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Retas
Equação Vetorial
Sejam um ponto A=(x1,y1,z1) e um vetor não nulo v=(a,b,c)
Teorema: Existe somente uma reta r que passa por A e tem direção de v. Um ponto P=(x,y,z) є r se, e somente se, o vetor AP = (x-x1,y-y1,z-z1) é paralelo a v, isto é AP = tv, para todo t є R
Equação Vetorial
Daí, P-A= tv ou P = A + tv Ou em coordenadas (x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) que é chamada
de equação vetorial da reta r
Exemplo
Encontre a equação vetorial da reta que passa por A=(1,-1,4) e tem a direção de v=(2,3,2). Verifique também se o ponto P=(5,5,8) pertence a esta reta
Equações Paramétricas
Sabemos que a equação vetorial da reta que passa por A=(x1,y1,z1) e tem direção de v=(a,b,c) é:
(x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) ou ainda (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc)
Equações Paramétricas
Usando a igualdade de dois vetores na expressão (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc) temos as seguintes equações paramétricas
ctzz
btyy
atxx
1
1
1
Exemplo 2
Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,-2,3) pede-se:
A) escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v
B) Encontrar dois pontos B e C de r de parâmetros t=1 e t=4 respectivamente
Exemplo 2
C) determinar o ponto de r cuja abscissa é 4
D) verificar se os pontos D=(4,-1,2) e E=(5,-4,3) pertencem a r
E) Determinar para que valores de m e n o ponto F=(m,5,n) pertence a r
Exemplo 2
F) escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r
G) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G=(5,2,-4) e é paralela a r
H) Escrever equações paramétricas da reta u que passa por A e é paralela ao eixo y
Reta Definida por 2 Pontos
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem direção do vetor v=AB
Exemplo 3
Escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A=(3,-1,2) e B(1,2,4)
Equação Paramétrica de um Segmento de Reta Considere um segmento de reta cujos pontos
extremos sejam A=(x1,x2,x3) e B = (y1,y2,y3). Assim as equações paramétricas do segmento de reta tendo por direção o vetor AB, são
Para t є [0,1]
)(
)(
)(
333
222
111
xytxz
xytxy
xytxx
Nota
Quando t=0 nas equações anteriores (x,y,z)=A
Quando t=1 (x,y,z)=B
Equações Simétricas
Das equações paramétricas tem-se
Supondo que a ≠0, b ≠0 e c ≠ 0 tem-se
ctzz
btyy
atxx
1
1
1
a
xxt
1
b
yyt
1
c
zzt
1
Equações Simétricas
Como, para cada ponto da reta corresponde um só valor de t obtemos igualdades
a
xx 1
b
yy 1
c
zz 1
Notas
As equações do slide anterior são chamadas de equações simétricas da reta que passa por A=(x1,y1,z1) e é paralela ao vetor (a,b,c)
Exemplo
Encontre as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A=(3,0,-5) e tem a direção do vetor v=(2,2,-1)
Equações Reduzidas
Seja a reta r definida pelo ponto A=(x1,y1,z1) e pelo vetor diretor v=(a,b,c) as equações simétricas da reta são:
a
xx 1
b
yy 1
c
zz 1
Equações Reduzidas
A partir destas equações, pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Vamos isolar as variáveis y e z e expressá-las em função de x
Estas duas últimas equações são chamadas equações reduzidas da reta
)1(1 xxa
byy )1(1 xx
a
czz
Exemplo
Dadas as equações reduzidas da reta y=mx+n, z=px+q, encontre um vetor diretor
Retas paralelas aos planos coordenados Uma reta é paralela a um dos planos x0y
ou y0z se seus vetores diretores forem paralelos ao plano correspondente. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula
Exemplo
Seja a reta r que passa pelo ponto A=(-1,2,4) e tem o vetor diretor v=(2,3,0)
Note que a terceira componente de v é nula e a reta é paralela a x0y
Analogamente, uma reta r1 com vetor diretor do tipo v=(a,0,b) é paralela a x0z e uma reta r2 com vetor diretor do tipo v=(0,a,b) é paralela a y0z
Retas paralelas aos eixos coordenados Uma reta é paralela a um dos eixos
coordenados 0x,0y ou 0z se seus vetores diretores forem paralelos a i=(1,0,0), j=(0,1,0) ou k=(0,0,1)
Neste caso, duas das componentes do vetor são nulas
Exemplo
Desenhe a reta que passa por A=(2,3,4) e tem a direção do vetor v=(0,0,3)
Ângulo de duas retas
Sejam as retas r1 e r2 com as direções v1 e v2, respectivamente
Chama-se ângulo de duas retas o menor ângulo formado pelos vetores diretores
Logo, sendo teta este ângulo tem-se:
cosθ = |(u . v)| /( | u | | v |)
Com 0<= θ<= pi/2
Exemplo
Calcule o ângulo entre as retas r1=: x=3+t,y=t,z=-1-2t r2: (x+2)/-2=(y-3)/1=z/1
Exemplo
Verifique se as retas são ortogonais r1: y=-2x+1,z=4x r2: x=3-2t,y=4+t,z=t
Reta ortogonal a duas retas
Sejam r1 e r2 duas retas não paralelas com vetores diretores v1 e v2 respectivamente
Seja r uma reta com vetor diretor v de tal forma que r é ortogonal a r1 e r é ortogonal a r2
Assim, sabemos que v.v1 =0 e v.v2=0
Um vetor v que satisfaz o sistema anterior é dado por v=v1 x v2
Definido, então, o vetor diretor v, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos
Exemplo
Determinar a equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é ortogonal às retas
r1:(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4) r2: x=5, y=t, z=1-t
Retas coplanares
Duas retas r1 :a1(x1,y1,z1),v1=(a1,b1,c1) e r2:a2(x2,y2,z2),v2=(a2,b2,z2) são coplanares se os vetores v1, v2 e a1a2 forem coplanares, isto é, se [v1,v2,a1a2]=0
Exemplo
Determine o valor de m para que as retas sejam coplanares
R1:y=mx+2,z=3x-1 R2:x=t,y=1+2t,z=-2t
Posição Relativa de duas Retas
Duas retas r1 e r2 no espaço podem ser:
Paralelas: v1//v2 interseção r1 e r2 é vazia
Concorrentes: a interseção de r1 e r2 é {I} onde I é o ponto de interseção. Neste caso as retas tem que ser coplanares
Reversas: não coplanares. Neste caso a interseção de r1 e r2 é vazia
Posição Relativa de duas Retas
Exemplo
Estudar a posição relativa das retas Primeiro caso
R1:y=2x-3,z=-xR2:x=1-3t,y=4-6t,z=3t
Segundo casoR1:x/2=(y-1)/-1=zR2:x=2-4t,y=2t,z=-2t+1
Terceiro casoR1:(x-2)/2=y/3=(z-5)/4R2:x=5+t,y=2-t,z=7-2t
Quarto casoR1:y=3,z=2xR2:x=y=z
Interseção de duas retas
Se duas retas se interceptam, elas são coplanares, isto é, estão situadas no mesmo plano. Neste caso, são ditas concorrentes
Se duas retas não são coplanares, elas são ditas reversas. Supõe-se que as retas não são paralelas
Exemplo
Verifica se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseção
Primeiro caso r1:y=-3x+2,z=3x-1r2:x=-t,y=1+2t,z=-2t
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