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Sumrio
Aula 1: Vetores Geomtricos 13
1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Transitando pelas denies . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Medida de um segmento . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Segmentos eqipolentes . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Propriedades da eqipolncia . . . . . . . . 18
1.5 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Mais algumas denies . . . . . . . . . . . 19
1.6 Operaes com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Adio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 Propriedades da adio . . . . . . . . . . . 21
1.6.3 Diferena de vetores . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.4 Multiplicao por um nmero real . . . . . 22
1.6.5 Propriedades da multiplicao por um n-
mero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 ngulos de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.10 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 28
1.11 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Aula 2: Os Espaos Vetoriais 31
2.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Decomposio de um vetor no Plano (R2) . . . . . 32
2.3 Igualdade e Operaes . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Operaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Decomposio do Espao (R3) . . . . . . . . . . . . 40
2.4.1 Igualdade e Operaes . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Aula 3: Produto de Vetores - Parte I 49
3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Propriedades do Produto Interno . . . . . . 52
3.2.2 Projeo de um vetor . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Aula 4: Produto de Vetores - Parte II 63
4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Propriedades do produto vetorial . . . . . . . . . . 67
4.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 78
4.7 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Aula 5: A Reta 81
5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2 Equao vetorial da reta . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Equaes paramtricas da reta . . . . . . . . . . . 84
5.4 Reta denida por dois pontos . . . . . . . . . . . . 85
5.5 Equaes simtricas da reta . . . . . . . . . . . . . 86
5.6 Equaes reduzidas da reta . . . . . . . . . . . . . 87
5.7 Paralelismo de retas relativo aos planos e eixos co-
ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.7.1 Retas paralelas aos planos coordenados . . . 89
5.7.2 Retas paralelas aos eixos coordenados . . . 90
5.8 Mais algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . 91
5.9 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.10 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.11 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 97
5.12 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Aula 6: O Plano 99
6.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2 Equao geral do plano . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3 Equao vetorial e Equaes paramtricas do plano 102
6.4 Mais algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.1 Interseo (entre planos e entre retas e planos)107
6.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.7 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 109
6.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Aula 7: Distncias 111
7.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2 Distncia de ponto reta . . . . . . . . . . . . . . 112
7.3 Distncia de ponto a plano . . . . . . . . . . . . . 113
7.3.1 Distncias de ponto reta no plano . . . . 116
7.4 Distncia entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . 117
7.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.7 Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 121
7.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Aula 8: Cnicas - Parte I 123
8.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.2 Um pouco de Histria . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3 Conceituando as cnicas . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.4 Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.5 Translao dos eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.8 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 137
8.9 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Aula 9: Cnicas - Parte II 139
9.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.3 Equao reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.4 Translao da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.5 Equaes paramtricas da elipse . . . . . . . . . . . 147
9.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.8 Comentrio sobre as Atividades . . . . . . . . . . . 151
9.9 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Aula 10: Cnicas - Parte III 153
10.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.2 Hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.3 Equaes reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.4 Translaes de uma hiprbole . . . . . . . . . . . . 164
10.5 Equaes paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.8 Comentrio sobre as Atividades . . . . . . . . . . . 170
10.9 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Aula 11: Mudana de Coordenadas no Plano 171
11.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.2 Mudanas de Coordenadas - Rotao e Translao
da Origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.3 Obtendo as coordenadas antigas em funo das novas177
11.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.6 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 182
11.7 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Aula 12: Formas Quadrticas 185
12.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
12.2 Mudando as coordenadas . . . . . . . . . . . . . . 188
12.3 A equao caracterstica, autovalores e autovetores 188
12.4 Mais algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . 191
12.4.1 Observando o produto das razes da equao
do segundo grau. . . . . . . . . . . . . . . . 192
12.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12.6 Atividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
12.7 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 199
12.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Aula 13: A Equao Geral do Segundo Grau 201
13.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
13.2 Relembrando mudana de coordenadas . . . . . . . 202
13.3 Vamos analisar quando AC B2 = 0. . . . . . . . 20513.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
13.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
13.6 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 211
13.7 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Aula 14: Transformaes Lineares 213
14.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
14.2 Transformaes no plano . . . . . . . . . . . . . . . 215
14.3 Transformaes lineares . . . . . . . . . . . . . . . 222
14.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
14.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
14.6 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 233
14.7 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Aula 15: Mudana de Coordenadas no Espao 235
15.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
15.2 Mudana de sistema de coordenadas no espao . . 236
15.3 Transladando a origem do sistema . . . . . . . . . 239
15.4 As matrizes ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . 242
15.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
15.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
15.7 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 246
15.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Aula 16: Qudricas Centrais 247
16.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
16.2 Qudricas centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
16.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
16.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
16.5 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 261
16.6 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Aula 17: Completando Quadrados 263
17.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
17.2 Completando quadrados . . . . . . . . . . . . . . . 265
17.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
17.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
17.5 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 274
17.6 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Aula 18: Equao Geral do Segundo Grau no Espao 277
18.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
18.2 A, B e C so diferentes de zero . . . . . . . . . . . 279
18.3 Apenas um dos coecientes A,B,C zero e os ou-
tros dois tm o mesmo sinal . . . . . . . . . . . . . 279
18.4 Apenas um dos coecientes A,B,C nulo e os ou-
tros dois tm sinais opostos . . . . . . . . . . . . . 281
18.5 Um dos coecientes A,B,C diferente de zero e os
outros dois so nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
18.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
18.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
18.8 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 287
18.9 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Aula 19: Transformaes Lineares no Espao 289
19.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
19.2 Transformaes lineares . . . . . . . . . . . . . . . 290
19.3 Transformaes lineares em R3 . . . . . . . . . . . 293
19.3.1 Transformaes ortogonais . . . . . . . . . . 298
19.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
19.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
19.6 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 306
19.7 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Aula 20: Aplicaes de Transformaes Lineares 309
20.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
20.2 Aplicaes ptica . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
20.3 Projeo do espao tridimensional no plano . . . . 314
20.4 Codicando mensagens . . . . . . . . . . . . . . . . 317
20.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
20.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
20.7 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 322
20.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
1AULA
2LIVRO
Vetores Geomtricos
META
Introduzir a denio de vetor.
OBJETIVOS
Identicar vetores no plano e no
espao e suas propriedades. Efetuar
operaes com vetores (adio, dife-
rena e multiplicao por escalar).
Vetores Geomtricos
1.1 Introduo
Seja bem-vindo, caro aluno! Este o nosso primeiro encontro, entre
tantos que esto por vir. A partir de agora, voc vai conhecer um
pouco sobre Geometria Analtica.
Nascida das diversas necessidades das tcnicas da agrimensura
e da arquitetura, a Geometria Clssica, muito estudada por diver-
sos intelectuais, toma uma nova roupagem. A Geometria Analtica,
por sua vez, baseia-se na idia de representar os pontos da reta por
nmeros reais, os pontos do plano por pares ordenados de nme-
ros e os pontos no espao por ternos ordenados de nmeros reais.
Nesta concepo, as linhas e as superfcies, no plano e no espao,
so descritas por meio de equaes, permitindo um tratamento al-
gbrico de questes de natureza geomtrica e, reciprocamente, um
tratamento geomtrico de algumas situaes algbricas.
Por volta de 1637, a criao da Geometria Analtica deve-se a
dois matemticos franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e Ren
Descartes (1596-1650), simultaneamente. E o mais curioso nesta
histria que ambos eram graduados em Direito, nenhum deles
matemtico prossional. Esta interao entre Geometria e lge-
bra foi responsvel por diversas descobertas na Matemtica e suas
aplicaes.
Neste nosso primeiro encontro, voc vai conhecer um dos ele-
mentos principais da Geometria Analtica: os vetores, seu conceito
geomtrico, a denio das operaes que podem ocorrer entre eles,
alm de suas propriedades. Tambm vai compreender que muitas
grandezas fsicas, como velocidade, fora, deslocamento e impulso
precisam da magnitude, da direo e do sentido para serem com-
14
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
1AULA
pletamente identicadas. Essas grandezas so chamadas grandezas
vetoriais ou simplesmente vetores.
Ser que deu para aguar um pouquinho a sua curiosidade?
Quer saber mais? Ento venha conosco para a nossa primeira
etapa.
1.2 Transitando pelas denies
Esta aula est segmentada em duas partes. Nesta primeira, vamos
apresentar para voc, caro aluno, algumas denies que sero
fundamentais para a compreenso da etapa seguinte.
Denio 1.1. [Reta orientada - eixo] Uma reta r orientada
quando se xa nela um sentido de percurso considerado positivo
e indicado por uma seta. O sentido oposto negativo. Uma reta
orientada denominada eixo.
Denio 1.2. [Segmento orientado] Um segmento orientado
determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado
origem do segmento e o segundo, extremidade.
O segmento orientado de origem A e extremidade B ser re-
presentado por AB e geometricamente indicado por uma seta que
caracteriza de forma visual o sentido do segmento (ver gura 1.2).
Denio 1.3. [Segmento nulo e oposto]
15
Vetores Geomtricos
Figura 1.1: Segmento orientado AB
1. Um segmento nulo aquele cuja extremidade coincide com
a origem.
2. Se AB um segmento orientado, o segmento orientado BA
oposto de AB.
1.3 Medida de um segmento
Fixando uma unidade de comprimento, podemos associar a cada
segmento orientado um nmero real no negativo. A medida do
segmento orientado o seu comprimento ou seu mdulo. O
comprimento do segmento AB indicado por AB. [htb!]
Figura 1.2: Nesta ilustrao o segmento orientado u representa o
comprimento unitrio.
Observao 1. (a) Os segmentos nulos tm comprimentos igual
a zero.
(b) AB = BA.
16
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
1AULA
Dois segmentos orientados no nulos, AB e CD, tm a mesma
direo se as retas suportes desses segmentos so paralelas ou coin-
cidentes.
Figura 1.3: Segmentos orien-
tados de mesma direo.
Figura 1.4: Segmentos orien-
tados opostos.
As prximas guras ilustram segmentos orientados que so
coincidentes (isto , ambos os segmentos esto na mesma reta).
Figura 1.5: Figura 1.6:
1.4 Segmentos eqipolentes
Denio 1.4. Dois segmentos orientados AB e CD so eqi-
polentes quando tm a mesma direo, o mesmo sentido e o
mesmo comprimento (veja nas guras (1.7) e (1.8)). Sempre que
os segmentos AB e CD forem eqipolentes, sero representados
por AB CD.
Para que o segmento AB seja eqipolente a CD (na gura
17
Vetores Geomtricos
Figura 1.7:
Figura 1.8: Neste caso, os seg-
mentos AB e CD no perten-
cem mesma reta.
(1.8)), necessrio que AB//CD e ABCD formem um paralelo-
gramo.
1.4.1 Propriedades da eqipolncia
Agora que voc j sabe o que um segmento eqipolente, vamos
apresentar-lhe as suas propriedades.
(i) AB AB (reexiva).
(ii) Se AB CD, ento CD AB (simtrica).
(iii) Se AB CD e CD EF , ento AB EF (transitiva).
(iv) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um
nico ponto D, tal que AB CD.
1.5 Vetores
Vetor determinado por um segmento orientado AB o conjunto de
todos os segmentos orientados eqipolentes a AB. Esse conjunto
indicado por ~v .
18
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
1AULA
O vetor determinado por AB denotado por:AB ou B Aou ~v.
Observao 2. Qualquer vetor
AB um representante do conjunto
vetores desde que tenha a mesma direo, mesmo sentido e com-
primento de AB.
Indicamos o mdulo (ou magnitude) de ~v por |~v|.
1.5.1 Mais algumas denies
Vetores iguais - Dois vetores
AB e
CD so iguais se, e somente
se, AB CD.
Vetor nulo - Os segmentos nulos, por serem eqipolentes entre
si, determinam um nico vetor, chamado de vetor nulo ou
vetor zero, indicado por
~0.
Vetores opostos - Dado ~v =AB, o vetor
BA o oposto de
AB
e o indicamos por AB ou ~v.
Vetor unitrio - ~v unitrio se |~v| = 1.
Versor - O versor de um vetor no nulo ~v o vetor unitrio de
mesma direo e mesmo sentido de ~v. (Veja a gura (1.9).)
19
Vetores Geomtricos
Figura 1.9: ~u1 e ~u2 so uni-
trios, mas ~u1 tem a mesma
direo de ~v. Portanto, ~u1
versor de ~v.
Figura 1.10: Neste caso, ~u, ~v
e ~w pertencem ao plano pi.
Figura 1.11: ~u, ~v e ~w no so
coplanares. Figura 1.12: ~s = ~u+ ~v
Vetores colineares - ~u e ~v so considerados vetores colineares
se tiverem a mesma direo. Em outras palavras, ~u e ~v so
colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes
mesma reta ou em retas paralelas.
Vetores coplanares - se os vetores no nulos ~u,~v e ~w tm re-
presentantes AB, CD e EF pertencentes ao mesmo plano,
dizemos que so coplanares. (Veja a gura (1.10)).
20
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
1AULA
1.6 Operaes com vetores
Agora que voc j est mais entrosado com o contedo de nossa
aula, pois j conheceu alguns conceitos importantes, podemos avan-
ar um pouquinho mais. Vamos apresentar para voc, nesta se-
gunda parte de nossa aula, os mecanismos para efetuar as opera-
es com vetores.
1.6.1 Adio
Denio 1.5. Sejam os vetores ~u e ~v representados pelos seg-
mentos orientados AB e BC. Os pontos A e C determinam um
vetor ~s, que a soma dos vetores ~u e ~v, ou seja,
~s = ~u+ ~v.
Veja a gura (1.13).
Figura 1.13: ~u = ~AB, ~v = ~BC e ~s = ~AC.
1.6.2 Propriedades da adio
Sejam ~u, ~v e ~w vetores quaisquer, valham:
Comutativa - ~u+ ~v = ~v + ~u
Associativa - (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)
21
Vetores Geomtricos
Elemento Neutro - Existe um elemento
~0, tal que
~v +~0 = ~0 + ~v = ~v, ~v.
Inverso Aditivo - Para todo vetor ~v existe um nico vetor ~v(vetor oposto de ~v), tal que
~v + (~v) = (~v) + ~v = ~0.
1.6.3 Diferena de vetores
Denio 1.6. Dizemos que
~d a diferena de dois vetores ~u e
~v se ~d = ~u ~v, ou seja,~d = ~u+ (~v).
Nas guras (1.14) e (1.15) esto representados os vetores ~u e ~v,
respectivamente, pelos segmentos orientados AB e AC. ABCD
um paralelogramo cujas diagonais AD e BC representam, respec-
tivamente, ~s e ~d (soma e diferena).
Figura 1.14: ~s = ~u+ ~v Figura 1.15: c
1.6.4 Multiplicao por um nmero real
Denio 1.7. Dados um vetor ~v 6= ~0 e um nmero real k 6= 0,chamamos de produto do escalar k pelo vetor ~v o vetor ~p = k~v, tal
que:
22
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
1AULA
1. [Mdulo] |~p| = |k~v| = |k||~v|;
2. [Direo] a mesma de ~v;
3. [Sentido]
o mesmo de ~v se k > 0,o contrrio de ~v se k < 0.
Se k = 0 ou ~v = ~0, o produto ~0.
Seja um vetor k~v, em que ~v 6= ~0. Fazendo com que k variesobre R (o conjunto dos nmeros reais), obtemos os inni-
tos vetores colineares a ~v (alm de serem tambm colineares
entre si). Por outro lado, para quaisquer dois vetores ~u e ~v,
colineares, sempre existe um k R, tal que
~u = k ~v.
O versor de ~v 6= ~0 o vetor unitrio ~u = 1|~v| ~v ou ~u =~v
|~v| .
Veja que
|~u| = ~v|~v|
= |~v||~v| = 1,para todo ~v 6= ~0. Assim, temos que ~v = |~v| ~u, ou seja, todo vetor o produto de seu mdulo pelo vetor unitrio de mesma direo e
mesmo sentido que ~v.
23
Vetores Geomtricos
1.6.5 Propriedades da multiplicao por um nmero
real
Sejam ~u e ~v vetores quaisquer e a e b nmeros reais (tambm
conhecidos como escalares). Assim, temos as seguintes proprieda-
des:
Associativa: a(b~v) = (ab)~v;
Identidade: 1~v = ~v;
Distributividade em relao aos escalares: (a + b)~v =
a~v + b~v;
Distributividade em relao aos vetores: a(~v+~u) = a~v+
a~u.
bom que voc atente para os exemplos que lhe apresentamos,
pois so fundamentais para auxili-lo na resoluo dos exerccios
ao nal desta aula.
Exemplo 1.6.1. Dados os vetores ~u, ~v e ~w, como na gura a
seguir, vamos construir o vetor 2~u 3~v + 12~w = ~s.
24
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
1AULA
Figura 1.16: Soluo, ~s =
2~u 3~v + 12~w.
1.7 ngulos de dois vetores
Denio 1.8. O ngulo de dois vetores ~u e ~v no nulos o
ngulo formado pelas semi-retas OA e OB, como na gura (1.8),
e tal que 0 pi.
Se = pi, ~u e ~v tm a mesma direo e sentidos contrrios.
Se = 0, ~u e ~v tm a mesma direo e mesmo sentido.
25
Vetores Geomtricos
Se = pi2, ~u e ~v so ortogonais (isto , so perpendiculares),
e denotamos por ~u~v. Neste caso, temos que |~u + ~v|2 =|~u|2 + |~v|2.
O vetor ~0 considerado ortogonal a qualquer vetor.
Se ~u ortogonal a ~v e m um nmero real qualquer, ~u ortogonal a m~v.
1.8 Resumo
Nesta aula, voc aprendeu que o segmento orientado no plano re-
presenta um objeto geomtrico: o vetor, que por sua vez pode ser
representado algebricamente e, como conseqncia, possibilita de-
nir operaes como adio, diferena e produto por um escalar.
26
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
1AULA
Alm disso, voc aprendeu que existe um ngulo entre dois vetores,
ainda que suas extremidades no coincidam.
1.9 Atividades
1. Decida se verdadeira ou falsa cada uma das armaes a
seguir.
(a) Se ~u = ~v, ento |~u| = |~v|.
(b) Se |~u| = |~v|, ento ~u = ~v.
(c) Se ~u ~v, ento ~u = ~v.
(d) Se ~u = ~v, ento ~u ~v.
(e) Se |~w| = |~u|+ |~v|, ento ~u ~v e ~w so paralelos.
(f) Se
AB =
DC, ento ABCD (vrtices nesta ordem)
paralelogramo.
2. Dados os vetores ~u e ~v da gura, mostrar um representante
do vetor atravs de um grco: (a) ~u ~v
(b) ~v ~u
(c) ~v 2~u
(d) 2~u 3~v
3. Determine o vetor ~x em funo de ~u e ~v nas guras a seguir.
27
Vetores Geomtricos
(a) (b) (c)
4. Dados trs pontos A, B, C no-colineares, como na gura a
seguir, representar o vetor ~x nos seguintes casos:
(a) ~x =BA+ 2
BC;
(b) ~x =12CA+ 2
BA;
(c) ~x =AC +
CB AB.
5. Sabendo que o ngulo entre os vetores ~u e ~v de 30o, deter-
minar o ngulo formado pelos vetores a seguir.
(a) ~u e ~v (b) ~u e 2~v (c) ~u e ~v (b) 3~u e 5~v
1.10 Comentrio das atividades
Se voc conseguiu fazer a atividade 1, ento entendeu os rudi-
mentos dos conceitos de mdulo e vetores paralelos. E quanto s
atividades 2,3 e 4 ? Conseguiu resolv-las? Ento j entendeu a
idia de soma, diferena de vetores, alm de multiplicao por um
escalar. E a atividade 5? Se voc conseguiu resolv-la, ajuda a
xar a idia do ngulo entre vetores. Se ainda tiver diculdades,
volte e reveja com cuidado os conceitos apresentados na aula. No
esquea que h tutores que o ajudaro a eliminar as suas dvidas.
Desde j, lembre-se de discutir os contedos com seus colegas.
28
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
1AULA
1.11 Referncias
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analtica. So Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analtica e lgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, Jos Luiz, 'lgebra Linear . So Paulo, Harbra, 1980.
29
2AULA
2LIVRO
Os Espaos Vetoriais
META
Promover a identicao de vetores
no plano e no espao e suas propri-
edades.
OBJETIVOS
Decompor um dado vetor relativa-
mente a uma base de vetores.
Estabelecer a igualdade entre veto-
res.
Reconhecer propriedades entre
vetores, como o paralelismo.
PR-REQUISITOS
Para seguir avante nesta aula, ne-
cessrio que voc tenha compreen-
dido os conceitos apresentados na
aula anterior.
Os Espaos Vetoriais
2.1 Introduo
Ol! Que bom encontr-lo novamente! Espero que tenha gostado
da nossa primeira aula. Nela denimos o objeto geomtrico, vetor
e algumas de suas propriedades.
Nesta aula, iremos identicar e localizar pontos no plano (bi-
dimensional) e no espao (tridimensional). Veremos que poss-
vel decompor um dado vetor (no plano ou no espao) com uma
combinao (linear) de outros vetores. Vericaremos tambm que
propriedades algbricas inerentes s operaes entre vetores acarre-
tam em propriedades geomtricas sobre esses, como por exemplo, a
existncia de um elemento neutro aditivo que implica um elemento
neutro na soma de vetores, a saber, o vetor nulo.
2.2 Decomposio de um vetor no Plano (R2)
Dados dois vetores no coplanares (ver Aula 1) ~v1 e ~v2, qualquer
vetor ~v pode ser decomposto dependendo de ~v1 e ~v2. Para isso,
devemos encontrar a1, a2 R, tal que
~v = a1 ~v1 + a2 ~v2 (2.1)
Exemplo 2.2.1. Sejam ~v1 e ~v2 vetores no colineares e ~v qualquer
vetor no mesmo plano de ~v1 e ~v2.
32
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
2AULA
Exemplo 2.2.2. No caso em que o vetor ~v tiver a mesma direo
de ~v1 ou de ~v2, ~v no a diagonal do paralelogramo e um dos
nmeros reais a1 ou a2 nulo.
Neste caso, o nmero a1 = 0, e a partir de ~v = a1 ~v1 + a2 ~v2,
temos que
~v = 0 ~v1 + a2 ~v2 ~v = a2 ~v2.
Denio 2.9.
1. Dizemos que ~v a combinao linear de ~v1 e ~v2 sempre
que ~v for representado como em (2.1).
2. O par de vetores ~v1 e ~v2 no colineares chamado de base
no plano.
3. Os nmeros reais a1 e a2 de (2.1) so chamados componen-
tes ou coordenadas de ~v em relao base {~v1, ~v2}.
Por convenincia, sempre tomamos as bases ortonormais.
Denio 2.10. Uma base {~e1, ~e2} considerada ortonormal seos seus vetores forem ortogonais (isto , ~e1 ~e2) e unitrios (ouseja, |~e1| = |~e2| = 1).
Observao 3. Embora tenhamos denido uma base ortonormal
como um conjunto, iremos pens-la como um conjunto ordenado,
33
Os Espaos Vetoriais
isto , numa base = {~e1, ~e2}, temos que o primeiro elemento dabase ~e1 e o segundo, ~e2.
Exemplo 2.2.3. Considere a base ortonormal ilustrada na gura(2.17),
no plano xOy, e um vetor ~v cujas componentes so 2 e 4.
Figura 2.17: ~v2 e ~v2 so ortonormais.
Notao 1. Consideraremos, de agora em diante, que os vetores
com extremidades na origem e nos pontos (1,0) e (0,1) sero re-
presentados por
~i e ~j respectivamente. Isto ,
(1, 0) =~i e (0, 1) = ~j.
Tendo uma base xada, podemos fazer uma correspondncia
biunvoca entre os pares ordenados (x, y) do plano (R2) e os veto-
res. Desta forma,
~v = (x, y)
a expresso analtica de ~v. Assim, nomeamos x como abcissa
e y como ordenada.
34
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
2AULA
Figura 2.18:
~i e ~j como base
para o plano R2.
Figura 2.19: Neste caso, o ve-
tor arbitrrio ~v = x~i+ y~j, em
que x, y R, so as compo-nentes de ~v em relao base
{~i,~j}.
Exemplo 2.2.4. Seja ~v = 2~i + (3)~j, podemos representar por~v = (2,3) R2. Perceba que,
2~j = (2, 0),
(3)~i = (0,3) e assim
~v = 2~i+ (3)~j = (2 + 0, 0 + (3)) = (2,3)
2.3 Igualdade e Operaes
2.3.1 Igualdade
Os vetores ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) so iguais se, e somente se,
x1 = x2 e y1 = y2, e assim, ~u = ~v.
Exemplo 2.3.1. Os vetores ~u = (2, 1) e ~v = (2, 1) so iguais,
porm, ~p = (2, 1) e ~q = (1, 2) no o so.
2.3.2 Operaes
Sejam os vetores ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) e R, dene-se:
35
Os Espaos Vetoriais
1. ~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2);
2. ~u = (x1, y1).
Exemplo 2.3.2. Sejam os vetores ~u = (2,1) e ~q = (1, 3), temosque
~u+ ~q = (2 + 1,1 + 3) = (3, 2)
e
3~u = (3 2, 3 (1)) = (6,3).
Figura 2.20: ~u+ ~q = (3, 2). Figura 2.21: 3~u = (6,3).
Com base nas operaes denidas anteriormente, constatamos
que o conjunto dos vetores tem as propriedades que apresentaremos
a seguir.
Teorema 2.1. Para quaisquer vetores ~u, ~v e ~w, tem-se
A1) ~u+ ~v = ~v + ~u;
A2) (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w);
A3) ~u+~0 = ~u;
A4) ~u+ ~(u) = ~0.
e para quaisquer ~u e ~v e , R, tem-se
36
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
2AULA
P1) (~u) = ()~u;
P2) (+ )~u = ~u+ ~u;
P3) (~u+ ~v) = ~u+ ~v;
P4) 1~v = ~v.
Observao 4. O vetor
~0 denota o vetor nulo, isto , ~0 = (0, 0).
Demonstrao. importante que voc acompanhe o nosso racio-
cnio, pois vamos vericar a seguir algumas das propriedades que
j apresentamos. Dados ~u = (x1, y1), ~v = (x2, y2) e ~w = (x3, y3),
temos que:
em (A1),
~u+ ~v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).
Mas como sabemos que as coordenadas de ambos os vetores
so nmeros reais, e como os reais so comutativos em relao
soma, ou seja, x1 + x2 = x2 + x1 e y1 + y2 = y2 + y1, assim
~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1)
= (x2, y2) + (x1, y1) = ~v + ~u.
em (A4), iremos supor ~w = (a1, a2), tal que
~0 = ~u+ ~w = (x1, y1) + (a1, a2) = (x1 + a1, y1 + a2)
Deste modo, ~u+ ~w = ~0 (x1 +a1, y1 +a2) = (0, 0), e assim,
x1 + a1 = 0 e y1 + a2 = 0 a1 = x1 e a2 = y1,
portanto, ~w = (x1,y1) = ~u.
37
Os Espaos Vetoriais
j em (P2), sejam , R, tal que
(+ )~u = (+ ) (x1, y1) = ((+ )x1, (+ )y1) .
Mas sabemos que os nmeros reais so comutativos em rela-
o soma e multiplio, como tambm tm a propriedade
da distributividade,
((+ )x1, (+ )y1) = (x1 + x1, y1 + y1)
= (x1, y1) + (x1, y1)
e assim,
(+ )~u = (x1, y1) + (x1, y1)
= (x1, y1) + (x1, y1) = ~u+ ~u.
Agora que voc acompanhou o nosso raciocnio e compreendeu
todo o desenvolvimento das propriedades demonstradas, deixamos
para voc a atividade a seguir.
Exerccio 2.3.1. Mostre cada um dos itens das propriedades que
no foram demonstradas.
Exemplo 2.3.3. Dados os vetores ~u = (3,1) e ~v = (1, 2), naequao
4(~u ~v) + 13~w = 2~u ~w
pretendemos determinar o vetor ~w. Para isso, faremos uso das
propriedades das operaes entre vetores. Faamos
4(~u ~v) + 13~w = 2~u ~w
13~w + ~w = 2~u 4(~u ~v)
43~w = 2~u+ 4~v
38
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
2AULA
ento, temos
43~w = 2~u+ 4~v
4~w = 6~u+ 12~v ~w =
64~u+
124~v
~w =32~u+ 3~v.
Fazendo a substituio, chegamos a
~w =32~u+ 3~v
~w =32
(3,1) + 3(1, 2)~w =
(92,32
)+ (3, 6)
ou podemos escrever assim: ~w =(9
2 3, 3
2+ 6)
=(15
2,152
),
ou se preferir, desta forma:
~w =15
2(1,1)
.
Denio 2.11 (Vetor Definido por Dois Pontos). Consi-
dere o vetor
AB de origem no ponto A = (x1, y1) e extremidade
em B = (x2, y2). Como na gura (2.22), as coordenadas deAB
so obtidas por
AB = B A, assim
AB = (x2 x1, y2 y1).
Exemplo 2.3.4. Na gura (2.24), observamos que os segmentos
orientados AB, CD e OP representam o mesmo vetor (3, 1), poisAB = B A = (1, 4) (2, 3) = (3, 1)CD = D C = (4, 3) (1, 2) = (3, 1)OP = P O = (3, 1) (0, 0) = (3, 1)
39
Os Espaos Vetoriais
Figura 2.22:
~AB = B AFigura 2.23:
~AB = (x2 x1, y2 y1)
Figura 2.24: Os segmentos orientados AB, CD e OP representam
o mesmo vetor (3, 1).
2.4 Decomposio do Espao (R3)
Nesta segunda etapa de nossa aula, procederemos nossos estudos
de forma anloga decorrida na seo (2.2), porm, com algumas
adequaes necessrias.
Dados trs vetores no coplanares ~v1, ~v2 e ~v3, qualquer vetor ~v
pode ser decomposto dependendo de ~v1, ~v2 e ~v3. Para isso, devemos
encontrar a1, a2, a3 R, tal que
~v = a1 ~v1 + a2 ~v2 + a3 ~v3 (2.1)
40
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
2AULA
Analogamente ao que ocorre no plano, o vetor ~v a combino
linear dos vetores da base, isto , sempre existem nmeros reais
a1, a2, a3, tal que a decomposio do espao seja satisfeita, em que
a1, a2, a3 so as componentes de ~v em relao base considerada
(neste caso, {~v1, ~v2, ~v3}).Uma base no espao ortonormal se os trs vetores forem uni-
trios e, dois a dois, ortogonais. Assim como zemos para o plano,
iremos adotar uma base entre muitas, como a base cannica re-
presentada por {~i,~j,~k}.Em alguns livros so
adotados {e1, e2, e3}em vez de {~i,~j,~k} eainda representando o
vetor por uma letra do
alfabeto, v em vez de~v.
A reta com a direo de
~i o eixo dos x (das abscissas), a
reta com a direo do vetor
~j o eixo dos y (das ordenadas) e a
reta com a direo do vetor
~k o eixo dos z (das cotas). As setas
indicam o sentido positivo de cada eixo. Esses eixos so chamados
de eixos coordenados.
Observao 5. O vetor
~0 denota o vetor nulo, isto , ~0 = (0, 0, 0).
Cada par de eixos determina um plano coordenado, como ilus-
trado nas guras (2.25), (2.26) e (2.27).
Notao 2. A cada ponto P no espao (R3) corresponde uma terna
(x1, y1, z1) de nmeros reais chamados coordenadas de P .
41
Os Espaos Vetoriais
Figura 2.25: plano
xy
Figura 2.26: plano
xz
Figura 2.27: plano
yz
Figura 2.28: P = (x1, y1, z1) Figura 2.29: P = (2, 4, 3)
Observando a gura (2.29), temos:
A = (2, 0, 0) - ponto no eixo dos x quando y = z = 0.
B = (0, 4, 0) - ponto no eixo dos y quando x = z = 0.
C = (0, 0, 3) - ponto no eixo dos z quando x = y = 0.
D = (2, 4, 0) - ponto no plano xy quando z = 0.
E = (0, 4, 3) - ponto no plano yz quando x = 0.
F = (2, 0, 3) - ponto no plano xz quando y = 0.
Seja ~v = x~i+ y~j + z~k, em que x, y e z so as componentes de
~v na base cannica {~i,~j,~k}, como zemos para vetores no plano.
42
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
2AULA
Figura 2.30: ~v = x~i+ y~j + z~kFigura 2.31: ~v = 2~i+ 4~j + 3~k
O conjunto formado por um ponto e por uma base constitui
um sistema referencial.
O espao tem trs dimenses, ou seja, tridimensional,porque qualquer uma de suas bases tem trs vetores.
O plano tem dimenso 2, ou seja, bidimensional.
A reta tem dimenso 1, ou seja, unidimensional.
Por outro lado, a representao geomtrica do conjunto R a reta
chamada de reta real. O produto cartesiano RR = R2 (ou ainda,R2 = {(x, y);x, y R}) tem como representao geomtrica oplano cartesiano. E por m, o produto cartesiano RRR = R3
(ou ainda, R3 = {(x, y, z);x, y, z R}) tem como representaogeomtrica o espao cartesiano.
2.4.1 Igualdade e Operaes
Denio 2.12 (Igualdade). Dois vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v =
(x2, y2, z2) so iguais se, e somente se, x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.
43
Os Espaos Vetoriais
Figura 2.32: Reta
real, R.
Figura 2.33: Plano
cartesiano, R2 =
R R.
Figura 2.34: Espao
cartesiano, R3 =
R R R.
Denio 2.13 (Soma e Produto por um escalar). Dados
os vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) e R, dene-se:
~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
~u = (x1, y1, z1)
Na soma 2~i + 4~j + 3~k, sabendo
que
2~i = 2(1, 0, 0) = (2, 0, 0)
4~j = 4(0, 1, 0) = (0, 4, 0)
3~k = 3(0, 0, 1) = (0, 0, 3)
Observando no plano xy, temos
que:
~v = 2~i+ 4~j + ~k
= (2, 0, 0) + (0, 4, 0) +(0, 0, 3)vetor tracejato
= (2, 4, 0) + (0, 0, 3)= (2, 4, 3)
Figura 2.35: A soma dos ve-
tores que esto no plano xy,
2~i+ 4~j, ilustrada pelo vetor
tracejado, enquanto a soma do
vetor tracejado ao vetor 3~k re-
sulta no vetor ~v .
44
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
2AULA
Denio 2.14 (Vetor Definido por Dois Pontos). Se A =
(x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) so dois pontos quaisquer no espao,
ento
AB = (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
Notao 3. Em vez de escrever ~v = 2~i+ 3~j+ 4~k, podemos escrever
~v = (2, 3, 4). Assim,
~i~j = (1, 1, 0)2~i 3~j + ~k = (2,3, 1)
4~k = (0, 0, 4)
em particular, {~i,~j,~k} = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
Denio 2.15 (Condio de Paralelismo de Dois Veto-
res). Se dois vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) so coline-
ares (ou paralelos), existe um nmero R, tal que ~u = ~v, ouseja (x1, y1, z1) = (x2, y2, z2). Esta a condio de paralelismo de
dois vetores. Representamos por ~u//~v dois vetores ~u e ~v paralelos.
Exemplo 2.4.1. Determinar os valores de m e n para que sejam
paralelos os vetores ~u = (m+ 1, 3, 2) e ~v = (2, 1, 2n).
Para encontrarmos m e n, iremos usar a condio de parale-
lismo de dois vetores, assim, temos
(m+ 1, 3, 2) = (2, 1, 2n),
ou seja, m+ 1 = 2
3 =
2 = 2n
.
O que resulta em m = 5 e n = 1/3.
45
Os Espaos Vetoriais
2.5 Resumo
Nesta aula, aprendemos que um vetor pode ser decomposto sob
uma combinao linear de outros vetores. Conhecemos o conceito
de base ortonormal e aprendemos que possvel us-lo para descre-
ver qualquer vetor num plano (ou espao) coordenado, como uma
combinao linear dos vetores desta base. Alm disso, tambm
vericamos algumas propriedades das operaes entre vetores.
2.6 Atividades
1. Exprima o vetor ~w = (1, 1) como combinao linear de ~u =
(2, 1) e ~v = (1,1).
2. Quais so as condies de a e b, nmeros reais, para que os
vetores do plano ~u = (2a+1, 1) e ~v = (3, 2b3) sejam iguais?
3. Dados os vetores ~u = (2,4), ~v = (5, 1) e ~w = (12, 6),determinar k1 e k2, tal que ~w = k1~u+ k2~v.
4. Encontre os nmeros 1 e 2, tal que ~w = 1~v1 +2~v2, sendo
~v1 = (1,2, 1), ~v2 = (2, 0, 4) e ~w = (4,4,10).
5. No quadrado ABCD tem-se A = (1,3) e B = (5, 6).Quais so as coordenadas dos vrtices C e D?
46
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
2AULA
6. Mostre que qualquer conjunto {~v1, ~v2} de vetores no coline-ares constitui uma base no plano.
7. Seja ABCD um quadriltero. Se E o ponto mdio dos
Dizemos que E oponto mdio de um seg-
mento cujas extremida-
des so A = (x1, y1) eB = (x2, y2) se, e so-mente se,
E =x1 + x2
2,y1 + y2
2
.
segmentos AC e BD simultaneamente, sendo A = (0, 0),
B = (1, 1), C = (0, 2) e D = (1, 1), mostre que ABCD um paralelogramo.
8. D um exemplo no plano que seja baseado na armao do
item (6).
9. Mostre que os pontos A = (4, 0, 1), B = 5, 1, 3), C = (3, 2, 5)
e D = (2, 1, 3) so vrtices de um paralelogramo.
10. Se os vetores ~u e ~v tm o mesmo comprimento, demonstre
que ~u+ ~v e ~u ~v so ortogonais. E a recproca?
2.7 Comentrio das atividades
Voc concluiu as atividades 1,2,3 e 4? Para resolv-las enten-
deu e utilizou o conceito de combinao linear. Se resolveu
as questes 5,6 e 9, ento entendeu os conceitos de operaes
entre vetores e vetores denidos por dois pontos. E as ati-
vidades 7 e 8? Conseguiu conclu-las? Ento voc entendeu
o conceito de paralelismo entre vetores. J na questo 10,
voc usou o conceito de vetores ortogonais.
47
Os Espaos Vetoriais
2.8 Referncias
BOLDRINI, Jos Luiz. lgebra Linear. So Paulo: Harbra,
1980.
LIMA, Elon Lages. Geometria Analtica e lgebra Linear.
Rio de Janeiro: IMPA, 2005.
STEINBRUCH, Alfredo. Geometria Analtica. So Paulo: Ma-
kron Books, 1987.
48
3AULA
2LIVRO
Produto de Vetores -
Parte I
META:
Apresentar a denio de produto
escalar (ou produto interno) entre
vetores e suas propriedades.
OBJETIVOS:
Reconhecer e efetuar produtos esca-
lares entre vetores. Interpretar, geo-
metricamente, os produtos vetoriais
entre vetores, como o ngulo entre
vetores, a desigualdade triangular e
a projeo de um vetor sobre outro.
Produto de Vetores - Parte I
3.1 Introduo
Ol, caro aluno! Estamos aqui, novamente, para mais uma de
nossas aulas. Espero que os contedos apresentados nas aulas
anteriores tenham sido produtivos para voc. Est conseguindo
acompanhar o nosso raciocnio? Esto surgindo muitas dvidas?
Lembre-se de que h um tutor para esclarec-las, e bom que voc
entre em contato com ele sempre que necessrio.
Nesta aula, introduziremos o primeiro conceito sobre produto
entre vetores, a saber, o produto escalar (ou produto interno), em
que dois vetores so convertidos em um escalar. Alm disso, vamos
estudar suas propriedades e como interpretar os vetores geometri-
camente. Abordaremos, tambm, uma desigualdade triangular.
3.2 Produto Escalar
Denio 3.16. Dados os vetores ~u = x1~i + y1~j + z1~k e ~v =
x2~i + y2~j + z2~k, denimos que o produto escalar (ou produto
interno usual), representado por ~u ~v (tambm indicado por~u,~v), o nmero real
~u,~v = x1x2 + y1y2 + z1z2
Em particular, se ~u, ~v R2, em que ~u = x1~i+ y1~j e ~v = x2~i+y2~j, o produdo escalar ca denido de forma anloga anterior,
isto ,
~u,~v = x1x2 + y1y2.
Exemplo 3.2.1. Sendo ~v = 3~i~j2~k e ~w =~i+~j~k vetores emR3, podemos escrev-los como, ~v = (3,1,2) e ~w = (1, 1,1), e
50
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
3AULA
assim
~v, ~w = (3,1,2), (1, 1,1) = 3 1 + (1) 1 + (2) (1)
~v, ~w = 4
Denio 3.17. Denominamos de mdulo de um vetor ~v =
(x, y, z), representado por |~v|, o nmero real no negativo,
|~v| =~v,~v (3.1)
que em coordenadas ca
|~v| =x2 + y2 + z2.
Em R2, podemos denir mdulo de modo similar, ou seja, dado
um vetor no plano ~u = (x, y), seu mdulo ser o nmero real no
negativo
|~u| =~u, ~u
, ou ainda em coordenadas
, |~u| =x2 + y2.
Exemplo 3.2.2.
Seja ~v R3, com ~v = (1, 0,1) |~v| = 12 + 02 + (1)2 =
2.
Seja ~v R2, com ~v = (2,5) |~v| =
(2)2 + (5)2 =
9 = 3.
(Versor de um Vetor) Seja ~v R3, dado por ~v = (1, 0,1),o seu versor ~w ser dado por
~w =~v
|~v| =12
(1, 0,1)
51
Produto de Vetores - Parte I
e assim,
~w = 12(1, 0,1)
= ( 12 , 0, 12)
=
(12
)2+ 02 +
( 1
2
)2=
22
= 1
O versor do vertor ~v , na verdade, um vetor unitrio.
(Distncia entre dois pontos) A distncia entre doispontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) dada por
d(A,B) =AB = |B A|e, deste modo,
d(A,B) =
(x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2, A,B R3.
coincide com a denio de distncia entre dois pontos no
espao. Para o caso do plano, basta-nos suprimir a terceira
coordenada, isto ,
d(A,B) =
(x2 x1)2 + (y2 y1)2,
neste caso, A = (x1, y1), B = (x2, y2) pontos do R2.
3.2.1 Propriedades do Produto Interno
Para quaisquer que sejam os vetores ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2), ~w =
(x3, y3, z3) em R3 e R, tal que:
(i) ~u, ~u 0 e ~u, ~u = 0 ~u = ~0 = (0, 0, 0). De fato, pois pordenio ~u, ~u 0, e se ~u, ~u = 0, ento |~u| = 0 ~u = ~0.
(ii) ~u,~v = ~v, ~u (Comutativa) Veja que ~u,~v = x1x2 +y1y2+z1z2 = x2x1+y2y1+z2z1 = ~v, ~u, pois as coordenadasde ~u e ~v so nmeros reais e valem a comutatividade do
produto e da soma em R.
52
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
3AULA
(iii) ~u, (~v+ ~w) = ~u,~v+ ~u, ~w (Distributiva com relao soma de vetores) De fato, pois
~u, (~v + ~w) = (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) + (x3, y3, z3)= (x1, y1, z1), (x2 + x3, y2 + y3, z2 + z3)= x1(x2 + x3) + y1(y2 + y3) + z1(z2 + z3)
= (x1x2 + y1y2 + z1z2) + (x1x3 + y1y3 + z1z3)
= ~u,~v+ ~u, ~w
(iv) ~u,~v = ~u,~v = ~u, ~vExerccio 3.2.1. A vericao desta propriedade ca como
atividade para voc.
(v) ~u, ~u = |~u|2 De fato, temos que |~u| = ~u, ~u. Assim,(|~u|)2 =
(~u, ~u
)2 |~u|2 = ~u, ~u
Exemplo 3.2.3. |~u+ ~v|2 = |~u|2 + 2~u,~v + |~v|2 para quaisquervetores ~u~v R2 (esta igualdade tambm vlida caso os vetorespertenam ao R3).
Temos que
|~u+ ~v|2 = ~u+ ~v, ~u+ ~v= ~u, ~u+ ~v+ ~v, ~u+ ~v (pela propriedade (ii) e (iii))= ~u, ~u+ ~u,~v+ ~v, ~u+ ~v,~v (por (iii))= |~u|2 + 2~u,~v+ |~v|2
Denio 3.18 (ngulo de Dois Vetores). Se ~u 6= ~0, ~v 6= ~0e se o ngulo dos vetores ~u e ~v, ento:
~u,~v = |~u| |~v| cos (3.2)
53
Produto de Vetores - Parte I
Esta denio tambm no depende da condio de os vetores
estarem em R2 (no plano) ou em R3 (no espao). Assim, caro
aluno, importante que voc atente para o que preciso fazer caso
queiramos obter o ngulo a partir dos vetores j conhecidos.
Veja que na equao (3.2)temos o seguinte
cos =~u,~v|~u| |~v| (3.3)
e assim, obtemos
= arc cos( ~u,~v|~u| |~v|
)(3.4)
Exemplo 3.2.4. Para calcular o ngulo entre os vetores ~u =
(1, 1, 4) e ~v = (1, 2, 2), faamos o seguinte movimento
cos =~u,~v|~u| |~v| =
(1, 1, 4), (1, 2, 2)|(1, 1, 4)| |(1, 2, 2)|
cos =1 + 2 + 8
18 3 =9
9
2=
22
= arc cos(
22
)E assim, temos que = 45o.
Em relao ao ngulo entre dois vetores ~u e ~v, percebemos que:
1. ~u,~v > 0, com base na equao (3.3), temos que cos > 0,e assim 0 < 90o ( ou seja, um ngulo agudo).
2. ~u,~v < 0, por (3.3), temos que cos < 0, e assim 90o b ( ou a2 > b2). Por exemplo,
na equao reduzida
x2
4+y2
9= 1
o maior denominador 9. E pelo fato de ser o denominador de y2,
isso signica que o eixo maior est sobre o eixoy.
Exemplo 9.3.1. Veja a equao da elipse dada por 4x2+y216 =0, temos que na forma reduzida ca da seguinte forma
x2
4+y2
16= 1
Como o maior denominador 16, as medidas dos semi-eixos so
a = 4 e b = 2. De a2 = b2 + c2 16 = 4 + c2 e assim, c2 = 12c =
12. Portanto, os focos so F1 = (0,
12) e F2 = (0,
12).
Em relao excentricidade, podemos dizer que
e =c
a=
124
=2
34
=
32.
Logo, e =
32.
144
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
9AULA
9.4 Translao da elipse
Na seo anterior, estudamos a equao reduzida da elipse em duas
situaes:
(a) quando o eixo maior est sobre o eixo x;
(b) quando o eixo maior est sobre o eixo y.
Nesta seo, vamos estudar a translao dessa cnica, consi-
derando a relao de paralelismo entre a elipse e os eixos x eySeja uma elipse de centro C = (h, k) 6= (0, 0). Iremos conside-rar apenas os casos em que os eixos da elipse sejam paralelos aos
eixos coordenados.
(i) O eixo maior paralelo ao eixox.Nossa intenso ser de obter um novo sistema de coordenadas
xOy, em que a elipse tem o semi-eixo maior sobre o eixox.Portanto, sua equao reduzida
(x)2
a2+
(y)2
b2= 1
Para isso, utilizamos as seguintes frmulas de translao
x = x h e y = y k
145
Cnicas - Parte II
atravs das quais, fazendo as devidas substituies, temos
(x h)2a2
+(y k)2
b2= 1 (9.1)
que a forma padro para este caso. (Veja a gura 9.4.)
Figura 9.70: x = x h e y = y k.
(ii) O eixo maior paralelo ao eixoy.Analogamente ao caso (i), temos
(x h)2b2
+(y k)2a2
= 1 (9.2)
Exemplo 9.4.1. Uma elipse cujo eixo maior paralelo ao eixoytem centro C = (4,2), excentricidade e = 1
2e eixo menor de
medida 6. Vamos obter a equao dessa elipse.
Como o eixo maior da elipse paralelo ao eixoy, sua equao da forma
(x h)2b2
+(y k)2a2
= 1,
sendo h = 4 e k = 2. Alm disso, percebemos que 2b = 6, ouseja, b = 3. E pelo fato de
e =c
a= 12 c = a
2
temos ainda que a2 = b2 + c2 nos conduz a
a2 = 32 +(a
2
)2 a2 = 9 + a24 a2 = 12
146
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
9AULA
E assim, a equao da elipse
(x 4)29
+(y + 2)2
12= 1
Agora, podemos ainda trabalhar um pouco mais essa expresso.
De
(x 4)29
+(y + 2)2
12= 1
4(x2 8x+ 16) + 3(y2 + 4y + 4) = 36
4x2 + 3y2 32x+ 12y + 40 = 0
a equao geral dessa elipse.
Na verdade, qualquer elipse cujos eixos esto sobre os eixos
coordenados ou so paralelos a eles sempre pode ser representada
por uma equao geral na forma
ax2 + by2 + cx+ dy + f = 0, (9.3)
com a e b de mesmo sinal. Quando a = b, essa equao representa
uma circunferncia. Por exemplo, quando a = b = 1, c = d = 0 e
f = 2, a equao ser
x2 + y2 4 = 0,
que representa uma circunferncia centrada na origem de raio 4.
9.5 Equaes paramtricas da elipse
Considere a equao
x2
a2+y2
b2= 1. Agora, tracemos uma circunfe-
rncia de centro O e raio igual ao semi-eixo maior da elipse.
147
Cnicas - Parte II
Seja P = (x, y) um ponto arbitrrio da elipse. A reta que passa
por P , paralela ao eixoy, intercepta a circunferncia no ponto Ae o raio AO determina com o eixox um ngulo . Assim, do
Figura 9.71: OA = OA cos .
tringulo AOA temos OA = OA cos , ou x = a cos , ento
(a cos )2
a2+y2
b2= 1 y
2
b2= 1 cos2 y
2
b2= sen 2
Portanto, y = bsen . Para que a cada valor de faamos cor-
responder um s ponto da elipse P , podemos concluir que deve
pertencer ao intervalo [0, 2pi]. Ento, o parmetro. x = a cos y = bsen 0 2pi (9.1)so as equaes paramtricas dessa elipse.
Observao 14. De x = a cos y = bsen
x
a= cos
y
b= sen
e assim,
x2
a2+y2
b2= 1, pois, cos2 + sen 2 = 1.
148
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
9AULA
Caso a elipse tenha o eixo maior sobre o eixoy, constatamosque
x2
b2+y2
a2= 1 tem equaes paramtricas x = b cos y = asen (9.2)
E quando o centro da elipse for C = (h, k), pela translaodos eixos obtemos x = h+ a cos y = k + bsen (eixo maior paralelo ao eixox)(9.3) x = h+ b cos y = k + asen (eixo maior paralelo ao eixoy)(9.4)Exemplo 9.5.1. Vericamos que a equao reduzida de 9x2 +
4y2 54x+ 16y + 61 = 0 dada por(x 3)2
4+
(y + 2)2
9= 1
e assim, a elipse tem como centro C = (3,2), com a = 3 e b = 2.Portanto, x = 3 + 2 cos y = 2 + 3sen so as equaes paramtricas da elipse.
9.6 Resumo
Nesta aula, conhecemos um pouco mais sobre a elipse e suas pro-
priedades. Aprendemos que a excentricidade responsvel por
determinar a forma da elipse, que pode ser circular ou achatada,
ou ainda variar quanto ao tamanho. Tambm foi possvel conhecer
algumas de suas formas de representao, como a equao reduzida
e a equao paramtrica da elipse.
149
Cnicas - Parte II
9.7 Atividades
1. Em cada um dos itens a seguir, esboce o grco e determine
os vrtices A1 e A2, os focos e a excentricidade das elipses
dadas:
(a)
x2
25+y2
4= 1;
(b) 9x2 + 16y2 144 = 0;
(c) 9x2 + 5y2 45 = 0;
(d) x2 + 2y2 5 = 0.
2. Esboce o grco de uma elipse com as seguintes excentrici-
dades:
(a) 1/2;
(b) 1/3.
3. Em cada um dos itens a seguir, determine uma equao da
elipse que satisfaa as condies dadas e esboce seu grco.
(a) focos F1 = (4, 0) e F2 = (4.0), eixo maior igual a 10;
(b) focos F1 = (0,5) e F2 = (0, 5), eixo menor igual a 10;
(c) vrtices A1 = (10, 0) e A2 = (10, 0), excentricidade1/2;
(d) centro C = (0, 0), eixo menor igual a 6, focos no eixo
dos x e passando pelo ponto (25, 2).
4. Obtenha a equao paramtrica da elipse das seguintes equa-
ces:
(a) x2 + y2 = 36;
150
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
9AULA
(b) 9x2 + 16y2 = 1;
(c) 49(x+ 7)2 + y2 = 7.
5. Obtenha a equao geral da elipse das equaes paramtricas
a seguir:
(a)
x = cos y = 3sen ;(b)
x =
2 cos
y = 1 + sen
6. Quais so as tangentes elipse x2 + 4y2 = 32 que tm incli-
nao igual a 1/2?
7. Um satlite de rbita elptica e excentricidade 1/3 viaja ao re-
dor de um planeta situado num dos focos da elipse. Sabendo-
se que a distncia mais prxima do satlite ao planeta de
300 km, calcule a maior distncia.
9.8 Comentrio sobre as Atividades
Voc resolveu as atividades 1,2,3 e 7? Ento entendeu a denio
da elipse e seus componentes (focos, vrtices, excentricidade). Se
conseguiu resolver a atividade 6, ento voc j tem uma idia de
como funciona a equao geral da elipse. Se concluiu a 4 e a 5, j
sabe como obter a equao paramtrica da elipse e aplic-la.
9.9 Referncias
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analtica. So Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
151
Cnicas - Parte II
LIMA, Elon Lages , Geometria Analtica e lgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, Jos Luiz, 'Algebra Linear . So Paulo, Harbra, 1980.
152
10AULA
2LIVRO
Cnicas - Parte III
META
Apresentar a denio de equaes
de planos no espao e suas propri-
edades geomtricas direcionadas
hiprbole.
OBJETIVOS
Identicar a hiprbole no plano.
Comparar ou diferenciar algumas
formas de representar a hiprbole
com base nas equaes reduzidas e
paramtricas da elipse.
PR-REQUISITOS
Para que voc possa ter um bom
desempenho nesta aula, necessrio
que tenha assimilado os contedos
das aulas anteriores, desde a pri-
meira at a stima.
Cnicas - Parte III
10.1 Introduo
Ol! Chegamos metade de nossa disciplina. Isto signica que
j temos boa parte das ferramentas matemticas para avanarmos
nos prximos contedos.
Na aula passada, entramos em contato com a elipse e suas pro-
priedades, alm das formas para represent-la. Nesta aula, vamos
apresentar a hiprbole e suas propriedades. Tambm veremos que
possvel representar hiprboles por equao reduzida e param-
trica.
10.2 Hiprbole
Da mesma forma como apresentamos para voc as diferentes for-
mas de representar a parbola e a elipse, atravs das equaes
reduzida e paramtrica, assim procederemos com a hiprbole. Va-
mos dar incio pela sua denio.
Denio 10.33. Hiprbole
Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e a um nmero real positivo.
Chamamos de hiprbole de focos F1 e F2 o conjunto dos pontos
P do plano cuja diferena das distncias aos pontos F1 e F2 , em
valor absoluto, igual a 2a.
Assim, o ponto P pertence a essa hiprbole H se, e somente se,
|d(P, F1) d(P, F2)| = 2a (10.1)
A hiprbole H tem dois ramos, um formado pelos pontos P paraos quais a diferena positiva d(P, F1)d(P, F2) = 2a, e outro emque essa diferena negativa, isto , d(P, F1) d(P, F2) = 2a.
154
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
10AULA
Figura 10.72: |d(P, F1) d(P, F2)| = 2a
Considere no plano dois pontos quaisquer F1 e F2 com d(F1, F2) =
2c. Chamando de C o ponto mdio do segmento de F1F2, tracemos
uma circunferncia de centro C e raio c.
Tomemos um valor arbitrrio a, com a < c, e marquemos so-
bre o segmento F1F2, a partir de C, os pontos A1 e A2, tal que
d(C,A1) = d(C,A2) = a. Por esses pontos tracemos cordas per-
pendiculares ao dimetro F1F2. As quatro extremidades dessas
cordas so os vrtices de um retngulo MNPQ inscrito nesta cir-
cunferncia. Tracemos as retas r e s que contm as diagonais do
retngulo e a hiprbole, como ilustrada na gura (10.2).
Notao:
Focos: so os focos F1 e F2.
Distncia focal: a distncia 2c entre os focos.
Centro: o ponto mdio C do segmento F1F2.
Vrtice: so os pontos A1 e A2.
Eixo real ou transverso: o segmento A1A2 de comprimento
2a.
155
Cnicas - Parte III
Figura 10.73: Hiprbole com focos F1 e F2.
Eixo imaginrio ou no-transverso: o segmento B1B2 de
comprimento 2b, com B1B2 A1A2 em C.
Assntotas: so as retas r e s.
Perceba que os pontos A1 e A2 pertencem hiprbole, pois
satisfazem a denio (10.33).Assim, observe que
d(A1, F1) = c a e d(A1, F2) = a+ c
alm de
|d(A1, F1) d(A1, F2)| = | 2a| = 2a.
O retngulo MNPQ tem dimenses 2a e 2b, sabendo que a a
medida de semi-eixo real e b a medida do semi-eixo imaginrio,
assim, vale a relao
c2 = a2 + b2 (10.2)
As assntotas so as retas de que a hiprbole se aproxima cada
vez mais medida que os pontos se afastam do vrtice. Essa
aproximao "contnua"e "lenta", de forma que a tendncia da
hiprbole tangenciar as suas assntotas no innito.
156
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
10AULA
Observando ainda a gura (10.2), percebemos que as retas for-
mam um ngulo () no ponto C. O ngulo chamado de aber-
tura da hiprbole.
Denio 10.34. Chama-se de excentricidade da hiprbole o
nmero
e =c
a. (10.3)
A excentricidade da hiprbole est inuenciada diretamente na
abertura.
Atentando para a gura (10.2), constatamos temos que c > a
e tem-se e > 1. Porm,
(mantendo o c xo) fazendo a quanto menor possvel (aproximando-se de zero), aumenta o valor de e,
(mantendo o c xo) fazendo a o mais prximo possvel de c,vericamos que e se aproxima de 1, e
caso e = 2, a hiprbole ter que r s e ser chamada dehiprbole equiltera.
Agora que voc j teve contato com a primeira parte terica
sobre a hiprbole, veja a seguir como ela pode ser aplicada na
prtica.
Exemplo 10.2.1 (Uma aplicao). Imagine a seguinte situa-
o: um atirador dispara sua arma contra o muro e um observador
ouve o estampido e o impacto da bala no alvo simultanemante.
Qual a localizao do observador em relao ao muro e ao atira-
dor?
Vamos soluo?
157
Cnicas - Parte III
Assim, considere a velocidade do som constante
1
e a velocidade
da bala
2
como o dobro da velocidade do som, isto , se vsom e vb
so as velocidades do som e da bala, ento vb = 2vsom. Sejam t1 o
tempo para a bala percorrer o trajeto do atirador ao muro e t2 e
t3 os tempos gastos pelo som para percorrer as distncias d2 e d3
em que:
(d1) a distncia do atirador ao muro;
(d2) a distncia do observador ao muro;
(d3) a distncia do atirador ao observador,
respectivamente.
Sendo assim,
vb =d1t1, vsom =
d2t2, vsom =
d3t3
1
A velocidade do som de aproximadamente 340 m/s ao nvel do mar.
2
Existem armas que disparam projteis a velocidades muitas vezes superi-
ores do som, chegando a mais de 3000 m/s.
158
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
10AULA
t1 =d1vb, t2 =
d2vsom
, t3 =d3vsom
Perceba que o tempo gasto pela bala para chegar ao muro (t1),
acrescido do tempo gasto do momento de impacto chegada do
som at o observador (t2), deve ser igual ao tempo que o som do
disparo percorre at o observador, ou seja,
t3 = t1 + t2.
Assim,
d3vsom
=d1vb
+d2vsom
d3vsom
d2vsom
=d1vb (d3 d2)
vsom=d1vb
O que nos d a equao
d3 d2 = d1vsomvb
.
Note que se zermos vb = 2vsom o quociente vb/vsom = 1/2 e se
colocarmos d1 = 2c, a equao anterior ca:
d3 d2 = c = 2a.
Portanto, o observador ouve o impacto da bala no muro e o dis-
paro no mesmo instante de tempo se, e somente se, ele estiver
sobre algum ponto da hiprbole de focos A e B com eixo real de
comprimento 2a = d1/2.
Exerccio 10.2.1. Pense nas hipteses do exemplo (10.2.1), mas,
desta vez, vamos considerar que a velociadade da bala vb seja arbi-
trria. Diante disso, qual dever ser a posio do observador para
que ele oua ambos os sons (do impacto da bala no muro e do
disparo simultaneamente)?
[Sugesto: mostre que a excentricidade da hiprbole
dada por vb/vsom e faa as concluses a respeito da po-
sio do observador.]
159
Cnicas - Parte III
10.3 Equaes reduzidas
Assim como j vimos nas duas cnicas que estudamos nas ltimas
aulas, a hiprbole tambm pode ser representada por equaes
reduzidas. o que iremos apresentar para voc a partir de agora.
Seja a hiprbole de centro C = (0, 0). Consideremos os seguin-
tes casos:
(i) o eixo real est sobre o eixox.Sendo P = (x, y) um ponto arbitrrio da hiprbole de focos
F1 = (c, 0) e F2 = (c, 0), pela denio (10.33), temos
|d(P, F1) d(P, F2)| = 2a
e em coordenadas(x+ c)2 + (y 0)2 (x c)2 + (y 0)2 = 2a, com c2 = a2+b2
x2
a2 y
2
b2= 1 (10.1)
A equao (10.1) chamada de equao reduzida da hiprbole
para este caso.
(ii) o eixo real est sobre o eixoy.Procedendo de forma anloga ao caso (i), obtemos a equao
reduzida (veja a gura (10.3)
y2
a2 x
2
b2= 1 (10.2)
Exemplo 10.3.1. Na equao reduzida
x2
9 y
2
4= 1 (10.3)
em que a2 = 32 = 9 e b2 = 22 = 4.
160
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
10AULA
Figura 10.74: Os focos F1 e F2 esto sobre o eixox.
Figura 10.75: Os focos F1 e F2 esto sobre o eixoy.
Observe que os vrtices so A1 = (3, 0) e A2 = (3, 0), quepoderiam ser obtidos a partir de (10.3. Tomando y = 0,
temos que
x2
9= 1 x = 3.
Por outro lado, veja que tomando x = 0 em (10.3), verica-
mos que y2 = 4, e assim, no h pontos da hiprbole quecorte o eixoy.
A hiprbole simtrica em relao aos eixos coordenados e
161
Cnicas - Parte III
origem, pois as potncias de x e y so pares.
As retas r e s so as assntotas da hiprbole, pois ambaspassam pelo centro da hiprbole (neste caso, coincidem com
a origem do sistema). Podemos observar que ambas as retas
tm equaes na forma y = mx, em que m o coeciente de
inclinao da reta. Notamos que:
1. na reta r, m1 =b
a m1 = 23 ;
2. e na reta s, m2 = ba m2 = 23 .
Logo, as assntotas tm equaes y =23x e y = 2
3x.
Caso a equao reduzida da hiprbole seja da forma
y2
a2 x
2
b2= 1,
os coecientes de inclinao das assntotas so m = ab.
Exemplo 10.3.2. Seja f : R+ R+ a funo denida por f(x) =1/x. O grco de f o conjunto G = {(x, y) R2;x > 0, y =1/x}. G um ramo de hiprbole.
Para conrmar esta armao, devemos introduzir no plano
um novo sistema de coordenadas com a mesma origem e com eixos
formando ngulos de 45o com os eixos antigos. Chamamos de (s, t)
as coordenadas de um ponto nesses novos eixos. Para obtermos a
equao da curva G em relao aos novos eixos, devemos escrever
x e y dependendo de s e t.
Desta forma, se sabemos que em um tringulo retngulo os
ngulos agudos medem 45o, cada cateto igual a
2/2 vezes a
162
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
10AULA
Figura 10.76: x = s
22 t
22e y = s
2
2+ t
22
hipotenusa, e assim, um ponto P tem coordenadas (x, y) no sistema
antigo e (s, t) no sistema novo(veja na gura (10.76), ento
x = s
22 t
22e y = s
2
2+ t
22
Alm disso, se x > 0 e y > 0, ento s > 0. Portanto, as seguintes
armaes so equivalentes:
1. P = (x, y) G;
2. x > 0 e xy = 1;
3. s > 0 e
(s
2
2 t
22
)(s
2
2+ t
22
)= 1;
4. s > 0 es2
2 t
2
2= 1;
5. s > 0 es2
a2 t
2
b2= 1, com a = b =
2;
6. P pertence ao ramo direito de uma hiprbole cujo eixo a
reta y = x.
Logo, G um ramo de hiprbole.
163
Cnicas - Parte III
10.4 Translaes de uma hiprbole
Nesta seo, iremos apresentar a voc as translaes de uma hi-
prbole. Acompanhe o nosso raciocnio e voc ver que to fcil
quanto as das demais cnicas que j estudamos.
Seja uma hiprbole de centro C = (h, k) 6= (0, 0). Considere-mos apenas os casos em que os eixos sejam paralelos aos eixox eeixoy.(i) o eixo real paralelo ao eixox.Analogamente ao que zemos para a elipse na aula anterior,
temos
(x h)2a2
(y k)2
b2= 1, (10.1)
que a forma padro para este caso.
Figura 10.77:
(x h)2a2
(y k)2
b2= 1
(ii) o eixo real paralelo ao eixoy.Como em (i),
(y k)2a2
(x h)2
b2= 1 (10.2)
164
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
10AULA
Percebemos que a partir da equao (10.1), temos que de
(x h)2a2
(y k)2
b2= 1
x2 2hx+ h2
a2 y
2 2ky + k2b2
= 1
Multiplicando ambos os membros por a2b2, temos
b2(x2 2hx+ h2) a2(y2 2ky + k2) = a2b2
b2x2 2hb2x+ h2b2 a2y2 + 2ka2y a2k2 = a2b2
b2x2 a2y2 2hb2x+ 2ka2y + h2b2 a2k2 a2b2 = 0
Assim, vericamos que
Ax2 +By2 + Cx+Dy + F = 0 (10.3)
sendo A = b2, B = a2, C = 2hb2, D = 2ka2 e F = a2k2 a2b2. A equao (10.3) chamada de equao geral da hipr-
bole, com A e B de sinais contrrios.
Exemplo 10.4.1. Determinar uma equao da hiprbole de vr-
tices A1 = (1,2) e A2 = (5,2), sabendo-se que F = (6,2) um de seus focos.
Sendo o eixo real A1A2 paralelo ao eixox, a equao da hi-prbole (veja na gura (10.78)) da forma,
(x h)2a2
(y k)2
b2= 1
165
Cnicas - Parte III
O centro o ponto mdio de A1A2: C = (3,2).Note que a = d(C,A1) = 2 e c = d(C,F ) = 3. Da relao c2 =
a2 + b2, ou 9 = 4 + b2, temos que b2 = 5. E assim, a equao da
hiprbole
(x 3)24
(y + 2)2
5= 1.
Se a desenvolvermos, obteremos
5x2 4y2 30x 16y + 9 = 0
que a equao geral dessa hiprbole
Figura 10.78: 5x2 4y2 30x 16y + 9 = 0
10.5 Equaes paramtricas
Agora, vamos s paramtricas. Est lembrado delas? Voc as
conheceu quando abordamos a parbola e a elipse nas aulas 8 e 9.
Ento, vamos ver como elas funcionam com a hiprbole.
Considere a hiprbole de equao
x2
a2 y
2
b2= 1, e a coloquemos
da seguinte forma: (xa
)2 (yb
)2= 1
166
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
10AULA
Agora, observemos que a identidade
sen 2 + cos2 = 1
e dividindo ambos os membros por cos2 6= 0, obteremossen 2cos2
+ 1 =1
cos2
ou (sen cos
)2+ 1 =
(1
cos
)2Como
sen cos
= tg e1
cos = sec , temos
sec2 tg 2 = 1
Portanto, podemos tomarx
a= sec
y
b= tg
e conclumos que para 0 2pi, exceto para pi2e
3pi2, temos que x = a sec y = btg (10.1)so as equaes paramtricas dessa hiprbole.
Observao 15. Quando (pi
2,pi
2
), dizemos que o ramo
direito da hiprbole (x a) e quando (pi
2,3pi2
), chamamos
de ramo esquerdo (x a).
Observao 16. No caso em que a hiprbole tem equao reduzida
y2
a2x
2
b2= 1 (eixo real sobre o eixoy), suas equaes paramtricasso x = btg y = a sec (10.2)
167
Cnicas - Parte III
Observao 17. Nos casos em que o centro da hiprbole for C =
(h, k), aplicando a translao de eixos, temos x = h+ a sec y = k + btg ou x = h+ btg y = k + a sec Exemplo 10.5.1. A partir da equao 4x29y236 = 0, podemosencontrar as equaes paramtricas da hiprbole.
De 4x2 9y2 36 = 0, obtemos facilmente quex2
9 y
2
4= 1
e assim, a = 3 e b = 2. Portanto, x = 3 sec y = 2tg so as equaes paramtricas dessa hiprbole.
Na gura a seguir, apenas so indicados pontos da tabela para
alguns ngulos no intervalo
(pi
2,pi
2
).
Pontos
0 (3, 0)pi
4(3
2, 2)
pi4
(3
2,2)pi
3(6, 2
3)
pi3
(6,23)
10.6 Resumo
Nesta aula, estudamos a terceira das cnicas apresentadas na Aula
8, a hiprbole. Alm de conhecermos a sua denio e suas pro-
168
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
10AULA
priedades, conhecemos tambm algumas maneiras de a represen-
tarmos, como a equao reduzida e a equao paramtrica da hi-
prbole.
10.7 Atividades
1. Em cada um dos itens a seguir, esboce o grco e deter-
mine os vrtices, os focos, a excentricidade e as equaes das
assntotas das hiprboles dadas.
(a)
x2
4 y
2
9= 1;
(b)
y2
4 x
2
9= 1;
(c) x2 2y2 8 = 0;
(d) y2 x2 = 2.
2. Para todo ponto P = (m,n) na hiprbole H : x2
a2 y
2
b2= 1,
mostre que a reta r :m
a2x n
b2y = 1 tem apenas o ponto P
em comum com H. A reta r chama-se a tangente a H noponto P .
3. Nos tens a seguir, obtenha uma equao geral da hiprbole
dada por equaes paramtricas. Esboce o grco.
(a)
x = 4 sec y = 2tg ;(b)
x = 2 sec y = 4 +3tg .4. Determine os focos da hiprbole de equaes x = 4 +
5tg
e y = 5 + 2 sec .
169
Cnicas - Parte III
10.8 Comentrio sobre as Atividades
Se voc conseguiu resolver as atividades 1 e 2, ento entendeu a
denio de hiprbole e seus componentes (focos, excentricidade e
outros). Alm disso, voc pde observar como possvel escrever
a hiprbole na forma de uma equao reduzida. J em 3 e 4, voc
deve ter usado o conceito de equao paramtrica da hiprbole.
No se esquea dos exerccios que se encontram inseridos no texto.
So to importantes quanto os que esto nesta lista.
10.9 Referncias
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analtica. So Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analtica e lgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, Jos Luiz, 'Algebra Linear . So Paulo, Harbra, 1980.
170
11AULA
2LIVRO
Mudana de Coorde-
nadas no Plano
META
Introduzir o conceito de mudan-
as de coordenadas no plano e
exemplic-la.
OBJETIVOS
Efetuar e reconhecer mudanas
de coordenadas no plano, como
rotao e translao dos eixos,
alm de aplicar este contedo
para reconhecer melhor as cni-
cas com base em uma equao dada.
PR-REQUISITO Ter compre-
endido o conceito de produto in-
terno (produto escalar) entre vetores
(Aula 3).
Mudana de Coordenadas no Plano
11.1 Introduo
Nesta aula, conheceremos uma ferramenta importante na manipu-
lao de objetos geomtricos no plano. Existem situaes em que
conveniente e, em algumas delas, necessrio passar de um sistema
de eixos ortogonais (por exemplo, os eixosx e eixoy) para outrosistema (eixox e eixoy) no plano. Nesses casos, imprescin-dvel exprimir as coordenadas novas em funo das coordenadas
antigas (x, y).
11.2 Mudanas de Coordenadas - Rotao e
Translao da Origem
Para facilitar nossas contas, vamos exprimir as coordenadas de
um ponto em termos do produto interno (ou produto escalar),
aquele mesmo que voc aprendeu na Aula 3.
DDiante disto, tome
~i = (1, 0) e ~j = (0, 1), que representam os
eixos x e y respectivamente, com O = (0, 0) a origem do sistema
de eixos coordenados. Seja o ponto P = (x, y), ento
OP = x~i+ y~j
e perceba que
~i,~i = ~j,~j = 1 e
~j,~i = ~i,~j = 0
e ainda
OP,~i = x~i+ y~j,~i = x~i,~i+ y~j,~i = x
ou seja, x = OP,~i e, analogamente, y = OP,~j .
172
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
11AULA
Figura 11.79:
~OP = x~i+ y~j.
Exerccio 11.2.1. Faa as contas para mostrar que y = OP,~j.
Portanto, as coordenadas de um ponto P no planoxy so osprodutos internos de
OP por ~i e ~j.
Sejam (x, y) outro sistema de eixos coordenados no plano.
Denotamos por
~f1 e ~f2 os vetores unitrios dos eixos xe y. Sejam
(a, b) as coordenadas do ponto O no sistema antigo (eixos x e y)
e o ngulo de que preciso girar o eixox (no sentido positivo,ou seja, do eixox para o eixoy) para coincidir com o eixox.Veja na gura (211.2). Ento, o ngulo de ~i para ~f1. Assim,
Figura 11.80: o ngulo en-
tre
~i e ~f1.
Figura 11.81: Novo sistema
de coordenadas nos eixos x e
y.
173
Mudana de Coordenadas no Plano
~f1 = cos ~i+ sen ~j.
Note ainda que
OO = a~i + b~j, isto , para o novo sistema de
coordenadas,
OP =
OP OO = (x a)~i+ (y b)~j
Ento,
x = OP , ~f1 = (x a)~i+ (y b)~j, cos ~i+ sen ~j= (x a) cos + (y b)sen
Assim, x = (x a) cos + (y b)sen . Lembre-se de que esta-
Figura 11.82: P = (x, y) nas novas coordenadas.
mos considerando o ngulo entre os vetores ~i e ~f1 e 180o + o
ngulo entre
~j e ~f2.
ATENO -
Vamos denotar o sistema de eixos coordenados xy por OXY e o
sistema de eixos coordenados xy por OX Y .
Agora, veja que para a coordenada y temos duas possibilida-
des.
174
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
11AULA
1. O sistema com eixos OX Y se obtm do sistema de eixos
OXY pela translao que leva O em O (e desloca os eixos x
e y paralelamente), seguida de uma rotao de ngulo . Diz-
se, ento, que os sistemas OX Y e OXY so igualmente
orientados ou tm a mesma orientao.
2. Obtm-se OX Y a partir de OXY por meio da translao
que leva O em O, seguida da rotao de ngulo e, depois,
de uma reexo em torno do eixo x. Ento os sistemas OXY
e OX Y tm orientaes opostas.
Figura 11.83:
~f2 ~f1 e o ngulo de~j para ~f2 pode ser ou 180o+.
Observao 18. Se OX Y tm a mesma orientao que OXY ,
ento o vetor
~f2 obtido de ~f1 por uma rotao de 90o no sentido
positivo (anti-horrio). Como as coordenadas de
~f1 no sistema
OXY so (cos , sen ), as de ~f2 so (sen , cos ).
Portanto,~f2 = sen ~i+ cos vj.
E no caso de o sistema OX Y ter orientao oposta deOXY , ento
~f2 = sen ~i cos ~j.
175
Mudana de Coordenadas no Plano
Com as informaes da observao anterior, constatamos que:
no caso em que ambos os sitemas tm a mesma orientao,
y = OP , ~f2 = (x a)~i+ (y b)~j,sen ~i+ cos ~j= (x a)sen + (y b) cos
mas se ambos os sistemas tm orientaes opostas,
y = (x a)sen (y b) cos
Portanto, as frmulas de mudana de coordenadas so:
x = (x a) cos + (y b)sen y = (x a)sen + (y b) cos (11.1)
ou
x = (x a) cos + (y b)sen y = (x a)sen (y b) cos (11.2)
se o novo sistema OX Y tiver a mesma orientao do sistema
OXY ou no.
Exemplo 11.2.1. Seja P um ponto no plano com coordenadas
(1, 1) no sistema OXY . Vamos vericar o que ocorre com as co-
ordenadas de P se zermos uma mudana nos eixos coordenados
girando = 450. Deste modo, as novas coordenadas devem ser
dadas por (11.1):
x = (x 0) cos 45o + (y 0)sen 45o
y = (x 0)sen 45o + (y 0) cos 45o(11.3)
Note que nas equaes (11.3)consideramos = 45o e que a nova
origem O = (0, 0) coincide com a anterior, pois apenas zemos
uma rotao dos eixos. Ento,
x = (x 0) cos 45o + (y 0)sen 45o
y = (x 0)sen 45o + (y 0) cos 45o
x =
22x+
22y
y =
22x+
22y
176
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
11AULA
portanto, se para P = (1, 1) no sistema OXY , no novo sistema
temos
x =
22
1 +
22
1
y =
22
1 +
22
1 x
=
2
y = 0
Logo, as coordenadas do ponto P no sistema de coordenadas ro-
tacionado de 45o, OX Y , so dadas por (
2, 0). E no caso do
ponto Q = (
2,22) no sistema de coordenadas OXY , no novosistema ca (1,3). Veja a gura (11.2).
Figura 11.84: Os pontos P e Q esto representados em ambos os
sistemas coordenados.
11.3 Obtendo as coordenadas antigas em fun-
o das novas
Note que as equaes para obtermos (x, y), dependendo de x,
y e do ngulo , podem ser invertidas, e assim, voc consegue
obter frmulas que para (x, y) dependem de x, y e do ngulo .
177
Mudana de Coordenadas no Plano
Multiplicando a primeira equao em (11.1) por sen , a segunda
equao em (11.1) por cos , e sem esquecer que
sen 2 + cos2 = 1,
temos que
xsen = (x a)sen cos + (y b)sen 2
x cos = (x a)sen cos + (y b) cos2
e somando as equaes, obtemos
xsen + y cos = y b
e assim, y = xsen + y cos + b . Multiplicando a primeira equa-
o em (11.1) por cos e a segunda equao em (11.1) por (sen ),analogamente ao que zemos para a expresso anterior, podemos
obter x = x cos ysen + a . Procedendo da mesma forma,podemos inverter o sistema (11.2) e obter as equaes:
x = x cos ysen + ay = xsen + y cos + b(11.1)
x = x cos + ysen + a
y = xsen y cos + b(11.2)
Com as equaes dadas em (11.1 e 11.2) podemos obter de volta
as coordenadas (x, y) do ponto P , no sistema OXY , em funo das
coordenadas (x, y) do sistema OX Y . Como antes salientamos,
usamos o primeiro par de equaes em (11.1) quando os sistemas
tm a mesma orientao, enquanto o segundo par de equaes em
(11.2) utilizado quando os sistemas tm orientaes opostas.
Vejamos alguns exemplos.
178
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
11AULA
Exemplo 11.3.1. Considere a curva de equao x2+4y2 = 4, que
voc pode transformar em
x2
4+y2
1= 1, bastando apenas dividir
a equao x2 + 4y2 = 4 por 4, o que nos permite vericar que
a expresso representa uma elipse. Procedendo como no exemplo
(11.2.1), vejamos o que ocorre com essa equao ao se efetuar a
mudana da rotao dos eixos de 45o. As novas coordenadas x e y
de um ponto do plano so obtidas a partir das antigas coordenadas
x e y pelas expresses
x = x cos 45o ysen 45o + 0y = xsen 45o + y cos 45o + 0
x =
2
2x
2
2y
y =
22x +
2
2y
Substituindo na equao da elipse, percebemos que(2
2x
2
2y)2
+
(2
2x +
2
2y)2
= 4
x2
2+y2
2 xy + 2x2 + 4xy + 2y2 = 4
5x2
2+
5y2
2+ 3xy = 4
Observe que a equao se torna mais complexa do que antes, di-
cultando o seu reconhecimento. E assim, no mais evidente que
a equao anterior representa uma elipse.
Apesar do exemplo (11.2.1), voc deve ter percebido que a mu-
dana de coordenadas tornou tornado a equao da elipse mais
complicada, em geral, uma das utilizaes dessas mudanas se faz
no sentido de facilitar o reconhecimento de equaes, neste caso,
da elipse.
179
Mudana de Coordenadas no Plano
Figura 11.85: x2 + 4y2 = 4 em um sistema de coordenadas e5x2
2+
5y2
2+ 3xy = 4 no outro.
Exemplo 11.3.2. Seja E o conjunto dos pontos P = (x, y) tal
que x2 xy + y2 = 1. Fazendo uma rotao positiva de 45o sobreo sistema de eixos OXY , constitumos novas coordenadas x e y,
tal que
x =
22
(x y) e y =
22
(x + y)
E substituindo na equao anterior, temos
x2 xy + y2 =(
22
(x y))2(
22
(x y))
(
22
(x + y)
)+
(2
2(x + y)
)2
x2 xy + y2 = 12x2 +
32y2
e assim, o conjunto E, representado pela equao x2xy+y2 = 1,poder ser representado nas novas coordenadas por
12x2 +
32y2 = 1
Isso nos mostra que o conjunto E uma elipse cujo eixo maior est
sobre o eixox, ou seja, a reta x = y.
180
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
11AULA
Figura 11.86: x2 xy + y2 = 1 em um sistema coordenadas ex2
2+
3y2
2= 1 no outro.
11.4 Resumo
Nesta aula, voc conheceu as mudanas de coordenadas no plano
e vericou que efetuando rotaes ou translaes (ou ambas) dos
eixos coordenados podemos melhor reconhecer uma cnica ou, sim-
plesmente, facilitar a representao de uma equao.
11.5 Atividades
1. Uma mudana de eixos no plano manteve a origem xa, en-
quanto as coordenadas dos pontos (1, 0) e (0, 1) passaram a
ser (a, b) e (c, d), respectivamente.
(a) Quais so as novas coordenadas do ponto (2, 3)?
(b) Caso (a, b) = (1, 1) e (c, d) = (1, 1), quais seriam asnovas coordenadas do ponto (0, 2)?
2. Determine a translao de eixos que elimina os termos x e y
na equao 9x2 + 4y2 + 18x+ 24y 26 = 0 e permite, assim,reconhecer a curva que ela representa.
181
Mudana de Coordenadas no Plano
3. Efetue uma rotao de 60o no eixos OX e OY e identiquea curva 31x2 + 21y2 + 10
3xy = 144.
4. Se A = (a, b) e C = (c, d), sabemos que a expresso ac + bd
permanece invariante (ou seja, inalterada) por mudana de
coordenadas, pois o produto interno ~u,~v = |~u||~v| cos(AOC),em que ~u =
OA e ~v =
OC. Mostre diretamente que se
A = (a, b) e C = (c, d) num novo sistema de coordenadas,
ento ac + bd = ac+ bd.
5. Num sistema de coordenadas em que se tem F1 =
(3
32,3
2
)
e F2 =
(3
32,32
), determine a equao da elipse que tem
esses pontos como focos e cujo eixo menor tem comprimento
6.
6. Qual a equao da parbola cujo foco o ponto F = (1, 2)
e cuja diretriz a reta x+ 2y = 5?
11.6 Comentrio das atividades
Comentrios : Conseguiu resolver as atividades 1,3 e 5? Ento
voc entendeu como funciona a mudana de coordenadas no plano
rotacionando os eixos coordenados. Se conseguiu fazer a atividade
2, percebeu como funcionam as mudanas de coordenadas usando
translaes. Na questo 4, voc deve ter combinado ambas as
mudanas, rotao e translao para resolv-la. Ainda nesta ativi-
dade, voc pde perceber mais uma das propriedades dos vetores
mediante uma mudana de coordenadas.
Se ainda tiver diculdades, volte e reveja com cuidado os con-
182
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
11AULA
ceitos apresentados na aula. No esquea que h tutores para
ajudar a eliminar as suas dvidas. Desde j, lembre-se de discutir
os contedos com seus colegas.
11.7 Referncias
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analtica. So Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analtica e lgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, Jos Luiz, lgebra Linear . So Paulo, Harbra, 1980.
183
12AULA
2LIVRO
Formas Quadrticas
META
Introduzir o conceito de formas qua-
drticas no plano e exemplic-las.
OBJETIVOS
Ao nal desta aula, o aluno dever
reconhecer formas quadrticas
planares, ou seja, com 2 variveis;
efetuar mudanas de coordenadas;
e utilizar a equao caracterstica
associada a uma forma quadrtica
para obter os autovalores e auto-
vetores com o intuito de melhor
visualizar cnicas cuja classicao
no seja imediata.
PR-REQUISITOS
Ter compreendido as mudanas de
coordenadas e as denies das
cnicas (parbola, elipse e hipr-
bole)(Aulas 8, 10 e 11).
Formas Quadrticas
12.1 Introduo
Nesta aula, aplicaremos nossos conhecimentos de mudana de co-
ordenadas e conheceremos outras ferramentas para ajudar na per-
cepo de cnicas cuja classicao no seja imediata.
Dadas as funes : R2 R denidas por
(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F (12.1)
Iremos analisar o seu conjunto de nvel.
Denio 12.35.
Dizemos que o ponto P = (x, y) est no nvel c (ou temnvel c) em relao a quando (x, y) = c, com c R.
O conjunto de pontos P = (x, y) que obedecem a (x, y) = c chamado de conjunto de nvel.
Exemplo 12.1.1. Seja f : R2 R, dada por f(x, y) = x 2y,ento o conjunto de nvel dado por f(x, y) = c so todas as retas
da forma x 2y = c.
Figura 12.87: x 2y = c.
186
Vetores e Geometria Analtica: Livro 1
12AULA
Exemplo 12.1.2. J para a funo (x, y) = x2 + y2, note que os
conjuntos de nvel de (x, y) = c com c > 0 so circunferncias de
raio
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