Ddd

Geometria Descritiva

A distribuição de pontos sobre um campo visual pode ser geradora de formas, em função da disposição dos pontos.

1. Módulo Inicial

O ponto como elemento visual é uma mancha pequena, de forma mais ou menos circular e de dimensões variáveis (maior ou menor)

1. Módulo Inicial

1. Módulo Inicial

O PONTO COMO ELEMENTO GEOMÉTRICO

- elemento geométrico sem dimensão (assume a espessura do material riscador, por necessidade de representação gráfica);

- elemento cuja sequência e movimento gera a linha.

- geometricamente, identifica-se com letras maiúsculas (ex: A, B); A

BCA

BC

1. Módulo Inicial

RECTA – quando não começa nem acaba em nenhum ponto conhecido.

- elemento geométrico gerado pela sequência e movimento rectilíneo do ponto;

- É unidimensional, tem apenas comprimento. Assume por necessidade de registo gráfico, a espessura do material riscador;

- geometricamente, identifica-se com letras minúsculas (ex: a, b); a

Para definir uma Recta, é necessário conhecer:

- Dois pontos distintos nela contidos, ou;- Um ponto nela contido e a direcção relativa da

mesma;- O sentido de uma recta é positivo para a esquerda e

negativo para a direita.

1. Módulo Inicial

1. Módulo Inicial

SEMI-RECTA – quando começa num ponto conhecido.

SEGMENTO DE RECTA – quando começa e acaba em pontos conhecidos.

A B

Ar

1. Módulo Inicial

POSIÇÃO RELATIVA DE 2 RECTAS- RECTAS COMPLANARES (pertencentes ao mesmo

plano) poderão ser:

- Concorrentes, se se intersectarem num ponto.

- Paralelas, se nunca se encontrarem. a

b

a

b

1. Módulo Inicial

- RECTAS ENVIESADAS (ou não complanares, não pertencem ao mesmo plano) nunca se encontram. Não têm nenhum ponto em comum e têm direcções diferentes.

a

b

1. Módulo Inicial

PLANO- elemento gerado pelo movimento da linha;- tem duas dimensões, comprimento e largura;- geometricamente, identifica-se com letras do

alfabeto grego (.

r r1

r2r3

r1r2

r3

1. Módulo Inicial

Para definir um Plano, é necessário ter:

- três pontos não colineares (isto é, não contidos na mesma recta), ou;

- uma recta e um ponto exterior a esta, ou;

- duas rectas concorrentes, ou;- duas rectas paralelas.

r A

A

BC

r ssr

1. Módulo Inicial

POSIÇÃO RELATIVA DE RECTAS E PLANOS:- Um ponto pertence a um plano, quando pertence a

uma recta desse plano;- A recta pertence ao plano, quando todos os seus

pontos coincidem com pontos do plano;

r

1. Módulo Inicial pág.14

- A recta é paralela ao plano, quando nenhum dos seus pontos toca a superfície do plano; a recta é paralela a uma recta do plano;

rr1

1. Módulo Inicial

- A recta é concorrente com o plano, quando a recta intersecta o plano num ponto, isto é tem um ponto em comum com o plano;

r

A

1. Módulo Inicial

- Planos paralelos – se nenhum ponto do primeiro plano coincidir com um ponto do segundo; geometricamente, basta que um dos planos contenha duas rectas concorrentes entre si ou paralelas, mas, em ambos os casos, paralelas ao outro;

ab

Planos concorrentes – se os planos se cruzarem; nesta situação, o elemento comum de intersecção é uma recta.

1. Módulo Inicial

1. Módulo Inicial

PERPENDICULARIDADE DE RECTAS E PLANOS:

- Se os quatro ângulos formados por duas rectas concorrentes forem iguais, estas dir-se-ão PERPENDICULARES.

90º

90º

rs

90º

90º

1. Módulo Inicial

- Se uma recta é concorrente com um plano, poderá ser perpendicular a esse plano, se for perpendicular simultaneamente a duas rectas concorrentes desse plano, caso contrário, a recta é oblíqua ao plano.

a

b

r

a

r

1. Módulo Inicial

- Se um plano é concorrente com outro, poderá ser perpendicular a esse plano, caso contenha uma recta que lhe seja perpendicular.

r

r

1. Módulo Inicial

Rectas ortogonais a um plano (referencialmente ao plano).

Rectas oblíquas em relação a um plano.

r1

r2

r3

s 1

s 2

s 3

1. Módulo Inicial (pág. 22 até 25)

SUPERFÍCIEUma superfície é o lugar geométrico das posições sucessivas que uma linha ocupa quando se move no espaço segundo uma determinada regra ou lei.

Geratriz ( g ) – recta cujo movimento gera a superfície.

Directriz ( d ) – regra, ou lei, que rege o movimento da geratriz.

1. Módulo Inicial

Superfícies abertas Superfícies fechadas

As superfícies podem ser abertas ou fechadas, conforme a sua directriz seja uma linha aberta ou fechada.

1. Módulo Inicial

Superfícies regradas e superfícies não regradas.

Resulta da deslocação de uma recta (geratriz).

Resulta da deslocação de uma linha curva (geratriz).

1. Módulo Inicial

Superfícies cónicas, cilíndricas, piramidais e prismáticas

1. Módulo Inicial

Superfícies cónicas, cilíndricas, piramidais e prismáticas

1. Módulo Inicial

Superfícies cilíndrica de revolução

Superfície cónica de revolução

Superfície esférica

1. Módulo Inicial

SÓLIDOS O sólido geométrico é uma forma limitada por porções de superfícies, planas e/ou curvas.

De entre os sólidos que são exclusivamente delimitados por superfícies planas chamam-se poliedros.

1. Módulo Inicial

POLIEDROS Os Poliedros são sólidos geométricos limitados por porções de superfícies planas. As pirâmides e os prismas são poliedros.

POLIEDROS REGULARES (Quando as faces do Poliedro são todas iguais).

Tetraedro Cubo Octaedro Icosaedro Dodecaedro

1. Módulo Inicial

Pirâmides são poliedros de faces triangulares, cuja base pode ser um polígono qualquer.

Prismas são poliedros limitados por duas bases poligonais e por faces laterais.

POLIEDROS IRREGULARES (Quando as faces do Poliedro não são todas iguais).

Pirâmide obliqua Pirâmide recta Prisma obliquo Prima recto

1. Módulo Inicial

Cones oblíquos Cilindros oblíquos

1. Módulo Inicial

1. Módulo Inicial

Secções – linha ou superfície divisória segundo a qual se cortam uma superfície ou um sólido.

Pág. 33 e 34

2. Introdução à Geometria Descritiva

Quando vamos ao cinema, quando vemos imagens na televisão, quando folheamos uma revista, ou um livro com gravuras, não nos preocupamos com a natureza das imagens que estamos a "visualizar".

As figuras são planas, mas os objectos que se apresentam diante de nós, são visualizados como tendo três dimensões. Isto parece-nos tão natural que não reflectimos sobre este facto: numa superfície plana, bidimensional, estão representados objectos tridimensionais.

2. Introdução à Geometria Descritiva

Desde a pré -história, o problema da representação plana de objectos a três dimensões, esteve sempre presente. Tudo começou quando o homem teve a ideia de traçar sobre uma rocha, figuras humanas, animais ou simples grafismos, no interior das cavernas ou mesmo ao ar livre como podemos apreciar aqui em Portugal no Vale do Coa.

Podemos pois dizer que o desenho tem ocupado, desde as épocas mais remotas, um papel importante como meio de expressão e comunicação entre seres humanos.

A evolução das técnicas e dos suportes possibilitou as diversas formas de desenho que se adaptaram melhor às necessidades criativas dos homens.

2. Introdução à Geometria Descritiva

Podemos dividir a geometria em três ramos:- A geometria plana que estuda as linhas, figuras e

formas existentes no plano;- A geometria no espaço, que estuda as linhas,

figuras, planos e sólidos no espaço;- A geometria descritiva, que estuda a representação

no plano da linhas, figuras, planos e sólidos no espaço.

2. Introdução à Geometria Descritiva

Geometria Descritiva é:

“Representar com exactidão, sobre desenhos que só têm duas dimensões, os objectos que na realidade têm três e que são susceptíveis de uma definição rigorosa”. Gaspard Monge

2. Introdução à Geometria Descritiva

O Seu autor foi:O Seu autor foi:

Gaspar Monge, matemático, Gaspar Monge, matemático, físico, químico, militar, físico, químico, militar, industrial e pedagogo.industrial e pedagogo.

Introduziu em 1975 dois Introduziu em 1975 dois planos de projecção planos de projecção

perpendiculares entre si, perpendiculares entre si, para descrição gráfica de para descrição gráfica de

objectos sólidos.objectos sólidos.

2. Introdução à Geometria Descritiva

Para que serve?

Com o Método da Geometria Descritiva é possível representar, sobre um plano, as figuras no espaço. De facto, por meio do desenho de projecções, são realizadas operações gráficas com raciocínios e soluções próprias da geometria plana.

Noção de Projecção A projecção de um objecto numa superfície plana acontece

quando as rectas projectantes que passam pelos vários pontos do objecto intersectam a superfície plana onde se pretende projectar o objecto. Os pontos de intersecção dessa superfície com as rectas projectantes definem a projecção do objecto.

2. Introdução à Geometria Descritiva

2. Introdução à Geometria Descritiva

Sistemas de projecção Um sistema de projecção é um conjunto de vários

elementos que nos permitem realizar a projecção de objectos, imagens ou entidades geométricas. Os elementos constituintes de qualquer plano de projecção são:

- O plano de projecção;- O centro de projecção;- As rectas projectantes.

2. Introdução à Geometria Descritiva

- Sistemas de projecção- O plano de projecção;- O centro de projecção;- As rectas projectantes.

2. Introdução à Geometria Descritiva

Sistema de Projecção Cónica ou Central Se a distância do centro de projecção ao plano de

projecção é finita, as rectas projectantes são concorrentes entre si (no centro de projecção).

2. Introdução à Geometria Descritiva

Sistema de Projecção Paralela ou Cilíndrica

Se a distância do centro de projecção ao plano de projecção é infinita, as rectas projectantes são paralelas entre si.

Se as rectas projectantes são ortogonais ao Plano de Projecção, esta situação gera o Sistema de Projecção Ortogonal.

Se as rectas projectantes são oblíquas ao Plano de Projecção, esta situação gera o Sistema de Projecção Oblíqua.

2. Introdução à Geometria Descritiva

Múltipla Projecção Ortogonal

Pág.61

2. Introdução à Geometria Descritiva

Múltipla Projecção Ortogonal

Pág.61

2. Introdução à Geometria Descritiva

Axonometrias

Pág. 63

2. Introdução à Geometria Descritiva

Axonometrias

Pág. 63

2. Introdução à Geometria Descritiva

Projecção Triédrica A base deste método assenta na

constituição de triedros trirrectângulos de projecção, os quais são definidos por 3 planos de projecção mutuamente ortogonais: os planos horizontal, frontal e de perfil.

- PLANO HORIZONTAL – XY (plano 1) o qual é designado por (niu zero).

- PLANO FRONTAL – XZ (plano 2) o qual é designado por fi zero).

- PLANO DE PERFIL – YZ (plano 3) o qual é designado por (pi zero).

X

Z

Y

O

2. Introdução à Geometria Descritiva

Os três planos de projecção são a base de representação triédrica.

Definidos pela intersecção destes

planos, estão os três eixos de

coordenadas ortogonais X, Y e Z.

X

Z

Y

O

2. Introdução à Geometria Descritiva

Representação triédrica de um Ponto.

Coordenadas ortogonais são as distânciasdo ponto aos planos de projecção.

x – abcissa ou largura y – ordenada afastamento ou profundidade z – cota ou altura

A1 – projecção horizontal A2 – projecção frontal A3 – projecção de perfil

X

Z

Y

O

A

z

xy

A3

A1

A2

2. Introdução à Geometria Descritiva

Dupla Projecção Ortogonal ou Representação diédrica

Pág.