Revisão de distribuições de probabilidades contínuas2_Distribuicoes... · Calcular...

Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc.

Chap 6-1

Revisão de distribuições de

probabilidades contínuas

(Capítulo 6 – Levine)

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Chap 6-2

Objetivos:

Neste capítulo, você aprenderá:

Calcular probabilidades a partir da distribuição

normal

Utilizar o gráfico da probabilidade normal para

determinar se um conjunto de dados está distribuído

aproximadamente nos moldes da distribuição normal

Calcular probabilidades a partir da distribuição

uniforme

Calcular probabilidades a partir da ditribuição

exponencial

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Chap 6-3

Distribuições de Probabilidades

Contínuas

Uma variável aleatória contínua é uma variável que

pode assumir qualquer valor em um continuum (pode

assumir um no. incontável de valores)

Espessura de um item

Tempo necessário para concluir uma tarefa

Temperatura de uma solução

Peso

As variáveis acima pode assumir qualquer valor,

dependendo apenas do nível de precisão com que serão

medidas.

Variável Aleatória Contínua

Para v.a. contínua não faz sentido estabeler um par entre xi e p(xi)

A probabilidade de ocorrer um xi específico é zero

A distribuição de probabilidades é denominada função densidade de probabilidade que é uma função não negativa

A probabilidade de ocorrer valores entre a e b é definida pela área sob a curva entre os valores a e b.

a b

f(X)

(Note que a

probabilidade de

qualquer valor individual

é zero)

P(a ≤ X ≤ b)

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Chap 6-5

Distribuição Normal

Propriedades

tem o formato de “sino”

Simétrica

Média, Mediana e Moda são iguais

a posição é caracterizada pela média, μ

a dispersão é caracterizada pelo desvio-padrão, σ

a variável aleatória possui amplitude infinita: - a +

caso limite para diversas outras distribuições

fundamental para a inferência estatística

definida por dois parâmetros (μ , σ)

Média

= Mediana

= Moda

f(X)

μ

σ

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Chap 6-6

Distribuição Normal

Função Densidade

2μ)(X

2

1

e2π

1f(X)

• A fórmula para a função densidade de probabilidade da

distribuição Normal é

Onde e = constante matemática aproximada para 2,71828

π = constante matemática aproximada para 3,14159

μ = média da população

σ = desvio padrão da população

X = qualquer valor da variável contínua, em que

- < X < +

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Chap 6-7

Distribuição Normal

Forma

Variando os parâmetros μ e σ, obtemos diferentes

distribuições normais

X

f(X)

CA

B

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Chap 6-8

Distribuição Normal

Forma

X

f(X)

μ

σ

Mudando μ a

distribuição move-se

para a direita ou

esquerda.

Mudando σ a dispersão é

aumentada ou diminuída.

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Chap 6-9

Distribuição Normal Padrão

• Qualquer distribuição normal (com qualquer combinação de média e desvio padrão) pode ser transformada em uma distribuição normal padrão (Z).

• Necessário transformar X unidades em Z unidades.

• A distribuição normal padrão tem média 0 e desvio padrão igual a 1.

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Chap 6-10

Distribuição Normal Padrão

σ

μXZ

Para converter qualquer variável aleatória normal,

X, em uma variável aleatória normal padronizada,

Z, subtrai-se a média de X e divide-se pelo desvio

padrão:

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Chap 6-11

Distribuição Normal Padrão: Função

Densidade de Probabilidade

2

Z2

e2π

1f(Z)

A fórmula da função densidade de probabilidade normal

padrão é:

Onde: e = constante matemática aproximada para 2,71828

π = constante matemática aproximada para 3,14159

Z = qualquer valor da distribuição normal padrão

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Chap 6-12

Distribuição Normal Padrão

Forma

Z

f(Z)

0

1

• Também conhecida como distribuição “Z”

• Media é 0

• Desvio Padrão é 1

Valores acima da média têm valores-Z positivos, valores

abaixo da média têm valores-Z negativos

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Chap 6-13

Distribuição Normal Padrão

Exemplo

2.050

100200

σ

μXZ

• Se X é uma variável aleatória normalmente distribuída

com média 100 e desvio padrão igual a 50, o valor-Z

para um valor X = 200 é

• Isto quer dizer que X = 200 está dois desvios-padrão (2

incrementos de 50 unidades) acima da média 100.

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Chap 6-14

Distribuição Normal Padrão

Exemplo

Z

100

2.0 0

200 X (μ = 100, σ = 50)

(μ = 0, σ = 1)

Observe que a distribuição é a mesma, somente a

escala é diferente. Nós podemos expressar o

problema na unidade original (X) ou em unidades

padronizadas (Z)

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Chap 6-15

Probabilidades na Distribuição

Normal

a b

f(X)

(Observe que a

probabilidade de

ocorrência de qualquer

valor individual é zero)

A probabilidade, como em qualquer distribuição

contínua, é medida pela área sob a curva

P(a ≤ X ≤ b)

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Chap 6-16

Normal Probabilities

A área total sob a curva é 1,0, e a curva é simétrica,

então, metade está acima da média e metade está

abaixo da média.

f(X)

0.5 0.5

1.0)XP(

0.5)XP(μ 0.5μ)XP(

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Chap 6-17

Tabelas da Distribuição Normal

Exemplo:

P(Z < 2.00) = .9772

As tabelas da Normal Padronizada costumam

dar a probabilidade de valores menores do que Z

(ou seja, do negativo infinito até Z)

Z 0 2.00

.9772

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Chap 6-18

Tabelas da Distribuição Normal

O valor da tabela dá a probabilidade de que Z esteja entre Z = e Z igual ao valor desejado.

.9772

2.0 P(Z < 2.00) = .9772

A linha mostra o

valor de Z para a

primeira casa

decimal

A coluna dá o valor de Z na segunda

casa decimal

2.0

.

.

.

Z 0.00 0.01 0.02 …

0.0

0.1

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Chap 6-19

Encontrando Probabilidades Normais

Procedimento

• Especifique a distribuição normal do seu problema em

termos da variável X.

• Transforme os valores-X em valores-Z.

• Use as tabelas da distribuição Normal padrão.

Para encontrar a P(a < X < b) quando

X é distribuído normalmente:

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Chap 6-20

Encontrando Probabilidades Normais

Exemplo

Seja X uma variável aleatória que represente o tempo (em segundos) para fazer o download de um arquivo na internet.

Suponha que X tenha distribuição normal com média 8,0 e desvio-padrão 5,0

Encontre P(X < 8,6)

X

8.6

8.0

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Chap 6-21

Encontrando Probabilidades Normais

Exemplo

0.125.0

8.08.6

σ

μXZ

Supondo que X seja normal com média 8,0 e desvio-

padrão 5,0. Encontre a P(X < 8,6).

Z 0.12 0

X 8.6 8

μ = 8

σ = 10

μ = 0

σ = 1

P(X < 8.6) P(Z < 0.12)

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Chap 6-22

Encontrando Probabilidades Normais

Exemplo

Z .00 .01 .02

0.0 .5000 .5040 .5080

0.1 .5398 .5438 .5478

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

Tabela da Distribuição Normal

Padronizada (Extrato)

Z 0.12 0

μ = 0

σ = 1

.5478

= P(Z < 0.12)

P(X < 8.6)

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Chap 6-23

Encontrando Probabilidades Normais

Exemplo

Encontrando P(X > 8.6)…

P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)

= 1.0 - .5478 = .4522

Z

0.12

0

.5478

1.0 - .5478 = .4522

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Chap 6-24

Encontrando Probabilidades Normais

Entre dois valores

• Suponha X uma v.a. com distribuição normal com média

8,0 e desvio padrão 5,0. Encontre P(8 < X < 8,6)

P(8 < X < 8.6)

= P(0 < Z < 0.12)

05

88

σ

μXZ

0.125

88.6

σ

μXZ

Calcule os valores Z:

Z 0.12 0

X 8.6 8

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Chap 6-25

Encontrando Probabilidades Normais

Entre dois valores

Z .00 .01 .02

0.0 .5000 .5040 .5080

0.1 .5398 .5438 .5478

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

Tabela da Distribuição Normal

Padronizada (Extrato)

Z

0.12

.0478

0.00

= P(0 < Z < 0.12)

P(8 < X < 8.6)

= P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0)

= .5478 - .5000 = .0478

.5000

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Chap 6-26

Dada a Probabilidade Normal,

Encontrar o valor X

Seja X uma v.a. que represente o tempo (em segundos) para fazer o download de um arquivo na Internet.

Suponha que X siga uma distribuição Normal com média 8,0 e desvio padrão 5,0

Encontre X tal que 20% dos tempos para download sejam inferiores a X.

X ? 8.0

.2000

Z ? 0

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Chap 6-27

Dada a Probabilidade Normal,

Encontrar o valor X

Primeiro, encontre o valor-Z correspondente

à probabilidade conhecida usando a tabela.

Z …. .03 .04 .05

-0.9 …. .1762 .1736 .1711

-0.8 …. .2033 .2005 .1977

-0.7 …. .2327 .2296 .2266

X ? 8.0

.2000

Z -0.84 0

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Chap 6-28

Dada a Probabilidade Normal,

Encontrar o valor X

A seguir, converta o valor-Z em valor-X

usando a fórmula.

Então 20% dos tempos para fazer o download são

menores do que 3,80 segundos.

80,3

0,5)84,0(0,8

ZσμX

-X

-XZ

Z

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Chap 6-29

Avaliando a Normalidade

É importante saber avaliar o quão bem a distribuição dos dados pode ser aproximada por uma distribuição normal.

Dados normalmente distribuídos deveriam seguir as propriedades teóricas da distribuição Normal: A distribuição Normal é em forma de sino

(simétrica) sendo a média igual à mediana.

As regras empíricas aplicam-se à distribuição normal.

A amplitude interquartil é igual a 1,33 desvios-padrão.

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Chap 6-30

Avaliando a Normalidade

Construa gráficos

Para conjuntos de dados de tamanho pequeno ou moderado, construa uma disposição ramo e folha e um box-plot. Eles parecem simétricos?

Para conjuntos grandes de dados, construa um histograma. Ele tem a forma de sino?

Calcule as estatísticas descritivas

A média, mediana e moda têm valores semelhantes?

A amplitude interquartil é aproximadamente igual a 1.33 σ?

A amplitude é aproximadamente igual a 6 σ?

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Chap 6-31

Avaliando a Normalidade

Observe a distribuição do conjunto de dados

Aproximadamente 2/3 dos valores se posicionam entre a média aritmética e ± 1 desvio-padrão?

Aproximadamente 80% dos valores se posicionam entre a média aritmética e ± 1.28 desvio-padrão?

Aproximadamente 95% dos valores se posicionam entre a média aritmética e ± 2 desvios-padrão?

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Chap 6-32

Distribuição Uniforme

A distribuição uniforme é uma distribuição de

probabilidade que tem probabilidades iguais

para todos os possíveis resultados da variável

aleatória. Todos os valores do espaço amostral

têm a mesma probabilidade de ocorrer.

Por causa disso ela é também chamada de

distribuição retangular

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Chap 6-33

Distribuição Uniforme

A função densidade de probabilidade da Distribuição Uniforme :

contrário caso 0

bXaseab

1

Onde:

f(X) = valor da função densidade para qualquer valor de X

a = valor mínimo de X

b = valor máximo de X

f(X) =

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Chap 6-34

Distribuição Uniforme

2

baμ

12

a)-(bσ

2

A média, ou valor esperado, de uma variável

que segue a distribuição uniforme é :

O desvio-padrão é :

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Chap 6-35

Distribuição Uniforme

Exemplo: encontre os parâmetros (média e desvio

padrão) de uma v.a. que segue a distribuição

uniforme e assume valores entre 2 ≤ X ≤ 6 :

42

62

2

baμ

1547.112

2)-(6

12

a)-(bσ

22

f(X) = = .25 for 2 ≤ X ≤ 6 6 - 2 1

2 6

.25

X

f(X)

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Chap 6-36

Distribuição Exponencial

Usada para modelar o tempo entre duas ocorrências

de um evento

Muito utilizada em Teoria das Filas para estudar o

tempo entre duas chegadas

Exemplos:

Tempo entre a chegada de clientes a um supermercado

Tempo entre chamadas telefônicas

Tempo entre transações em um terminal ATM

É uma distribuição assimétrica à direita que se

extende de zero até o infinito positivo

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Chap 6-37

Distribuição Exponencial

Xe1X)chegada próxima da antes P(tempo λ

Definida por um único parâmetro, sua média λ

(lambda)

A probabilidade de que o tempo de chegada seja

menor que um tempo especificado X é

onde e = constante matemática aproximadamente igual a

2.71828

λ = a média aritmética do número de chegadas por

unidade

X = qualquer valor da variável contínua, em que

0 < X <

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Chap 6-38

Distribuição Exponencial

Exemplo: Clientes chegam a um balcão de atendimento a

uma taxa de 15 por hora. Qual a probabilidade de que o

tempo de chegada entre dois clientes consecutivos seja

menor do que 3 minutos?

A média do número de chegadas por hora é 15, então λ = 15

3 minutos é igual a 0,05 horas

P(tempo entre chegadas < .05) = 1 – e-λX = 1 – e-(15)(0,05) =

0,5276

Então há 52,76% de probabilidade de que o tempo entre

chegadas sucessivas de clientes seja menor do que 3 minutos