Teoria dos Jogos. A teoria dos jogos modela o comportamento estratégico de agentes

Teoria dos Jogos

Teoria dos Jogos

A teoria dos jogos modela o comportamento estratégico

de agentes

Teoria dos Jogos

A teoria dos jogos modela o comportamento estratégico

de agentesque entendem que suas ações

afetam as ações de outros agentes

Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos

Oligopólios

Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos

Oligopólios

Cartéis

Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos

Oligopólios

Cartéis

Externalidades

Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos

Oligopólios

Cartéis

Externalidades

Estratégias militares

O Que é um Jogo?

O Que é um Jogo?Um jogo consiste de

O Que é um Jogo?Um jogo consiste de

um conjunto de jogadores

O Que é um Jogo?Um jogo consiste de

um conjunto de jogadores

um conjunto de estratégias para cada jogador

O Que é um Jogo?Um jogo consiste de

um conjunto de jogadores

um conjunto de estratégias para cada jogador

payoffs (recompensas), para cada jogador, resultantes das escolhas estratégicas possíveis

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Os jogadores são A e B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Os jogadores são A e B

O jogador A tem duas estratégias: “Alto” e “Baixo”

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Os jogadores são A e B

O jogador A tem duas estratégias: “Alto” e “Baixo”

O jogador B tem duas estratégias: “Esquerda” e “Direita”

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Os jogadores são A e B O jogador A tem duas

estratégias: “Alto” e “Baixo”

O jogador B tem duas estratégias: “Esquerda” e “Direita”

A tabela que mostra as recompensas, para cada jogador, de cada uma das quatro possíveis combinações estratégicas é a matriz de payoff

Exemplo de um Jogo de Dois JogadoresJogador B

Jogador A

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Esta é a matrizde payoff dojogo

Jogador B

Jogador A

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Esta é a matrizde payoff dojogo

Jogador B

Jogador A

As recompensas do jogador A são apresentadas àesquerda das vírgulas

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Esta é a matrizde payoff dojogo

Jogador B

Jogador A

As recompensas do jogador A são apresentadas àesquerda das vírgulas

As recompensas do jogador B são apresentadas àdireita das vírgulas

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Uma jogada seria (A,D),

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Esta é a matrizde payoff dojogo

Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Uma jogada seria (A,D),onde o primeiro elemento é a estratégia

escolhida pelo Jogador A

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Esta é a matrizde payoff dojogo

Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Uma jogada seria (A,D),onde o primeiro elemento é a estratégia

escolhida pelo Jogador Ae o segundo elemento é a estratégia

escolhida pelo Jogador B

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Esta é a matrizde payoff dojogo

Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se A jogar Alto e B jogar Direita,

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Esta é a matrizde payoff dojogo

Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se A jogar Alto e B jogar Direita,então a recompensa de A é 1

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Esta é a matrizde payoff dojogo

Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se A jogar Alto e B jogar Direita,então a recompensa de A é 1

e a recompensa de B é 8

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Esta é a matrizde payoff dojogo

Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

E se A jogar Baixo e B jogar Direita,

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Esta é a matrizde payoff dojogo

Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

E se A jogar Baixo e B jogar Direita,então a recompensa de A é 2

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Esta é a matrizde payoff dojogo

Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

E se A jogar Baixo e B jogar Direita,então a recompensa de A é 2

e a recompensa de B é 1

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)

Esta é a matrizde payoff dojogo

Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Que jogadas provavelmentevão ocorrer neste jogo?

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

(A,D) seriauma jogadaprovável?

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(A,D) seriauma jogadaprovável?

Se o jogador B jogar Direita,

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(A,D) seriauma jogadaprovável?

Se o jogador B jogar Direita,então a melhor resposta do jogador A é Baixo

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se o jogador B jogar Direita,então a melhor resposta do jogador A é Baixo

porque isto melhora a recompensa de Ade 1 para 2

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(A,D) seriauma jogadaprovável?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se o jogador B jogar Direita,então a melhor resposta do jogador A é Baixo

porque isto melhora a recompensa de Ade 1 para 2

Então (A,D) não ocorreria

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(A,D) seriauma jogadaprovável?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

(B,D) ocorreria?

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se o jogador B jogar Direita,

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(B,D) ocorreria?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se o jogador B jogar Direita,então a melhor resposta do jogador A é Baixo

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(B,D) ocorreria?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se o jogador B jogar Direita,então a melhor resposta do jogador A é Baixo

Se o jogador A jogar Baixo,

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(B,D) ocorreria?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se o jogador B jogar Direita,então a melhor resposta do jogador A é Baixo

Se o jogador A jogar Baixo,então a melhor resposta do jogador B é Direita

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(B,D) ocorreria?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se o jogador B jogar Direita,então a melhor resposta do jogador A é Baixo

Se o jogador A jogar Baixo,então a melhor resposta do jogador B é Direita

Então (B,D) é uma jogada provável

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(B,D) ocorreria?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

(B,E) ocorreria?

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(B,E) ocorreria?

Se A jogar Baixo

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(B,E) ocorreria?

Se A jogar Baixoentão a melhor resposta de B é Direita

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se A jogar Baixoentão a melhor resposta de B é DireitaEntão (B,E) não é uma jogada provável

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(B,E) ocorreria?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

(A,E) ocorreria?

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se A jogar Alto

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(A,E) ocorreria?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se A jogar Altoentão a melhor resposta de B é Esquerda

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(A,E) ocorreria?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se A jogar Altoentão a melhor resposta de B é Esquerda

Se B jogar Esquerda

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(A,E) ocorreria?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se A jogar Altoentão a melhor resposta de B é Esquerda

Se B jogar Esquerdaentão a melhor resposta de A é Alto

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(A,E) ocorreria?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Se A jogar Altoentão a melhor resposta de B é Esquerda

Se B jogar Esquerdaentão a melhor resposta de A é AltoEntão (A,E) é uma jogada provável

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

(A,E) ocorreria?

Equilíbrio de Nash

É uma jogada para a qual uma estratégia é a

melhor resposta à outra

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D)

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D)

Mas qual de fato ocorrerá?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D)

Mas qual de fato ocorrerá?Note que (A,E) é preferível a (B,D) para os dois

jogadores

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D)

Mas qual de fato ocorrerá?Note que (A,E) é preferível a (B,D) para os dois

jogadoresDeverá então ocorrer apenas (A,E)?

Dilema dos Prisioneiros

Jogo que exemplifica o fato de que resultados Pareto-

preferíveis não necessariamente vão ocorrer

O Dilema dos Prisioneiros

Que jogadas provavelmente ocorrerãoneste jogo?

Clyde

Bonnie(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

O Dilema dos PrisioneirosClyde

Bonnie(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

Se Bonnie jogar Silenciar então a melhorresposta de Clyde é Confessar

O Dilema dos Prisioneiros

Se Bonnie jogar Silenciar então a melhorresposta de Clyde é Confessar

Se Bonnie jogar Confessar então a melhorresposta de Clyde é Confessar

Clyde

Bonnie(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

O Dilema dos Prisioneiros

Não importa o que Bonnie escolha: a melhorresposta de Clyde será sempre Confessar

Clyde

Bonnie(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

O Dilema dos Prisioneiros

Não importa o que Bonnie escolha: a melhorresposta de Clyde será sempre Confessar

Confessar é a estratégia dominantepara Clyde

Clyde

Bonnie(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

O Dilema dos Prisioneiros

Similarmente, não importa o que Clydeescolha: a melhor resposta de Bonnie será

sempre Confessar

Clyde

Bonnie(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

O Dilema dos Prisioneiros

Similarmente, não importa o que Clydeescolha: a melhor resposta de Bonnie será

sempre ConfessarConfessar é a estratégia dominante

para Bonnie também

Clyde

Bonnie(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

O Dilema dos Prisioneiros

Então o único equilíbrio de Nash para estejogo é (C,C),

Clyde

Bonnie(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

O Dilema dos Prisioneiros

Então o único equilíbrio de Nash para estejogo é (C,C),

muito embora (S,S) traga melhores recompensas para os dois jogadores

Clyde

Bonnie(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

O Dilema dos Prisioneiros

Então o único equilíbrio de Nash para estejogo é (C,C),

muito embora (S,S) traga melhores recompensas para os dois jogadores

O único equilíbrio de Nash é ineficiente

Clyde

Bonnie(-5,-5) (-30,-1)

(-1,-30) (-10,-10)

S

C

S C

Quem Joga Quando?

Nos dois exemplos, os jogadores escolhem suas estratégias simultaneamente

Quem Joga Quando?

Nos dois exemplos, os jogadores escolhem suas estratégias simultaneamente

Estes são jogos simultâneos

Quem Joga Quando?

Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro

Quem Joga Quando?

Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro

Estes são os jogos sequenciais

Quem Joga Quando?

Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro

Estes são os jogos sequenciais O jogador que joga primeiro é o

líder

Quem Joga Quando?

Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro

Estes são os jogos sequenciais O jogador que joga primeiro é o

líder O jogador que joga depois é o

seguidor

Exemplo de Um Jogo Sequencial

Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash

Exemplo de Um Jogo Sequencial

Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash

e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer

Exemplo de Um Jogo Sequencial

Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash

e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer

Se esse jogo for sequencial, pode ser mais fácil decidir

Exemplo de Um Jogo Sequencial

Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash

e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer

Se esse jogo for sequencial, pode ser mais fácil decidir

se um equilíbrio de Nash terá mais chances de ocorrer do que os outros

Exemplo de um Jogo Sequencial

Tanto (A,E) como (B,D) são equilíbrios deNash quando este jogo é jogado

simultaneamente

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo Sequencial

Tanto (A,E) como (B,D) são equilíbrios deNash quando este jogo é jogado

simultaneamenteE não temos nenhuma maneira de decidir

qual dos equilíbrios é mais provável

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo Sequencial

Se o jogo for jogado sequencialmente

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo Sequencial

Se o jogo for jogado sequencialmentee A for o líder

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo Sequencial

Se o jogo for jogado sequencialmentee A for o líder

podemos expressá-lo na suaforma extensiva

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Exemplo de um Jogo Sequencial

A B

E ED D

(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

A

B BA joga primeiroB joga em seguida

Exemplo de um Jogo Sequencial

A B

E ED D

(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

A

B B

(A,E) é um equilíbrio de Nash

A joga primeiroB joga em seguida

Exemplo de um Jogo Sequencial

A B

E ED D

(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

A

B B

(A,E) é um equilíbrio de Nash(B,D) é um equilíbrio de Nash

A joga primeiroB joga em seguida

Exemplo de um Jogo Sequencial

A B

E ED D

(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

A

B B

(A,E) é um equilíbrio de Nash(B,D) é um equilíbrio de NashQual deles tem mais chances de ocorrer?

A joga primeiroB joga em seguida

Exemplo de um Jogo Sequencial

A B

E ED D

(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

A

B B

Se A jogar A então B joga E: A ganha 3

A joga primeiroB joga em seguida

Exemplo de um Jogo Sequencial

A B

E ED D

(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

A

B B

Se A jogar A então B joga E: A ganha 3Se A jogar B então B joga D: A ganha 2

A joga primeiroB joga em seguida

Exemplo de um Jogo Sequencial

A B

E ED D

(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

A

B B

Se A jogar A então B joga E: A ganha 3Se A jogar B então B joga D: A ganha 2Então (A,E) será o único equilíbrio de Nash

A joga primeiroB joga em seguida

Estratégias Puras

Voltemos ao jogo simultâneo com dois equilíbrios de Nash (A,E) e (B,D)

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

O jogador A escolhe A ou B,

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

O jogador A escolhe A ou B,ou seja, ele joga puramente A ou B

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

O jogador A escolhe A ou B,ou seja, ele joga puramente A ou B

Ele não escolhe uma combinação de A e B

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

O jogador A escolhe A ou B,ou seja, ele joga puramente A ou B

Ele não escolhe uma combinação de A e BA e B são as estratégias puras do jogador A

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

Similarmente, E e D são as estratégias puras do jogador B

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

Consequentemente, (A,E) e (B,D) são equilíbrios de Nash com estratégias puras

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

Consequentemente, (A,E) e (B,D) são equilíbrios de Nash com estratégias puras

Todo jogo precisa ter pelo menos um equilíbrio de Nash com estratégias puras?

E D

A

B

(3,9)

(0,0)

(1,8)

(2,1)Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

No jogo acima, existe algum equilíbrio de Nash

com estratégias puras?

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

A

B

E D

Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

(A,E) é um equilíbrio de Nash?

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

A

B

E D

Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

(A,E) é um equilíbrio de Nash? Não(A,D) é um equilíbrio de Nash?

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

A

B

E D

Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

(A,E) é um equilíbrio de Nash? Não(A,D) é um equilíbrio de Nash? Não(B,E) é um equilíbrio de Nash?

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

A

B

E D

Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

(A,E) é um equilíbrio de Nash? Não(A,D) é um equilíbrio de Nash? Não(B,E) é um equilíbrio de Nash? Não(B,D) é um equilíbrio de Nash?

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

A

B

E D

Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

A

B

E D

(A,E) é um equilíbrio de Nash? Não(A,D) é um equilíbrio de Nash? Não(B,E) é um equilíbrio de Nash? Não(B,D) é um equilíbrio de Nash? Não

Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

Este jogo não tem equilíbrio de Nashcom estratégias puras

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

A

B

E D

Jogador A

Jogador B

Estratégias Puras

Este jogo não tem equilíbrio de Nashcom estratégias puras

Mas tem com estratégias mistas

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

A

B

E D

Jogador A

Jogador B

Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,

Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com

probabilidade A

Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com

probabilidade A

ou jogar Baixo com probabilidade 1A

Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com

probabilidade A

ou jogar Baixo com probabilidade 1A Ou seja, ele pode selecionar uma

distribuição de probabilidade (A,1A)

Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com

probabilidade A

ou jogar Baixo com probabilidade 1A Ou seja, ele pode selecionar uma distribuição

de probabilidade (A,1A) Como A está misturando as estratégias puras

Alto e Baixo,

Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com

probabilidade A

ou jogar Baixo com probabilidade 1A Ou seja, ele pode selecionar uma distribuição de

probabilidade (A,1A) Como A está misturando as estratégias puras Alto e

Baixo, a distribuição de probabilidade (A,1A) é a sua

estratégia mista

Estratégias MistasSimilarmente, o jogador B escolhe jogarEsquerda com probabilidade E

Estratégias MistasSimilarmente, o jogador B escolhe jogarEsquerda com probabilidade E

ou jogar Direita com probabilidade 1E

Estratégias MistasSimilarmente, o jogador B escolhe jogarEsquerda com probabilidade E

ou jogar Direita com probabilidade 1E

Ou seja, ele escolhe a distribuição deprobabilidade (E,1E)

Estratégias MistasSimilarmente, o jogador B escolhe jogarEsquerda com probabilidade E

ou jogar Direita com probabilidade 1E

Ou seja, ele escolhe a distribuição deprobabilidade (E,1E)Como ele está misturando as estratégiaspuras Esquerda e Direita,

Estratégias MistasSimilarmente, o jogador B escolhe jogarEsquerda com probabilidade E

ou jogar Direita com probabilidade 1E

Ou seja, ele escolhe a distribuição deprobabilidade (E,1E)Como ele está misturando as estratégiaspuras Esquerda e Direita,a distribuição de probabilidade (E,1E) éa sua estratégia mista

Estratégias Mistas

Jogador A

Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

A

B

E DJogador B

Estratégias Mistas

Jogador A

Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias purasmas tem com estratégias mistas

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

A

B

E DJogador B

Estratégias Mistas

Jogador A

Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias purasmas tem com estratégias mistasComo computar o equilíbrio de Nash com estratégias mistas?

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

A

B

E DJogador B

Estratégias Mistas

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

A,A

B,1A

E,E D,1E

Jogador B

Jogador A

Estratégias Mistas

Se B jogar Esquerda, seu payoff esperado é2A + 5(1A)

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,A

B,1A

Estratégias Mistas

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,A

B,1A

Se B jogar Esquerda, seu payoff esperado é2A+5(1A)Se B jogar Direita, seu payoff esperado é4A+2(1A)

Estratégias Mistas

Se 2A+5(1A) > 4A+2(1A)então B jogará apenas Esquerda

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,A

B,1A

Estratégias Mistas

Se 2A+5(1A) > 4A+2(1A)então B jogará apenas EsquerdaMas não existe equilíbrio de Nash com Bjogando apenas Esquerda

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,A

B,1A

Estratégias Mistas

Se 2A+5(1A) < 4A+2(1A)então B jogará apenas Direita

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,A

B,1A

Estratégias Mistas

Se 2A+5(1A) < 4A+2(1A)então B jogará apenas DireitaMas não existe equilíbrio de Nash com Bjogando apenas Direita

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,A

B,1A

Estratégias Mistas

Então, somente existirá equilíbrio de Nashquando B for indiferente entre jogarEsquerda ou Direita,

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,A

B,1A

Estratégias Mistas

Então, somente existirá equilíbrio de Nashquando B for indiferente entre jogarEsquerda ou Direita,o que ocorre quando2A+5(1A) = 4A+2(1A)

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,A

B,1A

Estratégias Mistas

Então, somente existirá equilíbrio de Nashquando B for indiferente entre jogarEsquerda ou Direita,o que ocorre quando2A+5(1A) = 4A+2(1A) A = 3/5

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,A

B,1A

Estratégias Mistas

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

A,

B,53

52

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

Estratégias Mistas

Se A jogar Alto seu payoff esperado é1 E + 0 (1 E) = E

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)53

52

Jogador B

Jogador AA,

B,

E,E D,1E

Estratégias Mistas

Se A jogar Alto seu payoff esperado é1 E + 0 (1 E) = E Se A jogar Baixo seu payoff esperado é0 E + 3 (1 E) = 3(1 E)

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)53

52

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,

B,

Estratégias Mistas

Se E > 3(1 E) então A jogará apenas Alto

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)53

52

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,

B,

Estratégias Mistas

Se E > 3(1 E) então A jogará apenas AltoMas não existe equilíbrio de Nash com Ajogando apenas Alto

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)53

52

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,

B,

Estratégias Mistas

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)53

52

Jogador B

Jogador A

Se E < 3(1 E) então A jogará apenas Baixo

E,E D,1E

A,

B,

Estratégias Mistas

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)53

52

Jogador B

Jogador A

Se E < 3(1 E) então A jogará apenas BaixoMas não existe equilíbrio de Nash com Ajogando apenas Baixo

E,E D,1E

A,

B,

Estratégias Mistas

Para existir equilíbrio de Nash,A precisa ser indiferente entre jogar Altoou Baixo, ou seja

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)53

52

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,

B,

Estratégias Mistas

Para existir equilíbrio de Nash,A precisa ser indiferente entre jogar Altoou Baixo, ou sejaE = 3(1 E)

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)53

52

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,

B,

Estratégias Mistas

Para existir equilíbrio de Nash,A precisa ser indiferente entre jogar Altoou Baixo, ou sejaE = 3(1 E) E = 3/4

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)53

52

Jogador B

Jogador A

E,E D,1E

A,

B,

Estratégias Mistas

Então, o equilíbrio de Nash é

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)53

52

E, D,43

41

Jogador B

Jogador AA,

B,

Estratégias Mistas

Então, o equilíbrio de Nash éA adotar a estratégia mista (3/5, 2/5)

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)53

52

E, D,43

41

Jogador B

Jogador AA,

B,

Estratégias Mistas

Então, o equilíbrio de Nash éA adotar a estratégia mista (3/5, 2/5)e B adotar a estratégia mista (3/4, 1/4)

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)53

52

E, D,43

41

Jogador B

Jogador AA,

B,

Estratégias Mistas

Os payoffs serão (1,2) com probabilidade35

34

920

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

43

41

53

52

9/20

Jogador B

Jogador A

E, D,

A,

B,

Estratégias Mistas

e (0,4) com probabilidade3514

320

(0,4)

(0,5) (3,2)

43

41

53

52

(1,2)9/20 3/20

Jogador B

Jogador A

E, D,

A,

B,

Estratégias Mistas

e (0,5) com probabilidade25

34

620

(0,4)

(0,5)

43

41

53

52

(1,2)9/20 3/20

6/20 (3,2)

Jogador B

Jogador A

E, D,

A,

B,

Estratégias Mistas

e (3,2) com probabilidade2514

220

(0,4)43

41

53

52

(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20

Jogador B

Jogador A

E, D,

A,

B,

Estratégias Mistas

Para A, o payoff esperado do equilíbrio deNash é

1 920

0 320

0 620

3 220

34

.

(0,4)43

41

53

52

(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20

Jogador B

Jogador A

E, D,

A,

B,

Estratégias Mistas

Para B, o payoff esperado do equilíbrio deNash é

2 920

4 320

5 620

2 220

165

.

(0,4)43

41

53

52

(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20

Jogador B

Jogador A

E, D,

A,

B,

Fonte

Hal VarianIntermediate Microeconomics,

5th EditionChapter 28, Game Theory

© 2006 Tradução, Adaptação e Confecção Sergio Da Silva. All rights reserved