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Apreçamento de opções com vencimento europeu utilizando a função característica via transformada de Fourier. Esta abordagem contempla tanto volatilidade estocástica como volatilidade constante (flat surface). Fortemente inspirada no livro de Alan Lewis (Option Valuation Under Stochastic Volatility)
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Apreçando Opções Utilizando a FunçãoCaracterística
Wilson N. de Freitas
21 de Setembro de 2010
Agenda
Agenda
Volatilidade Estocástica
Transformada de Fourier
Função Característica
Exemplos de Função Característica
Modelo de Heston com Saltos
Resultados
Black-Scholes com Volatilidade Estocástica
Dadas as equações diferenciais estocástica (EDE):
P :
{dSt = µtStdt+
√vtStdZ1
dvt = −λ(vt − v)dt+ η√vtdZ2
Temos a seguinte EDP
−∂V∂t
= −rV +AV
onde
A =
BSM Operator︷ ︸︸ ︷rS
∂
∂S+
1
2vS2 ∂
2
∂S2
SV Correction︷ ︸︸ ︷−λ(v − v)
∂
∂v+
1
2η2v
∂2
∂v2+ ρηvS
∂
∂v∂S
Preço de uma CALL Européia
−∂C∂t
= −rC +AC
Condições de contorno
C(S, v, T ) = (S −K)+ ≡ CT (S)
C(0, v, t) = 0
C(∞, v, t) = C(S,∞, t) = S
∂C
∂S(∞, v, t) = 1
Preço de uma CALL Européia
Mudança de variáveis
S = expx
t = T − τ
O preço da opção fica:
C(S, v, t) ≡ f(x, v, τ)
Preço de uma CALL Européia
A EDP∂f
∂τ= −rf + Af
onde
A =
BSM Operator︷ ︸︸ ︷(r − v
2)∂
∂x+v
2
∂2
∂x2
SV Correction︷ ︸︸ ︷−λ(v − v)
∂
∂v+η2v
2
∂2
∂v2+ ρηv
∂
∂x∂v
Transformada de Fourier (TF)
Seja uma função f(x, v, τ) que possui TF
Ff(x, v, τ) =
∫ ∞−∞
dx exp(ikx)f(x, v, t) = f(k, v, τ)
F−1f(k, v, τ) =1
2π
∫ ∞−∞
dke−ikxf(k, v, t) = f(x, v, τ)
temos portantof
T−−−−→ f
Fy xF−1
f −−−−→L
f
onde T : G→ G e L : F→ F são transformações lineares.
Resolvendo EDP com TF
Escrevendo a EDP como um operador linear[−1
r
( ∂∂τ− A
)]f = f
Xf = f
que admite inversaX−1f = f
existe um operador X tal que
fX−−−−→ f
Fy xF−1
f −−−−→X
f
Resolvendo EDP com TFAplicando TF na EDP de Black-Scholes
F[∂f
∂τ= −rf + (r − v
2)∂f
∂x
+v
2
∂2f
∂x2− λ(v − v)
∂f
∂v+η2v
2
∂2f
∂v2+ ρηv
∂f
∂x∂v
]∂
∂τFf = −rf + (r − v
2)F ∂f
∂x
+v
2F ∂
2f
∂x2− λ(v − v)
∂
∂vFf +
η2v
2
∂2
∂v2Ff + ρηv
∂
∂vF ∂f∂x
Temos uma EDP em f (as derivadas em x sumiram)
∂f
∂τ= (−r − ikr)f+
− v
2k(k − i)f + [−λ(v − v)− iρηvk]
∂f
∂v+
1
2η2v
∂2f
∂v2
Resolvendo EDP com TFEncontrar a solução para a EDP
∂f
∂τ= (−r − ikr)f+
− v
2k(k − i)f + [−λ(v − v)− iρηvk]
∂f
∂v+
1
2η2v
∂2f
∂v2
Utilizando separação de variáveis
f(k, v, τ) = exp[(−r − ikr)τ ]H(k, v, τ)h†(k)
onde
h†(k) = f(k, v, 0)
H(k, v, 0) = 1
Ficamos com a seguinte EDP em H(k, v, τ)
Hτ = −vk(k − i)2
H + [−λ(v − v)− ikvρη]Hv + vη2
2Hvv
Resolvendo EDP com TF
Vamos avaliar f no vencimento da CALL Européia
h†(k) = Ff(x, v, 0) = F(ex −K)+
assim
h†(k) =
∫ ∞−∞
dx exp(ikx)(ex −K)+
= limx→∞
(eikxex
ik + 1−Keikx
ik
)− Kik+1
k(k − i)
diverge em limx→∞ ex
Resolvendo EDP com TFÉ necessário assumir k = a+ ib ∈ C
h†(k) = limx→∞
(ei(a+ib)xex
ik + 1−Kei(a+ib)x
ik
)− Kik+1
k(k − i)
= limx→∞
(eiaxex(1−b)
ik + 1−Keiaxe−bx
ik
)− Kik+1
k(k − i)
não diverge quando b > 1.
h†(k) = − Kik+1
k(k − i)
Com essa restrição a TF inversa para a CALL Européia fica:
F−1f(k, v, τ) =1
2π
∫ +∞+ib
−∞+ibdke−ikxf(k, v, t)
Preço da CALL Européia
f(k, v, τ) = − exp[(−r − ikr)τ ]H(k, v, τ)Kik+1
k(k − i)Voltando para C(S, v, τ)
C(S, v, τ) =1
2π
∫ +∞+ib
−∞+ibdke−ikxf(k, v, τ)
= − 1
2π
∫ +∞+ib
−∞+ibdke−ikx exp[(−r − ikr)τ ]
Kik+1
k(k − i)H(k, v, τ)
= −Ke−rτ 1
2π
∫ +∞+ib
−∞+ibdke−ikX
H(k, v, τ)
k(k − i)(1)
para 1 < b <∞, X = log Serτ
K .
Preço da PUT Européia
Vamos avaliar f no vencimento de uma PUT Européia
h†(k) = Ff(x, v, 0) = F(K − ex)+
e
h†(k) =
∫ ∞−∞
dx exp(ikx)(K − ex)+
= − Kik+1
k(k − i)
para −∞ < b < 0.
P (S, v, t) = −Ke−rτ 1
2π
∫ +∞+ib
−∞+ibdke−ikX
H(k, v, τ)
k(k − i)
Paridade CALL e PUT Européias
A equação de paridade entre opções de compra e venda Européia.
S − C(S, v, t) = Ke−rτ − P (S, v, t)
só que 1 < bcall <∞ e −∞ < bput < 0. Para colocar C e P sobas mesmas é necessário calcular o prêmio da equação de paridade.Seja a paridade no vencimento
S − C(S, v, T ) = K − P (S, v, T )
S − (S −K)+ = K − (K − S)+
min(S,K) = min(S,K)
A carteira de ativos que apresenta este payoff é denominadacovered-call
C(S, v, T ) = min(S,K)
Paridade CALL e PUT Européias
Vamos avaliar f no vencimento de uma covered-call
h†(k) = Ff(x, v, 0) = F min(S,K)
e
h†(k) =
∫ ∞−∞
dx exp(ikx) min(S,K)
= − Kik+1
k(k − i)
para 0 < b < 1.
C(S, v, t) = Ke−rτ1
2π
∫ +∞+ib
−∞+ibdke−ikX
H(k, v, τ)
k(k − i)
Preço das opções CALL e PUT EuropéiasAtravés da covered-call temos o prêmio de opções de compra evenda sob as mesmas restrições.
C(S, v, τ) = S − C(S, v, τ)
= S −Ke−rτ 1
2π
∫ +∞+ib
−∞+ibdke−ikX
H(k, v, τ)
k(k − i)P (S, v, τ) = Ke−rτ − C(S, v, τ)
= Ke−rτ[1− 1
2π
∫ +∞+ib
−∞+ibdke−ikX
H(k, v, τ)
k(k − i)
]para 0 < b < 1.
Mas, ainda resta encontrar a solução para H(k, v, τ)!
Hτ = −vk(k − i)2
H + [−λ(v − v)− ikvρη]Hv + vη2
2Hvv
Preço das opções CALL e PUT EuropéiasAtravés da covered-call temos o prêmio de opções de compra evenda sob as mesmas restrições.
C(S, v, τ) = S − C(S, v, τ)
= S −Ke−rτ 1
2π
∫ +∞+ib
−∞+ibdke−ikX
H(k, v, τ)
k(k − i)P (S, v, τ) = Ke−rτ − C(S, v, τ)
= Ke−rτ[1− 1
2π
∫ +∞+ib
−∞+ibdke−ikX
H(k, v, τ)
k(k − i)
]para 0 < b < 1.
Mas, ainda resta encontrar a solução para H(k, v, τ)!
Hτ = −vk(k − i)2
H + [−λ(v − v)− ikvρη]Hv + vη2
2Hvv
Delta de Dirac payoffI Vamos considerar um instrumento que tenha o seguinte payoff
h†(k) = Ff(x, v, 0) = F 1
Kδ(x− logK)
este payoff paga uma unidade do ativo se ST = K e zerounidades caso contrário.
I O prêmio desse instrumento é calculado da mesma forma queas opções de compra e venda européias.
h†(k) =
∫ ∞−∞
dx exp(ikx)1
Kδ(x− logK)
= Kik−1
sem restrições para b.I O prêmio é dado por:
G(S,K, v, t) = e−rτ1
2πK
∫ +∞+ib
−∞+ibdke−ikXH(k, v, τ)
Delta de Dirac payoff
I Vamos considerar K → ST onde ST ∈ (0,∞)
G(S, ST , v, t) = e−rτ1
2πST
∫ +∞+ib
−∞+ibdke−ikXH(k, v, τ)
onde X = log SST
+ rτ
I Multiplicando por eik′X em ambos os lados e integrando em
ST∫ ∞0
dSTG(S, ST , v, τ)eik′X = e−rτ
∫ +∞+ib
−∞+ibdkei(k
′−k)[logS+rτ ]H∫ ∞−∞
dy
2πe−i(k−k
′)y︸ ︷︷ ︸y=logST
= e−rτH(k′, v, τ)
Função Característica
I
H(k, v, τ) =
∫ ∞0
dSTG(S, ST , v, τ)erτeikX
=
∫ ∞0
dST p(S, ST , v, τ)eikX
I Fazendo a mudança de variáveis ST → X na integral, dadoque X = log S
ST+ rτ
H(k, v, τ) =
∫ ∞−∞
dXp(S, ST , v, τ)ST eikX
=
∫ ∞−∞
dXp(X;S, v, τ)eikX
onde p(X; v, τ) = p(S, ST , v, τ)S exp(rτ − X)
Função Característica
I H(k, v, τ) é a Função Característica da densidade deprobabilidade p
H(k, v, τ) =
∫ ∞0
dST p(S, ST , v, τ)eikX
H(k, v, τ) =
∫ ∞−∞
dXp(X;S, v, τ)eikX
I Para k = 0
H(0, v, τ) =
∫ ∞0
dST p(S, ST , v, τ)
H(0, v, τ) =
∫ ∞−∞
dXp(X;S, v, τ)
I Se H(0, v, τ) = 1 a densidade de probabilidade p énormalizada.
Função Característica de BS vol. constante
Considerando λ = 0 e η = 0 na EDP de H temos
Hτ = −v2k(k − i)H
cuja solução
H(k, σ, τ) = exp
[− σ2
2k(k − i)τ
]Os prêmios das opções (b = 1
2)
C(S, σ, τ) = e−rτ(F −
√KF
2π
∫ +∞
−∞dke−ikX
1
k2 + 14
exp[− σ2
2(k2 +
1
4)τ])
P (S, σ, τ) = e−rτ(K −
√KF
2π
∫ +∞
−∞dke−ikX
1
k2 + 14
exp[− σ2
2(k2 +
1
4)τ])
Função Característica de BS vol. determinística
Considerando η = 0 na EDP de H temos
Hτ = −λ(v − v)Hv −v
2k(k − i)H
cuja solução
H(k, σ, τ) = exp
[− U2
τ
2k(k − i)τ
]onde
Uτ =
∫ τ
0vsds
edvt = −λ(vt − v)dt
Função Característica de HestonA EDP do modelo de Heston
Hτ = −vk(k − i)2
H + [−λ(v − v)− ikvρη]Hv + vη2
2Hvv
cuja solução
H(k, v, τ) = exp[W (k, τ) + vT (k, τ)]
onde
W (k, τ) = λv
[τT−(k)− 2
η2log
(1− g(k)e−d(k)τ
1− g(k)
)]T (k, τ) = T−(k)
(1− e−d(k)τ
1− g(k)e−d(k)τ
)e
g(k) =b(k)− d(k)
b(k) + d(k)
T±(k) =b(k)± d(k)
η2
d(k) =√b2(k) + η2k(k − i)
b(k) = λ+ iρηk
Modelo de Heston com Saltos
Seja a EDE
P :
{dSt = µtStdt+
√vtStdZ1 + (eα+δε − 1)Stdq
dvt = −λ(vt − v)dt+ η√vtdZ2
onde dq é o processo de Poisson
dq =
{0 com probabilidade 1− λ(t)dt
1 com probabilidade λ(t)dt
e ε ∼ N(0, 1)
Devemos encontrar a função característica H(k, v, τ) do log-price,x = logS.
Modelo de Heston com Saltos
Seja a EDE
P :
{dSt = µtStdt+
√vtStdZ1 + (eα+δε − 1)Stdq
dvt = −λ(vt − v)dt+ η√vtdZ2
onde dq é o processo de Poisson
dq =
{0 com probabilidade 1− λ(t)dt
1 com probabilidade λ(t)dt
e ε ∼ N(0, 1)
Devemos encontrar a função característica H(k, v, τ) do log-price,x = logS.
Modelo de Heston com Saltos
Se o processo de saltos é independente do processo de difusão dospreços temos a soma de variáveis aleatórias independentes.
Distribuição da soma de v.a. independentesSejam z ∼ Pz(Z) e w ∼ Pw(W ) variáveis aleatórias independentes. Adistribuição conjunta
Pzw(Z,W ) = Pz(Z)Pw(W )
Definindo u = z + w → w = u− z
Pzw(Z,W ) = Pz(Z)Pw(U − Z)
Obtemos a distribuição de u integrando em z
pu(U) =
∫ +∞
−∞dZPzw(Z,W ) =
∫ +∞
−∞dZPz(Z)Pw(U − Z)
A integral acima é uma integral de convolução.
Modelo de Heston com Saltos
Se o processo de saltos é independente do processo de difusão dospreços temos a soma de variáveis aleatórias independentes.
Distribuição da soma de v.a. independentesSejam z ∼ Pz(Z) e w ∼ Pw(W ) variáveis aleatórias independentes. Adistribuição conjunta
Pzw(Z,W ) = Pz(Z)Pw(W )
Definindo u = z + w → w = u− z
Pzw(Z,W ) = Pz(Z)Pw(U − Z)
Obtemos a distribuição de u integrando em z
pu(U) =
∫ +∞
−∞dZPzw(Z,W ) =
∫ +∞
−∞dZPz(Z)Pw(U − Z)
A integral acima é uma integral de convolução.
Modelo de Heston com Saltos
Integral de convoluçãoSeja a operação de convolução
f ⊗ g =
∫ +∞
−∞dxf(x)g(y − x)
A transformada de Fourier de uma operação de convolução é oproduto das transformadas de Fourier
F[f ⊗ g
]= F [f(x)]F [g(x)] = f(k)g(k)
A Função Característica do modelo de Heston com Saltos é oproduto da função característica do modelo de Heston com ado processo com Jumps.
Modelo de Heston com Saltos
Integral de convoluçãoSeja a operação de convolução
f ⊗ g =
∫ +∞
−∞dxf(x)g(y − x)
A transformada de Fourier de uma operação de convolução é oproduto das transformadas de Fourier
F[f ⊗ g
]= F [f(x)]F [g(x)] = f(k)g(k)
A Função Característica do modelo de Heston com Saltos é oproduto da função característica do modelo de Heston com ado processo com Jumps.
Modelo de Heston com Saltos
A função característica do modelo de Heston com Saltos
H(k, v, τ) = Hh(k, v, τ)Hj(k)
= exp[W (k, τ) + vT (k, τ)]︸ ︷︷ ︸Modelo de Heston
exp[ψ(k)T ]︸ ︷︷ ︸Termo com Saltos
onde
ψ(k) = −λJ ik(eα+δ2/2 − 1) + λJ(eikα−k
2δ2/2 − 1)
Calibrando na Superfície de preços
26002800
30003200
34003600
00.2
0.40.6
0.810
200
400
600
Figura: Superfície com os preços calibrados com o modelos de Heston(vermelho) e Heston com Saltos (azul)
Resultados para o Smile na volatilidade
2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300 23500.16
0.165
0.17
0.175
0.18
0.185
0.19
0.195
0.2
0.205
BS Vol.Heston Vol.Heston w/ Jumps Vol.
Figura: Simulando processos com Saltos
Simulação de processo com saltos
0 50 100 150 200 250 3001800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
Figura: Simulando processos com Saltos
Modelos de Volatilidade Estocástica no Processo deValidação
Const. Vol. Heston Heston w/ Jumps143
144
145
146
147
148
149
SimVanillaHestonHeston w/ Jumps
Figura: Simulação de uma opção plain–vanilla em azul com barra deerros.
Perguntas
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