TFG - TCC - ROBERTO BERGAMO - Embasamento Teorico sobre geometria sagrada - Projeto de Arquitetura

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CENTRO UNIVERSITÁRIO “BARÃO DE MAUÁ”CENTRO UNIVERSITÁRIO “BARÃO DE MAUÁ”Curso de Arquitetura e UrbanismoCurso de Arquitetura e Urbanismo

T.F.G. - Trabalho Final de GraduaçãoT.F.G. - Trabalho Final de GraduaçãoOrientadora: Profa. Dulce PalladiniOrientadora: Profa. Dulce Palladini

Centro Comunitário de Vivência e integração SocialCentro Comunitário de Vivência e integração SocialPara a cidade de Batatais –SPPara a cidade de Batatais –SP

EMBASAMENTO TEÓRICOEMBASAMENTO TEÓRICOProposta de Projeto de ArquiteturaProposta de Projeto de Arquitetura

Discente: CARLOS ROBERTO BERGAMO DE LIMADiscente: CARLOS ROBERTO BERGAMO DE LIMA

Ribeirão PretoRibeirão Preto20102010

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Razão ÁureaRazão Áurea 1,6181,618

A geometria da A geometria da VidaVida

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Não será necessário criar-se uma nova ciência, não será necessário criar-se uma nova filosofia, pois ela existe a milhares de ano e se chama geometria Sagrada, que modernamente se apresenta com nomes diferentes e roupagens, tais como: Geometria Fractal ou Geometria Quântica.

Todas buscando a unidade que permeia a vida, com abordagens diferentes mas origem comum.

A pesquisa concluiu ser fundamental conhecer a história e toda a influência que a geometria sagrada desempenhou no processo histórico da arquitetura.

As informações para pesquisa estão dispersas, são conflitantes, são contraditórias, mas são fundamentais.

Esta proposta de projeto pretendeu fazer um levantamento a nível de graduação que sirva de norteador para o autor e outros alunos que se interessarem pela matéria. Um pequeno manual de instrução que espera um trabalho mais aprofundado.

A geometria Sagrada está sustentada pelos “ombros dos gigantes”a que Isacc Newton fez referência...Quem são esses “gigantes?São todos os filósofos, pensadores, artistas, geômetras, mÍsticos e matemáticos que nos antecederam.

As referências são inumeráveis, mas é possível afirmar:Geometria Sagrada é uma Ciência.

Na busca por definições do partido arquitetônico para a Proposta de Projeto de Arquitetura, a pesquisa encontrou na Geometria Sagrada um caminho sólido.

Passou a ser fundamental fazer um levantamento histórico, o mais aprofundado possível, juntando pedaços em um mosaico disperso.

Por vezes a pesquisa tornou-se um objetivo em sí mesma, pois não é possível desenvolver um projeto baseado nesta disciplina sem o mínimo de informações básicas. Com o acúmulo de informações oriundas da pesquisa preliminar o volume do trabalho foi ganhando proporções gigantescas e tornava-se difícil descartar dados em nome da brevidade e da concisão, pois o pesquisador entendeu que, o ‘pecado’ da omissão de informação relevante para a pesquisa, seria maior que o da prolixidade.

Optou-se por levar para a banca o resultado completo desta pesquisa, não descartando nenhuma informação coletada, colocando-a em anexo.

A proposta de projeto de Arquitetura será baseada nos resultados desta pesquisa, tanto as questões formais, funcionais como as de significado.

JUSTIFICATIVA PARA A PESQUISA

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INDICE :

JUSTIFICATIVA PARA A PESQUISA................................................................................................................................. ...Pag.03ARRAZOADO HISTÓRICO E MITOLÓGICO SOBRE GEOMETRIA...................................................................................Pag.07- Embasamento Teórico...............................................................................................................................................................Pag. 08Símbolo- Simbologia e Semiótica.................................................................................................................................................Pag.09Definição de Geometria Sagrada ................................................................................................................................................Pag. 07Stonehenge....................................................................................................................................................................................Pag.09primeiro Templo de Jerusalém.....................................................................................................................................................Pag 10A arca de noé...............................................................................................................................................................................Pag. 14A Grande Pirâmide......................................................................................................................................................................Pag. 15Ozírion.........................................................................................................................................................................................Pag. 16A beleza da arte grega...................................................................................................................................................... ...........Pag. 19Antigos Artesãos ..................................................................................................................................................................... . .Pag. 20Varias Culturas.............................................................................................................................................................................Pag. 21Geometria Sagrada no Oriente.................................................................................................................................................. ..Pag. 22O Corpo Humano............................................................................................................................................... .. ............... . ....Pag. 23Pitágoras .....................................................................................................................................................................................Pag. 24Pentagrama na mitologia.............................................................................................................................................................Pag. 25Platão .................................................................................................................................................................. ........................Pag. 27Os Quatro Elementos................................................................................................................................................................ ....Pag.29 Sócrates.............................................................................................................................................................. ........................Pag. 30O timeu............................................................................................................................................................... .........................Pag. 31“Propriedades do Universo...........................................................................................................................................................Pag 31Natureza do Mundo Físico...........................................................................................................................................................Pag. 32

Formas geométricas atribuídas a geometria sagrada................................................ ..................................................................Pag. 33Geometria Sagrada - visão de mundo.........................................................................................................................................Pag.34A família das Espirais..................................................................................................................................................................Pag. 35O círculo.......................................................................................................................................................................................Pag.36O quadrado...................................................................................................................................................................................Pag. 37

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O hexágono.................................................................................................................................................................................Pag. 38O Triângulo, Polígonos, cubos e os polihédros.........................................................................................................................Pag. 39Vesica Piscis................................................................................................................................................................................Pag.40Geometria Euclidiana..................................................................................................................................................................Pag.42Vitrúvio......................................................................................................................................................................................Pag. 43Luca Pacioli.................................................................................................................................................................................Pag.44Fibonacci....................................................................................................................................................................................Pag. 45Proporção Áurea................................................................................................................................................. .......................Pag.46Música, Pintura e Literatura........................................................................................................................................................Pag.47Violino de Stradivarius................................................................................................................................................................Pag.48Negando a seção dourada............................................................................................................................................................Pag.50Sistemas Maçônicos de Geometria Sagrada......................................................................................................... .....................Pag.51Catedral de Ely – Inglaterra................................................................................................................................................... ...Pag. 52Catedral de Milão – Itália...................................................................................................................................................... ...Pag. 53Ad Triangulum....................................................................................................................................................... ............... ....Pag.54Ad Quadratum........................................................................................................................................................................ ....Pag.55Cathedral de Chartres…………………………………………………………………………………………………………Pag.56Catedral Gótica de Amiens - .....................................................................................................................................................Pag. 57Catedral Gótica de Cantembury.................................................................................................................................................Pag. 58O Homem Vitruviano..................................................................................................................................................................Pag.59Johannes Kepler..........................................................................................................................................................................Pag.60Os Árabes e a Geometria............................................................................................................................................................Pag. 61Geometria Sagrada no Renascimento........................................................................................................................................Pag.62A basílica de Santa Maria Novella............................................................................................................................................. Pag.63 Palladio.......................................................................................................................................................................................Pag.61A Geometria Sagrada do Barroco...............................................................................................................................................Pag.66Francesco Borromini...................................................................................................................................................................Pag.67Archiginnasio.............................................................................................................................................................................Pag. 68Igreja de Saint Yves at La Sapienza..........................................................................................................................................Pag. 69Christopher Wren.......................................................................................................................................................................Pag. 72A catedral de São Paulo.............................................................................................................................................................Pag.73

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Monismo....................................................................................................................................................................................Pag.74O Princípio da Unidade.............................................................................................................................................................Pag. 75Formas de Arte da Natureza - Ernst Haeckel............................................................................................................................Pag.79catedral de Salisbury..................................................................................................................................................................Pag.91Antonio Gaudí............................................................................................................................................................................Pag.89Igreja da Sagrada Família.........................................................................................................................................................Pag. 90Cripta de la Colònia Guel..........................................................................................................................................................Pag.91 Rudolf Steiner..........................................................................................................................................................................Pag. 95Primeiro Goetheanum................................................................................................................................................................Pag.97Segundo Goetheanum................................................................................................................................................................Pag.98Geometria na era industrial......................................................................................................................................................Pag. 99Le Corbusier – O modulor......................................................................................................................................................Pag. 100Artistas e artesãos modernos em busca da “Geometria Sagrada”...........................................................................................Pag.101De Stijl.....................................................................................................................................................................................Pag.102Geometria em Wassily Kandinsky..........................................................................................................................................Pag.103Geometria no concretismo e no Pop Art.................................................................................................................................Pag.104Geometria e microscópio.........................................................................................................................................................Pag.102Geomeyria e o microscópio eletrônico....................................................................................................................................Pag.106Escher e a geometria................................................................................................................................................................Pag.107Calatrava e a Geometria........................................................................................................................................................Pag.108Teoria do caos.........................................................................................................................................................................Pag. 109Efeito Borboleta.......................................................................................................................................................................Pag.111Geometria Fractal....................................................................................................................................................................Pag.112Floco de neve de Koch.............................................................................................................................................................Pag.113Montanha Fractal.....................................................................................................................................................................Pag.114Auto-similaridade exata - Quase similaridade - Auto-similaridade estatística.......................................................................Pag.115Fractais naturais.......................................................................................................................................................................Pag.116Fracrtais e espirais áureas........................................................................................................................................................Pag.117Espanção Gnomônica...............................................................................................................................................................Pag.118Arquitetura Orgânica - Frank Lloyd Wright ........................................................................................................................Pag.125Alvar Aalto e Geometria.........................................................................................................................................................Pag. 126Santiago Caltrava e a geometria............................................................................................................................................Pag. 127Arquitetura Fractal – Peter Eisenman ...................................................................................................................................Pag. 128

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Este arrazoado histórico e mitológico, sobre geometria, justifica-se devido a necessidade de embasar esta proposta de projeto arquitetônico, demonstrando que, os princípios que a norteiam, sempre estiveram presentes e fazem parte fundamental das tradições e cultura humanas, em especial, da história da Arquitetura..

O historiador e escritor Nigel Pennick no livro Geometria Sagrada, afirma:...“Assim a geometria sagrada foi vista apenas como uma aderência supersticiosa a um sistema sem valor algum para a tradição. De fato, as coisas foram ainda mais longe. A maioria dos arquitetos não estava consciente de que existe uma tradição.”

Estraido do livro :PENNICK, Nigel. Geometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980

..."A história antiga é como uma paisagem noturna, na qual andamos às apalpadelas, discernindo vagamente alguns contornos na escuridão geral, e ficamos felizes se aqui ou ali a obra de um autor em particular ou uma ruína ou uma obra de arte ilumina momentaneamente, como um raio nas trevas, o campo particular que estamos explorando.” Filo, Sobre a vida contemplativa.

ARRAZOADO TEÓRICO, HISTÓRICO E MITOLÓGICO SOBRE GEOMETRIA.

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Embasamento Teórico para proposta de projeto arquitetônico:

A proposta buscará encontrar pontos de concordância entre diferentes modos de tratar a questão da geometria em projetos de arquitetura e para tanto cruzará informações das seguintes disciplinas:

Geometria Sagrada:O proposta de projeto de Arquitetura será baseada nos preceitos de Geometria Sagrada desenvolvidos

por Filósofos da antiguidade clássica como Pitágoras, Platão e Euclides, de pensadores medievais e renascentistas como Lucca Paciolli, Fibonacci, Leonardo da Vinci e Kepler de contemporâneos, como Robert Lawlor, Nigel Pennick que também tratam da “geometria sagrada e de Rudolf Steiner, que desenvolveu o conceito de arquitetura antroposófica.

Serão efertuados estudos da vida e obra de Vitruvio na antiguidade clássica, Alberti, Palladio e Da Vinci do período renascentista, Borromini do periodo barroco, Gaudi do periodo”Art – Noveau” e Tambem será estudada a obra do arquiteto Le Corbusier, modernista racionalista e Franck Loyd Right modernista organicista

com o objetivo de descobrir se os princípios da Geometria Sagrada estão presentes em sua obras.

Geometria Fractal: Será baseada nos estudos cientista James Gleick que estuda a teoria do caos e geometria fractal.

Monismo:Será estudada obra do naturalista alemão Ernst Haeckel, que defende a teoria de que o universo é o

reflexo de um princípio “monista”.

Arquitetura Organicista:Serão estudadas obras dos arquitetos como Frank Loyd Right, Alvar Aalto e Santiago Calatrava... que tratam o

espaço de forma “organicista” com uso de geometrias baseadas em estruturas orgânicas.

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A proposta incorporará o conceito de “Espaços com significados”e, para tanto, é necessáriocompreender-se os conceitos de símbolo, simbologia e semiótica.

Entende-se como “Espaço com significado” um lugar cujas formas são carregadas de intencionalidade, que represente algo para o observador, que o remeta a uma interpretação do espaço coletivo como um lugar de integração. A proposta buscará manipular a geometria de modo a alterar estados de percepção do observador, através da utilização de sistemas geométricos harmônicos, baseados nos estudos de Geometria Sagrada.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Símbolo

disponível em 18 de março de 2010 http://orton.catie.ac.cr/cgibin/wxis.exe/?IsisScript=COLPOS.xis&method=post&formato=2&cantidad=1&expresion=mfn=006316

http://pt.wikipedia.org/wiki/Semi%C3%B3tica#column-one#column-one

Símbolo:

“O termo símbolo, com origem no

grego σύμβολον (sýmbolon), designa

um elemento representativo que está

(realidade visível) em lugar de algo

(realidade invisível) que tanto pode

ser um objecto como um conceito ou

idéia, determinada quantidade ou

qualidade. O "símbolo" é um

elemento essencial no processo de

comunicação, encontrando-se

difundido pelo cotidiano e pelas mais

variadas vertentes do saber humano”.

Semiotica:

“A Semiótica (do grego semeiotiké ou "a arte dos sinais") é a ciência geral dos signos e da semiose que estuda todos os fenômenos culturais como se fossem sistemas sígnicos, isto é, sistemas de significação. A semiótica é a disciplina que se ocupa do estudo dos símbolos, do seu processo e sistema em geral. Outras disciplinas especificam metodologias de estudo consoante a área, como a semântica, que se ocupa do simbolismo na linguagem, ou seja, das palavras, ou a psicanálise, que, entre outros, se debruça sobre a interpretação do simbolismo nos sonhos..De acordo com a semiótica podemos resumir símbolo como (Alguma coisa que representa algo para alguém).”

Simbologia:

“Simbologia é a ciência que estuda a

origem, a interpretação e a arte de criar

símbolos. Todas as sociedades humanas

possuem símbolos que expressam mitos,

crenças, fatos, situações ou ideias, sendo

umas das formas de representação da

realidade.

De acordo com Cornelius Castoriadis e

Gilbert Durand, é através da

representação simbólica que nos

apropriamos do mundo.”

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“Geometria Sagrada estuda as

supostas ligações entre as proporções e formas

contidos no microcosmo e no macrocosmo com o

propósito de compreender a Unidade que permeia

toda a Vida.

Essas relações de forma e

proporções, consideradas sagradas na geometria,

ocorrem em diversas áreas da expressão humana,

como na Arquitetura, Música, Pintura, Esculutra,

Poesia, Artesania etc...

“ A Geometria Sagrada com suas

taxas, proporções e figuras geométricas foi

frequentemente utilizada na concepção de diversas

manifestações culturais desde a pré- História

humana.

A construção dos Megalitos pré-

históricos, as edificações egípcias, mesopotâmicas e

indianas antigas, a arquitetura grega e romana, os

templos e palácios do oriente, as construções pré-

colombianas,as Catedrais medievais, o

renascimento, o barroco, o Art- Noveau e até

mesmo os arte e arquitetura modernistas também

incorpororam conceitos de geometria simbólica e

proporções áureas…todos reconheciam na natureza

formas e proporções especiais, que traduziam uma

harmonia e unidade em si.”

Flor da vida Yantra

Yin - yang

Vésica piscis

Rosácea Gótica

Disonível em 20/03/2010 - http://www.flordavida.com.br/HTML/geometria.htmlstarchildglobal.com/portuguesa/healingpor.html

Homem Vitruviano

Iluminura árabe

Sólidos Plátônicos

Molécula de DNA

G e o m e t r i a S a g r a d a

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Os princípios da Geometria Sagrada estão presentes no macrocosmo e no microcosmo.

Extraido do livro de Robert Lawlor – Geometria Sagrada

Yantra indiano

“As posturas da dança clássica Hindu ( Bharat Natyan)Descrevem relações angulares geométricas, dese o eixo do corpo, logo abaixo do umbigo. Estas posturas, ao mesmo tempo que definem ângulos fundamentais, são frequentemente consideradas também alusões a diferentes divindades, e são destinadas a transmitir seus poderes característicos.”

“Esta foto é a vizulização mais aproximada que a ciência pode dar sobre a natureza da substância Atômica, que aparece como um esquema de Luz- Energia em forma geométrica .”

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No livro “O poder Dos Limites do arquiteto Georgy Doczi” constata-se que tanto nas cavernas pré- históricas como nos megalitos paleolíticos podem ser encontradas elementos a geometria sagrada.

Stonehenge – 5000 a.c.

Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980

Stonehenge – 5000 a.c.

Estrutura composta por cinco exágonosEsta afirmação do autor parece forçadaPois o desenho não se encaixa no objeto.

Geometria Sagrada - Arrazoado Histórico e Mitológico

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As dimensões do Templo, bem como do Tabernáculo, antes dele, foram detalhadas exatamente:"E este foi o plano que lançou Salomão para construir a casa de Deus, sessenta côvados de comprido pela primeira medida e de largura vinte côvados.”2 Crônicas 3.

O Templo homologava com um quadrado triplo o tamanho do Tabernáculo e suas paredes eram revestidas de madeirarecoberta de ouro. O interior compreendia um lugar sagrado retangular, na forma de um quadrado duplo, e um Santo dos Santos conformado em um quadrado simples. O interior possuía 20 côvados de altura, e o Santo dos Santos formava novamente um cubo. No centro mesmo do Santo dos Santos ficava a Arca da Aliança, que ocupara anteriormente o ponto central do Santo dos Santos do Tabernáculo. Em cada extremidade da Arca havia um querubim dourado de asas abertas, de dez côvados de altura. Esses dez côvados parecem ter sido o módulo de que derivaram as dimensões do Tem plo e eram o dobro do tamanho do Tabernáculo portátil.

Esse primeiro Templo de Jerusalém, o Templo de Salomão, foidestruído em 585 a.C., quando os babilônios tomaram a cidade e

expatriaram a maior parte da população como escravos.


Nigel Pennick, no livro “Geometria Sagrada” afirma que no Velho Testamento encontram-se passagens, onde descreve-se a construção do Templo de Salomão, seguindo uma geometria e medidas especificas, onde o autor identifica elementos da Geometria Sagrada.

"E Davi deu a Salomão seu filho o desenho do pórtico, e o do Templo, e das suas oficinas, e das suas salas, e dos seus aposentos interiores, e da casa da propiciação. E o desenho de tudo que ele imaginara e das repartições da casa do Senhor.”1 Crônicas 28.

A entrada do Santo dos Santos era fechada por uma porta de duas folhas, medindo cada uma delas dois côvados de largura. A entrada para o Templo possuía 5 côvados de largura e se abria de um pórtico que compreendia dois quadrados de 10x10 côvados. Era esse pórtico que suportava os dois pilares que posteriormente assu miram grande significação no saber maçônico: Jachin e Boaz. Cada pilar possuía 12 côvados de circunferência e era coroado por um capitel em forma de lírio com 5 côvados de altura. Esse capitel repousava sobre um castão de 3 côvados de altura que atra vessava 7 cadeias de romãs, 14 ao todo. O número místico 14 corresponde aos 14 quadrados de 10 côvados que constituem a planta baixa do Templo; as 14 gerações tradicionais de São Mateus, de Abraão a Davi; e os 14 Passos Cristãos da Cruz. Novamente, o Templo incorporava vários esquemas cosmológicos, condizendo com uma imagem do macrocosmo.”

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Primeiro Templo de Jerusalém

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“Filo, o Judeu, afirma que a Arca de Noé foi construída segundo o padrão do corpo humano. Heinrich Cornelius Agrippa concorda. E escreve: "Dado que o homem é a mais bela e a mais perfeita obra de Deus, e a Sua imagem, e também o menor dos mundos, ele, portanto, por uma composição mais perfeita, e uma harmonia doce, e uma dignidade mais sublime contém e conserva em si todos os números, todas as medidas, todos os pesos, todos os movimentos, todos os elementos, e todas as outras coisas que o constituem; e nele, de fato, está a habilidade suprema (...) além disso, o próprio Deus ensinou Noé a construir a Arca segundo a medida do corpo do homem e Ele fez toda a estrutura do Mundo ser proporcional ao corpo do homem. Portanto, alguns que escreveram sobre o microcosmo, ou sobre o homem, afirmam que o corpo mede 6 pés, um pé 10 graus, cada grau 5 minutos; têm-se 60 graus, que fazem 300 minutos, aos quais são comparados muitos côvados geométricos com que Moisés descreve a Arca; pois, como o corpo de um homem tem 300 minutos de comprimento, 50 de largura e 30 de altura, assim também a Arca era longa de 300 côvados, larga de 50 e alta de 30.

”Em The Canon, William Stirling relaciona as medidas da Arca com o tamanho do planeta Terra e com os cânones da cronologia segundo a história sagrada hebraica: "Se essa explicação for correta", escreve Stirling, "devemos imaginar, pelas proporções da arca, a vasta figura de um homem, à imagem e à semelhança de Deus, cujo corpo contém a medida do caminho do sol na eclíptica, o circuito da Terra e as órbitas dos sete planetas".


Nigel Pennick, no livro “Geometria Sagrada” afirma que no Velho Testamento encontram-se passagens, onde “Deus” ordena a Noé , que seja Construída uma arca, seguindo uma geometria e medidas especificas,.onde o autor identifica elementos da Geometria Sagrada.

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15EXTRAIDO DO LIVRO: DOCZI,Georgy. O Poder dos Limites. Ed. Mercúrio. São Paulo,SP. 1981

Egito – 3000 a.c.

“A Grande Pirâmide, construída aparentemente para

alojar os restos mortais do rei Khufu (mais conhecido por Quéops,

seu nome grego), foi edificada com uma planta baixa quase perfeita

de 775 pés e um ângulo de ascensão de 51°52'. Seu volume é um

estonteante acúmulo de 6 1/2 milhões de toneladas de calcário. O

ângulo de ascensão dá à pirâmide uma propriedade geométrica

única, que representa a quadratura mística do círculo: sua altura

está para a mesma razão da sua circunferência, assim como o raio

para a circunferência de um círculo. Essa razão é 1/2 pi . pi =

3,1416... e, nessa pirâmide, esse número transcendental está

representado com uma margem de erro de apenas 0,1%.

O ângulo de 51°52' tem a propriedade de ser o

ângulo produzido por um gradiente de 4:1. O ângulo utilizado em

Dahshur, 43°30', é preduzido por um gradiente de 3:1. Assim, a

simples utilização de números inteiros, que é a chave da geometria

sagrada, ao longo de toda a história, existe também no contexto

egípcio.

"A existência das pirâmides", escreveu James Stirling

em The Canon, "(...) parece ser uma confirmação notável das

afirmações dos escritores primitivos - de que a arquitetura

dependeu originalmente da geometria - e vemos

no Egito a primeira aplicação dessa ciência do construir. (...) Nas

mãos dos arquitetos geométricos, a pirâmide - por seu volume,

superfície, linhas e ângulos - poderia fornecer os meios de se

registrar medidas e números. Por objetivos práticos, também, a

pirâmide é a forma mais adequada para uma estrutura

permanente"'.

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OZÍRION

Nigel Pennick, no livro “Geometria Sagrada” afirma que no Antigo Egito encontram-se templos, onde o autor identifica elementos da Geometria Sagrada.


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“O Ozírion é um grande templo egipcio que é uma alegoria arquitetônica do processo de transformação mediante a morte e o renascimento, tal como como o descreve o mito de Ozíres. O simbolismo de Ozires tem a ver com o renscimento cíclico e a transformação, tanto a nível individual, como a universal. Foi concebidopara representar a própria tumba de Ozíres. A arquitetura é simbólica em cada detalhe: A mecânica da reencarnação, referências à morte e à ressurreição físicas,a morte como uma nova fase da consciência do aspirante, o nascimento ou uma nova morte e a dissolução do universo e seu entorno .O Ozírion foi descoberto em Ábidos em 1901, por FlidersPetrie, e as escavações terminaram em 1927.

Acredita-se que seja o “Cenotálio” ( Túmulo vazio) de Seti I, que governou o Egito entre 1312 e 1298 a.c. O templo inteiro tinha um telhado e por cima foi colocado um enorme monte de terra, para que parecesse uma tumba subterrânea. Ao redor do templo soterrado, foram escavados grandes buracos e plantadas a árvore sagrada de Ozíres. Esta reprodução do sacríficio mostra o símbolo da tumba de Ozíres com as ávores do renascimento brotando.”

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Nigel Pennick, no livro “Geometria Sagrada” afirma que no Antigo Egito encontram-se templos, onde o autor identifica elementos da Geometria Sagrada.No templo de Ozirion percebe-se a utilização de pentágonos e secção áurea como base harmônica.


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A planta do Ozírion mostra uma zona

central bastante curiosa, com dez grossas colunas

quadradas que sustentam o teto.Esta plataforma ,com

escadarias que a ela conduzem em ambos os extremos, é na

realidade

uma ilha, pois está rodeada por uma nave escavada até ao

nível exato que permitia enche-la de água subterrânea. A

ilha, com suas escadas em cada lado assemelha-se

exatamente ao símbolo egípcio da colina ou monte

primordial, que segundo o mito representa

o primeiro lugar da criação que se eleva das águas

primitivas, O “Nun” não manifesto e informe.

Ozíres támbem representa o princípio da

semente enterrada no solo que germina ao absorver a

umidade da terra. Há três pontos de sepultura nesta tumba

sibólica, duas depressões na plataforma

central( provavelmente) uma para o sarcófago outra para os

“canopes”, vasilhas colocadas nas tumbas egípicias

destinadas a conter as vísceras dos defuntos e uma ampla

câmara mortuária selada, em forma de sarcófago no

extremo oeste.

Esta última conté, nos muros e teto, relevos com motivos astronômicos

para dotar a tumba de influencias celestes. Ao redor e no exterior há

dezessete pequenas câmaras, destinadas aos neófitos que eram

submetidos ao rito iniciático de descer ás profundezas aquosas e

emergir pela ilha central, que simbolizava o mistério do nascimento,

tanto a nível universal, como individual. De qualquer forma o mais

importante é a geometria do templ apóia esta teoria, pois se conforma

às proporções da secção áurea e da 5 , símbolo do renascimento e da

regeneração assim como a da 2 , símbolo do poder procriador e

autogerador de vida. A ênfase no tema do pentágono simboliza

acertadamente a crença de que o rei, após sua morte, se transforma

numa estrela. As análises geométricas foram cedidas por Lucie Lamy.

Imagem 22

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OZÍRION

Nigel Pennick, no livro “Geometria Sagrada” afirma que no Antigo Egito encontram-se templos, onde o autor identifica elementos da Geometria Sagrada.No templo de Ozírion percebe-se a utilização de pentágonos e secção áurea como base harmônica

Projeção Gnomônica(Fractal ?)Vesica pisis




Partenon- Grecia – 500 a.c.

“A beleza da arte grega foi o resultado prático das

meditações dos filósofos. Naqueles tempos, quando a reverência

pagã antiga para com o mundo ainda não havia sido superada

pela espoliação a todo custo que caracteriza a civilização

industrial, todo objeto que passasse pelas mãos dos artesãos

continha propriedades sagradas. O artesão, diferentemente da

sua contrapartida moderna da linha de produção, estava

consciente da natureza sagrada dos materiais com que trabalhava

e da sua responsabilidade como fiduciário do material que

manipulava.

Porque toda a Terra era sagrada, os materiais

também eram sagrados e, assim, a modelagem era um ato de

adoração. Era imperativo que o artesão trabalhasse com o

melhor da sua habilidade e em concordância com os materiais de

que dispunha; assim, a aplicação da geometria sagrada era

absolutamente natural.

É só nos tempos modernos que a geometria

sagrada foi relegada, primeiramente à esfera estreita do desenho

de edifícios sagrados, e depois completamente abolida em função

de objetivos prático.”Imagem 26

A interpretação de sacralidade do trabalho dos antigos gregos é condizente com a proposição apresentada sob o título “Ócio Criativo”.

É uma interpretação oposta a “Negar o Ócio”de onde se origina “Negócio”.


“Os vasos gregos requintadamente

belos foram analisados por

geômetras modernos tais como

Caskey e Hambidge, que

descobriram que eles foram

desenhados de acordo com

construções complexas mas

harmoniosas de geometria de Seção

Dourada. Fazer vasos e utensílios

sagrados de acordo com a

geometria sagrada asseguraria a

sua função correta não só nos

arredores do templo, cuja geometria

eles ecoavam, mas também no

contexto secular.”

ceramica grega amphorae preto sobre laranja http://www.google.com.br/images?q=ceramica+grega&um=1&hl=pt-BR&rlz=1R2GGIE_en&tbs=isch:1&sa=N&start=120&ndsp=20

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Antigos Artesãos

21EXTRAIDO DO LIVRO: DOCZI, Georgy. O Poder dos Limites. Ed. Mercúrio. São Paulo,SP. 1981

Mexico – 800 d.c.

Pagode Yakushigi – Japão

No livro “O poder Dos Limites do arquiteto Georgy Doczi” o autor afirmaque nas mais variadas culturas percebe-se uma preocupação em criar composições espaciais harmônicas, onde aparecem relações áureas entre os elementos da composição.

15000 A.C.

Pré-História

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22

Geometria Sagrada no Oriente“Sangakus são tábuas comemorativas, em madeira, oferecidas pelo povo a pequenos santuários Japoneses, como forma de

agradecer aos deuses, com a resolução de um problema geométrico matemático. Os primeiros Sangakus que se conhecem datam do século XVII. As tábuas contêm vários problemas matemáticos, envolvendo, normalmente, círculos e outras figuras geométricas. Restam cerca de 900 desses objetos”.

Texto e Imagens - Disponíveis em 15/05/2010 - http://daisysharrock.blogspot.com/

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“Policleto foi um dos mais notáveis escultores gregos, fundador, junto com Fídias, do Classicismo escultórico, e apelidado de "Pai da Teoria da Arte" do Ocidente . Também é conhecido como Policlito ou Polícleto de Argos. Plínio, o Velho, o chamava de Policleto de Sikyon.”

Doríforo- Atribuido a Policleto

Extraido do livro: DOCZI,Georgy. O Poder dos Limites. Ed. Mercúrio. São Paulo,SP. 1981

Relações áureas no corpo “humano”

“Estudou as proporções do corpo humano e redigiu o primeiro tratado de proporções na escultura, a que deu o nome de Canon ou Cânone, de grande influência, mas hoje perdido. A figura de atleta que corporifica as teorias do autor chama-se o Doríforo, do qual apenas conhecemos cópias romanas do bronze original.”

O Corpo Humano

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Filolau, Alcmeón, Parménides, Platão, Euclides, Empédocles, Hipaso, Kepler

Influenciados

Metafísica, Música, Matemática, Ética, Política, Astronomia, Geometria

Principais interesses

Pitagóricos, NaturalismoEscola/tradição

Filósofo, matemático, astrônomoOcupação

c. 500 a. C.-490 a. C.Morte

c. 580 a. C. -572 a. C.Samos

Nascimento

Pitágoras

“Os Pitagoricos buscavam a urificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia; classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos e fatoráveis;

"criação de um modelo de definições, axiomas, teoremas e provas, segundo o qual a estrutura intrincada da Geometria é obtida de um pequeno número de afirmações explicitamente feitas e da ação de um raciocínio dedutivo rigoroso" (George Simmons);

Grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágoras a respeito da irracionalidade do 'raiz de 2'. Utilizando notação algébrica, os pitagóricos não aceitavam qualquer solução numérica para x² = 2, pois só admitiam números racionais. Dada a conotação mística atribuída aos números, comenta-se que, quando o infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução para o impasse, os outros discípulos o expulsaram da Escola e o afogaram no mar; aos pitagóricos deve-se provavelmente a construção do cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e a bem conhecida "seção áurea"; na Música, uma descoberta notável de que os intervalos musicais se colocam de modo que admitem expressões através de proporções aritméticas. Pitágoras - assim como outros filósofos gregos pré-socráticos - também descreveu o poder do som e seus efeitos sobre a psique humana.”

Disponível em 09/04/2010ttp://www.geometriaanalitica.com.br/artigos/Matematica/PITAGORAS.pdf http://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras

www.geometrycode.com/sg/

A história é um “ato continuo” onde os atores principais precisam ser conhecidos.Os estudos preliminares contem informações sobre a vida e a obra de alguns destes protagonistas que trataram de Geometria, Arquitetura e Urbanismo.A obra de Euclides é um dos pilares do estudo de Geometria no ocidente.

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Pitágoras

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pormenor d'A escola de Atenas de Raffaello Sanzio (1509).

“A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento, baseado em provas dedutivas.

Existem, no entanto, indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras (c²= a²+b²) já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C. com escopo empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medida do tempo (1h=60min) e na medida dos ângulos (60º, 120º, 180º, 240º, 360º).

Pitágoras percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e talvez a Índia e a Pérsia, onde acumulou ecléticos conhecimentos: astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e religião. Ele foi contemporâneo de Tales de Mileto, Buda, Confúcio e Lao-Tsé.

Quando retornou à sua cidade natal, Samos, indispôs-se com o tirano Polícrates e emigrou para o sul da Itália, na ilha de Crotona, de dominação grega. Aí fundou a Escola Pitagórica, a quem se concede a glória de ser a "primeira Universidade do mundo".

O pentagrama era o símbolo da Escola Pitagórica.

teorema

Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares - os números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação -, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas.

Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas.

A maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos (já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao caráter secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras.

Pitágoras foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu, em 496 a.C. ou 497 a.C.”

disponíveis em: 05/04/2010 - http://www.geometriaanalitica.com.br/artigos/Matematica/PITAGORAS.pdf

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“ O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama, que, como descobriu Pitágoras, possui algumas propriedades interessantes. Um pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular; pelas intersecções dos segmentos desta diagonal, é obtido um novo pentágono regular, que é proporcional ao original exatamente pela razão áurea.

Originalmente símbolo da deusa romana Vênus foi associado a diversas divindades e cultuado por diversas culturas. O símbolo é encontrado na natureza, como a forma que o planeta Vênus faz durante a aparente retroação de sua órbita. Não simboliza qualquer coisa referente ao satanismo. Trata-se de um dos símbolos pagãos mais utilizados na magia cerimonial, pois representa os quatro elementos (água, terra, fogo e ar) coordenados pelo espírito.

O pentagrama é conhecido também como o símbolo do infinito, já que é possível fazer outro pentagrama menor dentro do pentágono regular do pentagrama maior , e assim sucessivamente.Possui simbologia múltipla, sempre fundamentada no número cinco, que expressa a união dos desiguais. Representa uma união fecunda, o casamento, a realização, unindo o masculino,o 3, e o feminino, o 2, simbolizando ainda, dessa forma, o andrógino.O nome está ligado principalmente ao importante teorema

que afirma: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.Além disto, os pitagóricos acreditavam na esfericidade da Terra e dos corpos celestes, e na rotação da Terra, com o

que explicavam a alternância de dias e noites.

SPINELLI, Miguel. Filósofos Pré-Socráticos. Primeiros Mestres da Filosofia e da Ciência Grega. 2ª Ed., Porto Alegre: Edipucrs, 2003

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras_de_Samos_(escultor)

Pentagrama na mitologia

A Escola Pitagórica ensejou forte influência na poderosa verba de Euclides, Arquimedes e Platão, na antiga era cristã, na Idade Média, na Renascença e até em nossos dias com o Neopitagorismo.

Pensamentos de Pitágoras:

Educai as crianças e não será preciso punir os homens.

Não é livre quem não obteve domínio sobre si.

Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo.

O que fala semeia; o que escuta recolhe.

Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.

Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem.

Todas as coisas são números.

A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus.

A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus.

A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e sai-se.

A sabedoria plena e completa pertence aos deuses, mas os homens podem desejá-la ou amá-la tornando-se filósofos.”

Imagem Extraida do livro de Robert Lawlor – Geometria Sagrada

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27Texto Extraido do livro de Robert Lawlor – Geometria Sagradahttp://www.mundodosfilosofos.com.br/platao.htm

“Para o espírito humano, confinado num universo em movimento, na confusão de um perpétuo fluxo de acontecimentos, circunstâncias e desconcerto interno procurar a verdade sempre significou procurar o imutável, chama-se isso Idéias, formas, arquétipos, números ou deuses.Entrar num templo construído em sua totalidade conforme as proporções geométricas invariáveis é entrar no reino da verdade. Diz Thomas Taylor;

“A geometria permite ao seu devoto, como um aponte, franquear a obscuridade da natireza material, como se fosse um mar obscuro, para as regiões luminosas da realidade perfeita”. contudo., não se trata em absoluto de um acontecimento automático que ocorra apenas pegando um livro de geometria. Como diz Platão,”O logo da alma deve gradualmente reativado pelo esforço.

Estas idéias não podem ser percebidas pelos sentidos, mas apenas pela razão pura.. A geometria era a linguagem que recomendava Platão como modelo mais claro para descrever esse reino metafísico.

“Acaso não sabeis que ( os geometras) utilizam as formas visíveis e falam delas, embora não se trate delas, mas de coisas de que são um reflexo, e estudam o quadrado em si e a diagonal em si e não a imagem deles que desenha? E assim sucessivamente em todos os casos...Oque realmente procuram é poder vislumbrar estas realidades que apenas podem ser contempladas pela mente.Platão – A República

O mito da cavernaPlatão viu a maioria da humanidade condenada a uma infeliz condição.

Imaginou (no Livro VII de A República, um diálogo escrito entre 380-370 a.C.) todos presos desde a infância no fundo de uma caverna, imobilizados, obrigados pelas correntes que os atavam a olharem sempre a parede do fundo. O que veriam então? Supondo a seguir que existissem algumas pessoas, uns prisioneiros, carregando para lá para cá, sobre suas cabeças, estatuetas de homens, de animais, vasos, bacias e outros vasilhames, por detrás do muro onde os demais estavam encadeados, havendo ainda uma escassa iluminação vindo do fundo do subterrâneo, disse que os habitantes daquele triste lugar só poderiam enxergar o bruxuleio das sombras daqueles objetos, surgindo e se desafazendo diante deles. Era assim que viviam os homens, concluiu ele. Acreditavam que as imagens fantasmagóricas que apareciam aos seus olhos (que Platão chama de ídolos) eram verdadeiras, tomando o espectro pela realidade. A sua existência era pois inteiramente dominada pela ignorância (agnóia).

Disponível em 02/06/2010 - http://educaterra.terra.com.br/voltaire/cultura/caverna.htm

PLATÃO

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Nasc. 428 a.c.

Morte 348.C - Atenas

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“Na sua prescrição para a fundação de uma nova cidade, Platão afirmou que todos os detalhes exigiam a atenção mais dedicada.

A natureza geométrica do plano da cidade era dada por reconhecida. Seu desenho geomântico devia ser regulamentado por uma Comissão Urbana dotada de poderes para proibir quaisquer alterações não autorizadas. Acreditava-se que esse desenho geomântico que governava a cidade devia ser essencial à felicidade dos habitantes.

Platão acreditava que o povo jamais conheceria a felicidade se os desenhistas de suas cidades fossem artistas que não tomassem o divino como seu padrão.Esse padrão divino, tal como apresentado na República de Platão, era um esquema cosmológico que representa o microcosmo. Até mesmo o número de habitantes da cidade era ideal - 5.040 moradores, que ocupavam o mesmo número de lotes. Esse número é quase universalmente divisível, sendo derivado da multiplicação sucessiva dos números de 1 a 7, donde ser divisível por todos os números de 1 a 10, bem como por 12. Todo o território que rodeasse a acrópole devia ser dividido em 12 partes, mas a igualdade deveria ser assegurada pela condição engenhosa de que os alotamentos de terra ruim deviam ser maiores do que os alotamentos de terra boa - uma tarefa difícil, se não impossível.

A República era um microcosmo alegórico em todo sentido. Todos os seus atributos geométricos e numerológicos refletem o ideal divino, cuja consumação, se conseguida, uniria o homem ao universo .


O estudo da “Cidade Ideal” de Platão serve como suporte para o desenvolvimento da proposta de projeto no que refere à adoção de uma concepção sagrada do tratamento do espaço coletivo.

A geometria impregnou toda a esfera da vida grega. A conexão íntima entre a forma geométrica e a história sagrada pode ser vista no problema supostamente insolúvel da duplicação do cubo.

Os délios, que, na época de Platão, estavam sendo vitimados por uma peste, consultaram o oráculo para cons,eguirem um meio de dela se libertarem. O oráculo ordenou-Ihes duplicar um dos seus altares cúbicos. Dirigiram-se então aos geômetras da Academia e lhes pediram resolvessem o problema como um assunto de urgência nacional. Na verdade, trata-se de um problema insolúvel pelos métodos clássicos da geometria e, por conseguinte, está excluído da categoria da geometria sagrada.

É um equivalente em termos geométricos do extrair a raiz cúbica de dois, que não pode ser expressa em termos de números inteiros nem em termos de raízes quadradas de números inteiros. O fato de esse problema ter sido proposto pelo oráculo indica a seriedade com que a geometria estava investida na Grécia.

A observância correta da forma geométrica na arquitetura sagrada era um ato mágico que. poderia livrar um país de uma dificuldade , auxiliando os gregos na tentativa de resolver os problemas geométricos do oráculo.”

29

Elementos Platão supõe que a minúscula partícula de cada elemento tinha uma forma geométrica especial:

Tetraedro (fogo) Octaedro (ar) Icosaedro (água) Cubo (terra)

O Timeu conjectura sobre a composição dos quatro elementos que os gregos antigos pensavam que compõem o universo: terra, água, ar e fogo. Platão conjecturou que cada um destes elementos deve ser feita de um sólido: o elemento terra seria um cubo, de ar um octaedro, um icosaedro da água e do fogo um tetraedro. Cada um destes poliedros perfeito seria, por sua vez composto por triângulos. Apenas certas formas triangulares seria permitido, como a 30-60-90 e 45-45-90 triângulos. Cada elemento pode ser dividido em triângulos que o compõem, que podem então ser colocados juntos para formar a outros elementos. Assim, os elementos serão intercambiáveis, pelo que esta ideia foi um precursor da alquimia.

Além disso, Platão postula a existência de um quinto elemento (que corresponde ao quinto sólido platônico restantes, o dodecaedro) chamado éter, do qual o próprio cosmos é feita. Timeu discute também a teoria da música: por exemplo, construção da escala pitagórica. A última parte do diálogo trata da criação de seres humanos, incluindo a alma, a anatomia, a percepção ea transmigração da alma.

Octahedro (ar)Tetrahedro (fogo)

Icosahedro (água)Cubo (Terra)

A proposta buscará incorporar conceitos platônicos na sua concepção e conheceros sólidos platônicos é o fundamento desta antiga ciência.

BONELL,Carmen,La divina proporción. Edicions UPC,1994

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Disonível em 20/03/2010 - http://www.flordavida.com.br/HTML/geometria.html

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“Palestrantes do diálogo, Sócrates, Timeu de Locri, Hermócrates, Critias. Alguns estudiosos têm argumentado que não é o Crítias dos Trinta Tiranos, que está aparecendo no diálogo, mas seu avô, que também é chamado Crítias .

O diálogo tem lugar no dia seguinte Sócrates descreveu o seu estado ideal. Em obras de Platão, tal discussão ocorre na República. Sócrates considera que a sua descrição do estado ideal não foi suficiente para os fins de entretenimento e que "ficaria feliz em ouvir um relato do que se envolver em transações com outros estados" .

Texto disponível em: 10/04/2010 – 10hs - http://www.miniweb.com.br/biblioteca/artigos/alma_timeu.pdf

A proposta de projeto buscou nortear-se com uma fundamentação filosófica e o dialogo de Platão “Timeu” fundamentou a opção em adotar os conceitos de Geometria Sagrada.

Timeu continua com uma explicação sobre a criação do universo, que ele atribui ao trabalho de um artesão divino. O demiurgo, ser bom, quis lá ser tão bom como era o mundo. O demiurgo é dito para trazer a ordem de mérito, imitando um modelo imutável e eterno (paradigma). O ananke foi o único elemento de co-existente ou a presença na cosmogonia de Platão. Mais tarde platónicos esclareceu que o modelo eterno existia na mente do Demiurgo.

(Mais tarde a história do demiurgo se tornou um termo de difamação por gnósticos, que pretendia que o Demiurgo era um deus caído e ignorante criando um universo imperfeito, mas isso não era como Platão usava o termo).” continua

Filosofia ocidental, mais especificamente Platão, Aristóteles, Aristipo, Antístenes

Influências:

ParmênidesInfluênciado por:

Método socrático, ironia socráticaIdéias notáveis:

Epistemologia, éticaPrincipais interesses:

AtenasLocal:

399 a.C.Data de falecimento

AtenasLocal:

c. 469 / 470 a.C.Data de nascimento:

Filosofia gregaEscola/Tradição:

SócratesNome completo:

Hermocrates pretende que Crítias conte a Sócrates a história da viagem de Sólon ao Egito, onde ele ouve a história de Atlântida, e como Atenas costumava ser um estado ideal que, posteriormente, em guerra contra Atlantis. Critias acredita que ele está ficando à frente de si, e menciona que Timeu dirá parte da conta a partir da origem do universo para o homem. A história do Atlantis é adiado para Critias.

O manuscrito foi traduzido em latim por Cícero e novamente Calcidius.

A versão de Calcidius foi uma das poucas obras de filosofia natural clássica, e do diálogo platônico apenas disponível para os leitores no início da Idade Média. Assim, ele tinha uma forte influência sobre cosmologia neoplatônica medieval e foi comentada em particular do século 12 por filósofos cristãos da Escola de Chartres, como Thierry de Chartres e William de Conches, que a sua interpretação à luz da fé cristã, compreendeu o diálogo para se referir a uma creatio ex nihilo .

“Finalidade do Universohttp://en.wikipedia.org/wiki/Socrates Imagem 51

31

“Propriedades do Universo

“Timeu descreve a substância como uma

falta de homogeneidade ou equilíbrio, em que os quatro

elementos (terra, ar, fogo e água- (sólidos platônicos)

estavam disformes, misturados e em constante

movimento. Considerando que a ordem é favorável sobre

a desordem, o ato essencial do criador era para trazer

ordem e clareza a esta substância. Portanto, todas as

propriedades do mundo podem ser explicados pela

escolha do demiurgo do que é justo e bom, ou, a idéia de

uma dicotomia entre o bem e o mal.

Primeiro de tudo, o mundo é uma criatura

viva. Desde que as criaturas são pouco inteligentes em

sua aparência menos justo que as criaturas inteligentes, e

que a inteligência tem de ser resolvida em uma alma, o

demiurgo "coloca a inteligência na alma e no corpo", a

fim de ganhar a vida o todo inteligente. "Portanto,

usando a linguagem das probabilidades, podemos dizer

que o mundo se tornou uma criatura viva

verdadeiramente dotada de alma e inteligência, pela

providência de Deus".

Então, uma vez que a parte é imperfeito em

relação ao todo, o mundo tinha que ser um e único.

Portanto, o demiurgo não cria mundos diversos, mas um

mundo único.“

“O criador decidiu também fazer o corpo

sensível do universo por quatro elementos, a fim de torná-lo

proporcionado. Com efeito, para além do fogo e da terra,

que fazem corpos visíveis e sólido, um terceiro elemento foi

exigida como dizer: "duas coisas não podem ser justamente

juntos sem um terceiro, deve haver algum vínculo de união

entre eles". Além disso, desde que o mundo não é uma

superfície sólida, mas, em média quarto foi necessário para

atingir a harmonia por isso, o criador colocou água e do ar

entre o fogo e a terra. "E por estas razões, e fora de tais

elementos, que são em número de quatro, o corpo do mundo

foi criado, e foi harmonizado pela proporção".

Quanto à figura, o demiurgo criou o mundo,

sob a forma geométrica de um globo. Na verdade, o número

redondo é o mais perfeito, porque compreende ou médias

todas as outras figuras, e é a mais “omnimorphica” de

todas as figuras: "ele [o Demiurgo] considerara que o gosto

é infinitamente mais justo do que o contrário".

O criador, em seguida, determina para o

mundo um movimento rotatório ou circular, que é o mais

adequado "para a mente e inteligência" por conta de ser o

mais uniforme.

Finalmente, ele criou a alma do mundo,

colocou a alma no centro do corpo do mundo e difundido

em todas as direções. Tendo sido criado como um perfeito,

auto-suficiente e ser inteligente, o mundo é um deus.”

Timeu – continuação 2

http://www.miniweb.com.br/biblioteca/artigos/alma_timeu.pdf

32

Portanto, tendo sido composto por Identidade, Diferença e Existência (sua média), e formada em proporções corretas, a alma declara a igualdade ou diferença de cada objeto que ele atende: quando é um objeto sensível, o círculo interno dos diversos transmitir o seu movimento da alma, onde as opiniões surgem, mas quando é um objeto intelectual, o círculo da mesma se torna perfeitamente redonda e verdadeiro conhecimento surge.”

“Timeu começa com uma distinção entre o mundo físico eo mundo eterno. O físico é o mundo que muda e perece: portanto, é o objeto de opinião e sensação. O eterno nunca muda: por isso é apreendido pela razão.

Os discursos sobre os dois mundos estão condicionados pela natureza distinta de seus objetos. Na verdade, "uma descrição do que é imutável, fixa e claramente inteligível será fixo e imutável", enquanto a descrição de quais as mudanças e provavelmente, também vai mudar e ser apenas provável. "Como é estar a tornar-se, por isso é a verdade da crença". Portanto, em uma descrição do mundo físico, um "não deve olhar para nada mais que uma história provável".

Timeu propõe que desde que "nada muda, ou torna-se" sem justa causa, a causa do universo deve ser um demiurgo ou um deus, uma figura, Timeu se refere como o pai e criador do universo. E desde que o universo é justo, o demiurgo deve ter olhado para o modelo eterno para fazê-lo, e não a um perecível . Assim, usando o mundo eterno e perfeito de "formas" ou ideais como um modelo, ele começou a criar o nosso mundo, que antes só existia em um estado de desordem.“ Final do Timeu

“A Criação da alma do Mundo - Natureza do Mundo Físico (discussão que se segue Platão é obscura, e quase certamente concebido para ser lido à luz do Sofista)

“Timeu, em seguida, explica como a alma do mundo foi criada. O demiurgo, combinação de três elementos: duas variedades de Identidade (uma indivisível e divisível outro), duas variedades de diferença (mais uma vez, uma indivisível e divisível outro), e dois tipos de Ser (ou Existência, uma vez mais, uma indivisível e divisível outro) . A partir deste surgiram três substâncias compostas, intermediário (ou mistos), sendo, Identidade intermediário, intermediário e Diferença. De presente uma substância composta resultado final, a Alma do Mundo. Em seguida, dividiu seguintes proporções matemáticas precisas, reduzindo o comprimento composto, fixou o resultado em duas faixas de seu meio, e ligandos a eles suas extremidades, para ter dois cruzamentos círculos. O demiurgo exercido sobre eles um movimento circular em seu eixo: o círculo exterior foi atribuído Identidade e virou-se horizontalmente para a direita, enquanto que o círculo foi atribuída à diferença e na diagonal e virou para a esquerda. O demiurgo deu a primazia ao movimento de Identidade e deixou-indiviso, mas ele dividiu o movimento de diferença em seis partes, que têm sete círculos desiguais. Ele prescreveu estes círculos para se mover em direções opostas, três delas com velocidades iguais, os outros com velocidades desiguais, mas sempre na mesma proporção. Estes círculos são as órbitas dos corpos celestes: os três que se deslocam a velocidades iguais são o Sol, Vênus e Mercúrio, e os quatro que se deslocam a velocidades desiguais são a Lua, Marte, Júpiter e Saturno.

Em seguida, o demiurgo ligado o corpo e a alma do universo: ele difunde a alma do centro do corpo de suas extremidades, em todas as direções, permitindo que a alma invisível para envolver o corpo visível. A alma começa a girar e este foi o início de sua vida eterna e racional.

Timeu – continuação 3

http://www.miniweb.com.br/biblioteca/artigos/alma_timeu.pdf

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“Entre as mais prevalentes tradicionais formas geométricas atribuídas a geometria sagrada estão a onda senoidal, a esfera, a vesica piscis, o toro (donut), os cinco sólidos platônicos, a espiral de ouro, o Tesseract (4-cubo tridimensional), e os polihedros). Atualmente estudam-se os Fractais.”

Esfera Octahedro Dodecahedro Icosahedro

TorusTheseracte Onda Fractal

Espiral áurea Vésica Piscis

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GEOMETRIA SAGRADA - visão de mundo

“Geometria Sagrada é utilizado no projeto de arquitetura sagrada e arte sacra, bem como em projetos de natureza secular..

A crença básica é que as razões de geometria e matemática, harmônias e proporções, são também encontrados na música, na arte e na cosmologiaetc.... Este sistema de valores foi encontrada até mesmo na pré-história humana e é considerado por alguns como uma cultura universal da condição humana. A Geometria Sagrada foi fundamental para a construção de estruturas sagradas, como templos, mesquitas, megálitos, monumentos e igrejas, espaços sagrados, como altares e tendas, locais de reunião, tais como os bosques sagrados, vales e poços sagrados e na criação de arte sacra e iconografia usando “divina proporção”.”

“Aproximada e verdadeira espiral de ouro. A espiral é feita de quartas-de-círculos tangentes ao interior de cada quadrado, A espiral em amarelo é uma “espiral dourada”, um tipo especial de espiral logarítmica. O comprimento do lado de uma área para o próximo quadrado menor está em a proporção áurea.

Geometria Sagrada pode ser entendida como uma visão de mundo de reconhecimento de padrões e um complexo sistema de símbolos e estruturas envolvendo espaço, tempo e forma. De acordo com essa crença, os padrões básicos de existência são percebidos como sagrados. Através da ligação com estes, uma pessoa que contempla o Magnum Mysterium, e o “grande projeto”. Ao estudar a natureza desses padrões, formas e relações e suas conexões, um insight pode ser adquirido das leis e proporções do Universo.

A descoberta da relação entre a geometria a matemática e a música, dentro do Período Clássico, é atribuída a Pitágoras, que descobriu que uma seqüência interrompida na metade ao longo de seu comprimento produziu uma oitava, enquanto uma proporção de 3 / 2 produziu um intervalo de quinta e 4 / 3 produzidos quarto. Pitagóricos acreditavam que isto conferia poderes de cura da música, como poderia "harmonizar" o fora-de-equilíbrio corporal, e esta crença foi revivido nos tempos modernos . Hans Jenny, um médico que foi pioneiro no estudo das figuras geométricas formadas pelas interações de ondas e nomeado este estudo de cimática.”


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A família das Espirais

Executado pelo autor com o programa Gogle Sketchup 7

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O círculo“Talvez o círculo tenha sido o símbolo mais

antigo desenhado pela raça humana. Simples de ser executado, é

uma forma cotidiana encontradiça na natureza, vista nos céus

como os discos do sol e da lua, e ocorre nas formas das plantas

e dos animais e nas estruturas geológicas naturais. Nos tempos

antigos, as construções, fossem elas temporárias ou

permanentes, eram circulares em sua grande maioria. Os

nativos americanos tipi e os yurt mongólicos atuais são

sobreviventes de uma antiga forma universal. Dos círculos de

cabanas da Grã-Bretanha neolítica, desde, os círculos de pedra

megalíticos até as igrejas e os templos redondos, a forma

circular imitou a redondeza do horizonte visível, fazendo de

cada construção, na verdade, um pequeno mundo em si mesmo.

O círculo representa o completamento e a

totalidade, e as estruturas redondas ecoam peculiarmente esse

princípio. No Rosarium Philosophorum, um antigo tratado

aIquímico, lemos a seguinte afirmação:


Considerando que o projeto tratará a forma de maneira simbólica e buscará carregá-la com significados, estudar o significado das formas geométricas é necessário e é pertinente incluí-lo nesses estudos preliminares.


"Faze um círculo ao redor do homem e da mulher e desenha fora

dele um quadrado e fora do quadrado um triângulo. Faze um

círculo ao redor dele e terás a pedra dos filósofos.”

O círculo contém aí a imagem do homem, como

no famoso desenho virtuoso de Leonardo da Vinci. Com base

nesta figura fundamental, pode-se produzir o quadrado e,

depois, as outras figuras geométricas. A pedra dos filósofos, a

súmula de todas as coisas e a chave para o conhecimento, é

produzida dessa maneira erepresentada pelo círculo, a figura

matriz de que podem ser geradas todas a s outras figuras

geométricas. Com régua e compasso, todas as figuras

importantes eram produzidas simples e elegantemente.

Essas figuras - o vesica piscis, o triângulo

eqüilátero, o quadrado, ohexágono e o pentágono -, todas elas

mantêm relações diretas umas com as outras.”

Imagem 67

37

O quadrado“Os templos antigos eram freqüentemente

construídos em forma quadrilátera. Representando o

microcosmo e, em conseqüência, considerada como um

emblema da estabilidade do mundo, essa característica era

especialmente verdadeira para as representações artificiais

de montanhas que reproduziam o mundo, para os zigurates,

as pirâmides e as estupas. Essas estruturas simbolizavam o

ponto de transição entre o céu e a terra e centralizavam

idealmente o omphalos, o ponto axial do centro do mundo.

Geometricamente, o quadrado é uma figura

única. Pode ser dividido com precisão por dois e por

múltiplos de dois apenas com um esboço. Também pode ser

dividido em quatro quadrados quando se faz uma cruz que

define automaticamente o centro exato do quadrado. O

quadrado, orientado para os quatro pontos cardeais (no caso

das pirâmides egípcias, com um exatidão fenomenal), pode

ser novamente bisseccionado por diagonais, que o dividem

em oito triângulos. Essas oito linhas, partindo do centro,

formam os eixos que indicam as quatro direções cardeais e

os "quatro cantos" do mundo - a divisão óctupla do espaço.


Essa divisão óctupla do espaço é venerada no "caminho

óctupIo" da religião budista e nas "Quatro Estradas Reais da

Grã-Bretanha“ relatadas minuciosamente na History of the

Kings of Britain, de Geoffrey of Monmouth. Cada uma das

direções, no Tibete, estava sob a guarda simbólica hereditária

de uma família, tradição que encontrou paralelo na Grã-

Bretanha nas oito Famílias Nobres que sobreviveram à

Cristianização e produziram os reis e os santos da Igreja

Celta.

A divisão óctupla do quadrado era; na tradição

européia, um emblema da divisão do dia e do ano, bem como

da divisão do país e da sociedade. Embora a divisão óctupla

do tempo fosse gradualmente eliminada com o advento do

sistema duodécuplo dos cristãos, ela sobreviveu nos antigos

quarterdays [primeiro dia de um trimestre] do calendário, nas

tradicionais festas do fogo nos países pagãos e na geometria

maçônica da arquitetura sagrada do sistema acht uhr ou ad

quadratum. Voltarei a esse assunto importante num capítulo

posterior.”

Imagem 68Executado pelo autor com o programa Gogle Sketchup 7

38

“O hexágono é uma figura geométrica natural produzida pela divisão da circunferência de um círculo por meio dos seus raios. Os pontosda circunferência são conectados por linhas retas e produzem uma figura com seis lados iguais.

Sendo uma função da relação entre o raio e a circunferência do círculo, o hexágono é uma figura natural que ocorre em toda anatureza. É produzido naturalmente na fervura e na mistura delíquidos. O físico francês Bénard observou, durante as suasexperiências de difusão em líquidos, que os padrões hexagonais se formavam freqüentemente em toda a superfície. Tais tourbillons cellulaires, ou "células de Bénard", foram objeto de muitos experimentos. Verificou-se que, em condições de perfeito equilíbrio, os padrões formavam hexágonos perfeitos. Esses padrões eram semelhantes aos das células que constituem a vida orgânica ou asformas prismáticas das rochas basálticas. Sujeitos às mesmas forças universais de viscosidade e de difusão, padrões similares são criados naturalmente num líquido fervente.

O hexágono natural mais bem conhecido é aquele que se vê nos favos das abelhas. Esses favos são formados de uma reunião de prismas hexagonais cuja precisão é tão espantosa, que atraiu a atenção de muitos filósofos, que viam neles uma manifestação da harmonia divina na natureza.


Na Antigüidade, Pappus, o Alexandrino, dedicou a sua atenção a esse esquema hexagonal e chegou àconclusão de que as abelhas eram dotadas de uma "certa intuição geométrica", com a economia como princípio orientador, pois, "existindo três figuras que podem ocupar o espaço que circunda um ponto - a saber, o triângulo, o quadrado e o hexágono -, as abelhas escolheram sabiamente como sua estrutura aquela que possui mais ângulos, suspeitando com certeza que ela poderia conter mais mel do que qualquer uma das outras duas". Em minhas próprias pesquisas sobre a estrutura dos microrganismos marinhos, encontrei o hexágono na forma externa da Pyramimonas virginica, uma alga marinha norte-americana. Nela, as bases das estruturas que cobrem o corpo do organismo formam hexágonos perfeitos, embora elas sejam menores que o comprimento da onda da luz visível. Essa geometria natural sobre a qual o autor romano

Plínio nos conta que os homens fizeram do seu estudo o trabalho de toda uma vida em sua época, é de interesse especial para o geômetra místico. propriedade interessante segundo a qual os vértices alternados dessa figura podem ser conectados por linhas retas para a produção do hexagrama. Essa figura, composta de triângulos eqüiláteros que se interpenetram, simboliza a fusão dos princípios opostos masculino e feminino, quente e frio, água e fogo, terra e ar, etc. e é, por conseguinte, símbolo da inteireza arquetípica, o poder divino da criação. Assim, foi usada na alquimia e continua sendo o símbolo sagrado dos judeus ainda em nossos dias. As dimensões dos triângulos que formam o hexagrama estão diretamente relacionadas

ao círculo que as produz e podem ser o ponto de partida para desenvolvimentos geométricos.”

O hexágono

Executado pelo autor com o programa Gogle Sketchup 7 Imagem 69

39

“No Timeu, Platão escreveu: "Ora, a figura [triângulo] que tenho dito ser a mais bela de todos os muitos triângulos (não é ne o cessário falar dos outros) é aquela cujo duplo forma um terceiro triângulo que é eqüilátero (...) escolhamos então dois triângulos, com que foram construídos o fogo e outros elementos, um isósceles, tendo o outro o quadrado do lado maior igual a três vezes o quadrado do lado menor".

Esse símbolo é o triângulo eqüilátero circunscrito num hexagrama."Analisa"-se seu simbolismo somando-se os valores dos ângulos produzidos pelas várias partes e dividindo-se por tantos ângulos retos que tiverem igual valor. Esse método arcano possibilita que qualquer figura geométrica seja "analisada" e, assim, impregna a sua simplicidade com um rico simbolismo que foi explorado a fundo pelos arquitetos de construções sagradas. O triângulo eqüilátero determinado dentro do tetraedro é igual em valor geométrico aos oito ângulos retos - o número de graus em quatro triângulos eqüiláteros. Em virtude de ser o menor sólido geométrico regular e por causa da sua forma piramidal, foi utilizado pelos platônicos para representar o elemento fogo. Os triângulos "determinados" no hexagrama ou Sigilo de Salomão, sem levar em consideração as intersecções (que convencionalmente são mais entrelaçamentos do que junções), são equivalentes a dezesseis ângulos retos. Este é o número contido no octaedro, o sólido platônico composto de oito triângulos eqüiláteros de lados iguais. Ele foi atribuído pelos platônicos ao elemento ar, o mais próximo do tetraedro em leveza. Ignorando-se as intersecções, à Sigilo de Salomão, com seu triângulo menor superposto, se igualará ao número de graus dos 24 ângulos.


O cubo

Este é o número que está no cubo, um sólido composto de seis quadrados iguais. Essa figura sólida e fixa simbolizava para os platônicos o elemento terra. Ele representou universalmente esse elemento onde quer que ele ocorresse na geometria sagrada - a base quadrangular do templo e da Cidade Sagrada, plantada fixamente sobre o omphalos. O triângulo invertido do sigilo, com o triângulo menor circunscrito, somado ao triângulo maior do hexagrama voltado para cima, perfaz quarenta ângulos retos, iguais em graus àqueles que estão no icosaedro, um regular formado por vinte triângulos eqüiláteros de lados iguais. Este é o sólido regular mais pesado formado por triângulos. Próximo ao cubo em peso, o icosaedro representou o elemento água. Assim, considera-se que toda forma que derivou do hexagrama, com seu triângulo interno, incorpora todos os sólidos platônicos e, por associação, os quatro elementos - um atributo da universalidade e um símbolo da lei da unidade dos opostos”.

O Triângulo, Polígonos, cubos e os poliédros

Executado pelo autor com o programa Gogle Sketchup 7 Imagem 70

40

“O vesica piscis é aquela figura que se produz quando dois círculos de igual tamanho são desenhados, um a partir do centro do outro. Em termos geométricos sagrados, trata-se do ponto de derivação do triângulo eqüilátero e da linha reta que parte do círculo. Representou os órgãos genitais da Deusa Mãe, o ponto físico de origem da vida simbolizada por sua posição fundamental na geometria. Por essa razão, ocupou uma posição privilegiada na construção de edifícios sagrados. Dos círculos de pedra e dos templos mais antigos até as catedrais do período medieval, o ato inicial da construção foi relacionado ao nascer-do-sol de um dia predeterminado. Esse nascimento simbólico do templo com o novo sol é um tema universal e sua conexão com o vesica de forma genital não é mero acidente. A geometria do templo hindu, como as das suas contrapartidas espirituais da Ásia Menor, da África Setentrional ou da Europa, está registrada como sendo diretamente derivada da sombra de um poste ou gnomon. O Manasara Shilpa Shastra, um antigo texto sânscrito sobre construção de templos, detalha a derivação do plano a partir da orientação.

Escolhido o sítio por um praticante de geomancia, um poste era cravado no chão naquele local. Um círculo era desenhado ao seu redor. Esse procedimento produz um eixo leste-oeste verdadeiro. De cada ponta desse eixo, desenhavam-se arcos, produzindo-se então um vesica piscis que, por sua vez, fornecia um eixo norte-sul.



Assim, o vesica universal era fundamental para a construção do templo. Com base nesse vesica inicial, desenhava-se um outro a partir do ângulo reto e, com base nele, um círculo central e depois um quadrado dirigido para os quatro quartos da terra. O sistema hindu de construção pode ser considerado

fundamentalmente idêntico ao utilizado no método romano de construção de cidades e descrito nas obras de Vitrúvio. É produzido por observação direta e, assim, reproduz as condições predominantes no momento exato da fundação. Essa fixação no tempo, como o momento do nascimento na astrologia, é fundamental em todas as práticas de orientação, exatamente como um alinhamento incorporaria automaticamente os atributos astronômicos e astrológicos do tempo.

O vesica não está envolvido na construção por princípios arbitrários.

Ele é o ponto prático de partida do qual derivam todas as outras figuras geométricas. Dividindo-se o vesica com uma linha que passa pelos centros dos dois círculos, unindo-se os seus vértices comuns e, para um lado e para o outro, ligando-se esses vértices aos pontos em que a linha vertical cruza os círculos, obtêm-se dois triângulos eqüiláteros. Os lados desses triângulos são de comprimento igual ao raio do círculo gerador. Com base no triângulo eqüilátero, pode-se produzir facilmente o hexágono e o icosaedro.”

Vesica Piscis

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41Extraido do livro de Robert Lawlor – Geometria Sagrada

A proposta de projeto será desenvolvida baseada em estudos de geometria

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42

Geometria Euclidiana

“Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.) foi

um professror matemático platónico e escritor de origem desconhecida, criador da famosa

geometria euclidiana: o espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico, metáfora do

saber na antiguidade clássica, que se manteve incólume no pensamento matemático medieval e

renascentista, pois somente nos tempos modernos puderam ser construídos modelos de

geometrias não-euclidianas. Teria sido educado em Atenas e freqüentado a Academia

de Platão em pleno florescimento da cultura helenística.”

“Os postulados de Euclides são:

1. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une;

2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta;

3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro

naquele ponto e com raio igual à distância dada;

4. Todos os ângulos retos são iguais;

Em especial, o quinto postulado de Euclides:

5. Postulado de Euclides "Se uma linha reta cai em duas linhas retas de forma a que os dois

ângulos internos de um mesmo lado sejam (em conjunto, ou soma) menores que dois ângulos retos,

então as duas linhas retas, se forem prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto no

mesmo lado em que os dois ângulos são menores que dois ângulos retos."

Paralelismo de Euclides."Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais que no plano que definem

não há mais do que uma reta incidente com P e paralela a r."

Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo

"Existe um triângulo em que a soma das medidas dos ângulos é igual a dois retos."

a + b + d = 2 retos (a º + b º + d º = 180º)

Os comentários que têm sido feitos a estes postulados ao longo dos séculos encheriam um grosso

volume, em particular no que respeita ao termo "continuamente" no segundo postulado e em

especial no que respeita ao último, chamado o postulado de paralelismo (de Euclides).”

“Durante séculos, os objetos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objetos que representam certos fenômenos do Universo, tal como se passa com os fractais. Assim, considera-se hoje que tais objetos retratam formas e fenômenos da Natureza.

Dispnível em 10/05/2010 - 23 hs - http://matematica-na-veia.blogspot.com/2007/08/euclides-de-alexandria.html www.prof2000.pt/.../mat_mes/actmatmesfev.htm

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“Marcos Vitrúvio Polião, em latim Marcus Vitruvius Pollio, foi um arquiteto e engenheiro romano que viveu no século I a.C. e deixou como legado a sua obra em 10 volumes, aos quais deu o nome de De Architectura (aprox. 40 a.C.) que constitui o único tratado europeu do período grego-romano que chegou aos nossos dias e serviu de fonte de inspiração a diversos textos sobre Construções hidráulicas, hidrológicas e arquitetônicas desde a época do Renascimento.Os seus padrões de proporções e os seus princípios arquiteturais: utilitas, venustas e firmitas (utilidade, beleza e solidez), inauguraram a base da Arquitetura clássica.”

Maquete de Roma

Geometria sagrada no teatro segundo Vitrúviohttp://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/civilizacao-grega/imagens/teatro-grego2.gif

Homem VitruvianoDa Vinci – Sec-xvi

Maquete de Roma Antiga - romaparati.blogs.sapo.pt/3026.html

Teatro Grego – sec 5 a.c.- http://hist7alfandega.blogspot.com/2008_11_01_archive.html

Vitrúvio

Disponível em 20/04/2010 – 22:25 hs - http://novas-tec.blogspot.com/2008/12/os-espaos-do-teatro-segundo-vitruvio.html

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Luca Pacioli

Luca Bartolomeo de Pacioli, O.F.M.

Monge Luca Pacioli

Nascimento1445Sansepolcro, Toscana

Morte19 de junho de 1517Sansepolcro, Toscana

Nacionalidade Italiano

“Luca Bartolomeo de Pacioli . (Sansepolcro, 1445 — Sansepolcro, 19 de junho de 1517)

Foi um monge franciscano e célebre matemático italiano considerado o pai da contabilidade moderna.Apesar da

infância pobre, foi educado pelo matemático Dominico Bragadino e tornou-se professor de matemática de uma escola local.

Em 1470, na cidade de Veneza, como tutor dos filhos de um comerciante, escreveu a sua primeira obra de matemática na área de

álgebra.

Em 1475, tornou-se o primeiro professor de matemática da Universidade de Perugia.

No ano de 1494 foi publicado em Veneza sua famosa obra “Summa de Arithmetica, Geometria proportioni et propornalità” (colecção

de conhecimentos de aritmética, geometria, proporção e proporcionalidade). Pacioli tornou-se famoso devido a um capítulo deste

livro que tratava sobre contabilidade: “Particulario de computies et scripturis”. Nesta secção do livro, Pacioli foi o primeiro a

descrever a contabilidade de dupla entrada, conhecido como método veneziano ("el modo de Vinegia") ou ainda "método das partidas

dobradas".

O livro “Summa” tornou Pacioli famoso, sendo convidado em 1497 para ensinar matemática na corte de Ludovico em

Milão. Um dos seus alunos e amigo foi Leonardo da Vinci.

Em 1509, escreveu a sua segunda obra mais importante, De Divina Proportioni, ilustrada por da Vinci, que tratava sobre proporções

artísticas.

Continuou a estudar, lecionar e escrever até sua morte no mosteiro de Sansepolcro, em 1517.”

Disponível em 05/4/2010h- http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/renascenca/paciol.- - htmttp://pt.wikipedia.org/wiki/Luca_Pacioli

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“Leonardo Pisano Bogollo ou Leonardo de Pisa (c. 1170 — c. 1250), também conhecido como Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci ou, na maioria das vezes, simplesmente Fibonacci foi um matemático italiano, dito como o primeiro grande matemático europeu depois da decadência helênica. É considerado por alguns como o mais talentoso matemático ocidental da Idade Média. Ficou conhecido pela descoberta da sequência de Fibonacci e pelo seu papel na introdução dos algarismos árabes na Europa.

Número de Fibonacci, primo de Fibonacci, identidade de Brahmagupta–Fibonacci, polinômio de Fibonacci, pseudoprimo de Fibonacci, palavra de Fibonacci, constante dos inversos de Fibonacci, introdução do sistema numérico hindu na Europa, período de Pisano, número prático

Conhecido(a) por

MatemáticaCampo(s)

ItalianoNacionalidade

aprox. 1250Morte

Leonardo Pisano Bogolloaprox. 1170Bugia

Nascimento

0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946… sequência de Fibonacci

Fibonacci

Fibonacci é mais conhecido no mundo moderno pela divulgação do sistema numérico hindu na Europa, principalmente através da publicação no início do século XIII do seu Livro de Cálculo, o Libe Abaci; e pela sequência de números nomeada após sua morte e conhecid\ como os números de Fibonacci, que ele não descobriu, mas usou como exemplo no Liber Abaci.”

Disponível em 04/04/2010 www.educ.fc.ul.pt/.../biografiadeFibonacci.html

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46

“A proporção áurea ou número de ouro ou

número áureo ou ainda proporção dourada é uma

constante real algébrica irracional denotada pela letra

grega φ (phi) e com o valor arredondado a três casas

decimais de 1,618. É um número que há muito tempo é

empregado na arte. Também é chamada de: seção

áurea,razão áurea, razão de ouro, divina proporção,

proporção em extrema razão, divisão de extrema razão.

É frequente a sua utilização em pinturas

renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número

está envolvido com a natureza do crescimento. Phi (não

confundir com o número Pi π), como é chamado o número

de ouro, pode ser encontrado na proporção em conchas

(o nautilus, por exemplo), seres humanos (o tamanho das

falanges, ossos dos dedos, por exemplo), até na relação

dos machos e fêmeas de qualquer colméia do mundo, e

em inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do

crescimento.

Justamente por estar envolvido no

crescimento, este número se torna tão frequente. E

justamente por haver essa frequência, o número de ouro

ganhou um status de "quase mágico", sendo alvo de

pesquisadores, artistas e escritores. Apesar desse status,

o número de ouro é apenas o que é devido aos contextos

em que está inserido: está envolvido em crescimentos

biológicos, por exemplo.

EXTRAIDO DO LIVRO: DOCZI,Georgy. O Poder dos Limites. Ed. Mercúrio. São Paulo,SP. 1981

A proporção áurea será o “padrão de medida” da proposta de projeto a ser apresentada.

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“Proporção áurea em varias manifestações da cultura Humana.Trata-se do retângulo no qual a proporção entre o comprimento e a largura é aproximadamente o número Phi, ou seja,

1,618, que reflete também as proporções do Parténon.Os egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides. Por exemplo, cada bloco da pirâmide era 1,618 vezes maior que o bloco

do nível logo acima. As câmaras no interior das pirâmides também seguiam essa proporção, de forma que os comprimentos das salas são 1,618 vezes maiores que as larguras.

Disponível em 11 de abril de 2010 - http://demonstrations.wolfram.com/GoldenSection/

Música

O número de ouro está presente nas

famosas sinfonias Sinfonia n.º 5 e a

Sinfonia n.º 9, de Ludwig van Beethoven, e

em outras diversas obras. Outro fato

interessante registrado na Revista Batera,

em um artigo sobre o baterista de jazz

Max Roach, é que, em seus solos curtos,

aparece tal número, se considerarmos as

relações que aparecem entre tempos de

bumbo e caixa.

Cinema

O diretor russo Sergei Eisenstein se utilizou do número φ no filme O Encouraçado Potemkin para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas de película

Pintura

A proporção áurea foi muito usada na arte,

em obras como O Nascimento de Vênus,

quadro de Botticelli, em que Afrodite está na

proporção áurea. Essa proporção estaria ali

aplicada pelo motivo de o autor representar

a perfeição da beleza. Em O Sacramento da

Última Ceia, de Salvador Dalí, as dimensões

do quadro (aproximadamente 270 cm × 167

cm) estão numa Razão Áurea entre si. Na

história da arte renascentista, a perfeição da

beleza em quadros foi bastante explorada

com base nessa constante. Vários pintores e

escultores lançaram mão das possibilidades

que a proporção lhes dava para retratar a

realidade com mais perfeição.

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, utiliza o

número áureo nas relações entre seu tronco

e cabeça, e também entre os elementos do

rosto.

Literatura

Na literatura, o número de ouro

encontra sua aplicação mais notável no

poema épico grego Ilíada, de Homero,

que narra os acontecimentos dos últimos

dias da Guerra de Tróia. Quem o ler

notará que a proporção entre as estrofes

maiores e as menores dá um número

próximo a 1,618, o número de ouro.

Luís de Camões na sua obra Os

Lusíadas, colocou a chegada à Índia no

ponto que divide a obra na razão de

ouro.

Virgílio em sua obra Eneida, construiu a

razão áurea com as estrofes maiores e

menores.

Retângulo dourado”

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Antonio Stradivari

Nasceu 1644Cremona, Italia

Morreu 1737 com 93 anosCremona, Italia

Ocupação Luthier

Violino de Stradivarius A relação entre o Stradivarius e a geometria também tem sido objeto de estudo. A sua construção obedece a regras geométricas muito precisas. É construído segundo proporções áureas que inscrevem o seu comprimento e largura num retângulo de ouro; a forma da voluta obedece à espiral áurea.

As relações áureas estão presentes em diversas atividades artisticas e artesanais.

Disponível em 11 de abril de 2010 – 12:18 - http://demonstrations.Stradivarius..com/GoldenSection/

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As “relações geométricas” em um violino Stradivarius.

Disponível em 11 de abril de 2010- 12:28 - http://demonstrations.Stradivarius..com/GoldenSection/

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NEGANDO A “SECÃO DOURADA”

“Alguns estudiosos negam que os gregos

tinham qualquer associação com a estética proporção áurea.

Por exemplo, Midhat J. Gazalé diz: "Não foi até Euclides, no

entanto, que as propriedades matemáticas da proporção áurea

foram estudados. No Elementos (308 aC), o matemático grego

considerado apenas o número como um número interessante

irracional, em conexão com os racionais médios e extremos.

Sua ocorrência em pentágonos regulares e decagonos foi

devidamente observado, bem como no dodecaedro (um

poliedro regular cujas faces são doze pentágonos regulares).

Na verdade, é exemplar que o grande Euclides, ao contrário

do que as gerações dos místicos seguida, iria tratar esse

número sobriamente para o que é, sem anexar a ele que não

as suas propriedades factual. " e Keith Devlin diz:"

Certamente, a oft repetida afirmação de que o Parthenon, em

Atenas é baseada na proporção áurea é não é suportada por

medições reais. Na verdade, toda a história sobre os gregos e

proporção áurea parece ser desprovida de fundamento. A

única coisa que sabemos com certeza é que Euclides, no seu

famoso livro Elementos, escrito por volta de 300 aC, mostrou

como calcular seu valor.

" Fontes Próximas e contemporâneas de

Vitruvius exclusivamente discutia as proporções que podem

ser expressas em números inteiros, ou seja, proporcionais ao

contrário de proporções irracionais.”

Disponível em 11 de abril de 2010 – 00:27 - http://demonstrations.wolfram.com/GoldenSection/

Imagem pelo autor – programa Sketchup 7 Imagem 87

51

“No período em que as catedrais góticas foram erigidas, havia dois sistemas maçônicos de geometria que eram comumente usados. O mais antigo era conhecido como ad quadratum e baseava-se no quadrado e nos seus derivados geométricos. O mais novo, e emalguns aspectos o sistema mais dinâmico, baseava-se no triângulo eqüilátero e era conhecido como ad triangulum.

O ad quadratum era formado diretamente do quadrado e da sua figura derivada, o octograma. Colocava-se por cima do quadrado inicial - que era orientado segundo a maneira aprovada pelos geomantes e maçons encarregados da orientação - um segundo quadrado do mesmo tamanho. Este, a um ângulo de 450 do primeiro quadrado, formava o octograma, um poligrama de oito pontas. Na tradição maçônica, essa figura foi inventada por um mestre de Estrasburgo, Albertus Argentinus. Nos escritos maçônicos alemães posteriores, essa figura é chamada acht-uhr ou acht-ort, oito horas ou oito lugares. Esses nomes aludem a uma divisão óctupla pagã antiga do compasso, o dia e o ano que eram imitados no edifício como um microcosmo do mundo. A partir desse octograma inicial, toda a geometria da igreja podia ser desenvolvida de duas maneiras.A primeira maneira, o acht-ort verdadeiro, desenvolvia uma série de octogramas internos e externos, traçados diretamente a partir daprimeira figura. Esse sistema. pode ser visto nas catedrais de Ely (ver Figura 26), Verdun, Bamberg e em outras catedrais basicamente românicas. Todavia, à época das últimas igrejas góticas, o sistema ad quadratum refinou-se para uma forma mais complexa baseada mais no quadrado duplo do que no simples. Essa forma, deve-se lembrar, era favorecida desde a antigüidade egípcia como uma forma adequada a um lugar santo.

A segunda e última derivação do ad quadratum produziu o complexo geométrico elegantemente proporcionado conhecido como "dodecaid", um poligrama irregular de doze pontas que se prestou admiravelmente ao planejamento de igrejas. Como o acht-ort simples do ad quadratum primitivo, a figura básica era um octograma.”


Sistemas Maçônicos de Geometria Sagrada.

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52

“O centro, o "uno e absoluto", na iconografia cristã, é um reflexo daquele que só existe em verdade.

Porque sua onipresença era representada pela realização dos sacramentos, o omphalos para o qual todos os raios do edifício convergiam.”


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...”as primeiras dificuldades da Catedral de Milão, surgiram discussões a respeito do sistema proporcional a ser utilizado. Um entendido em proporção, Francesco Giorgi, um monge franciscano que publicara em 1525 um tratado sobre a Harmonia Universal (De Harmonia Mundi Totius), foi encarregado de escrever um comentário sobre o plano de Sansovino. O tratado de Giorgi fundira teoria neoplatônica e cristã, o que produziu o efeito de reforçar a crença já existente na eficácia da razão numérica.

Para essa igreja, Giorgi sugeriu que a largura da nave tivesse nove passos, já que essa medida é o quadrado de três. Três é o primeiro número real nos termos pitagóricos porque tem um começo, um mei e um fim. O comprimento da nave deveria ser três vezes a largura, o cubo simbólico, 3x3x3, que, como a Cidade da Revelação ou o Santodos Santos judaico, contém as consonâncias do Unjverso. A razão entre a largura e o comprimento, 9:27, também é analisável em termos musicais, formando um diapason e um diapente (uma oitava euma quinta). Giorgi, assim, sugeriu a progressão do lado masculino do triângulo platônico para a nave da igreja.”

O caso da construção da Catedral de Milão é de extrema importância no estudo da geometria sagrada. Ele interessa em dois sentidos, o documental e o simbólico. A Catedral de Milão foi fundada em 1386 e, por essa razão, estava no centro de uma encarniçada controvérsia relativa a que forma de geometria sagrada deveria ser utilizada: ad quadratum ou ad triangulum. Um grande número de peritos reuniu-se a fim de determinar o que seria feito na construção dessa obra-prima potencial. Talvez por causa dessa pletora de peritos, desenvolveu-se entre os adeptos de um e de outro sistema uma encarniçada discussão.

Sabe-se que já em 1321, durante a ereção do domo da catedral de Siena, os cinco inspetores escolhidos para examinar a construção objetaram contra a continuação da obra "porque, se terminada como foi iniciada, ela não terá as medidas de comprimento, largura e altura que as regras prevêem para uma igreja". ..


Corte transversal da Catedral de Milão - Itália,

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Catedral de Milão – Itália - AD TRINGULUN

Disponível em 01/05/2010 dcsymbols.com/dc_cathedral/cathedral3.htm

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Cathedral de Chartres – AD QUADRATUM

“Tem havido muitas tentativas de interpretar o geometria sagrada de Chartres. John James aplica uma série de figuras geométricas com o plano. Ele explica que a Idade Média gloriava na multiplicidade, como parte da ordem divina e, "portanto nós não devemos ficar surpresos quando encontramos mais de um sistema geométrico que habita um lugar, cada fluxo sobre o outro, sendo travados juntos em alguns pontos essenciais, como o labirinto eo altar, que expressam a tehreby mosts acred e locais significativos na construção. "

Construção iniciada em 1145 e foi reconstruída após um incêndio de 1194

Disponível em 28/04/2010 - http://67daniel.blogspot.com/2009/06/sacred-geometry-chartres-cathedral.html

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“A base do projeto no início da Idade Média foi a aplicação de uma dimensão padrão ou módulo, multiplicando, sub-divisão e combiná-la. A unidade de medida, no entanto, variam de lugar para lugar, desde o comércio ao comércio e de um mestre de obras para outro. As dimensões básicas foram muitas vezes o pé romano (295 mm), mas poderia ser o pé teutão ou o francês pied du roi, ou o manualis pes, ou de pé e mão, que era de seis quintos do pé romano.

Cathedral de Chartres – AD QUADRATUM



Vários desses módulos foram utilizados por vários mestres de Chartres. Adicionado a esta variedade, havia diversos sistemas de proporção no período gótico. John Harvey explica que "os dois principais sistemas eram conhecidos como quadratum anúncio, baseado em uma praça, e triangulum anúncios com base em um triângulo equilátero. Aplicada para a seção transversal de uma igreja, o triangulum ad sistema naturalmente resultou em uma menor, mais squat proporção de altura e largura. "

Labirinto

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Catedral Gótica de Amiens - 1200 ac


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Catedral Gótica de Amiens - 1200 ac

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Catedral Gótica de Cantembury - 1200 ac


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“O Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci. As idéias de proporção e simetria aplicadas à concepção da beleza humana.

O homem vitruviano (ou homem de Vitrúvio) é um conceito apresentado na obra Os dez livros da Arquitetura, escrita pelo arquiteto romano Marco Vitruvio Polião, do qual o conceito herda no nome. Tal conceito é considerado um cânone das proporções do corpo humano, segundo um determinado raciocínio matemático e baseando-se, em parte, na divina proporção. Desta forma, o homem descrito por Vitrúvio apresenta-se como um modelo ideal para o ser humano, cujas proporções são perfeitas, segundo o ideal clássico de beleza.Originalmente, Vitrúvio apresentou o cânone tanto de forma textual (descrevendo cada proporção e suas relações) quanto através de desenhos. Porém, à medida que os documentos originais perdiam-se e a obra passava a ser copiada durante a Idade Média, a descrição gráfica se perdeu. Desta forma, com a redescoberta dos textos clássicos durante o Renascimento, uma série de artistas, arquitetos e tratadistas dispuseram-se a interpretar os textos vitruvianos a fim de produzir novas representações gráficas. Dentre elas, a mais famosa e (hoje) difundida é a de Leonardo da Vinci.Aplicações

Leonardo di ser Piero da Vinci ( Vinci, 15 de abril de 1452 – Cloux, 2 de maio de 1519) foi um polímata italiano, uma das figuras mais importantes do Alto Renascimento, que se destacou como cientista, matemático, engenheiro, inventor, anatomista, pintor, escultor, arquiteto, botânico, poeta e músico. É ainda conhecido como o precursor da aviação e da balística. Leonardo frequentemente foi descrito como o arquétipo do homem do Renascimento, alguém cuja curiosidade insaciável era igualada apenas pela sua capacidade de invenção. É considerado um dos maiores pintores de todos os tempos, e como possivelmente a pessoa dotada de talentos mais diversos a ter vivido. Segundo a historiadora de arte Helen Gardner, a profundidade e o alcance de seus interesses não tiveram precedentes e sua mente e personalidade parecem sobre-humanos para nós, e o homem em si misterioso e distante.

O Homem Vitruviano

Gênios da pintura, vol. I. São Paulo, Abril Cultural, 1967

Imagens disponíveis em – 21/04/2010http://pt.wikipedia.org/wiki/Vida_pessoal_de_Leonardo_da_Vinci

O homem sempre tentou alcançar a perfeição, seja nas pinturas, seja nos projetos arquitetônicos, seja até mesmo na música.

Arte.

A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Essa proporção estaria ali aplicada pelo motivo de o autor representar a perfeição da beleza. Em O Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. Na história da arte renascentista, a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nessa constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção lhes dava para retratar a realidade com mais perfeição.

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, utiliza o número áureo nas relações entre seu tronco e cabeça, e também entre os elementos do rosto.”

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Cosmologia

modelo de Kepler, sólidos platônicos

do sistema solar a partir Cosmographicum Mysterium (1596)

Johannes Kepler (1571-1630)

“Johannes Kepler foi um dos mais importantes cientistas no campo da astronomia. Fundador da "mecânica celeste", tendo sido o primeiro a explicar o movimento planetário. Além de suas teorias sobre a estrutura do universo, Kepler fez progressos importantes no campo da óptica, a sua publicação Stereometrica Doliorum formaram a base de cálculo integral, e também fez avanços importantes em geometria. Além desses grandes avanços, Kepler também explicou como as marés foram influenciados pela Lua, determinou que o ano exato do nascimento do Cristo, Logaritmos derivados com base em matemática, sem qualquer referência à Napier trabalho de John, e é responsável por encontrar as três leis da movimento planetário. - Primeira Lei de Kepler: A órbita de um planeta sobre o Sol é uma elipse com o Sol, o centro de massa em um dos focos. - Segunda Lei de Kepler: A linha que une um planeta eo Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. - Terceira Lei de Kepler: Os quadrados dos períodos dos planetas são proporcionais aos cubos dos seus semi-eixos principais. Você também pode se surpreender ao saber que Kepler era um homem muito religioso, que encontrou uma forma de crédito a Deus por cada descoberta que ele iria fazer, para não mencionar sua própria vida e carreira. Kepler tinha originalmente planejado para se tornar um sacerdote, mas foi atraído para o mundo da ciência. Além disso, ele era da fé luterana, que lhe causou muitos problemas ao longo de sua vida, desde que a Alemanha era parte do Sacro Império Romano até sua dissolução 1806. Always sendo perseguidos pelos católicos, Kepler teve que mudar várias vezes devido à pressão da Igreja, mas ele não converter. Além disso, os matemáticos não estavam em grande demanda na época, e Kepler não tinha muito dinheiro muito para sustentar sua família. Ele viveu em pobreza, e morreu na pobreza, mas uma coisa é certa, ele era muito prolífico, e seu trabalho não morreu com ele. Como muitos gênios assim antes e depois dele, Kepler nunca conheceu a fama ou fortuna, mas sem a sua perseverança e força de caráter, para não mencionar suas muitas descobertas importantes, quem sabe quanto tempo teria levado para se começar a compreender o verdadeiro estrutura do universo. “

http://translate.google.com.br/translate?hl=pt-BR&langpair=en%7Cpt&u=http://www.johanneskepler.com/

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Os Árabes e a Geometria

Dispon´vel em_ 22/05/2101www.atelie.com.br/shop/detalhe.php?id=385

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“

“

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Geometria Sagrada no Renascimento

“Uma obra-chave para a compreensão dessa

nova geometria é o primeiro tratado arquitetônico da

Renascença, De re aedificatoria, escrito entre 1443 e 1452

pelo arquiteto Alberti. As origens pagãs de suas idéias estão

mais claramente apresentadas nos seus desenhos para

templos, como ele denomina as igrejas. O círculo, afirma ele,

é a forma primária que, acima de todas as outras, é

favorecida pela natureza, começando-se pela própria forma

do mundo. Para os templos, Alberti demonstra o uso de nove

figuras geométricas. Utiliza o círculo, cinco polígonos

regulares (o quadrado, o hexágono, o octógono, o decágono e

o dodecágono) e três retângulos (o quadrado e meio, o

quadrado e um terço e o quadrado duplo).

A partir dessas plantas baixas, Alberti

desenvolve anexos geométricos que servem como capelas

laterais. Estas são retangulares ou semicirculares na forma e

estão relacionadas radialmente ao ponto central. Com a

adição de figuras geométricas simples ao poIígono básico ou

círculo, pode-se produzir uma classe quase infinita de

configurações.

Alberti inspirou-se nos edifícios vitruvianos da

era clássica, mas, estranhamente, a forma central que ele mais

privilegiou não era comum nos templos daquele período.

Apenas três templos redondos restaram dos tempos clássicos -

o famoso Panteão e dois pequenos templos peripteriais em

Tivoli e em Roma.


A grande maioria dos templos clássicos seguia,

naturalmente, um plano retangular. Toda via, durante a

Renascença, outros edifícios poligonais da antigüidade -

como o "templo de Minerva Médica", dodecagonal, em

Roma, na verdade o nymphaeum dos Orti Licianini, e as

primeiras estruturas cristãs, tais como o Santo Stefano

Rotondo e Santa Constanza - eram considerados como

templos antigos. Vitruvio nem mesmo chegou a incluir

edifícios redondos entre as sete classes de templos

enumeradas no seu Terceiro Livro, mas, ao invés,

mencionou-os em forma de apêndice no Livro Quarto ao

lado da aberrante forma toscana. Todavia, a predileção de

Alberti pela forma poligonal, influenciada pelos Sólidos

Platônicos, justificava-se com o pretexto de que

representava uma volta à simplicidade litúrgica da Roma

de Constantino. Naquele período, o Colégio Romano de

Arquitetos foi compelido a transferir sua perícia do

desenho dos templos para os pagãos à criação de igrejas

para a nova fé oficial. O período constantiniano foi

especialmente poderoso para a mentalidade da

Renascença, pois que ele representava o único ponto de

fusão da arquitetura clássica totalmente desenvolvida com

a fé pura do Cristianismo Imperial”

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A Basílica de Santa Maria Novella é uma igreja em Florença, na Itália. Situa-se no noroeste da parte antiga da cidade, na piazza de mesmo nome, quase junto à principal estação ferroviária florentina.

No século IX, ali havia o pequeno oratório de Santa Maria delle Vigne; em 1049 foi construída a pequena Santa Maria Novella, concedida em 1221 aos dominicanos. A ampliação principia em 1279, seguindo o projeto de Fra Sisto da Firenze e Fra Ristoro da Campi. Completa em meados do século XIII, a nova igreja só é consagrada, pelo papa Eugênio IV, em 1420.

Giorgio Vasari foi o arquiteto da reforma levada a cabo entre 1565 e 1571 , que removeu o recinto do coro e reconstruiu os altares laterais. Já entre 1858 e 1860, reformou-se novamente a basílica, sob ordens de Enrico Romoli.

O interior, em forma de cruz latina, é subdividido em três naves, a central com cem metros de comprimento.

A basílica de Santa Maria Novella está incluída no sítio Centro Histórico de Florença,Património Mundial da UNESCO.

A fachada, completada por Leon Battista Alberti em 1470

Leon Battista Alberti (Génova, 18 de Fevereiro de 1404 — Roma, 20 de Abril de 1472)

Foi um arquiteto e teórico de arte: um humanista italiano, ao estilo do ideal renascentista e filósofo da arquitetura e do urbanismo, pintor, músico e escultor.

Sua vida é descrita em Vite, de Giorgio Vasari. Personificou o ideal renascentista do «uomo universale», ou seja, o letrado humanista capaz em numerosos campos de atividade.

Disponível em 20/04/2010 - www.mega.it/eng/egui/monu/smnbas.htm

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“Andrea di Pietro della Gondola, vulgo Palladio (Pádua, 30 de novembro de 1508 — Vicenza, 19 de agosto de 1580) foi um grande arquitecto italiano, pupilo do polímata Gian Giorgio Trissino, o qual lhe deu o nome de Palladio, o fim de completar a sua formação.

Apoiando-se nos ensinamentos do grande Vitrúvio, restituiu à atualidade a tipologia das casas e dos templos clássicos, entre eles La Rotonda, Villa Barbaro, Palazzo Thiene e o teatro Olímpico na cidade de Vicença. Concebeu a Arquitetura como uma organização de espaços regulados por leis matemáticas e harmónicas, tendo projectado fachadas em função da planimetria e volumetria internas das respectivas casas.

Escreveu pelo menos quatro livros sobre arquitetura e influenciou o desenvolvimento da arquitectura europeia.

A sua criação mais famosa é La Rotonda, considerada um resumo da Arquitectura Palladiana. O projecto, que inclui um domo que se eleva acima de um cubo, é simples e recebeu reconhecimento imediato pela perfeita harmonia com a paisagem ao redor.”

Escultura de Palladio – Padua - Itália

Palladio

Dispon´vel em: 13/05/2010 - http://www.eesc.usp.br/babel/Palladio_biografia.htm

San Francisco – Scala de Palladio

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“Palladio foi um dos maiores expoentes da geometria sagrada da Renascença. Em seus influentes Quattro libri dell'architettura, tentou elaborar um exame geral de toda a arquitetura. Ele, naturalmente, acentuou seu débito para com Vitrúvio, e também Alberti. Todavia, foi a Vitrúvio que Palladio deveu sua maior inspiração. Para ele, Vitrúvio era a chave dos mistérios da arquitetura antiga, seus sistemas de proporção e seu simbolismo oculto. Mas Palladio não possuía apenas um conhecimento acadêmico da arquitetura clássica. Ele viajara por toda a Itália visitando os restos desses edifícios e produzindo esboços detalhados das medidas a fim de verificar as afirmações vitruvianas.

Palladio escreveu: "Embora a variedade e as coisas novas agradem a todos, elas não devem ser executadas ao contrário dos preceitos da arte e ao contrário daquilo que a razão dita; donde se depreende, que embora os antigos variassem, eles nunca se afastaram das regras de arte universais e necessárias".

Projeto original da Villa Rotondo,

Com esse exioma em mente, Palladio pôs-se a reinterpretar a geometria sagrada clássica antiga no desenho de seus memoráveis edifícios. As villas de Palladio foram desenhadas com uma simetria rígida derivada de uma única fórmula geométrica. Os compartimentos e seus pórticos foram baseados num retângulo dividido por duas linhas longitudinais e quatro linhas transversais. A sua obra mais famosa é a Villa Rotondo, um desenho magistral que gerou muitas imitações inferiores. Aparentemente, o desenho é mais adequado para um edifício religioso, já que é óbvia nele uma origem cósmica. Em essência, é composto do quadrado quartado da terra que suporta o domo circular do céu. Em todos os edifícios de Palladio, as razões harmônicas são utilizadas no interior de cada compartimento e na relação de cada compartimento com um outro. A velha geometria sagrada dos templos pagãos foi refinada num sistema que serviu às residências palacianas dos ricos.”

Disponível em 10/05/2010 - www.lehman.edu/.../ideas/cristal_palace.html

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“Aplica-se o termo barroco hoje em dia à arquitetura dos séculos XVII e XVIII, tendo sido originalmente um pejorativo derivado da palavra italiana baroco. Essa palavra foi usada pelos filósofos da Idade Média para descrever qualquer idéia por demais complexa ou qualquer conceito intrincado. Também se aplicava a algo bizarro ou disforme, por exemplo uma pérola, e pressupunha a quebra dasregras canônicas da proporção ao capricho do artista ou arquiteto.

Assim, o Barroco, como o movimento Art Nouveau posterior, era visto pelos puristas como degenerado por causa do seu ponto de partida mais ou menos distanciado do cânone rígido da arquitetura clássica.

A arquitetura barroca pode ser vista como uma continuação da revitalização clássica da Renascença. Na verdade, os primeiros edifícios em estilo barroco enquadram-se perfeitamente na tradição e podem ser distinguidos apenas por diferenças de detalhe na manipulação do ornamento. Todavia, o Barroco propriamente dito rompe com o estilo recomendado da arquitetura romana e este fatoestá refletido em sua geometria subjacente.

Afirma-se amiúde erroneamente que na geometria sagrada clássica as formas dos edifícios devem ser relacionadas simplesmente às figuras geométricas principais. No Barroco vemos a primeira evasão deste conceito, pois, embora as formas se relacionem às figuras geométricas familiares, elas devem estar relacionadas a um ou dois intervalos. Assim, uma forma comum nos interiores da igreja barroca é o oval. Essa forma, como seus precursores espirituais na era megalítica, pode ser baseada em figuras significativas como o triângulo 3:4:5 pitagórico. Ao passo que as fachadas das igrejas e das catedrais barrocas ainda utilizavam combinações de retângulos de raiz, as plantas baixas aumentavam o número de liberdades.


Os edifícios de Gianlorenzo Bernini demonstram admiravelmente as complexidades da geometria sagrada barroca. Seu S. Andrea al Quirinale, em Roma, construído como uma igreja para noviços jesuítas, entre 1658 e 1670, era um oval transverso de setenta

pés por quarenta, em desafio deliberado à orientação tradicional do altar ao longo do eixo. Desse oval emergem oito capelas laterais que, com o nicho ocupado pelo altar elevado e pela entrada no lado oposto, fornecem uma geometria décupla. Nunca antes fora tentadoum plano como este, que não tem paralelo em termos geométricos.

Muitos anos antes, o excêntrico arquiteto sagrado Francesco Borromini construíra igrejas segundo um sistema ad triangulum modificado.

Embora tenha sido feita uma breve tentativa, durante a construção da Catedral de Milão, de se usar o ad triangulum, o sistema era extremamente incomum na Itália antes do século XVII.”

Imagem: disponível 08/05/2010 – 16 hs –http://www.vivercidades.org.br/publique_222/web/media/aleijadinho_3plantas.jpg

A Geometria Sagrada do Barroco

Barroco Mineiro – Brasil Sec. XVIII

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Borromini_SantIvo_

Disponível em 23/05/2010 - http://images.google.com.br/images?um=1&hl=pt-BR&tbs=isch:1&q=borromini&sa=N&start=36&ndsp=18

Francesco Borromini (Bissone, no lago Lugano, hoje pertencente à Suíça, 25 de Setembro de 1599 - Roma 3 de Agosto de 1667) foi um arquiteto barroco, que disputava, em seu tempo, as glórias de Grande Mestre com Gian Lorenzo Bernini.

Francesco Castelli era filho de Giovanni Domenico e de Anastasia Garvo.Ainda jovem mudou-se para Milão com o intuito de estudar arquitetura. Ao chegar a Roma (1619), mudou seu nome para Borromini e iniciou seu ofício trabalhando para Carlo Maderno, parente distante, na Basílica de São Pedro. Falecendo Maderno, em 1629, juntou-se ao grupo de Gian Lorenzo Bernini na conclusão das obras do Palazzo Barberini.

Church of Saint Yves at La Sapienza - 1642-1660

www.telecable.es/.../angel1/arqbar/borromini/


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Francesco Borromini

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“O desenho sem dúvida alguma barroco de Borromini para o Archiginnasio, depois sede da Universidade de Roma e mais tarde ainda dos Arquivos Estatais Italianos, incorporou a pequena igreja de Santo Ivo. Ela fora desenhada segundo o plano do Selo de Salomão, dois triângulos interpenetrantes. A planta baixa está embelezada pelo desenvolvimento de vértices alternados do selo em recôncavos semicirculares simples e pelo fechamento dos outros a meio caminho por traços convexos. Paredes convexas e côncavas inte ragem, assim, com pequenas paredes intersticiais retas para produzirem um interior ondulante que, não obstante, limita-se rigidamente à geometria sagrada.

Externamente, Santo Ivo ecoa o hexágono do interior. Uma cúpula encimada por seis arcobotantes eleva-se para um remate central que é uma espiral antidextrorsa de três voltas e meia, um eco dos zigurates antigos da Babilônia. Na verdade, muitasilustrações contemporâneas da Torre de BabeI apresentam essa forma espiral.

As três voltas e meia do remate espiral têm paralelo no número de voltas da serpente interna Kundalini do Budismo Tântrico indiano. Borromini aqui passa um recibo do conhecimento arcano manipulado de maneira verdadeiramente moderna.

Na atmosfera conservadora de Roma, a visão genuinamente barroca de Borromini recebeu poucos aplausos. Diferentemente da arquitetura em voga, suas obras baseavam-se mais na pura forma geométrica do que no Homem Vitruviano. Bernini criticou-o, chamando sua arquitetura de extravagante, pois, ao passo que outros arquitetos usavam a estrutura humana como ponto de partida, Borromini baseou seus edifícios na fantasia. Utilizar uma geometria in comum era considerado heresia, pois ela envolvia princípios e conceitos externos à fé cristã. Afinal, não fazia muito tempo que Giordano Bruno fora queimado na fogueira por heresia (1600). Sua idéia neoplatônica do universo como um todo harmonioso era mais ou menos aceitável na Renascença católica, mas as idéias neopagãs expressas em sua geometria não o eram. Ele utilizara explicitamente diagramas geométricos para expressar os atributos de Deus, figuras microscópicas para uma compreensão do macrocosmo.”


O desenho de Borromini para o Archiginnasio

Borromini, o Archiginnasio

www.telecable.es/.../angel1/arqbar/borromini/

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69Dispon´vel em: 27/05/2010 - http://www.maurogiamboi.com/big%20Jpegs/Architecture/Borromini_2.jpg

Arquiteto FrancescoBorromini igreja dde Sainto Yvo da La Sapienza 1642-1660

Geometria da Igreja de Saint Yves at La Sapienza

1642-1660 de Borromini

www.maurogiamboi.com/.../Borromini_1.jpg


70Disponível em: 12/05/2010-- http://images.google.com.br/images?um=1&hl=pt-BR&tbs=isch:1&q=borromini&sa=N&start=36&ndsp=18

Corte

Planta

Domus

Borromini – Igreja de Saint Yves at La Sapienza - 1642-1660

Estrutura gnomônica “fractal”

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Escada “Borromini” – Espiral provoca ilusão de óticaArquiteto FrancescoBorromini igreja dde Sainto Yvo da La Sapienza 1642-1660

Disponível em: 29/05/2010 - http://images.google.com.br/images?um=1&hl=pt-BR&tbs=isch:1&q=borromini&sa=N&start=36&ndsp=18

“Escritores como o místico Jakob Boehme, que viveu no século XVII, expressaram-se longamente sobre símbolos geométricos e alquímicos..

Para Jung, os símbolos do Princípio Divino eram tão importantes para a geografia da mente no século de Boebme, quanto são na idade moderna os postes com letreiros,

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Imagem pelo autor

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AnglicanismoPostura religiosa

Catedral de São PauloObservatório de GreenwichsHampton Court

Conhecido(a) por

Wadham College, Oxford

Alma mater

Arquitetura ,astronomia, física e matemática

Campo(s)

BritânicaNacionalidade

InglaterraResidência

25 de Fevereiro de 1723 (90 anos)Londres, Inglaterra

Falecimento

20 de Outubro de 1632Wiltshire, Inglaterra

Nascimento

Christopher Wren “Sir Christopher Wren, (East Knoyle, Wiltshire, 20 de outubro de 1632 – Londres, 25 de fevereiro de 1723)

Foi projetista, astrônomo, geômetra e o maior arquiteto da Inglaterra, de seu tempo. Wren projetou 51 igrejas em Londres, incluindo a Catedral de São Paulo, considerada uma das obras primas da arquitetura européia, e muitos prédios seculares, também dignos de nota. Foi fundador da Royal Society e seu presidente (1680 -1682), e seus trabalhos científicos eram conhecidos, sendo citados por Isaac Newton e Blaise Pascal.”

“A catedral de São Paulo sempre foi a pedra de toque da reputação de Wren. Sua associação com ela aparece em toda sua carreira, incluindo os trinta e seis anos entre o início e o termino da obra, em 1711.

Ad Quadratun

Disponível em 28/04/2010 - http://www.greatbuildings.com/architects/Sir_Christopher_Wren.html - http://pt.wikipedia.org/wiki/Christopher_Wren

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De acordo com Wren, há duas causas de beleza, a natural e a

convencional. A beleza natural deriva diretamente da geometria e as figuras geométricas

concordam com a "Lei da Natureza" para formarem o mais belo. A beleza convencional

baseia-se na associação e, conseqüentemente, é inferior àquela que deriva

geometricamente. Nas suas igrejas da Cidade de Londres, e na obra-prima da Catedral

de São Paulo, a geometria pode ser vista como o princípio condutor.”

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“No livro O Tract I discute as

intenções da arquitetura, que "visa a

Eternidade". A disciplina da arquitetura é

idealmente eterna e, portanto, baseia-se nas

Ordens Clássicas que são "a única Coisa

incapaz de Modos e de Modas", e, como tal,

representam a verdadeira beleza canônica,

com uma base estética fundada na

geometria.


Estrutura da cúpula

Quando lecionava em Oxford, em 1657,pronunciou uma

conferência em que expôs seus princípios:

"As Demonstrações Matemáticas, constituindo-se sobre as inexpugnáveis

Fundações da Geometria e da Aritmética, são as únicas Verdades que

podem mergulhar na Mente do Homem. Vazia de toda Incerteza; e todos os

outros Discursos participam mais ou menos da Verdade, segundo seus

Assuntos sejam mais ou menos capazes de Demonstração Matemática.”

Assim, para Wren, a geometria era a pedra de toque, a base infalível e

imutável contra a qual todo conhecimento deve ser julgado.”

Ad quadratum Teto da catedral de São Paulo

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MONISMO“Chama-se de monismo (do

grego monis, "um") às teorias filosóficas que defendem a unidade da realidade como um todo (em metafísica) ou a identidade entre mente e corpo (em filosofia da mente) por oposição ao dualismo ou ao pluralismo, à diversidade da realidade em geral. No monismo um oposto se reduz ao outro, em detrimento de uma unidade maior e absoluta.

As raízes do monismo na filosofia ocidental estão nos filósofos pré-socráticos, como Zenão de Eléia, Parmênides de Eléia. Spinoza é o filósofo monista por excelência, pois defende que se deve considerar a existência de uma única coisa, a substância, da qual tudo o mais são modos. Hegel defende um monismo semelhante, dentro de um contexto de absolutismo racionalista. O filósofo brasileiro Huberto Rohden é um grande teórico e defensor do monismo.

Algumas religiões pagãs, utilizam o conceito de monismo para explicar a crença de que tudo o que há foi criado por uma única divindade, neste caso, a figura de uma Deusa Mãe como entidade cósmica primordial.

Disponível em 02/04/2010 - http://www.origamitessellations.com/docs/Haeckel_Kunstformen.pdf



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O Princípio da Unidade

“

A proposta de projeto se apóia nas definições do conceito de Unidade.Robert Lawlor em seu livro Geometria Sagrada define unidade em termos filosóficos:

“O infinito porque excede toda limitação ou descrição mediante a multiplicidade, e excede mesmo assim toda limitação mediante uma unicidade finita, conceitual”

(A vida divina)

“A unidade é um conceito filosófico e uma experiência mística que pode ser expressa matematicamente.

A mentalidade ocidental, contudo, renunciou à disciplina de reconhecer um mistério supra- racional, incognoscível, como seu princípio primeiro.Mas ao abandonar esterespeito a uma unidade simples e incognoscível nossas matemáticas e nossas ciências imagináriastais como as mencionadas acima, e quantidades desconhecidas X que devem ser manipuladas, quantidades ou igualdades , como no pensamento algébrico. Assim, o desconhecido aparece não apenas uma vez, mas em cada momento, e apenas se pode manejar procurando soluções quantitativas.

Nossso pensamento atual baseia-se na seguinte sequência numérica e lógica.

...-5, -4, - 3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5...

Com o zero no centro há uma expansão quantitativa: 1,2,3..., e nosso sentido do equilíbrio exige que haja: -1, -2, -3...do outro lado, o que dá uma série de abstrações não existentes (quantidades negativas) que requerem uma lógica absurda. O sistema tem um ponto de ruptura, o zero que desconecta o contínuo e dissocia os números positivos de série negativa que o equilibra.

Na progressão numérica do antigo Egito, que começava por um em vez de zero, todos os números são ´serie naturais e reais.”

1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4, 5



3 + 0 = 3

3 – 0 = 3

30 = 3 x 10

Mas 3 x 0 = 0

e 3 : 0 = 0 (???)

“Aqui a lógica se rompe por completo. O ilógico

do símbolo foi aceito pela comodidade que oferecia para as

operações quantitativas. No entanto esta ruptura da lógica

simples e natural aritmética permitiu que ocupasse seu lugar

uma lógica mental mais complexa, e se introduzisse nas

matemáticas toda gama de entidades numéricas e simbólicas, das

quais algumas não estão respaudadas por qualquer conceito

verificável, nem por qualquer forma geométrica.

Surgidas a partir do sec. XVI, estas entidades

incluem os números relativos( por exemplo, quantidades

negativas, tais como a raiz cúbica de 10, os números exponenciais

( tais como o e, base dos logaritmos que não satisfaz nenhuma

equação algébrica) os números imaginários, tais como a raiz

quadrada de -1, os números complexos ( a soma de um número

real e de um número imaginário) e os literais ( as letras que

representam fórmulas matemáticas).

A invenção do zero permitiu que os números

representassem idéias que não tem forma. Isto assinala uma

mudança na definição da palavra “idéia” que na antiguidade era

sinônimo de “forma”e leva implicitamente geometria.

A orientação teológica da mentalidade hindu não permitiu que se

colocasse o zero no início das séries. O zero foi colocado depois

do nove. Não foi senão em finas do sec. XVI na Europa, no

alvorecer da “idade da razão”, quando o zero foi colocado na

frente d o 1 permitindo assim o conceito de números negativos.

O zero não só se tornou indispensável no sistema

matemático em que repousa nossa ciência e nossa tecnologia,

como também, implicitamente, se transferiu para nossa filosofia e

teologia, para a nossa maneira de ver a natureza, para nossas

atitudes perante nossas próprias naturezas e ao meio ambiente.

Vimos como na índia a adoção do zero se associou

uma doutrina que negava a realidade do mundo material. O nome

sânscrito do zero, Sunia, que significa “vazio”, torna-se “cifra”

em latim, que tem o significado de nulo ou nada. Ocioso é dizer

que “nada” é um conceito diferente do de “vazio”.

Também naquela época na índia a palavra

sânscrita maya assumiu um novo significado. Originalmente

significava”O poder que divide” ou a “mente que divide” mas

naquele momento começou a significar “ilusão”, ou o aspecto

material do universo como ilusão.

Podemos ver outra face desse niilismo espiritual

no materialismo ocidental após a revolução industrial, quando o

aspecto espiritual da realidade chegou a ser considerado

ilusório.”


“

A mentalidade ocidental racionalista

negou o antigo e venerado conceito espiritual da

unidade já que com a adoção do zero, a unidade perde

sua primeira posição e

torna-se meramente uma quantidade entre as outras

quantidades. O advento do zero nos permite considerar

qualquer coisa que esteja por baixo das séries de

números quantitativos como nulo ou insignificante,

enquanto qualquer coisa que esteja além da gama

quantitativamente compreensível se torna uma

extrapolação, oculta sob a palavra Deus e considerada

religiosa ou supersticiosa . Daí que o zero proporcione

um marco para o pensamento ocidental para o

desenvolvimento do ateísmo e da negação do

espiritual.

Do ponto de vista do mundo natural, o

zero não existe: É uma entidade completamente

mental. Mas o impacto deste símbolo foi tão grande

que impulsionou a física supostamente empírica do se.

XIX a aotar uma teoria atômica segundo a qual a

matéria é composta de diminutos blocos de construção,

pequenas esferas flutuando num vazo como um zero. O

zero continuou orientando a visão do mundo

decimônico,

Mediante a idéia de que existe uma

separação entre quantitativo e não quantitativo; o

grau extremo desta idéia era de que tudo o que é não-

quantitativo é não existente, isto é zero.

A física nuclear do século XX já não

concebe o átomo como uma partícula separada que

atrai ou repele, pois estabelece um campo ou matriz

de campos de energia, cujas partículas e desenho

estão interconectadas e em perpetua transformação.

Partículas que não se distinguem do processo;

matéria que não se distingue dos acontecimentos.

Como um firmamento, o que antes se pensava ser um

vazio negro com corpos flutuando no seu interior,

agora afirma-se que está pleno de substância energia.

Entre um corpo estelar e a regiões que o

rodeiam há um campo continuo do qual o corpo

estelar é apenas uma densificação.

Ao mesmo tempo em que nos afasta da

visão do se. XIX, tanto microscópica, como

macroscópica, a ciênciaa atual nos mostra uma

contínua flutuação e alternância entre matéria e

energia, confirmando- nos que no mundo natural não

existe zero.


“A noção de zero teve também efeito em nossas conceituações psicológicas. Idéias como a finalidade da morte e o medo de enfrentá-la, separação do céu e da terra, toda gama de filosofias existenciais baseadas no desespero e no absurdo de um mundo que desemboca no não ser, todas elas muito devem à noção de zero. Víamo-nos a nós próprios como indivíduos separados, que se moviam num espaço que era diferente de nós próprios. Mas estes conceitos também estão perdendo sua influência.

Tivemos que aprender que não existe lugar onde possamos nos desfazer das coisas que acabamos de utilizar, que a descarga do nosso lavabo não nos conduz a zero.. Não existe fábrica, tubagem ou vazadouro algum no solo que conduza a qualquer parte. Tudo permanece aqui, conosco. Os ciclos de crescimento, utilização e desgaste continuam interrompidos. Não existe a garrafa de usar e jogar fora.

Com o zero, temos no início das matemáticas modernas um conceito que filosoficamente é enganoso e que cria uma separação entre nosso sistema de símbolos numéricos e a estrutura do mundo natural. Por outro lado, com a noção de unidade que governava as antigas matemáticas, não existe esta dicotomia.

A noção de unidade contínua, literalmente, impensável; simplesmente porque para que qualquer coisa seja, exista, deve como verdadeira afirmação de si mesma, negar aquilo que não é.

O frio só é frio porque é a negação do calor. Para que uma coisa seja, seu oposto também deve ser. Dá-se então no começo do mundo criado a contingência da divisão da unidade em dois. Com o dois começam os números. Esta mesma lei governa nossa compreensão, já que para poder compreender qualquer estado objetivo, devemos reconhecer e negar seu oposto.”Diz R.A.Schwaller de Lubics:“O número um só é definível através do número dois: é a multiplicidade que revela a unidade... A inteligência das coisas só existe através do que poderíamos chamar um fracionamento original e a comparação destas frações entre si, o qual mais do que uma enumeração dos aspectos da unidade”

Imagem 145

1

79

“Ernst Heinrich Philipp August Haeckel

(Potsdam, 16 de Fevereiro de 1834 - Jena, 9 de Agosto de 1919),

Foi um naturalista alemão que ajudou a popularizar o trabalho de Charles Darwin e um dos

grandes expoentes do cientícismo positivista.

Foi médico e um artista versado em ilustração que se tornaria professor em anatomia comparada.

Foi dos primeiros a considerar a psicologia como um ramo da fisiologia. Propôs alguns termos utilizados

frequentemente como filo e ecologia. Os seus principais interesses recaíram nos processos evolutivos e de

desenvolvimento e na ilustração científica.

O seu livro Kunstformen der Natur (Formas de Arte da Natureza) é um conjunto de ilustrações

de diversos grupos de seres vivos.

As observações científicas de Haeckel levaram à proposição de uma ligação entre

a ontogenia (desenvolvimento da forma) e a filogenia (descendência evolutiva), mais tarde chamada

de teoria da recapitulação e consubstanciada na expressão "a ontogenia recapitula a filogenia".

Ernst Haeckel declarava-se um pensador adepto do monismo.”

Formas de Arte da Natureza - Ernst Haeckel

Aos 40 anos

Aos 80 anos

A obra do naturalista Ernst Haeckel ilustra os princípios monistas que a

proposta de projeto adota e demonstra que na natureza estão ocultas formas geométricas

proporcionais: espirais logarítmicas, esferas, semi-esferas, secção áurea, triângulos,

quadrados, pentágonos , exágonos, eptágonos, octogonos, eneágonos, dodecaedros e

fractais.


Imagem 151

Imagem 152

80Disponível em 02/04/2010 - - http://www.origamitessellations.com/docs/Haeckel_Kunstformen.pdf

“Muitas formas observadas na natureza podem estar relacionadas à geometria. Por exemplo: o Nautilus septadas cresce a uma taxa constante e por isso sua casca forma uma espiral logarítmica para acomodar o crescimento sem mudar de forma. Além disso, as abelhas constroem células hexagonais a realizar o seu mel. Essas e outras correspondências são vistas pelos crentes na geometria sagrada é mais uma prova da importância cósmica de formas geométricas. Mas alguns cientistas ver fenômenos como o resultado lógico de princípios naturais.”

Ammonitida.jpg

Espiral áurea


Imagem 154

81

Ernst Haeckel – já intuía as estruturas fractais?


Estruturas Simetrícas


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Ficheiro:Haeckel Polycyttaria.jpgFicheiro:Haeckel Phaeodaria 1.jpg



83

A 46a ilustração do livro Kunstformen der Natur: Cnidários da ordem Anthomedusa.

Disponível em 02/04/2010 - http://pt.wikipedia.org/wiki/Kunstformen_der_Natur http://www.origamitessellations.com/docs/Haeckel_Kunstformen.pdf


Geometria intrínseca às formas orgânicas

Imagem 160

Imagem 161

84Disponível em 02/04/2010 - http://www.origamitessellations.com/docs/Haeckel_Kunstformen.pdf


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Ad triangulunImagem 164

Imagem 165





Ad Quadratun





Espiral áurea


Estrutura Fractal – Auto-similaridade estatística


Geometria intrínseca às formas orgânicas


91

“Por volta de 1905, só os arquitetos versados no saber maçônico antigo, ou, de fato, os franco-maçons praticantes, estavam interessados nas sutilezas da geometria canônica. Muito do interesse passou para teóricos arquiteturais acadêmicos, como Lethaby. Maskell que escreveu: "Nossos predecessores acreditavam muito naquilo que a psicologia moderna chama de mente subconsciente. (...) “O sentido interno‘”fazia todas as avaliações inconscientemente., via de regra, em suas obras, mesmo nos assuntos mais abstrusos da acústica e da ventilação". Esta afirmação de Maskell , naturalmente, não faz sentido.

Não se erige por meios "inconscientes" uma catedral como a de Salisbury. com uma torre de cento e cinquenta metros, que resistiu por setecentos anos.

Edifícios como esse são o resultado de uma avançada tecnologia de arquitetura, planejados de acordo com os princípios seguros da geometria.


catedral de Salisbury

PlantaTeto Teto

Por volta do começo deste século, a idéia de progresso. demonstrada tão convincentemente por avanços tecnológicos como as telecomunicações, a luz elétrica e os veículos a motor, tornou impossível crer no o fato de que os construtores da Idade Média tivessem possuído planejamentos inteligentes. As plantas de execução dos arquitetos medievais repousam esquecidas nas bibliotecas das catedrais. de maneira que a teoria "do inconsciente" era uma desculpa conveniente.” Maskell via no simbolismo das catedrais a atuação insensata de autômatos ignorantes, levando à frente a sua tarefa de uma maneira inconsciente. Jung mostrara que os padrões arquetípicos gerados espontaneamente correspondiam com perfeição ao simbolismo tradicional da geometria sagrada, de maneira que aquela interpretação era inevitável.

O núcleo da corrente ortodoxa da geometria sagrada fora relegado aos livros e às revistas de corpos ocultistas e às teorias de indivíduos excêntricos como Claude Bragdon e Antoni Gaudí”.

Catedral de Salisbury. In Infopédia [Em linha]. Porto: Porto Editora, 2003-2010. [Consult. 2010-05-15].Disponível na www: <URL: http://www.infopedia.pt/$catedral-de-salisbury>



Imagem 179

92

Antonio Gaudí i Cornet (Reus ou Riudoms, 25 de junho de 1852 — Barcelona, 10 de junho de 1926)

Foi um arquiteto catalão, um dos símbolos da cidade de Barcelona, onde se educou e passou grande parte da vida. Aparece como um arquitecto de novas concepções plásticas ligado ao modernismo catalão (a variante local da art nouveau).

Parc Güell, Colònia GüellProjetos

Sagrada Família, Casa Milà, Casa Batlló

Obrasprincipais

Trabalhos

Barcelona, Catalunha, EspanhaLocal de Falecimento

10 Junho de 1926 (com 73 anos)Falecimento

Reus ou Riudoms (Catalunha, Espanha)

Local de Nascimento

25 Junho de 1852Nascimento

Antonio GaudíNome

Personal information

Antonio Gaudí

Antoni Gaudí e Cornet, em foto de 15 de março de 1878, Barcelona, Espanha, por Paul Audouard

O estudo da obra de Galdi se justifica na elaboração deste projeto de pesquisa, pois sua obra foi desenvolvida tendo como base as tradições espanholas de estudos de Geometria herdadas dos mouros. Percebe-se na sua obra a utilização de estruturas geométricas semelhantes às encontradas nas formas naturais.

Antoni Gaudí é uma figura importante, se não enigmática, na arquitetura moderna. Católico romano devoto, Gaudí considerava toda ação um ato de piedade, e não menos a sua arquitetura. Mais por conveniência do que por fundamentação lógica, os historiadores da arte categorizam suas obras únicas de fantasia canônica no saco de gatos do Art Nouveau. Os escritores tenderam aenfatizar o bizarro ou o aspecto inovador da sua obra em detrimento da tradição canônica dentro da qual ele operava conscientemente.

Embora sublinhem as inscrustações orgânicas - os azulejos policromados, os bonecos de cacos de cerâmica, os ferros retorcidos e as paisagens de pesadelo são um sistema de geometria sagrada cujas origens podem ser remontadas ao ad triangulum medieval da Catedral de Milão e aos esquemas proporcionais de Vitrúvio.”

Sagrada Família – Barcelona - Espanha


Biografia extraida de : http://pt.wikipedia.org/wiki/Antoni_Gaud%C3%ADImagem 180

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Antonio Gaudí

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“A obra-prima de Gaudí, cuja construção ainda está em andamento, foi o Templo Expiatório da Sagrada Família (a Sagrada Família). Esse edifício enorme, que levará um outro século para ser completado, foi concebido como um símbolo do renascimento cristão da cidade de Barcelona. Gaudí trabalhou muitos anos no projeto, que ainda era fragmentário por ocasião da sua morte em 1926. Seus planos e modelos foram grandemente destruídos durante a Revolução Espanhola dos anos 1930, mas seus seguidores reconstruíram-nos posteriormente a partir de material já publicado.

Pretendia-se que a Sagrada Família fosse a progressão lógica da arquitetura gótica "libertada do flamboyant", com a utilização de técnicas modernas para evitar a necessidade de expedientes estruturais tais como os arcobotantes.

Desenho de Gaudi da Igreja da Sagrada Família

Escadaria em espiralNa igreja da Sagrada Família

Desenho de Gaudi da Igreja da Sagrada Família

De fato, o interesse de Gaudí pela geometria sagrada fez dele um dos primeiros arquitetos dos tempos modernos a empregar o arco parabólico e, por essa razão, seus edifícios contêm aquilo que à primeira vista parece ser um conceito ridículo - pilares inclinados. Estes pilares, todavia, são o resultado de se considerar a construção de um edifício como um todo que integra mecânica e organicamente todas as partes de maneira que ela ecoe espiritualmente, se não funcionalmente, a natureza "abrangente" da arquitetura gótica.

Diferentemente dos edifícios "copiados", A Sagrada Familia enquadra-se verdadeiramente na tradição da geometria sagrada porque utilizou esse sistema para determinar as suas formas. Essas formas, verdadeiramente modernas para a época, devem pouco ou nada aos estilos passados e, por causa da sua geometria subjacente, são adequadas ao propósito para o qual foram planejadas. Este fato, e não a forma externa, separa a arquitetura realmente sagrada da arquitetura meramente inventada ou derivada.”


http://pt.wikipedia.org/wiki/Antoni_Gaud%C3%AD


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Igreja da Sagrada Família

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“Cripta de la Colònia Guel” (1898-1915)Esta cripta se situa em Santa Coloma de Cervelló, nas proximidades de Barcelona. Possui planta poligonal assimétrica, além de arcos que equilíbram e concentram as forças da construção. Gaudí começou a projetar esta cripta em 1898, com o pedido de Conde Guell.

A construção não foi acabada. A cripta, que foi a única parte efetivamente construída, possuí tons acizentados e características orgânicas,combinando com o exterior. O edífício é feito principalmente de pedra, contudo possui outros materiais, como por exemplo, tijolos.

A luz é um elemento compositivo da cripta, pois ela se insinua nela de forma mística e reluzente. O uso de vitrais também é evidente. A obra é muito detalhada e rica, tanto no aspecto construtivo como no apecto ornamental.

Antonio Gaudí i Cornet (Reus ou Riudoms, 25 de junho de 1852 — Barcelona, 10 de junho de 1926)

Disponível em 7/05/2010 http://criar.wordpress.com/page/2/

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Imagem 187Usou vários cálculos que eram avançados

para sua época, “Com o objetivo de estudar esta estrutura e a sua capacidade estática, construiu um modelo que incluía uma rede em corda de cânhamo à qual prendeu sacos com chumbo, e que pendurou da cobertura de uma das barracas do estaleiro”. Na construção adotou métodos de forma que não fosse necessário o uso de contrafortes.

Imagem 186

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Primeiro Goetheanum

Primeiro Goetheanum

O Goetheanum Primeiro, uma estrutura de

madeira e concreto projetado por Rudolf Steiner. Foi um

dos dezessete edifícios projetados e supervisionados por

Steiner, entre 1908 e 1925.

Foi concebido como um Gesamtkunstwerk (a

síntese de diversos meios artísticos e efeitos sensoriais),

infundido com significado espiritual.

Criada inicialmente entre 1913 e 1919 para

abrigar o teatro de verão eventos anuais da Sociedade

Antroposófica , se tornou o centro de uma pequena colônia

de buscadores espirituais localizados em Dornach e com

base em torno de Steiner. Inúmeros artistas plásticos

contribuíram para a construção: arquitetos criaram a

inusitada cúpula dupla estrutura de madeira sobre uma

base de curvas de concreto, vitrais adicionado da cor no

espaço, os pintores o teto decorado com motivos alusivos

ao conjunto da evolução humana, e escultores esculpiram

enormes coluna des base, capitéis, arquitraves e com

imagens de metamorfoses, Já durante a construção,

músicos atores e artistas a executaram uma grande

variedade de peças em uma oficina vizinha. Quando o hall

Goetheanum foi concluída, essas performances se

mudaram para o palco localizado em menores de cúpula do

Goetheanum. O auditório estava localizado sob a maior

cúpula.

Este edifício foi destruído por incêndio em, 31 de

dezembro de 1922, 1 de janeiro de 1923. “

Rudolf Steiner

http://www.ppgeufpr.pr.gov.br/arquivos/file/dissertacoes_2006/2006_oliveira.pdf

Imagem 188

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“Na mesma época em que surgiram as maiores obras de Gaudí, as idéias do revivescimento dos rosacruzes e as descobertas teosóficas de Madame Blavatsky estavam sendo sintetizadas pelo gênio oculto de Rudolf Steiner num sistema novo, a Antroposofia. Nem magia nem religião, a Antroposofia pretendia ocupar um novo nicho entre o artístico e o místico. Steiner, fundador e mentor do credo, construiu uma sede que era uma reprodução do espírito dos templos antigos em tudo menos no nome. Incorporando uma geometria sagrada verdadeira, esse templo, conhecido como Goetheanum, era a culminação de muitos anos de pesquisa. Em 1911, Steiner pronunciou uma conferência intitulada The Temple is Man, em que discutiu os princípios que subjazem aos templos da antigüidade.

Todavia, diferiu do historicismo usual dos seus contemporâneos, pois não falava só dos templos antigos, mas também dos do futuro. Estes, entre os quais se incluía o seu Goetheanum (embora na época fosse conhecido como Johannesbau), deveriam diferir dos templos antigos no fato de serem emblemas do homem que recebera o espírito emsua alma.

Em 1914, em Dornach, na Suíça, Steiner iniciou a construção do seu magnum opus, o projetado Johannesbau. Na época, passara da Teosofia à nova Antroposofia e, por conseguinte, os símbolos que pretendia utilizar eram considerados obsoletos. Tendo extraído da teoria do mundo de Goethe a direção de sua nova arte antroposófica, modificou o nome do templo para Goetheanum. Steiner acreditava que o Goetheanum era um desenvolvimento do desenho do templo que provinha da antigüidade até sua época por linha direta. Suas idéias enquadravam-se perfeitamente na tradição que esbocei nos primeiros capítulos - o templo como um símbolo do corpo do homem. Para o Goetheanum, erigiu-se toda uma teoria corrente da evolução espiritual simbólica da arquitetura. Desde os tempos antigos, afirmou Steiner, até a época do Templo de Salomão, reinou o princípio humano. Várias características de sua maneira de ser foram expressas no templo. À época de Cristo, o arco e o domo simbolizavam a encarnação do vivo e a excarnação do morto, e as catedrais góticas, baseadas no padrão da cruz, simbolizavam o sepulcro de Cristo.”


Plantas

Imagem 180

Steiner concebeu 17 edifícios, incluindo a Primeira e Segunda Goetheanums.

Estes dois edifícios, construídos em Dornach, na Suíça, foram destinados para a casa de uma Universidade para a Ciência Espiritual. Três dos edifícios de Steiner, incluindo as de construção do Goetheanum, foram listadas entre as obras mais significativas da arquitetura moderna. Como escultor, suas obras incluem .

O Representante da Humanidade (1922). Esta escultura de madeira nove metros de altura foi um projeto conjunto com o escultor Maryon Edith, que está em exposição permanente no Goetheanum em Dornach.

“Rudolf Steiner (N asceu- 25 ou 27 de fevereiro de 1861- Morreu - 30 de março de 1925)

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97

“Steiner acreditava que, no período medieval tardio, brotara um novo estilo de arquitetura que pretendia abranger toda a humanidade e levá-la a um Deus subido aos céus. Todavia, esse edifício sobreviveu apenas na poesia, o perfeito Castelo do Graal. Foi na direção desse símbolo ideal que Steiner trabalhou.

O Goetheanum, construído, era uma estrutura de dois domos que os incorporava de uma maneira sem precedentes.

Como os templos pagãos antigos, estava orientado na direção leste-oeste, com entrada pelo lado oriental. Um desenho engenhoso, baseado no triângulo 3:4:5 pitagórico, serviu como base para esses dois domos que simbolizavam não só a fusão dos princípios masculino e feminino, mas também a estrutura do cérebro humano. É nessa analogia que a geometria é especialmente engenhosa. No cérebro, a intersecção focal dos dois círculos que compõem a geometria básica do templo, está o corpo pineal. Em termos ocultistas, esse órgão é a sede da alma, o antigo terceiro olho de nossos antepassados arcaicos. Steiner via a pineal em termos do Graal.


Primeiro Goetheanum

Steiner disse várias vezes que as formas arredondadas, art nouveau, do Goetheanum foram exigidas por uma modificação na função de um templo. Na antigüidade, o homem tinha de encarnar e vir das Esferas Cósmicas à Terra, de maneira que o templo devia ser construído de forma retangular para que o ego divino aí pudesse residir. Na época moderna, todavia, o homem elevava-se do túmulo e se manifestava em sua forma etérea. Por essa razão, a forma arredondada era a mais apropriada. E, também porque simbolizava antes o mundo orgânico do que o terreno, o templo foi feito de madeira, um material que se conforma à teoria goethiana da metamorfose. Infelizmente, a insistência de Steiner na madeira tornou-o um alvo ideal dos incendiadores que o queimaram no final de 1922.

Como uma catedral antiga, o Goetheanum foi aborrotado de simbolismo esotérico. Janelas de vidro colorido com motivos adequados expunham a função simbólica do templo. Na entrada, a janela simbólica Ich shaue den Bau (Eu contemplo o edifício) demonstrava que a elevação pretendia representar um homem em pé, apesar de o templo pretender ser um homem. Este planejamento esotérico como parte de um ethos consistente é típico de Steiner, o gênio místico. Quão atípico ele é em relação ao espírito moderno!”

lepomar.blogspot.com/2007_04_01_archive.html

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Segundo Goetheanum

No decurso de 1923, Steiner projetou um prédio para substituir o original. . Este edifício, hoje conhecido como Goetheanum Em segundo lugar, foi inteiramente construído de molde de concreto .

Iniciada em 1924, o prédio não foi concluída até 1928, após a morte do arquiteto. Ela representa um uso pioneiro de concreto, visível na arquitetura e foi concedido o estatuto de protegido como monumento nacional suíço.

O crítico de arte Michael Brennan afirma tratar-se de uma verdadeira obra-prima da " arquitetura expressionista do século 20 ".

Segundo Goetheanum, Oeste e Norte do lado da frente

Segundo Goetheanum, vista lateral do Sul

Salão Performance mostrando esculpidas colunas, vitrais e pintura do teto

O presente Goetheanum, agora o centro de uma comunidade artística ativa, incorporando performances de teatro de sua casa e Euritmia , bem como artistas que o visitam de todo o mundo. A remodelação completa do auditório central teve lugar em meados dos anos 1950 e novamente no final de 1990.

Os vitrais no edifício-tronco presentes desde o tempo de Steiner, o teto pintado e colunas esculturais são repetições e reinterpretações contemporâneas ou daqueles no primeiro Goetheanum.

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http://www.ppgeufpr.pr.gov.br/arquivos/file/dissertacoes_2006/2006_oliveira.pdf

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“No século XIX, muitas das idéias dos séculos anteriores haviam sido rebaixadas a uma mera cópia: O ecletismo

. Os únicos que trabalharam com forças reais foram os engenheiros civis, tais como Thomas Telford e Isambard Brunel, e mais tarde Gustave Eiffel e Louis Sullivan, que produziram edifícios e estruturas cujas proporções oram exigidas pelas restrições da engenharia. Seus contemporâneos, nesse ínterim, contentaram-se em geral em desenvolver cópias servis de estilo mourisco, gótico, romântico, bizantino, palladiano, paladano, neo-renascentista, ou, pior, misturas e sínteses bizarras desses estilos.”

Estraido do livro :PENNICK, NigelGeometria Sagrada, Simbolismo e Intenção nas Estruturas Religiosas .Ed. Pensamento. 1980Torre Eifel Disponível em 03/04/2010 - http://www.franca-turismo.com/eiffel.htm

A Ponte Suspensa Menai ilha de Anglesey. Projetada por Thomas Telford e concluída em 1826, é considerada a primeira ponte suspensa moderna do mundo.

Engenheiro - estrutural

Gustave EiffelArquiteto

Altura

Torre de observaçãoTorre de transmissão de rádio

Uso -

1887-1889Construído -

CompletadaSituação -

Paris FrançaLocalização -

Torre Eiffel

324 metros (1,063 ft)

Louis Sullivan: Carson, Pirie, Scott, Building, Chicago, 1899

Louis Sullivan: Carson, Pirie, Scott, Building, Chicago, 1899.

Imagem 196

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Geometria na era industrial

100

“Le Corbusier é o sobrenome profissional de Charles Edouard Jeanneret-Gris, considerado a figura mais importante da arquitetura e urbanismo modernos. Estudou artes e ofícios em sua cidade natal, na Suíça, e depois estagiou por dois anos no estúdio parisiense de Auguste Perret, na França. Viajou para a Alemanha onde colaborou com nomes famosos da arquitetura naquele país, como Peter Behrens.

Foi para Atenas estudar o Partenon e outros edifícios da Grécia antiga. Ficou impressionado com o uso da razão áurea pelos gregos clássicos. O livro "Vers une Architecture" mostra uma nova forma da arquitetura baseada em muitos edifícios antigos que incorporam a razão áurea, uma proporção matemática considerada harmônica e agradável à visão. Baseado em números do matemático Fibonacci (1170-1250) e na razão áurea dos gregos antigos, criou uma série de medidas proporcionais, o Modulor, que dividia o corpo humano de forma harmônica e equilibrada. Baseava-se nisso para orientar os seus projetos e suas pinturas.

O MODULOR

Charles-Edouard Jeanneret, conhecido por Le Corbusier, nasceu a 6 de Outubro de 1887 em La Chaux-de-Fonds, Suíça,. Com a publicação de «Vers une Architecture» (1923) ele adoptou o nome Le Corbusier, e dedicou todo o seu talento e energia à criação da uma nova e radical forma de expressão arquitectónica. Em 27 de Agosto de 1965 morreu afogado no Mediterrâneo.

Le Corbusier Como pintor, ajudou a fundar o movimento purista, uma corrente derivada do cubismo, nos anos 1920.

Le Corbusier falou repetidas vezes sobre "flanar diante da Porta dos Milagres" e, para abrir caminho através dessa porta, voltou à Seção Dourada. Todo e qualquer objeto de seu escritório estava eventualmente posicionado segundo o Modulor, um sistema rígido e inflexível, ligado a uma forma inconsciente de geomancia. Mas, embora fosse baseado em sólidos princípios antigos, a utilização rígida do Modulor para seja o que for é apenas parte integrante dos métodos disponíveis. Com a tecnologia do mundo moderno, usa-se apenas o hemisfério intelectual do cérebro, rejeitando-se o hemisfério intuitivo. Os geomantes e os geômetras de outrora sempre temperaram seus modelos geométricos com a intuição pragmática, mas a tendência moderna em todas as coisas consiste no extremismo, forçando um sistema à exclusão de todos os outros.”

Diponível em: 13/04/2010 - educacao.uol.com.br/biografias/ult1789u641.jhtm

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“O De Stijl foi conscientemente baseado em princípios metafísicos e em proporções geométricas. Alguns dos seus conceitos derivaram dos escritos de Spinoza (1632-1677), filósofo místico judeu holandês. Spinoza acreditava que os objetos separados e as almas individuais não estão totalmente separadas, mas são aspectos integrais do Ser Divino. Ele escreveu que "toda determinação é uma negação": que a definição das coisas só é possível se se disser o que elas não são.

Isto envolve definir as coisas por seus limites, os pontos em que elas debçam de ser elas próprias e se tornam algo que não são. Da mesma maneira, nos muitos escritos teóricos do De Stijl, a ênfase constante recai sobre as relações entre as coisas: a geometria subjacente é mais importante do que o ser físico.

O arquiteto Theo van Doesburg e o pintor Piet Mondriaan, as luzes condutoras do De Stijl, acentuaram constantemente que seu objetivo era a recriação da harmonia universal. Como Spinoza, eles acreditavam qU6 todas as emoções rompiam esse equilíbrio. Daí seterem esforçado, através da aplicação da geometria sem adornos,por transcender as exigências temporárias do mundo. Spinoza afirmara que a saúde espiritual repousa no amor de uma coisaimutável e eterna. Mondriaan escreveu: "O que é imutável está acima de toda miséria e de toda felicidade: equilíbrio. Por meio do imutável que existe em nós somos identificados a toda a existência; o mutável destrói nosso equilíbrio, limita-nos e nos separa de tudo o que não énós".


Counter-Composition V, pintura de Theo van Doesburg- (1924)

Piet Mondrian – abstração 1925

Artistas e artesãos modernos em busca da “Geometria Sagrada”

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“A sensação geral nos anos 1920 era a de que

uma nova era que estava começando manifestava-se de

diversas maneiras. Na Alemanha, levou à ascensão de HitIer e

à nova ordem do Nacionalsocialismo. Na Rússia, os

bolchevistas tentaram reestruturar a vida à imagem da filosofia

marxista. Artistas rejeitaram o velho academicismo e voltaram,

como a escola De Stijl, àquilo que consideravam formas

geométricas puras, essenciais, desprovidas de ornamentos.

Entre a proliferação de novos credos, a geometria sagrada

platônica antiga ganhou novamente a superfície. Um dos

maiores ourives do século XX, Jean Puiforcat, criou obras

verdadeiramente clássicas cujas formas se baseavam nos

sistemas canônicos antigos de geometria e de proporção. Numa

carta enviada ao Comte Fleury, escrita em 1933, Puiforcat

explicou como descobrira o sistema que utilizava em suas

xícaras e em seus vasos art deco:

"Mergulhei na matemática e bebi em Platão. O

caminho estava aberto. Dele, aprendi os meios aritméticos,

harmônicos e geométricos, os cinco famosos corpos platônicos

ilustrados por Leonardo: o dodecaedro, o tetraedro (fogo), o

octaedro (ar), o icosaedro (água) e o cubo (terra).” Os

desenhos de Puiforcat, muitos dos quais ainda sobrevivem,

trazem como legenda a expressão "Tracé harmonique, figure

dedépart R V2" e demonstram o mesmo esforço pela harmonia

universal eterna que encontramos em todos os períodos de

empenho artístico.”


Artistas e artesãos modernos em busca da “Geometria Sagrada”

John Putforcat- Desenho de Chicara - 1934

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Geometria em Wassily Kandinsky

Kandinsky funda um profundo desejo

espiritual na sua arte. Fascinado pelo simbolismo e

psicologia da cor, relaciona o ato de pintar com a

música, escrevendo

“As cores são a chave, os olhos e o machado; a alma é o

piano com as cordas”

A partir de formas circulares, quadrangulares,

triangulares, ou através da linha, pinta cores

elementares: vermelho, amarelo, azul e representa a

influencia que a música exerce na arte abstrata. A

música, abstrata por natureza, evoca não um mundo

exterior, mas os sentimentos interiores da alma humana.Wassily Kandinsky - Composição VII, 1913

Wassily Kandinsky (1866-1944) - Transverse Line, 1923 141 x 202 cm - Óleo sobre tela

RussoNacionalidade

13 de Dezembro de 1944 (77 anos)Neuilly-sur-Seine

Morte

4 de Dezembro de 1866Moscou

Nascimento

Wassily KandinskyWassily Kandinsky (em

russo: Василий

Кандинский) (Moscou. 4

de dezembro de 1866 —

Neuilly-sur-Seine, 13 de

dezembro de 1944) foi um

artista russo, professor da

Bauhaus e introdutor da

abstração no campo das

artes visuais. Apesar da

origem russa, adquiriu a

nacionalidade francesa.

Disponível em 13/05/2101 - http://clubedegeometria.blogspot.com/2008/04/notao-musical-em-wassily-kandinsky.html-

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“A arte concreta deve ser compreendida como parte do movimento abstracionista moderno, com raízes em experiências como a do grupo De Stijl [O Estilo], criado em 1917, na Holanda por Piet Mondrian (1872 - 1944), Theo van Doesburg (1883 - 1931), Gerrit Thomas Rietveld (1888 - 1964), entre outros. A abstração geométrica testada pelo grupo holandês ecoa, com novos matizes, no manifesto Arte Concreta, redigido por Van Doesburg, em 1930, em oposição a outras tendências abstratas, por exemplo, as professadas pelo grupo Cercle et Carré, fundado em 1929 pelo crítico Michel Seuphor (1901 - 1999) e o pintor Joaquín Torres-García (1874 - 1949), em Paris. O termo arte concreta é retomado por outros artistas, como Wassily Kandinsky (1866 - 1944) por exemplo, popularizando-se com Max Bill (1908 - 1994), ex-aluno da Bauhaus.

Os princípios do concretismo afastam da arte qualquer conotação lírica ou simbólica. O quadro, construído exclusivamente com elementos plásticos - planos e cores -, não tem outra significação senão ele próprio. A pintura concreta é "não abstrata", afirma Van Doesburg em seu manifesto, "pois nada é mais concreto, mais real, que uma linha, uma cor, uma superfície". Max Bill explora essa concepção de arte concreta defendendo a incorporação de processos matemáticos à composição artística e a autonomia da arte em relação ao mundo natural. A obra de arte não representa a realidade, mas evidencia estruturas, planos e conjuntos relacionados, que falam por si mesmos

Judith Lauand, Concreto 61, 1957

Os artistas do movimento op art defendiam a idéia de que a arte deveria ter "menos expressão e mais visualização". Ainda segundo eles, apesar do rigor com que é construída, a obra simboliza um mundo mutável e instável, que não se mantém nunca o mesmo.

Os trabalhos de op art são, em geral, abstratos concretos, e muitas das peças mais conhecidas usam apenas o preto e o branco. Quando são observados, dão a impressão de movimento, clarões ou vibração, ou por vezes parecem inchar ou deformar-se. E, diferentemente do concretismo, onde existe um equilíbrio estático entre as figuras geométricas que compõem a obra, na op art as figuras são colocadas de maneira a causar no observador uma sensação de movimento”

Geometria Concretismo e Op Art

Disponível em 08/05/2010 - 18 hs - http://www.brasilescola.com/literatura/concretismo.htm

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“A invenção do microscópio no século XVII e seu aperfeiçoamento no século XIX levaram à criação de todo um tema científico, o estudo das estruturas microscópicas. Com a descoberta de que os animais, e as plantas em particular, são compostos de células regularmente estruturadas, surgiu um interesse renovado pela geometria.

Cientistas tentaram criar uma base teórica para as estruturas geométricas que estavam observando. Grandes cientistas como Lord Kelvin dedicaram-se a estudar o acondicionamento geométrico das células e chegaram às velhas formas de Arquimedes e de Platão. A obra de F. T. Lewis mostrou que a estrutura celular de vários vegetais tende para o corpo de 14-hedron (tetrakaidekahedron) de Arquimedes.

D'Arcy Thompson, que combinou um conhecimento enciclopédico de escritos clássimos com uma abordagem extremamente perceptiva da biologia, talvez tenha feito a maior contribuição à nossa compreensão da harmonia divina. Na sua obra seminal On Growth and Form, publicada no crucial ano de 1917 (o ano da Revolução Russa, da Teoria da Relatividade de Einstein e do surgimento do De Stijl)


Disponível em: 14/05/2010 - http://images.google.com.br/images?hl=pt-BR&gbv=2&tbs=isch:1&q=microfotografia&sa=N&start=126&ndsp=21

Microfotografia - águaMicrofotografia - células

Microfotografia – organismo marinho

Thómpson delineou as relações íntimas entre a morfologia das estruturas orgânicas e as forças físicas que moldam o cosmos. Thompson afirmou que a estrutura básica é em última instância a mesma tanto no ser vivo quanto no não-vivo e que, assim, pode ser determinada por uma análise física do sistema material das forças mecânicas. Ela representa uma harmonia e uma perfeição intrínsecas, algo exibido por um instrumento musical afinado, obra de verdadeiro artista e de tudo que está "junto" na natureza. A ciência ortodoxa, no presente, afirma que as formas estruturais dos organismos vivos são totalmente controlados por um padrão genético inato impresso no núcleo de cada célula. Thompson acreditava que as formas de vários órgãos e organismos foram moldadas pelas forças físicas que agem sobre elas. Descobriu que a forma dessas estruturas ecoa exatamente a forma da força física. As formas em miríade da estrutura orgânica existem em conformidade com as leis que governam todas as coisas. Sua beleza incrível origina-se no equilíbrio que é intrínseco à sua forma "natural", sua conformidade com as leis geométricas inatas do universo, A concha do Nautilus PeroIado é formada de acordo com a espiral equiangular, como o são os chifres de determinados carneiros. Outras formas geométricas clássicas ocorrem em toda a natureza.”


Geometria e microscópio

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“Na década de 40, técnicos em eletrônica da Alemanha aperfeiçoaram um instrumento que deveria revolucionar nosso conhecimento sobre o mundo microscópico interior da natureza - o microscópio eletrônico. Esse novo instrumento, que utiliza antes os elétrons do que a luz visível, capacitou os cientistas a ver estruturas milhares de vezes menores do que aquelas que eram visíveis com microscópios de luz. Não foi antes dos anos 50 que as técnicas de preparação de espécimens tornaram possível aos biólogos estudar a estrutura dos organismos vivos com qualquer medida de êxito. Todavia, quando muitos vegetais e animais unicelulares foram examinados, verificou-se que eles formavam estruturas inesperadas (conhecidas como "escalas") cujo arranjo e forma aderiam estreitamente aos esquemas antjgos da geo metria sagrada. Sendo estruturas orgânicas produzidas de acordo com as leis enumeradas por Thompson em On Growth and Form, elas demonstram novamente, de maneira convincente, a harmonia divina. Os organismos marinhos que o autor estudou pessoalmente com o microscópio eletrônico demonstram os princípios do ad trian gulum e do ad quadratum desenvolvidos pelos mestres maçônicos da época gótica. Eles são, de fato, reflexos da ordem natural do universo..”

Outras variáveis bastante criticáveis estão delicadamente equilibradas na estrutura universal para possibilitarem a existência da vida. Nos termos da ciência materialista, essas recorrências notáveis são "coincidências" justas, mas em termos metafísicos elas são exigência fundamental do criador. As médias geométricas representadas pelo planeta e pelo homem ecoam a antiga visão de mundo do microcosmo e do macrocosmo. A única diferença é a terminologia moderna, não metafísica.

Não é de todo surpreendente para aqueles que estão conscientes dos ensinamentos antigos o fato de que a pesquisa cosmológica moderna poderia verificar o conhecimento hermético dos antigos.”


...”As idéias dos antigos sobre a ordem universal como um aspecto do criador estão sendo verificadas pela ciência.

Elas não podem mais ser descartadas como fantasias de néscios. No respeitado jornal científico Nature de 12 de abril de 1979 apareceu um artigo de B. J. Carr e M. J. Rees. Intitulado The Anthropic Principie and the Structure of the Physical World, abrangeu de maneira altamente técnica e matemática as "constantes" microfísicas que governam as características básicas das galáxias, das estrelas, dos planetas e do mundo cotidiano. Os autores apontaram "muitas relações divertidas entre as diferentes escalas" do universo. Por exemplo, o tamanho de um planeta é a média geométrica dos tamanhos do universo e do átomo e a massa de um homem é a média geométrica entre a massa de um planeta e a massa de um próton.”

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Geometria e o microscópio eletrônico

Dispon´vel em 01 /05 /2010http://www.grupoescolar.com/a/b/D423D.jpg

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"Maurits Cornelis Escher (Leeuwarden, 17 de Junho de 1898 - Hilversum, 27 de Março de 1972)

Foi um artista gráfico holandês conhecido pelas suas xilogravuras, litografias e meios-tons (mezzotints), que tendem a representar construções impossíveis, preenchimento regular do plano, explorações do infinito e as metamorfoses - padrões geométricos entrecruzados que se transformam gradualmente para formas completamente diferentes, pelas ilusões espaciais que concebeu e pelos padrões que desenvolveu (baseando-se nos desenhos Mouros que observou em Granada, nas suas visitas a Espanha).

Embora tivesse sido péssimo aluno a Matemática, através da sua arte conseguiu cativar os mais reputados Matemáticos e, em particular, os geômetras.

Observando atentamente os seus trabalhos, apercebemo-nos da complexidade criada, quer geometricamente, quer pelas ilusões imaginadas, o que requer várias observações até serem compreendidos - se é que alguma vez o conseguimos...”

É esquisito que eu pareça abordar teorias matemáticas, sem que eu próprio as conheça.M.C. Escher

Escher e a geometria

Sisponivel em 30de Abril de 2010 -http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm21/index.html


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Arquiteto, artista e engenheiro, Santiago Calatrava nasceu em 28 de julho de 1951, em Valência, Espanha.

Disponível em 02/04/2010 - www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/.../santiago.html

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Calatrava e a Geometria

Calatrava cursou a Escola Técnica Superior de Arquitetura em Valência, na qual se pós-graduou em Urbanismo. No entanto, atraído pela matemática envolvida nas grandes obras da arquitetura histórica ele inicia seus estudos de pós-graduação em engenharia civil no Instituto Federal de Tecnologia em Zurique recebendo seu Ph.D. em 1979.

Sempre fascinado pelo estudo da geometria, Calatrava escreveu: “Acredito que a geometria seja fundamental para entender a arquitetura. Meu trabalho é feito por meio da geometria.”. Em sua tese de doutorado sobre a maleabilidade das estruturas, Calatrava desenvolveu o tema guiado pelo lema: "a natureza é mãe e professora". Adepto da arquitetura modular e orgânica, declarou a esse respeito: “Existem diversas lições que alguém pode aprender por meio da natureza, (...), observando plantas e animais.”.

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“Até a década de 1980, os físicos defendiam a

tese de que o universo era governado por leis precisas e

estáticas, portanto os eventos nele ocorridos poderiam ser

previstos.

Porém a teoria do caos mostrou que certos

eventos universais podem ter ocorrido de modo aleatório.

Quando se estudam os mecanismos que

procuram descrever a teoria do caos, os pesquisadores se

deparam com o imprevisível em todos os momentos e em todas

as partes do desenvolvimento teórico.

Bons exemplos de sistemas caóticos são o

crescimento de lavouras e a formação de tempestades, onde

qualquer pequena alteração, direção, velocidade de ventos por

exemplo, pode provocar grandes mudanças num espaço de

tempo maior.”

“Teoria do caos, para a física e a matemática, é a teoria que

explica o funcionamento de sistemas complexos e dinâmicos.

Em sistemas dinâmicos complexos, determinados resultados

podem ser "instáveis" no que diz respeito à evolução temporal

como função de seus parâmetros e variáveis. Isso significa que

certos resultados determinados são causados pela ação e a

interação de elementos de forma praticamente aleatória.

Teoria do caos

do livro – Caos o nascimento de uma nova ciência de James Glaick – vide referências bibliograficas

Para entender o que isso significa, basta pegar um exemplo na

natureza, onde esses sistemas são comuns. A formação de uma

nuvem no céu, por exemplo, pode ser desencadeada e se desenvolver

com base em centenas de fatores que podem ser o calor, o frio, a

evaporação da água, os ventos, o clima, condições do Sol, os

eventos sobre a superfície e inúmeros outros.

Além disso, mesmo que o número de fatores

influenciando um determinado resultado seja pequeno, ainda assim

a ocorrência do resultado esperado pode ser instável, desde que o

sistema seja não-linear.

A conseqüência desta instabilidade dos resultados é

que mesmo sistemas determinísticos (os quais tem resultados

determinados por leis de evolução bem definidas) apresentem uma

grande sensibilidade a perturbações (ruído) e erros, o que leva a

resultados que são, na prática, imprevisíveis ou aleatórios,

ocorrendo ao acaso.

Mesmo em sistemas nos quais não há ruído, erros

microscópicos na determinação do estado inicial e atual do sistema

podem ser amplificados pela não-linearidade ou pelo grande

número de interações entre os componentes, levando ao resultado

aleatório. É o que se chama de "Caos Determinístico“.”

http://e-konoklasta.blogspot.com/2007/11/fractais-geometria-do-caos-egos-e.html

110

Teoria do Caos

Esta teoria estuda o comportamento

aleatório e imprevisível dos sistemas, mostrando uma faceta onde

podem ocorrer irregularidades na uniformidade da natureza

como um todo. Isto ocorre a partir de pequenas alterações que

aparentemente nada têm a ver com o evento futuro, alterando

toda uma previsão física dita precisa.

Uma das idéias centrais desta teoria, é que os

comportamentos casuais (aleatórios também são governados por

leis e que estas podem predizer dois resultados para uma entrada

de dados. O primeiro é uma resposta ordenada e lisa e cujo futuro

dos eventos ocorre dentro de margens estatísticas de erros

previsíveis. O segundo é uma resposta também ordenada, onde

porém a resultante futura dos eventos é corrugada, onde a

superfície é áspera, caótica, ou seja, ocorre uma contradição

neste ponto onde é previsível que os resultados de um

determinado sistema serão caóticos.”

Exemplo de caos

“Um exemplo claro seria uma pedra atirada

numa lagoa, as ondas geradas na queda da pedra se

propagam até as margens, refletem e retornam, cruzando-se

entre si e, portanto, interagindo. Novamente as ondas vão às

margens, porém, já distorcidas devido às reflexões anteriores

e às interações ocasionadas pelos cruzamentos entre si.

Neste momento começam já a ocorrer alguns movimentos

aparentemente caóticos, porém ainda previsíveis pois são

padrões cíclicos das ondas. Mas se começarmos a jogar

pedras aleatoriamente na mesma piscina, quanto mais

jogarmos, mais caótico será o padrão das ondas na

superfície. Imaginemos agora porém, que no fundo desta

piscina exista areia finíssima, apesar dos movimentos

aleatórios na superfície, no fundo haverá determinados

padrões na areia, caóticos sim, mas seguirão a um padrão de

ondas de diversas formas, tamanhos, alturas, estas mudarão

à medida em que o corrugamento da superfície muda, porém

apesar de todo o caos dos movimentos, é reconhecido um

padrão cíclico.”


Disponível em: 01/04/20101 - http://erealityhome.wordpress.com/category/sistemas-dinamicos-complexos//



111

"Efeito Borboleta”

“O efeito da realimentação do erro foi chamado mais tarde por Lorenz de Efeito Borboleta, ou seja uma dependência sensível dos resultados finais às condições iniciais da alimentação dos dados. Assim, qualquer que fosse a distância entre dois pontos diferentes, depois de um tempo os pontos estariam separados e irreconhecíveis.

Normalmente este efeito é ilustrado com a noção de que o bater das asas de uma borboleta num extremo do globo terrestre, pode provocar uma tormenta no outro extremo no intervalo de tempo de semanas.

É por esse motivo que as previsões meteorológicas não são perfeitas. Para serem, precisariam de medidas exatas de muitas variáveis (pressão, temperatura...) e isso é impossível de ser feito. Assim, há erros nas medidas e portanto nas previsões.”

Disponível em: 12/05/2010 - http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090326171658AAx9VWOdo livro – Caos o nascimento de uma nova ciência de James Glaick – vide referências bibliograficas

http://geisiana.files.wordpress.com/2009/09/borboleta.jpgImagem 234

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“Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras

da geometria não-Euclidiana.

A geometria fractal é o ramo

da matemática que estuda as propriedades e comportamento

dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser

explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram

aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada

por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam

a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as

definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana

falham.” O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot,

matemático francês de origem Polónesa, que alcunhou o

termo “geometria fractal” na década de 1970 do século XX,

a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que

significa quebrar.


Na física clássica podemos descrever o

comportamento de um sistema dinâmico geometricamente como o

movimento de um atrator. Já nos sistemas considerados caóticos,

os atratores são denominados atratores estranhos, isto ocorre

pelo elevado grau de incerteza dos resultados destes sistemas.

Os atratores estranhos devem ter estruturas

detalhadas em todas as escalas de magnificação. Em função disto

foi desenvolvido um modelo conceitual chamado fractal, que tem

uma forma geométrica complexa e exibe uma formação estrutural

que tem uma propriedade chamada de auto-similaridade..”

GEOMETRIA FRACTAL

Disponível em 10/04/010 - http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MATEMATICA/MonografiaFractais.pdf

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Vários tipos de fractais foram originalmente estudados como objetos matemáticos.

“Em 1904, Helge von Koch, deu uma definição

geométrica de uma função similar, atualmente conhecida

como Koch snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o

resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um

triângulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados,

o perímetro cresce, e fatalmente se aproxima do infinito. Dessa

maneira, o fractal abrange uma área finita dentro de um

perímetro infinito.”


A idéia dos fractais teve a sua origem no

trabalho de alguns cientistas entre 1857

e 1913. Esse trabalho deu a conhecer

alguns objetos, catalogados como

"demônios", que se supunha não terem

grande valor científico.”

https://www.furb.br/especiais/download/657335-699561/modelo_relatorio_trabalhos.pdf

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Imagem montada pelo autor

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fractais

“A superfície de uma montanha pode ser

modelada num computador usando uma

fractal: começamos com um triângulo no

espaço 3D. Acham-se os pontos centrais

das 3 linhas que formam o triângulo e

criam-se 4 novos triângulos a partir

desse triângulo. Deslocam-se depois

aleatoriamente esses pontos centrais

para cima ou para baixo dentro de uma

gama de valores estabelecido. Vai-se

repetindo o mesmo procedimento mas

fazendo os deslocamentos dos pontos

centrais dentro de uma gama de valores

que em cada iteração é igual a metade da

anterior.

Uma animação com uma fractal que

modela a superfície de uma montanha.”


Artigo publicado em 18/7/2008 17:06:00 na seção Ciência. http://www.artigosbrasil.com.br/109445/o-que-e-geometria-fractal--o-que-e-geometria-fractal-.html

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Imagem montada pelo autor

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“Auto-similaridade exata: é a forma em que a auto-similaridade é mais marcante, evidente. O fractal é idêntico em diferentes escalas. Fractais gerados por sistemas de funções iterativas geralmente apresentam uma auto-similaridade exata.

Quase- autossimilaridade: é uma forma mais solta de auto-similaridade. O fractal aparenta ser aproximadamente (mas não exatamente) idêntico em escalas diferentes. Fractais quase-auto-similares contém pequenas cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou degenerada. Fractais definidos por relações de recorrência são geralmente quase-auto-similares, mas não exatamente auto-similares.

Auto-similaridade estatística: é a forma menos evidente de auto-similaridade. O fractal possui medidas númericas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas. As definições de fractais geralmente implicam alguma forma de auto-similaridade estatística (mesmo a dimensão fractal é uma medida numérica preservada em diferentes escalas). Fractais aleatórios são exemplos de fractais que possuem auto-similaridade estatística, mas não são exatamente nem quase auto-similares.

Entretanto, nem todos os objetos auto-similares são considerados fractais. Uma linha real (uma linha reta Euclidiana), por exemplo, é exatamente auto-similar, mas o argumento de que objetos Euclidianos são fractais é defendido por poucos. Mandelbrot argumentava que a definição de fractal deveria incluir não apenas fractais "verdadeiros" mas também objetos Euclidianos tradicionais, pois números irracionais em uma linha real representam propriedades complexas e não repetitivas.

“Pelo fato do fractal possuir uma granulometria infinita, nenhum objeto natural pode sê-lo. Os objetos naturais podem exibir uma estrutura semelhante ao fractal, porém com uma estrutura de tamanho limitado.


Artigo publicado em 18/7/2008 17:06:00 na seção Ciência. http://www.artigosbrasil.com.br/109445/o-que-e-geometria-fractal--o-que-e-geometria-fractal-.html

Imagem disponível em 12/05/2010 – http://novoshowoffofmanuela.blogspot.com/2009/02/fractais-belissimo.html

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“Na definição de fractal, os problemas de linguagem incluem:

•Não há nenhum significado preciso para o termo "muito irregular".

•Quando se diz "dimensão", pode haver dúvida na definição do conceito, pois

o termo pode ter diversos significados (por exemplo: "tamanho",

"importância, -no sentido de valor-", "ordem de matrizes na representação

matricial de um grupo", "grau", "num espaço vetorial, o número de vetores

de sua base", "num espaço, o número mínimo de coordenadas necessárias à

determinação unívoca de seus pontos", etc.). Porém no caso dos fractais,

dimensão significa estritamente o "número fracionário ou irracional que

caracteriza a geometria de um fractal.".

•Há muitos modos que um objeto pode ser ego-semelhante. Pode-se tentar

explicar como uma espécie de fractais "irmãos gêmeos idênticos", onde existe

a igualdade na semelhança física, porém suas ‘personalidades’ são

diferentes". Isto ocorre quando inicialmente as curvas são alimentadas pelos

mesmos dados, mas em determinado momento, há um desvio nos valores dos

dados, por exemplo, quando observamos dois fractais numa escala 1:1, estes

têm exatamente a mesma aparência, mas se os observarmos numa dimensão

1:1.000.000, as figuras observadas são completamente diferentes.

* Nem todo fractal possui repetitividade, dependendo dos dados inseridos

(principalmente no domínio do tempo) este não terá em escalas menores a

mesma aparência, aparecendo distorções da figura.”


Artigo publicado em 18/7/2008 17:06:00 na seção Ciência.

http://www.artigosbrasil.com.br/109445/o-que-e-geometria-fractal--o-que-e-geometria-fractal-.html

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“Um brócolis como exemplo de um belo fractal natural.

Por exemplo, uma forma euclidiana normal - como um círculo - parece mais aplainada e alisada quando é amplificada. Numa ampliação infinita, seria impossível se diferenciar o círculo de uma linha reta. No caso dos fractais, isto não acontece (embora, também neste caso, quanto mais amplificarmos, mais nos aproximamos da linha reta) em razão da perda de dados ao longo de múltiplas amplificações (desvios acontecem pela imprecisão das inserções seqüenciais dos dados).

A idéia convencional de curvatura representada pela reciprocidade radia, num círculo por aproximação, usualmente não pode ser aplicada em escalas muito grandes, pois o "raio" de curvatura fica fora de escala - daí a "aparência" de uma linha reta.

Com os fractais ocorre o contrário: ao se aumentar a amplificação, revelam-se mais e mais os detalhes - a depender do grau de precisão e da quantidade de casas decimais dos dados inseridos.

As distorções tendendo para a linha reta ocorrem justamente pelo fato de haver "falta de memória" nas máquinas que executam o cálculo. Portanto, um fractal jamais alcançará uma linha reta, salvo quando a fórmula que o constitui assim o permitir.

Galaxia Espiral girassol


Nestes fractais naturais a distribuição das estruturas auto-similares estão contidas por uma espiral áurea. Portanto podemos inferir que seguem as leis da Geometria Sagrada.

Alguns exemplos de fractais naturais

brócolis

Nautilus Chambered

Espiral Dourada

Artigo publicado em 18/7/2008 17:06:00 na seção Ciência.

http://www.artigosbrasil.com.br/109445/o-que-e-geometria-fractal--o-que-e-geometria-fractal-.html


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Imagem pelo autor. Imagem 242

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“Aproximações de fractais (Fractais naturais) são encontradas freqüentemente na natureza. Estes objetos exibem uma estrutura complexa próxima aos objetos matemáticos, porém finitas, se as observarmos em escalas maiores.

Os fractais naturais estão à nossa volta, basta observarmos as nuvens, as montanhas, os rios e seus afluentes, os sistemas de vasos sanguíneos, os feixes nervosos, etc. Com maiores ou menores graus, estas figuras estão classificadas em diversas magnitudes.

Apesar de existirem por toda a natureza e de serem onipresentes, estes objetos somente foram realmente estudados a fundo no século XX.

Os Fractais são normalmente gerados através de computadores com softwares específicos. Através de seu estudo podemos descrever muitos objetos extremamente irregulares do mundo real. Como exemplo de softwares temos o Xaos – disponível em 15/04/2010:http://xaos.sourceforge.net/index.php.

Os meteorologistas utilizam o cálculo fractal para verificar as turbulências da atmosfera incluindo dados como nuvens, montanhas, a própria turbulência, os litorais, e árvores. “


imagens disponíveis em: 10/05/2101 – 19hs http://www.google.com.br/images?q=fractal+natural&um=1&hl=pt-BR&rlz=1R2GGIE_en&tbs=isch:1&sa=N&start=180&ndsp=20

Fractais naturais

Artigo publicado em 2007 - . Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MATEMATICA/MonografiaFractais.pdf


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Percebe-se nesses fractais produzidos por computador a distribuição das figuras “auto-similares” em espiral áurea.Espiral Áurea

Fractais produzidos por computador

Imagem disponível em 12/05/2010 - http://novoshowoffofmanuela.blogspot.com/2009/02/fractais-belissimo.html

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Fractal produzido por computador

Espiral Áurea

Fractal produzido por computador

Nestes fractais a distribuição das estruturas auto-similares estão contidas por uma espiral áurea. Portanto podemos inferir que seguem as leis da Geometria Sagrada.

Existe ordem no caos.

Imagem disponível em 12/05/2010 - http://novoshowoffofmanuela.blogspot.com/2009/02/fractais-belissimo.html

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O conceito de Fractal já estava presente na cultura grega, pois o conceito de Gnomon é semelhante ao conceito de fractal.


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“A arquitetura orgânica, arquitetura organicista ou ainda organicismo foi uma escola da arquitetura moderna influenciada pelas idéias de Frank Lloyd Wright. Apesar de ter surgido nos EUA, desenvolveu-se ao redor de todo o mundo. O conceito do organicismo foi desenvolvido através das pesquisas de Frank Lloyd Wright, que acreditava que uma casa deve nascer para atender às necessidades das pessoas e do caráter do país como um organismo vivo. Sua convicção era de que os edifícios influenciam profundamente as pessoas que neles residem, trabalham ou rezam, e por esse motivo o arquiteto é um modelador de homens.”

De uma forma geral, a arquitetura orgânica é considerada como um contraponto (e em certo sentido, uma reação) à arquitetura racionalista influenciada pelo International style de origem européia.

Wright tinha uma postura, que segundo vários de seus biógrafos foi um filosofo da natureza, por ter levado a extremos as suas preocupações com a inserção da arquitetura nas diversas paisagens que projetou. Em contraste com seus colegas contemporâneos, como Le Corbusier, Wright poderia ser considerado quase um anti-urbanista, pelo menos aos moldes do urbanismo no apogeu da Revolução Industrial nas primeiras décadas do século XX. Acreditava que a integração da arquitetura na paisagem “(...) deixaria o ser humano experimentar e participar do encantamento da beleza natural, podendo alcançar com isso maior plenitude de vida.”

Disponível em 05/04/2010 - http://abstraindopensamentos.blogspot.com/2009/10/arquitetura-organicista.html

Foi um arquiteto, escritor e educador estadunidense de ascendência galesa. Um dos conceitos centrais em sua obra é o de que o projeto deve ser individual, de acordo com sua localização e finalidade.

Foi a figura chave da arquitetura orgânica, exemplificada pela casa da cascata, um desdobramento da arquitetura moderna que se contrapunha ao International style europeu. Foi o lider da Prairie School, movimento da arquitetura ao qual pertencem os projetos da Robie House e a Westcott House, e também desenvolveu o conceito de Usonian home do qual a Rosenbaum House é um exemplo.

Frequentemente detalhava também os elementos a serem empregados no interior de suas construções, tais como mobília e vitrais.

Wright escreveu vinte livros, muitos artigos, era um palestrante popular nos Estados Unidos e Europa e grandemente reconhecido ainda em vida.

Wright tinha uma postura, que segundo vários de seus biógrafos foi um filosofo da natureza, por ter levado a extremos as suas preocupações com a inserção da arquitetura nas diversas paisagens que projetou. Em contraste com seus colegas contemporâneos, como Le Corbusier, Wright poderia ser considerado quase um anti-urbanista, pelo menos aos moldes do urbanismo no apogeu da Revolução Industrial nas primeiras décadas do século XX. Acreditava que a integração da arquitetura na paisagem.”

ARQUITETURA ORGÂNICA

“Frank Lloyd Wright

(Richland Center, 8 de junho de 1867 — Phoenix, 9 de abril 1959)

A proposta pretende incorporar conceitos de arquitetura orgânica, entendendo o espaço como um organismo vivo e que a geometria pode ser um instrumento para a execução desta tarefa.

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126

“Aalto foi um dos primeiros e mais influentes

arquitectos do movimento moderno escandinavo, tendo sido

membro do Congrès Internationaux d'Architecture Moderne

(CIAM). Uma das características de sua arquitetura é

exatamente esta relação dialética com a natureza, por isso

nesse caso arquitetura e design são partes inseparáveis de um

todo, quase que nascem ao mesmo tempo. Isso muito se deve à

relação peculiar dos finlandeses e sua cultura com o meio

natural, curiosamente não na mesma intensidade do que

ocorre com suecos ou noruegueses. Por isso sua produção

como arquiteto e designer torna-se inseparável da cultura

finlandesa, por isso qualquer forma de análise deve

contemplar a história e as características de seu país.”

Teatro Aalto, de Essen

Universidade de Tecnologia de Helsinque

A proposta de projeto tem como referencia a obra de Alvar Aalto, com seu tratamento espacial das estruturas, através da geometria, cria espaços com significados através da forma.

Disponívelem 02 de abril de 210 - http://www.soarquitetura.com.br/template.asp?pk_id_area=18&pk_id_topico=512&pk_id_template=1

“Hugo Alvar Henrik Aalto

(Kuortane, 3 de fevereiro, 1898 —

Helsinque, 11 de maio, 1976) foi um

arquitecto finlandês cuja obra é

considerada exemplar da vertente

orgânica da arquitetura moderna da

primeira metade do século XX..”

Alvar Aalto

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Arquiteto, artista e engenheiro, Santiago Calatrava nasceu em 28 de julho de 1951, em Valência, Espanha.


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Calatrava e a Geometria

Calatrava cursou a Escola Técnica Superior de Arquitetura em Valência, na qual se pós-graduou em Urbanismo. No entanto, atraído pela matemática envolvida nas grandes obras da arquitetura histórica ele inicia seus estudos de pós-graduação em engenharia civil no Instituto Federal de Tecnologia em Zurique recebendo seu Ph.D. em 1979.

Sempre fascinado pelo estudo da geometria, Calatrava escreveu: “Acredito que a geometria seja fundamental para entender a arquitetura. Meu trabalho é feito por meio da geometria.”. Em sua tese de doutorado sobre a maleabilidade das estruturas, Calatrava desenvolveu o tema guiado pelo lema: "a natureza é mãe e professora". Adepto da arquitetura modular e orgânica, declarou a esse respeito: “Existem diversas lições que alguém pode aprender por meio da natureza, (...), observando plantas e animais.”. Das suas principais obras iremos analisar alguns elementos modulares de duas delas:

128

Peter Eisenman: House XI e "Moving Arrows, Eros, and other Errors" – também conhecido como "Romeo and Juliet".

Enquanto alguns arquitetos ainda tentam discutir geometria euclidiana x geometria fractal, outros procuram incorporar os novos conceitos em suas obras. A possibilidade de exploração dos fractais é imensa e pode gerar resultados interessantes, ainda que a nível experimental.

Peter Eisenman (Newark, 11 de agosto de 1932) é um arquiteto e teórico da arquitetura norte-americano, um dos principais representantes do desconstrutivismo. O filósofo Jacques Derrida influenciou imensamente a arquitetura de Eisenman.

Disponivel em 02/05/2010http://www.arc1.uniroma1.it/saggio/Libri/EisenmanNet/EisenmanSaggio.htm

Peter Eisenman (Roma) Proposed Moebius Building by Peter Eisenman

Arquitetura Fractal

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129

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Design

TFG - TCC - ROBERTO BERGAMO - Embasamento Teorico sobre geometria sagrada - Projeto de Arquitetura