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Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/
Email:
Carlos.albuquerque@ifsuldeminas.edu.br
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
AULA
TREZE
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Consideremos duas funções deriváveis f e g
onde y = g(u) e u = f(x).
Para todo x tal que f(x) está no domínio de g,
podemos escrever y = g(u) = g[f(x)], isto é,
podemos considerar a função composta
.xfg
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Por exemplo, uma função tal como
pode ser vista como a composta das funções
72 25 xxy
.252
7
xfxxu
e
uguy
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Agora vamos apresentar a regra da cadeia,
que nos dá a derivada da função composta
.gefdederivadasdastermosemfg
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Proposição (Regra da Cadeia)
Se y = g(u) e u = f(x) e as derivadas dy/du e
du/dx existem, então a função composta
y = g[f(x)] tem derivada que é dada por:
.''' xfugyoudx
du
du
dy
dx
dy
EXEMPLO
Dada a função
determinar
,2572 xxy
.dx
dy
SOLUÇÃO
dx
du
du
dy
dx
dy
cadeiadaregrapelaAssim
xxuonde
uugyescreverVamos
:,
.25
,
2
7
.52257527626 xxxxu
dx
dy
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Exercício 1
Dada a função
encontre
,12
235
x
xy
.,y
SOLUÇÃO
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Exercício 2
Dada a função
determinar
,132232 xxxy
.dx
dy
SOLUÇÃO
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Exercício 3
Dada a função
determinar
,37310102 xxxf
yDx
SOLUÇÃO
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Exercício 4
Dada a função
determinar
,32
1710
3
2
t
ttf
tfDt
SOLUÇÃO
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Proposição
Se u = g(x) é uma função derivável e n é um
número inteiro não nulo, então:
ou ainda:
.,1xgxgnxg
dx
d nn
.,1, uunyuySe nn
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Exemplo:
Dada a função
determinar
,35 2 xxf
.' xf
SOLUÇÃO
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Exercício 5
Dada a função
determinar
,13 3
2
t
ttg
., tg
SOLUÇÃO
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Exercício 6
Dada a função
determinar
,4238 xxxy
,y
SOLUÇÃO
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Exercício 7
Dada a função
determinar
,3
12
x
xy
yDx
SOLUÇÃO
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Exercício 8
Dada a função
determinar
,283 3 xxy
,y
SOLUÇÃO
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Exercício 9
Dada a função
determinar
,2763 2 xxy
,y
SOLUÇÃO
DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA
Teorema (Derivada da Função Inversa)
Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo
aberto (a, b).
Suponhamos que f(x) admita uma função
inversa x = g(y) contínua.
Se f’(x) existe e é diferente de zero para
qualquer xϵ (a, b), então g = f-1 é derivável e vale:
.11
,,
,
ygfxfyg
DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA
DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA
EXEMPLO 3
EXEMPLO 3
DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Solução
Exercício 10
Determinar a derivada de: ,2xseny
DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Solução
Exercício 11
Determinar a derivada de: ,1
cos
xy
DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Solução
Exercício 12
Determinar a derivada de: .3cot3 xgxtgy
DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Solução
Exercício 13
Determinar a derivada de: .cot1
cos
xg
xy
DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Solução
Exercício 14
Determinar a derivada de: .73sec 2 xxy
DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Solução
Exercício 15
Determinar a derivada de: .1
1cos
x
xecy
DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Solução
Exercício 16
Determinar a derivada de: .1 xsenarcy
DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Solução
Exercício 17
Determinar a derivada de: .
1
12
2
x
xtgarcy
DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
Solução
Exercício 18
Determinar a derivada de: .3sec 3 xhy
DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
Solução
Exercício 19
Determinar a derivada de: .2sec xhy
DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
Solução
Exercício 20
Determinar a derivada de: .3ln xtghy
DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
Solução
Exercício 21
Determinar a derivada de: .1cot 3xghy
DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS
DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS
Solução
Exercício 22
Determinar a derivada de: .cosharg 22 xxy
DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS
Solução
Exercício 23
Determinar a derivada de: .3arg xsentghy
DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS
Solução
Exercício 24
Determinar a derivada de: .1arg 2 xxsenhxy
TABELA GERAL DE DERIVADAS
TABELA GERAL DE DERIVADAS
TABELA GERAL DE DERIVADAS
FIM
DA AULA
TREZE
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