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Técnicas de Previsão de Reservas IBNR
Rodrigo Simões AtherinoDepto. de Engenharia Elétrica/IAPUC
PUC-Rio
Funenseg, 19 de Setembro de 2007
Estruturação
Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição
Aplicações Considerações Finais
Estruturação
IntroduçãoIntrodução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição
Aplicações Considerações Finais
Introdução
Objetivo Apresentar de forma introdutória a evolução da
modelagem estatística no contexto de Reservas IBNR;
Descrever algumas destas técnicas; Mostrar resultados provenientes de tais técnicas.
Ref:- Taylor, Greg (2004). “Loss Reserving: Past, Present and Future”, Research Paper 109, Centre of Actuarial Studies, The University of Melbourne.- Taylor, Greg (2000). Loss Reserving: an Actuarial Perspective, Kluwer Academic Publishers.- England, P.D.; Verrall, R.J.(2002). “Stochastic Claims Reserving in General Insurance”, British Actuarial Journey, 8,443-518.
Introdução Necessidade de reservas IBNR (Incurred But Not
Reported) Atraso entre a ocorrência do sinistro e sua notificação ao
segurador Atraso entre a notificação e a finalização do pagamento
referente ao sinistro Reaberturas
T T+2 T+3- +
aviso
T-1
ocorrência
T-2 T T+3- +
aviso
T-1
ocorrência
1o pagamento
1o pagamento
Estruturação
Introdução Formato Formato Runoff Runoff dos dadosdos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição
Aplicações Considerações Finais
Montante pago ou incorrido referente ao ano de origem i e ano de desenvolvimento j.
Notação Utilizada
ijC
ijD
Ii1 Ij 1
j
m imij CD1
Montante acumulado pago ou incorrido referente ao ano de origem i e ano de desenvolvimento j. Ii1 Ij 1
i 1 2 3 ... I
1 C1,1 C1,2 C1,3 ... C1,I
2 C2,1 C2,2 ... C2,I-1
3 C3,1 . .
. . . .
. . CI-1,1
I CI,1
i 1 2 3 ... I
1 D1,1 D1,2 D1,3 ... D1,I
2 D2,1 D2,2 ... D2,I-1
3 D3,1 . .
. . . .
. . DI-1,1
I DI,1
Triângulo de Runoff incremental Triângulo de Runoff acumulado
Formato Runoff dos dados
Sentido “Ano de origem” ou “Ano de acidente”
Ano de origem
Desenvolvimento j
i 1 2 3 ... I
1 C1,1 C1,2 C1,3 ... C1,I
2 C2,1 C2,2 ... C2,I-1
3 C3,1 . .
. . . .
. . CI-1,1
I CI,1
Formato Runoff dos dados
Sentido “Ano de desenvolvimento”
Ano de origem
Desenvolvimento j
i 1 2 3 ... I
1 C1,1 C1,2 C1,3 ... C1,I
2 C2,1 C2,2 ... C2,I-1
3 C3,1 . .
. . . .
. . CI-1,1
I CI,1
Formato Runoff dos dados
Sentido “Ano de calendário”
Ano de origem
Desenvolvimento j
i 1 2 3 ... I
1 C1,1 C1,2 C1,3 ... C1,I
2 C2,1 C2,2 ... C2,I-1
3 C3,1 . .
. . . .
. . CI-1,1
I CI,1
t = i + j - 1t = i + j - 1
Formato Runoff dos dados
Objetivo: completar o triângulo inf.Ano de origem
Desenvolvimento j
i 1 2 3 ... I
1 D1,1 D1,2 D1,3 ... D1,I
2 D2,1 D2,2 ... D2,I-1
3 D3,1 . .
. . . .
. . DI-1,1
I DI,1
Formato Runoff dos dados
Objetivo: completar o triângulo inf.
I
iiRR
2
ˆˆ
I
iImmiiIiIii CDDR
2,1,,
ˆˆˆ
Incremental Acumulado
Formato Runoff dos dados
Objetivo: completar o triângulo inf.
Para se prever valores onde j > I, é necessário uma parametrização adicional.
Estruturação
Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de PrevisãoMétodos de Previsão
ClassificaçãoClassificação Evolução Descrição
Aplicações Considerações Finais
Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Primeira classificaçãoRef: Taylor, G. C. (1986). Claim Reserving in Non-life Insurance. North-Holland, Amsterdam.
Re-classificaçãoRef: Taylor, G. C. (2004). “Loss Reserving: Past, Present and Future”. Research Paper 109, Centre of Actuarial Studies, The University of Melbourne, Australia.
Estocasticidade Determinístico vs. Estocástico
Dinâmica Estático vs. Dinâmico
Estrutura do Modelo Fenomenológico vs. Micro-estrutural
Estimação dos Parâmetros Heurística vs. Ótima
Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Estocasticidade Determinístico vs.
Estocástico Para um modelo
estocástico, as observações têm a forma:
onde
j
i
jijiji eC ,,,
ji , parâmetro
jie , erro estocástico
jiC ,
Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Dinâmica Um modelo dinâmico possui parâmetros que
evoluem no tempo. Exemplo:
no qual jf iji ,,
i vetor de parâmetros que evolui como:
iw perturbação estocástica
iii w 1
Por exemplo:
Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Estrutura do Modelo Modelos Fenomenológicos
Estrutura não leva em conta os aspectos do processo de sinistros que possuem um significado direto
Modelos Micro-estruturais Preocupação com os
aspectos “finos” da estrutura do processo de sinistros
Não é uma classificação dicotômica
Espectro das estruturas de modelo
Fenomenológico Micro-estrutural
Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving
Estimação dos Parâmetros Heurística
Típica em modelos não-estocásticos Ótima
Parâmetros estimados por maximização (ou minimização) de algum critério estatístico (ex: verossimilhança)
Estruturação
Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de PrevisãoMétodos de Previsão
Classificação EvoluçãoEvolução Descrição
Aplicações Considerações Finais
Evolução
EstáticoDeterminístico
FenomenológicoHeurístico
EstáticoDeterminístico
FenomenológicoHeurístico
EstáticoEstocástico
FenomenológicoHeurístico
EstáticoEstocástico
FenomenológicoHeurístico
EstáticoEstocástico
FenomenológicoÓtimo
EstáticoEstocástico
FenomenológicoÓtimo
DinâmicoEstocástico
FenomenológicoÓtimo
DinâmicoEstocástico
FenomenológicoÓtimo
Chain Ladder convencional
Chain Ladder estocásticoMack,T. (1993)
Modelos Log-normaisRenshaw, A.E. (1989)Christofides (1991)
Modelos em Espaço de EstadoDe Jong & Zenhnwirth (1983)
Estruturação
Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de PrevisãoMétodos de Previsão
Classificação Evolução DescriçãoDescrição
Aplicações Considerações Finais
Método Chain Ladder
Procedimento Estimar os (I -1) “Development Factors”. Preencher o triângulo inferior. Calcular a Reserva.
Obtenção dos j (“Development Factors”)
Ano de origem
Desenvolvimento j
i 1 2 3 ... I
1 D1,1 D1,2 D1,3 ... D1,I
2 D2,1 D2,2 ... D2,I-1
3 D3,1 . .
. . . .
. . DI-1,2
I DI,1
2= A/B
AB
Método Chain Ladder
Método Chain Ladder
“Development Factors”Ref: HART, D.;BUCHANAN, R.; HOWE, B. “The Actuarial Practice of General Insurance”, Insitute of Actuaries of Australia, 1996.
1
1 1,
1
1 ,ˆjI
i ji
jI
i jij
D
D
Ij ,,3,2
mmimi
iIiIiiIi
DD
DD
ˆˆˆ
ˆˆ
1,,
21,2,
IiIiIm ,,4,3
Método Chain Ladder
Total de pagamentos no ano
Total Reservado
i
iRR ˆˆ
1ˆˆ
21,
I
iIjjiIii DR
Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack(Distribution Free)
Premissas básicas Independência entre anos de origem 1,
21,1,, ],,|[ jijjiiji DDDDVar
1,1,1,, ],,|E[ jijjiiji DDDD
Ref: Mack, T (1993). “Distribution-Free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates”, ASTIN Bulletin, 23, 213-225.Mack, T (1994). “Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?”, Insurance: Mathematics and Economics, 15, 133-138.
Mack, T (1994). “Measuring the Variability of Chain-Ladder Reserve Estimates”. Casualty Actuarial Society, Spring Forum.
Chain Ladder Estocástico
Procedimento Estimar os “Development Factors” Estimar os parâmetros Preencher o triângulo inferior Calcular as Reservas por “ano de acidente” e
seus respectivos erros médios quadráticos. Por fim, calcular a Reserva Total e seu respectivo
erro médio quadrático.
2j
Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack
21
1 1,
,1,
2 ˆ1ˆ
jI
ij
ji
jijij D
DD
jI
1
1 1,
1
1 ,ˆjI
i ji
jI
i jij
D
D
Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack
21
1 1,
,1,
2 ˆ1ˆ
jI
ij
ji
jijij D
DD
jI
1
1 1,
1
1 ,ˆjI
i ji
jI
i jij
D
D
Mesmos DF obtidos pelo método Chain
Ladder
Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack - Reserva
kI
m kmki
I
iIk k
kIii
CCCRMSE
1 ,,
1
12
22,
1ˆ1
ˆˆˆˆ
1ˆˆ
21,
I
iIjjiIii DR
Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack - Reserva
I
i
I
iIkkI
n kn
kkI
ijIjIii
CCCRMSERMSE
2
1
11 ,
22
1,, ˆ
ˆˆ2ˆˆˆˆ
i
iRR ˆˆ
Chain Ladder Estocástico
Modelo de Mack Reserva é idêntica à do Método Chain Ladder Por falta de observações na última coluna,
22
232
3
422
1 ,min,min III
II
Modelo Log-normal
Baseado em MLG (Modelos Lineares Generalizados)
Etapas
Seleção do ModeloSeleção do ModeloEstimação dos
ParâmetrosEstimação dos
ParâmetrosPrediçãoPredição
Ref: McCullagh, P. & Nelder, J.A. (1989). Generalized Linear Models. Chapman & Hall/CRC
Dobson, A. (2002). An Introduction to Generalized Linear Models. Chapman & Hall/CRC
Modelo Log-normal
Estrutura de um ML
iiYE iY
ippiii xxx 22110
Preditor Linear
Observação
ii
Modelo Log-normal
Estrutura de um MLG
iiYE iY
ippiii xxx 22110
Preditor Linear
Observação
)( ii g Função de ligação(link function)
Modelo Log-normal
Modelo Básico
ijij CY log
Ref: Renhaw, A.E. (1989). “Chain Ladder and Interactive Modelling”, Journal of the Institute of Acuaries, 116, 559-587.Christofides, S. (1990). “Regression Models Based on Logincremental Payments”, Claims Reserving Manual, 2, Institute of Actuaries, London.
Kremer,E. (1982). “IBNR-Claims and the Two-way Model of ANOVA”, Scandinavian Actuarial Journal, 47-55.
2,0N~, ijijijij mY
Modelo Log-normal
Modelo Básico
2,0N~, ijijjiijY
Ijim jiij ,2,
Modelo Log-normal
Modelo Básico - Reserva
1)ˆVar(expˆˆMSE ijijij mCC
)ˆ(Var
2
1ˆexpˆ
ijijij mmC
Modelo Log-normal
Modelo Básico - Reserva
12
21
2121,
,,, 1ˆ,ˆCovexpˆˆ2ˆMSEˆMSE
jjjj
ijijjijij
jii
ii
mmCCCR
2211
22
11
22112211
,,
,,,
, 1ˆ,ˆCovexpˆˆ2ˆMSEˆMSE
jijijiji
jijijijiji
ji mmCCCR
Modelo Log-normal
Problemas do Modelo Básico Somente admite valores positivos Super parametrizado Não há correção para o caso de correlação serial
Ref: De Jong, P. (2006). “Forecasting Runoff Triangles”, North American Actuarial Journal, 10, 2.
Modelo Log-normal
Modelo de Renshaw Curva de Hoerl
onde 1 jd
diji
ii edKC 1,
ieK i
0ie
10 Id
Modelo Log-normal
Modelo de Renshaw Curva de Hoerl
Menor número de parâmetros Pode-se extrapolar a estimação de
para
dddm iiii 1log)(
Ij jiC ,
ˆ
Modelos Dinâmicos
Modelo de De Jong & Zenhwirth
Modelo em Espaço de Estado Curva de Hoerl Evolução temporal das observações: sentido “ano
de calendário” Filtro de Kalman
Ref:
De Jong & Zehnwirth.,”Claims Reserving, State-space Models and the Kalman Filter”, Journal of the Institute of Actuaries, 110:157-181,1983.
Atherino, R. & Fernandes, C., “Um Modelo em Espaço de Estado para Estimação de Reservas IBNR”, Revista Brasileira de Risco e Seguro, 3, 5: 93-109.
Modelos Dinâmicos
Forma em Espaço de Estado
tt1ttt
tttt
ηRαTα
εαZyEq. das observações
Eq. do estado
)Q,0N(~η
)H,0N(~ε
tt
tt
Modelos Dinâmicos
Formação dos vetores y
Ano de origem
Desenvolvimento j
i 1 2 3 ... I
1 Y1,1 Y1,2 Y1,3 ... Y1,I
2 Y2,1 Y2,2 ... Y2,I-1
3 Y3,1 . .
. . . .
. . YI-1,2
I YI,1
t = i + j - 1t = i + j - 1
yI
y3
y2
y1
Sentido do filtro
Modelos Dinâmicos
Equação das observações
)(),1()( tujjtmty jj
)()1()()( tujtbjty jj
ou
Modelos Dinâmicos
Equação das observações
)(),1()( tujjtmty jj
)()1()()( tujtbjty jj
ou
Abordagem De Jong & Zenhwirth (1983)
)1()( jjej onde 0 )()(
)1(d
d
ib
iii edK
Modelos Dinâmicos
Equação das observações
tttt εαZy
)(
)(
)(
)1(
)1(
)(
)1(00
0)1(0
00)0(
)(
)(
)(
1
1
0
1
1
0
tu
tu
tu
b
tb
tb
tty
ty
ty
tt
Modelos Dinâmicos
Equação de Estado
)(
0
0
)1(
)2(
)1(
1000
0001
0001
)1(
)1(
)( 1
tv
b
tb
tb
b
tb
tb
t1ttt RαTα
)()1()( ivibib
Modelos Dinâmicos
Filtro de Kalman “Procedimento recursivo de obtenção do
estimador ótimo do vetor de estado no instante t, condicionado a toda informação até este instante”ref: Harvey, A. (1989) Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press.
Modelos Dinâmicos
Filtro de Kalman
)|(E 11 ttt Ya )|(Var 11 ttt YP
)|(E| tttt Ya )|(Var| tttt YP
Previsão do estado e observação SEM nova
informação
Previsão do estado e observação SEM nova
informação
Cálculo da matriz de ganho
Cálculo da matriz de ganho
Atualização da previsão incorporando-se nova
informação
Atualização da previsão incorporando-se nova
informação
11
|1
|1
ˆ
ttt
tttttttt
tttt
aZY
RQRTPTP
aTa
111
1111
ttt
ttttt
ZPM
HZPZF
111111|1
1111111|1 )ˆ(
tttttt
ttttttt
MFMPP
yyFMaa
Modelos Dinâmicos
Filtro de Kalman
)|(E 11 ttt Ya )|(Var 11 ttt YP
)|(E| tttt Ya )|(Var| tttt YP
Previsão do estado e observação SEM nova
informação
Previsão do estado e observação SEM nova
informação
Cálculo da matriz de ganho
Cálculo da matriz de ganho
Atualização da previsão incorporando-se nova
informação
Atualização da previsão incorporando-se nova
informação
11
|1
|1
ˆ
ttt
tttttttt
tttt
aZY
RQRTPTP
aTa
111
1111
ttt
ttttt
ZPM
HZPZF
111111|1
1111111|1 )ˆ(
tttttt
ttttttt
MFMPP
yyFMaa
Substi
tuiçã
o
Modelos Dinâmicos
Filtro de Kalman
)|(E 11 ttt Ya )|(Var 11 ttt YP
Previsão do estado e observação SEM nova
informação
Previsão do estado e observação SEM nova
informação
Cálculo da matriz de ganho
Cálculo da matriz de ganho
11
1
1
ˆ
)ˆ(
ttt
ttttttt
tttttt
aZy
RQRLPTP
yyKaTa
tttt
ttttt
ttttt
ZKTL
FZPTK
HZPZF
1
1
Modelos Dinâmicos
Previsão da Reserva
onde
11 ˆˆ IIaZR
S
a 111
aaHaZPaZR IIII 1111ˆMSE
Estruturação
Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição
AplicaçõesAplicações Considerações Finais
Aplicações
Dados AFGRef: MACK, T. “Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?”, Insurance: Mathematics and Economics, 15:133-138,1994.
Ano Desenvolvimento d
w 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 5012 3257 2638 898 1734 2642 1828 599 54 172
2 106 4179 1111 5270 3116 1817 -103 673 535
3 3410 5582 4881 2268 2594 3479 649 603
4 5655 5900 4211 5500 2159 2658 984
5 1092 8473 6271 6333 3786 225
6 1513 4932 5257 1233 2917
7 557 3463 6926 1368
8 1351 5596 6165
9 3133 2262
10 2063
Unidade: milhar de dólar
Aplicações
Dados AFGRef: MACK, T. “Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?”, Insurance: Mathematics and Economics, 15:133-138,1994.
Ano Desenvolvimento d
w 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 5012 3257 2638 898 1734 2642 1828 599 54 172
2 106 4179 1111 5270 3116 1817 -103 673 535
3 3410 5582 4881 2268 2594 3479 649 603
4 5655 5900 4211 5500 2159 2658 984
5 1092 8473 6271 6333 3786 225
6 1513 4932 5257 1233 2917
7 557 3463 6926 1368
8 1351 5596 6165
9 3133 2262
10 2063
Unidade: milhar de dólar
Valor negativo será excluído no modelo log-normal
Aplicações
Comportamento de cada linha do triângulo
Aplicações
“Função básica” ou “função de base”)1(5.0)( jjej
Aplicações
Reservas Estimadas
Dados AFG
Ano de Origem
Mack % LogNormal % E.E. %
1 0 0 0 0 0 0
2 154 134% 357 210% 460 -
3 617 101% 1020 139% 1148 -
4 1636 46% 3064 107% 2238 -
5 2747 53% 3753 94% 3673 -
6 3649 55% 6010 87% 5033 -
7 5435 41% 7742 86% 7012 -
8 10907 49% 18806 87% 9953 -
9 10650 59% 25367 98% 12421 -
10 16339 150% 56475 137% 15511 -
IBNR 52135 52% 122595 70% 57472 43%
Unidade: milhar de dólar
Estruturação
Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão
Classificação Evolução Descrição
Aplicações Considerações FinaisConsiderações Finais
Considerações Finais
Não existe um modelo estatístico estritamente melhor em todas as situações.
O triângulo, em geral, é composto de poucos dados.
Extensões: modelos “micro-estruturais” com ou sem agregação (triângulo).
Ref: Taylor, G. & McGuire, G. (2004). “Loss reserving with GLMs: a case study”, Proceedings of the Spring 2004 Meeting of the Casualty Actuarial Society.
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