Aula 8 - Aplicações de função exponencial e logarítmica

Diz a lenda...

Função exponencial

Definição:

Gráfico da função exponencial

Crescimento exponencial

• “Os impactos ambientais aumentaram muito a partir do séc. XVIII, como consequencia da revolução industrial e do avanço das tecnologias de exploração e transformação da natureza. Além disso, houve um crescimento exponencial da população do planeta, composto de pobres em sua maioria”

• Sene, Eustáquio de. Espaço geográfico mundial e globalizado, 8º série pág. 184. São Paulo: Scipione, 2000.

Comparação entre algumas funções

x 2x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Função 1º

x X²

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Função 2ºFunção

Exponencial

Comparando os gráficos

CUIDADO!!!!Um abuso muito vulgar, é apresentar

números que aumentam com o adjetivo sensacionalista de “crescimento exponencial”

Duvido que 90% dos nossos jornalistas saibam o que significa verdadeiramente essa expressão.

pergunta!• Supondo que uma certa bactéria se duplica a

cada minuto, e que ao meio-dia um vasilhame fique cheio de bactérias, em que momento estava ocupado apenas até a metade?

Resposta: Apenas 1 minuto

antes do meio-dia.

Exercícios

• Páginas 34 e 35 nº 27,28,29,30,34 e 35.

Equação exponencial

• É toda equação que apresenta a variável no expoente.

Tipo 1:

BASES IGUAIS

Tipo 2:

BASES DIFERENTES

Nestes casos

usaremos

logaritmo, para

resolver!!!!

• Páginas 33 e 34 nº 1,2,3,4,5 e 15

Exercícios:

Aplicações da função exponencial e LOGARÍTMICA

economia

• onde n representa o número de vezes que no ano se calcula o juro.

• Se n tende para + infinito, M tende para um certo limite:

Sociologia• O crescimento populacional é a mudança

positiva do número de indivíduos de uma população dividida por uma unidade de tempo.

com A, B e K constantes positivas que dependem de uma situação concreta.

BIOLOGIA

expressão utilizada para calcular o crescimento da população mundial, é generalizável ao crescimento da população de qualquer espécie.

Vejamos alguns exemplos de

aplicação na biologia:

• A reprodução de bactérias:

• A reprodução de peixe:

AGRICULTURAPara calcular o rendimento V de uma

floresta podemos usar a fórmula:

em que V dá-nos o valor em metros cúbicos de madeira por are (100m²), em função da idade da floresta, t.

FÍSICA• A função exponencial é utilizada para calcular a

desintegração das substâncias radioativas através da equação:

em que y0 é a quantidade inicial, correspondente ao momento t = 0.

(1)

Exemplo:• Por exemplo, sabe-se que em 5730 anos

metade do carbono 14 decompõe-se. De acordo com estes dados, vamos calcular o valor da constante k da expressão (1).

Temos que t = 5730 anos,

e que

• com estes dados chegamos a :

OBS. Para calcular a idade de um fóssil usa-se a fórmula de

decomposição da partícula radioativa carbono 14.

então no caso concreto do carbono

14 temos a seguinte fórmula:

SISMOLOGIA

Uma das mais importantes utilizações dos logaritmos é a descrição de fenômenos cujas medições são muito grandes, muito pequenas, ou que se situam em intervalos com uma amplitude muito grande. Um desses fenômenos é o sismo. A energia libertada por um sismo no seu epicentro é geralmente medida em ergs. Como não seria muito prático descrever um sismo da seguinte maneira : sismo atinge a estroféria libertando 47369834360967412946 ergs, os sismólogos usam uma escala, a escala de Richter, definida pela seguinte equação:

E = energia libertadaM = magnitude na escala de Richter.

ASTRONOMIA• Desde tempos antigos, que se tem classificado as estrelas

de acordo com o seu brilho detectado a olho nú. As estrelas que mais brilhavam eram chamadas "estrelas de 1ª magnitude", aquelas que brilhavam um pouco menos eram chamadas " estrelas de 2ª magnitude" e assim sucessivamente. Atualmente o brilho de uma estrela pode ser medido exatamente, e a classificação da sua magnitude é baseada no cálculo do logaritmo do brilho atual. Assim, a fórmula que relaciona a magnitude e o brilho é