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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA
APOSTILA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Professor Eduardo Rezende de Araújo
Rio de Janeiro
Dezembro/2015
“O primeiro procedimento que devemos
tomar para atingirmos a realização de qualquer
projeto pessoal, profissional ou acadêmico é
começá-lo.”
SUMÁRIO
1. CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS.............................................................06
1.1 DEFINIÇÕES DAS GRANDEZAS......................................................................06
1.2 FONTES DE TENSÃO E FONTES DE CORRENTE.........................................07
1.3 AS LEIS DE KIRCHHOFF...................................................................................07
1.3.1 Definições..........................................................................................................07
1.3.2 1ª Lei de Kirchhoff............................................................................................08
1.3.3 2ª Lei de Kirchhoff............................................................................................09
2. CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS.................................................................12
2.1 RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM)......................................................12
2.1.1 Resistência Elétrica...........................................................................................12
2.1.2 Lei de Ohm........................................................................................................12
2.2 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES.......................................................................13
2.2.1 Associação em série..........................................................................................13
2.2.2 Associação em paralelo.....................................................................................13
2.3 CIRCUITO DIVISOR DE TENSÃO E CIRCUITO DIVISOR DE CORRENTE...
................................................................................................................................14
2.3.1 Circuito Divisor de Tensão................................................................................14
2.3.2 Circuito Divisor de Corrente.............................................................................14
2.4 TEOREMAS DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS..............................................15
2.4.1 Teorema da Superposição..................................................................................15
2.4.2 Teorema de Thevenin........................................................................................17
2.4.3 Teorema de Norton............................................................................................18
2.4.4 Teorema dos Nós e Teorema das Malhas..........................................................21
2.4.4.1 Definições na Topologia dos Circuitos..................................................21
2.4.4.2 Teorema dos Nós...................................................................................22
2.4.4.3 Teorema das Malhas..............................................................................27
2.4.4.4 Transformações de fontes de corrente e de tensão................................32
3. COMPORTAMENTO PERMANENTE E TRANSITÓRIO DE CIRCUITOS
RESISTIVOS, CAPACITIVOS E INDUTIVOS..........................................................35
3.1 CAPACITORES....................................................................................................35
3.1.1 Associação de Capacitores................................................................................36
3.2 INDUTORES.........................................................................................................37
3.2.1 Associação de Indutores....................................................................................37
3.3 FUNÇÕES SINGULARES...................................................................................38
3.4 REVISÃO DE SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM
PELO MÉTODO DA DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA.......................................40
3.5 CIRCUITOS DE 1ª ORDEM (RESPOSTA AO DEGRAU)................................41
3.5.1 Circuitos Básicos de 1ª Ordem..........................................................................41
3.6 CIRCUITOS DE 1ª ORDEM (RESPOSTA AO IMPULSO)................................45
3.7 RESPOSTA NATURAL OU RESPOSTA LIVRE...............................................50
3.7.1 Resposta Natural de um Circuito RL.................................................................50
3.7.2 Resposta Natural de um Circuito RC................................................................53
3.8 CIRCUITOS DE 2ª ORDEM.................................................................................55
3.8.1 Solução de Equações Diferenciais de 2ª Ordem................................................55
3.8.2 Determinação das condições iniciais em circuitos de 2ª ordem........................59
3.8.3 Solução completa de circuitos de 2ª ordem.......................................................63
REFERÊNCIAS....................................................................................................................73
ANEXO A - EXPERIÊNCIA 01..........................................................................................74
ANEXO B - EXPERIÊNCIA 02..........................................................................................75
ANEXO C - EXPERIÊNCIA 03..........................................................................................76
ANEXO D - EXPERIÊNCIA 04..........................................................................................77
6
1. CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS
1.1 DEFINIÇÕES DAS GRANDEZAS
Carga Elétrica (q) – “C” – É uma partícula que contem características próprias e
efeitos próprios;
Corrente Elétrica (i) – “A” – É a quantidade de carga elétrica que atravessa a
seção reta de um condutor na unidade do tempo;
i(t) = dq/dt
Tensão Elétrica (e) – “V” – É a diferença de potencial elétrico que possibilita a
circulação de carga pelo condutor;
Energia Elétrica (w) – “J” – É o produto da carga transportada pela tensão;
dw = e(t) dq ∫ dw = ∫e(t) dq w = ∫e(t) i(t) dt
w = e(t) i(t) t
Potência Elétrica (P) – “W” – É uma grandeza instantânea. É a variação da
energia no tempo. É o produto da tensão pela corrente.
P(t) = dw/dt = e(t) i(t) dt/dt P(t) = e(t) i(t)
Analogia entre os sistemas elétrico e hidráulico:
Sistema hidráulico Sistema elétrico
H E R
7
1.2 FONTES DE TENSÃO E FONTES DE CORRENTE
Todos os elementos dos circuitos elétricos foram divididos em dois grupos:
a) Ativos (Fontes de tensão e Fontes de corrente);
b) Passivos (Resistores, Capacitores e Indutores).
As fontes podem ser:
1) Independentes: são as fontes de tensão ou de corrente que fornecem energia fixa
ao resto do circuito. Ex:
30 V 10 V 8 A
2) Dependentes ou Controladas: São as fontes de tensão ou de corrente que
dependem de valores característicos dentro do circuito, isto é, são funções de
grandezas do sistema. Ex:
2ec V 10ib A
1.3 AS LEIS DE KIRCHHOFF
1.3.1 Definições:
Nó – É a junção de dois ou mais elementos em um ponto elétrico;
Malha – É um caminho fechado de circulação de grandeza.
nós, malhas
nós, malhas
8
nós, malhas nós, malhas
1.3.2 1ª Lei de Kirchhoff
“A soma algébrica das correntes em um nó qualquer é igual à zero.”
Por convenção, faremos:
(corrente negativa)
(corrente positiva)
Exemplo: i1
i2 i3
A B C 4 nós, 7 malhas
i4 i5 i6
D
Nó A: -i4 - i2 + i1 = 0
Nó B: + i2 + i3 + i5 = 0
9
1.3.3 2ª Lei de Kirchhoff
“A soma algébrica das tensões em uma malha qualquer é igual à zero.”
Por convenção, faremos:
+ -
Sentido Horário Sentido Anti-horário
Exemplo: e1
e2 e3
A B C
e4 e5 e6
D
Malha ABDA: + e4 + e3 + e5 = 0
Malha ABCDA: + e2 + e3 - e6 + e4 = 0
Obs:
1. Dois ou mais elementos estão em série quando são atravessados pela mesma
corrente;
2. Dois ou mais elementos estão em paralelo quando estão submetidos a mesma
tensão;
3. Sempre que uma corrente atravessa um elemento passivo (R, L ou C) num
sentido determinado, ocorre uma queda de tensão em sentido oposto.
10
Exemplo 1: Encontre o valor das tensões desconhecidas no circuito abaixo. Encontre
primeiro V1.
10V V2
8V
V1
V3 9V
Resposta: V1 = 11 V; V2 = 2 V; V3 = -1 V
Exemplo: 2: Encontre o valor das correntes desconhecidas.
I2 5A
I1
7A 1 2
3A 4A 3A
Resposta: I1 = 2 A; I2 = -6 A
11
Exemplo 3: Encontre o valor da tensão e1 no circuito abaixo:
4Ω 1Ω
12V e1 1Ω 2Ω 1Ω
Resposta: e1 = 10,8 V
Exemplo 4: Encontre o valor da corrente I1 no circuito abaixo:
3Ω
10A I1 1Ω 4Ω 1Ω
Resposta: I1 = 20/3 A
12
2. CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS
São circuitos que contem, além das fontes, apenas os elementos passivos resistores.
2.1 RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM)
2.1.1 Resistência elétrica
É a capacidade de um material de se opor à passagem do fluxo de corrente
elétrica.
Elemento usado: Resistor R
Transforma energia elétrica em calor. É um dissipador de energia.
Metais (cobre e alumínio, por exemplo) possuem resistência elétrica desprezível.
São os condutores.
Borracha, água, ar etc. – Possuem alta resistência elétrica. São os isolantes.
Madeira, álcool etc. – Não são considerados isolantes nem condutores. São
chamados de maus condutores ou maus isolantes.
2.1.2 Lei de ohm
V = R . I onde: V = tensão em Volts
R = resistência em Ohms ( Ω )
I = corrente em Ampères
P(t) = V.I = RI2 = V
2/R (Watts)
W(t) = ∫P(t) dt = ∫ V.I dt = R∫I2 dt = 1/R ∫V
2 dt (Joules)
Para tensões e correntes constantes:
W = V.I.t = R.I2.t = V
2.t/R
13
A condutância é o inverso da resistência:
G = 1/R = I/V (Siemens ou Mho) (Ʊ)
2.2 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
2.2.1 Associação em Série
e1(t) e2(t) e3(t)
R1 R2 R3
e(t) ≡ e(t) i(t) Req
i(t)
Req = e(t)/i(t)
e(t) = e1(t) + e2(t) + e3(t)
e(t) = R1 i(t) + R2 i(t) + R3 i(t) = i(t) R1 + R2 + R3
e(t)/i(t) = R1 + R2 + R3
Req = R1 + R2 + R3
2.2.2 Associação em Paralelo
i(t) i1(t) i2(t) i3(t)
e(t) R1 R2 R3 ≡ e(t) i(t) Req
Req = e(t)/i(t)
i(t) = i1(t) + i2(t) + i3(t)
14
i(t) = e(t)/R1 + e(t)/R2 + e(t)/R3 = e(t) 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
i(t)/e(t) = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
Obs: Para dois únicos elementos Req = (R1.R2)/(R1+R2)
2.3 CIRCUITO DIVISOR DE TENSÃO E CIRCUITO DIVISOR DE
CORRENTE
2.3.1 Circuito Divisor de Tensão
R1 Req = R1 + R2
i(t) = V/R1 + R2
V e1(t) R2 e2(t) e2(t) = R2 . i(t) = R2 . V/R1 + R2
i(t) e2(t) = V . R2/R1 + R2
Consequentemente:
e1(t) = V . R1/R1 + R2
2.3.2 Circuito Divisor de Corrente
i1(t) = V/R1
i1(t) i2(t) V = I . Req
R1 R2 i1(t) = I . Req/R1 = I . (R1.R2/R1+R2)/R1
I i1(t) = I . R2/R1 + R2
15
Consequentemente:
i2(t) = I . R1/R1 + R2
2.4 TEOREMAS DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS
2.4.1 Teorema da Superposição
Se o circuito é composto por mais de uma fonte, podemos calcular as grandezas
deste circuito considerando cada uma das fontes separadamente e somando
algebricamente os resultados parciais. Procedimento:
1. Calcular o valor desejado para cada uma única fonte, colocando as demais em
repouso (mortas).
Fonte de corrente em repouso: circuito aberto;
Fonte de tensão em repouso: curto-circuito;
2. Somar algebricamente os resultados parciais.
Exemplo 5: Calcule a tensão e0(t) no circuito abaixo:
4Ω
5V e0(t) 6Ω 2A
16
Resposta: e0 = 1,8 V
Exemplo 6: Calcule a tensão e0(t) no circuito abaixo:
3Ω 4Ω
60V e0(t) 6Ω 24V
2Ω
Resposta: e0(t) = 36 V
17
2.4.2 Teorema de Thevenin
Consiste em transformar um circuito qualquer em um circuito divisor de tensão
(Circuito Equivalente de Thevenin), onde a fonte possuirá o valor de eoc, o primeiro
elemento valerá Req e o segundo elemento corresponderá ao retirado do circuito
original. O valor das grandezas (tensão, corrente, potência e energia) no segundo
resistor do circuito equivalente será o mesmo do circuito original.
Circuito Equivalente de Thevenin
Req
Circuito Elemento Elemento
Ativo eoc ≡ eoc
onde:
eoc = tensão com o circuito aberto (ou tensão de Thevenin eTH);
Req = resistência equivalente com o circuito em repouso, vista através dos terminais do
elemento (ou Resistencia de Thevenin RTH).
Exemplo 7: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema de Thevenin
1Ω
12V 4Ω
1Ω 3Ω e0(t)
18
Resposta: e0(t) = 7,8 V
2.4.3 Teorema de Norton
Consiste em transformar um circuito qualquer em um circuito divisor de
corrente (Circuito Equivalente de Norton), onde a fonte possuirá o valor de isc, o
primeiro elemento valerá Req e o segundo elemento corresponderá ao retirado do
circuito original. O valor das grandezas (tensão, corrente, potência e energia) no
segundo resistor do circuito equivalente será o mesmo do circuito original.
Circuito Equivalente de Norton
Circuito Elemento Elemento
Ativo isc ≡ isc Req
Onde:
isc = corrente de curto-circuito
Req = resistência equivalente com o circuito em repouso, vista através dos terminais do
elemento.
19
Exemplo 8: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema de Norton
1Ω
12V 4Ω
1Ω 3Ω e0(t)
Resposta: e0(t) = 7,8 V
Exemplo 9: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema de Thevenin
2Ω e0(t) 4Ω
6V
4Ω 5Ω 2Ω
20
Resposta: e0(t) = 30/23 V = 1,30 V
Exemplo 10: Calcule a corrente i2(t) por Norton
4Ω
3V i2(t) 6Ω 2A
Resposta: i2(t) = - 0,5 A
21
Exemplo 11: Calcule a corrente i2(t) por Thevenin
4Ω
3V i2(t) 6Ω 2A
Resposta: i2(t) = - 0,5 A
2.4.4 Teorema dos Nós e Teorema das Malhas
2.4.4.1 Definições na Topologia dos Circuitos
Ramo (b) – É qualquer segmento que contenha um único elemento elétrico.
Logo, o número de ramos de um circuito é igual ao número de elementos deste
circuito;
Nó (n) – É a união de dois ou mais ramos de um circuito;
Malha ou Laço (l) – É um caminho fechado de circulação de grandeza;
Grafo ou Árvore (G) – É a representação dos ramos de um circuito.
22
A B C A B C
D
D
2.4.4.2 Teorema dos Nós
“Há exatamente (n-1) equações nodais independentes definidas pela Lei de
Kirchhoff para correntes (1ª Lei de Kirchhoff)”.
Exemplo 12: Determine todas as correntes e tensões do circuito abaixo:
A 2Ω B
5A 4Ω 3Ω 2A 6Ω
C
23
Resposta: e (4Ω) = 8 V; e (3Ω) = 2 V; e (5A) = 8 V; e (2A) = 2 V; e (6Ω) = 2 V; e (2Ω) = 6 V
I (4Ω) = 2 A; I (3Ω) = 2/3 A; I (6Ω) = 1/3 A; I (2Ω) = 3 A;
24
Exemplo 13: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema dos Nós
A
2Ω e0(t) 4Ω
6V B C
4Ω 5Ω 2Ω
D
Resposta: e0(t) = 1,30 V
Obs: Sempre que no circuito houver fonte de tensão, a tensão no nó “imediatamente
após” a esta fonte deverá ser acrescida do seu próprio valor. Ex:
A
2 V eA = eB + 2
B
25
Exemplo 14: Calcule o valor da corrente i0(t) no circuito abaixo pelo Teorema dos Nós
A 4Ω B 2Ω C
i0(t)
58V 3Ω 10V
D
Resposta: i0(t) = 10 A
26
Exemplo 15: Calcule a tensão no resistor de 6 Ω por Nós.
A 2Ω B 5Ω C
i0(t)
40V 6Ω 32A
E 3Ω D
Resposta: e (6Ω) = 78 V
27
Exemplo 16: Calcule a tensão no resistor de 5 Ohm por Nós.
Resposta: e (5Ω) = 0,28 V
2.4.4.3 Teorema das Malhas
“Há exatamente (b - n) +1 equações de malhas independentes definidas pela Lei
de Kirchhoff para tensões (2ª Lei de Kirchhoff)”.
D
C B A
28
Exemplo 17: Calcule todas as tensões e correntes do circuito abaixo:
A 3Ω B 4Ω C
60V 6Ω 24V
E 2Ω D
Resposta: i (3Ω) = 8A; i (60V) = 8A; i (4Ω) = - 2A; i (2Ω) = - 2A; i (24V) = - 2A; i (6Ω) = 6A;
e (3Ω) = 24V; e (4Ω) = - 8V; e (2Ω) = 24V; e (6Ω) = 36V;
29
Obs: Sempre que no circuito houver fonte de corrente, a corrente de malha que passa
por esta fonte terá o seu próprio valor. Ex:
Exemplo 18: Calcule a tensão no resistor de 6 Ω por Malhas
A 2Ω B 5Ω C
40V 6Ω 32A
E 3Ω D
Resposta: e (6Ω) = 78 Volts
30
Exemplo 19: Calcule a tensão no resistor de 5Ω por Malhas
A 5Ω B 3Ω C
2A 1Ω 2Ω 4V
D
Resposta: e (5Ω) = 0,28 Volts
31
Exemplo 20: Determine todas as correntes e tensões do circuito abaixo pelo Teorema
das Malhas:
A 2Ω B
5A 4Ω 3Ω 2A 6Ω
C
32
Resposta: e (4Ω) = 8 V; e (3Ω) = 2 V; e (5A) = 8 V; e (2A) = 2 V; e (6Ω) = 2 V; e (2Ω) = 6 V
I (4Ω) = 2 A; I (3Ω) = 2/3 A; I (6Ω) = 1/3 A; I (2Ω) = 3 A;
2.4.4.4 Transformações de fontes de corrente e de tensão
É uma ferramenta que pode ajudar na simplificação de circuitos. Nesta
transformação, as características V-I são idênticas ao circuito original.
33
O processo consiste em substituir uma fonte de tensão com uma resistência em
série por uma fonte de corrente com uma resistência em paralelo ou vice-versa:
Analisando os circuitos, podemos concluir que:
Os dois circuitos são equivalentes, pois ambos tem a mesma relação V-I nos
terminais “a” e “b”;
Se as fontes forem desligadas, a resistência equivalente entre “a” e “b” é a
mesma: Is = Vs/R ou Vs = Is R;
As polaridades da fonte de tensão e da fonte de corrente são as mesmas;
A transformação de fontes não é possível quando o resistor em paralelo da fonte
de corrente ou o resistor em série da fonte de tensão for nulo (Zero Ω).
Exemplo 21: Determine o valor de Vo no circuito abaixo:
a
b b
a
34
Resposta: e (8Ω) = 3,2 Volts
35
3. COMPORTAMENTO PERMANENTE E TRANSITÓRIO DE CIRCUITOS
RESISTIVOS, CAPACITIVOS E INDUTIVOS
3.1 CAPACITORES
É um armazenador de energia em forma de campo elétrico. Armazena tensão. São
medidos em Farad (F).
i(t) C = q/e(t) q = C . e(t)
dq/dt = C de(t)/dt
e(t) C i(t) = C de(t)/dt
t t
∫to de(t)/dt = 1/C ∫to i(t) dt
t
e(t) – e(to) = 1/C ∫to i(t) dt e(t) = e(to) + 1/C ∫ i(t) dt
P(t) = e(t) . i(t) P(t) = e(t) . C de(t)/dt P(t) = C . e(t) . de(t)/dt
dw(t)/dt = e(t) . dq
t t
∫to dw(t) = ∫to e(t) . i(t) dt w(t) = w(to) + ∫ e(t) . i(t) dt
36
3.1.1 Associação de Capacitores:
Série: C1 C2
e1(t) e2(t)
e(t) i(t) ≡ e(t) i(t) Ceq
e(t) = 1/Ceq ∫ i(t) dt equação (1);
e(t) = e1(t) + e2(t) e(t) = 1/C1 ∫ i(t) dt + 1/C2 ∫ i(t) dt;
e(t) = ∫ i(t) dt [ 1/C1 + 1/C2 ] equação (2);
Substituindo (1) em (2), temos:
1/Ceq ∫ i(t) dt = ∫ i(t) dt [ 1/C1 + 1/C2 ] 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2 + …
Paralelo:
i(t)
i1(t) i2(t)
e(t) C1 C2 ≡ e(t) i(t) Ceq
i(t) = Ceq . de(t)/dt equação (1);
i(t) = i1(t) + i2(t)
i(t) = C1 . de(t)/dt + C2 . de(t)/dt i(t) = de(t)/dt [ C1 + C2 ] equação (2);
Substituindo (1) em (2), temos:
37
Ceq . de(t)/dt = de(t)/dt [ C1 + C2 ] Ceq = C1 + C2 + ...
3.2 INDUTORES
É um armazenador de energia em forma de campo magnético. Armazena corrente.
São medidos em Henry (H).
i(t)
e(t) L
e(t) = L . di(t)/dt i(t) = i(t0) + 1/L ∫e(t) dt
P(t) = L . i(t) . di(t)/dt w(t) = w(to) + ∫ e(t) . i(t) dt
3.2.1 Associação de Indutores:
Série: Leq = L1 + L2 + ...
Paralelo: 1/Leq = 1/L1 + 1/L2 + …
38
3.3 FUNÇÕES SINGULARES
São, genericamente, funções matemáticas que representam sinais de entrada de
algum uso para a física.
0 t < 0
a) Função Degrau Unitário μ-1(t)
1 t > 0
μ-1(t)
1
t
0 t < 0
b) Função Rampa Unitária μ-2(t)
t t > 0
μ-2(t) = ∫ μ-1(t) dt
μ-2(t)
t
39
0 t < 0
c) Função Impulso Unitário μ0(t) ∞ t = 0
0 t > 0
μ0(t) = d μ-1(t)/dt
μ0(t)
t
Teorema 1
Se todas as tensões e correntes permanecem finitas, a tensão nos terminais de
uma capacitância, assim como a corrente através de uma indutância, não poderão se
alterar instantaneamente;
Teorema 2
Um impulso unitário de corrente passando através de uma capacitância altera sua
tensão de 1/C Volts, enquanto que um impulso unitário de tensão aplicado nos terminais
de uma indutância altera a corrente que passa por ela de 1/L Àmperes.
Observação 1
A resposta que o sistema fornece a uma função degrau unitário é chamada de
“resposta ao degrau” e simbolizada por r(t);
Observação 2
A resposta que o sistema fornece a uma função impulso unitário é chamada de
“resposta ao impulso” e simbolizada por h(t);
40
Observação 3
h(t) = d r(t)/dt
3.4 REVISÃO DE SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM
PELO MÉTODO DA DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA
d v(t)/dt
= d ln v(t)
v(t) dt
Exemplo 22: Resolva a equação diferencial: 2dy/dt + 6 = 4y
Explicitando a derivada temos:
dy/dt = 2y - 3
Tornando a variável „y‟ única e positiva:
(1/2) dy/dt = 2y - 3 (1/2)
(1/2) dy/dt = y - 3/2
dy/dt = (y - 3/2) . 2
dy/dt = 2
(y - 3/2)
∫ d ln y - 3/2 = ∫2 dt
dt
ln y - 3/2 = 2 t + ¢
e 2t + ¢
= y - 3/2
y - 3/2 = e ¢ . e
2t
41
y - 3/2 = ± e ¢ . e
2t
y - 3/2 = K e 2t
y = K e 2t
+ 3/2
3.5 CIRCUITOS DE 1ª ORDEM (RESPOSTA AO DEGRAU)
São circuitos regidos por equações diferenciais de 1ª Ordem. São compostos por
R e C ou R e L.
3.5.1 Circuitos Básicos de 1ª Ordem
São circuitos de 1ª Ordem que podem ser reduzidos, por simples associações dos
elementos, a dois únicos elementos passivos (R e C ou R e L). São os circuitos RC
série, RC paralelo, RL série e RL paralelo.
a) Circuito RC paralelo
i(t) R C e(t)=?
i(t) = iR(t) + iC(t) i(t) = e(t)/R + C de(t)/dt
i(t) = μ-1(t) p/ t>0 , i(t) = 1A
e(t)/R + C de(t)/dt = 1 , que é uma equação diferencial de 1ª Ordem
Solução:
42
b) Circuito RL série
R
e(t) i(t)=? L
e(t) = eR(t) + eL(t) e(t) = R i(t) + L di(t)/dt
e(t) = μ-1(t) p/ t>0 , e(t) = 1V
R i(t) + L di(t)/dt = 1 , que é uma equação diferencial de 1ª Ordem
Solução:
43
c) Circuito RC série
R
e(t) i(t)=? C
e(t) = eR(t) + eC(t) e(t) = R i(t) + 1/C ∫ i(t) dt
e(t) = μ-1(t) p/ t>0 , e(t) = 1V
R i(t) + 1/C ∫ i(t) dt = 1 , que é uma equação diferencial de 1ª Ordem
Solução:
44
d) Circuito RL paralelo
i(t) R L e(t)=?
i(t) = iR(t) + iL(t) i(t) = e(t)/R + 1/L ∫ e(t)/dt
i(t) = μ-1(t) p/ t>0 , i(t) = 1A
e(t)/R + 1/L ∫ e(t)/dt = 1 , que é uma equação diferencial de 1ª Ordem
Solução:
45
3.6 CIRCUITOS DE 1ª ORDEM (RESPOSTA AO IMPULSO)
a) Circuito RC paralelo
i(t) R C e(t)=?
e(t) = 1 e-t/RC
μ-1(t)
C
46
b) Circuito RL série
R
e(t) i(t)=? L
i(t) = 1 e-Rt/L
μ-1(t)
L
c) Circuito RC série
R
e(t) i(t)=? C
i(t) = μ0(t) - 1 e-t/RC
μ-1(t)
R CR2
47
d) Circuito RL paralelo
i(t) R L e(t)=?
i(t) = μ0(t) R - R2 e
-Rt/L μ-1(t)
L
Exemplo 23: Calcule r(t) no circuito abaixo
R1
e(t) R2 C e(t)=?
48
Resposta: e (t) = Req ( 1 – e –t/Req.C
) . µ -1 (t)
R1
Exemplo 24: Calcule a corrente no capacitor do exemplo anterior, através da tensão
encontrada.
Resposta: ic (t) = e –t/RC
. µ -1 (t)
R1
Exemplo 25: Calcule a corrente no capacitor do exemplo anterior utilizando o Teorema
de Thevenin e compare com a resposta anterior.
49
Resposta: ic (t) = e –t/RC
. µ -1 (t)
R1
Exemplo 26: Calcule r(t) no circuito abaixo
1Ω
2F
e(t) 4F 3Ω e(t)=?
50
Resposta: e (t) = ( 3/4 - 5/12 e -2t/9
) µ -1 (t)
3.7 RESPOSTA NATURAL OU RESPOSTA LIVRE
3.7.1 Resposta Natural de um Circuito RL
Dado o circuito abaixo:
A chave encontra-se fechada por um longo período de tempo e será aberta em t = 0.
Assim, todas as tensões e correntes do circuito serão constantes e, quando a chave
for aberta, o circuito se reduzirá à:
De acordo com a 2ª Lei de Kirchhoff,
L di/dt + R i = 0
Resolvendo a equação diferencial, temos:
i
V
i
V I(0) = Is
51
i(t) = i(0) e-(R/L) t
A, p/ t ≥ 0
Assim, como V = R i V = R i(0) e-(R/L) t
Volts
A Constante de Tempo T
É o inverso positivo do coeficiente de t.
i(t) = i(0) e-(R/L) t
T = L/R = constante de tempo
Quanto maior for o T, mais rapidamente a corrente ou a tensão se aproxima de
zero. Ex:
i(t) i(t)
T baixo T alto
t t
52
Por questões práticas, afirmamos que as variáveis do circuito atingem seus
valores finais quando o tempo for igual a 5T, ou seja, 5L/R. Neste momento, os valores
da corrente e da tensão serão menores que 1% do seu valor inicial:
i(t) = i(0) e-(R/L) t
= i(0) e-(R/L) (5L/R)
= i(0) e-5
= 0,00674 i(0)
i(t) = 0,674% i(0)
Exemplo 27: A chave no circuito abaixo esteve fechada por um longo período de tempo
antes de ser aberta em t = 0. Determine:
a) iL(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 20 e-5t
A
b) i0(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 4 e-5t
A
c) V0(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 160 e-5t
Volts
d) P(10Ω), p/ t ≥ 0 . Resposta: 2560 e-10t
W
53
3.7.2 Resposta Natural de um Circuito RC
Analogamente:
Dado o circuito abaixo:
A chave encontra-se na posição “a” por um longo período de tempo e passará para
a posição “b” em t = 0.
Assim, todas as tensões e correntes do circuito serão constantes e, quando a chave
passar para a posição “b”, o circuito se reduzirá à:
De acordo com a 1ª Lei de Kirchhoff,
Cdv/dt + V/R = 0
a b
Vg
i
V
54
V = Vg e-t/RC
Volts
Assim, como i = V/R i = Vg/R x e-t/RC
A
Os conceitos da Constante de Tempo T neste circuito RC são os mesmos
aplicados ao circuito RL. Desta forma:
T = RC = constante de tempo
Exemplo 28: A chave no circuito abaixo esteve na posição “a” por um longo período de
tempo antes de passar para a posição “b” em t = 0. Determine:
a) VC(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 100 e-25t
Volts
b) V0(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 60 e-25t
Volts
c) i0(t), p/ t ≥ 0; Resposta: e-25t
mA
d) P(60kΩ), p/ t ≥ 0 . Resposta: 60 e-50t
mW
a b
Vc Vo
io
55
3.8 CIRCUITOS DE 2ª ORDEM
São os circuitos regidos por equações diferenciais de 2ª Ordem. São compostos
pelos elementos R, L e C.
Dado um circuito alimentado por uma entrada x(t), podemos calcular as saídas
y(t) deste circuito (tensões e correntes, por exemplo) através dos seguintes
procedimentos:
1. Relacionar entrada e saída (encontrar a equações diferenciais que representam o
modelo matemático do circuito);
2. Resolver as equações diferenciais;
3. Determinais as constantes da solução das equações, através da análise das
condições iniciais.
3.8.1 Solução de Equações Diferenciais de 2ª Ordem
Seja a seguinte equação diferencial:
A d2y(t) + B dy(t) + C y(t) = F(t)
dt2 dt
56
A solução total da equação diferencial será dada por:
Solução Total y(t) = Solução homogênea yh(t) + Solução particular yp(t)
Solução homogênea:
Equação Característica: A s2 + B s + C = 0
Hipóteses:
S1
1ª) Raízes Reais e Diferentes
S2
yh(t) = K1 . e S1 . t
+ K2 . e S2 . t
S1
2ª) Raízes Reais e Iguais S
S2
yh(t) = K1 . e S . t
+ K2 . t . e S . t
S1 = α + jβ
3ª) Raízes Imaginárias
S2 = α - jβ
57
yh(t) = e α . t
K1 cos βt + jK2 sen βt
Solução particular:
F(t) yp(t)
K A
k tn A0 + A1 t + A2 t
2 +…+ An t
n
k cos ωt A1 cos ωt + A2 sen ωt
k sem ωt A1 sen ωt + A2 cos ωt
k eαt
A eαt
Exemplo 29: d2y(t) - 3 dy(t) + 2 y(t) = t
2
dt2 dt
58
Resposta: y (t) = K1 e 2t
+ K2 e t + 7/4 + (3/2) t + (1/2) t
2
Exemplo 30: Supondo que as condições iniciais do exemplo anterior sejam as
seguintes, encontre a solução completa da equação diferencial.
y(0+) = 7/4 e dy(t) = 4
dt 0+
59
Resposta: y (t) = 5/2 e 2t
- 5/2 e t + 7/4 + (3/2) t + (1/2) t
2
Exemplo 31: d2y(t) - 4 dy(t) + 4 y(t) = t
2 + 3t + 2
dt2 dt
Resposta: y (t) = K1 e 2t
+ K2 t e 2t
+ 13/8 + (5/4) t + (1/4) t2
3.8.2 Determinação das condições iniciais em circuitos de 2ª ordem
A ordem da equação diferencial é igual ao número de constantes na solução e
igual ao número de condições iniciais necessárias para a determinação da(s)
constante(s) da solução. No nosso caso, 2ª ordem, teremos que encontrar:
y(0+) e dy
dt 0+
Obs: Se a resposta desejada for a tensão num capacitor ou a corrente num
indutor, o valor inicial da derivada dy poderá ser obtido da própria lei do
elemento. dt 0+
60
Tensão no Capacitor:
iC = C dec/dt dec = iC / C
dt
dec = iC(0+) / C
dt 0+
Corrente no Indutor:
eL = L diL/dt diL = eL / L
dt
diL = eL(0+) / L
dt 0+
Exemplo 32: Não há energia armazenada para t < 0. Determine e(t) e de(t)/dt em t=0+.
i(t) = µ-1 (t)
e(t)
61
Resposta: e (0+) = 0 e de(t) = 1/C
dt 0+
Exemplo 33: Idem ao anterior
e1(t) = 6 cos 2t
e(t)
62
Resposta: e (0+) = 6 e de(t) = - 9/4
dt 0+
Exemplo 34: Idem ao anterior
Resposta: e (0+) = 0 e de(t) = 1/6
dt 0+
e(t)
63
3.8.3 Solução completa de circuitos de 2ª ordem
A solução completa de um circuito de 2ª Ordem consiste em:
Aplicar o Teorema das Malhas ou o Teorema dos Nós de forma a
encontrar a(s) equação(ões) diferencial(is) das variáveis envolvidas no
circuito;
Resolver o sistema de equações diferenciais quando for o caso;
Resolver a equação diferencial;
Determinar as constantes.
Exemplo 35: Calcule i0(t), e1(t) e iC(t) no circuito abaixo, sabendo-se que a entrada é
uma função degrau unitário, que não há energia armazenada para t < 0 e que R2 = L/C.
e1(t)
iC(t)
i0(t)
64
65
Resposta: i0 (t) = ( 1 – e –Rt/L
) µ-1 (t); e1 (t) = R µ-1 (t); ic (t) = e –Rt/L
µ-1 (t)
Exemplo 36: Calcule e0(t) no circuito abaixo:
A B
66
67
e0 (t) = - 0,73 e -0,4t
- 0,27 e -2,6t
+ 1
Exemplo 37: Calcule e0(t) no circuito abaixo:
A C B
e0(t)
D
68
69
70
e0 (t) = 1,43 e -0,7t
- 1,43 e -2,8t
Exemplo 38: Idem, pelo Teorema das Malhas.
A C B
e0(t)
D
71
72
e0 (t) = 1,43 e -0,7t
- 1,43 e -2,8t
73
REFERÊNCIAS
BOYLESTAD, Robert L. Introdução à Análise de Circuitos. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos, 2013.
CLOSE, Charles M. Circuitos lineares. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
DORF, Richard C.; SVOBODA, James A. Circuitos Elétricos, Rio de Janeiro: LTC,
2006.
EDMNISTER, Joseph A.. Circuitos Elétricos. São Paulo: Pearson Education do Brasil,
2011 (Coleção Schaum).
IRWIN, J. David. Introdução à Análise de Circuitos Elétricos. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos, 2011.
MARIOTTO, Paulo Antônio. Análise de Circuitos Elétricos. São Paulo: Prentice Hall,
2013.
NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2009.
ROBBINS, Allan H. e MILLER, Wilhelm C. Análise de Circuitos Teoria e Prática.
São Paulo: Cengage Learning Editora, 2010.
00
74
ANEXO A
Experiência 01
2ª Lei de Kirchoff
1. Monte o circuito abaixo utilizando os resistores existentes na bancada. A
disposição dos resistores bem como o valor da fonte de tensão fica a
critério do aluno.
R1 R3
V R2 R4
2. Com o auxílio do multímetro, meça a tensão nos elementos das três
malhas do circuito e observe a validade da 2ª Lei de Kirchoff em cada
uma das malhas, isto é, “a soma algébrica das tensões em uma malha é
igual a zero”.
3. Retire o resistor R3 do circuito e mantenha o circuito aberto em seu
lugar. Verifique se esta Lei se permanece verdadeira para a malha
externa.
75
ANEXO B
Experiência 02
Teorema de Thevenin
1. Calcule o valor da tensão no resistor de 330Ω do circuito abaixo pelo
Teorema de Thevenin.
270Ω
10 V 820Ω 330Ω
2. Monte o circuito acima;
3. Meça a tensão no resistor de 330 Ω e compare o valor encontrado com o
valor calculado no item 1;
4. Retire o resistor de 330 Ω do circuito e meça eoc;
5. Desconecte a fonte, coloque um curto-circuito em seu lugar e meça a
Req;
6. Monte na bancada o Circuito Equivalente de Thevenin conforme abaixo:
Utilize o potenciômetro como Req;
Req
eoc 330Ω
7. Com o auxílio de um multímetro, meça a tensão no resistor de 330Ω;
8. Encontre o erro percentual entre o valor calculado (item 1) e o valor
medido no Circuito Equivalente de Thevenin (item 7):
E% = (Item 1 - Item 7) x 100 / Item 1
76
ANEXO C
Experiência 03
Teorema da Superposição
1. Calcule o valor da tensão no resistor de 4,7 kΩ do circuito abaixo pelo
Teorema da Superposição.
4,7kΩ 15kΩ
5,17 V 8,2kΩ 10kΩ 3 V (Icel)
Minipa
(fonte fixa)
2. Monte o circuito acima na bancada;
3. Com o auxílio de um multímetro, meça a tensão no resistor de 4,7kΩ e
compare o valor encontrado com o valor calculado no item 1;
4. Desconecte a fonte de 3 V, coloque um curto-circuito em seu lugar e
meça a tensão no R=4,7kΩ (considerando somente a FT = 5,17 V);
5. Reconecte a fonte de 3 V;
6. Desconecte a fonte de 5,17 V, coloque um curto-circuito em seu lugar e
meça a tensão no R=4,7kΩ (considerando somente a FT = 3 V);
7. Efetue a soma algébrica dos resultados parciais encontrados nos itens 4
e 6 para obter a resposta final.
8. Encontre o erro percentual entre o valor calculado no item 1 e o valor
encontrado no item 7:
E% = (Item 1 - Item 7) x 100 / Item 1
77
ANEXO D
Experiência 04
Teorema dos Nós
1. Calcule o valor da tensão no resistor de 4,7 kΩ do circuito abaixo pelo
Teorema dos Nós.
4,7kΩ 15kΩ
5,17 V 8,2kΩ 10kΩ 3 V (Icel)
Minipa
(fonte fixa)
2. Monte o circuito acima na bancada;
3. Com o auxílio de um multímetro, meça a tensão no resistor de 4,7 kΩ e
compare o valor encontrado com o valor calculado no item 1;
4. Encontre o erro percentual entre o valor calculado no item 1 e o valor
encontrado no item 3.
E% = (Item 1 - Item 3) x 100 / Item 1
Recommended