Primeira apr

Estatstica Multivariada

Anlise Descritiva - Dados: Autenticao de Notas

Vanessa Souza Santos

Universidade Federal do Amazonas

Programa de Ps Graduao em Matemtica

2 de junho de 2014

Vanessa Souza Santos (UFAM) Estatstica Multivariada 2 de junho de 2014 1 / 40

Contedo

1

Introduo

2

Autenticao de Notas

Base de Dados

3

Resultados

Anlise Descritiva Multivariada

Anlise Descritiva Univariada

Dados Padronizados

4

Referncias

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INTRODUO

Introduo

A analise multivariada refere-se a um conjunto de mtodos estatsticos

que torna possvel a analise simultnea de medidas mltiplas para

individuo, objeto ou fenmeno observado.

O propsito da anlise multivariada medir, explicar e predizer o grau

de relao entre as variveis estudada.

A seguir ser realizado um estudo, atravs de uma anlise descritiva

multivariada, sobre uma amostra de dados que contm variveis que

ajudam na identicao de cdulas de dinheiro.

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INTRODUO

Representao dos dados multivariados - p variveis medidas em nindivduos.

Variveis

Indivduo 1 2 p1 x11

x12

x1p

2 x21

x22

x2p.

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n xn1 xn2 xnp

Na forma matricial

X =

x11

x12

x1p

x21

x22

x2p.

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xn1 xn2 xnp

,

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INTRODUO

Distribuio Normal Multivariada

A densidade normal multivariada uma generalizao da densidade

normal univariada.

Se X tem distribuio normal multivariada, ento sua funo

densidade denida da seguinte forma

fX

(x) =1

(2pi)p/2||1/2 exp{(x )t ||1(x )/2} ,onde < xi

INTRODUO

Vetor de Mdias

Seja n observaes de um vetor em Rp, tal que x i = (xi1, xi2, . . . , xip),i = 1, 2, . . . , n. A mdia amostral para cada varivel

xj =1

n

ni=1

xij , j = 1, 2, . . . , p

onde o vetor de mdias da seguinte forma

x =

x

1

x

2

.

.

.

xp

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INTRODUO

Matriz de Covaricia

Seja n observaes de um vetor em Rp, tal que x i = (xi1, xi2, . . . , xip),i = 1, 2, . . . , n. Por denio, a varincia amostral dada por

sjj =1

n 1n

i=1

(xij xj)2 j = 1, 2, 3, . . . , p

Dessa forma, a covarincia amostral dada por

sjk =1

n 1n

i=1

(xij xj)(xik xk) k 6= j

Logo, a matriz de covarincia amostral

s =

s11

s12

s1p

s21

s22

s2p.

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sp1 sp2 spp

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INTRODUO

Coeciente de correlao amostral uma medida de associao linear

entre duas variveis no depende da unidade de mensurao.

O coeciente de correlao amostral, denido por:

rjk =

ni=1(xij xj)(xik xk)n

i=1(xij xj)2n

i=1(xik xk)2, k 6= j

A matriz de correlao amostral dada por:

R =

1 r12

r1p

r21

1 r2p.

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rp1 rp2 1

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AUTENTICAO DE NOTAS Base de Dados

Descrio da base de dados

Os dados foram extrados de imagens que foram retiradas amostras de

notas, classicadas como verdadeiras e falsas;

Para digitalizao, utilizou-se uma cmera industrial geralmente

utilizada para inspeo de impresso;

As imagens nais tm 400 x 400 pixels;

Foram utilizada uma resoluo de 660 dpi na escala cinza;

Ferramenta de transformao de leves ondulaes foram usadas para

extrair recursos de imagens;

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AUTENTICAO DE NOTAS Base de Dados

Descrio da base de dados

Informaes de atributo:

1. variao da imagem (contnua)

2. distoro da imagem (contnua)

3. curtose da imagem (contnua)

4. a entropia da imagem (contnua)

5. classe 0 : Nota Verdadeira

1 : Nota Falsicada

Total de Observaes: n = 1372

Total de Observaes para Classe 0: n0

= 762

Total de Observaes para Classe 1: n1

= 610

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA MULTIVARIADA

Vetor de Mdias Amostral

Varivel Geral Classe 0 Classe 1

Variacao 0.434 2.277 -1.868

Distorcao 1.922 4.257 -0.994

Curtose 1.398 0.797 2.148

Entropia -1.192 -1.148 -1.247

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA MULTIVARIADA

Matriz de Covarincia Amostral

1

1

Geral

Varivel Variao Distoro Curtose Entropia

Variao 8.081 4.405 -4.664 1.653

Distoro 4.406 34.446 -19.905 -6.490

Curtose -4.664 -19.905 18.577 2.887

Entropia 1.653 -6.490 2.887 4.414

Classe 0

Variao 4.078 -2.352 -2.159 1.786

Distoro -2.352 26.407 -12.499 -7.365

Curtose -2.159 -12.499 10.497 2.854

Entropia 1.786 -7.365 2.854 4.516

Classe 1

Variao 3.539 0.749 -4.691 1.262

Distoro 0.749 29.213 -25.245 -5.697

Curtose -4.691 -25.245 27.687 3.008

Entropia 1.262 -5.697 3.008 4.289

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA MULTIVARIADA

Matriz de Correlao Amostral

2

2

Geral

Variao 1.000 0.264 -0.382 0.277

Distoro 0.264 1.000 -0.787 -0.527

Curtose -0.382 -0.787 1.000 0.319

Entropia 0.277 -0.527 0.319 1.000

Classe 0

Variao 1.000 -0.227 -0.330 0.416

Distoro -0.227 1.000 -0.751 -0.674

Curtose -0.330 -0.751 1.000 0.415

Entropia 0.416 -0.674 0.415 1.000

Classe 1

Variao 1.000 0.074 -0.474 0.324

Distoro 0.074 1.000 -0.888 -0.509

Curtose -0.474 -0.888 1.000 0.276

Entropia 0.324 -0.509 0.276 1.000

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA MULTIVARIADA

Matriz de Disperso por classe

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA MULTIVARIADA

Matriz de Disperso por classe

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA MULTIVARIADA

Matriz de Disperso por classe

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA MULTIVARIADA

Matriz de Disperso por classe

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA MULTIVARIADA

Grco da Matriz de Correlao - Geral

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA MULTIVARIADA

Grco da Matriz de Correlao - Classe 0

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA MULTIVARIADA

Grco da Matriz de Correlao - Classe 1

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA MULTIVARIADA

Grcos da Densidade Bidimensional

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA MULTIVARIADA

Vericando a Normalidade Conjunta

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA UNIVARIADA

Estatsticas - Varivel: Variao da Imagem

Estatsticas Geral Classe 0 Classe 1

Mnimo -7.042 -4.286 -7.042

Mximo 6.825 6.825 2.392

1

o

Quartil -1.773 0.883 -3.061

3

o

Quartil 2.821 3.884 -0.542

Mdia 0.434 2.277 -1.868

Mediana 0.496 2.553 -1.806

Lim Inf 0.283 2.133 -2.018

Lim Sup 0.584 2.420 -1.719

Variancia 8.081 4.078 3.539

Desvio 2.843 2.019 1.881

Assimetria -0.149 -0.491 -0.300

Curtose -0.756 -0.368 -0.193

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA UNIVARIADA

Vericando Normalidade - Varivel: Variao da Imagem

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA UNIVARIADA

Grco de Disperso e Box Plot - Variao da Imagem

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RESULTADOS ANLISE DESCRITIVA UNIVARIADA

Estatsticas - Distoro da Imagem

Estatsticas Geral Classe 0 Classe 1

Mnimo -13.773 -6.932 -13.773

Mximo 12.952 12.952 9.601

1

o

Quartil -1.708 0.450 -5.810

3

o

Quartil 6.815 8.692 3.189

Mdia 1.922 4.257 -0.994

Mediana 2.320 5.669 0.