View
6
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Teoria de Controle IIAula 1
Adrielle C. Santana
Por quê Trabalhar com Controle Digital?
• Praticamente todos os sistemas de controle industriais são implementados em sistemas computacionais digitais.
• Sistemas computacionais digitais possibilitam:
Facilidade de implementação;Facilidade para correção de erros;Testes em tempo real;Processadores muito eficientes;Ambientes de desenvolvimento amigáveis;
Por quê Trabalhar com Controle Digital?
A desvantagem de controladores digitais é a existência de erros de amostragem e quantização que degradam influenciam no desempenho do sistema bem como o atraso resultante de conversões A/D, D/A e processamento.
No entanto, tais controladores estão cada vez mais modernos de modo que tais desvantagens são controláveis e bem menos problemáticas que o projeto e uso de controladores analógicos.
Discreto x Digital
Um sistema de controle dito, de tempo discreto, é aquele em que uma ou mais variáveis podem mudar somente em instantes de tempo discretos (distintos). Tais instantes serão denotados por kT (ou nT) onde k (ou n) é uma constante inteira (k=n=0,1,2,3,...) e T é o período de amostragem escolhido para a aplicação (de acordo com o Teorema da amostragem).
Um sinal digital é um sinal codificado para uma representação que o computador entenda (ex.: binária, hexadecimal).
• Amostragem: Um sinal amostrado é gerado amostrando-se o sinal analógico em instantes discretos de tempo.
• Quantificação: Ajuste do sinal amostrado dentro de uma faixa de valores distintos.
• Codificação: Representação do sinal quantificado em números binários ou hexadecimais de forma que o controlador digital os “entenda”.
Digitalização
Digitalização
Sistema de Controle Digital
Amostragem x Reconstrução
Exemplo Conversores
Circuito conversor D/A básico com amplifica-
dor operacional
Exemplo Conversores
Seja o número 49510 e o circuito anterior com os valores de resistências ajustados conforme a figura abaixo a seguir.
Exemplo Conversores
Exemplo Conversores
Exemplo Conversores
Exemplo ConversoresConversão A/D
São utilizados na reconstrução do sinal que está na forma de um trem de pulsos. O “� � � � � �” ou segurador, preenche os espaços entre os períodos de amostragem.
� � � � � � �
� � � � � � �
ZOH: Segura a amplitude da amostra por um instante de tempo. Quantomenor o T melhor o sinalreconstruído.
FOH: Retém o valor da amostra anterior e da atual para prever o valor da próxima amostra. Se a diferença entre as amostras é pequena a predição é boa mas, se for grande a predição é errada causando grandes erros de reconstrução. Não costuma ser utilizado.
� � � � � � �
Erros de Digitalização
Em todo processo de digitalização ocorrem erros que influenciam negativamente na perfeita reconstrução do sinal.Amostragem -> Aliasing (Teorema da amostragem)Ex.: Seja a cossenoide de 1 Hz.
Erros de Digitalização
Se amostrada a 2 Hz:
Erros de Digitalização
Se amostrada a 1,5 Hz:
Reconstrução...
Erros de Digitalização
Quantificação -> A resolução de um sistema computacional limita a quantidade de níveis para a quantificação da amostra forçando arredondamentos que resultarão num sinal semelhante mas, nunca igual ao original. Esse erro de quantificação é conhecido como Ruído de Quantificação.
Equação de Diferenças
Do Cálculo, sabe-se que a transformada de Laplace tem a propriedade de transformar uma equação diferencial numa equação algébrica.
A transformada Z não é diferente. Ela tem a propriedade de transformar uma “Equação de Diferenças” em equação algébrica.
Equação de Diferenças
Mas o que é uma equação de diferenças???
Equação de Diferenças
BASICAMENTE UMA EQUAÇÃO DE DIFERENÇAS É O EQUIVALENTE A UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL NO TEMPO DISCRETO.
Equação de Diferenças
Seja a seguinte equação diferencial:
Da disciplina de Cálculo, sabe-se que a derivada de um sinal genérico x(t) ou é dada por:
Equação de DiferençasFazendo-se que que não se aproxime de zero mas sim, que tenha um valor finito T, que é o nosso período de amostragem, tem-se para a derivada primeira de x(t):
E para a derivada segunda:
Substituindo na equação diferencial inicial tem-se:
Onde pode-se agrupar alguns termos iguais para simplificar de modo a obtermos:
Equação de Diferenças
Como o poderia ser negativo, o T também pode nessa substituição de modo que:
Dessa forma pode-se reescrever a equação encontrada ao fim do slide anterior como:
Equação de Diferenças
Como o tempo agora é discreto, teremos valores de x(t) apenas em múltiplos inteiros do período de amostragem T. Para simplicidade de entendimento vamos omitir o T e representar t=n ou t=k.
Equação de Diferenças
Esta equação é uma equação de diferenças que nesse caso é de segunda ordem.
Os colchetes indicam que estamos lidando com um sinal discreto no tempo.
Equação de Diferenças
A Transformada ZSeja a função delta de Heaviside-Dirac ou Impulso unitário. Pode-se obter um trem de impulsos fazendo:
∑k=−∞∞ δ(t−kT )
Sabe-se que o sinal amostrado x*(t) é obtido pela modulação de um trem de impulsos distanciados de T segundos um do outro, em que cada impulso tem como amplitude o valor do sinal contínuo x(t).
A Transformada Z
•
A Transformada Z
•
A Transformada Z
•
A Transformada Z
•
A Transformada Z
UNILATERAL !
Observa-se portanto que a transformada Z é a transformada de Laplace de uma equação de diferenças a qual descreve um sinal amostrado no tempo.
Obtemos assim uma relação direta entre um sinal amostrado a sua transformada Z. Ex.: Z{y(t-T)} = Z{y(n-1)}=z-1 Y(z)
A Transformada Z
Mapeamento plano s para z
Chalis e Kitney (1982)
Mapeamento plano s para z
Chalis e Kitney (1982)
Mapeamento plano s para z
Chalis e Kitney (1982)
•
z=eTs=eσ+ω j=eσT e j ωT
s=σ+ jω
Mapeamento plano s para z
Mapeamento plano s para z
A Transformada Z
ReferênciasTonidandel, A. D. V. (2010).XVIII Congresso Brasileiro de Automática, pp. 663-668.
Ogata, K. (1995). Englewood Cliffs, New Jersey, EUA: Prentice Hall
IDOETA, I. V. ; CAPUANO F. G. (2012). 41 ed. Editora Érica. São Paulo-SP.
CHALIS, R.E.; KITNEY, R. I. (1982). The design of digital filters for biomedical signal processing.
Recommended