View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA
RENAN VIEIRA DE CARVALHO
ANÁLISE DE ESTABILIDADE DO PROCESSO CONTROLADO DE
AQUECIMENTO DE UM LÍQUIDO EM UM TANQUE COM AGITAÇÃO: ESTUDO
DE CASO
Declaro que esta monografia foi revisada e encontra-se apta para avaliação
e apresentação perante a banca avaliadora.
DATA:__/ __/ 2014
__________________________
ASSINATURA DO ORIENTADOR
Lorena
2014
RENAN VIEIRA DE CARVALHO
ANÁLISE DE ESTABILIDADE DO PROCESSO CONTROLADO DE
AQUECIMENTO DE UM LíQUIDO EM UM TANQUE COM AGITAÇÃO: ESTUDO
DE CASO
Monografia apresentada à Escola de
Engenharia de Lorena da Universidade de São Paulo como requisito para obtenção do título de Engenheiro Químico. Orientador: Prof. Dr. Luiz Carlos de Queiroz
Lorena 2014
AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIOCONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA AFONTE
Ficha catalográfica elaborada pelo Sistema Automatizadoda Escola de Engenharia de Lorena,
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
Carvalho, Renan Vieira de Análise de estabilidade do processo deaquecimento de um líquido em um tanque com agitação:Estudo de caso / Renan Vieira de Carvalho;orientador Luiz Carlos de Queiroz. - Lorena, 2014. 46 p.
Monografia apresentada como requisito parcialpara a conclusão de Graduação do Curso de EngenhariaQuímica - Escola de Engenharia de Lorena daUniversidade de São Paulo. 2014Orientador: Luiz Carlos de Queiroz
1. Controle de processos químicos. 2. Modelagem esimulação de processos químicos. I. Título. II.Queiroz, Luiz Carlos de, orient.
Aos meus pais, Margarida e Rubens, por
tornarem possível a caminhada até este
momento e à minha namorada, Marília,
pelo amor, incentivo e por ser a razão dos
meus esforços.
AGRADECIMENTOS
Ao professor doutor Luiz Carlos de Queiroz pela orientação, paciência e
conhecimentos transmitidos durante toda a jornada.
Aos professores Domingos Savio Giordani e Marcos Villela Barcza por
mostrarem a importância do trabalho de conclusão de curso durante as aulas
ministradas nos últimos semestres.
À Escola de Engenharia de Lorena por seu acervo bibliográfico.
A todos os professores e colegas que me transmitiram seus conhecimentos
durante todo o período da graduação.
“O fracasso é a oportunidade de se
começar de novo, com inteligência.”
Henry Ford
RESUMO
CARVALHO, Renan Vieira de. Análise de estabilidade do processo controlado
de aquecimento de um líquido em um tanque com agitação: estudo de caso.
2014. 46 f. Monografia de conclusão de curso – Escola de Engenharia de Lorena,
Universidade de São Paulo, Lorena, 2014.
A presente monografia apresenta o estudo de um caso proposto na
literatura, no qual é apresentado um tanque de aquecimento com agitação,
alimentado com uma matéria-prima líquida que deve ser aquecida. O
aquecimento é obtido através do escoamento de vapor d’água pela serpentina
instalada no interior do tanque. O sistema de controle proposto para o processo é
o de realimentação com um controlador proporcional-integral-derivativo e tem
como variável controlada a temperatura na saída do tanque. Após medir a
temperatura, o controlador a compara com seu valor de set point e decide qual
ação deverá ser tomada, se a válvula deve ser aberta para injetar mais vapor e
aumentar a temperatura ou se ela deve diminuir a vazão de vapor. Foi estudado e
simulado o comportamento dinâmico do processo controlado, através dos
recursos do software MATLAB. Foram gerados gráficos de resposta do processo
com o software mencionado com o objetivo de analisar se o processo é estável ou
instável diante de ajustes do ganho proporcional de controle. Para o caso
proposto as análises mostraram que o sistema é estável dentro de um
determinado intervalo de valores de ganho proporcional compreendido entre 0
(zero) e desconsiderando os limites.
Palavras-chave: Tanque de aquecimento com agitação. MATLAB. Estabilidade.
ABSTRACT
CARVALHO, Renan Vieira de. Analysis of the Stability of the Controlled
Process of a Stirred-tank Heater System: a Case-study. 2014. 46 f. Monografia
de conclusão de curso – Escola de Engenharia de Lorena, Universidade de São
Paulo, Lorena, 2014.
This monograph aims at studying a case found in literature in which a
stirred-tank heater is fed with a liquid that is to be heated. The heating process is
made by means of fuelling a coil inside the tank with steam. The control system
proposed herein is based on a feedback proportional-integral-derivative controller
and its measured output variable is the feedstream temperature. After measuring
the temperature, the controller compares it against the set point, and decides
which action should be taken: if the valve is to be open in order to let more steam
in and raise the temperature, or if it has to reduce the steam flow. This study will
analyse and simulate the dynamic behaviour of a controlled process using
MATLAB. Graphs will be generated in response to the results produced by
aforementioned software with a view to analysing the stability of the process when
the control proportional gain is changed. In this proposed case, the analysis
showed that the system is stable within a certain range of values of proportional
gain from zero to excluding the limits.
Key words: Stirred-tank heater. MATLAB. Stability.
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Resposta de nível de líquido .............................................................. 17
Figura 2.2 - Resposta de nível de líquido sob controladores P e PI...................... 19
Figura 2.3 - O plano s mostrando a região estável (à esquerda) e instável (à
direita) ................................................................................................................... 22
Figura 3.1 - Tanque de aquecimento com agitação .............................................. 25
Figura 3.2 - Diagrama de blocos ........................................................................... 29
Figura 4.1 - Valores do ganho proporcional imagem 1 ......................................... 33
Figura 4.2 - Valores do ganho proporcional imagem 2 ......................................... 33
Figura 4.3 - Valores do ganho proporcional imagem 3 ......................................... 34
Figura 4.4 - Valores do ganho proporcional imagem 4 ......................................... 34
Figura 4.5 - Valores do ganho proporcional imagem 5 ......................................... 35
Figura 4.6 - Arranjo de Routh quando o ganho proporcional é igual a -1 .............. 36
Figura 4.7 - Arranjo de Routh quando o ganho proporcional é igual a 2 ............... 37
Figura 4.8 - Arranjo de Routh quando o ganho proporcional é igual a 5 ............... 38
Figura 4.9 - Gráfico de resposta ao degrau quando o ganho proporcional é igual a
-1 ........................................................................................................................... 39
Figura 4.10 - Gráfico de resposta ao impulso quando o ganho proporcional é igual
a -1 ........................................................................................................................ 40
Figura 4.11 - Gráfico de resposta ao degrau quando o ganho proporcional é igual
a 2 ......................................................................................................................... 41
Figura 4.12 - Gráfico de resposta ao impulso quando o ganho proporcional é igual
a 2 ......................................................................................................................... 42
Figura 4.13 - Gráfico de resposta ao degrau quando o ganho proporcional é igual
a 5 ......................................................................................................................... 43
Figura 4.14 - Gráfico de resposta ao impulso quando o ganho proporcional é igual
a 5 ......................................................................................................................... 44
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Arranjo de Routh .................................................................................. 31
LISTA DE SIGLAS
MATLAB Matrix Laboratory
P Proporcional
PI Proporcional-Integral
PID Proporcional-Integral-Derivativo
LISTA DE SÍMBOLOS
calor específico
erro
ganho proporcional do controlador
ganho em regime estabelecido
sinal de saída quando em estado estacionário
sinal de saída
fluxo térmico
temperatura de referência
temperatura na entrada do tanque
variável desvio de entrada
variável desvio de saída
volume de fluido no tanque
vazão volumétrica
densidade do fluido
tempo derivativo
tempo integral
constante de tempo da válvula
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 12
1.1 OBJETIVO GERAL ...................................................................................... 13
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................ 13
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.............................................................................. 14
2.1 CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ................................................ 14
2.2 CONTROLADORES .................................................................................... 16
2.2.1 CONTROLE PROPORCIONAL (P)....................................................... 16
2.2.2 CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI) .................................. 18
2.2.3 CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID)......... 19
2.3 ESTABILIDADE ........................................................................................... 20
2.3.1 DEFINIÇÃO DE ESTABILIDADE ......................................................... 20
2.3.2 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ............................................................ 20
2.3.3 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH ........................................ 23
3 METODOLOGIA ................................................................................................ 25
3.1 PROCESSO PROPOSTO ........................................................................... 25
3.2 MODELAGEM.............................................................................................. 26
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO ......................................................................... 31
4.1 SIMULAÇÃO ................................................................................................ 32
5 CONCLUSÃO .................................................................................................... 45
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 46
12
1 INTRODUÇÃO
Hoje em dia é praticamente inviável uma planta química operar sem que
haja um controle do processo. Comumente o controle de processo é feito de
forma automática e visa quase sempre garantir a segurança dos funcionários da
indústria, a segurança das comunidades do entorno da fábrica, assegurar que não
haja perda de matéria-prima e tornar o processo mais eficiente. Outra forma de
controle de processo é a forma manual, na qual um operador fica responsável em
realizar a leitura da medida da variável controlada, comparar essa medida com o
valor de referência, tomar a decisão de qual ação será tomada e então, se
necessário, acionar o elemento final de controle (OGATA, 2010). Porém, a forma
manual apresenta uma variável a mais a ser considerada, que é o próprio
operador. As condições psicológicas do operador podem variar muito de um dia
para outro e isso pode ter uma grande influência no comportamento dele em
relação ao controle do processo. Em um dia que o operador não esteja bem
psicologicamente, erros podem ser inseridas no processo, o que pode colocar a
segurança de outros funcionários em risco, assim como a segurança das
comunidades do entorno da fábrica.
O uso de softwares computacionais para simular a dinâmica de um
processo é outra ferramenta de extrema importância nos dias atuais, pois através
do uso desse recurso é possível aumentar o desempenho de processos químicos,
petroquímicos e biotecnológicos. O aumento de desempenho, principalmente
nesses tipos de processos, é um fator importante e costuma ser o objetivo de toda
indústria, porém, nos dias atuais em que se tem um apelo muito grande por
produtos sustentáveis e processos que não agridam, ou que não agridam tanto, o
ambiente, o uso desse tipo de ferramenta tem crescido em importância, pois ela
permite que os processos economizem matéria-prima e sejam mais eficientes, ou
seja, não gerem tantos resíduos.
É possível também fazer uso de softwares computacionais para se estudar
o comportamento de um controlador antes desse ser de fato inserido em um
processo a fim de saber se esse controlador é capaz de agir conforme o projeto.
13
Geralmente, espera-se que um controlador seja capaz de responder de
forma satisfatória à introdução de um erro no sistema e que ele consiga levar o
valor da variável afetada ao seu valor de referência (ou offset). Quando essa
resposta é atingida podemos dizer que o controlador cumpriu sua função, agiu
conforme o projeto, que ele poderá ser inserido no processo e o sistema será
estável.
1.1 OBJETIVO GERAL
Analisado a importância de se aplicar o controle automático em processos
e para contribuir nesse sentido propõe-se a análise da estabilidade do processo
controlado de aquecimento de um líquido com agitação, caso que foi retirado da
literatura.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
O principal objetivo dessa monografia será analisar a estabilidade de um
processo controlado de aquecimento de um líquido em um tanque com agitação,
bem como o seu comportamento dinâmico através de um modelo matemático e
um software computacional, como o MATLAB. Pretende-se analisar se o processo
é estável ou instável para determinados valores de ganho proporcional. Os
recursos de um software computacional, por exemplo, o MATLAB, serão
utilizados para simular o comportamento dinâmico do processo controlado de
aquecimento em um tanque com agitação fazendo-se uso dos gráficos gerados
para uma avaliação mais aprofundada dos resultados. Serão determinados os
valores críticos do ganho proporcional, dessa forma, será possível investigar os
valores que o controlador deve apresentar para que o processo seja estável e
tenha um controle razoável.
14
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
O primeiro uso significativo de um controle automático, nesse caso não
para o controle de um processo químico, está ligado a James Watt e uma
máquina a vapor, no século XVIII. À medida que os sistemas foram se
modernizando eles foram se tornando, também, mais complexos. Atualmente faz-
se uso de ferramentas computacionais para lidar-se com a análise de sistemas de
controle complexos relacionados a diversas operações industriais. Portanto, nos
dias de hoje, é de fundamental importância que a maioria dos engenheiros esteja
habituada com as práticas do controle automático e que as saibam aplicar, pois
estas são essenciais em qualquer campo da engenharia (OGATA, 2010).
No campo de controle de processos, alguns temos são comumente
empregados (SMITH; CORRIPIO, 1997):
Variável Controlada: É a variável que se busca manter no
valor desejado;
Set Point: É o valor fixado que é pretendido para a variável
controlada;
Variável manipulada: É a variável usada para manter a
variável controlada no seu set point;
Perturbação: É a variável que causa o desvio da variável
controlada de seu set point.
Todo sistema de controle conta com três operações básicas: medição,
decisão e ação. Uma vez que a variável controlada foi medida, o valor obtido é
comparado com o set point. Com isso um valor chamado erro é gerado, o que
dará fundamento a decisão que será tomada pelo controlador. Tendo a decisão
sido tomada, o elemento final de controle irá executar uma ação para corrigir o
valor da variável manipulada (SMITH; CORRIPIO, 1997).
Uma planta química é constituída por diversas unidades processadoras,
tais como trocadores de calor, colunas de destilação, evaporadores, etc.,
15
interligadas com a finalidade de converter matérias-primas em produtos com o
maior rendimento possível (STEPHANOPOULOS, 1984).
A operação de uma planta química deve ser capaz de atender algumas
exigências conhecidas por objetivos operacionais assim como o sistema de
controle deve atingir seus próprios objetivos. O que garante que esses objetivos
sejam alcançados é o monitoramento contínuo da operação da planta química e
de possíveis perturbações. Os principais objetivos de controle de um processo
químico são (KWONG, 2002a):
Eliminar perturbações externas;
Garantir a estabilidade do processo;
Otimizar o desempenho do processo.
Ou ainda podemos ter uma combinação entre os objetivos.
Segundo Smith e Corripio (1997), os principais objetivos operacionais são:
Segurança: Aqui deve-se prevenir que operadores se
machuquem, que haja desperdícios, danos aos equipamentos do processo
e deve-se preocupar-se com o meio-ambiente e as possíveis emissões;
Qualidade: Deve-se garantir a qualidade do produto
reduzindo-se o custo de produção;
Econômico: Manter a produção a um custo mínimo.
16
2.2 CONTROLADORES
A ação do controlador ou mecanismo de controle resume-se a tomar o
valor de saída, comparar com o valor de set point, determinar o erro ou desvio e
tomar uma ação para que o desvio em relação ao valor de set point seja zerado
ou minimizado.
Segundo Ogata (2010), a maioria dos controladores pode ser classificada
de acordo com suas ações de controle, mas também podem ser classificados de
acordo com a espécie de energia empregada.
De acordo com as ações de controle:
Controladores proporcionais (P);
Controladores proporcional-integrais (PI);
Controladores proporcional-integral-derivativos (PID).
De acordo com a energia empregada na operação (OGATA, 2010):
Controladores pneumáticos;
Controladores hidráulicos;
Controladores eletrônicos.
O presente trabalho se limitará a apresentar com mais detalhes apenas os
controladores classificados de acordo com as ações de controle. As equações
características dos controladores são apresentadas com pequenas diferenças de
um autor para o outro. Nesse trabalho tais equações serão apresentadas como
em Smith e Corripio (1997) como forma de simplificar a apresentação.
2.2.1 CONTROLE PROPORCIONAL (P)
O controle proporcional é, provavelmente, um dos controles mais simples
encontrados na literatura. Ele possui uma ação na qual o sinal de saída é
proporcional ao erro e é representada pela equação característica (2.1):
(2.1)
17
Onde:
Sinal de saída;
Ganho proporcional do controlador;
Set point – variável controlada;
Sinal de saída quando em estado estacionário, ou seja,
O controle proporcional é considerado um tipo de controle simples, pois
possui apenas um parâmetro para ser sintonizado (ganho proporcional do
controlador, ), o que pode ser considerado uma vantagem desse tipo de
controlador. Porém, isso também trás uma grande desvantagem que é operar
sempre com um erro estacionário, também conhecido por offset (KWONG,
2002b).
Na figura 2.1 podemos observar que quando o sistema atinge seu estado
estacionário, ele opera com um erro em relação ao set point, esse erro é o
chamado offset ou erro estacionário.
Aproveitando a figura 2.1 podemos observar que quanto maior é o valor de
menor é o erro estacionário, porém o processo se torna mais oscilatório, ou
seja, mais instável. Como consequência disso pode-se observar que há um valor
máximo de no qual o sistema é estável e também podemos concluir que o erro
estacionário não pode ser completamente eliminado (SMITH; CORRIPIO, 1997).
Escrevendo a equação (2.1) em variável desvio nós chegamos a seguinte
equação:
FONTE: SMITH; CORRIPIO, 1997, p. 229
Figura 2.1 - Resposta de nível de líquido
18
(2.2)
Usando a Transformada de Laplace, obteremos a equação (2.3) que nada
mais é que a função de transferência:
(2.3)
2.2.2 CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI)
Esse é o tipo de controle que consegue remover o erro estacionário devido
à sua ação integral. Isso é importante, pois muitos processos não podem operar
com offset. A equação característica desse tipo de controle é descrito pela
equação (2.4):
(2.4)
Onde: tempo integral
Aqui ambos os parâmetros, e , precisam ser ajustados para se obter
um controle satisfatório.
Para se obter a função de transferência do controlador seguimos os
mesmos passos mostrados para o controlador proporcional e chegamos na
função (2.5):
19
(2.5)
2.2.3 CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID)
Esse tipo de controle combina a ação de um controlador proporcional, com
a ação de um controlador integral e a ação de um controlador derivativo (OGATA,
2010). Ele possui um diferencial em relação aos outros dois apresentados que é a
capacidade de antecipar a variação linear no erro, isso é devido ao efeito da ação
derivativa (KWONG, 2002b). A equação característica desse controlador é
descrita pela equação (2.6):
(2.6)
onde: tempo derivativo
E a função de transferência é dada pela função (2.7):
(2.7)
Para se obter um controle satisfatório os três parâmetros, , e ,
devem ser ajustados.
FONTE: SMITH; CORRIPIO, 1997, p.233
Figura 2.2 - Resposta de nível de líquido sob controladores P e PI
20
2.3 ESTABILIDADE
2.3.1 DEFINIÇÃO DE ESTABILIDADE
Em um projeto de sistema de controle devemos ser capazes de prever o
comportamento dinâmico do sistema, principalmente a estabilidade absoluta do
mesmo. Isso quer dizer que devemos ser capazes de prever se o sistema é
instável ou estável (OGATA, 2010).
Um sistema pode ser considerado instável quando, após sofrer uma
perturbação, seu sinal de saída é deslocado do set point e ele não é capaz de
retornar ao estado estacionário no set point (STEPHANOPOULOS, 1984).
Ou ainda segundo Smith e Corripio (1997), um sistema é estável se a saída
resposta permanecer limitada para a entrada limitada. O sistema que exibe uma
resposta ilimitada para uma entrada limitada será considerado instável.
2.3.2 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE
Nesse item, para se fazer mais simples, será utilizado alguns exemplos de
equação características e de desenvolvimentos matemáticos encontrados em
Kwong (2002b) e em Smith e Corripio (1997).
Considerando a seguinte equação genérica (2.8) dada em Kwong (2002b):
(2.8)
Ou
(2.9)
21
Para sermos capazes de determinar a estabilidade da resposta do sistema,
teremos que determinar os polos das funções de transferência e .
Isso é possível através da resolução da equação característica (2.10):
(2.10)
Após resolver a equação (2.10), obtêm-se as raízes da equação
característica que poderão ser descritas por .
(2.11)
Em seguida substituímos o denominador da equação (2.8) e chegamos na
equação (2.12):
(2.12)
Nesse ponto da discussão já podemos dizer que a estabilidade de um
sistema tem como um primeiro critério que todos os polos de sua equação
característica tenham a parte real negativa para que ele seja estável, portanto, se
as raízes estiverem à direita do eixo imaginário o sistema é instável.
Para entender o que esse critério quer dizer, vamos continuar a trabalhar
com a equação (2.12), expandindo-a em frações parciais:
(2.13)
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace nos termos gerados
através da expansão em frações parciais, obtemos a função (2.14):
(2.14)
A partir daqui ficará mais simples entender o critério acima mencionado se
analisarmos as seguintes condições mostradas em Smith e Corripio (1997):
22
Analisando-se essas condições expostas é possível concluir que, as raízes
devem ser negativas para que os termos correspondentes à resposta tendam a
zero. Havendo raízes positivas a resposta será ilimitada, ou em outras palavras, o
sistema será instável.
Para a questão de as raízes precisarem estar à esquerda do eixo
imaginário para o sistema ser estável é fácil entendermos se definirmos um
gráfico bidimensional no qual o eixo horizontal corresponde à parte real das raízes
e o eixo vertical à parte imaginária das raízes. Toda raiz à esquerda do eixo
imaginário, ou seja, do eixo vertical, faz do sistema estável.
Figura 2.3 - O plano s mostrando a região estável (à esquerda) e instável (à direita)
FONTE: SMITH; CORRIPIO, 1997, p. 276
23
2.3.3 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
No item 2.3.2 foi visto que o sistema de controle é considerado estável
quando todos os polos estiverem no semiplano esquerdo do plano s. Existe um
critério simples que nos possibilita determinar o número de raízes do polinômio
característico situadas no semiplano direito do plano s. Esse critério é conhecido
como critério de estabilidade de Routh e ele possui a vantagem de determinar as
raízes do polinômio característico sem precisar fatorar esse polinômio (OGATA,
2010).
Ainda segundo Ogata (2010) o critério de Routh deve seguir um
procedimento, o primeiro passo desse procedimento é escrever o polinômio em s
(2.15):
(2.15)
Devemos supor que o coeficiente . O passo seguinte do
procedimento é o chamado primeiro teste do critério de estabilidade de Routh e
nele os coeficientes
deverão ser todos positivos. Se algum deles for negativo à presença de pelo
menos um coeficiente positivo, o sistema de controle será instável. Sendo todos
os coeficientes positivos, podemos proceder ao segundo teste, no qual
desenhamos o arranjo de Routh:
24
No arranjo de Routh os coeficientes do polinômio são organizados em
linhas e colunas. Os coeficientes , etc., são calculados como segue:
Todos os elementos podem ser calculados seguindo o mesmo padrão de
multiplicação em cruz dos coeficientes, utilizando as linhas anteriores. Encontrado
todos os elementos do arranjo de Routh, podemos examinar os elementos da
primeira coluna e, através do critério de estabilidade de Routh, podemos concluir
que, se algum dos elementos for negativo, o sistema é instável e se todos os
elementos forem positivos e diferentes de zero o sistema é estável.
25
3 METODOLOGIA
3.1 PROCESSO PROPOSTO
O processo proposto para este projeto pode ser encontrado em
Constantinides e Mostoufi (1999). Nele foi dado um tanque com agitação, o qual é
carregado com matéria-prima líquida que precisa ser aquecida. Para que isso seja
possível o tanque possui um sistema de aquecimento a vapor d’água que circula
por uma serpentina instalada no interior do tanque. A quantidade de vapor que
circula na serpentina é determinada por um controlador de temperatura que
recebe sinal do transmissor de temperatura que possui o valor da variável
controlada na saída do tanque, que no caso é a temperatura do produto, como
mostra a figura 3.1:
Figura 3.1 - Tanque de aquecimento com agitação
FONTE: CONSTANTINIDES; MOSTOUFI, 1999, p. 57
O objetivo do processo controlado é manter o valor da variável saída o
mais próximo possível do set point, ou seja, com o menor valor de offset. Por isso
26
a necessidade de se estudar a estabilidade do processo em diferentes valores de
ganho proporcional.
3.2 MODELAGEM
O processo estudado foi dividido nos seguintes componentes, como
mostrado em Coughanowr e Koppel (1978):
Processo
Elemento de medida
Controlador
Elemento final de controle
Através do problema proposto e de sua função de transferência, podemos
observar que todos componentes são sistemas de primeira ordem.
Ainda segundo Coughanowr e Koppel (1978), podemos seguir um
procedimento para obtermos a função de transferência do processo, esse
procedimento foi dado da seguinte maneira:
Primeiramente foi feito um balanço de energia do tanque, em regime
transiente, dessa forma chegamos à equação (3.1):
(3.1)
Onde:
fluxo térmico
vazão volumétrica
temperatura na entrada do tanque
temperatura de referência
densidade do fluido
27
volume de fluido no tanque
calor específico
Em seguida, escrevemos a equação (3.1) em regime estabelecido, ou seja,
:
(3.2)
Onde é usado pra indicar que o regime é estabelecido.
Após isso, subtraímos as equações (3.1) e (3.2) e aplicamos as seguintes
variáveis desvio:
Tendo feito o passo anterior, chegamos à equação (3.3):
(3.3)
Aplicando-se a transformada de Laplace na equação (3.3), obtivemos:
(3.4)
Que pode ser escrito da seguinte forma:
(3.5)
Onde:
Quando só há variação da temperatura, a função de transferência fica
como mostrado em (3.6):
(3.6)
28
Se houver variação somente em Q(t), a função é representada pela
equação (3.7):
(3.7)
O próximo componente que foi estudado foi o elemento de medida, que no
caso em estudo, como já foi dito, é um sistema de primeira ordem.
Coughanowr e Koppel (1978) apresentam a função de transferência para
esse componente pela função (3.8):
(3.8)
Onde e são variáveis desvio e são as variáveis de entrada e saída
respectivamente.
O terceiro componente do sistema de controle é o controlador, no caso em
estudo, o controlador é do tipo proporcional-integral-derivativo (PID) e já teve a
sua função de transferência mostrada anteriormente nesse trabalho:
(3.9)
O quarto e último componente é o elemento final de controle. No caso
estudado o elemento final de controle é uma válvula de controle que possui uma
função de transferência de primeira ordem, essa função de transferência foi
mostrado por Coughanowr e Koppel (1978) pela função (3.10):
(3.10)
Onde:
ganho em regime estabelecido
constante de tempo da válvula
Uma vez que obtivemos as funções de transferência de todos os
componentes do nosso sistema de controle, tornou-se conveniente representá-lo
em um digrama de blocos. Esse tipo de diagrama torna mais fácil o entendimento
do processo e a visualização das interações entre os componentes do sistema de
controle e também torna mais fácil a demonstração da função de transferência do
29
sistema como um todo. A figura 3.2 mostra um diagrama de blocos de uma malha
de controle com realimentação:
Figura 3.2 - Diagrama de blocos
FONTE: KWONG, 2002b, p. 43
O diagrama de blocos representado na figura 3.2 é uma representação
muito similar, se não perfeita, do caso em estudo. Nele há o caminho direto que
compreende os blocos que estão entre o comparador e a variável controlada e a
linha de realimentação que é a região entre a variável controlada e o comparador
(KWONG, 2002b).
Esse diagrama de blocos vem acompanhado de uma equação (2.8) que
fornece a resposta do processo à malha fechada e essa equação foi mostrada em
KWONG (2002b):
(2.8)
A equação (2.8) que fornece a resposta do processo à malha fechada
apresenta duas partes, primeira delas está relacionada com a variação no set
point, já a segunda parte está relacionada à variação na carga (KWONG, 2002b).
Como no caso em estudo o problema de controle é do tipo regulador,
temos que:
30
Portanto, foi usada para modelar o caso em estudo a equação (3.11):
(3.11)
Em posse das funções de transferência dos componentes do sistema de
controle e da equação (3.11), foi possível modelar o caso em estudo. O primeiro
passo foi substituir todas as funções de transferência na equação (3.11):
(3.12)
Multiplicando o numerador e o denominador por obtivemos (3.13):
(3.13)
Fazendo :
(3.14)
(3.15)
E finalmente obtivemos a função de transferência do sistema de controle:
(3.16)
Esse modelo matemático havia sido dado pelo autor do caso em estudo,
além do modelo matemático, o autor propôs alguns dados para os parâmetros da
equação, são eles:
31
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO
Ao final do item 3.2 foram apresentados valores dados pelo autor do caso
em estudo. Substituindo os valores considerados no modelo matemático obteve-
se a seguinte função de transferência:
(4.1)
Tendo em mãos o modelo matemático do problema em estudo, foi possível
fazer uma análise da estabilidade aplicando-se o critério de estabilidade de Routh.
Dessa forma podemos obter os valores de ganho proporcional para os quais o
sistema é estável.
A fim de se obter tais valores, o seguinte arranjo de Routh foi montado:
Tabela 1 - Arranjo de Routh
Linha
FONTE: O próprio autor
Onde:
Fazendo-se a análise da primeira coluna do arranjo de Routh, obtivemos o
seguinte intervalo de valores para o ganho proporcional, nos quais o sistema é
estável:
Portanto, a fim de se fazer um estudo do comportamento dinâmico do
processo em estudo foram adotados valores abaixo do limite inferior, dentro do
intervalo e acima do limite superior.
32
4.1 SIMULAÇÃO
O modelo do processo proposto foi simulado com o auxílio do programa
Routh-Hurwitz Stability Criterion with GUI MATLAB V 3.3, criado por Amin Heidari
da Islamic Azad University de Mahshahr no Irã e compartilhado no sítio da The
MathWorks, Inc., através do software Matlab.
O programa supracitado, através do arranjo de Routh, é capaz de calcular
o número de raízes e mostrar-nos se o sistema é estável ou instável quando
informamos ao programa a equação característica. Este também possui uma
ferramenta que é capaz de informar-nos os limites superior e inferior do ganho
proporcional , além disso, com este programa foi possível plotar gráficos de
reposta ao degrau e resposta ao impulso.
Com a finalidade de se obter respostas para se analisar a estabilidade e o
comportamento dinâmico do processo, foram adotados três valores diferentes
para o ganho proporcional . Um valor abaixo do limite inferior do intervalo de
valores no qual torna o sistema estável, um valor dentro desse intervalo e, por
fim, um valor acima do limite superior desse intervalo.
O primeiro passo foi usar a ferramenta do programa Routh-Hurwitz Stability
Criterion with GUI MATLAB V 3.3 que nos permitiu encontrar o intervalo de
valores do ganho proporcional no qual o sistema é estável. A equação
característica foi informada ao programa, assim como foi arbitrado um intervalo de
varredura coerente com o que já havia sido estudado e um incremento para esse
intervalo de varredura. As figuras 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 e 4.5 mostram o resultado do
uso dessa ferramenta:
33
Figura 4.1 - Valores do ganho proporcional imagem 1
FONTE: O próprio autor
Figura 4.2 - Valores do ganho proporcional imagem 2
FONTE: O próprio autor
34
Figura 4.3 - Valores do ganho proporcional imagem 3
FONTE: O próprio autor
Figura 4.4 - Valores do ganho proporcional imagem 4
FONTE: O próprio autor
35
Figura 4.5 - Valores do ganho proporcional imagem 5
FONTE: O próprio autor
Os valores nas figuras 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 e 4.5 que estão na cor vermelha
são os valores que tornam o sistema instável, já os valores na cor azul formam o
intervalo de valores que tornam o sistema estável.
Os valores que foram adotados para o ganho proporcional , para a
análise do comportamento dinâmico do processo, foram (um negativo),
(dois) e (cinco).
Tendo adotado esses valores, substituímo-los na equação característica e
utilizamos o programa Routh-Hurwitz Stability Criterion with GUI MATLAB V 3.3
para montar o arranjo de Routh e demonstrarmos a estabilidade do sistema
nesses parâmetros.
36
Figura 4.6 - Arranjo de Routh quando o ganho proporcional é igual a -1
FONTE: O próprio autor
A figura 4.6 nos mostrou que o sistema é instável quando o ganho
proporcional é igual a -1 (um negativo). A mesma figura nos forneceu algumas
informações complementares como o número de polos a esquerda do eixo
imaginário (três) e o número de polos a direita do eixo imaginário (um).
37
Figura 4.7 - Arranjo de Routh quando o ganho proporcional é igual a 2
FONTE: O próprio autor
Analisou-se a figura 4.7 e observou-se que quando o sistema possui o
valor de ganho proporcional igual a 2 (dois) o sistema é estável, pois possui todos
os quatro polos a esquerda do eixo imaginário como foi mostrado na figura 4.7.
38
Figura 4.8 - Arranjo de Routh quando o ganho proporcional é igual a 5
FONTE: O próprio autor
A figura 4.8 mostrou que quando o sistema tem seu ganho proporcional
igual a 5 (cinco), ele apresenta dois polos a esquerda do eixo imaginário e dois
polos a direita desse mesmo eixo, tornando o sistema instável.
39
Após termos feito um estudo da estabilidade do sistema, encontrando o
intervalo de valores do ganho proporcional no qual o sistema é estável e
termos adotado três valores de para analisarmos através do arranjo de Routh,
vamos adotar esses mesmos valores para fazermos uma simulação a fim de
obtermos os gráficos de resposta ao degrau e ao impulso.
Os gráficos obtidos para o valor de igual a (um negativo), são os
representados nas figuras 4.9 e 4.10:
Figura 4.9 - Gráfico de resposta ao degrau quando o ganho proporcional é igual a -1
FONTE: O próprio autor
40
Figura 4.10 - Gráfico de resposta ao impulso quando o ganho proporcional é igual a -1
FONTE: O próprio autor
Analisando os gráficos das figuras 4.9 e 4.10 podemos observar que
ambos possuem um comportamento semelhante e nos mostram resultados que já
eram esperados através da análise do arranjo de Routh realizado anteriormente.
Ambos os gráficos nos mostram que para o ganho proporcional igual a (um
negativo), o sistema se torna instável no momento igual a aproximadamente
(seiscentos) segundos. Esse comportamento era esperado pois todo o estudo
feito anteriormente nos havia indicado que os gráficos retornariam respostas de
sistemas instáveis.
Para o valor de ganho proporcional igual a (dois), os gráficos
respostas obtidos foram os representados nas figuras 4.11 e 4.12:
41
Figura 4.11 - Gráfico de resposta ao degrau quando o ganho proporcional é igual a 2
FONTE: O próprio autor
42
Figura 4.12 - Gráfico de resposta ao impulso quando o ganho proporcional é igual a 2
FONTE: O próprio autor
Analisando os gráficos das figuras 4.11 e 4.12, podemos ver que
novamente ambos têm comportamentos semelhantes e em ambos fica clara a
ação do controlador do tipo PID. Além disso, podemos observar que a partir do
momento igual a aproximadamente (duzentos e oitenta) segundos o sistema
se torna estável como era de se esperar, pois a análise do arranjo de Routh
quando o valor de ganho proporcional é igual a dois havia nos indicado que o
sistema seria estável.
Para o valor de ganho proporcional igual a (cinco), os gráficos
respostas obtidos foram os mostrados nas figuras 4.13 e 4.14:
43
Figura 4.13 - Gráfico de resposta ao degrau quando o ganho proporcional é igual a 5
FONTE: O próprio autor
44
Figura 4.14 - Gráfico de resposta ao impulso quando o ganho proporcional é igual a 5
FONTE: O próprio autor
Mais uma vez obtivemos gráficos com comportamentos semelhantes
apesar de no gráfico de resposta ao degrau o sistema apresente instabilidade no
momento igual a aproximadamente (sete mil e cem) segundos e no gráfico
de resposta ao impulso esse momento se encontra em aproximadamente
(sete mil e trezentos) segundos. Embora tenha havido essa pequena diferença
entre os gráficos de resposta, o comportamento de o sistema se tornar instável já
era esperado como o arranjo de Routh, para o sistema regulado com o ganho
proporcional igual a (cinco), já havia mostrado.
45
5 CONCLUSÃO
A partir do estudo do caso proposto na literatura de um tanque com
agitação que recebe uma matéria-prima líquida que deve ser aquecida a um
determinado valor de referência, pode-se concluir que o controlador do tipo
proporcional-integral-derivativo apresenta grande eficiência no controle do
processo quando o valor do ganho proporcional encontra-se no intervalo entre 0
(zero) e , desconsiderando os limites do intervalo. Quando o valor do ganho
proporcional encontra-se fora desse intervalo o sistema se torna instável.
Pôde-se concluir ainda que o MATLAB é uma ferramenta poderosa no
estudo do comportamento dinâmico de um processo e junto com o programa
Routh-Hurwitz Stability Criterion with GUI MATLAB V 3.3 torna-se uma ferramenta
importante no estudo e no ensino de controle de processos.
46
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CONSTANTINIDES, A.; MOSTOUFI, N. Numerical methods for chemical
engineers with MATLAB applications. New Jersey: Prentice Hall, 1999. 544p.
COUGHANOWR, D. R.; KOPPEL, L. B. Análise e controle de processos. Rio
de Janeiro: Guanabara Dois, 1978. 473p.
KWONG, W. H. Introdução ao controle de Processos químicos com
MATLAB. São Carlos: EdUFSCar, v. 1, 2002a. 215p.
KWONG, W. H. Introdução ao controle de processos químicos com MATLAB.
São Carlos: EdUFSCar, v. 2, 2002b. 215p.
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5.ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2010. 809p.
SMITH, C. S.; CORRIPIO, A. B. Principles and practice of automatic process
control. 2. Ed. New York: Wiley, 1997. 524p.
STEPHANOPOULOS, G. Chemical process control: An introduction to theory
and practice. New Jersey: Prentice Hall, 1984. 696p.
The MathWorks Inc., Routh-Hurwitz Stability Criterion with GUI MATLAB V
3.3. Disponível em:
<http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/27697-routh-hurwitz-
stability-criterion-with-gui-matlab-v3-3>.Acesso em 11 dez. 2014.
Recommended