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Análise de Sistemas Elétricos de Potência 1
5.0 Componentes Simétricas
UNIVERSIDADE FEDERAL
DE JUIZ DE FORA
P r o f . F l á v i o V a n d e r s o n G o m e s
E - m a i l : f l a v i o . g o m e s @ u f j f . e d u . b rE N E 0 0 5 - P e r í o d o 2 0 1 2 - 1
1. Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência;
2. Representação dos Sistemas Elétricos de Potência;
3. Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados;
4. Revisão de Representação “por unidade” (PU);
5. Componentes Simétricas;
6. Representação Matricial da Topologia de Redes (Ybarra, Zbarra);
7. Cálculo de Curto-circuito Simétrico e Assimétrico;
Ementa Base
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
2
Introdução
Resolução de Sistemas Trifásicos Equilibrados Equivalente Monofásico
Resolução de Sistemas Trifásicos Desequilibrados Sistema Matricial
Operação com Matriz Cheia
Inversão de matriz
Pode ser mais simples?
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
3
Introdução
Fortescue (em 1918) publicou o artigo: “Method of Symmetrical Coordinates
Applied to the Solution of PolyphaseNetworks”. Apresentado à 34º Convenção Anual de AIEE
(American Institute of Electrical Engineers) em Atlantic City, N.J. o 28 de julho de 1918. AIEE Transactions 37 (II): 1027-1140 (1918).
“Um sistema trifásico desequilibrado pode ser decomposto em três sistemas equilibrados, onde esta decomposição é única”. Sistema equilibrado: Módulos iguais e Diferença Angulares iguais
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
4
Decomposição em Componentes Simétricas
Um sistema trifásico desequilibrado pode ser decomposto em três sistemas equilibrados, formado por componentes de seqüência positiva (+), negativa (-) e zero (0).
Sistema de seqüência Positiva (+, 1):
3 Fasores equilibrados (mesmo módulo e defasados de 120º)
Seqüência de fase igual ao do sistema original (ex. A-B-C)
Sistema de seqüência Negativa (-, 2):
3 Fasores equilibrados (mesmo módulo e defasados de 120º)
Seqüência de fase inversa ao do sistema original (ex. A-C-B)
Sistema de seqüência Zero (0):
3 Fasores de mesmo módulo e com os mesmos ângulos de fase.
Defasagem entre fasores iguais a 0.An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
5
Decomposição em Componentes Simétricas
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
6
Sistema Original Desequilibrado
Seqüência (+)
Seqüência (-)
Seqüência (0)
+
+
Va1
Vc1
Vb1 Va2
Vc2Vb2
Va0
Vb0
Va
Vc
Vb
Decomposição Gráfica em C.S.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
7Vc1
Vc2
Vc0
Vb1
Vb2
Vb0
Va1
Va2
Va0
Seqüência (+)
Seqüência (-)
Seqüência (0)
+
+
Va1
Vc1
Vb1Va2
Vc2Vb2
Va0
Vb0
Va
Vc
Vb
Decomposição Analítica em C.S.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
8
S (+) S(-)S (0)
0 1 2
0 1 2
0 1 2
20 1 2
2
1 1 1
1
1
A A A A
B B B B
C C C C
A A A
V V V V
V V V V V
V V V V
V V Vα αα α
= = + +
= + +
& & & &
& & & &
& & & &
& & &
1 120oα = ∠
Decomposição Analítica em C.S.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
9
0 1 22
0 1 2 0 1 22
0 1 2
2
0 1 22
1 1 1
1
1
1
1 1 1
1
A A A A
B B B B A A A
C C C C
B B B
V V V V
V V V V V V V V
V V V V
V V V
α αα α
α α
α α
= = + + = + +
= + +
& & & &
& & & & & & &
& & & &
& & &
2
20 1 2
1
1
1 1 1C C CV V V
α αα α
= + +
& & &
Decomposição Analítica em C.S.
Notação usual de CS em função da Fase A:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
10
20 1 2
2
20 1 2
2
1 1 1
1
1
1 1 1
1
1
A
B A A A
C
V
V V V V V
V
V V V
α αα α
α αα α
= = + +
= + +
&
& & & &
&
& & &
Matriz de Transformação de C.S.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
11
S (+) S(-)S (0)
+
+
=
=2
22
10
11
1
1
1
αα
αα VVV
V
V
V
V
C
B
A
&&&
&
&
&
A
B
C
V
V
V
&
&
&
0
1
2
V
V
V
&
&
&
Matriz de Transformação de C.S.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
12
+
+
=
=2
22
10
11
1
1
1
αα
αα VVV
V
V
V
V
C
B
A
&&&
&
&
&
=
=
++++++
=
2
1
0
2
1
0
2
2
22
10
212
0
210
1
1
111
V
V
V
V
V
V
VVV
VVV
VVV
V
V
V
C
B
A
&
&
&
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
T
αααα
αααα
T = MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO DE COMPONENTES SIMÉTRICAS
Transformação
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
13
0 1 22
0 1 22
0 1 2
Aabc
B
C
V V V V
V V V V V
V V V V
α αα α
+ + = = + + + +
& & & &
& & & &
& & & &
=
2
1
0
V
V
V
V
V
V
C
B
A
&
&
&
&
&
&
T T=
2
2
1
1
111
αααα
1
1201
1201
03
2
==−∠=
∠=
αααα
o
o
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
14
=
C
B
A
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
-1T
2
1
0-1T=
αααα
2
2
1
1
111
3
1
0012 2
12
2
1
3
A B C
A B C
A B C
V V V V
V V V V V
V V V V
α αα α
+ + = = + + + +
& & & &
& & & &
& & & &
Transformação
Teorema Fundamental (Matriz T)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
15
=
2
1
0
V
V
V
V
V
V
C
B
A
&
&
&
&
&
&
T T=
2
2
1
1
111
αααα
=
C
B
A
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
-1T
2
1
0
-1T=
αααα
2
2
1
1
111
3
1
==100
010
001
I-1T.T
Aplicação de C.S. em SEP (V e I)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
16
=
2
1
0
V
V
V
V
V
V
C
B
A
&
&
&
&
&
&
T
=
C
B
A
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
-1T
2
1
0
0
1
2
A
B
C
I I
I I
I I
=
T
& &
& &
& &
0
1
2
A
B
C
I I
I I
I I
=
-1T
& &
& &
& &
Aplicação de C.S. em SEP (V, I e Z)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
17
abcabcabc IZV && ×=012VTV abc && ×= 012ITI abc && ×=
012012 ITZVT abc && ××=×
Reescrevendo a equação, tem-se:
Aplicação de C.S. em SEP (Z)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
18
012 012 abcT V Z T I× = × ×& &
012Z
012012012 .IZV && =
0121012 ITZTV abc && ×××= −
01210121 ITZTVTT abc && ×××=×× −−
Aplicação de C.S. em SEP (Z)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
19
00 01 02
2 210 11 12
2 220 21 22
1 1 1 1 1 11
1 . . 13
1 1
aa ab ac
ba bb bc
ca cb cc
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
α α α αα α α α
=
012 1 abcZ T Z T−= × ×
012 1abcZ T Z T −= × ×
Aplicação de C.S. em SEP (Z equilibrada)
Para matriz de impedância, Zabc, equilibrada:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
20
012 1 abcZ T Z T−= × ×00 01 02
110 11 12
20 21 22
0
1
2
. .
0 0 2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
p m m
m p m
m m p
p m
p m
p m
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z T Z Z Z T
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
−
= =
+
= − −
Aplicação de C.S. em SEP (Z equilibrada)
Portanto, para matriz de impedância, Zabc, equilibrada:
É análogo a ter 3 sistemas monofásico desacoplados
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
21
00 0
11 1
22 2
0 0
0 0 .
0 0
ZV I
V Z I
V IZ
=
& &
& &
& &
Aplicação de C.S. em SEP (V simétrica)
Para um sistema de tensão simétrico tem-se:
Portanto em componentes simétricos:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
22
2 2
1 1
1 1
120 . .
120
Ao
B A
oC
VV
V V V V
V V
θθ θ α α
α αθ
= − = = +
&
& &
&
02 2
12 1
2
11 1 1 01
1 .3
1 0
A
B A A
C
V V
V V V V
V V
α α αα α α
= = =
-1T
& &
& & & &
& &
Exercício 5.0.1
Seja um sistema trifásico do tipo gerador-linha-carga, onde: Tensão do gerador é assimétrica e dada por:
Linha Equilibrada cujos valores são: Impedâncias próprias da LT iguais a (3,0+j5,6)Ω
Impedâncias mútuas da LT iguais a j2,60Ω
Carga equilibrada conectada em Y cuja impedância é de j50Ω/fase.
Calcule as correntes na linha em componentes de fase (ABC) e componentes simétricas (012) usando-se: V012=Z012.I012
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
23
13,8 0
13,8 90
13,8 90
Ao
B
oC
V
V kV
V
= −
&
&
&
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