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Q(s) = s5 + s
4 +10s3 + 72s
2 +152s+ 240
Q(s) = s4 + s
3 + 2s2 + 2s+5
Q(s) = s4 + 7s
3 +15s2 + (25+ K )s+ 2K
Sinais e Sistemas Mecatrónicos
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Licenciatura em Engenharia e Arquitetura Naval
Área Científica de Controlo, Automação e Informática Industrial
Semestre de Inverno de 2016/2017
Série de Problemas #6
Critério de Estabilidade de Routh e Análise no Tempo O objetivo desta sexto série de problemas é a análise de estabilidade de sistemas LIT, com
base no critério de Routh e a sua resposta do tempo
Problema I – Critério de Estabilidade de Routh Estude a estabilidade de sistemas com equações características: i) ii)
Como aparece um zero na coluna pivot, pode substituir-se por um valor épsilon, positivo,
arbitrariamente pequeno, que permite completar a tabela e concluir que existem duas mudanças de sinal.
iii)
´ Logo para que todos os elementos da coluna pivot serem positivos temos de ter K<80. O
elemento de s^1 leva a que –K^2-43K+2000 tenha de ser positivo. Como esta quadrática tem duas raízes K=-71.1 e K=28.1 e é positiva entre elas, tem-se que K deve pertencer a ]0, 28.1[
Problema II – Análise no Tempo
Neste problema pretende-se fazer o estudo de um sistema de acostagem, num ponto pré-estabelecido (r), a instalar num pequeno submarino, onde a sua posição é descrita pela coordenada x(t), como ilustrado na figura acima. Considere os valores aproximados de 10 m.s-2 para a aceleração da gravidade e de 1500 m.s-1 para a velocidade do som na água. Tendo em consideração que a função de transferência do sistema é dada por:
X(s)
U(s)=
β
Ms2 +αs
,
onde os sinais U(s) e X(s) representam a transformada de Laplace dos sinais de entrada u(t) e a posição do submarino x(t), respetivamente. Recorrendo a um tanque de testes, encontraram-se os seguintes valores para os parâmetros desconhecidos: M=100 kg, α=10 N.s.m-1e β=50. a) Para uma atuação correspondente a um degrau unitário na entrada u(t), qual a evolução temporal da velocidade v(t) e da posição x(t) do submarino? Esboce as respostas temporais respetivas.
0 x
v
r
Recorrendo a um sistema de controlo, a função de transferência Gaf (s), do sinal de referência R(s) para a posição X(s) passa a ser dada por
Gaf
(s) =0.5K
s2 + 0.1s+ 0.5K
.
b) Obtenha a evolução da posição do submarino na manobra de acostagem no ponto r=20 m, considerando que inicia a manobra em repouso e que se escolheu K=0.005. Esboce a resposta temporal.
c) Comente qualitativamente o desempenho do controlador de acostagem. O sistema ficou muito mais rápido e o erro vai para zero. Leitura Complementar:
• Modern Control Engineering, Cap. 5, 4ª Edição, K. Ogata. • Mechatronics: Electronic Control Systems in Mechanical and Electrical
Engineering, Cap. 12, 5ª Edição, W. Bolton.
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