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VII Seminário da Pós-graduação em Engenharia Mecânica
ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE UM SISTEMA VOBRATÓRIO
DE SUSPENSÃO COM UM MOTOR COM DESBALANCEAMENTO NÃO IDEAL
Joel da Silva Teodoro
Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru
Prof. Dr. José Manoel Balthazar
Orientador – Depto de Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru
RESUMO
Suspensões são muito importantes em vários sistemas mecânicos, minimizando impactos que
vibrações de motores e outras máquinas causam em certas superfícies, desse modo
proporcionando conforto aos operadores dessas máquinas. Nesse trabalho propôs se um
modelo matemático de um sistema de suspensão, o qual é composto de uma barra rígida, duas
molas, uma em cada extremidade e um motor que excita o sistema, através de um rotor
desbalanceado. O sistema contém três graus de liberdade. Uma aproximação Lagrangiana foi
usada para derivar as equações do movimento. O torque do motor depende da velocidade
angular do rotor, caracterizando uma excitação não ideal. A adimensionalização de
parâmetros valoriza a geometria do problema físico, então determinados tais parâmetros
adimensionais, possibilitou-se a obtenção das equações na forma de estados, assim, o
comportamento dinâmico do sistema pode ser estudado.
PALAVRAS-CHAVE: Suspensão, Excitação não ideal, Rotor desbalanceado.
1 INTRODUÇÃO
Suspensão é um mecanismo cuja finalidade é dar estabilidade e dirigibilidade nos
carros, em pouso de aviões e entre outros sistemas, além disso, proporcionar conforto aos
passageiros.
Historicamente, os vagões e carruagens do século XVI tentaram solucionar o problema
de sentir as irregularidades do caminho. Surgiu a ideia de se elevar a carruagem em amarras
de couro fixadas a quatro colunas do chassi. Na época, ele parecia uma mesa de cabeça para
baixo. Uma vez que a carruagem estava suspensa do chassi, o sistema veio a ser conhecido
como "suspensão" - termo usado até hoje para descrever o conjunto completo de soluções. A
suspensão do tipo carruagem levantada não foi um verdadeiro sistema de molas, mas
possibilitou que a carruagem e que as rodas se movessem independentemente.
Assim que os veículos motorizados tornaram-se frequentes na vida das pessoas, outros
sistemas mais eficientes de molas foram sendo desenvolvidos para aumentar o conforto dos
passageiros.
Portanto, a suspensão é responsável por absorver energia proveniente das
irregularidades no solo. Uma ondulação, por exemplo, faz com que a roda se mova para cima
e para baixo sem alterar drasticamente a movimentação da carroceria. Uma suspensão, em sua
composição básica contém três componentes fundamentais de qualquer suspensão: molas,
amortecedores e barras estabilizadoras.
VII Seminário da Pós-graduação em Engenharia Mecânica
Neste artigo o sistema estudado corresponde a um sistema vibratório de suspensão. Os
estudos que levam em conta a excitação não estacionária podem ser divididos em três linhas
de pesquisa:
1-Considerando-se uma vibração estacionária de um sistema linear quando, um rotor
passa pela velocidade crítica com aceleração constante;
2- Considerando-se as vibrações não estacionárias de sistemas não lineares e,
3- Considerando-se sistemas que possuam iteração entre o sistema vibratório e o
movimento de um motor.
Pesquisando-se a vasta bibliografia disponível, constata-se, contudo, que a terceira classe
de vibração, aludida, logo acima, carece de abordagem mais profunda. Este tipo corresponde
aos sistemas não ideais, ou sistemas com excitação não ideal.
Segundo Nayfeh e Mook (1979)[1], quando a excitação não é influenciada pela resposta,
é dita uma excitação ideal ou uma fonte ideal de energia. Por outro lado, quando uma
excitação é influenciada pela resposta do sistema, é dita não ideal. Assim, dependendo da
excitação, refere-se a um sistema vibratório como ideal ou não ideal. Geralmente, sistemas
vibratórios não ideais são aqueles para os quais a potência disponível é limitada.
Neste trabalho, também se aborda o torque, que representa a força exercida em um braço
de alavanca acoplado a um eixo para provocar sua rotação. Dito em palavras soa estranho,
mas podemos visualizar isso com uma chave de roda colocada em um parafuso perfeitamente
apertado: A força que fazemos na chave de roda, multiplicada pelo comprimento desta chave,
representa, no parafuso o torque que exercemos no sentido de virar este parafuso. Se este
parafuso não oferecer resistência ao movimento torcional, teremos um torque zero; se a
resistência for alta, teremos um elevado torque.
O torque está estritamente ligado com a potência, pois motores com elevado valor de
torque em rotação baixa representam um excelente indício de excelente disponibilidade de
potência nesta faixa de rotação, implicando elasticidade no motor e esta elasticidade vem em
decorrência da potência disponível em baixa rotação.
2 Modelagem do Sistema Vibratório de Suspensão
O modelo que foi estudado nesse artigo é representa uma suspensão que contém uma
massa m1 e duas molas lineares de rigidez k1 e k2, sem amortecimento conforme a Figura 1.
A massa m1 é uma barra, supostamente rígida que sofre um deslocamento vertical x e
sofre rotação em torno de seu centro de gravidade (CG) que é denotado por θ e possui
momento de inércia J, um deslocamento angular, um rotor é acoplado à massa m1 girando
uma massa desbalanceada m0 e possui momento de inércia J0 e cuja frequência é denotada
por ω e seu deslocamento angular φ. A tabela 1 fornece detalhadamente os parâmetros
adotados para o sistema.
Considera-se que o sistema opera com potência limitada, portanto é sistema não ideal. As
equações de movimento para o sistema da Figura 1 foram obtidas utilizando-se as equações de
Lagrange e por se tratar de um sistema com três graus de liberdade temos três equações
ordinárias de segunda ordem, assim, inicialmente obtemos a energias do sistema.
VII Seminário da Pós-graduação em Engenharia Mecânica
Figura 1 – Suspensão excitada por desbalanceamento rotativo
Considera-se que o sistema opera com potência limitada, portanto é sistema não ideal. As
equações de movimento para o sistema da Figura 1 foram obtidas utilizando-se as equações de
Lagrange e por se tratar de um sistema com três graus de liberdade temos três equações ordinárias
de segunda ordem, assim, inicialmente obtemos a energias do sistema.
Tabela 1 – Descrição dos parâmetros do modelo
Parâmetros Descrição
m1 Massa da barra rígida
m0 Massa da massa rotativa
k1 e k2 Rigidez das molas 1 e 2
l1 e l2 Distancias das extremidades ao centro de massa
x Deslocamento vertical do centro de massa
ϴ Deslocamento angular da barra em torno do centro de massa
φ Deslocamento angular da massa rotativa em torno do eixo do motor
r Excentricidade do motor
A contribuição energética por parte dos deslocamentos lineares e angulares do sistema:
2
0
2
0
2
0
2
012
1
2
1cos
2
1
JJrxmrmxmmT (1)
E a contribuição por parte das molas e também da gravidade a que o sistema fica
submetido
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rgsenmgxmm
senlklkxsenLklkxkkV
001
2211221121
)(
²²)²(2
1)()(
2
1
(2)
Dessa maneira é possível obter o lagragiano (L), o qual obtém fazendo:
CNWWVTL /
Então, para o sistema estudado, o lagrangiano será dada por:
2
00102
1²
2
1)cos(²²
2
1²)(
2
1
oJJxrmrmxmmL
grsenmmgxsenlklkxsenLklkxkk 02211221121 ²²)²(
2
1)()(
2
1 (3)
Obtido o Lagrangiano, o passo seguinte é a obtenção das equações do movimento, para
que se possa entender sua dinâmica. Segundo Craig, as equações podem ser obtidas por:
No caso do modelo a ser estudado, devido à rotação da massa rotativa, que descreve
em torno do eixo do motor um deslocamento angular φ, existe um torque M, dado pela
expressão acima.
Daí as equações de movimento são:
0)(²cos)( 1122210010
senlklkxkksenrmrmxmm (4)
0)cos(cos 222111
senlxlksenlxlkJ (5)
MsenxrmxrmrmJ
00
2
00 cos)( (6)
A Eq. (6) é a equação que descreve a dinâmica do motor, em que M(ω) é o torque
resultante do motor. Na próxima secção há a dedução desse torque que neste caso, não foram
consideradas as características do motor, então, o torque se reduz a uma função linear .
Nota-se que o sistema de equações (4), (5) e (6) é autônomo e não linear, contendo
não-linearidades devido à interação entre . As funções mcos0m r && e m rsen2
0
& são as funções de inércia provocadas pelo motor e cosm0rx&& representa o momento
desta força de inércia.
2.1 Torque do Motor
niMq
L
q
L
dt
d
ii
,...,2,1;
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Vamos considerar um sistema mecânico rotacional na Figura 2, em que podemos
observar a existência de uma carga de inércia e um torque (T) gerado, devido à frequência do
motor ω. Segundo Ogatta, 1970, a Lei de Newon estabelece que:
TJ
(7)
Onde:
J – momento de inércia em kg/m²;
- aceleração angular em rad/s²;
T – torque
Dessa forma, para o sistema mecânico apresentado, a Lei de Newton será:
TfJ
0 (8)
Em que f é uma força de fricção-viscosa de um amortecedor apresentado no sistema.
Figura 3 - Sistema Rotacional.
Em um motor elétrico, quando uma determinada tensão é aplicada ao motor, este
produz um torque. Desde que, a tensão de controle (Ec) aplicada seja constante, o torque será
proporcional à o torque e a velocidade angular serão funções desta tensão de controle. Dessa
forma, se as variações da tensão de controle (Ec) são lentas em relação à frequência da fonte, o
torque produzido será proporcional a esta tensão, conforme a Fig.3.
Segundo Ogatta, 1970, geralmente, as curvas torque-velocidade são paralelas para uma
faixa de velocidades ampla, porém podem não ser equidistantes, isto é, para uma dada
velocidade, o torque pode não variar linearmente em relação à tensão de controle.
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Figura 4 – Curvas características do motor
Na Figura 3 observamos ainda, que o torque é função da velocidade angular do eixo do
motor e da tensão de controle. Além disso, quando o referido torque é linear, de acordo com a
inclinação decrescente das curvas, concluímos então, que essas grandezas obedecerão a uma
função linear de acordo com equação (10), o que deixa mais explicita a dependência entre o
torque e a velocidade angular do eixo do motor.
A dedução que segundo Dorf e Bishop (1997), o motor CC controlado pela armadura
utiliza uma corrente de campo constante e a relação eletro - mecânica do torque magnético Tm
desenvolvido pelo motor é dada por
amm IKT (9)
onde
Tm – torque do magnético ou motriz desenvolvido pelo motor;
Km – constante de torque;
Ia – intensidade de corrente.
Admite – se motores de corrente contínua esquematizada, através da figura 4 cujas
equações de controle representativas de seus circuitos elétricos, são dadas pela equação,
desejável abaixo:
dt
dILIReU a
aaaa (10)
onde
Ua - é a tensão elétrica aplicada aos terminais do motor;
ea - é a força contra – eletromotriz;
Ra - é a resistência elétrica do motor;
La - sua indutância elétrica do motor;
Figura 4 - Modelo de Armadura do Motor
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A tensão relativa à força contraeletromotriz a e é proporcional a velocidade angular do
motor e é expressa como
ba Ke (11)
Onde
Kb – é a constante de tensão elétrica do motor;
- velocidade angular do motor.
Substituindo as equações (9) e (11) na equação (10) obtemos:
dt
dT
K
LT
K
RKU m
m
am
m
ab
(12)
A equação (10) relaciona as seguintes grandezas: a velocidade angular do motor, a
tensão elétrica aplicada, o torque magnético e a variação do torque.
Em regime estacionário, e desprezando a indutância ( La = 0 ), a variação do torque é
zero e a equação (12) é reduzida para:
a
bm
a
mm
R
KKU
R
KT (13)
Daí:
a
m
R
Ka e
a
bm
R
KKb
Finalmente temos:
baTm (14)
2.2 Sistemas de equações adimensionais
A vantagem do estudo de um sistema com variáveis adimensionais é que nele trabalha-
se com números puros, sem considerar a dimensão de suas variáveis. Tornar um sistema
adimensional não altera suas características dinâmicas. Além disso, possibilita uma melhor
compreensão física do problema.
VII Seminário da Pós-graduação em Engenharia Mecânica
Considerando as equações do movimento (4), (5) e (6) é possível torná-las
adimensionais utilizando as seguintes variáveis adimensionais:
;'''';'';
;'''';'';
;'';'';
2
2
2
mm
mm
mm
m
trxXrxrXx
t
(15)
Substituindo essas variáveis no sistema de equações do movimento obtemos:
0'²cos")()(
"2
01
0
2
01
1122
2
01
21
mmm r
gsen
mm
msen
rmm
lklkX
mm
kkX
(16)
0cos"
2
2
22
2
11
2
2211
senJ
lklkX
J
rlklk
mm (17)
0'''cos""
22
00
2
22
00
1
2
00
2
0
2
00
2
0
mm rmJ
u
rmJ
usenX
rmJ
rmX
rmJ
rm (18)
A seguir, foram definidos os parâmetros adimensionais:
2
00
2222
00
112
00
2
0
2
2
22
2
1122
22111
22
01
112222
01
211
01
0
;;
;;
;;;;
rmJ
u
rmJ
u
rmJ
rm
J
lklk
J
rlklk
r
g
rmm
lklk
mm
kk
mm
m
m
mm
mmm
(19)
Então, foi obtido o seguinte sistema adimensional:
)'''cos"("
0cos"
0'cos""
21
21
2
21
senXX
senX
sensenXX
(20)
Note que µ1 é o parâmetro de controle (relativo à tensão de alimentação na armadura
do motor elétrico ou torque constante) e µ2 é o valor escolhido para um determinado tipo de
motor.
Usando novas variáveis definidas por ;1 XX ;'2 XX ;3 X ;'4 X ;5 X
'6 X e realizando algumas manipulações algébricas, obtém-se o seguinte sistema de
equações diferenciais de primeira ordem:
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5325115
2
6
2
562621
5
226
65
323114
43
32115
2
6
5626215
2
5
222
21
coscos
...cos1
1'
;'
;cos'
;'
...coscos1
1'
;'
XsenXXXsenXX
senXXXXX
X
XX
senXXXX
XX
senXXsenXX
senXXXXXX
X
XX
(21)
O sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem (21), obtido
anteriormente, pode ser escrito na forma matricial como:
xAx '' (22)
isso possibilita a determinação dos autovalores (frequências) e autovetores (modos normais)
da matriz fundamental (A), considerada simétrica e positiva definida, onde x é o vetor de
deslocamentos e x’ indicação sua variação temporal.
O sistema (21) permite a simulação numérica do sistema dinâmico, para sua compreensão.
Fixando valores para os parâmetros, obtemos valores para o parâmetros adimensionais,
conforma a Tabela 2.
Tabela 2 - Valores dos parâmetros adimensionais utilizados nas simulações do
modelo simplificado
Parâmetros do
sistema
Valores
ε 0.1
α1 0.3
α2 0.2
β 3
λ 2.1
δ1 0.3
δ2 0.4
µ1 controle
µ2 15
é o parâmetro de acoplamento adimensional entre a estrutura principal e o
motor CC.
é o parâmetro de acoplamento adimensional entre motor CC e a estrutura
principal.
µ1 é o parâmetro de controle adimensional (relativo à tensão de alimentação na
armadura do motor elétrico – torque constante).
µ2 é o parâmetro adimensional relacionado à característica do motor CC –
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torque constante.
Dessa forma, através de programação com o software adequado pode se obter respostas do
sistema, conforme a Figuras 6 e a figura 7. Nota –se que, ainda depois de várias simulações
que o sistema é bem sensível às condições iniciais.
Figura 6 – Histórico do sistema
Figura 7 – Plano de fase
A seguir as respotas do deslocamento angular do desbalanceamento
Figura 8 – Histórico do deslocamento angular
Figura 9 – Plano de Fase
O objetivo deste trabalho é investigar as propriedades dinâmicas de um sistema não
ideal(Figura 1) constituído por duas massas, sustentadas por molas e amortecedores, sendo
excitado por um motor elétrico de corrente contínua que está acoplado a uma das massas.
Embora a ideia inicial fosse realizar uma análise estritamente numérica, observou-se que a
complexidade do sistema, devido ao grande número de parâmetros que influenciam o
comportamento do sistema de três graus de liberdade, exigia um estudo analítico preliminar
que pudesse propiciar um estudo das regiões de estabilidade e também de perda da
estabilidade.
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Encontrar a solução numérica tem a desvantagem de que esta solução é apenas
particular, para alguns valores paramétricos pré-determinados. Por esse motivo interessa-se
também por uma solução analítica, a qual permitirá uma vasta variabilidade dos parâmetros
físicos do problema e, quando aplicado um estudo de estabilidade sobre ela, permitirá que
essa escolha seja conveniente ao estudo realizado
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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