutes e conforme jaacute foi provada a referida aacuterea pode ser obtida a partir de uma subtraccedilatildeo
entre os logaritmos naturais das abscissas do intervalo [3 24] segue que o trabalho (T )
realizado seraacute dado por T = 54(ln 24minus ln 3) sim= 112 289
Figura 734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000
Fonte GeoGebra
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada
Eacute consenso entre os estudiosos do assunto de que a introduccedilatildeo do estudo de
derivadas deve ser realizada por meio de suas aplicaccedilotildees como por exemplo ao introduzir
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 102
conceitos de pressatildeo densidade da massa densidade da carga eleacutetrica e em problemas de
tangecircncia em determinados pontos de uma curva
Vaacuterios artigos da RPM jaacute mencionaram a importacircncia desse estudo e defen-
deram de forma ferrenha e de acordo com histoacuteria o estudo das derivadas Dentre os
inuacutemeros artigos que citam diretaindiretamente o ensino de derivadas merece destaque
os artigos de AacuteVILA (1991) [1] nas revistas de nuacutemero 18 23 e 60 e o artigo dos professores
WAGNER e CARNEIRO (2004) [32] na revista de nuacutemero 53
Analisando o artigo mais recente da RPM de nuacutemero 60 sobre o tema cuja
autoria eacute exclusiva do professor AacuteVILA (2006) [2] eacute possiacutevel vericar a possibilidade de
aplicaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular do estudo inicial de derivadas
no Ensino Meacutedio Nesse artigo o autor critica as abordagens feitas pelos livros didaacuteticos
e propotildee uma abordagem segundo a utilizaccedilatildeo de ferramentas do Caacutelculo diferencial e
integral com o intuito de promover um ensino baacutesico de forma ampla contextualizada e
harmocircnica com outras aacutereas do conhecimento
A princiacutepio AacuteVILA [2] apresenta o estudo das coordenadas do veacutertice de uma
paraacutebola conforme a maioria dos livros didaacuteticos nos apresenta isto eacute um amontoado de
proposiccedilotildees e foacutermulas sem justicativas e aceitas via decoreba sem demonstraccedilatildeo formal
ou intuitiva Um verdadeiro disparate dado que haacute uma desvinculaccedilatildeo entre deniccedilatildeo
do veacutertice e a funccedilatildeo propriamente dita cujo graacuteco eacute uma paraacutebola Segundo SANTOS
(2006) [24]
a deniccedilatildeo mais natural e contextualizada seria a de que o veacutertice daparaacutebola eacute o ponto que representa o extremo (maacuteximo ou miacutenimo) dafunccedilatildeo quadraacutetica sendo a abscissa o ponto onde esse extremo eacute atingidoe a ordenada o valor extremo assumido Dessa forma ao considerar umafunccedilatildeo quadraacutetica como um modelo matemaacutetico ca clara a importacircnciade se obter o veacutertice da paraacutebola ao interpretaacute-lo como o extremo dafunccedilatildeo (SANTOS [24] 2006 p4)
Eacute importante salientar que segundo AacuteVILA (2006) [2] para seguir os proacuteximos
passos propostos na RPM de nuacutemero 60 faz-se necessaacuterio uma abordagem inicial do estudo
de derivadas conforme a maior parte dos livros didaacuteticos de Caacutelculo apresenta em que o
limite das inclinaccedilotildees das retas secantes ao graacuteco de uma paraacutebola (y = ax2 + bx + c)
tende para (2ax+ b) A apresentaccedilatildeo desse estudo eacute feita posteriormente com auxiacutelio do
GeoGebra Caso natildeo seja suciente a atividade proposta eacute recomendado realizar uma
leitura criacutetica e minuciosa da exposiccedilatildeo desse assunto em STEWART (2006) [37]
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 103
A partir desses preacute-requisitos eacute possiacutevel introduzir as noccedilotildees elementares de
derivada difundidas no presente artigo Nele haacute uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica da derivada
relacionada ao coeciente angular da reta tangente ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica em
cada ponto descartando a anaacutelise via zeros da funccedilatildeo Como a inclinaccedilatildeo da reta tangente
no veacutertice da paraacutebola possui valor nulo uma vez que a reta tangente eacute horizontal segue
que a derivada da funccedilatildeo (f(x) = ax2+ bx+ c) no ponto que conteacutem a abscissa do veacutertice
eacute igual a zero isto eacute
f prime(x) = 0hArr 2axv + b = 0hArr minusb2a
Jaacute a ordenada yv pode ser obtida como a imagem da abscissa ou seja substituindo o
valor da abscissa do veacutertice na funccedilatildeo quadraacutetica
Nesse mesmo artigo AacuteVILA (2006) [2] cita uma aplicaccedilatildeo da derivada segunda
para uma anaacutelise da concavidade da paraacutebola e aleacutem disso tambeacutem faz uma citaccedilatildeo de
referecircncia a uma aplicaccedilatildeo da derivada como taxa de variaccedilatildeo no estudo de Mecacircnica na
Fiacutesica A explanaccedilatildeo com riqueza de detalhes caraacute a cargo do leitor pois assim evita-se
uma fuga demasiada do escopo da discussatildeo desse trabalho de dissertaccedilatildeo
Veja o esboccedilo da situaccedilatildeo descrita acima
Figura 735 Reta tangente a uma dada paraacutebola
Fonte RPM [2] n60
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 104
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada
Conforme a maioria dos livros didaacuteticos de caacutelculo propotildee recomenda-se que a
introduccedilatildeo do estudo de derivadas seja realizada a partir da situaccedilatildeo problema de traccedilar
a reta tangente a uma curva num determinado ponto
Se a gura curviliacutenea for uma circunferecircncia basta encontrar a reta que toca
a circunferecircncia em um uacutenico ponto Mas essa noccedilatildeo natildeo pode ser estendida como caso
geral pois haacute diversos exemplos de curvas qualquer em que uma dada reta intercepta
somente em um ponto e tal reta natildeo representa a reta tangente Por exemplo se a
referida curva fosse uma paraacutebola eacute oacutebvio que a reta vertical que representa o eixo da
paraacutebola intercepta a curva somente em seu veacutertice e tal reta natildeo representa uma reta
tangente da paraacutebola Sendo assim faz-se necessaacuterio criar uma deniccedilatildeo geral capaz de
ser utilizada em qualquer graacuteco curviliacuteneo
Para isso eacute necessaacuterio partir de uma situaccedilatildeo concreta por exemplo esco-
lhendo o graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Considere dois pontos nessa curva
P = (a f(a)) e Q = (a+h f(a+h)) A proposta exibida abaixo eacute referente a uma anaacutelise
da inclinaccedilatildeo das retas secantes quando Q se aproxima de P com a intenccedilatildeo de conjectu-
rar uma deniccedilatildeo precisa de reta tangente via razatildeo incremental (inclinaccedilatildeo coeciente
angular)
Observe o procedimento da situaccedilatildeo descrita via representaccedilatildeo no GeoGebra
cujos passos devem ser repassados conforme proposiccedilatildeo abaixo
1o passo Digite na linha de comandos (campo entrada) a lei de formaccedilatildeo da
funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2)
2o passo Crie dois controles deslizantes a e h O primeiro (a) com intervalo
de variaccedilatildeo de -10 ateacute 10 com incremento de 01 O segundo (h) com mesmo intervalo e
com mesmo de 001
3o passo Crie dois pontos (A e Q) O primeiro com coordenadas A = (a f(a))
e o segundo com coordenadas Q = (a+ h f(a+ h)) Em seguida crie a reta denida por
dois pontos (A e Q)
4o passo Crie uma razatildeo incremental (m) tal que
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 105
5o passo Solicite aos alunos que realize variaccedilatildeo no controle deslizante a e no
controle deslizante h
6o passo Mantenha o controle deslizante na posiccedilatildeo a = 1 e faccedila variaccedilotildees no
controle deslizante h
7o passo Solicite aos alunos que comparem o valor do coeciente angular da
reta AQ com o valor da razatildeo incremental (m) quando o ponto Q se aproxima do ponto
A em sua vizinhanccedila
A seguir observe as retas secantes ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2
com representaccedilatildeo de limites laterais (h = minus004 e h = 004) Eacute vaacutelido que apoacutes a
realizaccedilatildeo dos passos descritos e de analisar as conjecturas obtidas pelos alunos o professor
deve realizar diversos questionamentos acerca da atividade desenvolvida dentre os quais
o de maior destaque consiste em observar o que acontece na vizinha do ponto P = (1 1)
Figura 736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda)
Fonte GeoGebra
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 106
Figura 737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita)
Fonte GeoGebra
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada
Apoacutes realizar experimento via GeoGebra e incitar conjecturar a partir de inuacute-
meras modicaccedilotildees nos cursores (a e h) que conduzem alteraccedilotildees no ponto escolhido e no
incremento lateral analisado eacute hora de utilizar o quadro da sala de aula com o intuito
de realizar um estudo algeacutebrico das etapas a partir da anaacutelise da razatildeo incremental (m)
comparando com o valor do coeciente angular da reta secante AQ
Observe como seria o referido estudo analiacutetico e algeacutebrico
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
=f(a+ h)minus f(a)(a+ h)minus h
=(a+ h)2 minus a2
h
=2ah+ h2
h
= 2a+ h
Note que quanto mais proacuteximo o ponto Q estiver em relaccedilatildeo ao ponto A o
valor de h tenderaacute a zero isto eacute
limhrarr0
[m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
] = limhrarr0
[2a+ h] = 2a
Note que para a = 1 implica em m = 2 ou seja a inclinaccedilatildeo da secante
AQ tambeacutem seraacute igual a 2 e nesse momento a reta via GeoGebra secante deixa de
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 107
existir pois natildeo faz sentido para o programa divisatildeo com denominador nulo Mas eacute
vaacutelido ressaltar que a reta existe e trata-se da reta tangente cuja inclinaccedilatildeo (coeciente
angular ou razatildeo incremental) coincide com o valor da derivada no ponto A Caso o
professor ache conveniente introduza a notaccedilatildeo de derivada primeira num ponto qualquer
determinado (f prime(a) = 2a) Essa atitude de acordo com o niacutevel de abstraccedilatildeo da turma
pode ser um belo exemplo e uma boa alternativa de introduccedilatildeo das teacutecnicas e propriedades
de derivaccedilatildeo da funccedilatildeo polinomial
Na atividade proposta tambeacutem foi utilizada a funccedilatildeo quadraacutetica mas eacute vaacute-
lido salientar que haacute viabilidade e facilidade da extensatildeo para demais funccedilotildees (1o grau
exponencial logariacutetmica e ateacute mesmo a funccedilatildeo trigonomeacutetrica)
O problema descrito abaixo eacute referente a uma situaccedilatildeo problema de utilizaccedilatildeo
praacutetica do estudo de derivada com auxiacutelio do GeoGebra
1a Situaccedilatildeo problema Aplicaccedilatildeo num problema de maximizaccedilatildeo
Um terreno em formato retangular possui periacutemetro de medida igual a 74
metros A partir dessa informaccedilatildeo determine a medida dos lados desse retacircngulo para
que a aacuterea desse terreno seja maacutexima
Resoluccedilatildeo passo a passo via GeoGebra
1o passo Equacionar o problema a partir dos dados
Sejam a e b os lados do terreno em questatildeo
Como o periacutemetro mede 74 metros segue que 2a+ 2b = 74
Isto eacute a+ b = 37 que eacute equivalente a b = 37minus a
Como o problema solicita os valores das dimensotildees que geram aacuterea (S)maacutexima
segue que S = ab = a(37minus a) = minusa2 + 37a
2o passo Apoacutes o equacionamento construir via GeoGebra o graacuteco da funccedilatildeo
quadraacutetica obtida (f(x) = minusx2 + 37x)
3o passo Criar um controle deslizante (a) de intervalo de -50 a 50 com incre-
mento de 01
4o passo Criar um ponto de coordenadas P = (a f(a)) Em seguida criar
uma reta tangente no ponto P
5o passo Varie o controle deslizante e observe na janela de aacutelgebra os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 108
das ordenadas do ponto P
Observe a imagem da tela do GeoGebra apoacutes sequencia dos passos anteriores
Figura 738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular
Fonte Imagem capturada de janela do GeoGebra
Note que quando o ponto P atinge o veacutertice (V ) da paraacutebola as coordenadas
desse ponto satildeo dadas por V = (185 34225) Assim eacute possiacutevel concluir que a funccedilatildeo
aacuterea assume valor maacuteximo quando a reta tangente torna-se horizontal isto eacute a maacutexima
aacuterea ocorre quando a inclinaccedilatildeo da reta tangente eacute igual a zero e o retacircngulo torna-se um
quadrado de lado de medida 185 metros Utilizando a linguagem do caacutelculo eacute possiacutevel
dizer que a aacuterea eacute maacutexima quando a derivada no ponto P eacute igual a zero (vide imagem a
seguir)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 109
Figura 739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica
Fonte Imagem capturada da janela do GeoGebra
110
8 CONCLUSAtildeO
Ao tomar a decisatildeo nal de pesquisar sobre o tema em estudo e escrever uma
proposta de sequecircncia didaacutetica de resgate agrave inserccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
durante o Ensino Meacutedio eacute importante confessar que a princiacutepio tal ideia aparentemente
foi considerada absurda antiquada e de discussatildeo despreziacutevel Apoacutes nalizar todo o levan-
tamento de dados dessa dissertaccedilatildeo foi possiacutevel perceber quatildeo eacute pertinente tal discussatildeo
e quanto o ensino estaacute sendo negligenciado por professores experientes e de reputaccedilatildeo
ilibada no mercado da terceira etapa da educaccedilatildeo baacutesica
Assim como opinaram a maioria dos professores que atua na rede municipal
e estadual do Espiacuterito Santo nossa visatildeo a priori do tema da pesquisa era criacutetica e
contraacuteria agrave introduccedilatildeo de conceitos de limite deriva e integral Uma justicativa plausiacutevel
seria dizer que a clientela existente na educaccedilatildeo baacutesica diariamente estaacute constantemente
nos desapontando com problemas simples de matemaacutetica elementar e isso talvez tenha
contribuiacutedo para o equiacutevoco de considerar tal proposta absurda impossiacutevel e incompatiacutevel
com a realidade da maioria das escolas capixabas poreacutem em contrapartida eacute preciso
focar a atenccedilatildeo ao prejuiacutezo que estamos causando agravequela minoria de estudantes aacutevidos
pelo saber e que possuem alto grau de abstraccedilatildeo A preparaccedilatildeo de nossos alunos para
ingressarem no estudo de matemaacutetica superior natildeo estaacute sendo suciente Isso pode ser
uma das justicas para os piacuteos iacutendices de aprovaccedilatildeo da maior parte dos alunos que
estudam Caacutelculo A implementaccedilatildeo de nossa proposta em sala de aula mesmo que seja
para um seleto grupo pode gerar mudanccedilas signicativas com contribuiccedilotildees iacutempares para
o ensinoaprendizagem dos alunos partiacutecipes
Tambeacutem foi possiacutevel reetir sobre vaacuterios pontos da educaccedilatildeo matemaacutetica ca-
pixaba em particular do puacuteblico alvo da pesquisa pertencente agrave Grande Vitoacuteria que
perpassa desde a formaccedilatildeo inconsistente dos professores seja de instituiccedilatildeo puacuteblica ou
privada ateacute a precariedadenegligecircncia de nossos livros didaacuteticos do curriacuteculo estadual
dos PCN da proposta do ENEM e dos cursos de capacitaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao repasse de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo
O presente trabalho serviu para nos alertar sobre a importacircncia da Histoacuteria
8 CONCLUSAtildeO 111
da Matemaacutetica na evoluccedilatildeo dos conceitos Agraves vezes desejamos que os alunos aprendam
algo em um dia sendo que tal conceito demorou seacuteculos para atingir o rigor e o padratildeo
preestabelecido em nossas literaturas de matemaacutetica Aleacutem disso serviu de instrumento
norteador para pensar em mudanccedilas ou adaptaccedilotildees signicativas em nossos livros didaacute-
ticos para que os mesmos estejam em conformidade com a proposta constitucional de
preparaccedilatildeo para uma continuaccedilatildeo de estudos mais avanccedilados Tambeacutem serviu de aper-
feiccediloamento do conhecimento via emprego praacutetico e motivador de planilhas eletrocircnicas e
softwares de geometria dinacircmica (GeoGebra) Como esses recursos podem tornar as aulas
mais interessantes e fazer com que o ensinoaprendizagem seja facilitado
O emprego das noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio via noccedilotildees intuitivas e
via situaccedilotildees problema de aplicaccedilotildees reais pode ser incluso novamente nos PNCEM
no curriacuteculo estadual eou entatildeo nas estrateacutegias suplementares do plano pedagoacutegico da
escola baacutesica com o intuito de oportunizar um aprendizado mais qualicado aos alunos
e de preparaacute-los para estudos posteriores com maior teor de abstraccedilatildeo Foi possiacutevel
vericar que algumas propriedades satildeo justicadas de maneira rigorosa apenas com o
auxiacutelio de ideais correlatas do Caacutelculo (limite derivada e integral) principalmente a
explicaccedilatildeo matemaacutetica de alguns fenocircmenos fiacutesicos e quiacutemicos tornando a matemaacutetica
interdisciplinar
Enm eacute preciso ensinar matemaacutetica com o intuito de formar alunos aptos a
lidar com situaccedilotildees extremas de abstraccedilatildeo nas universidades e natildeo somente para adqui-
rirem bom rendimento nos exames de caraacuteter nacional (ENEM PAEBES etc) Anal
a omissatildeo pode estar causando resultados negativos como desmotivaccedilatildeo dos alunos da
escola baacutesica reduccedilatildeo de procura por cursos que requerem uma boa formaccedilatildeo na aacuterea
de exatas e aulas expositivas cada vez mais distantes da realidade cotidiana dos nossos
alunos Assim as poliacuteticas governamentais assim como os professores devem participar
dessas discussotildees com propostas de viabilidade de cursos de capacitaccedilatildeo que oriente os
prossionais a trabalharem com as noccedilotildees de Caacutelculo via aulas expositivas com adaptaccedilotildees
de recursos didaacuteticos disponiacuteveis e via produccedilatildeo de material especiacuteco que complemente as
lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos disponiacuteveis Essa adaptaccedilatildeo ao modelo tradicional
de ensino que jaacute se mostrou desmotivador arcaico e ultrapassado pode ser uma alterna-
tiva eciente para resgatar a busca incessante pelo aprofundamento do saber matemaacutetico
fiacutesico e quiacutemico por parte dos alunos
112
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos
graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo
A)
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)113
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)114
115
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos
professores de Matemaacutetica (Anexo B)
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 116
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 117
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 118
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pina Grande Anais Campina Grande UFPB 2005 CD-ROM
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Thomson Learning 2006
Agradecimentos
A princiacutepio gostaria de agradecer a Deus por me proporcionar uma vida sau-
daacutevel (repleta de sabedoria inteligecircncia e amizade) uma famiacutelia majestosa amigos mag-
niacutecos e uma esposa formidaacutevel a qual amo muito
Em segundo plano e em caraacuteter especial gostaria de agradecer aos meus pais
(Luiza e Miguel) que satildeo a razatildeo do meu viver a minha avoacute (Salviana) que eacute uma
lutadora e uma educadora incansaacutevel a minha esposa (Taniara) que realizou mudanccedilas
signicativas na minha vida e aleacutem disso meus agradecimentos a todos os meus pro-
fessores da educaccedilatildeo baacutesica ateacute o ensino superior pelo aprendizado pela educaccedilatildeo pela
paciecircncia pelo incentivo e pela dedicaccedilatildeo fervorosa para que o sucesso ateacute aqui conquis-
tado fosse possiacutevel
Enm gostaria de agradecer ao meu orientador (Dr Etereldes) aos professo-
res do PROFMAT e a todos os amigos (alunos e colegas de prossatildeo) que colaboraram
de forma direta (Professores Rubens e Solano) eou indireta para a realizaccedilatildeo dessa
dissertaccedilatildeo
Serei eternamente grato a todos sem distinccedilatildeo e sempre estarei agrave disposiccedilatildeo
para retribuir os gestos de carinho de incentivo e de forccedila a mim repassados nos momentos
difiacuteceis conturbados e desanimadores
A pior ditadura natildeo eacute a que aprisiona
o homem pela forccedila mas sim pela fra-
queza fazendo-o refeacutem de suas proacuteprias
necessidades
Juacutelia Liacutecia
Sumaacuterio
Lista de Figuras 8
Lista de Tabelas 10
1 INTRODUCcedilAtildeO 11
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 15
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 22
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 29
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 32
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 42
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA 45
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
711 Diacutezimas Perioacutedicas 47
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales 50
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas 54
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo 55
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees 60
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de limite 71
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua 72
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri 80
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse 88
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva 90
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica 96
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea 98
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle 100
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada 101
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada 104
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada 106
8 CONCLUSAtildeO 110
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da
FAACZ (Anexo A) 112
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo
B) 115
Referecircncias Bibliograacutecas 119
Lista de Figuras
31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo 22
32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1+ 2460+ 51
602+ 10
603=
1414212 28
71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis 52
74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso) 53
75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos 54
76 Retacircngulo 6 x 5 56
77 Retacircngulo 100 x 80 57
78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita 60
79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5 63
710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50 65
711 Poliacutegono Retangular para n = 100 65
712 Processo recursivo de Quadrados 70
713 Processo recursivo de Triacircngulos Equilaacuteteros 70
714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito) 77
715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8 78
716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10 79
717 Anel Ciliacutendrico 81
718 Casca de Esfera 82
719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica 84
720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 85
721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7 86
722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 87
723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 87
724 Elipse inscrita numa circunferecircncia 89
725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante 91
726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer 91
727 Quadratura do ciacuterculo para n = 11 92
728 Quadratura do ciacuterculo para n = 100 92
729 Poliacutegono Retangular para n = 5 95
730 Poliacutegono Retangular para n = 10 95
731 Poliacutegono Retangular inscrito 95
732 Poliacutegono Retangular circunscrito 95
733 Trapeacutezio retacircngulo 100
734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000 101
735 Reta tangente a uma dada paraacutebola 103
736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda) 105
737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita) 106
738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular 108
739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica 109
9
Lista de Tabelas
51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos 41
71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2 59
72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais 72
73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler 75
74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo 100
75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio 101
11
1 INTRODUCcedilAtildeO
Haacute pontos especiacutecos na educaccedilatildeo baacutesica em que a ideia intuitiva de limite
de derivada e de integral estaacute presente Como satildeo tratados os casos em que eacute necessaacuterio
mencionar as noccedilotildees de limite ou de integral para discutir uma consequecircncia natural de
um assunto elementar Como os livros didaacuteticos tratam o assunto Qual a visatildeo dos pro-
fessores diante do tema Como os Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) lidam com a
situaccedilatildeo Em que estados brasileiros nota-se a presenccedila e a aplicabilidade de tais noccedilotildees
elementares do Caacutelculo Como as consequecircncias imediatas dessa posturaapresentaccedilatildeo
preacute-matura estatildeo interferindo no rendimento dos cursos de Caacutelculo no niacutevel superior De
que maneira podemos introduzir e abordar esse peculiar assunto sem causar constrangi-
mentos e traumas em nossos alunos Em que contexto histoacuterico se deu o processamento
das ideias de limite Tais ideias satildeo largamente empregadas no nosso dia-a-dia Como
explorar as noccedilotildees de limite de derivada e de integral via softwares de geometria dinacircmica
(especicamente o GeoGebra) Como explorar as noccedilotildees de limite via planilhas eletrocirc-
nicas (Microsoft Excel) O que eacute limite e como introduzir sem exageros e formalidades
de maneira que os alunos consigam acompanhar tal abstraccedilatildeo Qual a ordem cronoloacutegica
dos fatos surgiu o Caacutelculo Integral ou primeiro o Caacutelculo Diferencial Como propor a
inserccedilatildeo de limite nos estudo das derivadas O que eacute derivada Soacute se aprende derivada
se souber limite Como interligar a deniccedilatildeo de limite com a noccedilatildeo de integral O que
eacute integral Qual foi a evoluccedilatildeo histoacuterica (limite derivada e integral) Quais principais
precursores (paiacutes cidade natal seacuteculo data problematizaccedilatildeo etc) QueQual percen-
tual de alunos aprendeu alguma noccedilatildeo de limite de derivada ou de integral durante a
educaccedilatildeo baacutesica Quais as vantagens em ensinar as noccedilotildees de limite de derivada e de
integral na educaccedilatildeo baacutesica em particular no ensino meacutedio
Diante de tantos questionamentos surge a necessidade de respondecirc-los por
meio de uma reexatildeo acerca dos pontos destacados na pesquisa desenvolvida na pre-
sente dissertaccedilatildeo Inicialmente foi feita uma pesquisa entre os alunos que estatildeo ingres-
sandocursando na Universidade Federal do Espiacuterito Santo (UFES) e no Instituto Federal
do Espiacuterito Santo (IFES) sobre o estudo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo durante as
fases da educaccedilatildeo baacutesica Quem estudou Em que seacuterie se consolidou tal aprendizado
1 INTRODUCcedilAtildeO 12
Haacute conceitos baacutesicos que utilizam as noccedilotildees de limite de derivada e de integral Quais
vantagens obteriam caso tivessem uma base melhor e satisfatoacuteria de tais ideias intuitivas
durante o ensino baacutesico Em segundo momento os professores foram questionados sobre
as vantagensdesvantagens em propor o ensino das noccedilotildees de limite de derivada e de
integrais durante a educaccedilatildeo baacutesica
Em seguida foi feita uma averiguaccedilatildeo que de fato existem conteuacutedos da edu-
caccedilatildeo baacutesica que necessitam de uma abordagem mais especiacuteca das noccedilotildees de limite de
derivada e de integral tais como a representaccedilatildeo decimalfracionaacuteria das diacutezimas pe-
rioacutedicas ao somar os innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo especial
(0 lt |q| lt 1) ao estudar a capitalizaccedilatildeo contiacutenua ao analisar comportamentos graacute-
cos de uma funccedilatildeo para valores muito grande eou pequeno do domiacutenio de uma funccedilatildeo
(funccedilatildeo 1o grau 2o grau exponencial e logariacutetmica) ao calcular da medida da aacuterea de
uma regiatildeo plana qualquer com lados curvos aleacutem das inuacutemeras aplicaccedilotildees no estudo da
Fiacutesica (emprego da hipeacuterbole equilaacutetera na relaccedilatildeo entre pressatildeo e volume de um gaacutes em
condiccedilotildees isoteacutermicas e do conceito de velocidade instantacircnea)
Uma busca nos livros de Histoacuteria da Matemaacutetica com o intuito de desvendar
as maneiras e o contexto sobre os quais se deu o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas de
limite de derivada e de integral ateacute chegar ao cliacutemax da notaccedilatildeo atual e padratildeo formal
ensinado na disciplina de Caacutelculo nas universidades Nesse iacutenterim pretendeu-se propor
uma viagem no tempo ao longo dos seacuteculos em busca de momentos cruciais em que se
desenvolveuaplicou as noccedilotildees elementares do Caacutelculo
Apoacutes mapear as diversas situaccedilotildees problema que serviram de motivaccedilatildeo para
o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo foi realizada uma conferecircncia nos
livros didaacuteticos mais utilizados na educaccedilatildeo baacutesica especicamente na 3a etapa o Ensino
Meacutedio com o intuito de investigar como o assunto eacute introduzido em que conteuacutedos satildeo
discutidos e qual a linguagem utilizada (notaccedilatildeo usual)
Uma pesquisa com graduandos e com professores foi realizada com o intuito
de averiguar se os mesmos trabalham as noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de
integral no ensino baacutesico e como o fazem Quais satildeo suas anguacutestias temores diculdades
sugestotildees etc Haacute cursos de capacitaccedilatildeoformaccedilatildeo de professores nesse sentido Seria
necessaacuterio criar um algoritmo tipo uma receita de bolo um guia didaacutetico um manual
pedagoacutegico de direcionamento de trabalho que norteasse e ensinasse aos professores com
1 INTRODUCcedilAtildeO 13
sugestotildees de abordagem do tema em estudo Em geral os professores possuem conheci-
mentos na aacuterea de utilizaccedilatildeoaplicaccedilatildeo da teoria de limite de derivada e de integral para
empregar em suas aulas a utilizaccedilatildeo de softwares de geometria dinacircmica e softwares que
trabalham com planilha eletrocircnica de estudos
Tendo em matildeos o mapeamento dos conteuacutedos que necessitam de um enfoque
das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral a opiniatildeo dos professores e
dos graduandos a visatildeo apresentada nos livros didaacuteticos e nos Paracircmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) a evoluccedilatildeo histoacuterica e suas situaccedilotildees-problema
foi possiacutevel articular a sequecircncia didaacutetica que de acordo com a nossa visatildeo facilitaria o
entendimento e minimizaria a distacircncia entre o concreto e o abstrato isto eacute reduziria a
margem de abstraccedilatildeo que tais noccedilotildees requerem Nesse sentido o foco da pesquisa tem
como meta a introduccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral de acordo
com a seacuterie do Ensino Meacutedio em que se pretende inserir tais conceitos Tambeacutem eacute vaacutelido
ressaltar que haacute conteuacutedos do Ensino Fundamental que necessitam de um enfoque das
noccedilotildees de Caacutelculo por exemplo o estudo das diacutezimas perioacutedicas a demonstraccedilatildeo completa
do Teorema de Tales e a deniccedilatildeo de aacuterea de uma regiatildeo retangular Nesse iacutenterim o
presente trabalho propotildee uma metodologia de introduccedilatildeo desses conceitos empregando e
entrelaccedilando as noccedilotildees elementares de limite
Para a 1a seacuterie do Ensino Meacutedio a abordagem algeacutebrica foi realizada a partir
do estudo de funccedilotildees e suas implicaccedilotildees e do estudo de sequecircncias (em particular seacuteries
geomeacutetricas convergentes diacutezimas perioacutedicas) que apresentam caracteriacutesticas peculiares
que necessitam do estudo das noccedilotildees de limite Em seguida foi proposta uma aplicaccedilatildeo
desses conceitos numa situaccedilatildeo-problema presente no estudo de matemaacutetica nanceira
(especicamente no estudo de juros compostos) isto eacute foi realizada uma reproduccedilatildeo e
uma anaacutelise do problema proposto por Jacques Bernoulli sobre capitalizaccedilatildeo contiacutenua ou
seja as implicaccedilotildees sobre a evoluccedilatildeo de crescimento de um capital depositado a juros
compostos ser acrescido de juros subdividindo constantemente o intervalo de correccedilatildeo Jaacute
a abordagem geomeacutetrica a ser apresentada tanto no 1o ano quanto no 2o ano conforme
o plano de curso preacute-estabelecido pela unidade escolar se deu por intermeacutedio do estudo
de aacutereas de guras planas em especial aquelas que apresentam lados curviliacuteneos
Ainda na 1a seacuterie do Ensino Meacutedio foi realizada uma anaacutelise comportamental
de graacutecos de funccedilotildees fazendo um paralelo com os graacutecos presentes no estudo de conceitos
da disciplina de Fiacutesica com o intuito particular de explicar o que signica e como se
1 INTRODUCcedilAtildeO 14
calcula a aacuterea sob o graacuteco de uma curva qualquer que relacionam duas variaacuteveis com
grau de dependecircncia (funccedilatildeo de uma variaacutevel) E tambeacutem foi realizada uma anaacutelise da
desintegraccedilatildeo radioativa de uma substacircncia que consiste num problema interdisciplinar
amplamente discutido na Quiacutemica
Para a 2a seacuterie ou 3a seacuterie do Ensino Meacutedio de acordo com curriacuteculo escolar
baacutesico adotado a introduccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo foi realizada em para-
lelo ao estudo de geometria espacial momento em que houve uma revisatildeo do estudo de
aacutereas de guras planas poligonais e a introduccedilatildeo do caacutelculo da aacuterea de uma gura plana
que contenha algum lado curviliacuteneo Posteriormente tais ideias foram aplicadas para
demonstrar as aacutereas superciais e volumes de corpos redondos especiais (cilindros cones
e esferas) utilizando como fonte e direccedilatildeo de trabalho o meacutetodo dos indivisiacuteveis proposto
por Kepler e Cavalieri
Enm a abordagem das noccedilotildees elementares do Caacutelculo na 3a seacuterie do Ensino
Meacutedio foi construiacuteda de maneira correlacionada com o estudo (deniccedilotildees e propriedades)
das cocircnicas (paraacutebolas e hipeacuterboles)
15
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA
INSERCcedilAtildeO
O objetivo da presente pesquisa foi investigar nesse particular espaccedilo amos-
tral que percentual de graduandos teve contato com as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
durante a educaccedilatildeo baacutesica questionando quatildeo signicante foi tal experiecircncia e quais van-
tagensdesvantagens obtiveramobteriam com o contato preacute-liminar com noccedilotildees intuitivas
do Caacutelculo Aleacutem disso entrevistas foram feitas com professores (rede estadual e privada)
que atuam no Ensino Meacutedio e com professores que lecionamlecionaram a disciplina de
Caacutelculo I (limite derivada e integral) e de Fiacutesica Geral I oportunidade em que a visatildeo
dos mesmos seraacute analisada diante da problemaacutetica aqui retratada
A pesquisa foi realizada com parte da turma de 2012 do PROFMAT-UFES
via envio do questionaacuterio por e-mail dos quais apenas dez alunos retornaram respondidos
os questionaacuterios Tambeacutem participaram os vinte e quatro alunos da turma de ingresso ao
PROFMAT 2014 via questionaacuterio impresso o qual foi aplicado no dia 22 de Fevereiro de
2014 na sala 32 do Centro de Ciecircncias Exatas (CCE) da Universidade Federal do Espiacuterito
Santo (UFES) Aleacutem desses professores mestrandos responderam aos questionaacuterios parte
(dez alunos) de uma turma de graduandos (futuros e atuais professores de matemaacutetica)
pertencentes ao curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica pelo Instituto Federal do
Espiacuterito Santo (IFES) uma miacutenima (apenas oito) amostra de professores que atuam no
Ensino Meacutedio da rede estadual especicamente nas escolas da Serra Sede (EEEFM Pro-
fessor Joatildeo Loyola e EEEFM Cloacutevis Borges Miguel) uma pequena amostra de professores
que atuam somente nas faculdades particulares e com alunos graduandos em engenharia
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) que estavam praticamente concluindo o estudo da
disciplina de Caacutelculo e Fiacutesica I
Para discentes foi articulado um questionaacuterio alternativodiscursivo composto
de perguntas pertinentes agraves experiecircncias com o estudo de Caacutelculo I e em particular das
noccedilotildees de limite na educaccedilatildeo baacutesica e as vantagensdesvantagens que a aprendizagem
de tais conceitos lhe renderia A pesquisa foi realizada com uma pequena amostra de
alunos dos cursos de Licenciatura Plena em Matemaacutetica (IFES) e de Engenharia Mecacircnica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 16
(FAACZ)
Jaacute para os docentes foi pensado um questionaacuterio com escalas de classica-
ccedilatildeo em que o professor repassaria dados histoacutericos de suas experiecircncias com a disciplina
de Caacutelculo I desde a graduaccedilatildeo ateacute a realidade encontrada em sua sala de aula caso
seja professor da disciplina de Caacutelculo I com o intuito de questionar quais as facilida-
desdiculdades que a aprendizagem das noccedilotildees de limite e outras noccedilotildees baacutesicas do
Caacutelculo poderiam produzir A pesquisa foi realizada com professores da UFES do IFES
e de algumas escolas particulares que lecionaramlecionam a disciplina de Caacutelculo I em
qualquer curso superior
De acordo com uma anaacutelise geral dos dados da pesquisa foi possiacutevel constatar
que a maioria dos professores seja da rede puacuteblica ou privada atuantes na educaccedilatildeo
baacutesica (Ensino Fundamental e Meacutedio) embora tenha recebido orientaccedilatildeopreparaccedilatildeo es-
peciacuteca que os formassem de maneira satisfatoacuteria para inserir noccedilotildees intuitivas de limite
e ideias correlatas do Caacutelculo nessa fase de ensino ainda natildeo faz ideia de como aplicar
tais conceitos caso os mesmos sejam implementados no curriacuteculo baacutesico Aleacutem disso em
uma conversa informal (bate-papo apoacutes o preenchimento dos questionaacuterios) com um grupo
atuante na rede estadual foi possiacutevel constatar que haacute diculdade de ensinar a matemaacutetica
elementar quanto mais os toacutepicos que remetem o uso de citaccedilatildeo de ideias avanccediladas cujo
grau de abstraccedilatildeo eacute mais acentuado Segundo os professores os alunos chegam ao Ensino
Meacutedio com niacutevel de aprendizagem abaixo do ideal com defasagens gritantes em aritmeacutetica
baacutesica (operaccedilotildees elementares) e com problemas de domiacutenio da liacutengua portuguesa naquilo
que concerne agrave interpretaccedilatildeo de enunciados e compreensatildeo de teorias Foi de consenso
comum entre os professores pesquisados que o trabalho eacute pertinente e de fundamental
importacircncia para sanar problemas como os altos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de
Caacutelculo e Fiacutesica I Tambeacutem consentiram que caso tal pesquisa inuenciasse uma mudanccedila
no curriacuteculo baacutesico da rede estadual de ensino haveria necessidade de um curso especiacuteco
e produccedilatildeo de um material suplementar que os orientasse Aleacutem disso um seleto grupo
informou que hoje seria possiacutevel repassar algumas orientaccedilotildees somente no 3o ano apoacutes a
aplicaccedilatildeo da prova do ENEM periacuteodo em que os alunos praticamente estatildeo aprovados e
teoricamente jaacute estudaram toda a matemaacutetica elementar dos niacuteveis fundamental e meacutedio
Caso contraacuterio veem atualmente viabilidade de aplicaccedilatildeo do estudo proposto somente em
turmas oliacutempicas de matemaacutetica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 17
Os dados especiacutecos da pesquisa podem induzir uma reexatildeo draacutestica de que
os cursos superiores de formaccedilatildeo de professores de matemaacutetica embora repassem aos seus
alunos fundamentos necessaacuterios e sucientes para que os mesmos estejam habilitados para
trabalhar com a proposta presente nesse trabalho a totalidade dos professores questiona-
dos natildeo se sente seguro para repassar noccedilotildees elementares do Caacutelculo a alunos da educaccedilatildeo
baacutesica E mais a maioria dos professores eacute favoraacutevel quanto agrave grade curricular e quanto
agrave adequaccedilatildeo e suciecircncia das disciplinas de Caacutelculo durante a fase de graduaccedilatildeo Um
verdadeiro paradoxo
Segundo os professores pesquisados a assimilaccedilatildeo e o ensinoaprendizagem
dos graduandos poderiam ser melhorados via curso especiacuteco de preacute-Caacutelculo ou propondo
estrateacutegias motivadoras durante o Ensino Meacutedio Ainda armaram estarem cientes da
distacircncia enorme entre o modelo de ensino ofertada pelas Licenciaturas e a realidade dos
alunos em sala de aula aleacutem disso comentaram que a aversatildeo relativa ao ensino de toacutepi-
cos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio eacute explicada devido a experiecircnciasaprendizagens
decitaacuterias durante a fase de graduaccedilatildeo naquilo que tange a metodologia diferenciada (es-
trateacutegias didaacutetica interessemotivaccedilatildeo do professor em ensinar e utilizaccedilatildeo de recursos
didaacuteticos etc)
A partir da pesquisa tambeacutem foi possiacutevel conjecturar que a realidade atual dos
cursos de Caacutelculo pode ser melhorada com uma fuga ao modelo tradicional de ensino
Nesse iacutenterim faz-se necessaacuterio que os professores universitaacuterios estejam mais atentos agrave
didaacutetica de ensino ao planejamento de suas aulas agrave variaccedilatildeo de metodologias de aprendi-
zagem via recursos computacionais disponiacuteveis e via alternativas modernas que favoreccedilam
um aumento no rendimento escolar universitaacuterio com uma consequente reduccedilatildeo dos iacutendi-
ces de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo Eacute impossiacutevel repassar noccedilotildees elementares do
Caacutelculo para os alunos da educaccedilatildeo baacutesica se a formaccedilatildeo que os professores recebem natildeo
eacute satisfatoacuteria ao ponto de que haja seguranccedila e domiacutenio do tema Para isso eacute necessaacuterio
ampliar o leque de discussatildeo das poliacuteticas puacuteblicas educacionais com uma proposta de re-
formulaccedilatildeo dos PCN com proposiccedilatildeo de cursos de capacitaccedilatildeo de professores convenientes
e em horaacuterios adequados e com a produccedilatildeo de um material didaacutetico especiacuteco adequado
agrave realidade da educaccedilatildeo baacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que a retomada do ensino de Caacutelculo
vem acontecendo desde a deacutecada de 90 mas com a preocupaccedilatildeo de que esse posiciona-
mento natildeo venha a sobrecarregar o curriacuteculo e nem esteja distante da realidade do niacutevel
elementar o Ensino Meacutedio a ser apresentada e incluiacuteda a ideia do presente trabalho
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 18
Caso haja educadores contraacuterios a presente proposta com a justicativa de
que o curriacuteculo baacutesico jaacute estaacute abarrotado de conteuacutedos e de ser um instrumento imutaacutevel
seria interessante promover uma formaccedilatildeo completa sobre os Paracircmetros Curriculares
Nacionais e sobre o curriacuteculo baacutesico adotado com o intuito de explicar aos professores
que haacute muito interpretaccedilatildeo equivocada dos PCN dado que os mesmos devem servir como
elemento norteador indicador das habilidades e competecircncias necessaacuterias para garantir o
miacutenimo de aprendizagem signicativa e sem que seja um instrumento impositivo (dono da
verdade deus do universo etc) ou seja quem faz o curriacuteculo de Matemaacutetica eacute o professor
atrelado ao plano pedagoacutegico da escola e matrizes do ENEM
Para encerrar a anaacutelise relativa aos dados da pesquisa eacute vaacutelido salientar que
muitos professores consideraram o questionaacuterio longo e tedioso Essa aversatildeo inicial pode
representar uma justicativa aparente de que a postura dos professores quanto agrave mu-
danccedilasaiacuteda do estado de platocirc atual sempre seraacute uma barreira agrave produccedilatildeo de conheci-
mentos A presente pesquisa cujos dados estatildeo tabulados no anexo A foi realizada com
38 professores atuantes na rede publica e privada com experiecircncia no mercado Parte
desses professores (10) ainda estavam em fase de conclusatildeo do curso de Licenciatura no
IFES De acordo com os dados da pesquisa foi possiacutevel inferir que muitos desses pro-
fessores natildeo possuem o haacutebito de realizar leituras de revistas especializadas (Revista do
Professor de Matemaacutetica (RPM) Revista Caacutelculo) de livros da Sociedade Brasileira de
Matemaacutetica (SBM) de artigos de seminaacuterios de discussatildeo de educaccedilatildeo matemaacutetica e nem
possuem interesse na participaccedilatildeo em simpoacutesios bienais cursos de capacitaccedilatildeo cursos de
veratildeo etc Nesse iacutenterim eacute bom citar que aqueles poucos professores que participaram
de forma remunerada do multicurso de matemaacutetica promovido pela Secretaria Educaccedilatildeo
do Espiacuterito Santo (SEDU) informaram que natildeo houve qualquer menccedilatildeo aos toacutepicos atuais
de discussatildeo do retorno das noccedilotildees elementares do Caacutelculo ao curriacuteculo baacutesico Jaacute aque-
les que estiveram presentes no Programa de Aperfeiccediloamento de Professores do Ensino
Meacutedio (PAPEM) relataram que houve alguma citaccedilatildeo breve do assunto durante as aulas
de viacutedeo conferecircncia e em problemas propostos nas ocinas no periacuteodo vespertino
A outra tabela que consta no anexo B dessa dissertaccedilatildeo representa a tabulaccedilatildeo
dos dados da pesquisa realizada com uma amostra (32 alunos) de alunos (graduandos) do
curso de engenharia mecacircnica da FAACZ
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 19
Inicialmente eacute interessante citar que participaram da pesquisa 32 alunos em
sua maioria graduandos do sexo masculino estudantes do curso de Engenharia Mecacircnica
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) e desse total eacute importante citar que 31 graduandos
estatildeo na faixa etaacuteria abaixo dos 30 anos
De acordo com os dados analisados foi possiacutevel vericar que a faculdade dispo-
nibiliza aos seus alunos um curso de nivelamento (preacute-Caacutelculo) com o intuito de apresentar
aos alunos uma ajuda consideraacutevel para iniciarem o estudo de Caacutelculo e para minimizar a
distacircncia que haacute entre a matemaacutetica elementar promovida na educaccedilatildeo baacutesica e a mate-
maacutetica superior principalmente as noccedilotildees elementares de limite deriva e integral Nesse
curso de nivelamento foram apresentadas aos alunos situaccedilotildees problema que necessitavam
de emprego de noccedilotildees do Caacutelculo A partir da exposiccedilatildeo de problemas concretos proacutexi-
mos da realidade dos alunos foi possiacutevel introduzir de maneira construtiva toacutepicos que
exigiram o emprego de limite de derivada e integral
Segundo a maioria dos alunos o referido curso de preacute-Caacutelculo ofertado contribui
para melhorar o rendimento em todos os aspectos e responderam que caso a introduccedilatildeo
das ideias difundidas no curso de nivelamento tivessem sido realizadas durante o ensino
meacutedio haveria uma melhora consideraacutevel no ensinoaprendizagem
Ao questionar sobre a sequecircncia da histoacuteria da evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi possiacutevel
constatar que quase a totalidade dos alunos natildeo tiveram uma introduccedilatildeo histoacuterica da
evoluccedilatildeo do Caacutelculo pois a maioria deles (20 alunos) armou que a evoluccedilatildeo do Caacutelculo
estaacute em conformidade com a sequecircncia apresentada nos livros didaacuteticos Tambeacutem foi
possiacutevel perceber que o ensino de Fiacutesica I ocorreu simultaneamente com o ensino de Caacutelculo
I o que eacute uma realidade questionada nos principais cursos de exatas das instituiccedilotildees
puacuteblica e privada do Estado do Espiacuterito Santo Anal como a ementa do curso de Fiacutesica
I requer o conhecimento de um conjunto de aplicaccedilotildees e propriedades do Caacutelculo seria
loacutegico que tal curso fosse realizado apoacutes a introduccedilatildeo das ideias de limite derivada e
integral
De acordo com a pesquisa contatou-se que quase todos os alunos (27) estu-
daram via livros didaacuteticos especiacutecos de Caacutelculo de autores com bastante bagagem e
profundos conhecedores do Caacutelculo (James Stewart e George B Thomas 11a e 5a edi-
ccedilatildeo respectivamente) Do total de alunos entrevistados 5 alunos armaram ter estudado
Caacutelculo via apostilas notas de aulas e viacutedeo aula
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 20
Segundo a visatildeo dos graduandos para realizar a introduccedilatildeo das noccedilotildees ele-
mentares do Caacutelculo faz-se necessaacuterio que os alunos tenham uma base adequada de en-
sinoaprendizagem acumulada das seacuteries anteriores inclusive no Ensino Fundamental
Quanto ao aspecto conteuacutedos do Ensino Meacutedio que exigem a inserccedilatildeo das noccedilotildees elemen-
tares do Caacutelculo os graduandos citaram Funccedilotildees Sequecircncias Aacutereas e volumes em geral
Jaacute no estudo da Fiacutesica mencionaram o estudo de velocidades aceleraccedilotildees e trabalho
Quanto aos iacutendices de aprovaccedilatildeo eacute vaacutelido ressaltar que dos 32 entrevistados
somente 6 caram reprovados em Caacutelculo I A explicaccedilatildeo para esse iacutendice excelente de
aprovaccedilatildeo pode ser justicativa pelo repasse das noccedilotildees elementares do Caacutelculo via curso
de nivelamento Tambeacutem eacute vaacutelido ressaltar que a formaccedilatildeo dos docentes regentes das
disciplinas que zeram o uso das ideias de Caacutelculo para os graduandos partiacutecipes da
presente pesquisa varia da titulaccedilatildeo miacutenima de especialistas ateacute doutores
As aulas de Caacutelculo na FAACZ satildeo muito ecleacuteticas poreacutem arcaicas obsoletas
tradicionais e remetem a ideia de que a maioria dos seus professores prefere um curso de
Caacutelculo que exija uma boa formaccedilatildeo baseada numa conciliaccedilatildeo do processo demonstra-
tivoaplicativo dos teoremas e proposiccedilotildees do Caacutelculo Tambeacutem armaram de maneira
quase unacircnime e satisfatoacuteria sobre as facilidades que a utilizaccedilatildeo dos recursos didaacuteticos
(softwares de geometria dinacircmica e planilhas eletrocircnicas) proporcionaria e favoreceria o
ensinoaprendizagem dos estudantes dessa instituiccedilatildeo Em contrapartida 26 desses alu-
nos responderam natildeo ter recebido trabalhos de abordagem de modelagem matemaacutetica de
uma situaccedilatildeo real cotidiana ou melhor a maioria desses alunos armou que ainda natildeo
sabem o que eacute modelagem matemaacutetica
Quanto agrave experiecircncia desses alunos ao serem expostos agrave teoria de limites com
todas as suas formalidades foi possiacutevel constatar que o curso de nivelamento de prepa-
raccedilatildeo para o estudo de Caacutelculo contribui de forma satisfatoacuteria para melhorar o rendi-
mentoentendimento da maior parte dos graduandos Esse curso de preacute-Caacutelculo foi uma
forma de preencher a lacuna deixada pela educaccedilatildeo baacutesica principalmente pelo Ensino
Meacutedio em que segundo dados da pesquisa natildeo houve citaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de
limite nem muito menos ideias correlatas do Caacutelculo deriva e integral Nesse iacutenterim a
maioria dos alunos armou que os livros didaacuteticos existentes na educaccedilatildeo baacutesica ou satildeo
insucientes quanto ao repasse ou natildeo abordam as noccedilotildees de intuitivas do Caacutelculo E
mais um percentual consideraacutevel dos entrevistados armou jamais ter ouvido qualquer
citaccedilatildeo baacutesica das noccedilotildees de limite deriva e integral durante o Ensino Meacutedio
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 21
Essas informaccedilotildees vecircm ao encontro da nossa proposta a qual propotildee um res-
gate da inserccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas e ideias elementares do Caacutelculo durante o Ensino
Meacutedio com a nalidade de preparar o aluno para ingressar no estudo de Caacutelculo e com
o intuito de justicar proposiccedilotildees elementares com argumentos satisfatoacuterios sem fuga
desculpa ou enrolo Essa inserccedilatildeo deve ser direcionada e atrelada agrave evoluccedilatildeo histoacuterica
do Caacutelculo com um material especiacuteco devido agrave insuciecircncia dos materiais didaacuteticos
existentes no mercado e com atividades interdisciplinares no estudo de Fiacutesica e Quiacutemica
principalmente E mais deve existir um curso especiacuteco de preparaccedilatildeo aos professores
da educaccedilatildeo baacutesicasuperior e a inclusatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo nos PCNEM
com intuito de estimularraticar o repasse das ideias e de contribuir para elevar o rendi-
mento dos estudantes no estudo de Caacutelculo em cursos superiores posteriores pois assim
os educadores receberatildeo a formaccedilatildeo necessaacuteria para trabalharem com maior destreza e
seguranccedila via recursos didaacuteticos disponiacuteveis (softwares educacionais quadro multimeios
laboratoacuterios de matemaacutetica jogos matemaacuteticos etc)
22
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO
CAacuteLCULO
Figura 31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo
Fonte wwwmatematicabrhistoriaprhindhtml[34]
A evoluccedilatildeo do Caacutelculo da origem intuitiva (ideias remotas) ateacute o rigoroso pa-
dratildeo adotado nos livros atuais foi marcada pelas contribuiccedilotildees de diversos estudiosos
dentre os quais pode-se citar em ordem cronoloacutegica de destaque Ahmes (ou Ahmose
escriba egiacutepcio) babilocircnicos Hiacutepias Zenatildeo (ou Zeno de Eleacuteia) Eudoacutexio (ou Eudoxos)
Demoacutecrito Arquimides Papus Kepller Descartes Fermat Roberval Torricelli Cavali-
eri Wallis Barrow Newton Leibnitz famiacutelia Bernoulli De Moivre Taylor Maclaurin
Euler Clairaut DAlembert Lambert Lagrange Laplace Legendre Monge Carnot
Gauss Fourier Poisson Bolzano Cauchy Abel Galois Jacobi Dirichlet Weierstrass
e Riemann Eacute vaacutelido ressaltar que outros personagens zeram contribuiccedilotildees favoraacuteveis
e que natildeo foram mencionados para natildeo haver fuga ao escopo principal dessa pesquisa
Aleacutem disso os personagens destacados foram formidaacuteveis e providenciais para o desen-
volvimento aprimoramento potencialidade aplicabilidade formalidade e padronizaccedilatildeo
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 23
loacutegica do Caacutelculo
A partir do seacuteculo XV II eacute que se evidenciou a evoluccedilatildeo formal no desenvolvi-
mento do Caacutelculo apesar de suas noccedilotildees intuitivas serem encontradas por volta de 1650
aC isto eacute dezessete seacuteculos anteriores aos tempos da era cristatilde foi encontrado no papiro
Rhind cuja coacutepia foi realizada pelo escriba Ahmes (ou Ahmose) evidecircncias de que os
egiacutepcios descobriram de maneira correta que o volume de uma piracircmide de base qua-
drada equivale a 13do volume do prisma retangular de mesma base e mesma altura Eacute
vaacutelido ressaltar que natildeo havia demonstraccedilatildeo de tal relaccedilatildeo nem deveria pois para checar
a veracidade com rigor e precisatildeo eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees de innitesimais perten-
centes ao Caacutelculo Aleacutem dos indiacutecios encontrados nesse papiro tambeacutem foram descobertos
tabulas cuneiformes babilocircnicas que destacam problemas relacionados ao Caacutelculo especi-
camente no algoritmo iterativo empregado para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero
racional e na mensuraccedilatildeo de guras planas
Conforme BOYER [4] (1992 p2)
() Jaacute no seacuteculo XV II aC os babilocircnicos aplicaram sua aacutelgebra admi-ravelmente exiacutevel a uma ampla gama de problemas praacuteticos incluindomensuraccedilatildeo de guras Conhecendo o teorema de Pitaacutegoras acharamcorretamente a diagonal de um quadrado ateacute o equivalente a meia duacuteziade casas decimais Tomavam a aacuterea do ciacuterculo geralmente como o tri-plo da aacuterea do quadrado sobre ao raio ma em pelo menos uma ocasiatildeousaram para uma aproximaccedilatildeo melhor 31
8 ()
Embora egiacutepcios e babilocircnicos em niacutevel mais acentuado tenham deixado evi-
dente a habilidade em aacutelgebra natildeo se pode dizer o mesmo em relaccedilatildeo agrave loacutegica empregada
Nesse sentido de preocupaccedilatildeo com o rigor loacutegico a partir de princiacutepios baacutesicos destacam-
se os trabalhos desenvolvidos na Greacutecia desde a descoberta da incomensurabilidade por
Hiacutepias (c de 425 aC) perpassando pelos quatro paradoxos propostos pelo loacutesofo Ze-
natildeo de Eleacuteia (c de 450 aC) que indicavam a existecircncia de um processo innito e pelo
brilhante trabalho de Eudoacutexio (ou Eudoxo cerca 370 aC) que propocircs uma teacutecnica de
comprovaccedilatildeo de validade de uma proposiccedilatildeo o meacutetodo da Exaustatildeo o qual eacute considerado
um prenuacutencio mais proacuteximo do Caacutelculo por parte de estudiosos gregos ateacute o aacutepice das
experiecircncias argumentos (reduccedilatildeo ao absurdo duplo) e meacutetodos bastante precisos desen-
volvidos por Arquimedes (287 minus 212 aC) para obter suas demonstraccedilotildees rigorosas das
foacutermulas de aacutereas e volumes em que frequentemente guravam seacuteries innitas
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 24
Consideradas duas grandezas desiguais se da maior subtraiacutemos umagrandeza maior que sua metade e da que resta uma grandeza maiorque sua metade e se este processo eacute repetido continuamente restaraacuteuma grandeza que seraacute menor que a menor das grandezas consideradas(BOYER [4] 1992 p 4)
Segundo BOYER [4] (1992 p 4) de maneira geral eis uma das citaccedilotildees mais
elementares das noccedilotildees de limites se A eacute a maior das duas grandezas dadas (positivas)
a e A e se un = A2n
entatildeo limnrarrinfin un = 0 lt a
De acordo BOYER [4]
Deve-se notar que enquanto a notaccedilatildeo moderna recorreu ao siacutembolo deinnito a linguagem antiga cuidadosamente evitava qualquer referecircnciaaberta a um processo innito As duas formulaccedilotildees no entanto natildeo es-tatildeo distantes quanto a seu signicado Para mostrar que limnrarrinfin un = 0deve-se demonstrar que dado um nuacutemero ε positivo mesmo que pequeno(o equivalente da grandeza menor a na proposiccedilatildeo de Euclides) pode-seachar um inteiro N (o equivalente da frase de Euclides se este processoeacute repetido continuamente) tal que para n gt N vale a relaccedilatildeo un lt εO Caacutelculo de Euclides (derivado presumivelmente de Eudoacutexio) pode tersido menos efetivo que o de Newton e Leibniz dois milecircnios mais tardemas em termos de ideias baacutesicas natildeo estava muito longe do conceitode limite usado rudemente por Newton e aprimorado no seacuteculo XIX(1992 p 5)
O uacuteltimo matemaacutetico dos tempos medievais a realizar contribuiccedilotildees favoraacuteveis
agrave evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi Papus (c de 320 dC) A partir daiacute houve um decliacutenio um ver-
dadeiro breu secular e histoacuterico de difusatildeoemancipaccedilatildeoevoluccedilatildeoativaccedilatildeo dos conceitos
do Caacutelculo Somente apareceraacute novamente discussatildeo proacutexima agrave teoria do Caacutelculo nos tem-
pos modernos por meio dos trabalhos de Nicole Oresme no seacuteculo XIV e Regiomontanus
no seacuteculo XV
O seacuteculo XV I foi o periacuteodo de reativaccedilatildeo do desenvolvimento dos concei-
tos principais do Caacutelculo Destacam-se nessa empreitada os trabalhos de Simon Stevin
(1548 minus 1620) e Luca Valerio (cerca de 1552 minus 1618) que evitaram a dupla reduction
ad absurdum do meacutetodo da exaustatildeo e zeram uso de um meacutetodo que fazia uma passa-
gem direta ao limite Aliaacutes Stevin o Arquimedes Holandecircs foi o primeiro a demonstrar
numericamente que uma sequencia de nuacutemeros tendia a um valor limite ao analisar pro-
posiccedilotildees relacionadas ao estudo de pressatildeo de uidos embora admitir mais credibilidade
ao tratamento geomeacutetrico
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 25
Nessa linha de defesa observe o relato EVES [11]
()Stevin usava esse meacutetodo em seu trabalho no campo da hidrostaacute-tica para determinar a forccedila exercida pela pressatildeo de um uido sobreum dique vertical Basicamente sua ideia consistia em dividir o diqueem faixas horizontais e entatildeo fazer cada uma girar em torno de suasbordas superior e inferior ateacute que elas se tornassem paralelas ao planohorizontal Fundamentalmente eacute esse o meacutetodo usado loje em dia emnossos textos elementares de Caacutelculo (2004 [11] p424)
Aleacutem de Stevin Johann Kepler (1573minus 1630) e Galileu Galilei (1564minus 1642)
foram pioneiros a evitar os rigores do meacutetodo da exaustatildeo apesar de utilizar incessante-
mente os meacutetodos de Arquimedes Devido a tal atitude foram os responsaacuteveis pela mudan-
ccedilasmodicaccedilotildees no panorama da anaacutelise innitesimal (innitamente grande e innita-
mente pequeno) Nesse sentido eacute vaacutelido ressaltar que Kepler heuriacutestico demasiadamente
para ganhar tempo e economizar trabalho utilizou a adiccedilatildeo de grandezas innitamente
pequenas quando imaginou o volume de cada barril de vinho formado por uma enorme
quantidade de secccedilotildees circulares com altura tendendo a zero e ainda segundo EVES [11]
(2004 p 424) considerava uma circunferecircncia como um poliacutegono regular de um nuacutemero
innito de ladose a partir desse raciociacutenio pode-se estendecirc-lo para caracterizar uma es-
fera como uma reuniatildeo de innitas piracircmides com as peculiaridades de serem delgadas e
com veacutertice coincidente com o centro da esfera
O seacuteculo XV II eacutepoca em que se destacaram os trabalhos elaborados por
Cavalieri Torricelli (1608 minus 1647) Roberval (1602 minus 1675) Descartes Fermat Wallis
Barrow Newton e Leibniz houve uma consideraacutevel produtividade do desenvolvimento da
matemaacutetica com a criaccedilatildeo da geometria analiacutetica e evoluccedilatildeo das teacutecnicas de quadratura
eou cubatura as quais satildeo empregadas a curvas e soacutelidos especiacutecos ou famiacutelias de cur-
vas Eacute vaacutelido ressaltar que o conceito de limite natildeo foi utilizado pelos ceacutelebres nomes
citados nem sequer reconheciam e perceberam a necessidade da fundamentaccedilatildeo de tal
teoria Dentre os diversos estudos de destaque potencial nesse periacuteodo mencionaremos
a contribuiccedilatildeo de Bonaventura Cavalieri (1598 minus 1647) com seu brilhante meacutetodo dos
indivisiacuteveis (Geometria indivisibilibus) em que nos apresenta as preacutevias dos atuais prin-
ciacutepios de Cavalieri ferramentas essenciais para o Caacutelculo Integral moderno e os estudos
de Reneacute Descartes (1596 minus 1650) e Pierre de Fermat (de 1509 ateacute 1608 ou 1601 minus 1665)
com contribuiccedilotildees pontuais para a fundamentaccedilatildeo e para o desenvolvimento da Geometria
Analiacutetica
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 26
Apoacutes o desenvolvimento do campo da geometria analiacutetica as bases do Caacutelculo
moderno estavam prontas para se tornar cada vez mais evidentes e direcionadas agrave reso-
luccedilatildeo dos dois problemas fundamentais do Caacutelculo encontrar retas tangentes a curvas
e determinar valores exatos para aacutereas de regiotildees limitadas pelo menos em parte por
curvas (problemas de quadratura) Nesse sentido faz-se necessaacuterio citar as contribuiccedilotildees
de grande magnitude de um francecircs Fermat trecircs ingleses John Wallis (1616minus1703) Isaac
Barrow (1630minus 1677) Isaac Newtow (1642minus 1727) e um alematildeo Gottfried Wilhelm Leib-
niz (1646minus1716) para o que futuramente seria batizado de Caacutelculo Diferencial e Integral
Eacute vaacutelido ressaltar que tanto o Newton quanto o Leibniz de maneira independente foram
os responsaacuteveis pelo desenvolvimento das bases notaacuteveis do Caacutelculo moderno e por isso
satildeo considerados responsaacuteveis pela invenccedilatildeo
Note que em momento algum foi destacada a necessidade de utilizaccedilatildeo da
teoria de limite Embora tal conceito tenha sido negligenciado em diversos trabalhos eacute
importante destacar que Newton foi o pioneiro no reconhecimento do papel fundamental
que o limite iria desempenhar no desenvolvimento de problemas relativos ao Caacutelculo
(tangecircncias quadraturas e ans) Tal armativa pode ser constatada em seu Livro I
do Principia Mathematica (1687) na qual haacute uma tentativa de formular um conceito de
limite De acordo com BOYER [3]
Quantidades e as razotildees de quantidades as quais em qualquer temponito convergem continuamente para igualdade e antes do nal daqueletempo se aproximam entre si por qualquer dada diferenccedila tornam-seiguais no nal (BOYER [3] 1996 p 274)
O desenvolvimento da matemaacutetica e em particular as aplicaccedilotildees do Caacutelculo
durante o seacuteculo XV III XIX e XX eacute repleto de histoacuterias esplecircndidas e momentos de
contribuiccedilotildees memoraacuteveis agrave expansatildeo da aplicabilidade das teorias relacionadas ao estudo
de Caacutelculo Vaacuterios satildeo os nomes que se destacaram membros da famiacutelia Bernoulli G
F A de LHospital (1661 minus 1704) Johann I (1667 minus 1748) Nicolas I (1687 minus 1759) e
Daniel (1700minus1782) Brook Taylor (1685minus1731) Leonhard Euler (1707minus1783) e Alexis
Claude Clairaut (1713minus1765) Colin Maclaurin (1698minus1746) Jean Le Rond DAlembert
(1717minus 1783) Joseph-Louis Lagrange (1736minus 1813) etc Dentre os ceacutelebres citados os
quais natildeo estabeleceram uma fundamentaccedilatildeo rigorosa para o Caacutelculo eacute vaacutelido destacar
na corrida pela formalizaccedilatildeo do conceito de limite (pilar baacutesico do Caacutelculo ensinado nos
dias de hoje) uma deniccedilatildeo especial como a que foi posta na ceacutelebre Encyclopeacutedie
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 27
(1751 minus 1776) em que DAlembert ponderou que para denir a derivada precisamente
era necessaacuterio entender as noccedilotildees de limite primeiro
Uma quantidade eacute o limite de uma outra quantidade quando a segundapuder se aproximar da primeira dentro de qualquer precisatildeo dada natildeoimporta quatildeo pequena apesar da segunda quantidade nunca exceder aquantidade que ela aproxima (DALEMBERT 1772 apud FINNEYWEIR GIORDANO 2002 [12])
No nal do seacuteculo XV III e durante todo o seacuteculo XIX foi o periacuteodo de
contribuiccedilotildees dos renomados Carl Friedrich Gauss (1777minus 1855) Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768minus 1830) Bernhard Bolzano (1781minus 1848) Augustin Louis Cauchy (1789minus
1857) Niels Henrik Abel (1802minus1829) Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805minus1859) e Karl
Weierstrass (1815minus 1897) Nesse periacuteodo em que houve um estudo cuidadoso e rigoroso
em busca da deniccedilatildeo de limite destacaremos o trabalho desenvolvido por Cauchy (aluno
de Lagrange na Escola Politeacutecnica) e Weierstrass O primeiro embora tenha deixado
de lado a preocupaccedilatildeo com alguns detalhes teacutecnicos foi responsaacutevel por apresentar a
deniccedilatildeo mais proacutexima de limite que conhecemos atualmente Jaacute o segundo restabeleceu
o conceito original de limite proposto por Cauchy com tratamento estritamente aritmeacutetico
e utilizando apenas valores absolutos e desigualdades Weierstrass aleacutem de corrigir os
descuidos e erros de Cauchy formulou a deniccedilatildeo de limite empregada nos diversos livros
de Caacutelculo da era moderna na matemaacutetica e continuou suas contribuiccedilotildees estabelecendo
todo o rigor aritmeacutetico adotado no Caacutelculo e na anaacutelise matemaacutetica
Segundo BOYER [3] eacute creditada a Cauchy a introduccedilatildeo de limite de maneira
aperfeiccediloada quando publicou em 1821 em seu Cours danalyse de lEacutecole Polytechnique
Quando os valores sucessivos atribuiacutedos a uma variaacutevel aproximam-se indenidamente de
um valor xo chegando a diferir dele tatildeo pouco quanto se deseje este uacuteltimo eacute chamado
limite de todos os outros Jaacute a Weierstrass de acordo Boyer coube o trabalho de explicar
de maneira elegante e precisa substituir as ideias vagas de aproximaccedilatildeo na deniccedilatildeo de
limite de Cauchy-Bolzano por ideias que utilizavam eacutepsilon-deltacom uma linguagem
puramente numeacuterica
() Diz-se que L eacute um limite da funccedilatildeo f(x) para o valor x = a sedado qualquer nuacutemero positivo ε existe um nuacutemero positivo δ tal que|f(x)L| lt ε para qualquer x que verique 0 lt |xa| lt δ (BOYER [4]1992 p 27)
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 28
De acordo com o levantamento histoacuterico realizado eacute possiacutevel constatar que
por diversos seacuteculos o conceito de limite foi um tanto vago confuso losoacuteco intuitivo
indenido impreciso imperceptiacutevel negligenciado dentre outros inuacutemeros adjetivos cor-
relacionados A matemaacutetica moderna foi desfrutar das noccedilotildees de limite somente durante
o periacuteodo europeu intitulado de Iluminismo nal do seacuteculo XV III e iniacutecio do seacuteculo
XIX Jaacute a deniccedilatildeo formal (rigorosa loacutegica e correta) apresentada nos livros de Caacutelculo
atuais foi formalizada por volta do ano 1856 (haacute uns 160 anos)
Figura 32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1 + 2460
+ 51602
+ 10603
= 1414212
Fonte ptwikipediaorgwikiMatemaacuteticababilnica[35]
29
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA
EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA
Segundo os anais da histoacuteria da Matemaacutetica a constataccedilatildeo da presenccedila das no-
ccedilotildees de limite iniciou desde os tempos antigos ateacute o desenrolar da invenccedilatildeoevoluccedilatildeoaplicaccedilatildeo
do Caacutelculo (seacuteculos XV II XV III XIX) De acordo com BOYER [4] tal descoberta
jaacute impressionava e tirava o sono de estudiosos gregos
() Foi um choque para a comunidade matemaacutetica grega tomar conheci-mento de que haacute coisas como segmentos de reta incomensuraacuteveis e que aocorrecircncia dessa situaccedilatildeo eacute espantosamente comum isto eacute que conceitosans ao Caacutelculo aparecem nas mais elementares situaccedilotildees Os diaacutelogosde Platatildeo mostram que os matemaacuteticos da eacutepoca caram profundamentepertubados com essa descoberta (BOYER [4] 1992 p 3)
Ainda nessa linha assim se pronunciou EVES [11]
() Esses conceitos tecircm tanto alcance e tantas implicaccedilotildees no mundomoderno que talvez seja correto dizer que sem algum conhecimento delesdicilmente hoje uma pessoa poderia considerar-se culta (EVES [11]2004 p 417)
Eacute importante ressaltar que a ordem do desenvolvimento histoacuterico do Caacutelculo
foi diferente da ordem apresentada nos livros textos e cursos baacutesicos sobre o assunto isto
eacute houve inicialmente o surgimento do Caacutelculo Integral e muito tempo depois apareceram
os conceitos ligados ao Caacutelculo Diferencial Segundo EVES [11]
() A ideia de integraccedilatildeo teve origens em processos somatoacuterios ligadosao caacutelculo de certas aacutereas e certos volumes e comprimentos A diferen-ciaccedilatildeo criada bem mais tarde resultou de problemas sobre tangentes acurvas e questotildees sobre maacuteximos e miacutenimos Mais tarde ainda vericou-se que a integraccedilatildeo e a diferenciaccedilatildeo estatildeo relacionadas entre si sendocada uma delas operaccedilatildeo inversa da outra (EVES [11] 2004 p 417)
Assim eacute possiacutevel vericar uma gama de assuntos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular nas fases nais do Ensino Fundamental e durante o Ensino Meacutedio que evocam as
ideias correlatas do Caacutelculo e em particular as noccedilotildees de limite Embora seja possiacutevel
constatar a presenccedila das noccedilotildees de limite e de integral no Ensino Fundamental haacute um
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 30
consenso de que natildeo eacute pedagogicamente correto destacar a presenccedila de tais conceitos nessa
fase dado que um nuacutemero consideraacutevel de alunos ainda natildeo possui maturidade (manipula-
ccedilatildeo algeacutebrica soacutelida poder de abstraccedilatildeo consolidado domiacutenio amplo da aritmeacutetica etc)
suciente para compreender tamanho grau de abstraccedilatildeoexigecircncia Caso haja alunos com
tal capacidade eacute recomendado propor em aulas especiais direcionadas didaticamente com
a linguagem de assimilaccedilatildeo proacutepria bem proacutexima dos alunos Nesse iacutenterim a presenccedila
da noccedilatildeo intuitiva de limite e ideais correlatas de integral pode ser destacada de forma
construtiva e com grau de abstraccedilatildeo passiacutevel de entendimento em pelo menos trecircs pontos
especiacutecos estudados no Ensino Fundamental a primeira abordagem pode ser inserida
a partir do momento em que o professor inicia o estudo dos nuacutemeros racionais (diacutezimas
perioacutedicas) o segundo enfoque pode ser aplicado ao demonstrar de maneira completa o
Teorema de Tales e a terceira citaccedilatildeo deve ocorrer ao estudar aacutereas de guras planas
principalmente ao apresentarprovar a aacuterea de uma regiatildeo retangular A exibiccedilatildeo desses
toacutepicos direcionada ao Ensino Fundamental pode ser conferida ao realizar a leitura do
capiacutetulo referente agraves sequencias didaacuteticas sugeridas posteriormente nessa dissertaccedilatildeo
Na ordem cronoloacutegica e didaacutetica dos livros atuais de matemaacutetica do Ensino
Meacutedio nota-se a necessidade de introduccedilatildeo das noccedilotildees de limite jaacute na 1a seacuterie Ao estudar
a representaccedilatildeo decimal de nuacutemeros racionais innitos e perioacutedicos jaacute se faz uso impliacutecito
do conceito de limite Nessa mesma linha ao apresentar os nuacutemeros irracionais e reais
tambeacutem eacute necessaacuterio em diversos pontos citar a ideia de limite Em seguida haacute necessidade
de mencionar a referida teoria ao estudar as minuacutecias de uma funccedilatildeo seja ela qual for
principalmente ao realizar a anaacutelise graacuteca Tambeacutem eacute possiacutevel vericar a aplicabilidade
de limite ao estudar sequecircncias em particular e em maior grau ao estudar a soma de uma
seacuterie convergente (progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo (q) denida por (0 lt |q| lt 1) Aleacutem
disso pode-se adaptar a referida soma numa aplicaccedilatildeo praacutetica usual e diaacuteria que consiste
no estudo de capitalizaccedilatildeo contiacutenua em Matemaacutetica Financeira (deniccedilatildeo do nuacutemero de
Euler) Eacute possiacutevel promover atividades interdisciplinas com a Fiacutesica e com a Quiacutemica
Relativamente agrave primeira justica-se a correspondecircncia durante o estudo de Mecacircnica
(velocidade e aceleraccedilatildeo instantacircnea trabalho realizado por uma forccedila etc) Enquanto
a segunda a associaccedilatildeo pode ser feita durante o estudo de Desintegraccedilatildeo Radioativa Ao
estudar Geometria plana eacute possiacutevel embutir agraves noccedilotildees de limite ao inserir o conceito de
grandezas incomensuraacuteveis ao demonstrar o Teorema de Tales e consequentemente ao
aplicaacute-lo ao estudo de semelhanccedila de triacircngulos e nalmente ao introduzir o estudo de
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 31
aacutereas de guras planas (ciacuterculo e suas partes segmento paraboacutelico hipeacuterboles etc) em
particular aquelas que apresentam pelo menos um lado curviliacuteneo
Durante a 2a seacuterie ou fase nal da 1a haacute necessidade de menccedilatildeo a ideia de
limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas aleacutem de aparecer ao estudar aacutereas
superciais e volumes de soacutelidos geomeacutetricos Tambeacutem nota-se indiacutecio ao estudar o caacutel-
culo de determinantes ao discutir sistemas lineares ao resolver problemas de contagem
(somatoacuterios de seacuteries especiacutecas) pertencentes agrave anaacutelise combinatoacuteria e ao investigar de-
terminadas probabilidades associadas a problemas baacutesicos De maneira interdisciplinar
constata-se a necessidade de ecircnfase no estudo do trabalho realizado por um gaacutes numa
transformaccedilatildeo isoteacutermica (Lei de Boyle) por exemplo
Jaacute na 3a seacuterie eacute possiacutevel incrementar o estudo de Geometria Analiacutetica Cocircnicas
e Polinocircmios com uma abordagem que evoque o emprego das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo
(limite derivada e integral) Aleacutem disso eacute possiacutevel promover atividades suplementares
que apliquem as ideias correlatas do Caacutelculo em toacutepicos do estudo de eletricidade (campo
eleacutetrico potecircncia corrente etc)
32
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS
A importacircncia do estudo de limites derivadas e integrais pode ser vericada
ao analisar os nuacutemeros relativos agraves grades dos cursos ofertados pelas universidades fe-
derais e por algumas faculdades particulares Por exemplo a Universidade Federal do
Espiacuterito Santo (UFES) oferece 90 cursos de graduaccedilatildeo (total de 4975 vagas anuais) e des-
ses haacute uma variedade de cursos cujas ementas empregam direta ou indiretamente noccedilotildees
elementares de Caacutelculo tais como Fiacutesica Quiacutemica Estatiacutestica Matemaacutetica Ciecircncias Bi-
oloacutegicas Administraccedilatildeo Arqueologia Medicina Farmaacutecia Ciecircncias Contaacutebeis Ciecircncias
Econocircmicas Engenharias Arquitetura e Urbanismo Psicologia Agronomia Zootecnia
Sistemas de Informaccedilatildeo Desenho Industrial Tecnologia Mecacircnica Oceanograa e Ciecircncia
da Computaccedilatildeo Dentre os cursos de bacharelados e licenciaturas distribuiacutedos em turnos
(Diurno Vespertino e Noturno) e espalhados pelo Campus da UFES mais de 50 neces-
sita do conhecimento de ideias correlatas do Caacutelculo isto eacute mais da metade dos futuros
prossionais a serem formados pela UFES precisam estudar impliacutecita ou explicitamente
noccedilotildees de limite derivada e integral
Somente os dados relatados no paraacutegrafo anterior seriam sucientes para jus-
ticar o retorno do emprego de noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo no Ensino Meacutedio poreacutem haacute
outros fatores que reforccedilam a temaacutetica abordada nesse trabalho De acordo com informa-
ccedilotildees fornecidas pelos meios regulamentadores da educacional nacional de niacutevel superior
na aacuterea de Engenharias haacute uma reduccedilatildeo (nos vestibulares do paiacutes) no nuacutemero de inscritos
em cursos de exatas e aumento constante da evasatildeo dos alunos matriculados em cursos
que envolvam o emprego de elementos do Caacutelculo em particular os de engenharia de-
vido agrave diculdade encontrada pelos alunos via anaacutelise preliminar da grade curricular do
curso pretendidoe em parte pelo fato de natildeo receber orientaccedilotildees sobre toacutepicos correlatos
do caacutelculo diferencial e integral no ensino fragmentado e desmotivador promovido pela
maioria das escolas brasileiras haacute seacuteculos em geral natildeo estar sendo realizado um traba-
lho interdisciplinar signicativo e com respaldo de preparaccedilatildeo para o ingresso futuro no
ensino superior
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 33
Uma proposta de mudanccedila desse panorama preocupante pode ser realizada via
inclusatildeo de conceitos baacutesicos do Caacutelculo Diferencial e Integral no Ensino Meacutedio fato que
proporcionaria aos alunos aulas motivadoras interdisciplinares e mais proacuteximas da reali-
dade dos alunos com uma discussatildeo mais ampla natural generalizada e contextualizada
de conteuacutedos do proacuteprio Ensino Meacutedio Entretanto para que essa inclusatildeo ocorra eacute ne-
cessaacuterio que os cursos de Licenciatura em Matemaacutetica formem professores capazes de lidar
com essa realidade Sendo assim o Caacutelculo Diferencial e Integral deve ser apresentado
aos licenciandos como uma disciplina baacutesica poreacutem ampla e integradora propiciando aos
futuros professores uma visatildeo mais geral e segura dos conteuacutedos do Ensino Meacutedio Eacute im-
portante salientar que haacute estados brasileiros que apresentam noccedilotildees de Caacutelculo em seus
curriacuteculos escolares baacutesicos do Ensino Meacutedio
Antes de iniciar as consideraccedilotildees quanto agrave existecircncia ou natildeo das noccedilotildees intui-
tivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo nos livros dos diversos autores renomados
cujos livros didaacuteticos satildeo amplamente adotados para tornar completa a breve discussatildeo
histoacuterica e embasada pela opiniatildeo de diversos autores eacute salutar a realizaccedilatildeo de um diag-
noacutestico informal da situaccedilatildeo em que se encontram os cursos de que necessitam do emprego
da disciplina de Caacutelculo em suas grades curriculares Aleacutem disso faremos uma reexatildeo
do ensino de matemaacutetica no Brasil
Segundo a LDB [30] o Ensino Meacutedio eacute a etapa nal da educaccedilatildeo baacutesica(Art35)
e o mesmo deve possuir um curriacuteculo com a caracteriacutestica da terminalidade isto eacute segundo
o PCNEM (2000) [20] o Ensino Meacutedio deve ser capaz de
() assegurar a todos os cidadatildeos a oportunidade de consolidar e apro-fundar os conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental aprimoraro educando como pessoa humana possibilitar o prosseguimento de estu-dos garantir a preparaccedilatildeo baacutesica para o trabalho e a cidadania dotaro educando dos instrumentos que o permitam continuar aprendendotendo em vista o desenvolvimento da compreensatildeo dos fundamentos ci-entiacutecos e tecnoloacutegicos dos processos produtivos(Art35 incisos I a IV)(PCNEM [21] 2000 p 9)
Fazer com que haja continuaccedilatildeo dos estudos posteriormente em niacuteveis superi-
ores eacute uma meta arrojada uma vez que os resultados das avaliaccedilotildees institucionais como o
Sistema Nacional de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) e o Exame Nacional do Ensino
Meacutedio (ENEM) cujas provas satildeo produzidas pelo governo federal indicam um iacutendice de
fracasso ao teacutermino do ensino meacutedio pois uma parcela consideraacutevel dos formandos apre-
sentam diculdades baacutesicas na compreensatildeo de conceitos e procedimentos fundamentais
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 34
quanto agraves operaccedilotildees aritmeacuteticas e compreensatildeo geral via interpretaccedilatildeo Contudo ainda
se faz necessaacuterio propor algo que facilite a vida desses alunos pois aqueles que ingressam
no ensino superior em especial aos cursos que necessitam de uma veia na aacuterea de exatas
vatildeo se deparar com a disciplina de Caacutelculo que requer o domiacutenio amplo da matemaacutetica
baacutesica para conseguir acompanhar o grau de abstraccedilatildeo a ser introduzido por meio da
compreensatildeo das noccedilotildees iniciais de limite derivada e integral
De acordo com NIETO (2005 p7) [36] eacute certo que uma reforma deveria ser
iniciada nos ensinos fundamental e meacutedio no entanto esse aluno estaacute chegando ao curso
superior e noacutes professores universitaacuterios natildeo podemos enviaacute-los de volta E mais eacute
possiacutevel constatar que a situaccedilatildeo vem se agravando nos uacuteltimos anos devido agraves diculda-
des de aprendizagem de Matemaacutetica no Ensino Fundamental e Meacutedio evidenciadas pelos
resultados das avaliaccedilotildees sob a coordenaccedilatildeo do INEP tais como as provas do Sistema de
Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) do Exame Nacional do Ensino Meacutedio (ENEM)
e do Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo de Alunos (PISA) Essa conjuntura implica
diretamente na avaliaccedilatildeo da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral pois os alunos
com pouca bagagem de matemaacutetica baacutesica certamente produziratildeo rendimentos aqueacutem
das possibilidades contribuindo para o aumento dos iacutendices de reprovaccedilatildeo na referida
disciplina Isso nos conduz ao seguinte raciociacutenio Por que natildeo incluir na preparaccedilatildeo dos
alunos do Ensino Meacutedio toacutepicos que faccedilam a conexatildeo com os conceitos do Caacutelculo Dife-
rencial e Integral (um curso de nivelamento preacute-caacutelculo) Por que natildeo criar estrateacutegias
didaacuteticas que promovam a interdisciplinaridade e transforme o aprendizado dos conteuacute-
dos mais sosticado Com absoluta certeza eacute notoacuterio entre os professores e alunos via
anaacutelise de questionaacuterios acessiacuteveis em anexos que tais iniciativas podem tornar o extenso
curriacuteculo menos complexo mais loacutegico e ainda repleto de conteuacutedos natildeo fragmentados e
com signicados respaldados nas diversas contextualizaccedilotildees e interdisciplinaridades dis-
poniacuteveis e acessiacuteveis ao dia-a-dia do aluno Isto eacute eacute possiacutevel ensinar toacutepicos intuitivos
de limite derivada e integral durante o Ensino Meacutedio tanto na Matemaacutetica quanto na
Fiacutesica e Quiacutemica poreacutem eacute necessaacuterio realizar mudanccedilas nos PCN no curriacuteculo baacutesico
escolar capacitar professores e produzir material suplementar que preencha as lacunas
encontradas nos principais livros didaacuteticos utilizados atualmente
Num artigo publicado na RPM o professor Geraldo AacuteVILA [1] faz o seguinte
questionamento sobre a inclusatildeo de toacutepicos do Caacutelculo no Ensino Meacutedio
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 35
Por que natildeo ensinamos Caacutelculo na escola de segundo grau Seraacute queeacute um assunto muito difiacutecil Foi sempre assim no passado ou jaacute houveeacutepoca em que o Caacutelculo era ensinado na escola secundaacuteria E nos outrospaiacuteses como eacute a situaccedilatildeo Eacute ou natildeo conveniente introduzir o Caacutelculo noensino Por que Como fazer isso (AacuteVILA [1] 1991 p1)
Eacute vaacutelido ressaltar que uma introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial e Integral jaacute
esteve presente no curriacuteculo escolar baacutesico Segundo CARVALHO (1996) [5] a participaccedilatildeo
ocorreu em dois momentos distintos em 1891 com a reforma proposta por Benjamim
Constant no iniacutecio da Repuacuteblica foi a primeira oportunidade em que houve constataccedilatildeo
da presenccedila e a segunda iniciou em 1942 durante a Reforma Capanema ocorrida no
governo de Getuacutelio Vargas permanecendo ocialmente ateacute 1961 Durante as deacutecadas de
60 e 70 inuenciado pelo movimento da Matemaacutetica Moderna o ensino brasileiro sofreu
mudanccedilas consideraacuteveis dentre elas a exclusatildeo do Caacutelculo do programa baacutesico de ensino
Tambeacutem eacute importante citar que ateacute nos dias atuais ainda encontra-se alguns
livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio que fazem menccedilatildeo a toacutepicos relativos ao Caacutelculo em-
bora sejam negligenciados por parte dos professores e gestores com o pretexto de que
ampliariam o jaacute extenso curriacuteculo e aleacutem disso a linguagem empregada eacute inacessiacutevel aos
estudantes isto eacute quando haacute presenccedila no livro didaacutetico natildeo ocorre inclusatildeo no curriacuteculo
escolar baacutesico Na verdade o que se faz nos dias atuais nas escolas de Ensino Meacutedio das
redes puacuteblica e privada eacute um verdadeiro curso preacute-ENEM (curso preacute-vestibular) extensivo
aos trecircs anos de estudo no Ensino Meacutedio com o intuito de promover a instituiccedilatildeo com
iacutendices de aprovaccedilatildeo em faculdades e universidades do paiacutes em detrimento ao estiacutemulo a
um ensino construtivo signicativo e passiacutevel de ser aproveitaacutevel em estudos posteriores
no ensino superior ou tecnoloacutegico Imagine como reagiria um professor enclausurado nesse
sistema de ensino que prioriza conteuacutedos fragmentados e sem signicados ao ser questi-
onado com uma pergunta simples do tipo O que eacute limite derivada e integral Onde
aplico tais ideiasMuitos colegas de prossatildeo jaacute responderam assim Quando vocecirc es-
tudar Caacutelculo vocecirc saberaacute Ou entatildeo Isso vocecirc soacute aprende na faculdade Essa atitude
com absoluta certeza desapontaria demais o aluno aacutevido pelo conhecimento e talvez ateacute
sepultaria uma mente prodigiosa apta ao desenvolvimento do Caacutelculo
Ainda nesse sentido observe a opiniatildeo de AacuteVILA (1991 p1-9) [1] o qual
defende que o conceito de derivada pode ser ensinado com grande vantagem logo na
primeira seacuterie do segundo grau ao lado do ensino de funccedilotildeese ainda destaca a importacircncia
do estudo da derivada na continuidade do estudo de funccedilotildees em especial as polinomiais e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 36
as suas variadas aplicaccedilotildees cientiacutecas principalmente no estudo do movimento na Fiacutesica
Antes da compreensatildeo do conceito de derivada eacute necessaacuterio compreender e
dominar as noccedilotildees de limite pois a derivada eacute uma aplicaccedilatildeo de limite e sua deniccedilatildeo
atual utiliza as noccedilotildees de limite O domiacutenio de parte das propriedades decorrentes do
estudo de derivadas faraacute com que o entendimento de determinadas propriedades relativas
ao estudo de funccedilotildees tanto na Matemaacutetica quanto na Fiacutesica seja compreendida com mais
argumentos de maneira mais coerente contextualizada e interdisciplinar
Nessa linha eacute imprescindiacutevel mencionar o artigo Caacutelculo no Segundo Grau
publicado na RPM n 20 do professor Roberto Costallat DUCLOS (1992) [10] que segue
e apoia a linha de defesa do professor AacuteVILA sobre a possibilidade de difusatildeo de novas
ideias e sobretudo pela gama de aplicabilidade de seus meacutetodos
De acordo com os argumentos exposto pelo professor Geraldo AacuteVILA [1] na
RPM 18 eacute possiacutevel introduzir o Caacutelculo Integral no Ensino Meacutedio de modo a incitar o
interesse e a curiosidade desde que seja de maneira intuitiva dando ecircnfase as ideias e
aplicaccedilotildees em detrimento das teacutecnicas e suas propriedades Ele ainda faz uma criacutetica
agravequeles que opinam de forma contraacuteria
A ideia de que os programas de matemaacutetica satildeo extensos e natildeo compor-tariam a inclusatildeo do caacutelculo eacute um equiacutevoco Os atuais programas estatildeoisto sim mal estruturados (AacuteVILA [1] 1991 p 1-9)
Apoacutes exibir o panorama da educaccedilatildeo matemaacutetica nacional e citar as contribui-
ccedilotildees favoraacuteveis da apresentaccedilatildeo das noccedilotildees do Caacutelculo Diferencial e Integral que remetem
a ideia de limite eacute vaacutelido repassar ao leitor do presente trabalho os elementos norteadores
da referida pesquisa ou seja uma lista dos livros didaacuteticos e dos seus respectivos auto-
res com o intuito de criar uma simbologia numeacuterica isto eacute uma legenda de associaccedilatildeo
de cada livro segundo o nuacutemero indicado no rol abaixo com intuito de evitar repeticcedilotildees
desnecessaacuterias
1 Matemaacutetica Contexto amp Aplicaccedilotildees de Luiz Roberto DANTE [9] (Dante) - Editora
Aacutetica 2010
2 Matemaacutetica de Manoel PAIVA [23] Editora Moderna 2009
3 Matemaacutetica Coleccedilatildeo Novo Olhar de Joamir Roberto de SOUZA [25] Editora FTD
2010
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 37
4 Matemaacutetica Ciecircncia e Aplicaccedilotildees de Gelson IEZZI [15] Osvaldo Dolce David
Degenszajn Roberto Peacuterigo e Nilze de Almeira Editora Saraiva 2010
5 Matemaacutetica Completa de Joseacute Ruy GIOVANNI [29] e Joseacute Roberto Bonjorno (Gi-
ovanni e Bonjorno) Editora FTD 2005
6 A Matemaacutetica do Ensino Meacutedio Coleccedilatildeo do Professor de Matemaacutetica de Elon Lages
LIMA [17] Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner e Augusto Ceacutesar Morgado
Editora SBM 2006 (6a ediccedilatildeo)
7 Fundamentos de Matemaacutetica Elementar (vol 8) Editora Atual 1993 (diversos
autores)
8 Noccedilotildees de Caacutelculo (vol 9) - Seacuterie Matemaacutetica por assunto de Nilson Joseacute Machado
Editora Scipione 1988
9 Caacutelculo de Geraldo Aacutevila Editora LTC 1988
10 Caacutelculo de James Stewart (vol I) Editora Pioneira 2003 (4a Ediccedilatildeo)
Os livros didaacuteticos que foram analisados possuem publicaccedilotildees em trecircs volumes
foram numerados de 1 ateacute 6 Jaacute os livros que possuem volume uacutenico integrado ou livros
especiacutecos de coleccedilotildees divididos por assunto conforme a preferecircncia do autor foram
numerados de 7 ateacute 10 Quantos aos primeiros (de 1 a 6) foi feito uma analise minuciosa
tanto dos conteuacutedos quanto dos guias de orientaccedilatildeo do professor Jaacute os uacuteltimos (de 7
ateacute 10) foram citados simplesmente como sugestatildeo de uma leitura mais renada e com o
intuito de repassar aos professores uma oportunidade de enriquecer seus conhecimentos
com um material didaacutetico de qualidade A escolha dos livros de 1 a 6 eacute justicada pelo
fato de que a maioria desses autores estaacute ou jaacute esteve presente de forma maccedilante nas
escolas puacuteblicas e particulares brasileiras
A anaacutelise realizada nos livros consiste numa investigaccedilatildeo especiacuteca e minuciosa
em busca de pontos (conteuacutedos) que faccedilam menccedilatildeo as noccedilotildees elementares e intuitivas do
Caacutelculo (limite derivada e integral)
Dentre todos os livros analisados destaca-se o livro do DANTE (1) como o
mais completo em todos os aspectos (deniccedilotildees mais rigorosas maior nuacutemero de de-
monstraccedilotildees conteuacutedo contextualizada e interdisciplinar etc) poreacutem eacute vaacutelido ressal-
tar que a linguagem adotada natildeo eacute tatildeo simples assim como os exerciacutecios propostos
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 38
possuem grau de diculdade mais acentuado Aleacutem disso consiste no material didaacute-
tico que mais se aproxima do propoacutesito desse trabalho ou seja de explicar eou jus-
ticar os fatosconteuacutedosteoremas com argumentos satisfatoacuterios e com ideias intuiti-
vasinterdisciplinascontextualizadasconstrutivas sem receio de abordar toacutepicos relativos
ao Caacutelculo Diferencial e Integral
No livro (1) volume 1 a presenccedila das noccedilotildees intuitivas de limite pode ser
vericada no estudo de diacutezimas perioacutedicas na apresentaccedilatildeo do nuacutemero irracional e no
estudo do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica na soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita e no caacutelculo da aacuterea do ciacuterculo Tambeacutem eacute notaacutevel a presenccedila das noccedilotildees de
derivada ao trabalhar com taxa de variaccedilatildeo da funccedilatildeo quadraacutetica e consequente aplicaccedilatildeo
no Movimento Uniformemente Variado (MUV) Nesse iacutenterim tambeacutem ocorre menccedilatildeo
elementar do estudo de integral via aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau No
volume 2 da referida da obra a ideia de limite estaacute presente no estudo da aacuterea da superfiacutecie
esfeacuterica Jaacute no volume 3 haacute um estudo completo das noccedilotildees elementares de derivada via
razatildeo incremental e via aplicaccedilotildees em problemas da Fiacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que tais
noccedilotildees motivaram algumas atividades presentes na sequecircncia didaacutetica a ser apresentada
nesse trabalho O manual do professor embora seja pedagoacutegico com excelentes dicas
de atividades utilizando diversas metodologias recursos didaacuteticos softwares educacionais
e sugestotildees de revistas livros e lmes atrelados ao ensino de matemaacutetica natildeo possui
formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo alguma que oriente o professor a trabalhar com ideias correlatas do
Caacutelculo
O volume 1 do livro (2) haacute apenas uma citaccedilatildeo direta das ideias de limite
ao introduzir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita Jaacute no volume
(2) uma citaccedilatildeo indireta das noccedilotildees elementares de limite ao explicar a aacuterea do ciacuterculo
Quanto ao volume 3 natildeo haacute menccedilatildeo alguma das noccedilotildees elementares do Caacutelculo A
propoacutesito o manual destinado aos professores como suporte de preparaccedilatildeo para suas
aulas natildeo apresenta toacutepicos do Caacutelculo e haacute diversos pontos de erros conceituais
A partir da avaliaccedilatildeo do volume 1 do livro (3) foi possiacutevel vericar que haacute
somente um breve comentaacuterio no estudo de soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
das noccedilotildees de limite E mais natildeo existe citaccedilatildeo no volume 2 e no volume 3 temos
apenas um comentaacuterio ao calcular a aacuterea da superfiacutecie da esfera O guia pedagoacutegico natildeo
menciona elementos do caacutelculo embora promova inuacutemeras situaccedilotildees em que o emprego
das noccedilotildees de caacutelculo poderia se explorada de maneira luacutedica criativa interdisciplinar e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 39
contextualizada
No livro (4) volume 1 tambeacutem existe uma abordagem de limite no estudo de
soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Enquanto no volume 2 haacute um preluacutedio
das ideias de limite atreladas as noccedilotildees de integral quando aborda a aacuterea do ciacuterculo e
quando explora a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica Em relaccedilatildeo ao volume 3 natildeo haacute citaccedilotildees
intuitivas de limite derivada e integral Embora a quantidade de abordagens de ideias
correlatas do Caacutelculo seja piacutea o manual pedagoacutegico estaacute coberto de estrateacutegias inovado-
ras que podem ser exploradas e incrementadas de noccedilotildees de limite deriva ou ateacute mesmo
integral
Tambeacutem no volume 1 do livro (5) foi possiacutevel constatar que as ideias de limite
estatildeo sendo difundidas ao inserir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Jaacute no
volume 2 da referida obra o autor faz referencia as noccedilotildees de limite e de integral ao provar
o volume da esfera Enquanto o volume 3 apresenta um estudo das noccedilotildees elementares de
limite e de derivadas assim como suas propriedades e aplicaccedilotildees Embora haja capiacutetulos
especiacutecos que abordam toacutepicos do Caacutelculo de maneira simploacuteria e pouco signicativa
o manual pedagoacutegico do professor mostrou-se deciente quanto ao direcionamento do
trabalho para incitar as ideias correlatas do Caacutelculo Eacute bom salientar que a obra analisada
eacute a coleccedilatildeo de trecircs volumes mais antiga anterior a mudanccedila do novo ENEM e talvez isso
seja uma justicativa para o emprego de limite e derivadas em detrimento ao modelo
padronizado dos livros publicados de 2009 em diante que supervalorizam as atividades em
favor de situaccedilotildees problema tipo ENEM
Enm o livro (6) volume 1 da Coleccedilatildeo Professor de Matemaacutetica (SBM) des-
tinada a professores que atual no ensino meacutedio apresenta citaccedilotildees das noccedilotildees intuitivas
de limite e de derivadas com excesso de rigor e abstraccedilatildeo ao estudar a continuidade da
funccedilatildeo proporcionalidade via limite de uma sequencia e ao estudar de forma interdisci-
plinar o MUV via razatildeo incremental (noccedilatildeo intuitiva de derivada) Tambeacutem haacute citaccedilatildeo
das ideias de derivadas ao citar ao estudar as funccedilotildees polinomiais via meacutetodo de Newton
e ainda haacute citaccedilatildeo das noccedilotildees de limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas
via justicativa do comportamento de graacutecos e estabelecimento no nuacutemero de Euler Jaacute
no volume 2 da referida coleccedilatildeo haacute citaccedilatildeo de limite durante o estudo de soma dos termos
de uma progressatildeo geomeacutetrica innita e menccedilatildeo intuitiva de integral ao propor o volume
de corpos redondos (cilindros cones e esferas) E nalmente no volume 3 ocorre uma
menccedilatildeo ao estudo derivada via equaccedilotildees algeacutebricas Eacute vaacutelido ressaltar que natildeo haacute guia de
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 40
orientaccedilatildeo para os professores pois o proacuteprio livro trata-se de uma guia de reexatildeo criacutetica
em relaccedilatildeo agrave abordagem precaacuteria de matemaacutetica encontrada nos principais livros didaacuteticos
do paiacutes O niacutevel dos exerciacutecios dos trecircs volumes eacute de grau elevadiacutessimo e os idealizadores
do referido material satildeo professores do Instituto de Matemaacutetica Pura e Aplicada (IMPA
RJ) o que certamente explica a fundamentaccedilatildeo precisa a preocupaccedilatildeo com o rigor da
linguagem e o grau de abstraccedilatildeo existentes nas proposiccedilotildees demonstraccedilotildees aplicaccedilotildees e
exerciacutecios dos livros em questatildeo
Assim foi possiacutevel avaliar que todos os livros analisados exibiram as noccedilotildees
elementares do Caacutelculo somente durante o estudo da soma dos termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita e em alguns casos de caacutelculo da aacuterea de ciacuterculos aacuterea supercial e
volume de uma esfera Apenas os livros (1) e (5) possuem apresentaccedilatildeo de elementos do
Caacutelculo de maneira sistecircmica e conceitual poreacutem a metodologia natildeo eacute conveniente e a
linguagem empregada estaacute distante da realidade da educaccedilatildeo puacuteblica da rede estadual do
Espiacuterito Santo Essas consideraccedilotildees reetem o caraacuteter defendido nos PCNEM [21] que
natildeo fazem menccedilatildeo a necessidade de repassar aos alunos elementos essenciais do Caacutelculo e
no curriacuteculo baacutesico estadual que apresenta excesso de conteuacutedo e ausecircnciadeciecircncia de
atividades que estimulem a modelagem matemaacutetica e o estudo dirigido de noccedilotildees intuitivas
de limite derivada e integral
A partir da anaacutelise dispostos de forma tabular a seguir eacute possiacutevel inferir de ma-
neira resumida e simplicada as conclusotildees obtidas a partir da anaacutelise dos livros didaacuteticos
investigados e numerados de 1 a 6
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 41
Tabela 51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos
LIVROS DIDAacuteTICOS ANALISADOS
DANTE PAIVA JOAMIR IEZZI GIOVAN SBM
CONCLUSOtildeES IMEDIATAS 1 2 3 4 5 6
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de limite
SIM SIM SIM SIM SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de derivada
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de integral
SIM NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO NAtildeO
No manual pedagoacutegico do profes-
sor existe orientaccedilatildeo sobre a in-
serccedilatildeo de noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NPM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira contextua-
lizada intuitiva e construtiva
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira interdisci-
plinar
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Dedicam capiacutetulos exclusivos
para as noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO
Haacute exerciacutecios de xaccedilatildeo que ex-
ploram de modo investigativo as
noccedilotildees de Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Haacute alguma atividade de explo-
raccedilatildeo das noccedilotildees de Caacutelculo via
software de geometria dinacircmica
ou planilha eletrocircnica
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO
NPM = NAtildeO POSSUI MANUAL
42
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS
PROFESSORES
De acordo com a anaacutelise dos dados coletados eacute possiacutevel constatar que a maio-
ria dos professores atuantes no niacutevel baacutesico da educaccedilatildeo estaacute negligenciando o ensino das
noccedilotildees intuitivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo em detrimento ao cumprimento
do curriacuteculo preacute-estabelecido pela rede a qual trabalham eou em virtude de direciona-
mento de trabalho visando melhores resultados na prova do Programa de Avaliaccedilatildeo da
Educaccedilatildeo Baacutesica do Espiacuterito Santo (PAEBES) e ENEM Isso se justica por inuacutemeros
fatores formaccedilatildeo deciente durante a graduaccedilatildeo baixo niacutevel de aprendizagem dos alunos
(deacutecit herdado de um Ensino Fundamental tradicional arcaico obsoleto e negligente)
inexistecircncia de material didaacutetico de orientaccedilatildeo especiacuteca ausecircncia de participaccedilatildeo do
tema em estudo no curriacuteculo baacutesico norteador e inexistecircncia de cursos de capacitaccedilatildeo
para aprimorarem seus conhecimentos
Segundo a opiniatildeo geral dos professores que responderam os questionaacuterios os
cursos de licenciaturas em Matemaacutetica poderiam explorar de maneira mais diversicada as
ideias correlatas do Caacutelculo Eacute consensual que a maioria dos professores mestredoutores
das universidades federais poderia aprimorar sua didaacutetica com o intuito de melhorar a
exposiccedilatildeoapresentaccedilatildeo de determinados conteuacutedos e aleacutem disso sugeriram que a apre-
sentaccedilatildeo de conteuacutedos correlacionados ao Caacutelculo seja realizada por meio de estrateacutegias
diferenciadas (recursos didaacuteticos e modelagem matemaacutetica) Isso pode contribuir de ma-
neira signicativa para melhorar os niacuteveis de aprendizagem durante a fase de graduaccedilatildeo
e ao mesmo tempo servir de estiacutemulo para estudos posteriores Eacute certo que a realidade
vem melhorandoultimamente devido exigecircncias impostas pelas poliacuteticas governamen-
tais em melhorar os altos e absurdos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo I mas
em contrapartida os setores responsaacuteveis pela validaccedilatildeo de complementaccedilotildees (licenciatu-
ras curtas) e alguns cursos de Licenciatura a distacircncia sejam mais rigorosos ao avaliar
o conceito dessas graduaccedilotildees para que a formaccedilatildeo desses professores seja qualidade ex-
celente ao ponto de acumular bagagem de estaacutegio e conhecimento especiacuteco suciente
para explorar ao maacuteximo a capacidade de seus alunos A realidade vivenciada nos editais
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 43
de contrataccedilatildeo de professores de designaccedilatildeo temporaacuteria seja da secretaria de educaccedilatildeo
municipal ou estadual do Espiacuterito Santo aparenta nos remeter a ideia de que o tiacutetulo
eacute mais importante do que o conteuacutedo o objeto de estudo analisado Esse dado eacute um
fator que contribui indiretamente para a reduccedilatildeo da procura de alunos para as licencia-
turas na UFES e IFES Por exemplo o curso de Matemaacutetica no processo seletivo 1 UFES
20132014 ofereceu 50 vagas das quais apenas 27 alunos conseguiram obter notas que os
capacitassem para prosseguir o curso
Aqueles professores que relataram citaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
em pontos especiacutecos do Ensino Meacutedio informaram que fazem apenas uma abordagem
supercial sem embasamento teoacuterico com pouca mobilidade metodoloacutegica e sem respaldo
curricular Tambeacutem relataram que os poucos cursos de capacitaccedilatildeo que existem ocorrem
em horaacuterios e dias natildeo convenientes (recesso eou feacuterias nais de semana etc) Quanto ao
respaldo curricular os professores argumentaram que os PCNEM natildeo apresentam menccedilatildeo
alguma agrave introduccedilatildeo das ideias intuitivas do Caacutelculo E caso houvesse uma mudanccedila nesse
documento haveria necessidade de curso de formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo com material didaacutetico
autoexplicativo e focado na realidade da educaccedilatildeo baacutesica dado que os referidos docentes
natildeo fazem ideia de como realizar a introduccedilatildeo de tais conceitos no modelo educacional
vigente
Os docentes tambeacutem nos disseram que caso fossem questionados sobre algum
ponto que requeresse citaccedilatildeo de noccedilotildees elementares do Caacutelculo a priori deixariam a
discussatildeo de forma particular com o aluno que promoveu a pergunta ou entatildeo daria uma
desculpa qualquer de que tais noccedilotildees seratildeo discutidas posteriormente no Ensino Superior
somente para os privilegiados que estudaratildeo a disciplina de Caacutelculo
Os dados da pesquisa servem para uma reexatildeo sobre a situaccedilatildeo do ensino de
matemaacutetica embora o espaccedilo amostral esteja concentrado nas escolas da Grande Vitoacuteria
pode ser que esteja dissipada ao redor do estado Isso pode ser um obstaacuteculo agrave inser-
ccedilatildeo de elementos intuitivos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio pois eacute um tema bastante
discutiacutevel e natildeo dispomos de um modelo de educaccedilatildeo pronto que resolva os problemas men-
1Observaccedilatildeo o processo seletivo da UFES para o curso de Matemaacutetica eacute diferente dos demais pois o
aluno eacute preacute-aprovado para a 2a etapa e em seguida deve cursar durante o proacuteximo semestre duas disciplinas
Matemaacutetica Baacutesica I e II com a prerrogativa de obter rendimento miacutenimo de meacutedia nal de 50 pontos
em cada disciplina caso contraacuterio o aluno natildeo estaacute apto para prosseguir no curso de Matemaacutetica e o
mesmo eacute eliminado do certame
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 44
cionados Talvez tal negligecircncia tenha como consequecircncia agravante rendimentos piacuteos
por parte da maioria dos estudantes evasatildeo universitaacuteria e fuga aos cursos que requerem
conhecimento preacutevio de Caacutelculo poreacutem o universo estatiacutestico analisado natildeo eacute suciente
para tal conclusatildeo mas sim para uma reexatildeo As propostas a seguir tecircm a pretensatildeo
de preencher as lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos quanto ao repasse de noccedilotildees ele-
mentares de limite derivada e integral durante a educaccedilatildeo baacutesica Assim como promover
uma orientaccedilatildeo para os professores da educaccedilatildeo baacutesica por intermeacutedio de atividades praacute-
ticas construtivas contextualizadas e interdisciplinares Eacute vaacutelido ressaltar que o referido
trabalho jaacute eacute realizado em determinados estados brasileiros (Satildeo Paulo Minas Gerais
Rio Grande do Sul e Paranaacute) e aleacutem disso na Franccedila Portugal e Espanha o Caacutelculo
Diferencial e Integral eacute conteuacutedo do curriacuteculo miacutenimo comum obrigatoacuterio na educaccedilatildeo baacute-
sica Nos estados brasileiros que fazem referecircncia as noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio
a inclusatildeo do tema eacute inserida de maneira indireta transversal e interdisciplinar de acordo
com as duacutevidas e o grau de abstraccedilatildeo que o assunto requer A implementaccedilatildeo de nossa
proposta eacute uma tentativa de reduzir o grande abismo entre a educaccedilatildeo baacutesica e o ensino
superior Aleacutem disso pretendemos contribuir para o aumento da procura por cursos de
exatas nos vestibulares para a consideraacutevel melhora no rendimento universitaacuterio dos alu-
nos que cursavam disciplinas de Caacutelculo e para a promoccedilatildeo de um ensinoaprendizagem
mais signicativo concreto interdisciplinar contextualizado e motivador
Embora as noccedilotildees de limite derivada e integral natildeo estejam presentes de forma
direta e obrigatoacuteria no curriacuteculo miacutenimo de conteuacutedos do Ensino Meacutedio no curriacuteculo
escolar paulista (2011) haacute uma argumentaccedilatildeo excelente de defesa do ensino de noccedilotildees de
Caacutelculo na 3a etapa da educaccedilatildeo baacutesica na qual os autores trabalham com a ideia de que
havendo uma boa razatildeo para fazer algo sempre seraacute possiacutevel arquitetar uma maneira de
fazecirc-lo (quem tem um porque arruma um como) Por exemplo haacute uma orientaccedilatildeo
de trabalhar com uma escala de aprofundamento adequada ao grau de conhecimento
do aluno em questatildeo toacutepicos do Caacutelculo Diferencial por meio da anaacutelise de problemas
cotidianos (presentes em jornais e revistas) que medem a rapidez com que uma grandeza
cresce ou decresce em relaccedilatildeo agrave outra (o que futuramente aprenderatildeo como derivada)
Aleacutem disso orientam que o trabalho com o Caacutelculo Integral deve ser ealizado a partir de
uma aproximaccedilatildeo de uma grandeza variaacutevel por uma seacuterie de valores constantes (como se
fosse constante em pequenos intervalos)
45
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA
Com o intuito de realizar o resgate do repasse das noccedilotildees elementares do
Caacutelculo o presente trabalho estaraacute repleto de atividades que de forma direta eou indireta
citaratildeo as ideias intuitivas de limite de derivada e de integral
De fato haacute uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular durante o Ensino Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees
elementares do Caacutelculo e em caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite De fato haacute
uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em particular durante o Ensino
Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees elementares do Caacutelculo e em
caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite Aleacutem disso os dados das pesquisas realiza-
das revelaram agraves diculdades que muitos professores possuemteriam para expor o tema
tambeacutem foi visto que haacute mais pontos favoraacuteveis que desvantajosos em propor o resgate
da inserccedilatildeo de tais conceitos durante o Ensino Meacutedio e para nalizar foram constatadas
as deciecircncias existentes nas diversas literaturas disponiacuteveis
Assim a principal meta desse trabalho consiste em propor situaccedilotildees praacuteticas
em que haacute a necessidade de empregar e justicar o ensino das noccedilotildees intuitivas de limite e
ideias correlatas do Caacutelculo na educaccedilatildeo baacutesica em especial durante o Ensino Meacutedio Com
o intuito de ajudar colegas de prossatildeo tentamos propor abordagens do ensino das noccedilotildees
intuitivas de limite de derivada e de integral por meio de softwares de geometria dinacircmica
e planilhas eletrocircnicas de maneira que tais conceitos sejam introduzidos passo a passo
(algo bem construtivo) Pretendemos gerar um ambiente de reexatildeo sobre a importacircncia
de justicar determinados toacutepicos da matemaacutetica elementar com maior precisatildeo e aleacutem
disso fornecer subsiacutedios garantidos por lei para continuidade de estudos posteriores A
resoluccedilatildeo de cada situaccedilatildeo problema seraacute feita sempre que possiacutevel a partir dos meacutetodos
propostos por POLYA (1995) [28] os quais podem ser expressos em quatro passos
1 Compreender o problema Nesse 1o passo eacute importante fazer perguntas identicar
qual eacute a incoacutegnita do problemavericar quais satildeo os dados e quais satildeo as condiccedilotildees
entre outros
2 Construccedilatildeo de uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo Nesse 2o passo devemos encontrar as
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
conexotildees entre os dados e a incoacutegnita caso seja necessaacuterio considerando problemas
auxiliares ou particulares
3 Execuccedilatildeo da estrateacutegia Frequumlentemente o 3o passo eacute considerado o mais faacutecil do
processo de resoluccedilatildeo de um problema Contudo a maioria dos principiantes tende
a pular esta etapa prematuramente e acabam se dando mal
4 Revisatildeo da soluccedilatildeo O 4o passo consiste numa anaacutelise minuciosa da soluccedilatildeo obtida
em que eacute feita a vericaccedilatildeo dos resultados dos argumentos utilizados e da escrita
matemaacutetica aleacutem de ser uma etapa excelente para oportunizar uma reexatildeo sobre
a possibilidade de uma resoluccedilatildeo de modo diferente
Nesse iacutenterim eacute necessaacuterio ter uma preocupaccedilatildeo contiacutenua em realizar uma boa
interpretaccedilatildeo dos exerciacutecios seguida de uma atenciosa coleta de dados chegando ao ponto
de encontrar a melhor estrateacutegia para solucionar a questatildeo e apoacutes aplicar a melhor teacutecnica
(ou a mais conveniente) de resoluccedilatildeo nalizar a atividade por meio de uma revisatildeo da
soluccedilatildeo realizada com ecircnfase e detalhamento de valores obtidos assim como o estudo do
signicado semacircntico algeacutebrico ou geomeacutetrico eacute uma teacutecnica excelente e sugerimos que
se torne praacutetica diaacuteria de professores e alunos
MACHADO (2008) [19] professor e autor de livros de matemaacutetica elemen-
tarsuperior arma em seu artigo Caacutelculo Diferencial e Integral na Educaccedilatildeo Baacutesica
que a presenccedila das ideias baacutesicas do Caacutelculo eacute inserida em no dia-a-dia a partir do mo-
mento em que haacute o estudo analiacutetico do comportamento de grandezas variando com o
tempo Note o relato de MACHADO (2008 p1)
Eacute do diaacutelogo entre a permanecircncia e a variaccedilatildeo juntamente com a buscade uma forma de caracterizaccedilatildeo da rapidez com que uma grandeza variacom outra que nascem as duas ideias fundamentais do Caacutelculo a integrale a derivada (MACHADO 2008 [19] p1)
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO
FUNDAMENTAL
Embora contrarie as expectativas da maioria dos professores de matemaacutetica
atuantes nessa etapa da educaccedilatildeo baacutesica eacute possiacutevel inserir ideias fundamentais e construti-
vas de limite em diversos pontos do ensino fundamental poreacutem haacute trecircs ocasiotildees especiacutecas
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 47
em que o emprego das noccedilotildees intuitivas de limite faz-se necessaacuterio para completar o en-
tendimento e maximizar o ensinoaprendizagem dos alunos no estudo da representaccedilatildeo
decimal das diacutezimas perioacutedicas no estudo da demonstraccedilatildeo completa do Teorema de Ta-
les e no estudo de aacuterea de aacutereas de guras planas em particular a partir da aacuterea de um
retacircngulo
711 Diacutezimas Perioacutedicas
Em geral as diacutezimas perioacutedicas satildeo introduzidas a partir do 7o ano durante
o estudo da representaccedilatildeo decimal dos nuacutemeros racionais Um nuacutemero racional pode ser
representado por um nuacutemero decimal exato (diacutezima exata) que possui um nuacutemero nito
de casas agrave direita da viacutergula ou por um nuacutemero decimal innito e perioacutedico (diacutezima
perioacutedica) que possui um nuacutemero innito de casas agrave direita da viacutergula Em outras
palavras uma diacutezima perioacutedica eacute uma representaccedilatildeo numeacuterica em que haacute uma sequecircncia
nita de algarismos que se repetem indenidamente
Por deniccedilatildeo os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados
por uma fraccedilatildeo isto eacute nuacutemeros da forma pq com p e q nuacutemeros inteiros e q 6= 0 As
fraccedilotildees que geram diacutezimas perioacutedicas satildeo denominadas de fraccedilotildees geratrizes
Para transformar uma fraccedilatildeo (ab)cujo denominador apresente apenas fatores
2 ou 5 em um nuacutemero decimal pode-se aplicar o seguinte meacutetodo Considere b = 2x middot 5y
com x lt y Em seguida multiplique tanto o numerador quanto o denominador por 2yminusx
isto eacutea
b=
a middot 2yminusx
2x middot 5y middot 2yminusx=a middot 2yminusx
2y5y= a middot 2yminusx10minusy
Isso eacute equivalente a calcular o nuacutemero a middot 2yminusx e escrevecirc-lo apoacutes as x casas decimais apoacutes
a viacutergula Note que o caso x gt y eacute anaacutelogo ao anterior poreacutem o fator multiplicativo seraacute
5yminusx Por exemplo
7
20=
7
22 middot 5=
7 middot 52minus1
22 middot 5 middot 52minus1=
35
100= 0 35
A aplicaccedilatildeo desse procedimento para denominadores particulares que produ-
zem fraccedilotildees decimais nem sempre produz um nuacutemero nito de casas apoacutes a viacutergula Um
exemplo simploacuterio seria a tentativa de escrever a representaccedilatildeo decimal da fraccedilatildeo geratriz13 Note que
1
3=
1 middot 103 middot 10
=1
1010
3=
1
103 middot 3 + 1
3=
1
10(3 +
1
3) =
3
10+
1
101
3= 0 3 +
1
101
3
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 48
Repetindo o processo tem-se
1
3= 0 3 +
1
101
3= 0 3 +
1
10(0 3 +
1
101
3) = 0 3 + 0 03 +
1
1001
3
Observe que novamente apareceu a fraccedilatildeo original um terccedilo e eacute evidente que o
mesmo aconteceraacute nas proacuteximas iteraccedilotildees Isto signica que para a representaccedilatildeo decimal
de um terccedilo eacute necessaacuterio innitas casas decimais agrave direita da viacutergula Assim concluiacute-se
que1
3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()
Note que eacute importante que o professor interra com questionamentos sobre a
regularidade dos elementos que surgem nessa soma e com a solicitaccedilatildeo do Caacutelculo para um
nuacutemero particular de parcelas dessa soma A nalidade dessa tarefa eacute mostrar ao aluno
que um terccedilo eacute igual a uma soma de innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica cujo
primeiro termo eacute a1 = 0 3 e cuja razatildeo q = 0 1 (seacuterie convergente) Para calcular essa
soma eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees intuitivas de limite e isso seraacute realizado posterior-
mente nesse trabalho Note ainda que ao multiplicar a ambos os membros pelo nuacutemero
3 tem-se
3 middot 13= 3 middot 0 333rArr 1 = 0 999 = 0 9
Para que os alunos familiarizem-se com o procedimento anterior que utiliza a
ideia de innito de processo indenido proponha atividade de requeiram a determinaccedilatildeo
da representaccedilatildeo decimal por exemplo para as fraccedilotildees 311
e 17 Note que o grau de
diculdade aumenta e aguccedila a curiosidade do aluno Veja o resultado para a fraccedilatildeo
3
11=
3 middot 1011 middot 10
=1
1030
11=
1
10(2 middot 11 + 8
11) =
1
10(2 +
8
11) =
2
10+
1
108
11
Natildeo apareceu explicitamente a fraccedilatildeo 311
na primeira iteraccedilatildeo poreacutem na se-
gunda etapa tem-se 311
= 3middot1011middot10 = 1
103011
= 110(2middot11+8
11) = 1
10(2 + 8
11) = 2
10+ 1
10 811
=
0 2 + 110 80110
= 0 2 + 1100(7middot11+3
11) = 0 2 + 0 07 + 1
100 311
= 0 27 + 1100 311
Ou seja 311
= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1
100middot 311) = middot middot middot = 0 272727 = 0 27
Espera-se com essas atividades que os estudantes consigam assimilar o caraacuteter
perioacutedico e innito das diacutezimas
Em geral uma diacutezima perioacutedica simples de periacuteodo k eacute um nuacutemero que possui
expansatildeo decimal do seguinte modo a b1b2b3bk = a b1b2b3bk E toda diacutezima perioacutedica
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 49
representa um nuacutemero racional isto eacute possui representaccedilatildeo fracionaacuteria dada por
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk
Considere que
r = 0 b1b2b3bk
Daiacute segue que
10r middot r = 10r middot (0 b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr (10r minus 1)r = b1b2b3bk
rArr r =b1b2b3b410k minus 1
=b1b2b3bk9999
Logo tem-se
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk = a+ b1b2b3bk
999 middot middot middot 9︸ ︷︷ ︸k repeticcedilotildees de 9
Exemplo motivacional Determine a fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 5 777 middot middot middot
1o modo Desenvolvendo raciociacutenio similar a demonstraccedilatildeo
r = 5 777
rArr 10r = 57 777
rArr 10r minus r = 57 777minus r
rArr 9r = 52
rArr r =52
9
2o modo Aplicando o algoritmo demonstrado
5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7
9=
52
9
A reciacuteproca da demonstraccedilatildeo acima tambeacutem eacute verdadeira ou seja todo nuacutemero
racional eacute representado por uma diacutezima perioacutedica A demonstraccedilatildeo desse fato eacute obtida
por intermeacutedio do algoritmo de divisatildeo de Euclides
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 50
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Considere a proposiccedilatildeo a seguir proposta por um rico comerciante Tales da
cidade grega de Mileto por volta do V aC conhecida como Teorema de Tales um conjunto
de retas paralelas entre si (feixe de paralelas) cortado por duas transversais (r e s) forma
sobre elas segmentos correspondentes proporcionais isto eacute a razatildeo entre dois segmentos
quaisquer determinados pelo feixe sobre a reta r por exemplo AB e CD eacute igual agrave razatildeo
de seus correspondentes sobre a reta s AprimeBprime e C primeDprime ou seja
AB
CD=AprimeBprime
C primeDprime
A demonstraccedilatildeo desse teorema em geral natildeo eacute realizada nos livros didaacuteticos
do Ensino Fundamental Jaacute nos livros de Ensino Meacutedio eacute apenas apresentada uma parte
da validade para segmentos comensuraacuteveis Diante desse fato consumado eis que surge o
questionamento Por que os livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio natildeo apresentam a demons-
traccedilatildeo para segmentos natildeo comensuraacuteveis
A explicaccedilatildeo para a omissatildeo da segunda parte da prova pode ser justicada
pelo fato de que a manipulaccedilatildeo com nuacutemeros irracionais requer emprego de completude
dos nuacutemeros reais e com certeza o grau de abstraccedilatildeo necessaacuterio pode estar aleacutem das
possibilidades de entendimento do aluno E mais eacute necessaacuterio utilizar noccedilotildees intuitivas
de limite para completar o raciociacutenio
A seguir eacute apresentada de forma completa a demonstraccedilatildeo do Teorema de
Tales
1a parte da demonstraccedilatildeo Sejam r s t e z retas paralelas e a e b retas
transversais
Suponha que AB e CD sejam comensuraacuteveis e que exista um segmento u
(unidade de medida comum entre os segmentos AB e CD) tal que AB = mu e CD = nu
(mn isin N ) isto eacute o segmento u cabe m vezes dentro de AB assim como cabe n vezes
no segmento CD
Logo a razatildeo ABCD
= munu
= mn(I)
Agora pelos pontos que dividem AB e CD em m e n partes congruentes
ao segmento de medida u trace retas paralelas ao feixe com o intuito de subdividir os
segmentos AprimeBprime e C primeDprime em m e n partes iguais a w A partir dessa consideraccedilatildeo tem-se
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 51
a razatildeo AprimeBprime
CprimeDprime =mwnw
= mn(II)
Figura 71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte DANTE [9] 2010 vol1 p 404
Daiacute concluiacute-se a partir das relaccedilotildees (I) e (II) que ABCD
= AprimeBprime
CprimeDprime conforme
queriacuteamos demonstrar
2a parte da demonstraccedilatildeo Sejam a1 i e j retas paralelas e r e s retas trans-
versais
Figura 72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte GeoGebra
Suponha agora que os segmentos AB e BC sejam incomensuraacuteveis Por co-
modidade suponha que AB seja menor do que BC (caso contraacuterio o raciociacutenio seraacute
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 52
desenvolvido a partir de BC) e divida AB em m partes congruentes com o segmento
u = 1mAB Como u lt AB (dado que a parte eacute menor do que o todo) e como AB lt BC
entatildeo u lt BC
Figura 73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis
Fonte GeoGebra
Pela propriedade Arquimediana (dadas duas magnitudes quaisquer de mesma
natureza a e b existe sempre um nuacutemero inteiro n tal que na gt b) existe um nuacutemero
inteiro n tal que mu gt BC Existindo um nuacutemero com essa propriedade existiraacute uma
innidade porque Nu tambeacutem seraacute maior do que BC para qualquer N gt n Nesse iacutente-
rim pode-se considerar que n eacute o menor dos nuacutemeros inteiros para os quais mu gt BC
Assim sendo (nminus 1)u deveraacute ser menor do que BC ou seja (nminus 1)u lt BC lt nu Como
mu = AB segue que nminus1m
lt BCAB
lt nm Em outras palavras a relaccedilatildeo entre os incomensu-
raacuteveis BC e AB estaacute compreendida entre os racionais nminus1m
e nm Pelas extremidades dos m
segmentos em que AB foi dividido traccedilando-se paralelas ao feixe o segmento DE caraacute
dividido em m partes congruentes com o segmento w = 1mDE ou seja DE = mw Pelas
extremidades dos n segmentos congruentes com u sobre o segmento BC trace as paralelas
ao feixe Sobre a reta s caratildeo determinados n segmentos congruentes a w Denomine
de Kn e Kn+1 as extremidades dos segmentos a partir de C formados respectivamente
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 53
por (nminus 1) e n segmentos congruentes a u Sejam K primen e Kprimen+1 seus correspondentes sobre
a reta s
Observe a situaccedilatildeo descrita geometricamente na gura a seguir
Figura 74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso)
Fonte GeoGebra
Note a partir da gura anterior que C estaacute entre Kn e Kn+1 Agora resta
mostrar que seu correspondente (F ) estaacute entre K primen e K primen+1 Eacute notoacuterio que F natildeo pode
coincidir com K primen ou K primen+1 pois nesses casos DE e EF seriam comensuraacuteveis e por con-
sequecircncia AB e BC tambeacutem seriam o que contrariaria a hipoacutetese imposta O ponto F
correspondente de C natildeo pode estar entre E e K primen pois nesse caso Kn e K primen estariam em
semiplanos opostos em relaccedilatildeo agrave reta KnKprimen de tal modo que a reta Kn+1K
primen+1 cruzaria
a reta KnKprimen o que eacute um absurdo pois ambas satildeo paralelas Com raciociacutenio anaacutelogo
descarta-se a possibilidade de K primen+1 estar entre E e F Logo (nminus1)w lt EF lt nw Como
DE = mw entatildeo nminus1m
lt EFDE
lt nm O que acabou de ser mostrado prova que AB e BC
sobre a reta r satildeo incomensuraacuteveis e a relaccedilatildeo entre eles estaacute entre nminus1m
e nm os segmentos
DE e EF sobre s tambeacutem satildeo incomensuraacuteveis e sua relaccedilatildeo estaacute entre aqueles dois raci-
onais Assim nesse iacutenterim denomina-se nminus1m
e nm respectivamente de aproximaccedilotildees por
falta e por excesso das relaccedilotildees BCAB
e EFDE
Note que a diferenccedila entre tais aproximaccedilotildees eacute1me pode ser feita tatildeo pequena quanto se queira Em outras palavras BC
ABe EFDE
podem
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 54
ser espremidas entre dois nuacutemeros racionais tatildeo proacuteximos quanto se queira ateacute chegar ao
aacutepice intuitivo de que tais razotildees satildeo iguais Para completar a demonstraccedilatildeo eacute necessaacuterio
mostrar que tanto o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por falta natildeo tem maacuteximo como
o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por excesso natildeo tem miacutenimo Essa demonstraccedilatildeo
pode ser encontrada com maior riqueza de detalhes em GARBI (2010 p115) [29]
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas
Em geral o estudo de aacutereas eacute posterior ao estudo de congruecircncia e semelhanccedila
de triacircngulos Embora seja comum nos livros didaacuteticos apresentar o estudo de aacutereas
assim como suas propriedades no nal do curso de Geometria em WAGNER (1992) [31]
haacute antecipaccedilatildeo da inserccedilatildeo das noccedilotildees de aacutereas
Uma das vantagens de realizar tal inversatildeo na apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos
consiste no fato de evitar a anaacutelise da comensurabilidade dos segmentos em questatildeo
A seguir seraacute exposta a demonstraccedilatildeo via aacutereas
Sejam Bprime e C prime os pontos dos lados AB e ABprime respectivamente do triacircngulo
ABC conforme ilustra a gura a seguir
Figura 75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos
Fonte RPM [31] n 21 p7
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 55
Analisando a gura anterior segue que os segmentos BC prime e CBprime satildeo paralelos
ou seja BprimeC primeBC e partir daiacute eacute possiacutevel concluir que os triacircngulos BprimeC primeB e BprimeC primeC
tecircm mesma aacuterea dado que possuem mesma base (BprimeC prime) e alturas relativas a essa base
tambeacutem iguais Acrescentando a esses triacircngulos o triacircngulo ABprimeC prime concluiacutemos que os
triacircngulos ABC prime e ACBprime tambeacutem possuem a mesma aacuterea Portanto segue que
ABprime
AB=S(ABprimeC prime
S(ABC prime)=S(AC primeBprime
S(ACBprime)=AC prime
AC
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo
Os livros didaacuteticos da educaccedilatildeo baacutesica natildeo apresentam o caacutelculo da medida
da aacuterea (S) da regiatildeo retangular de maneira construtiva dinacircmica e com explicaccedilotildees
convincentes de que a superfiacutecie retangular eacute dada pelo produto entre a medida da base
(b) e a medida da altura (h) Os autores optam pela abordagem via repasse da foacutermula
sem o devido cuidado de demonstrar sua validade para todos os nuacutemeros reais isto eacute
S = b middot h
Para demonstrar a validade da referida foacutermula eacute necessaacuterio utilizar um proce-
dimento anaacutelogo ao utilizado na prova completa do Teorema de Tales exibido na atividade
anterior isto eacute primeiro eacute mostrado a validade para nuacutemeros racionais e depois eacute esten-
dida para nuacutemeros irracionais Eacute vaacutelido ressaltar que o foco dessa atividade eacute direcionado
para destacar a necessidade de implementar noccedilotildees intuitivas de limite para concluir a
foacutermula de caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
Considere um retacircngulo de lados m e n nuacutemeros naturais particionado em
m middot n quadrados de lado 1 em que m = 6 e n = 5 Note que o retacircngulo eacute composto por
m middot n = 6 middot 5 = 30 quadrados
Em seguida considere um retacircngulo de lados m1
n1e m2
n2 com (m1m2 n1 n2 isin
N) A partir de n1n2 coacutepias desse novo retacircngulo monta-se um retacircngulo maior de lados
m1 e m2 Adicionando aacutereas iguais concluiacute-se que a aacuterea do retacircngulo dado originalmente
eacute igual a m1middotm2
n1middotn2= m1
n1middot m2
n2
Finalmente toma-se um retacircngulo de lados a e b reais positivos e para k isin N
nuacutemeros racionais xk yk uk vk tais que xk lt a lt yk uk lt b lt vk e yk minus xk uk minus vk lt 1k
Sendo S a aacuterea do retacircngulo de lados a e b um argumento anaacutelogo ao feito para quadrados
garante que S e ab pertencem ambos ao intervalo (ukxk ykvk) e daiacute para todo k isin N
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 56
tem-se
|Aminus ab| lt vkyk minus ukxk
rArr vkyk minus ukxk = (vk minus uk)yk + (yk minus xk)uk lt1
k(yk + uk)
rArr 1
k(yk + uk) =
1
k((yk minus xk) + 2xk + (vk minus uk) + 2uk) lt
1
k(2
k+ 2a+ 2b)
rArr |Aminus ab| lt 1
k(2
k+ 2a+ 2b)
A gura a seguir ilustra o retacircngulo mn em que m = 6 e n = 5
Figura 76 Retacircngulo 6 x 5
Fonte GeoGebra
Note que quanto maior o valor de n as aproximaccedilotildees por falta (xkuk) e por
excesso (vkyk) indicam intuitivamente que a aacuterea do retacircngulo de lados a e b tenderaacute para
S = ab isto eacute
xkuk lt ab lt vkyk
rArr k
nmiddot mnlt
(k + 1)
nmiddot (m+ 1)
n
rArr km(1
n)2 lt ab lt (km+ k +m+ 1)(
1
n)2
rArr 0 lt abminus km(1
n)2 lt (k +m+ 1)(
1
n)2
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
Quanto maior o valor de n (n tendendo ao innito) melhor seraacute a aproximaccedilatildeo
da aacuterea (correspondente agrave soma de todos os retacircngulos de medidas kne m
n) da pretendida
do retacircngulo dada por S = ab
A gura a seguir representa um retacircngulo 100 e 80 em que a base e a altura
respectivamente foram subdivididas em 100(na) e 80(nb) partes com a mesma unidade
de comprimento
Figura 77 Retacircngulo 100 x 80
Fonte GeoGebra
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ES-
TUDO DE FUNCcedilOtildeES
Inicialmente sugere-se a apresentaccedilatildeo de algumas situaccedilotildees problema que
abordam de forma embutida as noccedilotildees intuitivas de limite de forma praacutetica Inclusive
o presente trabalho possui a preocupaccedilatildeo em mostrar aos alunos a simbologia moderna
utilizada em detrimento das expressotildees e locuccedilotildees de tendecircncia Observe
bull a) Se o cacircmbio do doacutelar americano tende a estabilizar em torno de R$ 233 entatildeo o
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 58
valor pago por 100 doacutelares estabiliza em torno de R$ 23300 Logo podemos falar
que o limite (valor pago por 100 doacutelares) eacute igual a R$ 23300 quando o valor pago por
1 doacutelar tende a R$ 233 Pode-se representar tal situaccedilatildeo por limxrarr100
2 33x = 233
bull b) Imagine uma placa metaacutelica quadrada que se expande uniformemente por estar
sendo aquecida Se x representa o comprimento do lado a aacuterea da placa eacute dada
por A(x) = x2 Evidentemente quando x se aproxima de 5 a aacuterea da placa A se
aproxima de 25 Essa situaccedilatildeo pode ser expressa simbolicamente por limxrarr5
x2 = 25
bull c) Suponha agora que vocecirc esteja dirigindo um automoacutevel Se o acelerador for pres-
sionado para baixo em torno de 4 cm entatildeo a velocidade se manteraacute proacutexima aos 120
Kmh Logo podemos dizer que o limite (velocidade instantacircnea do automoacutevel) eacute
igual a 120 Kmh quando o acelerador tender a 4 cm para baixo Matematicamente
escrevemos tal situaccedilatildeo por limxrarr4
v(x) = 120 onde v(x) eacute a velocidade instantacircnea do
automoacutevel e x eacute a medida em centiacutemetros do deslocamento do pedal do acelerador
bull d) Outra aplicaccedilatildeo interessante do limite de uma funccedilatildeo eacute o caacutelculo da velocidade
instantacircnea de um corpo em queda livre sob a accedilatildeo da gravidade dentre outras
inuacutemeras aplicaccedilotildees interdisciplinares disponiacuteveis
Apoacutes apresentar um panorama de aplicaccedilotildees simples faz-se necessaacuterio propor
o repasse das noccedilotildees intuitivas de limite utilizando o estudo de funccedilotildees De acordo com a
estrateacutegia disseminada pelos livros didaacuteticos uma das melhores formas de expor as ideias
de limite via funccedilotildees consiste em observar o comportamento de uma funccedilatildeo dada nas
proximidades de um ponto em sua vizinhanccedila
Vejamos um exemplo praacutetico Exemplo Observe o estudo analiacutetico do compor-
tamento de uma funccedilatildeo f na vizinhanccedila de um ponto Considere a funccedilatildeo f R2 minusrarr R
denida por
f(x) =x2 minus 4
xminus 2=
(x+ 2)(xminus 2)
xminus 2= x+ 2
Estudando o comportamento da referida funccedilatildeo nas proximidades do ponto
x = 2 dado que o mesmo natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada verica-se que
quando aproximamos os valores de x da abscissa x = 2 haacute uma aproximaccedilatildeo abrupta
para a imagem y = f(x) = 4 mesmo que se tome valores agrave esquerda (x lt 2) ou a direita
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 59
(x gt 2) da abscissa x = 2 Tal constataccedilatildeo sob o ponto de vista numeacuterico pode ser
interpretada a seguir via dados tabelados
Tabela 71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2
Aproximaccedilatildeo pela esquerda (x lt 2) Aproximaccedilatildeo pela direita (x gt 2)
x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2
f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4
Nesse momento eacute possiacutevel discutir com os alunos a noccedilatildeo intuitiva de limite
Note que tomando valores na vizinhanccedila de x = 2 o valor da funccedilatildeo permanece nas
proximidades de y = f(x) = 4 Inserindo a linguagem moderna precisa e concisa pode-se
dizer que ao fazer com que os valores de x tendam para a abscissa x = 2 (xrarr 2) os valores
das imagens tenderatildeo para a imagem y = f(x) = 4 (y rarr 4) a qual seraacute denominada de
limite e representada por L = limxrarr2
f(x) = 4 Note que esse limite representa o valor da
funccedilatildeo para x = 2 poreacutem esse valor de x natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada Tal
episoacutedio serve de base para explicar que o conceito de limite independe de a funccedilatildeo estar
denida naquele ponto especiacuteco e mais serve para representar que o limite de uma dada
funccedilatildeo pode natildeo ser o valor da imagem do ponto em que estamos investigando em sua
vizinhanccedila
Embora tal explicaccedilatildeo seja aceitaacutevel eacute bom ser cauteloso ao explicar a situaccedilatildeo
Caso ainda haja duacutevida recomenda-se a construccedilatildeo do graacuteco da referida funccedilatildeo via Geo-
Gebra Nesse software ao inserir no campo entrada as coordenadas do ponto F = (2 f(2))
o programa indicaraacute na janela de Aacutelgebra a informaccedilatildeo de que tal ponto eacute indenido e
quando inserirmos G = (1999 f(1999)) o GeoGebra indicaraacute um ponto praticamente so-
bre o ponto (2 4) o qual eacute o ponto indenido cuja imagem representaraacute o limite da funccedilatildeo
Oportunidade riquiacutessima para mencionar a relaccedilatildeo importacircnciadependecircncialimitaccedilatildeo de
um software no estudo de Matemaacutetica
Para melhor compreensatildeo observe a imagem capturada da tela do GeoGebra
Eacute interessante mencionar que esse fenocircmeno pode ser generalizado de maneira informal
para qualquer funccedilatildeo f(x) denida em um intervalo aberto em torno de x = a exceto
talvez em x = a Se f(x) ca arbitrariamente proacuteximo de L para todos os valores
de x sucientemente proacuteximos de a dizemos que f tem limite L quando x tende para
a e escrevemos limxrarra
f(x) = L Nesse iacutenterim eacute vaacutelido ressaltar que o conceito formal
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 60
utilizando eacutepsilon e delta seraacute visto em um curso especiacuteco de Caacutelculo I E mais haacute
disponiacutevel diversos sites na internet com variados applets (programas desenvolvido via
GeoGebra) com atividades que explicam toacutepicos do estudo de Caacutelculo por exemplo
em BIZELLI (2014) [33] responsaacutevel pelo site do Instituto de Quiacutemica da Universidade
Estadual de Satildeo Paulo (UNESP) em que disponibiliza applets que orientam diversos
assuntos dentre os quais destacamos o estudo da ideia de limite de uma funccedilatildeo que
corresponde a uma contribuiccedilatildeo construtiva para o conhecimento de forma luacutedica concreta
e com possibilidades de inuacutemeras iteraccedilotildees
Figura 78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita
Fonte Imagem capturada de uma janela do GeoGebra
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees
Ao estudar a construccedilatildeo dos graacutecos das principais funccedilotildees estudadas durante
o ensino meacutedio diversos questionamentos satildeo levantados por alunos A principal pergunta
dos alunos consiste em como obter garantias sucientes e esclarecedoras sobre o compor-
tamento das curvas (Quando crescem ou decrescem Quando os eixos ou determinas retas
satildeo consideradas assiacutentotas das curvas em questatildeo Selecionando um intervalo qualquer
presente no 1o quadrante por exemplo o que signica e como se calcula a aacuterea sob o
graacuteco dessa funccedilatildeo) Alguns desses e outros questionamentos satildeo frequentes em sala de
aula e serviram de base para a discussatildeo que seraacute feita a partir desse momento
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 61
Ao representar o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau do 2o grau Exponencial
ou Logariacutetmica geralmente representa-se apenas uma parte da funccedilatildeo a partir de valores
discretos para as abscissas Em seguida traccedilamos o graacuteco de maneira natural de acordo
com a amostragem construiacuteda por exemplo via tabela que relaciona o par (x f(x))
Satildeo raros os professores que abrem a discussatildeo em torno de valores contiacutenuos para a
variaacutevel x Uma estrateacutegia boa para garantir aos alunos que o crescimentoconcavidade
da referida natildeo se altera para algum valor de x e que em alguns casos o crescimento tende
para o innito seria utilizar as ferramentas do Caacutelculo mas tais ferramentas natildeo estatildeo
disponiacuteveis no Ensino Meacutedio Daiacute a necessidade de fornecer um suporte especiacuteco de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo para justicardemonstrar algumas propriedades que satildeo
simplesmente comentadas sem a prova de que satildeo vaacutelidas independentemente do valor do
domiacutenio ser discreto ou contiacutenuo isto eacute a validade eacute para todo o domiacutenio real de deniccedilatildeo
da funccedilatildeo um preluacutedio ao conceito de continuidade de funccedilatildeo
As questotildees referentes agrave tendecircncia de crescimento para o innito ou agrave apro-
ximaccedilatildeo a uma reta assiacutentota satildeo explicadas via noccedilotildees de limites Negligenciar tal
discussatildeo como eacute praxe na educaccedilatildeo baacutesica contribui vertiginosamente para a desmoti-
vaccedilatildeo dos alunos e como consequecircncia reduz o rendimento das escolas de educaccedilatildeo baacutesica
e superior
Por exemplo suponha hipoteticamente que um dado aluno do Ensino Meacutedio
faccedila dois questionamentos acerca do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica Por que a funccedilatildeo
logariacutetmica eacute crescentee O que garante que quando os valores de x tendem para o
innito positivo os valores das imagens (f(x)) tendem tambeacutem para o innito positivo
Eacute notoacuterio que inuacutemeros professores do Ensino Meacutedio teriam diculdade em explicar com
transparecircncia e argumentos vaacutelidos tais perguntas Com o intuito de ajudar colegas
que apresentem inseguranccedila diculdade e alguma outra adversidade na arte de lecionar
esse conteuacutedo particular proposto observe a maneira escolhida para justicaacute-las Note
que para explicaacute-las faz-se necessaacuterio formalizaacute-las segundo proposiccedilotildees (teoremas) e em
seguida demonstraacute-las Aleacutem disso verique que a segunda proposiccedilatildeo torna-se suciente
a partir da prova de monotonicidade da primeira
Proposiccedilatildeo 721 A funccedilatildeo logariacutetmica de base 10 (logaritmos decimais) eacute crescente
isto eacute se 0 lt x lt y entatildeo log x lt log y
Demonstraccedilatildeo Sejam x e y dois nuacutemeros positivos com x lt y ou seja existe um nuacutemero
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 62
m gt 1 tal que y = mx Daiacute temos log y = log (mx) = log m + log y Como m gt 1
segue que log m gt 0 Conclusatildeo log y gt log x como queriacuteamos demonstrar
Proposiccedilatildeo 722 Quando x tende para +infin log x tende para +infin Isto eacute quando
tomamos valores positivos cada vez maiores para x o logaritmo decimal cresce e pode
torna-se maior do que qualquer nuacutemero positivo prexado
Demonstraccedilatildeo Dado qualquer nuacutemero real J gt 0 pode-se obter K gt 0 tal que para
todo x gt K se tem log x gt J Assim dado J gt 0 escolhemos primeiro um nuacutemero inteiro
positivo M tal que M gt Jlog 2
Entatildeo log (2M) = M log 2 gt J Tome agora K = 2M
Note que qualquer que seja x gt K como a funccedilatildeo logaritmo de base 10 eacute crescente
tem-se que log x gt log K gt J Isso prova que todos os nuacutemeros reais x gt K possuem
logaritmos decimais maiores do que J Utilizando uma linguagem moderna e avanccedilada
concluiacutemos que limxrarr+infin
log x = +infin
Eacute vaacutelido ressaltar que a maioria dos livros analisados natildeo demonstra tais pro-
posiccedilotildees apenas faz citaccedilotildees como propriedades vaacutelidas Somente o livro do IEZZI (2010)
[15] e o do LIMA (2006) [17] fazem menccedilatildeo de maneira deciente injusticada e dife-
rente da apresentada Note que a escolha da funccedilatildeo logariacutetmica foi com a nalidade de
escapar da comodidade de trabalhar com funccedilotildees simples (1o e 2o grau) e para mostrar
um questionamento que pode ser uacutetil em sala de aula Foi feita apenas uma apresentaccedilatildeo
simples de demonstraccedilatildeo de uma propriedade muito utilizada no estudo de Logaritmos
mas eacute claro que haacute outras pertinentes e que exigem um olhar diferenciado do professor
regente Tambeacutem eacute bom salientar a necessidade de empregar noccedilotildees intuitivas de limite
para completar e raticar o raciociacutenio
Agora suponha que um aluno faccedila um questionamento interdisciplinar ou seja
vamos admitir que um dado aluno tenha recebido a informaccedilatildeo numa aula de Fiacutesica de que
a aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo representa o espaccedilo percorrido por um moacutevel ou o tra-
balho de uma forccedila por exemplo Diante dessa situaccedilatildeo o aluno lhe peccedila esclarecimentos
sobre tal informaccedilatildeo Como explicar essa situaccedilatildeo utilizando somente matemaacutetica ele-
mentar faltaria argumentos faz-se necessaacuterio inserir noccedilotildees elementares do Caacutelculo para
justicar e esclarecer os fatos para o dado aluno
Por exemplo considere uma paraacutebola denida por y = x2 em que y represente
a velocidade e x o tempo percorrido por um moacutevel num dado instante Caso o interesse
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 63
esteja voltado para o caacutelculo do espaccedilo percorrido pelo moacutevel no primeiro intervalo (uni-
dade) de tempo eacute preciso calcular a aacuterea da faixa de paraacutebola (A(x2)ba) compreendida
entre as retas verticais x = 0 e x = 1 Como as ferramentas de Caacutelculo natildeo estatildeo disponiacute-
veis e tambeacutem natildeo possuiacutemos uma foacutermula especiacuteca para efetuar o caacutelculo a resoluccedilatildeo
do referido problema deve empregar um raciociacutenio que evocaraacute noccedilotildees intuitivas do caacutel-
culo Para realizar e estimar o caacutelculo da aacuterea em questatildeo eacute necessaacuterio decompor a regiatildeo
[0 1] sob a curva em (n+1) intervalos justapostos de mesmo comprimento e calcular uma
aproximaccedilatildeo inferior para a faixa A(x2)01 atraveacutes da aacuterea do poliacutegono retangular Pn+1
inscrito na faixa da paraacutebola y = x2 Vide gura a seguir que exemplica a aproximaccedilatildeo
inferior da aacuterea de uma faixa de paraacutebola por intermeacutedio da aacuterea do poliacutegono retangular
P6com 6 intervalos justapostos de mesmo comprimento (n = 5)
Figura 79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5
Fonte GeoGebra
A aacuterea (S) do poliacutegono retangular Pn+1 inscrito na faixa da paraacutebola y = x2
seraacute dada pela soma das aacutereas de todos os retacircngulos contidos na regiatildeo sob a paraacutebola
isto eacute
S = A1 + A2 + A3 + middot middot middot+ An
rArr S = 1(n+1)
f(
1n+1
)+ 1
(n+1)f(
2(n+1)
)+ 1
(n+1)f(
3(n+1)
)+ middot middot middot+ 1
(n+1)f(
n(n+1)
)
Substituindo os valores da funccedilatildeo em cada particcedilatildeo considerada e utilizando a
fatoraccedilatildeo por evidecircncia tem-se
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 64
S =1
(n+ 1)3(1 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
rArr S =1
(n+ 1)3
(n3
3+n2
2+n
6
)=
1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)
Segue daiacute a conclusatildeo de que tomando valores cada vez maiores para n isto
eacute aumentando o nuacutemero de subintervalos aumentamos o nuacutemero de retacircngulos e con-
sequentemente a diferenccedila entre a aacuterea (S) do poliacutegono retangular e a aacuterea da faixa de
paraacutebola aproxima-se de zero Eacute oacutebvio que quando n tende para o innito (n rarr infin) a
aacuterea S tende para a aacuterea da faixa de paraacutebola ou seja S sim= A(x2)01 =13 Em linguagem
moderna e avanccedilada temos
limsrarrinfin
S = limnrarrinfin
[1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)]=
1
3
A construccedilatildeo da atividade acima deve ser realizada de maneira gradual ou seja
solicitando aos alunos que calculem a aacuterea do poliacutegono retangular a partir de subcasos
supondo valores para n por exemplo n = 5 e depois para n = 10 Essa atividade pode ser
realizada com auxiacutelio de calculadora cientiacuteca ou entatildeo via planilha eletrocircnica (do Excel
ou CALC ou ateacute do GeoGebra) Apoacutes resolver os problemas para os casos particulares
(encontrar a aacuterea por falta) sugira aos alunos para que tentem generalizar o meacutetodo ateacute
conseguir encontrar a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] Essa aacuterea foi encontrada
experimentalmente por Arquimedes atraveacutes de O meacutetodo de equiliacutebrio e demonstrado via
meacutetodo da exaustatildeo com argumentos de dupla reductio ad absurdum Com o meacutetodo de
equiliacutebrio Arquimedes vericava e testava a validade da propriedade Jaacute com o meacutetodo da
exaustatildeo que historicamente eacute creditado a Eudoxos poreacutem segundo EVES (2004) [11]
jaacute havia antecipaccedilatildeo de tais ideias nos trabalhos do sosta Antiacutefon (c 430 aC) o mestre
de Siracusa demonstrava a validade da proposiccedilatildeo formando um verdadeiro preluacutedio agraves
escuras das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular a ideia intuitiva de limite
Veja a construccedilatildeo do graacuteco via GeoGebra da aacuterea do poliacutegono retangular
para cinco cinquenta e cem intervalos de mesmo comprimento
Eacute notoacuterio que fazendo n tender para o innito a faixa escura cresceraacute e tenderaacute
para a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] cuja aacuterea corresponde a um terccedilo da
aacuterea do quadrado de mesma base E mais pode-se concluir que a aacuterea de metade do
segmento paraboacutelico (regiatildeo limitada pela reta secante pontilhada e pela paraacutebola) contido
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 65
Figura 710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50
Fonte Geogebra
Figura 711 Poliacutegono Retangular para n = 100
Fonte Geogebra
no quadrado de lado unitaacuterio mede 23 ou melhor eacute possiacutevel concluir que a aacuterea do segmento
paraboacutelico da paraacutebola em questatildeo mede 43 Esse procedimento consiste na quadratura da
paraacutebola cuja autoria de forma rudimentar isto eacute com as ferramentas disponiacuteveis para a
eacutepoca eacute creditada a Arquimedes via Meacutetodo de Equiliacutebrio e Meacutetodo da Exaustatildeo
Tambeacutem eacute necessaacuterio dizer que o problema de calcular aacute aacuterea referida acima
poderia ser solucionado decompondo o intervalo [0 1] em subintervalos contendo trapeacutezios
circunscritos de forma que a aacuterea do poliacutegono trapezoidal circunscrito agrave faixa de paraacute-
bola fosse uma aproximaccedilatildeo por excesso Possivelmente os alunos vatildeo reclamar muito
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 66
das contas que apareceratildeo pois os caacutelculos natildeo satildeo tatildeo simples assim como a teacutecnica
propriamente dita Mas segundo MACHADO (2008) [19] esse aspecto eacute favoraacutevel pois
prepararaacute o aluno para que venha a apreciar as facilidades que seratildeo depois apresentadas
em um curso de Caacutelculo Inclusive eacute possiacutevel mencionar a existecircncia de um teorema im-
portantiacutessimo que cita a existecircncia um ponto entre as aacutereas por aproximaccedilotildees por falta
e por excesso que as tornam iguais Esse teorema eacute conhecido como Teorema do Valor
Meacutedio
Outra atividade excelente de aplicaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
correlatas do Caacutelculo eacute o caacutelculo da chamada Aacuterea de uma faixa de Hipeacuterbole Antes de
deni-la eacute preciso preacute-estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas em que H seraacute
considerado algebricamente como o ramo positivo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x isto eacute
H = (x y)x gt 0 y = 1x ou geometricamente ramo da Hipeacuterbole Equilaacutetera (xy = 1)
contido no primeiro quadrante A partir dessas consideraccedilotildees eacute possiacutevel denir a faixa
de hipeacuterbole e de forma especiacuteca como consequecircncia imediata propor uma ligaccedilatildeo com
o estudo de logaritmos naturais Esse trabalho pode ser conferido na iacutentegra em LIMA
(1980) [16] em que o autor com maestria faz uma abordagem geomeacutetrica do estudo dos
logaritmos e suas consequecircncias (construccedilatildeo da tabela de logaritmos caacutelculo de raiacutezes
inexatas de iacutendice qualquer caacutelculo de potecircncias de base e expoente qualquer construccedilatildeo
do nuacutemero de Euler e sua ligaccedilatildeo com o logaritmo natural e nalmente propor o estudo
da Funccedilatildeo Exponencial)
Nesse iacutenterim eacute possiacutevel propor uma atividade de aplicaccedilatildeo interdisciplinar
sobre a relaccedilatildeo existente entre o crescimento exponencial e o decaimento (desintegraccedilatildeo)
radioativo Esse problema eacute comum nos livros de Ensino Meacutedio Observe a situaccedilatildeo pro-
blema descrita a seguir em que eacute apresentada uma maneira construtiva de explorarutilizar
as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
Situaccedilatildeo Problema A Desintegraccedilatildeo Radioativa consiste na emissatildeo espontacirc-
nea de raios (partiacuteculas e ondas) de nuacutecleo instaacutevel com o objetivo de adquirir estabilidade
em que um aacutetomo radioativo (por exemplo o Raacutedio e o Uracircnio) eacute transformado num ele-
mento quiacutemico diferente Essa transformaccedilatildeo faz com que a quantidade de substacircncia
original diminua a cada instante de forma que a desintegraccedilatildeo seja proporcional agrave massa
da substacircncia original presente no corpo naquele momento A constante (α) de proporci-
onalidade eacute especiacuteca para cada substacircncia e eacute determinada experimentalmente
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
Suponha hipoteticamente que um corpo de massa M0 seja formado por uma
substacircncia radioativa cuja taxa de desintegraccedilatildeo seja α Caso o processo de desintegraccedilatildeo
seja instantaneamente a cada segundo tem-se que para t = 0 a massa correspondente eacute
M0 Decorrido o tempo t = 1 segundo ocorreraacute uma perda de αM0 unidade de massa
restando somente a massa M1 = M0 minus αM0 = (1 minus α)M0 Para t = 2 segundos implica
que a massa restante seraacute dada porM2 = (1minusα)M1 = (1minusα)2M0 Esse processo pode ser
generalizado isto eacute apoacutes n segundos temos Mn = M0(1minus α)n Poreacutem a desintegraccedilatildeo
se processa de forma contiacutenua e natildeo apenas discreta Daiacute eacute necessaacuterio pensar que a
desintegraccedilatildeo seja feita em fraccedilotildees de intervalos de 1nde segundo Assim apoacutes a primeira
fraccedilatildeo de 1nde segundo a massa do corpo se reduziria para M0 minus α
nM0 =
(1minus α
n
)M0
Realizando uma subdivisatildeo do intervalo [0 1] em um nuacutemero n cada vez maior de particcedilotildees
iguais tem-se que a massa resultante se reduziria para a aproximaccedilatildeo(1minus α
n
)nM0
Logo quando n tender para o innito a expressatildeo(1minus α
n
)nM0 tenderaacute para M0e
minusα
Em linguagem moderna e avanccedilada tem-se limnrarrinfin
(1minus α
n
)nM0 = M0 lim
nrarrinfin
(1minus α
n
)n=
M0eminusα Caso se queira calcular a massa apoacutes t segundos eacute preciso dividir o intervalo [0 t]
em n partes iguais em que cada intervalo parcial receberaacute uma perda de massa de αtnM0
Repetindo esse processo encontra-se a expressatildeo que fornece a massa do corpo apoacutes t
segundo decorridos M(t) = M0eminusα A tiacutetulo de curiosidade vale a pena ressaltar que
a constante α eacute determinada a partir de um nuacutemero baacutesico denominado de meia-vida da
substacircncia (tempo necessaacuterio para que se desintegre a metade da massa de um corpo)
73 EXPLORANDOAS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS
IMPLICACcedilOtildeES
Comumente ao estudar conjuntos numeacutericos em particular ao estudar o con-
junto dos nuacutemeros racionais nos deparamos com nuacutemeros decimais innitos poreacutem perioacute-
dicos os quais satildeo denominados de diacutezimas perioacutedicas Dentre as diacutezimas perioacutedicas mais
ceacutelebres com absoluta certeza estaacute o nuacutemero decimal perioacutedico 0 999 Esse nuacutemero gera
bastante desconforto entre os alunos do Ensino Meacutedio principalmente quando o professor
de Matemaacutetica arma que 1 = 0 999 Anal de contas o que eacute uma diacutezima perioacutedica
e o que representa Esses questionamentos satildeo frequentes e recorrentes durante as aulas
de Matemaacutetica que requerem a utilizaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedicas
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 68
Conforme jaacute foi denido denominamos de diacutezima perioacutedica todo nuacutemero ra-
cional com representaccedilatildeo decimal innita e perioacutedica Haacute diacutezimas perioacutedicas simples e
compostas Nesse trabalho apenas far-se-aacute uma anaacutelise da formaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedi-
cas simples (por exemplo 0 111 0 353535 0 456456456etc)
As diacutezimas perioacutedicas em geral representam uma soma innita de termos de
uma progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo entre 0 e 1 Assim por exemplo a diacutezima perioacutedica
0 111 eacute equivalente a soma S = 0 1 + 0 01 + 0 001 + cujo primeiro termo coincide a
razatildeo numericamente igual a 0 1
Muitos problemas de matemaacutetica elementar exigem que o aluno de Ensino
Meacutedio determine a fraccedilatildeo geratriz correspondente a uma dada diacutezima perioacutedica Para
realizar tal feito os professores utilizam diversos recursos e artimanhas dentre as quais
eacute possiacutevel citar o meacutetodo em que haacute o repasse de uma foacutermula com bastante decoreba
e pouca compreensatildeo o meacutetodo que requer a utilizaccedilatildeo de artifiacutecio via equaccedilatildeo do 1o
grau e o meacutetodo de considerar a diacutezima como uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo (q) variando entre 0 e 1 A exposiccedilatildeo seguinte apenas expotildee
o meacutetodo de obtenccedilatildeo da diacutezima via comparaccedilatildeo como uma soma de termos de progressatildeo
geomeacutetrica innita
Para dar continuidade a exibiccedilatildeo eacute necessaacuterio estudar como eacute feita a soma dos
n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica nita Assim dada uma progressatildeo ge-
omeacutetrica (a1 a2 a3 middot middot middot an) dene-se a soma (S) dos termos dessa progressatildeo geomeacutetrica
da seguinte maneira
S = a1 + a2 + a3 + middot middot middot+ an = a1 + a1q + a1q2 + a1q
3 + middot middot middot+ a1qnminus1 (1)
Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo (1) pela razatildeo q tem-se
qS = qa1 + qa2 + qa3 + middot middot middot+ qan = qa1 + a1q2 + a1q
3 + a1q4 + middot middot middot+ a1q
n (2)
Subtraindo (1) de (2) membro a membro tem-se
qS minus S = a1qn minus a1 = a1(q
n minus 1)rArr S(q minus 1) = a1(qn minus 1)rArr S =
a1(qn minus 1)
q minus 1
Assim a soma (S) dos n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de
razatildeo (q) eacute dada em funccedilatildeo do primeiro termo da razatildeo e do nuacutemero de termos
Quando se dispotildee de uma diacutezima perioacutedica ou melhor de uma soma de termos
de progressatildeo geometria innita cuja razatildeo pertence ao intervalo (0 1) percebemos que
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 69
o termo qn se aproxima de zero a medida que n tende ao innito Em outra linguagem
o limite da soma (S) quando n tende ao innito eacute dado por
limnrarrinfin
S = limnrarrinfin
[a1(q
n minus 1)
q minus 1
]=a1 middot (minus1)q minus 1
=a1
1minus q
Como exemplo observe o caacutelculo da fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 0 999 middot middot middot
Note que 0 999 middot middot middot equivale a soma S = 0 9 + 0 09 + 0 009 + middot middot middot
Essa soma representa o somatoacuterio dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita cuja razatildeo eacute dada por q = 0 1 Substituindo a1 = 0 9 e q = 0 1 tem-se
S = limnrarrinfin
[0 9
[( 110)n minus 1
]0 1minus 1
]=
0 9 middot (minus1)0 1minus 1
=minus0 9minus0 9
= 1
Isto eacute o limite do somatoacuterio dos termos da progressatildeo geomeacutetrica innita em
questatildeo eacute igual a um quando tomamos n tendendo para o innito
Haacute uma seacuterie de problemas que utilizam de tais recursos dentre os quais se
destacam a formaccedilatildeo de determinados mosaicos o processo de divisatildeo celular via meiose
o processo decaimento radioativo etc
O estudo do somatoacuterio de uma quantidade innita resultar numa quantidade
nita aparece historicamente no paradoxo de Zenon (por volta do seacuteculo V aC) que
surpreendentemente promove uma corrida em forma de aposta entre um famoso guerreiro
(Aquiles) da Greacutecia antiga e uma tartaruga Nessa corrida Aquiles conhecedor de sua
superioridade oferece uma vantagem para tartaruga poreacutem Aquiles nunca alcanccedila a
tartaruga pois por mais devagar que ela caminhe quando ele chegar agrave posiccedilatildeo inicial da
tartaruga a mesma teraacute avanccedilado um pouco E quando Aquiles cobrir esta distacircncia
a tartaruga teraacute avanccedilado um pouco mais e assim sucessivamente Embora os gregos
soubessem que do ponto de vista praacutetico Aquiles seria o vencedor natildeo sabiam explicar
tal fato do ponto de vista matemaacutetico Eacute vaacutelido ressaltar que tal ausecircncia de clareza por
parte dos matemaacuteticos gregos era justicada pela ausecircncia do conhecimento das noccedilotildees
intuitivas de limite Note que o limite da diferenccedila entre as distacircncias entre os dois
corredores tende para zero
Aleacutem de Zenon outro matemaacutetico grego percebeu e calculou com bastante
habilidade a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica com innitos termos cuja
razatildeo estava compreendida entre 0 e 1 Nessa eacutepoca o mestre de Siracusa (Arquimedes)
estava estudando e analisando quadraturas Para isso ele utilizava dois meacutetodos antigos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 70
de muito prestiacutegio O meacutetodo de Equiliacutebrio de autoria do proacuteprio Arquimedes e o meacutetodo
da Exaustatildeo credita a Eudoxos Numa de suas pesquisas em busca da quadratura de um
segmento paraboacutelico Arquimedes conseguiu demonstrar experimentalmente via meacutetodo
de Equiliacutebrio que a aacuterea do segmento de paraacutebola correspondia a 43da aacuterea do triacircngulo
inscrito no segmento paraboacutelico Essa demonstraccedilatildeo ismiuccedilada em CONTADOR (2012)
[6] Arquimedes utilizou o conhecimento dessa proposiccedilatildeo para realizar a quadratura da
paraacutebola Nesse trabalho foi encontrada pela primeira vez a soma de uma seacuterie innita
Acompanhe duas aplicaccedilotildees do estudo de somas de progressotildees geomeacutetricas
innitas cuja razatildeo (q) seja dada por |q| lt 1 e q natildeo nulo
Figura 712 Processo re-
cursivo de Quadrados
Figura 713 Processo
recursivo de Triacircngulos
Equilaacuteteros
Note que as guras acima determinam o comportamento das aacutereas e dos pe-
riacutemetros dos novos quadrados e dos novos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir dos
pontos meacutedios dos lados da gura anterior Para isso considere o quadrado inicial de
lado l e o triacircngulo equilaacutetero inicial de lado 2α
Note que as sequecircncias das aacutereas dos quadrados e dos triacircngulos equilaacuteteros
a partir do primeiro quadrado e do primeiro triacircngulo equilaacutetero satildeo dadas respectiva-
mente por(l2 l
2
2 l
2
4 l
2
8 middot middot middot
)e(a2radic3 a
2radic3
4 a
2radic3
8 middot middot middot
)
Por conseguinte a soma (SQ) das aacutereas dos innitos quadrados formados a
partir do quadrado primitivo de lado l representa uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo q = 12a qual seraacute dada por SQ = a1
1minusq =l2
2
1minus 12
=l2
212
= l2 Isto
eacute a soma (SQ) coincide com a aacuterea do quadrado primitivo de lado l Jaacute a soma (STE)
das aacutereas dos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir do triacircngulo equilaacutetero de lado 2a
tambeacutem representa uma soma de termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita de razatildeo
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 71
q = 14 a qual seraacute dada por STE = a1
1minusq = a2radic3
1minus 14
= a2radic3
34
= 43a2radic3 Isto eacute a soma (STE)
equivale a 43da aacuterea do triacircngulo equilaacutetero primitivo de lado 2a
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de
limite
A origem dessa discussatildeo iniciou-se na Greacutecia com a crise na Escola Pitagoacuterica
diante da descoberta de grandezas incomensuraacuteveis isto eacute apoacutes provarem que eacute impossiacutevel
existir um submuacuteltiplo comum (α) entre o lado (L) e a diagonal (D) de quadrado de lado
unitaacuterio tal que L = mα e D = nα
Nesse iacutenterim surgiu o questionamento da existecircncia de uma unidade comum
innitamente pequena (um submuacuteltiplo) de forma que ela pudesse medir o lado e a dia-
gonal do quadrado Caso tal existecircncia se conrmasse seria loacutegica a discussatildeo realizada
por volta do seacuteculo V aC pelo matemaacutetico grego Zenon que questionava o fato de que
uma soma innita pudesse ser nita ou ainda utilizando a linguagem moderna se seria
possiacutevel fazer com que o limite da diferenccedila entre as distacircncias percorridas por Aquiles
e a tartaruga tendesse a zero Segundo os anais da Histoacuteria da Matemaacutetica o paradoxo
de Zenon e suas consequecircncias assim como a descoberta das grandezas incomensuraacuteveis
satildeo relatos pioneiros e rudimentares da presenccedilaintervenccedilatildeo do conceito de limite num
problema matemaacutetico
Atualmente eacute possiacutevel concluir que se o segmento AB eacute incomensuraacutevel com
o segmento unitaacuterio α entatildeo a medida de AB eacute um nuacutemero irracional E como exemplo
ceacutelebre de nuacutemero irracional pode-se citar a medida da razatildeo aacuteurea (o famoso nuacutemero
de ouro 1+radic5
2) e a medida da diagonal de um quadrado de lado unitaacuterio cuja medida
corresponde ao nuacutemero irracionalradic2 Os exemplos escolhidos satildeo excelentes didaacuteticos e
histoacutericos Inclusive em GALARDA et al (1999) [13] haacute uma discussatildeo aberta sobre qual
nuacutemero irracional apareceu primeiro natildeo se sabe se foiradic2 ou
radic5 que primeiro revelou a
existecircncia de grandezas incomensuraacuteveis
Mesmo sabendo que natildeo eacute possiacutevel determinar com exatidatildeo o valor deradic2 eacute
possiacutevel relacionar aproximaccedilotildees por falta e por excesso de nuacutemeros racionais construindo
uma sequecircncia innita de nuacutemeros racionais tais que seus quadrados sejam todos menores
do que 2
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 72
Observe a tabela a seguir em que a primeira coluna representa uma sequecircncia
innita de nuacutemeros racionais a segunda coluna representa seus quadrados e a terceira
coluna representa a diferenccedila entre quadrado da diagonal e cada termo quadraacutetico na seacuterie
gerada Note que tomando aproximaccedilotildees com um nuacutemero reduzido de casas decimais
foi possiacutevel construir uma sequecircncia de quadrados em que com apenas seis iteraccedilotildees
tornou-se miacutenima a diferenccedila entre os valores quadraacuteticos da seacuterie formada e o nuacutemero 2
Assim pode-se tornar a diferenccedila tatildeo pequena quanto se queira aumentando o nuacutemero de
iteraccedilotildees Quando o nuacutemero de iteraccedilotildees tende ao innito de fato tem-se que a diferenccedila
tenderaacute a zero e consequentemente obteacutem-se o valorradic2
Tabela 72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais
Nuacutemero (xi) da Sequecircncia Quadrado de xi 2minus x2i1 1 1
14 196 004
141 19881 00119
1414 1999396 0000604
14142 1999962 0000038360000000237100000000000
141421 199999 0000010075900000128300000000000
Aleacutem de ser uma atividade rica de utilizaccedilatildeo da calculadora em sala de aula
eacute uma excelente oportunidade de expor de maneira compreensiva a inuecircncia de que a
noccedilatildeo de limite estaacute associada agrave ideia de incomensurabilidade
Eacute vaacutelido ressaltar que um procedimento anaacutelogo pode ser aplicado para caacutel-
culo do nuacutemero π por meio da divisatildeo do periacutemetro do poliacutegono regular inscrito pela
maior diagonal desse poliacutegono Quanto maior o nuacutemero de lados desse poliacutegono inscrito
mais proacuteximo do comprimento da circunferecircncia estaraacute seu periacutemetro e consequentemente
promoveraacute uma melhor aproximaccedilatildeo para o valor do nuacutemero π
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua
Embora sugira um aspecto bastante abstrato o nuacutemero de Euler (e) estaacute
presente em diversos processos de crescimento ou decrescimento exponencial dentre os
quais possui destaque o problema de aplicaccedilatildeo de um capital a uma taxa anual de k
com juros compostos capitalizados de forma contiacutenua durante t anos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 73
Suponha hipoteticamente que um determinado capital C0 seja aplicado a
juros de 100 ao ano
Caso sejam incorporados ao capital somente no nal do ano entatildeo ao nal de
um ano teriacuteamos o montante de R$ 200 para cada R$100 investido isto eacute o capital nal
acumulado apoacutes um ano eacute dado por
C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0
Agora a forma de incorporaccedilatildeo dos juros seraacute alterada poreacutem mantendo a
taxa anual de 100
Suponha que a referida taxa seja decomposta em duas taxas semestrais de
50 sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada semestre Daiacute segue que a
partir do capital inicial C0 haveraacute duas acumulaccedilotildees a serem consideradas A primeira
ocorreraacute ao nal do 1o semestre e a segunda ao nal do 2o semestre com a ressalva de
que o capital inicial a ser utilizado no caacutelculo do montante do 2o semestre coincide com o
montante acumulado ao nal do 1o semestre Em outras palavras ou melhor adotando
a linguagem moderna da matemaacutetica tem-se
1 Capital apoacutes o nal do 1o semestre
C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)
rArr C12 = C0(1 + 12)
2 Capital apoacutes o nal do 2o semestre
C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)
rArr C1 = C0(1 + 12)2
3 Suponha que a referida taxa seja decomposta em quatro taxas trimestrais de 25
sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada trimestre Capital apoacutes o
nal do 1o trimestre
C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)
rArr C14 = C0(1 + 14)
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 74
4 Capital apoacutes o nal do 2o trimestre
C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)
rArr C24 = C0(1 + 14)2
5 Capital apoacutes o nal do 3o trimestre
C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)
rArr C34 = C0(1 + 14)3
6 Capital apoacutes o nal do 4o trimestre
C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)
rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4
7 Caso a capitalizaccedilatildeo fosse mensal seria necessaacuterio subdividir ano e a taxa anual de
100 em 12 partes iguais daiacute o resultado seria
C1 = C0(1 + 112)12
8 Caso a incorporaccedilatildeo seja realizada de forma diaacuteria seria preciso subdividir o ano e
a taxa anual de 100 em 365 partes iguais daiacute segue que
C1 = C0(1 + 1365)365
Generalizando o fenocircmeno isto eacute subdividindo o ano e a taxa anual de 100
em n partes iguais e considerando-se que os juros satildeo incorporados ao capital no nal de
cada periacuteodo tem-se
C1 = C0(1 +1
n)n
Esquematizando uma tabela com o objetivo de analisar o comportamento da
expressatildeo (1 + 1n)n quando n cresce indenidamente tem-se
Note que a expressatildeo (1 + 1n)n aproxima-se indenidamente para um nuacutemero
decimal natildeo perioacutedico (nuacutemero irracional ou transcendental) denominado de nuacutemero de
Euler Tal nuacutemero eacute representado por e Uma aproximaccedilatildeo suciente com trecircs casas
decimais para tal nuacutemero eacute dada por e asymp 2 718
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 75
Tabela 73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler
Subdivisatildeo Fator de Acumulaccedilatildeo
n (1 + 1n)n
1 2
2 225
3 237037037
4 244140625
5 248832
10 259374246
50 2691588029
100 2704813829
1000 2716923932
10000 2718145927
100000 2718268237
1000000 2718280469
Assim conclui-se que um capital C0 aplicado a uma taxa de 100 ao ano
com capitalizaccedilatildeo contiacutenua (a cada instante) resultaraacute ao nal do 1o ano um valor C1 tal
que C1 = C0 middot e
Isto eacute quando n tende ao innito (incorporaccedilatildeo de juros de forma continuada
instantacircnea) tem-se que (1 + 1n)n tende para o nuacutemero irracional e
Eacute importante observar que caso a aplicaccedilatildeo seja a uma taxa anual de k ao
ano ao nal de um ano haveraacute um capital expresso por C1 = C0 middot ek Jaacute no nal de t
anos C1 = C0 middot ekt
Uma excelente demonstraccedilatildeo de modelagem matemaacutetica que faz uso do nuacutemero
de Euler de maneira construtiva e natildeo imperativa embora seja uma situaccedilatildeo hipoteacutetica
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteL-
CULO
Conforme jaacute foi visto nas atividades propostas na seccedilatildeo 621 o caacutelculo da
aacuterea de uma regiatildeo com algum lado curviliacuteneo natildeo eacute tatildeo oacutebvio como o caacutelculo da aacuterea de
uma regiatildeo poligonal Quando se pretende analisar a regiatildeo abaixo da curva cujo graacuteco
natildeo eacute retiliacuteneo em sua totalidade com o intuito de obter a medida da aacuterea sob a curva
a resoluccedilatildeo desse problema eacute realizada novamente por aproximaccedilatildeo da aacuterea da faixa de
hiperboacutele a ser calculada por um poliacutegono retangular inferior como se consideraacutessemos
a funccedilatildeo constante em cada instante e somaacutessemos todos os aacutereas dos retacircngulos ideais
Essa estrateacutegia eacute bastante motivadora poreacutem para que a estimativa seja boa eacute necessaacuterio
realizar um nuacutemero de iteraccedilotildees relativamente grande Para calcular aacuterea sob o graacuteco de
uma funccedilatildeo curviliacutenea utilizando a construccedilatildeo de poliacutegonos retangulares acrescentaremos
ao raciociacutenio a aproximaccedilatildeo via retacircngulos superiores fazendo com que a soma das aacutereas
desses retacircngulos (poliacutegono retangular inscrito e circunscrito) seja estimada tanto por
excesso quanto por falta
Eacute possiacutevel generalizar os casos tomando uma funccedilatildeo natildeo negativa e contiacutenua
num dado intervalo e dividi-lo em n subintervalos de mesmo comprimento em que cada
particcedilatildeo conteraacute um retacircngulo de mesma base de acordo com o nuacutemero de particcedilotildees e
cuja altura consiste no valor da funccedilatildeo numa dada extremidade do retacircngulo considerado
poreacutem seraacute proposto um processo mais construtivo que trabalha de forma concreta com
um nuacutemero de casos palpaacutevel por meio da anaacutelise de graacutecos de funccedilotildees quadraacuteticas de
hipeacuterboles equilaacuteteras e de funccedilotildees exponenciais O procedimento geral citado fornece
uma excelente aproximaccedilatildeo e o mesmo eacute amplamente encontrado nos livros de caacutelculo
com a denominaccedilatildeo popularmente conhecida como Somas de Riemann Nele ao tender
o nuacutemero de iteraccedilotildees (subdivisotildees do intervalo) para o innito tem-se que as somas de
Riemann tendem para o valor da aacuterea (A) da regiatildeo sob a curva que eacute denominada de
integral denida ou seja limnrarrinfin
S(n) =nsumk=1
f(xk) 4 x em que f(xk) e 4x representam
altura e comprimento do retacircngulo k
Observe a gura construiacuteda via GeoGebra com vinte retacircngulos inferiores e
superiores sob a curva da funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Note que a soma das aacutereas dos
retacircngulos inferiores (Si) (destacados de azul) e a soma das aacutereas dos retacircngulos superiores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 77
(Ss) (destacados de vermelho) para um nuacutemero de vinte intervalos iguais nos fornece uma
ideia de que a aacuterea pretendida estaacute compreendida entre 031 e 036 Isso serve como
instrumento empiacuterico para raticar uma armaccedilatildeo (quadratura da paraacutebola) demonstrada
na seccedilatildeo 621 em que foi constatado que a aacuterea da faixa de paraacutebola no intervalo [0 1]
mede 13
Figura 714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito)
Fonte Geogebra
Na mesma linha da anaacutelise anterior poreacutem com maior riqueza de detalhes e
consequecircncias pode analisar o comportamento do ramo positivo de uma hipeacuterbole equi-
laacutetera e da parte pertencente ao primeiro quadrante do graacuteco da funccedilatildeo exponencial
Somente seraacute realizada a anaacutelise do signicado geomeacutetrico da aacuterea de uma faixa de hi-
peacuterbole equilaacutetera Via GeoGebra proponha a construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x
e por meio do comando SomaDeRiemann solicite o caacutelculo de aproximaccedilotildees para a aacuterea
pretendida
Inicialmente proponha o caacutelculo da aacuterea do poliacutegono retangular inscrito e
circunscrito para n = 8 isto eacute pretende-se que o aluno determine uma aproximaccedilatildeo para
o valor da aacuterea da faixa da hipeacuterbole para uma subdivisatildeo de oito retacircngulos de mesmo
comprimento Veja o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo descrita
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 78
Figura 715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8
Fonte Geogebra
Espera-se que o aluno seja capaz de calcular a aacuterea da faixa de hipeacuterbole
denotada por H31 realizando o maior nuacutemero de iteraccedilotildees de subdivisotildees do intervalo
[1 3] Por exemplo ao dividi-la em oito particcedilotildees de mesmo comprimento encontra-se
os valores das abscissas 1 54 64 74 84 94 104 114 e 124 E calculando suas
respectivas imagens tem-se 1 45 46 47 48 49 410 411 e 412 Realizando o
caacutelculo da soma dos retacircngulos inferiores obteacutem-se
S =1
4middot 45+
1
4middot 46+
1
4middot 47+
1
4middot 48+
1
4middot 49+
1
4middot 410
+1
4middot 411
+1
4middot 412
rArr S asymp 1 019
O passo seguinte para o prosseguimento da atividade e para completar o racio-
ciacutenio depende de cada professor poreacutem eacute recomendaacutevel solicitar aos alunos que reproduza
a situaccedilatildeo descrita para outros valores de n por exemplo para n = 10 considerando o
intervalo de 1 ateacute 2 Seguindo esse procedimento espera-se que o aluno consiga calcular a
aacuterea com uma precisatildeo de cerca de 067 Observe o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo mencionada
Nesse momento o professor deve intervir diretamente na atividade inserindo
a deniccedilatildeo geomeacutetrica do logaritmo natural de x como a aacuterea da faixa de Hipeacuterbole de 1
ateacute x ou seja ln x = Aacuterea(Hx1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 79
Figura 716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10
Fonte Geogebra
A partir dessa deniccedilatildeo eacute possiacutevel questionar os alunos sobre a existecircncia de
uma dada abscissa que representaraacute a aacuterea de medida igual a 1 unidade Aleacutem disso pode-
se conjecturar uma boa aproximaccedilatildeo entre nuacutemeros inteiros para o nuacutemero neperiano (e)
de acordo com o estudo exposto acima Enm eacute necessaacuterio orientar os alunos com a
nalidade dos mesmos investigarem a existecircncia de uma aacuterea de uma faixa de hipeacuterbole
variando de 1 ateacute um certo x cuja aacuterea seja unitaacuteria ou equivalentemente procurar o
valor de x tal que ln x = Aacuterea(Hx1 ) = 1 A conclusatildeo obtida pelos alunos deve admitir a
existecircncia dessa abscissa e estimar que o valor procurado pertencente ao intervalo entre
2 e 3 Pode-se demonstrar que o valor de x em questatildeo trata-se do nuacutemero irracional e
cuja melhor aproximaccedilatildeo eacute dada por e = 2 718281828459 Nesse ponto eacute satisfatoacuterio
que o professor faccedila uma reexatildeo comparando o nuacutemero obtido com o nuacutemero de Euler
surgido ao resolver o problema de capitalizaccedilatildeo contiacutenua proposto historicamente pelos
irmatildeos Bernoulli
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 80
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri
O procedimento que seraacute apresentado a seguir consiste basicamente num re-
sumo dos estudos realizados no seacuteculo XVII pelo matemaacutetico Bonaventura Francesco
Cavalieri que recebeu forte inuecircncia dos predecessores Arquimedes Kepler Galileu e
Fermat
Esse grandioso trabalho de Cavalieri foi publicado em 1635 e foi intitulado de
Geometria indivisibilibus O meacutetodo proposto considerava um soacutelido formado pela reuniatildeo
de conjunto innito de planos isto eacute seu princiacutepio dizia que qualquer grandeza (plana ou
soacutelida) pode ser dividida numa quantidade innita de porccedilotildees (lacircminas) com espessura
innitesimal de tal modo que mantenham entre si proporccedilotildees desejadas
Segundo CONTADOR (2012 p 214) [7] um dos princiacutepios norteadores do
meacutetodo de Cavaliere dizia que se dois soacutelidos nos quais qualquer plano secante a eles e
paralelo a um plano dado determina neste soacutelido planos cuja razatildeo eacute constante entatildeo a
razatildeo entre os volumes destes soacutelidos tambeacutem seraacute constante
Observe por meio da utilizaccedilatildeo da linguagem moderna da matemaacutetica como
Cavalieri obteve a aacuterea lateral de um cilindro a aacuterea supercial da esfera e volume do
cone de revoluccedilatildeo a partir da reproduccedilatildeo de ideias publicadas em CONTADOR (2012)
[7]
Inicialmente eacute necessaacuterio considerar um soacutelido qualquer com bases paralelas
de altura h e aacuterea S e de volume (VL) dado por VL = Sh Agora imagine uma superfiacutecie
como uma lacircmina soacutelida em que sua altura h eacute innitamente pequena logo seu volume e
sua aacuterea seratildeo praticamente iguais ou seja S = VL
bull a) Caacutelculo da aacuterea (S) lateral de um cilindro
Eacute notoacuterio e consensual que o procedimento adotado na maioria dos livros di-
daacuteticos (caacutelculo da superfiacutecie lateral do cilindro reto eacute obtido a partir de uma regiatildeo
retangular de altura h e base 2π) possui uma abordagem excelente aos olhos da didaacutetica
e de acordo com a visatildeo criacutetica dos alunos tal procedimento eacute considerado de faacutecil assi-
milaccedilatildeocompreensatildeo contribuindo de modo satisfatoacuterio para o ensinoaprendizagem O
procedimento a ser apresentado tem como proposta o caacutelculo da aacuterea lateral de um cilindro
de altura h e raio da base igual a (r + x) a partir do volume VA do anel ciliacutendrico consi-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 81
derando x como uma espessura innitamente pequena pois a partir dessas consideraccedilotildees
eacute possiacutevel inserir a aplicaccedilatildeo das noccedilotildees de limite de uma maneira construtiva
Figura 717 Anel Ciliacutendrico
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 333
Note que o volume do cilindro interno de raio r e altura h eacute dado por Vi =
πr2h Jaacute o volume do cilindro externo de raio (r + x) e de mesma altura h eacute dado por
Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h
Assim o volume do anel ciliacutendrico seraacute dado por
VA = Ve minus Vi
rArr VA = πh(r2 + 2rx+ x2)minus πr2h
rArr VA = πh(2rx+ x2)
rArr VA = πh2rx+ πhx2
Fazendo a divisatildeo por x tanto do 1o membro quanto do 2o membro igualdade
tem-se
rArr VAx
= πh2r + πhx
Como VA = S middot x rArr S = VAx
e sabendo que x eacute innitamente pequeno segue
que a 2a parcela da soma do 2o membro tambeacutem seraacute tatildeo pequena ao ponto de consideraacute-la
nula
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 82
Assim
rArr VAx
= S = 2πhr
Observe que de fato S eacute aacuterea do retacircngulo de altura h e de base idecircntica ao
comprimento de um circunferecircncia de raio r
bull b) Caacutelculo da aacuterea da esfera (S)
O caacutelculo da aacuterea da superfiacutecie de uma esfera seraacute feito a partir da diferenccedila
entre os volumes das esferas externa e interna cujos raios satildeo (r+h) e r respectivamente
Figura 718 Casca de Esfera
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 337
VCasca = Ve minus Vi
rArr VCasca =4
3π(r + h)3 minus 4
3πr3
rArr VCasca =4
3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)
rArr VCasca =4
3π(3r2h+ 3rh2 + h3)
Utilizando procedimento anaacutelogo isto eacute dividindo ambos os termos por h
tem-se
rArr VCascah
=4
3π(3r2 + 3rh+ h2)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 83
Como VCasca = S middothrArr S = VCasca
he sabendo-se que h eacute innitamente pequeno
segue queVCascah
= S =4
3πr2
bull c) Caacutelculo do volume do cone de revoluccedilatildeo
Antes de deduzir a foacutermula VCone = 13πr2h em que r e h representam o raio e a
altura do cone respectivamente eacute vaacutelido ressaltar que historicamente esse feito eacute creditado
inicialmente a Demoacutecrito (c 410 aC) e sua evoluccedilatildeo posteriormente a Arquimedes que
utilizou brilhantemente seu meacutetodo de equiliacutebrio para conjecturar e o meacutetodo da exaustatildeo
de Eudoxo para provar a validade dessa relaccedilatildeo De acordo com EVES (2004) [11] o
pioneiro no Caacutelculo do volume do cone foi Demoacutecrito
() A chave eacute fornecida por Plutarco ao relatar o dilema a que chegoucerta vez Demoacutecrito quando considerou a possibilidade de um cone serformado de uma innidade de secccedilotildees planas paralelas agrave base Se duassecccedilotildees adjacentes fossem do mesmo tamanho o soacutelido seria um cilindroe natildeo um cone Se por outro lado duas secccedilotildees adjacentes tivessem aacutereasdiferentes a superfiacutecie do soacutelido seria formada de uma seacuterie de degrauso que certamente natildeo se verica Nesse caso se assumiu que o volumedo cone pode ser subdividido indenidamente (ou seja numa innidadede secccedilotildees planas atocircmicas) mas que o conjunto dessas secccedilotildees eacute contaacute-vel no sentido de que dada uma delas haacute uma outra que lhe eacute vizinhasuposiccedilatildeo que se situa ateacute certo ponto entre as duas jaacute consideradassobre a divisibilidade de grandezas Demoacutecrito pode ter argumentadoque se duas piracircmides de bases equivalentes e alturas iguais satildeo seccio-nadas por planos paralelos agraves bases vericando-se a divisatildeo das alturasnuma mesma razatildeo entatildeo as secccedilotildees correspondentes assim formadas satildeoequivalentes Portanto as piracircmides conteacutem o mesmo nuacutemero innito desecccedilotildees planas equivalentes o que implica que seus volumes devem seriguais Tem-se aiacute o que seria um exemplo primitivo do chamado meacutetododos indivisiacuteveis de Cavalieri () (EVES [11] 2004 p 420)
Considere o cone de diacircmetro da base AB = 2r e altura H composto pela
junccedilatildeo de n cilindros de raios variando de 0 agrave r e de altura h extremamente pequena tal
que h = Hn
Considere um desses cilindros ideais de ordem k a partir do veacutertice C e raio r1
de tal maneira que o cone que dividido em duas partes Note que eacute possiacutevel por meio da
semelhanccedila de triacircngulos relacionar rr1 H e H1 de tal modo que seja dado em funccedilatildeo
de r k e nr
r1=
H
H1
rArr r
r1=
HkHn
rArr r1 =rk
n
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 84
Figura 719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 339
O volume do cilindro de ordem k seraacute dado por
VCilindro = πr21h
rArr VCilindro = πr2k2
n2
H
n
rArr VCilindro = πr2H1
n3k2
Assim o volume do cone seraacute dado pelo somatoacuterio de todos os cilindros ideais
com k variando de 1 a n
VCone = πr2H1
n312 + πr2H
1
n322 + πr2H
1
n332 + πr2H
1
n342 + middot middot middot+ πr2H
1
n3n2
= πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
Sabe-se que 12+22+32+42+ middot middot middot+n2 = n3
3+ n2
2+ n
6 A validade dessa relaccedilatildeo
pode ser obtida pelo Princiacutepio da Induccedilatildeo Matemaacutetica ou a partir do desenvolvimento do
binocircmio (1 + k)3 = 1+ 3k + 3k2 + k3 variando k de 0 a n e adicionando as igualdades de
ambos os membros (vide em CONTADOR (2012) [8]) Embora essa abstraccedilatildeo algeacutebrica
seja possiacutevel de ser aplicada aos alunos do Ensino Meacutedio a demonstraccedilatildeo geomeacutetrica
consiste num procedimento mais construtivo e de faacutecil assimilaccedilatildeo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 85
Inicialmente faremos a apresentaccedilatildeo da prova geomeacutetrica para a soma dos
nuacutemeros inteiros de 1 a n isto eacute S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n = n(n+1)2
dado que a mesma
seraacute necessaacuteria para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo 12+22+32+42+
middot middot middot+ n2 = n3
3+ n2
2+ n
6= n(n+1)(2n+1)
6()
Antes de generalizar os casos eacute imprescindiacutevel realizar os caacutelculos para um
caso particular por exemplo n = 6 com o intuito de motivar e aguccedilar a curiosidade
dos alunos Aleacutem de contribuir de maneira satisfatoacuteria para a formaccedilatildeo da conjectura dos
alunos
A gura seguinte ilustra a soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) em que a coluna i eacute
composta por i quadrados
Figura 720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Fonte Geogebra
Ao girar a gura anterior e encaixaacute-la tem-se um retacircngulo de base 6 e altura
7 conforme ilustra a imagem seguinte
Note que a medida da aacuterea do retacircngulo construiacutedo eacute dada por 6 middot7 = 6 middot(6+1)
A partir daiacute eacute possiacutevel concluir que a soma (1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6) pretendida
representa a metade do retacircngulo construiacutedo isto eacute
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)
2
Para generalizar o procedimento eacute necessaacuterio construir um retacircngulo de base
n e altura (n + 1) a partir das n colunas que representam geometricamente a soma S =
1 + 2 + 3 + middot middot middot + n A aacuterea (A) do retacircngulo construiacutedo seraacute dada por A = n middot (n + 1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 86
Figura 721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7
Fonte Geogebra
De forma anaacuteloga a soma desejada (S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n) representa a metade do
retacircngulo n(n+ 1) isto eacute
S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot+ n =n(n+ 1)
2
Enm para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo () faz-se ne-
cessaacuterio implementar ideias semelhantes com as devidas ressalvas
Repetindo o procedimento realizado para um caso particular da soma dos 6
primeiros quadrados perfeitos (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)
As guras a seguir sugerem uma visatildeo geomeacutetrica do procedimento detalhado
Note que para realizar o preenchimento eacute preciso acrescentar um quadrado na 2a linha
um quadrado e um retacircngulo (2x1) na 3a linha um quadrado um retacircngulo (2x1) e
retacircngulo (3x1) na 4a linha assim por diante
Logo a aacuterea (A) do retacircngulo (ABCD) cuja base mede b = (1+2+3+4+5+6)
e cuja altura mde 6 unidades eacute dada por A = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) middot 6
Equivalentemente tal aacuterea pode ser calculada a partir da soma das aacutereas que
compotildee o retacircngulo (ABCD) isto eacute
A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]
rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1
(1 + i)i
2]
Portanto tem-se
1+22+32+42+52+62 = (1+2+3+4+5+6)middot6minus[5sumi=1
(1 + i)i
2] = (
6(6 + 1)
2)middot6minus1
2middot[5sumi=1
i+5sumi=1
i2])
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 87
Figura 722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
Fonte Geogebra
Figura 723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
Fonte Geogebra
Daiacute segue que
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot5sumi=1
iminus 1
2middot5sumi=1
i2
rArr6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot5sumi=1
i2
Ainda eacute possiacutevel manipular a referida expressatildeo com o intuito de melhorar a
visualizaccedilatildeo
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot ([
6sumi=1
i2]minus 62)
rArr6sumi=1
i2 +1
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 88
rArr 3
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =62 + 6
2minus 62 minus 6
2+
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)
4
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
4
rArr6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
6
Generalizando o procedimento ou seja representando geometricamente a soma
dos quadrados (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + middot middot middot + n2) de 1 ateacute n e em seguida completando a
gura ateacute que se forme um retacircngulo de base (1+2+3+4+5+ middot+n) e altura n tem-se
6sumi=1
i2 = 1 + 22 + 32 + middot middot middot+ n2 =n(2 middot n+ 1)(n+ 1)
6
Assim dispondo da relaccedilatildeo que representa a soma dos quadrados segue que
VCone = πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
= πr2H1
n3
(n3
3+n2
2+n
6
)= πr2H
(1
3+
1
2n+
1
6n2
)
Como n tende ao innito segue que as fraccedilotildees que conteacutem denominador composto por n
poderatildeo ser desprezadas dado que tenderatildeo a zero Isto eacute o volume do cone seraacute dado
por
VCone =1
3πr2H
Recomenda-se que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada na 2a e 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
Acredita-se que em cinco aulas haacute tempo suciente para complementar todo o aparato de
discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Espacial
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse
Dispondo dos meacutetodos de quadratura do ciacuterculo realizados por Arquimedes
dos conceitos baacutesicos de Geometria Analiacutetica difundida por Descartes e Fermat e aleacutem
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 89
disso dos princiacutepios de Cavalieri eacute possiacutevel aplicar tais ideias para ampliar o estudo de
cocircnica deduzindo a foacutermula para o caacutelculo da aacuterea de uma elipse isto eacute descobrir a
relaccedilatildeo de proporccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo para a elipse de eixo maior igual ao diacircmetro do
ciacuterculo formalizada por Johannes Kepler
Figura 724 Elipse inscrita numa circunferecircncia
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p339
Considere o semi-ciacuterculo de raio r = a e a semi-elipse de semi-eixos positivos
a e b com a gt b A partir dessa convenccedilatildeo eacute possiacutevel descrever as equaccedilotildees reduzidas do
ciacuterculo e da elipse
x2 + y2 = a2 ex2
a2+y2
b2= 1
Escrevendo y em funccedilatildeo de x e tomando o 1o quadrante por simetria am de
que ambos os radicandos sejam positivos tem-se
y =radica2 minus x2
eyprime2
b2= 1minus x2
a2rArrradicb2 minus x2 b
2
a2
rArr yprime =
radicb2(1minus x2
a2
)
=
radicb2(a2 minus x2a2
)=b
a
radica2 minus x2
Ou seja yprime = bay (a razatildeo entre duas cordas verticais correspondentes da elipse
e do ciacuterculo eacute ba)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 90
Note que apesar de adotar a variaacutevel y em cada funccedilatildeo y e yprime satildeo diferentes
isto eacute representam para cada abscissa x ordenadas com valores distintos
Se as ordenadas do ciacuterculo e elipse y e yprime respectivamente guardam entre si a
relaccedilatildeo ba segue que suas aacutereas vatildeo manter a mesma razatildeo Essa armaccedilatildeo eacute garantida
pelo primeiro princiacutepio de Cavalieri em que EVES (2004 p426) [11] destaca Se duas
porccedilotildees planas satildeo tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina
nas porccedilotildees segmentos de reta cuja razatildeo eacute constante entatildeo a razatildeo entre as aacutereas dessas
porccedilotildees eacute a mesma constante Em linguagem moderna temos
Area da elipse
Area do circulo=b
a
rArr Area da elipse =b
aArea do circulo
rArr Area da elipse =b
aπa2 = πab
Eacute vaacutelido ressaltar que a ideia acima pode ser estendida para comparar dois
soacutelidos (segundo princiacutepio de Cavalieri) e por meio dela pode-se deduzir a foacutermula para o
caacutelculo do volume da esfera
Eacute recomendaacutevel que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada durante a 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
A quantidade de aulas sucientes para expor tais ideias variaraacute de acordo com a proposta
do professor mas acredita-se que cinco aulas satildeo bastantes para complementar todo o
aparato de discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Analiacutetica e de Cocircnicas
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva
Ao analisar uma grandeza cuja variaccedilatildeo eacute tomada como constante em subin-
tervalos isto eacute como se a funccedilatildeo tivesse variaccedilatildeo de degrau em degrau e natildeo de forma
continuada haacute uma abordagem de forma impliacutecita das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
elementares de integral
Primeiramente o trabalho estaraacute focado no caso em que a funccedilatildeo eacute constante
em todo o intervalo positivo considerado Suponha que o interesse principal seja o caacutelculo
da aacuterea sob o graacuteco no intervalo considerado Nesse caso o problema se resume em medir
a aacuterea de um retacircngulo cuja base coincide com a variaccedilatildeo do intervalo considerado e a
altura corresponde ao valor xo e constante da funccedilatildeo xada
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 91
Nessa mesma tocircnica veja um exemplo graacuteco de uma funccedilatildeo constante (f(x) =
3x) via GeoGebra com poliacutegono regular inscrito para n = 100
Figura 725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante
Fonte GeoGebra
Figura 726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer
Fonte GeoGebra
A gura anterior representa o caso de uma grandeza positiva e natildeo constante
cuja variaccedilatildeo seja contiacutenua ao longo do intervalo considerado Nesse caso para calcular a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 92
aacuterea sob o graacuteco eacute preciso analisar o problema fragmentando o intervalo contiacutenuo em um
nuacutemero consideraacutevel de partes (degraus) com o intuito de que a grandeza seja analisada
como se fosse praticamente constante em cada subintervalo isto eacute a aacuterea solicitada eacute
obtida adicionando as aacutereas dos inuacutemeros retacircngulos inseridos no intervalo considerado
A gura a seguir ilustra o graacuteco de uma funccedilatildeo qualquer feita a matildeo livre via GeoGebra
com poliacutegono retangular inscrito com n = 10
Esse procedimento descrito acima eacute comum e rotineiro em diversas situaccedilotildees
cotidianas A estrateacutegia de resoluccedilatildeo eacute similar na maioria dos casos e consiste em racio-
cinar a funccedilatildeo dado como se fosse constante em pequenos trechos Tal fenocircmeno jaacute era
realizado desde o seacuteculo III aC por Arquimedes com auxiacutelio do meacutetodo da exaustatildeo Um
exemplo praacutetico motivacional e de faacutecil entendimento eacute a explicaccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo
como uma aproximaccedilatildeo via aacuterea de poliacutegonos regulares inscritos com nuacutemero de lados
em escala crescente e tendendo ao innito Observe a imagem abaixo que foi produzida
no software de geometria dinacircmica GeoGebra Note que haacute um controle deslizante res-
ponsaacutevel por determinar o nuacutemero de lados do poliacutegono regular inscrito Na imagem a
seguir o cursor do controle deslizante foi posicionado em N = 11 isto eacute fez-se surgir o
undecaacutegono regular inscrito Jaacute a gura ao lado estaacute representando o hectaacutegono regular
(poliacutegono regular de 100 lados) inscrito e construiacutedo tambeacutem via GeoGebra
Figura 727 Quadratura do ciacuterculo
para n = 11
Figura 728 Quadratura do ciacuterculo
para n = 100
Tomando uma funccedilatildeo contiacutenua y = f(x) qualquer preferencialmente natildeo
constante denida no intervalo positivo [a b] e supondo que a meta seja o caacutelculo da aacuterea
sob o graacuteco contido no 1o quadrante faz-se necessaacuterio uma subdivisatildeo do intervalo [a b]
em numerosos subintervalos praticamente constantes am de determinar a aacuterea sob o
graacuteco como uma aproximaccedilatildeo pela soma de todos os retacircngulos obtidos ao particionar o
intervalo [a b] Isto eacute considerando n subintervalos de comprimentos x1 x2 x3 middot middot middot xn e
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 93
cujas imagens (alturas dos retacircngulos) sejam y1 y2 y3 middot middot middot yn respectivamente e supostos
constantes em cada subintervalo tem-se uma aproximaccedilatildeo para a aacuterea S sob o graacuteco da
curva dada
S sim= x1y1 + x2x2 + x3y3 + middot middot middot+ xnyn
Note que aumentando o valor de n e reduzindo o comprimento dos subinter-
valos a aproximaccedilatildeo ca melhorada ou seja o valor real da aacuterea sob o graacuteco torna-se
muito proacuteximo da aproximaccedilatildeo considerada via soma de retacircngulos Eacute oacutebvio que ten-
dendo o valor de n para um nuacutemero innito de subdivisotildees sucessivas com as ressalvas
necessaacuterias de reduccedilatildeo dos comprimentos dos subintervalos a soma das innitas aacutereas dos
retacircngulos pertencentes aos trechos particionados tenderaacute para o valor real da aacuterea sob
o graacuteco da funccedilatildeo considerada Tal nuacutemero eacute conhecido como integral denida
Eacute vaacutelido ressaltar que o procedimento exibido acima pode ser contextualizado
aplicado e inserido de forma interdisciplinar com a disciplina de Fiacutesica ao calcular a
distacircncia d percorrida por um moacutevel com velocidade v(t) no intervalo de tempo [a b] ou
entatildeo no caacutelculo do trabalho T realizado por uma forccedila de direccedilatildeo constante e intensidade
f(x) no deslocamento de x de a ateacute b Tambeacutem eacute possiacutevel aplicar o estudo descrito para
calcular o volume de uma trombeta (soacutelido obtido pela rotaccedilatildeo do graacuteco particular
y = f(x) em torno do eixo x com a le x le b e f(x) ge 0) via cascas ciliacutendricas poreacutem essa
atividade pode ser encontrada nos livros de Caacutelculo citados anterioremente e seraacute deixada
como atividade suplementar pois foge ao escopo desse trabalho
Para raticar o estudo exibido propotildee-se um exerciacutecio que pode ser resolvido
passo a passo conforme etapas descritas a seguir
Exerciacutecio Calcule um valor aproximado para a aacuterea sob o graacuteco de f(x) =
100minus x2 no intervalo [0 10]
Atividade a ser desenvolvida no laboratoacuterio de informaacutetica com computadores
compostos por softwares de geometria dinacircmica (especialmente o GeoGebra) Aleacutem disso
eacute recomendaacutevel o uso de calculadora cientiacuteca ou de algum software de planilha (por
exemplo Excel ou CALC)
1o passo Utilize o GeoGebra para plotar o graacuteco da funccedilatildeo com as restriccedilotildees
discriminadas no enunciado
2o passo Inicialmente proponha uma subdivisatildeo do intervalo [0 10] em 5 su-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 94
bintervalos de comprimento igual a 2 Note que em cada subintervalo eacute preciso supor
f(x) constante e de valor correspondente ao ponto meacutedio do subintervalo
3o passo Calcule os valores de f(1) f(3) f(5) f(7) e f(9) Nesse momento
questione os alunos sobre o que essas imagens representam
4o passo Utilize a calculadora cientiacuteca ou uma planilha eletrocircnica para adi-
cionar a aacuterea dos cinco retacircngulos contidos nos subintervalos determinados A soma (S5)
eacute uma aproximaccedilatildeo para o valor da aacuterea sob o graacuteco da funccedilatildeo dada isto eacute eacute uma
estimativa para o valor da integral denida
5o passo Questione os alunos sobre o que aconteceraacute com a estimativaaproximaccedilatildeo
caso fosse uma nova subdivisatildeo em dez subintervalos de comprimento igual a 1 Oriente
os mesmos a realizarem tal experimento
6o passo Maximize o grau de abstraccedilatildeo da atividade supondo uma subdivisatildeo
do intervalo dado em n subintervalos de comprimento igual a 10n Solicite aos alunos que
calculem a nova aproximaccedilatildeo em funccedilatildeo de n fornecendo uma expressatildeo geral e ao nal
dessa tarefa questione os alunos sobre o que aconteceraacute com tal expressatildeo caso o valor de
n seja tendido ao innito
7o passo Revise todas as etapas melhorando a linguagem de forma gradual
e introduzindo uma simbologia de maneira a facilitar a escrita por exemplo insira a
notaccedilatildeo de somatoacuterios Caso observe a maturidade e a compreensatildeo dos conceitos de
maneira satisfatoacuteria por parte dos alunos insira a notaccedilatildeo moderna de limite junto aos
siacutembolos de somatoacuterios Aleacutem disso tambeacutem pode introduzir a simbologia de integrais
A expectativa dessa atividade eacute que a maioria dos alunos construa o graacuteco
no GeoGebra conforme as guras ilustrativas a seguir e que aproxime ao maacuteximo da aacuterea
sob o graacuteco via Soma de Riemann
Note que o aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees de cinco para dez fez com que a
aproximaccedilatildeo da aacuterea do poliacutegono retangular inferior melhorasse de 560 para 615 unidades
de aacuterea E mais aumentando o nuacutemero de interaccedilotildees de 10 para 100 fez com que a
aproximaccedilatildeo via aacuterea do poliacutegono retangular superior melhorasse de 715 para 67165
Tal realizaccedilatildeo conduz a seguinte conclusatildeo a aacuterea procurada eacute um nuacutemero entre 615
e 67165 Utilizando as ideias de Arquimedes sobre quadratura da paraacutebola eacute possiacutevel
constatar que a aacuterea desse segmento paraboacutelico (Asp) eacute dada por 43da aacuterea do triacircngulo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 95
inscrito de base medindo 10 unidades e altura medindo 100 unidades isto eacute Asp = 43de
10middot1002
= 20003
= 666 6
Figura 729 Poliacutegono Retangular
para n = 5
Figura 730 Poliacutegono Retangular
para n = 10
Figura 731 Poliacutegono Retangular
inscrito
Figura 732 Poliacutegono Retangular
circunscrito
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 96
Observe que a Figura 732 representa uma imagem ilustrativa de um poliacutegono
retangular superior em que eacute possiacutevel vericar que a aacuterea estaacute bem proacutexima do valor real
exibido anteriormente Note ainda que a medida que aumentamos o valor do cursor (n)
o poliacutegono retangular inscrito aproximasse cada vez mais da aacuterea da faixa de paraacutebola
pretendida (vide gura 731)
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica
O estudo de funccedilatildeo decorre da necessidade de analisar fenocircmenos descrever
regularidades interpretar interdependecircncias e generalizar Eacute preciso ter em mente que o
termo funccedilatildeo eacute mais abrangente e complexo do que a deniccedilatildeo apresentada ou seja eacute
necessaacuterio mostrar ao aluno que esse toacutepico usado de forma sistemaacutetica em exatas e no
seu cotidiano eacute de suma importacircncia para o meio social pois vaacuterias relaccedilotildees de mercado
e capital engenharia economia (micro e macro) sauacutede transportes induacutestrias artes
energia enm uma diversidade de aacutereas dependem de uma anaacutelise clara e objetiva da
funcionalidade de um modelo ou paracircmetro a ser adotado
Os casos em que haacute o emprego das noccedilotildees elementares no estudo de Fiacutesica
durante a etapa do ensino meacutedio satildeo frequentes e corriqueiros Observe os casos em que
eacute possiacutevel explorar tais ideias durante o ensino meacutedio
No 1o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Velocidade x Tempo (Deslocamento)
bull graacuteco de Aceleraccedilatildeo x Tempo (Velocidade)
bull graacuteco de Forccedila x Distacircncia (Trabalho)
bull graacuteco de Forccedila x tempo (Impulso)
No 2o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Trabalho realizado por um gaacutes ideal)
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Transformaccedilatildeo isoteacutermica)
bull graacuteco de calor especiacuteco x variaccedilatildeo de temperatura (Quantidade de Calor)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 97
No 3o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Corrente x Tempo (Carga)
bull graacuteco de Campo eleacutetrico x distacircncia (Forccedila eleacutetrica)
bull graacuteco de Resistecircncia x corrente (Tensatildeo)
Eacute possiacutevel citar outros casos mais especiacutecos poreacutem fogem ao escopo desse
material A seguir seraacute apresentado um estudo de catildeo referente ao caacutelculo da aacuterea sob o
graacuteco de uma dada relaccedilatildeo entre duas grandezas
A riqueza de tal estudo que eacute uma aplicaccedilatildeo baacutesica do caacutelculo integral vai
ao encontro dos ideais de interdisciplinaridade e contextualizaccedilatildeo defendidos pelos Paracirc-
metros Curriculares Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) [20] e pela Lei de Diretrizes e
Bases da Educaccedilatildeo (LDB) [30]
Os PCNEM (2002) [21] foram formulados a partir da discussatildeo entre especi-
alistas e educadores pertencentes aos domiacutenios do territoacuterio nacional Sua nalidade eacute
bastante abrangente dado que se pretende dar suporte as equipes escolares na execuccedilatildeo
de seus trabalhos com o intuito de promover o aperfeiccediloamento da praacutetica educativa por
meio de estiacutemulo e apoio agrave reexatildeo sobre a praacutetica diaacuteria ao planejamento de aulas e
ao desenvolvimento do curriacuteculo da escola de maneira a construir um processo contiacutenuo
de ensinoaprendizagem e a contribuir satisfatoriamente para a atualizaccedilatildeo prossional e
para a integraccedilatildeo ao mundo contemporacircneo nas dimensotildees fundamentais da cidadania e
do trabalho
Nesse iacutenterim que foca numa aprendizagem de formaccedilatildeo geral em que se pri-
oriza a aquisiccedilatildeo de conhecimentos a preparaccedilatildeo cientiacuteca e a capacidade de utilizar as
diferentes tecnologias relativas agraves aacutereas de atuaccedilatildeo a pretensatildeo dessa sequencia didaacutetico
tem a nalidade de contribuir para a transformaccedilatildeo do ensino meacutedio assim como formar
alunos capazes de buscar analisar e selecionar informaccedilotildees de modo criacutetico em detrimento
do ensino focado nos processos de memorizaccedilatildeo
A integraccedilatildeo e o uso da Matemaacutetica para justicar fatos da Fiacutesica sempre
foram e seratildeo mecanismos favoraacuteveis para o desenvolvimento da ciecircncia e da tecnologia
Eacute vaacutelido ressaltar que para propagar tais ideias eacute necessaacuterio discutircomentar
alguns preacute-requisitos matemaacuteticos e fiacutesicos de acordo com a seacuterie em que haacute pretensatildeo a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 98
aplicar a referida teacutecnica Eacute de suma importacircncia que o aluno saiba e domine os conceitos
de funccedilatildeo uacuteteis na construccedilatildeo do esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo proposta Assim a primeira
etapa de todo o processo consiste numa revisatildeo de toacutepicos de funccedilatildeo (1o grau 2o grau
exponencial logariacutetmica trigonomeacutetrica hipeacuterbole equilaacutetera etc) de acordo com o
enfoque que o professor trabalharaacute
Por exemplo caso o professor esteja interessado apenas em aplicar os conceitos
de limite agraves funccedilotildees do 1o grau cujos graacutecos seratildeo guras planas poligonais natildeo haacute
necessidade de explanar as demais funccedilotildees Jaacute o educador que pretende estudar tais
fenocircmenos que desembocam em graacutecos paraboacutelicos eacute preciso discutir com os alunos
toacutepicos relacionados ao estudo das funccedilotildees quadraacuteticas e suas relaccedilotildees graacutecas com o
estudo da paraacutebola Nos outros casos recomenda-se prosseguir com raciociacutenio anaacutelogo
O nuacutemero de aulas previstas de revisatildeo dependeraacute do niacutevel da turma em que se pretende
aplicar o trabalho
Aleacutem disso eacute preciso utilizar o laboratoacuterio de informaacutetica como recurso suple-
mentar para o ensino e manejo do software de geometria dinacircmica GeoGebra Em geral
de duas a quatro aulas satildeo sucientes para aprender a usar de forma baacutesica desde que haja
planejamento de atividades e interesse por parte discente e docente no aprimoramento da
utilizaccedilatildeo
Apoacutes o domiacutenio das ferramentas baacutesicas do GeoGebra eacute hora de propor a
plotagemconstruccedilatildeo de graacutecos Eacute recomendaacutevel que o professor inicie seu trabalho a
partir de uma situaccedilatildeo problema que empregaraacute conceitos de funccedilatildeo do 1o grau e que
implicaraacute na utilizaccedilatildeo dos conceitos fiacutesicos de acordo com a seacuterie momentacircnea Forneccedila
os dados via tabela via texto ou via foacutermula Solicite a interpretaccedilatildeo da funccedilatildeo com
questionamentos Quem eacute a variaacutevel dependente e a independente Como representamos
tal situaccedilatildeo gracamente O que representa o produto das variaacuteveis Etc
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea
Para compreender o signicado de velocidade instantacircnea de um moacutevel em
movimento faz-se necessaacuterio compreender o conceito de taxa de variaccedilatildeo
Considere que x = f(t) seja equaccedilatildeo que descreve o movimento do moacutevel
(funccedilatildeo horaacuteria do moacutevel) A velocidade meacutedia (vm) de um moacutevel entre os instantes t1
e t2 = t1 +4t eacute denida como a razatildeo entre variaccedilatildeo do espaccedilo percorrido pelo tempo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 99
gasto para executar tal deslocamento
vm =4S4t
=s2 minus s1t2 minus t1
=f(t2)minus f(t1)(t1 +4t)minus t1
=f(t1 +4t)minus f(t1)
4t
Tomando 4trarr 0 tem-se que vm tende para a velocidade instantacircnea isto eacute
vinstatanea = lim4trarr0
f(t1 +4t)minus f(t1)4t
A razatildeo f(t1+4t)minusf(t1)4t eacute denominada de Quociente de Newton Esse quociente eacute
bastante corriqueiro em problemas de Matemaacutetica (problemas de tangecircncia a curvas) Fiacute-
sica (velocidade instantacircnea aceleraccedilatildeo instantacircnea etc) Quiacutemica (quociente de reaccedilotildees
quiacutemicas) e Economia (problemas de custo marginal) No estudo de caacutelculo esse conceito
receberaacute o nome de derivada de uma funccedilatildeo em um dado ponto ou ainda representa
geometricamente a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacuteco no ponto (t f(t))
Nesse momento seria interessante propor atividades de cunho experimental
com carrinhos de exatildeo ou com problemas de queda livre Nessa tarefa aleacutem de realizar
anotaccedilotildees acerca de deslocamentos e tempos decorridos eacute interessante solicitar a cons-
truccedilatildeo de um esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo e propor questionamentos aos alunos acerca da
aacuterea sob o graacuteco da curva obtida ao traccedilar o graacuteco
Situaccedilatildeo Problema Caacutelculo da distacircncia d percorrida por um moacutevel com ve-
locidade v(t) no intervalo de tempo [a b]
1o caso Se a velocidade v(t) for constante e igual a v segue que
d = vt = v(bminus a)
2o caso Se a velocidade v(t) natildeo for constante em [a b] entatildeo eacute possiacutevel
adotar uma subdivisatildeo desse intervalo em n particcedilotildees de mesmo comprimento e supor
que a velocidade seja constante em cada subintervalo Isto eacute adotando t1 t2 t3 t4 middot middot middot tncomo comprimento desses subintervalos tem-se
d sim= v1t1 + v2t2 + v3t3 + middot middot middot+ vntn
Observe a situaccedilatildeo ilustrativa de aplicaccedilatildeo das ideias difundidas acima por
meio da anaacutelise da tabela que fornece a velocidade de um corpo que se desloca com
movimento retiliacuteneo em diversos instantes
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 100
Tabela 74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo
t(segundos) 0 1 2 3 4 5
v (ms) 2 5 8 11 14 17
Figura 733 Trapeacutezio retacircngulo
Fonte GeoGebra
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle
Um gaacutes sofre transformaccedilatildeo isoteacutermica quando haacute variaccedilatildeo da sua pressatildeo e do
seu volume sem que haja variaccedilatildeo de sua temperatura isto eacute a temperatura permanece
constante Daiacute se explica o nome da transformaccedilatildeo que eacute uma fusatildeo do prexo iso (do
grego iso = igual) com a palavra thermo (do grego thermo = calor)
Segundo a Lei de Boyle-Mariotte a pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo
inversamente proporcionais ou seja aumentando a pressatildeo o volume de gaacutes diminui
Um exemplo simples praacutetico e presente diariamente em nosso dia-a-dia eacute o
ecircmbolo de uma seringa Como a Pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo inversamente
proporcionais segue que PV = k Observe a situaccedilatildeo hipoteacutetica tabulada e a construccedilatildeo
do graacuteco a partir de tais dados Daiacute decorre que os pontos da curva geram de fato uma
hipeacuterbole Isto eacute por intermeacutedio da construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo (hipeacuterbole) y = 54x
eacute possiacutevel conjecturar um valor para o trabalho realizado no intervalo [3 24] O eixo das
abscissas conteacutem os valores do volume enquanto o eixo das ordenadas conteacutem os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 101
da pressatildeo do referido gaacutes em estudo
Tabela 75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio
Pressatildeo (atm) Volume (ml) Produto (P middotV )
3 18 54
6 9 54
12 45 54
18 3 54
24 225 54
Note que a aproximaccedilatildeo via poliacutegonos retangulares inferiores quanto a aproxi-
maccedilatildeo via poliacutegonos retangulares superiores estaacute tendendo para um nuacutemero entre 11212
e 11246 unidades de aacuterea Como a aacuterea em questatildeo representa o trabalho realizado pelo
gaacutes e conforme jaacute foi provada a referida aacuterea pode ser obtida a partir de uma subtraccedilatildeo
entre os logaritmos naturais das abscissas do intervalo [3 24] segue que o trabalho (T )
realizado seraacute dado por T = 54(ln 24minus ln 3) sim= 112 289
Figura 734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000
Fonte GeoGebra
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada
Eacute consenso entre os estudiosos do assunto de que a introduccedilatildeo do estudo de
derivadas deve ser realizada por meio de suas aplicaccedilotildees como por exemplo ao introduzir
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 102
conceitos de pressatildeo densidade da massa densidade da carga eleacutetrica e em problemas de
tangecircncia em determinados pontos de uma curva
Vaacuterios artigos da RPM jaacute mencionaram a importacircncia desse estudo e defen-
deram de forma ferrenha e de acordo com histoacuteria o estudo das derivadas Dentre os
inuacutemeros artigos que citam diretaindiretamente o ensino de derivadas merece destaque
os artigos de AacuteVILA (1991) [1] nas revistas de nuacutemero 18 23 e 60 e o artigo dos professores
WAGNER e CARNEIRO (2004) [32] na revista de nuacutemero 53
Analisando o artigo mais recente da RPM de nuacutemero 60 sobre o tema cuja
autoria eacute exclusiva do professor AacuteVILA (2006) [2] eacute possiacutevel vericar a possibilidade de
aplicaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular do estudo inicial de derivadas
no Ensino Meacutedio Nesse artigo o autor critica as abordagens feitas pelos livros didaacuteticos
e propotildee uma abordagem segundo a utilizaccedilatildeo de ferramentas do Caacutelculo diferencial e
integral com o intuito de promover um ensino baacutesico de forma ampla contextualizada e
harmocircnica com outras aacutereas do conhecimento
A princiacutepio AacuteVILA [2] apresenta o estudo das coordenadas do veacutertice de uma
paraacutebola conforme a maioria dos livros didaacuteticos nos apresenta isto eacute um amontoado de
proposiccedilotildees e foacutermulas sem justicativas e aceitas via decoreba sem demonstraccedilatildeo formal
ou intuitiva Um verdadeiro disparate dado que haacute uma desvinculaccedilatildeo entre deniccedilatildeo
do veacutertice e a funccedilatildeo propriamente dita cujo graacuteco eacute uma paraacutebola Segundo SANTOS
(2006) [24]
a deniccedilatildeo mais natural e contextualizada seria a de que o veacutertice daparaacutebola eacute o ponto que representa o extremo (maacuteximo ou miacutenimo) dafunccedilatildeo quadraacutetica sendo a abscissa o ponto onde esse extremo eacute atingidoe a ordenada o valor extremo assumido Dessa forma ao considerar umafunccedilatildeo quadraacutetica como um modelo matemaacutetico ca clara a importacircnciade se obter o veacutertice da paraacutebola ao interpretaacute-lo como o extremo dafunccedilatildeo (SANTOS [24] 2006 p4)
Eacute importante salientar que segundo AacuteVILA (2006) [2] para seguir os proacuteximos
passos propostos na RPM de nuacutemero 60 faz-se necessaacuterio uma abordagem inicial do estudo
de derivadas conforme a maior parte dos livros didaacuteticos de Caacutelculo apresenta em que o
limite das inclinaccedilotildees das retas secantes ao graacuteco de uma paraacutebola (y = ax2 + bx + c)
tende para (2ax+ b) A apresentaccedilatildeo desse estudo eacute feita posteriormente com auxiacutelio do
GeoGebra Caso natildeo seja suciente a atividade proposta eacute recomendado realizar uma
leitura criacutetica e minuciosa da exposiccedilatildeo desse assunto em STEWART (2006) [37]
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 103
A partir desses preacute-requisitos eacute possiacutevel introduzir as noccedilotildees elementares de
derivada difundidas no presente artigo Nele haacute uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica da derivada
relacionada ao coeciente angular da reta tangente ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica em
cada ponto descartando a anaacutelise via zeros da funccedilatildeo Como a inclinaccedilatildeo da reta tangente
no veacutertice da paraacutebola possui valor nulo uma vez que a reta tangente eacute horizontal segue
que a derivada da funccedilatildeo (f(x) = ax2+ bx+ c) no ponto que conteacutem a abscissa do veacutertice
eacute igual a zero isto eacute
f prime(x) = 0hArr 2axv + b = 0hArr minusb2a
Jaacute a ordenada yv pode ser obtida como a imagem da abscissa ou seja substituindo o
valor da abscissa do veacutertice na funccedilatildeo quadraacutetica
Nesse mesmo artigo AacuteVILA (2006) [2] cita uma aplicaccedilatildeo da derivada segunda
para uma anaacutelise da concavidade da paraacutebola e aleacutem disso tambeacutem faz uma citaccedilatildeo de
referecircncia a uma aplicaccedilatildeo da derivada como taxa de variaccedilatildeo no estudo de Mecacircnica na
Fiacutesica A explanaccedilatildeo com riqueza de detalhes caraacute a cargo do leitor pois assim evita-se
uma fuga demasiada do escopo da discussatildeo desse trabalho de dissertaccedilatildeo
Veja o esboccedilo da situaccedilatildeo descrita acima
Figura 735 Reta tangente a uma dada paraacutebola
Fonte RPM [2] n60
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 104
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada
Conforme a maioria dos livros didaacuteticos de caacutelculo propotildee recomenda-se que a
introduccedilatildeo do estudo de derivadas seja realizada a partir da situaccedilatildeo problema de traccedilar
a reta tangente a uma curva num determinado ponto
Se a gura curviliacutenea for uma circunferecircncia basta encontrar a reta que toca
a circunferecircncia em um uacutenico ponto Mas essa noccedilatildeo natildeo pode ser estendida como caso
geral pois haacute diversos exemplos de curvas qualquer em que uma dada reta intercepta
somente em um ponto e tal reta natildeo representa a reta tangente Por exemplo se a
referida curva fosse uma paraacutebola eacute oacutebvio que a reta vertical que representa o eixo da
paraacutebola intercepta a curva somente em seu veacutertice e tal reta natildeo representa uma reta
tangente da paraacutebola Sendo assim faz-se necessaacuterio criar uma deniccedilatildeo geral capaz de
ser utilizada em qualquer graacuteco curviliacuteneo
Para isso eacute necessaacuterio partir de uma situaccedilatildeo concreta por exemplo esco-
lhendo o graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Considere dois pontos nessa curva
P = (a f(a)) e Q = (a+h f(a+h)) A proposta exibida abaixo eacute referente a uma anaacutelise
da inclinaccedilatildeo das retas secantes quando Q se aproxima de P com a intenccedilatildeo de conjectu-
rar uma deniccedilatildeo precisa de reta tangente via razatildeo incremental (inclinaccedilatildeo coeciente
angular)
Observe o procedimento da situaccedilatildeo descrita via representaccedilatildeo no GeoGebra
cujos passos devem ser repassados conforme proposiccedilatildeo abaixo
1o passo Digite na linha de comandos (campo entrada) a lei de formaccedilatildeo da
funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2)
2o passo Crie dois controles deslizantes a e h O primeiro (a) com intervalo
de variaccedilatildeo de -10 ateacute 10 com incremento de 01 O segundo (h) com mesmo intervalo e
com mesmo de 001
3o passo Crie dois pontos (A e Q) O primeiro com coordenadas A = (a f(a))
e o segundo com coordenadas Q = (a+ h f(a+ h)) Em seguida crie a reta denida por
dois pontos (A e Q)
4o passo Crie uma razatildeo incremental (m) tal que
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 105
5o passo Solicite aos alunos que realize variaccedilatildeo no controle deslizante a e no
controle deslizante h
6o passo Mantenha o controle deslizante na posiccedilatildeo a = 1 e faccedila variaccedilotildees no
controle deslizante h
7o passo Solicite aos alunos que comparem o valor do coeciente angular da
reta AQ com o valor da razatildeo incremental (m) quando o ponto Q se aproxima do ponto
A em sua vizinhanccedila
A seguir observe as retas secantes ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2
com representaccedilatildeo de limites laterais (h = minus004 e h = 004) Eacute vaacutelido que apoacutes a
realizaccedilatildeo dos passos descritos e de analisar as conjecturas obtidas pelos alunos o professor
deve realizar diversos questionamentos acerca da atividade desenvolvida dentre os quais
o de maior destaque consiste em observar o que acontece na vizinha do ponto P = (1 1)
Figura 736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda)
Fonte GeoGebra
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 106
Figura 737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita)
Fonte GeoGebra
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada
Apoacutes realizar experimento via GeoGebra e incitar conjecturar a partir de inuacute-
meras modicaccedilotildees nos cursores (a e h) que conduzem alteraccedilotildees no ponto escolhido e no
incremento lateral analisado eacute hora de utilizar o quadro da sala de aula com o intuito
de realizar um estudo algeacutebrico das etapas a partir da anaacutelise da razatildeo incremental (m)
comparando com o valor do coeciente angular da reta secante AQ
Observe como seria o referido estudo analiacutetico e algeacutebrico
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
=f(a+ h)minus f(a)(a+ h)minus h
=(a+ h)2 minus a2
h
=2ah+ h2
h
= 2a+ h
Note que quanto mais proacuteximo o ponto Q estiver em relaccedilatildeo ao ponto A o
valor de h tenderaacute a zero isto eacute
limhrarr0
[m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
] = limhrarr0
[2a+ h] = 2a
Note que para a = 1 implica em m = 2 ou seja a inclinaccedilatildeo da secante
AQ tambeacutem seraacute igual a 2 e nesse momento a reta via GeoGebra secante deixa de
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 107
existir pois natildeo faz sentido para o programa divisatildeo com denominador nulo Mas eacute
vaacutelido ressaltar que a reta existe e trata-se da reta tangente cuja inclinaccedilatildeo (coeciente
angular ou razatildeo incremental) coincide com o valor da derivada no ponto A Caso o
professor ache conveniente introduza a notaccedilatildeo de derivada primeira num ponto qualquer
determinado (f prime(a) = 2a) Essa atitude de acordo com o niacutevel de abstraccedilatildeo da turma
pode ser um belo exemplo e uma boa alternativa de introduccedilatildeo das teacutecnicas e propriedades
de derivaccedilatildeo da funccedilatildeo polinomial
Na atividade proposta tambeacutem foi utilizada a funccedilatildeo quadraacutetica mas eacute vaacute-
lido salientar que haacute viabilidade e facilidade da extensatildeo para demais funccedilotildees (1o grau
exponencial logariacutetmica e ateacute mesmo a funccedilatildeo trigonomeacutetrica)
O problema descrito abaixo eacute referente a uma situaccedilatildeo problema de utilizaccedilatildeo
praacutetica do estudo de derivada com auxiacutelio do GeoGebra
1a Situaccedilatildeo problema Aplicaccedilatildeo num problema de maximizaccedilatildeo
Um terreno em formato retangular possui periacutemetro de medida igual a 74
metros A partir dessa informaccedilatildeo determine a medida dos lados desse retacircngulo para
que a aacuterea desse terreno seja maacutexima
Resoluccedilatildeo passo a passo via GeoGebra
1o passo Equacionar o problema a partir dos dados
Sejam a e b os lados do terreno em questatildeo
Como o periacutemetro mede 74 metros segue que 2a+ 2b = 74
Isto eacute a+ b = 37 que eacute equivalente a b = 37minus a
Como o problema solicita os valores das dimensotildees que geram aacuterea (S)maacutexima
segue que S = ab = a(37minus a) = minusa2 + 37a
2o passo Apoacutes o equacionamento construir via GeoGebra o graacuteco da funccedilatildeo
quadraacutetica obtida (f(x) = minusx2 + 37x)
3o passo Criar um controle deslizante (a) de intervalo de -50 a 50 com incre-
mento de 01
4o passo Criar um ponto de coordenadas P = (a f(a)) Em seguida criar
uma reta tangente no ponto P
5o passo Varie o controle deslizante e observe na janela de aacutelgebra os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 108
das ordenadas do ponto P
Observe a imagem da tela do GeoGebra apoacutes sequencia dos passos anteriores
Figura 738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular
Fonte Imagem capturada de janela do GeoGebra
Note que quando o ponto P atinge o veacutertice (V ) da paraacutebola as coordenadas
desse ponto satildeo dadas por V = (185 34225) Assim eacute possiacutevel concluir que a funccedilatildeo
aacuterea assume valor maacuteximo quando a reta tangente torna-se horizontal isto eacute a maacutexima
aacuterea ocorre quando a inclinaccedilatildeo da reta tangente eacute igual a zero e o retacircngulo torna-se um
quadrado de lado de medida 185 metros Utilizando a linguagem do caacutelculo eacute possiacutevel
dizer que a aacuterea eacute maacutexima quando a derivada no ponto P eacute igual a zero (vide imagem a
seguir)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 109
Figura 739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica
Fonte Imagem capturada da janela do GeoGebra
110
8 CONCLUSAtildeO
Ao tomar a decisatildeo nal de pesquisar sobre o tema em estudo e escrever uma
proposta de sequecircncia didaacutetica de resgate agrave inserccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
durante o Ensino Meacutedio eacute importante confessar que a princiacutepio tal ideia aparentemente
foi considerada absurda antiquada e de discussatildeo despreziacutevel Apoacutes nalizar todo o levan-
tamento de dados dessa dissertaccedilatildeo foi possiacutevel perceber quatildeo eacute pertinente tal discussatildeo
e quanto o ensino estaacute sendo negligenciado por professores experientes e de reputaccedilatildeo
ilibada no mercado da terceira etapa da educaccedilatildeo baacutesica
Assim como opinaram a maioria dos professores que atua na rede municipal
e estadual do Espiacuterito Santo nossa visatildeo a priori do tema da pesquisa era criacutetica e
contraacuteria agrave introduccedilatildeo de conceitos de limite deriva e integral Uma justicativa plausiacutevel
seria dizer que a clientela existente na educaccedilatildeo baacutesica diariamente estaacute constantemente
nos desapontando com problemas simples de matemaacutetica elementar e isso talvez tenha
contribuiacutedo para o equiacutevoco de considerar tal proposta absurda impossiacutevel e incompatiacutevel
com a realidade da maioria das escolas capixabas poreacutem em contrapartida eacute preciso
focar a atenccedilatildeo ao prejuiacutezo que estamos causando agravequela minoria de estudantes aacutevidos
pelo saber e que possuem alto grau de abstraccedilatildeo A preparaccedilatildeo de nossos alunos para
ingressarem no estudo de matemaacutetica superior natildeo estaacute sendo suciente Isso pode ser
uma das justicas para os piacuteos iacutendices de aprovaccedilatildeo da maior parte dos alunos que
estudam Caacutelculo A implementaccedilatildeo de nossa proposta em sala de aula mesmo que seja
para um seleto grupo pode gerar mudanccedilas signicativas com contribuiccedilotildees iacutempares para
o ensinoaprendizagem dos alunos partiacutecipes
Tambeacutem foi possiacutevel reetir sobre vaacuterios pontos da educaccedilatildeo matemaacutetica ca-
pixaba em particular do puacuteblico alvo da pesquisa pertencente agrave Grande Vitoacuteria que
perpassa desde a formaccedilatildeo inconsistente dos professores seja de instituiccedilatildeo puacuteblica ou
privada ateacute a precariedadenegligecircncia de nossos livros didaacuteticos do curriacuteculo estadual
dos PCN da proposta do ENEM e dos cursos de capacitaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao repasse de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo
O presente trabalho serviu para nos alertar sobre a importacircncia da Histoacuteria
8 CONCLUSAtildeO 111
da Matemaacutetica na evoluccedilatildeo dos conceitos Agraves vezes desejamos que os alunos aprendam
algo em um dia sendo que tal conceito demorou seacuteculos para atingir o rigor e o padratildeo
preestabelecido em nossas literaturas de matemaacutetica Aleacutem disso serviu de instrumento
norteador para pensar em mudanccedilas ou adaptaccedilotildees signicativas em nossos livros didaacute-
ticos para que os mesmos estejam em conformidade com a proposta constitucional de
preparaccedilatildeo para uma continuaccedilatildeo de estudos mais avanccedilados Tambeacutem serviu de aper-
feiccediloamento do conhecimento via emprego praacutetico e motivador de planilhas eletrocircnicas e
softwares de geometria dinacircmica (GeoGebra) Como esses recursos podem tornar as aulas
mais interessantes e fazer com que o ensinoaprendizagem seja facilitado
O emprego das noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio via noccedilotildees intuitivas e
via situaccedilotildees problema de aplicaccedilotildees reais pode ser incluso novamente nos PNCEM
no curriacuteculo estadual eou entatildeo nas estrateacutegias suplementares do plano pedagoacutegico da
escola baacutesica com o intuito de oportunizar um aprendizado mais qualicado aos alunos
e de preparaacute-los para estudos posteriores com maior teor de abstraccedilatildeo Foi possiacutevel
vericar que algumas propriedades satildeo justicadas de maneira rigorosa apenas com o
auxiacutelio de ideais correlatas do Caacutelculo (limite derivada e integral) principalmente a
explicaccedilatildeo matemaacutetica de alguns fenocircmenos fiacutesicos e quiacutemicos tornando a matemaacutetica
interdisciplinar
Enm eacute preciso ensinar matemaacutetica com o intuito de formar alunos aptos a
lidar com situaccedilotildees extremas de abstraccedilatildeo nas universidades e natildeo somente para adqui-
rirem bom rendimento nos exames de caraacuteter nacional (ENEM PAEBES etc) Anal
a omissatildeo pode estar causando resultados negativos como desmotivaccedilatildeo dos alunos da
escola baacutesica reduccedilatildeo de procura por cursos que requerem uma boa formaccedilatildeo na aacuterea
de exatas e aulas expositivas cada vez mais distantes da realidade cotidiana dos nossos
alunos Assim as poliacuteticas governamentais assim como os professores devem participar
dessas discussotildees com propostas de viabilidade de cursos de capacitaccedilatildeo que oriente os
prossionais a trabalharem com as noccedilotildees de Caacutelculo via aulas expositivas com adaptaccedilotildees
de recursos didaacuteticos disponiacuteveis e via produccedilatildeo de material especiacuteco que complemente as
lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos disponiacuteveis Essa adaptaccedilatildeo ao modelo tradicional
de ensino que jaacute se mostrou desmotivador arcaico e ultrapassado pode ser uma alterna-
tiva eciente para resgatar a busca incessante pelo aprofundamento do saber matemaacutetico
fiacutesico e quiacutemico por parte dos alunos
112
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos
graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo
A)
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)113
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)114
115
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos
professores de Matemaacutetica (Anexo B)
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 116
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 117
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 118
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A pior ditadura natildeo eacute a que aprisiona
o homem pela forccedila mas sim pela fra-
queza fazendo-o refeacutem de suas proacuteprias
necessidades
Juacutelia Liacutecia
Sumaacuterio
Lista de Figuras 8
Lista de Tabelas 10
1 INTRODUCcedilAtildeO 11
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 15
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 22
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 29
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 32
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 42
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA 45
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
711 Diacutezimas Perioacutedicas 47
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales 50
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas 54
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo 55
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees 60
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de limite 71
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua 72
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri 80
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse 88
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva 90
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica 96
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea 98
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle 100
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada 101
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada 104
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada 106
8 CONCLUSAtildeO 110
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da
FAACZ (Anexo A) 112
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo
B) 115
Referecircncias Bibliograacutecas 119
Lista de Figuras
31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo 22
32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1+ 2460+ 51
602+ 10
603=
1414212 28
71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis 52
74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso) 53
75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos 54
76 Retacircngulo 6 x 5 56
77 Retacircngulo 100 x 80 57
78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita 60
79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5 63
710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50 65
711 Poliacutegono Retangular para n = 100 65
712 Processo recursivo de Quadrados 70
713 Processo recursivo de Triacircngulos Equilaacuteteros 70
714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito) 77
715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8 78
716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10 79
717 Anel Ciliacutendrico 81
718 Casca de Esfera 82
719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica 84
720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 85
721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7 86
722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 87
723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 87
724 Elipse inscrita numa circunferecircncia 89
725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante 91
726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer 91
727 Quadratura do ciacuterculo para n = 11 92
728 Quadratura do ciacuterculo para n = 100 92
729 Poliacutegono Retangular para n = 5 95
730 Poliacutegono Retangular para n = 10 95
731 Poliacutegono Retangular inscrito 95
732 Poliacutegono Retangular circunscrito 95
733 Trapeacutezio retacircngulo 100
734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000 101
735 Reta tangente a uma dada paraacutebola 103
736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda) 105
737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita) 106
738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular 108
739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica 109
9
Lista de Tabelas
51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos 41
71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2 59
72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais 72
73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler 75
74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo 100
75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio 101
11
1 INTRODUCcedilAtildeO
Haacute pontos especiacutecos na educaccedilatildeo baacutesica em que a ideia intuitiva de limite
de derivada e de integral estaacute presente Como satildeo tratados os casos em que eacute necessaacuterio
mencionar as noccedilotildees de limite ou de integral para discutir uma consequecircncia natural de
um assunto elementar Como os livros didaacuteticos tratam o assunto Qual a visatildeo dos pro-
fessores diante do tema Como os Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) lidam com a
situaccedilatildeo Em que estados brasileiros nota-se a presenccedila e a aplicabilidade de tais noccedilotildees
elementares do Caacutelculo Como as consequecircncias imediatas dessa posturaapresentaccedilatildeo
preacute-matura estatildeo interferindo no rendimento dos cursos de Caacutelculo no niacutevel superior De
que maneira podemos introduzir e abordar esse peculiar assunto sem causar constrangi-
mentos e traumas em nossos alunos Em que contexto histoacuterico se deu o processamento
das ideias de limite Tais ideias satildeo largamente empregadas no nosso dia-a-dia Como
explorar as noccedilotildees de limite de derivada e de integral via softwares de geometria dinacircmica
(especicamente o GeoGebra) Como explorar as noccedilotildees de limite via planilhas eletrocirc-
nicas (Microsoft Excel) O que eacute limite e como introduzir sem exageros e formalidades
de maneira que os alunos consigam acompanhar tal abstraccedilatildeo Qual a ordem cronoloacutegica
dos fatos surgiu o Caacutelculo Integral ou primeiro o Caacutelculo Diferencial Como propor a
inserccedilatildeo de limite nos estudo das derivadas O que eacute derivada Soacute se aprende derivada
se souber limite Como interligar a deniccedilatildeo de limite com a noccedilatildeo de integral O que
eacute integral Qual foi a evoluccedilatildeo histoacuterica (limite derivada e integral) Quais principais
precursores (paiacutes cidade natal seacuteculo data problematizaccedilatildeo etc) QueQual percen-
tual de alunos aprendeu alguma noccedilatildeo de limite de derivada ou de integral durante a
educaccedilatildeo baacutesica Quais as vantagens em ensinar as noccedilotildees de limite de derivada e de
integral na educaccedilatildeo baacutesica em particular no ensino meacutedio
Diante de tantos questionamentos surge a necessidade de respondecirc-los por
meio de uma reexatildeo acerca dos pontos destacados na pesquisa desenvolvida na pre-
sente dissertaccedilatildeo Inicialmente foi feita uma pesquisa entre os alunos que estatildeo ingres-
sandocursando na Universidade Federal do Espiacuterito Santo (UFES) e no Instituto Federal
do Espiacuterito Santo (IFES) sobre o estudo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo durante as
fases da educaccedilatildeo baacutesica Quem estudou Em que seacuterie se consolidou tal aprendizado
1 INTRODUCcedilAtildeO 12
Haacute conceitos baacutesicos que utilizam as noccedilotildees de limite de derivada e de integral Quais
vantagens obteriam caso tivessem uma base melhor e satisfatoacuteria de tais ideias intuitivas
durante o ensino baacutesico Em segundo momento os professores foram questionados sobre
as vantagensdesvantagens em propor o ensino das noccedilotildees de limite de derivada e de
integrais durante a educaccedilatildeo baacutesica
Em seguida foi feita uma averiguaccedilatildeo que de fato existem conteuacutedos da edu-
caccedilatildeo baacutesica que necessitam de uma abordagem mais especiacuteca das noccedilotildees de limite de
derivada e de integral tais como a representaccedilatildeo decimalfracionaacuteria das diacutezimas pe-
rioacutedicas ao somar os innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo especial
(0 lt |q| lt 1) ao estudar a capitalizaccedilatildeo contiacutenua ao analisar comportamentos graacute-
cos de uma funccedilatildeo para valores muito grande eou pequeno do domiacutenio de uma funccedilatildeo
(funccedilatildeo 1o grau 2o grau exponencial e logariacutetmica) ao calcular da medida da aacuterea de
uma regiatildeo plana qualquer com lados curvos aleacutem das inuacutemeras aplicaccedilotildees no estudo da
Fiacutesica (emprego da hipeacuterbole equilaacutetera na relaccedilatildeo entre pressatildeo e volume de um gaacutes em
condiccedilotildees isoteacutermicas e do conceito de velocidade instantacircnea)
Uma busca nos livros de Histoacuteria da Matemaacutetica com o intuito de desvendar
as maneiras e o contexto sobre os quais se deu o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas de
limite de derivada e de integral ateacute chegar ao cliacutemax da notaccedilatildeo atual e padratildeo formal
ensinado na disciplina de Caacutelculo nas universidades Nesse iacutenterim pretendeu-se propor
uma viagem no tempo ao longo dos seacuteculos em busca de momentos cruciais em que se
desenvolveuaplicou as noccedilotildees elementares do Caacutelculo
Apoacutes mapear as diversas situaccedilotildees problema que serviram de motivaccedilatildeo para
o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo foi realizada uma conferecircncia nos
livros didaacuteticos mais utilizados na educaccedilatildeo baacutesica especicamente na 3a etapa o Ensino
Meacutedio com o intuito de investigar como o assunto eacute introduzido em que conteuacutedos satildeo
discutidos e qual a linguagem utilizada (notaccedilatildeo usual)
Uma pesquisa com graduandos e com professores foi realizada com o intuito
de averiguar se os mesmos trabalham as noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de
integral no ensino baacutesico e como o fazem Quais satildeo suas anguacutestias temores diculdades
sugestotildees etc Haacute cursos de capacitaccedilatildeoformaccedilatildeo de professores nesse sentido Seria
necessaacuterio criar um algoritmo tipo uma receita de bolo um guia didaacutetico um manual
pedagoacutegico de direcionamento de trabalho que norteasse e ensinasse aos professores com
1 INTRODUCcedilAtildeO 13
sugestotildees de abordagem do tema em estudo Em geral os professores possuem conheci-
mentos na aacuterea de utilizaccedilatildeoaplicaccedilatildeo da teoria de limite de derivada e de integral para
empregar em suas aulas a utilizaccedilatildeo de softwares de geometria dinacircmica e softwares que
trabalham com planilha eletrocircnica de estudos
Tendo em matildeos o mapeamento dos conteuacutedos que necessitam de um enfoque
das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral a opiniatildeo dos professores e
dos graduandos a visatildeo apresentada nos livros didaacuteticos e nos Paracircmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) a evoluccedilatildeo histoacuterica e suas situaccedilotildees-problema
foi possiacutevel articular a sequecircncia didaacutetica que de acordo com a nossa visatildeo facilitaria o
entendimento e minimizaria a distacircncia entre o concreto e o abstrato isto eacute reduziria a
margem de abstraccedilatildeo que tais noccedilotildees requerem Nesse sentido o foco da pesquisa tem
como meta a introduccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral de acordo
com a seacuterie do Ensino Meacutedio em que se pretende inserir tais conceitos Tambeacutem eacute vaacutelido
ressaltar que haacute conteuacutedos do Ensino Fundamental que necessitam de um enfoque das
noccedilotildees de Caacutelculo por exemplo o estudo das diacutezimas perioacutedicas a demonstraccedilatildeo completa
do Teorema de Tales e a deniccedilatildeo de aacuterea de uma regiatildeo retangular Nesse iacutenterim o
presente trabalho propotildee uma metodologia de introduccedilatildeo desses conceitos empregando e
entrelaccedilando as noccedilotildees elementares de limite
Para a 1a seacuterie do Ensino Meacutedio a abordagem algeacutebrica foi realizada a partir
do estudo de funccedilotildees e suas implicaccedilotildees e do estudo de sequecircncias (em particular seacuteries
geomeacutetricas convergentes diacutezimas perioacutedicas) que apresentam caracteriacutesticas peculiares
que necessitam do estudo das noccedilotildees de limite Em seguida foi proposta uma aplicaccedilatildeo
desses conceitos numa situaccedilatildeo-problema presente no estudo de matemaacutetica nanceira
(especicamente no estudo de juros compostos) isto eacute foi realizada uma reproduccedilatildeo e
uma anaacutelise do problema proposto por Jacques Bernoulli sobre capitalizaccedilatildeo contiacutenua ou
seja as implicaccedilotildees sobre a evoluccedilatildeo de crescimento de um capital depositado a juros
compostos ser acrescido de juros subdividindo constantemente o intervalo de correccedilatildeo Jaacute
a abordagem geomeacutetrica a ser apresentada tanto no 1o ano quanto no 2o ano conforme
o plano de curso preacute-estabelecido pela unidade escolar se deu por intermeacutedio do estudo
de aacutereas de guras planas em especial aquelas que apresentam lados curviliacuteneos
Ainda na 1a seacuterie do Ensino Meacutedio foi realizada uma anaacutelise comportamental
de graacutecos de funccedilotildees fazendo um paralelo com os graacutecos presentes no estudo de conceitos
da disciplina de Fiacutesica com o intuito particular de explicar o que signica e como se
1 INTRODUCcedilAtildeO 14
calcula a aacuterea sob o graacuteco de uma curva qualquer que relacionam duas variaacuteveis com
grau de dependecircncia (funccedilatildeo de uma variaacutevel) E tambeacutem foi realizada uma anaacutelise da
desintegraccedilatildeo radioativa de uma substacircncia que consiste num problema interdisciplinar
amplamente discutido na Quiacutemica
Para a 2a seacuterie ou 3a seacuterie do Ensino Meacutedio de acordo com curriacuteculo escolar
baacutesico adotado a introduccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo foi realizada em para-
lelo ao estudo de geometria espacial momento em que houve uma revisatildeo do estudo de
aacutereas de guras planas poligonais e a introduccedilatildeo do caacutelculo da aacuterea de uma gura plana
que contenha algum lado curviliacuteneo Posteriormente tais ideias foram aplicadas para
demonstrar as aacutereas superciais e volumes de corpos redondos especiais (cilindros cones
e esferas) utilizando como fonte e direccedilatildeo de trabalho o meacutetodo dos indivisiacuteveis proposto
por Kepler e Cavalieri
Enm a abordagem das noccedilotildees elementares do Caacutelculo na 3a seacuterie do Ensino
Meacutedio foi construiacuteda de maneira correlacionada com o estudo (deniccedilotildees e propriedades)
das cocircnicas (paraacutebolas e hipeacuterboles)
15
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA
INSERCcedilAtildeO
O objetivo da presente pesquisa foi investigar nesse particular espaccedilo amos-
tral que percentual de graduandos teve contato com as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
durante a educaccedilatildeo baacutesica questionando quatildeo signicante foi tal experiecircncia e quais van-
tagensdesvantagens obtiveramobteriam com o contato preacute-liminar com noccedilotildees intuitivas
do Caacutelculo Aleacutem disso entrevistas foram feitas com professores (rede estadual e privada)
que atuam no Ensino Meacutedio e com professores que lecionamlecionaram a disciplina de
Caacutelculo I (limite derivada e integral) e de Fiacutesica Geral I oportunidade em que a visatildeo
dos mesmos seraacute analisada diante da problemaacutetica aqui retratada
A pesquisa foi realizada com parte da turma de 2012 do PROFMAT-UFES
via envio do questionaacuterio por e-mail dos quais apenas dez alunos retornaram respondidos
os questionaacuterios Tambeacutem participaram os vinte e quatro alunos da turma de ingresso ao
PROFMAT 2014 via questionaacuterio impresso o qual foi aplicado no dia 22 de Fevereiro de
2014 na sala 32 do Centro de Ciecircncias Exatas (CCE) da Universidade Federal do Espiacuterito
Santo (UFES) Aleacutem desses professores mestrandos responderam aos questionaacuterios parte
(dez alunos) de uma turma de graduandos (futuros e atuais professores de matemaacutetica)
pertencentes ao curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica pelo Instituto Federal do
Espiacuterito Santo (IFES) uma miacutenima (apenas oito) amostra de professores que atuam no
Ensino Meacutedio da rede estadual especicamente nas escolas da Serra Sede (EEEFM Pro-
fessor Joatildeo Loyola e EEEFM Cloacutevis Borges Miguel) uma pequena amostra de professores
que atuam somente nas faculdades particulares e com alunos graduandos em engenharia
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) que estavam praticamente concluindo o estudo da
disciplina de Caacutelculo e Fiacutesica I
Para discentes foi articulado um questionaacuterio alternativodiscursivo composto
de perguntas pertinentes agraves experiecircncias com o estudo de Caacutelculo I e em particular das
noccedilotildees de limite na educaccedilatildeo baacutesica e as vantagensdesvantagens que a aprendizagem
de tais conceitos lhe renderia A pesquisa foi realizada com uma pequena amostra de
alunos dos cursos de Licenciatura Plena em Matemaacutetica (IFES) e de Engenharia Mecacircnica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 16
(FAACZ)
Jaacute para os docentes foi pensado um questionaacuterio com escalas de classica-
ccedilatildeo em que o professor repassaria dados histoacutericos de suas experiecircncias com a disciplina
de Caacutelculo I desde a graduaccedilatildeo ateacute a realidade encontrada em sua sala de aula caso
seja professor da disciplina de Caacutelculo I com o intuito de questionar quais as facilida-
desdiculdades que a aprendizagem das noccedilotildees de limite e outras noccedilotildees baacutesicas do
Caacutelculo poderiam produzir A pesquisa foi realizada com professores da UFES do IFES
e de algumas escolas particulares que lecionaramlecionam a disciplina de Caacutelculo I em
qualquer curso superior
De acordo com uma anaacutelise geral dos dados da pesquisa foi possiacutevel constatar
que a maioria dos professores seja da rede puacuteblica ou privada atuantes na educaccedilatildeo
baacutesica (Ensino Fundamental e Meacutedio) embora tenha recebido orientaccedilatildeopreparaccedilatildeo es-
peciacuteca que os formassem de maneira satisfatoacuteria para inserir noccedilotildees intuitivas de limite
e ideias correlatas do Caacutelculo nessa fase de ensino ainda natildeo faz ideia de como aplicar
tais conceitos caso os mesmos sejam implementados no curriacuteculo baacutesico Aleacutem disso em
uma conversa informal (bate-papo apoacutes o preenchimento dos questionaacuterios) com um grupo
atuante na rede estadual foi possiacutevel constatar que haacute diculdade de ensinar a matemaacutetica
elementar quanto mais os toacutepicos que remetem o uso de citaccedilatildeo de ideias avanccediladas cujo
grau de abstraccedilatildeo eacute mais acentuado Segundo os professores os alunos chegam ao Ensino
Meacutedio com niacutevel de aprendizagem abaixo do ideal com defasagens gritantes em aritmeacutetica
baacutesica (operaccedilotildees elementares) e com problemas de domiacutenio da liacutengua portuguesa naquilo
que concerne agrave interpretaccedilatildeo de enunciados e compreensatildeo de teorias Foi de consenso
comum entre os professores pesquisados que o trabalho eacute pertinente e de fundamental
importacircncia para sanar problemas como os altos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de
Caacutelculo e Fiacutesica I Tambeacutem consentiram que caso tal pesquisa inuenciasse uma mudanccedila
no curriacuteculo baacutesico da rede estadual de ensino haveria necessidade de um curso especiacuteco
e produccedilatildeo de um material suplementar que os orientasse Aleacutem disso um seleto grupo
informou que hoje seria possiacutevel repassar algumas orientaccedilotildees somente no 3o ano apoacutes a
aplicaccedilatildeo da prova do ENEM periacuteodo em que os alunos praticamente estatildeo aprovados e
teoricamente jaacute estudaram toda a matemaacutetica elementar dos niacuteveis fundamental e meacutedio
Caso contraacuterio veem atualmente viabilidade de aplicaccedilatildeo do estudo proposto somente em
turmas oliacutempicas de matemaacutetica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 17
Os dados especiacutecos da pesquisa podem induzir uma reexatildeo draacutestica de que
os cursos superiores de formaccedilatildeo de professores de matemaacutetica embora repassem aos seus
alunos fundamentos necessaacuterios e sucientes para que os mesmos estejam habilitados para
trabalhar com a proposta presente nesse trabalho a totalidade dos professores questiona-
dos natildeo se sente seguro para repassar noccedilotildees elementares do Caacutelculo a alunos da educaccedilatildeo
baacutesica E mais a maioria dos professores eacute favoraacutevel quanto agrave grade curricular e quanto
agrave adequaccedilatildeo e suciecircncia das disciplinas de Caacutelculo durante a fase de graduaccedilatildeo Um
verdadeiro paradoxo
Segundo os professores pesquisados a assimilaccedilatildeo e o ensinoaprendizagem
dos graduandos poderiam ser melhorados via curso especiacuteco de preacute-Caacutelculo ou propondo
estrateacutegias motivadoras durante o Ensino Meacutedio Ainda armaram estarem cientes da
distacircncia enorme entre o modelo de ensino ofertada pelas Licenciaturas e a realidade dos
alunos em sala de aula aleacutem disso comentaram que a aversatildeo relativa ao ensino de toacutepi-
cos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio eacute explicada devido a experiecircnciasaprendizagens
decitaacuterias durante a fase de graduaccedilatildeo naquilo que tange a metodologia diferenciada (es-
trateacutegias didaacutetica interessemotivaccedilatildeo do professor em ensinar e utilizaccedilatildeo de recursos
didaacuteticos etc)
A partir da pesquisa tambeacutem foi possiacutevel conjecturar que a realidade atual dos
cursos de Caacutelculo pode ser melhorada com uma fuga ao modelo tradicional de ensino
Nesse iacutenterim faz-se necessaacuterio que os professores universitaacuterios estejam mais atentos agrave
didaacutetica de ensino ao planejamento de suas aulas agrave variaccedilatildeo de metodologias de aprendi-
zagem via recursos computacionais disponiacuteveis e via alternativas modernas que favoreccedilam
um aumento no rendimento escolar universitaacuterio com uma consequente reduccedilatildeo dos iacutendi-
ces de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo Eacute impossiacutevel repassar noccedilotildees elementares do
Caacutelculo para os alunos da educaccedilatildeo baacutesica se a formaccedilatildeo que os professores recebem natildeo
eacute satisfatoacuteria ao ponto de que haja seguranccedila e domiacutenio do tema Para isso eacute necessaacuterio
ampliar o leque de discussatildeo das poliacuteticas puacuteblicas educacionais com uma proposta de re-
formulaccedilatildeo dos PCN com proposiccedilatildeo de cursos de capacitaccedilatildeo de professores convenientes
e em horaacuterios adequados e com a produccedilatildeo de um material didaacutetico especiacuteco adequado
agrave realidade da educaccedilatildeo baacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que a retomada do ensino de Caacutelculo
vem acontecendo desde a deacutecada de 90 mas com a preocupaccedilatildeo de que esse posiciona-
mento natildeo venha a sobrecarregar o curriacuteculo e nem esteja distante da realidade do niacutevel
elementar o Ensino Meacutedio a ser apresentada e incluiacuteda a ideia do presente trabalho
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 18
Caso haja educadores contraacuterios a presente proposta com a justicativa de
que o curriacuteculo baacutesico jaacute estaacute abarrotado de conteuacutedos e de ser um instrumento imutaacutevel
seria interessante promover uma formaccedilatildeo completa sobre os Paracircmetros Curriculares
Nacionais e sobre o curriacuteculo baacutesico adotado com o intuito de explicar aos professores
que haacute muito interpretaccedilatildeo equivocada dos PCN dado que os mesmos devem servir como
elemento norteador indicador das habilidades e competecircncias necessaacuterias para garantir o
miacutenimo de aprendizagem signicativa e sem que seja um instrumento impositivo (dono da
verdade deus do universo etc) ou seja quem faz o curriacuteculo de Matemaacutetica eacute o professor
atrelado ao plano pedagoacutegico da escola e matrizes do ENEM
Para encerrar a anaacutelise relativa aos dados da pesquisa eacute vaacutelido salientar que
muitos professores consideraram o questionaacuterio longo e tedioso Essa aversatildeo inicial pode
representar uma justicativa aparente de que a postura dos professores quanto agrave mu-
danccedilasaiacuteda do estado de platocirc atual sempre seraacute uma barreira agrave produccedilatildeo de conheci-
mentos A presente pesquisa cujos dados estatildeo tabulados no anexo A foi realizada com
38 professores atuantes na rede publica e privada com experiecircncia no mercado Parte
desses professores (10) ainda estavam em fase de conclusatildeo do curso de Licenciatura no
IFES De acordo com os dados da pesquisa foi possiacutevel inferir que muitos desses pro-
fessores natildeo possuem o haacutebito de realizar leituras de revistas especializadas (Revista do
Professor de Matemaacutetica (RPM) Revista Caacutelculo) de livros da Sociedade Brasileira de
Matemaacutetica (SBM) de artigos de seminaacuterios de discussatildeo de educaccedilatildeo matemaacutetica e nem
possuem interesse na participaccedilatildeo em simpoacutesios bienais cursos de capacitaccedilatildeo cursos de
veratildeo etc Nesse iacutenterim eacute bom citar que aqueles poucos professores que participaram
de forma remunerada do multicurso de matemaacutetica promovido pela Secretaria Educaccedilatildeo
do Espiacuterito Santo (SEDU) informaram que natildeo houve qualquer menccedilatildeo aos toacutepicos atuais
de discussatildeo do retorno das noccedilotildees elementares do Caacutelculo ao curriacuteculo baacutesico Jaacute aque-
les que estiveram presentes no Programa de Aperfeiccediloamento de Professores do Ensino
Meacutedio (PAPEM) relataram que houve alguma citaccedilatildeo breve do assunto durante as aulas
de viacutedeo conferecircncia e em problemas propostos nas ocinas no periacuteodo vespertino
A outra tabela que consta no anexo B dessa dissertaccedilatildeo representa a tabulaccedilatildeo
dos dados da pesquisa realizada com uma amostra (32 alunos) de alunos (graduandos) do
curso de engenharia mecacircnica da FAACZ
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 19
Inicialmente eacute interessante citar que participaram da pesquisa 32 alunos em
sua maioria graduandos do sexo masculino estudantes do curso de Engenharia Mecacircnica
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) e desse total eacute importante citar que 31 graduandos
estatildeo na faixa etaacuteria abaixo dos 30 anos
De acordo com os dados analisados foi possiacutevel vericar que a faculdade dispo-
nibiliza aos seus alunos um curso de nivelamento (preacute-Caacutelculo) com o intuito de apresentar
aos alunos uma ajuda consideraacutevel para iniciarem o estudo de Caacutelculo e para minimizar a
distacircncia que haacute entre a matemaacutetica elementar promovida na educaccedilatildeo baacutesica e a mate-
maacutetica superior principalmente as noccedilotildees elementares de limite deriva e integral Nesse
curso de nivelamento foram apresentadas aos alunos situaccedilotildees problema que necessitavam
de emprego de noccedilotildees do Caacutelculo A partir da exposiccedilatildeo de problemas concretos proacutexi-
mos da realidade dos alunos foi possiacutevel introduzir de maneira construtiva toacutepicos que
exigiram o emprego de limite de derivada e integral
Segundo a maioria dos alunos o referido curso de preacute-Caacutelculo ofertado contribui
para melhorar o rendimento em todos os aspectos e responderam que caso a introduccedilatildeo
das ideias difundidas no curso de nivelamento tivessem sido realizadas durante o ensino
meacutedio haveria uma melhora consideraacutevel no ensinoaprendizagem
Ao questionar sobre a sequecircncia da histoacuteria da evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi possiacutevel
constatar que quase a totalidade dos alunos natildeo tiveram uma introduccedilatildeo histoacuterica da
evoluccedilatildeo do Caacutelculo pois a maioria deles (20 alunos) armou que a evoluccedilatildeo do Caacutelculo
estaacute em conformidade com a sequecircncia apresentada nos livros didaacuteticos Tambeacutem foi
possiacutevel perceber que o ensino de Fiacutesica I ocorreu simultaneamente com o ensino de Caacutelculo
I o que eacute uma realidade questionada nos principais cursos de exatas das instituiccedilotildees
puacuteblica e privada do Estado do Espiacuterito Santo Anal como a ementa do curso de Fiacutesica
I requer o conhecimento de um conjunto de aplicaccedilotildees e propriedades do Caacutelculo seria
loacutegico que tal curso fosse realizado apoacutes a introduccedilatildeo das ideias de limite derivada e
integral
De acordo com a pesquisa contatou-se que quase todos os alunos (27) estu-
daram via livros didaacuteticos especiacutecos de Caacutelculo de autores com bastante bagagem e
profundos conhecedores do Caacutelculo (James Stewart e George B Thomas 11a e 5a edi-
ccedilatildeo respectivamente) Do total de alunos entrevistados 5 alunos armaram ter estudado
Caacutelculo via apostilas notas de aulas e viacutedeo aula
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 20
Segundo a visatildeo dos graduandos para realizar a introduccedilatildeo das noccedilotildees ele-
mentares do Caacutelculo faz-se necessaacuterio que os alunos tenham uma base adequada de en-
sinoaprendizagem acumulada das seacuteries anteriores inclusive no Ensino Fundamental
Quanto ao aspecto conteuacutedos do Ensino Meacutedio que exigem a inserccedilatildeo das noccedilotildees elemen-
tares do Caacutelculo os graduandos citaram Funccedilotildees Sequecircncias Aacutereas e volumes em geral
Jaacute no estudo da Fiacutesica mencionaram o estudo de velocidades aceleraccedilotildees e trabalho
Quanto aos iacutendices de aprovaccedilatildeo eacute vaacutelido ressaltar que dos 32 entrevistados
somente 6 caram reprovados em Caacutelculo I A explicaccedilatildeo para esse iacutendice excelente de
aprovaccedilatildeo pode ser justicativa pelo repasse das noccedilotildees elementares do Caacutelculo via curso
de nivelamento Tambeacutem eacute vaacutelido ressaltar que a formaccedilatildeo dos docentes regentes das
disciplinas que zeram o uso das ideias de Caacutelculo para os graduandos partiacutecipes da
presente pesquisa varia da titulaccedilatildeo miacutenima de especialistas ateacute doutores
As aulas de Caacutelculo na FAACZ satildeo muito ecleacuteticas poreacutem arcaicas obsoletas
tradicionais e remetem a ideia de que a maioria dos seus professores prefere um curso de
Caacutelculo que exija uma boa formaccedilatildeo baseada numa conciliaccedilatildeo do processo demonstra-
tivoaplicativo dos teoremas e proposiccedilotildees do Caacutelculo Tambeacutem armaram de maneira
quase unacircnime e satisfatoacuteria sobre as facilidades que a utilizaccedilatildeo dos recursos didaacuteticos
(softwares de geometria dinacircmica e planilhas eletrocircnicas) proporcionaria e favoreceria o
ensinoaprendizagem dos estudantes dessa instituiccedilatildeo Em contrapartida 26 desses alu-
nos responderam natildeo ter recebido trabalhos de abordagem de modelagem matemaacutetica de
uma situaccedilatildeo real cotidiana ou melhor a maioria desses alunos armou que ainda natildeo
sabem o que eacute modelagem matemaacutetica
Quanto agrave experiecircncia desses alunos ao serem expostos agrave teoria de limites com
todas as suas formalidades foi possiacutevel constatar que o curso de nivelamento de prepa-
raccedilatildeo para o estudo de Caacutelculo contribui de forma satisfatoacuteria para melhorar o rendi-
mentoentendimento da maior parte dos graduandos Esse curso de preacute-Caacutelculo foi uma
forma de preencher a lacuna deixada pela educaccedilatildeo baacutesica principalmente pelo Ensino
Meacutedio em que segundo dados da pesquisa natildeo houve citaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de
limite nem muito menos ideias correlatas do Caacutelculo deriva e integral Nesse iacutenterim a
maioria dos alunos armou que os livros didaacuteticos existentes na educaccedilatildeo baacutesica ou satildeo
insucientes quanto ao repasse ou natildeo abordam as noccedilotildees de intuitivas do Caacutelculo E
mais um percentual consideraacutevel dos entrevistados armou jamais ter ouvido qualquer
citaccedilatildeo baacutesica das noccedilotildees de limite deriva e integral durante o Ensino Meacutedio
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 21
Essas informaccedilotildees vecircm ao encontro da nossa proposta a qual propotildee um res-
gate da inserccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas e ideias elementares do Caacutelculo durante o Ensino
Meacutedio com a nalidade de preparar o aluno para ingressar no estudo de Caacutelculo e com
o intuito de justicar proposiccedilotildees elementares com argumentos satisfatoacuterios sem fuga
desculpa ou enrolo Essa inserccedilatildeo deve ser direcionada e atrelada agrave evoluccedilatildeo histoacuterica
do Caacutelculo com um material especiacuteco devido agrave insuciecircncia dos materiais didaacuteticos
existentes no mercado e com atividades interdisciplinares no estudo de Fiacutesica e Quiacutemica
principalmente E mais deve existir um curso especiacuteco de preparaccedilatildeo aos professores
da educaccedilatildeo baacutesicasuperior e a inclusatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo nos PCNEM
com intuito de estimularraticar o repasse das ideias e de contribuir para elevar o rendi-
mento dos estudantes no estudo de Caacutelculo em cursos superiores posteriores pois assim
os educadores receberatildeo a formaccedilatildeo necessaacuteria para trabalharem com maior destreza e
seguranccedila via recursos didaacuteticos disponiacuteveis (softwares educacionais quadro multimeios
laboratoacuterios de matemaacutetica jogos matemaacuteticos etc)
22
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO
CAacuteLCULO
Figura 31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo
Fonte wwwmatematicabrhistoriaprhindhtml[34]
A evoluccedilatildeo do Caacutelculo da origem intuitiva (ideias remotas) ateacute o rigoroso pa-
dratildeo adotado nos livros atuais foi marcada pelas contribuiccedilotildees de diversos estudiosos
dentre os quais pode-se citar em ordem cronoloacutegica de destaque Ahmes (ou Ahmose
escriba egiacutepcio) babilocircnicos Hiacutepias Zenatildeo (ou Zeno de Eleacuteia) Eudoacutexio (ou Eudoxos)
Demoacutecrito Arquimides Papus Kepller Descartes Fermat Roberval Torricelli Cavali-
eri Wallis Barrow Newton Leibnitz famiacutelia Bernoulli De Moivre Taylor Maclaurin
Euler Clairaut DAlembert Lambert Lagrange Laplace Legendre Monge Carnot
Gauss Fourier Poisson Bolzano Cauchy Abel Galois Jacobi Dirichlet Weierstrass
e Riemann Eacute vaacutelido ressaltar que outros personagens zeram contribuiccedilotildees favoraacuteveis
e que natildeo foram mencionados para natildeo haver fuga ao escopo principal dessa pesquisa
Aleacutem disso os personagens destacados foram formidaacuteveis e providenciais para o desen-
volvimento aprimoramento potencialidade aplicabilidade formalidade e padronizaccedilatildeo
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 23
loacutegica do Caacutelculo
A partir do seacuteculo XV II eacute que se evidenciou a evoluccedilatildeo formal no desenvolvi-
mento do Caacutelculo apesar de suas noccedilotildees intuitivas serem encontradas por volta de 1650
aC isto eacute dezessete seacuteculos anteriores aos tempos da era cristatilde foi encontrado no papiro
Rhind cuja coacutepia foi realizada pelo escriba Ahmes (ou Ahmose) evidecircncias de que os
egiacutepcios descobriram de maneira correta que o volume de uma piracircmide de base qua-
drada equivale a 13do volume do prisma retangular de mesma base e mesma altura Eacute
vaacutelido ressaltar que natildeo havia demonstraccedilatildeo de tal relaccedilatildeo nem deveria pois para checar
a veracidade com rigor e precisatildeo eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees de innitesimais perten-
centes ao Caacutelculo Aleacutem dos indiacutecios encontrados nesse papiro tambeacutem foram descobertos
tabulas cuneiformes babilocircnicas que destacam problemas relacionados ao Caacutelculo especi-
camente no algoritmo iterativo empregado para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero
racional e na mensuraccedilatildeo de guras planas
Conforme BOYER [4] (1992 p2)
() Jaacute no seacuteculo XV II aC os babilocircnicos aplicaram sua aacutelgebra admi-ravelmente exiacutevel a uma ampla gama de problemas praacuteticos incluindomensuraccedilatildeo de guras Conhecendo o teorema de Pitaacutegoras acharamcorretamente a diagonal de um quadrado ateacute o equivalente a meia duacuteziade casas decimais Tomavam a aacuterea do ciacuterculo geralmente como o tri-plo da aacuterea do quadrado sobre ao raio ma em pelo menos uma ocasiatildeousaram para uma aproximaccedilatildeo melhor 31
8 ()
Embora egiacutepcios e babilocircnicos em niacutevel mais acentuado tenham deixado evi-
dente a habilidade em aacutelgebra natildeo se pode dizer o mesmo em relaccedilatildeo agrave loacutegica empregada
Nesse sentido de preocupaccedilatildeo com o rigor loacutegico a partir de princiacutepios baacutesicos destacam-
se os trabalhos desenvolvidos na Greacutecia desde a descoberta da incomensurabilidade por
Hiacutepias (c de 425 aC) perpassando pelos quatro paradoxos propostos pelo loacutesofo Ze-
natildeo de Eleacuteia (c de 450 aC) que indicavam a existecircncia de um processo innito e pelo
brilhante trabalho de Eudoacutexio (ou Eudoxo cerca 370 aC) que propocircs uma teacutecnica de
comprovaccedilatildeo de validade de uma proposiccedilatildeo o meacutetodo da Exaustatildeo o qual eacute considerado
um prenuacutencio mais proacuteximo do Caacutelculo por parte de estudiosos gregos ateacute o aacutepice das
experiecircncias argumentos (reduccedilatildeo ao absurdo duplo) e meacutetodos bastante precisos desen-
volvidos por Arquimedes (287 minus 212 aC) para obter suas demonstraccedilotildees rigorosas das
foacutermulas de aacutereas e volumes em que frequentemente guravam seacuteries innitas
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 24
Consideradas duas grandezas desiguais se da maior subtraiacutemos umagrandeza maior que sua metade e da que resta uma grandeza maiorque sua metade e se este processo eacute repetido continuamente restaraacuteuma grandeza que seraacute menor que a menor das grandezas consideradas(BOYER [4] 1992 p 4)
Segundo BOYER [4] (1992 p 4) de maneira geral eis uma das citaccedilotildees mais
elementares das noccedilotildees de limites se A eacute a maior das duas grandezas dadas (positivas)
a e A e se un = A2n
entatildeo limnrarrinfin un = 0 lt a
De acordo BOYER [4]
Deve-se notar que enquanto a notaccedilatildeo moderna recorreu ao siacutembolo deinnito a linguagem antiga cuidadosamente evitava qualquer referecircnciaaberta a um processo innito As duas formulaccedilotildees no entanto natildeo es-tatildeo distantes quanto a seu signicado Para mostrar que limnrarrinfin un = 0deve-se demonstrar que dado um nuacutemero ε positivo mesmo que pequeno(o equivalente da grandeza menor a na proposiccedilatildeo de Euclides) pode-seachar um inteiro N (o equivalente da frase de Euclides se este processoeacute repetido continuamente) tal que para n gt N vale a relaccedilatildeo un lt εO Caacutelculo de Euclides (derivado presumivelmente de Eudoacutexio) pode tersido menos efetivo que o de Newton e Leibniz dois milecircnios mais tardemas em termos de ideias baacutesicas natildeo estava muito longe do conceitode limite usado rudemente por Newton e aprimorado no seacuteculo XIX(1992 p 5)
O uacuteltimo matemaacutetico dos tempos medievais a realizar contribuiccedilotildees favoraacuteveis
agrave evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi Papus (c de 320 dC) A partir daiacute houve um decliacutenio um ver-
dadeiro breu secular e histoacuterico de difusatildeoemancipaccedilatildeoevoluccedilatildeoativaccedilatildeo dos conceitos
do Caacutelculo Somente apareceraacute novamente discussatildeo proacutexima agrave teoria do Caacutelculo nos tem-
pos modernos por meio dos trabalhos de Nicole Oresme no seacuteculo XIV e Regiomontanus
no seacuteculo XV
O seacuteculo XV I foi o periacuteodo de reativaccedilatildeo do desenvolvimento dos concei-
tos principais do Caacutelculo Destacam-se nessa empreitada os trabalhos de Simon Stevin
(1548 minus 1620) e Luca Valerio (cerca de 1552 minus 1618) que evitaram a dupla reduction
ad absurdum do meacutetodo da exaustatildeo e zeram uso de um meacutetodo que fazia uma passa-
gem direta ao limite Aliaacutes Stevin o Arquimedes Holandecircs foi o primeiro a demonstrar
numericamente que uma sequencia de nuacutemeros tendia a um valor limite ao analisar pro-
posiccedilotildees relacionadas ao estudo de pressatildeo de uidos embora admitir mais credibilidade
ao tratamento geomeacutetrico
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 25
Nessa linha de defesa observe o relato EVES [11]
()Stevin usava esse meacutetodo em seu trabalho no campo da hidrostaacute-tica para determinar a forccedila exercida pela pressatildeo de um uido sobreum dique vertical Basicamente sua ideia consistia em dividir o diqueem faixas horizontais e entatildeo fazer cada uma girar em torno de suasbordas superior e inferior ateacute que elas se tornassem paralelas ao planohorizontal Fundamentalmente eacute esse o meacutetodo usado loje em dia emnossos textos elementares de Caacutelculo (2004 [11] p424)
Aleacutem de Stevin Johann Kepler (1573minus 1630) e Galileu Galilei (1564minus 1642)
foram pioneiros a evitar os rigores do meacutetodo da exaustatildeo apesar de utilizar incessante-
mente os meacutetodos de Arquimedes Devido a tal atitude foram os responsaacuteveis pela mudan-
ccedilasmodicaccedilotildees no panorama da anaacutelise innitesimal (innitamente grande e innita-
mente pequeno) Nesse sentido eacute vaacutelido ressaltar que Kepler heuriacutestico demasiadamente
para ganhar tempo e economizar trabalho utilizou a adiccedilatildeo de grandezas innitamente
pequenas quando imaginou o volume de cada barril de vinho formado por uma enorme
quantidade de secccedilotildees circulares com altura tendendo a zero e ainda segundo EVES [11]
(2004 p 424) considerava uma circunferecircncia como um poliacutegono regular de um nuacutemero
innito de ladose a partir desse raciociacutenio pode-se estendecirc-lo para caracterizar uma es-
fera como uma reuniatildeo de innitas piracircmides com as peculiaridades de serem delgadas e
com veacutertice coincidente com o centro da esfera
O seacuteculo XV II eacutepoca em que se destacaram os trabalhos elaborados por
Cavalieri Torricelli (1608 minus 1647) Roberval (1602 minus 1675) Descartes Fermat Wallis
Barrow Newton e Leibniz houve uma consideraacutevel produtividade do desenvolvimento da
matemaacutetica com a criaccedilatildeo da geometria analiacutetica e evoluccedilatildeo das teacutecnicas de quadratura
eou cubatura as quais satildeo empregadas a curvas e soacutelidos especiacutecos ou famiacutelias de cur-
vas Eacute vaacutelido ressaltar que o conceito de limite natildeo foi utilizado pelos ceacutelebres nomes
citados nem sequer reconheciam e perceberam a necessidade da fundamentaccedilatildeo de tal
teoria Dentre os diversos estudos de destaque potencial nesse periacuteodo mencionaremos
a contribuiccedilatildeo de Bonaventura Cavalieri (1598 minus 1647) com seu brilhante meacutetodo dos
indivisiacuteveis (Geometria indivisibilibus) em que nos apresenta as preacutevias dos atuais prin-
ciacutepios de Cavalieri ferramentas essenciais para o Caacutelculo Integral moderno e os estudos
de Reneacute Descartes (1596 minus 1650) e Pierre de Fermat (de 1509 ateacute 1608 ou 1601 minus 1665)
com contribuiccedilotildees pontuais para a fundamentaccedilatildeo e para o desenvolvimento da Geometria
Analiacutetica
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 26
Apoacutes o desenvolvimento do campo da geometria analiacutetica as bases do Caacutelculo
moderno estavam prontas para se tornar cada vez mais evidentes e direcionadas agrave reso-
luccedilatildeo dos dois problemas fundamentais do Caacutelculo encontrar retas tangentes a curvas
e determinar valores exatos para aacutereas de regiotildees limitadas pelo menos em parte por
curvas (problemas de quadratura) Nesse sentido faz-se necessaacuterio citar as contribuiccedilotildees
de grande magnitude de um francecircs Fermat trecircs ingleses John Wallis (1616minus1703) Isaac
Barrow (1630minus 1677) Isaac Newtow (1642minus 1727) e um alematildeo Gottfried Wilhelm Leib-
niz (1646minus1716) para o que futuramente seria batizado de Caacutelculo Diferencial e Integral
Eacute vaacutelido ressaltar que tanto o Newton quanto o Leibniz de maneira independente foram
os responsaacuteveis pelo desenvolvimento das bases notaacuteveis do Caacutelculo moderno e por isso
satildeo considerados responsaacuteveis pela invenccedilatildeo
Note que em momento algum foi destacada a necessidade de utilizaccedilatildeo da
teoria de limite Embora tal conceito tenha sido negligenciado em diversos trabalhos eacute
importante destacar que Newton foi o pioneiro no reconhecimento do papel fundamental
que o limite iria desempenhar no desenvolvimento de problemas relativos ao Caacutelculo
(tangecircncias quadraturas e ans) Tal armativa pode ser constatada em seu Livro I
do Principia Mathematica (1687) na qual haacute uma tentativa de formular um conceito de
limite De acordo com BOYER [3]
Quantidades e as razotildees de quantidades as quais em qualquer temponito convergem continuamente para igualdade e antes do nal daqueletempo se aproximam entre si por qualquer dada diferenccedila tornam-seiguais no nal (BOYER [3] 1996 p 274)
O desenvolvimento da matemaacutetica e em particular as aplicaccedilotildees do Caacutelculo
durante o seacuteculo XV III XIX e XX eacute repleto de histoacuterias esplecircndidas e momentos de
contribuiccedilotildees memoraacuteveis agrave expansatildeo da aplicabilidade das teorias relacionadas ao estudo
de Caacutelculo Vaacuterios satildeo os nomes que se destacaram membros da famiacutelia Bernoulli G
F A de LHospital (1661 minus 1704) Johann I (1667 minus 1748) Nicolas I (1687 minus 1759) e
Daniel (1700minus1782) Brook Taylor (1685minus1731) Leonhard Euler (1707minus1783) e Alexis
Claude Clairaut (1713minus1765) Colin Maclaurin (1698minus1746) Jean Le Rond DAlembert
(1717minus 1783) Joseph-Louis Lagrange (1736minus 1813) etc Dentre os ceacutelebres citados os
quais natildeo estabeleceram uma fundamentaccedilatildeo rigorosa para o Caacutelculo eacute vaacutelido destacar
na corrida pela formalizaccedilatildeo do conceito de limite (pilar baacutesico do Caacutelculo ensinado nos
dias de hoje) uma deniccedilatildeo especial como a que foi posta na ceacutelebre Encyclopeacutedie
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 27
(1751 minus 1776) em que DAlembert ponderou que para denir a derivada precisamente
era necessaacuterio entender as noccedilotildees de limite primeiro
Uma quantidade eacute o limite de uma outra quantidade quando a segundapuder se aproximar da primeira dentro de qualquer precisatildeo dada natildeoimporta quatildeo pequena apesar da segunda quantidade nunca exceder aquantidade que ela aproxima (DALEMBERT 1772 apud FINNEYWEIR GIORDANO 2002 [12])
No nal do seacuteculo XV III e durante todo o seacuteculo XIX foi o periacuteodo de
contribuiccedilotildees dos renomados Carl Friedrich Gauss (1777minus 1855) Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768minus 1830) Bernhard Bolzano (1781minus 1848) Augustin Louis Cauchy (1789minus
1857) Niels Henrik Abel (1802minus1829) Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805minus1859) e Karl
Weierstrass (1815minus 1897) Nesse periacuteodo em que houve um estudo cuidadoso e rigoroso
em busca da deniccedilatildeo de limite destacaremos o trabalho desenvolvido por Cauchy (aluno
de Lagrange na Escola Politeacutecnica) e Weierstrass O primeiro embora tenha deixado
de lado a preocupaccedilatildeo com alguns detalhes teacutecnicos foi responsaacutevel por apresentar a
deniccedilatildeo mais proacutexima de limite que conhecemos atualmente Jaacute o segundo restabeleceu
o conceito original de limite proposto por Cauchy com tratamento estritamente aritmeacutetico
e utilizando apenas valores absolutos e desigualdades Weierstrass aleacutem de corrigir os
descuidos e erros de Cauchy formulou a deniccedilatildeo de limite empregada nos diversos livros
de Caacutelculo da era moderna na matemaacutetica e continuou suas contribuiccedilotildees estabelecendo
todo o rigor aritmeacutetico adotado no Caacutelculo e na anaacutelise matemaacutetica
Segundo BOYER [3] eacute creditada a Cauchy a introduccedilatildeo de limite de maneira
aperfeiccediloada quando publicou em 1821 em seu Cours danalyse de lEacutecole Polytechnique
Quando os valores sucessivos atribuiacutedos a uma variaacutevel aproximam-se indenidamente de
um valor xo chegando a diferir dele tatildeo pouco quanto se deseje este uacuteltimo eacute chamado
limite de todos os outros Jaacute a Weierstrass de acordo Boyer coube o trabalho de explicar
de maneira elegante e precisa substituir as ideias vagas de aproximaccedilatildeo na deniccedilatildeo de
limite de Cauchy-Bolzano por ideias que utilizavam eacutepsilon-deltacom uma linguagem
puramente numeacuterica
() Diz-se que L eacute um limite da funccedilatildeo f(x) para o valor x = a sedado qualquer nuacutemero positivo ε existe um nuacutemero positivo δ tal que|f(x)L| lt ε para qualquer x que verique 0 lt |xa| lt δ (BOYER [4]1992 p 27)
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 28
De acordo com o levantamento histoacuterico realizado eacute possiacutevel constatar que
por diversos seacuteculos o conceito de limite foi um tanto vago confuso losoacuteco intuitivo
indenido impreciso imperceptiacutevel negligenciado dentre outros inuacutemeros adjetivos cor-
relacionados A matemaacutetica moderna foi desfrutar das noccedilotildees de limite somente durante
o periacuteodo europeu intitulado de Iluminismo nal do seacuteculo XV III e iniacutecio do seacuteculo
XIX Jaacute a deniccedilatildeo formal (rigorosa loacutegica e correta) apresentada nos livros de Caacutelculo
atuais foi formalizada por volta do ano 1856 (haacute uns 160 anos)
Figura 32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1 + 2460
+ 51602
+ 10603
= 1414212
Fonte ptwikipediaorgwikiMatemaacuteticababilnica[35]
29
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA
EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA
Segundo os anais da histoacuteria da Matemaacutetica a constataccedilatildeo da presenccedila das no-
ccedilotildees de limite iniciou desde os tempos antigos ateacute o desenrolar da invenccedilatildeoevoluccedilatildeoaplicaccedilatildeo
do Caacutelculo (seacuteculos XV II XV III XIX) De acordo com BOYER [4] tal descoberta
jaacute impressionava e tirava o sono de estudiosos gregos
() Foi um choque para a comunidade matemaacutetica grega tomar conheci-mento de que haacute coisas como segmentos de reta incomensuraacuteveis e que aocorrecircncia dessa situaccedilatildeo eacute espantosamente comum isto eacute que conceitosans ao Caacutelculo aparecem nas mais elementares situaccedilotildees Os diaacutelogosde Platatildeo mostram que os matemaacuteticos da eacutepoca caram profundamentepertubados com essa descoberta (BOYER [4] 1992 p 3)
Ainda nessa linha assim se pronunciou EVES [11]
() Esses conceitos tecircm tanto alcance e tantas implicaccedilotildees no mundomoderno que talvez seja correto dizer que sem algum conhecimento delesdicilmente hoje uma pessoa poderia considerar-se culta (EVES [11]2004 p 417)
Eacute importante ressaltar que a ordem do desenvolvimento histoacuterico do Caacutelculo
foi diferente da ordem apresentada nos livros textos e cursos baacutesicos sobre o assunto isto
eacute houve inicialmente o surgimento do Caacutelculo Integral e muito tempo depois apareceram
os conceitos ligados ao Caacutelculo Diferencial Segundo EVES [11]
() A ideia de integraccedilatildeo teve origens em processos somatoacuterios ligadosao caacutelculo de certas aacutereas e certos volumes e comprimentos A diferen-ciaccedilatildeo criada bem mais tarde resultou de problemas sobre tangentes acurvas e questotildees sobre maacuteximos e miacutenimos Mais tarde ainda vericou-se que a integraccedilatildeo e a diferenciaccedilatildeo estatildeo relacionadas entre si sendocada uma delas operaccedilatildeo inversa da outra (EVES [11] 2004 p 417)
Assim eacute possiacutevel vericar uma gama de assuntos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular nas fases nais do Ensino Fundamental e durante o Ensino Meacutedio que evocam as
ideias correlatas do Caacutelculo e em particular as noccedilotildees de limite Embora seja possiacutevel
constatar a presenccedila das noccedilotildees de limite e de integral no Ensino Fundamental haacute um
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 30
consenso de que natildeo eacute pedagogicamente correto destacar a presenccedila de tais conceitos nessa
fase dado que um nuacutemero consideraacutevel de alunos ainda natildeo possui maturidade (manipula-
ccedilatildeo algeacutebrica soacutelida poder de abstraccedilatildeo consolidado domiacutenio amplo da aritmeacutetica etc)
suciente para compreender tamanho grau de abstraccedilatildeoexigecircncia Caso haja alunos com
tal capacidade eacute recomendado propor em aulas especiais direcionadas didaticamente com
a linguagem de assimilaccedilatildeo proacutepria bem proacutexima dos alunos Nesse iacutenterim a presenccedila
da noccedilatildeo intuitiva de limite e ideais correlatas de integral pode ser destacada de forma
construtiva e com grau de abstraccedilatildeo passiacutevel de entendimento em pelo menos trecircs pontos
especiacutecos estudados no Ensino Fundamental a primeira abordagem pode ser inserida
a partir do momento em que o professor inicia o estudo dos nuacutemeros racionais (diacutezimas
perioacutedicas) o segundo enfoque pode ser aplicado ao demonstrar de maneira completa o
Teorema de Tales e a terceira citaccedilatildeo deve ocorrer ao estudar aacutereas de guras planas
principalmente ao apresentarprovar a aacuterea de uma regiatildeo retangular A exibiccedilatildeo desses
toacutepicos direcionada ao Ensino Fundamental pode ser conferida ao realizar a leitura do
capiacutetulo referente agraves sequencias didaacuteticas sugeridas posteriormente nessa dissertaccedilatildeo
Na ordem cronoloacutegica e didaacutetica dos livros atuais de matemaacutetica do Ensino
Meacutedio nota-se a necessidade de introduccedilatildeo das noccedilotildees de limite jaacute na 1a seacuterie Ao estudar
a representaccedilatildeo decimal de nuacutemeros racionais innitos e perioacutedicos jaacute se faz uso impliacutecito
do conceito de limite Nessa mesma linha ao apresentar os nuacutemeros irracionais e reais
tambeacutem eacute necessaacuterio em diversos pontos citar a ideia de limite Em seguida haacute necessidade
de mencionar a referida teoria ao estudar as minuacutecias de uma funccedilatildeo seja ela qual for
principalmente ao realizar a anaacutelise graacuteca Tambeacutem eacute possiacutevel vericar a aplicabilidade
de limite ao estudar sequecircncias em particular e em maior grau ao estudar a soma de uma
seacuterie convergente (progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo (q) denida por (0 lt |q| lt 1) Aleacutem
disso pode-se adaptar a referida soma numa aplicaccedilatildeo praacutetica usual e diaacuteria que consiste
no estudo de capitalizaccedilatildeo contiacutenua em Matemaacutetica Financeira (deniccedilatildeo do nuacutemero de
Euler) Eacute possiacutevel promover atividades interdisciplinas com a Fiacutesica e com a Quiacutemica
Relativamente agrave primeira justica-se a correspondecircncia durante o estudo de Mecacircnica
(velocidade e aceleraccedilatildeo instantacircnea trabalho realizado por uma forccedila etc) Enquanto
a segunda a associaccedilatildeo pode ser feita durante o estudo de Desintegraccedilatildeo Radioativa Ao
estudar Geometria plana eacute possiacutevel embutir agraves noccedilotildees de limite ao inserir o conceito de
grandezas incomensuraacuteveis ao demonstrar o Teorema de Tales e consequentemente ao
aplicaacute-lo ao estudo de semelhanccedila de triacircngulos e nalmente ao introduzir o estudo de
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 31
aacutereas de guras planas (ciacuterculo e suas partes segmento paraboacutelico hipeacuterboles etc) em
particular aquelas que apresentam pelo menos um lado curviliacuteneo
Durante a 2a seacuterie ou fase nal da 1a haacute necessidade de menccedilatildeo a ideia de
limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas aleacutem de aparecer ao estudar aacutereas
superciais e volumes de soacutelidos geomeacutetricos Tambeacutem nota-se indiacutecio ao estudar o caacutel-
culo de determinantes ao discutir sistemas lineares ao resolver problemas de contagem
(somatoacuterios de seacuteries especiacutecas) pertencentes agrave anaacutelise combinatoacuteria e ao investigar de-
terminadas probabilidades associadas a problemas baacutesicos De maneira interdisciplinar
constata-se a necessidade de ecircnfase no estudo do trabalho realizado por um gaacutes numa
transformaccedilatildeo isoteacutermica (Lei de Boyle) por exemplo
Jaacute na 3a seacuterie eacute possiacutevel incrementar o estudo de Geometria Analiacutetica Cocircnicas
e Polinocircmios com uma abordagem que evoque o emprego das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo
(limite derivada e integral) Aleacutem disso eacute possiacutevel promover atividades suplementares
que apliquem as ideias correlatas do Caacutelculo em toacutepicos do estudo de eletricidade (campo
eleacutetrico potecircncia corrente etc)
32
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS
A importacircncia do estudo de limites derivadas e integrais pode ser vericada
ao analisar os nuacutemeros relativos agraves grades dos cursos ofertados pelas universidades fe-
derais e por algumas faculdades particulares Por exemplo a Universidade Federal do
Espiacuterito Santo (UFES) oferece 90 cursos de graduaccedilatildeo (total de 4975 vagas anuais) e des-
ses haacute uma variedade de cursos cujas ementas empregam direta ou indiretamente noccedilotildees
elementares de Caacutelculo tais como Fiacutesica Quiacutemica Estatiacutestica Matemaacutetica Ciecircncias Bi-
oloacutegicas Administraccedilatildeo Arqueologia Medicina Farmaacutecia Ciecircncias Contaacutebeis Ciecircncias
Econocircmicas Engenharias Arquitetura e Urbanismo Psicologia Agronomia Zootecnia
Sistemas de Informaccedilatildeo Desenho Industrial Tecnologia Mecacircnica Oceanograa e Ciecircncia
da Computaccedilatildeo Dentre os cursos de bacharelados e licenciaturas distribuiacutedos em turnos
(Diurno Vespertino e Noturno) e espalhados pelo Campus da UFES mais de 50 neces-
sita do conhecimento de ideias correlatas do Caacutelculo isto eacute mais da metade dos futuros
prossionais a serem formados pela UFES precisam estudar impliacutecita ou explicitamente
noccedilotildees de limite derivada e integral
Somente os dados relatados no paraacutegrafo anterior seriam sucientes para jus-
ticar o retorno do emprego de noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo no Ensino Meacutedio poreacutem haacute
outros fatores que reforccedilam a temaacutetica abordada nesse trabalho De acordo com informa-
ccedilotildees fornecidas pelos meios regulamentadores da educacional nacional de niacutevel superior
na aacuterea de Engenharias haacute uma reduccedilatildeo (nos vestibulares do paiacutes) no nuacutemero de inscritos
em cursos de exatas e aumento constante da evasatildeo dos alunos matriculados em cursos
que envolvam o emprego de elementos do Caacutelculo em particular os de engenharia de-
vido agrave diculdade encontrada pelos alunos via anaacutelise preliminar da grade curricular do
curso pretendidoe em parte pelo fato de natildeo receber orientaccedilotildees sobre toacutepicos correlatos
do caacutelculo diferencial e integral no ensino fragmentado e desmotivador promovido pela
maioria das escolas brasileiras haacute seacuteculos em geral natildeo estar sendo realizado um traba-
lho interdisciplinar signicativo e com respaldo de preparaccedilatildeo para o ingresso futuro no
ensino superior
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 33
Uma proposta de mudanccedila desse panorama preocupante pode ser realizada via
inclusatildeo de conceitos baacutesicos do Caacutelculo Diferencial e Integral no Ensino Meacutedio fato que
proporcionaria aos alunos aulas motivadoras interdisciplinares e mais proacuteximas da reali-
dade dos alunos com uma discussatildeo mais ampla natural generalizada e contextualizada
de conteuacutedos do proacuteprio Ensino Meacutedio Entretanto para que essa inclusatildeo ocorra eacute ne-
cessaacuterio que os cursos de Licenciatura em Matemaacutetica formem professores capazes de lidar
com essa realidade Sendo assim o Caacutelculo Diferencial e Integral deve ser apresentado
aos licenciandos como uma disciplina baacutesica poreacutem ampla e integradora propiciando aos
futuros professores uma visatildeo mais geral e segura dos conteuacutedos do Ensino Meacutedio Eacute im-
portante salientar que haacute estados brasileiros que apresentam noccedilotildees de Caacutelculo em seus
curriacuteculos escolares baacutesicos do Ensino Meacutedio
Antes de iniciar as consideraccedilotildees quanto agrave existecircncia ou natildeo das noccedilotildees intui-
tivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo nos livros dos diversos autores renomados
cujos livros didaacuteticos satildeo amplamente adotados para tornar completa a breve discussatildeo
histoacuterica e embasada pela opiniatildeo de diversos autores eacute salutar a realizaccedilatildeo de um diag-
noacutestico informal da situaccedilatildeo em que se encontram os cursos de que necessitam do emprego
da disciplina de Caacutelculo em suas grades curriculares Aleacutem disso faremos uma reexatildeo
do ensino de matemaacutetica no Brasil
Segundo a LDB [30] o Ensino Meacutedio eacute a etapa nal da educaccedilatildeo baacutesica(Art35)
e o mesmo deve possuir um curriacuteculo com a caracteriacutestica da terminalidade isto eacute segundo
o PCNEM (2000) [20] o Ensino Meacutedio deve ser capaz de
() assegurar a todos os cidadatildeos a oportunidade de consolidar e apro-fundar os conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental aprimoraro educando como pessoa humana possibilitar o prosseguimento de estu-dos garantir a preparaccedilatildeo baacutesica para o trabalho e a cidadania dotaro educando dos instrumentos que o permitam continuar aprendendotendo em vista o desenvolvimento da compreensatildeo dos fundamentos ci-entiacutecos e tecnoloacutegicos dos processos produtivos(Art35 incisos I a IV)(PCNEM [21] 2000 p 9)
Fazer com que haja continuaccedilatildeo dos estudos posteriormente em niacuteveis superi-
ores eacute uma meta arrojada uma vez que os resultados das avaliaccedilotildees institucionais como o
Sistema Nacional de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) e o Exame Nacional do Ensino
Meacutedio (ENEM) cujas provas satildeo produzidas pelo governo federal indicam um iacutendice de
fracasso ao teacutermino do ensino meacutedio pois uma parcela consideraacutevel dos formandos apre-
sentam diculdades baacutesicas na compreensatildeo de conceitos e procedimentos fundamentais
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 34
quanto agraves operaccedilotildees aritmeacuteticas e compreensatildeo geral via interpretaccedilatildeo Contudo ainda
se faz necessaacuterio propor algo que facilite a vida desses alunos pois aqueles que ingressam
no ensino superior em especial aos cursos que necessitam de uma veia na aacuterea de exatas
vatildeo se deparar com a disciplina de Caacutelculo que requer o domiacutenio amplo da matemaacutetica
baacutesica para conseguir acompanhar o grau de abstraccedilatildeo a ser introduzido por meio da
compreensatildeo das noccedilotildees iniciais de limite derivada e integral
De acordo com NIETO (2005 p7) [36] eacute certo que uma reforma deveria ser
iniciada nos ensinos fundamental e meacutedio no entanto esse aluno estaacute chegando ao curso
superior e noacutes professores universitaacuterios natildeo podemos enviaacute-los de volta E mais eacute
possiacutevel constatar que a situaccedilatildeo vem se agravando nos uacuteltimos anos devido agraves diculda-
des de aprendizagem de Matemaacutetica no Ensino Fundamental e Meacutedio evidenciadas pelos
resultados das avaliaccedilotildees sob a coordenaccedilatildeo do INEP tais como as provas do Sistema de
Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) do Exame Nacional do Ensino Meacutedio (ENEM)
e do Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo de Alunos (PISA) Essa conjuntura implica
diretamente na avaliaccedilatildeo da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral pois os alunos
com pouca bagagem de matemaacutetica baacutesica certamente produziratildeo rendimentos aqueacutem
das possibilidades contribuindo para o aumento dos iacutendices de reprovaccedilatildeo na referida
disciplina Isso nos conduz ao seguinte raciociacutenio Por que natildeo incluir na preparaccedilatildeo dos
alunos do Ensino Meacutedio toacutepicos que faccedilam a conexatildeo com os conceitos do Caacutelculo Dife-
rencial e Integral (um curso de nivelamento preacute-caacutelculo) Por que natildeo criar estrateacutegias
didaacuteticas que promovam a interdisciplinaridade e transforme o aprendizado dos conteuacute-
dos mais sosticado Com absoluta certeza eacute notoacuterio entre os professores e alunos via
anaacutelise de questionaacuterios acessiacuteveis em anexos que tais iniciativas podem tornar o extenso
curriacuteculo menos complexo mais loacutegico e ainda repleto de conteuacutedos natildeo fragmentados e
com signicados respaldados nas diversas contextualizaccedilotildees e interdisciplinaridades dis-
poniacuteveis e acessiacuteveis ao dia-a-dia do aluno Isto eacute eacute possiacutevel ensinar toacutepicos intuitivos
de limite derivada e integral durante o Ensino Meacutedio tanto na Matemaacutetica quanto na
Fiacutesica e Quiacutemica poreacutem eacute necessaacuterio realizar mudanccedilas nos PCN no curriacuteculo baacutesico
escolar capacitar professores e produzir material suplementar que preencha as lacunas
encontradas nos principais livros didaacuteticos utilizados atualmente
Num artigo publicado na RPM o professor Geraldo AacuteVILA [1] faz o seguinte
questionamento sobre a inclusatildeo de toacutepicos do Caacutelculo no Ensino Meacutedio
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 35
Por que natildeo ensinamos Caacutelculo na escola de segundo grau Seraacute queeacute um assunto muito difiacutecil Foi sempre assim no passado ou jaacute houveeacutepoca em que o Caacutelculo era ensinado na escola secundaacuteria E nos outrospaiacuteses como eacute a situaccedilatildeo Eacute ou natildeo conveniente introduzir o Caacutelculo noensino Por que Como fazer isso (AacuteVILA [1] 1991 p1)
Eacute vaacutelido ressaltar que uma introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial e Integral jaacute
esteve presente no curriacuteculo escolar baacutesico Segundo CARVALHO (1996) [5] a participaccedilatildeo
ocorreu em dois momentos distintos em 1891 com a reforma proposta por Benjamim
Constant no iniacutecio da Repuacuteblica foi a primeira oportunidade em que houve constataccedilatildeo
da presenccedila e a segunda iniciou em 1942 durante a Reforma Capanema ocorrida no
governo de Getuacutelio Vargas permanecendo ocialmente ateacute 1961 Durante as deacutecadas de
60 e 70 inuenciado pelo movimento da Matemaacutetica Moderna o ensino brasileiro sofreu
mudanccedilas consideraacuteveis dentre elas a exclusatildeo do Caacutelculo do programa baacutesico de ensino
Tambeacutem eacute importante citar que ateacute nos dias atuais ainda encontra-se alguns
livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio que fazem menccedilatildeo a toacutepicos relativos ao Caacutelculo em-
bora sejam negligenciados por parte dos professores e gestores com o pretexto de que
ampliariam o jaacute extenso curriacuteculo e aleacutem disso a linguagem empregada eacute inacessiacutevel aos
estudantes isto eacute quando haacute presenccedila no livro didaacutetico natildeo ocorre inclusatildeo no curriacuteculo
escolar baacutesico Na verdade o que se faz nos dias atuais nas escolas de Ensino Meacutedio das
redes puacuteblica e privada eacute um verdadeiro curso preacute-ENEM (curso preacute-vestibular) extensivo
aos trecircs anos de estudo no Ensino Meacutedio com o intuito de promover a instituiccedilatildeo com
iacutendices de aprovaccedilatildeo em faculdades e universidades do paiacutes em detrimento ao estiacutemulo a
um ensino construtivo signicativo e passiacutevel de ser aproveitaacutevel em estudos posteriores
no ensino superior ou tecnoloacutegico Imagine como reagiria um professor enclausurado nesse
sistema de ensino que prioriza conteuacutedos fragmentados e sem signicados ao ser questi-
onado com uma pergunta simples do tipo O que eacute limite derivada e integral Onde
aplico tais ideiasMuitos colegas de prossatildeo jaacute responderam assim Quando vocecirc es-
tudar Caacutelculo vocecirc saberaacute Ou entatildeo Isso vocecirc soacute aprende na faculdade Essa atitude
com absoluta certeza desapontaria demais o aluno aacutevido pelo conhecimento e talvez ateacute
sepultaria uma mente prodigiosa apta ao desenvolvimento do Caacutelculo
Ainda nesse sentido observe a opiniatildeo de AacuteVILA (1991 p1-9) [1] o qual
defende que o conceito de derivada pode ser ensinado com grande vantagem logo na
primeira seacuterie do segundo grau ao lado do ensino de funccedilotildeese ainda destaca a importacircncia
do estudo da derivada na continuidade do estudo de funccedilotildees em especial as polinomiais e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 36
as suas variadas aplicaccedilotildees cientiacutecas principalmente no estudo do movimento na Fiacutesica
Antes da compreensatildeo do conceito de derivada eacute necessaacuterio compreender e
dominar as noccedilotildees de limite pois a derivada eacute uma aplicaccedilatildeo de limite e sua deniccedilatildeo
atual utiliza as noccedilotildees de limite O domiacutenio de parte das propriedades decorrentes do
estudo de derivadas faraacute com que o entendimento de determinadas propriedades relativas
ao estudo de funccedilotildees tanto na Matemaacutetica quanto na Fiacutesica seja compreendida com mais
argumentos de maneira mais coerente contextualizada e interdisciplinar
Nessa linha eacute imprescindiacutevel mencionar o artigo Caacutelculo no Segundo Grau
publicado na RPM n 20 do professor Roberto Costallat DUCLOS (1992) [10] que segue
e apoia a linha de defesa do professor AacuteVILA sobre a possibilidade de difusatildeo de novas
ideias e sobretudo pela gama de aplicabilidade de seus meacutetodos
De acordo com os argumentos exposto pelo professor Geraldo AacuteVILA [1] na
RPM 18 eacute possiacutevel introduzir o Caacutelculo Integral no Ensino Meacutedio de modo a incitar o
interesse e a curiosidade desde que seja de maneira intuitiva dando ecircnfase as ideias e
aplicaccedilotildees em detrimento das teacutecnicas e suas propriedades Ele ainda faz uma criacutetica
agravequeles que opinam de forma contraacuteria
A ideia de que os programas de matemaacutetica satildeo extensos e natildeo compor-tariam a inclusatildeo do caacutelculo eacute um equiacutevoco Os atuais programas estatildeoisto sim mal estruturados (AacuteVILA [1] 1991 p 1-9)
Apoacutes exibir o panorama da educaccedilatildeo matemaacutetica nacional e citar as contribui-
ccedilotildees favoraacuteveis da apresentaccedilatildeo das noccedilotildees do Caacutelculo Diferencial e Integral que remetem
a ideia de limite eacute vaacutelido repassar ao leitor do presente trabalho os elementos norteadores
da referida pesquisa ou seja uma lista dos livros didaacuteticos e dos seus respectivos auto-
res com o intuito de criar uma simbologia numeacuterica isto eacute uma legenda de associaccedilatildeo
de cada livro segundo o nuacutemero indicado no rol abaixo com intuito de evitar repeticcedilotildees
desnecessaacuterias
1 Matemaacutetica Contexto amp Aplicaccedilotildees de Luiz Roberto DANTE [9] (Dante) - Editora
Aacutetica 2010
2 Matemaacutetica de Manoel PAIVA [23] Editora Moderna 2009
3 Matemaacutetica Coleccedilatildeo Novo Olhar de Joamir Roberto de SOUZA [25] Editora FTD
2010
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 37
4 Matemaacutetica Ciecircncia e Aplicaccedilotildees de Gelson IEZZI [15] Osvaldo Dolce David
Degenszajn Roberto Peacuterigo e Nilze de Almeira Editora Saraiva 2010
5 Matemaacutetica Completa de Joseacute Ruy GIOVANNI [29] e Joseacute Roberto Bonjorno (Gi-
ovanni e Bonjorno) Editora FTD 2005
6 A Matemaacutetica do Ensino Meacutedio Coleccedilatildeo do Professor de Matemaacutetica de Elon Lages
LIMA [17] Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner e Augusto Ceacutesar Morgado
Editora SBM 2006 (6a ediccedilatildeo)
7 Fundamentos de Matemaacutetica Elementar (vol 8) Editora Atual 1993 (diversos
autores)
8 Noccedilotildees de Caacutelculo (vol 9) - Seacuterie Matemaacutetica por assunto de Nilson Joseacute Machado
Editora Scipione 1988
9 Caacutelculo de Geraldo Aacutevila Editora LTC 1988
10 Caacutelculo de James Stewart (vol I) Editora Pioneira 2003 (4a Ediccedilatildeo)
Os livros didaacuteticos que foram analisados possuem publicaccedilotildees em trecircs volumes
foram numerados de 1 ateacute 6 Jaacute os livros que possuem volume uacutenico integrado ou livros
especiacutecos de coleccedilotildees divididos por assunto conforme a preferecircncia do autor foram
numerados de 7 ateacute 10 Quantos aos primeiros (de 1 a 6) foi feito uma analise minuciosa
tanto dos conteuacutedos quanto dos guias de orientaccedilatildeo do professor Jaacute os uacuteltimos (de 7
ateacute 10) foram citados simplesmente como sugestatildeo de uma leitura mais renada e com o
intuito de repassar aos professores uma oportunidade de enriquecer seus conhecimentos
com um material didaacutetico de qualidade A escolha dos livros de 1 a 6 eacute justicada pelo
fato de que a maioria desses autores estaacute ou jaacute esteve presente de forma maccedilante nas
escolas puacuteblicas e particulares brasileiras
A anaacutelise realizada nos livros consiste numa investigaccedilatildeo especiacuteca e minuciosa
em busca de pontos (conteuacutedos) que faccedilam menccedilatildeo as noccedilotildees elementares e intuitivas do
Caacutelculo (limite derivada e integral)
Dentre todos os livros analisados destaca-se o livro do DANTE (1) como o
mais completo em todos os aspectos (deniccedilotildees mais rigorosas maior nuacutemero de de-
monstraccedilotildees conteuacutedo contextualizada e interdisciplinar etc) poreacutem eacute vaacutelido ressal-
tar que a linguagem adotada natildeo eacute tatildeo simples assim como os exerciacutecios propostos
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 38
possuem grau de diculdade mais acentuado Aleacutem disso consiste no material didaacute-
tico que mais se aproxima do propoacutesito desse trabalho ou seja de explicar eou jus-
ticar os fatosconteuacutedosteoremas com argumentos satisfatoacuterios e com ideias intuiti-
vasinterdisciplinascontextualizadasconstrutivas sem receio de abordar toacutepicos relativos
ao Caacutelculo Diferencial e Integral
No livro (1) volume 1 a presenccedila das noccedilotildees intuitivas de limite pode ser
vericada no estudo de diacutezimas perioacutedicas na apresentaccedilatildeo do nuacutemero irracional e no
estudo do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica na soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita e no caacutelculo da aacuterea do ciacuterculo Tambeacutem eacute notaacutevel a presenccedila das noccedilotildees de
derivada ao trabalhar com taxa de variaccedilatildeo da funccedilatildeo quadraacutetica e consequente aplicaccedilatildeo
no Movimento Uniformemente Variado (MUV) Nesse iacutenterim tambeacutem ocorre menccedilatildeo
elementar do estudo de integral via aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau No
volume 2 da referida da obra a ideia de limite estaacute presente no estudo da aacuterea da superfiacutecie
esfeacuterica Jaacute no volume 3 haacute um estudo completo das noccedilotildees elementares de derivada via
razatildeo incremental e via aplicaccedilotildees em problemas da Fiacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que tais
noccedilotildees motivaram algumas atividades presentes na sequecircncia didaacutetica a ser apresentada
nesse trabalho O manual do professor embora seja pedagoacutegico com excelentes dicas
de atividades utilizando diversas metodologias recursos didaacuteticos softwares educacionais
e sugestotildees de revistas livros e lmes atrelados ao ensino de matemaacutetica natildeo possui
formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo alguma que oriente o professor a trabalhar com ideias correlatas do
Caacutelculo
O volume 1 do livro (2) haacute apenas uma citaccedilatildeo direta das ideias de limite
ao introduzir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita Jaacute no volume
(2) uma citaccedilatildeo indireta das noccedilotildees elementares de limite ao explicar a aacuterea do ciacuterculo
Quanto ao volume 3 natildeo haacute menccedilatildeo alguma das noccedilotildees elementares do Caacutelculo A
propoacutesito o manual destinado aos professores como suporte de preparaccedilatildeo para suas
aulas natildeo apresenta toacutepicos do Caacutelculo e haacute diversos pontos de erros conceituais
A partir da avaliaccedilatildeo do volume 1 do livro (3) foi possiacutevel vericar que haacute
somente um breve comentaacuterio no estudo de soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
das noccedilotildees de limite E mais natildeo existe citaccedilatildeo no volume 2 e no volume 3 temos
apenas um comentaacuterio ao calcular a aacuterea da superfiacutecie da esfera O guia pedagoacutegico natildeo
menciona elementos do caacutelculo embora promova inuacutemeras situaccedilotildees em que o emprego
das noccedilotildees de caacutelculo poderia se explorada de maneira luacutedica criativa interdisciplinar e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 39
contextualizada
No livro (4) volume 1 tambeacutem existe uma abordagem de limite no estudo de
soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Enquanto no volume 2 haacute um preluacutedio
das ideias de limite atreladas as noccedilotildees de integral quando aborda a aacuterea do ciacuterculo e
quando explora a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica Em relaccedilatildeo ao volume 3 natildeo haacute citaccedilotildees
intuitivas de limite derivada e integral Embora a quantidade de abordagens de ideias
correlatas do Caacutelculo seja piacutea o manual pedagoacutegico estaacute coberto de estrateacutegias inovado-
ras que podem ser exploradas e incrementadas de noccedilotildees de limite deriva ou ateacute mesmo
integral
Tambeacutem no volume 1 do livro (5) foi possiacutevel constatar que as ideias de limite
estatildeo sendo difundidas ao inserir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Jaacute no
volume 2 da referida obra o autor faz referencia as noccedilotildees de limite e de integral ao provar
o volume da esfera Enquanto o volume 3 apresenta um estudo das noccedilotildees elementares de
limite e de derivadas assim como suas propriedades e aplicaccedilotildees Embora haja capiacutetulos
especiacutecos que abordam toacutepicos do Caacutelculo de maneira simploacuteria e pouco signicativa
o manual pedagoacutegico do professor mostrou-se deciente quanto ao direcionamento do
trabalho para incitar as ideias correlatas do Caacutelculo Eacute bom salientar que a obra analisada
eacute a coleccedilatildeo de trecircs volumes mais antiga anterior a mudanccedila do novo ENEM e talvez isso
seja uma justicativa para o emprego de limite e derivadas em detrimento ao modelo
padronizado dos livros publicados de 2009 em diante que supervalorizam as atividades em
favor de situaccedilotildees problema tipo ENEM
Enm o livro (6) volume 1 da Coleccedilatildeo Professor de Matemaacutetica (SBM) des-
tinada a professores que atual no ensino meacutedio apresenta citaccedilotildees das noccedilotildees intuitivas
de limite e de derivadas com excesso de rigor e abstraccedilatildeo ao estudar a continuidade da
funccedilatildeo proporcionalidade via limite de uma sequencia e ao estudar de forma interdisci-
plinar o MUV via razatildeo incremental (noccedilatildeo intuitiva de derivada) Tambeacutem haacute citaccedilatildeo
das ideias de derivadas ao citar ao estudar as funccedilotildees polinomiais via meacutetodo de Newton
e ainda haacute citaccedilatildeo das noccedilotildees de limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas
via justicativa do comportamento de graacutecos e estabelecimento no nuacutemero de Euler Jaacute
no volume 2 da referida coleccedilatildeo haacute citaccedilatildeo de limite durante o estudo de soma dos termos
de uma progressatildeo geomeacutetrica innita e menccedilatildeo intuitiva de integral ao propor o volume
de corpos redondos (cilindros cones e esferas) E nalmente no volume 3 ocorre uma
menccedilatildeo ao estudo derivada via equaccedilotildees algeacutebricas Eacute vaacutelido ressaltar que natildeo haacute guia de
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 40
orientaccedilatildeo para os professores pois o proacuteprio livro trata-se de uma guia de reexatildeo criacutetica
em relaccedilatildeo agrave abordagem precaacuteria de matemaacutetica encontrada nos principais livros didaacuteticos
do paiacutes O niacutevel dos exerciacutecios dos trecircs volumes eacute de grau elevadiacutessimo e os idealizadores
do referido material satildeo professores do Instituto de Matemaacutetica Pura e Aplicada (IMPA
RJ) o que certamente explica a fundamentaccedilatildeo precisa a preocupaccedilatildeo com o rigor da
linguagem e o grau de abstraccedilatildeo existentes nas proposiccedilotildees demonstraccedilotildees aplicaccedilotildees e
exerciacutecios dos livros em questatildeo
Assim foi possiacutevel avaliar que todos os livros analisados exibiram as noccedilotildees
elementares do Caacutelculo somente durante o estudo da soma dos termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita e em alguns casos de caacutelculo da aacuterea de ciacuterculos aacuterea supercial e
volume de uma esfera Apenas os livros (1) e (5) possuem apresentaccedilatildeo de elementos do
Caacutelculo de maneira sistecircmica e conceitual poreacutem a metodologia natildeo eacute conveniente e a
linguagem empregada estaacute distante da realidade da educaccedilatildeo puacuteblica da rede estadual do
Espiacuterito Santo Essas consideraccedilotildees reetem o caraacuteter defendido nos PCNEM [21] que
natildeo fazem menccedilatildeo a necessidade de repassar aos alunos elementos essenciais do Caacutelculo e
no curriacuteculo baacutesico estadual que apresenta excesso de conteuacutedo e ausecircnciadeciecircncia de
atividades que estimulem a modelagem matemaacutetica e o estudo dirigido de noccedilotildees intuitivas
de limite derivada e integral
A partir da anaacutelise dispostos de forma tabular a seguir eacute possiacutevel inferir de ma-
neira resumida e simplicada as conclusotildees obtidas a partir da anaacutelise dos livros didaacuteticos
investigados e numerados de 1 a 6
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 41
Tabela 51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos
LIVROS DIDAacuteTICOS ANALISADOS
DANTE PAIVA JOAMIR IEZZI GIOVAN SBM
CONCLUSOtildeES IMEDIATAS 1 2 3 4 5 6
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de limite
SIM SIM SIM SIM SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de derivada
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de integral
SIM NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO NAtildeO
No manual pedagoacutegico do profes-
sor existe orientaccedilatildeo sobre a in-
serccedilatildeo de noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NPM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira contextua-
lizada intuitiva e construtiva
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira interdisci-
plinar
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Dedicam capiacutetulos exclusivos
para as noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO
Haacute exerciacutecios de xaccedilatildeo que ex-
ploram de modo investigativo as
noccedilotildees de Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Haacute alguma atividade de explo-
raccedilatildeo das noccedilotildees de Caacutelculo via
software de geometria dinacircmica
ou planilha eletrocircnica
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO
NPM = NAtildeO POSSUI MANUAL
42
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS
PROFESSORES
De acordo com a anaacutelise dos dados coletados eacute possiacutevel constatar que a maio-
ria dos professores atuantes no niacutevel baacutesico da educaccedilatildeo estaacute negligenciando o ensino das
noccedilotildees intuitivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo em detrimento ao cumprimento
do curriacuteculo preacute-estabelecido pela rede a qual trabalham eou em virtude de direciona-
mento de trabalho visando melhores resultados na prova do Programa de Avaliaccedilatildeo da
Educaccedilatildeo Baacutesica do Espiacuterito Santo (PAEBES) e ENEM Isso se justica por inuacutemeros
fatores formaccedilatildeo deciente durante a graduaccedilatildeo baixo niacutevel de aprendizagem dos alunos
(deacutecit herdado de um Ensino Fundamental tradicional arcaico obsoleto e negligente)
inexistecircncia de material didaacutetico de orientaccedilatildeo especiacuteca ausecircncia de participaccedilatildeo do
tema em estudo no curriacuteculo baacutesico norteador e inexistecircncia de cursos de capacitaccedilatildeo
para aprimorarem seus conhecimentos
Segundo a opiniatildeo geral dos professores que responderam os questionaacuterios os
cursos de licenciaturas em Matemaacutetica poderiam explorar de maneira mais diversicada as
ideias correlatas do Caacutelculo Eacute consensual que a maioria dos professores mestredoutores
das universidades federais poderia aprimorar sua didaacutetica com o intuito de melhorar a
exposiccedilatildeoapresentaccedilatildeo de determinados conteuacutedos e aleacutem disso sugeriram que a apre-
sentaccedilatildeo de conteuacutedos correlacionados ao Caacutelculo seja realizada por meio de estrateacutegias
diferenciadas (recursos didaacuteticos e modelagem matemaacutetica) Isso pode contribuir de ma-
neira signicativa para melhorar os niacuteveis de aprendizagem durante a fase de graduaccedilatildeo
e ao mesmo tempo servir de estiacutemulo para estudos posteriores Eacute certo que a realidade
vem melhorandoultimamente devido exigecircncias impostas pelas poliacuteticas governamen-
tais em melhorar os altos e absurdos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo I mas
em contrapartida os setores responsaacuteveis pela validaccedilatildeo de complementaccedilotildees (licenciatu-
ras curtas) e alguns cursos de Licenciatura a distacircncia sejam mais rigorosos ao avaliar
o conceito dessas graduaccedilotildees para que a formaccedilatildeo desses professores seja qualidade ex-
celente ao ponto de acumular bagagem de estaacutegio e conhecimento especiacuteco suciente
para explorar ao maacuteximo a capacidade de seus alunos A realidade vivenciada nos editais
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 43
de contrataccedilatildeo de professores de designaccedilatildeo temporaacuteria seja da secretaria de educaccedilatildeo
municipal ou estadual do Espiacuterito Santo aparenta nos remeter a ideia de que o tiacutetulo
eacute mais importante do que o conteuacutedo o objeto de estudo analisado Esse dado eacute um
fator que contribui indiretamente para a reduccedilatildeo da procura de alunos para as licencia-
turas na UFES e IFES Por exemplo o curso de Matemaacutetica no processo seletivo 1 UFES
20132014 ofereceu 50 vagas das quais apenas 27 alunos conseguiram obter notas que os
capacitassem para prosseguir o curso
Aqueles professores que relataram citaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
em pontos especiacutecos do Ensino Meacutedio informaram que fazem apenas uma abordagem
supercial sem embasamento teoacuterico com pouca mobilidade metodoloacutegica e sem respaldo
curricular Tambeacutem relataram que os poucos cursos de capacitaccedilatildeo que existem ocorrem
em horaacuterios e dias natildeo convenientes (recesso eou feacuterias nais de semana etc) Quanto ao
respaldo curricular os professores argumentaram que os PCNEM natildeo apresentam menccedilatildeo
alguma agrave introduccedilatildeo das ideias intuitivas do Caacutelculo E caso houvesse uma mudanccedila nesse
documento haveria necessidade de curso de formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo com material didaacutetico
autoexplicativo e focado na realidade da educaccedilatildeo baacutesica dado que os referidos docentes
natildeo fazem ideia de como realizar a introduccedilatildeo de tais conceitos no modelo educacional
vigente
Os docentes tambeacutem nos disseram que caso fossem questionados sobre algum
ponto que requeresse citaccedilatildeo de noccedilotildees elementares do Caacutelculo a priori deixariam a
discussatildeo de forma particular com o aluno que promoveu a pergunta ou entatildeo daria uma
desculpa qualquer de que tais noccedilotildees seratildeo discutidas posteriormente no Ensino Superior
somente para os privilegiados que estudaratildeo a disciplina de Caacutelculo
Os dados da pesquisa servem para uma reexatildeo sobre a situaccedilatildeo do ensino de
matemaacutetica embora o espaccedilo amostral esteja concentrado nas escolas da Grande Vitoacuteria
pode ser que esteja dissipada ao redor do estado Isso pode ser um obstaacuteculo agrave inser-
ccedilatildeo de elementos intuitivos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio pois eacute um tema bastante
discutiacutevel e natildeo dispomos de um modelo de educaccedilatildeo pronto que resolva os problemas men-
1Observaccedilatildeo o processo seletivo da UFES para o curso de Matemaacutetica eacute diferente dos demais pois o
aluno eacute preacute-aprovado para a 2a etapa e em seguida deve cursar durante o proacuteximo semestre duas disciplinas
Matemaacutetica Baacutesica I e II com a prerrogativa de obter rendimento miacutenimo de meacutedia nal de 50 pontos
em cada disciplina caso contraacuterio o aluno natildeo estaacute apto para prosseguir no curso de Matemaacutetica e o
mesmo eacute eliminado do certame
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 44
cionados Talvez tal negligecircncia tenha como consequecircncia agravante rendimentos piacuteos
por parte da maioria dos estudantes evasatildeo universitaacuteria e fuga aos cursos que requerem
conhecimento preacutevio de Caacutelculo poreacutem o universo estatiacutestico analisado natildeo eacute suciente
para tal conclusatildeo mas sim para uma reexatildeo As propostas a seguir tecircm a pretensatildeo
de preencher as lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos quanto ao repasse de noccedilotildees ele-
mentares de limite derivada e integral durante a educaccedilatildeo baacutesica Assim como promover
uma orientaccedilatildeo para os professores da educaccedilatildeo baacutesica por intermeacutedio de atividades praacute-
ticas construtivas contextualizadas e interdisciplinares Eacute vaacutelido ressaltar que o referido
trabalho jaacute eacute realizado em determinados estados brasileiros (Satildeo Paulo Minas Gerais
Rio Grande do Sul e Paranaacute) e aleacutem disso na Franccedila Portugal e Espanha o Caacutelculo
Diferencial e Integral eacute conteuacutedo do curriacuteculo miacutenimo comum obrigatoacuterio na educaccedilatildeo baacute-
sica Nos estados brasileiros que fazem referecircncia as noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio
a inclusatildeo do tema eacute inserida de maneira indireta transversal e interdisciplinar de acordo
com as duacutevidas e o grau de abstraccedilatildeo que o assunto requer A implementaccedilatildeo de nossa
proposta eacute uma tentativa de reduzir o grande abismo entre a educaccedilatildeo baacutesica e o ensino
superior Aleacutem disso pretendemos contribuir para o aumento da procura por cursos de
exatas nos vestibulares para a consideraacutevel melhora no rendimento universitaacuterio dos alu-
nos que cursavam disciplinas de Caacutelculo e para a promoccedilatildeo de um ensinoaprendizagem
mais signicativo concreto interdisciplinar contextualizado e motivador
Embora as noccedilotildees de limite derivada e integral natildeo estejam presentes de forma
direta e obrigatoacuteria no curriacuteculo miacutenimo de conteuacutedos do Ensino Meacutedio no curriacuteculo
escolar paulista (2011) haacute uma argumentaccedilatildeo excelente de defesa do ensino de noccedilotildees de
Caacutelculo na 3a etapa da educaccedilatildeo baacutesica na qual os autores trabalham com a ideia de que
havendo uma boa razatildeo para fazer algo sempre seraacute possiacutevel arquitetar uma maneira de
fazecirc-lo (quem tem um porque arruma um como) Por exemplo haacute uma orientaccedilatildeo
de trabalhar com uma escala de aprofundamento adequada ao grau de conhecimento
do aluno em questatildeo toacutepicos do Caacutelculo Diferencial por meio da anaacutelise de problemas
cotidianos (presentes em jornais e revistas) que medem a rapidez com que uma grandeza
cresce ou decresce em relaccedilatildeo agrave outra (o que futuramente aprenderatildeo como derivada)
Aleacutem disso orientam que o trabalho com o Caacutelculo Integral deve ser ealizado a partir de
uma aproximaccedilatildeo de uma grandeza variaacutevel por uma seacuterie de valores constantes (como se
fosse constante em pequenos intervalos)
45
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA
Com o intuito de realizar o resgate do repasse das noccedilotildees elementares do
Caacutelculo o presente trabalho estaraacute repleto de atividades que de forma direta eou indireta
citaratildeo as ideias intuitivas de limite de derivada e de integral
De fato haacute uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular durante o Ensino Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees
elementares do Caacutelculo e em caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite De fato haacute
uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em particular durante o Ensino
Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees elementares do Caacutelculo e em
caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite Aleacutem disso os dados das pesquisas realiza-
das revelaram agraves diculdades que muitos professores possuemteriam para expor o tema
tambeacutem foi visto que haacute mais pontos favoraacuteveis que desvantajosos em propor o resgate
da inserccedilatildeo de tais conceitos durante o Ensino Meacutedio e para nalizar foram constatadas
as deciecircncias existentes nas diversas literaturas disponiacuteveis
Assim a principal meta desse trabalho consiste em propor situaccedilotildees praacuteticas
em que haacute a necessidade de empregar e justicar o ensino das noccedilotildees intuitivas de limite e
ideias correlatas do Caacutelculo na educaccedilatildeo baacutesica em especial durante o Ensino Meacutedio Com
o intuito de ajudar colegas de prossatildeo tentamos propor abordagens do ensino das noccedilotildees
intuitivas de limite de derivada e de integral por meio de softwares de geometria dinacircmica
e planilhas eletrocircnicas de maneira que tais conceitos sejam introduzidos passo a passo
(algo bem construtivo) Pretendemos gerar um ambiente de reexatildeo sobre a importacircncia
de justicar determinados toacutepicos da matemaacutetica elementar com maior precisatildeo e aleacutem
disso fornecer subsiacutedios garantidos por lei para continuidade de estudos posteriores A
resoluccedilatildeo de cada situaccedilatildeo problema seraacute feita sempre que possiacutevel a partir dos meacutetodos
propostos por POLYA (1995) [28] os quais podem ser expressos em quatro passos
1 Compreender o problema Nesse 1o passo eacute importante fazer perguntas identicar
qual eacute a incoacutegnita do problemavericar quais satildeo os dados e quais satildeo as condiccedilotildees
entre outros
2 Construccedilatildeo de uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo Nesse 2o passo devemos encontrar as
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
conexotildees entre os dados e a incoacutegnita caso seja necessaacuterio considerando problemas
auxiliares ou particulares
3 Execuccedilatildeo da estrateacutegia Frequumlentemente o 3o passo eacute considerado o mais faacutecil do
processo de resoluccedilatildeo de um problema Contudo a maioria dos principiantes tende
a pular esta etapa prematuramente e acabam se dando mal
4 Revisatildeo da soluccedilatildeo O 4o passo consiste numa anaacutelise minuciosa da soluccedilatildeo obtida
em que eacute feita a vericaccedilatildeo dos resultados dos argumentos utilizados e da escrita
matemaacutetica aleacutem de ser uma etapa excelente para oportunizar uma reexatildeo sobre
a possibilidade de uma resoluccedilatildeo de modo diferente
Nesse iacutenterim eacute necessaacuterio ter uma preocupaccedilatildeo contiacutenua em realizar uma boa
interpretaccedilatildeo dos exerciacutecios seguida de uma atenciosa coleta de dados chegando ao ponto
de encontrar a melhor estrateacutegia para solucionar a questatildeo e apoacutes aplicar a melhor teacutecnica
(ou a mais conveniente) de resoluccedilatildeo nalizar a atividade por meio de uma revisatildeo da
soluccedilatildeo realizada com ecircnfase e detalhamento de valores obtidos assim como o estudo do
signicado semacircntico algeacutebrico ou geomeacutetrico eacute uma teacutecnica excelente e sugerimos que
se torne praacutetica diaacuteria de professores e alunos
MACHADO (2008) [19] professor e autor de livros de matemaacutetica elemen-
tarsuperior arma em seu artigo Caacutelculo Diferencial e Integral na Educaccedilatildeo Baacutesica
que a presenccedila das ideias baacutesicas do Caacutelculo eacute inserida em no dia-a-dia a partir do mo-
mento em que haacute o estudo analiacutetico do comportamento de grandezas variando com o
tempo Note o relato de MACHADO (2008 p1)
Eacute do diaacutelogo entre a permanecircncia e a variaccedilatildeo juntamente com a buscade uma forma de caracterizaccedilatildeo da rapidez com que uma grandeza variacom outra que nascem as duas ideias fundamentais do Caacutelculo a integrale a derivada (MACHADO 2008 [19] p1)
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO
FUNDAMENTAL
Embora contrarie as expectativas da maioria dos professores de matemaacutetica
atuantes nessa etapa da educaccedilatildeo baacutesica eacute possiacutevel inserir ideias fundamentais e construti-
vas de limite em diversos pontos do ensino fundamental poreacutem haacute trecircs ocasiotildees especiacutecas
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 47
em que o emprego das noccedilotildees intuitivas de limite faz-se necessaacuterio para completar o en-
tendimento e maximizar o ensinoaprendizagem dos alunos no estudo da representaccedilatildeo
decimal das diacutezimas perioacutedicas no estudo da demonstraccedilatildeo completa do Teorema de Ta-
les e no estudo de aacuterea de aacutereas de guras planas em particular a partir da aacuterea de um
retacircngulo
711 Diacutezimas Perioacutedicas
Em geral as diacutezimas perioacutedicas satildeo introduzidas a partir do 7o ano durante
o estudo da representaccedilatildeo decimal dos nuacutemeros racionais Um nuacutemero racional pode ser
representado por um nuacutemero decimal exato (diacutezima exata) que possui um nuacutemero nito
de casas agrave direita da viacutergula ou por um nuacutemero decimal innito e perioacutedico (diacutezima
perioacutedica) que possui um nuacutemero innito de casas agrave direita da viacutergula Em outras
palavras uma diacutezima perioacutedica eacute uma representaccedilatildeo numeacuterica em que haacute uma sequecircncia
nita de algarismos que se repetem indenidamente
Por deniccedilatildeo os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados
por uma fraccedilatildeo isto eacute nuacutemeros da forma pq com p e q nuacutemeros inteiros e q 6= 0 As
fraccedilotildees que geram diacutezimas perioacutedicas satildeo denominadas de fraccedilotildees geratrizes
Para transformar uma fraccedilatildeo (ab)cujo denominador apresente apenas fatores
2 ou 5 em um nuacutemero decimal pode-se aplicar o seguinte meacutetodo Considere b = 2x middot 5y
com x lt y Em seguida multiplique tanto o numerador quanto o denominador por 2yminusx
isto eacutea
b=
a middot 2yminusx
2x middot 5y middot 2yminusx=a middot 2yminusx
2y5y= a middot 2yminusx10minusy
Isso eacute equivalente a calcular o nuacutemero a middot 2yminusx e escrevecirc-lo apoacutes as x casas decimais apoacutes
a viacutergula Note que o caso x gt y eacute anaacutelogo ao anterior poreacutem o fator multiplicativo seraacute
5yminusx Por exemplo
7
20=
7
22 middot 5=
7 middot 52minus1
22 middot 5 middot 52minus1=
35
100= 0 35
A aplicaccedilatildeo desse procedimento para denominadores particulares que produ-
zem fraccedilotildees decimais nem sempre produz um nuacutemero nito de casas apoacutes a viacutergula Um
exemplo simploacuterio seria a tentativa de escrever a representaccedilatildeo decimal da fraccedilatildeo geratriz13 Note que
1
3=
1 middot 103 middot 10
=1
1010
3=
1
103 middot 3 + 1
3=
1
10(3 +
1
3) =
3
10+
1
101
3= 0 3 +
1
101
3
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 48
Repetindo o processo tem-se
1
3= 0 3 +
1
101
3= 0 3 +
1
10(0 3 +
1
101
3) = 0 3 + 0 03 +
1
1001
3
Observe que novamente apareceu a fraccedilatildeo original um terccedilo e eacute evidente que o
mesmo aconteceraacute nas proacuteximas iteraccedilotildees Isto signica que para a representaccedilatildeo decimal
de um terccedilo eacute necessaacuterio innitas casas decimais agrave direita da viacutergula Assim concluiacute-se
que1
3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()
Note que eacute importante que o professor interra com questionamentos sobre a
regularidade dos elementos que surgem nessa soma e com a solicitaccedilatildeo do Caacutelculo para um
nuacutemero particular de parcelas dessa soma A nalidade dessa tarefa eacute mostrar ao aluno
que um terccedilo eacute igual a uma soma de innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica cujo
primeiro termo eacute a1 = 0 3 e cuja razatildeo q = 0 1 (seacuterie convergente) Para calcular essa
soma eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees intuitivas de limite e isso seraacute realizado posterior-
mente nesse trabalho Note ainda que ao multiplicar a ambos os membros pelo nuacutemero
3 tem-se
3 middot 13= 3 middot 0 333rArr 1 = 0 999 = 0 9
Para que os alunos familiarizem-se com o procedimento anterior que utiliza a
ideia de innito de processo indenido proponha atividade de requeiram a determinaccedilatildeo
da representaccedilatildeo decimal por exemplo para as fraccedilotildees 311
e 17 Note que o grau de
diculdade aumenta e aguccedila a curiosidade do aluno Veja o resultado para a fraccedilatildeo
3
11=
3 middot 1011 middot 10
=1
1030
11=
1
10(2 middot 11 + 8
11) =
1
10(2 +
8
11) =
2
10+
1
108
11
Natildeo apareceu explicitamente a fraccedilatildeo 311
na primeira iteraccedilatildeo poreacutem na se-
gunda etapa tem-se 311
= 3middot1011middot10 = 1
103011
= 110(2middot11+8
11) = 1
10(2 + 8
11) = 2
10+ 1
10 811
=
0 2 + 110 80110
= 0 2 + 1100(7middot11+3
11) = 0 2 + 0 07 + 1
100 311
= 0 27 + 1100 311
Ou seja 311
= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1
100middot 311) = middot middot middot = 0 272727 = 0 27
Espera-se com essas atividades que os estudantes consigam assimilar o caraacuteter
perioacutedico e innito das diacutezimas
Em geral uma diacutezima perioacutedica simples de periacuteodo k eacute um nuacutemero que possui
expansatildeo decimal do seguinte modo a b1b2b3bk = a b1b2b3bk E toda diacutezima perioacutedica
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 49
representa um nuacutemero racional isto eacute possui representaccedilatildeo fracionaacuteria dada por
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk
Considere que
r = 0 b1b2b3bk
Daiacute segue que
10r middot r = 10r middot (0 b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr (10r minus 1)r = b1b2b3bk
rArr r =b1b2b3b410k minus 1
=b1b2b3bk9999
Logo tem-se
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk = a+ b1b2b3bk
999 middot middot middot 9︸ ︷︷ ︸k repeticcedilotildees de 9
Exemplo motivacional Determine a fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 5 777 middot middot middot
1o modo Desenvolvendo raciociacutenio similar a demonstraccedilatildeo
r = 5 777
rArr 10r = 57 777
rArr 10r minus r = 57 777minus r
rArr 9r = 52
rArr r =52
9
2o modo Aplicando o algoritmo demonstrado
5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7
9=
52
9
A reciacuteproca da demonstraccedilatildeo acima tambeacutem eacute verdadeira ou seja todo nuacutemero
racional eacute representado por uma diacutezima perioacutedica A demonstraccedilatildeo desse fato eacute obtida
por intermeacutedio do algoritmo de divisatildeo de Euclides
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 50
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Considere a proposiccedilatildeo a seguir proposta por um rico comerciante Tales da
cidade grega de Mileto por volta do V aC conhecida como Teorema de Tales um conjunto
de retas paralelas entre si (feixe de paralelas) cortado por duas transversais (r e s) forma
sobre elas segmentos correspondentes proporcionais isto eacute a razatildeo entre dois segmentos
quaisquer determinados pelo feixe sobre a reta r por exemplo AB e CD eacute igual agrave razatildeo
de seus correspondentes sobre a reta s AprimeBprime e C primeDprime ou seja
AB
CD=AprimeBprime
C primeDprime
A demonstraccedilatildeo desse teorema em geral natildeo eacute realizada nos livros didaacuteticos
do Ensino Fundamental Jaacute nos livros de Ensino Meacutedio eacute apenas apresentada uma parte
da validade para segmentos comensuraacuteveis Diante desse fato consumado eis que surge o
questionamento Por que os livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio natildeo apresentam a demons-
traccedilatildeo para segmentos natildeo comensuraacuteveis
A explicaccedilatildeo para a omissatildeo da segunda parte da prova pode ser justicada
pelo fato de que a manipulaccedilatildeo com nuacutemeros irracionais requer emprego de completude
dos nuacutemeros reais e com certeza o grau de abstraccedilatildeo necessaacuterio pode estar aleacutem das
possibilidades de entendimento do aluno E mais eacute necessaacuterio utilizar noccedilotildees intuitivas
de limite para completar o raciociacutenio
A seguir eacute apresentada de forma completa a demonstraccedilatildeo do Teorema de
Tales
1a parte da demonstraccedilatildeo Sejam r s t e z retas paralelas e a e b retas
transversais
Suponha que AB e CD sejam comensuraacuteveis e que exista um segmento u
(unidade de medida comum entre os segmentos AB e CD) tal que AB = mu e CD = nu
(mn isin N ) isto eacute o segmento u cabe m vezes dentro de AB assim como cabe n vezes
no segmento CD
Logo a razatildeo ABCD
= munu
= mn(I)
Agora pelos pontos que dividem AB e CD em m e n partes congruentes
ao segmento de medida u trace retas paralelas ao feixe com o intuito de subdividir os
segmentos AprimeBprime e C primeDprime em m e n partes iguais a w A partir dessa consideraccedilatildeo tem-se
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 51
a razatildeo AprimeBprime
CprimeDprime =mwnw
= mn(II)
Figura 71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte DANTE [9] 2010 vol1 p 404
Daiacute concluiacute-se a partir das relaccedilotildees (I) e (II) que ABCD
= AprimeBprime
CprimeDprime conforme
queriacuteamos demonstrar
2a parte da demonstraccedilatildeo Sejam a1 i e j retas paralelas e r e s retas trans-
versais
Figura 72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte GeoGebra
Suponha agora que os segmentos AB e BC sejam incomensuraacuteveis Por co-
modidade suponha que AB seja menor do que BC (caso contraacuterio o raciociacutenio seraacute
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 52
desenvolvido a partir de BC) e divida AB em m partes congruentes com o segmento
u = 1mAB Como u lt AB (dado que a parte eacute menor do que o todo) e como AB lt BC
entatildeo u lt BC
Figura 73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis
Fonte GeoGebra
Pela propriedade Arquimediana (dadas duas magnitudes quaisquer de mesma
natureza a e b existe sempre um nuacutemero inteiro n tal que na gt b) existe um nuacutemero
inteiro n tal que mu gt BC Existindo um nuacutemero com essa propriedade existiraacute uma
innidade porque Nu tambeacutem seraacute maior do que BC para qualquer N gt n Nesse iacutente-
rim pode-se considerar que n eacute o menor dos nuacutemeros inteiros para os quais mu gt BC
Assim sendo (nminus 1)u deveraacute ser menor do que BC ou seja (nminus 1)u lt BC lt nu Como
mu = AB segue que nminus1m
lt BCAB
lt nm Em outras palavras a relaccedilatildeo entre os incomensu-
raacuteveis BC e AB estaacute compreendida entre os racionais nminus1m
e nm Pelas extremidades dos m
segmentos em que AB foi dividido traccedilando-se paralelas ao feixe o segmento DE caraacute
dividido em m partes congruentes com o segmento w = 1mDE ou seja DE = mw Pelas
extremidades dos n segmentos congruentes com u sobre o segmento BC trace as paralelas
ao feixe Sobre a reta s caratildeo determinados n segmentos congruentes a w Denomine
de Kn e Kn+1 as extremidades dos segmentos a partir de C formados respectivamente
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 53
por (nminus 1) e n segmentos congruentes a u Sejam K primen e Kprimen+1 seus correspondentes sobre
a reta s
Observe a situaccedilatildeo descrita geometricamente na gura a seguir
Figura 74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso)
Fonte GeoGebra
Note a partir da gura anterior que C estaacute entre Kn e Kn+1 Agora resta
mostrar que seu correspondente (F ) estaacute entre K primen e K primen+1 Eacute notoacuterio que F natildeo pode
coincidir com K primen ou K primen+1 pois nesses casos DE e EF seriam comensuraacuteveis e por con-
sequecircncia AB e BC tambeacutem seriam o que contrariaria a hipoacutetese imposta O ponto F
correspondente de C natildeo pode estar entre E e K primen pois nesse caso Kn e K primen estariam em
semiplanos opostos em relaccedilatildeo agrave reta KnKprimen de tal modo que a reta Kn+1K
primen+1 cruzaria
a reta KnKprimen o que eacute um absurdo pois ambas satildeo paralelas Com raciociacutenio anaacutelogo
descarta-se a possibilidade de K primen+1 estar entre E e F Logo (nminus1)w lt EF lt nw Como
DE = mw entatildeo nminus1m
lt EFDE
lt nm O que acabou de ser mostrado prova que AB e BC
sobre a reta r satildeo incomensuraacuteveis e a relaccedilatildeo entre eles estaacute entre nminus1m
e nm os segmentos
DE e EF sobre s tambeacutem satildeo incomensuraacuteveis e sua relaccedilatildeo estaacute entre aqueles dois raci-
onais Assim nesse iacutenterim denomina-se nminus1m
e nm respectivamente de aproximaccedilotildees por
falta e por excesso das relaccedilotildees BCAB
e EFDE
Note que a diferenccedila entre tais aproximaccedilotildees eacute1me pode ser feita tatildeo pequena quanto se queira Em outras palavras BC
ABe EFDE
podem
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 54
ser espremidas entre dois nuacutemeros racionais tatildeo proacuteximos quanto se queira ateacute chegar ao
aacutepice intuitivo de que tais razotildees satildeo iguais Para completar a demonstraccedilatildeo eacute necessaacuterio
mostrar que tanto o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por falta natildeo tem maacuteximo como
o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por excesso natildeo tem miacutenimo Essa demonstraccedilatildeo
pode ser encontrada com maior riqueza de detalhes em GARBI (2010 p115) [29]
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas
Em geral o estudo de aacutereas eacute posterior ao estudo de congruecircncia e semelhanccedila
de triacircngulos Embora seja comum nos livros didaacuteticos apresentar o estudo de aacutereas
assim como suas propriedades no nal do curso de Geometria em WAGNER (1992) [31]
haacute antecipaccedilatildeo da inserccedilatildeo das noccedilotildees de aacutereas
Uma das vantagens de realizar tal inversatildeo na apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos
consiste no fato de evitar a anaacutelise da comensurabilidade dos segmentos em questatildeo
A seguir seraacute exposta a demonstraccedilatildeo via aacutereas
Sejam Bprime e C prime os pontos dos lados AB e ABprime respectivamente do triacircngulo
ABC conforme ilustra a gura a seguir
Figura 75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos
Fonte RPM [31] n 21 p7
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 55
Analisando a gura anterior segue que os segmentos BC prime e CBprime satildeo paralelos
ou seja BprimeC primeBC e partir daiacute eacute possiacutevel concluir que os triacircngulos BprimeC primeB e BprimeC primeC
tecircm mesma aacuterea dado que possuem mesma base (BprimeC prime) e alturas relativas a essa base
tambeacutem iguais Acrescentando a esses triacircngulos o triacircngulo ABprimeC prime concluiacutemos que os
triacircngulos ABC prime e ACBprime tambeacutem possuem a mesma aacuterea Portanto segue que
ABprime
AB=S(ABprimeC prime
S(ABC prime)=S(AC primeBprime
S(ACBprime)=AC prime
AC
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo
Os livros didaacuteticos da educaccedilatildeo baacutesica natildeo apresentam o caacutelculo da medida
da aacuterea (S) da regiatildeo retangular de maneira construtiva dinacircmica e com explicaccedilotildees
convincentes de que a superfiacutecie retangular eacute dada pelo produto entre a medida da base
(b) e a medida da altura (h) Os autores optam pela abordagem via repasse da foacutermula
sem o devido cuidado de demonstrar sua validade para todos os nuacutemeros reais isto eacute
S = b middot h
Para demonstrar a validade da referida foacutermula eacute necessaacuterio utilizar um proce-
dimento anaacutelogo ao utilizado na prova completa do Teorema de Tales exibido na atividade
anterior isto eacute primeiro eacute mostrado a validade para nuacutemeros racionais e depois eacute esten-
dida para nuacutemeros irracionais Eacute vaacutelido ressaltar que o foco dessa atividade eacute direcionado
para destacar a necessidade de implementar noccedilotildees intuitivas de limite para concluir a
foacutermula de caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
Considere um retacircngulo de lados m e n nuacutemeros naturais particionado em
m middot n quadrados de lado 1 em que m = 6 e n = 5 Note que o retacircngulo eacute composto por
m middot n = 6 middot 5 = 30 quadrados
Em seguida considere um retacircngulo de lados m1
n1e m2
n2 com (m1m2 n1 n2 isin
N) A partir de n1n2 coacutepias desse novo retacircngulo monta-se um retacircngulo maior de lados
m1 e m2 Adicionando aacutereas iguais concluiacute-se que a aacuterea do retacircngulo dado originalmente
eacute igual a m1middotm2
n1middotn2= m1
n1middot m2
n2
Finalmente toma-se um retacircngulo de lados a e b reais positivos e para k isin N
nuacutemeros racionais xk yk uk vk tais que xk lt a lt yk uk lt b lt vk e yk minus xk uk minus vk lt 1k
Sendo S a aacuterea do retacircngulo de lados a e b um argumento anaacutelogo ao feito para quadrados
garante que S e ab pertencem ambos ao intervalo (ukxk ykvk) e daiacute para todo k isin N
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 56
tem-se
|Aminus ab| lt vkyk minus ukxk
rArr vkyk minus ukxk = (vk minus uk)yk + (yk minus xk)uk lt1
k(yk + uk)
rArr 1
k(yk + uk) =
1
k((yk minus xk) + 2xk + (vk minus uk) + 2uk) lt
1
k(2
k+ 2a+ 2b)
rArr |Aminus ab| lt 1
k(2
k+ 2a+ 2b)
A gura a seguir ilustra o retacircngulo mn em que m = 6 e n = 5
Figura 76 Retacircngulo 6 x 5
Fonte GeoGebra
Note que quanto maior o valor de n as aproximaccedilotildees por falta (xkuk) e por
excesso (vkyk) indicam intuitivamente que a aacuterea do retacircngulo de lados a e b tenderaacute para
S = ab isto eacute
xkuk lt ab lt vkyk
rArr k
nmiddot mnlt
(k + 1)
nmiddot (m+ 1)
n
rArr km(1
n)2 lt ab lt (km+ k +m+ 1)(
1
n)2
rArr 0 lt abminus km(1
n)2 lt (k +m+ 1)(
1
n)2
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
Quanto maior o valor de n (n tendendo ao innito) melhor seraacute a aproximaccedilatildeo
da aacuterea (correspondente agrave soma de todos os retacircngulos de medidas kne m
n) da pretendida
do retacircngulo dada por S = ab
A gura a seguir representa um retacircngulo 100 e 80 em que a base e a altura
respectivamente foram subdivididas em 100(na) e 80(nb) partes com a mesma unidade
de comprimento
Figura 77 Retacircngulo 100 x 80
Fonte GeoGebra
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ES-
TUDO DE FUNCcedilOtildeES
Inicialmente sugere-se a apresentaccedilatildeo de algumas situaccedilotildees problema que
abordam de forma embutida as noccedilotildees intuitivas de limite de forma praacutetica Inclusive
o presente trabalho possui a preocupaccedilatildeo em mostrar aos alunos a simbologia moderna
utilizada em detrimento das expressotildees e locuccedilotildees de tendecircncia Observe
bull a) Se o cacircmbio do doacutelar americano tende a estabilizar em torno de R$ 233 entatildeo o
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 58
valor pago por 100 doacutelares estabiliza em torno de R$ 23300 Logo podemos falar
que o limite (valor pago por 100 doacutelares) eacute igual a R$ 23300 quando o valor pago por
1 doacutelar tende a R$ 233 Pode-se representar tal situaccedilatildeo por limxrarr100
2 33x = 233
bull b) Imagine uma placa metaacutelica quadrada que se expande uniformemente por estar
sendo aquecida Se x representa o comprimento do lado a aacuterea da placa eacute dada
por A(x) = x2 Evidentemente quando x se aproxima de 5 a aacuterea da placa A se
aproxima de 25 Essa situaccedilatildeo pode ser expressa simbolicamente por limxrarr5
x2 = 25
bull c) Suponha agora que vocecirc esteja dirigindo um automoacutevel Se o acelerador for pres-
sionado para baixo em torno de 4 cm entatildeo a velocidade se manteraacute proacutexima aos 120
Kmh Logo podemos dizer que o limite (velocidade instantacircnea do automoacutevel) eacute
igual a 120 Kmh quando o acelerador tender a 4 cm para baixo Matematicamente
escrevemos tal situaccedilatildeo por limxrarr4
v(x) = 120 onde v(x) eacute a velocidade instantacircnea do
automoacutevel e x eacute a medida em centiacutemetros do deslocamento do pedal do acelerador
bull d) Outra aplicaccedilatildeo interessante do limite de uma funccedilatildeo eacute o caacutelculo da velocidade
instantacircnea de um corpo em queda livre sob a accedilatildeo da gravidade dentre outras
inuacutemeras aplicaccedilotildees interdisciplinares disponiacuteveis
Apoacutes apresentar um panorama de aplicaccedilotildees simples faz-se necessaacuterio propor
o repasse das noccedilotildees intuitivas de limite utilizando o estudo de funccedilotildees De acordo com a
estrateacutegia disseminada pelos livros didaacuteticos uma das melhores formas de expor as ideias
de limite via funccedilotildees consiste em observar o comportamento de uma funccedilatildeo dada nas
proximidades de um ponto em sua vizinhanccedila
Vejamos um exemplo praacutetico Exemplo Observe o estudo analiacutetico do compor-
tamento de uma funccedilatildeo f na vizinhanccedila de um ponto Considere a funccedilatildeo f R2 minusrarr R
denida por
f(x) =x2 minus 4
xminus 2=
(x+ 2)(xminus 2)
xminus 2= x+ 2
Estudando o comportamento da referida funccedilatildeo nas proximidades do ponto
x = 2 dado que o mesmo natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada verica-se que
quando aproximamos os valores de x da abscissa x = 2 haacute uma aproximaccedilatildeo abrupta
para a imagem y = f(x) = 4 mesmo que se tome valores agrave esquerda (x lt 2) ou a direita
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 59
(x gt 2) da abscissa x = 2 Tal constataccedilatildeo sob o ponto de vista numeacuterico pode ser
interpretada a seguir via dados tabelados
Tabela 71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2
Aproximaccedilatildeo pela esquerda (x lt 2) Aproximaccedilatildeo pela direita (x gt 2)
x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2
f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4
Nesse momento eacute possiacutevel discutir com os alunos a noccedilatildeo intuitiva de limite
Note que tomando valores na vizinhanccedila de x = 2 o valor da funccedilatildeo permanece nas
proximidades de y = f(x) = 4 Inserindo a linguagem moderna precisa e concisa pode-se
dizer que ao fazer com que os valores de x tendam para a abscissa x = 2 (xrarr 2) os valores
das imagens tenderatildeo para a imagem y = f(x) = 4 (y rarr 4) a qual seraacute denominada de
limite e representada por L = limxrarr2
f(x) = 4 Note que esse limite representa o valor da
funccedilatildeo para x = 2 poreacutem esse valor de x natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada Tal
episoacutedio serve de base para explicar que o conceito de limite independe de a funccedilatildeo estar
denida naquele ponto especiacuteco e mais serve para representar que o limite de uma dada
funccedilatildeo pode natildeo ser o valor da imagem do ponto em que estamos investigando em sua
vizinhanccedila
Embora tal explicaccedilatildeo seja aceitaacutevel eacute bom ser cauteloso ao explicar a situaccedilatildeo
Caso ainda haja duacutevida recomenda-se a construccedilatildeo do graacuteco da referida funccedilatildeo via Geo-
Gebra Nesse software ao inserir no campo entrada as coordenadas do ponto F = (2 f(2))
o programa indicaraacute na janela de Aacutelgebra a informaccedilatildeo de que tal ponto eacute indenido e
quando inserirmos G = (1999 f(1999)) o GeoGebra indicaraacute um ponto praticamente so-
bre o ponto (2 4) o qual eacute o ponto indenido cuja imagem representaraacute o limite da funccedilatildeo
Oportunidade riquiacutessima para mencionar a relaccedilatildeo importacircnciadependecircncialimitaccedilatildeo de
um software no estudo de Matemaacutetica
Para melhor compreensatildeo observe a imagem capturada da tela do GeoGebra
Eacute interessante mencionar que esse fenocircmeno pode ser generalizado de maneira informal
para qualquer funccedilatildeo f(x) denida em um intervalo aberto em torno de x = a exceto
talvez em x = a Se f(x) ca arbitrariamente proacuteximo de L para todos os valores
de x sucientemente proacuteximos de a dizemos que f tem limite L quando x tende para
a e escrevemos limxrarra
f(x) = L Nesse iacutenterim eacute vaacutelido ressaltar que o conceito formal
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 60
utilizando eacutepsilon e delta seraacute visto em um curso especiacuteco de Caacutelculo I E mais haacute
disponiacutevel diversos sites na internet com variados applets (programas desenvolvido via
GeoGebra) com atividades que explicam toacutepicos do estudo de Caacutelculo por exemplo
em BIZELLI (2014) [33] responsaacutevel pelo site do Instituto de Quiacutemica da Universidade
Estadual de Satildeo Paulo (UNESP) em que disponibiliza applets que orientam diversos
assuntos dentre os quais destacamos o estudo da ideia de limite de uma funccedilatildeo que
corresponde a uma contribuiccedilatildeo construtiva para o conhecimento de forma luacutedica concreta
e com possibilidades de inuacutemeras iteraccedilotildees
Figura 78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita
Fonte Imagem capturada de uma janela do GeoGebra
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees
Ao estudar a construccedilatildeo dos graacutecos das principais funccedilotildees estudadas durante
o ensino meacutedio diversos questionamentos satildeo levantados por alunos A principal pergunta
dos alunos consiste em como obter garantias sucientes e esclarecedoras sobre o compor-
tamento das curvas (Quando crescem ou decrescem Quando os eixos ou determinas retas
satildeo consideradas assiacutentotas das curvas em questatildeo Selecionando um intervalo qualquer
presente no 1o quadrante por exemplo o que signica e como se calcula a aacuterea sob o
graacuteco dessa funccedilatildeo) Alguns desses e outros questionamentos satildeo frequentes em sala de
aula e serviram de base para a discussatildeo que seraacute feita a partir desse momento
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 61
Ao representar o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau do 2o grau Exponencial
ou Logariacutetmica geralmente representa-se apenas uma parte da funccedilatildeo a partir de valores
discretos para as abscissas Em seguida traccedilamos o graacuteco de maneira natural de acordo
com a amostragem construiacuteda por exemplo via tabela que relaciona o par (x f(x))
Satildeo raros os professores que abrem a discussatildeo em torno de valores contiacutenuos para a
variaacutevel x Uma estrateacutegia boa para garantir aos alunos que o crescimentoconcavidade
da referida natildeo se altera para algum valor de x e que em alguns casos o crescimento tende
para o innito seria utilizar as ferramentas do Caacutelculo mas tais ferramentas natildeo estatildeo
disponiacuteveis no Ensino Meacutedio Daiacute a necessidade de fornecer um suporte especiacuteco de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo para justicardemonstrar algumas propriedades que satildeo
simplesmente comentadas sem a prova de que satildeo vaacutelidas independentemente do valor do
domiacutenio ser discreto ou contiacutenuo isto eacute a validade eacute para todo o domiacutenio real de deniccedilatildeo
da funccedilatildeo um preluacutedio ao conceito de continuidade de funccedilatildeo
As questotildees referentes agrave tendecircncia de crescimento para o innito ou agrave apro-
ximaccedilatildeo a uma reta assiacutentota satildeo explicadas via noccedilotildees de limites Negligenciar tal
discussatildeo como eacute praxe na educaccedilatildeo baacutesica contribui vertiginosamente para a desmoti-
vaccedilatildeo dos alunos e como consequecircncia reduz o rendimento das escolas de educaccedilatildeo baacutesica
e superior
Por exemplo suponha hipoteticamente que um dado aluno do Ensino Meacutedio
faccedila dois questionamentos acerca do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica Por que a funccedilatildeo
logariacutetmica eacute crescentee O que garante que quando os valores de x tendem para o
innito positivo os valores das imagens (f(x)) tendem tambeacutem para o innito positivo
Eacute notoacuterio que inuacutemeros professores do Ensino Meacutedio teriam diculdade em explicar com
transparecircncia e argumentos vaacutelidos tais perguntas Com o intuito de ajudar colegas
que apresentem inseguranccedila diculdade e alguma outra adversidade na arte de lecionar
esse conteuacutedo particular proposto observe a maneira escolhida para justicaacute-las Note
que para explicaacute-las faz-se necessaacuterio formalizaacute-las segundo proposiccedilotildees (teoremas) e em
seguida demonstraacute-las Aleacutem disso verique que a segunda proposiccedilatildeo torna-se suciente
a partir da prova de monotonicidade da primeira
Proposiccedilatildeo 721 A funccedilatildeo logariacutetmica de base 10 (logaritmos decimais) eacute crescente
isto eacute se 0 lt x lt y entatildeo log x lt log y
Demonstraccedilatildeo Sejam x e y dois nuacutemeros positivos com x lt y ou seja existe um nuacutemero
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 62
m gt 1 tal que y = mx Daiacute temos log y = log (mx) = log m + log y Como m gt 1
segue que log m gt 0 Conclusatildeo log y gt log x como queriacuteamos demonstrar
Proposiccedilatildeo 722 Quando x tende para +infin log x tende para +infin Isto eacute quando
tomamos valores positivos cada vez maiores para x o logaritmo decimal cresce e pode
torna-se maior do que qualquer nuacutemero positivo prexado
Demonstraccedilatildeo Dado qualquer nuacutemero real J gt 0 pode-se obter K gt 0 tal que para
todo x gt K se tem log x gt J Assim dado J gt 0 escolhemos primeiro um nuacutemero inteiro
positivo M tal que M gt Jlog 2
Entatildeo log (2M) = M log 2 gt J Tome agora K = 2M
Note que qualquer que seja x gt K como a funccedilatildeo logaritmo de base 10 eacute crescente
tem-se que log x gt log K gt J Isso prova que todos os nuacutemeros reais x gt K possuem
logaritmos decimais maiores do que J Utilizando uma linguagem moderna e avanccedilada
concluiacutemos que limxrarr+infin
log x = +infin
Eacute vaacutelido ressaltar que a maioria dos livros analisados natildeo demonstra tais pro-
posiccedilotildees apenas faz citaccedilotildees como propriedades vaacutelidas Somente o livro do IEZZI (2010)
[15] e o do LIMA (2006) [17] fazem menccedilatildeo de maneira deciente injusticada e dife-
rente da apresentada Note que a escolha da funccedilatildeo logariacutetmica foi com a nalidade de
escapar da comodidade de trabalhar com funccedilotildees simples (1o e 2o grau) e para mostrar
um questionamento que pode ser uacutetil em sala de aula Foi feita apenas uma apresentaccedilatildeo
simples de demonstraccedilatildeo de uma propriedade muito utilizada no estudo de Logaritmos
mas eacute claro que haacute outras pertinentes e que exigem um olhar diferenciado do professor
regente Tambeacutem eacute bom salientar a necessidade de empregar noccedilotildees intuitivas de limite
para completar e raticar o raciociacutenio
Agora suponha que um aluno faccedila um questionamento interdisciplinar ou seja
vamos admitir que um dado aluno tenha recebido a informaccedilatildeo numa aula de Fiacutesica de que
a aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo representa o espaccedilo percorrido por um moacutevel ou o tra-
balho de uma forccedila por exemplo Diante dessa situaccedilatildeo o aluno lhe peccedila esclarecimentos
sobre tal informaccedilatildeo Como explicar essa situaccedilatildeo utilizando somente matemaacutetica ele-
mentar faltaria argumentos faz-se necessaacuterio inserir noccedilotildees elementares do Caacutelculo para
justicar e esclarecer os fatos para o dado aluno
Por exemplo considere uma paraacutebola denida por y = x2 em que y represente
a velocidade e x o tempo percorrido por um moacutevel num dado instante Caso o interesse
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 63
esteja voltado para o caacutelculo do espaccedilo percorrido pelo moacutevel no primeiro intervalo (uni-
dade) de tempo eacute preciso calcular a aacuterea da faixa de paraacutebola (A(x2)ba) compreendida
entre as retas verticais x = 0 e x = 1 Como as ferramentas de Caacutelculo natildeo estatildeo disponiacute-
veis e tambeacutem natildeo possuiacutemos uma foacutermula especiacuteca para efetuar o caacutelculo a resoluccedilatildeo
do referido problema deve empregar um raciociacutenio que evocaraacute noccedilotildees intuitivas do caacutel-
culo Para realizar e estimar o caacutelculo da aacuterea em questatildeo eacute necessaacuterio decompor a regiatildeo
[0 1] sob a curva em (n+1) intervalos justapostos de mesmo comprimento e calcular uma
aproximaccedilatildeo inferior para a faixa A(x2)01 atraveacutes da aacuterea do poliacutegono retangular Pn+1
inscrito na faixa da paraacutebola y = x2 Vide gura a seguir que exemplica a aproximaccedilatildeo
inferior da aacuterea de uma faixa de paraacutebola por intermeacutedio da aacuterea do poliacutegono retangular
P6com 6 intervalos justapostos de mesmo comprimento (n = 5)
Figura 79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5
Fonte GeoGebra
A aacuterea (S) do poliacutegono retangular Pn+1 inscrito na faixa da paraacutebola y = x2
seraacute dada pela soma das aacutereas de todos os retacircngulos contidos na regiatildeo sob a paraacutebola
isto eacute
S = A1 + A2 + A3 + middot middot middot+ An
rArr S = 1(n+1)
f(
1n+1
)+ 1
(n+1)f(
2(n+1)
)+ 1
(n+1)f(
3(n+1)
)+ middot middot middot+ 1
(n+1)f(
n(n+1)
)
Substituindo os valores da funccedilatildeo em cada particcedilatildeo considerada e utilizando a
fatoraccedilatildeo por evidecircncia tem-se
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 64
S =1
(n+ 1)3(1 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
rArr S =1
(n+ 1)3
(n3
3+n2
2+n
6
)=
1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)
Segue daiacute a conclusatildeo de que tomando valores cada vez maiores para n isto
eacute aumentando o nuacutemero de subintervalos aumentamos o nuacutemero de retacircngulos e con-
sequentemente a diferenccedila entre a aacuterea (S) do poliacutegono retangular e a aacuterea da faixa de
paraacutebola aproxima-se de zero Eacute oacutebvio que quando n tende para o innito (n rarr infin) a
aacuterea S tende para a aacuterea da faixa de paraacutebola ou seja S sim= A(x2)01 =13 Em linguagem
moderna e avanccedilada temos
limsrarrinfin
S = limnrarrinfin
[1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)]=
1
3
A construccedilatildeo da atividade acima deve ser realizada de maneira gradual ou seja
solicitando aos alunos que calculem a aacuterea do poliacutegono retangular a partir de subcasos
supondo valores para n por exemplo n = 5 e depois para n = 10 Essa atividade pode ser
realizada com auxiacutelio de calculadora cientiacuteca ou entatildeo via planilha eletrocircnica (do Excel
ou CALC ou ateacute do GeoGebra) Apoacutes resolver os problemas para os casos particulares
(encontrar a aacuterea por falta) sugira aos alunos para que tentem generalizar o meacutetodo ateacute
conseguir encontrar a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] Essa aacuterea foi encontrada
experimentalmente por Arquimedes atraveacutes de O meacutetodo de equiliacutebrio e demonstrado via
meacutetodo da exaustatildeo com argumentos de dupla reductio ad absurdum Com o meacutetodo de
equiliacutebrio Arquimedes vericava e testava a validade da propriedade Jaacute com o meacutetodo da
exaustatildeo que historicamente eacute creditado a Eudoxos poreacutem segundo EVES (2004) [11]
jaacute havia antecipaccedilatildeo de tais ideias nos trabalhos do sosta Antiacutefon (c 430 aC) o mestre
de Siracusa demonstrava a validade da proposiccedilatildeo formando um verdadeiro preluacutedio agraves
escuras das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular a ideia intuitiva de limite
Veja a construccedilatildeo do graacuteco via GeoGebra da aacuterea do poliacutegono retangular
para cinco cinquenta e cem intervalos de mesmo comprimento
Eacute notoacuterio que fazendo n tender para o innito a faixa escura cresceraacute e tenderaacute
para a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] cuja aacuterea corresponde a um terccedilo da
aacuterea do quadrado de mesma base E mais pode-se concluir que a aacuterea de metade do
segmento paraboacutelico (regiatildeo limitada pela reta secante pontilhada e pela paraacutebola) contido
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 65
Figura 710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50
Fonte Geogebra
Figura 711 Poliacutegono Retangular para n = 100
Fonte Geogebra
no quadrado de lado unitaacuterio mede 23 ou melhor eacute possiacutevel concluir que a aacuterea do segmento
paraboacutelico da paraacutebola em questatildeo mede 43 Esse procedimento consiste na quadratura da
paraacutebola cuja autoria de forma rudimentar isto eacute com as ferramentas disponiacuteveis para a
eacutepoca eacute creditada a Arquimedes via Meacutetodo de Equiliacutebrio e Meacutetodo da Exaustatildeo
Tambeacutem eacute necessaacuterio dizer que o problema de calcular aacute aacuterea referida acima
poderia ser solucionado decompondo o intervalo [0 1] em subintervalos contendo trapeacutezios
circunscritos de forma que a aacuterea do poliacutegono trapezoidal circunscrito agrave faixa de paraacute-
bola fosse uma aproximaccedilatildeo por excesso Possivelmente os alunos vatildeo reclamar muito
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 66
das contas que apareceratildeo pois os caacutelculos natildeo satildeo tatildeo simples assim como a teacutecnica
propriamente dita Mas segundo MACHADO (2008) [19] esse aspecto eacute favoraacutevel pois
prepararaacute o aluno para que venha a apreciar as facilidades que seratildeo depois apresentadas
em um curso de Caacutelculo Inclusive eacute possiacutevel mencionar a existecircncia de um teorema im-
portantiacutessimo que cita a existecircncia um ponto entre as aacutereas por aproximaccedilotildees por falta
e por excesso que as tornam iguais Esse teorema eacute conhecido como Teorema do Valor
Meacutedio
Outra atividade excelente de aplicaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
correlatas do Caacutelculo eacute o caacutelculo da chamada Aacuterea de uma faixa de Hipeacuterbole Antes de
deni-la eacute preciso preacute-estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas em que H seraacute
considerado algebricamente como o ramo positivo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x isto eacute
H = (x y)x gt 0 y = 1x ou geometricamente ramo da Hipeacuterbole Equilaacutetera (xy = 1)
contido no primeiro quadrante A partir dessas consideraccedilotildees eacute possiacutevel denir a faixa
de hipeacuterbole e de forma especiacuteca como consequecircncia imediata propor uma ligaccedilatildeo com
o estudo de logaritmos naturais Esse trabalho pode ser conferido na iacutentegra em LIMA
(1980) [16] em que o autor com maestria faz uma abordagem geomeacutetrica do estudo dos
logaritmos e suas consequecircncias (construccedilatildeo da tabela de logaritmos caacutelculo de raiacutezes
inexatas de iacutendice qualquer caacutelculo de potecircncias de base e expoente qualquer construccedilatildeo
do nuacutemero de Euler e sua ligaccedilatildeo com o logaritmo natural e nalmente propor o estudo
da Funccedilatildeo Exponencial)
Nesse iacutenterim eacute possiacutevel propor uma atividade de aplicaccedilatildeo interdisciplinar
sobre a relaccedilatildeo existente entre o crescimento exponencial e o decaimento (desintegraccedilatildeo)
radioativo Esse problema eacute comum nos livros de Ensino Meacutedio Observe a situaccedilatildeo pro-
blema descrita a seguir em que eacute apresentada uma maneira construtiva de explorarutilizar
as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
Situaccedilatildeo Problema A Desintegraccedilatildeo Radioativa consiste na emissatildeo espontacirc-
nea de raios (partiacuteculas e ondas) de nuacutecleo instaacutevel com o objetivo de adquirir estabilidade
em que um aacutetomo radioativo (por exemplo o Raacutedio e o Uracircnio) eacute transformado num ele-
mento quiacutemico diferente Essa transformaccedilatildeo faz com que a quantidade de substacircncia
original diminua a cada instante de forma que a desintegraccedilatildeo seja proporcional agrave massa
da substacircncia original presente no corpo naquele momento A constante (α) de proporci-
onalidade eacute especiacuteca para cada substacircncia e eacute determinada experimentalmente
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
Suponha hipoteticamente que um corpo de massa M0 seja formado por uma
substacircncia radioativa cuja taxa de desintegraccedilatildeo seja α Caso o processo de desintegraccedilatildeo
seja instantaneamente a cada segundo tem-se que para t = 0 a massa correspondente eacute
M0 Decorrido o tempo t = 1 segundo ocorreraacute uma perda de αM0 unidade de massa
restando somente a massa M1 = M0 minus αM0 = (1 minus α)M0 Para t = 2 segundos implica
que a massa restante seraacute dada porM2 = (1minusα)M1 = (1minusα)2M0 Esse processo pode ser
generalizado isto eacute apoacutes n segundos temos Mn = M0(1minus α)n Poreacutem a desintegraccedilatildeo
se processa de forma contiacutenua e natildeo apenas discreta Daiacute eacute necessaacuterio pensar que a
desintegraccedilatildeo seja feita em fraccedilotildees de intervalos de 1nde segundo Assim apoacutes a primeira
fraccedilatildeo de 1nde segundo a massa do corpo se reduziria para M0 minus α
nM0 =
(1minus α
n
)M0
Realizando uma subdivisatildeo do intervalo [0 1] em um nuacutemero n cada vez maior de particcedilotildees
iguais tem-se que a massa resultante se reduziria para a aproximaccedilatildeo(1minus α
n
)nM0
Logo quando n tender para o innito a expressatildeo(1minus α
n
)nM0 tenderaacute para M0e
minusα
Em linguagem moderna e avanccedilada tem-se limnrarrinfin
(1minus α
n
)nM0 = M0 lim
nrarrinfin
(1minus α
n
)n=
M0eminusα Caso se queira calcular a massa apoacutes t segundos eacute preciso dividir o intervalo [0 t]
em n partes iguais em que cada intervalo parcial receberaacute uma perda de massa de αtnM0
Repetindo esse processo encontra-se a expressatildeo que fornece a massa do corpo apoacutes t
segundo decorridos M(t) = M0eminusα A tiacutetulo de curiosidade vale a pena ressaltar que
a constante α eacute determinada a partir de um nuacutemero baacutesico denominado de meia-vida da
substacircncia (tempo necessaacuterio para que se desintegre a metade da massa de um corpo)
73 EXPLORANDOAS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS
IMPLICACcedilOtildeES
Comumente ao estudar conjuntos numeacutericos em particular ao estudar o con-
junto dos nuacutemeros racionais nos deparamos com nuacutemeros decimais innitos poreacutem perioacute-
dicos os quais satildeo denominados de diacutezimas perioacutedicas Dentre as diacutezimas perioacutedicas mais
ceacutelebres com absoluta certeza estaacute o nuacutemero decimal perioacutedico 0 999 Esse nuacutemero gera
bastante desconforto entre os alunos do Ensino Meacutedio principalmente quando o professor
de Matemaacutetica arma que 1 = 0 999 Anal de contas o que eacute uma diacutezima perioacutedica
e o que representa Esses questionamentos satildeo frequentes e recorrentes durante as aulas
de Matemaacutetica que requerem a utilizaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedicas
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 68
Conforme jaacute foi denido denominamos de diacutezima perioacutedica todo nuacutemero ra-
cional com representaccedilatildeo decimal innita e perioacutedica Haacute diacutezimas perioacutedicas simples e
compostas Nesse trabalho apenas far-se-aacute uma anaacutelise da formaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedi-
cas simples (por exemplo 0 111 0 353535 0 456456456etc)
As diacutezimas perioacutedicas em geral representam uma soma innita de termos de
uma progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo entre 0 e 1 Assim por exemplo a diacutezima perioacutedica
0 111 eacute equivalente a soma S = 0 1 + 0 01 + 0 001 + cujo primeiro termo coincide a
razatildeo numericamente igual a 0 1
Muitos problemas de matemaacutetica elementar exigem que o aluno de Ensino
Meacutedio determine a fraccedilatildeo geratriz correspondente a uma dada diacutezima perioacutedica Para
realizar tal feito os professores utilizam diversos recursos e artimanhas dentre as quais
eacute possiacutevel citar o meacutetodo em que haacute o repasse de uma foacutermula com bastante decoreba
e pouca compreensatildeo o meacutetodo que requer a utilizaccedilatildeo de artifiacutecio via equaccedilatildeo do 1o
grau e o meacutetodo de considerar a diacutezima como uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo (q) variando entre 0 e 1 A exposiccedilatildeo seguinte apenas expotildee
o meacutetodo de obtenccedilatildeo da diacutezima via comparaccedilatildeo como uma soma de termos de progressatildeo
geomeacutetrica innita
Para dar continuidade a exibiccedilatildeo eacute necessaacuterio estudar como eacute feita a soma dos
n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica nita Assim dada uma progressatildeo ge-
omeacutetrica (a1 a2 a3 middot middot middot an) dene-se a soma (S) dos termos dessa progressatildeo geomeacutetrica
da seguinte maneira
S = a1 + a2 + a3 + middot middot middot+ an = a1 + a1q + a1q2 + a1q
3 + middot middot middot+ a1qnminus1 (1)
Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo (1) pela razatildeo q tem-se
qS = qa1 + qa2 + qa3 + middot middot middot+ qan = qa1 + a1q2 + a1q
3 + a1q4 + middot middot middot+ a1q
n (2)
Subtraindo (1) de (2) membro a membro tem-se
qS minus S = a1qn minus a1 = a1(q
n minus 1)rArr S(q minus 1) = a1(qn minus 1)rArr S =
a1(qn minus 1)
q minus 1
Assim a soma (S) dos n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de
razatildeo (q) eacute dada em funccedilatildeo do primeiro termo da razatildeo e do nuacutemero de termos
Quando se dispotildee de uma diacutezima perioacutedica ou melhor de uma soma de termos
de progressatildeo geometria innita cuja razatildeo pertence ao intervalo (0 1) percebemos que
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 69
o termo qn se aproxima de zero a medida que n tende ao innito Em outra linguagem
o limite da soma (S) quando n tende ao innito eacute dado por
limnrarrinfin
S = limnrarrinfin
[a1(q
n minus 1)
q minus 1
]=a1 middot (minus1)q minus 1
=a1
1minus q
Como exemplo observe o caacutelculo da fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 0 999 middot middot middot
Note que 0 999 middot middot middot equivale a soma S = 0 9 + 0 09 + 0 009 + middot middot middot
Essa soma representa o somatoacuterio dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita cuja razatildeo eacute dada por q = 0 1 Substituindo a1 = 0 9 e q = 0 1 tem-se
S = limnrarrinfin
[0 9
[( 110)n minus 1
]0 1minus 1
]=
0 9 middot (minus1)0 1minus 1
=minus0 9minus0 9
= 1
Isto eacute o limite do somatoacuterio dos termos da progressatildeo geomeacutetrica innita em
questatildeo eacute igual a um quando tomamos n tendendo para o innito
Haacute uma seacuterie de problemas que utilizam de tais recursos dentre os quais se
destacam a formaccedilatildeo de determinados mosaicos o processo de divisatildeo celular via meiose
o processo decaimento radioativo etc
O estudo do somatoacuterio de uma quantidade innita resultar numa quantidade
nita aparece historicamente no paradoxo de Zenon (por volta do seacuteculo V aC) que
surpreendentemente promove uma corrida em forma de aposta entre um famoso guerreiro
(Aquiles) da Greacutecia antiga e uma tartaruga Nessa corrida Aquiles conhecedor de sua
superioridade oferece uma vantagem para tartaruga poreacutem Aquiles nunca alcanccedila a
tartaruga pois por mais devagar que ela caminhe quando ele chegar agrave posiccedilatildeo inicial da
tartaruga a mesma teraacute avanccedilado um pouco E quando Aquiles cobrir esta distacircncia
a tartaruga teraacute avanccedilado um pouco mais e assim sucessivamente Embora os gregos
soubessem que do ponto de vista praacutetico Aquiles seria o vencedor natildeo sabiam explicar
tal fato do ponto de vista matemaacutetico Eacute vaacutelido ressaltar que tal ausecircncia de clareza por
parte dos matemaacuteticos gregos era justicada pela ausecircncia do conhecimento das noccedilotildees
intuitivas de limite Note que o limite da diferenccedila entre as distacircncias entre os dois
corredores tende para zero
Aleacutem de Zenon outro matemaacutetico grego percebeu e calculou com bastante
habilidade a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica com innitos termos cuja
razatildeo estava compreendida entre 0 e 1 Nessa eacutepoca o mestre de Siracusa (Arquimedes)
estava estudando e analisando quadraturas Para isso ele utilizava dois meacutetodos antigos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 70
de muito prestiacutegio O meacutetodo de Equiliacutebrio de autoria do proacuteprio Arquimedes e o meacutetodo
da Exaustatildeo credita a Eudoxos Numa de suas pesquisas em busca da quadratura de um
segmento paraboacutelico Arquimedes conseguiu demonstrar experimentalmente via meacutetodo
de Equiliacutebrio que a aacuterea do segmento de paraacutebola correspondia a 43da aacuterea do triacircngulo
inscrito no segmento paraboacutelico Essa demonstraccedilatildeo ismiuccedilada em CONTADOR (2012)
[6] Arquimedes utilizou o conhecimento dessa proposiccedilatildeo para realizar a quadratura da
paraacutebola Nesse trabalho foi encontrada pela primeira vez a soma de uma seacuterie innita
Acompanhe duas aplicaccedilotildees do estudo de somas de progressotildees geomeacutetricas
innitas cuja razatildeo (q) seja dada por |q| lt 1 e q natildeo nulo
Figura 712 Processo re-
cursivo de Quadrados
Figura 713 Processo
recursivo de Triacircngulos
Equilaacuteteros
Note que as guras acima determinam o comportamento das aacutereas e dos pe-
riacutemetros dos novos quadrados e dos novos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir dos
pontos meacutedios dos lados da gura anterior Para isso considere o quadrado inicial de
lado l e o triacircngulo equilaacutetero inicial de lado 2α
Note que as sequecircncias das aacutereas dos quadrados e dos triacircngulos equilaacuteteros
a partir do primeiro quadrado e do primeiro triacircngulo equilaacutetero satildeo dadas respectiva-
mente por(l2 l
2
2 l
2
4 l
2
8 middot middot middot
)e(a2radic3 a
2radic3
4 a
2radic3
8 middot middot middot
)
Por conseguinte a soma (SQ) das aacutereas dos innitos quadrados formados a
partir do quadrado primitivo de lado l representa uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo q = 12a qual seraacute dada por SQ = a1
1minusq =l2
2
1minus 12
=l2
212
= l2 Isto
eacute a soma (SQ) coincide com a aacuterea do quadrado primitivo de lado l Jaacute a soma (STE)
das aacutereas dos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir do triacircngulo equilaacutetero de lado 2a
tambeacutem representa uma soma de termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita de razatildeo
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 71
q = 14 a qual seraacute dada por STE = a1
1minusq = a2radic3
1minus 14
= a2radic3
34
= 43a2radic3 Isto eacute a soma (STE)
equivale a 43da aacuterea do triacircngulo equilaacutetero primitivo de lado 2a
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de
limite
A origem dessa discussatildeo iniciou-se na Greacutecia com a crise na Escola Pitagoacuterica
diante da descoberta de grandezas incomensuraacuteveis isto eacute apoacutes provarem que eacute impossiacutevel
existir um submuacuteltiplo comum (α) entre o lado (L) e a diagonal (D) de quadrado de lado
unitaacuterio tal que L = mα e D = nα
Nesse iacutenterim surgiu o questionamento da existecircncia de uma unidade comum
innitamente pequena (um submuacuteltiplo) de forma que ela pudesse medir o lado e a dia-
gonal do quadrado Caso tal existecircncia se conrmasse seria loacutegica a discussatildeo realizada
por volta do seacuteculo V aC pelo matemaacutetico grego Zenon que questionava o fato de que
uma soma innita pudesse ser nita ou ainda utilizando a linguagem moderna se seria
possiacutevel fazer com que o limite da diferenccedila entre as distacircncias percorridas por Aquiles
e a tartaruga tendesse a zero Segundo os anais da Histoacuteria da Matemaacutetica o paradoxo
de Zenon e suas consequecircncias assim como a descoberta das grandezas incomensuraacuteveis
satildeo relatos pioneiros e rudimentares da presenccedilaintervenccedilatildeo do conceito de limite num
problema matemaacutetico
Atualmente eacute possiacutevel concluir que se o segmento AB eacute incomensuraacutevel com
o segmento unitaacuterio α entatildeo a medida de AB eacute um nuacutemero irracional E como exemplo
ceacutelebre de nuacutemero irracional pode-se citar a medida da razatildeo aacuteurea (o famoso nuacutemero
de ouro 1+radic5
2) e a medida da diagonal de um quadrado de lado unitaacuterio cuja medida
corresponde ao nuacutemero irracionalradic2 Os exemplos escolhidos satildeo excelentes didaacuteticos e
histoacutericos Inclusive em GALARDA et al (1999) [13] haacute uma discussatildeo aberta sobre qual
nuacutemero irracional apareceu primeiro natildeo se sabe se foiradic2 ou
radic5 que primeiro revelou a
existecircncia de grandezas incomensuraacuteveis
Mesmo sabendo que natildeo eacute possiacutevel determinar com exatidatildeo o valor deradic2 eacute
possiacutevel relacionar aproximaccedilotildees por falta e por excesso de nuacutemeros racionais construindo
uma sequecircncia innita de nuacutemeros racionais tais que seus quadrados sejam todos menores
do que 2
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 72
Observe a tabela a seguir em que a primeira coluna representa uma sequecircncia
innita de nuacutemeros racionais a segunda coluna representa seus quadrados e a terceira
coluna representa a diferenccedila entre quadrado da diagonal e cada termo quadraacutetico na seacuterie
gerada Note que tomando aproximaccedilotildees com um nuacutemero reduzido de casas decimais
foi possiacutevel construir uma sequecircncia de quadrados em que com apenas seis iteraccedilotildees
tornou-se miacutenima a diferenccedila entre os valores quadraacuteticos da seacuterie formada e o nuacutemero 2
Assim pode-se tornar a diferenccedila tatildeo pequena quanto se queira aumentando o nuacutemero de
iteraccedilotildees Quando o nuacutemero de iteraccedilotildees tende ao innito de fato tem-se que a diferenccedila
tenderaacute a zero e consequentemente obteacutem-se o valorradic2
Tabela 72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais
Nuacutemero (xi) da Sequecircncia Quadrado de xi 2minus x2i1 1 1
14 196 004
141 19881 00119
1414 1999396 0000604
14142 1999962 0000038360000000237100000000000
141421 199999 0000010075900000128300000000000
Aleacutem de ser uma atividade rica de utilizaccedilatildeo da calculadora em sala de aula
eacute uma excelente oportunidade de expor de maneira compreensiva a inuecircncia de que a
noccedilatildeo de limite estaacute associada agrave ideia de incomensurabilidade
Eacute vaacutelido ressaltar que um procedimento anaacutelogo pode ser aplicado para caacutel-
culo do nuacutemero π por meio da divisatildeo do periacutemetro do poliacutegono regular inscrito pela
maior diagonal desse poliacutegono Quanto maior o nuacutemero de lados desse poliacutegono inscrito
mais proacuteximo do comprimento da circunferecircncia estaraacute seu periacutemetro e consequentemente
promoveraacute uma melhor aproximaccedilatildeo para o valor do nuacutemero π
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua
Embora sugira um aspecto bastante abstrato o nuacutemero de Euler (e) estaacute
presente em diversos processos de crescimento ou decrescimento exponencial dentre os
quais possui destaque o problema de aplicaccedilatildeo de um capital a uma taxa anual de k
com juros compostos capitalizados de forma contiacutenua durante t anos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 73
Suponha hipoteticamente que um determinado capital C0 seja aplicado a
juros de 100 ao ano
Caso sejam incorporados ao capital somente no nal do ano entatildeo ao nal de
um ano teriacuteamos o montante de R$ 200 para cada R$100 investido isto eacute o capital nal
acumulado apoacutes um ano eacute dado por
C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0
Agora a forma de incorporaccedilatildeo dos juros seraacute alterada poreacutem mantendo a
taxa anual de 100
Suponha que a referida taxa seja decomposta em duas taxas semestrais de
50 sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada semestre Daiacute segue que a
partir do capital inicial C0 haveraacute duas acumulaccedilotildees a serem consideradas A primeira
ocorreraacute ao nal do 1o semestre e a segunda ao nal do 2o semestre com a ressalva de
que o capital inicial a ser utilizado no caacutelculo do montante do 2o semestre coincide com o
montante acumulado ao nal do 1o semestre Em outras palavras ou melhor adotando
a linguagem moderna da matemaacutetica tem-se
1 Capital apoacutes o nal do 1o semestre
C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)
rArr C12 = C0(1 + 12)
2 Capital apoacutes o nal do 2o semestre
C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)
rArr C1 = C0(1 + 12)2
3 Suponha que a referida taxa seja decomposta em quatro taxas trimestrais de 25
sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada trimestre Capital apoacutes o
nal do 1o trimestre
C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)
rArr C14 = C0(1 + 14)
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 74
4 Capital apoacutes o nal do 2o trimestre
C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)
rArr C24 = C0(1 + 14)2
5 Capital apoacutes o nal do 3o trimestre
C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)
rArr C34 = C0(1 + 14)3
6 Capital apoacutes o nal do 4o trimestre
C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)
rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4
7 Caso a capitalizaccedilatildeo fosse mensal seria necessaacuterio subdividir ano e a taxa anual de
100 em 12 partes iguais daiacute o resultado seria
C1 = C0(1 + 112)12
8 Caso a incorporaccedilatildeo seja realizada de forma diaacuteria seria preciso subdividir o ano e
a taxa anual de 100 em 365 partes iguais daiacute segue que
C1 = C0(1 + 1365)365
Generalizando o fenocircmeno isto eacute subdividindo o ano e a taxa anual de 100
em n partes iguais e considerando-se que os juros satildeo incorporados ao capital no nal de
cada periacuteodo tem-se
C1 = C0(1 +1
n)n
Esquematizando uma tabela com o objetivo de analisar o comportamento da
expressatildeo (1 + 1n)n quando n cresce indenidamente tem-se
Note que a expressatildeo (1 + 1n)n aproxima-se indenidamente para um nuacutemero
decimal natildeo perioacutedico (nuacutemero irracional ou transcendental) denominado de nuacutemero de
Euler Tal nuacutemero eacute representado por e Uma aproximaccedilatildeo suciente com trecircs casas
decimais para tal nuacutemero eacute dada por e asymp 2 718
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 75
Tabela 73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler
Subdivisatildeo Fator de Acumulaccedilatildeo
n (1 + 1n)n
1 2
2 225
3 237037037
4 244140625
5 248832
10 259374246
50 2691588029
100 2704813829
1000 2716923932
10000 2718145927
100000 2718268237
1000000 2718280469
Assim conclui-se que um capital C0 aplicado a uma taxa de 100 ao ano
com capitalizaccedilatildeo contiacutenua (a cada instante) resultaraacute ao nal do 1o ano um valor C1 tal
que C1 = C0 middot e
Isto eacute quando n tende ao innito (incorporaccedilatildeo de juros de forma continuada
instantacircnea) tem-se que (1 + 1n)n tende para o nuacutemero irracional e
Eacute importante observar que caso a aplicaccedilatildeo seja a uma taxa anual de k ao
ano ao nal de um ano haveraacute um capital expresso por C1 = C0 middot ek Jaacute no nal de t
anos C1 = C0 middot ekt
Uma excelente demonstraccedilatildeo de modelagem matemaacutetica que faz uso do nuacutemero
de Euler de maneira construtiva e natildeo imperativa embora seja uma situaccedilatildeo hipoteacutetica
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteL-
CULO
Conforme jaacute foi visto nas atividades propostas na seccedilatildeo 621 o caacutelculo da
aacuterea de uma regiatildeo com algum lado curviliacuteneo natildeo eacute tatildeo oacutebvio como o caacutelculo da aacuterea de
uma regiatildeo poligonal Quando se pretende analisar a regiatildeo abaixo da curva cujo graacuteco
natildeo eacute retiliacuteneo em sua totalidade com o intuito de obter a medida da aacuterea sob a curva
a resoluccedilatildeo desse problema eacute realizada novamente por aproximaccedilatildeo da aacuterea da faixa de
hiperboacutele a ser calculada por um poliacutegono retangular inferior como se consideraacutessemos
a funccedilatildeo constante em cada instante e somaacutessemos todos os aacutereas dos retacircngulos ideais
Essa estrateacutegia eacute bastante motivadora poreacutem para que a estimativa seja boa eacute necessaacuterio
realizar um nuacutemero de iteraccedilotildees relativamente grande Para calcular aacuterea sob o graacuteco de
uma funccedilatildeo curviliacutenea utilizando a construccedilatildeo de poliacutegonos retangulares acrescentaremos
ao raciociacutenio a aproximaccedilatildeo via retacircngulos superiores fazendo com que a soma das aacutereas
desses retacircngulos (poliacutegono retangular inscrito e circunscrito) seja estimada tanto por
excesso quanto por falta
Eacute possiacutevel generalizar os casos tomando uma funccedilatildeo natildeo negativa e contiacutenua
num dado intervalo e dividi-lo em n subintervalos de mesmo comprimento em que cada
particcedilatildeo conteraacute um retacircngulo de mesma base de acordo com o nuacutemero de particcedilotildees e
cuja altura consiste no valor da funccedilatildeo numa dada extremidade do retacircngulo considerado
poreacutem seraacute proposto um processo mais construtivo que trabalha de forma concreta com
um nuacutemero de casos palpaacutevel por meio da anaacutelise de graacutecos de funccedilotildees quadraacuteticas de
hipeacuterboles equilaacuteteras e de funccedilotildees exponenciais O procedimento geral citado fornece
uma excelente aproximaccedilatildeo e o mesmo eacute amplamente encontrado nos livros de caacutelculo
com a denominaccedilatildeo popularmente conhecida como Somas de Riemann Nele ao tender
o nuacutemero de iteraccedilotildees (subdivisotildees do intervalo) para o innito tem-se que as somas de
Riemann tendem para o valor da aacuterea (A) da regiatildeo sob a curva que eacute denominada de
integral denida ou seja limnrarrinfin
S(n) =nsumk=1
f(xk) 4 x em que f(xk) e 4x representam
altura e comprimento do retacircngulo k
Observe a gura construiacuteda via GeoGebra com vinte retacircngulos inferiores e
superiores sob a curva da funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Note que a soma das aacutereas dos
retacircngulos inferiores (Si) (destacados de azul) e a soma das aacutereas dos retacircngulos superiores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 77
(Ss) (destacados de vermelho) para um nuacutemero de vinte intervalos iguais nos fornece uma
ideia de que a aacuterea pretendida estaacute compreendida entre 031 e 036 Isso serve como
instrumento empiacuterico para raticar uma armaccedilatildeo (quadratura da paraacutebola) demonstrada
na seccedilatildeo 621 em que foi constatado que a aacuterea da faixa de paraacutebola no intervalo [0 1]
mede 13
Figura 714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito)
Fonte Geogebra
Na mesma linha da anaacutelise anterior poreacutem com maior riqueza de detalhes e
consequecircncias pode analisar o comportamento do ramo positivo de uma hipeacuterbole equi-
laacutetera e da parte pertencente ao primeiro quadrante do graacuteco da funccedilatildeo exponencial
Somente seraacute realizada a anaacutelise do signicado geomeacutetrico da aacuterea de uma faixa de hi-
peacuterbole equilaacutetera Via GeoGebra proponha a construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x
e por meio do comando SomaDeRiemann solicite o caacutelculo de aproximaccedilotildees para a aacuterea
pretendida
Inicialmente proponha o caacutelculo da aacuterea do poliacutegono retangular inscrito e
circunscrito para n = 8 isto eacute pretende-se que o aluno determine uma aproximaccedilatildeo para
o valor da aacuterea da faixa da hipeacuterbole para uma subdivisatildeo de oito retacircngulos de mesmo
comprimento Veja o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo descrita
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 78
Figura 715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8
Fonte Geogebra
Espera-se que o aluno seja capaz de calcular a aacuterea da faixa de hipeacuterbole
denotada por H31 realizando o maior nuacutemero de iteraccedilotildees de subdivisotildees do intervalo
[1 3] Por exemplo ao dividi-la em oito particcedilotildees de mesmo comprimento encontra-se
os valores das abscissas 1 54 64 74 84 94 104 114 e 124 E calculando suas
respectivas imagens tem-se 1 45 46 47 48 49 410 411 e 412 Realizando o
caacutelculo da soma dos retacircngulos inferiores obteacutem-se
S =1
4middot 45+
1
4middot 46+
1
4middot 47+
1
4middot 48+
1
4middot 49+
1
4middot 410
+1
4middot 411
+1
4middot 412
rArr S asymp 1 019
O passo seguinte para o prosseguimento da atividade e para completar o racio-
ciacutenio depende de cada professor poreacutem eacute recomendaacutevel solicitar aos alunos que reproduza
a situaccedilatildeo descrita para outros valores de n por exemplo para n = 10 considerando o
intervalo de 1 ateacute 2 Seguindo esse procedimento espera-se que o aluno consiga calcular a
aacuterea com uma precisatildeo de cerca de 067 Observe o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo mencionada
Nesse momento o professor deve intervir diretamente na atividade inserindo
a deniccedilatildeo geomeacutetrica do logaritmo natural de x como a aacuterea da faixa de Hipeacuterbole de 1
ateacute x ou seja ln x = Aacuterea(Hx1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 79
Figura 716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10
Fonte Geogebra
A partir dessa deniccedilatildeo eacute possiacutevel questionar os alunos sobre a existecircncia de
uma dada abscissa que representaraacute a aacuterea de medida igual a 1 unidade Aleacutem disso pode-
se conjecturar uma boa aproximaccedilatildeo entre nuacutemeros inteiros para o nuacutemero neperiano (e)
de acordo com o estudo exposto acima Enm eacute necessaacuterio orientar os alunos com a
nalidade dos mesmos investigarem a existecircncia de uma aacuterea de uma faixa de hipeacuterbole
variando de 1 ateacute um certo x cuja aacuterea seja unitaacuteria ou equivalentemente procurar o
valor de x tal que ln x = Aacuterea(Hx1 ) = 1 A conclusatildeo obtida pelos alunos deve admitir a
existecircncia dessa abscissa e estimar que o valor procurado pertencente ao intervalo entre
2 e 3 Pode-se demonstrar que o valor de x em questatildeo trata-se do nuacutemero irracional e
cuja melhor aproximaccedilatildeo eacute dada por e = 2 718281828459 Nesse ponto eacute satisfatoacuterio
que o professor faccedila uma reexatildeo comparando o nuacutemero obtido com o nuacutemero de Euler
surgido ao resolver o problema de capitalizaccedilatildeo contiacutenua proposto historicamente pelos
irmatildeos Bernoulli
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 80
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri
O procedimento que seraacute apresentado a seguir consiste basicamente num re-
sumo dos estudos realizados no seacuteculo XVII pelo matemaacutetico Bonaventura Francesco
Cavalieri que recebeu forte inuecircncia dos predecessores Arquimedes Kepler Galileu e
Fermat
Esse grandioso trabalho de Cavalieri foi publicado em 1635 e foi intitulado de
Geometria indivisibilibus O meacutetodo proposto considerava um soacutelido formado pela reuniatildeo
de conjunto innito de planos isto eacute seu princiacutepio dizia que qualquer grandeza (plana ou
soacutelida) pode ser dividida numa quantidade innita de porccedilotildees (lacircminas) com espessura
innitesimal de tal modo que mantenham entre si proporccedilotildees desejadas
Segundo CONTADOR (2012 p 214) [7] um dos princiacutepios norteadores do
meacutetodo de Cavaliere dizia que se dois soacutelidos nos quais qualquer plano secante a eles e
paralelo a um plano dado determina neste soacutelido planos cuja razatildeo eacute constante entatildeo a
razatildeo entre os volumes destes soacutelidos tambeacutem seraacute constante
Observe por meio da utilizaccedilatildeo da linguagem moderna da matemaacutetica como
Cavalieri obteve a aacuterea lateral de um cilindro a aacuterea supercial da esfera e volume do
cone de revoluccedilatildeo a partir da reproduccedilatildeo de ideias publicadas em CONTADOR (2012)
[7]
Inicialmente eacute necessaacuterio considerar um soacutelido qualquer com bases paralelas
de altura h e aacuterea S e de volume (VL) dado por VL = Sh Agora imagine uma superfiacutecie
como uma lacircmina soacutelida em que sua altura h eacute innitamente pequena logo seu volume e
sua aacuterea seratildeo praticamente iguais ou seja S = VL
bull a) Caacutelculo da aacuterea (S) lateral de um cilindro
Eacute notoacuterio e consensual que o procedimento adotado na maioria dos livros di-
daacuteticos (caacutelculo da superfiacutecie lateral do cilindro reto eacute obtido a partir de uma regiatildeo
retangular de altura h e base 2π) possui uma abordagem excelente aos olhos da didaacutetica
e de acordo com a visatildeo criacutetica dos alunos tal procedimento eacute considerado de faacutecil assi-
milaccedilatildeocompreensatildeo contribuindo de modo satisfatoacuterio para o ensinoaprendizagem O
procedimento a ser apresentado tem como proposta o caacutelculo da aacuterea lateral de um cilindro
de altura h e raio da base igual a (r + x) a partir do volume VA do anel ciliacutendrico consi-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 81
derando x como uma espessura innitamente pequena pois a partir dessas consideraccedilotildees
eacute possiacutevel inserir a aplicaccedilatildeo das noccedilotildees de limite de uma maneira construtiva
Figura 717 Anel Ciliacutendrico
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 333
Note que o volume do cilindro interno de raio r e altura h eacute dado por Vi =
πr2h Jaacute o volume do cilindro externo de raio (r + x) e de mesma altura h eacute dado por
Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h
Assim o volume do anel ciliacutendrico seraacute dado por
VA = Ve minus Vi
rArr VA = πh(r2 + 2rx+ x2)minus πr2h
rArr VA = πh(2rx+ x2)
rArr VA = πh2rx+ πhx2
Fazendo a divisatildeo por x tanto do 1o membro quanto do 2o membro igualdade
tem-se
rArr VAx
= πh2r + πhx
Como VA = S middot x rArr S = VAx
e sabendo que x eacute innitamente pequeno segue
que a 2a parcela da soma do 2o membro tambeacutem seraacute tatildeo pequena ao ponto de consideraacute-la
nula
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 82
Assim
rArr VAx
= S = 2πhr
Observe que de fato S eacute aacuterea do retacircngulo de altura h e de base idecircntica ao
comprimento de um circunferecircncia de raio r
bull b) Caacutelculo da aacuterea da esfera (S)
O caacutelculo da aacuterea da superfiacutecie de uma esfera seraacute feito a partir da diferenccedila
entre os volumes das esferas externa e interna cujos raios satildeo (r+h) e r respectivamente
Figura 718 Casca de Esfera
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 337
VCasca = Ve minus Vi
rArr VCasca =4
3π(r + h)3 minus 4
3πr3
rArr VCasca =4
3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)
rArr VCasca =4
3π(3r2h+ 3rh2 + h3)
Utilizando procedimento anaacutelogo isto eacute dividindo ambos os termos por h
tem-se
rArr VCascah
=4
3π(3r2 + 3rh+ h2)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 83
Como VCasca = S middothrArr S = VCasca
he sabendo-se que h eacute innitamente pequeno
segue queVCascah
= S =4
3πr2
bull c) Caacutelculo do volume do cone de revoluccedilatildeo
Antes de deduzir a foacutermula VCone = 13πr2h em que r e h representam o raio e a
altura do cone respectivamente eacute vaacutelido ressaltar que historicamente esse feito eacute creditado
inicialmente a Demoacutecrito (c 410 aC) e sua evoluccedilatildeo posteriormente a Arquimedes que
utilizou brilhantemente seu meacutetodo de equiliacutebrio para conjecturar e o meacutetodo da exaustatildeo
de Eudoxo para provar a validade dessa relaccedilatildeo De acordo com EVES (2004) [11] o
pioneiro no Caacutelculo do volume do cone foi Demoacutecrito
() A chave eacute fornecida por Plutarco ao relatar o dilema a que chegoucerta vez Demoacutecrito quando considerou a possibilidade de um cone serformado de uma innidade de secccedilotildees planas paralelas agrave base Se duassecccedilotildees adjacentes fossem do mesmo tamanho o soacutelido seria um cilindroe natildeo um cone Se por outro lado duas secccedilotildees adjacentes tivessem aacutereasdiferentes a superfiacutecie do soacutelido seria formada de uma seacuterie de degrauso que certamente natildeo se verica Nesse caso se assumiu que o volumedo cone pode ser subdividido indenidamente (ou seja numa innidadede secccedilotildees planas atocircmicas) mas que o conjunto dessas secccedilotildees eacute contaacute-vel no sentido de que dada uma delas haacute uma outra que lhe eacute vizinhasuposiccedilatildeo que se situa ateacute certo ponto entre as duas jaacute consideradassobre a divisibilidade de grandezas Demoacutecrito pode ter argumentadoque se duas piracircmides de bases equivalentes e alturas iguais satildeo seccio-nadas por planos paralelos agraves bases vericando-se a divisatildeo das alturasnuma mesma razatildeo entatildeo as secccedilotildees correspondentes assim formadas satildeoequivalentes Portanto as piracircmides conteacutem o mesmo nuacutemero innito desecccedilotildees planas equivalentes o que implica que seus volumes devem seriguais Tem-se aiacute o que seria um exemplo primitivo do chamado meacutetododos indivisiacuteveis de Cavalieri () (EVES [11] 2004 p 420)
Considere o cone de diacircmetro da base AB = 2r e altura H composto pela
junccedilatildeo de n cilindros de raios variando de 0 agrave r e de altura h extremamente pequena tal
que h = Hn
Considere um desses cilindros ideais de ordem k a partir do veacutertice C e raio r1
de tal maneira que o cone que dividido em duas partes Note que eacute possiacutevel por meio da
semelhanccedila de triacircngulos relacionar rr1 H e H1 de tal modo que seja dado em funccedilatildeo
de r k e nr
r1=
H
H1
rArr r
r1=
HkHn
rArr r1 =rk
n
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 84
Figura 719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 339
O volume do cilindro de ordem k seraacute dado por
VCilindro = πr21h
rArr VCilindro = πr2k2
n2
H
n
rArr VCilindro = πr2H1
n3k2
Assim o volume do cone seraacute dado pelo somatoacuterio de todos os cilindros ideais
com k variando de 1 a n
VCone = πr2H1
n312 + πr2H
1
n322 + πr2H
1
n332 + πr2H
1
n342 + middot middot middot+ πr2H
1
n3n2
= πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
Sabe-se que 12+22+32+42+ middot middot middot+n2 = n3
3+ n2
2+ n
6 A validade dessa relaccedilatildeo
pode ser obtida pelo Princiacutepio da Induccedilatildeo Matemaacutetica ou a partir do desenvolvimento do
binocircmio (1 + k)3 = 1+ 3k + 3k2 + k3 variando k de 0 a n e adicionando as igualdades de
ambos os membros (vide em CONTADOR (2012) [8]) Embora essa abstraccedilatildeo algeacutebrica
seja possiacutevel de ser aplicada aos alunos do Ensino Meacutedio a demonstraccedilatildeo geomeacutetrica
consiste num procedimento mais construtivo e de faacutecil assimilaccedilatildeo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 85
Inicialmente faremos a apresentaccedilatildeo da prova geomeacutetrica para a soma dos
nuacutemeros inteiros de 1 a n isto eacute S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n = n(n+1)2
dado que a mesma
seraacute necessaacuteria para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo 12+22+32+42+
middot middot middot+ n2 = n3
3+ n2
2+ n
6= n(n+1)(2n+1)
6()
Antes de generalizar os casos eacute imprescindiacutevel realizar os caacutelculos para um
caso particular por exemplo n = 6 com o intuito de motivar e aguccedilar a curiosidade
dos alunos Aleacutem de contribuir de maneira satisfatoacuteria para a formaccedilatildeo da conjectura dos
alunos
A gura seguinte ilustra a soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) em que a coluna i eacute
composta por i quadrados
Figura 720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Fonte Geogebra
Ao girar a gura anterior e encaixaacute-la tem-se um retacircngulo de base 6 e altura
7 conforme ilustra a imagem seguinte
Note que a medida da aacuterea do retacircngulo construiacutedo eacute dada por 6 middot7 = 6 middot(6+1)
A partir daiacute eacute possiacutevel concluir que a soma (1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6) pretendida
representa a metade do retacircngulo construiacutedo isto eacute
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)
2
Para generalizar o procedimento eacute necessaacuterio construir um retacircngulo de base
n e altura (n + 1) a partir das n colunas que representam geometricamente a soma S =
1 + 2 + 3 + middot middot middot + n A aacuterea (A) do retacircngulo construiacutedo seraacute dada por A = n middot (n + 1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 86
Figura 721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7
Fonte Geogebra
De forma anaacuteloga a soma desejada (S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n) representa a metade do
retacircngulo n(n+ 1) isto eacute
S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot+ n =n(n+ 1)
2
Enm para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo () faz-se ne-
cessaacuterio implementar ideias semelhantes com as devidas ressalvas
Repetindo o procedimento realizado para um caso particular da soma dos 6
primeiros quadrados perfeitos (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)
As guras a seguir sugerem uma visatildeo geomeacutetrica do procedimento detalhado
Note que para realizar o preenchimento eacute preciso acrescentar um quadrado na 2a linha
um quadrado e um retacircngulo (2x1) na 3a linha um quadrado um retacircngulo (2x1) e
retacircngulo (3x1) na 4a linha assim por diante
Logo a aacuterea (A) do retacircngulo (ABCD) cuja base mede b = (1+2+3+4+5+6)
e cuja altura mde 6 unidades eacute dada por A = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) middot 6
Equivalentemente tal aacuterea pode ser calculada a partir da soma das aacutereas que
compotildee o retacircngulo (ABCD) isto eacute
A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]
rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1
(1 + i)i
2]
Portanto tem-se
1+22+32+42+52+62 = (1+2+3+4+5+6)middot6minus[5sumi=1
(1 + i)i
2] = (
6(6 + 1)
2)middot6minus1
2middot[5sumi=1
i+5sumi=1
i2])
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 87
Figura 722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
Fonte Geogebra
Figura 723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
Fonte Geogebra
Daiacute segue que
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot5sumi=1
iminus 1
2middot5sumi=1
i2
rArr6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot5sumi=1
i2
Ainda eacute possiacutevel manipular a referida expressatildeo com o intuito de melhorar a
visualizaccedilatildeo
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot ([
6sumi=1
i2]minus 62)
rArr6sumi=1
i2 +1
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 88
rArr 3
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =62 + 6
2minus 62 minus 6
2+
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)
4
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
4
rArr6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
6
Generalizando o procedimento ou seja representando geometricamente a soma
dos quadrados (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + middot middot middot + n2) de 1 ateacute n e em seguida completando a
gura ateacute que se forme um retacircngulo de base (1+2+3+4+5+ middot+n) e altura n tem-se
6sumi=1
i2 = 1 + 22 + 32 + middot middot middot+ n2 =n(2 middot n+ 1)(n+ 1)
6
Assim dispondo da relaccedilatildeo que representa a soma dos quadrados segue que
VCone = πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
= πr2H1
n3
(n3
3+n2
2+n
6
)= πr2H
(1
3+
1
2n+
1
6n2
)
Como n tende ao innito segue que as fraccedilotildees que conteacutem denominador composto por n
poderatildeo ser desprezadas dado que tenderatildeo a zero Isto eacute o volume do cone seraacute dado
por
VCone =1
3πr2H
Recomenda-se que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada na 2a e 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
Acredita-se que em cinco aulas haacute tempo suciente para complementar todo o aparato de
discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Espacial
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse
Dispondo dos meacutetodos de quadratura do ciacuterculo realizados por Arquimedes
dos conceitos baacutesicos de Geometria Analiacutetica difundida por Descartes e Fermat e aleacutem
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 89
disso dos princiacutepios de Cavalieri eacute possiacutevel aplicar tais ideias para ampliar o estudo de
cocircnica deduzindo a foacutermula para o caacutelculo da aacuterea de uma elipse isto eacute descobrir a
relaccedilatildeo de proporccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo para a elipse de eixo maior igual ao diacircmetro do
ciacuterculo formalizada por Johannes Kepler
Figura 724 Elipse inscrita numa circunferecircncia
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p339
Considere o semi-ciacuterculo de raio r = a e a semi-elipse de semi-eixos positivos
a e b com a gt b A partir dessa convenccedilatildeo eacute possiacutevel descrever as equaccedilotildees reduzidas do
ciacuterculo e da elipse
x2 + y2 = a2 ex2
a2+y2
b2= 1
Escrevendo y em funccedilatildeo de x e tomando o 1o quadrante por simetria am de
que ambos os radicandos sejam positivos tem-se
y =radica2 minus x2
eyprime2
b2= 1minus x2
a2rArrradicb2 minus x2 b
2
a2
rArr yprime =
radicb2(1minus x2
a2
)
=
radicb2(a2 minus x2a2
)=b
a
radica2 minus x2
Ou seja yprime = bay (a razatildeo entre duas cordas verticais correspondentes da elipse
e do ciacuterculo eacute ba)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 90
Note que apesar de adotar a variaacutevel y em cada funccedilatildeo y e yprime satildeo diferentes
isto eacute representam para cada abscissa x ordenadas com valores distintos
Se as ordenadas do ciacuterculo e elipse y e yprime respectivamente guardam entre si a
relaccedilatildeo ba segue que suas aacutereas vatildeo manter a mesma razatildeo Essa armaccedilatildeo eacute garantida
pelo primeiro princiacutepio de Cavalieri em que EVES (2004 p426) [11] destaca Se duas
porccedilotildees planas satildeo tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina
nas porccedilotildees segmentos de reta cuja razatildeo eacute constante entatildeo a razatildeo entre as aacutereas dessas
porccedilotildees eacute a mesma constante Em linguagem moderna temos
Area da elipse
Area do circulo=b
a
rArr Area da elipse =b
aArea do circulo
rArr Area da elipse =b
aπa2 = πab
Eacute vaacutelido ressaltar que a ideia acima pode ser estendida para comparar dois
soacutelidos (segundo princiacutepio de Cavalieri) e por meio dela pode-se deduzir a foacutermula para o
caacutelculo do volume da esfera
Eacute recomendaacutevel que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada durante a 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
A quantidade de aulas sucientes para expor tais ideias variaraacute de acordo com a proposta
do professor mas acredita-se que cinco aulas satildeo bastantes para complementar todo o
aparato de discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Analiacutetica e de Cocircnicas
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva
Ao analisar uma grandeza cuja variaccedilatildeo eacute tomada como constante em subin-
tervalos isto eacute como se a funccedilatildeo tivesse variaccedilatildeo de degrau em degrau e natildeo de forma
continuada haacute uma abordagem de forma impliacutecita das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
elementares de integral
Primeiramente o trabalho estaraacute focado no caso em que a funccedilatildeo eacute constante
em todo o intervalo positivo considerado Suponha que o interesse principal seja o caacutelculo
da aacuterea sob o graacuteco no intervalo considerado Nesse caso o problema se resume em medir
a aacuterea de um retacircngulo cuja base coincide com a variaccedilatildeo do intervalo considerado e a
altura corresponde ao valor xo e constante da funccedilatildeo xada
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 91
Nessa mesma tocircnica veja um exemplo graacuteco de uma funccedilatildeo constante (f(x) =
3x) via GeoGebra com poliacutegono regular inscrito para n = 100
Figura 725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante
Fonte GeoGebra
Figura 726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer
Fonte GeoGebra
A gura anterior representa o caso de uma grandeza positiva e natildeo constante
cuja variaccedilatildeo seja contiacutenua ao longo do intervalo considerado Nesse caso para calcular a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 92
aacuterea sob o graacuteco eacute preciso analisar o problema fragmentando o intervalo contiacutenuo em um
nuacutemero consideraacutevel de partes (degraus) com o intuito de que a grandeza seja analisada
como se fosse praticamente constante em cada subintervalo isto eacute a aacuterea solicitada eacute
obtida adicionando as aacutereas dos inuacutemeros retacircngulos inseridos no intervalo considerado
A gura a seguir ilustra o graacuteco de uma funccedilatildeo qualquer feita a matildeo livre via GeoGebra
com poliacutegono retangular inscrito com n = 10
Esse procedimento descrito acima eacute comum e rotineiro em diversas situaccedilotildees
cotidianas A estrateacutegia de resoluccedilatildeo eacute similar na maioria dos casos e consiste em racio-
cinar a funccedilatildeo dado como se fosse constante em pequenos trechos Tal fenocircmeno jaacute era
realizado desde o seacuteculo III aC por Arquimedes com auxiacutelio do meacutetodo da exaustatildeo Um
exemplo praacutetico motivacional e de faacutecil entendimento eacute a explicaccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo
como uma aproximaccedilatildeo via aacuterea de poliacutegonos regulares inscritos com nuacutemero de lados
em escala crescente e tendendo ao innito Observe a imagem abaixo que foi produzida
no software de geometria dinacircmica GeoGebra Note que haacute um controle deslizante res-
ponsaacutevel por determinar o nuacutemero de lados do poliacutegono regular inscrito Na imagem a
seguir o cursor do controle deslizante foi posicionado em N = 11 isto eacute fez-se surgir o
undecaacutegono regular inscrito Jaacute a gura ao lado estaacute representando o hectaacutegono regular
(poliacutegono regular de 100 lados) inscrito e construiacutedo tambeacutem via GeoGebra
Figura 727 Quadratura do ciacuterculo
para n = 11
Figura 728 Quadratura do ciacuterculo
para n = 100
Tomando uma funccedilatildeo contiacutenua y = f(x) qualquer preferencialmente natildeo
constante denida no intervalo positivo [a b] e supondo que a meta seja o caacutelculo da aacuterea
sob o graacuteco contido no 1o quadrante faz-se necessaacuterio uma subdivisatildeo do intervalo [a b]
em numerosos subintervalos praticamente constantes am de determinar a aacuterea sob o
graacuteco como uma aproximaccedilatildeo pela soma de todos os retacircngulos obtidos ao particionar o
intervalo [a b] Isto eacute considerando n subintervalos de comprimentos x1 x2 x3 middot middot middot xn e
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 93
cujas imagens (alturas dos retacircngulos) sejam y1 y2 y3 middot middot middot yn respectivamente e supostos
constantes em cada subintervalo tem-se uma aproximaccedilatildeo para a aacuterea S sob o graacuteco da
curva dada
S sim= x1y1 + x2x2 + x3y3 + middot middot middot+ xnyn
Note que aumentando o valor de n e reduzindo o comprimento dos subinter-
valos a aproximaccedilatildeo ca melhorada ou seja o valor real da aacuterea sob o graacuteco torna-se
muito proacuteximo da aproximaccedilatildeo considerada via soma de retacircngulos Eacute oacutebvio que ten-
dendo o valor de n para um nuacutemero innito de subdivisotildees sucessivas com as ressalvas
necessaacuterias de reduccedilatildeo dos comprimentos dos subintervalos a soma das innitas aacutereas dos
retacircngulos pertencentes aos trechos particionados tenderaacute para o valor real da aacuterea sob
o graacuteco da funccedilatildeo considerada Tal nuacutemero eacute conhecido como integral denida
Eacute vaacutelido ressaltar que o procedimento exibido acima pode ser contextualizado
aplicado e inserido de forma interdisciplinar com a disciplina de Fiacutesica ao calcular a
distacircncia d percorrida por um moacutevel com velocidade v(t) no intervalo de tempo [a b] ou
entatildeo no caacutelculo do trabalho T realizado por uma forccedila de direccedilatildeo constante e intensidade
f(x) no deslocamento de x de a ateacute b Tambeacutem eacute possiacutevel aplicar o estudo descrito para
calcular o volume de uma trombeta (soacutelido obtido pela rotaccedilatildeo do graacuteco particular
y = f(x) em torno do eixo x com a le x le b e f(x) ge 0) via cascas ciliacutendricas poreacutem essa
atividade pode ser encontrada nos livros de Caacutelculo citados anterioremente e seraacute deixada
como atividade suplementar pois foge ao escopo desse trabalho
Para raticar o estudo exibido propotildee-se um exerciacutecio que pode ser resolvido
passo a passo conforme etapas descritas a seguir
Exerciacutecio Calcule um valor aproximado para a aacuterea sob o graacuteco de f(x) =
100minus x2 no intervalo [0 10]
Atividade a ser desenvolvida no laboratoacuterio de informaacutetica com computadores
compostos por softwares de geometria dinacircmica (especialmente o GeoGebra) Aleacutem disso
eacute recomendaacutevel o uso de calculadora cientiacuteca ou de algum software de planilha (por
exemplo Excel ou CALC)
1o passo Utilize o GeoGebra para plotar o graacuteco da funccedilatildeo com as restriccedilotildees
discriminadas no enunciado
2o passo Inicialmente proponha uma subdivisatildeo do intervalo [0 10] em 5 su-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 94
bintervalos de comprimento igual a 2 Note que em cada subintervalo eacute preciso supor
f(x) constante e de valor correspondente ao ponto meacutedio do subintervalo
3o passo Calcule os valores de f(1) f(3) f(5) f(7) e f(9) Nesse momento
questione os alunos sobre o que essas imagens representam
4o passo Utilize a calculadora cientiacuteca ou uma planilha eletrocircnica para adi-
cionar a aacuterea dos cinco retacircngulos contidos nos subintervalos determinados A soma (S5)
eacute uma aproximaccedilatildeo para o valor da aacuterea sob o graacuteco da funccedilatildeo dada isto eacute eacute uma
estimativa para o valor da integral denida
5o passo Questione os alunos sobre o que aconteceraacute com a estimativaaproximaccedilatildeo
caso fosse uma nova subdivisatildeo em dez subintervalos de comprimento igual a 1 Oriente
os mesmos a realizarem tal experimento
6o passo Maximize o grau de abstraccedilatildeo da atividade supondo uma subdivisatildeo
do intervalo dado em n subintervalos de comprimento igual a 10n Solicite aos alunos que
calculem a nova aproximaccedilatildeo em funccedilatildeo de n fornecendo uma expressatildeo geral e ao nal
dessa tarefa questione os alunos sobre o que aconteceraacute com tal expressatildeo caso o valor de
n seja tendido ao innito
7o passo Revise todas as etapas melhorando a linguagem de forma gradual
e introduzindo uma simbologia de maneira a facilitar a escrita por exemplo insira a
notaccedilatildeo de somatoacuterios Caso observe a maturidade e a compreensatildeo dos conceitos de
maneira satisfatoacuteria por parte dos alunos insira a notaccedilatildeo moderna de limite junto aos
siacutembolos de somatoacuterios Aleacutem disso tambeacutem pode introduzir a simbologia de integrais
A expectativa dessa atividade eacute que a maioria dos alunos construa o graacuteco
no GeoGebra conforme as guras ilustrativas a seguir e que aproxime ao maacuteximo da aacuterea
sob o graacuteco via Soma de Riemann
Note que o aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees de cinco para dez fez com que a
aproximaccedilatildeo da aacuterea do poliacutegono retangular inferior melhorasse de 560 para 615 unidades
de aacuterea E mais aumentando o nuacutemero de interaccedilotildees de 10 para 100 fez com que a
aproximaccedilatildeo via aacuterea do poliacutegono retangular superior melhorasse de 715 para 67165
Tal realizaccedilatildeo conduz a seguinte conclusatildeo a aacuterea procurada eacute um nuacutemero entre 615
e 67165 Utilizando as ideias de Arquimedes sobre quadratura da paraacutebola eacute possiacutevel
constatar que a aacuterea desse segmento paraboacutelico (Asp) eacute dada por 43da aacuterea do triacircngulo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 95
inscrito de base medindo 10 unidades e altura medindo 100 unidades isto eacute Asp = 43de
10middot1002
= 20003
= 666 6
Figura 729 Poliacutegono Retangular
para n = 5
Figura 730 Poliacutegono Retangular
para n = 10
Figura 731 Poliacutegono Retangular
inscrito
Figura 732 Poliacutegono Retangular
circunscrito
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 96
Observe que a Figura 732 representa uma imagem ilustrativa de um poliacutegono
retangular superior em que eacute possiacutevel vericar que a aacuterea estaacute bem proacutexima do valor real
exibido anteriormente Note ainda que a medida que aumentamos o valor do cursor (n)
o poliacutegono retangular inscrito aproximasse cada vez mais da aacuterea da faixa de paraacutebola
pretendida (vide gura 731)
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica
O estudo de funccedilatildeo decorre da necessidade de analisar fenocircmenos descrever
regularidades interpretar interdependecircncias e generalizar Eacute preciso ter em mente que o
termo funccedilatildeo eacute mais abrangente e complexo do que a deniccedilatildeo apresentada ou seja eacute
necessaacuterio mostrar ao aluno que esse toacutepico usado de forma sistemaacutetica em exatas e no
seu cotidiano eacute de suma importacircncia para o meio social pois vaacuterias relaccedilotildees de mercado
e capital engenharia economia (micro e macro) sauacutede transportes induacutestrias artes
energia enm uma diversidade de aacutereas dependem de uma anaacutelise clara e objetiva da
funcionalidade de um modelo ou paracircmetro a ser adotado
Os casos em que haacute o emprego das noccedilotildees elementares no estudo de Fiacutesica
durante a etapa do ensino meacutedio satildeo frequentes e corriqueiros Observe os casos em que
eacute possiacutevel explorar tais ideias durante o ensino meacutedio
No 1o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Velocidade x Tempo (Deslocamento)
bull graacuteco de Aceleraccedilatildeo x Tempo (Velocidade)
bull graacuteco de Forccedila x Distacircncia (Trabalho)
bull graacuteco de Forccedila x tempo (Impulso)
No 2o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Trabalho realizado por um gaacutes ideal)
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Transformaccedilatildeo isoteacutermica)
bull graacuteco de calor especiacuteco x variaccedilatildeo de temperatura (Quantidade de Calor)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 97
No 3o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Corrente x Tempo (Carga)
bull graacuteco de Campo eleacutetrico x distacircncia (Forccedila eleacutetrica)
bull graacuteco de Resistecircncia x corrente (Tensatildeo)
Eacute possiacutevel citar outros casos mais especiacutecos poreacutem fogem ao escopo desse
material A seguir seraacute apresentado um estudo de catildeo referente ao caacutelculo da aacuterea sob o
graacuteco de uma dada relaccedilatildeo entre duas grandezas
A riqueza de tal estudo que eacute uma aplicaccedilatildeo baacutesica do caacutelculo integral vai
ao encontro dos ideais de interdisciplinaridade e contextualizaccedilatildeo defendidos pelos Paracirc-
metros Curriculares Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) [20] e pela Lei de Diretrizes e
Bases da Educaccedilatildeo (LDB) [30]
Os PCNEM (2002) [21] foram formulados a partir da discussatildeo entre especi-
alistas e educadores pertencentes aos domiacutenios do territoacuterio nacional Sua nalidade eacute
bastante abrangente dado que se pretende dar suporte as equipes escolares na execuccedilatildeo
de seus trabalhos com o intuito de promover o aperfeiccediloamento da praacutetica educativa por
meio de estiacutemulo e apoio agrave reexatildeo sobre a praacutetica diaacuteria ao planejamento de aulas e
ao desenvolvimento do curriacuteculo da escola de maneira a construir um processo contiacutenuo
de ensinoaprendizagem e a contribuir satisfatoriamente para a atualizaccedilatildeo prossional e
para a integraccedilatildeo ao mundo contemporacircneo nas dimensotildees fundamentais da cidadania e
do trabalho
Nesse iacutenterim que foca numa aprendizagem de formaccedilatildeo geral em que se pri-
oriza a aquisiccedilatildeo de conhecimentos a preparaccedilatildeo cientiacuteca e a capacidade de utilizar as
diferentes tecnologias relativas agraves aacutereas de atuaccedilatildeo a pretensatildeo dessa sequencia didaacutetico
tem a nalidade de contribuir para a transformaccedilatildeo do ensino meacutedio assim como formar
alunos capazes de buscar analisar e selecionar informaccedilotildees de modo criacutetico em detrimento
do ensino focado nos processos de memorizaccedilatildeo
A integraccedilatildeo e o uso da Matemaacutetica para justicar fatos da Fiacutesica sempre
foram e seratildeo mecanismos favoraacuteveis para o desenvolvimento da ciecircncia e da tecnologia
Eacute vaacutelido ressaltar que para propagar tais ideias eacute necessaacuterio discutircomentar
alguns preacute-requisitos matemaacuteticos e fiacutesicos de acordo com a seacuterie em que haacute pretensatildeo a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 98
aplicar a referida teacutecnica Eacute de suma importacircncia que o aluno saiba e domine os conceitos
de funccedilatildeo uacuteteis na construccedilatildeo do esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo proposta Assim a primeira
etapa de todo o processo consiste numa revisatildeo de toacutepicos de funccedilatildeo (1o grau 2o grau
exponencial logariacutetmica trigonomeacutetrica hipeacuterbole equilaacutetera etc) de acordo com o
enfoque que o professor trabalharaacute
Por exemplo caso o professor esteja interessado apenas em aplicar os conceitos
de limite agraves funccedilotildees do 1o grau cujos graacutecos seratildeo guras planas poligonais natildeo haacute
necessidade de explanar as demais funccedilotildees Jaacute o educador que pretende estudar tais
fenocircmenos que desembocam em graacutecos paraboacutelicos eacute preciso discutir com os alunos
toacutepicos relacionados ao estudo das funccedilotildees quadraacuteticas e suas relaccedilotildees graacutecas com o
estudo da paraacutebola Nos outros casos recomenda-se prosseguir com raciociacutenio anaacutelogo
O nuacutemero de aulas previstas de revisatildeo dependeraacute do niacutevel da turma em que se pretende
aplicar o trabalho
Aleacutem disso eacute preciso utilizar o laboratoacuterio de informaacutetica como recurso suple-
mentar para o ensino e manejo do software de geometria dinacircmica GeoGebra Em geral
de duas a quatro aulas satildeo sucientes para aprender a usar de forma baacutesica desde que haja
planejamento de atividades e interesse por parte discente e docente no aprimoramento da
utilizaccedilatildeo
Apoacutes o domiacutenio das ferramentas baacutesicas do GeoGebra eacute hora de propor a
plotagemconstruccedilatildeo de graacutecos Eacute recomendaacutevel que o professor inicie seu trabalho a
partir de uma situaccedilatildeo problema que empregaraacute conceitos de funccedilatildeo do 1o grau e que
implicaraacute na utilizaccedilatildeo dos conceitos fiacutesicos de acordo com a seacuterie momentacircnea Forneccedila
os dados via tabela via texto ou via foacutermula Solicite a interpretaccedilatildeo da funccedilatildeo com
questionamentos Quem eacute a variaacutevel dependente e a independente Como representamos
tal situaccedilatildeo gracamente O que representa o produto das variaacuteveis Etc
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea
Para compreender o signicado de velocidade instantacircnea de um moacutevel em
movimento faz-se necessaacuterio compreender o conceito de taxa de variaccedilatildeo
Considere que x = f(t) seja equaccedilatildeo que descreve o movimento do moacutevel
(funccedilatildeo horaacuteria do moacutevel) A velocidade meacutedia (vm) de um moacutevel entre os instantes t1
e t2 = t1 +4t eacute denida como a razatildeo entre variaccedilatildeo do espaccedilo percorrido pelo tempo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 99
gasto para executar tal deslocamento
vm =4S4t
=s2 minus s1t2 minus t1
=f(t2)minus f(t1)(t1 +4t)minus t1
=f(t1 +4t)minus f(t1)
4t
Tomando 4trarr 0 tem-se que vm tende para a velocidade instantacircnea isto eacute
vinstatanea = lim4trarr0
f(t1 +4t)minus f(t1)4t
A razatildeo f(t1+4t)minusf(t1)4t eacute denominada de Quociente de Newton Esse quociente eacute
bastante corriqueiro em problemas de Matemaacutetica (problemas de tangecircncia a curvas) Fiacute-
sica (velocidade instantacircnea aceleraccedilatildeo instantacircnea etc) Quiacutemica (quociente de reaccedilotildees
quiacutemicas) e Economia (problemas de custo marginal) No estudo de caacutelculo esse conceito
receberaacute o nome de derivada de uma funccedilatildeo em um dado ponto ou ainda representa
geometricamente a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacuteco no ponto (t f(t))
Nesse momento seria interessante propor atividades de cunho experimental
com carrinhos de exatildeo ou com problemas de queda livre Nessa tarefa aleacutem de realizar
anotaccedilotildees acerca de deslocamentos e tempos decorridos eacute interessante solicitar a cons-
truccedilatildeo de um esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo e propor questionamentos aos alunos acerca da
aacuterea sob o graacuteco da curva obtida ao traccedilar o graacuteco
Situaccedilatildeo Problema Caacutelculo da distacircncia d percorrida por um moacutevel com ve-
locidade v(t) no intervalo de tempo [a b]
1o caso Se a velocidade v(t) for constante e igual a v segue que
d = vt = v(bminus a)
2o caso Se a velocidade v(t) natildeo for constante em [a b] entatildeo eacute possiacutevel
adotar uma subdivisatildeo desse intervalo em n particcedilotildees de mesmo comprimento e supor
que a velocidade seja constante em cada subintervalo Isto eacute adotando t1 t2 t3 t4 middot middot middot tncomo comprimento desses subintervalos tem-se
d sim= v1t1 + v2t2 + v3t3 + middot middot middot+ vntn
Observe a situaccedilatildeo ilustrativa de aplicaccedilatildeo das ideias difundidas acima por
meio da anaacutelise da tabela que fornece a velocidade de um corpo que se desloca com
movimento retiliacuteneo em diversos instantes
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 100
Tabela 74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo
t(segundos) 0 1 2 3 4 5
v (ms) 2 5 8 11 14 17
Figura 733 Trapeacutezio retacircngulo
Fonte GeoGebra
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle
Um gaacutes sofre transformaccedilatildeo isoteacutermica quando haacute variaccedilatildeo da sua pressatildeo e do
seu volume sem que haja variaccedilatildeo de sua temperatura isto eacute a temperatura permanece
constante Daiacute se explica o nome da transformaccedilatildeo que eacute uma fusatildeo do prexo iso (do
grego iso = igual) com a palavra thermo (do grego thermo = calor)
Segundo a Lei de Boyle-Mariotte a pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo
inversamente proporcionais ou seja aumentando a pressatildeo o volume de gaacutes diminui
Um exemplo simples praacutetico e presente diariamente em nosso dia-a-dia eacute o
ecircmbolo de uma seringa Como a Pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo inversamente
proporcionais segue que PV = k Observe a situaccedilatildeo hipoteacutetica tabulada e a construccedilatildeo
do graacuteco a partir de tais dados Daiacute decorre que os pontos da curva geram de fato uma
hipeacuterbole Isto eacute por intermeacutedio da construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo (hipeacuterbole) y = 54x
eacute possiacutevel conjecturar um valor para o trabalho realizado no intervalo [3 24] O eixo das
abscissas conteacutem os valores do volume enquanto o eixo das ordenadas conteacutem os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 101
da pressatildeo do referido gaacutes em estudo
Tabela 75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio
Pressatildeo (atm) Volume (ml) Produto (P middotV )
3 18 54
6 9 54
12 45 54
18 3 54
24 225 54
Note que a aproximaccedilatildeo via poliacutegonos retangulares inferiores quanto a aproxi-
maccedilatildeo via poliacutegonos retangulares superiores estaacute tendendo para um nuacutemero entre 11212
e 11246 unidades de aacuterea Como a aacuterea em questatildeo representa o trabalho realizado pelo
gaacutes e conforme jaacute foi provada a referida aacuterea pode ser obtida a partir de uma subtraccedilatildeo
entre os logaritmos naturais das abscissas do intervalo [3 24] segue que o trabalho (T )
realizado seraacute dado por T = 54(ln 24minus ln 3) sim= 112 289
Figura 734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000
Fonte GeoGebra
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada
Eacute consenso entre os estudiosos do assunto de que a introduccedilatildeo do estudo de
derivadas deve ser realizada por meio de suas aplicaccedilotildees como por exemplo ao introduzir
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 102
conceitos de pressatildeo densidade da massa densidade da carga eleacutetrica e em problemas de
tangecircncia em determinados pontos de uma curva
Vaacuterios artigos da RPM jaacute mencionaram a importacircncia desse estudo e defen-
deram de forma ferrenha e de acordo com histoacuteria o estudo das derivadas Dentre os
inuacutemeros artigos que citam diretaindiretamente o ensino de derivadas merece destaque
os artigos de AacuteVILA (1991) [1] nas revistas de nuacutemero 18 23 e 60 e o artigo dos professores
WAGNER e CARNEIRO (2004) [32] na revista de nuacutemero 53
Analisando o artigo mais recente da RPM de nuacutemero 60 sobre o tema cuja
autoria eacute exclusiva do professor AacuteVILA (2006) [2] eacute possiacutevel vericar a possibilidade de
aplicaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular do estudo inicial de derivadas
no Ensino Meacutedio Nesse artigo o autor critica as abordagens feitas pelos livros didaacuteticos
e propotildee uma abordagem segundo a utilizaccedilatildeo de ferramentas do Caacutelculo diferencial e
integral com o intuito de promover um ensino baacutesico de forma ampla contextualizada e
harmocircnica com outras aacutereas do conhecimento
A princiacutepio AacuteVILA [2] apresenta o estudo das coordenadas do veacutertice de uma
paraacutebola conforme a maioria dos livros didaacuteticos nos apresenta isto eacute um amontoado de
proposiccedilotildees e foacutermulas sem justicativas e aceitas via decoreba sem demonstraccedilatildeo formal
ou intuitiva Um verdadeiro disparate dado que haacute uma desvinculaccedilatildeo entre deniccedilatildeo
do veacutertice e a funccedilatildeo propriamente dita cujo graacuteco eacute uma paraacutebola Segundo SANTOS
(2006) [24]
a deniccedilatildeo mais natural e contextualizada seria a de que o veacutertice daparaacutebola eacute o ponto que representa o extremo (maacuteximo ou miacutenimo) dafunccedilatildeo quadraacutetica sendo a abscissa o ponto onde esse extremo eacute atingidoe a ordenada o valor extremo assumido Dessa forma ao considerar umafunccedilatildeo quadraacutetica como um modelo matemaacutetico ca clara a importacircnciade se obter o veacutertice da paraacutebola ao interpretaacute-lo como o extremo dafunccedilatildeo (SANTOS [24] 2006 p4)
Eacute importante salientar que segundo AacuteVILA (2006) [2] para seguir os proacuteximos
passos propostos na RPM de nuacutemero 60 faz-se necessaacuterio uma abordagem inicial do estudo
de derivadas conforme a maior parte dos livros didaacuteticos de Caacutelculo apresenta em que o
limite das inclinaccedilotildees das retas secantes ao graacuteco de uma paraacutebola (y = ax2 + bx + c)
tende para (2ax+ b) A apresentaccedilatildeo desse estudo eacute feita posteriormente com auxiacutelio do
GeoGebra Caso natildeo seja suciente a atividade proposta eacute recomendado realizar uma
leitura criacutetica e minuciosa da exposiccedilatildeo desse assunto em STEWART (2006) [37]
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 103
A partir desses preacute-requisitos eacute possiacutevel introduzir as noccedilotildees elementares de
derivada difundidas no presente artigo Nele haacute uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica da derivada
relacionada ao coeciente angular da reta tangente ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica em
cada ponto descartando a anaacutelise via zeros da funccedilatildeo Como a inclinaccedilatildeo da reta tangente
no veacutertice da paraacutebola possui valor nulo uma vez que a reta tangente eacute horizontal segue
que a derivada da funccedilatildeo (f(x) = ax2+ bx+ c) no ponto que conteacutem a abscissa do veacutertice
eacute igual a zero isto eacute
f prime(x) = 0hArr 2axv + b = 0hArr minusb2a
Jaacute a ordenada yv pode ser obtida como a imagem da abscissa ou seja substituindo o
valor da abscissa do veacutertice na funccedilatildeo quadraacutetica
Nesse mesmo artigo AacuteVILA (2006) [2] cita uma aplicaccedilatildeo da derivada segunda
para uma anaacutelise da concavidade da paraacutebola e aleacutem disso tambeacutem faz uma citaccedilatildeo de
referecircncia a uma aplicaccedilatildeo da derivada como taxa de variaccedilatildeo no estudo de Mecacircnica na
Fiacutesica A explanaccedilatildeo com riqueza de detalhes caraacute a cargo do leitor pois assim evita-se
uma fuga demasiada do escopo da discussatildeo desse trabalho de dissertaccedilatildeo
Veja o esboccedilo da situaccedilatildeo descrita acima
Figura 735 Reta tangente a uma dada paraacutebola
Fonte RPM [2] n60
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 104
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada
Conforme a maioria dos livros didaacuteticos de caacutelculo propotildee recomenda-se que a
introduccedilatildeo do estudo de derivadas seja realizada a partir da situaccedilatildeo problema de traccedilar
a reta tangente a uma curva num determinado ponto
Se a gura curviliacutenea for uma circunferecircncia basta encontrar a reta que toca
a circunferecircncia em um uacutenico ponto Mas essa noccedilatildeo natildeo pode ser estendida como caso
geral pois haacute diversos exemplos de curvas qualquer em que uma dada reta intercepta
somente em um ponto e tal reta natildeo representa a reta tangente Por exemplo se a
referida curva fosse uma paraacutebola eacute oacutebvio que a reta vertical que representa o eixo da
paraacutebola intercepta a curva somente em seu veacutertice e tal reta natildeo representa uma reta
tangente da paraacutebola Sendo assim faz-se necessaacuterio criar uma deniccedilatildeo geral capaz de
ser utilizada em qualquer graacuteco curviliacuteneo
Para isso eacute necessaacuterio partir de uma situaccedilatildeo concreta por exemplo esco-
lhendo o graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Considere dois pontos nessa curva
P = (a f(a)) e Q = (a+h f(a+h)) A proposta exibida abaixo eacute referente a uma anaacutelise
da inclinaccedilatildeo das retas secantes quando Q se aproxima de P com a intenccedilatildeo de conjectu-
rar uma deniccedilatildeo precisa de reta tangente via razatildeo incremental (inclinaccedilatildeo coeciente
angular)
Observe o procedimento da situaccedilatildeo descrita via representaccedilatildeo no GeoGebra
cujos passos devem ser repassados conforme proposiccedilatildeo abaixo
1o passo Digite na linha de comandos (campo entrada) a lei de formaccedilatildeo da
funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2)
2o passo Crie dois controles deslizantes a e h O primeiro (a) com intervalo
de variaccedilatildeo de -10 ateacute 10 com incremento de 01 O segundo (h) com mesmo intervalo e
com mesmo de 001
3o passo Crie dois pontos (A e Q) O primeiro com coordenadas A = (a f(a))
e o segundo com coordenadas Q = (a+ h f(a+ h)) Em seguida crie a reta denida por
dois pontos (A e Q)
4o passo Crie uma razatildeo incremental (m) tal que
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 105
5o passo Solicite aos alunos que realize variaccedilatildeo no controle deslizante a e no
controle deslizante h
6o passo Mantenha o controle deslizante na posiccedilatildeo a = 1 e faccedila variaccedilotildees no
controle deslizante h
7o passo Solicite aos alunos que comparem o valor do coeciente angular da
reta AQ com o valor da razatildeo incremental (m) quando o ponto Q se aproxima do ponto
A em sua vizinhanccedila
A seguir observe as retas secantes ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2
com representaccedilatildeo de limites laterais (h = minus004 e h = 004) Eacute vaacutelido que apoacutes a
realizaccedilatildeo dos passos descritos e de analisar as conjecturas obtidas pelos alunos o professor
deve realizar diversos questionamentos acerca da atividade desenvolvida dentre os quais
o de maior destaque consiste em observar o que acontece na vizinha do ponto P = (1 1)
Figura 736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda)
Fonte GeoGebra
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 106
Figura 737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita)
Fonte GeoGebra
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada
Apoacutes realizar experimento via GeoGebra e incitar conjecturar a partir de inuacute-
meras modicaccedilotildees nos cursores (a e h) que conduzem alteraccedilotildees no ponto escolhido e no
incremento lateral analisado eacute hora de utilizar o quadro da sala de aula com o intuito
de realizar um estudo algeacutebrico das etapas a partir da anaacutelise da razatildeo incremental (m)
comparando com o valor do coeciente angular da reta secante AQ
Observe como seria o referido estudo analiacutetico e algeacutebrico
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
=f(a+ h)minus f(a)(a+ h)minus h
=(a+ h)2 minus a2
h
=2ah+ h2
h
= 2a+ h
Note que quanto mais proacuteximo o ponto Q estiver em relaccedilatildeo ao ponto A o
valor de h tenderaacute a zero isto eacute
limhrarr0
[m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
] = limhrarr0
[2a+ h] = 2a
Note que para a = 1 implica em m = 2 ou seja a inclinaccedilatildeo da secante
AQ tambeacutem seraacute igual a 2 e nesse momento a reta via GeoGebra secante deixa de
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 107
existir pois natildeo faz sentido para o programa divisatildeo com denominador nulo Mas eacute
vaacutelido ressaltar que a reta existe e trata-se da reta tangente cuja inclinaccedilatildeo (coeciente
angular ou razatildeo incremental) coincide com o valor da derivada no ponto A Caso o
professor ache conveniente introduza a notaccedilatildeo de derivada primeira num ponto qualquer
determinado (f prime(a) = 2a) Essa atitude de acordo com o niacutevel de abstraccedilatildeo da turma
pode ser um belo exemplo e uma boa alternativa de introduccedilatildeo das teacutecnicas e propriedades
de derivaccedilatildeo da funccedilatildeo polinomial
Na atividade proposta tambeacutem foi utilizada a funccedilatildeo quadraacutetica mas eacute vaacute-
lido salientar que haacute viabilidade e facilidade da extensatildeo para demais funccedilotildees (1o grau
exponencial logariacutetmica e ateacute mesmo a funccedilatildeo trigonomeacutetrica)
O problema descrito abaixo eacute referente a uma situaccedilatildeo problema de utilizaccedilatildeo
praacutetica do estudo de derivada com auxiacutelio do GeoGebra
1a Situaccedilatildeo problema Aplicaccedilatildeo num problema de maximizaccedilatildeo
Um terreno em formato retangular possui periacutemetro de medida igual a 74
metros A partir dessa informaccedilatildeo determine a medida dos lados desse retacircngulo para
que a aacuterea desse terreno seja maacutexima
Resoluccedilatildeo passo a passo via GeoGebra
1o passo Equacionar o problema a partir dos dados
Sejam a e b os lados do terreno em questatildeo
Como o periacutemetro mede 74 metros segue que 2a+ 2b = 74
Isto eacute a+ b = 37 que eacute equivalente a b = 37minus a
Como o problema solicita os valores das dimensotildees que geram aacuterea (S)maacutexima
segue que S = ab = a(37minus a) = minusa2 + 37a
2o passo Apoacutes o equacionamento construir via GeoGebra o graacuteco da funccedilatildeo
quadraacutetica obtida (f(x) = minusx2 + 37x)
3o passo Criar um controle deslizante (a) de intervalo de -50 a 50 com incre-
mento de 01
4o passo Criar um ponto de coordenadas P = (a f(a)) Em seguida criar
uma reta tangente no ponto P
5o passo Varie o controle deslizante e observe na janela de aacutelgebra os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 108
das ordenadas do ponto P
Observe a imagem da tela do GeoGebra apoacutes sequencia dos passos anteriores
Figura 738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular
Fonte Imagem capturada de janela do GeoGebra
Note que quando o ponto P atinge o veacutertice (V ) da paraacutebola as coordenadas
desse ponto satildeo dadas por V = (185 34225) Assim eacute possiacutevel concluir que a funccedilatildeo
aacuterea assume valor maacuteximo quando a reta tangente torna-se horizontal isto eacute a maacutexima
aacuterea ocorre quando a inclinaccedilatildeo da reta tangente eacute igual a zero e o retacircngulo torna-se um
quadrado de lado de medida 185 metros Utilizando a linguagem do caacutelculo eacute possiacutevel
dizer que a aacuterea eacute maacutexima quando a derivada no ponto P eacute igual a zero (vide imagem a
seguir)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 109
Figura 739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica
Fonte Imagem capturada da janela do GeoGebra
110
8 CONCLUSAtildeO
Ao tomar a decisatildeo nal de pesquisar sobre o tema em estudo e escrever uma
proposta de sequecircncia didaacutetica de resgate agrave inserccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
durante o Ensino Meacutedio eacute importante confessar que a princiacutepio tal ideia aparentemente
foi considerada absurda antiquada e de discussatildeo despreziacutevel Apoacutes nalizar todo o levan-
tamento de dados dessa dissertaccedilatildeo foi possiacutevel perceber quatildeo eacute pertinente tal discussatildeo
e quanto o ensino estaacute sendo negligenciado por professores experientes e de reputaccedilatildeo
ilibada no mercado da terceira etapa da educaccedilatildeo baacutesica
Assim como opinaram a maioria dos professores que atua na rede municipal
e estadual do Espiacuterito Santo nossa visatildeo a priori do tema da pesquisa era criacutetica e
contraacuteria agrave introduccedilatildeo de conceitos de limite deriva e integral Uma justicativa plausiacutevel
seria dizer que a clientela existente na educaccedilatildeo baacutesica diariamente estaacute constantemente
nos desapontando com problemas simples de matemaacutetica elementar e isso talvez tenha
contribuiacutedo para o equiacutevoco de considerar tal proposta absurda impossiacutevel e incompatiacutevel
com a realidade da maioria das escolas capixabas poreacutem em contrapartida eacute preciso
focar a atenccedilatildeo ao prejuiacutezo que estamos causando agravequela minoria de estudantes aacutevidos
pelo saber e que possuem alto grau de abstraccedilatildeo A preparaccedilatildeo de nossos alunos para
ingressarem no estudo de matemaacutetica superior natildeo estaacute sendo suciente Isso pode ser
uma das justicas para os piacuteos iacutendices de aprovaccedilatildeo da maior parte dos alunos que
estudam Caacutelculo A implementaccedilatildeo de nossa proposta em sala de aula mesmo que seja
para um seleto grupo pode gerar mudanccedilas signicativas com contribuiccedilotildees iacutempares para
o ensinoaprendizagem dos alunos partiacutecipes
Tambeacutem foi possiacutevel reetir sobre vaacuterios pontos da educaccedilatildeo matemaacutetica ca-
pixaba em particular do puacuteblico alvo da pesquisa pertencente agrave Grande Vitoacuteria que
perpassa desde a formaccedilatildeo inconsistente dos professores seja de instituiccedilatildeo puacuteblica ou
privada ateacute a precariedadenegligecircncia de nossos livros didaacuteticos do curriacuteculo estadual
dos PCN da proposta do ENEM e dos cursos de capacitaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao repasse de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo
O presente trabalho serviu para nos alertar sobre a importacircncia da Histoacuteria
8 CONCLUSAtildeO 111
da Matemaacutetica na evoluccedilatildeo dos conceitos Agraves vezes desejamos que os alunos aprendam
algo em um dia sendo que tal conceito demorou seacuteculos para atingir o rigor e o padratildeo
preestabelecido em nossas literaturas de matemaacutetica Aleacutem disso serviu de instrumento
norteador para pensar em mudanccedilas ou adaptaccedilotildees signicativas em nossos livros didaacute-
ticos para que os mesmos estejam em conformidade com a proposta constitucional de
preparaccedilatildeo para uma continuaccedilatildeo de estudos mais avanccedilados Tambeacutem serviu de aper-
feiccediloamento do conhecimento via emprego praacutetico e motivador de planilhas eletrocircnicas e
softwares de geometria dinacircmica (GeoGebra) Como esses recursos podem tornar as aulas
mais interessantes e fazer com que o ensinoaprendizagem seja facilitado
O emprego das noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio via noccedilotildees intuitivas e
via situaccedilotildees problema de aplicaccedilotildees reais pode ser incluso novamente nos PNCEM
no curriacuteculo estadual eou entatildeo nas estrateacutegias suplementares do plano pedagoacutegico da
escola baacutesica com o intuito de oportunizar um aprendizado mais qualicado aos alunos
e de preparaacute-los para estudos posteriores com maior teor de abstraccedilatildeo Foi possiacutevel
vericar que algumas propriedades satildeo justicadas de maneira rigorosa apenas com o
auxiacutelio de ideais correlatas do Caacutelculo (limite derivada e integral) principalmente a
explicaccedilatildeo matemaacutetica de alguns fenocircmenos fiacutesicos e quiacutemicos tornando a matemaacutetica
interdisciplinar
Enm eacute preciso ensinar matemaacutetica com o intuito de formar alunos aptos a
lidar com situaccedilotildees extremas de abstraccedilatildeo nas universidades e natildeo somente para adqui-
rirem bom rendimento nos exames de caraacuteter nacional (ENEM PAEBES etc) Anal
a omissatildeo pode estar causando resultados negativos como desmotivaccedilatildeo dos alunos da
escola baacutesica reduccedilatildeo de procura por cursos que requerem uma boa formaccedilatildeo na aacuterea
de exatas e aulas expositivas cada vez mais distantes da realidade cotidiana dos nossos
alunos Assim as poliacuteticas governamentais assim como os professores devem participar
dessas discussotildees com propostas de viabilidade de cursos de capacitaccedilatildeo que oriente os
prossionais a trabalharem com as noccedilotildees de Caacutelculo via aulas expositivas com adaptaccedilotildees
de recursos didaacuteticos disponiacuteveis e via produccedilatildeo de material especiacuteco que complemente as
lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos disponiacuteveis Essa adaptaccedilatildeo ao modelo tradicional
de ensino que jaacute se mostrou desmotivador arcaico e ultrapassado pode ser uma alterna-
tiva eciente para resgatar a busca incessante pelo aprofundamento do saber matemaacutetico
fiacutesico e quiacutemico por parte dos alunos
112
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos
graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo
A)
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)113
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)114
115
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos
professores de Matemaacutetica (Anexo B)
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 116
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 117
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 118
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Sumaacuterio
Lista de Figuras 8
Lista de Tabelas 10
1 INTRODUCcedilAtildeO 11
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 15
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 22
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 29
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 32
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 42
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA 45
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
711 Diacutezimas Perioacutedicas 47
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales 50
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas 54
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo 55
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees 60
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de limite 71
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua 72
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri 80
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse 88
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva 90
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica 96
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea 98
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle 100
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada 101
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada 104
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada 106
8 CONCLUSAtildeO 110
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da
FAACZ (Anexo A) 112
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo
B) 115
Referecircncias Bibliograacutecas 119
Lista de Figuras
31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo 22
32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1+ 2460+ 51
602+ 10
603=
1414212 28
71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51
73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis 52
74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso) 53
75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos 54
76 Retacircngulo 6 x 5 56
77 Retacircngulo 100 x 80 57
78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita 60
79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5 63
710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50 65
711 Poliacutegono Retangular para n = 100 65
712 Processo recursivo de Quadrados 70
713 Processo recursivo de Triacircngulos Equilaacuteteros 70
714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito) 77
715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8 78
716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10 79
717 Anel Ciliacutendrico 81
718 Casca de Esfera 82
719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica 84
720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 85
721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7 86
722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 87
723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 87
724 Elipse inscrita numa circunferecircncia 89
725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante 91
726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer 91
727 Quadratura do ciacuterculo para n = 11 92
728 Quadratura do ciacuterculo para n = 100 92
729 Poliacutegono Retangular para n = 5 95
730 Poliacutegono Retangular para n = 10 95
731 Poliacutegono Retangular inscrito 95
732 Poliacutegono Retangular circunscrito 95
733 Trapeacutezio retacircngulo 100
734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000 101
735 Reta tangente a uma dada paraacutebola 103
736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda) 105
737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita) 106
738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular 108
739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica 109
9
Lista de Tabelas
51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos 41
71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2 59
72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais 72
73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler 75
74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo 100
75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio 101
11
1 INTRODUCcedilAtildeO
Haacute pontos especiacutecos na educaccedilatildeo baacutesica em que a ideia intuitiva de limite
de derivada e de integral estaacute presente Como satildeo tratados os casos em que eacute necessaacuterio
mencionar as noccedilotildees de limite ou de integral para discutir uma consequecircncia natural de
um assunto elementar Como os livros didaacuteticos tratam o assunto Qual a visatildeo dos pro-
fessores diante do tema Como os Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) lidam com a
situaccedilatildeo Em que estados brasileiros nota-se a presenccedila e a aplicabilidade de tais noccedilotildees
elementares do Caacutelculo Como as consequecircncias imediatas dessa posturaapresentaccedilatildeo
preacute-matura estatildeo interferindo no rendimento dos cursos de Caacutelculo no niacutevel superior De
que maneira podemos introduzir e abordar esse peculiar assunto sem causar constrangi-
mentos e traumas em nossos alunos Em que contexto histoacuterico se deu o processamento
das ideias de limite Tais ideias satildeo largamente empregadas no nosso dia-a-dia Como
explorar as noccedilotildees de limite de derivada e de integral via softwares de geometria dinacircmica
(especicamente o GeoGebra) Como explorar as noccedilotildees de limite via planilhas eletrocirc-
nicas (Microsoft Excel) O que eacute limite e como introduzir sem exageros e formalidades
de maneira que os alunos consigam acompanhar tal abstraccedilatildeo Qual a ordem cronoloacutegica
dos fatos surgiu o Caacutelculo Integral ou primeiro o Caacutelculo Diferencial Como propor a
inserccedilatildeo de limite nos estudo das derivadas O que eacute derivada Soacute se aprende derivada
se souber limite Como interligar a deniccedilatildeo de limite com a noccedilatildeo de integral O que
eacute integral Qual foi a evoluccedilatildeo histoacuterica (limite derivada e integral) Quais principais
precursores (paiacutes cidade natal seacuteculo data problematizaccedilatildeo etc) QueQual percen-
tual de alunos aprendeu alguma noccedilatildeo de limite de derivada ou de integral durante a
educaccedilatildeo baacutesica Quais as vantagens em ensinar as noccedilotildees de limite de derivada e de
integral na educaccedilatildeo baacutesica em particular no ensino meacutedio
Diante de tantos questionamentos surge a necessidade de respondecirc-los por
meio de uma reexatildeo acerca dos pontos destacados na pesquisa desenvolvida na pre-
sente dissertaccedilatildeo Inicialmente foi feita uma pesquisa entre os alunos que estatildeo ingres-
sandocursando na Universidade Federal do Espiacuterito Santo (UFES) e no Instituto Federal
do Espiacuterito Santo (IFES) sobre o estudo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo durante as
fases da educaccedilatildeo baacutesica Quem estudou Em que seacuterie se consolidou tal aprendizado
1 INTRODUCcedilAtildeO 12
Haacute conceitos baacutesicos que utilizam as noccedilotildees de limite de derivada e de integral Quais
vantagens obteriam caso tivessem uma base melhor e satisfatoacuteria de tais ideias intuitivas
durante o ensino baacutesico Em segundo momento os professores foram questionados sobre
as vantagensdesvantagens em propor o ensino das noccedilotildees de limite de derivada e de
integrais durante a educaccedilatildeo baacutesica
Em seguida foi feita uma averiguaccedilatildeo que de fato existem conteuacutedos da edu-
caccedilatildeo baacutesica que necessitam de uma abordagem mais especiacuteca das noccedilotildees de limite de
derivada e de integral tais como a representaccedilatildeo decimalfracionaacuteria das diacutezimas pe-
rioacutedicas ao somar os innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo especial
(0 lt |q| lt 1) ao estudar a capitalizaccedilatildeo contiacutenua ao analisar comportamentos graacute-
cos de uma funccedilatildeo para valores muito grande eou pequeno do domiacutenio de uma funccedilatildeo
(funccedilatildeo 1o grau 2o grau exponencial e logariacutetmica) ao calcular da medida da aacuterea de
uma regiatildeo plana qualquer com lados curvos aleacutem das inuacutemeras aplicaccedilotildees no estudo da
Fiacutesica (emprego da hipeacuterbole equilaacutetera na relaccedilatildeo entre pressatildeo e volume de um gaacutes em
condiccedilotildees isoteacutermicas e do conceito de velocidade instantacircnea)
Uma busca nos livros de Histoacuteria da Matemaacutetica com o intuito de desvendar
as maneiras e o contexto sobre os quais se deu o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas de
limite de derivada e de integral ateacute chegar ao cliacutemax da notaccedilatildeo atual e padratildeo formal
ensinado na disciplina de Caacutelculo nas universidades Nesse iacutenterim pretendeu-se propor
uma viagem no tempo ao longo dos seacuteculos em busca de momentos cruciais em que se
desenvolveuaplicou as noccedilotildees elementares do Caacutelculo
Apoacutes mapear as diversas situaccedilotildees problema que serviram de motivaccedilatildeo para
o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo foi realizada uma conferecircncia nos
livros didaacuteticos mais utilizados na educaccedilatildeo baacutesica especicamente na 3a etapa o Ensino
Meacutedio com o intuito de investigar como o assunto eacute introduzido em que conteuacutedos satildeo
discutidos e qual a linguagem utilizada (notaccedilatildeo usual)
Uma pesquisa com graduandos e com professores foi realizada com o intuito
de averiguar se os mesmos trabalham as noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de
integral no ensino baacutesico e como o fazem Quais satildeo suas anguacutestias temores diculdades
sugestotildees etc Haacute cursos de capacitaccedilatildeoformaccedilatildeo de professores nesse sentido Seria
necessaacuterio criar um algoritmo tipo uma receita de bolo um guia didaacutetico um manual
pedagoacutegico de direcionamento de trabalho que norteasse e ensinasse aos professores com
1 INTRODUCcedilAtildeO 13
sugestotildees de abordagem do tema em estudo Em geral os professores possuem conheci-
mentos na aacuterea de utilizaccedilatildeoaplicaccedilatildeo da teoria de limite de derivada e de integral para
empregar em suas aulas a utilizaccedilatildeo de softwares de geometria dinacircmica e softwares que
trabalham com planilha eletrocircnica de estudos
Tendo em matildeos o mapeamento dos conteuacutedos que necessitam de um enfoque
das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral a opiniatildeo dos professores e
dos graduandos a visatildeo apresentada nos livros didaacuteticos e nos Paracircmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) a evoluccedilatildeo histoacuterica e suas situaccedilotildees-problema
foi possiacutevel articular a sequecircncia didaacutetica que de acordo com a nossa visatildeo facilitaria o
entendimento e minimizaria a distacircncia entre o concreto e o abstrato isto eacute reduziria a
margem de abstraccedilatildeo que tais noccedilotildees requerem Nesse sentido o foco da pesquisa tem
como meta a introduccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral de acordo
com a seacuterie do Ensino Meacutedio em que se pretende inserir tais conceitos Tambeacutem eacute vaacutelido
ressaltar que haacute conteuacutedos do Ensino Fundamental que necessitam de um enfoque das
noccedilotildees de Caacutelculo por exemplo o estudo das diacutezimas perioacutedicas a demonstraccedilatildeo completa
do Teorema de Tales e a deniccedilatildeo de aacuterea de uma regiatildeo retangular Nesse iacutenterim o
presente trabalho propotildee uma metodologia de introduccedilatildeo desses conceitos empregando e
entrelaccedilando as noccedilotildees elementares de limite
Para a 1a seacuterie do Ensino Meacutedio a abordagem algeacutebrica foi realizada a partir
do estudo de funccedilotildees e suas implicaccedilotildees e do estudo de sequecircncias (em particular seacuteries
geomeacutetricas convergentes diacutezimas perioacutedicas) que apresentam caracteriacutesticas peculiares
que necessitam do estudo das noccedilotildees de limite Em seguida foi proposta uma aplicaccedilatildeo
desses conceitos numa situaccedilatildeo-problema presente no estudo de matemaacutetica nanceira
(especicamente no estudo de juros compostos) isto eacute foi realizada uma reproduccedilatildeo e
uma anaacutelise do problema proposto por Jacques Bernoulli sobre capitalizaccedilatildeo contiacutenua ou
seja as implicaccedilotildees sobre a evoluccedilatildeo de crescimento de um capital depositado a juros
compostos ser acrescido de juros subdividindo constantemente o intervalo de correccedilatildeo Jaacute
a abordagem geomeacutetrica a ser apresentada tanto no 1o ano quanto no 2o ano conforme
o plano de curso preacute-estabelecido pela unidade escolar se deu por intermeacutedio do estudo
de aacutereas de guras planas em especial aquelas que apresentam lados curviliacuteneos
Ainda na 1a seacuterie do Ensino Meacutedio foi realizada uma anaacutelise comportamental
de graacutecos de funccedilotildees fazendo um paralelo com os graacutecos presentes no estudo de conceitos
da disciplina de Fiacutesica com o intuito particular de explicar o que signica e como se
1 INTRODUCcedilAtildeO 14
calcula a aacuterea sob o graacuteco de uma curva qualquer que relacionam duas variaacuteveis com
grau de dependecircncia (funccedilatildeo de uma variaacutevel) E tambeacutem foi realizada uma anaacutelise da
desintegraccedilatildeo radioativa de uma substacircncia que consiste num problema interdisciplinar
amplamente discutido na Quiacutemica
Para a 2a seacuterie ou 3a seacuterie do Ensino Meacutedio de acordo com curriacuteculo escolar
baacutesico adotado a introduccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo foi realizada em para-
lelo ao estudo de geometria espacial momento em que houve uma revisatildeo do estudo de
aacutereas de guras planas poligonais e a introduccedilatildeo do caacutelculo da aacuterea de uma gura plana
que contenha algum lado curviliacuteneo Posteriormente tais ideias foram aplicadas para
demonstrar as aacutereas superciais e volumes de corpos redondos especiais (cilindros cones
e esferas) utilizando como fonte e direccedilatildeo de trabalho o meacutetodo dos indivisiacuteveis proposto
por Kepler e Cavalieri
Enm a abordagem das noccedilotildees elementares do Caacutelculo na 3a seacuterie do Ensino
Meacutedio foi construiacuteda de maneira correlacionada com o estudo (deniccedilotildees e propriedades)
das cocircnicas (paraacutebolas e hipeacuterboles)
15
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA
INSERCcedilAtildeO
O objetivo da presente pesquisa foi investigar nesse particular espaccedilo amos-
tral que percentual de graduandos teve contato com as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
durante a educaccedilatildeo baacutesica questionando quatildeo signicante foi tal experiecircncia e quais van-
tagensdesvantagens obtiveramobteriam com o contato preacute-liminar com noccedilotildees intuitivas
do Caacutelculo Aleacutem disso entrevistas foram feitas com professores (rede estadual e privada)
que atuam no Ensino Meacutedio e com professores que lecionamlecionaram a disciplina de
Caacutelculo I (limite derivada e integral) e de Fiacutesica Geral I oportunidade em que a visatildeo
dos mesmos seraacute analisada diante da problemaacutetica aqui retratada
A pesquisa foi realizada com parte da turma de 2012 do PROFMAT-UFES
via envio do questionaacuterio por e-mail dos quais apenas dez alunos retornaram respondidos
os questionaacuterios Tambeacutem participaram os vinte e quatro alunos da turma de ingresso ao
PROFMAT 2014 via questionaacuterio impresso o qual foi aplicado no dia 22 de Fevereiro de
2014 na sala 32 do Centro de Ciecircncias Exatas (CCE) da Universidade Federal do Espiacuterito
Santo (UFES) Aleacutem desses professores mestrandos responderam aos questionaacuterios parte
(dez alunos) de uma turma de graduandos (futuros e atuais professores de matemaacutetica)
pertencentes ao curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica pelo Instituto Federal do
Espiacuterito Santo (IFES) uma miacutenima (apenas oito) amostra de professores que atuam no
Ensino Meacutedio da rede estadual especicamente nas escolas da Serra Sede (EEEFM Pro-
fessor Joatildeo Loyola e EEEFM Cloacutevis Borges Miguel) uma pequena amostra de professores
que atuam somente nas faculdades particulares e com alunos graduandos em engenharia
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) que estavam praticamente concluindo o estudo da
disciplina de Caacutelculo e Fiacutesica I
Para discentes foi articulado um questionaacuterio alternativodiscursivo composto
de perguntas pertinentes agraves experiecircncias com o estudo de Caacutelculo I e em particular das
noccedilotildees de limite na educaccedilatildeo baacutesica e as vantagensdesvantagens que a aprendizagem
de tais conceitos lhe renderia A pesquisa foi realizada com uma pequena amostra de
alunos dos cursos de Licenciatura Plena em Matemaacutetica (IFES) e de Engenharia Mecacircnica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 16
(FAACZ)
Jaacute para os docentes foi pensado um questionaacuterio com escalas de classica-
ccedilatildeo em que o professor repassaria dados histoacutericos de suas experiecircncias com a disciplina
de Caacutelculo I desde a graduaccedilatildeo ateacute a realidade encontrada em sua sala de aula caso
seja professor da disciplina de Caacutelculo I com o intuito de questionar quais as facilida-
desdiculdades que a aprendizagem das noccedilotildees de limite e outras noccedilotildees baacutesicas do
Caacutelculo poderiam produzir A pesquisa foi realizada com professores da UFES do IFES
e de algumas escolas particulares que lecionaramlecionam a disciplina de Caacutelculo I em
qualquer curso superior
De acordo com uma anaacutelise geral dos dados da pesquisa foi possiacutevel constatar
que a maioria dos professores seja da rede puacuteblica ou privada atuantes na educaccedilatildeo
baacutesica (Ensino Fundamental e Meacutedio) embora tenha recebido orientaccedilatildeopreparaccedilatildeo es-
peciacuteca que os formassem de maneira satisfatoacuteria para inserir noccedilotildees intuitivas de limite
e ideias correlatas do Caacutelculo nessa fase de ensino ainda natildeo faz ideia de como aplicar
tais conceitos caso os mesmos sejam implementados no curriacuteculo baacutesico Aleacutem disso em
uma conversa informal (bate-papo apoacutes o preenchimento dos questionaacuterios) com um grupo
atuante na rede estadual foi possiacutevel constatar que haacute diculdade de ensinar a matemaacutetica
elementar quanto mais os toacutepicos que remetem o uso de citaccedilatildeo de ideias avanccediladas cujo
grau de abstraccedilatildeo eacute mais acentuado Segundo os professores os alunos chegam ao Ensino
Meacutedio com niacutevel de aprendizagem abaixo do ideal com defasagens gritantes em aritmeacutetica
baacutesica (operaccedilotildees elementares) e com problemas de domiacutenio da liacutengua portuguesa naquilo
que concerne agrave interpretaccedilatildeo de enunciados e compreensatildeo de teorias Foi de consenso
comum entre os professores pesquisados que o trabalho eacute pertinente e de fundamental
importacircncia para sanar problemas como os altos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de
Caacutelculo e Fiacutesica I Tambeacutem consentiram que caso tal pesquisa inuenciasse uma mudanccedila
no curriacuteculo baacutesico da rede estadual de ensino haveria necessidade de um curso especiacuteco
e produccedilatildeo de um material suplementar que os orientasse Aleacutem disso um seleto grupo
informou que hoje seria possiacutevel repassar algumas orientaccedilotildees somente no 3o ano apoacutes a
aplicaccedilatildeo da prova do ENEM periacuteodo em que os alunos praticamente estatildeo aprovados e
teoricamente jaacute estudaram toda a matemaacutetica elementar dos niacuteveis fundamental e meacutedio
Caso contraacuterio veem atualmente viabilidade de aplicaccedilatildeo do estudo proposto somente em
turmas oliacutempicas de matemaacutetica
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 17
Os dados especiacutecos da pesquisa podem induzir uma reexatildeo draacutestica de que
os cursos superiores de formaccedilatildeo de professores de matemaacutetica embora repassem aos seus
alunos fundamentos necessaacuterios e sucientes para que os mesmos estejam habilitados para
trabalhar com a proposta presente nesse trabalho a totalidade dos professores questiona-
dos natildeo se sente seguro para repassar noccedilotildees elementares do Caacutelculo a alunos da educaccedilatildeo
baacutesica E mais a maioria dos professores eacute favoraacutevel quanto agrave grade curricular e quanto
agrave adequaccedilatildeo e suciecircncia das disciplinas de Caacutelculo durante a fase de graduaccedilatildeo Um
verdadeiro paradoxo
Segundo os professores pesquisados a assimilaccedilatildeo e o ensinoaprendizagem
dos graduandos poderiam ser melhorados via curso especiacuteco de preacute-Caacutelculo ou propondo
estrateacutegias motivadoras durante o Ensino Meacutedio Ainda armaram estarem cientes da
distacircncia enorme entre o modelo de ensino ofertada pelas Licenciaturas e a realidade dos
alunos em sala de aula aleacutem disso comentaram que a aversatildeo relativa ao ensino de toacutepi-
cos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio eacute explicada devido a experiecircnciasaprendizagens
decitaacuterias durante a fase de graduaccedilatildeo naquilo que tange a metodologia diferenciada (es-
trateacutegias didaacutetica interessemotivaccedilatildeo do professor em ensinar e utilizaccedilatildeo de recursos
didaacuteticos etc)
A partir da pesquisa tambeacutem foi possiacutevel conjecturar que a realidade atual dos
cursos de Caacutelculo pode ser melhorada com uma fuga ao modelo tradicional de ensino
Nesse iacutenterim faz-se necessaacuterio que os professores universitaacuterios estejam mais atentos agrave
didaacutetica de ensino ao planejamento de suas aulas agrave variaccedilatildeo de metodologias de aprendi-
zagem via recursos computacionais disponiacuteveis e via alternativas modernas que favoreccedilam
um aumento no rendimento escolar universitaacuterio com uma consequente reduccedilatildeo dos iacutendi-
ces de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo Eacute impossiacutevel repassar noccedilotildees elementares do
Caacutelculo para os alunos da educaccedilatildeo baacutesica se a formaccedilatildeo que os professores recebem natildeo
eacute satisfatoacuteria ao ponto de que haja seguranccedila e domiacutenio do tema Para isso eacute necessaacuterio
ampliar o leque de discussatildeo das poliacuteticas puacuteblicas educacionais com uma proposta de re-
formulaccedilatildeo dos PCN com proposiccedilatildeo de cursos de capacitaccedilatildeo de professores convenientes
e em horaacuterios adequados e com a produccedilatildeo de um material didaacutetico especiacuteco adequado
agrave realidade da educaccedilatildeo baacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que a retomada do ensino de Caacutelculo
vem acontecendo desde a deacutecada de 90 mas com a preocupaccedilatildeo de que esse posiciona-
mento natildeo venha a sobrecarregar o curriacuteculo e nem esteja distante da realidade do niacutevel
elementar o Ensino Meacutedio a ser apresentada e incluiacuteda a ideia do presente trabalho
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 18
Caso haja educadores contraacuterios a presente proposta com a justicativa de
que o curriacuteculo baacutesico jaacute estaacute abarrotado de conteuacutedos e de ser um instrumento imutaacutevel
seria interessante promover uma formaccedilatildeo completa sobre os Paracircmetros Curriculares
Nacionais e sobre o curriacuteculo baacutesico adotado com o intuito de explicar aos professores
que haacute muito interpretaccedilatildeo equivocada dos PCN dado que os mesmos devem servir como
elemento norteador indicador das habilidades e competecircncias necessaacuterias para garantir o
miacutenimo de aprendizagem signicativa e sem que seja um instrumento impositivo (dono da
verdade deus do universo etc) ou seja quem faz o curriacuteculo de Matemaacutetica eacute o professor
atrelado ao plano pedagoacutegico da escola e matrizes do ENEM
Para encerrar a anaacutelise relativa aos dados da pesquisa eacute vaacutelido salientar que
muitos professores consideraram o questionaacuterio longo e tedioso Essa aversatildeo inicial pode
representar uma justicativa aparente de que a postura dos professores quanto agrave mu-
danccedilasaiacuteda do estado de platocirc atual sempre seraacute uma barreira agrave produccedilatildeo de conheci-
mentos A presente pesquisa cujos dados estatildeo tabulados no anexo A foi realizada com
38 professores atuantes na rede publica e privada com experiecircncia no mercado Parte
desses professores (10) ainda estavam em fase de conclusatildeo do curso de Licenciatura no
IFES De acordo com os dados da pesquisa foi possiacutevel inferir que muitos desses pro-
fessores natildeo possuem o haacutebito de realizar leituras de revistas especializadas (Revista do
Professor de Matemaacutetica (RPM) Revista Caacutelculo) de livros da Sociedade Brasileira de
Matemaacutetica (SBM) de artigos de seminaacuterios de discussatildeo de educaccedilatildeo matemaacutetica e nem
possuem interesse na participaccedilatildeo em simpoacutesios bienais cursos de capacitaccedilatildeo cursos de
veratildeo etc Nesse iacutenterim eacute bom citar que aqueles poucos professores que participaram
de forma remunerada do multicurso de matemaacutetica promovido pela Secretaria Educaccedilatildeo
do Espiacuterito Santo (SEDU) informaram que natildeo houve qualquer menccedilatildeo aos toacutepicos atuais
de discussatildeo do retorno das noccedilotildees elementares do Caacutelculo ao curriacuteculo baacutesico Jaacute aque-
les que estiveram presentes no Programa de Aperfeiccediloamento de Professores do Ensino
Meacutedio (PAPEM) relataram que houve alguma citaccedilatildeo breve do assunto durante as aulas
de viacutedeo conferecircncia e em problemas propostos nas ocinas no periacuteodo vespertino
A outra tabela que consta no anexo B dessa dissertaccedilatildeo representa a tabulaccedilatildeo
dos dados da pesquisa realizada com uma amostra (32 alunos) de alunos (graduandos) do
curso de engenharia mecacircnica da FAACZ
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 19
Inicialmente eacute interessante citar que participaram da pesquisa 32 alunos em
sua maioria graduandos do sexo masculino estudantes do curso de Engenharia Mecacircnica
da Faculdade de Aracruz (FAACZ) e desse total eacute importante citar que 31 graduandos
estatildeo na faixa etaacuteria abaixo dos 30 anos
De acordo com os dados analisados foi possiacutevel vericar que a faculdade dispo-
nibiliza aos seus alunos um curso de nivelamento (preacute-Caacutelculo) com o intuito de apresentar
aos alunos uma ajuda consideraacutevel para iniciarem o estudo de Caacutelculo e para minimizar a
distacircncia que haacute entre a matemaacutetica elementar promovida na educaccedilatildeo baacutesica e a mate-
maacutetica superior principalmente as noccedilotildees elementares de limite deriva e integral Nesse
curso de nivelamento foram apresentadas aos alunos situaccedilotildees problema que necessitavam
de emprego de noccedilotildees do Caacutelculo A partir da exposiccedilatildeo de problemas concretos proacutexi-
mos da realidade dos alunos foi possiacutevel introduzir de maneira construtiva toacutepicos que
exigiram o emprego de limite de derivada e integral
Segundo a maioria dos alunos o referido curso de preacute-Caacutelculo ofertado contribui
para melhorar o rendimento em todos os aspectos e responderam que caso a introduccedilatildeo
das ideias difundidas no curso de nivelamento tivessem sido realizadas durante o ensino
meacutedio haveria uma melhora consideraacutevel no ensinoaprendizagem
Ao questionar sobre a sequecircncia da histoacuteria da evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi possiacutevel
constatar que quase a totalidade dos alunos natildeo tiveram uma introduccedilatildeo histoacuterica da
evoluccedilatildeo do Caacutelculo pois a maioria deles (20 alunos) armou que a evoluccedilatildeo do Caacutelculo
estaacute em conformidade com a sequecircncia apresentada nos livros didaacuteticos Tambeacutem foi
possiacutevel perceber que o ensino de Fiacutesica I ocorreu simultaneamente com o ensino de Caacutelculo
I o que eacute uma realidade questionada nos principais cursos de exatas das instituiccedilotildees
puacuteblica e privada do Estado do Espiacuterito Santo Anal como a ementa do curso de Fiacutesica
I requer o conhecimento de um conjunto de aplicaccedilotildees e propriedades do Caacutelculo seria
loacutegico que tal curso fosse realizado apoacutes a introduccedilatildeo das ideias de limite derivada e
integral
De acordo com a pesquisa contatou-se que quase todos os alunos (27) estu-
daram via livros didaacuteticos especiacutecos de Caacutelculo de autores com bastante bagagem e
profundos conhecedores do Caacutelculo (James Stewart e George B Thomas 11a e 5a edi-
ccedilatildeo respectivamente) Do total de alunos entrevistados 5 alunos armaram ter estudado
Caacutelculo via apostilas notas de aulas e viacutedeo aula
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 20
Segundo a visatildeo dos graduandos para realizar a introduccedilatildeo das noccedilotildees ele-
mentares do Caacutelculo faz-se necessaacuterio que os alunos tenham uma base adequada de en-
sinoaprendizagem acumulada das seacuteries anteriores inclusive no Ensino Fundamental
Quanto ao aspecto conteuacutedos do Ensino Meacutedio que exigem a inserccedilatildeo das noccedilotildees elemen-
tares do Caacutelculo os graduandos citaram Funccedilotildees Sequecircncias Aacutereas e volumes em geral
Jaacute no estudo da Fiacutesica mencionaram o estudo de velocidades aceleraccedilotildees e trabalho
Quanto aos iacutendices de aprovaccedilatildeo eacute vaacutelido ressaltar que dos 32 entrevistados
somente 6 caram reprovados em Caacutelculo I A explicaccedilatildeo para esse iacutendice excelente de
aprovaccedilatildeo pode ser justicativa pelo repasse das noccedilotildees elementares do Caacutelculo via curso
de nivelamento Tambeacutem eacute vaacutelido ressaltar que a formaccedilatildeo dos docentes regentes das
disciplinas que zeram o uso das ideias de Caacutelculo para os graduandos partiacutecipes da
presente pesquisa varia da titulaccedilatildeo miacutenima de especialistas ateacute doutores
As aulas de Caacutelculo na FAACZ satildeo muito ecleacuteticas poreacutem arcaicas obsoletas
tradicionais e remetem a ideia de que a maioria dos seus professores prefere um curso de
Caacutelculo que exija uma boa formaccedilatildeo baseada numa conciliaccedilatildeo do processo demonstra-
tivoaplicativo dos teoremas e proposiccedilotildees do Caacutelculo Tambeacutem armaram de maneira
quase unacircnime e satisfatoacuteria sobre as facilidades que a utilizaccedilatildeo dos recursos didaacuteticos
(softwares de geometria dinacircmica e planilhas eletrocircnicas) proporcionaria e favoreceria o
ensinoaprendizagem dos estudantes dessa instituiccedilatildeo Em contrapartida 26 desses alu-
nos responderam natildeo ter recebido trabalhos de abordagem de modelagem matemaacutetica de
uma situaccedilatildeo real cotidiana ou melhor a maioria desses alunos armou que ainda natildeo
sabem o que eacute modelagem matemaacutetica
Quanto agrave experiecircncia desses alunos ao serem expostos agrave teoria de limites com
todas as suas formalidades foi possiacutevel constatar que o curso de nivelamento de prepa-
raccedilatildeo para o estudo de Caacutelculo contribui de forma satisfatoacuteria para melhorar o rendi-
mentoentendimento da maior parte dos graduandos Esse curso de preacute-Caacutelculo foi uma
forma de preencher a lacuna deixada pela educaccedilatildeo baacutesica principalmente pelo Ensino
Meacutedio em que segundo dados da pesquisa natildeo houve citaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de
limite nem muito menos ideias correlatas do Caacutelculo deriva e integral Nesse iacutenterim a
maioria dos alunos armou que os livros didaacuteticos existentes na educaccedilatildeo baacutesica ou satildeo
insucientes quanto ao repasse ou natildeo abordam as noccedilotildees de intuitivas do Caacutelculo E
mais um percentual consideraacutevel dos entrevistados armou jamais ter ouvido qualquer
citaccedilatildeo baacutesica das noccedilotildees de limite deriva e integral durante o Ensino Meacutedio
2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 21
Essas informaccedilotildees vecircm ao encontro da nossa proposta a qual propotildee um res-
gate da inserccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas e ideias elementares do Caacutelculo durante o Ensino
Meacutedio com a nalidade de preparar o aluno para ingressar no estudo de Caacutelculo e com
o intuito de justicar proposiccedilotildees elementares com argumentos satisfatoacuterios sem fuga
desculpa ou enrolo Essa inserccedilatildeo deve ser direcionada e atrelada agrave evoluccedilatildeo histoacuterica
do Caacutelculo com um material especiacuteco devido agrave insuciecircncia dos materiais didaacuteticos
existentes no mercado e com atividades interdisciplinares no estudo de Fiacutesica e Quiacutemica
principalmente E mais deve existir um curso especiacuteco de preparaccedilatildeo aos professores
da educaccedilatildeo baacutesicasuperior e a inclusatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo nos PCNEM
com intuito de estimularraticar o repasse das ideias e de contribuir para elevar o rendi-
mento dos estudantes no estudo de Caacutelculo em cursos superiores posteriores pois assim
os educadores receberatildeo a formaccedilatildeo necessaacuteria para trabalharem com maior destreza e
seguranccedila via recursos didaacuteticos disponiacuteveis (softwares educacionais quadro multimeios
laboratoacuterios de matemaacutetica jogos matemaacuteticos etc)
22
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO
CAacuteLCULO
Figura 31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias
que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo
Fonte wwwmatematicabrhistoriaprhindhtml[34]
A evoluccedilatildeo do Caacutelculo da origem intuitiva (ideias remotas) ateacute o rigoroso pa-
dratildeo adotado nos livros atuais foi marcada pelas contribuiccedilotildees de diversos estudiosos
dentre os quais pode-se citar em ordem cronoloacutegica de destaque Ahmes (ou Ahmose
escriba egiacutepcio) babilocircnicos Hiacutepias Zenatildeo (ou Zeno de Eleacuteia) Eudoacutexio (ou Eudoxos)
Demoacutecrito Arquimides Papus Kepller Descartes Fermat Roberval Torricelli Cavali-
eri Wallis Barrow Newton Leibnitz famiacutelia Bernoulli De Moivre Taylor Maclaurin
Euler Clairaut DAlembert Lambert Lagrange Laplace Legendre Monge Carnot
Gauss Fourier Poisson Bolzano Cauchy Abel Galois Jacobi Dirichlet Weierstrass
e Riemann Eacute vaacutelido ressaltar que outros personagens zeram contribuiccedilotildees favoraacuteveis
e que natildeo foram mencionados para natildeo haver fuga ao escopo principal dessa pesquisa
Aleacutem disso os personagens destacados foram formidaacuteveis e providenciais para o desen-
volvimento aprimoramento potencialidade aplicabilidade formalidade e padronizaccedilatildeo
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 23
loacutegica do Caacutelculo
A partir do seacuteculo XV II eacute que se evidenciou a evoluccedilatildeo formal no desenvolvi-
mento do Caacutelculo apesar de suas noccedilotildees intuitivas serem encontradas por volta de 1650
aC isto eacute dezessete seacuteculos anteriores aos tempos da era cristatilde foi encontrado no papiro
Rhind cuja coacutepia foi realizada pelo escriba Ahmes (ou Ahmose) evidecircncias de que os
egiacutepcios descobriram de maneira correta que o volume de uma piracircmide de base qua-
drada equivale a 13do volume do prisma retangular de mesma base e mesma altura Eacute
vaacutelido ressaltar que natildeo havia demonstraccedilatildeo de tal relaccedilatildeo nem deveria pois para checar
a veracidade com rigor e precisatildeo eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees de innitesimais perten-
centes ao Caacutelculo Aleacutem dos indiacutecios encontrados nesse papiro tambeacutem foram descobertos
tabulas cuneiformes babilocircnicas que destacam problemas relacionados ao Caacutelculo especi-
camente no algoritmo iterativo empregado para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero
racional e na mensuraccedilatildeo de guras planas
Conforme BOYER [4] (1992 p2)
() Jaacute no seacuteculo XV II aC os babilocircnicos aplicaram sua aacutelgebra admi-ravelmente exiacutevel a uma ampla gama de problemas praacuteticos incluindomensuraccedilatildeo de guras Conhecendo o teorema de Pitaacutegoras acharamcorretamente a diagonal de um quadrado ateacute o equivalente a meia duacuteziade casas decimais Tomavam a aacuterea do ciacuterculo geralmente como o tri-plo da aacuterea do quadrado sobre ao raio ma em pelo menos uma ocasiatildeousaram para uma aproximaccedilatildeo melhor 31
8 ()
Embora egiacutepcios e babilocircnicos em niacutevel mais acentuado tenham deixado evi-
dente a habilidade em aacutelgebra natildeo se pode dizer o mesmo em relaccedilatildeo agrave loacutegica empregada
Nesse sentido de preocupaccedilatildeo com o rigor loacutegico a partir de princiacutepios baacutesicos destacam-
se os trabalhos desenvolvidos na Greacutecia desde a descoberta da incomensurabilidade por
Hiacutepias (c de 425 aC) perpassando pelos quatro paradoxos propostos pelo loacutesofo Ze-
natildeo de Eleacuteia (c de 450 aC) que indicavam a existecircncia de um processo innito e pelo
brilhante trabalho de Eudoacutexio (ou Eudoxo cerca 370 aC) que propocircs uma teacutecnica de
comprovaccedilatildeo de validade de uma proposiccedilatildeo o meacutetodo da Exaustatildeo o qual eacute considerado
um prenuacutencio mais proacuteximo do Caacutelculo por parte de estudiosos gregos ateacute o aacutepice das
experiecircncias argumentos (reduccedilatildeo ao absurdo duplo) e meacutetodos bastante precisos desen-
volvidos por Arquimedes (287 minus 212 aC) para obter suas demonstraccedilotildees rigorosas das
foacutermulas de aacutereas e volumes em que frequentemente guravam seacuteries innitas
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 24
Consideradas duas grandezas desiguais se da maior subtraiacutemos umagrandeza maior que sua metade e da que resta uma grandeza maiorque sua metade e se este processo eacute repetido continuamente restaraacuteuma grandeza que seraacute menor que a menor das grandezas consideradas(BOYER [4] 1992 p 4)
Segundo BOYER [4] (1992 p 4) de maneira geral eis uma das citaccedilotildees mais
elementares das noccedilotildees de limites se A eacute a maior das duas grandezas dadas (positivas)
a e A e se un = A2n
entatildeo limnrarrinfin un = 0 lt a
De acordo BOYER [4]
Deve-se notar que enquanto a notaccedilatildeo moderna recorreu ao siacutembolo deinnito a linguagem antiga cuidadosamente evitava qualquer referecircnciaaberta a um processo innito As duas formulaccedilotildees no entanto natildeo es-tatildeo distantes quanto a seu signicado Para mostrar que limnrarrinfin un = 0deve-se demonstrar que dado um nuacutemero ε positivo mesmo que pequeno(o equivalente da grandeza menor a na proposiccedilatildeo de Euclides) pode-seachar um inteiro N (o equivalente da frase de Euclides se este processoeacute repetido continuamente) tal que para n gt N vale a relaccedilatildeo un lt εO Caacutelculo de Euclides (derivado presumivelmente de Eudoacutexio) pode tersido menos efetivo que o de Newton e Leibniz dois milecircnios mais tardemas em termos de ideias baacutesicas natildeo estava muito longe do conceitode limite usado rudemente por Newton e aprimorado no seacuteculo XIX(1992 p 5)
O uacuteltimo matemaacutetico dos tempos medievais a realizar contribuiccedilotildees favoraacuteveis
agrave evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi Papus (c de 320 dC) A partir daiacute houve um decliacutenio um ver-
dadeiro breu secular e histoacuterico de difusatildeoemancipaccedilatildeoevoluccedilatildeoativaccedilatildeo dos conceitos
do Caacutelculo Somente apareceraacute novamente discussatildeo proacutexima agrave teoria do Caacutelculo nos tem-
pos modernos por meio dos trabalhos de Nicole Oresme no seacuteculo XIV e Regiomontanus
no seacuteculo XV
O seacuteculo XV I foi o periacuteodo de reativaccedilatildeo do desenvolvimento dos concei-
tos principais do Caacutelculo Destacam-se nessa empreitada os trabalhos de Simon Stevin
(1548 minus 1620) e Luca Valerio (cerca de 1552 minus 1618) que evitaram a dupla reduction
ad absurdum do meacutetodo da exaustatildeo e zeram uso de um meacutetodo que fazia uma passa-
gem direta ao limite Aliaacutes Stevin o Arquimedes Holandecircs foi o primeiro a demonstrar
numericamente que uma sequencia de nuacutemeros tendia a um valor limite ao analisar pro-
posiccedilotildees relacionadas ao estudo de pressatildeo de uidos embora admitir mais credibilidade
ao tratamento geomeacutetrico
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 25
Nessa linha de defesa observe o relato EVES [11]
()Stevin usava esse meacutetodo em seu trabalho no campo da hidrostaacute-tica para determinar a forccedila exercida pela pressatildeo de um uido sobreum dique vertical Basicamente sua ideia consistia em dividir o diqueem faixas horizontais e entatildeo fazer cada uma girar em torno de suasbordas superior e inferior ateacute que elas se tornassem paralelas ao planohorizontal Fundamentalmente eacute esse o meacutetodo usado loje em dia emnossos textos elementares de Caacutelculo (2004 [11] p424)
Aleacutem de Stevin Johann Kepler (1573minus 1630) e Galileu Galilei (1564minus 1642)
foram pioneiros a evitar os rigores do meacutetodo da exaustatildeo apesar de utilizar incessante-
mente os meacutetodos de Arquimedes Devido a tal atitude foram os responsaacuteveis pela mudan-
ccedilasmodicaccedilotildees no panorama da anaacutelise innitesimal (innitamente grande e innita-
mente pequeno) Nesse sentido eacute vaacutelido ressaltar que Kepler heuriacutestico demasiadamente
para ganhar tempo e economizar trabalho utilizou a adiccedilatildeo de grandezas innitamente
pequenas quando imaginou o volume de cada barril de vinho formado por uma enorme
quantidade de secccedilotildees circulares com altura tendendo a zero e ainda segundo EVES [11]
(2004 p 424) considerava uma circunferecircncia como um poliacutegono regular de um nuacutemero
innito de ladose a partir desse raciociacutenio pode-se estendecirc-lo para caracterizar uma es-
fera como uma reuniatildeo de innitas piracircmides com as peculiaridades de serem delgadas e
com veacutertice coincidente com o centro da esfera
O seacuteculo XV II eacutepoca em que se destacaram os trabalhos elaborados por
Cavalieri Torricelli (1608 minus 1647) Roberval (1602 minus 1675) Descartes Fermat Wallis
Barrow Newton e Leibniz houve uma consideraacutevel produtividade do desenvolvimento da
matemaacutetica com a criaccedilatildeo da geometria analiacutetica e evoluccedilatildeo das teacutecnicas de quadratura
eou cubatura as quais satildeo empregadas a curvas e soacutelidos especiacutecos ou famiacutelias de cur-
vas Eacute vaacutelido ressaltar que o conceito de limite natildeo foi utilizado pelos ceacutelebres nomes
citados nem sequer reconheciam e perceberam a necessidade da fundamentaccedilatildeo de tal
teoria Dentre os diversos estudos de destaque potencial nesse periacuteodo mencionaremos
a contribuiccedilatildeo de Bonaventura Cavalieri (1598 minus 1647) com seu brilhante meacutetodo dos
indivisiacuteveis (Geometria indivisibilibus) em que nos apresenta as preacutevias dos atuais prin-
ciacutepios de Cavalieri ferramentas essenciais para o Caacutelculo Integral moderno e os estudos
de Reneacute Descartes (1596 minus 1650) e Pierre de Fermat (de 1509 ateacute 1608 ou 1601 minus 1665)
com contribuiccedilotildees pontuais para a fundamentaccedilatildeo e para o desenvolvimento da Geometria
Analiacutetica
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 26
Apoacutes o desenvolvimento do campo da geometria analiacutetica as bases do Caacutelculo
moderno estavam prontas para se tornar cada vez mais evidentes e direcionadas agrave reso-
luccedilatildeo dos dois problemas fundamentais do Caacutelculo encontrar retas tangentes a curvas
e determinar valores exatos para aacutereas de regiotildees limitadas pelo menos em parte por
curvas (problemas de quadratura) Nesse sentido faz-se necessaacuterio citar as contribuiccedilotildees
de grande magnitude de um francecircs Fermat trecircs ingleses John Wallis (1616minus1703) Isaac
Barrow (1630minus 1677) Isaac Newtow (1642minus 1727) e um alematildeo Gottfried Wilhelm Leib-
niz (1646minus1716) para o que futuramente seria batizado de Caacutelculo Diferencial e Integral
Eacute vaacutelido ressaltar que tanto o Newton quanto o Leibniz de maneira independente foram
os responsaacuteveis pelo desenvolvimento das bases notaacuteveis do Caacutelculo moderno e por isso
satildeo considerados responsaacuteveis pela invenccedilatildeo
Note que em momento algum foi destacada a necessidade de utilizaccedilatildeo da
teoria de limite Embora tal conceito tenha sido negligenciado em diversos trabalhos eacute
importante destacar que Newton foi o pioneiro no reconhecimento do papel fundamental
que o limite iria desempenhar no desenvolvimento de problemas relativos ao Caacutelculo
(tangecircncias quadraturas e ans) Tal armativa pode ser constatada em seu Livro I
do Principia Mathematica (1687) na qual haacute uma tentativa de formular um conceito de
limite De acordo com BOYER [3]
Quantidades e as razotildees de quantidades as quais em qualquer temponito convergem continuamente para igualdade e antes do nal daqueletempo se aproximam entre si por qualquer dada diferenccedila tornam-seiguais no nal (BOYER [3] 1996 p 274)
O desenvolvimento da matemaacutetica e em particular as aplicaccedilotildees do Caacutelculo
durante o seacuteculo XV III XIX e XX eacute repleto de histoacuterias esplecircndidas e momentos de
contribuiccedilotildees memoraacuteveis agrave expansatildeo da aplicabilidade das teorias relacionadas ao estudo
de Caacutelculo Vaacuterios satildeo os nomes que se destacaram membros da famiacutelia Bernoulli G
F A de LHospital (1661 minus 1704) Johann I (1667 minus 1748) Nicolas I (1687 minus 1759) e
Daniel (1700minus1782) Brook Taylor (1685minus1731) Leonhard Euler (1707minus1783) e Alexis
Claude Clairaut (1713minus1765) Colin Maclaurin (1698minus1746) Jean Le Rond DAlembert
(1717minus 1783) Joseph-Louis Lagrange (1736minus 1813) etc Dentre os ceacutelebres citados os
quais natildeo estabeleceram uma fundamentaccedilatildeo rigorosa para o Caacutelculo eacute vaacutelido destacar
na corrida pela formalizaccedilatildeo do conceito de limite (pilar baacutesico do Caacutelculo ensinado nos
dias de hoje) uma deniccedilatildeo especial como a que foi posta na ceacutelebre Encyclopeacutedie
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 27
(1751 minus 1776) em que DAlembert ponderou que para denir a derivada precisamente
era necessaacuterio entender as noccedilotildees de limite primeiro
Uma quantidade eacute o limite de uma outra quantidade quando a segundapuder se aproximar da primeira dentro de qualquer precisatildeo dada natildeoimporta quatildeo pequena apesar da segunda quantidade nunca exceder aquantidade que ela aproxima (DALEMBERT 1772 apud FINNEYWEIR GIORDANO 2002 [12])
No nal do seacuteculo XV III e durante todo o seacuteculo XIX foi o periacuteodo de
contribuiccedilotildees dos renomados Carl Friedrich Gauss (1777minus 1855) Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768minus 1830) Bernhard Bolzano (1781minus 1848) Augustin Louis Cauchy (1789minus
1857) Niels Henrik Abel (1802minus1829) Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805minus1859) e Karl
Weierstrass (1815minus 1897) Nesse periacuteodo em que houve um estudo cuidadoso e rigoroso
em busca da deniccedilatildeo de limite destacaremos o trabalho desenvolvido por Cauchy (aluno
de Lagrange na Escola Politeacutecnica) e Weierstrass O primeiro embora tenha deixado
de lado a preocupaccedilatildeo com alguns detalhes teacutecnicos foi responsaacutevel por apresentar a
deniccedilatildeo mais proacutexima de limite que conhecemos atualmente Jaacute o segundo restabeleceu
o conceito original de limite proposto por Cauchy com tratamento estritamente aritmeacutetico
e utilizando apenas valores absolutos e desigualdades Weierstrass aleacutem de corrigir os
descuidos e erros de Cauchy formulou a deniccedilatildeo de limite empregada nos diversos livros
de Caacutelculo da era moderna na matemaacutetica e continuou suas contribuiccedilotildees estabelecendo
todo o rigor aritmeacutetico adotado no Caacutelculo e na anaacutelise matemaacutetica
Segundo BOYER [3] eacute creditada a Cauchy a introduccedilatildeo de limite de maneira
aperfeiccediloada quando publicou em 1821 em seu Cours danalyse de lEacutecole Polytechnique
Quando os valores sucessivos atribuiacutedos a uma variaacutevel aproximam-se indenidamente de
um valor xo chegando a diferir dele tatildeo pouco quanto se deseje este uacuteltimo eacute chamado
limite de todos os outros Jaacute a Weierstrass de acordo Boyer coube o trabalho de explicar
de maneira elegante e precisa substituir as ideias vagas de aproximaccedilatildeo na deniccedilatildeo de
limite de Cauchy-Bolzano por ideias que utilizavam eacutepsilon-deltacom uma linguagem
puramente numeacuterica
() Diz-se que L eacute um limite da funccedilatildeo f(x) para o valor x = a sedado qualquer nuacutemero positivo ε existe um nuacutemero positivo δ tal que|f(x)L| lt ε para qualquer x que verique 0 lt |xa| lt δ (BOYER [4]1992 p 27)
3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 28
De acordo com o levantamento histoacuterico realizado eacute possiacutevel constatar que
por diversos seacuteculos o conceito de limite foi um tanto vago confuso losoacuteco intuitivo
indenido impreciso imperceptiacutevel negligenciado dentre outros inuacutemeros adjetivos cor-
relacionados A matemaacutetica moderna foi desfrutar das noccedilotildees de limite somente durante
o periacuteodo europeu intitulado de Iluminismo nal do seacuteculo XV III e iniacutecio do seacuteculo
XIX Jaacute a deniccedilatildeo formal (rigorosa loacutegica e correta) apresentada nos livros de Caacutelculo
atuais foi formalizada por volta do ano 1856 (haacute uns 160 anos)
Figura 32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-
ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1 + 2460
+ 51602
+ 10603
= 1414212
Fonte ptwikipediaorgwikiMatemaacuteticababilnica[35]
29
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA
EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA
Segundo os anais da histoacuteria da Matemaacutetica a constataccedilatildeo da presenccedila das no-
ccedilotildees de limite iniciou desde os tempos antigos ateacute o desenrolar da invenccedilatildeoevoluccedilatildeoaplicaccedilatildeo
do Caacutelculo (seacuteculos XV II XV III XIX) De acordo com BOYER [4] tal descoberta
jaacute impressionava e tirava o sono de estudiosos gregos
() Foi um choque para a comunidade matemaacutetica grega tomar conheci-mento de que haacute coisas como segmentos de reta incomensuraacuteveis e que aocorrecircncia dessa situaccedilatildeo eacute espantosamente comum isto eacute que conceitosans ao Caacutelculo aparecem nas mais elementares situaccedilotildees Os diaacutelogosde Platatildeo mostram que os matemaacuteticos da eacutepoca caram profundamentepertubados com essa descoberta (BOYER [4] 1992 p 3)
Ainda nessa linha assim se pronunciou EVES [11]
() Esses conceitos tecircm tanto alcance e tantas implicaccedilotildees no mundomoderno que talvez seja correto dizer que sem algum conhecimento delesdicilmente hoje uma pessoa poderia considerar-se culta (EVES [11]2004 p 417)
Eacute importante ressaltar que a ordem do desenvolvimento histoacuterico do Caacutelculo
foi diferente da ordem apresentada nos livros textos e cursos baacutesicos sobre o assunto isto
eacute houve inicialmente o surgimento do Caacutelculo Integral e muito tempo depois apareceram
os conceitos ligados ao Caacutelculo Diferencial Segundo EVES [11]
() A ideia de integraccedilatildeo teve origens em processos somatoacuterios ligadosao caacutelculo de certas aacutereas e certos volumes e comprimentos A diferen-ciaccedilatildeo criada bem mais tarde resultou de problemas sobre tangentes acurvas e questotildees sobre maacuteximos e miacutenimos Mais tarde ainda vericou-se que a integraccedilatildeo e a diferenciaccedilatildeo estatildeo relacionadas entre si sendocada uma delas operaccedilatildeo inversa da outra (EVES [11] 2004 p 417)
Assim eacute possiacutevel vericar uma gama de assuntos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular nas fases nais do Ensino Fundamental e durante o Ensino Meacutedio que evocam as
ideias correlatas do Caacutelculo e em particular as noccedilotildees de limite Embora seja possiacutevel
constatar a presenccedila das noccedilotildees de limite e de integral no Ensino Fundamental haacute um
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 30
consenso de que natildeo eacute pedagogicamente correto destacar a presenccedila de tais conceitos nessa
fase dado que um nuacutemero consideraacutevel de alunos ainda natildeo possui maturidade (manipula-
ccedilatildeo algeacutebrica soacutelida poder de abstraccedilatildeo consolidado domiacutenio amplo da aritmeacutetica etc)
suciente para compreender tamanho grau de abstraccedilatildeoexigecircncia Caso haja alunos com
tal capacidade eacute recomendado propor em aulas especiais direcionadas didaticamente com
a linguagem de assimilaccedilatildeo proacutepria bem proacutexima dos alunos Nesse iacutenterim a presenccedila
da noccedilatildeo intuitiva de limite e ideais correlatas de integral pode ser destacada de forma
construtiva e com grau de abstraccedilatildeo passiacutevel de entendimento em pelo menos trecircs pontos
especiacutecos estudados no Ensino Fundamental a primeira abordagem pode ser inserida
a partir do momento em que o professor inicia o estudo dos nuacutemeros racionais (diacutezimas
perioacutedicas) o segundo enfoque pode ser aplicado ao demonstrar de maneira completa o
Teorema de Tales e a terceira citaccedilatildeo deve ocorrer ao estudar aacutereas de guras planas
principalmente ao apresentarprovar a aacuterea de uma regiatildeo retangular A exibiccedilatildeo desses
toacutepicos direcionada ao Ensino Fundamental pode ser conferida ao realizar a leitura do
capiacutetulo referente agraves sequencias didaacuteticas sugeridas posteriormente nessa dissertaccedilatildeo
Na ordem cronoloacutegica e didaacutetica dos livros atuais de matemaacutetica do Ensino
Meacutedio nota-se a necessidade de introduccedilatildeo das noccedilotildees de limite jaacute na 1a seacuterie Ao estudar
a representaccedilatildeo decimal de nuacutemeros racionais innitos e perioacutedicos jaacute se faz uso impliacutecito
do conceito de limite Nessa mesma linha ao apresentar os nuacutemeros irracionais e reais
tambeacutem eacute necessaacuterio em diversos pontos citar a ideia de limite Em seguida haacute necessidade
de mencionar a referida teoria ao estudar as minuacutecias de uma funccedilatildeo seja ela qual for
principalmente ao realizar a anaacutelise graacuteca Tambeacutem eacute possiacutevel vericar a aplicabilidade
de limite ao estudar sequecircncias em particular e em maior grau ao estudar a soma de uma
seacuterie convergente (progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo (q) denida por (0 lt |q| lt 1) Aleacutem
disso pode-se adaptar a referida soma numa aplicaccedilatildeo praacutetica usual e diaacuteria que consiste
no estudo de capitalizaccedilatildeo contiacutenua em Matemaacutetica Financeira (deniccedilatildeo do nuacutemero de
Euler) Eacute possiacutevel promover atividades interdisciplinas com a Fiacutesica e com a Quiacutemica
Relativamente agrave primeira justica-se a correspondecircncia durante o estudo de Mecacircnica
(velocidade e aceleraccedilatildeo instantacircnea trabalho realizado por uma forccedila etc) Enquanto
a segunda a associaccedilatildeo pode ser feita durante o estudo de Desintegraccedilatildeo Radioativa Ao
estudar Geometria plana eacute possiacutevel embutir agraves noccedilotildees de limite ao inserir o conceito de
grandezas incomensuraacuteveis ao demonstrar o Teorema de Tales e consequentemente ao
aplicaacute-lo ao estudo de semelhanccedila de triacircngulos e nalmente ao introduzir o estudo de
4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 31
aacutereas de guras planas (ciacuterculo e suas partes segmento paraboacutelico hipeacuterboles etc) em
particular aquelas que apresentam pelo menos um lado curviliacuteneo
Durante a 2a seacuterie ou fase nal da 1a haacute necessidade de menccedilatildeo a ideia de
limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas aleacutem de aparecer ao estudar aacutereas
superciais e volumes de soacutelidos geomeacutetricos Tambeacutem nota-se indiacutecio ao estudar o caacutel-
culo de determinantes ao discutir sistemas lineares ao resolver problemas de contagem
(somatoacuterios de seacuteries especiacutecas) pertencentes agrave anaacutelise combinatoacuteria e ao investigar de-
terminadas probabilidades associadas a problemas baacutesicos De maneira interdisciplinar
constata-se a necessidade de ecircnfase no estudo do trabalho realizado por um gaacutes numa
transformaccedilatildeo isoteacutermica (Lei de Boyle) por exemplo
Jaacute na 3a seacuterie eacute possiacutevel incrementar o estudo de Geometria Analiacutetica Cocircnicas
e Polinocircmios com uma abordagem que evoque o emprego das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo
(limite derivada e integral) Aleacutem disso eacute possiacutevel promover atividades suplementares
que apliquem as ideias correlatas do Caacutelculo em toacutepicos do estudo de eletricidade (campo
eleacutetrico potecircncia corrente etc)
32
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS
A importacircncia do estudo de limites derivadas e integrais pode ser vericada
ao analisar os nuacutemeros relativos agraves grades dos cursos ofertados pelas universidades fe-
derais e por algumas faculdades particulares Por exemplo a Universidade Federal do
Espiacuterito Santo (UFES) oferece 90 cursos de graduaccedilatildeo (total de 4975 vagas anuais) e des-
ses haacute uma variedade de cursos cujas ementas empregam direta ou indiretamente noccedilotildees
elementares de Caacutelculo tais como Fiacutesica Quiacutemica Estatiacutestica Matemaacutetica Ciecircncias Bi-
oloacutegicas Administraccedilatildeo Arqueologia Medicina Farmaacutecia Ciecircncias Contaacutebeis Ciecircncias
Econocircmicas Engenharias Arquitetura e Urbanismo Psicologia Agronomia Zootecnia
Sistemas de Informaccedilatildeo Desenho Industrial Tecnologia Mecacircnica Oceanograa e Ciecircncia
da Computaccedilatildeo Dentre os cursos de bacharelados e licenciaturas distribuiacutedos em turnos
(Diurno Vespertino e Noturno) e espalhados pelo Campus da UFES mais de 50 neces-
sita do conhecimento de ideias correlatas do Caacutelculo isto eacute mais da metade dos futuros
prossionais a serem formados pela UFES precisam estudar impliacutecita ou explicitamente
noccedilotildees de limite derivada e integral
Somente os dados relatados no paraacutegrafo anterior seriam sucientes para jus-
ticar o retorno do emprego de noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo no Ensino Meacutedio poreacutem haacute
outros fatores que reforccedilam a temaacutetica abordada nesse trabalho De acordo com informa-
ccedilotildees fornecidas pelos meios regulamentadores da educacional nacional de niacutevel superior
na aacuterea de Engenharias haacute uma reduccedilatildeo (nos vestibulares do paiacutes) no nuacutemero de inscritos
em cursos de exatas e aumento constante da evasatildeo dos alunos matriculados em cursos
que envolvam o emprego de elementos do Caacutelculo em particular os de engenharia de-
vido agrave diculdade encontrada pelos alunos via anaacutelise preliminar da grade curricular do
curso pretendidoe em parte pelo fato de natildeo receber orientaccedilotildees sobre toacutepicos correlatos
do caacutelculo diferencial e integral no ensino fragmentado e desmotivador promovido pela
maioria das escolas brasileiras haacute seacuteculos em geral natildeo estar sendo realizado um traba-
lho interdisciplinar signicativo e com respaldo de preparaccedilatildeo para o ingresso futuro no
ensino superior
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 33
Uma proposta de mudanccedila desse panorama preocupante pode ser realizada via
inclusatildeo de conceitos baacutesicos do Caacutelculo Diferencial e Integral no Ensino Meacutedio fato que
proporcionaria aos alunos aulas motivadoras interdisciplinares e mais proacuteximas da reali-
dade dos alunos com uma discussatildeo mais ampla natural generalizada e contextualizada
de conteuacutedos do proacuteprio Ensino Meacutedio Entretanto para que essa inclusatildeo ocorra eacute ne-
cessaacuterio que os cursos de Licenciatura em Matemaacutetica formem professores capazes de lidar
com essa realidade Sendo assim o Caacutelculo Diferencial e Integral deve ser apresentado
aos licenciandos como uma disciplina baacutesica poreacutem ampla e integradora propiciando aos
futuros professores uma visatildeo mais geral e segura dos conteuacutedos do Ensino Meacutedio Eacute im-
portante salientar que haacute estados brasileiros que apresentam noccedilotildees de Caacutelculo em seus
curriacuteculos escolares baacutesicos do Ensino Meacutedio
Antes de iniciar as consideraccedilotildees quanto agrave existecircncia ou natildeo das noccedilotildees intui-
tivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo nos livros dos diversos autores renomados
cujos livros didaacuteticos satildeo amplamente adotados para tornar completa a breve discussatildeo
histoacuterica e embasada pela opiniatildeo de diversos autores eacute salutar a realizaccedilatildeo de um diag-
noacutestico informal da situaccedilatildeo em que se encontram os cursos de que necessitam do emprego
da disciplina de Caacutelculo em suas grades curriculares Aleacutem disso faremos uma reexatildeo
do ensino de matemaacutetica no Brasil
Segundo a LDB [30] o Ensino Meacutedio eacute a etapa nal da educaccedilatildeo baacutesica(Art35)
e o mesmo deve possuir um curriacuteculo com a caracteriacutestica da terminalidade isto eacute segundo
o PCNEM (2000) [20] o Ensino Meacutedio deve ser capaz de
() assegurar a todos os cidadatildeos a oportunidade de consolidar e apro-fundar os conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental aprimoraro educando como pessoa humana possibilitar o prosseguimento de estu-dos garantir a preparaccedilatildeo baacutesica para o trabalho e a cidadania dotaro educando dos instrumentos que o permitam continuar aprendendotendo em vista o desenvolvimento da compreensatildeo dos fundamentos ci-entiacutecos e tecnoloacutegicos dos processos produtivos(Art35 incisos I a IV)(PCNEM [21] 2000 p 9)
Fazer com que haja continuaccedilatildeo dos estudos posteriormente em niacuteveis superi-
ores eacute uma meta arrojada uma vez que os resultados das avaliaccedilotildees institucionais como o
Sistema Nacional de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) e o Exame Nacional do Ensino
Meacutedio (ENEM) cujas provas satildeo produzidas pelo governo federal indicam um iacutendice de
fracasso ao teacutermino do ensino meacutedio pois uma parcela consideraacutevel dos formandos apre-
sentam diculdades baacutesicas na compreensatildeo de conceitos e procedimentos fundamentais
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 34
quanto agraves operaccedilotildees aritmeacuteticas e compreensatildeo geral via interpretaccedilatildeo Contudo ainda
se faz necessaacuterio propor algo que facilite a vida desses alunos pois aqueles que ingressam
no ensino superior em especial aos cursos que necessitam de uma veia na aacuterea de exatas
vatildeo se deparar com a disciplina de Caacutelculo que requer o domiacutenio amplo da matemaacutetica
baacutesica para conseguir acompanhar o grau de abstraccedilatildeo a ser introduzido por meio da
compreensatildeo das noccedilotildees iniciais de limite derivada e integral
De acordo com NIETO (2005 p7) [36] eacute certo que uma reforma deveria ser
iniciada nos ensinos fundamental e meacutedio no entanto esse aluno estaacute chegando ao curso
superior e noacutes professores universitaacuterios natildeo podemos enviaacute-los de volta E mais eacute
possiacutevel constatar que a situaccedilatildeo vem se agravando nos uacuteltimos anos devido agraves diculda-
des de aprendizagem de Matemaacutetica no Ensino Fundamental e Meacutedio evidenciadas pelos
resultados das avaliaccedilotildees sob a coordenaccedilatildeo do INEP tais como as provas do Sistema de
Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) do Exame Nacional do Ensino Meacutedio (ENEM)
e do Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo de Alunos (PISA) Essa conjuntura implica
diretamente na avaliaccedilatildeo da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral pois os alunos
com pouca bagagem de matemaacutetica baacutesica certamente produziratildeo rendimentos aqueacutem
das possibilidades contribuindo para o aumento dos iacutendices de reprovaccedilatildeo na referida
disciplina Isso nos conduz ao seguinte raciociacutenio Por que natildeo incluir na preparaccedilatildeo dos
alunos do Ensino Meacutedio toacutepicos que faccedilam a conexatildeo com os conceitos do Caacutelculo Dife-
rencial e Integral (um curso de nivelamento preacute-caacutelculo) Por que natildeo criar estrateacutegias
didaacuteticas que promovam a interdisciplinaridade e transforme o aprendizado dos conteuacute-
dos mais sosticado Com absoluta certeza eacute notoacuterio entre os professores e alunos via
anaacutelise de questionaacuterios acessiacuteveis em anexos que tais iniciativas podem tornar o extenso
curriacuteculo menos complexo mais loacutegico e ainda repleto de conteuacutedos natildeo fragmentados e
com signicados respaldados nas diversas contextualizaccedilotildees e interdisciplinaridades dis-
poniacuteveis e acessiacuteveis ao dia-a-dia do aluno Isto eacute eacute possiacutevel ensinar toacutepicos intuitivos
de limite derivada e integral durante o Ensino Meacutedio tanto na Matemaacutetica quanto na
Fiacutesica e Quiacutemica poreacutem eacute necessaacuterio realizar mudanccedilas nos PCN no curriacuteculo baacutesico
escolar capacitar professores e produzir material suplementar que preencha as lacunas
encontradas nos principais livros didaacuteticos utilizados atualmente
Num artigo publicado na RPM o professor Geraldo AacuteVILA [1] faz o seguinte
questionamento sobre a inclusatildeo de toacutepicos do Caacutelculo no Ensino Meacutedio
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 35
Por que natildeo ensinamos Caacutelculo na escola de segundo grau Seraacute queeacute um assunto muito difiacutecil Foi sempre assim no passado ou jaacute houveeacutepoca em que o Caacutelculo era ensinado na escola secundaacuteria E nos outrospaiacuteses como eacute a situaccedilatildeo Eacute ou natildeo conveniente introduzir o Caacutelculo noensino Por que Como fazer isso (AacuteVILA [1] 1991 p1)
Eacute vaacutelido ressaltar que uma introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial e Integral jaacute
esteve presente no curriacuteculo escolar baacutesico Segundo CARVALHO (1996) [5] a participaccedilatildeo
ocorreu em dois momentos distintos em 1891 com a reforma proposta por Benjamim
Constant no iniacutecio da Repuacuteblica foi a primeira oportunidade em que houve constataccedilatildeo
da presenccedila e a segunda iniciou em 1942 durante a Reforma Capanema ocorrida no
governo de Getuacutelio Vargas permanecendo ocialmente ateacute 1961 Durante as deacutecadas de
60 e 70 inuenciado pelo movimento da Matemaacutetica Moderna o ensino brasileiro sofreu
mudanccedilas consideraacuteveis dentre elas a exclusatildeo do Caacutelculo do programa baacutesico de ensino
Tambeacutem eacute importante citar que ateacute nos dias atuais ainda encontra-se alguns
livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio que fazem menccedilatildeo a toacutepicos relativos ao Caacutelculo em-
bora sejam negligenciados por parte dos professores e gestores com o pretexto de que
ampliariam o jaacute extenso curriacuteculo e aleacutem disso a linguagem empregada eacute inacessiacutevel aos
estudantes isto eacute quando haacute presenccedila no livro didaacutetico natildeo ocorre inclusatildeo no curriacuteculo
escolar baacutesico Na verdade o que se faz nos dias atuais nas escolas de Ensino Meacutedio das
redes puacuteblica e privada eacute um verdadeiro curso preacute-ENEM (curso preacute-vestibular) extensivo
aos trecircs anos de estudo no Ensino Meacutedio com o intuito de promover a instituiccedilatildeo com
iacutendices de aprovaccedilatildeo em faculdades e universidades do paiacutes em detrimento ao estiacutemulo a
um ensino construtivo signicativo e passiacutevel de ser aproveitaacutevel em estudos posteriores
no ensino superior ou tecnoloacutegico Imagine como reagiria um professor enclausurado nesse
sistema de ensino que prioriza conteuacutedos fragmentados e sem signicados ao ser questi-
onado com uma pergunta simples do tipo O que eacute limite derivada e integral Onde
aplico tais ideiasMuitos colegas de prossatildeo jaacute responderam assim Quando vocecirc es-
tudar Caacutelculo vocecirc saberaacute Ou entatildeo Isso vocecirc soacute aprende na faculdade Essa atitude
com absoluta certeza desapontaria demais o aluno aacutevido pelo conhecimento e talvez ateacute
sepultaria uma mente prodigiosa apta ao desenvolvimento do Caacutelculo
Ainda nesse sentido observe a opiniatildeo de AacuteVILA (1991 p1-9) [1] o qual
defende que o conceito de derivada pode ser ensinado com grande vantagem logo na
primeira seacuterie do segundo grau ao lado do ensino de funccedilotildeese ainda destaca a importacircncia
do estudo da derivada na continuidade do estudo de funccedilotildees em especial as polinomiais e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 36
as suas variadas aplicaccedilotildees cientiacutecas principalmente no estudo do movimento na Fiacutesica
Antes da compreensatildeo do conceito de derivada eacute necessaacuterio compreender e
dominar as noccedilotildees de limite pois a derivada eacute uma aplicaccedilatildeo de limite e sua deniccedilatildeo
atual utiliza as noccedilotildees de limite O domiacutenio de parte das propriedades decorrentes do
estudo de derivadas faraacute com que o entendimento de determinadas propriedades relativas
ao estudo de funccedilotildees tanto na Matemaacutetica quanto na Fiacutesica seja compreendida com mais
argumentos de maneira mais coerente contextualizada e interdisciplinar
Nessa linha eacute imprescindiacutevel mencionar o artigo Caacutelculo no Segundo Grau
publicado na RPM n 20 do professor Roberto Costallat DUCLOS (1992) [10] que segue
e apoia a linha de defesa do professor AacuteVILA sobre a possibilidade de difusatildeo de novas
ideias e sobretudo pela gama de aplicabilidade de seus meacutetodos
De acordo com os argumentos exposto pelo professor Geraldo AacuteVILA [1] na
RPM 18 eacute possiacutevel introduzir o Caacutelculo Integral no Ensino Meacutedio de modo a incitar o
interesse e a curiosidade desde que seja de maneira intuitiva dando ecircnfase as ideias e
aplicaccedilotildees em detrimento das teacutecnicas e suas propriedades Ele ainda faz uma criacutetica
agravequeles que opinam de forma contraacuteria
A ideia de que os programas de matemaacutetica satildeo extensos e natildeo compor-tariam a inclusatildeo do caacutelculo eacute um equiacutevoco Os atuais programas estatildeoisto sim mal estruturados (AacuteVILA [1] 1991 p 1-9)
Apoacutes exibir o panorama da educaccedilatildeo matemaacutetica nacional e citar as contribui-
ccedilotildees favoraacuteveis da apresentaccedilatildeo das noccedilotildees do Caacutelculo Diferencial e Integral que remetem
a ideia de limite eacute vaacutelido repassar ao leitor do presente trabalho os elementos norteadores
da referida pesquisa ou seja uma lista dos livros didaacuteticos e dos seus respectivos auto-
res com o intuito de criar uma simbologia numeacuterica isto eacute uma legenda de associaccedilatildeo
de cada livro segundo o nuacutemero indicado no rol abaixo com intuito de evitar repeticcedilotildees
desnecessaacuterias
1 Matemaacutetica Contexto amp Aplicaccedilotildees de Luiz Roberto DANTE [9] (Dante) - Editora
Aacutetica 2010
2 Matemaacutetica de Manoel PAIVA [23] Editora Moderna 2009
3 Matemaacutetica Coleccedilatildeo Novo Olhar de Joamir Roberto de SOUZA [25] Editora FTD
2010
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 37
4 Matemaacutetica Ciecircncia e Aplicaccedilotildees de Gelson IEZZI [15] Osvaldo Dolce David
Degenszajn Roberto Peacuterigo e Nilze de Almeira Editora Saraiva 2010
5 Matemaacutetica Completa de Joseacute Ruy GIOVANNI [29] e Joseacute Roberto Bonjorno (Gi-
ovanni e Bonjorno) Editora FTD 2005
6 A Matemaacutetica do Ensino Meacutedio Coleccedilatildeo do Professor de Matemaacutetica de Elon Lages
LIMA [17] Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner e Augusto Ceacutesar Morgado
Editora SBM 2006 (6a ediccedilatildeo)
7 Fundamentos de Matemaacutetica Elementar (vol 8) Editora Atual 1993 (diversos
autores)
8 Noccedilotildees de Caacutelculo (vol 9) - Seacuterie Matemaacutetica por assunto de Nilson Joseacute Machado
Editora Scipione 1988
9 Caacutelculo de Geraldo Aacutevila Editora LTC 1988
10 Caacutelculo de James Stewart (vol I) Editora Pioneira 2003 (4a Ediccedilatildeo)
Os livros didaacuteticos que foram analisados possuem publicaccedilotildees em trecircs volumes
foram numerados de 1 ateacute 6 Jaacute os livros que possuem volume uacutenico integrado ou livros
especiacutecos de coleccedilotildees divididos por assunto conforme a preferecircncia do autor foram
numerados de 7 ateacute 10 Quantos aos primeiros (de 1 a 6) foi feito uma analise minuciosa
tanto dos conteuacutedos quanto dos guias de orientaccedilatildeo do professor Jaacute os uacuteltimos (de 7
ateacute 10) foram citados simplesmente como sugestatildeo de uma leitura mais renada e com o
intuito de repassar aos professores uma oportunidade de enriquecer seus conhecimentos
com um material didaacutetico de qualidade A escolha dos livros de 1 a 6 eacute justicada pelo
fato de que a maioria desses autores estaacute ou jaacute esteve presente de forma maccedilante nas
escolas puacuteblicas e particulares brasileiras
A anaacutelise realizada nos livros consiste numa investigaccedilatildeo especiacuteca e minuciosa
em busca de pontos (conteuacutedos) que faccedilam menccedilatildeo as noccedilotildees elementares e intuitivas do
Caacutelculo (limite derivada e integral)
Dentre todos os livros analisados destaca-se o livro do DANTE (1) como o
mais completo em todos os aspectos (deniccedilotildees mais rigorosas maior nuacutemero de de-
monstraccedilotildees conteuacutedo contextualizada e interdisciplinar etc) poreacutem eacute vaacutelido ressal-
tar que a linguagem adotada natildeo eacute tatildeo simples assim como os exerciacutecios propostos
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 38
possuem grau de diculdade mais acentuado Aleacutem disso consiste no material didaacute-
tico que mais se aproxima do propoacutesito desse trabalho ou seja de explicar eou jus-
ticar os fatosconteuacutedosteoremas com argumentos satisfatoacuterios e com ideias intuiti-
vasinterdisciplinascontextualizadasconstrutivas sem receio de abordar toacutepicos relativos
ao Caacutelculo Diferencial e Integral
No livro (1) volume 1 a presenccedila das noccedilotildees intuitivas de limite pode ser
vericada no estudo de diacutezimas perioacutedicas na apresentaccedilatildeo do nuacutemero irracional e no
estudo do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica na soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita e no caacutelculo da aacuterea do ciacuterculo Tambeacutem eacute notaacutevel a presenccedila das noccedilotildees de
derivada ao trabalhar com taxa de variaccedilatildeo da funccedilatildeo quadraacutetica e consequente aplicaccedilatildeo
no Movimento Uniformemente Variado (MUV) Nesse iacutenterim tambeacutem ocorre menccedilatildeo
elementar do estudo de integral via aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau No
volume 2 da referida da obra a ideia de limite estaacute presente no estudo da aacuterea da superfiacutecie
esfeacuterica Jaacute no volume 3 haacute um estudo completo das noccedilotildees elementares de derivada via
razatildeo incremental e via aplicaccedilotildees em problemas da Fiacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que tais
noccedilotildees motivaram algumas atividades presentes na sequecircncia didaacutetica a ser apresentada
nesse trabalho O manual do professor embora seja pedagoacutegico com excelentes dicas
de atividades utilizando diversas metodologias recursos didaacuteticos softwares educacionais
e sugestotildees de revistas livros e lmes atrelados ao ensino de matemaacutetica natildeo possui
formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo alguma que oriente o professor a trabalhar com ideias correlatas do
Caacutelculo
O volume 1 do livro (2) haacute apenas uma citaccedilatildeo direta das ideias de limite
ao introduzir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita Jaacute no volume
(2) uma citaccedilatildeo indireta das noccedilotildees elementares de limite ao explicar a aacuterea do ciacuterculo
Quanto ao volume 3 natildeo haacute menccedilatildeo alguma das noccedilotildees elementares do Caacutelculo A
propoacutesito o manual destinado aos professores como suporte de preparaccedilatildeo para suas
aulas natildeo apresenta toacutepicos do Caacutelculo e haacute diversos pontos de erros conceituais
A partir da avaliaccedilatildeo do volume 1 do livro (3) foi possiacutevel vericar que haacute
somente um breve comentaacuterio no estudo de soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
das noccedilotildees de limite E mais natildeo existe citaccedilatildeo no volume 2 e no volume 3 temos
apenas um comentaacuterio ao calcular a aacuterea da superfiacutecie da esfera O guia pedagoacutegico natildeo
menciona elementos do caacutelculo embora promova inuacutemeras situaccedilotildees em que o emprego
das noccedilotildees de caacutelculo poderia se explorada de maneira luacutedica criativa interdisciplinar e
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 39
contextualizada
No livro (4) volume 1 tambeacutem existe uma abordagem de limite no estudo de
soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Enquanto no volume 2 haacute um preluacutedio
das ideias de limite atreladas as noccedilotildees de integral quando aborda a aacuterea do ciacuterculo e
quando explora a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica Em relaccedilatildeo ao volume 3 natildeo haacute citaccedilotildees
intuitivas de limite derivada e integral Embora a quantidade de abordagens de ideias
correlatas do Caacutelculo seja piacutea o manual pedagoacutegico estaacute coberto de estrateacutegias inovado-
ras que podem ser exploradas e incrementadas de noccedilotildees de limite deriva ou ateacute mesmo
integral
Tambeacutem no volume 1 do livro (5) foi possiacutevel constatar que as ideias de limite
estatildeo sendo difundidas ao inserir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Jaacute no
volume 2 da referida obra o autor faz referencia as noccedilotildees de limite e de integral ao provar
o volume da esfera Enquanto o volume 3 apresenta um estudo das noccedilotildees elementares de
limite e de derivadas assim como suas propriedades e aplicaccedilotildees Embora haja capiacutetulos
especiacutecos que abordam toacutepicos do Caacutelculo de maneira simploacuteria e pouco signicativa
o manual pedagoacutegico do professor mostrou-se deciente quanto ao direcionamento do
trabalho para incitar as ideias correlatas do Caacutelculo Eacute bom salientar que a obra analisada
eacute a coleccedilatildeo de trecircs volumes mais antiga anterior a mudanccedila do novo ENEM e talvez isso
seja uma justicativa para o emprego de limite e derivadas em detrimento ao modelo
padronizado dos livros publicados de 2009 em diante que supervalorizam as atividades em
favor de situaccedilotildees problema tipo ENEM
Enm o livro (6) volume 1 da Coleccedilatildeo Professor de Matemaacutetica (SBM) des-
tinada a professores que atual no ensino meacutedio apresenta citaccedilotildees das noccedilotildees intuitivas
de limite e de derivadas com excesso de rigor e abstraccedilatildeo ao estudar a continuidade da
funccedilatildeo proporcionalidade via limite de uma sequencia e ao estudar de forma interdisci-
plinar o MUV via razatildeo incremental (noccedilatildeo intuitiva de derivada) Tambeacutem haacute citaccedilatildeo
das ideias de derivadas ao citar ao estudar as funccedilotildees polinomiais via meacutetodo de Newton
e ainda haacute citaccedilatildeo das noccedilotildees de limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas
via justicativa do comportamento de graacutecos e estabelecimento no nuacutemero de Euler Jaacute
no volume 2 da referida coleccedilatildeo haacute citaccedilatildeo de limite durante o estudo de soma dos termos
de uma progressatildeo geomeacutetrica innita e menccedilatildeo intuitiva de integral ao propor o volume
de corpos redondos (cilindros cones e esferas) E nalmente no volume 3 ocorre uma
menccedilatildeo ao estudo derivada via equaccedilotildees algeacutebricas Eacute vaacutelido ressaltar que natildeo haacute guia de
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 40
orientaccedilatildeo para os professores pois o proacuteprio livro trata-se de uma guia de reexatildeo criacutetica
em relaccedilatildeo agrave abordagem precaacuteria de matemaacutetica encontrada nos principais livros didaacuteticos
do paiacutes O niacutevel dos exerciacutecios dos trecircs volumes eacute de grau elevadiacutessimo e os idealizadores
do referido material satildeo professores do Instituto de Matemaacutetica Pura e Aplicada (IMPA
RJ) o que certamente explica a fundamentaccedilatildeo precisa a preocupaccedilatildeo com o rigor da
linguagem e o grau de abstraccedilatildeo existentes nas proposiccedilotildees demonstraccedilotildees aplicaccedilotildees e
exerciacutecios dos livros em questatildeo
Assim foi possiacutevel avaliar que todos os livros analisados exibiram as noccedilotildees
elementares do Caacutelculo somente durante o estudo da soma dos termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita e em alguns casos de caacutelculo da aacuterea de ciacuterculos aacuterea supercial e
volume de uma esfera Apenas os livros (1) e (5) possuem apresentaccedilatildeo de elementos do
Caacutelculo de maneira sistecircmica e conceitual poreacutem a metodologia natildeo eacute conveniente e a
linguagem empregada estaacute distante da realidade da educaccedilatildeo puacuteblica da rede estadual do
Espiacuterito Santo Essas consideraccedilotildees reetem o caraacuteter defendido nos PCNEM [21] que
natildeo fazem menccedilatildeo a necessidade de repassar aos alunos elementos essenciais do Caacutelculo e
no curriacuteculo baacutesico estadual que apresenta excesso de conteuacutedo e ausecircnciadeciecircncia de
atividades que estimulem a modelagem matemaacutetica e o estudo dirigido de noccedilotildees intuitivas
de limite derivada e integral
A partir da anaacutelise dispostos de forma tabular a seguir eacute possiacutevel inferir de ma-
neira resumida e simplicada as conclusotildees obtidas a partir da anaacutelise dos livros didaacuteticos
investigados e numerados de 1 a 6
5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 41
Tabela 51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos
LIVROS DIDAacuteTICOS ANALISADOS
DANTE PAIVA JOAMIR IEZZI GIOVAN SBM
CONCLUSOtildeES IMEDIATAS 1 2 3 4 5 6
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de limite
SIM SIM SIM SIM SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de derivada
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM SIM
Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-
res de integral
SIM NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO NAtildeO
No manual pedagoacutegico do profes-
sor existe orientaccedilatildeo sobre a in-
serccedilatildeo de noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NPM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira contextua-
lizada intuitiva e construtiva
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Abordam as noccedilotildees elementares
de Caacutelculo de maneira interdisci-
plinar
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Dedicam capiacutetulos exclusivos
para as noccedilotildees elementares do
Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO
Haacute exerciacutecios de xaccedilatildeo que ex-
ploram de modo investigativo as
noccedilotildees de Caacutelculo
SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM
Haacute alguma atividade de explo-
raccedilatildeo das noccedilotildees de Caacutelculo via
software de geometria dinacircmica
ou planilha eletrocircnica
NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO
NPM = NAtildeO POSSUI MANUAL
42
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS
PROFESSORES
De acordo com a anaacutelise dos dados coletados eacute possiacutevel constatar que a maio-
ria dos professores atuantes no niacutevel baacutesico da educaccedilatildeo estaacute negligenciando o ensino das
noccedilotildees intuitivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo em detrimento ao cumprimento
do curriacuteculo preacute-estabelecido pela rede a qual trabalham eou em virtude de direciona-
mento de trabalho visando melhores resultados na prova do Programa de Avaliaccedilatildeo da
Educaccedilatildeo Baacutesica do Espiacuterito Santo (PAEBES) e ENEM Isso se justica por inuacutemeros
fatores formaccedilatildeo deciente durante a graduaccedilatildeo baixo niacutevel de aprendizagem dos alunos
(deacutecit herdado de um Ensino Fundamental tradicional arcaico obsoleto e negligente)
inexistecircncia de material didaacutetico de orientaccedilatildeo especiacuteca ausecircncia de participaccedilatildeo do
tema em estudo no curriacuteculo baacutesico norteador e inexistecircncia de cursos de capacitaccedilatildeo
para aprimorarem seus conhecimentos
Segundo a opiniatildeo geral dos professores que responderam os questionaacuterios os
cursos de licenciaturas em Matemaacutetica poderiam explorar de maneira mais diversicada as
ideias correlatas do Caacutelculo Eacute consensual que a maioria dos professores mestredoutores
das universidades federais poderia aprimorar sua didaacutetica com o intuito de melhorar a
exposiccedilatildeoapresentaccedilatildeo de determinados conteuacutedos e aleacutem disso sugeriram que a apre-
sentaccedilatildeo de conteuacutedos correlacionados ao Caacutelculo seja realizada por meio de estrateacutegias
diferenciadas (recursos didaacuteticos e modelagem matemaacutetica) Isso pode contribuir de ma-
neira signicativa para melhorar os niacuteveis de aprendizagem durante a fase de graduaccedilatildeo
e ao mesmo tempo servir de estiacutemulo para estudos posteriores Eacute certo que a realidade
vem melhorandoultimamente devido exigecircncias impostas pelas poliacuteticas governamen-
tais em melhorar os altos e absurdos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo I mas
em contrapartida os setores responsaacuteveis pela validaccedilatildeo de complementaccedilotildees (licenciatu-
ras curtas) e alguns cursos de Licenciatura a distacircncia sejam mais rigorosos ao avaliar
o conceito dessas graduaccedilotildees para que a formaccedilatildeo desses professores seja qualidade ex-
celente ao ponto de acumular bagagem de estaacutegio e conhecimento especiacuteco suciente
para explorar ao maacuteximo a capacidade de seus alunos A realidade vivenciada nos editais
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 43
de contrataccedilatildeo de professores de designaccedilatildeo temporaacuteria seja da secretaria de educaccedilatildeo
municipal ou estadual do Espiacuterito Santo aparenta nos remeter a ideia de que o tiacutetulo
eacute mais importante do que o conteuacutedo o objeto de estudo analisado Esse dado eacute um
fator que contribui indiretamente para a reduccedilatildeo da procura de alunos para as licencia-
turas na UFES e IFES Por exemplo o curso de Matemaacutetica no processo seletivo 1 UFES
20132014 ofereceu 50 vagas das quais apenas 27 alunos conseguiram obter notas que os
capacitassem para prosseguir o curso
Aqueles professores que relataram citaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
em pontos especiacutecos do Ensino Meacutedio informaram que fazem apenas uma abordagem
supercial sem embasamento teoacuterico com pouca mobilidade metodoloacutegica e sem respaldo
curricular Tambeacutem relataram que os poucos cursos de capacitaccedilatildeo que existem ocorrem
em horaacuterios e dias natildeo convenientes (recesso eou feacuterias nais de semana etc) Quanto ao
respaldo curricular os professores argumentaram que os PCNEM natildeo apresentam menccedilatildeo
alguma agrave introduccedilatildeo das ideias intuitivas do Caacutelculo E caso houvesse uma mudanccedila nesse
documento haveria necessidade de curso de formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo com material didaacutetico
autoexplicativo e focado na realidade da educaccedilatildeo baacutesica dado que os referidos docentes
natildeo fazem ideia de como realizar a introduccedilatildeo de tais conceitos no modelo educacional
vigente
Os docentes tambeacutem nos disseram que caso fossem questionados sobre algum
ponto que requeresse citaccedilatildeo de noccedilotildees elementares do Caacutelculo a priori deixariam a
discussatildeo de forma particular com o aluno que promoveu a pergunta ou entatildeo daria uma
desculpa qualquer de que tais noccedilotildees seratildeo discutidas posteriormente no Ensino Superior
somente para os privilegiados que estudaratildeo a disciplina de Caacutelculo
Os dados da pesquisa servem para uma reexatildeo sobre a situaccedilatildeo do ensino de
matemaacutetica embora o espaccedilo amostral esteja concentrado nas escolas da Grande Vitoacuteria
pode ser que esteja dissipada ao redor do estado Isso pode ser um obstaacuteculo agrave inser-
ccedilatildeo de elementos intuitivos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio pois eacute um tema bastante
discutiacutevel e natildeo dispomos de um modelo de educaccedilatildeo pronto que resolva os problemas men-
1Observaccedilatildeo o processo seletivo da UFES para o curso de Matemaacutetica eacute diferente dos demais pois o
aluno eacute preacute-aprovado para a 2a etapa e em seguida deve cursar durante o proacuteximo semestre duas disciplinas
Matemaacutetica Baacutesica I e II com a prerrogativa de obter rendimento miacutenimo de meacutedia nal de 50 pontos
em cada disciplina caso contraacuterio o aluno natildeo estaacute apto para prosseguir no curso de Matemaacutetica e o
mesmo eacute eliminado do certame
6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 44
cionados Talvez tal negligecircncia tenha como consequecircncia agravante rendimentos piacuteos
por parte da maioria dos estudantes evasatildeo universitaacuteria e fuga aos cursos que requerem
conhecimento preacutevio de Caacutelculo poreacutem o universo estatiacutestico analisado natildeo eacute suciente
para tal conclusatildeo mas sim para uma reexatildeo As propostas a seguir tecircm a pretensatildeo
de preencher as lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos quanto ao repasse de noccedilotildees ele-
mentares de limite derivada e integral durante a educaccedilatildeo baacutesica Assim como promover
uma orientaccedilatildeo para os professores da educaccedilatildeo baacutesica por intermeacutedio de atividades praacute-
ticas construtivas contextualizadas e interdisciplinares Eacute vaacutelido ressaltar que o referido
trabalho jaacute eacute realizado em determinados estados brasileiros (Satildeo Paulo Minas Gerais
Rio Grande do Sul e Paranaacute) e aleacutem disso na Franccedila Portugal e Espanha o Caacutelculo
Diferencial e Integral eacute conteuacutedo do curriacuteculo miacutenimo comum obrigatoacuterio na educaccedilatildeo baacute-
sica Nos estados brasileiros que fazem referecircncia as noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio
a inclusatildeo do tema eacute inserida de maneira indireta transversal e interdisciplinar de acordo
com as duacutevidas e o grau de abstraccedilatildeo que o assunto requer A implementaccedilatildeo de nossa
proposta eacute uma tentativa de reduzir o grande abismo entre a educaccedilatildeo baacutesica e o ensino
superior Aleacutem disso pretendemos contribuir para o aumento da procura por cursos de
exatas nos vestibulares para a consideraacutevel melhora no rendimento universitaacuterio dos alu-
nos que cursavam disciplinas de Caacutelculo e para a promoccedilatildeo de um ensinoaprendizagem
mais signicativo concreto interdisciplinar contextualizado e motivador
Embora as noccedilotildees de limite derivada e integral natildeo estejam presentes de forma
direta e obrigatoacuteria no curriacuteculo miacutenimo de conteuacutedos do Ensino Meacutedio no curriacuteculo
escolar paulista (2011) haacute uma argumentaccedilatildeo excelente de defesa do ensino de noccedilotildees de
Caacutelculo na 3a etapa da educaccedilatildeo baacutesica na qual os autores trabalham com a ideia de que
havendo uma boa razatildeo para fazer algo sempre seraacute possiacutevel arquitetar uma maneira de
fazecirc-lo (quem tem um porque arruma um como) Por exemplo haacute uma orientaccedilatildeo
de trabalhar com uma escala de aprofundamento adequada ao grau de conhecimento
do aluno em questatildeo toacutepicos do Caacutelculo Diferencial por meio da anaacutelise de problemas
cotidianos (presentes em jornais e revistas) que medem a rapidez com que uma grandeza
cresce ou decresce em relaccedilatildeo agrave outra (o que futuramente aprenderatildeo como derivada)
Aleacutem disso orientam que o trabalho com o Caacutelculo Integral deve ser ealizado a partir de
uma aproximaccedilatildeo de uma grandeza variaacutevel por uma seacuterie de valores constantes (como se
fosse constante em pequenos intervalos)
45
7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA
Com o intuito de realizar o resgate do repasse das noccedilotildees elementares do
Caacutelculo o presente trabalho estaraacute repleto de atividades que de forma direta eou indireta
citaratildeo as ideias intuitivas de limite de derivada e de integral
De fato haacute uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em par-
ticular durante o Ensino Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees
elementares do Caacutelculo e em caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite De fato haacute
uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em particular durante o Ensino
Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees elementares do Caacutelculo e em
caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite Aleacutem disso os dados das pesquisas realiza-
das revelaram agraves diculdades que muitos professores possuemteriam para expor o tema
tambeacutem foi visto que haacute mais pontos favoraacuteveis que desvantajosos em propor o resgate
da inserccedilatildeo de tais conceitos durante o Ensino Meacutedio e para nalizar foram constatadas
as deciecircncias existentes nas diversas literaturas disponiacuteveis
Assim a principal meta desse trabalho consiste em propor situaccedilotildees praacuteticas
em que haacute a necessidade de empregar e justicar o ensino das noccedilotildees intuitivas de limite e
ideias correlatas do Caacutelculo na educaccedilatildeo baacutesica em especial durante o Ensino Meacutedio Com
o intuito de ajudar colegas de prossatildeo tentamos propor abordagens do ensino das noccedilotildees
intuitivas de limite de derivada e de integral por meio de softwares de geometria dinacircmica
e planilhas eletrocircnicas de maneira que tais conceitos sejam introduzidos passo a passo
(algo bem construtivo) Pretendemos gerar um ambiente de reexatildeo sobre a importacircncia
de justicar determinados toacutepicos da matemaacutetica elementar com maior precisatildeo e aleacutem
disso fornecer subsiacutedios garantidos por lei para continuidade de estudos posteriores A
resoluccedilatildeo de cada situaccedilatildeo problema seraacute feita sempre que possiacutevel a partir dos meacutetodos
propostos por POLYA (1995) [28] os quais podem ser expressos em quatro passos
1 Compreender o problema Nesse 1o passo eacute importante fazer perguntas identicar
qual eacute a incoacutegnita do problemavericar quais satildeo os dados e quais satildeo as condiccedilotildees
entre outros
2 Construccedilatildeo de uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo Nesse 2o passo devemos encontrar as
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46
conexotildees entre os dados e a incoacutegnita caso seja necessaacuterio considerando problemas
auxiliares ou particulares
3 Execuccedilatildeo da estrateacutegia Frequumlentemente o 3o passo eacute considerado o mais faacutecil do
processo de resoluccedilatildeo de um problema Contudo a maioria dos principiantes tende
a pular esta etapa prematuramente e acabam se dando mal
4 Revisatildeo da soluccedilatildeo O 4o passo consiste numa anaacutelise minuciosa da soluccedilatildeo obtida
em que eacute feita a vericaccedilatildeo dos resultados dos argumentos utilizados e da escrita
matemaacutetica aleacutem de ser uma etapa excelente para oportunizar uma reexatildeo sobre
a possibilidade de uma resoluccedilatildeo de modo diferente
Nesse iacutenterim eacute necessaacuterio ter uma preocupaccedilatildeo contiacutenua em realizar uma boa
interpretaccedilatildeo dos exerciacutecios seguida de uma atenciosa coleta de dados chegando ao ponto
de encontrar a melhor estrateacutegia para solucionar a questatildeo e apoacutes aplicar a melhor teacutecnica
(ou a mais conveniente) de resoluccedilatildeo nalizar a atividade por meio de uma revisatildeo da
soluccedilatildeo realizada com ecircnfase e detalhamento de valores obtidos assim como o estudo do
signicado semacircntico algeacutebrico ou geomeacutetrico eacute uma teacutecnica excelente e sugerimos que
se torne praacutetica diaacuteria de professores e alunos
MACHADO (2008) [19] professor e autor de livros de matemaacutetica elemen-
tarsuperior arma em seu artigo Caacutelculo Diferencial e Integral na Educaccedilatildeo Baacutesica
que a presenccedila das ideias baacutesicas do Caacutelculo eacute inserida em no dia-a-dia a partir do mo-
mento em que haacute o estudo analiacutetico do comportamento de grandezas variando com o
tempo Note o relato de MACHADO (2008 p1)
Eacute do diaacutelogo entre a permanecircncia e a variaccedilatildeo juntamente com a buscade uma forma de caracterizaccedilatildeo da rapidez com que uma grandeza variacom outra que nascem as duas ideias fundamentais do Caacutelculo a integrale a derivada (MACHADO 2008 [19] p1)
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO
FUNDAMENTAL
Embora contrarie as expectativas da maioria dos professores de matemaacutetica
atuantes nessa etapa da educaccedilatildeo baacutesica eacute possiacutevel inserir ideias fundamentais e construti-
vas de limite em diversos pontos do ensino fundamental poreacutem haacute trecircs ocasiotildees especiacutecas
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 47
em que o emprego das noccedilotildees intuitivas de limite faz-se necessaacuterio para completar o en-
tendimento e maximizar o ensinoaprendizagem dos alunos no estudo da representaccedilatildeo
decimal das diacutezimas perioacutedicas no estudo da demonstraccedilatildeo completa do Teorema de Ta-
les e no estudo de aacuterea de aacutereas de guras planas em particular a partir da aacuterea de um
retacircngulo
711 Diacutezimas Perioacutedicas
Em geral as diacutezimas perioacutedicas satildeo introduzidas a partir do 7o ano durante
o estudo da representaccedilatildeo decimal dos nuacutemeros racionais Um nuacutemero racional pode ser
representado por um nuacutemero decimal exato (diacutezima exata) que possui um nuacutemero nito
de casas agrave direita da viacutergula ou por um nuacutemero decimal innito e perioacutedico (diacutezima
perioacutedica) que possui um nuacutemero innito de casas agrave direita da viacutergula Em outras
palavras uma diacutezima perioacutedica eacute uma representaccedilatildeo numeacuterica em que haacute uma sequecircncia
nita de algarismos que se repetem indenidamente
Por deniccedilatildeo os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados
por uma fraccedilatildeo isto eacute nuacutemeros da forma pq com p e q nuacutemeros inteiros e q 6= 0 As
fraccedilotildees que geram diacutezimas perioacutedicas satildeo denominadas de fraccedilotildees geratrizes
Para transformar uma fraccedilatildeo (ab)cujo denominador apresente apenas fatores
2 ou 5 em um nuacutemero decimal pode-se aplicar o seguinte meacutetodo Considere b = 2x middot 5y
com x lt y Em seguida multiplique tanto o numerador quanto o denominador por 2yminusx
isto eacutea
b=
a middot 2yminusx
2x middot 5y middot 2yminusx=a middot 2yminusx
2y5y= a middot 2yminusx10minusy
Isso eacute equivalente a calcular o nuacutemero a middot 2yminusx e escrevecirc-lo apoacutes as x casas decimais apoacutes
a viacutergula Note que o caso x gt y eacute anaacutelogo ao anterior poreacutem o fator multiplicativo seraacute
5yminusx Por exemplo
7
20=
7
22 middot 5=
7 middot 52minus1
22 middot 5 middot 52minus1=
35
100= 0 35
A aplicaccedilatildeo desse procedimento para denominadores particulares que produ-
zem fraccedilotildees decimais nem sempre produz um nuacutemero nito de casas apoacutes a viacutergula Um
exemplo simploacuterio seria a tentativa de escrever a representaccedilatildeo decimal da fraccedilatildeo geratriz13 Note que
1
3=
1 middot 103 middot 10
=1
1010
3=
1
103 middot 3 + 1
3=
1
10(3 +
1
3) =
3
10+
1
101
3= 0 3 +
1
101
3
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 48
Repetindo o processo tem-se
1
3= 0 3 +
1
101
3= 0 3 +
1
10(0 3 +
1
101
3) = 0 3 + 0 03 +
1
1001
3
Observe que novamente apareceu a fraccedilatildeo original um terccedilo e eacute evidente que o
mesmo aconteceraacute nas proacuteximas iteraccedilotildees Isto signica que para a representaccedilatildeo decimal
de um terccedilo eacute necessaacuterio innitas casas decimais agrave direita da viacutergula Assim concluiacute-se
que1
3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()
Note que eacute importante que o professor interra com questionamentos sobre a
regularidade dos elementos que surgem nessa soma e com a solicitaccedilatildeo do Caacutelculo para um
nuacutemero particular de parcelas dessa soma A nalidade dessa tarefa eacute mostrar ao aluno
que um terccedilo eacute igual a uma soma de innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica cujo
primeiro termo eacute a1 = 0 3 e cuja razatildeo q = 0 1 (seacuterie convergente) Para calcular essa
soma eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees intuitivas de limite e isso seraacute realizado posterior-
mente nesse trabalho Note ainda que ao multiplicar a ambos os membros pelo nuacutemero
3 tem-se
3 middot 13= 3 middot 0 333rArr 1 = 0 999 = 0 9
Para que os alunos familiarizem-se com o procedimento anterior que utiliza a
ideia de innito de processo indenido proponha atividade de requeiram a determinaccedilatildeo
da representaccedilatildeo decimal por exemplo para as fraccedilotildees 311
e 17 Note que o grau de
diculdade aumenta e aguccedila a curiosidade do aluno Veja o resultado para a fraccedilatildeo
3
11=
3 middot 1011 middot 10
=1
1030
11=
1
10(2 middot 11 + 8
11) =
1
10(2 +
8
11) =
2
10+
1
108
11
Natildeo apareceu explicitamente a fraccedilatildeo 311
na primeira iteraccedilatildeo poreacutem na se-
gunda etapa tem-se 311
= 3middot1011middot10 = 1
103011
= 110(2middot11+8
11) = 1
10(2 + 8
11) = 2
10+ 1
10 811
=
0 2 + 110 80110
= 0 2 + 1100(7middot11+3
11) = 0 2 + 0 07 + 1
100 311
= 0 27 + 1100 311
Ou seja 311
= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1
100middot 311) = middot middot middot = 0 272727 = 0 27
Espera-se com essas atividades que os estudantes consigam assimilar o caraacuteter
perioacutedico e innito das diacutezimas
Em geral uma diacutezima perioacutedica simples de periacuteodo k eacute um nuacutemero que possui
expansatildeo decimal do seguinte modo a b1b2b3bk = a b1b2b3bk E toda diacutezima perioacutedica
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 49
representa um nuacutemero racional isto eacute possui representaccedilatildeo fracionaacuteria dada por
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk
Considere que
r = 0 b1b2b3bk
Daiacute segue que
10r middot r = 10r middot (0 b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)
rArr (10r minus 1)r = b1b2b3bk
rArr r =b1b2b3b410k minus 1
=b1b2b3bk9999
Logo tem-se
a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk = a+ b1b2b3bk
999 middot middot middot 9︸ ︷︷ ︸k repeticcedilotildees de 9
Exemplo motivacional Determine a fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 5 777 middot middot middot
1o modo Desenvolvendo raciociacutenio similar a demonstraccedilatildeo
r = 5 777
rArr 10r = 57 777
rArr 10r minus r = 57 777minus r
rArr 9r = 52
rArr r =52
9
2o modo Aplicando o algoritmo demonstrado
5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7
9=
52
9
A reciacuteproca da demonstraccedilatildeo acima tambeacutem eacute verdadeira ou seja todo nuacutemero
racional eacute representado por uma diacutezima perioacutedica A demonstraccedilatildeo desse fato eacute obtida
por intermeacutedio do algoritmo de divisatildeo de Euclides
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 50
712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Considere a proposiccedilatildeo a seguir proposta por um rico comerciante Tales da
cidade grega de Mileto por volta do V aC conhecida como Teorema de Tales um conjunto
de retas paralelas entre si (feixe de paralelas) cortado por duas transversais (r e s) forma
sobre elas segmentos correspondentes proporcionais isto eacute a razatildeo entre dois segmentos
quaisquer determinados pelo feixe sobre a reta r por exemplo AB e CD eacute igual agrave razatildeo
de seus correspondentes sobre a reta s AprimeBprime e C primeDprime ou seja
AB
CD=AprimeBprime
C primeDprime
A demonstraccedilatildeo desse teorema em geral natildeo eacute realizada nos livros didaacuteticos
do Ensino Fundamental Jaacute nos livros de Ensino Meacutedio eacute apenas apresentada uma parte
da validade para segmentos comensuraacuteveis Diante desse fato consumado eis que surge o
questionamento Por que os livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio natildeo apresentam a demons-
traccedilatildeo para segmentos natildeo comensuraacuteveis
A explicaccedilatildeo para a omissatildeo da segunda parte da prova pode ser justicada
pelo fato de que a manipulaccedilatildeo com nuacutemeros irracionais requer emprego de completude
dos nuacutemeros reais e com certeza o grau de abstraccedilatildeo necessaacuterio pode estar aleacutem das
possibilidades de entendimento do aluno E mais eacute necessaacuterio utilizar noccedilotildees intuitivas
de limite para completar o raciociacutenio
A seguir eacute apresentada de forma completa a demonstraccedilatildeo do Teorema de
Tales
1a parte da demonstraccedilatildeo Sejam r s t e z retas paralelas e a e b retas
transversais
Suponha que AB e CD sejam comensuraacuteveis e que exista um segmento u
(unidade de medida comum entre os segmentos AB e CD) tal que AB = mu e CD = nu
(mn isin N ) isto eacute o segmento u cabe m vezes dentro de AB assim como cabe n vezes
no segmento CD
Logo a razatildeo ABCD
= munu
= mn(I)
Agora pelos pontos que dividem AB e CD em m e n partes congruentes
ao segmento de medida u trace retas paralelas ao feixe com o intuito de subdividir os
segmentos AprimeBprime e C primeDprime em m e n partes iguais a w A partir dessa consideraccedilatildeo tem-se
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 51
a razatildeo AprimeBprime
CprimeDprime =mwnw
= mn(II)
Figura 71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte DANTE [9] 2010 vol1 p 404
Daiacute concluiacute-se a partir das relaccedilotildees (I) e (II) que ABCD
= AprimeBprime
CprimeDprime conforme
queriacuteamos demonstrar
2a parte da demonstraccedilatildeo Sejam a1 i e j retas paralelas e r e s retas trans-
versais
Figura 72 Feixe de retas paralelas cortado por transversais
Fonte GeoGebra
Suponha agora que os segmentos AB e BC sejam incomensuraacuteveis Por co-
modidade suponha que AB seja menor do que BC (caso contraacuterio o raciociacutenio seraacute
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 52
desenvolvido a partir de BC) e divida AB em m partes congruentes com o segmento
u = 1mAB Como u lt AB (dado que a parte eacute menor do que o todo) e como AB lt BC
entatildeo u lt BC
Figura 73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis
Fonte GeoGebra
Pela propriedade Arquimediana (dadas duas magnitudes quaisquer de mesma
natureza a e b existe sempre um nuacutemero inteiro n tal que na gt b) existe um nuacutemero
inteiro n tal que mu gt BC Existindo um nuacutemero com essa propriedade existiraacute uma
innidade porque Nu tambeacutem seraacute maior do que BC para qualquer N gt n Nesse iacutente-
rim pode-se considerar que n eacute o menor dos nuacutemeros inteiros para os quais mu gt BC
Assim sendo (nminus 1)u deveraacute ser menor do que BC ou seja (nminus 1)u lt BC lt nu Como
mu = AB segue que nminus1m
lt BCAB
lt nm Em outras palavras a relaccedilatildeo entre os incomensu-
raacuteveis BC e AB estaacute compreendida entre os racionais nminus1m
e nm Pelas extremidades dos m
segmentos em que AB foi dividido traccedilando-se paralelas ao feixe o segmento DE caraacute
dividido em m partes congruentes com o segmento w = 1mDE ou seja DE = mw Pelas
extremidades dos n segmentos congruentes com u sobre o segmento BC trace as paralelas
ao feixe Sobre a reta s caratildeo determinados n segmentos congruentes a w Denomine
de Kn e Kn+1 as extremidades dos segmentos a partir de C formados respectivamente
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 53
por (nminus 1) e n segmentos congruentes a u Sejam K primen e Kprimen+1 seus correspondentes sobre
a reta s
Observe a situaccedilatildeo descrita geometricamente na gura a seguir
Figura 74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso)
Fonte GeoGebra
Note a partir da gura anterior que C estaacute entre Kn e Kn+1 Agora resta
mostrar que seu correspondente (F ) estaacute entre K primen e K primen+1 Eacute notoacuterio que F natildeo pode
coincidir com K primen ou K primen+1 pois nesses casos DE e EF seriam comensuraacuteveis e por con-
sequecircncia AB e BC tambeacutem seriam o que contrariaria a hipoacutetese imposta O ponto F
correspondente de C natildeo pode estar entre E e K primen pois nesse caso Kn e K primen estariam em
semiplanos opostos em relaccedilatildeo agrave reta KnKprimen de tal modo que a reta Kn+1K
primen+1 cruzaria
a reta KnKprimen o que eacute um absurdo pois ambas satildeo paralelas Com raciociacutenio anaacutelogo
descarta-se a possibilidade de K primen+1 estar entre E e F Logo (nminus1)w lt EF lt nw Como
DE = mw entatildeo nminus1m
lt EFDE
lt nm O que acabou de ser mostrado prova que AB e BC
sobre a reta r satildeo incomensuraacuteveis e a relaccedilatildeo entre eles estaacute entre nminus1m
e nm os segmentos
DE e EF sobre s tambeacutem satildeo incomensuraacuteveis e sua relaccedilatildeo estaacute entre aqueles dois raci-
onais Assim nesse iacutenterim denomina-se nminus1m
e nm respectivamente de aproximaccedilotildees por
falta e por excesso das relaccedilotildees BCAB
e EFDE
Note que a diferenccedila entre tais aproximaccedilotildees eacute1me pode ser feita tatildeo pequena quanto se queira Em outras palavras BC
ABe EFDE
podem
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 54
ser espremidas entre dois nuacutemeros racionais tatildeo proacuteximos quanto se queira ateacute chegar ao
aacutepice intuitivo de que tais razotildees satildeo iguais Para completar a demonstraccedilatildeo eacute necessaacuterio
mostrar que tanto o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por falta natildeo tem maacuteximo como
o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por excesso natildeo tem miacutenimo Essa demonstraccedilatildeo
pode ser encontrada com maior riqueza de detalhes em GARBI (2010 p115) [29]
713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas
Em geral o estudo de aacutereas eacute posterior ao estudo de congruecircncia e semelhanccedila
de triacircngulos Embora seja comum nos livros didaacuteticos apresentar o estudo de aacutereas
assim como suas propriedades no nal do curso de Geometria em WAGNER (1992) [31]
haacute antecipaccedilatildeo da inserccedilatildeo das noccedilotildees de aacutereas
Uma das vantagens de realizar tal inversatildeo na apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos
consiste no fato de evitar a anaacutelise da comensurabilidade dos segmentos em questatildeo
A seguir seraacute exposta a demonstraccedilatildeo via aacutereas
Sejam Bprime e C prime os pontos dos lados AB e ABprime respectivamente do triacircngulo
ABC conforme ilustra a gura a seguir
Figura 75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos
Fonte RPM [31] n 21 p7
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 55
Analisando a gura anterior segue que os segmentos BC prime e CBprime satildeo paralelos
ou seja BprimeC primeBC e partir daiacute eacute possiacutevel concluir que os triacircngulos BprimeC primeB e BprimeC primeC
tecircm mesma aacuterea dado que possuem mesma base (BprimeC prime) e alturas relativas a essa base
tambeacutem iguais Acrescentando a esses triacircngulos o triacircngulo ABprimeC prime concluiacutemos que os
triacircngulos ABC prime e ACBprime tambeacutem possuem a mesma aacuterea Portanto segue que
ABprime
AB=S(ABprimeC prime
S(ABC prime)=S(AC primeBprime
S(ACBprime)=AC prime
AC
714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo
Os livros didaacuteticos da educaccedilatildeo baacutesica natildeo apresentam o caacutelculo da medida
da aacuterea (S) da regiatildeo retangular de maneira construtiva dinacircmica e com explicaccedilotildees
convincentes de que a superfiacutecie retangular eacute dada pelo produto entre a medida da base
(b) e a medida da altura (h) Os autores optam pela abordagem via repasse da foacutermula
sem o devido cuidado de demonstrar sua validade para todos os nuacutemeros reais isto eacute
S = b middot h
Para demonstrar a validade da referida foacutermula eacute necessaacuterio utilizar um proce-
dimento anaacutelogo ao utilizado na prova completa do Teorema de Tales exibido na atividade
anterior isto eacute primeiro eacute mostrado a validade para nuacutemeros racionais e depois eacute esten-
dida para nuacutemeros irracionais Eacute vaacutelido ressaltar que o foco dessa atividade eacute direcionado
para destacar a necessidade de implementar noccedilotildees intuitivas de limite para concluir a
foacutermula de caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
Considere um retacircngulo de lados m e n nuacutemeros naturais particionado em
m middot n quadrados de lado 1 em que m = 6 e n = 5 Note que o retacircngulo eacute composto por
m middot n = 6 middot 5 = 30 quadrados
Em seguida considere um retacircngulo de lados m1
n1e m2
n2 com (m1m2 n1 n2 isin
N) A partir de n1n2 coacutepias desse novo retacircngulo monta-se um retacircngulo maior de lados
m1 e m2 Adicionando aacutereas iguais concluiacute-se que a aacuterea do retacircngulo dado originalmente
eacute igual a m1middotm2
n1middotn2= m1
n1middot m2
n2
Finalmente toma-se um retacircngulo de lados a e b reais positivos e para k isin N
nuacutemeros racionais xk yk uk vk tais que xk lt a lt yk uk lt b lt vk e yk minus xk uk minus vk lt 1k
Sendo S a aacuterea do retacircngulo de lados a e b um argumento anaacutelogo ao feito para quadrados
garante que S e ab pertencem ambos ao intervalo (ukxk ykvk) e daiacute para todo k isin N
71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 56
tem-se
|Aminus ab| lt vkyk minus ukxk
rArr vkyk minus ukxk = (vk minus uk)yk + (yk minus xk)uk lt1
k(yk + uk)
rArr 1
k(yk + uk) =
1
k((yk minus xk) + 2xk + (vk minus uk) + 2uk) lt
1
k(2
k+ 2a+ 2b)
rArr |Aminus ab| lt 1
k(2
k+ 2a+ 2b)
A gura a seguir ilustra o retacircngulo mn em que m = 6 e n = 5
Figura 76 Retacircngulo 6 x 5
Fonte GeoGebra
Note que quanto maior o valor de n as aproximaccedilotildees por falta (xkuk) e por
excesso (vkyk) indicam intuitivamente que a aacuterea do retacircngulo de lados a e b tenderaacute para
S = ab isto eacute
xkuk lt ab lt vkyk
rArr k
nmiddot mnlt
(k + 1)
nmiddot (m+ 1)
n
rArr km(1
n)2 lt ab lt (km+ k +m+ 1)(
1
n)2
rArr 0 lt abminus km(1
n)2 lt (k +m+ 1)(
1
n)2
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57
Quanto maior o valor de n (n tendendo ao innito) melhor seraacute a aproximaccedilatildeo
da aacuterea (correspondente agrave soma de todos os retacircngulos de medidas kne m
n) da pretendida
do retacircngulo dada por S = ab
A gura a seguir representa um retacircngulo 100 e 80 em que a base e a altura
respectivamente foram subdivididas em 100(na) e 80(nb) partes com a mesma unidade
de comprimento
Figura 77 Retacircngulo 100 x 80
Fonte GeoGebra
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ES-
TUDO DE FUNCcedilOtildeES
Inicialmente sugere-se a apresentaccedilatildeo de algumas situaccedilotildees problema que
abordam de forma embutida as noccedilotildees intuitivas de limite de forma praacutetica Inclusive
o presente trabalho possui a preocupaccedilatildeo em mostrar aos alunos a simbologia moderna
utilizada em detrimento das expressotildees e locuccedilotildees de tendecircncia Observe
bull a) Se o cacircmbio do doacutelar americano tende a estabilizar em torno de R$ 233 entatildeo o
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 58
valor pago por 100 doacutelares estabiliza em torno de R$ 23300 Logo podemos falar
que o limite (valor pago por 100 doacutelares) eacute igual a R$ 23300 quando o valor pago por
1 doacutelar tende a R$ 233 Pode-se representar tal situaccedilatildeo por limxrarr100
2 33x = 233
bull b) Imagine uma placa metaacutelica quadrada que se expande uniformemente por estar
sendo aquecida Se x representa o comprimento do lado a aacuterea da placa eacute dada
por A(x) = x2 Evidentemente quando x se aproxima de 5 a aacuterea da placa A se
aproxima de 25 Essa situaccedilatildeo pode ser expressa simbolicamente por limxrarr5
x2 = 25
bull c) Suponha agora que vocecirc esteja dirigindo um automoacutevel Se o acelerador for pres-
sionado para baixo em torno de 4 cm entatildeo a velocidade se manteraacute proacutexima aos 120
Kmh Logo podemos dizer que o limite (velocidade instantacircnea do automoacutevel) eacute
igual a 120 Kmh quando o acelerador tender a 4 cm para baixo Matematicamente
escrevemos tal situaccedilatildeo por limxrarr4
v(x) = 120 onde v(x) eacute a velocidade instantacircnea do
automoacutevel e x eacute a medida em centiacutemetros do deslocamento do pedal do acelerador
bull d) Outra aplicaccedilatildeo interessante do limite de uma funccedilatildeo eacute o caacutelculo da velocidade
instantacircnea de um corpo em queda livre sob a accedilatildeo da gravidade dentre outras
inuacutemeras aplicaccedilotildees interdisciplinares disponiacuteveis
Apoacutes apresentar um panorama de aplicaccedilotildees simples faz-se necessaacuterio propor
o repasse das noccedilotildees intuitivas de limite utilizando o estudo de funccedilotildees De acordo com a
estrateacutegia disseminada pelos livros didaacuteticos uma das melhores formas de expor as ideias
de limite via funccedilotildees consiste em observar o comportamento de uma funccedilatildeo dada nas
proximidades de um ponto em sua vizinhanccedila
Vejamos um exemplo praacutetico Exemplo Observe o estudo analiacutetico do compor-
tamento de uma funccedilatildeo f na vizinhanccedila de um ponto Considere a funccedilatildeo f R2 minusrarr R
denida por
f(x) =x2 minus 4
xminus 2=
(x+ 2)(xminus 2)
xminus 2= x+ 2
Estudando o comportamento da referida funccedilatildeo nas proximidades do ponto
x = 2 dado que o mesmo natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada verica-se que
quando aproximamos os valores de x da abscissa x = 2 haacute uma aproximaccedilatildeo abrupta
para a imagem y = f(x) = 4 mesmo que se tome valores agrave esquerda (x lt 2) ou a direita
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 59
(x gt 2) da abscissa x = 2 Tal constataccedilatildeo sob o ponto de vista numeacuterico pode ser
interpretada a seguir via dados tabelados
Tabela 71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2
Aproximaccedilatildeo pela esquerda (x lt 2) Aproximaccedilatildeo pela direita (x gt 2)
x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2
f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4
Nesse momento eacute possiacutevel discutir com os alunos a noccedilatildeo intuitiva de limite
Note que tomando valores na vizinhanccedila de x = 2 o valor da funccedilatildeo permanece nas
proximidades de y = f(x) = 4 Inserindo a linguagem moderna precisa e concisa pode-se
dizer que ao fazer com que os valores de x tendam para a abscissa x = 2 (xrarr 2) os valores
das imagens tenderatildeo para a imagem y = f(x) = 4 (y rarr 4) a qual seraacute denominada de
limite e representada por L = limxrarr2
f(x) = 4 Note que esse limite representa o valor da
funccedilatildeo para x = 2 poreacutem esse valor de x natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada Tal
episoacutedio serve de base para explicar que o conceito de limite independe de a funccedilatildeo estar
denida naquele ponto especiacuteco e mais serve para representar que o limite de uma dada
funccedilatildeo pode natildeo ser o valor da imagem do ponto em que estamos investigando em sua
vizinhanccedila
Embora tal explicaccedilatildeo seja aceitaacutevel eacute bom ser cauteloso ao explicar a situaccedilatildeo
Caso ainda haja duacutevida recomenda-se a construccedilatildeo do graacuteco da referida funccedilatildeo via Geo-
Gebra Nesse software ao inserir no campo entrada as coordenadas do ponto F = (2 f(2))
o programa indicaraacute na janela de Aacutelgebra a informaccedilatildeo de que tal ponto eacute indenido e
quando inserirmos G = (1999 f(1999)) o GeoGebra indicaraacute um ponto praticamente so-
bre o ponto (2 4) o qual eacute o ponto indenido cuja imagem representaraacute o limite da funccedilatildeo
Oportunidade riquiacutessima para mencionar a relaccedilatildeo importacircnciadependecircncialimitaccedilatildeo de
um software no estudo de Matemaacutetica
Para melhor compreensatildeo observe a imagem capturada da tela do GeoGebra
Eacute interessante mencionar que esse fenocircmeno pode ser generalizado de maneira informal
para qualquer funccedilatildeo f(x) denida em um intervalo aberto em torno de x = a exceto
talvez em x = a Se f(x) ca arbitrariamente proacuteximo de L para todos os valores
de x sucientemente proacuteximos de a dizemos que f tem limite L quando x tende para
a e escrevemos limxrarra
f(x) = L Nesse iacutenterim eacute vaacutelido ressaltar que o conceito formal
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 60
utilizando eacutepsilon e delta seraacute visto em um curso especiacuteco de Caacutelculo I E mais haacute
disponiacutevel diversos sites na internet com variados applets (programas desenvolvido via
GeoGebra) com atividades que explicam toacutepicos do estudo de Caacutelculo por exemplo
em BIZELLI (2014) [33] responsaacutevel pelo site do Instituto de Quiacutemica da Universidade
Estadual de Satildeo Paulo (UNESP) em que disponibiliza applets que orientam diversos
assuntos dentre os quais destacamos o estudo da ideia de limite de uma funccedilatildeo que
corresponde a uma contribuiccedilatildeo construtiva para o conhecimento de forma luacutedica concreta
e com possibilidades de inuacutemeras iteraccedilotildees
Figura 78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita
Fonte Imagem capturada de uma janela do GeoGebra
721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees
Ao estudar a construccedilatildeo dos graacutecos das principais funccedilotildees estudadas durante
o ensino meacutedio diversos questionamentos satildeo levantados por alunos A principal pergunta
dos alunos consiste em como obter garantias sucientes e esclarecedoras sobre o compor-
tamento das curvas (Quando crescem ou decrescem Quando os eixos ou determinas retas
satildeo consideradas assiacutentotas das curvas em questatildeo Selecionando um intervalo qualquer
presente no 1o quadrante por exemplo o que signica e como se calcula a aacuterea sob o
graacuteco dessa funccedilatildeo) Alguns desses e outros questionamentos satildeo frequentes em sala de
aula e serviram de base para a discussatildeo que seraacute feita a partir desse momento
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 61
Ao representar o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau do 2o grau Exponencial
ou Logariacutetmica geralmente representa-se apenas uma parte da funccedilatildeo a partir de valores
discretos para as abscissas Em seguida traccedilamos o graacuteco de maneira natural de acordo
com a amostragem construiacuteda por exemplo via tabela que relaciona o par (x f(x))
Satildeo raros os professores que abrem a discussatildeo em torno de valores contiacutenuos para a
variaacutevel x Uma estrateacutegia boa para garantir aos alunos que o crescimentoconcavidade
da referida natildeo se altera para algum valor de x e que em alguns casos o crescimento tende
para o innito seria utilizar as ferramentas do Caacutelculo mas tais ferramentas natildeo estatildeo
disponiacuteveis no Ensino Meacutedio Daiacute a necessidade de fornecer um suporte especiacuteco de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo para justicardemonstrar algumas propriedades que satildeo
simplesmente comentadas sem a prova de que satildeo vaacutelidas independentemente do valor do
domiacutenio ser discreto ou contiacutenuo isto eacute a validade eacute para todo o domiacutenio real de deniccedilatildeo
da funccedilatildeo um preluacutedio ao conceito de continuidade de funccedilatildeo
As questotildees referentes agrave tendecircncia de crescimento para o innito ou agrave apro-
ximaccedilatildeo a uma reta assiacutentota satildeo explicadas via noccedilotildees de limites Negligenciar tal
discussatildeo como eacute praxe na educaccedilatildeo baacutesica contribui vertiginosamente para a desmoti-
vaccedilatildeo dos alunos e como consequecircncia reduz o rendimento das escolas de educaccedilatildeo baacutesica
e superior
Por exemplo suponha hipoteticamente que um dado aluno do Ensino Meacutedio
faccedila dois questionamentos acerca do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica Por que a funccedilatildeo
logariacutetmica eacute crescentee O que garante que quando os valores de x tendem para o
innito positivo os valores das imagens (f(x)) tendem tambeacutem para o innito positivo
Eacute notoacuterio que inuacutemeros professores do Ensino Meacutedio teriam diculdade em explicar com
transparecircncia e argumentos vaacutelidos tais perguntas Com o intuito de ajudar colegas
que apresentem inseguranccedila diculdade e alguma outra adversidade na arte de lecionar
esse conteuacutedo particular proposto observe a maneira escolhida para justicaacute-las Note
que para explicaacute-las faz-se necessaacuterio formalizaacute-las segundo proposiccedilotildees (teoremas) e em
seguida demonstraacute-las Aleacutem disso verique que a segunda proposiccedilatildeo torna-se suciente
a partir da prova de monotonicidade da primeira
Proposiccedilatildeo 721 A funccedilatildeo logariacutetmica de base 10 (logaritmos decimais) eacute crescente
isto eacute se 0 lt x lt y entatildeo log x lt log y
Demonstraccedilatildeo Sejam x e y dois nuacutemeros positivos com x lt y ou seja existe um nuacutemero
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 62
m gt 1 tal que y = mx Daiacute temos log y = log (mx) = log m + log y Como m gt 1
segue que log m gt 0 Conclusatildeo log y gt log x como queriacuteamos demonstrar
Proposiccedilatildeo 722 Quando x tende para +infin log x tende para +infin Isto eacute quando
tomamos valores positivos cada vez maiores para x o logaritmo decimal cresce e pode
torna-se maior do que qualquer nuacutemero positivo prexado
Demonstraccedilatildeo Dado qualquer nuacutemero real J gt 0 pode-se obter K gt 0 tal que para
todo x gt K se tem log x gt J Assim dado J gt 0 escolhemos primeiro um nuacutemero inteiro
positivo M tal que M gt Jlog 2
Entatildeo log (2M) = M log 2 gt J Tome agora K = 2M
Note que qualquer que seja x gt K como a funccedilatildeo logaritmo de base 10 eacute crescente
tem-se que log x gt log K gt J Isso prova que todos os nuacutemeros reais x gt K possuem
logaritmos decimais maiores do que J Utilizando uma linguagem moderna e avanccedilada
concluiacutemos que limxrarr+infin
log x = +infin
Eacute vaacutelido ressaltar que a maioria dos livros analisados natildeo demonstra tais pro-
posiccedilotildees apenas faz citaccedilotildees como propriedades vaacutelidas Somente o livro do IEZZI (2010)
[15] e o do LIMA (2006) [17] fazem menccedilatildeo de maneira deciente injusticada e dife-
rente da apresentada Note que a escolha da funccedilatildeo logariacutetmica foi com a nalidade de
escapar da comodidade de trabalhar com funccedilotildees simples (1o e 2o grau) e para mostrar
um questionamento que pode ser uacutetil em sala de aula Foi feita apenas uma apresentaccedilatildeo
simples de demonstraccedilatildeo de uma propriedade muito utilizada no estudo de Logaritmos
mas eacute claro que haacute outras pertinentes e que exigem um olhar diferenciado do professor
regente Tambeacutem eacute bom salientar a necessidade de empregar noccedilotildees intuitivas de limite
para completar e raticar o raciociacutenio
Agora suponha que um aluno faccedila um questionamento interdisciplinar ou seja
vamos admitir que um dado aluno tenha recebido a informaccedilatildeo numa aula de Fiacutesica de que
a aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo representa o espaccedilo percorrido por um moacutevel ou o tra-
balho de uma forccedila por exemplo Diante dessa situaccedilatildeo o aluno lhe peccedila esclarecimentos
sobre tal informaccedilatildeo Como explicar essa situaccedilatildeo utilizando somente matemaacutetica ele-
mentar faltaria argumentos faz-se necessaacuterio inserir noccedilotildees elementares do Caacutelculo para
justicar e esclarecer os fatos para o dado aluno
Por exemplo considere uma paraacutebola denida por y = x2 em que y represente
a velocidade e x o tempo percorrido por um moacutevel num dado instante Caso o interesse
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 63
esteja voltado para o caacutelculo do espaccedilo percorrido pelo moacutevel no primeiro intervalo (uni-
dade) de tempo eacute preciso calcular a aacuterea da faixa de paraacutebola (A(x2)ba) compreendida
entre as retas verticais x = 0 e x = 1 Como as ferramentas de Caacutelculo natildeo estatildeo disponiacute-
veis e tambeacutem natildeo possuiacutemos uma foacutermula especiacuteca para efetuar o caacutelculo a resoluccedilatildeo
do referido problema deve empregar um raciociacutenio que evocaraacute noccedilotildees intuitivas do caacutel-
culo Para realizar e estimar o caacutelculo da aacuterea em questatildeo eacute necessaacuterio decompor a regiatildeo
[0 1] sob a curva em (n+1) intervalos justapostos de mesmo comprimento e calcular uma
aproximaccedilatildeo inferior para a faixa A(x2)01 atraveacutes da aacuterea do poliacutegono retangular Pn+1
inscrito na faixa da paraacutebola y = x2 Vide gura a seguir que exemplica a aproximaccedilatildeo
inferior da aacuterea de uma faixa de paraacutebola por intermeacutedio da aacuterea do poliacutegono retangular
P6com 6 intervalos justapostos de mesmo comprimento (n = 5)
Figura 79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5
Fonte GeoGebra
A aacuterea (S) do poliacutegono retangular Pn+1 inscrito na faixa da paraacutebola y = x2
seraacute dada pela soma das aacutereas de todos os retacircngulos contidos na regiatildeo sob a paraacutebola
isto eacute
S = A1 + A2 + A3 + middot middot middot+ An
rArr S = 1(n+1)
f(
1n+1
)+ 1
(n+1)f(
2(n+1)
)+ 1
(n+1)f(
3(n+1)
)+ middot middot middot+ 1
(n+1)f(
n(n+1)
)
Substituindo os valores da funccedilatildeo em cada particcedilatildeo considerada e utilizando a
fatoraccedilatildeo por evidecircncia tem-se
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 64
S =1
(n+ 1)3(1 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
rArr S =1
(n+ 1)3
(n3
3+n2
2+n
6
)=
1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)
Segue daiacute a conclusatildeo de que tomando valores cada vez maiores para n isto
eacute aumentando o nuacutemero de subintervalos aumentamos o nuacutemero de retacircngulos e con-
sequentemente a diferenccedila entre a aacuterea (S) do poliacutegono retangular e a aacuterea da faixa de
paraacutebola aproxima-se de zero Eacute oacutebvio que quando n tende para o innito (n rarr infin) a
aacuterea S tende para a aacuterea da faixa de paraacutebola ou seja S sim= A(x2)01 =13 Em linguagem
moderna e avanccedilada temos
limsrarrinfin
S = limnrarrinfin
[1
3
1(1 + 1
n
)3 (1 + 3
2n+
1
2n2
)]=
1
3
A construccedilatildeo da atividade acima deve ser realizada de maneira gradual ou seja
solicitando aos alunos que calculem a aacuterea do poliacutegono retangular a partir de subcasos
supondo valores para n por exemplo n = 5 e depois para n = 10 Essa atividade pode ser
realizada com auxiacutelio de calculadora cientiacuteca ou entatildeo via planilha eletrocircnica (do Excel
ou CALC ou ateacute do GeoGebra) Apoacutes resolver os problemas para os casos particulares
(encontrar a aacuterea por falta) sugira aos alunos para que tentem generalizar o meacutetodo ateacute
conseguir encontrar a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] Essa aacuterea foi encontrada
experimentalmente por Arquimedes atraveacutes de O meacutetodo de equiliacutebrio e demonstrado via
meacutetodo da exaustatildeo com argumentos de dupla reductio ad absurdum Com o meacutetodo de
equiliacutebrio Arquimedes vericava e testava a validade da propriedade Jaacute com o meacutetodo da
exaustatildeo que historicamente eacute creditado a Eudoxos poreacutem segundo EVES (2004) [11]
jaacute havia antecipaccedilatildeo de tais ideias nos trabalhos do sosta Antiacutefon (c 430 aC) o mestre
de Siracusa demonstrava a validade da proposiccedilatildeo formando um verdadeiro preluacutedio agraves
escuras das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular a ideia intuitiva de limite
Veja a construccedilatildeo do graacuteco via GeoGebra da aacuterea do poliacutegono retangular
para cinco cinquenta e cem intervalos de mesmo comprimento
Eacute notoacuterio que fazendo n tender para o innito a faixa escura cresceraacute e tenderaacute
para a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] cuja aacuterea corresponde a um terccedilo da
aacuterea do quadrado de mesma base E mais pode-se concluir que a aacuterea de metade do
segmento paraboacutelico (regiatildeo limitada pela reta secante pontilhada e pela paraacutebola) contido
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 65
Figura 710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50
Fonte Geogebra
Figura 711 Poliacutegono Retangular para n = 100
Fonte Geogebra
no quadrado de lado unitaacuterio mede 23 ou melhor eacute possiacutevel concluir que a aacuterea do segmento
paraboacutelico da paraacutebola em questatildeo mede 43 Esse procedimento consiste na quadratura da
paraacutebola cuja autoria de forma rudimentar isto eacute com as ferramentas disponiacuteveis para a
eacutepoca eacute creditada a Arquimedes via Meacutetodo de Equiliacutebrio e Meacutetodo da Exaustatildeo
Tambeacutem eacute necessaacuterio dizer que o problema de calcular aacute aacuterea referida acima
poderia ser solucionado decompondo o intervalo [0 1] em subintervalos contendo trapeacutezios
circunscritos de forma que a aacuterea do poliacutegono trapezoidal circunscrito agrave faixa de paraacute-
bola fosse uma aproximaccedilatildeo por excesso Possivelmente os alunos vatildeo reclamar muito
72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 66
das contas que apareceratildeo pois os caacutelculos natildeo satildeo tatildeo simples assim como a teacutecnica
propriamente dita Mas segundo MACHADO (2008) [19] esse aspecto eacute favoraacutevel pois
prepararaacute o aluno para que venha a apreciar as facilidades que seratildeo depois apresentadas
em um curso de Caacutelculo Inclusive eacute possiacutevel mencionar a existecircncia de um teorema im-
portantiacutessimo que cita a existecircncia um ponto entre as aacutereas por aproximaccedilotildees por falta
e por excesso que as tornam iguais Esse teorema eacute conhecido como Teorema do Valor
Meacutedio
Outra atividade excelente de aplicaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
correlatas do Caacutelculo eacute o caacutelculo da chamada Aacuterea de uma faixa de Hipeacuterbole Antes de
deni-la eacute preciso preacute-estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas em que H seraacute
considerado algebricamente como o ramo positivo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x isto eacute
H = (x y)x gt 0 y = 1x ou geometricamente ramo da Hipeacuterbole Equilaacutetera (xy = 1)
contido no primeiro quadrante A partir dessas consideraccedilotildees eacute possiacutevel denir a faixa
de hipeacuterbole e de forma especiacuteca como consequecircncia imediata propor uma ligaccedilatildeo com
o estudo de logaritmos naturais Esse trabalho pode ser conferido na iacutentegra em LIMA
(1980) [16] em que o autor com maestria faz uma abordagem geomeacutetrica do estudo dos
logaritmos e suas consequecircncias (construccedilatildeo da tabela de logaritmos caacutelculo de raiacutezes
inexatas de iacutendice qualquer caacutelculo de potecircncias de base e expoente qualquer construccedilatildeo
do nuacutemero de Euler e sua ligaccedilatildeo com o logaritmo natural e nalmente propor o estudo
da Funccedilatildeo Exponencial)
Nesse iacutenterim eacute possiacutevel propor uma atividade de aplicaccedilatildeo interdisciplinar
sobre a relaccedilatildeo existente entre o crescimento exponencial e o decaimento (desintegraccedilatildeo)
radioativo Esse problema eacute comum nos livros de Ensino Meacutedio Observe a situaccedilatildeo pro-
blema descrita a seguir em que eacute apresentada uma maneira construtiva de explorarutilizar
as noccedilotildees elementares de Caacutelculo
Situaccedilatildeo Problema A Desintegraccedilatildeo Radioativa consiste na emissatildeo espontacirc-
nea de raios (partiacuteculas e ondas) de nuacutecleo instaacutevel com o objetivo de adquirir estabilidade
em que um aacutetomo radioativo (por exemplo o Raacutedio e o Uracircnio) eacute transformado num ele-
mento quiacutemico diferente Essa transformaccedilatildeo faz com que a quantidade de substacircncia
original diminua a cada instante de forma que a desintegraccedilatildeo seja proporcional agrave massa
da substacircncia original presente no corpo naquele momento A constante (α) de proporci-
onalidade eacute especiacuteca para cada substacircncia e eacute determinada experimentalmente
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67
Suponha hipoteticamente que um corpo de massa M0 seja formado por uma
substacircncia radioativa cuja taxa de desintegraccedilatildeo seja α Caso o processo de desintegraccedilatildeo
seja instantaneamente a cada segundo tem-se que para t = 0 a massa correspondente eacute
M0 Decorrido o tempo t = 1 segundo ocorreraacute uma perda de αM0 unidade de massa
restando somente a massa M1 = M0 minus αM0 = (1 minus α)M0 Para t = 2 segundos implica
que a massa restante seraacute dada porM2 = (1minusα)M1 = (1minusα)2M0 Esse processo pode ser
generalizado isto eacute apoacutes n segundos temos Mn = M0(1minus α)n Poreacutem a desintegraccedilatildeo
se processa de forma contiacutenua e natildeo apenas discreta Daiacute eacute necessaacuterio pensar que a
desintegraccedilatildeo seja feita em fraccedilotildees de intervalos de 1nde segundo Assim apoacutes a primeira
fraccedilatildeo de 1nde segundo a massa do corpo se reduziria para M0 minus α
nM0 =
(1minus α
n
)M0
Realizando uma subdivisatildeo do intervalo [0 1] em um nuacutemero n cada vez maior de particcedilotildees
iguais tem-se que a massa resultante se reduziria para a aproximaccedilatildeo(1minus α
n
)nM0
Logo quando n tender para o innito a expressatildeo(1minus α
n
)nM0 tenderaacute para M0e
minusα
Em linguagem moderna e avanccedilada tem-se limnrarrinfin
(1minus α
n
)nM0 = M0 lim
nrarrinfin
(1minus α
n
)n=
M0eminusα Caso se queira calcular a massa apoacutes t segundos eacute preciso dividir o intervalo [0 t]
em n partes iguais em que cada intervalo parcial receberaacute uma perda de massa de αtnM0
Repetindo esse processo encontra-se a expressatildeo que fornece a massa do corpo apoacutes t
segundo decorridos M(t) = M0eminusα A tiacutetulo de curiosidade vale a pena ressaltar que
a constante α eacute determinada a partir de um nuacutemero baacutesico denominado de meia-vida da
substacircncia (tempo necessaacuterio para que se desintegre a metade da massa de um corpo)
73 EXPLORANDOAS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS
IMPLICACcedilOtildeES
Comumente ao estudar conjuntos numeacutericos em particular ao estudar o con-
junto dos nuacutemeros racionais nos deparamos com nuacutemeros decimais innitos poreacutem perioacute-
dicos os quais satildeo denominados de diacutezimas perioacutedicas Dentre as diacutezimas perioacutedicas mais
ceacutelebres com absoluta certeza estaacute o nuacutemero decimal perioacutedico 0 999 Esse nuacutemero gera
bastante desconforto entre os alunos do Ensino Meacutedio principalmente quando o professor
de Matemaacutetica arma que 1 = 0 999 Anal de contas o que eacute uma diacutezima perioacutedica
e o que representa Esses questionamentos satildeo frequentes e recorrentes durante as aulas
de Matemaacutetica que requerem a utilizaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedicas
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 68
Conforme jaacute foi denido denominamos de diacutezima perioacutedica todo nuacutemero ra-
cional com representaccedilatildeo decimal innita e perioacutedica Haacute diacutezimas perioacutedicas simples e
compostas Nesse trabalho apenas far-se-aacute uma anaacutelise da formaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedi-
cas simples (por exemplo 0 111 0 353535 0 456456456etc)
As diacutezimas perioacutedicas em geral representam uma soma innita de termos de
uma progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo entre 0 e 1 Assim por exemplo a diacutezima perioacutedica
0 111 eacute equivalente a soma S = 0 1 + 0 01 + 0 001 + cujo primeiro termo coincide a
razatildeo numericamente igual a 0 1
Muitos problemas de matemaacutetica elementar exigem que o aluno de Ensino
Meacutedio determine a fraccedilatildeo geratriz correspondente a uma dada diacutezima perioacutedica Para
realizar tal feito os professores utilizam diversos recursos e artimanhas dentre as quais
eacute possiacutevel citar o meacutetodo em que haacute o repasse de uma foacutermula com bastante decoreba
e pouca compreensatildeo o meacutetodo que requer a utilizaccedilatildeo de artifiacutecio via equaccedilatildeo do 1o
grau e o meacutetodo de considerar a diacutezima como uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo (q) variando entre 0 e 1 A exposiccedilatildeo seguinte apenas expotildee
o meacutetodo de obtenccedilatildeo da diacutezima via comparaccedilatildeo como uma soma de termos de progressatildeo
geomeacutetrica innita
Para dar continuidade a exibiccedilatildeo eacute necessaacuterio estudar como eacute feita a soma dos
n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica nita Assim dada uma progressatildeo ge-
omeacutetrica (a1 a2 a3 middot middot middot an) dene-se a soma (S) dos termos dessa progressatildeo geomeacutetrica
da seguinte maneira
S = a1 + a2 + a3 + middot middot middot+ an = a1 + a1q + a1q2 + a1q
3 + middot middot middot+ a1qnminus1 (1)
Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo (1) pela razatildeo q tem-se
qS = qa1 + qa2 + qa3 + middot middot middot+ qan = qa1 + a1q2 + a1q
3 + a1q4 + middot middot middot+ a1q
n (2)
Subtraindo (1) de (2) membro a membro tem-se
qS minus S = a1qn minus a1 = a1(q
n minus 1)rArr S(q minus 1) = a1(qn minus 1)rArr S =
a1(qn minus 1)
q minus 1
Assim a soma (S) dos n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de
razatildeo (q) eacute dada em funccedilatildeo do primeiro termo da razatildeo e do nuacutemero de termos
Quando se dispotildee de uma diacutezima perioacutedica ou melhor de uma soma de termos
de progressatildeo geometria innita cuja razatildeo pertence ao intervalo (0 1) percebemos que
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 69
o termo qn se aproxima de zero a medida que n tende ao innito Em outra linguagem
o limite da soma (S) quando n tende ao innito eacute dado por
limnrarrinfin
S = limnrarrinfin
[a1(q
n minus 1)
q minus 1
]=a1 middot (minus1)q minus 1
=a1
1minus q
Como exemplo observe o caacutelculo da fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 0 999 middot middot middot
Note que 0 999 middot middot middot equivale a soma S = 0 9 + 0 09 + 0 009 + middot middot middot
Essa soma representa o somatoacuterio dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica
innita cuja razatildeo eacute dada por q = 0 1 Substituindo a1 = 0 9 e q = 0 1 tem-se
S = limnrarrinfin
[0 9
[( 110)n minus 1
]0 1minus 1
]=
0 9 middot (minus1)0 1minus 1
=minus0 9minus0 9
= 1
Isto eacute o limite do somatoacuterio dos termos da progressatildeo geomeacutetrica innita em
questatildeo eacute igual a um quando tomamos n tendendo para o innito
Haacute uma seacuterie de problemas que utilizam de tais recursos dentre os quais se
destacam a formaccedilatildeo de determinados mosaicos o processo de divisatildeo celular via meiose
o processo decaimento radioativo etc
O estudo do somatoacuterio de uma quantidade innita resultar numa quantidade
nita aparece historicamente no paradoxo de Zenon (por volta do seacuteculo V aC) que
surpreendentemente promove uma corrida em forma de aposta entre um famoso guerreiro
(Aquiles) da Greacutecia antiga e uma tartaruga Nessa corrida Aquiles conhecedor de sua
superioridade oferece uma vantagem para tartaruga poreacutem Aquiles nunca alcanccedila a
tartaruga pois por mais devagar que ela caminhe quando ele chegar agrave posiccedilatildeo inicial da
tartaruga a mesma teraacute avanccedilado um pouco E quando Aquiles cobrir esta distacircncia
a tartaruga teraacute avanccedilado um pouco mais e assim sucessivamente Embora os gregos
soubessem que do ponto de vista praacutetico Aquiles seria o vencedor natildeo sabiam explicar
tal fato do ponto de vista matemaacutetico Eacute vaacutelido ressaltar que tal ausecircncia de clareza por
parte dos matemaacuteticos gregos era justicada pela ausecircncia do conhecimento das noccedilotildees
intuitivas de limite Note que o limite da diferenccedila entre as distacircncias entre os dois
corredores tende para zero
Aleacutem de Zenon outro matemaacutetico grego percebeu e calculou com bastante
habilidade a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica com innitos termos cuja
razatildeo estava compreendida entre 0 e 1 Nessa eacutepoca o mestre de Siracusa (Arquimedes)
estava estudando e analisando quadraturas Para isso ele utilizava dois meacutetodos antigos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 70
de muito prestiacutegio O meacutetodo de Equiliacutebrio de autoria do proacuteprio Arquimedes e o meacutetodo
da Exaustatildeo credita a Eudoxos Numa de suas pesquisas em busca da quadratura de um
segmento paraboacutelico Arquimedes conseguiu demonstrar experimentalmente via meacutetodo
de Equiliacutebrio que a aacuterea do segmento de paraacutebola correspondia a 43da aacuterea do triacircngulo
inscrito no segmento paraboacutelico Essa demonstraccedilatildeo ismiuccedilada em CONTADOR (2012)
[6] Arquimedes utilizou o conhecimento dessa proposiccedilatildeo para realizar a quadratura da
paraacutebola Nesse trabalho foi encontrada pela primeira vez a soma de uma seacuterie innita
Acompanhe duas aplicaccedilotildees do estudo de somas de progressotildees geomeacutetricas
innitas cuja razatildeo (q) seja dada por |q| lt 1 e q natildeo nulo
Figura 712 Processo re-
cursivo de Quadrados
Figura 713 Processo
recursivo de Triacircngulos
Equilaacuteteros
Note que as guras acima determinam o comportamento das aacutereas e dos pe-
riacutemetros dos novos quadrados e dos novos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir dos
pontos meacutedios dos lados da gura anterior Para isso considere o quadrado inicial de
lado l e o triacircngulo equilaacutetero inicial de lado 2α
Note que as sequecircncias das aacutereas dos quadrados e dos triacircngulos equilaacuteteros
a partir do primeiro quadrado e do primeiro triacircngulo equilaacutetero satildeo dadas respectiva-
mente por(l2 l
2
2 l
2
4 l
2
8 middot middot middot
)e(a2radic3 a
2radic3
4 a
2radic3
8 middot middot middot
)
Por conseguinte a soma (SQ) das aacutereas dos innitos quadrados formados a
partir do quadrado primitivo de lado l representa uma soma de termos de uma progressatildeo
geomeacutetrica innita de razatildeo q = 12a qual seraacute dada por SQ = a1
1minusq =l2
2
1minus 12
=l2
212
= l2 Isto
eacute a soma (SQ) coincide com a aacuterea do quadrado primitivo de lado l Jaacute a soma (STE)
das aacutereas dos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir do triacircngulo equilaacutetero de lado 2a
tambeacutem representa uma soma de termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita de razatildeo
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 71
q = 14 a qual seraacute dada por STE = a1
1minusq = a2radic3
1minus 14
= a2radic3
34
= 43a2radic3 Isto eacute a soma (STE)
equivale a 43da aacuterea do triacircngulo equilaacutetero primitivo de lado 2a
731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de
limite
A origem dessa discussatildeo iniciou-se na Greacutecia com a crise na Escola Pitagoacuterica
diante da descoberta de grandezas incomensuraacuteveis isto eacute apoacutes provarem que eacute impossiacutevel
existir um submuacuteltiplo comum (α) entre o lado (L) e a diagonal (D) de quadrado de lado
unitaacuterio tal que L = mα e D = nα
Nesse iacutenterim surgiu o questionamento da existecircncia de uma unidade comum
innitamente pequena (um submuacuteltiplo) de forma que ela pudesse medir o lado e a dia-
gonal do quadrado Caso tal existecircncia se conrmasse seria loacutegica a discussatildeo realizada
por volta do seacuteculo V aC pelo matemaacutetico grego Zenon que questionava o fato de que
uma soma innita pudesse ser nita ou ainda utilizando a linguagem moderna se seria
possiacutevel fazer com que o limite da diferenccedila entre as distacircncias percorridas por Aquiles
e a tartaruga tendesse a zero Segundo os anais da Histoacuteria da Matemaacutetica o paradoxo
de Zenon e suas consequecircncias assim como a descoberta das grandezas incomensuraacuteveis
satildeo relatos pioneiros e rudimentares da presenccedilaintervenccedilatildeo do conceito de limite num
problema matemaacutetico
Atualmente eacute possiacutevel concluir que se o segmento AB eacute incomensuraacutevel com
o segmento unitaacuterio α entatildeo a medida de AB eacute um nuacutemero irracional E como exemplo
ceacutelebre de nuacutemero irracional pode-se citar a medida da razatildeo aacuteurea (o famoso nuacutemero
de ouro 1+radic5
2) e a medida da diagonal de um quadrado de lado unitaacuterio cuja medida
corresponde ao nuacutemero irracionalradic2 Os exemplos escolhidos satildeo excelentes didaacuteticos e
histoacutericos Inclusive em GALARDA et al (1999) [13] haacute uma discussatildeo aberta sobre qual
nuacutemero irracional apareceu primeiro natildeo se sabe se foiradic2 ou
radic5 que primeiro revelou a
existecircncia de grandezas incomensuraacuteveis
Mesmo sabendo que natildeo eacute possiacutevel determinar com exatidatildeo o valor deradic2 eacute
possiacutevel relacionar aproximaccedilotildees por falta e por excesso de nuacutemeros racionais construindo
uma sequecircncia innita de nuacutemeros racionais tais que seus quadrados sejam todos menores
do que 2
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 72
Observe a tabela a seguir em que a primeira coluna representa uma sequecircncia
innita de nuacutemeros racionais a segunda coluna representa seus quadrados e a terceira
coluna representa a diferenccedila entre quadrado da diagonal e cada termo quadraacutetico na seacuterie
gerada Note que tomando aproximaccedilotildees com um nuacutemero reduzido de casas decimais
foi possiacutevel construir uma sequecircncia de quadrados em que com apenas seis iteraccedilotildees
tornou-se miacutenima a diferenccedila entre os valores quadraacuteticos da seacuterie formada e o nuacutemero 2
Assim pode-se tornar a diferenccedila tatildeo pequena quanto se queira aumentando o nuacutemero de
iteraccedilotildees Quando o nuacutemero de iteraccedilotildees tende ao innito de fato tem-se que a diferenccedila
tenderaacute a zero e consequentemente obteacutem-se o valorradic2
Tabela 72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais
Nuacutemero (xi) da Sequecircncia Quadrado de xi 2minus x2i1 1 1
14 196 004
141 19881 00119
1414 1999396 0000604
14142 1999962 0000038360000000237100000000000
141421 199999 0000010075900000128300000000000
Aleacutem de ser uma atividade rica de utilizaccedilatildeo da calculadora em sala de aula
eacute uma excelente oportunidade de expor de maneira compreensiva a inuecircncia de que a
noccedilatildeo de limite estaacute associada agrave ideia de incomensurabilidade
Eacute vaacutelido ressaltar que um procedimento anaacutelogo pode ser aplicado para caacutel-
culo do nuacutemero π por meio da divisatildeo do periacutemetro do poliacutegono regular inscrito pela
maior diagonal desse poliacutegono Quanto maior o nuacutemero de lados desse poliacutegono inscrito
mais proacuteximo do comprimento da circunferecircncia estaraacute seu periacutemetro e consequentemente
promoveraacute uma melhor aproximaccedilatildeo para o valor do nuacutemero π
732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua
Embora sugira um aspecto bastante abstrato o nuacutemero de Euler (e) estaacute
presente em diversos processos de crescimento ou decrescimento exponencial dentre os
quais possui destaque o problema de aplicaccedilatildeo de um capital a uma taxa anual de k
com juros compostos capitalizados de forma contiacutenua durante t anos
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 73
Suponha hipoteticamente que um determinado capital C0 seja aplicado a
juros de 100 ao ano
Caso sejam incorporados ao capital somente no nal do ano entatildeo ao nal de
um ano teriacuteamos o montante de R$ 200 para cada R$100 investido isto eacute o capital nal
acumulado apoacutes um ano eacute dado por
C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0
Agora a forma de incorporaccedilatildeo dos juros seraacute alterada poreacutem mantendo a
taxa anual de 100
Suponha que a referida taxa seja decomposta em duas taxas semestrais de
50 sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada semestre Daiacute segue que a
partir do capital inicial C0 haveraacute duas acumulaccedilotildees a serem consideradas A primeira
ocorreraacute ao nal do 1o semestre e a segunda ao nal do 2o semestre com a ressalva de
que o capital inicial a ser utilizado no caacutelculo do montante do 2o semestre coincide com o
montante acumulado ao nal do 1o semestre Em outras palavras ou melhor adotando
a linguagem moderna da matemaacutetica tem-se
1 Capital apoacutes o nal do 1o semestre
C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)
rArr C12 = C0(1 + 12)
2 Capital apoacutes o nal do 2o semestre
C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)
rArr C1 = C0(1 + 12)2
3 Suponha que a referida taxa seja decomposta em quatro taxas trimestrais de 25
sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada trimestre Capital apoacutes o
nal do 1o trimestre
C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)
rArr C14 = C0(1 + 14)
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 74
4 Capital apoacutes o nal do 2o trimestre
C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)
rArr C24 = C0(1 + 14)2
5 Capital apoacutes o nal do 3o trimestre
C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)
rArr C34 = C0(1 + 14)3
6 Capital apoacutes o nal do 4o trimestre
C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)
rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4
7 Caso a capitalizaccedilatildeo fosse mensal seria necessaacuterio subdividir ano e a taxa anual de
100 em 12 partes iguais daiacute o resultado seria
C1 = C0(1 + 112)12
8 Caso a incorporaccedilatildeo seja realizada de forma diaacuteria seria preciso subdividir o ano e
a taxa anual de 100 em 365 partes iguais daiacute segue que
C1 = C0(1 + 1365)365
Generalizando o fenocircmeno isto eacute subdividindo o ano e a taxa anual de 100
em n partes iguais e considerando-se que os juros satildeo incorporados ao capital no nal de
cada periacuteodo tem-se
C1 = C0(1 +1
n)n
Esquematizando uma tabela com o objetivo de analisar o comportamento da
expressatildeo (1 + 1n)n quando n cresce indenidamente tem-se
Note que a expressatildeo (1 + 1n)n aproxima-se indenidamente para um nuacutemero
decimal natildeo perioacutedico (nuacutemero irracional ou transcendental) denominado de nuacutemero de
Euler Tal nuacutemero eacute representado por e Uma aproximaccedilatildeo suciente com trecircs casas
decimais para tal nuacutemero eacute dada por e asymp 2 718
73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 75
Tabela 73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler
Subdivisatildeo Fator de Acumulaccedilatildeo
n (1 + 1n)n
1 2
2 225
3 237037037
4 244140625
5 248832
10 259374246
50 2691588029
100 2704813829
1000 2716923932
10000 2718145927
100000 2718268237
1000000 2718280469
Assim conclui-se que um capital C0 aplicado a uma taxa de 100 ao ano
com capitalizaccedilatildeo contiacutenua (a cada instante) resultaraacute ao nal do 1o ano um valor C1 tal
que C1 = C0 middot e
Isto eacute quando n tende ao innito (incorporaccedilatildeo de juros de forma continuada
instantacircnea) tem-se que (1 + 1n)n tende para o nuacutemero irracional e
Eacute importante observar que caso a aplicaccedilatildeo seja a uma taxa anual de k ao
ano ao nal de um ano haveraacute um capital expresso por C1 = C0 middot ek Jaacute no nal de t
anos C1 = C0 middot ekt
Uma excelente demonstraccedilatildeo de modelagem matemaacutetica que faz uso do nuacutemero
de Euler de maneira construtiva e natildeo imperativa embora seja uma situaccedilatildeo hipoteacutetica
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteL-
CULO
Conforme jaacute foi visto nas atividades propostas na seccedilatildeo 621 o caacutelculo da
aacuterea de uma regiatildeo com algum lado curviliacuteneo natildeo eacute tatildeo oacutebvio como o caacutelculo da aacuterea de
uma regiatildeo poligonal Quando se pretende analisar a regiatildeo abaixo da curva cujo graacuteco
natildeo eacute retiliacuteneo em sua totalidade com o intuito de obter a medida da aacuterea sob a curva
a resoluccedilatildeo desse problema eacute realizada novamente por aproximaccedilatildeo da aacuterea da faixa de
hiperboacutele a ser calculada por um poliacutegono retangular inferior como se consideraacutessemos
a funccedilatildeo constante em cada instante e somaacutessemos todos os aacutereas dos retacircngulos ideais
Essa estrateacutegia eacute bastante motivadora poreacutem para que a estimativa seja boa eacute necessaacuterio
realizar um nuacutemero de iteraccedilotildees relativamente grande Para calcular aacuterea sob o graacuteco de
uma funccedilatildeo curviliacutenea utilizando a construccedilatildeo de poliacutegonos retangulares acrescentaremos
ao raciociacutenio a aproximaccedilatildeo via retacircngulos superiores fazendo com que a soma das aacutereas
desses retacircngulos (poliacutegono retangular inscrito e circunscrito) seja estimada tanto por
excesso quanto por falta
Eacute possiacutevel generalizar os casos tomando uma funccedilatildeo natildeo negativa e contiacutenua
num dado intervalo e dividi-lo em n subintervalos de mesmo comprimento em que cada
particcedilatildeo conteraacute um retacircngulo de mesma base de acordo com o nuacutemero de particcedilotildees e
cuja altura consiste no valor da funccedilatildeo numa dada extremidade do retacircngulo considerado
poreacutem seraacute proposto um processo mais construtivo que trabalha de forma concreta com
um nuacutemero de casos palpaacutevel por meio da anaacutelise de graacutecos de funccedilotildees quadraacuteticas de
hipeacuterboles equilaacuteteras e de funccedilotildees exponenciais O procedimento geral citado fornece
uma excelente aproximaccedilatildeo e o mesmo eacute amplamente encontrado nos livros de caacutelculo
com a denominaccedilatildeo popularmente conhecida como Somas de Riemann Nele ao tender
o nuacutemero de iteraccedilotildees (subdivisotildees do intervalo) para o innito tem-se que as somas de
Riemann tendem para o valor da aacuterea (A) da regiatildeo sob a curva que eacute denominada de
integral denida ou seja limnrarrinfin
S(n) =nsumk=1
f(xk) 4 x em que f(xk) e 4x representam
altura e comprimento do retacircngulo k
Observe a gura construiacuteda via GeoGebra com vinte retacircngulos inferiores e
superiores sob a curva da funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Note que a soma das aacutereas dos
retacircngulos inferiores (Si) (destacados de azul) e a soma das aacutereas dos retacircngulos superiores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 77
(Ss) (destacados de vermelho) para um nuacutemero de vinte intervalos iguais nos fornece uma
ideia de que a aacuterea pretendida estaacute compreendida entre 031 e 036 Isso serve como
instrumento empiacuterico para raticar uma armaccedilatildeo (quadratura da paraacutebola) demonstrada
na seccedilatildeo 621 em que foi constatado que a aacuterea da faixa de paraacutebola no intervalo [0 1]
mede 13
Figura 714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito)
Fonte Geogebra
Na mesma linha da anaacutelise anterior poreacutem com maior riqueza de detalhes e
consequecircncias pode analisar o comportamento do ramo positivo de uma hipeacuterbole equi-
laacutetera e da parte pertencente ao primeiro quadrante do graacuteco da funccedilatildeo exponencial
Somente seraacute realizada a anaacutelise do signicado geomeacutetrico da aacuterea de uma faixa de hi-
peacuterbole equilaacutetera Via GeoGebra proponha a construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x
e por meio do comando SomaDeRiemann solicite o caacutelculo de aproximaccedilotildees para a aacuterea
pretendida
Inicialmente proponha o caacutelculo da aacuterea do poliacutegono retangular inscrito e
circunscrito para n = 8 isto eacute pretende-se que o aluno determine uma aproximaccedilatildeo para
o valor da aacuterea da faixa da hipeacuterbole para uma subdivisatildeo de oito retacircngulos de mesmo
comprimento Veja o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo descrita
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 78
Figura 715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8
Fonte Geogebra
Espera-se que o aluno seja capaz de calcular a aacuterea da faixa de hipeacuterbole
denotada por H31 realizando o maior nuacutemero de iteraccedilotildees de subdivisotildees do intervalo
[1 3] Por exemplo ao dividi-la em oito particcedilotildees de mesmo comprimento encontra-se
os valores das abscissas 1 54 64 74 84 94 104 114 e 124 E calculando suas
respectivas imagens tem-se 1 45 46 47 48 49 410 411 e 412 Realizando o
caacutelculo da soma dos retacircngulos inferiores obteacutem-se
S =1
4middot 45+
1
4middot 46+
1
4middot 47+
1
4middot 48+
1
4middot 49+
1
4middot 410
+1
4middot 411
+1
4middot 412
rArr S asymp 1 019
O passo seguinte para o prosseguimento da atividade e para completar o racio-
ciacutenio depende de cada professor poreacutem eacute recomendaacutevel solicitar aos alunos que reproduza
a situaccedilatildeo descrita para outros valores de n por exemplo para n = 10 considerando o
intervalo de 1 ateacute 2 Seguindo esse procedimento espera-se que o aluno consiga calcular a
aacuterea com uma precisatildeo de cerca de 067 Observe o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo mencionada
Nesse momento o professor deve intervir diretamente na atividade inserindo
a deniccedilatildeo geomeacutetrica do logaritmo natural de x como a aacuterea da faixa de Hipeacuterbole de 1
ateacute x ou seja ln x = Aacuterea(Hx1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 79
Figura 716 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 10
Fonte Geogebra
A partir dessa deniccedilatildeo eacute possiacutevel questionar os alunos sobre a existecircncia de
uma dada abscissa que representaraacute a aacuterea de medida igual a 1 unidade Aleacutem disso pode-
se conjecturar uma boa aproximaccedilatildeo entre nuacutemeros inteiros para o nuacutemero neperiano (e)
de acordo com o estudo exposto acima Enm eacute necessaacuterio orientar os alunos com a
nalidade dos mesmos investigarem a existecircncia de uma aacuterea de uma faixa de hipeacuterbole
variando de 1 ateacute um certo x cuja aacuterea seja unitaacuteria ou equivalentemente procurar o
valor de x tal que ln x = Aacuterea(Hx1 ) = 1 A conclusatildeo obtida pelos alunos deve admitir a
existecircncia dessa abscissa e estimar que o valor procurado pertencente ao intervalo entre
2 e 3 Pode-se demonstrar que o valor de x em questatildeo trata-se do nuacutemero irracional e
cuja melhor aproximaccedilatildeo eacute dada por e = 2 718281828459 Nesse ponto eacute satisfatoacuterio
que o professor faccedila uma reexatildeo comparando o nuacutemero obtido com o nuacutemero de Euler
surgido ao resolver o problema de capitalizaccedilatildeo contiacutenua proposto historicamente pelos
irmatildeos Bernoulli
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 80
741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri
O procedimento que seraacute apresentado a seguir consiste basicamente num re-
sumo dos estudos realizados no seacuteculo XVII pelo matemaacutetico Bonaventura Francesco
Cavalieri que recebeu forte inuecircncia dos predecessores Arquimedes Kepler Galileu e
Fermat
Esse grandioso trabalho de Cavalieri foi publicado em 1635 e foi intitulado de
Geometria indivisibilibus O meacutetodo proposto considerava um soacutelido formado pela reuniatildeo
de conjunto innito de planos isto eacute seu princiacutepio dizia que qualquer grandeza (plana ou
soacutelida) pode ser dividida numa quantidade innita de porccedilotildees (lacircminas) com espessura
innitesimal de tal modo que mantenham entre si proporccedilotildees desejadas
Segundo CONTADOR (2012 p 214) [7] um dos princiacutepios norteadores do
meacutetodo de Cavaliere dizia que se dois soacutelidos nos quais qualquer plano secante a eles e
paralelo a um plano dado determina neste soacutelido planos cuja razatildeo eacute constante entatildeo a
razatildeo entre os volumes destes soacutelidos tambeacutem seraacute constante
Observe por meio da utilizaccedilatildeo da linguagem moderna da matemaacutetica como
Cavalieri obteve a aacuterea lateral de um cilindro a aacuterea supercial da esfera e volume do
cone de revoluccedilatildeo a partir da reproduccedilatildeo de ideias publicadas em CONTADOR (2012)
[7]
Inicialmente eacute necessaacuterio considerar um soacutelido qualquer com bases paralelas
de altura h e aacuterea S e de volume (VL) dado por VL = Sh Agora imagine uma superfiacutecie
como uma lacircmina soacutelida em que sua altura h eacute innitamente pequena logo seu volume e
sua aacuterea seratildeo praticamente iguais ou seja S = VL
bull a) Caacutelculo da aacuterea (S) lateral de um cilindro
Eacute notoacuterio e consensual que o procedimento adotado na maioria dos livros di-
daacuteticos (caacutelculo da superfiacutecie lateral do cilindro reto eacute obtido a partir de uma regiatildeo
retangular de altura h e base 2π) possui uma abordagem excelente aos olhos da didaacutetica
e de acordo com a visatildeo criacutetica dos alunos tal procedimento eacute considerado de faacutecil assi-
milaccedilatildeocompreensatildeo contribuindo de modo satisfatoacuterio para o ensinoaprendizagem O
procedimento a ser apresentado tem como proposta o caacutelculo da aacuterea lateral de um cilindro
de altura h e raio da base igual a (r + x) a partir do volume VA do anel ciliacutendrico consi-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 81
derando x como uma espessura innitamente pequena pois a partir dessas consideraccedilotildees
eacute possiacutevel inserir a aplicaccedilatildeo das noccedilotildees de limite de uma maneira construtiva
Figura 717 Anel Ciliacutendrico
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 333
Note que o volume do cilindro interno de raio r e altura h eacute dado por Vi =
πr2h Jaacute o volume do cilindro externo de raio (r + x) e de mesma altura h eacute dado por
Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h
Assim o volume do anel ciliacutendrico seraacute dado por
VA = Ve minus Vi
rArr VA = πh(r2 + 2rx+ x2)minus πr2h
rArr VA = πh(2rx+ x2)
rArr VA = πh2rx+ πhx2
Fazendo a divisatildeo por x tanto do 1o membro quanto do 2o membro igualdade
tem-se
rArr VAx
= πh2r + πhx
Como VA = S middot x rArr S = VAx
e sabendo que x eacute innitamente pequeno segue
que a 2a parcela da soma do 2o membro tambeacutem seraacute tatildeo pequena ao ponto de consideraacute-la
nula
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 82
Assim
rArr VAx
= S = 2πhr
Observe que de fato S eacute aacuterea do retacircngulo de altura h e de base idecircntica ao
comprimento de um circunferecircncia de raio r
bull b) Caacutelculo da aacuterea da esfera (S)
O caacutelculo da aacuterea da superfiacutecie de uma esfera seraacute feito a partir da diferenccedila
entre os volumes das esferas externa e interna cujos raios satildeo (r+h) e r respectivamente
Figura 718 Casca de Esfera
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 337
VCasca = Ve minus Vi
rArr VCasca =4
3π(r + h)3 minus 4
3πr3
rArr VCasca =4
3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)
rArr VCasca =4
3π(3r2h+ 3rh2 + h3)
Utilizando procedimento anaacutelogo isto eacute dividindo ambos os termos por h
tem-se
rArr VCascah
=4
3π(3r2 + 3rh+ h2)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 83
Como VCasca = S middothrArr S = VCasca
he sabendo-se que h eacute innitamente pequeno
segue queVCascah
= S =4
3πr2
bull c) Caacutelculo do volume do cone de revoluccedilatildeo
Antes de deduzir a foacutermula VCone = 13πr2h em que r e h representam o raio e a
altura do cone respectivamente eacute vaacutelido ressaltar que historicamente esse feito eacute creditado
inicialmente a Demoacutecrito (c 410 aC) e sua evoluccedilatildeo posteriormente a Arquimedes que
utilizou brilhantemente seu meacutetodo de equiliacutebrio para conjecturar e o meacutetodo da exaustatildeo
de Eudoxo para provar a validade dessa relaccedilatildeo De acordo com EVES (2004) [11] o
pioneiro no Caacutelculo do volume do cone foi Demoacutecrito
() A chave eacute fornecida por Plutarco ao relatar o dilema a que chegoucerta vez Demoacutecrito quando considerou a possibilidade de um cone serformado de uma innidade de secccedilotildees planas paralelas agrave base Se duassecccedilotildees adjacentes fossem do mesmo tamanho o soacutelido seria um cilindroe natildeo um cone Se por outro lado duas secccedilotildees adjacentes tivessem aacutereasdiferentes a superfiacutecie do soacutelido seria formada de uma seacuterie de degrauso que certamente natildeo se verica Nesse caso se assumiu que o volumedo cone pode ser subdividido indenidamente (ou seja numa innidadede secccedilotildees planas atocircmicas) mas que o conjunto dessas secccedilotildees eacute contaacute-vel no sentido de que dada uma delas haacute uma outra que lhe eacute vizinhasuposiccedilatildeo que se situa ateacute certo ponto entre as duas jaacute consideradassobre a divisibilidade de grandezas Demoacutecrito pode ter argumentadoque se duas piracircmides de bases equivalentes e alturas iguais satildeo seccio-nadas por planos paralelos agraves bases vericando-se a divisatildeo das alturasnuma mesma razatildeo entatildeo as secccedilotildees correspondentes assim formadas satildeoequivalentes Portanto as piracircmides conteacutem o mesmo nuacutemero innito desecccedilotildees planas equivalentes o que implica que seus volumes devem seriguais Tem-se aiacute o que seria um exemplo primitivo do chamado meacutetododos indivisiacuteveis de Cavalieri () (EVES [11] 2004 p 420)
Considere o cone de diacircmetro da base AB = 2r e altura H composto pela
junccedilatildeo de n cilindros de raios variando de 0 agrave r e de altura h extremamente pequena tal
que h = Hn
Considere um desses cilindros ideais de ordem k a partir do veacutertice C e raio r1
de tal maneira que o cone que dividido em duas partes Note que eacute possiacutevel por meio da
semelhanccedila de triacircngulos relacionar rr1 H e H1 de tal modo que seja dado em funccedilatildeo
de r k e nr
r1=
H
H1
rArr r
r1=
HkHn
rArr r1 =rk
n
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 84
Figura 719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 339
O volume do cilindro de ordem k seraacute dado por
VCilindro = πr21h
rArr VCilindro = πr2k2
n2
H
n
rArr VCilindro = πr2H1
n3k2
Assim o volume do cone seraacute dado pelo somatoacuterio de todos os cilindros ideais
com k variando de 1 a n
VCone = πr2H1
n312 + πr2H
1
n322 + πr2H
1
n332 + πr2H
1
n342 + middot middot middot+ πr2H
1
n3n2
= πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
Sabe-se que 12+22+32+42+ middot middot middot+n2 = n3
3+ n2
2+ n
6 A validade dessa relaccedilatildeo
pode ser obtida pelo Princiacutepio da Induccedilatildeo Matemaacutetica ou a partir do desenvolvimento do
binocircmio (1 + k)3 = 1+ 3k + 3k2 + k3 variando k de 0 a n e adicionando as igualdades de
ambos os membros (vide em CONTADOR (2012) [8]) Embora essa abstraccedilatildeo algeacutebrica
seja possiacutevel de ser aplicada aos alunos do Ensino Meacutedio a demonstraccedilatildeo geomeacutetrica
consiste num procedimento mais construtivo e de faacutecil assimilaccedilatildeo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 85
Inicialmente faremos a apresentaccedilatildeo da prova geomeacutetrica para a soma dos
nuacutemeros inteiros de 1 a n isto eacute S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n = n(n+1)2
dado que a mesma
seraacute necessaacuteria para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo 12+22+32+42+
middot middot middot+ n2 = n3
3+ n2
2+ n
6= n(n+1)(2n+1)
6()
Antes de generalizar os casos eacute imprescindiacutevel realizar os caacutelculos para um
caso particular por exemplo n = 6 com o intuito de motivar e aguccedilar a curiosidade
dos alunos Aleacutem de contribuir de maneira satisfatoacuteria para a formaccedilatildeo da conjectura dos
alunos
A gura seguinte ilustra a soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) em que a coluna i eacute
composta por i quadrados
Figura 720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Fonte Geogebra
Ao girar a gura anterior e encaixaacute-la tem-se um retacircngulo de base 6 e altura
7 conforme ilustra a imagem seguinte
Note que a medida da aacuterea do retacircngulo construiacutedo eacute dada por 6 middot7 = 6 middot(6+1)
A partir daiacute eacute possiacutevel concluir que a soma (1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6) pretendida
representa a metade do retacircngulo construiacutedo isto eacute
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)
2
Para generalizar o procedimento eacute necessaacuterio construir um retacircngulo de base
n e altura (n + 1) a partir das n colunas que representam geometricamente a soma S =
1 + 2 + 3 + middot middot middot + n A aacuterea (A) do retacircngulo construiacutedo seraacute dada por A = n middot (n + 1)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 86
Figura 721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7
Fonte Geogebra
De forma anaacuteloga a soma desejada (S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n) representa a metade do
retacircngulo n(n+ 1) isto eacute
S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot+ n =n(n+ 1)
2
Enm para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo () faz-se ne-
cessaacuterio implementar ideias semelhantes com as devidas ressalvas
Repetindo o procedimento realizado para um caso particular da soma dos 6
primeiros quadrados perfeitos (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)
As guras a seguir sugerem uma visatildeo geomeacutetrica do procedimento detalhado
Note que para realizar o preenchimento eacute preciso acrescentar um quadrado na 2a linha
um quadrado e um retacircngulo (2x1) na 3a linha um quadrado um retacircngulo (2x1) e
retacircngulo (3x1) na 4a linha assim por diante
Logo a aacuterea (A) do retacircngulo (ABCD) cuja base mede b = (1+2+3+4+5+6)
e cuja altura mde 6 unidades eacute dada por A = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) middot 6
Equivalentemente tal aacuterea pode ser calculada a partir da soma das aacutereas que
compotildee o retacircngulo (ABCD) isto eacute
A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]
rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1
(1 + i)i
2]
Portanto tem-se
1+22+32+42+52+62 = (1+2+3+4+5+6)middot6minus[5sumi=1
(1 + i)i
2] = (
6(6 + 1)
2)middot6minus1
2middot[5sumi=1
i+5sumi=1
i2])
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 87
Figura 722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
Fonte Geogebra
Figura 723 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
Fonte Geogebra
Daiacute segue que
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot5sumi=1
iminus 1
2middot5sumi=1
i2
rArr6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot5sumi=1
i2
Ainda eacute possiacutevel manipular a referida expressatildeo com o intuito de melhorar a
visualizaccedilatildeo
1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2)minus 1
2middot ([
6sumi=1
i2]minus 62)
rArr6sumi=1
i2 +1
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 88
rArr 3
2middot6sumi=1
i2 = (6(6 + 1)
2) middot 6minus 1
2middot (6(6minus 1)
2) +
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =62 + 6
2minus 62 minus 6
2+
62
2
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)
4
rArr 6
4
6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
4
rArr6sumi=1
i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)
6
Generalizando o procedimento ou seja representando geometricamente a soma
dos quadrados (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + middot middot middot + n2) de 1 ateacute n e em seguida completando a
gura ateacute que se forme um retacircngulo de base (1+2+3+4+5+ middot+n) e altura n tem-se
6sumi=1
i2 = 1 + 22 + 32 + middot middot middot+ n2 =n(2 middot n+ 1)(n+ 1)
6
Assim dispondo da relaccedilatildeo que representa a soma dos quadrados segue que
VCone = πr2H1
n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)
= πr2H1
n3
(n3
3+n2
2+n
6
)= πr2H
(1
3+
1
2n+
1
6n2
)
Como n tende ao innito segue que as fraccedilotildees que conteacutem denominador composto por n
poderatildeo ser desprezadas dado que tenderatildeo a zero Isto eacute o volume do cone seraacute dado
por
VCone =1
3πr2H
Recomenda-se que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada na 2a e 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
Acredita-se que em cinco aulas haacute tempo suciente para complementar todo o aparato de
discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Espacial
742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse
Dispondo dos meacutetodos de quadratura do ciacuterculo realizados por Arquimedes
dos conceitos baacutesicos de Geometria Analiacutetica difundida por Descartes e Fermat e aleacutem
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 89
disso dos princiacutepios de Cavalieri eacute possiacutevel aplicar tais ideias para ampliar o estudo de
cocircnica deduzindo a foacutermula para o caacutelculo da aacuterea de uma elipse isto eacute descobrir a
relaccedilatildeo de proporccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo para a elipse de eixo maior igual ao diacircmetro do
ciacuterculo formalizada por Johannes Kepler
Figura 724 Elipse inscrita numa circunferecircncia
Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p339
Considere o semi-ciacuterculo de raio r = a e a semi-elipse de semi-eixos positivos
a e b com a gt b A partir dessa convenccedilatildeo eacute possiacutevel descrever as equaccedilotildees reduzidas do
ciacuterculo e da elipse
x2 + y2 = a2 ex2
a2+y2
b2= 1
Escrevendo y em funccedilatildeo de x e tomando o 1o quadrante por simetria am de
que ambos os radicandos sejam positivos tem-se
y =radica2 minus x2
eyprime2
b2= 1minus x2
a2rArrradicb2 minus x2 b
2
a2
rArr yprime =
radicb2(1minus x2
a2
)
=
radicb2(a2 minus x2a2
)=b
a
radica2 minus x2
Ou seja yprime = bay (a razatildeo entre duas cordas verticais correspondentes da elipse
e do ciacuterculo eacute ba)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 90
Note que apesar de adotar a variaacutevel y em cada funccedilatildeo y e yprime satildeo diferentes
isto eacute representam para cada abscissa x ordenadas com valores distintos
Se as ordenadas do ciacuterculo e elipse y e yprime respectivamente guardam entre si a
relaccedilatildeo ba segue que suas aacutereas vatildeo manter a mesma razatildeo Essa armaccedilatildeo eacute garantida
pelo primeiro princiacutepio de Cavalieri em que EVES (2004 p426) [11] destaca Se duas
porccedilotildees planas satildeo tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina
nas porccedilotildees segmentos de reta cuja razatildeo eacute constante entatildeo a razatildeo entre as aacutereas dessas
porccedilotildees eacute a mesma constante Em linguagem moderna temos
Area da elipse
Area do circulo=b
a
rArr Area da elipse =b
aArea do circulo
rArr Area da elipse =b
aπa2 = πab
Eacute vaacutelido ressaltar que a ideia acima pode ser estendida para comparar dois
soacutelidos (segundo princiacutepio de Cavalieri) e por meio dela pode-se deduzir a foacutermula para o
caacutelculo do volume da esfera
Eacute recomendaacutevel que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada durante a 3a seacuterie
do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional
A quantidade de aulas sucientes para expor tais ideias variaraacute de acordo com a proposta
do professor mas acredita-se que cinco aulas satildeo bastantes para complementar todo o
aparato de discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Analiacutetica e de Cocircnicas
743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva
Ao analisar uma grandeza cuja variaccedilatildeo eacute tomada como constante em subin-
tervalos isto eacute como se a funccedilatildeo tivesse variaccedilatildeo de degrau em degrau e natildeo de forma
continuada haacute uma abordagem de forma impliacutecita das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias
elementares de integral
Primeiramente o trabalho estaraacute focado no caso em que a funccedilatildeo eacute constante
em todo o intervalo positivo considerado Suponha que o interesse principal seja o caacutelculo
da aacuterea sob o graacuteco no intervalo considerado Nesse caso o problema se resume em medir
a aacuterea de um retacircngulo cuja base coincide com a variaccedilatildeo do intervalo considerado e a
altura corresponde ao valor xo e constante da funccedilatildeo xada
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 91
Nessa mesma tocircnica veja um exemplo graacuteco de uma funccedilatildeo constante (f(x) =
3x) via GeoGebra com poliacutegono regular inscrito para n = 100
Figura 725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante
Fonte GeoGebra
Figura 726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer
Fonte GeoGebra
A gura anterior representa o caso de uma grandeza positiva e natildeo constante
cuja variaccedilatildeo seja contiacutenua ao longo do intervalo considerado Nesse caso para calcular a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 92
aacuterea sob o graacuteco eacute preciso analisar o problema fragmentando o intervalo contiacutenuo em um
nuacutemero consideraacutevel de partes (degraus) com o intuito de que a grandeza seja analisada
como se fosse praticamente constante em cada subintervalo isto eacute a aacuterea solicitada eacute
obtida adicionando as aacutereas dos inuacutemeros retacircngulos inseridos no intervalo considerado
A gura a seguir ilustra o graacuteco de uma funccedilatildeo qualquer feita a matildeo livre via GeoGebra
com poliacutegono retangular inscrito com n = 10
Esse procedimento descrito acima eacute comum e rotineiro em diversas situaccedilotildees
cotidianas A estrateacutegia de resoluccedilatildeo eacute similar na maioria dos casos e consiste em racio-
cinar a funccedilatildeo dado como se fosse constante em pequenos trechos Tal fenocircmeno jaacute era
realizado desde o seacuteculo III aC por Arquimedes com auxiacutelio do meacutetodo da exaustatildeo Um
exemplo praacutetico motivacional e de faacutecil entendimento eacute a explicaccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo
como uma aproximaccedilatildeo via aacuterea de poliacutegonos regulares inscritos com nuacutemero de lados
em escala crescente e tendendo ao innito Observe a imagem abaixo que foi produzida
no software de geometria dinacircmica GeoGebra Note que haacute um controle deslizante res-
ponsaacutevel por determinar o nuacutemero de lados do poliacutegono regular inscrito Na imagem a
seguir o cursor do controle deslizante foi posicionado em N = 11 isto eacute fez-se surgir o
undecaacutegono regular inscrito Jaacute a gura ao lado estaacute representando o hectaacutegono regular
(poliacutegono regular de 100 lados) inscrito e construiacutedo tambeacutem via GeoGebra
Figura 727 Quadratura do ciacuterculo
para n = 11
Figura 728 Quadratura do ciacuterculo
para n = 100
Tomando uma funccedilatildeo contiacutenua y = f(x) qualquer preferencialmente natildeo
constante denida no intervalo positivo [a b] e supondo que a meta seja o caacutelculo da aacuterea
sob o graacuteco contido no 1o quadrante faz-se necessaacuterio uma subdivisatildeo do intervalo [a b]
em numerosos subintervalos praticamente constantes am de determinar a aacuterea sob o
graacuteco como uma aproximaccedilatildeo pela soma de todos os retacircngulos obtidos ao particionar o
intervalo [a b] Isto eacute considerando n subintervalos de comprimentos x1 x2 x3 middot middot middot xn e
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 93
cujas imagens (alturas dos retacircngulos) sejam y1 y2 y3 middot middot middot yn respectivamente e supostos
constantes em cada subintervalo tem-se uma aproximaccedilatildeo para a aacuterea S sob o graacuteco da
curva dada
S sim= x1y1 + x2x2 + x3y3 + middot middot middot+ xnyn
Note que aumentando o valor de n e reduzindo o comprimento dos subinter-
valos a aproximaccedilatildeo ca melhorada ou seja o valor real da aacuterea sob o graacuteco torna-se
muito proacuteximo da aproximaccedilatildeo considerada via soma de retacircngulos Eacute oacutebvio que ten-
dendo o valor de n para um nuacutemero innito de subdivisotildees sucessivas com as ressalvas
necessaacuterias de reduccedilatildeo dos comprimentos dos subintervalos a soma das innitas aacutereas dos
retacircngulos pertencentes aos trechos particionados tenderaacute para o valor real da aacuterea sob
o graacuteco da funccedilatildeo considerada Tal nuacutemero eacute conhecido como integral denida
Eacute vaacutelido ressaltar que o procedimento exibido acima pode ser contextualizado
aplicado e inserido de forma interdisciplinar com a disciplina de Fiacutesica ao calcular a
distacircncia d percorrida por um moacutevel com velocidade v(t) no intervalo de tempo [a b] ou
entatildeo no caacutelculo do trabalho T realizado por uma forccedila de direccedilatildeo constante e intensidade
f(x) no deslocamento de x de a ateacute b Tambeacutem eacute possiacutevel aplicar o estudo descrito para
calcular o volume de uma trombeta (soacutelido obtido pela rotaccedilatildeo do graacuteco particular
y = f(x) em torno do eixo x com a le x le b e f(x) ge 0) via cascas ciliacutendricas poreacutem essa
atividade pode ser encontrada nos livros de Caacutelculo citados anterioremente e seraacute deixada
como atividade suplementar pois foge ao escopo desse trabalho
Para raticar o estudo exibido propotildee-se um exerciacutecio que pode ser resolvido
passo a passo conforme etapas descritas a seguir
Exerciacutecio Calcule um valor aproximado para a aacuterea sob o graacuteco de f(x) =
100minus x2 no intervalo [0 10]
Atividade a ser desenvolvida no laboratoacuterio de informaacutetica com computadores
compostos por softwares de geometria dinacircmica (especialmente o GeoGebra) Aleacutem disso
eacute recomendaacutevel o uso de calculadora cientiacuteca ou de algum software de planilha (por
exemplo Excel ou CALC)
1o passo Utilize o GeoGebra para plotar o graacuteco da funccedilatildeo com as restriccedilotildees
discriminadas no enunciado
2o passo Inicialmente proponha uma subdivisatildeo do intervalo [0 10] em 5 su-
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 94
bintervalos de comprimento igual a 2 Note que em cada subintervalo eacute preciso supor
f(x) constante e de valor correspondente ao ponto meacutedio do subintervalo
3o passo Calcule os valores de f(1) f(3) f(5) f(7) e f(9) Nesse momento
questione os alunos sobre o que essas imagens representam
4o passo Utilize a calculadora cientiacuteca ou uma planilha eletrocircnica para adi-
cionar a aacuterea dos cinco retacircngulos contidos nos subintervalos determinados A soma (S5)
eacute uma aproximaccedilatildeo para o valor da aacuterea sob o graacuteco da funccedilatildeo dada isto eacute eacute uma
estimativa para o valor da integral denida
5o passo Questione os alunos sobre o que aconteceraacute com a estimativaaproximaccedilatildeo
caso fosse uma nova subdivisatildeo em dez subintervalos de comprimento igual a 1 Oriente
os mesmos a realizarem tal experimento
6o passo Maximize o grau de abstraccedilatildeo da atividade supondo uma subdivisatildeo
do intervalo dado em n subintervalos de comprimento igual a 10n Solicite aos alunos que
calculem a nova aproximaccedilatildeo em funccedilatildeo de n fornecendo uma expressatildeo geral e ao nal
dessa tarefa questione os alunos sobre o que aconteceraacute com tal expressatildeo caso o valor de
n seja tendido ao innito
7o passo Revise todas as etapas melhorando a linguagem de forma gradual
e introduzindo uma simbologia de maneira a facilitar a escrita por exemplo insira a
notaccedilatildeo de somatoacuterios Caso observe a maturidade e a compreensatildeo dos conceitos de
maneira satisfatoacuteria por parte dos alunos insira a notaccedilatildeo moderna de limite junto aos
siacutembolos de somatoacuterios Aleacutem disso tambeacutem pode introduzir a simbologia de integrais
A expectativa dessa atividade eacute que a maioria dos alunos construa o graacuteco
no GeoGebra conforme as guras ilustrativas a seguir e que aproxime ao maacuteximo da aacuterea
sob o graacuteco via Soma de Riemann
Note que o aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees de cinco para dez fez com que a
aproximaccedilatildeo da aacuterea do poliacutegono retangular inferior melhorasse de 560 para 615 unidades
de aacuterea E mais aumentando o nuacutemero de interaccedilotildees de 10 para 100 fez com que a
aproximaccedilatildeo via aacuterea do poliacutegono retangular superior melhorasse de 715 para 67165
Tal realizaccedilatildeo conduz a seguinte conclusatildeo a aacuterea procurada eacute um nuacutemero entre 615
e 67165 Utilizando as ideias de Arquimedes sobre quadratura da paraacutebola eacute possiacutevel
constatar que a aacuterea desse segmento paraboacutelico (Asp) eacute dada por 43da aacuterea do triacircngulo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 95
inscrito de base medindo 10 unidades e altura medindo 100 unidades isto eacute Asp = 43de
10middot1002
= 20003
= 666 6
Figura 729 Poliacutegono Retangular
para n = 5
Figura 730 Poliacutegono Retangular
para n = 10
Figura 731 Poliacutegono Retangular
inscrito
Figura 732 Poliacutegono Retangular
circunscrito
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 96
Observe que a Figura 732 representa uma imagem ilustrativa de um poliacutegono
retangular superior em que eacute possiacutevel vericar que a aacuterea estaacute bem proacutexima do valor real
exibido anteriormente Note ainda que a medida que aumentamos o valor do cursor (n)
o poliacutegono retangular inscrito aproximasse cada vez mais da aacuterea da faixa de paraacutebola
pretendida (vide gura 731)
744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica
O estudo de funccedilatildeo decorre da necessidade de analisar fenocircmenos descrever
regularidades interpretar interdependecircncias e generalizar Eacute preciso ter em mente que o
termo funccedilatildeo eacute mais abrangente e complexo do que a deniccedilatildeo apresentada ou seja eacute
necessaacuterio mostrar ao aluno que esse toacutepico usado de forma sistemaacutetica em exatas e no
seu cotidiano eacute de suma importacircncia para o meio social pois vaacuterias relaccedilotildees de mercado
e capital engenharia economia (micro e macro) sauacutede transportes induacutestrias artes
energia enm uma diversidade de aacutereas dependem de uma anaacutelise clara e objetiva da
funcionalidade de um modelo ou paracircmetro a ser adotado
Os casos em que haacute o emprego das noccedilotildees elementares no estudo de Fiacutesica
durante a etapa do ensino meacutedio satildeo frequentes e corriqueiros Observe os casos em que
eacute possiacutevel explorar tais ideias durante o ensino meacutedio
No 1o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Velocidade x Tempo (Deslocamento)
bull graacuteco de Aceleraccedilatildeo x Tempo (Velocidade)
bull graacuteco de Forccedila x Distacircncia (Trabalho)
bull graacuteco de Forccedila x tempo (Impulso)
No 2o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Trabalho realizado por um gaacutes ideal)
bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Transformaccedilatildeo isoteacutermica)
bull graacuteco de calor especiacuteco x variaccedilatildeo de temperatura (Quantidade de Calor)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 97
No 3o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do
bull graacuteco de Corrente x Tempo (Carga)
bull graacuteco de Campo eleacutetrico x distacircncia (Forccedila eleacutetrica)
bull graacuteco de Resistecircncia x corrente (Tensatildeo)
Eacute possiacutevel citar outros casos mais especiacutecos poreacutem fogem ao escopo desse
material A seguir seraacute apresentado um estudo de catildeo referente ao caacutelculo da aacuterea sob o
graacuteco de uma dada relaccedilatildeo entre duas grandezas
A riqueza de tal estudo que eacute uma aplicaccedilatildeo baacutesica do caacutelculo integral vai
ao encontro dos ideais de interdisciplinaridade e contextualizaccedilatildeo defendidos pelos Paracirc-
metros Curriculares Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) [20] e pela Lei de Diretrizes e
Bases da Educaccedilatildeo (LDB) [30]
Os PCNEM (2002) [21] foram formulados a partir da discussatildeo entre especi-
alistas e educadores pertencentes aos domiacutenios do territoacuterio nacional Sua nalidade eacute
bastante abrangente dado que se pretende dar suporte as equipes escolares na execuccedilatildeo
de seus trabalhos com o intuito de promover o aperfeiccediloamento da praacutetica educativa por
meio de estiacutemulo e apoio agrave reexatildeo sobre a praacutetica diaacuteria ao planejamento de aulas e
ao desenvolvimento do curriacuteculo da escola de maneira a construir um processo contiacutenuo
de ensinoaprendizagem e a contribuir satisfatoriamente para a atualizaccedilatildeo prossional e
para a integraccedilatildeo ao mundo contemporacircneo nas dimensotildees fundamentais da cidadania e
do trabalho
Nesse iacutenterim que foca numa aprendizagem de formaccedilatildeo geral em que se pri-
oriza a aquisiccedilatildeo de conhecimentos a preparaccedilatildeo cientiacuteca e a capacidade de utilizar as
diferentes tecnologias relativas agraves aacutereas de atuaccedilatildeo a pretensatildeo dessa sequencia didaacutetico
tem a nalidade de contribuir para a transformaccedilatildeo do ensino meacutedio assim como formar
alunos capazes de buscar analisar e selecionar informaccedilotildees de modo criacutetico em detrimento
do ensino focado nos processos de memorizaccedilatildeo
A integraccedilatildeo e o uso da Matemaacutetica para justicar fatos da Fiacutesica sempre
foram e seratildeo mecanismos favoraacuteveis para o desenvolvimento da ciecircncia e da tecnologia
Eacute vaacutelido ressaltar que para propagar tais ideias eacute necessaacuterio discutircomentar
alguns preacute-requisitos matemaacuteticos e fiacutesicos de acordo com a seacuterie em que haacute pretensatildeo a
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 98
aplicar a referida teacutecnica Eacute de suma importacircncia que o aluno saiba e domine os conceitos
de funccedilatildeo uacuteteis na construccedilatildeo do esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo proposta Assim a primeira
etapa de todo o processo consiste numa revisatildeo de toacutepicos de funccedilatildeo (1o grau 2o grau
exponencial logariacutetmica trigonomeacutetrica hipeacuterbole equilaacutetera etc) de acordo com o
enfoque que o professor trabalharaacute
Por exemplo caso o professor esteja interessado apenas em aplicar os conceitos
de limite agraves funccedilotildees do 1o grau cujos graacutecos seratildeo guras planas poligonais natildeo haacute
necessidade de explanar as demais funccedilotildees Jaacute o educador que pretende estudar tais
fenocircmenos que desembocam em graacutecos paraboacutelicos eacute preciso discutir com os alunos
toacutepicos relacionados ao estudo das funccedilotildees quadraacuteticas e suas relaccedilotildees graacutecas com o
estudo da paraacutebola Nos outros casos recomenda-se prosseguir com raciociacutenio anaacutelogo
O nuacutemero de aulas previstas de revisatildeo dependeraacute do niacutevel da turma em que se pretende
aplicar o trabalho
Aleacutem disso eacute preciso utilizar o laboratoacuterio de informaacutetica como recurso suple-
mentar para o ensino e manejo do software de geometria dinacircmica GeoGebra Em geral
de duas a quatro aulas satildeo sucientes para aprender a usar de forma baacutesica desde que haja
planejamento de atividades e interesse por parte discente e docente no aprimoramento da
utilizaccedilatildeo
Apoacutes o domiacutenio das ferramentas baacutesicas do GeoGebra eacute hora de propor a
plotagemconstruccedilatildeo de graacutecos Eacute recomendaacutevel que o professor inicie seu trabalho a
partir de uma situaccedilatildeo problema que empregaraacute conceitos de funccedilatildeo do 1o grau e que
implicaraacute na utilizaccedilatildeo dos conceitos fiacutesicos de acordo com a seacuterie momentacircnea Forneccedila
os dados via tabela via texto ou via foacutermula Solicite a interpretaccedilatildeo da funccedilatildeo com
questionamentos Quem eacute a variaacutevel dependente e a independente Como representamos
tal situaccedilatildeo gracamente O que representa o produto das variaacuteveis Etc
7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea
Para compreender o signicado de velocidade instantacircnea de um moacutevel em
movimento faz-se necessaacuterio compreender o conceito de taxa de variaccedilatildeo
Considere que x = f(t) seja equaccedilatildeo que descreve o movimento do moacutevel
(funccedilatildeo horaacuteria do moacutevel) A velocidade meacutedia (vm) de um moacutevel entre os instantes t1
e t2 = t1 +4t eacute denida como a razatildeo entre variaccedilatildeo do espaccedilo percorrido pelo tempo
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 99
gasto para executar tal deslocamento
vm =4S4t
=s2 minus s1t2 minus t1
=f(t2)minus f(t1)(t1 +4t)minus t1
=f(t1 +4t)minus f(t1)
4t
Tomando 4trarr 0 tem-se que vm tende para a velocidade instantacircnea isto eacute
vinstatanea = lim4trarr0
f(t1 +4t)minus f(t1)4t
A razatildeo f(t1+4t)minusf(t1)4t eacute denominada de Quociente de Newton Esse quociente eacute
bastante corriqueiro em problemas de Matemaacutetica (problemas de tangecircncia a curvas) Fiacute-
sica (velocidade instantacircnea aceleraccedilatildeo instantacircnea etc) Quiacutemica (quociente de reaccedilotildees
quiacutemicas) e Economia (problemas de custo marginal) No estudo de caacutelculo esse conceito
receberaacute o nome de derivada de uma funccedilatildeo em um dado ponto ou ainda representa
geometricamente a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacuteco no ponto (t f(t))
Nesse momento seria interessante propor atividades de cunho experimental
com carrinhos de exatildeo ou com problemas de queda livre Nessa tarefa aleacutem de realizar
anotaccedilotildees acerca de deslocamentos e tempos decorridos eacute interessante solicitar a cons-
truccedilatildeo de um esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo e propor questionamentos aos alunos acerca da
aacuterea sob o graacuteco da curva obtida ao traccedilar o graacuteco
Situaccedilatildeo Problema Caacutelculo da distacircncia d percorrida por um moacutevel com ve-
locidade v(t) no intervalo de tempo [a b]
1o caso Se a velocidade v(t) for constante e igual a v segue que
d = vt = v(bminus a)
2o caso Se a velocidade v(t) natildeo for constante em [a b] entatildeo eacute possiacutevel
adotar uma subdivisatildeo desse intervalo em n particcedilotildees de mesmo comprimento e supor
que a velocidade seja constante em cada subintervalo Isto eacute adotando t1 t2 t3 t4 middot middot middot tncomo comprimento desses subintervalos tem-se
d sim= v1t1 + v2t2 + v3t3 + middot middot middot+ vntn
Observe a situaccedilatildeo ilustrativa de aplicaccedilatildeo das ideias difundidas acima por
meio da anaacutelise da tabela que fornece a velocidade de um corpo que se desloca com
movimento retiliacuteneo em diversos instantes
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 100
Tabela 74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo
t(segundos) 0 1 2 3 4 5
v (ms) 2 5 8 11 14 17
Figura 733 Trapeacutezio retacircngulo
Fonte GeoGebra
7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle
Um gaacutes sofre transformaccedilatildeo isoteacutermica quando haacute variaccedilatildeo da sua pressatildeo e do
seu volume sem que haja variaccedilatildeo de sua temperatura isto eacute a temperatura permanece
constante Daiacute se explica o nome da transformaccedilatildeo que eacute uma fusatildeo do prexo iso (do
grego iso = igual) com a palavra thermo (do grego thermo = calor)
Segundo a Lei de Boyle-Mariotte a pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo
inversamente proporcionais ou seja aumentando a pressatildeo o volume de gaacutes diminui
Um exemplo simples praacutetico e presente diariamente em nosso dia-a-dia eacute o
ecircmbolo de uma seringa Como a Pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo inversamente
proporcionais segue que PV = k Observe a situaccedilatildeo hipoteacutetica tabulada e a construccedilatildeo
do graacuteco a partir de tais dados Daiacute decorre que os pontos da curva geram de fato uma
hipeacuterbole Isto eacute por intermeacutedio da construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo (hipeacuterbole) y = 54x
eacute possiacutevel conjecturar um valor para o trabalho realizado no intervalo [3 24] O eixo das
abscissas conteacutem os valores do volume enquanto o eixo das ordenadas conteacutem os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 101
da pressatildeo do referido gaacutes em estudo
Tabela 75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio
Pressatildeo (atm) Volume (ml) Produto (P middotV )
3 18 54
6 9 54
12 45 54
18 3 54
24 225 54
Note que a aproximaccedilatildeo via poliacutegonos retangulares inferiores quanto a aproxi-
maccedilatildeo via poliacutegonos retangulares superiores estaacute tendendo para um nuacutemero entre 11212
e 11246 unidades de aacuterea Como a aacuterea em questatildeo representa o trabalho realizado pelo
gaacutes e conforme jaacute foi provada a referida aacuterea pode ser obtida a partir de uma subtraccedilatildeo
entre os logaritmos naturais das abscissas do intervalo [3 24] segue que o trabalho (T )
realizado seraacute dado por T = 54(ln 24minus ln 3) sim= 112 289
Figura 734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000
Fonte GeoGebra
745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada
Eacute consenso entre os estudiosos do assunto de que a introduccedilatildeo do estudo de
derivadas deve ser realizada por meio de suas aplicaccedilotildees como por exemplo ao introduzir
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 102
conceitos de pressatildeo densidade da massa densidade da carga eleacutetrica e em problemas de
tangecircncia em determinados pontos de uma curva
Vaacuterios artigos da RPM jaacute mencionaram a importacircncia desse estudo e defen-
deram de forma ferrenha e de acordo com histoacuteria o estudo das derivadas Dentre os
inuacutemeros artigos que citam diretaindiretamente o ensino de derivadas merece destaque
os artigos de AacuteVILA (1991) [1] nas revistas de nuacutemero 18 23 e 60 e o artigo dos professores
WAGNER e CARNEIRO (2004) [32] na revista de nuacutemero 53
Analisando o artigo mais recente da RPM de nuacutemero 60 sobre o tema cuja
autoria eacute exclusiva do professor AacuteVILA (2006) [2] eacute possiacutevel vericar a possibilidade de
aplicaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular do estudo inicial de derivadas
no Ensino Meacutedio Nesse artigo o autor critica as abordagens feitas pelos livros didaacuteticos
e propotildee uma abordagem segundo a utilizaccedilatildeo de ferramentas do Caacutelculo diferencial e
integral com o intuito de promover um ensino baacutesico de forma ampla contextualizada e
harmocircnica com outras aacutereas do conhecimento
A princiacutepio AacuteVILA [2] apresenta o estudo das coordenadas do veacutertice de uma
paraacutebola conforme a maioria dos livros didaacuteticos nos apresenta isto eacute um amontoado de
proposiccedilotildees e foacutermulas sem justicativas e aceitas via decoreba sem demonstraccedilatildeo formal
ou intuitiva Um verdadeiro disparate dado que haacute uma desvinculaccedilatildeo entre deniccedilatildeo
do veacutertice e a funccedilatildeo propriamente dita cujo graacuteco eacute uma paraacutebola Segundo SANTOS
(2006) [24]
a deniccedilatildeo mais natural e contextualizada seria a de que o veacutertice daparaacutebola eacute o ponto que representa o extremo (maacuteximo ou miacutenimo) dafunccedilatildeo quadraacutetica sendo a abscissa o ponto onde esse extremo eacute atingidoe a ordenada o valor extremo assumido Dessa forma ao considerar umafunccedilatildeo quadraacutetica como um modelo matemaacutetico ca clara a importacircnciade se obter o veacutertice da paraacutebola ao interpretaacute-lo como o extremo dafunccedilatildeo (SANTOS [24] 2006 p4)
Eacute importante salientar que segundo AacuteVILA (2006) [2] para seguir os proacuteximos
passos propostos na RPM de nuacutemero 60 faz-se necessaacuterio uma abordagem inicial do estudo
de derivadas conforme a maior parte dos livros didaacuteticos de Caacutelculo apresenta em que o
limite das inclinaccedilotildees das retas secantes ao graacuteco de uma paraacutebola (y = ax2 + bx + c)
tende para (2ax+ b) A apresentaccedilatildeo desse estudo eacute feita posteriormente com auxiacutelio do
GeoGebra Caso natildeo seja suciente a atividade proposta eacute recomendado realizar uma
leitura criacutetica e minuciosa da exposiccedilatildeo desse assunto em STEWART (2006) [37]
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 103
A partir desses preacute-requisitos eacute possiacutevel introduzir as noccedilotildees elementares de
derivada difundidas no presente artigo Nele haacute uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica da derivada
relacionada ao coeciente angular da reta tangente ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica em
cada ponto descartando a anaacutelise via zeros da funccedilatildeo Como a inclinaccedilatildeo da reta tangente
no veacutertice da paraacutebola possui valor nulo uma vez que a reta tangente eacute horizontal segue
que a derivada da funccedilatildeo (f(x) = ax2+ bx+ c) no ponto que conteacutem a abscissa do veacutertice
eacute igual a zero isto eacute
f prime(x) = 0hArr 2axv + b = 0hArr minusb2a
Jaacute a ordenada yv pode ser obtida como a imagem da abscissa ou seja substituindo o
valor da abscissa do veacutertice na funccedilatildeo quadraacutetica
Nesse mesmo artigo AacuteVILA (2006) [2] cita uma aplicaccedilatildeo da derivada segunda
para uma anaacutelise da concavidade da paraacutebola e aleacutem disso tambeacutem faz uma citaccedilatildeo de
referecircncia a uma aplicaccedilatildeo da derivada como taxa de variaccedilatildeo no estudo de Mecacircnica na
Fiacutesica A explanaccedilatildeo com riqueza de detalhes caraacute a cargo do leitor pois assim evita-se
uma fuga demasiada do escopo da discussatildeo desse trabalho de dissertaccedilatildeo
Veja o esboccedilo da situaccedilatildeo descrita acima
Figura 735 Reta tangente a uma dada paraacutebola
Fonte RPM [2] n60
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 104
7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada
Conforme a maioria dos livros didaacuteticos de caacutelculo propotildee recomenda-se que a
introduccedilatildeo do estudo de derivadas seja realizada a partir da situaccedilatildeo problema de traccedilar
a reta tangente a uma curva num determinado ponto
Se a gura curviliacutenea for uma circunferecircncia basta encontrar a reta que toca
a circunferecircncia em um uacutenico ponto Mas essa noccedilatildeo natildeo pode ser estendida como caso
geral pois haacute diversos exemplos de curvas qualquer em que uma dada reta intercepta
somente em um ponto e tal reta natildeo representa a reta tangente Por exemplo se a
referida curva fosse uma paraacutebola eacute oacutebvio que a reta vertical que representa o eixo da
paraacutebola intercepta a curva somente em seu veacutertice e tal reta natildeo representa uma reta
tangente da paraacutebola Sendo assim faz-se necessaacuterio criar uma deniccedilatildeo geral capaz de
ser utilizada em qualquer graacuteco curviliacuteneo
Para isso eacute necessaacuterio partir de uma situaccedilatildeo concreta por exemplo esco-
lhendo o graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Considere dois pontos nessa curva
P = (a f(a)) e Q = (a+h f(a+h)) A proposta exibida abaixo eacute referente a uma anaacutelise
da inclinaccedilatildeo das retas secantes quando Q se aproxima de P com a intenccedilatildeo de conjectu-
rar uma deniccedilatildeo precisa de reta tangente via razatildeo incremental (inclinaccedilatildeo coeciente
angular)
Observe o procedimento da situaccedilatildeo descrita via representaccedilatildeo no GeoGebra
cujos passos devem ser repassados conforme proposiccedilatildeo abaixo
1o passo Digite na linha de comandos (campo entrada) a lei de formaccedilatildeo da
funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2)
2o passo Crie dois controles deslizantes a e h O primeiro (a) com intervalo
de variaccedilatildeo de -10 ateacute 10 com incremento de 01 O segundo (h) com mesmo intervalo e
com mesmo de 001
3o passo Crie dois pontos (A e Q) O primeiro com coordenadas A = (a f(a))
e o segundo com coordenadas Q = (a+ h f(a+ h)) Em seguida crie a reta denida por
dois pontos (A e Q)
4o passo Crie uma razatildeo incremental (m) tal que
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 105
5o passo Solicite aos alunos que realize variaccedilatildeo no controle deslizante a e no
controle deslizante h
6o passo Mantenha o controle deslizante na posiccedilatildeo a = 1 e faccedila variaccedilotildees no
controle deslizante h
7o passo Solicite aos alunos que comparem o valor do coeciente angular da
reta AQ com o valor da razatildeo incremental (m) quando o ponto Q se aproxima do ponto
A em sua vizinhanccedila
A seguir observe as retas secantes ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2
com representaccedilatildeo de limites laterais (h = minus004 e h = 004) Eacute vaacutelido que apoacutes a
realizaccedilatildeo dos passos descritos e de analisar as conjecturas obtidas pelos alunos o professor
deve realizar diversos questionamentos acerca da atividade desenvolvida dentre os quais
o de maior destaque consiste em observar o que acontece na vizinha do ponto P = (1 1)
Figura 736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a esquerda)
Fonte GeoGebra
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 106
Figura 737 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral
a direita)
Fonte GeoGebra
7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada
Apoacutes realizar experimento via GeoGebra e incitar conjecturar a partir de inuacute-
meras modicaccedilotildees nos cursores (a e h) que conduzem alteraccedilotildees no ponto escolhido e no
incremento lateral analisado eacute hora de utilizar o quadro da sala de aula com o intuito
de realizar um estudo algeacutebrico das etapas a partir da anaacutelise da razatildeo incremental (m)
comparando com o valor do coeciente angular da reta secante AQ
Observe como seria o referido estudo analiacutetico e algeacutebrico
m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
=f(a+ h)minus f(a)(a+ h)minus h
=(a+ h)2 minus a2
h
=2ah+ h2
h
= 2a+ h
Note que quanto mais proacuteximo o ponto Q estiver em relaccedilatildeo ao ponto A o
valor de h tenderaacute a zero isto eacute
limhrarr0
[m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)
] = limhrarr0
[2a+ h] = 2a
Note que para a = 1 implica em m = 2 ou seja a inclinaccedilatildeo da secante
AQ tambeacutem seraacute igual a 2 e nesse momento a reta via GeoGebra secante deixa de
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 107
existir pois natildeo faz sentido para o programa divisatildeo com denominador nulo Mas eacute
vaacutelido ressaltar que a reta existe e trata-se da reta tangente cuja inclinaccedilatildeo (coeciente
angular ou razatildeo incremental) coincide com o valor da derivada no ponto A Caso o
professor ache conveniente introduza a notaccedilatildeo de derivada primeira num ponto qualquer
determinado (f prime(a) = 2a) Essa atitude de acordo com o niacutevel de abstraccedilatildeo da turma
pode ser um belo exemplo e uma boa alternativa de introduccedilatildeo das teacutecnicas e propriedades
de derivaccedilatildeo da funccedilatildeo polinomial
Na atividade proposta tambeacutem foi utilizada a funccedilatildeo quadraacutetica mas eacute vaacute-
lido salientar que haacute viabilidade e facilidade da extensatildeo para demais funccedilotildees (1o grau
exponencial logariacutetmica e ateacute mesmo a funccedilatildeo trigonomeacutetrica)
O problema descrito abaixo eacute referente a uma situaccedilatildeo problema de utilizaccedilatildeo
praacutetica do estudo de derivada com auxiacutelio do GeoGebra
1a Situaccedilatildeo problema Aplicaccedilatildeo num problema de maximizaccedilatildeo
Um terreno em formato retangular possui periacutemetro de medida igual a 74
metros A partir dessa informaccedilatildeo determine a medida dos lados desse retacircngulo para
que a aacuterea desse terreno seja maacutexima
Resoluccedilatildeo passo a passo via GeoGebra
1o passo Equacionar o problema a partir dos dados
Sejam a e b os lados do terreno em questatildeo
Como o periacutemetro mede 74 metros segue que 2a+ 2b = 74
Isto eacute a+ b = 37 que eacute equivalente a b = 37minus a
Como o problema solicita os valores das dimensotildees que geram aacuterea (S)maacutexima
segue que S = ab = a(37minus a) = minusa2 + 37a
2o passo Apoacutes o equacionamento construir via GeoGebra o graacuteco da funccedilatildeo
quadraacutetica obtida (f(x) = minusx2 + 37x)
3o passo Criar um controle deslizante (a) de intervalo de -50 a 50 com incre-
mento de 01
4o passo Criar um ponto de coordenadas P = (a f(a)) Em seguida criar
uma reta tangente no ponto P
5o passo Varie o controle deslizante e observe na janela de aacutelgebra os valores
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 108
das ordenadas do ponto P
Observe a imagem da tela do GeoGebra apoacutes sequencia dos passos anteriores
Figura 738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular
Fonte Imagem capturada de janela do GeoGebra
Note que quando o ponto P atinge o veacutertice (V ) da paraacutebola as coordenadas
desse ponto satildeo dadas por V = (185 34225) Assim eacute possiacutevel concluir que a funccedilatildeo
aacuterea assume valor maacuteximo quando a reta tangente torna-se horizontal isto eacute a maacutexima
aacuterea ocorre quando a inclinaccedilatildeo da reta tangente eacute igual a zero e o retacircngulo torna-se um
quadrado de lado de medida 185 metros Utilizando a linguagem do caacutelculo eacute possiacutevel
dizer que a aacuterea eacute maacutexima quando a derivada no ponto P eacute igual a zero (vide imagem a
seguir)
74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 109
Figura 739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica
Fonte Imagem capturada da janela do GeoGebra
110
8 CONCLUSAtildeO
Ao tomar a decisatildeo nal de pesquisar sobre o tema em estudo e escrever uma
proposta de sequecircncia didaacutetica de resgate agrave inserccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo
durante o Ensino Meacutedio eacute importante confessar que a princiacutepio tal ideia aparentemente
foi considerada absurda antiquada e de discussatildeo despreziacutevel Apoacutes nalizar todo o levan-
tamento de dados dessa dissertaccedilatildeo foi possiacutevel perceber quatildeo eacute pertinente tal discussatildeo
e quanto o ensino estaacute sendo negligenciado por professores experientes e de reputaccedilatildeo
ilibada no mercado da terceira etapa da educaccedilatildeo baacutesica
Assim como opinaram a maioria dos professores que atua na rede municipal
e estadual do Espiacuterito Santo nossa visatildeo a priori do tema da pesquisa era criacutetica e
contraacuteria agrave introduccedilatildeo de conceitos de limite deriva e integral Uma justicativa plausiacutevel
seria dizer que a clientela existente na educaccedilatildeo baacutesica diariamente estaacute constantemente
nos desapontando com problemas simples de matemaacutetica elementar e isso talvez tenha
contribuiacutedo para o equiacutevoco de considerar tal proposta absurda impossiacutevel e incompatiacutevel
com a realidade da maioria das escolas capixabas poreacutem em contrapartida eacute preciso
focar a atenccedilatildeo ao prejuiacutezo que estamos causando agravequela minoria de estudantes aacutevidos
pelo saber e que possuem alto grau de abstraccedilatildeo A preparaccedilatildeo de nossos alunos para
ingressarem no estudo de matemaacutetica superior natildeo estaacute sendo suciente Isso pode ser
uma das justicas para os piacuteos iacutendices de aprovaccedilatildeo da maior parte dos alunos que
estudam Caacutelculo A implementaccedilatildeo de nossa proposta em sala de aula mesmo que seja
para um seleto grupo pode gerar mudanccedilas signicativas com contribuiccedilotildees iacutempares para
o ensinoaprendizagem dos alunos partiacutecipes
Tambeacutem foi possiacutevel reetir sobre vaacuterios pontos da educaccedilatildeo matemaacutetica ca-
pixaba em particular do puacuteblico alvo da pesquisa pertencente agrave Grande Vitoacuteria que
perpassa desde a formaccedilatildeo inconsistente dos professores seja de instituiccedilatildeo puacuteblica ou
privada ateacute a precariedadenegligecircncia de nossos livros didaacuteticos do curriacuteculo estadual
dos PCN da proposta do ENEM e dos cursos de capacitaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao repasse de
noccedilotildees elementares do Caacutelculo
O presente trabalho serviu para nos alertar sobre a importacircncia da Histoacuteria
8 CONCLUSAtildeO 111
da Matemaacutetica na evoluccedilatildeo dos conceitos Agraves vezes desejamos que os alunos aprendam
algo em um dia sendo que tal conceito demorou seacuteculos para atingir o rigor e o padratildeo
preestabelecido em nossas literaturas de matemaacutetica Aleacutem disso serviu de instrumento
norteador para pensar em mudanccedilas ou adaptaccedilotildees signicativas em nossos livros didaacute-
ticos para que os mesmos estejam em conformidade com a proposta constitucional de
preparaccedilatildeo para uma continuaccedilatildeo de estudos mais avanccedilados Tambeacutem serviu de aper-
feiccediloamento do conhecimento via emprego praacutetico e motivador de planilhas eletrocircnicas e
softwares de geometria dinacircmica (GeoGebra) Como esses recursos podem tornar as aulas
mais interessantes e fazer com que o ensinoaprendizagem seja facilitado
O emprego das noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio via noccedilotildees intuitivas e
via situaccedilotildees problema de aplicaccedilotildees reais pode ser incluso novamente nos PNCEM
no curriacuteculo estadual eou entatildeo nas estrateacutegias suplementares do plano pedagoacutegico da
escola baacutesica com o intuito de oportunizar um aprendizado mais qualicado aos alunos
e de preparaacute-los para estudos posteriores com maior teor de abstraccedilatildeo Foi possiacutevel
vericar que algumas propriedades satildeo justicadas de maneira rigorosa apenas com o
auxiacutelio de ideais correlatas do Caacutelculo (limite derivada e integral) principalmente a
explicaccedilatildeo matemaacutetica de alguns fenocircmenos fiacutesicos e quiacutemicos tornando a matemaacutetica
interdisciplinar
Enm eacute preciso ensinar matemaacutetica com o intuito de formar alunos aptos a
lidar com situaccedilotildees extremas de abstraccedilatildeo nas universidades e natildeo somente para adqui-
rirem bom rendimento nos exames de caraacuteter nacional (ENEM PAEBES etc) Anal
a omissatildeo pode estar causando resultados negativos como desmotivaccedilatildeo dos alunos da
escola baacutesica reduccedilatildeo de procura por cursos que requerem uma boa formaccedilatildeo na aacuterea
de exatas e aulas expositivas cada vez mais distantes da realidade cotidiana dos nossos
alunos Assim as poliacuteticas governamentais assim como os professores devem participar
dessas discussotildees com propostas de viabilidade de cursos de capacitaccedilatildeo que oriente os
prossionais a trabalharem com as noccedilotildees de Caacutelculo via aulas expositivas com adaptaccedilotildees
de recursos didaacuteticos disponiacuteveis e via produccedilatildeo de material especiacuteco que complemente as
lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos disponiacuteveis Essa adaptaccedilatildeo ao modelo tradicional
de ensino que jaacute se mostrou desmotivador arcaico e ultrapassado pode ser uma alterna-
tiva eciente para resgatar a busca incessante pelo aprofundamento do saber matemaacutetico
fiacutesico e quiacutemico por parte dos alunos
112
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos
graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo
A)
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)113
I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)114
115
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos
professores de Matemaacutetica (Anexo B)
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 116
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 117
II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 118
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