Circuitos Elétricos 1 - Aula 11

Estes teoremas fornecem informações

importantes para a análise de circuitos.

Eles permitem “esconder” informações

não relevantes para que se possa

concentrar no que é importante para a

análise em questão.

Teoremas de Thevenin e Norton

http://angelfire.com/ab3/mjramp/index.html

Amplificador de áudio de baixa distorção

Do PreAmp (tensão ) Às caixas de som

Para se “casar” caixas de som e amplificadores é muito mais fácil se considerar este circuito equivalente.

Para se “casar” caixas de som e amplificadores é necessária a análise deste circuito.

+

-

RTH

VTH

Substituir o amplificador por um “equivalente” mais simples

Courtesy of M.J. Renardson

LINEAR CIRCUIT

May contain

independent and

dependent sources

with their controlling

variables

PART A

LINEAR CIRCUIT

May contain

independent and

dependent sources

with their controlling

variables

PART B

a

b_

Ov

i

Teorema do Equivalente de Thevenin

Thevenin de eEquivalent aResistênci

Thevenin de eEquivalent Fonte

TH

TH

R

v

LINEAR CIRCUIT

PART B

a

b_

Ov

i

THR

THv

PART A

Circuito Equivalente de Thevenin

para a PARTE A

CIRCUITO LINEAR

Pode conter fontes

independentes e

dependentes com

suas variáveis de

controle

PARTE A

CIRCUITO LINEAR

Pode conter fontes

independentes e

dependentes com

suas variáveis de

controle

PARTE B

CIRCUITO LINEAR

PARTE B

PARTE A

LINEAR CIRCUIT

May contain

independent and

dependent sources

with their controlling

variables

PART A

LINEAR CIRCUIT

May contain

independent and

dependent sources

with their controlling

variables

PART B

a

b_

Ov

i

Teorema Equivalente de Norton

Norton de eEquivalent aResistênci

Norton de eEquivalent Fonte

N

N

R

i

LINEAR CIRCUIT

PART B

a

b_

Ov

i

NRNi

PART A

Circuito Equivalente de Norton

para a PARTE A

CIRCUITO LINEAR

Pode conter fontes

independentes e

dependentes com

suas variáveis de

controle

PARTE A

CIRCUITO LINEAR

Pode conter fontes

independentes e

dependentes com

suas variáveis de

controle

PARTE B

CIRCUITO LINEAR

PARTE B

PARTE A

Motivação para o uso destes teoremas:

curva característica i-v de um circuito

Aplicando-se uma tensão v nos terminais A-B indicados, pode-se medir a corrente

resultante i.

bmvi

Para uma rede (circuito) linear, a característica i-v é uma função linear*:

* Mais especificamente, uma função f: definida por uma equação do tipo:

é uma função afim.

Pode também ser interpretada como uma função polinomial de primeira ordem

de uma variável. No gráfico cartesiano, trata-se da equação de uma linha reta

com inclinação (coeficiente angular) m e coeficiente linear b.

Uma função linear f: , por sua vez, é definida por uma equação do tipo:

No gráfico cartesiano, trata-se da equação de uma linha reta com inclinação

(coeficiente angular) m que passa sempre pela origem (b = 0).

Em outras palavras, uma função afim é a composição de uma função linear com

uma translação.

baxbxaxf , , , )(

axxaxf , , )(

Exemplos de características i-v:

Normalmente, a característica i-v não passa pela origem.

Veja o próximo exemplo.

Exemplos de características i-v:

0 vVsiRLKT: ou

R

Vsvi

Equivalentemente: VsiRv

Exemplos de características i-v:

0 iR

vIS

LKC: ou

R

vIsi

Corrente de

curto circuito

Tensão de

circuito aberto

Equivalentemente: IsRiRv

monitores: Ricardo Didonet (ricardo.jensen@gmail.com)

Lígia Magalhães (ligia.campos@ieee.org)

Da aula 7:

2) A rede linear mostrada possui apenas fontes independentes e

resistores. Se a característica i-v para a tensão e corrente mostradas é

dada por:

Determine a potência (em Watts) fornecida à resistência de carga RL.

5125.0 vi

Rede linear

resistiva

Da aula 7: 3) Duas fontes de tensão não ideais encontram-se conectadas em paralelo. A primeira fonte possui uma tensão V1 e uma resistência R1. A segunda fonte possui tensão V2 e resistência interna R2. Esta combinação em paralelo fornece uma fonte de tensão não ideal com que tensão e resistências equivalentes? Dica: Utilize o resultado do exercício anterior como referência.

monitores: Ricardo Didonet (ricardo.jensen@gmail.com) Lígia Magalhães (ligia.campos@ieee.org)

Qual característica i-v corresponde à uma resistência maior?

Redes de dois terminais equivalentes

0 vVsiRLKT: ou

R

Vsvi

0 iR

vIS

LKC: ou

R

vIsi

Se VS = R I

S ou I

S = V

S / R:

as duas redes são equivalentes

Examplos de Partições Válidas e Inválidas

Explicação – versão 1

Se o Circuito A permanecer inalterado, a corrente i deve is permanecer a mesma Vo

Usando a superposição de fontes

SCi

Todas as fontes independentes em repouso no circuito A

Oi

O

OTH

i

vR Defina

SCO iii

OSC

TH

O viR

vi ;

SC

TH

OCOCO i

R

vvv

i

0

)0( aberto circuito :especial Caso

SC

OCTH

i

vR

TH

OCSC

R

vi

iRvviR

vi THOCOSC

TH

O Como se pode interpretar este resultado?

Explicação – versão 2

2. Este resultado deve valer para “toda Parte B válida” que se pode criar

1. Devido à linearidade dos modelos, para qualquer Parte B a relação entre Vo e a corrente i deve ser da forma nimvO *

3. Se a parte B for um circuito aberto então i=0 e... OCvn

4. Se a parte B for um curto circuito então Vo é zero. Neste caso

OCTHO viRv Como isso pode ser interpretado?

OCSC vim *0 TH

SC

OC Ri

vm

LINEAR CIRCUIT

May contain

independent and

dependent sources

with their controlling

variables

PART A

LINEAR CIRCUIT

May contain

independent and

dependent sources

with their controlling

variables

PART B

a

b_

Ov

iCIRCUITO LINEAR

Pode conter fontes

independentes e

dependentes com

suas variáveis de

controle

PARTE A

CIRCUITO LINEAR

Pode conter fontes

independentes e

dependentes com

suas variáveis de

controle

PARTE B

Este é o circuito equivalente de Thevenin para o circuito na parte A

OCTHO viRv Para QUALQUER circuito escolhido para a parte B

A fonte de tensão é chamada de fonte equivalente de Thevenin

A resistência é chamada de resistência equivalente de Thevenin

RTH

i +

_OvOCv +

_

A parte A deve se comportar como este circuito equivalente

LINEAR CIRCUIT

May contain

independent and

dependent sources

with their controlling

variables

PART A

ANY

PART B

a

b_

Ov

i

Abordagem de Thevenin

CIRCUITO LINEAR

Pode conter fontes

independentes e

dependentes com

suas variáveis de

controle

PARTE A

QUALQUER

PARTE B

Abordagem de Norton

SCiTHR

Ov

a

b

i

Norton

TH

O

TH

OCTHOCO

R

v

R

viiRvv

LINEAR CIRCUIT

May contain

independent and

dependent sources

with their controlling

variables

PART A

ANY

PART B

a

b_

Ov

i

SC

TH

OC iR

v

Norton de eequivalent Fonte SCi

A parte a paraNorton de

eEquivalent do çãoRepresenta

CIRCUITO LINEAR

Pode conter fontes

independentes e

dependentes com

suas variáveis de

controle

PARTE A

QUALQUER

PARTE B

RTH

i +

_OvOCv +

_

Thevenin

TH

OCSC

R

vi

- Esta equivalência pode ser interpretada como um problema de uma transformação de fonte.

- Isto mostra como se pode converter uma fonte de tensão em série com um resistor em um circuito equivalente composto por uma fonte de corrente em paralelo com o mesmo resistor.

SCiTHR

Ov

a

b

i

Norton

Interpretação alternativa dos teoremas de Thevenin e de Norton

A transformação de fontes pode ser uma ferramenta útil para reduzir a complexidade de um circuito.

A transformação de fontes pode ser utilizada para se reduzir a complexidade de

um circuito ...

quando isto puder ser aplicado!!

A transformação de fontes pode ser utilizada para se determinar o equivalente de

Thevenin ou de Norton...

mas pode não ser a técnicas mais eficiente

“fontes ideais” não são bons modelos para o comportamento de fontes reais

Uma baterial real não produz uma corrente infinita quando seus terminais são curto-circuitados

+

-

Improved model

for voltage source

Improved model

for current source

SVVR

SI

IR

a

b

a

b SS

IV

RIV

RRR

quando esequivalent são modelos Estes

Modelo melhorado

para uma fonte de tensão

Modelo melhorado

para uma fonte de corrente

EXAMPLO: Resolva pela transformação de fontes

A fonte de corrente equivalente terá o valor de 12V/3k

Os resistores de 3k e de 6k estão agora em paralelo e podem ser combinados

Entre os dois terminais conecta-se uma fonte de corrente e uma resistência em paralelo

Entre os terminais conecta-se uma fonte de tensão em série com um resistor

A fonte equivalente tem um valor de 4mA*2k

Os dois resistores de 2k ficam agora em série e podem ser combinados

Após a transformação as fontes podem ser combinadas

A fonte de corrente equivalente tem valor de 8V/4k e a fonte de corrente combinada tem valor de 4mA

Opções a partir deste ponto:

1. Realizar uma transformação de fonte adicional e obter um circuito com uma única malha

2. Usar divisor de corrente e calcular I_0 e a seguir V_0 usando a lei de Ohm

Ou mais uma transformação de fonte

eqeqeq IRV +

-Veq

Req R3

R4

0V

Questão Compute V_0 usando a transformação de fontes

3 fontes de corrente em paraleloe três resistores em paralelo

0I

eqeqeq IRV eq

eq

VRRR

RV

34

40

Circuitos equivalentes

TH

TH

V

R

A transformação de fontes pode ser utilizada para se determinar o equivalente de

Thevenin ou de Norton...

A seguir, veremos diversas abordagens eficientes

para se determinar os circuitos equivalentes de

Thevenin ou de Norton

+

-

Improved model

for voltage source

Improved model

for current source

SVVR

SI

IR

a

b

a

b SS

IV

RIV

RRR

quando esequivalent são modelos Os

Recaptulação da transformação de fontes

Modelo melhorado

para uma fonte de tensão

Modelo melhorado

para uma fonte de corrente

Um procedimento geral para se determinar o equivalente de Thevenin

1. Determine a fonte equivalente de Thevenin

Remova a parte B e determine a tensão de circuito aberto abV

2. Determine a fonte equivalente de Norton

Remova a parte B e determine a corrente de cuirto circuito abI

SC

OCTHOCTH

i

vRvv ,

LINEAR CIRCUIT

May contain

independent and

dependent sources

with their controlling

variables

PART A

a

b

_

0

v

SCi

abI

Segundo passo

Resistance EquivalentThevenin

circuito curto umpor

asubstituídfor B parte a se b - a em flui que currente

Circuito Curto de Corrente

removidafor B parte a se b-a terminaisno tensão

Aberto Circuito de Tensão

SC

THTH

SC

TH

i

vR

i

v

Primeiro passo

_

abV

LINEAR CIRCUIT

May contain

independent and

dependent sources

with their controlling

variables

PART A

a

b

_

OCv

0iCIRCUITO LINEAR

Pode conter fontes

independentes e

dependentes com

suas variáveis de

controle

PARTE A

CIRCUITO LINEAR

Pode conter fontes

independentes e

dependentes com

suas variáveis de

controle

PARTE A

Exemplo para a determinação do equivalente de Thevenin

+

-

a

b

To Part BVS

R1

R2IS

A parte B é irrelevante neste procedimento. A tensão V_ab será o valor da fonte equivalente de Thevenin.

Qual seria uma técnica eficiente para se determinar a tensão de circuito aberto?

THV

Para a corrente de curto circuito: Vamos tentar a superposição de fontes

SCI

1R

VII S

SSC

Fonte de corrente em repouso: a currente através do curto-circuito é

1

1

R

VI S

SC

Fonte de tensão em repouso: a corrente através do curto-circuito é SSC II 2

Para determinar a resistência equivalente de Thevenin pode-se utilizar

SC

THTH

I

VR

S

STH I

R

V

RR

RRV

121

21

Para este caso, a resistência equivalente de Thevenin resistance pode ser determinada como a resistência vista dos terminais a - b quando todas as fontes independentes forem colocadas em repouso

Este é um resultado geral?

SSTH

SS

TH

SSTHTH

IRR

RRV

RR

RV

IR

VV

RR

IR

VV

R

V

21

21

21

2

121

12

)11

(

0

Análise Nodal

21

21

RR

RRRTH

Para a parte B

Determinando o equivalente de Thevenin em circuitos contendo apenas fontes

independentes

A fonte equivalente de Thevenin é determinada como a tensão de circuito aberto

A resistência equivalente de Thevenin pode ser determinada colocando-se todas as fontes dependentes em repouso e a seguir determinando-se a resistência vista pelos terminais onde este eqivalente será posicionado

+

-

a

b

To Part BVS

R1

R2IS

a

b

RTHR2R1

“Parte B”

kRTH 3

“Parte B”

kRTH 4

Como a obtenção do equivalente de Thevenin pode ser bem simples, ela pode ser adicionada às ferramentas disponíveis para a resolução de circuitos!!

Para a

parte B

V6

k5

“PARTE B”

][1)6(51

1VV

kk

kVO

Para fixar Determine Vo na rede a seguir

utilizando o teorema de Thevenin

Para fixar

Na região mostrada, pode-se utilizar duas vezes a transformação de fontes e reduzir esta parte a uma única fonte com um resistor.

... Ou pode-se aplicar a equivalência de Thevenin para esta parte (“Parte A”)

kRTH 4 Tensão de circuito aberto: elimina-se a parte do circuito fora da região demarcada

][8][1263

6VVVTH

O circito original torna-se...

Pode-se aplicar Thevenin novamente!

kR TH 41

1

THVPara a tensão de circuito aberto utilize LKT

VVmAkVTH 1682*41

...e obtêm-se um divisor de tensões simples!!

VVV 8][1688

80

Determine Vo usando Thevenin

Ou pode-se utilizar Thevenin uma única vez e obter o divisor de tensões

“Part B”

Para a resistência equivalente de Thevenin

Para a tensão de Thevenin é necessário analizar o seguinte circuito Método??

Por exemplo, superposiçaõ de fontes

Contribuição da fonte de tensão

VVVOC 81263

61

Contribução da fonte de corrente

VmAkkVOC 8)2(*)22(2

Divisor de tensões simples

Equivalente de Thevenin da “Parte A”

kRTH 8

Outro exemplo

Escolha como particionar o circuito. Torne a “Parte A” o mais simples possível

“Part B”

Como há apenas fontes independentes, para a resistência de Thevenin coloca-se todas as fontes em repouso e determina-se a resistência equivalente

Para a tensão de circuito aberto deve-se analisar o seguinte circuito (“Parte A”) ...

0)(246

2

211

2

IIkkIV

mAI

NodalAnálise

mAmAI

I3

5

6

26 21

][3/3243/20*2*4 21 VVIkIkVOC

O circuito torna-se...

Utilize Thevenin para determinar Vo

3

10

] )[4||2(2

kR

kR

TH

TH

Utilize Thevenin para determinar Vo

“PART B”

OCVI

mAIVkI 2][189

][6123 VkIVOC

kkkRTH 26||3

OV

kRTH 2 k2

k4VVTH 6

Circuito equivalente resultante

][3)6(44

4VVVO

THR

Determine Vo usando Norton

PARTE B kRR THN 3

SCI

mAmAk

VII NSC 22

3

12

NINR

k4

k2

N

N

NO I

kR

RkkIV

622

I

][3

4)2(

9

32 VVO

Determine Vo usando Thevenin PARTE B

THV

023

12

mA

k

VTH

kkRTH 43

+

-

THR

THV

k2

OV

][3

4)6(

72

2VVVO

Problema típico:

+

-

RTH

VTH

Precisamos obter isto

Resistência Equivalente: Apenas fontes independentes

RRRRTH 5.13||3

THR

Tensão Equivalente: Nodal, malha, superposição…

1I

2I

SII 1 0)(5 221 RIIIRVS

THVKVL

)(2 212 IIRRIVTH

E superposição de fontes?

Abrindo a fonte de corrente:

2

1 STH

VV

Curto-circuitando a fonte de tensão

R

2R3R

IS

+

V2TH

_

1I SII6

51

2I

SII6

12

KVL

STH RIRIRIV2

12 21

2

21THTHTH VVV

Por malhas:

Determine o equivalente de Thevenin em a-b

THV

Outro exemplo típico Somente fontes independentes Todos os resistores em paralelo!!

O circuito pode ser simplificado

THV

Para determinar a fonte equivalente...

THV

Divisor de tensão

])[6/246()6/8(8

8V

kk

kVTH

Transformação de fonte

kkkkRTH7

88||4||2

Determine o circuito equivalente de

Thevenin visto dos terminais a-b

Mostre todos os passos em sua resolução.

Circuitos equivalente de Thevenin contendo apenas fontes dependentes

Um circuito contendo apenas fontes dependentes não consegue “auto-começar”.

0THV

Esta é uma enorme simplificação!!

Mas é necessária uma abordagem especial para a determinação da resistência equivalente de Thevenin.

Como o circuito não consegue “auto-começar”, é necessário analisá-lo com uma fonte externa.

A fonte pode ser uma fonte de tensão ou de corrente de qualquer valor!

Aquele a ser escolhido é determinado pela simplicidade do circuito resultante

0

0)(

21

21

x

Xx

IRRa

IRRaI

0021 xIRRa

(O que acontede se ) ?21 RRa

Para qualquer circuito apropriadamente projetado contendo apenas fontes dependentes

0,0 SCOC IV

Escolhendo uma fonte de tensão externa...

)( PV

)( PVP

PTH

I

VR

1R

aIVII XP

XP

2R

VI P

X

PP VRR

a

RRI

2112

11

P

PTH

VRR

a

RR

VR

2112

11

Veja que, de fato, o valor numérico escolhido para a fonte de tensão externa é irrelevante. Pode-se, por exemplo, escolher VP = 1 V inicialmente, ou deixar valor literal.

Deve-se determinar a corrente fornecida pela fonte externa

Escolhendo uma fonte de corrente externa

)( PI

)( PI

P

PTH

I

VR

Deve-se determinar a tensão nodal V_p

012

PXPP I

R

aIV

R

V

LKC

2R

VI P

X

PP IVRR

a

RR

2112

11

Novamente, o valor da corrente externa é irrelevante. Para simplificar, pode-se escolher IP = 1 A.