repositorio.unicamp.brrepositorio.unicamp.br/bitstream/REPOSIP/263073/1/GomezB...1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

Estudo Experimental de Escoamentos Líquido-Gás Intermitentes Em Tubulações Inclinadas

Autor: Luis Gerardo Gómez Bueno

Orientador: Eugênio Spanó Rosa

44/10

1


COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DEPARTAMENTO DE ENERGIA


Autor: Luis Gerardo Gómez Bueno Orientador: Eugênio Spanó Rosa Curso: Engenharia Mecânica Área de Concentração: Térmica e Fluídos Dissertação de mestrado acadêmico apresentada à comissão de Pós Graduação da Faculdade de Engenharia Mecânica, como requisito para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica.

Campinas, 2010 S.P . – Brasil

i

ii

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA - BAE - UNICAMP

G586e

Gómez Bueno, Luis Gerardo Estudo experimental de escoamentos líquido-gás intermitentes em tubulações inclinadas/ Luis GerardoGómez Bueno–Campinas, SP: [s.n.], 2010. Orientador: Eugênio Spanó rosa Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica. 1.Escoamento intermitente. I Eugênio Spano Rosa. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade deEngenharia Mecânica. III. Título.

Título em Inglês: Experimental analysis of slug flow in inclined lines Palavras-chave em Inglês: Two-phase flow Área de concentração: Térmicas e Fluidos Titulação: Mestrado em Engenharia Mecânica Banca examinadora: Sérgio Bordalo, Jader Riso Barbosa Jr. Data da defesa: 26/02/2010 Programa de Pós Graduação: Engenharia Mecânica

iii


COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DEPARTAMENTO DE ENERGIA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADEMICO


Autor: Luis Gerardo Gómez Bueno Orientador: Prof. Dr. Eugênio Spanó Rosa A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação: ____________________________________________________ Prof. Dr. Eugênio S. Rosa, Presidente Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP ____________________________________________________ Prof. Dr. Sérgio Bordalo Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP ____________________________________________________ Prof. Dr. Jader Riso Barbosa Jr. Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC

Campinas, 26 de Fevereiro de 2010

iv

Dedicatória: Dedico este trabalho àqueles que me apoiaram ao longo dos anos e que nunca perderam a fé em mim.

v

Agradecimentos Este trabalho não poderia ser feito sem a ajuda de algumas pessoas as quais quero apresentar minha homenagem: Minha família por me ensinar a não desistir das minhas idéias. Meu orientador pela oportunidade de trabalhar neste projeto. Meus amigos que fizeram que minha vida no Brasil fosse agradável. Meus colegas que me ajudaram com o desenvolvimento do trabalho.

vi

If you spend your whole life thinking in the storm, you’ll never enjoy the sunshine

Morris West

vii

Resumo

GÓMEZ BUENO, Luis Gerardo, Estudo experimental de escoamentos líquido-gás

intermitentes em tubulações inclinadas, Campinas,: Faculdade de Engenharia Mecânica,

Universidade Estadual de Campinas, 2009. 180 p. Dissertação (Mestrado)

Medidas experimentais foram realizadas em uma tubulação de 26 mm de diâmetro interno,

com inclinação variável de horizontal a vertical, operando com escoamento de água e ar no padrão

intermitente ou “slug”. Foram utilizados dois sensores de impedância posicionados 77D e 257D a

jusante do misturador de água e ar. As faixas de velocidades superficiais de gás e líquido foram 0,1

m/s a 2,1 m/s e 0,3 m/s a 1,2 m/s, respectivamente. Os ângulos de inclinação da tubulação variaram

de 15 em 15 graus desde a horizontal até a vertical. Por meio dos sensores de impedância e de

pressão foram determinados os parâmetros: a velocidade do nariz da bolha de ar, o comprimento da

bolha e do pistão líquido, a freqüência, o fator de intermitência, a taxa de coalescência e a queda de

pressão. Uma análise do comportamento destes parâmetros em função das vazões de água e ar assim

como dos ângulos de inclinação é realizada.

Palavras Chave:

Escoamento intermitente, Tubo inclinado, Escoamento bifásico, Velocidade de Bolha

viii

Abstract

GÓMEZ BUENO, Luis Gerardo, Experimental Analysis of slug flow in inclined lines,

Campinas,: Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, 2009.

180 p. Dissertação (Mestrado)

This work analyses experimentally the flow properties of a gas-liquid mixture flowing in the

slug regime in inclined lines. The experimental data are collected through a pair of impedance

probes placed at 77D and 257D downstream of the air-water mixer in a 26mm ID pipe. During the

tests air and water superficial velocities spanned, respectively, from 0,1 m/s to 2,1 m/s and from 0,3

m/s to 1,2 m/s. The tests started with the line positioned at the horizontal, 0 degrees and changed, in

steps of 15 degrees each, up to the vertical position or 90 degrees. Along each line position the

pressure drop, the bubble velocity, the lengths of the liquid slug and of the elongated bubble, the

coalescence rate as well as the frequency of the air-water structures were measured. This work

analyses the effect of the line inclination on the slug flow properties.

Key Words

Slug flow, Inclined pipe, Two-phase flow, Bubble velocity

ix

Índice

Lista de Figuras xii

Lista de Tabelas xix

Nomenclatura xxi

1. Introdução. 1

2.Aparato Experimental, Técnicas de Medidas e Processamento de Sinais. 5

2.1. Descrição do Aparato 5

2.2. Técnica de Medida e instrumentação 12

2.2.1. Módulo de monitoramento dos fluidos 12

2.2.2. módulo monitoramento da seção de testes 13

2.2.3. sensores de impedância 14

2.2.4. medida de pressão 15

2.3. Processamento dos Sinais da seção de testes 16

2.3.1. Análise de Incerteza 21

2.4. procedimento dos testes 26

x

2.4.1. Procedimento para bolha isolada 28

3.Velocidade da Bolha de Gás 30

3.1. Parâmetro de deslizamento, C∞ 32

3.1.1. Escoamento Vertical 33

3.1.2. Escoamento Horizontal 36

3.1.3. Escoamento Inclinado 36

3.1.4. Efeito da Expansão do Gás no Deslocamento de Uma Bolha Isolada 38

3.1.5. Efeito da Aeração do Pistão de Líquido em C∞ 40

3.1.6. Medidas Experimentais de C∞ 48

3.2. Parâmetro de Distribuição, C0 52

3.2.1. Correção de VB devido à Expansão do Gás 56

3.2.2. Medidas Experimentais de C0 59

3.3. Flutuação De VB 77

4.Parâmetros do escoamento intermitente 83

4.1. Comprimento da Bolha, LB. 83

4.1.1. Comprimento da Bolha isolada 84

4.1.2. Comprimento da Bolha Para Escoamento Intermitente Continuo. 85

4.2. Comprimento do Pistão de Líquido, LS. 96

4.3. Fator de Intermitência, β. 103

xi

4.4. Freqüência, f 108

4.5. Interação Entre Bolhas e Taxa de Coalescência 115

4.5.1. Taxa de Coalescência 118

4.6. Queda de Pressão 122

5. Conclusões e Sugestões Para Trabalhos Futuros 128

6. Referências Bibliográficas 131

7. Anexo I – Correção VB Devido à Expansão do Gás 136

8. Anexo II – Correção C∞ Devido Aeração do Pistão 140

9. Anexo III – Resultados Experimentais dos Testes 144

xii

Lista de Figuras

Figura 1.1 Caracterização do padrão intermitente. ..................................................................... 3

Figura 2.1 Seqüência de fotos exibindo a inclinação variável da linha experimental. ............... 6

Figura 2.2 Representação esquemática do circuito de testes. ..................................................... 7

Figura 2.3 Detalhe da seção para fotografia e do painel de iluminação. .................................... 9

Figura 2.4 Detalhe de uma estação de medida. Nela há conexão para dois medidores indutivos

e um medidor de pressão. ................................................................................................................... 10

Figura 2.5 Componentes da seção de testes. ............................................................................. 11

Figura 2.6 Diagrama dos módulos de monitoramento dos fluidos e da seção de testes. .......... 13

Figura 2.7 Representação do sensor de impedância e seu circuito equivalente. ...................... 15

Figura 2.8 Desenho esquemático dos sensores de pressão no aparato experimental. .............. 16

Figura 2.9 Sinal obtido dos sensores de impedância da estação dois, (A) montante, (B)

jusante. ................................................................................................................................................ 17

Figura 2.10 Fator de corte de 0,7 para os sinais gêmeos da estação dois, sinal normalizado e

onda quadrada. ................................................................................................................................... 19

Figura 2.11. Dependência funcional do fator de corte. ............................................................. 19

xiii

Figura 2.12 Sinal lógico idealizado para sondas gêmeas espaçadas entre L mm. .................... 20

Figura 2.13. Sinal da bolha para uma configuração de 0° com relação à horizontal. ............... 22

Figura 2.14 Representação dos pontos de testes num mapa JLxJG. .......................................... 27

Figura 2.15 Mapa de padrões para escoamentos na linha horizontal e vertical. ◊ Pontos

experimentais. .................................................................................................................................... 28

Figura 2.16 Esquemático do circuito experimental para calcular a velocidade drift. ............... 29

Figura 3.1. Gráfico apresentado por White e Beardmore (1962) onde mostra as linhas de

contorno de Froude em função dos números de Eotvos e Morton. .................................................... 35

Figura 3.2. Comparação entre as correlações para velocidade de deslizamento em tubo

inclinado. ............................................................................................................................................ 38

Figura 3.3 Representação esquemática do escoamento do líquido na traseira da bolha quando a

esteira é fechada (a) e aberta (b) ......................................................................................................... 47

Figura 3.4 Regiões no escoamento intermitente, Bolha alongada, zona de esteira próxima à

bolha alongada e região do pistão de líquido desenvolvida ............................................................... 48

Figura 3.5. Parâmetro de deslizamento de uma bolha isolada em função da inclinação da

tubulação. ◊ - C∞ sem correção da expansão e - C∞ com correção da expansão. ........................... 50

Figura 3.6. Comparação dos dados experimentais com as correlações de diferentes autores. . 51

Figura 3.7 Dependência de C0 com ReJ para escoamento de líquido, distante do nariz da bolha,

em regime turbulento parametrizado com Eo (○,Ú,¹, , , Eo = ∞, 1538, 308, 154, 62), Eq.(3.42),

Bendiksen (1985). .............................................................................................................................. 53

Figura 3.8 Comparação entre valores do modelo de C0, Eq.(3.42), e dados experimentais de

Bendiksen (1984), Eo = 95 e Eo = ∞ ................................................................................................. 54

xiv

Figura 3.9 C0 em função de ReJ. Transição de regime laminar para turbulento ocorre por volta

de ReJ = 1000. .................................................................................................................................... 55

Figura 3.10. Velocidade da bolha adimensional em função do número de Froude, escoando

verticalmente, θ=90°. ......................................................................................................................... 60


horizontalmente, θ=0°. ———— ajuste linear, -------- correlação Bendiksen (1984). ..................... 61

Figura 3.12. Velocidade adimensional de translação da bolha, medida na estação E2, em

função de Froude da mistura para diferentes ângulos de inclinação da tubulação. ........................... 62

Figura 3.13 Velocidade da bolha, comprimento da bolha, comprimento do pistão e seus

respectivos coeficientes de variação para J=90cm/s. Dados experimentais tomados na estação de

medida #2. .......................................................................................................................................... 67



medida #2. .......................................................................................................................................... 68



medida #2. .......................................................................................................................................... 69

Figura 3.16. Comparação fotográfica entre três diferentes ângulos com a mesma velocidade de

mistura (90cm/s) ................................................................................................................................. 71

Figura 3.17 Determinação dos parâmetros C0 e C∞ por regressão linear. Dados experimentais

tomados na estação de medida E2. Linha superior corresponde aos pontos com JG/JL>1,8. ............. 74

Figura 3.18. Comparação entre os valores de coeficiente de deslizamento em função do ângulo

de inclinação e da razão JG/JL. ............................................................................................................ 75

xv

Figura 3.19. Variação do C0 em relação com a inclinação do ângulo, ——— modelo de

Bendiksen Tabela 3.3. ◊ dados experimentais ................................................................................... 76

Figura 3.20 Função de densidade de probabilidade para dois testes diferentes com a mesma

velocidade de mistura, 90cm/s, e diferentes inclinações. ................................................................... 78

Figura 3.21 Continuação da Figura 3.20. Função de densidade de probabilidade para dois

testes diferentes com a mesma velocidade de mistura, 90cm/s, e diferentes inclinações. ................. 79


velocidade de mistura, 120cm/s, e diferentes inclinações. ................................................................. 80


testes diferentes com a mesma velocidade de mistura, 120cm/s, e diferentes inclinações. ............... 81

Figura 3.24. Variação da velocidade da bolha em função de JG/JL para as diferentes

inclinações. ......................................................................................................................................... 82

Figura 3.25. Variação da velocidade da bolha em função da inclinação para os diferentes

testes. .................................................................................................................................................. 82

Figura 4.1. Variação do comprimento da bolha em diâmetros com relação à variação do

ângulo. ................................................................................................................................................ 85

Figura 4.2 Comprimento da bolha em função de JG/JL para diferentes inclinações. ................ 86

Figura 4.3 Variação do comprimento da bolha em função do ângulo para JL=60 cm/s. .......... 87

Figura 4.4 Variação do comprimento da bolha em função do ângulo para JL=30 cm/s ........... 87

Figura 4.5 Variação do comprimento da bolha em função do ângulo para J=180 cm/s. .......... 88

Figura 4.6. Comprimento da bolha em função da velocidade adimensional do gás fixando a

velocidade superficial de líquido em ◊ 30cm/s, 60cm/s e Δ 120cm/s. ........................................... 89

xvi

Figura 4.7. Taxa de variação do comprimento da bolha em função da inclinação para

diferentes JL. ....................................................................................................................................... 90

Figura 4.8. Função de densidade de probabilidade do comprimento da bolha para

(JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações. ...................................... 92

Figura 4.9. Continuação da Figura 4.8. Função de densidade de probabilidade do comprimento

da bolha para (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações. ............... 93

Figura 4.10. Coeficiente de variação do comprimento da bolha em função de JG/JL para as

diferentes inclinações. ........................................................................................................................ 94

Figura 4.11. Coeficiente de variação do comprimento da bolha em função do ângulo de

inclinação para os diferentes testes. ................................................................................................... 95

Figura 4.12. Comprimento do pistão de líquido em função de JG/JL para os diferentes testes. 97

Figura 4.13. Comprimento do pistão adimensional em função do ângulo de inclinação. ........ 97

Figura 4.14. Comprimento do pistão adimensional em função de JG/JL para diferentes

inclinações. ......................................................................................................................................... 99

Figura 4.15. Função de densidade de probabilidade do comprimento do pistão para

(JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações. .................................... 100

Figura 4.16. Continuação da Figura 4.15. Função de densidade de probabilidade do

comprimento do pistão para (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes

inclinações. ....................................................................................................................................... 101

Figura 4.17. Variação do SLS/LS em função de JG/JL para as diferentes inclinações. ........... 102

Figura 4.18. Variação do SLS/LS em função do ângulo de inclinação para os diferentes testes.

.......................................................................................................................................................... 102

Figura 4.19 Fator de intermitência em função da razão de velocidades superficiais JG/J. ..... 104

xvii

Figura 4.20 Fator de intermitência em função do ângulo de inclinação. ................................ 105

Figura 4.21 Função de densidade de probabilidade do fator de intermitência para

(JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações. .................................... 106

Figura 4.22 Continuação Figura 4.21. Função de densidade de probabilidade do fator de

intermitência para (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações. ...... 107

Figura 4.23 Freqüência adimensional em função da razão JG/JL para valores de JG/JL<1,8. .. 111

Figura 4.24 Freqüência adimensional em função da razão JG/JL para valores de JG/JL>1,8 ... 112

Figura 4.25 Freqüência em função do ângulo de inclinação da tubulação. ............................ 112

Figura 4.26 Função de densidade de probabilidade da freqüência para (JL,JG)→(30cm/s,

60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações. ................................................................. 113

Figura 4.27 Continuação Figura 4.26. Função de densidade de probabilidade da freqüência

para (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações. ............................ 114

Figura 4.28 VB, LB/D, LS/D e F em função da posição axial ao longo do tubo par diferentes

inclinações. Legenda: velocidades superficiais na ordem (JL,JG) ◊→(60cm/s, 30cm/s)

→(60cm/s, 60cm/s) Δ→(60cm/s, 120cm/s). ................................................................................. 117

Figura 4.29 Função de densidade de probabilidade para as populações de VB, LB/D, LS/D e F

com inclinações da tubulação de 0°, 30°, 60° e 90°. Para o par (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s). .......... 118

Figura 4.30 Taxa de coalescência, R%, em função do ângulo de inclinação. ........................ 121

Figura 4.31 Queda de pressão da estação E1 a estação E2, para os diferentes testes e

inclinações. ....................................................................................................................................... 123

Figura 4.32 Gradiente de pressão entre as estações E1 e E2 com relação na inclinação para os

diferentes testes. ............................................................................................................................... 125

xviii

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Figura 4.33 Gradiente de pressão em função de JG/J.senθ, para todos os ângulos menos para a

horizontal. ......................................................................................................................................... 127

Figura A.1.1 Efeito de expansão do gás no comprimento e velocidade de translação da bolha.

136

Figura A.2.1 Definição da superfície de controle movendo-se com a frente da bolha alongada.

141

xix

Lista de Tabelas

Tabela 2.1. Valores dos parâmetros e incertezas dos mesmos para fatores de corte entre 0,8 e

0,9. ...................................................................................................................................................... 23

Tabela 2.2. Grade de testes realizada para cada inclinação da linha ........................................ 27

Tabela 3.1. Valores de C∞ experimentais e corrigidos. ............................................................ 49

Tabela 3.2 – Parâmetro C0 proposto por Bendiksen (1984) para escoamento horizontal em

regime turbulento. .............................................................................................................................. 55

Tabela 3.3 – Modelo cinemático para velocidade de translação da bolha ................................ 56

Tabela 3.4. Fator de correção para VB devido a expansão do gás. .......................................... 58

Tabela 3.5. Valores de C0 para escoamento vertical quando é forçada a regressão linear a

passar por valores de C∞ teórico e experimental. ............................................................................... 60

Tabela 3.6. Valores C0 para escoamento horizontal quando é forçada a regressão linear a

passar por C∞ teórico e experimental. ................................................................................................ 61

Tabela 3.7 Parâmetros experimentais para os pontos (JL,JG) de (30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s,

30cm/s). .............................................................................................................................................. 63

Tabela 3.8 Parâmetros experimentais para os pontos (JL,JG) de (30cm/s, 90cm/s) e (60cm/s,

60cm/s). .............................................................................................................................................. 64

xx

.........................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

Tabela 3.9 Parâmetros experimentais para os pontos (JL,JG) de (30cm/s, 150cm/s), (60cm/s,

120cm/s), (90cm/s, 90cm/s) e (120cm/s, 60cm/s). ............................................................................. 65

Tabela 3.10. Valores de C0 e C∞, para as relações de JG/JL menores e maiores que 1,8 e para os

diferentes ângulos de inclinação. ....................................................................................................... 73

Tabela 4.1 Correlações para o calculo da freqüência da célula. ............................................. 109

Tabela A.3.1 Base de dados teste 90 graus. 145






Tabela A.3.7 Base de dados teste 0 grau. 151

xxi

Nomenclatura Letras Latinas A – Área da seção transversal [m2] a1 – Coeficiente ângular cpb – Conjunto pistão bolha C∞ - Parâmetro de deslizamento C0 – Parâmetro de distribuição D – Diâmetro da tubulação [m] E1 – Estação de medição 1 E2 – Estação de medição 2 f – Freqüência [s-1] fa – Fator de atrito FC – Fator de corte fcG – Fator de correção para VB Fr – Número de Froude g – gravidade [m/s2] GP – Gradiente de pressão [mbar/m] H – Altura da coluna de líquido [m] J – Velocidade de mistura [m/s] JG – Velocidade superficial do ar [m/s] JL – Velocidade superficial da água [m/s] L – Distância entre as duas estações [m] LB – Comprimento da bolha alongada [m] LS – Comprimento do pistão [m] M – Número de Morton mB – Massa de gás na bolha [Kg] Nb – Número de bolhas alongadas RGL – Razão gás líquido P – Pressão [mbar] Q – Vazão volumétrica [m3/s] R – Constante do gás Re – Número de Reynolds

xxii

R2 – Coeficiente de regressão linear R% - Taxa de coalescência SVB/VB – Desvio padrão adimensional de VB SLB/LB – Desvio padrão adimensional de LB SLS/LS – Desvio padrão adimensional de LS T – Período [s] Taq – Tempo de aquisição dos dados. [s] tbi,j – Tempo do estado 0 (bolha) na sonda i do j cpb [s] tsi,j – Tempo do estado 1 (pistão) na sonda i do j cpb [s] TBi,j – Tempo do referencial zero até o começo da j bolha na sonda i [s] TSi,j – Tempo do referencial zero até o começo do j pistão na sonda i [s] TU – Tempo da unidade [s] Ub – velocidade das bolhas dispersas no pistão de líquido [m/s] Ud – Velocidade das bolhas dispersas no pistão de líquido [m/s] Ud,B – Velocidade de deslizamento da bolha alongada [m/s] Ud,S – Velocidade de deslizamento das bolhas dispersas [m/s] V – Voltagem instantânea [V] V* – Voltagem normalizada VB – Velocidade do nariz da bolha alongada [m/s] VB0 – Velocidade efetiva do nariz da bolha alongada [m/s] VGS – Velocidade do gás disperso no pistão de líquido [m/s] Z – Distância desde o injetor [m] ................................................... Letras Gregas α - Fração de vazios β – Fator de intermitência ΔPU – Queda de pressão na unidade [mbar/m] ΔtB,j – Tempo gasto pela bolha para viajar a distância que separa as duas sondas de impedância

da mesma estação [s] ε - Incerteza relativa θ - Ângulo de inclinação [°] μL − viscosidade dinâmica do líquido [N.s/m2] σ - Tensão superficial [N/m] ρ - Densidade [Kg/m3] ρf – Densidade da mistura no filme de líquido [Kg/m3] ρmis – Densidade da mistura [Kg/m3] ρs – Densidade da mistura no pistão de líquido [Kg/m3] τB – Tensão de cisalhamento na bolha de gás [N/m2] τf – Tensão de cisalhamento no filme de líquido [N/m2] τS – Tensão de cisalhamento no pistão de líquido [N/m2] υL – Velocidade da expansão do volume de gás da bolha [m/s]

xxiii

................................................... Superescritos ∗ - Condições de referência exp - Experimental H – Horizontal V - Vertical ................................................... Subscritos a – Atmosfera B – Bolha alongada c – Critico G – gás L – líquido S – Pistão de líquido U – Unidade ................................................... Simbolos ∀B – Volume da bolha de gás ................................................... Siglas 2PFG – Two phase flow group PDF – Função densidade de probabilidades

1

1. INTRODUÇÃO.

O escoamento multifásico é caracterizado pela existência de interfaces que separa as diversas

regiões de um sistema. Pode-se classificá-los de acordo com o estado das diferentes fases, por

exemplo, escoamentos gás-sólido, líquido-sólido ou gás-líquido entre outros.

Este trabalho está restrito ao escoamento de uma mistura de água e ar no padrão intermitente

ou ‘slug flow’. Este padrão é caracterizado pela alternância de pistões de líquido aerados seguidos

por bolhas de gás alongadas. Para escoamentos horizontais e levemente inclinados o gás contido na

bolha alongada escoa junto a parede superior do tubo, ocupando a maior parte da seção transversal

do tubo. Por outro lado, para escoamento vertical ascendente a bolha de gás fica concêntrica ao tubo

e isolada da parede por um filme de líquido anular que escoa no sentido descendente. Esse padrão

existe em tubos com inclinação variando da horizontal para a vertical numa uma grande faixa de

vazões de líquido e gás. O escoamento no padrão intermitente é intrinsecamente transiente devido à

alternância das estruturas. Os comprimentos, velocidades e freqüência das estruturas de gás e líquido

não apresentam periodicidade no tempo nem no espaço, mas estão distribuídos ao redor de valores

médios. Uma representação esquemática do arranjo espacial das fases é mostrada na Figura 1.1. Os

comprimentos, velocidades e freqüência das estruturas de gás e líquido dependem do diâmetro e da

inclinação da tubulação e das propriedades de transporte do gás e do líquido e da velocidade destes

componentes.

O escoamento intermitente de gás e líquido ocorre em diversos segmentos industriais, dentre

eles destacam-se: petróleo, química e geração de energia (térmica e nuclear). Por exemplo, na

produção de óleo e gás e seu transporte em tubulação na indústria petrolífera; no resfriamento no

2

núcleo de reatores nucleares; na geração de vapor em usinas termoelétricas; transferência de calor e

de massa em reatores químicos entre outros.

O escoamento no padrão intermitente vem chamando a atenção por mais de meio século se

considerarmos a correlação empírica proposta por Baker (1954) para a queda de pressão para os

diferentes padrões de escoamento bifásico gás-líquido em linhas horizontais para tubulações entre 4

a 10 polegadas. O escoamento é complexo porque a distribuição espacial do gás e do líquido não é

conhecida a priori e constitui, até a presente data, um desafio para a constituição de modelos físicos

que possam representar o fenômeno. Seja por motivos acadêmicos seja também por questões

aplicadas à processos industriais, há uma grande quantidade de publicações sobre escoamento

intermitente nestes últimos sessenta anos.

Apesar da vasta literatura existente em escoamentos intermitentes de líquido-gás para

tubulações na vertical e na horizontal, há poucos estudos que avaliam a influência da inclinação da

tubulação nos parâmetros do escoamento, entre eles destaco o trabalho de Bendinksen (1984) sobre

a variação do parâmetro de distribuição com a variação do ângulo de inclinação é do número de

Reynolds para bolhas isoladas, Van Hout et al. (2002) que analisou a variação da velocidade de

propagação da bolha alongada com a inclinação do ângulo para escoamentos intermitentes de água-

ar, e também van Hout et al. (2003) apresenta as variações dos comprimentos do pistão de líquido e

da bolha alongada em função do ângulos de inclinação.

O presente trabalho tem como objetivo investigar experimentalmente os diferentes parâmetros

do escoamento intermitente em tubulações inclinadas. Os parâmetros do escoamento estudados são:

a velocidade da bolha, o comprimento da bolha, o comprimento do pistão, a freqüência, o fator de

intermitência, a taxa de coalescência e a queda de pressão. O conhecimento destes parâmetros

permite melhor caracterizar o escoamento intermitente e fornece subsídios a desenvolvimento de

modelos físicos para este fenômeno. Dentre os parâmetros estudados a maior ênfase é dada para a

velocidade da bolha. Ela tem um papel central no escoamento intermitente uma vez que a bolha é

responsável pelo transporte da maior parcela de gás no escoamento e é um parâmetro determinante

para os modelos de célula unitária (por exemplo, Dukler e Hubbard 1975) e de mistura ou Drift Flux

(Ishii, M. 1977).

3

θ

Filme de líquido

Bolha alongada

Pistão de líquido

Bolhas dispersas

Figura 1.1 Caracterização do padrão intermitente.

Os resultados obtidos no aparato experimental são apresentados em forma de tabelas com os

valores médios junto com histogramas que são analisados nas duas estações de medição que estão na

treliça articulada do aparato experimental. A análise dos parâmetros é realizada na estação mais

afastada da treliça assegurando assim um escoamento estável, que encontra-se a 257D do misturador

de gás-líquido.

Este trabalho descreve o aparato experimental, as técnicas de medidas e o processamento de

sinais no capítulo 2. O aparato experimental utilizado neste trabalho foi desenvolvido no projeto

“Desenvolvimento de Técnicas de Medidas, Instrumentação e Medidas em Escoamentos de

4

Golfadas de Líquido e Gás em Linhas Vertical e Inclinada” financiado pela Petrobras, coordenado

pelo Prof. Eugênio Rosa do DE/FEM – UNICAMP e executado na FUNCAMP no processo no.

3800 a partir de Junho de 2007. O projeto e execução da montagem do aparato experimental foram

realizados pelos professores Ricardo Mazza e Eugênio Rosa do DE/FEM assim como pelos técnicos

Alcimar da Silveira e Adriano N. de Moraes. O programa de processamento de dados vem sendo

desenvolvido desde 2001 por meio de uma série de contratos de pesquisa com a Petrobras. O

desenvolvimento deste programa é coordenado pelo Prof. Eugênio Rosa e baseia-se em ambiente

Lab View. Os desenvolvimentos e implementações das novas rotinas foram executados ao longo dos

anos por diversos estagiários e alunos de iniciação científica. Neste trabalho, em particular,

participaram do desenvolvimento do programa os alunos de graduação Ailton Antônio de Andrade

Júnior e Fábio Akio. A análise de velocidade da bolha para diferentes inclinações é realizada no

capítulo 3. Neste trabalho não há um capítulo dedicado especificamente a revisão da literatura, visto

que ela é realizada separadamente para cada um dos temas estudados. Por exemplo, a revisão da

literatura relacionada à velocidade da bolha de gás é encontrada no Capítulo 3 que é o capítulo onde

a velocidade da bolha de gás é estudada. Esse artifício é utilizado devido às propriedades do

escoamento estudadas neste trabalho serem tratadas separadamente. O capítulo 4 reporta a análise do

comprimento da bolha e pistão de líquido, do fator de intermitência, da freqüência, da taxa de

coalescência das bolhas e da queda de pressão. As conclusões estão no capítulo 5. Uma extensa base

de dados experimentais é fornecida no Apêndice III.

5

2. APARATO EXPERIMENTAL, TÉCNICAS DE MEDIDAS E

PROCESSAMENTO DE SINAIS.

2.1. DESCRIÇÃO DO APARATO

O aparato experimental utilizado para o estudo do padrão intermitente em tubulações

inclinadas está instalado no Laboratório do Departamento de Energia da Faculdade de Engenharia

Mecânica na Universidade Estadual de Campinas.

O circuito experimental é constituído de uma treliça articulada com 8,5 m de extensão. A

articulação da treliça permite posicionar a linha experimental em diferentes inclinações variando

entre -5 até +90 graus em relação à horizontal. A Figura 2.1 apresenta uma seqüência de fotografias

ilustrando inclinações da treliça.

O controle do ângulo de inclinação é realizado por meio do sistema de monitoramento e do

controle computadorizado do aparato experimental, que é descrito na seção 2.2.1. À medida da

posição angular é realizada por um transferidor, ‘encoder’. O operador define uma posição angular

em graus e o sistema atua na talha de elevação para elevar a treliça na posição angular desejada com

um erro de ± 0,5 graus.

6

Figura 2.1 Seqüência de fotos exibindo a inclinação variável da linha experimental.

7

A Figura 2.2 mostra uma representação esquemática do circuito de testes, sendo este dividido

em duas partes: uma onde os fluidos escoam separadamente e a outra onde eles escoam misturados.

Os fluidos de trabalho são ar comprimido e água da rede do campus.

Figura 2.2 Representação esquemática do circuito de testes.

O circuito de água é composto por um tanque de armazenamento com capacidade de 3 m3. A

água armazenada nesse tanque é bombeada por uma bomba centrífuga. O líquido passa por um filtro

e em seguida através de um medidor de fluxo mássico. Após passar pelo medidor de vazão de água

chega até o misturador, onde ocorre o início do escoamento bifásico. O controle da vazão é realizado

por meio do controle de rotação da bomba centrifuga através de um inversor de freqüência que

controla o motor elétrico que aciona a bomba. Nos experimentos realizados a velocidade superficial

da água variou entre 30 e 120 cm/s.

8

O circuito de ar é alimentado por até 3 compressores em paralelo com capacidade total de

0,09914 Nm3/s (210 SCFM) a uma pressão entre 8 e 10 bar, sendo armazenado em um tanque com

volume de 2 Nm3. O tanque de armazenamento descarrega na linha fazendo o ar passar pelo filtro e

depois por uma válvula reguladora de pressão. A pressão manométrica e a temperatura da linha são

monitoradas pelo transmissor de pressão SMAR modelo LD301 e SMAR modelo TT301

respectivamente, sendo que o último utiliza um termopar tipo T como transdutor de temperatura. O

ar é direcionado ao medidor de vazão de fluxo laminar que é monitorado por um elemento de fluxo

laminar da Merian modelo 50MT10 com capacidade de até 4,348E-5 Nm3/s (3,0921 SCFM) e

incerteza de 1%; após passar pelo medidor de vazão o ar é conduzido ao misturador, onde a

velocidade superficial do ar aplicada durante os experimentos variou entre 60 e 210 cm/s.

As linhas de transporte de ar e água estão conectadas à treliça por meio de mangueiras

flexíveis localizadas próximo ao ponto de articulação da treliça. A treliça, por sua vez, possui duas

outras linhas que transportam o ar e a água para sua extremidade inferior. A corrente bifásica é

realizada através de dois misturadores, um para altas vazões e outro para baixas vazões de gás,

localizados na extremidade inferior da linha. Por meio de um jogo de válvulas de bloqueio, pode-se

selecionar cada um deles isoladamente. Os misturadores têm a mesma geometria mostrada na Figura

2.1, onde o ângulo de penetração do gás com relação ao líquido é 45°, onde o líquido entra na

mesma direção da mistura.

O misturador tem como função misturar as correntes de ar e água para dar inicio à formação

do escoamento bifásico. Após o misturador tem-se início a seção de testes, que corresponde à

segunda parte do circuito, onde os fluidos escoam juntos na forma de escoamento bifásico. A seção

de testes constitui-se de uma tubulação de acrílico transparente com 306 diâmetros de extensão e 26

mm de diâmetro interno.

A tubulação de acrílico da seção foi construída com segmentos de tubo de 2 m cada. Para unir

cada segmento foram utilizadas uniões de PVC cuidadosamente usinadas no seu diâmetro interno

para garantir uma passagem livre para a mistura ar-água. Essas uniões utilizam anéis de obstrução,

O ring, de cada lado, garantindo a vedação e a continuidade do fluxo, sem interferência no

escoamento e sem folga.

9

A seção de testes, por ser transparente, permite a visualização do escoamento. Com o intuito

de assegurar boas condições para filmagem e fotografia do escoamento no interior do tubo, foi

instalado um painel de fundo preto fosco e um anteparo lateral translúcido a fim de proporcionar

uma luz difusa na seção de testes, veja Figura 2.3. Apesar de simples o painel e o difusor de luz se

mostraram bastante eficazes.

Figura 2.3 Detalhe da seção para fotografia e do painel de iluminação.

Ao longo da seção de testes há duas estações de medição posicionadas a 77D e 257D jusante

do misturador. Em cada estação, a passagem das bolhas e dos pistões de líquido são monitoradas por

dois sensores de impedância espaçados de 112,5mm entre si, veja Figura 2.4. Nelas também é

medida a pressão manométrica ou a pressão diferencial entre as duas estações. Cada estação de

medida tem seus instrumentos conectados a uma caixa de conexão que tem por finalidade

comunicar-se com o sistema de aquisição de dados. A vedação da caixa e das conexões dos cabos a

prensa-cabos são a prova da água evitando assim que a umidade ataque os contatos dos fios de

10

ligação no interior da caixa. Por sua vez os instrumentos são conectados aos cabos do sistema

supervisório no interior da caixa por meio de conectores RJ45. Após a segunda estação de medida a

mistura percorre uma distância equivalente a 49D, faz uma curva de 180 graus com um raio de

200mm numa mangueira flexível de 37mm de diâmetro para depois ser direcionada a um tubo

vertical com 6 m de altura e 75mm de diâmetro. Uma das extremidades do tubo vertical é aberta

para atmosfera enquanto que a outra extremidade está conectada ao tanque de armazenamento de

água. Este tubo vertical de maior diâmetro atua como um separador ar-água de forma que o ar é

livremente descarregado para atmosfera enquanto que a água é dirigida ao tanque de armazenamento

pela ação da gravidade, freqüentemente ele é denominado por “drop leg”.

Figura 2.4 Detalhe de uma estação de medida. Nela há conexão para dois medidores indutivos

e um medidor de pressão.

11

Por conveniência, a Figura 2.5 traz uma fotografia da seção de testes indicando todos seus

componentes.

Figura 2.5 Componentes da seção de testes.

12

2.2. TÉCNICA DE MEDIDA E INSTRUMENTAÇÃO

A instrumentação pode ser divida em dois módulos: o primeiro refere-se ao monitoramento

dos fluidos e controle da posição da treliça, e o segundo refere-se ao monitoramento da seção de

testes (veja representação na Figura 2.6). O módulo de monitoramento dos fluidos tem como

principais funções controlar e monitorar as vazões de água e ar que alimentam a seção de testes,

enquanto que o módulo da seção de teste tem como função adquirir e armazenar os sinais das sondas

de impedância da seção de testes que permitirão, após o processamento, identificar a velocidade de

propagação, freqüência e comprimento das estruturas do escoamento a medida que elas se

desenvolvem ao longo da tubulação. Essas medidas são executadas simultaneamente nas duas

estações de medidas.

2.2.1. MÓDULO DE MONITORAMENTO DOS FLUIDOS

A medida de vazão mássica de água é realizada por um medidor tipo Coriolis fabricado pela

Metroval modelo RHM15 com capacidade de 4 a 200 kg/min, e uma incerteza de 1%.

A medida de vazão mássica de ar é realizada por um elemento de fluxo laminar fabricado pela

Merian com capacidade de até 4,348E-5 Nm3/s (3,0921 SCFM). Ele é precedido por uma medida de

pressão e temperatura absoluta do ar para se obter sua densidade e posteriormente a vazão mássica

de ar com incerteza de 1%.

A aquisição dos dados para monitorar os fluidos é feito por uma rede Adam-4000 da

Advantech, que são dispositivos de aquisição microprocessados, responsáveis pela interface entre os

sensores dos instrumentos e o computador central. Utilizaram-se para essa finalidade uma rede RS-

485, usando o protocolo ASCII (aberto). Remotamente, faz-se o controle dos módulos através de

“strings” de comando emitidas no formato ASCII. Através desse equipamento é possível adquirir ou

emitir sinais de I/O digitais e analógicos. A rede amostra à taxa de 1Hz as informações provenientes

dos sensores usados para o monitoramento dos fluidos, a Figura 2.6 apresenta uma representação

simplificada deste módulo.

13

O modulo de monitoramento dos fluidos também controla a inclinação da treliça que varia

entre -5 até +90 graus com relação à horizontal, onde a medida é feita por um transferidor (encoder).

Figura 2.6 Diagrama dos módulos de monitoramento dos fluidos e da seção de testes.

2.2.2. MÓDULO MONITORAMENTO DA SEÇÃO DE TESTES

O circuito experimental tem duas estações de medição, E1 e E2, posicionadas a 77D e 257D

do misturador. Em cada estação, a passagem das bolhas e dos pistões de líquido é monitorada por

14

dois sensores de impedância espaçados de 112,5mm entre si. Nelas também é medida a pressão

manométrica ou pressão diferencial. O monitoramento da temperatura da treliça é realizado por

meio de um transdutor de temperatura localizado no final da seção de testes a 306D a jusante do

misturador.

Os sensores estão conectados as caixas de conexão da treliça que por sua vez está conectada a

um sistema de aquisição da National Instruments, NI modelo SCXI-1000. Os sinais analógicos

variando entre 4 a 20 mA chegam a um conversor AD e multiplexador NI para depois serem

armazenadas em arquivos com até 13 colunas. O sistema de aquisição tem uma taxa de aquisição de

3000Hz.

A função do módulo de monitoramento é digitalizar e armazenar os sinais em um arquivo de

dados para pós-procesamento; o arquivo contém os sinais dos sensores de impedância e dos sensores

da pressão das duas estações.

2.2.3. SENSORES DE IMPEDÂNCIA

O princípio de funcionamento dos sensores de impedância está baseado na diferença entre as

propriedades elétricas das fases água e ar, e apresentam um sinal proporcional à concentração

volumétrica do meio bifásico. O sensor de impedância utilizado no sistema consiste de uma haste

metálica que cruza diametralmente o tubo. A haste está em contato direto com a mistura bifásica e

suas extremidades estão isoladas eletricamente do tubo metálico. A detecção das fases ocorre devido

à diferença de impedâncias das fases. O sensor envia um sinal de 5 volts quando o tubo esta cheio de

água e 1 volt quando tem somente ar veja Figura 2.9. A Figura 2.7 apresenta uma representação

esquemática do sensor de impedância.

15

Figura 2.7 Representação do sensor de impedância e seu circuito equivalente.

O circuito é formado entre a haste e a parede do tubo metálico. O tubo possui duas funções,

ele é a referencia do circuito (terra) e também blinda a haste de ruídos eletromagnéticos externos.

A ocorrência simultânea das fases gás e líquido faz com que a impedância elétrica do circuito

seja correspondente a uma carga capacitiva para fase gás e a duas cargas, uma capacitiva e outra

resistiva, para a fase líquida. Dependendo se o líquido for óleo ou água a carga poderá ser puramente

capacitiva ou resistiva respectivamente. Sua representação esquemática encontra-se na Figura 2.7.

Para os experimentos com ar e água o instrumento foi ajustado para operar com cargas

puramente resistivas. O principio de funcionamento e um diagrama esquemático do circuito

encontra-se em Mastelari (2005) e Gómez e Rosa (2008). Este instrumento foi desenvolvido pelo

grupo de escoamento bifásico da FEM, 2PFG.

2.2.4. MEDIDA DE PRESSÃO

As medidas de pressão são realizadas nas duas estações por dois transdutores de pressão

SMAR. Os transmissores de pressão estão posicionados abaixo da seção de testes e conectados por

mangueiras às tomadas de pressão, veja representação na figura 2.8. O transdutor de pressão P1

mede a diferença de pressão entre as duas estações e o transdutor de pressão P2 mede a pressão

manométrica na estação dois. A incerteza nas medidas de pressão foi de 2,6%. Esta medida foi

16

calculada com o desvio padrão do sinal da pressão durante o teste e comparado com o valor da

pressão entre E1 e E2 quando esta a linha posicionada na vertical e preenchida de água (4690

mmH2O).

2.3. PROCESSAMENTO DOS SINAIS DA SEÇÃO DE TESTES

Os sinais dos sensores de impedância, pressão e temperatura, são adquiridos, armazenados e

processados por dois programas desenvolvidos dentro do ambiente do software Lab View: o

primeiro realiza a aquisição e armazenamento, e o segundo é dedicado somente ao pós-

processamento dos dados adquiridos. O primeiro programa somente adquire e armazena os sinais e

as voltagens dos transdutores. Sua saída é gravada no disco rígido num arquivo com os sinais de

cada estação de medição num formato binário. Dependendo da freqüência de aquisição 3 a 5 kHz e

do tempo de amostra, este arquivo pode atingir um tamanho superior a 10 Mbytes. O segundo

programa faz uma leitura do arquivo gerado e identifica, por meio de algoritmos lógicos, as

estruturas do escoamento tais como comprimentos, velocidades, freqüências das bolhas entre outras

propriedades.

Figura 2.8 Desenho esquemático dos sensores de pressão no aparato experimental.

17

O programa de processamento de dados basicamente lê os sinais proveniente dos sensores das

duas estações, e com isto gera uma tabela que indica os parâmetros do escoamento como

velocidades, comprimentos, pressões entre outras, obtidas no teste.

A Figura 2.9 mostra um sinal típico dos sensores de impedância. Esta apresenta 5 segundos de

aquisição para um teste de água e ar com velocidades superficiais de 30 e 90 cm/s respectivamente,

obtido na estação dois. A velocidade superficial é definida como k kJ = Q A , sendo que k é líquido

ou gás e Q é a vazão volumétrica.

Os circuitos dos sensores de impedância são ajustados de forma que o sinal de voltagem de

saída varia entre 1v e 5v correspondendo ao tubo com 0% e 100% de líquido, respectivamente. Os

valores do sinal próximos a 5 volts correspondem à ocorrência dos pistões de líquido e aqueles

próximos a 1 volt corresponde à ocorrência das bolhas. Os sinais mostrados na Figura 2.9 A e Figura

2.9 B correspondem a aqueles obtidos pelos sensores a montante e jusante da estação dois, devido

ao espaçamento de 112,5mm entre os sensores de impedância, os sinais gêmeos ficam defasados no

tempo.

Figura 2.9 Sinal obtido dos sensores de impedância da estação dois, (A) montante, (B)

jusante.

18

O programa faz um condicionamento dos sinais para depois processá-los e determinar o tempo

em que o pistão de líquido e a bolha alongada ficam em contato com a sonda e o lapso de tempo

gasto pelas bolhas ao percorrerem a distância entre as sondas.

A magnitude da voltagem do sinal das sondas é normalizada pela relação:

* min

max min

V VVV V

−=

−, (2.1)

onde V é a voltagem instantânea do sensor, Vmáx e Vmín são as voltagens máximas e mínimas

observadas na série temporal de V e V* é o sinal de voltagem adimensional normalizado. Dessa

forma o sinal adquirido é normalizado tal que 0 < V* < 1; sendo que V*=0 corresponde ao tubo

cheio de ar ou fração de líquido de 0% e V*=1 corresponde ao tubo cheio de líquido ou fração de

líquido de 100%.

Antes de fazer o processamento dos sinais o programa faz uma discriminação da ocorrência da

água e do ar, e isto é feito por um fator de corte, FC, (0<FC<1). FC é uma função lógica que

transforma o sinal de V* em uma onda quadrada, aplicando-se o critério:

( )Se V * FC então V * 1 ocorrência de líquido> = (2.2)

( )Se V* FC então V* 0 ocorrência de gás< = (2.3)

A aplicação do FC permite identificar o início da bolha e o início do pistão. A Figura 2.10

apresenta uma representação gráfica do sinal mostrado na Figura 2.9 mais a onda quadrada gerada

pela aplicação do FC de 0,7.

O critério de escolha do FC depende do gráfico de dependência, onde o gráfico mostra o

número de bolhas para diferentes fatores de corte. A Figura 2.11 mostra o gráfico de dependência

funcional para o mesmo teste que foi mostrado nas figuras anteriores (JL=30cm/s, JG=90cm/s). O

gráfico de dependência é feito para cada sensor de impedância. Para determinar o valor de FC

adequado para o processamento do teste, são observados os gráficos de dependência para os dois

sensores de impedância da mesma estação; nos gráficos são observadas as regiões nas quais as

19

quantidades de bolhas são as mesmas para os dois sensores; na Figura 2.11 se observa que o valor de

FC pode variar entre 0,5 e 0,9. Nos dados analisados o valor de FC escolhido no pós-processamento

variou entre 0,8 e 0,9.

Figura 2.10 Fator de corte de 0,7 para os sinais gêmeos da estação dois, sinal normalizado e

onda quadrada.

Figura 2.11. Dependência funcional do fator de corte.

20

A Figura 2.12 mostra o sinal das sondas gêmeas estando a sonda (1) na frente da sonda (2). O

conjunto pistão e bolha, cpb, é a unidade que se inicia no nariz do pistão de líquido e termina na

cauda da bolha de gás. Na figura estão representadas as ocorrências de dois cpb para a sonda (1). A

notação i=1 ou 2 faz referência à sonda montante ou jusante respectivamente. O índice j é o numero

(1 ≤ j ≤ n) de cpb. tsi,j é a duração do tempo do estado 1 (pistão) na sonda i do j conjunto

pistão/bolha (cpb), tbi,j é a duração do tempo do estado 0 (bolha) na sonda i do j cpb, TSi,j é o tempo

do referencial zero (t=0) até o começo do j pistão na sonda i e TBi,j é o tempo do referencial zero até

o começo da j bolha na sonda i.

Figura 2.12 Sinal lógico idealizado para sondas gêmeas espaçadas entre L mm.

(0) ocorrência de gás e (1) ocorrência de líquido.

O tempo gasto pela bolha para viajar a distância que separa as duas sondas de impedância da

mesma estação é determinado pela expressão:

B, j 2, j 1, jt TB TBΔ = − (2.4)

Desta forma é possível calcular a velocidade da bolha da seguinte maneira:

21

jB, j

LVBt

=Δ

, (2.5)

onde L é a distância entre as sondas, que equivale a 112,5 mm. O comprimento da bolha é calculado

por:

j j i, jLB VB .tb= , (2.6)

O comprimento do pistão é obtido através da relação:

j j i, jLS VB .ts= . (2.7)

A freqüência da unidade é calculado pela expressão:

i, j

1fTu

= , (2.8)

onde i, jTu é o tempo da unidade, i, j i, j i, jTu ts tb= + .

O algoritmo usado para processar os dados identifica cada bolha e pistão separadamente. Uma

descrição detalhada do algoritmo de processamento dos sinais é encontrada em Duarte (2007).

2.3.1. ANÁLISE DE INCERTEZA

Nesta seção são estimadas as incertezas nas medidas de velocidade, comprimento do pistão de

líquido, comprimento da bolha e freqüência.

Uma das principais incertezas na medição da velocidade da bolha, comprimento do pistão de

líquido, comprimento da bolha e freqüência é a escolha do fator de corte. A escolha do fator de corte

afeta diretamente os tempos i, jtb , i, jts , i, jTu e B, jtΔ que são parâmetros importantes no cálculo das

medidas mencionadas. O fator de corte escolhido ao longo dos experimentos variou entre 0,8 e 0,9.

A Figura 2.13 mostra o sinal de uma bolha escoando na horizontal, pode-se observar que para

valores de fator de corte maiores aumenta o valor de i, jtb , fazendo que o valor do comprimento da

22

bolha também aumente e o valor de i, jts diminui ocasionando uma diminuição no comprimento do

pistão do líquido; da mesma forma também são afetados os valores de B, jtΔ e i, jTu que são os

parâmetros usados para o cálculo da velocidade da bolha e a freqüência respectivamente. A parte

final da bolha alongada pode ser plana para o caso do escoamento na linha vertical ou apresentar

uma cauda para escoamentos na linha inclinada, onde as maiores caudas são para menores ângulos

de inclinação. A Figura 2.13 apresenta o sinal capturado pela sonda em E2 na linha horizontal

mostrando no final do sinal a cauda da bolha.

Figura 2.13. Sinal da bolha para uma configuração de 0° com relação à horizontal.

Para calcular a incerteza ocasionada pela escolha do fator de corte foi escolhida a pior das

hipóteses que seria para escoamentos com menor comprimento de bolha e com maior cauda na

bolha, então o teste que carrega maior índice de incerteza é encontrado em escoamento horizontal, e

nesta configuração foi escolhido o teste com menor comprimento de bolha, que foi JG=30 cm/s e

JL=60 cm/s. Como os fatores de corte escolhidos durantes todos os testes variou entre 0,8 e 0,9 então

foram achados os valores de todos os parâmetros analisados em nessa faixa de FC e com relação a

esses valores foram obtidas as incertezas dos mesmos. A Tabela 2.1 mostra os valores dos

parâmetros para os dois FC e também as incertezas dos mesmos.

23

Tabela 2.1. Valores dos parâmetros e incertezas dos mesmos para fatores de corte entre 0,8 e 0,9.

VB (m/s) LB (L/D) LS (L/D) f (Hz)

FC 0,8 1,02 7,51 15,20 1,72 0,9 1,01 7,76 14,42 1,75

Incertezas (%) 1,16 3,20 5,10 1,27

Incerteza da Velocidade da Bolha

A velocidade da bolha VB é determinada pela Eq. (2.5), onde ela é diretamente calculada pela

distância que separa as duas sondas da mesma estação e o tempo de viagem da bolha entre as duas

sondas.

A incerteza relativa de VB depende das incertezas medidas do espaçamento e do tempo e das

incertezas ocasionadas pela instabilidade das vazões. A incerteza total é a raiz da soma dos

quadrados das incertezas.

G

222 2t

J FCLVB

L tΔΔΔ ⎛ ⎞⎛ ⎞∈ = + + ∈ + ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (2.9)

Os primeiros dois termos que estão contidos na Eq. (2.9) são as incertezas relacionadas com a

medida de comprimento e de tempo de viagem da bolha entre as duas sondas, respectivamente. O

terceiro termo dentro da raiz representa a incerteza ocasionada pela instabilidade das vazões. Ao

longo dos experimentos as vazões de gás não ficaram constantes devido a flutuação da pressão no

misturador, entre outras coisas. A vazão de líquido se manteve constante ao longo de todos os

experimentos, por isto não vai ser levada em conta no cálculo da incerteza. A incerteza ocasionada

pela flutuação da vazão de gás foi estimada em 2% da velocidade superficial do gás, onde o valor foi

calculado pela variação do JG monitorada durante o teste com relação na media. O quarto termo é a

incerteza corresponde a incerteza ocasionada pela escolha do fator de corte, onde o erro estimado foi

de 1,16%.

24

A distância entre as duas sondas foi medida com um micrometro o qual consegue medir uma

distancia mínima de 0,1mm, então a incerteza do mesmo é ∈L≈1/1000, portanto como a incerteza é

muito pequena, pode se considerar desprezível. Neste caso a Eq. (2.9) simplificada é:

G

j

2

2 2tJ FC

B

VBtΔ

⎛ ⎞Δ⎜ ⎟∈ = + ∈ + ∈⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

. (2.10)

O tempo de viagem pode ser expresso por:

jB

j

LtVB

Δ = , (2.11)

onde a incerteza absoluta na medida do tempo é estimada por:

t2fΔΔ = . (2.12)

Substituindo a Eq. (2.12) e (2.11) na Eq. (2.10), ficaria:

G

2j 2 2

J FC

VB 2VB .L f

⎛ ⎞∈ = + ∈ + ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.13)

A estimativa do erro relativo de VB é analisada na pior das hipóteses onde em um cenário

conservativo que expressa a maior velocidade de translação da bolha é 5m/s. L é o espaçamento

entre as sondas o qual é de 112,5 mm e a freqüência de aquisição é de 3000 Hz.

O erro máximo de incerteza obtido para a velocidade da bolha é:

2

2 2VB

5 2. 0,02 0,0116 0,03758 4%0,1125 3000

⎛ ⎞∈ ≤ + + = ≈⎜ ⎟

⎝ ⎠, (2.14)

então a máxima incerteza que se tem na medição da velocidade da bolha é 4%.

25

Incerteza do Comprimento da Bolha e Pistão

As equações do comprimento da bolha e pistão são apresentadas na Eq. (2.6) e (2.7)

respectivamente, onde elas dependem da velocidade da bolha e o tempo que demora a bolha

alongada ou pistão de líquido em passar por uma sonda respectivamente.

As incertezas do comprimento da bolha e do comprimento do pistão são apresentadas nas

seguintes relações:

2 2 2LB VB TB FC∈ = ∈ + ∈ + ∈ (2.15)

2 2 2LS VB TS FC∈ = ∈ + ∈ + ∈ (2.16)

Como a taxa de aquisição é de 3000 Hz, e os tempos de i, jtb e i, jts para o teste com JG e JL de

30 cm/s e 60 cm/s respectivamente foram maiores que 0,1 segundos então a incerteza ocasionada na

medição é insignificante.

As incertezas ocasionadas pela escolha do fator de corte para o comprimento da bolha e o

comprimento do pistão foram de 3,2 e 5,1 respectivamente, como foi apresentado na Tabela 2.1.

Substituindo os valores na Eq. (2.15) e (2.16) se obtém:

2 2LB 0,04 0,032 5,122% 5,5%∈ = + = ≈ (2.17)

2 2LS 0,04 0,051 6,48% 6,5%∈ = + = ≈ (2.18)

As maiores incertezas encontradas na medição dos comprimentos da bolha alongada e pistão

de líquido foram 5,5% e 6,5%, respectivamente.

Incerteza da Freqüência

Para o cálculo da freqüência foi usada a Eq. (2.8), onde ela depende exclusivamente do tempo

que demora a unidade em passar por uma sonda.

26

A incerteza na medida da freqüência é apresentada a seguir:

( )( ) ( )2 2 2f Ts Tb FC. 1 .∈ = ∈ −β + ∈ β + ∈ , (2.19)

onde Tsi,j

2f.ts

∈ = , Tbi, j

2f.tb

∈ = e o fator de intermitência, β, que é definido como sendo a razão entre

os tempos de residência da bolha com o sensor e o tempo total, veja seção 4.3.

O valor da freqüência é de 3000 Hz, então o valor destas incertezas é muito pequeno pelo qual

pode-se considerar como desprezíveis, portanto a incerteza da freqüência vai depender basicamente

da incerteza relacionada ao fator de corte. A incerteza da freqüência ao igual que a incerteza causado

pelo fator de corte, foram 1,27%.

2.4. PROCEDIMENTO DOS TESTES

Para iniciar um teste é necessário ligar os compressores de ar e levar a linha até a inclinação

desejada. O próximo passo é ajustar as vazões de ar e água desejadas para o experimento e aguardar

entre 5 a 10 minutos para que o sistema entre em regime permanente. Quando o escoamento está

estável são feitas 3 aquisições com duração de 2 minutos para cada par de vazões de água e ar. A

grade de testes realizada está mostrada na Tabela 2.2, onde JL é a velocidade superficial da água e JG

é a velocidade superficial do ar. As inclinações da linha durante os testes variaram de 0° a 90° com

intervalos de 15°. Na grade de testes os valores de JG são valores referentes ao ar na pressão

atmosférica (947 mbar e 25°C).

A Tabela 2.2 apresenta a grade de testes que foi escolhida para realizar os experimentos e a

qual permite estudar pontos que contem a mesma velocidade de mistura, J e mesma razão gás-

líquido, RGL, assim como é mostrado na Figura 2.14. A velocidade mínima e máxima da mistura

foi de 90 e 330 cm/s, respectivamente.

A Figura 2.15 apresenta o mapa de padrões para escoamentos na linha horizontal e vertical

juntos com os pontos experimentais. Pode-se observar que os dados estão todos em padrão

27

intermitente, mas tem um dos dados que esta no limite entre escoamento intermitente e agitado na

configuração vertical.

Tabela 2.2. Grade de testes realizada para cada inclinação da linha Teste # JL (cm/s) JG (cm/s)

1 30 602 30 903 30 1504 60 305 60 606 60 1207 90 908 120 609 120 120

10 120 210

0

30

60

90

120

150

0 30 60 90 120 150 180 210

J L(c

m/s

)

JG (cm/s)

Figura 2.14 Representação dos pontos de testes num mapa JLxJG.

28

0,01

0,1

1

10

0,1 1 10 100

J L/ [

m/s

]

JG / [m/s]

Horizontal

Bolhas Dispersas

Anular

Intermitente

LisoOndulado

0,01

0,1

1

10

0,01 0,1 1 10

J L/ [

m/s

]

JG / [m/s]

Vertical

Bolhas Dispersas

Bolhas

Intermitente

Agitado

Anular

Figura 2.15 Mapa de padrões para escoamentos na linha horizontal e vertical. ◊ Pontos

experimentais.

2.4.1. PROCEDIMENTO PARA BOLHA ISOLADA

O aparato experimental usado para calcular a velocidade de ascensão de uma bolha isolada em

líquido estacionário (velocidade de deslizamento), foi o mesmo que aquele que foi usado para o

estudo do escoamento intermitente continuo porém com algumas modificações. A Figura 2.16 traz

uma representação gráfica do aparato experimental usado, com as suas respectivas modificações.

Observa-se que só foi usada a linha de água.

Foram realizados testes para determinar a velocidade de ascensão de uma bolha isolada com

diversas inclinações da linha com líquido estagnado (JL=0). Para cada ângulo de inclinação da linha

foram feitos 5 testes, para ter certeza da concordância dos dados. Os ângulos de inclinação variaram

de 15 em 15 graus começando da posição vertical (90°). A exceção ocorre para o último valor onde

a variação foi de 10°, correspondendo a um ângulo final de 5°.

29

Figura 2.16 Esquemático do circuito experimental para calcular a velocidade drift.

O procedimento de medida da velocidade e comprimento da bolha é o mesmo daquele

utilizado para o estudo de escoamento intermitente, entretanto o manejo da seção de testes é

diferente. Para realizar um teste, primeiro a bomba é ligada para circular água na seção de testes. Em

seguida a válvula (c) é fechada e a bomba é desligada garantindo que toda seção está cheia de água.

Com a válvula (A) fechada, abre-se a válvula (B) para entrar ar no trecho entre a válvula A-B. Em

seguida a válvula (B) é fechada e aberta a válvula (A) liberando uma bolha isolada na seção de teste.

O volume da bolha liberada foi de 160 ml a pressão atmosférica, isto fui possível porque o volume

do trecho A-B da Figura 2.16 foi sempre o mesmo. Nas estações 1 e 2 foram adquiridos os dados

dos sensores de impedância para determinar a velocidade de ascensão e comprimento da bolha.

30

3. VELOCIDADE DA BOLHA DE GÁS

O objetivo desta seção é analisar a velocidade de deslocamento do nariz da bolha para diversas

vazões de água e ar, em tubulações com inclinação variando da horizontal para vertical.

O estudo da velocidade da bolha de gás possui um papel central no escoamento intermitente

uma vez que a bolha é responsável pelo transporte da maior parcela de gás no escoamento. Por este

motivo, conhecer o comportamento do movimento da bolha é de fundamental importância para o

desenvolvimento de modelos para predição de escoamento, tais como, os modelos de célula unitária,

de mistura e de dois fluidos.

A velocidade de deslocamento do nariz da bolha está relacionada com a inclinação e o

diâmetro da tubulação, com as velocidades das fases, e também, com as propriedades dos fluidos,

viscosidade, densidade e tensão superficial.

Os estudos para determinação da velocidade de deslocamento da bolha no escoamento

intermitente foram obtidos na sua maioria sob condições experimentais, em escoamento vertical

ascendente e horizontal com líquido em movimento e líquido parado. Entretanto, há poucos estudos

descrevendo o comportamento da bolha para tubulações inclinadas.

Os primeiros estudos relativos à velocidade de ascensão da bolha surgiram na década de 40

com os trabalhos de Dumitrescu (1943) e, posteriormente, Davies & Taylor (1949), e aplicam-se ao

movimento de bolha isolada em uma coluna de líquido estagnado na vertical. O principal resultado

dos trabalhos foi mostrar que a velocidade de ascensão da frente da bolha, VB, é dada por uma

31

relação cinemática proporcional a raiz quadrada do produto do diâmetro do tubo e a aceleração da

gravidade:

G

L

ρVB C g.D 1-ρ∞

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, (3.1)

onde C∞ é um parâmetro a ser determinado experimentalmente, Gρ e Lρ são as densidades do gás e

líquido respectivamente. Esta velocidade é também conhecida como velocidade de deslizamento ou

“drift”, e será abordada na seção 3.2.

Nicklin et al. (1962) estenderam a aplicação da Eq. (3.1) para casos em que o líquido está em

movimento. Neste caso, além da velocidade de deslizamento ele propõe um novo termo à VB que é

proporcional à velocidade média do líquido na frente da bolha, LV :

G0 L

L

ρVB C V +C g.D 1-ρ∞

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, (3.2)

onde C0 é conhecido como parâmetro de distribuição.

Para uma seqüência de pistões de líquido seguidos por bolhas alongadas, Nicklin et al. (1962)

propõe que a velocidade média do líquido a frente da bolha seja proporcional à velocidade de

mistura, J. Assim a Eq. (3.2) passa a ser escrita:

G0

L

ρVB C J C g.D 1-ρ∞

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠, (3.3)

onde L GQ +QJA

= sendo que QL e QG representam as vazões de líquido e gás respectivamente, e A é

a área transversal da tubulação. A hipótese baseia-se no balanço de massa aplicado a golfadas

contínuas, que mostra que para pistões não aerados a velocidade média do líquido no pistão é igual à

velocidade da mistura.

32

Para uma melhor compreensão dos resultados a serem apresentados, a seção foi estruturada em

três partes: análise do parâmetro C∞, análise do parâmetro C0 e análise da flutuação de VB. As duas

primeiras partes por sua vez estão subdivididas em tópicos que tratam sobre escoamento horizontal,

vertical e inclinada juntamente com a revisão dos trabalhos prévios e apresentação dos dados

experimentais.

3.1. PARÂMETRO DE DESLIZAMENTO, C∞

O parâmetro de deslizamento é o valor adimensional da velocidade de deslizamento de uma

bolha em líquido estagnado, que é denominado por alguns autores como número de Froude, Fr. Há

um grande número de trabalhos na literatura abordando este assunto.

Zukoski (1966) afirma que a velocidade de deslizamento de uma bolha de gás escoando em

líquido estagnado numa tubulação de diâmetro D depende da viscosidade dinâmica, da densidade do

líquido e do gás e da tensão superficial σ. A velocidade de deslizamento, V0, passa a ser estimada

pela eq. (3.4).

0L

ΔρV C gDρ∞= , (3.4)

onde o parâmetro de deslizamento depende dos números de Reynolds e Eotvos, e do ângulo de

inclinação:

0

L

VCΔρgDρ

∞ = , onde ( )C C Re, Eo,θ∞ ∞= . (3.5)

Por sua vez, os grupos adimensionais Reynolds e Eotvos são definidos como:

( )3

L G L

L

D .g ρ -ρ ρRe

μ= (3.6)

33

( ) 2L Gρ -ρ gD

Eoσ

= , (3.7)

onde μL é a viscosidade dinâmica da fase líquida e σ é a tensão superficial.

Neste trabalho optou-se por analisar o efeito da inclinação do tubo em C∞ de forma separada:

(a) escoamentos verticais, (b) horizontais e (c) inclinados.

3.1.1. ESCOAMENTO VERTICAL

Dumitrescu (1943) e posteriormente Davies e Taylor (1949), estudaram o movimento de uma

bolha isolada em líquido estagnado. Assumindo desprezíveis os efeitos de viscosidade e tensão

superficial, e obtiveram a seguinte relação para a velocidade de deslizamento:

0L

ΔρV C g.Dρ∞= . (3.8)

Para um escoamento de ar e água em tubulação vertical, foi obtido C∞=0,351 segundo

Dumitrescu e C∞=0,328 segundo Davis e Taylor. Atualmente o valor aceito é C∞=0,345. Da Eq.

(3.8), pode-se dizer que a velocidade de ascensão da bolha em líquido estagnado, sem efeitos de

viscosidade e de tensão superficial, só depende do diâmetro da tubulação. Note que o comprimento

da bolha não tem influência na sua velocidade. Collins et al. (1978) mostram, numa abordagem

analítica, que a velocidade da bolha é governada pelo processo de drenagem do líquido à sua frente

pelo filme de líquido da bolha existente junto à parede do tubo.

Talvez pelo pioneirismo do trabalho, White e Beardmore (1962) expressaram os efeitos da

viscosidade por meio do número de Morton e Eotvos. Os trabalhos que sucederam optaram pela

definição de Re como dado pela Eq. (3.6), veja por exemplo Zukoski (1966), Wallis (1969) e Viana

et. al.(2003).

White e Beardmore (1962) classificaram o regime de velocidade da bolha em 6 regiões, a

saber: dependente da viscosidade e tensão superficial, independente da viscosidade, independente da

tensão superficial, independente de efeitos inerciais, independente da viscosidade e tensão

34

superficial e a região na qual as bolhas não escoam. Esta classificação baseia-se em grupos

adimensionais que governam a velocidade da bolha, como número de Eotvos, Eo, número de

Morton, M, e número de Froude, Fr, onde:

4

L3

L

gμMρ σ

= , (3.9)

0VFrgD

= . (3.10)

Na Figura 3.1 é apresentado o mapa proposto por White e Beardmore, com linhas de Fr

constante em função de EO e M, onde pode-se observar as 6 regiões. Para referência, os dados

experimentais deste trabalho situam-se na região V, onde os efeitos da viscosidade e da tensão

superficial são desprezíveis (EO=95, M=2,35.10-11) como é mostrado na figura. O ponto apresentado

corresponde a Fr de 0,33.

Wallis (1969) mostra que no escoamento vertical de uma bolha isolada os efeitos de

viscosidade são desprezíveis quando Re>300, mas para o caso no qual a tensão superficial é

considerável, Wallis (1969) propõe a seguinte relação para a velocidade de deslizamento:

V 3,37-EoC 0,345 1-exp10∞

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, (3.11)

onde VC∞ é o valor de C∞ para escoamentos na vertical. Esta relação mostra que C∞ diminui com o

aumento da tensão superficial ou diminuição de Eo.

Zukoski (1966) propõe que os efeitos de tensão superficial passam a ser desprezíveis quando

Eo>10 o qual não tem concordância com o mapa de White e Beardmore (1961), porque para ele o

valor deve ser Eo>50.

Viana et. al.(2003) propuseram uma correlação para velocidade de deslizamento da bolha em

linha vertical por meio de uma extensa base de dados experimentais:

35

V0,58

3,06

0,34C38051+Eo

∞ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, para Re>200 (3.12)

-3

V 1,0260,5793

2,561

9,494x10C .Re61971+Eo

∞ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, para Re<10 (3.13)

[ ]VGC

AC L Re;A,B,C,GRe1+B

∞ = =⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, para 10<Re<200, (3.14)

onde A=L[EO;a,b,c,d], B=L[EO,e,f,g,h], C=L[EO;i,j,k,l], G=m/C e os parâmetros (a,b,c,...,l) estão

definidos em Viana et al. (2003).

Figura 3.1. Gráfico apresentado por White e Beardmore (1962) onde mostra as linhas de contorno de Froude em função dos números de Eotvos e Morton.

36

3.1.2. ESCOAMENTO HORIZONTAL

No escoamento horizontal o valor para C∞ não é consensual. Alguns pesquisadores

consideram nula a velocidade de translação da bolha em escoamento horizontal pelo fato da força

gravitacional não agir na direção do escoamento, Gregory e Scott (1969), Dukler e Hubbard (1975)

entre outros. Outros pesquisadores apontam a existência de C∞ no escoamento horizontal pelo fato

de existir deslizamento resultante da diferença de elevação entre o nariz da bolha e seu corpo,

Nicholson et al. (1978), Bendiksen (1984) e Kouba (1986).

Benjamin (1968) fez um estudo sobre a velocidade de deslizamento de uma bolha em uma

tubulação com líquido estagnado em escoamento horizontal sem atrito. Ele propôs que a velocidade

de deslizamento é igual a velocidade de propagação da bolha quando uma tubulação cheia de líquido

é aberta uma das suas extremidades. O valor encontrado foi de HC∞ =0,542, onde HC∞ é o valor do

parâmetro de deslizamento, C∞, para escoamentos na horizontal.

A dependência de C∞ com a tensão superficial foi modelada por Zukoski (1966) e

posteriormente por Weber et al. (1986). Eles mostraram que a velocidade de deslizamento horizontal

diminui com o aumento da tensão superficial. Weber (1981) propõe uma relação para a velocidade

de deslizamento, em escoamento horizontal, considerando efeito da tensão superficial. Nesta relação

o parâmetro HC∞ é expresso por:

( )H -0,56C 0,542-1,76.Eo∞ = . (3.15)

Não há trabalhos que determinam a dependência de HC∞ com a viscosidade da fase líquida.

3.1.3. ESCOAMENTO INCLINADO

Estudos de velocidade de deslizamento da bolha em líquido estagnado em tubulação inclinada

foram feitos por Zukoski (1966), Bendiksen (1984) e Alves et al. (1993). Eles mediram a velocidade

de uma única bolha para diversos líquidos em tubulações com diâmetro e inclinações variáveis.

37

Bendiksen (1984) propõe uma relação para a determinação da velocidade de deslizamento em

líquido parado a partir da média ponderada da velocidade de deslizamento para as posições

horizontal e vertical, assim o parâmetro de deslizamento, C∞ é:

( ) ( )H VC C cos θ C sen θ∞ ∞ ∞= + , (3.16)

Weber et al. (1986) propõe uma relação baseando-se na equação de Bendiksen (1984) porém

adiciona um coeficiente em função do valor que C∞ assume:

( ) ( )H VC C cos θ C sen θ +Q∞ ∞ ∞= + , (3.17)

onde o termo de correção, Q, é uma função do diferencial do número de Froude vertical e horizontal, V HΔC C - C∞ ∞ ∞= :

( ) ( )2/3

ΔC 0 Q 0Se

ΔC 0 Q 1,37.(ΔC ) .sen θ . 1- sen θ∞

∞ ∞

≤ → =⎧⎪⎨ ⎡ ⎤> → =⎪ ⎣ ⎦⎩

. (3.18)

Hasan e Kabir (1988) propõem, baseados em dados experimentais, a relação:

( ) ( )0,5 1,2VC C sen θ . 1 cos θ∞ ∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.19)

Para fins de comparação a Figura 3.2 mostra as três correlações. Observa-se que as correlações

coincidem com a velocidade de deslizamento na vertical e apresentam um máximo entre as

inclinações de 30 e 45 graus. O valor do parâmetro de deslizamento para a vertical foi considerado

como 0,345 para os três autores, no caso da horizontal este valor foi considerado como 0,542 para

Bendiksen (1984) e Weber et al. (1986); por outro lado foi considerado como nulo por Hasan e

Kabir (1988), porque eles consideram nula a velocidade de translação da bolha isolada em

escoamento horizontal.

Alves et al. (1993) estenderam o trabalho de Benjamin (1968), aplicando ao escoamento com

ausência de efeitos viscosos porém com a influência da tensão superficial. Sua maior contribuição

consiste em modelar os efeitos de tensão superficial no escoamento, para diversas inclinações. Os

38

resultados são coincidentes com os dados experimentais de Zukoski (1966) e com as previsões do

modelo proposto por Bendiksen (1984).

Todos estes modelos reportam um comportamento peculiar do parâmetro de deslizamento, ele

apresenta um máximo para inclinações entre 40° a 60°. Bonnecaze et al. (1971) propuseram uma

explicação qualitativa para este comportamento com base no potencial gravitacional que move o

líquido abaixo do nariz da bolha. Segundo Bonnecaze o potencial gravitacional aumenta, a medida

que se afasta da vertical atingindo um máximo e depois decresce em direção a posição horizontal.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

C∞

Ângulo de inclinação, graus

Bendiksen

Hasan & Kabir

Weber et al.

Figura 3.2. Comparação entre as correlações para velocidade de deslizamento em tubo

inclinado.

3.1.4. EFEITO DA EXPANSÃO DO GÁS NO DESLOCAMENTO DE UMA BOLHA ISOLADA

Uma bolha de gás ao se deslocar numa tubulação vertical sob a ação da gravidade apresenta

uma velocidade de deslocamento que varia com a altura e também com o seu volume (Polonsky et

al. 1999). À medida que a bolha se desloca verticalmente no tubo, a coluna hidrostática que está

submetida diminui e o volume de gás se expande. O Anexo I traz uma análise desse fenômeno de

expansão. De acordo com a Eq. (A.1.10) do Anexo I pode-se estimar a correção na velocidade de

translação da bolha devido à expansão do gás por meio da expressão:

39

( )i

0

1VB C g.D1- C .ε H∞

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

, (3.20)

Onde C0 é o parâmetro de distribuição explicado com mais detalhe na seção 3.2, e o parâmetro ε

depende da altura da coluna de líquido H acima do nariz da bolha, da inclinação θ do tubo, do

volume da bolha, *B∀ , nas condições P* e T* de referência, da área transversal do tubo, A, da

densidade do líquido e da aceleração da gravidade:

( )( )

( )

* *B

Li2

a

L

P.A ρ .g.sen θε H

P +Hρ .g.sen θ

⎛ ⎞⎛ ⎞∀⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. (3.21)

Reconhecendo que a velocidade de translação da bolha é igual à taxa de variação da altura da

coluna de líquido, isto é, VB=-dH/dt, então a Eq. (3.20) pode ser re-escrita como:

( )i

0

dH 1C g.Ddt 1- C .ε H∞

⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

. (3.22)

O procedimento experimental para realizar a medida da velocidade da bolha isolada

considerou um intervalo de tempo que a bolha gastou para viajar de uma posição H1 para a posição

H2 no tubo, sendo que H2 e H1 são as distancias desde o nível do líquido até as estações E2 e E1,

respectivamente, onde nível do líquido fica 1,28m acima da E2, porém H1>H2. A velocidade de

deslizamento da bolha foi tomada como sendo uma média entre as posições H1 e H2. Neste caso não

é possível aplicar diretamente a Eq. (3.22) porque ela fornece a correção para o parâmetro C∞ em

função da altura H e de sua derivada e não um valor médio entre alturas. Entretanto, pode-se

exprimir uma velocidade média de translação da bolha integrando a Eq. (3.22) da altura H1 à altura

H2 quanto o tempo variou Δt.

( )2

1

H ti

0H 0

1 C .ε H dH C gD dt∞⎡ ⎤− = −⎣ ⎦∫ ∫ , (3.23)

40

considerando que no instante inicial, t=0, a coluna de líquido acima da bolha era H1 e que no

instante t= Δt a altura da coluna passa a ser H2, H2<H1. Resolvendo a integral e explicitando o

parâmetro C∞ chega-se ao fator de correção:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

* *B1 2

0a 1 a 2

A H sen θH -H ΔtC 1 C

H sen θ +H H sen θ +HgD∞

⎧ ⎫∀⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

, (3.24)

onde as alturas H* e Ha representam as alturas hidrostáticas referentes a pressão de referencia e à

pressão atmosférica:

*

*

L

PHρ g

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, a

aL

PHρ g

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠. (3.25)

Note que o fator (H1-H2)/Δt na Eq. (3.24) define a velocidade média entre as alturas H1 e H2,

que foi medido experimentalmente. Portanto , o termo entre chaves na Eq. (3.24) é interpretado

como o fator de correção para o parâmetro C∞ devido à expansão da bolha.

3.1.5. EFEITO DA AERAÇÃO DO PISTÃO DE LÍQUIDO EM C∞

Os estudos apresentados até o momento referem-se à determinação da velocidade de

deslizamento onde há apenas uma bolha na tubulação e o líquido, longe do nariz da bolha, está

estacionário. No entanto, é muito mais comum ocorrer uma seqüência de bolhas separadas por

pistões de líquido em movimento. Freqüentemente isto é denominado por escoamento intermitente

contínuo. Neste cenário, o pistão de líquido pode ficar aerado com bolhas dispersas que se

desprendem da cauda da bolha que está na sua frente. A velocidade das bolhas dispersas no pistão de

líquido pode ser maior, igual ou menor que a velocidade da bolha alongada que segue o pistão de

líquido. Na eventualidade da velocidade da bolha alongada ser superior à velocidade das bolhas

dispersas no pistão de líquido que vem a sua frente, o seu nariz passa a incorporar as bolhas

dispersas que, eventualmente são desprendidas na cauda da bolha alongada.

O ângulo de inclinação tem um impacto significativo no aeramento do pistão de líquido.

Gomez et al. (2000) fizeram uma coleta de dados experimentais médios no pistão de líquido e

41

encontram a tendência do aeramento no pistão de líquido aumenta com o aumento do ângulo de

inclinação.

O efeito da agregação das bolhas dispersas faz com que a velocidade do nariz da bolha

aumente. Portanto pode-se identificar um segundo mecanismo responsável pela velocidade de

translação da bolha: a incorporação de bolhas dispersas pelo nariz da bolha que segue o pistão. Van

Hout et al. (2002) fizeram um estudo sobre este fenômeno e propuseram que o fenômeno de

agregação das bolhas dispersas seja incorporado ao modelo cinemático de velocidade da bolha,

Eq.(3.3), na forma de uma correção ao parâmetro de deslizamento, C∞. A variação da velocidade

devido ao transporte da bolha pelo líquido em movimento continua sendo modelada somente pelo

parâmetro de distribuição, C0. Deste modo a velocidade efetiva do nariz da bolha passa a ser dada

pela contribuição do termo de Nicklin, Eq.(3.3), aqui denominado por VB0, acrescido por um termo

de agregamento de bolhas:

( )d,B d,S0

SB S

U UVB VB

−= + α

α − α, (3.26)

onde Ud,B e Ud,S referem-se às velocidades de deslizamento da bolha alongada e das bolhas dispersas

no pistão de líquido; αS e αB representam a fração de vazios no pistão de líquido e na região da

bolha alongada. Por último VB0 representa a velocidade da bolha se αS = 0, isto é, pistão não aerado.

A forma final da Eq. (3.26) vem de um balanço de volume da fase gasosa mostrado no Apêndice II.

A Eq. (3.26) assume implicitamente que o parâmetro C0 para a bolha alongada e para as bolhas

dispersas são iguais. Isto pode não ser sempre verdade, por esta razão a Eq. (3.26) é re-escrita em

termos das velocidades absolutas da bolha alongada e das bolhas dispersas no pistão, veja Apêndice

II:

( )0 0 Sb

B S

VB VB VB U α= + −

α − α, (3.27)

sendo que Ub é a velocidade das bolhas dispersas no pistão de líquido e VB0 é a velocidade sem a

correção da incorporação de bolhas:

42

0 00

L

ρVB C J C g.Dρ∞

Δ= + , (3.28)

com coeficientes de C0 e C∞ definidos de acordo com a Tabela 3.3.

A Eq. (3.27) reduz para igualdade, VB=VB0, quando αS = 0 significando que os coeficientes

C0 e C∞, que definem a relação cinemática de VB, são coincidentes com os coeficientes C0 e C∞ para

pistão de líquido não aerado. Além disto, as definições dadas nas Eq. (3.27) e Eq. (3.28) pressupõem

que o C0, válido para os casos onde αS = 0, seja também o mesmo para αS>0, uma vez que C0

depende somente da razão entre as velocidades máxima e média e não da fração de vazios. Por

último, a correção para VB, Eq. (3.27), só existe se a velocidade de translação de bolha for superior

à velocidade das bolhas dispersas, isto é, somente se VB>Ub, caso contrário as bolhas dispersas

viajarão mais rápido que a bolha alongada, e portanto, não haverá incorporação do gás das bolhas

dispersas junto ao nariz da bolha alongada. No cenário que as bolhas dispersas fossem mais rápido

que a bolha alongada e conseguissem alcançar a esteira da bolha alongada que está na sua frente,

acreditasse que ele pode recircular na esteira da bolha ou se incorpora na bolha alongada.

Diferença de velocidade (VB0-Ub)

A velocidade das bolhas dispersas no pistão é estimada utilizando a seguinte relação:

0

bb dU C J U= + . (3.29)

Onde 0

bC é o parâmetro de distribuição das bolhas dispersas e Ud é a velocidade de drift das bolhas

dispersas.

Para um escoamento de ar e água, as bolhas dispersas no pistão de líquido tomam a forma

distorcida. O parâmetro de distribuição e sua velocidade de deslizamento são dados por (Ishii,

1977):

43

( ) ( )

b G0

L

1 4n

d S2L

ρC 1, 2 0, 2ρ

ΔρU 2 σg 1-α sen θρ

= −

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

, (3.30)

onde o expoente n vale 7/4 se as bolhas estão no regime distorcido ou 0 se elas estão no regime

agitado (churn bubbly flow). Os parâmetros C0 e 0C∞

estão definidos na Tabela 3.3 em função de Re,

FrJ, Eo e θ.

Fazendo a diferença entre as Eqs. (3.28) e (3.29) obtém-se uma expressão para a diferença de

velocidade:

( )0 b 0b 0 0 d

L

ΔρVB - U C - C J C gD - Uρ∞

⎛ ⎞⎡ ⎤= + ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟

⎝ ⎠. (3.31)

A Eq. (3.31) só se aplica se a diferença for positiva, então a expressão pode ser expressa na

forma adimensional através do parâmetro Γ:

( ) ( )0b

L

VB -Uγ

ΔρgDρ

Γ = . (3.32)

O parâmetro Γ revela, de forma quantitativa, a velocidade relativa da bolha alongada em

relação às bolhas dispersas; ele revela um potencial de agregação de bolhas dispersas a frente do

nariz da bolha, onde Γ e γ estão definidos como:

( )

( ) ( )b 0 d0 0 J O

L

γH γ ,

Uγ C θ - C Fr C θ,E -ΔρgDρ

∞

Γ =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, (3.33)

44

onde H(γ) é a função degrau definida como H(γ)=1 se γ>0 e H(γ)=0 se γ≤0. Incluindo a definição da

velocidade de deslizamento das bolhas da Eq. (3.30) na Eq. (3.33) chega-se a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nSb 0

J O S 0 0 J O 1 4O

2 1-α sen θγ θ,Fr ,E ,α C θ - C Fr C θ,E -

E∞

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎜ ⎟= +⎣ ⎦ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.34)

Γ e γ podem ser estimados uma vez conhecidas as condições operacionais: diâmetro e

inclinação da tubulação, Froude, Eotvos e fração de vazios no pistão de líquido.

Parâmetro αS/(αB-αS)

O parâmetro αS/(αB-αS) está associado às frações de vazio de gás no pistão e na região da

bolhas de gás. Utilizando a expressão para a fração de vazios na unidade pistão-bolha (Taitel e

Barnea 1990):

( )G b SU

J + VB-U αα

VB= , (3.35)

e reconhecendo que αU também pode ser expresso em função do fator de intermitência, β, e das

frações de vazios no pistão e na bolha:

( )U S Bα α 1-β α β= + , (3.36)

onde LBβLB+LS

= ; pode-se encontrar seguinte equação pela substituição da Eq. (3.36) na Eq. (3.35):

( ) G b SB S

J -U .αα αVB.β

− = . (3.37)

A partir da Eq. (3.37) pode-se estimar o parâmetro αS/(αB-αS) como:

( )

S S

B S G b S

α α .VB.βα α J -U .α

=−

. (3.38)

45

O modelo proposto baseia-se no fato que o filme de líquido ao redor da bolha alongada não é

aerado. Além disto, por ser um modelo unidimensional, é considerado que o gás está distribuído de

forma uniforme no pistão de líquido. Sabe-se, a priori, que esta hipótese é fraca no sentido que a

esteira da bolha influencia fortemente a concentração das bolhas e também que as bolhas se

distribuem de forma assimétrica dentro do pistão devido ao empuxo que varia de acordo com a

inclinação do tubo.

Correção do Parâmetro de Deslizamento, ΔC∞

O excesso de velocidade devido ao efeito de aeração é estimado substituindo-se as Eqs. (3.38),

(3.32) e (3.28) na Eq. (3.27) encontrando-se que:

( )0 S

L G b S

α .VB.βΔρVB VB γ gD .ρ J -U .α

= + Γ . (3.39)

Considerando que VB e VB0 compartilham o mesmo C0, então VB-VB0 expressa a diferença

entre os parâmetros de deslizamento do escoamento com e sem efeito de aeração,

( ) S

G b S

α .VB.βC γ .J -U .α∞Δ = Γ . (3.40)

Com os dados experimentais colhidos durante os experimentos não é possível determinar a Eq.

(3.40). Seria necessário conhecer experimentalmente como αB, αS e Ub variam com as condições

operacionais incluindo vazões e inclinações. O fenômeno de aeração do pistão ainda é pouco

estudado. As correlações disponíveis baseiam-se em dados experimentais e aplicam-se para

condições próximas daquelas que os dados foram obtidos.

Além dos aspectos experimentais há dúvidas se este modelo unidimensional pode de fato ser

aplicado. O escoamento na traseira da bolha é caracterizado por uma esteira que altera a velocidade

das bolhas dispersas assim como sua concentração. Ao assumir uma correlação para Ub pressupõe-

se que a velocidade seja uniforme, o que pode não ser verdade na zona de influência da esteira.

Outro aspecto é a concentração de gás, sabe-se que a distribuição de gás ao longo do pistão de

líquido não é uniforme de forma que assumir um valor uniforme ao longo de todo pistão de líquido

46

pode incorrer em erros, se considerarmos que o que conta é a concentração de gás próxima ao nariz

da bolha alongada.

A falta de correlação entre as previsões do modelo proposto na secção 3.1.5 e os dados

experimentais deve-se, entre outros fatores, ao fato do modelo considerar o escoamento na esteira

unidimensional e uniforme em toda extensão axial do pistão de líquido. Especificamente considerar

que a fração de vazios no pistão de líquido é uniforme na seção transversal e também uniforme na

extensão axial do pistão de líquido é inapropriado. Além disto, tomar o campo de velocidades na

esteira da bolha como uniforme também é outra aproximação grosseira.

Os trabalhos que tratam do escoamento na esteira de bolhas alongadas de gás não são muitos,

os dados experimentais são escassos e as teorias analíticas ou fenomenológicas são poucas devido a

complexidade do escoamento nesta região. A meta do texto a seguir é apontar alguns trabalhos na

literatura que abordam especificamente a esteira das bolhas alongadas e sumarizar seus principais

desenvolvimentos com o objetivo de melhor apoiar o desenvolvimento de trabalhos futuros no

tópico da variação da velocidade da bolha devido a variação da fração de gás no pistão de líquido.

Pìnto et al. (1998) mostrou que a esteira de uma bolha alongada em escoamento vertical

ascendente se apresenta em dois padrões: aberta e fechada, independente do tipo de escoamento

apresentado na parte desenvolvida do pistão de líquido. Quando o líquido que escoa no filme

descendente sofre uma redução progressiva de velocidade até ocupar a área transversal total, a

esteira é denominada fechada, Figura 3.3(a). Se forem induzidas turbulências entre o escoamento de

líquido do filme e aquele que recircula na esteira, a forma da esteira torna-se irregular sendo

denominada aberta, Figura 3.3(b).

O trabalho de Pinto et al. (1996) foi estendido por Nogueira et al. (2006) identificando num

mapa, em função do número inverso da viscosidade cinemática (Nf=(gD3)1/2/ν) para as diferentes

formas da esteira do escoamento vertical ascendente. Para Nf<500, ocorre esteira simétrica fechada

(esteira laminar); para 500<Nf<1500, a esteira é assimétrica fechada (esteira em transição) e para

Nf>1500, a esteira está aberta com recirculação (esteira turbulenta). Segundo Nogueira para

escoamentos com esteira turbulenta o comprimento mínimo do pistão critico para coalescência entre

47

duas bolhas alongadas é de 12.5D, mas segundo Pinto (1998) é de 5D, onde mostra que o

comprimento de esteira é normalmente 24% do comprimento mínimo. Nos dados experimentais

apresentados Nf~13000 mostrando assim que a esteira é turbulenta quando a tubulação esta

posicionada na vertical.

Figura 3.3 Representação esquemática do escoamento do líquido na traseira da bolha quando a

esteira é fechada (a) e aberta (b)

Pinto et al. (1996) em seu estudo de coalescência de bolhas em líquido estagnado conclui que

quando o nariz da bolha entra na região de aeramento das bolhas a sua frente, faz com que a

interação entre as duas seja forte fazendo com que a coalescência entre as duas seja quase

instantânea, isto foi observado experimentalmente como uma aceleração aparente entre as duas

bolhas quando estavam próximas a coalescer.

O trabalho de Guet et al. (2006) desenvolve um modelo fenomenológico para a fração de

vazios no pistão de líquido reconhecendo três zonas distintas: bolha alongada, zona de esteira

próxima à bolha alongada e região do pistão de líquido desenvolvida como apresentado na Figura

3.4.

48

O modelo é complexo, pois necessita da solução simultânea de um sistema de onze equações

algébricas simultaneamente. Entretanto ele é promissor pois considera a extensão axial da esteira e

do pistão de líquido desenvolvido.

Figura 3.4 Regiões no escoamento intermitente, Bolha alongada, zona de esteira próxima à

bolha alongada e região do pistão de líquido desenvolvida

3.1.6. MEDIDAS EXPERIMENTAIS DE C∞

A técnica experimental de medida e o aparato experimental estão descritos no capítulo 2 seção

2.4.1. A velocidade de ascensão da bolha em líquido estagnado foi calculada como a razão entre

distância entre as estações 1 e 2 e o tempo que demora uma bolha para percorrer está distância. Para

validação de dados foram feitos 5 testes para cada ângulo de inclinação. A fase líquida usada foi

água (1040 Kg/m3, μ=9,899.10-4 Kg/m.s, σ=0,07273 N/m) e a parte gasosa foi ar. Os parâmetros

adimensionais do escoamento foram: Eo=95, M=2,35.10-11 e Re=13800.

Os dados experimentais obtidos são apresentados na Tabela 3.1 e representados na Figura 3.5.

Observa-se que o parâmetro de deslizamento aumenta desde a vertical até atingir seu valor máximo

entre 30 e 45 graus e depois decresce até chegar a uma inclinação de 0 grau. Os valores de C∞ para a

49

vertical e horizontal são 0,356 e 0,42 respectivamente, onde o último foi obtido por extrapolação,

pois o menor inclinação medida foi de 5 graus.

Tabela 3.1. Valores de C∞ experimentais e corrigidos. Inclinação C∞ Correção C∞

(graus) Experimental Corrigido90 0,356 0,968 0,34575 0,413 0,969 0,40160 0,460 0,971 0,44745 0,492 0,974 0,47930 0,493 0,980 0,48315 0,464 0,988 0,4595 0,436 0,995 0,434

Os dados experimentais de C∞ foram submetidos à correção devido ao efeito de expansão

conforme proposto pela Eq. (3.24). Os parâmetros utilizados durante o teste foram: pressão

atmosférica 946 mbar ou Ha=10,33m; H2=1,28 e H1=5,97m. A condição de referência é a pressão

atmosférica e a temperatura ambiente de 22°C. O volume da bolha na pressão atmosférica é de

153,6 ml e a área transversal do tubo é de 531 mm2. O fator de correção e o valor de C∞ corrigido

estão na Tabela 3.1. Os dados de C∞ corrigido em função do ângulo de inclinação estão mostrados

na Figura 3.5 para uma comparação direta contra os dados experimentais brutos.

50

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0 15 30 45 60 75 90

C ∞


Figura 3.5. Parâmetro de deslizamento de uma bolha isolada em função da inclinação da tubulação. ◊ - C∞ sem correção da expansão e - C∞ com correção da expansão.

Os dados experimentais são comparados contra estimativas de C∞ propostas na literatura. As

relações disponíveis para predição do parâmetro de deslizamento realizam uma média ponderada

dos valores de C∞ para horizontal e vertical com o ângulo de inclinação. Considerando que a

tubulação empregada possui 26mm ID é proposto o emprego das Eqs. (3.11) e (3.15) que

consideram o efeito da tensão superficial. Aplicando a Eq. (3.11) para escoamento vertical se obtém

que VC∞ =0,345, isto é, o escoamento é independente da tensão superficial. Para o caso de

escoamento horizontal se obtém que HC∞ =0,404. Estes valores foram usados nos modelos propostos

por Bendiksen (1984), Weber et al. (1986) e Hassan e Kabir (1988), como é observado na Figura

3.6.

51

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

C∞


Bendiksen

Hasan & Kabir

Weber

Experimental

Figura 3.6. Comparação dos dados experimentais com as correlações de diferentes autores.

Todos os modelos apresentados na Figura 3.6 coincidem em que o máximo valor de C∞ se

encontra entre uma inclinação de 30 e 45 graus. O modelo proposto por Hasan e Kabir (1988)

diverge para θ→0° porque ele não leva em conta a velocidade de deslizamento na horizontal. O

modelo de Weber tende a super-estimar os valores de C∞ em toda faixa de inclinações. O modelo

para C∞ que melhor representa os dados experimentais é o modelo proposto por Bendiksen (1984)

usando a correção da tensão superficial, Eq. (3.15).

52

3.2. PARÂMETRO DE DISTRIBUIÇÃO, C0

O nariz da bolha alongada de gás desloca-se aproximadamente com a velocidade máxima do

líquido a sua frente. Similarmente, o parâmetro C0 é definido de forma aproximada como sendo a

razão entre as velocidades média e máxima do líquido na tubulação (Nicklin et al., 1962; Bendiksen,

1984; Shemer e Barnea, 1987; Polonsky et al., 1999):

Max0

UCU

= . (3.41)

A velocidade de translação do nariz da bolha sendo sensível ao perfil de velocidades na sua

frente é, de forma indireta, dependente do regime do escoamento. Encontra-se C0 aproximadamente

igual a 1.2 para regime turbulento enquanto que para regime laminar o valor aproximado de C0 passa

a ser 2.0. Estes valores aplicam-se desde que o líquido, distante do nariz da bolha, apresente um

perfil de velocidades completamente desenvolvido. Infelizmente este cenário raramente ocorre. Por

exemplo, em um escoamento intermitente contínuo a presença das bolhas de gás dispersas no pistão

de líquido a frente da bolha altera o perfil de velocidades do líquido. Além disto, os pistões de

líquido que separam duas bolhas consecutivas freqüentemente não apresentam um comprimento

suficiente para que o perfil seja desenvolvido, neste caso a bolha que vem atrás está submetida a um

perfil de velocidades controlado pela esteira da bolha que está a sua frente. Correções na velocidade

de propagação da bolha foram propostas na forma de leis cinemáticas para capturar o efeito da

esteira induzida pela bolha que vem a sua frente, veja por exemplo os trabalhos de Griffith (1962),

Fagundes Netto (1999) e Cook & Bhenia 2000, e Mayor et al. (2008).

Para escoamento vertical ascendente Collins et al. (1978) e Bendiksen (1985) mostraram, por

meio de um modelo analítico, que C0 é uma função complexa do numero de Reynolds e o número de

Eotvos. Para regime turbulento Bendiksen (1985) propõe uma correção na expressão de C0,

originalmente proposta por Collins et al. (1978), levando em consideração o efeito da tensão

superficial:

( )0

EoV L40J J

L

.J.DlogRe+0,309 2C 1 3 log Re .e onde RelogRe-0,743 Eo

− ρ⎧ ⎫⎡ ⎤= − ⋅ − =⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ μ⎩ ⎭. (3.42)

53

Para regime turbulento, o aumento da velocidade de ascensão da bolha devido ao aumento da

velocidade do líquido diminui devido ao achatamento do perfil de velocidades quando ReJ aumenta.

A Figura 3.7 mostra a dependência de C0 com ReJ para o regime turbulento em função do parâmetro

Eo. Note que à medida que Eo diminui C0 também diminui. O modelo proposto pela Eq.(3.42) é

comparado contra os dados experimentais de Bendiksen (1984) como mostra a Figura 3.8. Para

regime laminar, o parâmetro C0 é independe de ReJ, mas o nariz da bolha viaja um pouco mais

rápido que a velocidade máxima do perfil, veja discussão em Bendiksen (1985):

0

EoV 8020C 2,29 1 3 eEo

−⎧ ⎫⎡ ⎤= − ⋅ −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭. (3.43)

Note que tanto para regime laminar como para turbulento, Eqs.(3.42) e (3.43), o aumento da

tensão superficial (diminuição de Eo) provoca uma diminuição em C0.

Figura 3.7 Dependência de C0 com ReJ para escoamento de líquido, distante do nariz da bolha,

em regime turbulento parametrizado com Eo (○,Ú,¹, , , Eo = ∞, 1538, 308, 154, 62), Eq.(3.42), Bendiksen (1985).

54

Figura 3.8 Comparação entre valores do modelo de C0, Eq.(3.42), e dados experimentais de

Bendiksen (1984), Eo = 95 e Eo = ∞

A variação de C0 na transição entre os regimes laminar e turbulento para escoamento vertical

foi explorada, de forma experimental, por Frechou (Caput Bertola 2003). A transição foi encontrada

próxima à um Reynolds crítico, Rec = 1000. Frechou propõe uma interpolação para C0 em toda faixa

de ReJ dada pela relação:

( ) ( )0

V2 2

J c c J

2, 27 1,2C1 Re Re 1 Re Re

= ++ +

. (3.44)

Uma teoria analítica para determinação do movimento da bolha para escoamentos na

horizontal e inclinado não está disponível. Este tipo de escoamento é mais complexo que o

escoamento vertical porque a bolha perde sua simetria axial. Bendikisen (1984) desenvolveu um

trabalho experimental em linhas horizontal e inclinada para medição da velocidade de bolha isolada

em uma corrente de líquido não-estacionária. Para tubulações horizontais, sem efeito de tensão

superficial, Bendiksen (1984) encontrou uma dependência de C0 com o número de Froude da

mistura que pode ser resumida na Tabela 3.2.

55

Figura 3.9 C0 em função de ReJ. Transição de regime laminar para turbulento ocorre por volta

de ReJ = 1000.

Tabela 3.2 – Parâmetro C0 proposto por Bendiksen (1984) para escoamento horizontal em regime turbulento.

0

HC

ReJ ≥ 1000

FrJ ≥ 3,5 1,2

FrJ < 3,5 1,0

ReJ < 1000 2,0

Para tubulações inclinadas Bendiksen (1984) propõe que o parâmetro C0 seja dependente da

inclinação da linha, de Froude e dos valores de C0 para a linha posicionada na horizontal (0o) e

vertical (90º):

( )

0 0 0

0

H V H 2J 0

VJ 0

se Fr 3,5 C C C C s e n

se Fr > 3,5 C C

⎡ ⎤≤ ⎯⎯→ = + − θ⎣ ⎦⎯⎯→ =

, (3.45)

sendo que o valor de C0(0°) depende de Froude conforme indica a Tabela 3.2 enquanto que

C0(90°)=1,2.

56

Uma vez que as correlações para C∞ foram definidas na seção 3.2 e nesta seção foi

apresentadas as correlações para C0, pode-se formalizar neste momento uma lei cinemática para a

velocidade de translação da bolha, Eq.(3.3), em termos das correlações para C∞ e C0. A lei proposta

baseia-se no modelo de Bendiksen (1984) com correção para tensão superficial e cujos parâmetros

estão mostrados na Tabela 3.3. Para escoamentos inclinados o valor de C0 é determinado utilizando

a Eq. (3.45).

Tabela 3.3 – Modelo cinemático para velocidade de translação da bolha

C0 C∞

ReJ ≥ 1000

FrJ ≥ 3.5 V0 0C C= ( )VC sen∞ θ

FrJ < 3.5 ( )H V H 20 0 0 0C C C C se n⎡ ⎤= + − θ⎣ ⎦ ( ) ( )H VC cos C sen∞ ∞θ + θ

ReJ < 1000 2.0 ( ) ( )H VC cos C sen∞ ∞θ + θ

3.2.1. CORREÇÃO DE VB DEVIDO À EXPANSÃO DO GÁS

A variação da pressão absoluta ao longo da tubulação causa uma expansão no volume de gás

da bolha provocando um aumento no seu comprimento e também na sua velocidade de translação. O

acréscimo à velocidade de translação da bolha devido ao efeito de expansão pode ser estimado por

meio do modelo apresentado no Anexo I.

A relevância em corrigir as medidas experimentais da velocidade da bolha consiste em criar

uma base de comparação consistente com medidas experimentais de outros investigadores. Por

consistente, pretende-se dizer que as medidas de velocidade estão isentas do efeito da expansão do

gás. Do contrário seria muito difícil reproduzir num específico aparato experimental para medir VB

as condições operacionais de outros trabalhos experimentais incluindo o efeito de expansão que

57

depende, entre outros parâmetros, do diâmetro da linha, do comprimento vertical e da pressão de

operação.

O fator de correção para a velocidade da bolha devido a expansão de gás para escoamento

intermitente contínuo é estimado de acordo com a Eq. (A.1.13) repetida a seguir por conveniência:

( )0 c0

1VB C J C gD1 C ε∞

⎧ ⎫= + ⎨ ⎬−⎩ ⎭

. (3.46)

O fator de correção para VB é definido como o termo:

Gc

0

1fc1 C ε

⎧ ⎫= ⎨ ⎬−⎩ ⎭

, (3.47)

onde εc é dado pela Eq. (A.1.12):

( )* *

Bc2

P dPAP dz

∀ ⎛ ⎞ε = −⎜ ⎟⎝ ⎠

, (3.48)

O fator de correção dos dados experimentais de VB será estimado somente para as medidas de

VB tomadas na estação de medida E2 localizada a 257D a jusante do misturador. Seguem abaixo as

considerações para estimar os parâmetros da Eq. (3.47):

a. Condições de referência são a pressão e o volume da bolha na estação E2.

b. O volume médio da bolha na estação E2 é estimado a partir do produto entre o

comprimento médio da bolha, a fração de vazios da bolha e a área transversal do tubo:

B BLB. .A∀ = α .

c. A fração de vazios média da bolha não foi medida experimentalmente, então é feita

uma estimativa a partir de considerações para pistão não-aerado: G BJ VB. .= β α .

d. O coeficiente C0 é considerado igual a 1 se FrJ<3,5 e 1,2 em caso contrário, como

indicado na Tabela 3.3.

e. As seguintes variáveis vêm das medidas experimentais: VB, β, LB, P e dP/dz.

58

Substituindo as considerações listadas da (a) a (e) na Eq. (3.48) encontra-se que:

( )B Gc L .J PP.VB. z

Δ⎛ ⎞ε = −⎜ ⎟β Δ⎝ ⎠. (3.49)

O fator de correção é calculado substituindo a Eq. (3.49) na Eq. (3.47). As variáveis LB, JG, P,

VB e β são determinadas experimentalmente na estação de medida E2. Os valores do fator de

correção foram calculados para cada ponto experimental em função do ângulo de inclinação e estão

listados na Tabela 3.4. A última coluna mostra o valor médio do fator de correção para cada ângulo

de inclinação. Os valores máximo e mínimo observados nestas estimativas foram 1,06 e 1,00; já os

valores máximo e mínimo do fator de correção médio por ângulo de inclinação encontra-se entre

1,02 e 1,00. Observa-se que o máximo não ocorre para 90°, mas em 75°. Acredita-se que seja pelo

fato da coluna ficar mais aerada reduzindo o gradiente de pressão devido a hidrostática que é

dominante para escoamentos verticais e próximo da vertical.

Tabela 3.4. Fator de correção para VB devido a expansão do gás.

θ JL 030 030 030 060 060 060 090 120 120 120

MédiaJG 060 090 150 030 060 120 090 060 120 210 Fator de correção da Expansão

90° 1,02 1,03 1,01 1,02 1,03 1,02 1,01 1,02 1,04 1,02 75° 1,03 1,03 1,06 1,01 1,02 1,04 1,02 1,01 1,02 1,04 1,02 60° 1,03 1,03 1,05 1,01 1,02 1,03 1,02 1,01 1,02 1,03 1,02 45° 1,02 1,03 1,04 1,01 1,01 1,02 1,02 1,01 1,02 1,03 1,02 30° 1,01 1,02 1,03 1,01 1,01 1,02 1,01 1,01 1,01 1,02 1,01 15° 1,01 1,01 1,02 1,00 1,01 1,01 1,01 1,00 1,01 1,02 1,01 0° 1,00 1,00 1,01 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,01 1,00

A partir dos fatores de correção da Tabela 3.4 os valores experimentais de VB são corrigidos.

Assim, o valor de VB sem o efeito de expansão do gás é dado por:

exp

G

VBVBfc

= , (3.50)

onde VBexp denota a velocidade da bolha medida experimentalmente, isto é, uma grandeza que

contém embutida uma parcela devido a expansão do gás.

59

Todos os valores da velocidade de translação da bolha deste ponto em diante são aqueles

definidos de acordo com a Eq. (3.50) e com os fatores de correção definidos pela Tabela 3.4.

3.2.2. MEDIDAS EXPERIMENTAIS DE C0

Os testes experimentais foram realizados para inclinações variando de 0 a 90° em intervalos de

15°. Para cada inclinação foram realizados testes com 10 pares de vazões de gás e líquido. Detalhes

das condições operacionais dos testes e sua grade estão descritos no capítulo 2, seção 2.4. Os

resultados apresentados a seguir foram obtidos na estação 2 que está situada a 257D a jusante do

misturador.

A equação (3.3) é modificada dividindo-a por g.D , para encontrar:

0 JVB C .Fr Cg.D ∞= + , para L Gρ ρ>> (3.51)

A Tabela 3.5 apresenta os valores de C∞ e de C0 obtidos por regressão linear juntamente com

os coeficientes de regressão linear, R2*. A Tabela 3.5 mostra dois valores para C0. Um deles é obtido

passando uma reta pelos dados experimentais, por isto é denominado por ajuste experimental. O

segundo valor de C0 é obtido forçando a reta passar por C∞=0,345, valor obtido pela Eq.(3.11). Dada

a pequena variação do coeficiente de regressão e a incerteza dos dados experimentais, considera-se

que os dados experimentais se ajustam para C0=1,077 e C∞=0,345 que concordam com os valores

esperados na literatura.

A Figura 3.10 mostra para um escoamento ascendente vertical a velocidade adimensional da

bolha em função do número de Froude. Obtém-se C0=1,077 quando a regressão linear e forçada a

passar por C∞=0,345, que está dentro da faixa para escoamentos em regime turbulento.

*

tot

err

SSSS

R −≡ 12 , onde ( )∑ −=i

iierr fySS 2 e ( )∑ −=i

itot yySS2

. yi é o valor associado ao valor do

modelo, fi.

60

Tabela 3.5. Valores de C0 para escoamento vertical quando é forçada a regressão linear a passar por valores de C∞ teórico e experimental.

C∞ C0 R2 Forçando 0,345 1,077 0,989

Experimental 0,36 1,073 0,99

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7

VB/(g

.D)0,

5

FrJ

θ=90

C0 =1,077

C∞ =0,345


verticalmente, θ=90°.

A Figura 3.11 mostra para um escoamento horizontal a velocidade adimensional da bolha em

função do número de Froude, onde as linhas pontilhadas representam o modelo proposto por

Bendiksen (1984), que é mostrado na Tabela 3.2. Forçando o ajuste linear a passar por C∞=0, obtêm-

se C0=1,18 com um coeficiente de regressão linear R²=0,98. Por outro lado, utilizando a correlação

proposta na Tabela 3.3 obtêm-se R²=0,977 para FrJ<3,5 e R²=0,896 para FrJ>3,5. A Tabela 3.6

apresenta os valores de C∞ e de C0 obtidos por regressão linear juntamente com os coeficientes de

regressão linear, R2. Note que o valor de C∞ mostrado na tabela não coincide com o valor clássico

0,54 mas é 0,404 devido a correção pelo número de Eotvos como mostrado na Tabela 3.3. O baixo

coeficiente de regressão obtido para o ajuste FrJ>3,5 se deve, em parte, ao conjunto de dados

experimentais que possui apenas 3 pontos para FrJ>3,5. De qualquer modo é notável a concordância

entre a relação dada na Tabela 3.2 e os dados experimentais tomados na linha horizontal.

61

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7

VB/(g

.D)0,

5

FrJ

θ=0

C0 =1,18

C∞ =0

Figura 3.11. Velocidade da bolha adimensional em função do número de Froude, escoando horizontalmente, θ=0°. ———— ajuste linear, -------- correlação Bendiksen (1984).

Tabela 3.6. Valores C0 para escoamento horizontal quando é forçada a regressão linear a passar por C∞ teórico e experimental.

C∞ C0 R2 Forçando 0 1,18 0,98

Bendiksen 0,404 1 0,977 0 1,2 0,896

Na Figura 3.12 é apresentado o gráfico da velocidade adimensional do nariz da bolha, obtido

na estação 2, em função do número de Froude para uma tubulação com inclinações variando da

horizontal para vertical. Observa-se que para FrJ menores que 3,5 pode haver dois valores de VB

para um mesmo FrJ enquanto que para FrJ>3,5 há um VB para cada FrJ. O subconjunto de dados

para FrJ<3,5 pode ser representado por meio de duas retas paralelas. A existência destas retas

paralelas sugere que os subconjuntos possuem um único valor de C0, mas possuem dois valores para

o parâmetro de deslizamento.

62

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6 7

VB/(g

.D)^

0,5

FrJ

90°

75°

60°

45°

30°

15°

0°

Figura 3.12. Velocidade adimensional de translação da bolha, medida na estação E2, em função de Froude da mistura para diferentes ângulos de inclinação da tubulação.

63

A existência de dois valores para VB para um mesmo Froude motivou uma investigação

detalhada nos dados experimentais. A primeira abordagem foi selecionar dados experimentais,

tomados na estação 2 com mesma velocidade superficial de mistura, porém com valores distintos de

JL e JG. Foram selecionadas três velocidades superficiais de mistura, que apresentam valores médios

de J iguais a: 0,90 m/s, 1,2 m/s, 1,8 m/s. Os valores de VB e FrJ para cada inclinação estão

mostrados na Tabela 3.7, Tabela 3.8 e Tabela 3.9.

Na Tabela 3.7 os valores de referência das velocidades das fases líquido e gás são (JL,JG)→

(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s). As colunas indicam os valores médios de VB e de FrJ

medidos na estação E2. Observa-se que para o par (JL,JG)→ (60cm/s, 30cm/s) os valores de VB

permanecem aproximadamente os mesmos a exceção da inclinação θ=90°. Já para o par (JL,JG)→

(30cm/s, 60cm/s) que apresenta o dobro de gás do ponto anterior, há um aumento súbito de VB para

as inclinações entre 45° a 75°. O número de Froude da mistura para ambos casos permaneceu

próximo de 1,8.

Tabela 3.7 Parâmetros experimentais para os pontos (JL,JG) de (30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s).

θ 30_60 60_30

VB FrJ VB FrJ (graus) (m/s) (---) (m/s) (---)

90 1,14 1,78 1,23 1,67 75 1,24 1,74 1,13 1,75 60 1,36 1,69 1,06 1,71 45 1,26 1,79 1,11 1,73 30 1,09 1,76 1,09 1,79 15 1,08 1,82 1,06 1,77 0 1,01 1,78 1,01 1,79

Na Tabela 3.8 os valores de referência das velocidades das fases líquido e gás são (JL,JG)→

(30cm/s, 90cm/s) e (60cm/s, 60cm/s). As colunas indicam valores médios de VB e de FrJ medidos

na estação E2. Observa-se que para o par (JL,JG)→ (60cm/s, 60cm/s) os valores de VB permanecem

aproximadamente os mesmos para a inclinação variando entre 0° a 90°. Já para o par (JL,JG)→

(30cm/s, 90cm/s), que apresenta o triplo de gás do ponto anterior, há um aumento súbito de VB para

64

as inclinações entre 30° a 75°. O número de Froude da mistura para ambos casos permaneceu

próximo de 2,4.

Tabela 3.8 Parâmetros experimentais para os pontos (JL,JG) de (30cm/s, 90cm/s) e (60cm/s, 60cm/s).

θ 30_90 60_60

VB FrJ VB FrJ (graus) (m/s) (---) (m/s) (---)

90 1,38 2,32 1,35 2,25 75 1,46 2,27 1,44 2,32 60 1,67 2,32 1,37 2,26 45 1,73 2,34 1,43 2,33 30 1,49 2,32 1,40 2,37 15 1,36 2,40 1,38 2,41 0 1,26 2,25 1,35 2,40

Na Tabela 3.9 os valores de referência das velocidades das fases líquido e gás são (30cm/s,

150cm/s), (60cm/s, 120cm/s), (90cm/s, 90cm/s) e (120cm/s, 60cm/s). O número de Froude da

mistura para todos os casos com J=180cm/s fui aproximadamente de 3,5. Estes pontos são especiais,

pois eles situam-se no FrJ crítico que estabelece a transição entre haver ou não o fenômeno de

aumento da velocidade para um mesmo J. Este Froude crítico aplica-se aos dados experimentais

colhidos, como sugere a Figura 3.12. Não houve variação significativa de VB, para todas as

inclinações, para os pares (JL,JG)→ (60cm/s, 120cm/s), (90cm/s, 90cm/s) e (120cm/s, 60cm/s). Note

que a razão JG /JL destes pares de pontos foi, ½, 1 e 2, respectivamente. A exceção aplica-se ao par

(JL,JG)→ (30cm/s, 150cm/s) que, apesar de possuir o mesmo FrJ, exibiu uma variação de VB para as

inclinações entre 45° a 75°, mas a razão JG /JL foi 5.

Os dados experimentais de VB revelados na Tabela 3.7, Tabela 3.8 e Tabela 3.9 estão

apresentados na forma gráfica na Figura 3.13, Figura 3.14 e Figura 3.15. Além da análise da

velocidade são exploradas nestas figuras as mudanças no comprimento da bolha e do pistão de

líquido, LB/D e LS/D e seus respectivos coeficientes de variação. Estes últimos são definidos como

a razão entre o desvio padrão e o valor médio da grandeza. Os três dígitos apresentados nas legendas

correspondem aos valores das velocidades superficiais da água e do ar em cm/s.

65

Tabela 3.9 Parâmetros experimentais para os pontos (JL,JG) de (30cm/s, 150cm/s), (60cm/s, 120cm/s), (90cm/s, 90cm/s) e (120cm/s, 60cm/s).

θ 30_150 60_120 90_90 120_60 VB FrJ VB FrJ VB FrJ VB FrJ

(graus) (m/s) (---) (m/s) (---) (m/s) (---) (m/s) (---) 90 1,82 3,23 1,93 3,27 2,08 3,34 75 2,35 3,43 2,04 3,42 2,01 3,41 2,01 3,47 60 2,36 3,33 2,04 3,35 2,02 3,49 2,04 3,46 45 2,25 3,39 2,01 3,39 2,08 3,50 2,08 3,47 30 2,06 3,44 1,97 3,44 1,95 3,47 2,02 3,52 15 1,95 3,58 1,98 3,56 2,00 3,57 2,03 3,55 0 1,89 3,39 1,90 3,41 2,00 3,46 2,00 3,49

Na Figura 3.13 são apresentados dados tomados com a mesma velocidade superficial de

mistura de 0,9m/s ou FrJ de 1,8. Observa-se uma variação significativa da velocidade da bolha entre

45 e 75 graus para o ponto experimental com a razão JG/JL>1,8. Este desvio também é observado no

coeficiente de variação de VB, indicando que há um aumento correspondente no desvio padrão de

VB entre 45 e 75 graus. O comprimento médio da bolha, LB/D, não revela diferenças no

comportamento com a variação da inclinação. Ao contrário, ele é previsível no sentido de que com o

ponto com maior velocidade de gás apresenta as bolhas mais longas se comparado com o ponto com

menor velocidade de gás. Além disto, o comprimento da bolha decai com o aumento da inclinação

porque o holdup de líquido, na região da bolha, diminui. Este tópico será abordado novamente no

capítulo 4. Por outro lado, o coeficiente SLB/LB apresenta uma variação entre 30° a 75° até duas

vezes maior que o ponto com JG/JL<1,8. Por último, o comprimento do pistão de líquido, LS/D,

apresenta valores sistematicamente maiores para o ponto experimental com maior JG/JL, entretanto

não apresenta sensibilidade com a inclinação para o seu coeficiente de variação.LS/D aumenta com

o aumento de JG devido ao aeramento do pistão de líquido.

A Figura 3.14 apresenta os dados experimentais para J=120cm/s ou FrJ de 2,4. O

comportamento das variáveis VB, LB/D, LS/D e seus coeficientes de variação repetem o

comportamento observado na Figura 3.13. Para o ponto com JG/JL>1,8 há um aumento de VB e a

variação do desvio padrão adimensional da velocidade da bolha, SVB/VB entre 30 e 60 graus assim

como para SLB/LB. O comprimento do pistão de líquido para o ponto com maior JG/JL é sempre

maior que o comprimento do pistão com menor JG/JL para qualquer inclinação.

66

Por último, a Figura 3.15 revela os dados experimentais para velocidade superficial de mistura

de J=180cm/s ou FrJ de 3,5. Por se tratar de um ponto cujo FrJ situa-se na faixa de transição não foi

observado variação de velocidade para qualquer par de velocidade que apresenta JG/JL<2, atribui-se

este fato ao valor de FrJ. O par (JL,JG)→ (30cm/s, 150cm/s) apresenta o mesmo FrJ e uma razão

JG/JL=5, mas exibe uma grande variação de VB entre 45° a 75°. As variáveis SVB/VB e SLB/LB

não apresentam uma variação súbita à medida que a razão JG/JL aumenta de ½ a 5, mas elas

aumentam de forma gradual, provavelmente devido ao fato destes pontos situarem-se na faixa de

transição. Quanto a LB/D e LS/D o comportamento exibido é similar àquele observado nas outras

figuras.

Cabe uma ressalva ao ponto de exceção. Por ser o par de velocidades que apresenta a maior

razão gás-líquido ele também apresenta os maiores comprimentos de bolhas. Uma observação na

figura mostra que LB/D varia entre 140 a 40 enquanto que o comprimento do pistão, LS/D, varia

entre 15 a 25. Portanto, uma unidade pistão seguido por uma bolha apresenta um comprimento total

variando entre 155 a 65D. Considerando que a seção de testes possui apenas 306D de extensão, tem-

se, que durante os testes, houve dentro da tubulação entre 2 a 5 unidades. A entrada e a saída de

pistões e de bolhas da tubulação causam distúrbios significativos no escoamento que podem ser

amplificado devido ao pequeno número de unidades presentes no tubo. Por este motivo colocam-se

em suspeição as medidas experimentais para este ponto em específico. Na dúvida entre excluí-lo da

análise ou deixá-lo foi decidido que este ponto permaneceria, talvez uma futura análise possa

esclarecer se o fato dele não aderir ao comportamento dos seus pares de mesmo FrJ trata-se de um

fenômeno ainda não abordado neste trabalho ou simplesmente por se tratar de uma medida

experimental tomada numa seção de testes muito curta para as características do ponto.

De modo geral, observa-se que para um mesmo FrJ pode haver um significativo aumento de

VB para inclinações entre 30 a 75 graus desde FrJ<3,5 e JG/JL>1,8. Estes valores críticos de FrJ e

JG/JL foram definidos com base no conjunto de dados experimentais tomados. Eles não possuem

universalidade para serem estendidos para outras aplicações, pelo menos no momento. Entretanto,

este comportamento foi observado numa faixa de velocidades superficiais de mistura variando entre

90 a 180 cm/s e inclinações da linha entre zero a 90 graus. Constatou-se também que o aumento da

velocidade da bolha devido à inclinação ocorre junto com o aumento do coeficiente de variação de

67

VB e LB. Além disto, para um mesmo FrJ o comprimento do pistão é tanto maior quanto maior for a

razão JG/JL.

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

0 15 30 45 60 75 90

VB (m

/s)

Ângulo de inclinação (graus)

30_60

60_30

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 15 30 45 60 75 90

LB/D


30_60

60_30

0

5

10

15

20

25

0 15 30 45 60 75 90

LS/D


30_60

60_30

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 15 30 45 60 75 90

SVB/

VB


30_60

60_30

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 15 30 45 60 75 90

SLB

/LB


30_60

60_30

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 15 30 45 60 75 90

SLS

/LS


30_60

60_30

Figura 3.13 Velocidade da bolha, comprimento da bolha, comprimento do pistão e seus respectivos coeficientes de variação para J=90cm/s. Dados experimentais tomados na estação de

medida #2.

68

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

0 15 30 45 60 75 90

VB (m

/s)


30_90

60_60

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 15 30 45 60 75 90

LB/D


30_90

60_60

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 15 30 45 60 75 90

LS/D


30_90

60_60

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 15 30 45 60 75 90

SVB

/VB


30_90

60_60

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 15 30 45 60 75 90SL

B/L

B


30_90

60_60

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 15 30 45 60 75 90

SLS/

LS


30_90

60_60


medida #2.

69

1,7

1,8

1,9

2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

0 15 30 45 60 75 90

VB( m

/s)


029_149

060_120

090_090

121_061

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 15 30 45 60 75 90

LB/D


30_150

60_120

90_90

120_60

0

5

10

15

20

25

0 15 30 45 60 75 90

LS/D


30_150

60_120

90_90

120_60

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 15 30 45 60 75 90

SVB/

VB


30_150

60_120

90_90

120_60

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 15 30 45 60 75 90

SLB/

LBÂngulo de inclinação (graus)

30_150

60_120

90_90

120_60

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 15 30 45 60 75 90

SLS

/LS


30_150

60_120

90_90

120_60


medida #2.

De forma complementar aos dados experimentais mostrados nas Figura 3.13, Figura 3.14 e

Figura 3.15, buscou-se identificar qual característica do escoamento se altera quando JG/JL>1,8

através de registros fotográficos. A Figura 3.16 traz três pares de fotografias da seção de testes que

70

correspondem as inclinações de 90°, 75° e 45° com velocidades superficiais de líquido e de gás de

30cm/s e 60cm/s e 60cm/s e 30cm/s. Por meio destas fotografias pode-se observar qualitativamente

que para razões JG/JL>1,8 há um aumento da aeração do pistão de líquido quando comparado com o

par correspondente que apresenta a mesma velocidade superficial de mistura.

O fenômeno do aumento de VB em escoamento intermitente contínuo foi investigado por van

Hout et al. (2002) para escoamento de ar e água em tubulações com 0,024 e 0,054 m de diâmetro e

inclinação variando da horizontal para a vertical. Neste trabalho foi proposta uma correção no

modelo de van Hout et al. (2002) por meio da introdução das velocidades absolutas ao invés de

apenas as velocidades de deslizamento, veja Eq. (3.27).

O modelo desenvolvido, Eq. (3.39), pressupõe que para haver um acréscimo de velocidade em

VB é necessário que o parâmetro Γ seja maior que zero. O parâmetro Γ é estimado por meio da Eq.

(3.33) com as definições de C0(θ), C∞(θ) dadas na Tabela 3.3, Ub na Eq. (3.30) e com Eo=95.

Assumindo que as bolhas dispersas no pistão de líquido estão em regime agitado encontra-se que:

( ) ( ) ( ){ }( )

2J J

J

se Fr 3,5 0, 2 sen 1 Fr 0, 404.cos 0,109.sen

se Fr > 3,5 0,109.sen

⎡ ⎤≤ ⎯⎯→ γ = θ − + θ − θ⎣ ⎦

⎯⎯→ γ = − θ (3.52)

Observa-se que para FrJ>3,5 o parâmetro γ<0, portanto Γ é nulo para FrJ>3,5. Isto significa

que a bolha alongada viaja mais lentamente que as bolhas dispersas. Já para FrJ<3,5, γ pode variar

entre valores negativos e positivos. O fato de Γ ser nulo para FrJ>3,5 também significa que não há

variação de velocidade da bolha devido ao efeito de aeração do pistão. Este Froude crítico está em

acordo com as observações experimentais da velocidade de translação da bolha mostradas na Figura

3.12 que revela, para FrJ>3,5, não haver variação da velocidade por efeito de aeração.

.

71

90°

JG/JL>1,8 JG/JL<1,8

75°

JG/JL>1,8 JG/JL<1,8

30_60 60_30 30_60 60_30

45°

30_60

60_30

JG/JL>1,8

JG/JL<1,8

Figura 3.16. Comparação fotográfica entre três diferentes ângulos com a mesma velocidade de mistura (90cm/s)

72

A condição para haver o efeito de incorporação de bolhas na bolha alongada e,

conseqüentemente, o aumento de VB pode ocorrer somente para FrJ<3,5. Entretanto, a análise de Γ

depende somente de J e não de JG/JL. Por outro lado, foi observado experimentalmente que somente

nos pontos onde JG/JL>1,8 e FrJ<3,5 ocorreu aumento de VB ou C∞, se preferir. Por exclusão,

acredita-se que o parâmetro αS/(αB-αS), veja Eq. (3.38), deve abrigar a dependência com JG/JL.

Em vista das evidências experimentais de que VB apresenta um aumento para determinadas

inclinações quando FrJ<3,5 e JG/JL>1,8; da proposição de um modelo teórico que explica a

dependência da variação de VB, devido ao efeito de aeração do pistão, com o número de Froude e

das medidas experimentais de van Hout et al. (2002) foi considerado que a parcela do aumento de

VB é devido, ao parâmetro de deslizamento, C∞. Além disto, pressupõe-se que o parâmetro C0 não é

alterado, isto é, ele depende exclusivamente do perfil de velocidades a frente da bolha. A partir

destas premissas, os valores de C0 e C∞ são determinados em função da inclinação da linha por meio

de regressão linear dos pontos experimentais.

A Figura 3.17 mostra a velocidade da bolha para as sete inclinações da tubulação utilizadas

durante os testes. Observa-se que os pontos experimentais estão divididos em dois conjuntos com

mesmo C0, mas com diferentes C∞. O valor de C0 para os pontos experimentais com JG/JL<1,8 (linha

continua na Figura 3.17) foi determinado por um ajuste linear forçando-o passar por C∞ determinado

experimentalmente, veja os valores na Tabela 3.10

O valor de C∞ para os pontos experimentais com JG/JL>1,8 (linha pontilhada na Figura 3.17)

foi determinado por ajuste linear forçando que C0 fosse o mesmo daquele encontrado por JG/JL<1,8.

Observe que para cada inclinação há apenas um valor para o parâmetro C0, mas pode haver um ou

dois valores para o parâmetro C∞, dependendo de ângulo de inclinação θ e de JG/JL. Esta estimativa

de C∞ é aproximada uma vez que ela não prevê que todos os pontos com JG/JL>1,8 e FrJ<3,5 estão

eqüidistantes da reta de VB. Para a linha vertical, θ=90°, apesar do pistão estar aerado, é observado

um único C∞. Isto se deve ao fato de que as bolhas dispersas no pistão viajam mais rapidamente que

a bolha alongada, veja que Eq. (3.52) resulta em γ<0 e, portanto Γ=0. Por conveniência os valores

encontrados para C0 e C∞ estão mostrados na Tabela 3.10 para cada inclinação, juntamente com o

coeficiente de regressão linear para os dados com JG/JL<1,8. Infelizmente o conjunto de dados com

73

JG/JL>1,8 consiste de apenas três pontos e não faz sentido apresentar um coeficiente de regressão

para um conjunto pequeno de dados. Finalmente, a última linha da Tabela 3.10 traz o valor de C0 e

C∞ obtido do ajuste dos dados e da relação de Bendiksen, (1984) juntamente com o coeficiente de

regressão linear.

Tabela 3.10. Valores de C0 e C∞, para as relações de JG/JL menores e maiores que 1,8 e para os diferentes ângulos de inclinação.

Inclinação JG/JL C0 C∞ R2

90° >1,8

1,077 0,345 0,989 <1,8

75° >1,8 1,028 0,750 0,954 <1,8 0,401 0,996

60° >1,8 1,026 1,050 0,976 <1,8 0,447 0,996

45° >1,8 1,025 0,870 0,974 <1,8 0,479 0,991

30° >1,8 1 0,610 0,988 <1,8 0,483 0,997

15° >1,8 1 0,459 0,982 <1,8 0,994

0° 1,180 0 0,980

Bendiksen 1 0,404 0,985 1,2 0 0,991

Os valores de C∞ determinados em função do ângulo de inclinação estão mostrados na Figura

3.18. Nos pontos experimentais onde JG/JL<1,8 os valores de C∞ são os mesmos que os valores

obtidos nos experimentos com bolha isolada e líquido estacionário, veja Tabela 3.1. Por outro lado,

nos pontos experimentais com JG/JL>1,8, C∞ pode apresentar uma variação de até três vezes

comparados com os valores de C∞ para bolha isolada. As diferenças entre os conjuntos de C∞

surgem para inclinações entre 30° a 75°. Em termos de variação na velocidade de translação da

bolha, encontra-se um valor máximo de 0,4m/s para uma inclinação de 60°. Este valor é compatível

com as diferenças em VB determinadas por van Hout et al. (2002) em tubulação com 0,054m de

diâmetro.

74

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7

VB/(g

.D)0,

5FrJ

θ=90

C0 =1,077

C∞ =0,345

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7

VB/(g

.D)0,

5

FrJ

θ=75

C0 =1,028

C∞ =0,401

C∞ =0,750

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7

VB/(g

.D)0,

5

FrJ

C∞ =1,05

C0 =1,026

C∞ =0,447

θ=60

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7

VB/(g

.D)0,

5

FrJ

C∞ =0,479

C0 =1,025

θ=45

C∞ =0,87 0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7

VB/(g

.D)0,

5

FrJ

C∞ =0,483

C0 =1

C∞ =0,61

θ=30

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7

VB/(g

.D)0,

5

FrJ

Ѳ=15

CO =1

C∞ =0,459

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7

VB/(g

.D)0,

5

FrJ

θ=0

C0 =1,18

C∞ =0

Figura 3.17 Determinação dos parâmetros C0 e C∞ por regressão linear. Dados experimentais

tomados na estação de medida E2. Linha superior corresponde aos pontos com JG/JL>1,8.

75

Os valores de C0 obtidos para JG/JL menores e maiores que 1,8 são apresentados graficamente

na Figura 3.19. Observa-se que os valores de C0 não mudam com a inclinação de 15 a 75 graus. Os

valores de C0 ficam na faixa entre 1 e 1,2 ratificando que sua dependência está relacionada com o

perfil de velocidades do líquido a sua frente, sendo independente da inclinação. A linha continua da

figura mostra a linearização dos dados experimentais e a linha pontilhada representa o modelos

proposto por Bendiksen.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 15 30 45 60 75 90

C∞


JG/JL > 1,8JG/JL < 1,8

Figura 3.18. Comparação entre os valores de coeficiente de deslizamento em função do ângulo

de inclinação e da razão JG/JL.

No caso do ângulo de 0 graus Bendiksen (1984) mostra que o parâmetro C0 é função de Fr,

sendo que para Fr<3,5 C0=1 e para Fr>3,5 C0=1,2. A Tabela 3.6 e Figura 3.11 apresentam as

correlações lineares para estes situações mostrando concordância com Bendiksen. Para Fr>3,5 só há

dois pontos experimentais os quais não são suficientes para comprovar o proposto por Bendiksen,

porém, os dados mostram claramente que o parâmetro C0 com Fr<3,5 muda com a variação do

ângulo.

76

0,9

0,95

1

1,05

1,1

1,15

1,2

0 15 30 45 60 75 90

C0


Figura 3.19. Variação do C0 em relação com a inclinação do ângulo, ——— modelo de

Bendiksen Tabela 3.3. ◊ dados experimentais

Enquanto que o C0 pode ser estimado para inclinações variáveis através de modelos

cinemáticos, por exemplo, a Eq. (3.45), o mesmo não se pode dizer de C∞. A aplicação do parâmetro

de deslizamento, determinado para uma bolha isolada deslocando-se num líquido estacionário, não é

imediata em escoamento intermitente contínuo devido a aeração do pistão de líquido.

77

3.3. FLUTUAÇÃO DE VB

Uma das principais características do escoamento intermitente é que ele não é periódico no

tempo e no espaço. Este tipo de comportamento é devido às interações entre as bolhas vizinhas e

também ao processo de formação e de saída de bolhas e pistões da tubulação.

A técnica experimental de medida permitiu identificar a velocidade da cada bolha que passou

pelo sensor de impedâncias. A partir da população de bolhas foi possível construir uma função

densidade de probabilidade, PDF (do inglês probability density funtion), que permite visualizar

como a população das velocidades de translação das bolhas está distribuída.

A Figura 3.20 e Figura 3.21 mostram as PDFs para dois pares de velocidade a saber: (JL,JG)→

(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para as inclinações 90°, 75°, 60°, 45°, 30°, 15°, 0°. As PDFs,

para todas as inclinações, apresentam simetria ao redor da média e podem ser aproximadas por uma

distribuição Normal. Este resultado concorda com a forma da população de VB medida por Nydel et

al. (1992) em escoamentos intermitentes em linha horizontal. Observando a Figura 3.20 e Figura

3.21 constata-se que a forma da PDF não é alterada com a variação da inclinação da tubulação, mas

ela depende da razão JG/JL. Como os pares de velocidade (JL,JG) apresentam o mesmo J=90cm/s,

espera-se que o valor médio VB seja o mesmo para ambas razões, exceto ao efeito de desvio de VB

causado pelo mecanismo de aeração do pistão de líquido. O aumento de JG/JL leva a um aumento do

desvio padrão da distribuição. Acredita-se que o aumento da vazão do gás aumenta a

compressibilidade de mistura e favorece as flutuações, fazendo com que a PDF aumente seu

espalhamento ao redor da média. Observa-se também que o desvio padrão aumenta mais ainda para

inclinações entre 75° a 45° onde é mais visível o fenômeno de aeração. Esta informação também

consta nas Figura 3.13, Figura 3.14 e Figura 3.15 na forma do coeficiente de variação de VB.

78

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2

VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2

VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

90

60

JG/JL=230_60

JG/JL=1/260_30

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2

VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2

VB (m/s)

45

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

75


velocidade de mistura, 90cm/s, e diferentes inclinações.

79

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2

VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2

VB (m/s)

30

0

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2

VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2

VB (m/s)

15


testes diferentes com a mesma velocidade de mistura, 90cm/s, e diferentes inclinações.

A Figura 3.22 e Figura 3.23 mostram as PDFs para dois pares de velocidade a saber: (JL,JG)→

(30cm/s, 90cm/s) e (60cm/s, 60cm/s) para as inclinações 90°, 75°, 60°, 45°, 30°, 15°, 0°. As

características observadas na Figura 3.20 e Figura 3.21 são confirmadas nestas figuras onde a

velocidade de mistura passou a ser de 120cm/s. A saber: (a) as distribuições são simétricas; (b) a

inclinação não altera significativamente a forma da PDF; (c) o aumento de JG/JL leva a um aumento

do desvio padrão da distribuição e (d) o efeito da aeração do pistão de líquido leva a uma aumento

no desvio padrão de VB.

80

0

5

10

15

0,5 1 1,5 2 2,5

VB (m/s)

0

5

10

15

0,5 1 1,5 2 2,5

VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

90

60

JG/JL=330_90

JG/JL=160_60

0

5

10

15

0,5 1 1,5 2 2,5

VB (m/s)

0

5

10

15

0,5 1 1,5 2 2,5

VB (m/s)

45

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

75


velocidade de mistura, 120cm/s, e diferentes inclinações.

81

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2

VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2

VB (m/s)

30

0

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2

VB (m/s)

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2

VB (m/s)

15


testes diferentes com a mesma velocidade de mistura, 120cm/s, e diferentes inclinações.

O coeficiente de variação de VB é mostrado na Figura 3.24 e Figura 3.25 em função da razão

JG/JL e inclinação, respectivamente. Na Figura 3.24 SVB/VB mostra um crescimento proporcional

ao aumento de JG/JL, porém com a tendência de um espalhamento maior dos pontos para JG/JL>1,8.

Para toda a faixa de vazões aplicada SVB/VB situa-se entre 0,02 e 0,15 para 0°<θ<90° desde que

JG/JL<1,8. Os pares de velocidades que apresentam JG/JL>1,8 situam-se na região superior do eixo Y

com valores mínimo e máximo de 0,2 a 0,3 e correspondem ao efeito de aeração do pistão de

líquido.

82

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 1 2 3 4 5 6

SVB

/VB

JG/JL

0°15°30°45°60°75°90°

Figura 3.24. Variação da velocidade da bolha em função de JG/JL para as diferentes

inclinações.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 20 40 60 80 100

SVB

/VB

JG/JL

30_60

30_90

30_150

60_30

60_60

60_120

90_90

120_60

120_120

120_210

Figura 3.25. Variação da velocidade da bolha em função da inclinação para os diferentes

testes.

83

4. PARÂMETROS DO ESCOAMENTO INTERMITENTE

Este capítulo apresenta a influência da variação das vazões e inclinações nos parâmetros:

comprimento da bolha, comprimento do pistão, fator de intermitência, freqüência, taxa de

coalescência e queda de pressão. Todos os parâmetros foram analisados na estação E2 que esta

localizada a 257D a jusante do misturador.

4.1. COMPRIMENTO DA BOLHA, LB.

A bolha alongada transporta a maior parcela do gás no escoamento intermitente. O volume de

gás transportado em uma bolha pode ser determinado pelo produto entre seu comprimento e a área

média que ela ocupa na seção transversal do tubo.

B BLB. .A∀ = α , (4.1)

onde a fração de vazios média da bolha é definida em termos da fração de vazios local como:

( )LB

B B0

1 z dzLB

α = α∫ . (4.2)

Esta seção aborda especificamente o comprimento da bolha alongada de gás sob a influência

de diferentes inclinações da tubulação, e de velocidades de gás e líquido. A seção está dividida em

duas partes: a primeira analisa o comprimento de uma bolha isolada enquanto que a segunda analisa

o comprimento das bolhas para um escoamento intermitente contínuo.

84

4.1.1. COMPRIMENTO DA BOLHA ISOLADA

Foram realizadas medidas experimentais para determinação da velocidade média e

comprimento de uma bolha isolada deslocando-se em trajetória ascendente num líquido

estacionário. O tubo possui sua extremidade inferior fechada e a superior aberta para a atmosfera. O

comprimento da bolha é obtido na estação de medida 2 que está sob uma coluna de água de 1,28m,

quando a tubulação está posicionada verticalmente.

A Figura 4.1 apresenta o valor adimensional do comprimento da bolha isolada. Observa-se

que o maior comprimento da bolha ocorre para a tubulação horizontal. A medida que a inclinação

aumenta de 0° para 30°, o comprimento da bolha decai. Entre 30° e 75° ele é aproximadamente

constante e depois volta cair para 90°. O decaimento entre 75 e 90 graus é devido à forma simétrica

que a bolha adquire quando ela fica na vertical; neste caso a espessura do filme de líquido diminui e

faz com que o comprimento da bolha também diminua.

Uma vez conhecido o volume da bolha, ∀B, e seu comprimento, a fração de vazio média da

bolha, Gα , pode ser calculada por meio da expressão:

BG LB.A

∀α = (4.3)

onde A é a área transversal da tubulação.

O procedimento experimental consiste em liberar um volume de 160ml de ar a pressão

atmosférica na parte inferior da tubulação. Quando este volume de ar é liberado, a coluna de líquido

acima dele o comprime formando uma bolha alongada que contém a maior parte do volume do ar

liberado, seguida de uma esteira de pequenas bolhas dispersas. Devido ao desprendimento de bolhas

durante o processo de formação da bolha alongada na sua esteira, o volume de gás da bolha passa a

ser uma fração do volume desconhecida inicial. Portanto, a aplicação da Eq. (4.3) para determinação

de αG não é factível. Sua utilização resulta em valores de αS>1 que são inconsistentes. A técnica

experimental deveria ser revista para possibilitar a introdução do volume de gás na parte inferior da

tubulação sem desprendimento de bolhas na sua esteira.

85

8

9

10

11

12

13

0 15 30 45 60 75 90

LB/D


Figura 4.1. Variação do comprimento da bolha em diâmetros com relação à variação do ângulo.

4.1.2. COMPRIMENTO DA BOLHA PARA ESCOAMENTO INTERMITENTE CONTINUO.

Esta seção trata somente da variação do comprimento da bolha para escoamento intermitente

contínuo, isto é, o líquido está em movimento e as bolhas são continuamente produzidas na entrada

do tubo e descarregadas, junto com o líquido, na saída do tubo. Nesta condição os pistões de líquido

seguidos pelas bolhas formam uma seqüência dentro do tubo que freqüentemente é denominada por

trem de pistões e bolhas. Os resultados apresentadas neste capítulo referem-se àqueles medidos na

estação E2.

A Figura 4.2 mostra o comprimento médio da bolha em função da razão de velocidades JG/JL

para diferentes ângulos de inclinação. Observa-se que para JG/JL<1 o comprimento da bolha cresce

linearmente com JG/JL. A razão JG/JL ao redor de 1,8 demarca o início de um notável espalhamento

de LB/D, coincidente com o valor limite observado para o desvio da velocidade da bolha. Para

valores entre 1,8<JG/JL<3 o crescimento de LB continua linear, porém com um grande espalhamento

entre as inclinações. Aparentemente para JG/JL>3 há uma mudança de inclinação, o aumento relativo

do gás não corresponde a um aumento de LB/D sugerindo que há uma saturação. Muito

provavelmente o aumento do volume de gás é adicionado ao pistão de líquido ao invés de aumentar

86

o comprimento da bolha. Para haver uma maior certeza da afirmação acima é necessário mais

medidas experimentais.

0

10

20

30

40

50

60

70

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

LB/D

JG/JL

90°

75°

60°

45°

30°

15°

0°

Figura 4.2 Comprimento da bolha em função de JG/JL para diferentes inclinações.

A Figura 4.3 e Figura 4.4 mostram o comprimento da bolha em função do ângulo de

inclinação fixando a velocidade de líquido e variando a velocidade de gás. Na Figura 4.3 a

velocidade superficial de líquido é constante em 60cm/s enquanto que a velocidade superficial de

gás varia entre 60cm/s e 120cm/s. Observa-se que quanto maior for a velocidade do gás, maior será

o comprimento da bolha. Fixando-se as velocidades do líquido e do gás, o comprimento da bolha

diminui com o aumento da inclinação. Esta taxa de variação é maior para inclinações entre

0°<θ<30°, enquanto que para 30°<θ<90° o comprimento decai lentamente. Esse comportamento

também foi observado para uma bolha isolada, veja Figura 4.1. A Figura 4.4 traz dados

experimentais do comportamento da bolha nas diversas inclinações fixando a velocidade superficial

do líquido em 30cm/s e variando a velocidade superficial do gás na faixa de 60cm/s a 150cm/s. O

87

comportamento do comprimento da bolha é similar àquele descrito na Figura 4.3. Constata-se

também que quanto maior for a razão JG/JL tanto maior será a variação do comprimento da bolha

com a mudança de inclinação do tubo.

0

10

20

30

40

0 15 30 45 60 75 90

LB/D

Ângulo de Inclinação, graus

60_60

60_120

Figura 4.3 Variação do comprimento da bolha em função do ângulo para JL=60 cm/s.

020406080

100120140160

0 15 30 45 60 75 90

LB/D


30_60

30_90

30_150

Figura 4.4 Variação do comprimento da bolha em função do ângulo para JL=30 cm/s

Por último a Figura 4.5 traz o comprimento da bolha em função do ângulo de inclinação,

porém fixando a velocidade superficial da mistura em 180cm/s. Nota-se que o comprimento da

bolha não é constante para um mesmo J mas depende da razão JG/JL, Quanto maior for a razão gás-

líquido maior será o comprimento da bolha.

88

020406080

100120140160

0 15 30 45 60 75 90

LB/D


30_150

60_120

90_90

120_60

Figura 4.5 Variação do comprimento da bolha em função do ângulo para J=180 cm/s.

A Figura 4.6 traz uma seqüência de 7 gráficos cada um representando um ângulo de

inclinação. Fazendo uma leitura da esquerda para direita, de cima para baixo, as inclinações

correspondem a: 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75° e 90°. Cada gráfico traz a variação de LB/D, medido na

estação de medida E2, em função da velocidade adimensional do gás para três valores de velocidade

superficial do líquido: 30cm/s, 60cm/s e 120cm/s. As linhas contínuas representam ajustes lineares

que passam pela origem:

G1

JLB a .D gD

= (4.4)

O coeficiente angular de cada reta representa a taxa de variação de LB com JG. O aumento de

JG leva a um aumento de LB/D. Por sua vez, um aumento na inclinação leva a uma diminuição da

taxa de crescimento de LB/D. A maior taxa de variação, para qualquer inclinação, ocorre para o

menor JL. Os valores máximo e mínimo de a1 são 45,8 e 4,6 e correspondem, respectivamente a,

θ=0° e JL=30cm/s e θ=75° e JL=120cm/s.

89

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4 5

LB/D

JG/(g.D)0,5

3060120

θ=15

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 1 2 3 4

LB/D

JG/(g.D)0,5

3060120

θ=0

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4

LB/D

JG/(g.D)0,5

3060120

θ=30

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4LB

/DJG/(g.D)0,5

3060120

θ=45

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4

LB/D

JG/(g.D)0,5

3060120

θ=60

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4

LB/D

JG/(g.D)0,5

3060120

θ=75

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4

LB/D

JG/(g.D)0,5

3060120

θ=90

Figura 4.6. Comprimento da bolha em função da velocidade adimensional do gás fixando a velocidade superficial de líquido em ◊ 30cm/s, 60cm/s e Δ 120cm/s.

90

A Figura 4.7 mostra o coeficiente a1 da Eq. (4.4) em função do ângulo de inclinação para três

velocidades superficiais de líquido: JL=30cm/s, 60cm/s e 120cm/s. O coeficiente a1 sofre uma

grande variação entre 0°<θ<30° e depois a taxa de variação se mantém aproximadamente constante

entre 30° e 75°, apresentando um pequeno incremento próximo na posição vertical. A medida que JL

aumenta a diferença entre o valor máximo e mínimo de a1 diminui.

0

10

20

30

40

50

0 15 30 45 60 75 90

a 1


JL=30JL=60JL=120

Figura 4.7. Taxa de variação do comprimento da bolha em função da inclinação para

diferentes JL.

A falta de periodicidade no tempo e no espaço do escoamento intermitente pode ser

caracterizada pela população de comprimentos das bolhas. Van Hout et al. (2001) apresentam

histogramas dos comprimentos das bolhas para escoamento vertical de ar e água em tubulações com

0,024m e 0,054m de diâmetro interno. Posteriormente, van Hout et al. (2003) estendem seu trabalho

experimental para tubulações inclinadas e revela os histogramas para inclinações de 90°, 60°, 30° e

10°. Nestes trabalhos experimentais a população dos comprimentos das bolhas, para posições

afastadas do injetor, z/D>127, pode ser representada por uma distribuição normal. Mayor et al.

(2008) realiza medições da população de bolhas alongadas em escoamento vertical ascendente de ar

e água em uma coluna com 0,032 de diâmetro interno. As populações dos comprimentos das bolhas

é medida em duas alturas, 100D e 170D do injetor de ar e água, revelando distribuições simétricas.

91

A Figura 4.8 e Figura 4.9 mostra a população do comprimento da bolha medido a 257D do

injetor, E2, em termos de sua função densidade de probabilidade. Os dados experimentais aplicam-

se para dois pares de velocidades (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) que apresentam o

mesmo J, mas com razões gás-líquido de 2 e ½ respectivamente. As PDFs tendem a apresentar um

perfil simétrico, entretanto alguns pontos apresentam assimetrias que são atribuídas ao processo de

formação das bolhas e pistões. Neste processo de formação, duas bolhas consecutivas podem

coalescer para formar uma maior resultando, inclusive, em distribuições bimodais. Quando as

interações entre bolhas cessam, as distribuições do comprimento de bolha tendem a distribuições

simétricas podendo ser aproximadas pela distribuição normal. As distribuições mostradas na Figura

4.8 e Figura 4.9 apresentam uma forma truncada em LB/D<4. Isto se deve a técnica experimental de

medida que limita o menor comprimento de bolha detectado em 4D, que é aproximadamente o

espaçamento entre as sondas gêmeas de cada estação.

O aumento da razão JG/JL conduz a um aumento do comprimento médio esperado e também

do espalhamento das PDFs. Enquanto o valor mínimo e máximo do comprimento da bolha é de 4D a

16D para JG/JL=1/2, esta faixa sobe para 4D a 60D para JG/JL=2. Os maiores espalhamentos são

encontrados para θ=0°. Na figura é observado que a medida que o ângulo de inclinação aumenta o

espalhamento diminui, mas volta a crescer em θ=90°. Não se sabe ao certo as razões que levam ao

aumento do espalhamento para escoamentos na vertical, acredita-se que deva ser algum fenômeno

associado à simetria que o escoamento passa a apresentar.

O coeficiente de variação de LB é apresentado na Figura 4.10 em função da razão JG/JL. Os

dados experimentais de SLB/LB não revelam uma tendência específica com JG/JL, mas mostram que

para JG/JL<1 o coeficiente de variação é sempre menor que 0,4 enquanto que para JG/JL>1 o

coeficiente de variação está espalhado na faixa de 0,2 a 0,5.

92

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 10 20 30 40 50 60

LB/D

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50 60

LB/D

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 10 20 30 40 50 60LB/D

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 10 20 30 40 50 60LB/D

90

60

JG/JL=230_60

JG/JL=1/260_30

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 10 20 30 40 50 60

LB/D

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50 60

LB/D

45

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50 60LB/D

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 10 20 30 40 50 60LB/D

75

Figura 4.8. Função de densidade de probabilidade do comprimento da bolha para (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações.

93

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 10 20 30 40 50 60

LB/D

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 10 20 30 40 50 60LB/D

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 20 40 60LB/D

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 10 20 30 40 50 60

LB/D

30

0

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 10 20 30 40 50 60

LB/D

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 10 20 30 40 50 60

LB/D

15

Figura 4.9. Continuação da Figura 4.8. Função de densidade de probabilidade do comprimento da

bolha para (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações.

A Figura 4.11 mostra o coeficiente de variação de LB em função do ângulo de inclinação da

tubulação para os pares de velocidades superficiais, (JL,JG) listados na legenda da figura. Variando-

se a inclinação da horizontal para a vertical observa-se três comportamentos para o coeficiente de

94

variação: i) SLB/LB diminui, atinge um mínimo e volta subir; típico para JG/JL<1/2, por exemplo

(JL,JG)→(60cm/s, 30cm/s) e (120cm/s, 60cm/s); ii) SLB/LB permanece aproximadamente constante,

típico para JG/JL∼1 por exemplo (JL,JG)→(120cm/s, 120cm/s) e (60cm/s, 60cm/s) considera-se um

ponto de inflexão; ii) SLB/LB aumenta, atinge um máximo e volta diminuir; típico para JG/JL>2 por

exemplo JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (30cm/s, 90cm/s).

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 1 2 3 4 5 6

SLB

/LB

JG/JL

0°15°30°45°60°75°90°

Figura 4.10. Coeficiente de variação do comprimento da bolha em função de JG/JL para as

diferentes inclinações.

95

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 15 30 45 60 75 90

SLB

/LB


30_60

30_90

30_150

60_30

60_60

60_120

90_90

120_60

120_120

120_210

Figura 4.11. Coeficiente de variação do comprimento da bolha em função do ângulo de

inclinação para os diferentes testes.

96

4.2. COMPRIMENTO DO PISTÃO DE LÍQUIDO, LS.

O pistão de líquido separa duas bolhas consecutivas, seu comprimento LS é definido pela

distância entre as duas bolhas alongadas. A interação entre bolhas consecutivas decorre da influência

da esteira causada pela bolha que vem a frente. Se o pistão de líquido for grande o suficiente, os

efeitos da esteira são minimizados, ou inexistentes, na bolha que segue atrás de tal modo que as

interações entre bolhas cessam e o comprimento do pistão atinge um valor estável. Medidas

experimentais em escoamentos horizontais e verticais mostram a existência de um comprimento

estável do pistão de líquido relativamente insensível às vazões de gás e líquido. Dukler e Hubbard

(1975) observaram experimentalmente comprimentos estáveis de pistões entre 12D a 30D para

escoamentos horizontais. Para escoamento vertical, Fernandes (1981), Barnea e Shemer (1989)

encontraram o comprimento estável entre 10D a 20D.

As medidas experimentais dos comprimentos dos pistões de líquido foram tomadas a 257D a

jusante do injetor de gás e líquido. A Figura 4.12 e Figura 4.13 mostram LS/D em função da razão

JG/JL e do ângulo de inclinação da tubulação. A Figura 4.12 mostra que o maior e o menor valor de

LS foram de 24D e 10D, respectivamente. Com o aumento de JG/JL há uma tendência do aumento de

LS entretanto os dados exibem uma grande dispersão; para cada valor de JG/JL a variação de LS é

cerca de ±3D ao redor do valor médio, quando a tubulação é inclinada da vertical para horizontal.

Em termos relativos, esta variação corresponde de 15% a 25% do valor médio observado. A Figura

4.13 mostra a variação de LS/D, quando a inclinação da tubulação varia da posição horizontal para a

vertical, mostra um mínimo em θ=30° e depois volta a crescer e cai um pouco entre 75 e 90 graus.

Acredita-se que o aumento de LS/D para θ=30° deve-se ao progressivo aumento de aeração do

pistão de líquido.

97

9

11

13

15

17

19

21

23

25

0 1 2 3 4 5 6

LS/D

JG/JL

029_090029_149061_030060_062060_120090_090121_061120_119121_209

Figura 4.12. Comprimento do pistão de líquido em função de JG/JL para os diferentes testes.

9

11

13

15

17

19

21

23

25

0 15 30 45 60 75 90

LS/D


30_60

30_90

30_150

60_30

60_60

60_120

90_90

120_60

120_120

120_210

Figura 4.13. Comprimento do pistão adimensional em função do ângulo de inclinação.

O comprimento do pistão de líquido e a freqüência das unidades, estão fortemente acoplados.

Um balanço volumétrico numa unidade pistão seguido de uma bolha resulta que a vazão do líquido

98

é igual ao volume de líquido transportado pelo pistão e filme de líquido associado à bolha por

unidade de tempo menos a vazão transferida para a célula pelo mecanismo de ‘scooping’ (Dukler e

Hubbard 1975):

( ) ( ) ( ) ( )L S B f BJ LS. 1 .f LB. 1 .f VB V . 1= − α + − α − − − α , (4.5)

agrupando os termos semelhantes encontra-se que:

( ) ( )( ) ( )L S f BJ LS. 1 .f LB.f VB V . 1= − α + − − − α , (4.6)

um balanço de volume de líquido para um referencial que se move com a velocidade da bolha

fornece:

( ) ( ) ( ) ( )f B LS SVB V . 1 VB V . 1− − α = − − α , (4.7)

substituindo a Eq. (4.7) na Eq. (4.6), e dividindo-a por JG encontra-se que:

( )( ) ( ) ( )

( )LS S BLS B

G G G

LB.f VB V . 1 1J LS.f . 1 . 1J J J

⎡ ⎤− − − α − α⎣ ⎦= − α + − α . (4.8)

A relação entre os diversos termos da Eq. (4.8) não é obvia. Fazendo uma hipótese de que o

segundo termo do lado direito da Eq. (4.8) é desprezível encontra-se que:

( ) ( ) 1G L S

G

LS.f J J . 1J

−⎡ ⎤≅ − α⎣ ⎦ . (4.9)

A correlação entre o lado esquerdo e direito da Eq. (4.9) é testada contra os dados

experimentais na forma LS.f/JG versus JG/JL, uma vez que αS não foi medido experimentalmente. A

Figura 4.14 mostra que LS.f/JG é proporcional a uma potência negativa de JG/JL, do tipo y=ax-b. Para

valores de JG/JL>1,8 há uma mudança na constante ‘a’ de proporcionalidade do ajuste, indicando

que αS aumenta conforme observado no fenômeno da variação da velocidade de translação da bolha.

99

0,1

1

10

0,1 1 10

LS*F

/(JG

)

JG/JL

90°75°60°45°30°15°0°

Figura 4.14. Comprimento do pistão adimensional em função de JG/JL para diferentes

inclinações.

A Figura 4.15 e Figura 4.16 mostra a população dos comprimentos dos pistões de líquido

medidos a 257D do injetor, E2, em termos de sua função densidade de probabilidade. Os dados

experimentais aplicam-se para dois pares de velocidades (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s,

30cm/s) que apresentam o mesmo J mas razões gás-líquido de 2 e ½ respectivamente. Para

comprimentos de pistões estáveis, as PDFs tendem a apresentar um perfil assimétrico com

obliqüidade positiva, podendo ser representadas por uma distribuição log-normal (Brill et al. 1981).

Entretanto, algumas condições operacionais resultam em PDFs que não são representadas pela log-

Normal. Estas PDFs são típicas do processo de formação dos pistões e bolhas e apresentam forte

interação entre bolhas consecutivas. Veja por exemplo a PDFs dada pelo par de velocidades

(JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) para θ=30°. As distribuições mostradas na Figura 4.15 e Figura 4.16

apresentam uma forma truncada para LS/D<4. Isto se deve a técnica experimental de medida que

limita o menor comprimento de pistão detectado em 4D que é aproximadamente o espaçamento

entre as sondas gemias de cada estação. Comparando-se as PDFs para as diversas inclinações,

constata-se que nem o ângulo de inclinação nem a razão JG/JL influenciam a forma das PDFs. A

exceção cabe para θ=45° onde a PDF com (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) apresentou um espalhamento

muito maior que a PDF com (JL,JG)→(60cm/s, 30cm/s). Interessante que este mesmo

comportamento pode ser observado para outros pares de velocidade superficiais das fases.

100

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60

LS/D

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60

LS/D

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60LS/D

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60LS/D

90

60

JG/JL=230_60

JG/JL=1/260_30

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60

LS/D

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60

LS/D

45

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60LS/D

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60LS/D

75

Figura 4.15. Função de densidade de probabilidade do comprimento do pistão para

(JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações.

101

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60

LS/D

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60LS/D

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60LS/D

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60

LS/D

30

0

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60

LS/D

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60

LS/D

15

Figura 4.16. Continuação da Figura 4.15. Função de densidade de probabilidade do

comprimento do pistão para (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações.

O coeficiente de variação de LS é apresentado na Figura 4.17 em função da razão JG/JL. Os

dados experimentais de SLS/LS não revelam uma tendência com JG/JL, mas encontram-se

espalhados na faixa de 0,2 a 0,55. O coeficiente de variação de LS também não mostra uma

dependência com o ângulo de inclinação, veja Figura 4.18, mas apresenta a maioria de seus valores

entre 0,3 e 0,45.

102

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 1 2 3 4 5 6

SLS/

LS

JG/JL

0°

15°

30°

45°

60°

75°

90°

Figura 4.17. Variação do SLS/LS em função de JG/JL para as diferentes inclinações.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 15 30 45 60 75 90

SLS/

LS


30_60

30_90

30_150

60_30

60_60

60_120

90_90

120_60

120_120

120_210

Figura 4.18. Variação do SLS/LS em função do ângulo de inclinação para os diferentes testes.

103

4.3. FATOR DE INTERMITÊNCIA, β.

O escoamento intermitente é caracterizado pela alternância do pistão de líquido seguido pela

bolha de gás. Destaca-se que esta alternância não é periódica no tempo nem no espaço, mesmo

assim pode-se definir uma variável chamada fator de intermitência que pondera, em termos médios,

a ocorrência das estruturas pistão de líquido e bolha alongada de gás.

Considerando o tempo de ocorrência da bolha de gás e do pistão de líquido com TB e TS,

respectivamente, então o fator de intermitência pode ser definido como:

TB TBTB TS TU

β = ≡+

, (4.10)

onde TU é o tempo da unidade; TU=TB+TS. Por outro lado, considerando que a unidade viaja com

a velocidade de translação da bolha alongada, então TB=LB/VB e TS=LS/VB. Substituindo as

definições na Eq. (4.10) chega-se a uma definição do fator de intermitência como uma razão de

comprimentos:

LB LBLB LS LU

β = ≡+

, (4.11)

onde LU é o comprimento da unidade, LU=LB+LS. Pode-se também definir β em termos de uma

razão de volumes considerando a fração volumétrica média de gás na unidade, αU. Rearranjando a

Eq. (3.36) obtém-se:

U S

B S

α − αβ =

α − α (4.12)

Todas as definições de β dadas pelas Eq. (4.10), (4.11) e (4.12) são equivalentes e representam

uma ponderação da ocorrência da bolha na unidade em termos do tempo, comprimento ou mesmo

volume. Uma característica importante do fator de intermitência é que está limitado, do ponto de

vista matemático, está entre 0 e 1, isto é: 0≤β≤1. Entretanto, existe um limite físico que impede que

104

β atinja seus extremos porque para β→1, o padrão do escoamento tende a transicionar para o

escoamento anular enquanto que para β→0 o padrão tende a mudar para bolhas dispersas.

Tecnicamente é comum encontrar para escoamento intermitente valores de β no intervalo

0,2≤β≤0,95. O fator de intermitência apresenta uma dependência com VB, αS, JG e VGS:

( ) ( )G S B SJ VB. 1 . . VB VGS .⎡ ⎤= −β α + β α − − α⎣ ⎦ , (4.13)

sendo que VGS representa a velocidade do gás disperso na forma de bolhas no pistão de líquido.

Para pistão não aerado, αS=0, a Eq. (4.13) reduz para:

G BJ VB. .= β α . (4.14)

Considerando que na Eq. (4.14) que VB é proporcional à J então pode-se antecipar que β é

proporcional a razão JG/J. A dependência funcional entre β e JG/J é mostrada na Figura 4.19 para dez

pares de velocidade superficial de líquido e gás testados. Os dados experimentais são referentes às

medidas realizadas na estação 2 a 257D a jusante do injetor de gás e líquido.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

β

JG/J

30_6030_9030_15060_3060_6060_12090_90120_60120_120120_210

Figura 4.19 Fator de intermitência em função da razão de velocidades superficiais JG/J.

A Figura 4.19 confirma que o fator de intermitência é proporcional à razão JG/J. Por questões

de referência, a reta tracejada na figura ilustra uma região onde o coeficiente de proporcionalidade é

105

unitário. A medida que a razão JG/J aumenta o espalhamento dos dados também aumenta. Este

espalhamento em parte deve-se a variação da inclinação como será visto na próxima figura.

O fator de intermitência em função do ângulo é mostrado na Figura 4.20 para os dez pares de

velocidade superficial de líquido e gás testados. Partindo da horizontal observa-se que β decai até

75° e depois cresce novamente em 90°. Como β pode ser expresso por meio dos comprimentos LB e

LS, o seu comportamento em função da variação do ângulo pode ser compreendido a partir do

comportamento que LB e LS apresentam em função da variação do ângulo, veja Figura 4.4 e Figura

4.13. Basicamente LB diminui e LS aumenta com o aumento do ângulo. Entre 75° e 90° há um

aumento de β . Isto é devido ao aumento do LB e diminuição de LS e da freqüência em quase todos

os testes, onde o aumento de LB é atribuído principalmente ao aumento da taxa de coalescência e

diminuição da freqüência, como é observado na Figura 4.25 e Figura 4.30.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 15 30 45 60 75 90

β

Ângulo de inclilnação, graus

30_60

30_90

30_150

60_30

60_60

60_120

90_90

120_60

120_120

120_210

Figura 4.20 Fator de intermitência em função do ângulo de inclinação.

A PDF do fator de intermitência é mostrada na Figura 4.21 e Figura 4.22. Os dados

experimentais aplicam-se para dois pares de velocidades (JL, JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s,

30cm/s) que apresentam o mesmo J, mas razões gás-líquido de 2 e ½ respectivamente. As PDFs

apresentam uma forma assimétrica com obliqüidade positiva e pouco sensível ao ângulo de

inclinação. As PDFs de β são derivadas das PDF de LB e LS, ou seja, de uma distribuição normal

com outra log-normal.

106

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1β

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1β

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1β

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1β

90

60

JG/JL=230_60

JG/JL=1/260_30

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

β

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

β

45

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1β

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1β

75

Figura 4.21 Função de densidade de probabilidade do fator de intermitência para (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações.

107

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1β

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1β

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1β

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1β

30

0

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

β

0

2

4

6

8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

β

15

Figura 4.22 Continuação Figura 4.21. Função de densidade de probabilidade do fator de intermitência para (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações.

Para inclinação de 45° a PDF para (JL, JG)→(30cm/s, 60cm/s) apresenta uma forma muito

distinta daquela observada para (JL, JG)→(60cm/s, 30cm/s). Isto é uma exceção, pois para as outras

inclinações é observada uma estreita semelhança entre as PDFs. Esta anomalia foi observada

anteriormente para PDF de LS, provavelmente este efeito também foi propagado na PDF de β.

108

4.4. FREQÜÊNCIA, F

O escoamento intermitente é caracterizado por uma unidade, ou célula, composta por um

pistão de líquido seguido por uma bolha alongada de gás. Para um observador estacionário estas

unidades ocorrem em intervalos de tempo que não são periódicos nem no tempo nem no espaço.

A freqüência da célula assume comportamentos distintos na fase em que o escoamento está em

desenvolvimento e aquela onde o desenvolvimento é alcançado. No escoamento em

desenvolvimento, onde os pistões de líquido não atingiram seu comprimento estável, a freqüência é

elevada, e diminui à medida que o escoamento evolui ao longo da tubulação devido às interações

entre as bolhas consecutivas. Já na fase em que o escoamento se encontra desenvolvido, o

estabelecimento de um comprimento do pistão de líquido sendo o suficiente que não permite mais

interação entre as bolhas alongadas, fazendo com que a freqüência da célula seja constante.

Existem diversos modelos para cálculo da freqüência em função de parâmetros conhecidos do

escoamento. A maioria deles baseia-se em correlações obtidas a partir de medidas experimentais, o

que muitas vezes restringe a sua aplicação geral. As correlações podem ser simples, como o cálculo

de freqüência em função de JL e JG, ou mais elaboradas, considerando as configurações geométricas

e/ou propriedades do fluido. As principais correlações propostas para determinar a freqüência de

ocorrência encontradas na literatura são mostradas na Tabela 4.1.

Observa-se na Tabela 4.1 uma grande diversidade dos modelos físicos para estimar a

freqüência. Algumas correlações aplicam-se somente para tubulações horizontais, outras para

tubulações verticais havendo somente uma para tubulações inclinadas. Outros autores não divulgam

se a correlação aplica-se ou não para linhas inclinadas. Entretanto, sabe-se que a freqüência

apresenta uma dependência forte com a velocidade superficial do líquido e fraca com a velocidade

superficial do gás.

109

Tabela 4.1 Correlações para o calculo da freqüência da célula. Autor f Geometria

Gregory e Scott

(1969)

1,2

LJ 19,75f 0,0226 JgD J

⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ Horizontal

Heywood e Richardson

(1979)

1,02

J2,02f 0,0434 Fr

D⎡ ⎤⎛ ⎞= λ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Horizontal

Correlação Shell ( ) ( )L G L

20,1 0,064

min J J JDf Fr A Fr Fr 1,17 Frg

⎡ ⎤= = + + −⎢ ⎥⎣ ⎦ -

Zabaras (2000) ( )

1,20,25 LJ 19,75f 0,836 2,75.sen .0,0226 J

gD J⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤= + θ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Horizontal

a vertical

Sakaguchi et al. (2001)

10,317 0,333 3,041,38 0,166 0,564G G GL L

L L

J J DJD Jf 16100 0,087J J J gD

−−− −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ ρρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σ μ ρ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

-

Tronconi (1990)

G G

L G

Uf 0,61H

ρ=

ρ, UG é a velocidade do gás e HG é a altura do escoamento estratificado. Horizontal

Hill e Wood (1994)

( )e2,68 1L GJ J 0, 275f .10D 3600

−α+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, αe é calculado a partir de HG para o escoamento estratificado -

Hill e Wood (1994) ( )

L G0,3

G

J Jf ' 1f3600 D 1 0,05.J D

+⎛ ⎞= ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ -

Sendo: L

LJ

JFrgD

= ; G

GJ

JFrgD

= ; LJJ

λ = ; ( )L

0,81

min JFr 0,048 Fr= ; ( )L

2,34

JA 0,73 Fr=

9,91209.H' 0,20524.H'f ' 24,729 0,00766.e 24,721.e= − + + , ( )eL

0,068H ' 1 1J

⎛ ⎞= − α −⎜ ⎟

⎝ ⎠

A determinação da freqüência é avaliada como o inverso do intervalo de tempo de duração de

uma unidade para um observador estacionário:

ii i

1fTB TS

=+

, (4.15)

sendo que ‘i’ é o índice que identifica a unidade e TS e TB são os tempos de duração do pistão e da

bolha. Considerando que a unidade ‘i’ viaja com VBi então TBi=LBi.VBi e TSi=LSi.VBi.

Substituindo estas definições na Eq. (4.15) chega-se a:

ii

i i

VBfLB LS

=+

. (4.16)

110

A freqüência média da população de unidades pistão-bolha é determinada fazendo-se a média

dos recíprocos dos tempos:

( )N

1i i

i 1

1f TB TSN

−

=

= +∑ , (4.17)

ou também em termos da média da velocidade e dos comprimentos:

N

i

i 1 i i

VB1fN LB LS=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ . (4.18)

Para regiões afastadas do injetor de gás e líquido, onde as interações entres bolhas e pistões

praticamente cessaram, não há correlação entre VBi, LBi e LSi e, portanto, a Eq. (4.18) pode ser

avaliada tomando-se os valores médios de VB, LB e LS:

VBfLB LS

=+

. (4.19)

Alternativamente à definição dada na Eq. (4.19) para a freqüência média também pode ser

definida pela razão entre o número de bolhas alongadas, Nb, que atravessou a seção transversal do

tubo pelo tempo de observação T:

bNfT

= . (4.20)

Utilizando como ponto de partida a Eq. (4.9) e substituindo LS pelo diâmetro da tubulação

encontra-se uma relação de proporcionalidade entre a freqüência e as velocidades superficiais das

fases:

( )nG L

G

f J JJ D

α . (4.21)

A dependência funcional expressa na Eq. (4.21) é aplicada ao conjunto de dados

experimentais para verificar se há ou não correlação. A Figura 4.23 revela que a freqüência

111

adimensional, f.D/JG apresenta uma dependência com JG/JL na forma de uma relação de potência. O

ajuste vale para dados experimentais onde a razão JG/JL é menor que 1,8.

y = 0,085x-1,12

R² = 0,972

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 0,5 1 1,5 2 2,5

f.D/J

G

JG/JL

Figura 4.23 Freqüência adimensional em função da razão JG/JL para valores de JG/JL<1,8.

Excessiva aeração foi constatada, de forma indireta, nas medidas de VB e por fotografias

quando JG/JL>1,8. Este aumento de αS no pistão de líquido influencia a freqüência das unidades e

altera os coeficientes de ajuste. A Figura 4.24 mostra o novo ajuste de potência para dados

experimentais onde JG/JL>1,8.

A dependência da freqüência com o ângulo de inclinação é mostrada na Figura 4.25 para os

dez pares de pontos experimentais medidos. Para pontos onde JG/JL>1,8 observa-se que a freqüência

atinge um máximo entre 45° a 60°. Este comportamento também foi observado por van Hout et al.

(2002). Entretanto, para JG/JL<1,8 é observado que a freqüência se mantém aproximadamente

constante para 0°<θ<90°.

A PDF da freqüência é mostrada na Figura 4.26 e Figura 4.27. Os dados experimentais

aplicam-se para dois pares de velocidades (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) que

apresentam o mesmo J, mas razões gás-líquido de 2 e ½ respectivamente. As PDFs apresentam

112

formas assimétricas com obliqüidade positiva e sensíveis ao ângulo de inclinação. A redução da

razão JG/JL leva um aumento do espalhamento. As PDFs de f são derivadas das PDFs de VB, LB e

LS, ou seja, de distribuições normal e log-normal.

y = 0,119x-1,15

R² = 0,619

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6

f.D/J

G

JG/JL

Figura 4.24 Freqüência adimensional em função da razão JG/JL para valores de JG/JL>1,8

0

1

2

3

4

5

6

0 15 30 45 60 75 90

f (H

z)


30_60

30_90

30_150

60_30

60_60

60_120

90_90

120_60

120_120

120_210

Figura 4.25 Freqüência em função do ângulo de inclinação da tubulação.

113

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6

f (Hz)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6

f (Hz)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6f (Hz)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6f (Hz)

90

60

JG/JL=230_60

JG/JL=1/260_30

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6

f (Hz)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6

f (Hz)

45

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6f (Hz)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6f (Hz)

75

Figura 4.26 Função de densidade de probabilidade da freqüência para (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações.

114

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6

f (Hz)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6f (Hz)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6f (Hz)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6

f (Hz)

30

0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6

f (Hz)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6

f (Hz)

15

Figura 4.27 Continuação Figura 4.26. Função de densidade de probabilidade da freqüência para (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) e (60cm/s, 30cm/s) para diferentes inclinações.

115

4.5. INTERAÇÃO ENTRE BOLHAS E TAXA DE COALESCÊNCIA

Durante o processo de formação do escoamento intermitente as bolhas estão sob forte

influência da esteira dos pistões que estão à sua frente. As esteiras introduzem uma distorção no

perfil de velocidades a frente do nariz da bolha fazendo com que ela seja acelerada. Este efeito foi

originalmente estudado por Moissis e Griffith (1962) em escoamento vertical e, subseqüentemente,

por diversos autores, entre eles Taitel e Barnea (1993), Grenier (1997), Fagundes Netto (1999) e

Mayor et al. (2008) tanto em linhas verticais como horizontais.

Considere inicialmente duas bolhas (1) e (2) em seqüência, bolha (1) a frente da bolha (2),

separadas por um pistão de líquido. Se o comprimento do pistão de líquido que separa as duas

bolhas for curto o suficiente, usualmente <10D, a esteira da bolha (1) induz um aumento de

velocidade na bolha (2) até que, eventualmente, esta alcance a bolha (1) e coalesça formando uma

nova bolha. Durante este processo o comprimento do pistão de líquido que separa as duas bolhas

diminui constantemente até desaparecer. Isto é, toda a massa de líquido do pistão é transferida para o

pistão de líquido que vem atrás da bolha (2). O processo de coalescência cria uma nova bolha com

massa de gás igual a soma das massas das bolhas (1) e (2) e aumenta a massa de líquido do pistão

que vem atrás da bolha (2). As mudanças dos comprimentos da bolha e do pistão induzem uma

mudança na freqüência e no atrito e, eventualmente, também na velocidade de translação da bolha.

Os modelos atuais para escoamento intermitente não tem capacidade de previsão em regiões onde há

grande interação entre as bolhas, mas sim em regiões na tubulação onde o escoamento permanece

estacionário, isto é, as interações entre bolhas vizinhas cessam.

Os efeitos da interação entre bolhas consecutivas podem ser observados na variação, ao longo

da direção axial do tubo, da velocidade de translação da bolha, comprimento da bolha, comprimento

do pistão e freqüência. A evolução destas quatro variáveis entre as estações E1 e E2 é mostrada na

Figura 4.28 para quatro inclinações: 0°, 30°, 60° e 90°. A velocidade de translação da bolha cresce

de E1 para E2, isto é devido em parte à expansão do gás, mas também porque as bolhas mais rápidas

extinguem a população de bolhas mais lentas, como é observado na Figura 4.29. O comprimento da

bolha também aumenta à medida que a bolha viaja de E1 para E2. Esta variação se deve em parte à

expansão de gás e também a coalescência entre as bolhas que faz com que o tamanho médio da

116

população aumente. É observado um aumento do comprimento do pistão causado pela coalescência

entre bolhas uma vez que a massa de líquido do pistão que separa as duas consecutivas é transferida

para o pistão que vem atrás da segunda bolha. Por último, observa-se que a freqüência diminui entre

as estações E1 e E2, esta variação deve-se também a coalescência das bolhas que, reduzindo o

número de bolhas, causa a redução na freqüência.

As mudanças no escoamento devido as interações entre as bolhas podem ser melhor

entendidas observando-se a evolução das PDFs de VB, LB/D, LS/D e F, entre as estações E1 e E2.

Estes dados são revelados na Figura 4.29 para o par (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s) para quatro

inclinações 0°, 30°, 60° e 90°. A estação de medida E1 está a 77D a jusante do misturador e sujeita a

grande influência do processo de formação das bolhas dado pela forma como é injetado o gás e o

líquido na tubulação. Neste experimento o gás é injetado a partir de uma bifurcação em Y enquanto

que o líquido segue no ramo principal até se encontrar com o gás. Observa-se que a população de

VB em E1 tem um valor mais provável e um desvio padrão menor que a população de VB em E2,

além disto, a fração de bolhas com velocidades baixas diminuiu de E1 para E2. O valor mais

provável e o desvio padrão do comprimento da bolha também aumenta de E1 para E2. Isto mostra

que uma fração das bolhas de menor comprimento que existia em E1 foi extinta em E2. Porém,

devido à coalescência, a fração que foi extinta incrementou a fração de bolha com maior

comprimento em E2. O comprimento do pistão tem comportamento similar, entre as estações E1 e

E2 há um aumento do valor mais provável e do desvio padrão. Observa-se que em E2 já não existe

uma significativa parcela da população de LS com comprimento pequeno e médio comparado com

aquele que havia em E1, isto se deve à coalescência das bolhas. Por último, observa-se que a

população das freqüências desloca-se para a esquerda à medida que o escoamento avança da estação

de medida E1 para a E2, entretanto, não é observado mudança no seu desvio padrão. A diminuição

da freqüência média é devido à diminuição do número de bolhas que chegou na estação E2 em

comparação com as bolhas que entraram na estação E1.

117

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 100 200 300

<VB

> (m

/s)

L/D

60_3060_6060_120

05

10152025303540

0 100 200 300

<LB

>/D

L/D

60_3060_6060_120

0

5

10

15

20

0 100 200 300

<LS>

/D

L/D

60_3060_6060_120

0

1

2

3

4

0 100 200 300

f (H

z)

L/D

60_3060_6060_120

90°

60°

30°

0°

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 100 200 300

<VB

> (m

/s)

L/D

60_6060_120

05

10152025303540

0 100 200 300

<LB

>/D

L/D

60_3060_6060_120

0

5

10

15

20

0 100 200 300

<LS>

/D

L/D

60_6060_120

0

1

2

3

4

0 100 200 300

f (H

z)

L/D

60_6060_120

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 100 200 300

<VB

> (m

/s)

L/D

60_3060_6060_120

05

10152025303540

0 100 200 300

<LB

>/D

L/D

60_3060_6060_120

0

5

10

15

20

0 100 200 300

<LS

>/D

L/D

60_3060_6060_120

0

1

2

3

4

0 100 200 300

f (H

z)

L/D

60_3060_6060_120

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 100 200 300

<VB

> (m

/s)

L/D

60_3060_6060_120

05

10152025303540

0 100 200 300

<LB

>/D

L/D

60_3060_6060_120

0

5

10

15

20

0 100 200 300

<LS>

/DL/D

60_3060_6060_120

0

1

2

3

0 100 200 300

f (H

z)

L/D

60_3060_6060_120

Figura 4.28 VB, LB/D, LS/D e F em função da posição axial ao longo do tubo par diferentes inclinações. Legenda: velocidades superficiais na ordem (JL,JG) ◊→(60cm/s, 30cm/s) →(60cm/s, 60cm/s) Δ→(60cm/s, 120cm/s).

118

0

2

4

6

8

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

E#1

E#2

0

0,05

0,1

0,15

0 10 20 30 40LB/D

E#1

E#2

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 10 20 30 40LS/D

E#1

E#2

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6f(Hz)

E#1

E#2

90°

0

2

4

6

8

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

E#1

E#2

0

0,05

0,1

0,15

0 20 40 60 80LB/D

E#1

E#2

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 10 20 30 40LS/D

E#1

E#2

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6f(Hz)

E#1

E#2

0°

0

2

4

6

8

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

E#1

E#2

0

0,05

0,1

0,15

0 10 20 30 40LB/D

E#1

E#2

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 10 20 30 40LS/D

E#1

E#2

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6f(Hz)

E#1

E#2

60°

0

2

4

6

8

0 0,5 1 1,5 2VB (m/s)

E#1

E#2

0

0,05

0,1

0,15

0 10 20 30 40LB/D

E#1

E#2

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 10 20 30 40LS/D

E#1

E#2

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6f(Hz)

E#1

E#2

30°

Figura 4.29 Função de densidade de probabilidade para as populações de VB, LB/D, LS/D e F com inclinações da tubulação de 0°, 30°, 60° e 90°. Para o par (JL,JG)→(30cm/s, 60cm/s).

4.5.1. TAXA DE COALESCÊNCIA

A taxa de coalescência é um parâmetro que dá uma informação relativa ao grau de interação

entras as bolhas e pistões de líquido. Considerando um seguimento de tubo de comprimento Δz, a

taxa de coalescência é definida como a razão entre o número de bolhas que foram extintas dentro do

segmento de tubo e o número de bolhas que entrou neste segmento dividido pelo comprimento Δz.

Considerando z a posição axial de uma seção do tubo, Nb é o número de bolhas que cruzou a seção

transversal nesta posição, então a taxa de coalescência R é definida como:

119

( ) ( )( ) ( )b b

b

N z N z z1R z .N z z

⎡ ⎤− + Δ= ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦

. (4.22)

A taxa de coalescência local é determinada tomando o limite da Eq. (4.22):

( ) ( )( ) ( )b b b

z 0b b

N z N z z dN1 1R z . limN z z N dzΔ →

⎡ ⎤− + Δ= = −⎢ ⎥Δ⎣ ⎦

. (4.23)

Ao invés de se medir o número de bolhas pode-se determiná-lo por meio da freqüência. De

fato, a freqüência é definida como sendo o número de bolhas que passou durante um lapso de tempo

Δt. Neste caso a Eq. (4.23) pode ser definida como:

( ) 1 dFR zF dz

= − . (4.24)

A partir da definição da taxa de coalescência local pode-se definir a taxa de coalescência

média para um segmento de tubo de comprimento L como sendo:

( ) ( )i

i

z L

i iz

1R z z z L R z dzL

+

≤ ≤ + = ∫ . (4.25)

Substituindo a Eq. (4.24) na Eq. (4.25) e integrando obtém-se:

( ) ( )( )i

i ii

F z L1R z z z L LnL F z

⎡ ⎤+≤ ≤ + = ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦. (4.26)

A Eq. (4.26) expressa que a taxa de coalescência média num segmento de tubo de

comprimento L posicionado axialmente entre zi≤z≤zi+L é dada pelo logaritmo da razão das

freqüências dividido pelo comprimento L.

Neste trabalho optou-se por expressar a taxa de coalescência média em porcentagem por

diâmetro de tubo, assim a Eq. (4.26) é modificada para:

120

( ) ( )( )

% ii i

i

F z L100R z z z L LnL D F z

⎡ ⎤+≤ ≤ + = ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦, (4.27)

R% expressa a taxa de coalescência média por diâmetro de tubulação no segmento zi≤z≤zi+L.

A freqüência foi medida nas estações de medidas E1 e E2, posicionadas a 77D e 257D a

jusante do injetor de gás e líquido. Portanto, só é possível estimar a taxa da coalescência média, no

segmento do tubo compreendido entre as estações E1 e E2. A Figura 4.30 mostra a taxa de

coalescência média, R%, em função do ângulo de inclinação para o trecho de tubo compreendido

entre as estações E1 e E2. A dependência de R% com o ângulo de inclinação não é clara. Para os

pares de pontos com JL=30cm/s foi observado que R% atinge um mínimo entre 60° e 75° e depois

volta a crescer, para JL=60cm/s ela apresenta um máximo e um mínimo quando a inclinação varia de

0° a 90°, por fim JL=120cm/s ela permanece quase constante para qualquer ângulo de inclinação.

Os valores de R% variaram entre 0,35% a 0,02%. Considera-se que valores acima de 0,1% são

elevados e indicando que há bastante interação entre as bolhas e que o escoamento não atingiu um

estado estacionário. Para os dados apresentados neste trabalho encontrou-se que para a maioria dos

testes R%>0,1% seguido que o escoamento não está totalmente desenvolvido devido a tubulação

estar limitada a um comprimento da tubulação. Medidas experimentais de Duarte (2007) em

tubulação horizontal, ID=26mm, com 900D de extensão utilizando ar e água mostraram que

somente distâncias superiores a 400D podem apresentar R%<0,1% dependendo das velocidades

superficiais pode ser necessário 600D.

121

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 15 30 45 60 75 90

Taxa

de

coal

esce

ncia

, R%


30_6030_9030_15060_3060_6060_12090_90120_60120_120120_210

Figura 4.30 Taxa de coalescência, R%, em função do ângulo de inclinação.

122

4.6. QUEDA DE PRESSÃO

Taitel e Barnea (1990) propõem um modelo para o cálculo da queda de pressão na célula

unitária para escoamento intermitente inclinado. Eles fazem um balanço de forças na unidade. Esse

modelo apresenta basicamente três contribuições na queda de pressão que são: contribuição

gravitacional, contribuição devido ao atrito na região do pistão e a contribuição devido ao atrito do

filme de líquido e da bolha de gás com a parede. Para escoamento inclinado a queda de pressão na

unidade é expressa por:

f f B BU S S f

.S .S.DP .g.sen .LS LS .g.sen .LB LB LBA A A

τ τπΔ = ρ θ + τ + ρ θ + + (4.28)

onde Sρ e fρ , são as densidades da mistura no pistão de líquido e no filme de líquido definidas por:

( ) ( )S L s G s f L f G f1 e 1ρ = ρ − α + ρ α ρ = ρ − α + ρ α respectivamente. Sτ , fτ e Bτ , são as tensões de

cisalhamento no pistão de liquido, no filme de líquido e na bolha da gás, respectivamente, e fS e

BS , são os perímetros molhados do filme de líquido e da bolha de gás.

A queda de pressão entre as estações E1 e E2 é mostrada na Figura 4.31 para as diferentes

inclinações. No caso da horizontal a queda de pressão é devida somente à contribuição do atrito,

porque a contribuição gravitacional não existe. Os números dos testes apresentados nas legendas

correspondem às velocidade JL e JG apresentadas na Tabela 2.2.

A Figura 4.32 mostra que a queda de pressão média aumenta com o aumento do ângulo de

inclinação. O aumento quase constante até 60°, e entre 60 e 75 graus ele apresenta uma diminuição

na taxa de aumento, já para o intervalo entre 75° e 90° é observada uma diminuição para todos os

testes. Acredita-se que este fenômeno está em parte relacionado ao fato da bolha ficar simétrica na

tubulação vertical.

123

800

900

1000

1100

1200

0 100 200 300

mB

ar

L/D

#1#2#3#4#5#6#7#8#9#10

Ѳ=0

800

900

1000

1100

1200

0 100 200 300

mB

ar

L/D

#1#2#3#4#5#6#7#8#9#10

Ѳ=15

800

1000

1200

1400

1600

0 100 200 300

mB

ar

L/D

#1#2#3#4#5#6#7#8#9#10

Ѳ=30

800

1000

1200

1400

1600

0 100 200 300

mB

ar

L/D

#1#2#3#4#5#6#7#8#9#10

Ѳ=45

800

1000

1200

1400

1600

0 100 200 300

mB

arL/D

#1#2

#3

#4

#5

#6

#7

#8#9

#10

Ѳ=60

800

1000

1200

1400

1600

0 100 200 300

mB

ar

L/D

#1

#2

#3

#4

#5

#6

#7

#8

#9

#10

Ѳ=75

800

1000

1200

1400

1600

0 100 200 300

mB

ar

L/D

#1

#2

#4

#5

#6

#7

#8

#9

#10

Ѳ=90

Figura 4.31 Queda de pressão da estação E1 a estação E2, para os diferentes testes e inclinações.

124

Com o fim de analisar a queda de pressão entre 75 e 90 graus é assumido que ela depende só

da contribuição do termo gravitacional do pistão de líquido. Utilizando esta hipótese simplificadora,

a Eq. xx simplifica para:

( )( )US

U

P 1 .g.senLΔ

≅ −β ρ θ , (4.29)

Além disto, considerando uma aplicação em baixa pressão onde ρL>>ρG, então a equação xx

pode ainda ser aproximada por:

( ) ( )UL S

U

P 1 1 g senLΔ

≅ −β ρ − α ⋅ θ , (4.30)

onde a gradiente de pressão depende de β, θ e de Sα . A variação da razão de vazios não é analisada

porque não foi calculada experimentalmente.

O valor de senθ entre 75 e 90 graus não varia significativamente fazendo com que a maior

variação aconteça com a variação de β. Neste caso particular a queda de pressão na unidade depende

de β. A diminuição do gradiente de pressão pode ser justificada pelo aumento de beta observado

experimentalmente naFigura 4.20.

Uma forma alternativa de explorar a dependência da gradiente de pressão é expressá-la em

função das propriedades de mistura. Para uma unidade de comprimento LU toma-se o peso da

mistura e o termo correspondente à força de atrito da mistura:

2

Umis U mis a

L JP g.L .sen f .D 2

Δ = ρ θ + ρ , (4.31)

onde ( )mis L U G U1ρ = ρ − α + ρ α , sendo αU a fração de vazios da unidade. Expressando a Eq (4.31)

em termos do termo gravitacional encontra-se:

125

2mis U ã

1 1P g.L .sen 1 f Fr onde Fr= J gD .2 sen

⎛ ⎞Δ = ρ θ +⎜ ⎟θ⎝ ⎠ (4.32)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 15 30 45 60 75 90

ΔP/

L


30_60

30_90

30_150

60_30

60_60

60_120

90_90

120_60

120_120

120_210

Figura 4.32 Gradiente de pressão entre as estações E1 e E2 com relação na inclinação para os diferentes testes.

Para aplicações em baixas pressões considera-se que ρL>>ρG de forma que a densidade da

mistura pode ser aproximada por: ( )mis L U1ρ ≅ ρ − α .Por sua vez a fração de vazios da unidade é

expressa por:

( )G b SU

J VB UVB

+ − αα = . (4.33)

A expressão acima é complexa para ser determinada pois necessita da fração de vazios e da

velocidades das bolhas dispersas no pistão de líquido. No entanto na maioria das aplicações VB ≅Ub

e αS < 0,2. Em vista destas aproximações,

GU

JVB

α ≅ (4.34)

126

Além disto, sabendo-se que VB é proporcional à J então a Eq (4.34) deve ser proporcional à:

GU

JJ

α ∼ (4.35)

Substituindo as aproximações para ρmix e αU na Eq. (4.31) ela passa a ser proporcional à:

2

G aJ f .FrP LU .g.sen 1J 2.sen

⎛ ⎞Δ θ +⎜ ⎟θ⎝ ⎠

∼ , (4.36)

Quando o produto fa.Fr2/(2senθ) << 1, então a Eq. (4.36) pode ser aproximada por:

GU

JP L senJ

Δ θ∼ . (4.37)

A Figura 4.33 mostra que a gradiente de pressão na linha é proporcional ao parâmetro

proposto na Eq. (4.37). Para inclinações maiores que 60 graus não existe uma grande distinção entre

a variação do gradiente de pressão com o parâmetro JG/J.sen(θ). De fato eles exibem um

comportamento aproximadamente linear. Pode-se concluir também que para linhas inclinadas o

termo gravitacional é dominante no gradiente de pressão. Para inclinações menores que 60 graus há

uma distinção do gradiente de pressão com o parâmetro JG/Jsenθ a medida que a inclinação diminui.

Para o caso de 0 graus o termo fa.Fr2/2senθ >> 1 fazendo que a aproximação da Eq. (4.36) não seja

mais válida.

Pode-se observar que com o aumento da razão JG/J o gradiente de pressão diminui. Isto é

devido ao aumento do comprimento da bolha em relação ao comprimento da unidade fazendo com

que o comprimento do pistão de líquido que tem o maior aporte na gradiente de pressão diminua e

por sua vez também a gradiente de pressão.

127

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ΔP/

L

JG/J*senθ

90°

75°

60°

45°

30°

15°

0°

Figura 4.33 Gradiente de pressão em função de JG/J.senθ, para todos os ângulos menos para a horizontal.

128

5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS

FUTUROS

As medidas da velocidade da bolha em experimentos que consideraram uma única bolha

isolada em movimento ascendente em líquido estagnado concordam com os dados publicados na

literatura desde que seja considerado o decréscimo na velocidade da bolha devido ao efeito de

tensão superficial e de expansão da bolha.

Em escoamento contínuo de pistões de líquidos seguidos por bolhas de gás encontrou-se para

uma mesma velocidade de mistura J e mesma inclinação dois valores de velocidade de bolha VB

quando Fr < 3,5. Este fenômeno é atribuído à inclinação da linha e ao aumento das bolhas dispersas

no pistão de líquido no qual segundo os dados experimentais o efeito de mudança da velocidade da

bolha acontece quando o JG/JL>1,8. O registro fotográfico mostra, qualitativamente, que existe um

aumento do aeramento do pistão de líquido para esta condição.

O efeito de aumento na velocidade da bolha só manifesta-se no coeficiente de deslizamento,

C∞ da bolha, o coeficiente C0 permanece constante. A maior mudança acontece entre 30 e 75 graus

de inclinação com relação à horizontal mostrando o máximo valor em 60 graus. As medidas

experimentais também revelaram que não há variação de VB em função de um aumento da aeração

no pistão de líquido quando a tubulação está na posição vertical. Este fenômeno não é bem

conhecido e será necessário mais análise.

129

As PDFs indicam um aumento do espalhamento de VB (ou desvio padrão) com o aumento da

razão JG/JL e também devido ao efeito de aeração para inclinações entre 30 e 75 graus.

Paradoxalmente a variação de VB e seu desvio padrão não sofrem variações, devido ao efeito da

aeração, para tubulações verticais. Este fenômeno deverá ser mais bem estudado no futuro, pois sua

natureza física é complexa e ainda não bem compreendida.

O comprimento da bolha, LB apresenta um comportamento linear em relação a JG/JL para

JG/JL até 1, para 1 < JG/JL < 1,8 LB versus JG/JL continua sendo linear mas há um aumento do

espalhamento dos dados experimentais porém, para JG/JL > 1,8 há um notável espalhamento da

relação devido ao efeito de aeramento do pistão.

O comprimento do pistão de líquido, LS, não apresenta uma correlação com os outros

parâmetros. Entretanto, a razão envolvendo LS, a freqüência e a velocidade do gás, LS.f/JG,

apresenta uma proporcionalidade com a potência negativa da razão gás-líquido, JG/JL.

O fator de intermitência β é proporcional a razão JG/J, porém à medida que o JG/J aumenta o

espalhamento de β também aumenta. O aumento do ângulo de inclinação faz com que β diminua.

A freqüência adimensional, f.D/JG, mostra uma dependência com JG/JL em forma de uma

relação de potencia. Os coeficientes de ajustes diferentes para JG/JL>1,8 e JG/JL<1,8 são diferentes,

mostrando assim excessiva aeração no pistão de líquido. Para JG/JL>1,8 a freqüência mostra uma

variação com a inclinação do ângulo apresentando um máximo entre 45 e 60 graus sendo que para

JG/JL<1,8 a freqüência é quase constante com a variação do ângulo de inclinação.

Para escoamentos onde o termo da queda de pressão pelo atrito seja insignificante, isto,

quando o produto: fa.Fr2/senθ << 1, o gradiente de pressão é dominado pelo termo gravitacional.

Neste cenário, o gradiente de pressão diminui com o aumento da razão JG/J, mas aumenta com o

aumento do ângulo de inclinação.

Futuras análises experimentais devem incluir:

130

Realizar ensaios em uma grade de testes que contenha uma maior densidade de pontos

experimentais variando as vazões de água e ar e inclinações para confirmar o fenômeno de aeração

observado e sua influência na velocidade de translação da bolha alongada.

Instalar um medidor de fração de vazios para medir a aeração dos pistões de líquido em função

dos parâmetros operacionais. Incluir sessões de filmagem para observar o fenômeno por meio de

visualização. Isto não pode ser feito neste trabalho por falta destes instrumentos.

Ensaios experimentais em tubulações de maior diâmetro e comprimento. O primeiro item tem

por objetivo verificar se o comportamento encontrado para as medidas realizadas aplicam-se para

tubulações de maiores diâmetros. O segundo item visa minimizar a influência do injetor de gás e

líquido nas estruturas de gás e líquido e ao mesmo tempo assegurar o desenvolvimento

hidrodinâmico.

131

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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136

7. ANEXO I – CORREÇÃO VB DEVIDO À EXPANSÃO DO

GÁS

A variação da pressão absoluta ao longo da tubulação causa uma expansão no volume de gás

na bolha, provocando um aumento no seu comprimento total e também na sua velocidade de

translação. A variação na velocidade de translação devido à expansão do gás na bolha introduz uma

diferença entre a velocidade do nariz da bolha e a sua cauda. Se a tubulação for fechada na parte

inferior e aberta para atmosfera em sua parte superior o nariz da bolha viaja mais rápido que a

cauda. Este cenário está representado na Figura A.1.1 onde uma bolha desloca-se numa tubulação

vertical. A Figura A.1.1 mostra o instante t e t+Δt e o aumento de comprimento devido a expansão.

Saída

H-LB

LB+ΔLB

H

LB

Saída

t t + Δt

Figura A.1.1 Efeito de expansão do gás no comprimento e velocidade de translação da bolha.

137

Considerando o cenário onde a bolha faz uma trajetória ascendente em direção à saída da

tubulação onde está o ponto de menor pressão, o efeito de expansão do volume de gás da bolha irá

deslocar o líquido a sua frente com uma velocidade uL. Isto pode ser expresso por meio do balanço

de volumes (Polosky et al. 1999):

G G GL G

G G G

m dρd d 1u .A= =mdt ρ dt ρ ρ dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∀= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠, (A.1.1)

onde mG representa a massa de gás na bolha e ∀G o seu volume. Nesta análise é considerado que a

massa de gás na bolha permanece constante, isto é, não há coalescência entre bolhas e o fluxo de

massa de gás que cruza sua interface é nulo. Além disto, considerando um processo isotérmico de

um gás ideal pode-se expressar a densidade do gás e sua taxa variação por meio de

GG

dρP 1 dPρ = e R.T dt R.T dt

= (A.1.2)

Por sua vez, a variação do volume da bolha descreve um processo isotérmico de tal modo que:

* *B BP P∀ = ∀ (A.1.3)

onde *B∀ e *P representam as condições num estado de referência. Substituindo a Eq. (A.1.2) e

(A.1.3) na Eq. (A.1.1) e resolvendo para a velocidade de deslocamento do líquido:

* *B

L 2

P dPuAP dt∀

= − . (A.1.4)

A velocidade de translação da bolha é corrigida pelo termo extra da velocidade do líquido

devido a expansão do seu volume de gás:

( )0 LVB C J u C gD∞= + + (A.1.5)

138

BOLHA ISOLADA

Para uma bolha isolada, deslocando-se num movimento ascendente no interior de um tubo

inclinado cheio de líquido estacionário, a pressão na bolha é determinada pela pressão exercida pela

coluna hidrostática de líquido a sua frente:

a LP=P +ρ .g.H.sen(θ) (A.1.6)

onde Ѳ é a inclinação do tubo com a horizontal. Substituindo a Eq. (A.1.6) na Eq. (A.1.4) encontra-

se que:

( ) ( )

( )

* *B L

L 2

a

L

P g.sen dHudtPA H

g.sen

∀ ρ θ= −

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟ρ θ⎝ ⎠

. (A.1.7)

Reconhecendo que a taxa de variação da coluna de líquido à frente da bolha, dH/dt, coincide

com a velocidade de deslocamento da bolha, VB≅-dH/dt então:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

* *B L

L 2

a

L

P g.senu H .VB onde H

PA Hg.sen

∀ ρ θ= ε ε =

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟ρ θ⎝ ⎠

. (A.1.8)

O parâmetro ε é uma função da altura hidrostática de líquido. O seu numerador e denominador

expressam uma razão de comprimentos. O primeiro termo do numerador é proporcional ao

comprimento da bolha, o fator de proporcionalidade é a fração de vazio média da bolha. O segundo

termo é a sua altura hidrostática da pressão de referência. O denominador expressa a pressão

absoluta em termos da sua coluna de líquido equivalente.

Para uma bolha deslocando-se num líquido estacionário, J=0, a Eq. (A.1.5) reduz para:

0 LVB C u C gD∞= + (A.1.9)

Substituindo a Eq. (A.1.8) na Eq. (A.1.9) chega-se a:

139

( )0

1VB C gD1 C . H∞

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬− ε⎪ ⎪⎩ ⎭ (A.1.10)

Como o parâmetro ε é sempre maior que zero, constata-se que o efeito de expansão do gás traz

um aumento na velocidade de translação da bolha como era de se esperar.

ESCOAMENTO INTERMITENTE CONTÍNUO

A variação temporal da pressão seguindo uma bolha é expressa por meio da derivada

substantiva da pressão:

dP dPVBdt dz

= (A.1.11)

A Eq. (A.1.11) expressa a taxa de variação da pressão seguindo uma bolha por meio do

produto da sua velocidade e do gradiente de pressão. Substituindo a Eq. (A.1.11) na Eq. (A.1.4):

* *

c c BL 2

P dPu .VB onde AP dz∀ ⎛ ⎞= ε ε = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (A.1.12)

Substituindo a Eq. (A.1.12) na Eq. (A.1.5):

( ) ( )0 c0

1VB C J C gD1 C . H∞

⎧ ⎫⎪ ⎪= + ⎨ ⎬− ε⎪ ⎪⎩ ⎭ (A.1.13)

Observando que dP/dz é sempre menor que zero então o fator de correção εc sempre introduz

um aumento na velocidade de translação da bolha.

140

8. ANEXO II – CORREÇÃO C∞ DEVIDO AERAÇÃO DO

PISTÃO

O Anexo II tem por finalidade reproduzir o balanço volumétrico de gás a fim de obter a

relação de correção da velocidade onde é proposto um modelo para correção da velocidade de

deslizamento da bolha alongada em escoamento intermitente contínuo com pistão de líquido aerado.

Van Hout et al. (2002) constatou experimentalmente que há um aumento da velocidade de

translação da bolha quando esta ocorre em escoamento intermitente contínuo com pistões de líquido

aerado. Atribui-se ao aumento da velocidade a incorporação das bolhas dispersas a frente de

propagação da bolha alongada. Isto é verdade que a bolha alongada propague-se mais rapidamente

que as bolhas dispersas.

A velocidade de translação do nariz da bolha passa a ser composta por duas parcelas: (i) a

velocidade de translação, VB0, sem considerar a incorporação das bolhas e (ii) o acréscimo de

velocidade, dz/dt, devido a incorporação das bolhas:

0 dzVB VBdt

= + (A.2.1)

Considere uma superfície de controle com fronteiras fixas que se desloca com a velocidade de

translação da bolha, VB. A S.C. Coincide com uma seção do tubo de comprimento L e está

posicionada no nariz da bolha alongada. A Figura A.2.1 Definição da superfície de controle

movendo-se com a frente da bolha alongada. traz uma representação da S.C. nos instantes t=0 e

t=Δt. Considere VB e Ub como as velocidades da bolha alongada e das bolhas dispersas medidas a

partir de um referencial inercial e estacionário. Além disto, as frações de vazios no pistão de líquido

e na região da bolha estão denominadas por: αS e αB. Considera-se que o filme de líquido ao redor

da bolha alongada não tenha gás na forma de bolhas dispersas. Tomando-se como referência a

posição do nariz no instante t=0, em t=Δt o nariz da bolha deslocou-se Δz1=VB.Δt, mas devido à

141

incorporação de bolhas dispersas durante o intervalo Δt a posição do nariz da bolha foi ainda

acrescida de Δz.

A conservação de massa de gás na S.C. é determinada por meio da equação:

( )rG GVol S

d d V .n dA 0dt

ρ ∀ + ρ =∫ ∫ , (A.2.2)

onde Vr é a velocidade relativa que cruza a S.C., neste caso: Vr=Vf-VB, sendo Vf a velocidade da

fase e VB a velocidade do referencial.

O termo de fluxo de massa de gás possui duas parcelas: uma correspondente a interface (a)-(a)

e outra a interface (b)-(b), veja Figura A.2.1. Na superfície (a)-(a) a velocidade da fase e a

velocidade do referencial são idênticas portanto Vr=0 e, conseqüentemente o fluxo de massa (a)-(a)

é nulo.

Figura A.2.1 Definição da superfície de controle movendo-se com a frente da bolha alongada.

Considerando propriedades uniformes ao longo da S.C., o fluxo de massa que cruza a interface

(b)-(b) é valido como :

142

( )rG G b S(b) (b)

V .n dA (VB U ) A−

ρ = ρ − α∫ . (A.2.3)

A variação de massa de gás dentro do volume de controle é determinada avaliando o volume

de gás nos instantes 0 e Δt:

( ) [ ]{ } ( )G S B S G G B sVol

d d dzd L z z L A Adt dt dt

⎡ ⎤ρ ∀ = α − Δ + α Δ − α ρ = ρ α − α⎣ ⎦∫ (A.2.4)

Substituindo as parcelas definidas na Eq. (A.2.4) e (A.2.3) na Eq. (A.2.2) obtêm-se:

( ) ( )0 S

bB S

dz VB Udt

α= −

α − α (A.2.5)

A relação acima mostra o acréscimo à velocidade da bolha devido a incorporação do gás

contido nas bolhas dispersas. Substituindo a Eq. (A.2.5) na Eq. (A.2.1) obtém-se:

( ) ( )0 0 S

bB S

VB VB VB U α= + −

α − α (A.2.6)

onde VB0 significa a velocidade de translação sem correção, usualmente referida como velocidade

de Nicklin.

Considerando que a concentração de gás no pistão de líquido não é uniforme é necessário

especificar cuidadosamente em que fronteira e região αS deve ser determinado. Considerado o fluxo

de gás pela face (b)-(b), o valor de αS associado a este termo deve ser igual ao valor medido na face

(b)-(b). O termo de variação do volume de gás dentro do V.C. requer que o valor de αS associado a

este termo deve ser igual ao valor médio dentro de V.C.. Entretanto, como o comprimento L é

arbitrário pode-se escolher L tal que ele coincida com o nariz da bolha. Neste caso o valor médio de

αS e o valor na face (b)-(b) passam a ser coincidentes. Sob estas considerações pode-se afirmar que

o valor de αS empregado na Eq. (A.2.6) deve ser aquele medido próximo ao nariz da bolha.

143

Esta implicação pode ter grandes conseqüências no modelo devido à não-uniforme

concentração axial de gás no pistão de líquido. A não-uniformidade provem de dois mecanismos: o

campo de velocidades produzido pela esteira da bolha e a estratificação devido ao componente da

aceleração da gravidade.

144

9. ANEXO III – RESULTADOS EXPERIMENTAIS DOS

TESTES

As seguintes tabelas mostram os resultados experimentais realizados para os testes

apresentados na Tabela 2.2 para todas as inclinações.

145

Tabela A.3.1 Base de dados teste 90 graus

146


147


148


149


150


151

Tabela A.3.7 Base de dados teste 0 grau

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