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Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Estatística
6º Teste de avaliação – versão B
Grupo I
1. Relativamente a um referencial o.n. Oxyz, qual das condições seguintes define um plano
perpendicular a Ox e que passa no ponto ( )A 2,0, 5− ?
(A) z 5= −
(B) y 0= (C) y 0 z 5= ∧ = −
(D) x 2=
2. Considere a função polinomial f definida por ( ) ( ) ( ) ( )f x 0,5 x 5 x 1 x 4= − − − + .
Quais são os zeros da função h definida por ( ) ( )h x f x 2= + ?
(A) { }2,3,7− (B) { }7, 3,2− − (C) { }6, 1,3− − (D) { }3,1,6−
3. Na figura está representada parte do gráfico de uma
função polinomial do terceiro grau.
2 é um máximo relativo da função f.
Seja g a função, de domínio ℝ , definida por
( ) ( )g x f x 3= + .
Qual é o máximo relativo da função g?
(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 1
4. A polícia Judiciária realizou um estudo sobre a evolução percentual dos crimes contra o
património, a partir de 1996. O gráfico abaixo apresenta alguns dados desse estudo, tendo
como referência o número de crimes cometidos (66005) no ano de 1996.
• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.
• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.
• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita
for ilegível.
• Não apresente cálculos ou justificações.
• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 2
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) O número de crimes contra o património baixou todos os anos desde 1996 até 2005.
(B) Em 1998, registou-se um número de crimes contra o património maior do que em 1999.
(C) De 2003 para 2005, verificou-se um aumento do número de crimes contra o património.
(D) O ano em que se registou o menor número de crimes contra o património foi o de 2002.
5. Na escola da Marta, o professor de Matemática resolveu questionar
os alunos de duas turmas distintas sobre o número de mensagens
que cada aluno recebeu, num sábado, no telemóvel. Os resultados
obtidos na turma B encontram-se representados numa tabela.
Os alunos deviam fazer um estudo completo da situação a fim de
responderem a algumas perguntas. Qual das afirmações seguintes é
verdadeira?
(A) A moda e a mediana do número de mensagens recebidas pelos
alunos da turma B são iguais.
(B) A percentagem de alunos que receberam menos de 13 mensagens é igual à percentagem
de alunos que receberam mais de 13 mensagens.
(C) 75% dos alunos receberam 13 ou menos mensagens.
(D) 25% dos alunos receberam menos de 13 mensagens.
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Grupo II
1. O cubo da figura tem as faces paralelas aos planos coordenados e o perímetro de cada face é
16.
1.1. Defina analiticamente a superfície esférica circunscrita ao cubo.
1.2. Sendo M e N os pontos médios das arestas [AB] e [EF]
respectivamente, determine as coordenadas do ponto [ ]P HE∈
sabendo que a secção plana determinada no cubo pelo plano
MNP é um quadrado.
2. Na construção dos três lados de uma cerca rectangular são utilizados 100 metros de rede de
arame. Um muro faz o quarto lado.
2.1. Se o lado c medir 15 metros, quanto mede o outro
lado e a área da cerca?
2.2. Se a largura for c quanto mede o comprimento?
2.3. Mostre que uma fórmula que exprima a área
cercada, A, em função de c é ( )A c 100 2c= − e
indique quais são os valores que faz sentido atribuir
a c.
2.4. Analiticamente calcule o valor de c para o qual é máxima a área cercada e calcule
também o valor da área máxima.
3. A distribuição das velocidades dos automóveis controlados por um radar da Brigada de
trânsito numa auto-estrada foi a seguinte:
Velocidade
(km/h) 60 70 90 100 120 130 150
Número de
automóveis 1 2 6 5 4 2 3
3.1. Determine a média, a moda e a mediana da distribuição.
3.2. Suponha que, numa outra distribuição, a velocidade mais alta, 150 km/h, é substituída por
190 km/h e que o restante se mantém. Calcule a mediana e a média desta nova
Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,
pretende-se sempre o valor exacto.
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 4
distribuição e comente em qual destas medidas de tendência central se reflecte a
alteração.
4. Uma sondagem profunda da
crosta terrestre, com cerca de
8km permitiu determinar as
temperaturas a diferentes
profundidades.
O diagrama de dispersão da
figura relaciona a profundidade
p, em metros, e a temperatura t,
em graus Celsius.
4.1. Determine as coordenadas
do centro de gravidade da
distribuição.
4.2. Com a calculadora, determine uma equação da recta de regressão e preveja valores
aproximados às unidades da:
4.2.1. temperatura quando a profundidade é de 4200 metros;
4.2.2. profundidade quando a temperatura é de 120 graus.
NOTA: sempre que utilizar a calculadora não se esqu eça de indicar de forma organizada
os dados que introduziu.
FIM
COTAÇÕES
Grupo 1 Grupo 2
1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 4.1 4.2.1 4.2.2
10 10 10 10 10 15 15 10 10 10 10 15 15 20 15 15
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 5
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Estatística
6º Teste de avaliação – versão B – Proposta de reso lução
Grupo I
1. (D) Relativamente a um referencial o.n. Oxyz, das condições seguintes a que define um plano
perpendicular a Ox e que passa no ponto ( )A 2,0, 5− é x 2= .
2. (C) Consideremos a função polinomial f definida por ( ) ( ) ( ) ( )f x 0,5 x 5 x 1 x 4= − − − + .
Os zeros da função h definida por ( ) ( )h x f x 2= + têm um valor igual ao dos zeros de f
subtraídos de 2 unidades. Como os zeros de f são { }4,1,5− os zeros de h têm de ser
{ }6, 1,3− − .
3. (A) Na figura está representada parte do gráfico de uma
função polinomial do terceiro grau.
2 é um máximo relativo da função f.
Seja g a função, de domínio ℝ , definida por
( ) ( )g x f x 3= + .
O máximo relativo da função g é igual ao máximo relativo da função f dado que o gráfico de f
sofre apenas uma translação associada ao vector de coordenadas ( )3,0− , tratando-se de uma
translação horizontal o máximo mantém-se.
4. (C) A polícia Judiciária
realizou um estudo sobre a
evolução percentual dos
crimes contra o património,
a partir de 1996. O gráfico
abaixo apresenta alguns
dados desse estudo, tendo
como referência o número
de crimes cometidos
(66005) no ano de 1996. A
afirmação verdadeira é “De 2003 para 2005, verificou-se um aumento do número de crimes
contra o património.”
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 6
5. (A) Na escola da Marta, o professor de Matemática resolveu
questionar os alunos de duas turmas distintas sobre o número de
mensagens que cada aluno recebeu, num sábado, no telemóvel.
Os resultados obtidos na turma B encontram-se representados
numa tabela.
Os alunos deviam fazer um estudo completo da situação a fim de
responderem a algumas perguntas. Das afirmações seguintes a
que é verdadeira é “A moda e a mediana do número de
mensagens recebidas pelos alunos da turma B são iguais.”
Grupo II
1. O cubo da figura tem as faces paralelas aos planos
coordenados e o perímetro de cada face é 16.
1.1. Vamos definir analiticamente a superfície esférica
circunscrita ao cubo.
• Se o perímetro de cada face é 16 é porque a aresta
do cubo é 4 e porque ( )A 2,2,0 o centro do cubo,
que vai ser o centro da superfície esférica, tem
coordenadas ( )0,0,2 .
• O raio da superfície esférica vai ser metade da
diagonal espacial do cubo por ela ter de ser circunscrita ao cubo ou seja ter de passar
por todos os vértices do cubo. Assim o raio da superfície esférica vai ser 4 3
2 32
=
• A equação que define analiticamente a superfície esférica é ( )22 2x y z 2 12+ + − =
1.2. Sendo M e N os pontos médios das arestas [AB] e [EF] respectivamente, determinemos
as coordenadas do ponto [ ]P HE∈ , sabendo que a secção plana determinada no cubo
pelo plano MNP é um quadrado. Para que a secção seja um quadrado é necessário que
NP 4= dado que MN 4= . Considerando o triângulo rectângulo [ENP] podemos calcular
PE utilizando o Teorema de Pitágoras:
2 22 24 PE 2 PE 16 4 PE 12 PE 2 3= + ⇔ = − ⇔ = ⇔ =
Então se ( )P 2,y,4 e ( )E 2,2,4 concluímos ser:
x
y
z
N
OM
G F
BC
EH
DA(2,2,0)
P
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 7
( )PE E P 0,2 y,0= − = −����
e ( )2PE 2 y 2 y= − = −����
e como
2 y 2 3 2 y 2 3 2 y 2 3 y 2 2 3 y 2 2 3− = ⇔ − = ∨ − = − ⇔ = − ∨ = + e P está à
esquerda de E terá de ser y 2 2 3= −
Finalmente ( )P 2,2 2 3,4−
2. Na construção dos três lados de uma cerca rectangular são utilizados 100 metros de rede de
arame. Um muro faz o quarto lado.
2.1. Se o lado c medir 15 metros, como há um outro lado
igual a c o restante lado vai medir
100 2 15 70m− × = e a área da cerca é
2A 15 70 1050m= × =
2.2. Fazendo um raciocínio semelhante concluímos que
o outro lado da cerca mede 100 2c− .
2.3. A área cercada é a área de um rectângulo com dimensões c e 100 2c− . A área é
( )A c 100 2c= − . Porque há sempre um outro lado igual a c, o valor de c só pode variar
em [ ]0,50 .
2.4. Analiticamente calculamos o valor de c para o qual é máxima a área cercada e
calculamos também o valor da área máxima, calculando o vértice da parábola que
representa a área vedada por esta ter a concavidade virada para baixo.
• Cálculo dos zeros de A: ( )c 100 2c 0 c 0 c 50− = ⇔ = ∨ =
• Cálculo da abcissa do vértice que é o valor de c para o qual a área é máxima por se
tratar de uma função quadrática representada por uma parábola com a
concavidade voltada para baixo. 0 50
c 252
+= =
• Calculemos a área máxima. ( ) ( )A 25 25 100 2 25 1250= × − × =
Finalmente a área máxima é 1250 m2 e obtém-se quando o lado c medir 25 m.
3. A distribuição das velocidades dos automóveis controlados por um radar da Brigada de
trânsito numa auto-estrada foi a seguinte:
Velocidade
(km/h) 60 70 90 100 120 130 150
Número de
automóveis 1 2 6 5 4 2 3
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 8
3.1. Determinemos a média, a moda e a mediana da distribuição começando por construir
uma tabela de frequências acumuladas.
Velocidade (km/h) (xi)
ni Ni i ix n×
60 1 1 60
70 2 3 140
90 6 9 540
100 5 14 500
120 4 18 480
130 2 20 260
150 3 23 450
Totais 23 2430
A média é 2430
x 105,6523
= = .
A moda é 90.
A mediana é o 12º elemento ou seja 100.
3.2. Suponhamos que, numa outra distribuição, a velocidade mais alta, 150 km/h, é substituída
por 190 km/h e que o restante se mantém. Calculemos a mediana e a média desta nova
distribuição e comentemos em qual destas medidas de tendência central se reflecte a
alteração.
Velocidade (km/h) (xi)
ni Ni i ix n×
60 1 1 60
70 2 3 140
90 6 9 540
100 5 14 500
120 4 18 480
130 2 20 260
190 3 23 570
Totais 23 2550
A média é 2550
x 110,8723
= = . E a mediana continua a ser o 12º elemento ou seja 100.
Concluímos então ser a média a medida que sofre alteração o que era previsível pois
apenas alterámos os últimos valores da variável que não colidem com o cálculo da
mediana afectando sim a média que é uma medida sensível a valores extremos.
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 9
4. Uma sondagem profunda da
crosta terrestre, com cerca de
8km permitiu determinar as
temperaturas a diferentes
profundidades.
O diagrama de dispersão da
figura relaciona a profundidade
p, em metros, e a temperatura t,
em graus Celsius.
4.1. Determinemos as
coordenadas do centro de
gravidade da distribuição,
começando por construir
uma tabela a partir do gráfico.
Concluímos assim que o centro de gravidade da distribuição é ( )G p,t sendo p 4055,56≃ e
t 165= .
4.2. Com a calculadora, determinámos uma equação da recta de regressão de equação
y ax b= + com a 0,033≃ e b 29,856≃ e vamos prever valores aproximados às unidades
da:
4.2.1. temperatura quando a profundidade é de 4200 metros;
Podemos calcular a partir do gráfico ou a partir da tabela.
p t
500 30
1000 60
2000 96
3000 141
4000 177
5000 210
6000 231
7000 258
8000 282
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 10
Para o fazermos a partir do gráfico teremos de o seleccionar e depois calcular o valor da
função afim para x 4200=
Para o fazermos a partir da tabela vamos formatar a tabela para escolhermos os valores e
em seguida calculamos a imagem de 4200
A temperatura a uma profundidade de 4200 m é cerca de 170 graus (aproximação às
unidades).
4.2.2. profundidade quando a temperatura é de 120 graus.
Para determinarmos o objecto que tem como imagem 120 introduzimos a função definida
por y 120= e determinamos a intersecção dela com a recta de regressão.
Concluímos que se prevê que a temperatura seja de 120 graus a uma profundidade de
2705 m (aproximação às unidades)
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 11
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
Estatística
6º Teste de avaliação – Critérios de correcção
Grupo I
1 2 3 4 5
D C A C A
Grupo II
1. ………………………………………………………………………………………………….. 30
1.1. ……………………………………………….………………………………………. 15
•••• Centro …………………………………………………………………… 5
•••• Raio ……………………………………………………………………… 5
•••• Condição ..………………………………………………………………. 5
1.2. ………………………………………………..………………………………………. 15
•••• Concluir que MN 4= e NP 4= …………………………………………… 3
•••• Calcular PE .……..………………………………………………………… 3
•••• Calcular a ordenada de P…………………………………………………. 5
•••• Indicar as coordenadas de P …………………………………………….. 4
2. …………………………………………………………………………………………………… 60
2.1. ………………………………………………………….………………………………. 10
• Calcular a medida do outro lado .………………………………… 5
• Calcular a área cercada ……….………………………………….. 5
2.2. ………………………………………………………..………………………………… 10
2.3. ……………………………………………………….………………………………… 10
• Justificar a expressão da área …………………………………… 5
• Indicar o domínio ……….…………………………………………. 5
2.4. ………………………………………………………………………………………… 10
• Calcular a abcissa do vértice ..…………………...……………… 3
• Calcular a ordenada do vértice ................................................. 2
• Apresentar a resposta justificando a existência de máximo …. 5
3. …………………………………………………………………………………………………… 30
3.1. ……………………………………………………………………………………….. 15
• Tabela …………………………………………………………… 2
Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 12
• Média ……………………………………………………………. 5
• Moda …………………………………………………………….. 3
• Mediana …………………...…………………………………….. 5
3.2. ………………………………………………………………………………………. 15
• Cálculo da nova média …………………………………………. 5
• Justificação com identificação das medidas …………………. 10
4. …………………………………………………………………………………………………… 50
4.1. ………………………………………………………………………………………. 20
• Construir tabela a partir do gráfico .……………………………. 5
• Calcular a média de p …………………………………………… 5
• Calcular a média de t ……………………………………………. 5
• Apresentar o centro de gravidade ……………………………… 5
4.2. ………………………………………………………………………………………. 30
4.2.1. ……………………………………………………………………… 15
• Calcular a recta de regressão ………………………… 7
• Calcular a imagem de 4200 …………………………… 6
• Apresentar o resultado com a aproximação pedida … 2
4.2.2. ……………………………………………………………………… 15
• Referir a introdução da recta de equação y 120= …… 2
• Apresentar o gráfico …………………………………….. 6
• Assinalar a intersecção das duas rectas ………………. 5
• Apresentar o resultado com a aproximação pedida … 2
Total ………………………………………………………………………………………………… 200
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