Estática 1

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Prof. MSc. Valtency F. Guimarães

Estática

Instituto Tecnológico, de Ciências Sociais Aplicadas e da Saúde

Curso de Engenharia Mecânica

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Estática

Bibliografia Recomendada

Bibliografia BBibliografia Báásica:sica:HIBBELER, R.C. Estática - Mecânica para Engenharia. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005.MERIAM, J. L. Mecânica Estática. 2ª Edição. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonçalves e José Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1989. BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. São Paulo: McGrawHill, 2006.SHAMES, I. Estática Mecânica para Engenharia. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002.

Bibliografia Complementar:Bibliografia Complementar:ARFKEN, G. B. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física. Traduzido por Arlete Simille Marques. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2007. GIUDICE N,; Luciano D. Física 1 Mecânica: Cinemática, Dinâmica, Estática, Hidrostática, Hidrodinâmica. Rio De Janeiro: FTD, 1985.CALÇADA, C. S.; SAMPAIO, J. L. Física Clássica Dinâmica, Estática e Hidrostática. São Paulo: Atual, 1985.

Prof. MSc. Valtency F. Guimarães

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Princípios da Dinâmica

1. Definição de Mecânica

2. Conceitos Fundamentais

3. Unidades de Medida

Unidades de Base do SI

Definição das Unidades de Base

Unidades derivadas do SI

Múltiplos e Submúltiplos

Estática

Introdução - Dinâmica

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1. Definição de Mecânica

Introdução

A mecânica pode ser definida como o ramo das ciências físicas que

estuda o estado de repouso ou de movimento de corpos sujeitos à ação

de forças. Normalmente o estudo da mecânica é dividido em três

partes: a mecânica dos corpos rígidos, a mecânica dos corpos

deformáveis e a mecânica dos fluidos.

A mecânica dos corpos rígidos divide-se em duas áreas: estática e

dinâmica.

A estática tem por finalidade o estudo do equilíbrio de um corpo em

repouso ou em movimento com velocidade constante.

A dinâmica preocupa-se com o estudo do movimento de corpos sob a

ação de forças, ou seja, movimento acelerado dos corpos.

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Observações

Introdução

A Mecânica é uma ciência física, pois trata de fenômenos físicos.

Entretanto, alguns associam a Mecânica com a Matemática, enquanto

muitos a consideram assunto de Engenharia. Ambos os pontos de vista

são justificáveis em parte. A Mecânica é o fundamento da maioria das

ciências de Engenharia e é um pré-requisito indispensável a seus

estudo.

Apesar de a estática poder ser considerada um caso especial da

dinâmica, no qual a aceleração é nula, ela merece tratamento separado

no estudo da engenharia, uma vez que muitos objetos são

desenvolvidos com o intuito de que se mantenham em equilíbrio.

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Antes de iniciar o estudo da mecânica, é importante compreender o

significado de alguns conceitos e princípios fundamentais.

Quantidades básicas

ComprimentoComprimento. grandeza essencial que localiza a posição de um ponto

no espaço. A partir do comprimento é possível descrever com exatidão

a dimensão de um sistema físico.

TempoTempo. é a medida da sucessão de eventos e é considerado uma

quantidade absoluta. Apesar de os princípios da estática serem

independentes do tempo, essa quantidade desempenha importante papel

no estudo da dinâmica.

Introdução

2. Conceitos Fundamentais

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MassaMassa. é uma propriedade da matéria pela qual se pode comparar a

ação de um corpo com a de outro. Essa propriedade se manifesta como

uma atração da gravidade entre dois corpos e fornece a medida

quantitativa da resistência da matéria à mudança de velocidade.

ForForççaa. Pode ser definida como a ação de um corpo sobre outro corpo.

Essa interação pode ocorrer quando há contato direto entre os dois

corpos ou pode ocorrer à distância, quando os corpos estão fisicamente

separados. A força é caracterizada por seu ponto de aplicação, sua

intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um vetor.

Introdução

Conceitos Fundamentais

8

Introdução


Idealizações

Ponto MaterialPonto Material (partícula). é um corpo cujas dimensões são desprezíveis. É pois um corpo que em uma situação específica pode ser considerado como um ponto geométrico, no que diz respeito às suas dimensões, o que simplifica o estudo, uma vez que a geometria docorpo não será envolvida na análise do problema.

Corpo RCorpo Ríígidogido. é um sistema constituído de partículas agregadas de um modo tal que a distância entre as várias partes que constituem o corpo (ou o sistema) não varia com o tempo (não mudam), ou seja, as distâncias entre as várias partes que compõem o corpo são rigorosamente constantes. Não apresenta nenhuma deformação relativa entre suas partes.

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Introdução


ForForçça Concentradaa Concentrada. Representa o efeito de uma carga admitida como

atuando em um ponto do corpo. Um exemplo seria a força de contato

entre uma roda e o terreno.

As três Leis do Movimento de Newton

Primeira lei de Newton ou Primeira lei de Newton ou PrincPrincíípio dapio da InInéércia rcia -- na ausência de forças

externas, um objeto em repouso permanece em repouso, e um objeto

em movimento permanece em movimento.

Segunda lei de Newton ou Segunda lei de Newton ou PrincPrincíípio Fundamentalpio Fundamental da Dinâmicada Dinâmica-- a

força aplicada a um objeto é igual à massa do objeto multiplicado por

sua aceleração.

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Introdução


Terceira lei de Newton ou erceira lei de Newton ou PrincPrincíípio da apio da açção e reaão e reaççãoão -- sse um objeto

exerce uma força sobre outro objeto, este outro exerce uma força de

mesma intensidade, de mesma direção e em sentido oposto.

A segunda lei de Newton é básica para a maioria das análises em Mecânica. Quando aplicada a uma partícula de massa m pode ser fixada como: F = ma (ou de outra forma )onde F é a força resultante que atua sobre a partícula e a é a aceleração resultante.

A primeira lei de Newton é uma consequência da segunda, desde que não haja nenhuma aceleração quando a força é zero, e a partícula esteja em repouso ou move-se a velocidade constante.

A terceira lei é básica para a compreensão de força. Ela estabelece que as forças sempre ocorrem em pares de igualdade e são opostas, sem observar-se a sua origem, e permanece válida para todo instante do tempo durante o qual as forças atuam.

amFrr

=

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Lei de Newton de Atração da Gravidade

diz que dois objetos quaisquer se atraem gravitacionalmente por meio

de uma força que depende das massas desses objetos e da distância que

há entre eles.

Dados dois corpos de massa m1 e m2, a uma distância d entre si, esses dois

corpos se atraem mutuamente com uma força que é proporcional à massa

de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da distância

que separa esses corpos. Matematicamente:

onde:F é a força mútua de atração entre os dois corpos;

G é constante gravitacional universal;

m1 e m2 são as massas dos corpos que se atraem entre si; e

r é a distância entre os dois corpos.

Introdução

221

r

mmGF =


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PesoPeso

É a força gravitacional de atração exercida sobre um corpo pela Terra

e depende da posição do corpo em relação à Terra. Esta força existe

estando o corpo em repouso ou em movimento:

Todo objeto que é deixado cair no vácuo numa dada posição, na

superfície terrestre, terá a mesma aceleração g:

onde: MT é a massa da Terra e r o seu raio.

A aceleração devida à gravidade, quando determinada pela lei gravitacional, éa aceleração de um grupo de eixos de referência com origem no centro da Terra, porém não girando com a mesma. g = 9,824 m/s2

Introdução

2r

GMg T=


2r

GmMW T=

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A variação de g com a altitude pode ser determinada pela lei

gravitacional. Se g0 apresenta a aceleração absoluta devido à gravidade

ao nível do mar, o valor absoluto numa altitude h é:

onde r é o raio da Terra.

A massa m de um corpo pode ser calculada pelo resultado de uma

experiência gravitacional. Se a força gravitacional de atração ou peso

verdadeiro de um corpo for W, para uma aceleração absoluta g, tem-se:

W = m.g

Introdução

2

2

0 )( hr

rgg

+=

Observação

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Nos últimos anos, todos os países do mundo vêm adotando o Sistema Sistema

Internacional de UnidadeInternacional de Unidade - SI - para todos os trabalhos de Engenharia e

científicos.

Unidades de Base do SI – São sete unidades bem definidas que, por

convenção são tidas como dimensionalmente independentes:

Introdução

3. Unidades de Medida

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metrometro (m): (m): é o caminho percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo

de tempo de 1/299.792.458 de um segundo.

quilogramaquilograma (Kg):(Kg): é igual à massa do protótipo internacional, feito com

uma liga platina-irídio, dentro dos padrões de precisão e confiabilidade

que a ciência permite.

segundosegundo (s):(s): é a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação

correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do átomo de

césio-133, no estado fundamental.

ampampéérere (A): (A): é uma corrente constante que, se mantida em dois condutores

retilíneos e paralelo, de comprimento infinito e seção transversal

desprezível, colocados a um metro um do outro no vácuo, produziria entre

estes dois condutores uma força igual a 2x10-7 N, por metro de

comprimento.

Introdução

Definição das Unidades de Base

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kelvinkelvin (K): (K): é a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto

triplo da água.

molmol (mol):(mol): é a quantidade de matéria de um sistema que contém tantas

entidades elementares quantos forem os átomos contidos em 0,012 Kg de

carbono-12.

candelacandela (cd(cd): é a intensidade luminosa, em uma determinada direção, de

uma fonte que emite radiação monocromática de frequência 540x1012 hertz

e que tem uma intensidade radiante naquela direção de 1/683 W/sr.


São formadas pela combinação de unidades de base e outras unidades

derivadas, de acordo com as relações algébricas que relacionam as

quantidades correspondentes. Os símbolos para as unidades derivadas são

obtidos por meio dos sinais matemáticos de multiplicação e divisão e o uso de

expoentes. Algumas unidades SI derivadas têm nomes e símbolos especiais.

Introdução

17

Introdução


18

Introdução


19

Introdução


20

Introdução

Múltiplos e Submúltiplos

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Vetores Força

1. Escalares e Vetores

Representação de uma Grandeza Vetorial

2. Operações VetoriaisMultiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar

Adição Vetorial

Subtração Vetorial

Decomposição de Vetores

3. Adição de Forças Vetoriais

Exercícios

Atividades

Estática

Vetores - Força

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1. Escalares e Vetores

Vetores - Força

EscalarEscalar. uma quantidade caracterizada por um número positivo ou negativo.Exemplos: tempo, volume, massa, densidade...

VetorVetor. uma quantidade que tem intensidade e direção. Exemplos: posição, momento, força...

O vetor O vetor éé representado geralmente por uma letra com uma flecha sobre ela,representado geralmente por uma letra com uma flecha sobre ela,como em ; empregacomo em ; emprega--se tambse tambéém a letra em negrito (m a letra em negrito (FF); sua intensidade, que ); sua intensidade, que éésempre uma quantidade positiva, sersempre uma quantidade positiva, seráá representada em itrepresentada em itáálico lico FF..AssimAssim V = V1 + V2 representa o vetor soma de dois vetores, enquanto representa o vetor soma de dois vetores, enquanto S = S1 + S2 representa a soma de dois escalares. representa a soma de dois escalares.

Fr

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Representação de uma Grandeza Vetorial

Vetores - Força

Uma grandeza vetorial pode ser representada graficamente por uma

seta, que é utilizada para definir seu módulo, sua direção e seu sentido.

Graficamente o módulo de um vetor é representado pelo comprimento

da seta, a direção é definida através do ângulo formado entre um eixo

de referência e a linha de ação da seta e o sentido é indicado pela

extremidade da seta.

A figura mostra a representação gráfica

de dois vetores força atuando ao longo

dos cabos de fixação de um poste. O

ponto O é chamado de origem do vetor

e o ponto P representa sua extremidade

ou ponta.

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Multiplicação e Divisão de um Vetor por um EscalarO produto do vetor A pelo escalar a, dando aA, é definido como o vetor de intensidade intensidade |aA|. O sentidosentido de aA é o mesmo de A, desde que a sejapositivo, e é oposto a A, se a for negativo.

A divisão de um vetor é definida usando-se as leis da multiplicação, visto que A/a = (1/a)A, com a ≠ 0.

2. Operações Vetoriais

Vetores - Força

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Adição VetorialDois vetores A e B, tais como uma força ou posição podem ser somados para formar um vetor resultante resultante R = A + B usando-se a lei do paralelogramo. Para isso, A e B são unidos em suas origens. Retas paralelas desenhadas a partir da extremidade de cada vetor interceptam-se em um ponto comum, formando os lados adjacentes de um paralelogramo. A resultante R é a diagonal do paralelogramo que vai das origens de A e B à intersecção das retas desenhadas.

Operações Vetoriais

Vetores - Força

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Vetores - Força

Dois vetores A e B, tais como uma força ou posição podem ser somados para formar um vetor resultante resultante R = A + B usando-se a lei do paralelogramo. Para isso, A e B são unidos em suas origens. Retas paralelas desenhadas a partir da extremidade de cada vetor interceptam-se em um ponto comum, formando os lados adjacentes de um paralelogramo. A resultante R é a diagonal do paralelogramo que vai das origens de A e B à intersecção das retas desenhadas.

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Vetores - Força

Subtração VetorialA resultante diferença entre dois vetores A e B do mesmo tipo pode ser expressa como:

R = A – B = A + (-B)

A subtração é definida, portanto, como um caso especial de adição, de modo que as regras da adição vetorial também se aplicam à subtração vetorial.

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Decomposição de VetoresUm vetor pode ser decomposto em dois componentescomponentes que têm linhas de ação conhecidas usando-se a lei do paralelogramo.Se R for decomposto nos componentes que atuam ao longo das retas a e b, um começa na origem de R e estende-se em uma reta paralela a a até interceptar b. Do mesmo modo, desenha-se uma reta paralela a b a partir da origem de Raté o ponto de intersecção com a. Os dois componentes A e B são então traçados de modo que se estendam da origem de R até os pontos de intersecção.


Vetores - Força

29

Como uma força é uma quantidade vetorial, uma vez que tem

intensidade, direção e sentido especificados, sua soma é feita de acordo

com a lei do paralelogramo.

3. Adição de Forças Vetoriais

Vetores - Força

30

Vetores - Força

Dois problemas comuns em estática são a determinação da força

resultante, conhecendo-se seus componentes, e a decomposição de uma

força conhecida em dois componentes. Ambos os problemas requerem a

aplicação da lei do paralelogramo.

Se a soma envolve mais de duas forças, é preciso realizar aplicações

sucessivas da lei do paralelogramo a fim de obter a força resultante. Por

exemplo, se três forças F1, F2, F3 atuam sobre o ponto O, determina-se a

resultante de duas forças quaisquer e depois se adiciona essa resultante à

terceira força, obtendo-se a resultante das três forças.

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Praticamente todos os problemas envolvendo os conceitos de soma e

subtração vetorial, bem como a determinação das componentes de um

vetor podem ser resolvidos a partir das leis dos senosleis dos senos e dos cossenoscossenos,

que representam propriedades fundamentais da trigonometria:

Dado um triângulo ABC e seus ângulos internos Dado um triângulo ABC e seus ângulos internos αα, , ββ e e γγ,, a lei dos senos a lei dos senos éé

definida da seguinte forma: definida da seguinte forma: ““Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são

proporcionais aos senos dos ângulos dos lados opostosproporcionais aos senos dos ângulos dos lados opostos””..

Vetores - Força

A partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internos A partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internos αα, , ββ e e γγ,, a lei dos a lei dos

cossenos cossenos éé definida do seguinte modo: definida do seguinte modo: ““Num triângulo, o quadrado da medida Num triângulo, o quadrado da medida

de um lado de um lado éé igual igual àà soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos

o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno doo dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo ângulo

oposto ao primeiro ladooposto ao primeiro lado””..

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O vetor força resultante de um sistema de várias forças concorrentes pode

ser determinado como uma extensão da regra do triângulo, combinando-

se os vetores força originais na sequência ponta-a-cauda e, em seguida,

unindo-se a cauda do primeiro desenhado à ponta do último desenhado.

Vetores - Força

A ordem da combinaA ordem da combinaçção dos vetores originais não altera a forão dos vetores originais não altera a forçça resultante (a a resultante (a

soma de vetores soma de vetores éé comutativa). comutativa).

Este método é conhecido como regra do polregra do políígono.gono.

Observação

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1. O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o módulo e a direção da força resultante.

Exercícios

Vetores - Força

34

ResoluçãoConstruir um esquema aplicando a regra do paralelogramo de forma a identificar quais são as incógnitas do problema.

Vetores - Força

A partir do paralelogramo obtido na figura, pode-se construir o triângulo de vetores.

Aplicando-se a lei dos cossenos determina-se o módulo da força resultante FR.

O ângulo α é determinado a partir da lei dos senos, utilizando-se o valor calculado para FR.

Com relação ao eixo x positivo, o ângulo θ é dado por:

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2. Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com

problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual a

30 kN, encontre sua componentes nas direções AC e BC.

Exercícios

Vetores - Força

36

ResoluçãoA partir da regra do paralelogramo, deve-se construir um triângulo envolvendo as forças atuantes nos cabos CA e CB e a força resultante, de forma a identificar as incógnitas do problema.

Vetores - Força

Resolvendo para FCA tem-se:

A partir da aplicação da lei dos senos, pode-se determinar os módulos das forças atuantes em cada um dos cabos CA ou CB:

Resolvendo para FCB tem-se:

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3. O parafuso tipo gancho mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade (módulo) e a direção da força resultante.

Exercícios

Vetores - Força

38

ResoluçãoPela regra do paralelogramo identifica-se as incógnitas FR e o ângulo θ.

Vetores - Força

Aplicando-se a lei dos cossenos determina-se o módulo da força resultante FR.

O triângulo devetores pode ser

construído:

O ângulo θ é determinado aplicando-se a lei dos senos, usando-se o valor calculado de FR.

A direção de FR medida a partir da horizontal é:

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1. Determine a intensidade da força resultante FR = F1 + F2 e indique sua direção medida no sentido anti-horário, em relação ao eixo xpositivo.

R: 867 N; 108º

Atividades

Vetores - Força

40

2. Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção, medida no sentido horário, em relação ao eixo u positivo.

R: 605 N; 85,4º

Vetores - Força

41

3. A chapa está submetida a duas forças FA e FB como mostra a figura. Se θ = 60 º, determine a intensidade da força resultante e sua direção em relação ao eixo horizontal.

R: 10,8 kN; 3,16º

Vetores - Força

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4. A caminhonete mostrada é rebocada por duas cordas. Determine os valores de FA e FB de modo a produzir uma força resultante de 950 N orientada no eixo x positivo, considere θ = 50 º.

R: 774N; 346 N

Vetores - Força

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5. Duas forças são aplicadas ao olhal a fim de remover a estaca mostrada. Determine o ângulo θ e o valor da força F de modo que a força resultante seja orientada verticalmente para cima no eixo y e tenha uma intensidade de 750 N.

R: 18,6º; 319 N

Vetores - Força

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Vetores - Força

6. A tora de madeira é rebocada pelos dois tratores como mostrado na figura. Sabendo-se que a força resultante é igual a 10 kN e estáorientada ao longo do eixo x positivo, determine a intensidade das forças FA e FB.

Considere θ = 15 ºR: 3,66 kN; 7,07 kN

45

7. Utilizando a trigonometria, determine o módulo e a direção da resultante das duas forças aplicadas no gancho da figura abaixo.

R: 414N; 72º

Vetores - Força

Automotive

Estática 1