UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia

CONFIABILIDADE E OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO

ARMADO

Aluno: Roberto Mauro Felix Squarcio

Orientador: Prof. Dr. Anselmo Chaves Neto

OBJETIVO GERALOBJETIVO GERAL

Teoria da Confiabilidade

Probabilidade de Falha Importância das Variáveis de Projeto

Delineamento Experimental

Otimização de Custo

OBJETIVO ESPECÍFICOOBJETIVO ESPECÍFICO

i. Métodos da Confiabilidade

FORM/SORM Método de Monte Carlo Redes Neurais

ii. Delineamento de Experimentos

Modelamentos de Krakovski aplicados em Estruturas de Concreto Armado

0,...,, 21 nXXXg

GENERALIZAÇÃO DO PROBLEMA GENERALIZAÇÃO DO PROBLEMA DA CONFIABILIDADEDA CONFIABILIDADE

n

XXXg

nXXnf dxdxxxfXXXgPPn

n...,...,...0,...,, 1

0,...,,

1,...,21

21

1

Violação doEstado Limite

Probabilidade de Falha

MÉTODOS DO SEGUNDO MOMENTO MÉTODOS DO SEGUNDO MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM (FOSM)DE PRIMEIRA ORDEM (FOSM)

Série de Taylor, em X*

n

i

ii XaaZ1

0

n

iXZ ii

a1

222

** * XXX

gXgZ X

n

i

iiL XaaZXg1

0

n

iX

n

i

ii

iia

Xaa

1

22

10

Índice de Confiabilidade

MÉTODOS DO SEGUNDO MOMENTO MÉTODOS DO SEGUNDO MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM (FOSM)DE PRIMEIRA ORDEM (FOSM)

Transformação

iX

ii

XY

O índice de confiabilidade é a distância de Y* à origem do espaço das normais reduzidas

MÉTODOS DO SEGUNDO MOMENTO MÉTODOS DO SEGUNDO MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM (FOSM)DE PRIMEIRA ORDEM (FOSM)

Função Limite

Média e Variância

Índice de Confiabilidade:

n

i iig Y

gYY

L1

*

n

i ig Y

gY

L1

2

2

n

i i

n

i ii

g

g

Y

g

Y

gY

L

L

1

2

1

*

n

i iiiL Y

gYYYgYg

1

* 0*

n

i iiiL Y

gYYYg

1

* 0

MÉTODOS DO SEGUNDO MÉTODOS DO SEGUNDO MOMENTO (FORM/SORM)MOMENTO (FORM/SORM)

i. FORM – First Order Reliability Method

ii. SORM – Second Order Reliability Method

FIRST ORDER RELIABILITY FIRST ORDER RELIABILITY METHODS - FORMMETHODS - FORM Qualquer distribuição e v.a. não são independentes

Transformamos em normais reduzidas:

A distribuição não normal e a distribuição normal com a mesma média, e que conduzam a mesma probabilidade de falha.

Sendo a v.a. normal reduzida obtida por

Então,

A determinação de X* é iterativa e o valor de pf é atualizado em cada iteração.

iXi xFyi

iXi xFyi

1

XZ

f

fXZ pF

p1

1

.

z

ZZY

z

Zf

Xp

*

SECOND ORDER RELIABILITY SECOND ORDER RELIABILITY METHODS - SORMMETHODS - SORMAs superfícies de estado limite, g(X) são parabólicas ou esféricas, no ponto de dimensionamento X*

n

i i

fk

p1 1

1

2

2

i

ni X

Xk

Proposta de Breitung (1984)

onde

Geração de valores para as variáveis básicas de entrada de acordo com suas funções de distribuição.

Análise determinística do modelo do sistema e verificação de eventual violação do estado limite.

Estimativa da probabilidade de ruptura:

MÉTODO DE MONTE CARLOMÉTODO DE MONTE CARLO

N

xgNP f

0

N

xgNxgPP

Nf

0lim0

Probabilidade de falha

MÉTODO DE MONTE CARLO MÉTODO DE MONTE CARLO Técnicas de Simulação Pura

0,...,,,1

0,...,,,021

21

21

,...,,n

n

XXXg

XXXgnXXXI

N

i

if XI

NP

1

)( 0ˆ1

Observações na região de interesse g(X)<0

Transforma a resolução da integral numa simples contagem dos pontos que estão dentro da região de probabilidade de falha

Podemos reescrever a Probabilidade de Falha:

MÉTODO DE MONTE CARLO MÉTODO DE MONTE CARLO Técnicas de Redução da Variância

Amostragem por Importância

dxXhXh

XfXgIP X

Xg

f

0

.0

h

fIEXh

Xh

XfXgIEP X

f .0

Nh

f

f

I

P

2

2~

f

Xg

XI pdX

Xh

Xf

h

f

~

0)(

22

Domínio de integração é dividido em k regiões.

A probabilidade de falha

MÉTODO DE MONTE CARLO MÉTODO DE MONTE CARLO Técnicas de Redução da VariânciaAmostragem Estratificada

k

i

k

if

R

XXf Ri

i

pdXXhXfdXXhXfP1 1

N

i

N

j

jX

i

if

i

XfN

PP

1 1

)(~

k

i i

iiX

k

i i

iP N

Pxf

N

Pf

1

22)(2

1

22~

i

i

R i

f

Xi

iXi P

pdXXhXf

Pxf

2

2

2)(22 1

Algoritmo Algoritmo Backpropagation Backpropagation - Princípio da Aprendizagem

Algoritmo Gradiente Descendente com Algoritmo Gradiente Descendente com Momentum Momentum

Minimiza o erro quadrático médio

Algoritmo de Algoritmo de Levenberg-Marquardt Levenberg-Marquardt – Matriz Hessiana

n

ieiiR yy

nE

1

21

n

iei

TR yxWf

nE

1

2,

1

REDES NEURAISREDES NEURAIS

W

WEkW R

kWkWkW 1 W

WEkWkW R

1

2

2

W

WEH R

W

WeJ

n

ieii yyWe

1

kgHkWkW .1 1

WeWJg Tk .2

WeWJIWJWJkWkW Tk

T ...11

Função Objetivo (Custo)

fsssc ChbCAChbxF )2()()()(

b é a largura da secção transversal da viga; h é a altura da secção transversal da viga; AS é a área da barra de aço;

S é a massa específica do aço;

CS é o custo do aço por unidade de massa;

CC é o custo do concreto por unidade de volume;

CF é o custo do molde, por unidade de área.

DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOSDELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

Materiais Unidade Preço (R$)

Concreto

cm3

15 MPa 136,53

20 MPa 148,5

25 MPa 162,77

30 MPa 176,12

Aço kg 4,03

Molde cm2 40,71

Tabela 1. Custos dos Materiais

DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOSDELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

k x(k,0) Proc. u

Variáveis Normalizadas

Variáveis ExternasDimensões Custo Total

(R$)

b h fck

0 - - 0 0 0 0 18 58 20 100,77

1 (a) 1 1 0 0 20 58 20 102,31

2 0 1 0 18 60 20 101,25

3 0 0 1 18 58 25 100,85

(b) 4 -1 0 0 16 58 20 99,23

5 -2 -1 0 14 56 20 97,37

6 -3 -1 0 12 56 20 95,86

      7 -4 -1 0 10 56 20 94,35

Tabela 2. Resultado do One-side Gradient Design I Method

DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOSDELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

k x(k,0) Proc. u

Variáveis Normalizadas

Variáveis Externas Dimensões Custo Total

(R$)

    b h fck

0 - - 0 0 0 0 18 58 20 100,77

1 (a) 1 -1 0 0 16 58 20 99,23

2 0 -1 0 18 56 20 100,4

3 0 0 -1 18 58 15 101,41

(b) 4 -1 0 0 16 58 20 99,23

5 -2 0 1 14 58 25 97,75

6 -3 -1 1 12 56 25 95,9

      7 -4 -1 2 10 56 30 94,37

Tabela 3. Resultado do One-side Gradient Design II Method

DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOSDELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

k x(k,0) Proc. u

Variáveis Normalizadas

Variáveis Externas Dimensões Custo

Total (R$)      b h fck

0 - - 0 0 0 0 18 58 20 100,8

1 (a) 1 1 0 0 16 58 20 99,23

2 -1 0 0 20 58 20 102,3

3 0 1 0 18 56 20 100,4

4 0 -1 0 18 60 20 101,3

5 0 0 1 18 58 15 101,4

6 0 0 1 18 58 25 100,9

(b) 7 -1 0 0 16 58 20 99,23

8 -2 0 0 14 58 20 97,69

9 -3 -1 0 12 56 20 95,86

      10 -4 -1 1 10 56 25 94,38

Tabela 4. Resultado do Central Gradient Design Method

DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOSDELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

      b h FckFunção Objetivo (R$) Desvios

Yj Y1j Y2j Y3j 1j2 2j

2 3j2

1 1 1 20 60 25 102,9 102,9 102 102,5 0,08 69,9 18,31 1 0 20 60 20 102,8 102,8 102,7 102,7 0,09 1,85 0,611 1 -1 20 60 15 103,6 102,7 103,3 103 65,8 4,93 26,21 0 1 20 58 25 102,4 102,4 101,7 102 0 49,5 12,41 0 0 20 58 20 102,3 102,3 102,3 102,3 0 0 01 0 -1 20 58 15 103 102,2 103 102,6 58,8 0,46 17,41 -1 1 20 56 25 102 101,9 101,3 101,6 0,62 45,8 14,61 -1 0 20 56 20 101,9 101,8 101,9 101,9 0,62 0,09 0,091 -1 -1 20 56 15 102,6 101,8 102,6 102,2 68,6 0,04 18,40 1 1 18 60 25 101,3 101,3 100,5 100,9 0 67,1 16,40 1 0 18 60 20 101,3 101,3 101,1 101,2 0 1,18 0,240 1 -1 18 60 15 101,9 101,2 101,8 101,5 52,7 1,63 17,80 0 1 18 58 25 100,9 100,9 100,1 100,5 0 51 12,70 0 0 18 58 20 100,8 100,8 100,8 100,8 0 0 00 0 -1 18 58 15 101,4 100,7 101,4 101,1 50,4 0 12,60 -1 1 18 56 25 100,5 100,4 99,76 100,1 0,99 49,9 16,70 -1 0 18 56 20 100,4 100,3 100,4 100,3 1,2 0 0,360 -1 -1 18 56 15 101 100,2 101 100,6 64,3 0,04 15,7-1 1 1 16 60 25 99,75 99,79 98,96 99,38 0,16 62,7 13,8-1 1 0 16 60 20 99,68 99,71 99,6 99,66 0,09 0,64 0,04-1 1 -1 16 60 15 100,3 99,63 100,2 99,94 40,7 0,09 10,8-1 0 1 16 58 25 99,3 99,31 98,59 98,95 0,01 51,1 12,4-1 0 0 16 58 20 99,23 99,23 99,23 99,23 0 0 0-1 0 -1 16 58 15 99,8 99,15 99,87 99,51 42,4 0,49 8,44-1 -1 1 16 56 25 98,95 98,83 98,22 98,52 1,47 54,4 18,9-1 -1 0 16 56 20 98,89 98,75 98,86 98,8 2 0,09 0,83-1 -1 -1 16 56 15 99,44 98,67 99,5 99,08 60 0,36 13,1

Tabela 5. Comparativo entre os Delineamentos

DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOSDELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

3211 08,048,054,177,100 xxxY

3212 x64,0x37,0x54,177,100Y

3213 x28,0x815,1x43,077,100Y

Aproximações Lineares:

One-side Gradient Design I

One-side Gradient Design II

Central Gradient Design

DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOSDELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

DISCUSSÕES E CONCLUSÕESDISCUSSÕES E CONCLUSÕES

Comparação Entre Delineamentos Experimentais

Ajuste das funções obtidas pelos métodosDesvio Médio Quadrático

Avaliação dos métodos

i. Número de testes necessários. One-Side Gradient I e II: “n+1” coef. “n+1” testes.

Central Gradient Design: “n+1” coef. “2n+1” testes.

ii. Precisão da aproximação 21,33

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA

[1] Laranja, Roberto; Brito, Jorge, 2003 - Verificação Probabilística da Segurança das Estruturas, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa.

[2] Barbosa, Anderson; Freitas, Marcílio; Neves, Francisco; Confiabilidade Estrutural Utilizando o Método de Monte Carlo e Redes Neurais, Universidade Federal de Ouro Preto, 2004

[3] Cardoso, João; Almeida, João; Dias, José; Utilização do Método de Monte-Carlo em Fiabilidade de Estruturas, Centro de Investigação em Estruturas e Construção, 2003

[4] Krakovski, M. B. Optimization of RC Structures using Design of Experiments. Computers & Structures, Vol. 63, n 1, 1997.