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TRANSFORMADA DE TRANSFORMADA DE LAPLACELAPLACE

Revisão de alguns:ConceitosDefiniçõesPropriedadesAplicações

Introdução

A Transformada de Laplace é um método de transformar equações diferenciais em equações algébricas mais facilmente solucionáveis

Um exemplo simples de transformada matemática é quando o problema de multiplicação é transformado em uma operação mais simples de soma pela transformada logarítmica

Transformaçãologarítmica

Transformaçãoinversa

multiplicação

ou divisão

adição ou

subtração

solução

CBA ×=

Transformaçãologarítmica

Transformaçãoinversa

multiplicação

ou divisão

adição ou

subtração

solução

)log(log CBA ×=CB loglog +=

CBD loglog +=

⇒ DA =log

DA loganti=

Uma transformada de Laplace é um tipo de operação matemática semelhante a essa transformação logarítmica

Equações diferenciais que descrevem como um sistema comporta-se com o tempo são transformadas em relações algébricas simples, não envolvendo o tempo, em que podemos realizar operações algébricas normais.

Então podemos usar uma transformada inversa para obter a solução que descreve como o sinal varia com o tempo.

Transformaçãode Laplace

Transformaçãoinversa

comportamento descrito por equações diferenciais

domínio do tempo

manipulação algébrica de equações

domínio s

solução no domínio

do tempo

TRANSFORMADA DE LAPLACETRANSFORMADA DE LAPLACE

( )∫∞ −

0dtetemponofunção st

( ) ( )∫∞ −=

0dtetfsF st

Notação da transformada de Laplace

( ) )(. tiRtv =

( ) )(. sIRsV =

Transformada de Laplace da Transformada de Laplace da função degrau unitáriofunção degrau unitáriof (t)

( ) 00 <→= ttf1

( ) 01 >→= ttfTempo t0

Transformada de Laplace da função degrau unitário para t >0

( ) ∫∞ −=

01 dtesF st

( ) ∞−−= 0][1 stes

sF

( )s

sF 1=

Transformada de Laplace da Transformada de Laplace da função degrau de amplitude função degrau de amplitude aa

f (t)( ) 00 <→= ttfa

( ) 0>→= tatfTempo t0

Transformada de Laplace da função degrau a para t >0

( ) ∫∞ −=

0. dteasF st

( ) ∞−−= 0][ stesasF

( )sasF =

( ) ∫∞ −=

0dteasF st⇒

Exemplo: Determinar, a partir da definição, a transformada de Laplace da função eat, onde a é uma constante.Solução:

atetf =)(

∫∞ −=

0)( dteesF stat

( )∫∞ −−=

0)( dtesF tas

( )[ ]∞

−−

−−=

0

1)( taseas

sF

Transformada de Laplace

assF

−=

1)(

Tabelas de Transformadas de LaplaceTabelas de Transformadas de Laplace

Senóide

Exponencial crescente

Rampa unitária

Degrau unitário

Impulso unitário

Descrição da função no tempo

Transformada de Laplace

Função no tempo

s1

( )assa+

2

1s

)(tδ 1

01)(00)(

>→=<→=

ttfttf

t

ate−−1

22 ωω+s

22

2

2 ωςωω

++ ss

tωsen

( )te t )1(sen1

2

2ςω

ςω ςω −−

−

Regras básicas para Regras básicas para Transformadas de LaplaceTransformadas de Laplace

1. A soma de duas funções torna-se a soma de suas duas transformadas de Laplace

)()(setorna)()( 2121 sFsFtftf +−+

2. A subtração de duas funções torna-se a subtração de suas duas transformadas de Laplace

)()(setorna)()( 2121 sFsFtftf −−−

3. A multiplicação de uma função por uma constante torna-se a multiplicação da transformada de Laplace da função pela mesma constante

)(.setorna)(. sFatfa −

Regras básicas para Regras básicas para Transformadas de LaplaceTransformadas de Laplace

4. Uma função com atraso de tempo Ts, isto é , f (t-T), torna-se e-Ts F(s) para valores de T maiores ou iguais a zero )(setorna)( sFeTtf Ts−−−

5. A derivada primeira de uma função torna-se s vezes a transformada de Laplace da função menos o valor de f (t) em t=0

)0()(setorna)( fsFstfdtd

−−

onde f (0) é o valor da função em t = 0

Regras básicas para Regras básicas para Transformadas de LaplaceTransformadas de Laplace

6. A derivada segunda de uma função torna-se s2 vezes a transformada de Laplace da função menos s vezes o valor da função em t=0 menos o valor da derivada primeira de f (t) em t=0

dtdfsfsFstf

dtd )0()0()(setorna)( 2

2

2

−−−

Onde:s f (0) é s multiplicado pelo valor da função em t = 0 e

dtdf )0( é a derivada primeira da função em t = 0

Regras básicas para Regras básicas para Transformadas de LaplaceTransformadas de Laplace

7. A n-ésima derivada de uma função torna-se sn vezes a transformada de Laplace da função menos os termos envolvendo f (t) e suas derivadas em t=0

1

11 )0()0()(setorna)( −

−− −−−− n

nnn

n

n

dtfdfssFstf

dtd

K

ou

1

1

2

221 )0()0()0()0()()(

−

−

−

−−− −−−−−=

n

n

n

nnnn

n

n

dtfd

dtfds

dtdfsfssFs

dttfdL K

Regras básicas para Regras básicas para Transformadas de LaplaceTransformadas de Laplace

8. A primeira integral de uma função, entre o instante 0 e o instante t torna-se (1/s) vezes a transformada de Laplace da função

)(1setorna)(0

sFs

dttft

−∫

Exemplo: Determinar, utilizando as tabelas, a transformada de Laplace das seguintes funções:a) 2t

221 t 3

1s

Assim, para obter a transformada de Laplace de t, precisamos multiplicar a função na tabela por 2. Como é uma constante, a transformada de Laplace de t2 será:

3

2)(s

sF =b) atet −2

A tabela dá a transformada de Laplace de como

Utilizando a tabela, a transformada de Laplace é

( )32)(as

sF+

=

Note que a transformada de Laplace de duas funções multiplicadas não é a multiplicação das duas transformadas de Laplace separadas.

( )atet −+12c)

A transformada de Laplace da soma de duas funções é a soma de suas funções transformadas separadas:

atetttf −+= 22)(

( )33

22)(ass

sF+

+=

Exemplo: Determinar, utilizando as tabelas, a transformada inversa de:

s2

a)

A tabela inclui uma transformada de Laplace de s1

e assim, se esse termo é multiplicado por uma constante 2, a transformação inversa será a função que dá a transformada de Laplace de 1/s multiplicada pela mesma constante.

A transformação inversa será 2.

123+s

b)

Essa transformada pode ser rearranjada para dar:( )( )2123

+s

A tabela contém a transformadaas +

1 , cuja inversa é ate−

Assim a transformação inversa é somente as +1 multiplicada

pela constante (3/2), sendo a = (1/2), isto é:

2

23)(

t

etf−

=

52−s

c)

Essa transformada pode ser rearranjada para dar:

( )52−+s

A tabela contém a transformadaas +

1 , cuja inversa é ate−

Assim a transformação inversa é somente as +1 multiplicada

pela constante 2, sendo a =–5, isto é:

tetf 52)( =

Utilizando as Transformadas de Laplace Utilizando as Transformadas de Laplace para resolver equações diferenciaispara resolver equações diferenciais

1. Transformar cada termo na equação diferencial em suas transformadas de Laplace, isto é, mudar a função do tempo para uma função em s.

2. Pesquisar todas as manipulações- por exemplo, considerar o que acontece quando uma entrada degrau é aplicada ao sistema.

3. Converter a função de Laplace resultante em uma equação como função do tempo, isto é, a transformada inversa de Laplace.

Para usar as tabelas de transformadas de Laplace e assim determinar a conversão, é freqüentemente necessário decompor em frações parciais para obter as formas padrão dadas nas tabelas

Exemplo: Usar a transformada de Laplace para resolver a seguinte equação diferencial:

423 =+ xdx com x = 0 em t = 0dt

Solução:

[ ]s

sXxssX 4)(2)0()(3 =+− se x(0) = 0

[ ]s

sXssX 4)(20)(3 =+−

4)(2)(3 2 =+ ssXsXs

sssX

234)( 2 +

=( )[ ]32

)32(2)(+

=ss

sX⇒

( )[ ]32)32(2)(

+=

sssX

Agora é necessário encontrar as funções que dariam as transformadas de Laplace desta forma, de modo a obter a transformação inversa de x.

( )assa+

( )ate−−1Se a transformada inversa de é , então:

32

=a e

−=

−32

12)(t

etx

Exemplo: Para uma tensão de entrada degrau de amplitude Vem t = 0 em um circuito RC, a equação diferencial para a diferença de potencial no capacitor vc é dada por:

CC v

dtdvRCV += com vc = 0 em t = 0

Solução:

)()( sVssVRCsV

CC +=

( )sRCsVsVC 1

)(+

=( )[ ]RCssRCVsVC 1

)1()(+

=⇒

( )ate−−1( )ass

a+

A função dá a transformada de Laplace

−=

−RC

t

C eVtv 1)(RCa 1=sendo:

Frações ParciaisFrações Parciais

2343

2 +++xx

x2

21

1+

++ xx⇒

Existem três tipos básicos de frações parciais:

1. Fatores lineares no denominador

( )( ) ( ) ( )csbsas

sf+++

Expressão

( ) ( ) ( )csC

bsB

asA

++

++

+Fração parcial

Frações ParciaisFrações Parciais2. Fatores lineares repetidos no denominador

( )( )nas

sf+

Expressão

( ) ( ) ( ) ( )nasN

asC

asB

asA

+++

++

++

+K32Fração parcial

3. Fatores quadráticos no denominador, quando o fator tem raízes complexas conjugadas ( )

cbsassf++2

Expressão

cbsasBAs++

+2Fração parcial

Frações ParciaisFrações Parciais

Fatores quadráticos no denominador, quando o fator tem raízes complexas conjugadas e existe também um fator linear no denominador

( )( ) ( )dscbsas

sf+++2Expressão

dsC

cbsasBAs

++

+++

2Fração parcial

Exemplo:23

432 ++

+xx

x

( ) ( )2143

2343

2 +++

=++

+xx

xxx

x

( ) ( ) 212143

++

+=

+++

xB

xA

xxx

( ) ( )( ) ( )( ) ( )21

1221

43++

+++=

+++

xxxBxA

xxx

( ) BAxBAx +++=+ 243

==→ 2

1BA

=+=+

423

BABA

Teoremas do valor inicialTeoremas do valor iniciale do valor finale do valor final

Teorema do valor inicial

)(lim)(lim0

tfssFts →∞→

=

Teorema do valor final

)(lim)(lim0

tfssFts ∞→→

=

Os teoremas do valor inicial e do valor final são muito úteis quando é necessário determinar a partir da transformada de

Laplace o comportamento da função f (t ) em 0 e ∞