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Sistemas de Controle 2Cap.10 – Técnicas de Resposta em Frequência
Pontifícia Universidade Católica de Goiás
Escola de Engenharia
Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
Sistemas de Controle 2Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
Cap.10 – Técnicas de Resposta em Frequência
10. Técnicas de Resposta de Frequência
10.1 Introdução
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
10.3 Introdução ao Critério de Nyquist
10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist
10.5 Estabilidade por Intermédio do Diagrama de Nyquist
10.6 Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio do Diagrama de Nyquist
10.7 Estabilidade, Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio dos Gráficos de Bode
10.8 Relação entre Resposta Transitória a Malha Fechada e Resposta de Frequência a Malha Fechada
10.9 Relação entre Respostas de Frequência a Malha Aberta e a Malha Fechada
10.10 Relação entre Respostas Transitória a Malha Fechada e de Frequência a Malha Aberta
10.11 Características de Erro do Estado Estacionário a Partir da Resposta de Frequência
10.12 Sistemas com Retardo
10.13 Obtendo Funções de Transferência Experimentalmente
10.1 Introdução
Cap.8 e 9 Método do lugar das raízes para o projeto da resposta transitória, do erro de estado estacionário e da estabilidade
Cap. 8 Projeto através do ajuste de ganho Solução de compromisso entre a resposta transitória e o erro de estado estacionário.
Cap. 9 Mudança do local das raízes para o ponto desejado através da inserção de pólos e zeros Sem a necessidade de manter uma relação de compromisso entre erro de
estado estacionário e resposta transitória.
Cap. 10 e 11 Projeto de sistemas de controle com retroação através do ajuste de ganho e de estruturas de compensação a partir da resposta em frequência.
Os resultados das técnicas de compensação por meio de resposta de frequência não são novos ou diferentes dos resultados das técnicas de lugar das raízes.
10.1 Introdução
Os métodos de resposta em frequência são mais antigos que o método do lugar das raízes.
Contudo apresentam uma visão diferente do sistema e algumas vantagens em algumas situações:
1. Quando se modelam funções de transferência a partir de dados físicos.
2. Quando se projetam compensadores de avanço de fase para atender o erro de estado estacionário requerido e a resposta transitória requerida;
3. Ao se determinar a estabilidade de sistemas não-lineares4. Na remoção de ambiguidades ao se esboçar o lugar das raízes
10.1 Introdução
Considerando o estado estacionário:
Entradas senoidais geram Saídas senoidais - Com a mesma frequência- Diferenças de amplitude e de fase
O Conceito da Resposta de Frequência
Sinais senoidais
Números complexos
Fasores
(a+jb)
Representação de sinais senoidais
10.1 Introdução
Sistema
- Produz alterações de amplitude e fase- Pode ser representado por um número complexo
Fasor de entrada x sistema fasor de saída
Considere o sistema com uma entrada senoidal:
Resposta no regime permanente
10.1 Introdução
Resposta no regime permanente
Função de sistema:
resposta de frequência em magnitude
resposta de frequência em fase
Resposta de frequência:
10.1 IntroduçãoExpressões Analíticas da Resposta de Frequência
Entrada do sistema no tempo:
Representação da entrada como fasor:
10.1 IntroduçãoExpressões Analíticas da Resposta de Frequência
Expansão em frações parciais
10.1 IntroduçãoExpressões Analíticas da Resposta de Frequência
Cálculo das constantesForma retangular
Fórmula de Euler
Conjugado de 𝐾1
10.1 IntroduçãoExpressões Analíticas da Resposta de Frequência
Sistema
Resposta em estado estacionário: Depende apenas dos pólos da entrada.
Demais termos são exponenciais que decrescem a zero no estado estacionário
Resposta em estado estacionário(ss = steady state)
10.1 IntroduçãoExpressões Analíticas da Resposta de Frequência
Substituindo K1 e K2:
𝐾1
𝐾2
Aplicando a transformada de Laplace inversa e usando a fórmula de Euler
10.1 IntroduçãoExpressões Analíticas da Resposta de Frequência
Representação na forma de fasor:
função resposta de frequência
A resposta de frequência de um sistema cuja função de transferência é G(s) é:
Logo:
10.1 Introdução
Plotando a Resposta de Frequência
Formas de se representar graficamente a resposta em frequência:
1) Gráficos separados de magnitude e de fase, em função da frequência.
• Magnitude em decibéis (dB)
• Ângulo de fase em logaritmo (log 𝜔)
𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔𝑀 𝑀 = 10𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑚 𝑑𝐵
20
Diagrama de Bode
Cálculos de magnitude e fase:
Traçar vetores dos pólos e zeros percorrendo todo o eixo imaginário 𝑗𝜔.
Magnitude: Calcular produto das magnitudes dos vetores dos zeros dividido pelo produto das magnitudes dos pólos.Fase: Calcular soma dos ângulos dos vetores dos zeros subtraído pela soma dos ângulos dos pólos.
10.1 Introdução
Plotando a Resposta de Frequência
Formas de se representar graficamente a resposta em frequência:
2) Gráfico polar, onde o comprimento do fasor é a magnitude e o ângulo do fasor é a fase.
Usado para gerar o Diagrama de Nyquist
Para ambos os gráficosO valor de K para cada frequência é o inverso da magnitude em escala.O valor do ângulo calculado é o próprio valor da fase referente àquela frequência.
Gráfico polar
Diagrama de Nyquist
10.1 Introdução
1) Substituir s=j𝜔
𝐺 𝑗𝜔 =1
(𝑗𝜔 + 2)=
(𝑗𝜔 − 2)
(𝑗𝜔 + 2)(𝑗𝜔 − 2)=(2 − 𝑗𝜔)
(𝜔2 + 4)𝐺 𝑠 =
1
(𝑠 + 2)
𝐺 𝑗𝜔 = 𝑀 𝑗𝜔 =1
(𝜔2 + 4)Magnitude
𝜙 𝑗𝜔 = − tan−1(𝜔/2)Ângulo de fase
2
(𝜔2 + 4)
−𝜔
(𝜔2 + 4)
2) Calcular magnitude e fase
10.1 Introdução
Gráficos de resposta em frequênciaMagnitude
Fase
versus
versus
10.1 Introdução
Gráficos de resposta em frequênciaPolar
Ainda não é o diagrama de Nyquist
10.1 IntroduçãoÉ possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa.
Exemplo:
Em 1 rad/s
Gráfico de magnitude = -7dB = 10−7/20 = 0.447
Gráfico de fase = −26°
Gráfico polar ponto de raio 0.0447 com ângulo de−26°
Exemplo 1
10.1 IntroduçãoExemplo:
Em 1 rad/s
Gráfico de magnitude = -7dB = 10−7/20 = 0.447
Gráfico de fase = −26°-7dB
−26°
10.1 Introdução
Exemplo:
Em 1 rad/s
Gráfico de magnitude = -7dB = 10−7/20 = 0.447
Gráfico de fase = −26°
-7dB=0.447
−26°
10.1 Introdução
É possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa.
Em 2 rad/sExemplo 2
0.3520log(0.35)=-9.12dB
−45°
10.1 Introdução
É possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa.
Em 2 rad/sExemplo 2-9.12dB
−45°
Fim da Introdução do capítulo 10
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Gráficos ou Diagramas de Bode
Podem ser aproximados como uma sequência de linhas retas.
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Gráficos ou Diagramas de Bode
Função de transferência do sistema
Cálculo da magnitude
Simplificando o cálculo da magnitude pela aplicação do logaritmo (resposta em dB):
Sabendo a resposta de cada termo é possível traçar uma reta para cada um deles e em seguida somar a resposta no gráfico.
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Gráficos ou Diagramas de Bode
Função de transferência do sistema
Cálculo da fase
Soma das curvas de fase dos termos relativos aos zeros menos a soma das curvas de fase dos termos referentes aos pólos
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Gráficos ou Diagramas de Bode
1) Gráficos de Bode para G(s) = (s + a)
2) Gráficos de Bode para G(s) = 1/(s + a)
3) Gráficos de Bode para G(s) = s
4) Gráficos de Bode para G(s) = 1/s
Função de transferência do sistema
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
5) Gráficos de Bode para G(s) = 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
6) Gráficos de Bode para G(s) = 1
𝑠2+2𝜁𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛2
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
1) Gráficos de Bode para G(s) = (s + a)
Baixa frequência, 𝜔 → 0:constante
Alta frequência, 𝜔 ≫ 𝑎:
Em dB:
Em dB:
Constante reta constante
20𝑙𝑜𝑔𝑀 = 20. 𝑙𝑜𝑔𝜔
Como o gráfico é expresso em dB por 𝑙𝑜𝑔𝜔, ele se torna uma reta crescente:
(20 𝑙𝑜𝑔𝑀) = 20. (𝑙𝑜𝑔𝜔)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
Cada vez que a frequência dobra (aumento de uma oitava) a função aumenta 6dB.
20 𝑙𝑜𝑔2. 𝜔 = 20𝑙𝑜𝑔2 + 20𝑙𝑜𝑔𝜔 = 6𝑑𝐵 + 20𝑙𝑜𝑔𝜔
O aumento começa em 𝜔 = 𝑎 com inclinação de 6dB/oitavaAssíntota de alta frequência
Assíntota de baixa frequência
Cada vez que a frequência aumenta 10 vezes (aumento de uma década) a função aumenta 20dB (inclinação equivalente a 6dB/oitava).
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
Diagrama de fase
Alta frequência, 𝜔 ≫ 𝑎:
Baixa frequência, 𝜔 → 0: Fase 0°
Frequência de quebra, 𝜔 = 𝑎: 𝐺 𝑗𝜔 = 𝑗𝑎 + 𝑎 Fase 45°
Para desenhar a curva, comece uma década (1/10) abaixo da frequência de quebra, 0.1a, com fase de 0°, e desenhe uma linha de inclinação +45°/década passando por 45° na frequência de quebra e continuando até 90° uma década acima da frequência de quebra, em 10a.
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
Normalização da magnitude
A magnitude da função costuma ser normalizada para facilitar a comparação entre sistemas de primeira e segunda ordem pois ambos terão a mesma assíntota de baixa frequência e a mesma frequência de quebra depois de colocada em escala.
Normalizando (s+a):
(s+a) = 𝑎𝑠
𝑎+ 1
Nova variável de frequência: 𝑠1 = 𝑠/𝑎
Portanto: 𝑎𝑠
𝑎+ 1 𝑎 𝑠1 + 1
Magnitude é dividida por “a” para produzir a frequência de 0dB de quebra.
Função colocada em escala: (𝑠1 + 1)
Para obter a resposta de frequência original, a magnitude e a frequência são multiplicadas pela grandeza a.
Frequência de quebra
Real normalizada em 3dB
Resposta assintótica e real normalizada de magnitude em escala
Diferença máxima de 3dB
(s+a)
Resposta assintótica e real normalizada de fase em escala
Diferença máxima de 5.71 graus(s+a)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
2) Gráficos de Bode para G(s) = 1/(s + a)
Alta frequência, s → ∞:
Assíntota de baixa frequência, s → 0:
Frequência de quebra, s = 𝑎 rad/s.
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
2) Gráficos de Bode para G(s) = 1/(s + a)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
3) Gráficos de Bode para G(s) = s
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Estudo da aproximação do Diagrama de Bode
4) Gráficos de Bode para G(s) = 1/s
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
O gráfico de Bode é a soma dos gráficos de Bode de cada termo de primeira ordem. Usar o gráfico normalizado para cada um dos termos exceto o do pólo na origem.
Dividindo em cima por 3
Dividindo em baixo por 2
Frequências de quebra ocorrem em 1, 2 e 3
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode
Frequências de quebra ocorrem em 1, 2 e 3
O gráfico de magnitude deve começar uma década abaixo da menor frequência de quebra e se estender até uma década acima da maior frequência de quebra.
De 0,1 a 100 radianos, ou três décadasIntervalo escolhido:
Em baixa frequência: 𝜔 = 0 para todos os termos (s/a +1) 𝜔 = 0.1 (frequência real) para termo “s” no denominador.
𝐺 𝑗0.1 =
32𝐾
0.1= 15𝐾 Escolhendo K=1 (normalização)
2 3
Início do gráfico
2 3Início do gráfico
Segundo ponto em (decréscimo de 20dB)
2 3
A fase é tratada de modo semelhante. Contudo, a existência de quebras uma década abaixo e uma década acima da frequência de corte requer um pouco mais de cálculo.
0,2 20
Estudar Exemplo 10.2 em detalhes
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