1. Simulação da solução analítica do Sistema Massa-Mola-Amortecedor do Exemplo 1

1.1. Solução analítica:

1.1.1. Modelo:

fxxx =++ 45 &&&

1.1.2. Solução analítica:

tt eetx 423)( −− −=

1.1.3. Arquivo para simulação no Matlab:

% Simulaçao de um sistema massa-mola-amortecedor usando o Matlab - Janeiro de 2006 % Autor: Edson Nemer clc; clear; format short; t=0:0.1:10; x=3*exp(-t)-2*exp(-4*t); plot(t,x); title('Soluçao do Exemplo 1'); xlabel('X'); ylabel('y=f(x)'); grid;

1.1.4. Gráfico obtido na simulação com o Matlab:

1.2. Representação do Sistema Massa-Mola-Amortecedor do Exemplo 1 em Variáveis de Estado

1.2.1. Modelo:

fxxxfxxx +−−=∴=++ &&&&&& 5445

1.2.2. Conversão para variáveis de estado: Se definirmos uma variável de estado como a posição x1 = x e o outro estado como a velocidade x2 = ẋ , teremos:

⎩⎨⎧

+−−==

⇒⎩⎨⎧

==

fxxxxx

xxxx

212

21

2

1

54&

&

&

Logo, temos que:

fxx

xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡10

5410

2

1

2

1

&

&

1.2.3. Arquivo para simulação no Matlab:

1.2.4. Plotando simulação executada no Simulink Para plotar a simulação do Simulink, executar o arquivo abaixo. Este código apanha os valores das variáveis de interesse que foram armazenadas e plota dentro do ambiente do Matab. % Simulaçao de um sistema massa-mola-amortecedor usando o Matlab - 08 de Janeiro de 2006 % Autor: Edson Nemer disp('*********************************************************************************************************** '); % Este codigo e para ser executado apos a simulaçao massamola do Simulink ter sido executada. load massamola; plot(masMolAmort(1,:),masMolAmort(2,:)); title('Soluçao do Exemplo 1 implementado no Simulink'); xlabel('X'); ylabel('y=f(x)'); grid; 1.2.5. Gráfico obtido na simulação com o Matlab:

2. Simulação da solução analítica do Sistema Massa-Mola-Amortecedor do Exemplo 2

2.1. Modelo:

fxxx =++ 5.83 &&&

2.2. Solução analítica:

)367,05,2sen(79,2)( 5,1 += − tetx t

2.3. Arquivo para simulação no Matlab:

% Simulaçao de um sistema massa-mola-amortecedor usando o Matlab - 09 de Janeiro de 2006 % Autor: Edson Nemer clc; clear; format short; disp('*********************************************************************************************************** '); % Equaçoes Diferenciais Ordinarias x=zeros(1,101); t=0:0.1:10; x=2.79.*exp(-1.5*t).*sin(2.5*t+0.367); plot(t,x); title('Soluçao do Exemplo 2'); xlabel('X'); ylabel('y=f(x)'); grid;

2.4. Gráfico obtido na simulação com o Matlab:

3. Representação do Sistema Massa-Mola-Amortecedor do Exemplo 2 em Variáveis de Estado

3.1. Modelo:

fxxxfxxx +−−=∴=++ &&&&&& 35.85.83

3.2. Conversão para variáveis de estado: Se definirmos uma variável de estado como a posição x1 = x e o outro estado como a velocidade x2 = ẋ , teremos:

⎩⎨⎧

+−−==

⇒⎩⎨⎧

==

fxxxxx

xxxx

212

21

2

1

35.8&

&

&

Logo, temos que:

fxx

xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡10

35.810

2

1

2

1

&

& [ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

101xx

y

3.3. Arquivo para simulação no Matlab:

3.4. Plotando simulação executada no Simulink Para plotar a simulação do Simulink, executar o arquivo abaixo. Este código apanha os valores das variáveis de interesse que foram armazenadas e plota dentro do ambiente do Matab. % Simulaçao de um sistema massa-mola-amortecedor usando o Matlab - 09 de Janeiro de 2006 % Autor: Edson Nemer disp('*********************************************************************************************************** '); % Este codigo e para ser executado apos a simulaçao massamola do Simulink ter sido executada. load massamola; plot(masMolAmort(1,:),masMolAmort(2,:)); title('Soluçao do Exemplo 2 implementado no Simulink'); xlabel('X'); ylabel('y=f(x)'); grid;

3.5. Gráfico obtido na simulação com o Matlab:

Referências:

1) Franklin, Powell, Emami-Naieni: "Feedback Control of Dynamic Systems". Addison-Wesley, 1986.

2) D'Azzo e Houpis. "Análise e Projeto de Sistemas de Controle

Lineares". Editora Guanabara, 1984. 3) Palm III, W. J. Control Systems Engineering. Wiley, 1986.