Técnicas de Integração (Primitivação) uma breve revisão de “Funções de Uma Variável”

Técnicas de Integração (Primitivação) uma breve revisão de “Funções de Uma

Variável”

Técnicas de Integração (Primitivação)OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) – conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:

F(x)dx f(x)

As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL (BC 0201) são:

Seguem algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.

– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL

– INTEGRAÇÃO POR PARTES

– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS

EXERCÍCIO 01

Calcular dx2x1)(x 502

Solução

Seja u = x2 + 1

Logo: 2x dx = du

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

du(u)50

C51

1)(xC51udu(u)

5125150

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

2xdxdu

EXERCÍCIO 02

Calcular dx9)sen(x

Solução

Seja u = x + 9

Logo: dx = du

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

dusen(u)

C9)cos(xCcos(u)dusen(u)

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

1dxdu

EXERCÍCIO 03

Calcular dxcos(x)(x)sen2

Solução

Seja u = sen(x)

Logo: cos(x) dx = du

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

duu2

C3

(x)senC3uduu

332

cos(x)dxdu

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

EXERCÍCIO 04

Calcular dxx

e x

Solução

Entãox2

1

x

121x

21x

dxd

dxdu

21

21

21

Seja u = x

Logo: = du dxx2

1

Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma.

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

Ce2Ce2due2du2e xuuu

dxx2

12edxx2

21

edxx

e xxx

du2edxx2

12e ux

Ou seja: Ce2dxx

e xx

du2dxx

1dudxx2

1

outra maneira de chegar aqui sem manipular a função dada é fazendo (página 08):

EXERCÍCIO 05

Calcular dx1xx2

Solução

Seja u = x – 1

Logo: dx = du

Se u = x – 1

Então x = u + 1

x2 = (u+1)2

x2 = u2 + 2u + 1

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

duu1)2u(u2

ou:

duu2uu

du1uu2uuuduu1)2u(u

21

23

25

21

21

21

221

2

Portanto:

C1

21u

123u2

125uduu2uu

1211

231

25

21

23

25

Cu32u

54u

72duu2uu 2

325

27

21

23

25

Finalmente:

Escrevendo em termos de x:

C)1(x32)1(x

54)1(x

72dx1xx 2

325

27

2

EXERCÍCIO 06

Calcular dxex x

Solução

A integral dada deve ser escrita na forma . dvuSeja, portanto:

dxex x

xu dxedv x

Deste modo:

Cexedxexeduvuvdvudxxe xxxxx a constante C pode ser incluída apenas no final.

INTEGRAÇÃO POR PARTES

dxdu

xxx edxevdxedv

Então:

EXERCÍCIO 07

Calcular dxex x2

Solução

Seja:2xu dxedv x

Assim:

dx2xdu

xxx edxevdxedv Portanto:

2xdx)e(exduvuvdvudxex xx2x2

INTEGRAÇÃO POR PARTES

A última integral é semelhante à original, com a exceção de que x2 foi substituído por x.

ou:

dxex2exdxex xx2x2 (1)

Outra integração por partes aplicada a

completará o problema.

dxex x

Seja:

xu dxedv x

Assim:

dxdu

xxx edxevdxedv

Portanto:

dx)e(exduvuvdvudxex xxx

ou:

1xxxxx Ceexdxeexdxex (2)

Substituindo (2) em (1) resulta:

1

xxx2

1xxx2

xx2x2

C2e2ex2ex

Ceex2ex

dxex2exdxex

Portanto:

Ce)2x2x(dxex x2x2

O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador possui grau 4 e o denominador possui grau 5.

Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz o termo:

2xA

Determinar dx

3)2)(x(x920x16x4x3x

22

234

EXERCÍCIO 08

Solução

INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias

Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x2 + 2)2 presente no denominador introduz os termos:

222 3)(xEDx

3xCBx

Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é:

22222

234

3)(xEDx

3xCBx

2xA

3)2)(x(x920x16x4x3x

Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x2 + 3)2

2222

222

2222

23422

3)(xEDx3)2)(x(x

3xCBx3)2)(x(x

2xA3)2)(x(x

3)2)(x(x920x16x4x3x3)2)(x(x

que resulta:

E)2)(Dx(xC)3)(Bx2)(x(xA3)(x920x16x4x3x 222234

Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes resulta:

E)29A(6CxE)2D3C(6BxD)2C3B(6A

xC)(2BxB)(A920x16x4x3x2

34234

Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado, obtém-se um sistema de cinco equações algébricas lineares em 5 incógnitas:

9E26C9A20E2D3C6B16D2C3B6A

4C2B3BA

A solução deste sistema resulta:

0E4D0C2B1A

Portanto:

22222

234

3)(x4x

3x2x

2x1

3)2)(x(x920x16x4x3x

Logo:

dx3)(x

4xdx3x

2xdx2x

1dx3)2)(x(x

920x16x4x3x22222

234

C2xlnCulnduu1dx

2x1

dxdu1dxdu

2xu

dx3)(x

x4dx3x

2xdx2x

1222

C3xlnCulnduu1dx

3x2x

dx2xdu2xdxdu

3xu

22

2

C3)2(x

12u1

12u

21duu

21dxx3)(x

dxx2

dudx2x du3xu

dx3)(xxdx3)(x

x

2

12222

2

2222

dx3)(x

x4dx3x

2xdx2x

1222

E, finalmente:

C3x

23xln2xlndx3)2)(x(x

920x16x4x3x2

222

234

Sejam as identidades trigonométricas:

2cos2x1xcos

2cos2x1xsen 22

Assim,

dxcos2x21dx

21dx

2cos2x1dxxsen2

2sen2x

21

10x

21 10

Cusen21

duucos21dxcos2x

dx2

du2dxdu

2xu

dxcos2x

C42xsen

2xxsen2

EXERCÍCIOS 09INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DASFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)

Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:

C42xsen

2xxcos2

A integraldxxcosxsen 22

pode ser resolvida fazendo:

dxcos2x121cos2x1

21

dx2xcos141 2

dx2

cos2x12

cos2x1dxxcosxsen 22

dx2xcos141 2

dx2xcos41dx1

41 2

84xsen

2x

82usen

4u

42usen

2u

21duucos

21dx2xcos

dx2

du2xu

dx2xcos

22

2

8sen4x

2x

41

4x

C32

sen4x8x

Solução

EXERCÍCIO 10

Determinar dx 6)4xsen(x 2)(x 2

Seja u = x2 + 4x – 6

Então:

42xdxdu

dx 2)(x 2 dx 4)(2xdu

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Logo, seja: dx 2)(x 2

du

Assim,

du sen(u)21

2dusen(u)dx 6)4xsen(x 2)(x 2

Sabe-se que:

Ccos(u)du sen(u) TABELA

Mas:

dx 6)4xsen(x 2)(x 2

Então:

C)cos(u)(21dx 6)4xsen(x 2)(x 2

C6)4xcos(x21dx 6)4xsen(x 2)(x 22

Portanto:

Solução

EXERCÍCIO 11

Determinar dx

1xx

x2

Seja u = x2 + x + 1

Então:

12xdxdu

dx 1)(2xdu

Na integral original, fazer:

dx

1xx

112x21dx

1xx

2x21dx

1xx

x222

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Mas:

dx 1xx

121dx

1xx

12x21dx

1xx

112x21

222

1 2

uu

21

u21

121

u21du u

21du

u1

21 2

1211

21

21

C1xxdx 1xx

12x21 2

2

1 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

du u

121dx

1xx

12x21

2ver detalhes na página anterior

A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada) na forma acima:

2 TABELA

Cuaulnduua

1 2222

du au

121dx

23

21x

121dx

1xx

121

22222

onde:

23a dx du

21xu

Portanto:

C21x

43

21xln

21dx

1xx

121 2

2

Então, finalmente:

C21x

43

21xln

211xxdx

1xx

x 22

2

Solução

INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações impróprias

EXERCÍCIO 12

Determinar dx

xx13x9x

23

3

O primeiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer aparecer frações próprias.

13x9x

9 9x9x

xx13xx09x

2

23

2323

23

2

23

3

xx13x9x9

xx13x9x

fração própria

dxxx

13x9x9dxxx

13x9x23

2

23

3

dxxx

13x9xdx 9 23

2

dx)1(xx13x9xdx 9 2

2

)1(xC

xB

xA

)1(xx13x9x

22

2

)1(xC)1(xx

xB)1(xx

xA)1(xx

)1(xx13x9x)1(xx 2

222

2

22

BxB)A(xC)(A13x9x 22

DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

1B3BA

9 CA

A = 2 B = – 1 C = 7

dx)1(x

7x1

x2dx 9 2

dx)1(xx13x9xdx 9 2

2

dx)1(x

7dxx1dx

x2dx 9 2

C1xln7x1xln2x9

Solução

INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Fatores lineares não repetidos

EXERCÍCIO 13

Determinar dx

2xxx123

2)1)(x(xx1

2)x(xx1

2xxx1

223

2)(xC

1)(xB

xA

2)1)(x(xx1

2AxC)2B(AxC)B(A1 2

Multiplicando os dois lados da igualdade por x ( x–1 )( x+2 ) e rearranjando resulta:

12A0C2BA

0CBA

Portanto:

61C

31B

21A

2)6(x1

1)3(x1

2x1

2)1)(x(xx1

E, finalmente:

Logo:

dx2x

161dx

1x1

31dx

x1

21dx

2xxx123

C2xln611xln

31xln

21dx

2xxx123