Curso de bioestadística y diseños experimentales

BIOESTADISTICA Y DISEÑOS EXPERIMENTALES

26/09 al 07/10/2011

Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

Mgs. En Educación Superiormartinezsolaris@cotas.com.bo

Cuenta en Skype….fmartinezsolaris

UNIVERSIDAD AUTONOMA “GABRIEL RENE MORENO”

UNIDAD DE POSTGRADO DE CIENCIAS DE LA SALUD

ESTADISTICANociones Generales

Programa a Desarrollar

ESTADISTICANociones Generales

¿Por qué se tiene que estudiar Estadística Diseños Experimentales?

ESTADÍSTICA

DESCRIPTIVA

PROPOSITO

METODOS

INFERENCIAL

PROPOSITO

METODO

• TABULARES• GRAFICOS• NUMERICOS

PROBABILISTICO

¿Qué es?...

ESTADISTICA

Nociones Generales

Características

Ciencia encargada de la Recolección,Manipulación, Organización yPresentación de información demanera tal que ésta tenga unaConfiabilidad determinada

ESTADISTICANociones Generales

PoblaciónN

Parámetros µ, σ2, p, etc

Muestran=?

EstadísticosEstadígrafos

Deducción

TECNICAS DE MUESTREO

INFERENCIA

ESTIMACION

ESTADISTICANociones Generales

CENSO

MUESTREO

ESTADISTICA Nociones Generales

MUESTRA Tipos

Probabilística

No Probabilística

Azar

Arbitraria

MUESTREO

Probabilístico

No Probabilístico

MAS, MAP y MAE

POBLACION

ESTADISTICANociones Generales (Búsqueda de Información)

MUESTRA

Atributo (Información)

Variable

Cambiar

• Nombre

• Definición

• Rango de Valores

• Clasificación

Elementos

Tipos

Cualitativas

Cuantitativas

Categorías

Discretas

Continuas

ESTADISTICANociones Generales

Variable

• Nombre

• Definición

• Rango de Valores

• Clasificación

Elementos

Medirse

Escalas de Medición

Nominal

De Razón

+

Ordinal

De Intervalo

ESTADISTICAMétodos Tabulares

DESCRIPTIVA

METODOS

TABULARES

Sea X y Y dos variables y sea x1, x2, … xn yy1, y2, … yn, valores que toman las variablesX y Y, y sean “a” y “b” dos constantes.Entonces:

Sumatoria

Propiedades

x1 + x2 + x3 + …xn y1 + y2 + y3 + …yn

n

iyi

1

n

ixi

1

ESTADISTICAPropiedades de Sumatoria

ESTADISTICAMétodos Tabulares/Ordenamiento

17

18

18

16

21

15

17

19

20

18

16

18

Edad (años)

Ordenándolo

15

16

16

17

17

18

18

18

18

19

20

21

Edad (años)

Valores extremos

Valores mas frecuente

Valores extremos

Desventaja

ESTADISTICACuadro de Frecuencia

Edad (años)

fi fr Fia Fra

15 1 8.3 1 8.3

16 2 16.7 3 25.0

17 2 16.7 5 41.7

18 4 33.3 9 75.0

19 1 8.3 10 83.3

20 1 8.3 11 91.7

21 1 8.3 12 100

Total 12 100

Cuadros de Frecuencia

ESTADISTICACuadro de Frecuencia

Lugar de realización del Diplomado

n %

Extranjero 19 13.87

Universidad Objeto de Estudio 87 63.50

Otras universidades bolivianas 31 22.63

Total 137 100

ESTADISTICACuadro de Frecuencia

67.7 39.2 52.5 42.3 69.8 61.2

63.9 37.2 45.7 41.7 69.1 55.5

64.9 38.9 52.4 41.9 69.2 58.9

68.3 39.2 52.6 42.7 70.0 61.9

68.3 39.2 53.3 45.5 70.1 63.2

Cuadro deFrecuencia

La Estadística ofrece otraalternativa Tablas de FrecuenciasAbsolutas y Relativas

ESTADISTICATabla de Frecuencia Absoluta y Relativa

Procedimiento

Definir el Número de Intervalos

K = 1 + 3.33* log n

≥ 5 ó ≤ 20 ó 25

Sturges

Tipo de Intervalos (Li - LS]

Ac = A/kA = Valor Máx.- Valor Mín.

Ac = Ajustada

MD = (RI – A)/2

RI = Ac*K > A

Construir la Tabla

ESTADISTICATabla de Frecuencia

Intervalos de Clases PMC fi fr Fia Fra

37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27

42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37

48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50

53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57

59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70

64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1

30 1

ESTADISTICAMétodos Gráficos

Métodos Gráficos Clásicos

Diagrama de Puntos

Histograma

Polígono de Frecuencias

Ojiva

Diagrama de Sectores

ESTADISTICADiagrama de Puntos

15 16 17 18 19 20 21

Edad (años)

ESTADISTICAHistograma

ESTADISTICAPolígono de Frecuencias

ESTADISTICAOjiva

ESTADISTICADiagrama de Sectores

137-------360

19 ------- x

(19*360)

X= = 49.9

137

Lugar de realización de estudios Postgraduales

fi Grados

Extranjero 19 49.927

Universidad de Interés 87 228.613

Otras universidades bolivianas 31 81.460

Total 137 360

ESTADISTICADiagrama de Sectores

ESTADISTICAMétodos Numéricos

Cuando se desea comparar dos o máspoblaciones o bien muestras, y si lasvariables de interés son de carácternumérico …

Los métodos tabulares no son los másrecomendables

La Estadística oferta otra herramienta

llamada Métodos Numéricos

ESTADISTICAMétodos Numéricos

Métodos Numéricos

Medidas de TendenciaCentral

Medidas de Dispersión

Localizan el centro deuna base de datosnumérica

Cuantifican cuánto sedispersan los datosalrededor de una medidade tendencia central

ESTADISTICAMedidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central

Promedio

Moda

Media Ponderada

Mediana

ESTADISTICAMedidas de Tendencia Central/Promedio

Promedio

Población

Muestra

Media µ Poblacional

Es la sumatoria de las observaciones que toma una variable dividido entre el total de éstas

Se interpreta como el punto de equilibrio de una base de datos numéricas

Media Muestral x

Tiempo (minutos)

52.6

38.9

68.3

67.2

63.9

64.9

68.3

39.2

42.3

61.9

567.5

56.75

Suma

Promedio

Desviaciones

-4.15

-17.85

11.55

10.45

7.15

8.15

11.55

-17.55

-14.45

5.15

0Suma

Propiedad

ESTADISTICAMedidas de Tendencia Central

01

n

i

xxi

xxi

ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central

Media en datos tabulados

Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la media tomando en cuenta lo siguiente:

• PMC es el promedio de las observaciones de las observaciones que caben dentro del intervalos.

• PMC*fi proporciona una estimación de la suma de las observaciones que caben en el intervalo y como una tabla tiene k-ésimo intervalos entonces:

ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central

Intervalos de Clases PMC fi

37.1 a 42.6 39.85 8

42.6 a 48.1 45.35 3

48.1 a 53.6 50.85 4

53.6 a 59.1 56.35 2

59.1 a 64.6 61.85 4

64.6 a 70.1 67.35 9

30

PMC*fi

318.8

136.05

203.4

112.7

247.4

606.15

1624.5

1624.5= = 54.15

30 x

ESTADISTICAMedidas de Tendencia Central

Cargo fi Salario

Rector 1 2000

Asesores 2 1200

Vic. Académico 1 1150

Vic. Administrativo 1 1250

Jefe de Carrera C.S 2 1000

Jefe de Carrera 5 800

Administrativo 2 600

Secretarias 9 120

Cuando los datos tienen diferente peso dentro de labase de datos, si desea obtener el promedio, la mediaaritmética no es la más indicada

ESTADISTICAMedidas de Tendencia Central

Cargo fi (wi)Salario

(xi)

Rector 1 2000

Asesores 2 1200

Vic. Académico 1 1150

Vic. Administrativo 1 1250

Jefe de Carrera C.S 2 1000

Jefe de Carrera 5 800

Administrativo 2 600

Secretarias 9 120

Xiwi

2000

2400

1150

1250

2000

4000

1200

1080

15080

15080= = 655.65

23wx

ESTADISTICAMedidas de Tendencia Central

Mediana (Me)

Datos sin tabular

Datos tabulados

Si los datos no se distribuyensimétricamente (curva simétrica) elpromedio no es la mejor medida paralocalizar el centro de los mismos

(b-a)(0.5- c)Me = a +

d

Me = xn/2 + 0.5

Impar

•Ordenar

Par

n

Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2

ESTADISTICAMedidas de Tendencia Central

Tiempo (minutos)

39.2

38.9

52.6

42.3

61.9

63.9

68.3

67.2

64.9

Tiempo (minutos)

38.9

39.2

42.3

52.6

61.9

63.9

64.9

67.2

68.3

n es impar

Me

Me = xn/2 + 0.5

ESTADISTICAMedidas de Tendencia Central

Tiempo (minutos)

38.9

39.2

42.3

52.6

61.9

63.9

64.9

67.2

68.3

68.3

Tiempo (minutos)

38.9

39.2

42.3

52.6

61.9

63.9

64.9

67.2

68.3

68.3

n es par

Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2

61.9 + 63.9Me = = 62.9

262.9

Mediana es aquella medida detendencia central que antes ydespués de ella no existe másdel 50% de la información

ESTADISTICAMedidas de Tendencia Central

(b-a)(0.5- c)Me = a +

d

a = Límite inferior de la clase de la Me

b = Límite superior de la clase de la Me

c = Fra una clase antes de la clase de la Me (Nj-1)

d = fr de la clase de la Me

Clase de la Mediana

• Complete la columna Fia

• Localice la menor Fia > n/2

• La clase a la que pertenece esta frecuencia es la clase de la mediana (Nj)

• La Clase antes de Nj es Nj -1

Intervalos

de ClasesPMC fi fr Fia Fra

37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27

42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37

48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50

53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57

59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70

64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1

ESTADISTICAMedidas de Tendencia Central

(b-a)(0.5- c)Me = a +

d

a = Límite inferior de la clase de la Me

b = Límite superior de la clase de la Me

c = Fra una clase antes de la clase de la Me (Nj-1)

d = fr de la clase de la Me

n = 30

n/2 = 15

Nj = 17… (53.6 – 59.1)

Nj- 1 = (48.1 – 53.6)

(59.1-53.6)(0.5- 0.5)Me = 53.6 + = 53.6

0.07

Ubicación de la clase de la Me

ESTADISTICAMedidas de Tendencia Central

Connotancia de Moda (Mo) en Estadística

En caso de existir es la(s) observación (nes) quemás se repiten en unabase de datos

Tiempo (minutos)

38.9

39.2

42.3

52.6

61.9

63.9

64.9

67.2

68.3

68.3

Distribuciones:

Unimodales

Bimodales

Etc.

Mo

ESTADISTICAMedidas de Tendencia Central

(ficmo- ficpremo)

Mo = Licmo + Acmo

(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)

Donde:

Licmo: Límite inferior de la Clase Modal

Acmo: Ancho de clase de la Clase Modal

Ficmo: Frecuencia absoluta de la Clase Modal

Ficpremo: Frecuencia absoluta de la Clase Premodal

Ficpostmo: Frecuencia absoluta de la Clase Postmodal

Clase Modal es la (s) que tiene(n) la mayor (es) fi

Intervalos

de ClasesPMC fi

37.1 a 42.6 39.85 8

42.6 a 48.1 45.35 3

48.1 a 53.6 50.85 4

53.6 a 59.1 56.35 2

59.1 a 64.6 61.85 4

64.6 a 70.1 67.35 9

ESTADISTICAMedidas de Tendencia Central

(ficmo- ficpremo)

Mo = Licmo + Acmo

(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)

(9 - 4)

Mo = 64.6 + 5.5 = 66.56

(9 - 4) + (9 – 0)

ESTADISTICAMedidas de Dispersión

Medidas de Dispersión

Rango/Distancia/Amplitud o Recorrido

Varianza (Variancia)

Desviación Típica o Estándar

Coeficiente de Variación

Una medida de tendencia central por si sola no es tanimportante. Por esta razón debe estar acompañada de unamedida de dispersión

ESTADISTICAMedidas de Dispersión

Rango Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo

Varianza

Población ( σ²)

Muestra (S²)

Es el promedio de las desviaciones al cuadrado de las observaciones que toma una variable respecto a su media

2

12

N

xiN

i

ESTADISTICAMedidas de Dispersión

xi (Desviaciones)2

52.6 17.2225

38.9 318.6225

68.3 133.4025

67.2 109.2025

63.9 51.1225

64.9 66.4225

68.3 133.4025

39.2 308.0025

42.3 208.8025

61.9 26.5225

Sumatoria 567.5 1372.725

Promedio 56.75

1372.725

S² = = 152.525mi²/est²

10 - 1

Desventaja

Desviación Típica S = √S²

S = √152.525 = 12.35 min/est

Interpretación x S

56.75 12.35 min/est.

ESTADISTICA

Intervalos de Clases

PMC fi

37.1 a 42.6 39.85 8

42.6 a 48.1 45.35 3

48.1 a 53.6 50.85 4

53.6 a 59.1 56.35 2

59.1 a 64.6 61.85 4

64.6 a 70.1 67.35 9

Si la tabla no presenta clases abierta es posiblehacer una estimación de la varianza de la siguienteforma:

ESTADISTICAMedidas de Dispersión

Intervalos de Clases

PMC fi

37.1 a 42.6 39.85 8

42.6 a 48.1 45.35 3

48.1 a 53.6 50.85 4

53.6 a 59.1 56.35 2

59.1 a 64.6 61.85 4

64.6 a 70.1 67.35 9

PMC*fi PMC2*fi

318.8 12704.18

136.05 6169.8675

203.4 10342.89

112.7 6350.645

247.4 15301.69

606.15 40824.203

1624.5 91693.475

5103448.128130

30

5.1624475.91693

2

2S

33624033.115103448.128S

ESTADISTICAMedidas de Dispersión

Todas las medidas de dispersión expuestas anteriormente son dimensionales (toman las unidades de medidas de las variables)

Existe otra medida de dispersión pero adimensional llamadas Coeficiente de Variación o Dispersión Relativa

x

SVC. 100*.

x

SVC

ESTADISTICADeformación de Curvas Unimodales

Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se dispersanlos datos alrededor de una medida de tendencia central,pero, ¿Para donde se desvían los datos?, a la izquierda de lamedia, a la derecha o se distribuyen simétricamente.

Existen otras medidas aplicable solo a curvas unimodales quetratan de las deformación de curvas tanto de formahorizontal como vertical

ESTADISTICADeformación de Curvas Unimodales

Asimetría

Asimetría Negativa

Asimetría Positiva

Curvas Simétricas

> Me > Mox

< Me < Mox

= Me = Mox

ESTADISTICADeformación de Curvas Unimodales

ESTADISTICADeformación de Curvas Unimodales

Curtosis

Curva Platicúrtica

Curva Leptocúrtica

Curva Mesocúrtica

Kur > 3

Kur < 3

Kur = 3

ESTADISTICARegresión Lineal Simple

Y

X1

X2.

.

.

Xi

En el desarrollo de los eventos, puedeser que una variable sea afectada porel comportamiento de otra (s) variable(s)

Es de interés poder cuantificar estetipo de relación de manera que sepueda predecir una variable en funciónde otra

En Regresión Lineal Simple es deinterés cuando una variable afecta elcomportamiento de otra variable

Y: Variable Dependiente

X: Variable Independiente

Y = f(X)Propósito de la R.L.S: Predicción

ESTADISTICARegresión Lineal Simple

Por análisis de regresión se entiende al conjunto de métodosestadísticos que tratan con la formulación de modelos matemáticosque describen la relación entre variables y el uso de estasrelaciones modeladas con el propósito de predecir e inferir.

Por Regresión Lineal Simple se entiende …

Supuestos del Análisisde Regresión LinealSimple

“Y” es una variable aleatoria cuyadistribución probabilística depende de“X”

Modelo de la Línea Recta

Homogeneidad de Varianza

Normalidad

Independencia

ESTADISTICARegresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión

Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósito mostrar laposible tendencia (en caso de existir) entre las variables “X” y “Y”.

Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema decoordenadas (bidimensional)

Y

X

(x, y)

Rango de Sueldo (X) Inasistencias (Y)11 1810 178 295 369 119 267 283 3511 148 207 322 399 168 266 313 40

ESTADISTICARegresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 2 4 6 8 10 12

Inasi

stencia

Rango de Salario

ESTADISTICARegresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados

El supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relación entre“X” y “Y”, ésta es una línea recta, por lo tanto se puede pensar enuna ecuación de la siguiente forma:

De tal manera que se llegue a obtener una ecuación de la siguientenaturaleza:

Parámetros

Estimación

ESTADISTICARegresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados

Uso de la Técnica de MínimosCuadrados (Carl Gauss)

A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), …(xi, yi) de las variables “X” y “Y”, se trata de obtener los estimadores . Para ello la Técnica de Mínimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de las distancias entre los valores observados y los estimados de tal manera que :

Y

X

ESTADISTICARegresión Lineal Simple/Recta de Estimación

Estimada una vez la recta de Predicción y teniendo en cuenta que elpropósito de la R.L.S es la predicción, se hace necesario estarseguro que la ecuación estimada es capaz de predecir.

Por esta razón es necesario validar la ecuación estimada

ESTADISTICARegresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación

Validación

Cálculo de Coeficientede Determinación R²

Análisis de Varianzade la Regresión “ANARE”

Cuantifica la cantidad de la variabilidad de “Y” que puede ser explicada por “X”

R² ≥ 70%

ESTADISTICARegresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación/ANARE

Por análisis de Varianza se entiende, de forma general, a la particiónde la variación total en fuente de variación conocida que en el casode R.L.S son de acuerdo al siguiente modelo aditivo lineal:

xi= Variación debida a Regresión

εi = Variación debida al Error

FV gl SC CM Fc Ft (α, 1 glerror)

Regresión 1 SCRegresión CMRegresiónCMRegresión/

CMError

Error n-2 SCError CMError

Total n.1 SCTotales

Regla de Decisión

NRHo : Fc ≤ Ft

RHo : Fc > Ft

ESTADISTICARegresión Lineal/Dibujo de la Recta de Estimación

La Recta de Estimación debe pasar por dos puntos obligados dentrodel área de exploración, Las coordenadas de estos puntos son lassiguientes:

y = -2.927x + 47.34

R² = 0.789

0

10

20

30

40

50

0 5 10 15

Ina

sist

enc

ia

Nivel Salarial

Diagrama de Dispersión y Recta de

Estimación

Dispersión

Linear (Dispersión)

ESTADISTICARegresión Lineal Simple/Bandas de Confianza

¿Hasta dónde es capaz de predecir la recta de predicción estimada?

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15

Ina

sist

enc

ia

Nivel Salarial

Diagrama de dispersión, recta de estimación y

bandas de confianza

Diagrama de

Dispersión

Recta de Estimación

Banda Inferior

Banda Superior

ESTADISTICACorrelación Lineal Simple

Así como existen técnicas que cuantifican los cambios de unavariable dependiente por un único cambio de la variableindependiente, existen técnicas que cuantifican la asociación linealentre dos variables, esta técnica es llamada Correlación LinealSimple que se exprese como el coeficiente de correlación (r)

Este coeficiente indica el sentido de la asociación como también lamagnitud de ésta, partiendo del hecho que el coeficiente decorrelación lineal simple toma valores en el rango de: r es -1 ≤ r ≤ 1.Entre más se acerca a 1 el valor de r mayor es la asociación entredichas variables.

ESTADISTICACorrelación Lineal Simple

Regresión Lineal Simple Correlación Lineal Simple

Mide la cantidad de cambios en “Y”por un único cambio en “X”.

Mide asociación linealentre dos variables

Existe una variable dependiente yotra independiente

Es indistinto x, y ó y, x

β1 puede tomar cualquier valor en larecta numérica

El coeficiente decorrelación toma valores enel intervalo -1 ≤ r ≤ 1

ESTADISTICA

Correlación Lineal Simple

-1 ≤ r < -0.8 Asociación

fuerte y

negativa

0 ≤ r < 0.4 No hay

asociación

-0.8 ≤ r < -0.4 Asociación

débil y

negativa

0.4 ≤ r < 0.8 Asociación

débil y

positiva

-0.4 ≤ r ≤ 0 No hay

asociación

0.8 ≤ r ≤ 1 Asociación

fuerte y

positiva

ESTADISTICACorrelación Lineal Simple

Probabilidad

PROBABILIDADES

Experimentos Aleatorios

Espacio Muestral,Eventos y Sucesos

Tipos de Experimentos Aleatorios

Relaciones entre Eventos

Enfoques de Probabilidad/Teoremas Básicos de Probabilidad

Eventos Dependientes/Independientes

Probabilidad Total/Teorema de Bayes

Experimentos

Determinísticos

No Determinísticos

Sus resultados se conocen con anticipación sin necesidad de realizar el experimento

Sus resultados se conocen una vez que el experimento ha finalizado

Es un proceso planificado a través del cual se obtiene una observación (o una medición) de un fenómeno

Se pueden describir los posibles resultados pero no se puede decir cuál de ellos ocurrirá

Experimentos AleatoriosSon experimentos no determinísticos cuyos resultados están regidos por el azar

PROBABILIDADES

Supóngase que se lanzan dos monedas legales al mismo tiempo y que a una cara de cada moneda se la llama “Cara” a la otra “Sol” entonces:

={CC, CS, SC, SS}

Supóngase ahora que se lanza un dado legal. Entonces:

={1, 2, 3, 4, 5, 6,}

Experimentos Aleatorios

Son aquellos experimentos no determinísticos cuyos resultados están regidos por la casualidad (azar)

PROBABILIDADES

M = {CC, CS, SC, SS}

O bien en el caso del lanzamiento del dado

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}

Espacio Muestral

Retomando el caso del lanzamiento de las dos monedas, ¿hay otro posible resultado en este experimento?.

Son todos los resultados que están asociados a un experimento aleatorio

Supóngase que el lanzamiento del dado se está interesado en la ocurrencia de una cara impar

A = {1,3,5} Evento

Es subconjunto del espacio muestral, es decir, sus resultados pertenecen al espacio muestral

PROBABILIDADES

Espacio Muestral

Evento

2

1

3

4

5

6

M

A

Suceso (wi)

Letras Mayúsculas del Alfabeto

A= (wiεA /wi ε M)

PROBABILIDADES

Experimentos

Aleatorios

Simples

Compuestos

Un solo experimento aleatorio

Cuando ocurren dos o más experimentos simples al mismo tiempo o bien uno después del otro

Unidos por la partícula “ó” (v)

Unidos por la partícula “y” ( )

Los experimentos simples que lo componen ocurren de forma sucesiva

Los experimentos simples que lo componen ocurren al mismo tiempo

M = {M1∩M2…Mi} M = {M1UM2U…Mi}

PROBABILIDADES

Experimentos

Aleatorios

Simples

Compuestos

Un solo experimento aleatorio

Cuando ocurren dos o más experimentos simples al mismo tiempo o bien uno después del otro

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}

M = {CC, CS, SC, SS}

PROBABILIDADES

M2

M1 C S

C CC CS

S SC SS

Experimentos compuestos unidos por la partícula “y”

M3

M1*M2 C S

CC CCC CCS

CS CSC CSS

SC SCC SCS

SS SSC SSS

El espacio muestral es el producto cartesiano de los espacios muestrales simples que lo conforman

PROBABILIDADES

Experimentos compuestos unidos por la partícula “y”

C

S

C

S

C

S

C

S

C

S

C

S

C

S

M

CCC

CCS

CSC

CSS

SCC

SCS

SSC

SSS

Diagrama del Árbol

Diagrama de Senderos

1ra Moneda

2da Moneda

3era Moneda

PROBABILIDADES

De acuerdo a cómo ocurren los eventos se pueden establecer algunas relaciones entre ellos tales como:

AUB

A B M

AUB

A B M

AΠB

A B MM

AA

PROBABILIDADES

Enfoques de

Probabilidades

Clásico

Frecuencia Relativa

Probabilidad A priori. Llamada También Probabilidad de Laplace

Probabilidad A posteriore

Subjetivo

PROBABILIDADES

Probabilidad

Clásica

Supuesto

Frecuencia Relativa

Probabilidad A posteriore

Subjetivo

Todos los sucesos de unexperimento aleatorio tienenla misma posibilidad deocurrir, entonces:

M

naAP

10 AP

Si en la realización deexperimento aleatorio apareceun evento A “n veces ≤N”,entonces:

N

nAP

PROBABILIDADES

Teoremas Básicos de

Probabilidades

P[AUB] = P [A] + P [B]

P[AUB] = P [A] + P [B] – P[AΠB]

P[Ø] = 0

P[M] = 1

%1000/10 APAP

APAP c 1

PROBABILIDADES

Cuando la ocurrencia de un evento está en dependencia de otro evento, se dice que éste es dependiente.

Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A es un evento dependiente de B sí;

Estas probabilidades se pueden calcular de dos formas:

• Respecto al espacio muestral original

• Respecto al espacio muestral del evento condicionante

0; BPBP

BAPB

AP 0; APAP

ABPA

BP

PROBABILIDADESEventos Dependientes

En una institución de Educación Superior se tiene 300 docentes, de los cuales 100 son casados y 30 divorciados. En dicha institución hay 200 hombres, 85 de los cuales son casados y 95 son solteros. Determinar cual es la probabilidad de seleccionar un docente al azar:a. Que sea mujerb. Que sea soltero (a)c. Que sea un hombre y esté casado (a)d. Que sea una mujer divorciadae. Dado que el docente es casado (a), ¿cuál es la probabilidad que

sea hombre?f. Si el docente seleccionado es hombre, ¿cuál es la probabilidad que

sea casado?

PROBABILIDADES

En una universidad el 70% de los estudiantes son de Ciencias, 30% de Letras. De los estudiantes de Ciencias el 60% son varones y los de Letras son varones el 40%. Si se elige al azar un estudiante, calcule la probabilidad que:a. Sea mujerb. Se estudiante varón dado si es de Cienciasc. Sea estudiante de Ciencias dado que es varónd. Sea estudiante de Ciencias y varón.

PROBABILIDADES

Cuando la ocurrencia de un evento no está en dependencia de la ocurrencia de otro evento, se dice que éstos son independientes.

Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A es un evento independiente de B sí se cumple con cualquiera de las siguientes condiciones:

BPAPBAP *

0; APBPAP

ABPA

BP

0; BPAPBP

BAPB

AP

PROBABILIDADESEventos Independientes

Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1], P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak] son probabilidades conocidas entonces:

]/[][...]2/[]2[1/1 AkBPAkPABPAPABPAPBP

Probabilidad Total = AkBPAkPBPk

i/

1

PROBABILIDADESProbabilidad Total

Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1], P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak]. Si B ya ha ocurrido y se está interesado en saber a cual de los eventos que forman la partición muestral se ha debido su ocurrencia, entonces se usa el denominado Teorema de Bayes

k

i AkBPAkP

AkBPAkP

BAkP

1

PROBABILIDADESTeorema de Bayes

25/09/2011Ing.M.Sc. Francisco Martínez Solaris; Mgs. En

Educación Superior

Experimento:

En sí viene a ser aquel proceso intencionadoprovocado por el investigador con el fin deestudiar su origen, esencia e interrelacióncon otros procesos o fenómenos.Tratamiento:

Viene a ser el conjunto de condiciones experimentales queel investigador impone a las unidades experimentales.Ejemplo: efecto de dosis desparasitante, tipo dedesparasitante, etc.

DISEÑOS EXPERIMENTALES

25/09/2011Ing.M.Sc. Francisco Martínez Solaris; Mgs. En

Educación Superior

Unidad Experimental

*Es el material o lugar sobre el cual se aplican lostratamientos

Tamaño de la Unidad Experimental

*Depende depende mucho del tipo de materialexperimental que se utilice y muchas veces de laesperanza de vida en el caso de usar seres vivos.

DISEÑOS EXPERIMENTALES

25/09/2011Ing.M.Sc. Francisco Martínez Solaris; Mgs. En

Educación Superior

Factor

*Es un tratamiento que genera más tratamientos (nivelesdel factor)

Error Experimental

Es la variación aleatoria (no explicada) ajena al controlrazonable del investigador. Este término no es sinónimo deerror, si no que forma parte de las características propiase innatas de la unidad experimental

DISEÑOS EXPERIMENTALES

25/09/2011Ing.M.Sc. Francisco Martínez Solaris; Mgs. En

Educación Superior

Testigo

*Es el tratamiento de comparaciónadicional, que no debe faltar en unexperimento; la elección deltratamiento testigo es de granimportancia en cualquier investigación

DISEÑOS EXPERIMENTALES

Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

Diseño de Investigación

DISEÑOS EXPERIMENTALES PUROS

DISEÑOS CLASICOS DISEÑOS FACTORIALES

DCA

BCA

CL FACTORIALES/DCA

FACTORIALES/BCA

FACTORIALES/CL

SIMPES COMPLEJOS

PARCELAS DIVIDIDAS

PARCELA SUBDIVIDIDAS

Diseños Experimentales

Diseños Experimentales Puros Cuasiexperimentos

25/09/2011

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

Se Provoca una Causa Proceso

Se Mide efecto

ANALISIS DE VARIANZA (ANDEVA)

¿QUE ES UN ANALISIS DE VARIANZA?Homogeneida de varianzas

Normalidad

Linealidad y Aditividad

Independencia

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑOS EXPERIMENTALES

Es un método científico de investigación que consiste en hacer operaciones prácticas destinadas a demostrar, comprobar o descubrirfenómenos o principios básicos.

Tiene como propósito proporcionar la máxima cantidad de información a un costo mínimo.

Principios Básicos de la Experimentación

Azarización

Repetición

Control Local

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑOS EXPERIMENTALES

Exigencias de la Experimentación

Tipicidad

Uniformidad en el Manejo de las Unidades Experimentales

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR(DCA)

*

• Unidades Experimentales homogéneas

• Se utiliza en experimentos en:

• Invernadero, Macetas, Galpones, Corrales, Laboratorio

¿Cuándo se utiliza este diseño?

Modelo Aditivo Lineal (MAL)

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR(DCA)

Modelo Aditivo Lineal (MAL)

F.V gl SC CM Fc Ft

Tratamiento t-1 SCTRAT.

Error t(r-1) SCError

Total tr-1 SCTotales

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR(DCA)

Salida de Varianza según Modelo Aditivo Lineal (MAL)

F.V gl SC CM Fc Ft

Tratamiento t-1 SCTRAT.

Error n-t SCError

Total n-1 SCTotales

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR(DCA)

Vaciamiento de Información

TRATAMIENTOSREPETICIONES

ΣYi.1 2 3 … j

1 Y11 Y12 Y13 Y1j Y1.

2 Y21 Y22 Y23 Y2j Y2.

3 Y31 Y32 Y33 Y3j Y3.

…i Yi1 Yi2 Yi3 Yij Yi.

ΣY.j Y.1 Y.2 Y.3 Y.j Y..

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR(DCA)

Ecuaciones de Trabajo

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR(DCA)

Hipótesis

Ho: µ1 = µ2 = µ3 =… µi (T1 = T2 = T3 = …Ti)

Ho: µ1 - µ2 - µ3 -… µi = 0 (T1 - T2 - T3 - …Ti = 0)

Ha: µ1 - µ2 - µ3 -… µi 0 (T1 T2 T3 …Ti)

NRHo si Fc Ft

Regla de Decisión

RHo si Fc > Ft

Ho

Verdadera

Falsa

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR(DCA)

VariedadesRepeticiones

1 2 3 4

Martí 656.3 718.4 586.6 746.2

Topacio 784.4 713.4 915.8 629.6

Estela 924.5 822.8 824.2 978.5

VF-134 534.4 685.1 567.2 655.5

UC - 82 640.7 658.8 532.7 614.4

Peso de jugo (gramos) de tomate obtenido de cincovariedades de tomate industrial.

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR(DCA)

Resultados del Análisis de Varianza a un α =0.05

FV gl SC CM Fc Ft (0.05, 4, 15)

Variedades 4 218983.21 54745.8025 8.08634861 3.05556828

Error 15 101552.268 6770.15117

Total 19 320535.478

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

PRUEBAS DE RANGOS MULTIPLES, SEPARACIONDE MEDIAS O PRUEBAS OBLIGADAS POR LOS DATOS

Ho

NRHo

RHo Entonces Ha es verdadera

¿Cuál (es) es o son los tratamientos que provocaron el RHo?

Pregunta que no responde el ANDEVA

Pruebas de Rangos Múltiples

Contrastes Ortogonales

Polinomios Ortogonales

Decisión

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

PRUEBAS DE RANGOS MULTIPLES, SEPARACIONDE MEDIAS O PRUEBAS OBLIGADAS POR LOS DATOS

Obtener los promedios de las fuentes de variación de interés

Procedimiento para realiza una Pruebas de Rangos Múltiples

Ordenar los promedios de forma descendente

Seleccionar la prueba de rangos múltiples a usar

Determinar el valor crítico de la prueba de seleccionada

Establecer las comparaciones a realizar según la prueba seleccionada

Determinar las diferencias de medias de acuerdo a las comparaciones establecidas

Contrastar las diferencias de medias con el valor crítico de la prueba

Establecer el rango de mérito

Emitir conclusiones según el rango de mérito25/09/2011

Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

PRUEBAS DE RANGOS MULTIPLES, SEPARACIONDE MEDIAS O PRUEBAS OBLIGADAS POR LOS DATOS

Pruebas de Rangos Múltiples

• Diferencia Mínima Significativa (DMS) (LSD)

• Método de Duncan

• Método de Student-Newman-Keuls (SNK)

• Método de Tukey (Diferencia Significativa Honesta)

• Método de Scheffé

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

PRUEBAS DE RANGOS MULTIPLES, SEPARACIONDE MEDIAS O PRUEBAS OBLIGADAS POR LOS DATOS

¿Cuál Pruebas de Rangos Múltiples Utilizar?

VariedadesPrueba de Rangos Múltiples

DMS Duncan SNK Tukey Scheffé

Estela a a a a a

Topacio b ab ab ab ab

Martí bc bc b b b

UC - 82 c c b b b

VF-134 c c b b b

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑO EN BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR(BCA)

*

• Cuando el material experimental presenta un factor deestorbo que no es de interés estudiar pero que si puedeafectar los resultados del experimento.

• Tiene como principio maximizar la variabilidad entrebloques y minimizar la variabilidad interbloque ovariabilidad interna.

¿Cuándo se utiliza este diseño?

Modelo Aditivo Lineal (MAL)

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑO EN BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR(BCA)

• Deben existir tantas unidades experimentales dentro de cadabloque como tratamientos se tenga, de manera que cadatratamiento tenga una repetición en cada bloque

• Desventaja (cuando se pierde una unidad experimental en unbloque) por que se pierde la simetría del bloque (principio debloqueo.

• Cuando se pierde todo un tratamiento o bien todo un bloque, nohay problema ni necesidad de estimar parcela o datos perdidos

Principio de bloqueo

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

Salida de Varianza según Modelo Aditivo Lineal (MAL)

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

F.V gl SC CM Fc Ft

Bloque r-1 SCBloque CMBloque

Tratamiento t-1 SCTRAT. CMTRAT.

Error (t-1)(r-1) SCError CMError

Total tr-1 SCTotales

DISEÑO EN BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR(BCA)

Concentración de información

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

TRATAMIENTOSBLOQUES

ΣYi.

1 2 3 … j

1 Y11 Y12 Y13 Y1j Y1.

2 Y21 Y22 Y23 Y2j Y2.

3 Y31 Y32 Y33 Y3j Y3.

…i Yi1 Yi2 Yi3 Yij Yi.

ΣY.j Y.1 Y.2 Y.3 Y.j Y..

DISEÑO EN BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR(BCA)

Ecuaciones de trabajo

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑO EN BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR(BCA)

Producción de cebadas sometidas a seis niveles de fertilización nitrogenada (kg/unidad experimental)

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑO EN BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR(BCA)

Tratamientos I II III IV

1 32.10 35.60 41.90 35.40

2 30.10 31.50 37.10 30.80

3 25.40 27.40 33.80 31.10

4 24.10 33.00 35.60 31.40

5 26.10 31.00 33.80 31.90

6 23.20 24.80 26.70 26.70

Salida de varianza para producción de cebadassometidas a seis niveles de fertilización nitrogenada(kg/unidad experimental)

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑO EN BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR(BCA)

F.V gl SC CM Fc Ft (0.01)

Tratamientos 5 255.277083 51.0554167 17.1989014 4.55561398

Bloques 3 192.554583 64.1848611 21.6217822 5.41696486

Error 15 44.5279167 2.96852778

Total 23 492.359583

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑO CUADRADO LATINO (CL)

• Es considerado una variante del BCA, ya que bloquea en dossentidos, por hileras (filas) y por columna

• Se utiliza cuando existen dos factores de estorbo que nointeresan estudiar pero que si pueden afectar los resultados

• Para que los efectos de hieleras y columnas no se confundancon el de los tratamientos, éstos no se deben repetir tantopor hilera y por columna (principio de bloque con doblebloqueo).

¿Cuándo se utiliza este diseño?

Modelo Aditivo Lineal (MAL)

Yij(k) = µ + Hi + Cj + Tk(ij) + Eijk

25/09/2011Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

DISEÑO CUADRADO LATINO (CL)

Salida de Varianza para un CL

FV gl SC CM Fc Ft

Hileras t-1 SCHileras CMHileras

Columnas t-1 SCColumn CMColumn

Tratamiento t-1 SCTRAT. CMTRAT.

Error (t-1)(t-2) SCError CMError

Total t²-1 SCTotales