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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Introdução
Em situações práticas, a função a ser integrada não é
fornecida analiticamente, e sim por meio de pares (x, f(x)).
Nestes casos torna-se necessária a utilização de métodos
numéricos para o cálculo do valor da integral de f(x).
Os métodos mais utilizados podem ser classificados em dois
grupos:
• Fórmulas de Newton-Côtes, que empregam valores de f(x)
onde os pontos são igualmente espaçados.
• Fórmula de quadratura
gaussiana, que utiliza pontos
diferentemente espaçados, onde este espaçamento é
determinado por certas propriedades de polinômios
ortogonais;
Dentre as fórmulas de Newton-Côtes, as mais usadas são:
• Regra dos Trapézios;
• Regras de Simpson.
( ) ( )
≅ = ∫ ∫
b b x
a n adp dxfI
Polinômio Interpolador de Gregory-Newton
A aplicação das fórmulas de Newton-Côtes pré-supõem a utilização do polinômio interpolador de Gregory-Newton (Pn(x)), que se baseia no polinômio de Newton:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )1n10n102010n xxxxxxaxxxxaxxaap −−−−++−−+−+= LL
Fazendo a seguinte substituição de variáveis: hzxx
=− 0
logo: hzxx 0 =−
)1()()]([)( 001 −=−⋅=−−=+−=− zhhhzhxxhxxxx M
)]1n(z[h)xx( 1n −−⋅=− −
Substituindo no polinômio de Newton:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] zh1nzhazh1zhazhaaxpxf n21on ⋅−−++⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+== LL
)]1n(z[)1z(zha)1z(zhazhaa)x(p nn
221on −−−⋅++−⋅⋅⋅+⋅⋅+= LL
com:
( ) ( ) ( ) 00101
011 yxx
xxxfxf
ha ∆=−−−
=
[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )
−−
−−−
=⋅−−
=01
01
12
122
02
011222 xx
xfxfxx
xfxf2hh
xxx,xfx,xf
ha
{ }022
2 21 yha ∆=
{ }0nn
n y!n
1ha ∆=
logo:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]00
20 !
11!2
1!1
yn
nzzzyzzyzyxp non ∆
−−−⋅++∆
−⋅+∆+=
LL
Diferenças Finitas
xi – xi-1 = h = cte. , n,0i L=∀
Então as diferenças abaixo são “diferenças finitas” a) zero ordemyy ii
0 →=∆ b) ordemª1yyyyy i1ii
01i
0i →−=−= ++ ∆∆∆
c) ordemª22 121
2 →+−=∆−∆=∆ +++ iiiiii yyyyyy d) ordemªnyyy i
1n1i
1ni
n →−= −+
− ∆∆∆ Ex.: Construir a tabela das diferenças finitas para a função caracterizada pelos pontos da tabela abaixo:
i x y iy∆ i2 y∆ i
3 y∆ i4 y∆
0 1.00 5.00 2.50 -2.00 3.50 -6.00 1 1.50 7.50 0.50 1.50 -2.50 - 2 2.00 8.00 2.00 -1.00 - 3 2.50 10.00 1.00 - 4 3.00 11.00 -
O polinômio de Gregory-Newton representativo da função tabelada é:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )( )!4
3210.6
!3215.3
!210.2
!15.20.54
−−−−
−−−
+−
−++=
zzzz
zzzzzzxp
Regra do Trapézio
A fórmula de integração numérica através da regra do
trapézio é obtida, considerando uma linearização da função dentro
do intervalo de integração (interpolação linear).
Polinômio interpolador: ordem 1.
hdzdx
hx-azabh =⇒=−= ;
( )
−=∆=
∆+=)()(
)(;
!1 001 afbfy
afyyzyxp o
o
( ) ( ) ( ) ( )[ ]afbfabaxafxp1 −
−−
+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )axab
afbfafxp1 −−−
+=
( ) ( ) ( ) ( )[ ]bfafabpIb
a+
−=≅ ∫ 2
dx x1 = área do trapézio
ou:
( )10
1
0 0 2 yyhh dzyzyI o +=∆+≅ ∫
Erro de Truncamento
Para a interpolação linear tem-se:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )bxax2
fxxxx2
fE 10T −−′′
=−−′′
=εε
Considerando que a representação exata de f(x) é:
( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫∫ +=⇒+=b
a T
b
a 1
b
aT1 dx Edx xpdxxfExpxf
Sendo: ( )
⋅=−=−
⋅=−
dzhdxzhbxzhax
1 ;
tem-se:
x = a, ⇒ z = 0, x = b ⇒ z = 1
então
( ) ( ) ( )1
0
2331
0
b
a T 2z
3zf
2hdz h1-zhhz
2fdx E
−′′=⋅⋅
′′= ∫∫ εε
( )εfhET ′′−=12
3
, ba ≤≤ ε
Ex.: Determinar o erro máximo de truncamento cometido ao se
avaliar a integral ∫=0.2
0.1dx
x1I pela regra dos trapézios.
a) Cálculo pela regra dos trapézios:
( ) ( )]afbf[2hI +≅ ; a = 1.0 ; b = 2.0 ; h = 2-1 = 1 ;
f(1) = 1 ; f(2) = 1/2
75.0431
21
21I ap ==
+≅
b) Cálculo do erro:
( ) ( )εε f12
1f12hE
3
′′−=′′−
=
( ) 2x1xf −
=′ ( ) 34 x2
xx2xf ==′′
3
212
1Eε⋅
−= , 21 ≤≤ ε ⇒ 6
112
121E 3máx =⋅=
Na verdade, Emáx não é o valor do erro cometido, mas sim um
limitante para este erro. Para conhecer seu valor absoluto, é necessário calcular o valor exato da integral. c) Cálculo exato:
( ) ( ) 693.01ln2lndxx1I
0.2
0.1=−== ∫
d) Erro relativo:
%2.8693.0057.0%057.0III apap −=−=→−=−=∆ E
Regra dos Trapézios para múltiplos segmentos
nabh −
=
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫−
+++== n
1n
2
1
1
0
n
0
x
x
x
x
x
x
x
xdxxfdxxfdxxfdxxfI L
Aplicando, a regra dos trapézios para cada segmento:
( ) ( ) ( ) ( ) ∑−
=− ⋅++=++++++≅
1
1012110 2
22222
n
iinnn yhyyhyyhyyhyyhI L
( ) ( )n
yyyabyhyyhI
n
iinn
iin ⋅
⋅++−=⋅++≅
∑∑
−
=−
= 2
2
2
1
101
10
( )nn yyyyhI ++++≅ −110 222
L
Erro de truncamento
( ) ( )∑=
′′⋅−
=n
1ii3
3
T fn12abE ε
Definindo um valor médio da 2ª derivada em um ponto ε
tal que: ( )∑=
′′=′′⋅n
1iiffn ε , tem-se:
( ) fn12abE 2
3
T ′′⋅−
= ⇒ ET ∝ 2n1
Primeira Regra de Simpson (Regra do 1/3)
Conhecendo-se os valores de uma função f(x) em três pontos
igualmente espaçados x0 = a, x1 , x2 = b, pode-se então aproximar
a função por um polinômio do 2º grau e calcular o valor
aproximado de sua integral no intervalo [a,b], através da integral
do polinômio interpolador.
Fazendo:
x0 = a ; x2 = b ; h = (b-a)/2;
tem-se:
dzhdxh
axz ⋅=⇒−
=
=⇒==⇒=
20
zbxzax
A integral ( )∫=b
adxxfI pode então ser aproximada por:
( )∫≅
b
a 2 dxxpI onde:
( ) ( )0
2002 y
21zzyzynp ∆∆ −⋅
+⋅+=
então:
( ) dzhy2
1zzyzyI2
0 02
00∫
−⋅
+⋅+≅ ∆∆
Resolvendo a integral, obtém-se:
∆+∆+≅ 0
200 y
31y2y2hI
Como:
+−=∆−∆=∆
−=∆−=∆
0120102
121
010
2 yyyyyy
yyyyyy
tem-se:
[ ]210 yy4y3hI ++≅
Pode-se demonstrar que o erro de truncamento é dado, nesse caso, por:
( )ε)4(5
T f90hE −=
Primeira Regra de Simpson com Múltiplos Segmentos • O desenvolvimento é idêntico ao da regra do trapézio com
múltiplos segmentos.
• O intervalo de integração é dividido em n segmentos.
• Para cada dois segmentos é feita uma interpolação com
polinômio de Lagrange de segundo grau.
( ) ( ) ( ) ( )
+++≅ ∑∑
−
=
−
=n
2n
,...6,4,2if
1n
,...5,3,1ii0 xfxf2xf4xf
3hI
Ou:
[ ]n1n43210 yy4...y2y4y2y4y3hI +++++++≅ −
Erro de truncamento A expressão do erro de truncamento fica:
( ) ( )ξ)4(
4
5
t fn180abE −
−=
Observe que um número par de segmentos é necessário na implementação do método.
Segunda Regra de Simpson (Regra dos 3/8)
Nesse caso, o intervalo de integração é dividido em 03 (três) segmentos para efetuar a interpolação.
Logo, o polinômio interpolador é de terceiro grau. Considerando mais uma vez a fórmula de Gregory-Newton,
agora para p3(x), tem-se:
( ) ( )( )∫
−−⋅
+−⋅
++≅b
a 03
02
0o dxy!3
2z1zzy!2
1zzyzyI ∆∆∆
como:
232010
2121
2
02
12
03 ; ; yyy
yyy
yyyyyy −=∆
∆−∆=∆
∆−∆=∆∆−∆=∆ ,
chega-se facilmente a:
[ ]3210 yy3y3y8h3I +++≅
com: 3)ab(h −= Erro de truncamento O erro de truncamento é obtido através da integral:
( )( )( ) ( ) dzhf!4
3z2z1zzE3
0
5)4(
T ∫
−−−
= ε
Ou:
( )ε)4(5
T f80
h3E −= ab ≤≤ ε
Segunda Regra de Simpson com múltiplos segmentos
• O intervalo de integração é dividido em n subintervalos;
• Nesse caso n é múltiplo de 3.
• Após as integrações, obtém-se:
( )n1n2n6543210 yy3y3y2y3y3y2y3y3y8h3I ++++++++++= −−L
com: nabh −
=
Erro de truncamento A expressão do erro de truncamento fica:
( ) ( )ε−−=
)4(
4
5
t fn80abE , ba ≤ε≤
Ex.: Dada a função ( ) 5432 x400x900x675x200x252.0xf +−+−+= , determine numericamente a integral da função no intervalo [0, 0.8], utilizando o método do trapézio e a regra de Simpson. Compare os resultados obtidos com o valor exato:
Iexato=1.64053334 Regra do Trapézio
I = 0.17228, Et = 1.46773334 e %5.89% =ε (relativo a Et) Regra do Trapézio com Múltiplos Segmentos (n = 4), (h = 0.2)
I = 1.4848, Et = 0.15573 e %5.9% =ε Primeira Regra de Simpson (Regra de 1/3)
I = 1.36746667, Et = 0.273066 e %6.16% =ε Primeira Regra de Simpson com Múltiplos Segmentos (n = 4)
I = 1.62346667, Et = 0.0170667 e %04.1% =ε Segunda Regra de Simpson (Regra de 3/8)
I = 1.64507716, Et = -0.0045383 e %28.0% −=ε
Extrapolação de Richardson
É um método baseado na aplicação repetida das fórmulas de Newton-Cotes para integração numérica, com o objetivo de melhorar a precisão dos resultados obtidos. Regra dos Trapézios
Chamando de I1 o resultado obtido com a aplicação da regra dos trapézios, para n1 segmentos, o valor exato da integral pode ser dado por:
11 EII += ; onde: ( ) )(f
12ab
n1E
3
21
1 ε′′−−=
Aplicando a mesma regra para n2 segmentos, com n2 > n1, tem-se:
22 EII += ; onde: ( ) )(f
12ab
n1E
3
22
2 ε′′−−=
Combinando as equações acima, fica:
2211 EIEI +=+ ou:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22
21
22
2112
3
21
22
3
12 1211
12 nnnnIIfab
nnfabII
−−
=′′−⇒
−′′−
=− εε
Logo:
( )1221
22
21
2 IInn
nII −−
+= Aparentemente, o valor exato poderia então ser encontrado dessa forma.
É evidente que esse resultado só foi possível, devido a uma
aproximação adotada durante a dedução: f ”(ε) foi considerado com o mesmo valor para números de segmentos distintos.
Ex.:Calcular ( )∫=π
0dxxsenI pela regra dos trapézios para 2 n =
e 4 n = e, posteriormente, melhorar o resultado através da extrapolação de Richardson.
a) Para 2 segmentos: ( ) 571.1yy2y22I
2h 2101 =++=⇒=
ππ
i xi yi ci 0 0 0.00 1 1 2π 1.00 2 2 π 0.00 1
b) Para 4 segmentos: ∑= ii2 yc2hI ; ( ) 896.1828.4
24
4 2 ==⇒=ππ Ih
i xi yi ci 0 0 0.00 1 1 4π 0.707 2 2 2π 1.000 2 3 43π 0.707 2 4 π 0.000 1
c) Pela equação de Richardson:
( ) 004.2571.1896.124
2896.1I 22
2
=−−
+=
d) Analiticamente, I = 2.000 Regras de Simpson
Uma vez que em ambas as regras de Simpson o erro de truncamento é inversamente proporcional a n4, tem-se, para ambas.
( )1241
42
41
2 IInn
nII −−
+=
É claro que I1 e I2 devem ser calculados pela mesma regra.
Integração Dupla
Deseja-se calcular ( )∫ ∫=b
a
d
cdxdyy,xfI .
A integral I pode ser escrita ainda na forma:
( ) dxdyyxfIb
a
d
c∫ ∫
= ,
Fazendo: ( )∫=
d
cdyy,xf)x(G
Obtém-se: ( )∫=
b
adxxGI
Pode-se utilizar qualquer regra de integração. A título de ilustração, mostra-se abaixo o desenvolvimento
através da regra do trapézio:
( ) ( ) ( )]bGaG[2h
dxxGI 1b
a+≅= ∫ , abh1 −=
Para o cálculo de G(a) e G(b), tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]c,afd,af2
cddyy,afaGd
c+
−≅= ∫
e
( ) ( ) ( ) ( )[ ]c,bfd,bf2
cddyy,bfbGd
c+
−≅= ∫
Quadratura Gaussiana
Os métodos de integração estudados anteriormente baseavam-se no conhecimento de pontos igualmente espaçados, i. e., no conhecimento prévio dos pontos utilizados na fórmula de integração da função. Isso pode implicar em desvantagens, como mostra o exemplo a seguir.
Considere, por exemplo, a integração pela regra do trapézio, como mostra a figura abaixo:
( ) ( ) ( )2
bfafabI +⋅−≅ (*)
Agora, suponha que a mesma regra de integração seja aplicada, após o deslocamento do segmento de reta AB para cima, de tal forma que os erros positivos passem a ser compensados por erros negativos, como mostra a figura abaixo.
Nesse caso, a integral poderia ser obtida de forma exata, desde que x1 e x2 fossem escolhidos adequadamente.
Método dos coeficientes indeterminados
A fim de ilustrar esse método, que será usado para a quadratura gaussiana, escreve-se a equação (*) na forma geral:
( ) ( )bfcafcI 21 +≅ (**)
com c1, c2 constantes a determinar.
A partir daí, exige-se que a regra do trapézio forneça um valor exato, quando a função a integrar é uma constante ou uma reta, p. ex., para y = 1 e y = x. Assim:
( ) ( ) abdx1bfcafc2)ab(
2)ab(1211 −==+ ∫−
−−
( ) ( ) ( ) ( )( )abba21ab
21dxxbfcafc 22b
a2221 −+=−==+ ∫
Considerando que:
f1(a) = f1(b) = 1 e ( )( )
==
bbfaaf
2
2 , respectivamente, obtém-se:
( )( )baba21bcac 21 +−+=+
abcc 21 −=+ ( )abbbcbc 21 −−=−−
( ) ( ) ( )[ ]bab21b2a
21cba 1 −−⋅
−⋅+=−
( )2
abba21bc1
−=+−=
2ab
2ababc2
−=
−−−=
que, substituindo em (**) reproduz a fórmula da regra do trapézio:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]bfaf2
abbf2
abaf2
abI +−
=−
+−
=
Quadratura de Gauss - Fórmula para 2 Pontos
Seja ( )∫=b
adxxfI a calcular.
A fim de obter a fórmula de Gauss para integração numérica, deve-se inicialmente realizar uma mudança de variável, tal que o intervalo de integração muda para [-1, 1]:
( )( ) 22
2
21
1 abzabxab
ba
ba
zx ++
−=⇒
−=
+=
⇒
+=+−=
⇒+=α
β
βαβα
βα
daí:
( )
+
+−
=22
abzabfxf ; dz2
abdx −=
Logo: ( ) ( )∫∫ −
=1
1
b
adzzFdxxf
onde:
( )
+
+−−
=222
abzabfabzF
A fórmula de integração gaussiana se reporta à expressão geral de interpolação, para aproximar o resultado da integral acima:
( ) ( )∑∫−
=−
==1n
0iii
1
1zFAdzzFI
onde: F → Função de base n → nº de pontos Ai → Coeficientes ou pesos, a determinar zi → Raízes, a determinar
Uma forma de obter fórmulas Gaussianas é procurar fazer com que sejam exatas ao se usar funções de base 1, z, z2, ..., z2n-1, o que resulta em 2n condições determinação dos zi e Ai.
Ex.1: Determinar os coeficientes e as raízes da fórmula de integração de Gauss, para dois pontos, utilizando como funções de base F(z) = zk, k = 0, 1, 2, 3
Solução: ( ) ( )1100
1
1
k zFAzFAdzz +=∫−
Então: ( ) ( )1100
1
1
0 zFAz(FA2dzz0k +==⇒= ∫−
10 AA2 +=
( ) ( )1100
1
1
1 zFAzFAdzz1k +=⇒= ∫− 111
100 zAzA0 +=
( ) ( )1100
1
1
2 zFAzFAdzz2k +=⇒= ∫− 211
200 zAzA32 +=
( ) ( )1100
1
1
3 zFAzFAdzz3k +=⇒= ∫− 311
300 zAzA0 +=
Resolvendo o sistema de 4 equações, onde as incógnitas são:
A0, A1, Z0, e Z1m tem-se:
31
33ZZ
1AA
10
10
==−=
==
Substituindo esses valores na fórmula geral, fica:
( ) ( )31F31FIG +−=
que é a fórmula de Gauss para dois pontos.
Ex.2: Calcular, através de quadratura Gaussiana para dois pontos:
dxeIx
222
2−
−∫=
Solução:
( ) ( )
+
−=+=
31
31
1100 FFZFAZFAIG
( )
+
+−
+−
=2
abZ2
ab2
abZF
b=2 , a=-2 , x=2Z
( ) ( ) 22222 ZeZfZF −==
3
23
22
31 ; 2
31 −−
=
=
− eFeF
0537,2e4I 32
G ==−
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA Introdução
Fazendo uso das propriedades de linearidade do operador ,∆ é possível expressar as diferenças finitas de uma função
)(xfy = em termos de suas derivadas e vice-versa. Fazendo uso da série de Taylor, podemos escrever:
)(e
)(!3!2
1
)('''!3
)("!2
)(')()(
33
22
32
xy
xyDhDhhD
xyhxyhxhyxyhxy
hD=
++++=
++++=+
L
L
ou seja: i
hDii
hDi yyyy −
−+ == e ;e 11
Logo, o operador ∆ pode ser escrito como:
( )
i
i
ihD
ihD
iiiiii
hDyDhDhDh
yDhDhhD
yyyyyyyy
−+−=
++++−=
−=−=−=∆−∆=∆ −−−−
L
L
33
22
33
22
1100
!4!3!21
!3!211
e1e
Portanto, simbolicamente:
( )( )
( )
−+−=−=∆
−+−=+−=−=∆
−=∆
−
−−−
−
M
L
L
55443333
443322222
45
23e1
127ee21e1
e1
DhDhDh
DhDhDh
hD
hDhDhD
hD
Diferenciação por Diferenças Finitas Retroativas O termo “retroativas” deve-se ao fato de que as diferenças finitas para o i-éssimo ponto são definidas tomando-se valores para este ponto e seu antecessor, ou seja:
1100
−− −=∆−∆=∆ iiiii yyyyy Equações que expressam as diferenças finitas em termos das derivadas de uma função )(xfy = foram determinadas. A partir destas, podem ser obtidas equações que expressam as derivadas de uma função em termos das diferenças finitas.
( ) ∆−=⇒−=∆ −− 1ee1 hDhD
daí:
( ) ( )
+
∆+
∆+
∆+∆−=∆−=− L
4321lneln
432hD
logo:
L+∆
+∆
+∆
+∆=432
432
hD
Sendo assim, temos:
+−+∆
=
+−+∆
=
−+−+∆
=
M
L
L
L
5243
33
4232
22
43
32
2
45
23
127
2462
DhhDh
D
DhhDh
D
DhDhDhh
D
Retendo-se apenas o primeiro termo das derivadas:
( )
( )
( )
+−+−=+∆
=
++−=+∆
=
+−=+∆
=
−−−
−−
−
M
)(331)(
)(21)(
)(1)(
32133
33
2122
22
1
hOyyyyh
hOh
yyD
hOyyyh
hOh
yyD
hOyyh
hOhyDy
iiiii
i
iiii
i
iii
i
obtém-se aproximações para as derivadas de uma função
)(xfy = , no ponto i, com erro da ordem de h.
Retendo-se os dois primeiros termos das derivadas, obtém-
se aproximações com erro da ordem de h2.
( )
( )
( )
++−+−=
+−+−=
++−=
−−−−
−−−
−−
M
)(314241851
)(4521
)(4321
243213
3
23212
2
221
hOyyyyyh
yD
hOyyyyh
yD
hOyyyh
Dy
iiiiii
iiiii
iiii
Pode-se então, pela retenção de m termos, obter-se
expressões para as derivadas com erros da ordem de hm.
Diferenciação por Diferenças Finitas Progressivas Seguindo procedimento análogo ao empregado para a diferenciação por diferenças finitas retroativas:
Retendo-se apenas o primeiro termo das derivadas, obtém-se aproximações para as derivadas de uma função )(xfy = , no ponto i, com erro da ordem de h:
( )
( )
( )
++−+−=+∆
=
++−=+∆
=
++−=+∆
=
+++
++
+
M
)(331)(
)(21)(
)(1)(
32133
33
2122
22
1
hOyyyyh
hOh
yyD
hOyyyh
hOh
yyD
hOyyh
hOhyDy
iiiii
i
iiii
i
iii
i
Retendo-se os dois primeiros termos das derivadas, obtém-
se aproximações com erro da ordem de h2.
( )
( )
( )
+−+−+−=
+−+−=
+−+−=
−+++
+++
++
M
)(314241851
)(4521
)(4321
243213
3
23212
2
221
hOyyyyyh
yD
hOyyyyh
yD
hOyyyh
Dy
iiiiii
iiiii
iiii
Diferenciação por Diferenças Finitas Centrais Seguindo, novamente, procedimento análogo ao empregado para a diferenciação por diferenças finitas retroativas, obtém-se:
( )
( )
( )
+−+−=
++−=
+−=
−−++
−+
−+
M
)(2221
)(21
)(21
221123
3
2112
2
211
hOyyyyh
yD
hOyyyh
yD
hOyyh
Dy
iiiii
iiii
iii
e
( )
( )
( )
++−+−+−=
+−+−+−=
++−+−=
−−−+++
−−++
−−++
M
)(81313881
)(16301612
1
)(8812
1
43211233
3
421122
2
42112
hOyyyyyyh
yD
hOyyyyyh
yD
hOyyyyh
Dy
iiiiiii
iiiiii
iiiii
OBS.: Sempre que possível, usam-se, para
aproximar derivadas, fórmulas em
função das diferenças finitas centrais,
tendo em vista que elas são mais precisas.
As mais simples já são de O(h2).
Ex.2: Dada a tabela abaixo, aproxime::
i 0 1 2 3 4 xi 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 yi 10,8894 12,7032 14,7781 17,1490 19,8550
a) f ´ (2,0), usando diferenças finitas retroativas, com erro da ordem de h2. Solução:
( )
( )
22,0545)0,2´(
8894,107032,1247781,1431,02
1)0,2´(
)(4321 2
21
≈
⇒+×−××
≈
⇒++−= −−
f
f
hOyyyh
Dy iiii
b) f ´ (2,0), usando diferenças finitas progressivas, com erro da ordem de h2. Solução:
( )
( )
22,0335)0,2´(
8550,191490,1747781,1431,02
1)0,2´(
)(4321 2
21
≈
⇒−×+×−×
≈
⇒+−+−= ++
f
f
hOyyyh
Dy iiii
c) f ´ (2,0), usando diferenças finitas centrais, com erro da ordem de h2. Solução:
( )
( )
22,2290)0,2´(
1490,177032,121,02
1)0,2´(
)(21 2
11
≈
⇒−×
≈
⇒+−= −+
f
f
hOyyh
Dy iii
d) Sabendo que:
( ) xx xxfDyxxfy e1)´(e)( +==⇔== ; determine o erro (O(h2)) em cada caso: Solução: Valor exato: ( ) 22,1672)0,2´(e12)0,2´( 2 =⇒+= ff Diferenças finitas retroativas:
0,1127)(22,05451672,22)(
)(22,0545)0,2´(
2
2
2
=
⇒−=
⇒+=
hOhO
hOf
Diferenças finitas progressivas:
0,1337)(22,03351672,22)(
)(22,0335)0,2´(
2
2
2
=
⇒−=
⇒+=
hOhO
hOf
Diferenças finitas centrais:
-0,0618)(22,22901672,22)(
)(22,2290)0,2´(
2
2
2
=
⇒−=
⇒+=
hOhO
hOf
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