( 3ºC e D, MATEMÁTICA) MATERIAL DE APOIO E EXERCÍCIOS

Função exponencial A função exponencial é utilizada para descrever e modelar o comportamento de várias situações no nosso dia a dia.

Podemos observá-la, por exemplo, na matemática financeira, em situações que envolvem juros compostos, em reprodução de cultura de bactérias, e até mesmo o comportamento de novos casos da covid-19, durante a pandemia em 2020, aproxima-se muito de um comportamento exponencial.

A lei de formação da função exponencial é f(x) = ax, podendo gerar um gráfico crescente ou decrescente, dependo

do valor da base “a”. A função inversa da função exponencial é a função logarítmica.

Definição da função exponencial Definimos como função exponencial uma função f: ℝ → ℝ*+, ou seja, seu domínio é o conjunto dos números

reais, e seu contradomínio é o conjunto dos números reais positivos diferentes de 0. Além disso, a sua lei de formação

pode ser descrita por f (x) = ax, em que ‘a’ é a base, cujo valor sempre será um número real positivo.

Exemplos:

f(x) = 2x

f(x) = 0,3x

Podemos observar que f(x) é a variável dependente, podendo ser representada por y também, e x é a variável

independente.

Tipos de função exponencial Podemos dividir a função exponencial em dois casos: crescente ou decrescente.

O gráfico da função f(x) = ax é crescente quando a base é um número maior do que 1, ou seja, quando a > 1.

Nesse caso, quanto maior o valor de x maior será o valor de y.

A função exponencial é decrescente quando a base é um número maior que 0 e menor que 1, ou seja, quando

0<a<1. Caso ela seja decrescente, quanto maior o valor de x menor será o valor de y.

Gráfico da função exponencial Para traçar o gráfico de uma função exponencial, é necessário encontrar o valor numérico para alguns valores de

x. Existem duas possibilidades para o comportamento do gráfico, ele pode ser crescente ou decrescente, como vimos

anteriormente. Quando o gráfico é crescente, a função exponencial é caracterizada por possuir um crescimento

muito rápido em comparação, por exemplo, com a função afim.

Podemos observar que o gráfico não passa pelo 3º e 4º quadrante do plano cartesiano, pois o contradomínio será,

como vimos na definição, os reais positivos e maiores que 0. Por mais próximo que o gráfico chegue do eixo x, ele não

o tocará, não há valor algum no domínio que faça com que ax seja igual a 0, lembrando que, por definição, a base

é sempre maior do que 0.

Exemplos:

Construa os gráficos das funções:

a) f(x) = 3x

Como a >1, então essa função é crescente. Para construir o gráfico, vamos construir a tabela com alguns valores

numéricos da função.

Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano gráfico da função:

Nesse caso, a base é menor que 1, ou seja, 0<a<1, logo o gráfico será decrescente. O fato de ele ser decrescente não

altera o método que utilizaremos para construí-lo, assim como foi feito no outro, encontraremos alguns valores

numéricos.

Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano o gráfico da função:

Propriedades da função exponencial

1ª propriedade

Em uma função exponencial, f(0) = 1. Essa propriedade não passa de uma consequência das propriedades de

potência, já que a base de todo número diferente de 0 elevado a 0 é igual a 1.

f(0) = a0=1 2ª propriedade

A função exponencial é injetiva. Isso significa que, para valores diferentes de x, a imagem também será diferente,

ou seja, f(x1) ≠ f(x2) com x1 ≠ x2. Ser injetiva significa que, para valores diferentes de y, existirá um único valor de x que

faz com que f(x) seja igual a y. 3ª propriedade

Como vimos em um tópico anterior, o gráfico da função exponencial pode ser crescente, se a base for maior que 1

(a >1), e decrescente, caso a base seja um número menor que 1 e maior que 0 (0<a<1).

4ª propriedade

O gráfico da função exponencial nunca corta o eixo x. Por menor que seja o valor da imagem, ele nunca chegará a ser

0. Dizemos que ele tende a 0, mas não existe valor de x que faça com que f(x) = 0.

Função logarítmica Conhecemos como função logarítmica a função com lei de formação f(x) = logax, cujo domínio são os números

reais positivos e o contradomínio são os números reais. A base, por definição, deve ser positiva e diferente de 1.

A função logarítmica é útil para situações como os juros compostos — já que ela é a função inversa da função

exponencial — e a medição de magnitude de terremotos, há também sua aplicação na química e na geografia. A

função logarítmica pode ser crescente ou decrescente, ela é decrescente quando a sua base é um número maior que

0 e menor que 1, e crescente quando a sua base é maior do que 1.

Definição da função logarítmica Definimos a função logarítmica como f: R* + → R, ou seja, seu domínio é o conjunto dos números reais não nulos e

seu contradomínio são os números reais, tal que a lei de formação pode ser descrita por f(x) = logax,, em que x é a

variável e a é a base do logaritmo. Lembrando que, por definição, em um logaritmo a base é positiva e diferente

de 1.

Exemplos:

a) f(x) = log x → (Quando a base não aparece no logaritmo, seu valor é 10.)

b) f(x) = log0,5 x → (Nesse caso a base é 0,5.)

c) f(x) = log8x → (Nesse caso a base é 8.)

Domínio da função logarítmica Por definição, o domínio é o conjunto dos números reais positivos, isso acontece porque não é possível calcular-se

logaritmos de um número negativo tendo a base positiva, pois um número positivo elevado a qualquer número

sempre resultará em um número positivo. Por exemplo, suponha que queiramos calcular o logaritmo a seguir.

Exemplo:

log3 -3 → Não existe nenhum número real que faz com que 3n seja igual a -3.

Esse exemplo é um caso particular, mas podemos estender a ideia para qualquer número negativo. Por esse motivo, o

domínio dessa função é somente o dos números reais positivos, o que faz com que o gráfico de uma função

logarítmica, como veremos a seguir, fique apenas no primeiro e quarto quadrantes, já que o valor de x em f(x) = logax

será sempre positivo.

Gráfico da função logarítmica

Gráfico de funções logarítmicas.

Para construir o gráfico de uma função logarítmica, é necessário atribuir alguns valores para x e encontrar o valor de

f(x) nesses casos. Existem duas possibilidades para esse gráfico, que pode ser crescente ou decrescente. O que

define seu comportamento é o valor da base a.

Seja: f(x) = logax

Se a > 1 → f(x) é crescente;

Se 0 < a < 1 → f(x) é decrescente.

Função crescente

Vamos construir o gráfico de uma função crescente, lembrando que uma função é crescente graficamente quando à

medida que o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta.

Exemplo:

f(x) = log2x

Agora que temos os pontos, é possível construirmos o gráfico.

Note que a base é maior que 1, logo, o gráfico será crescente.

Função decrescente

Uma função é considerada decrescente quando à medida que o valor de x aumenta, o valor de y diminui. Vamos

construir um gráfico de uma função logarítmica decrescente.

Exemplo:

Agora que temos os pontos, é possível construirmos o gráfico.

Note que a base é menor que 1, logo, ele será decrescente.

Função logarítmica e função exponencial A função logarítmica e a função exponencial são conhecidas como funções inversas uma da outra. Muitos autores

explicam a função logarítmica por meio da função exponencial, acontece que, se a função exponencial f(x) = ax , f: R

→ R*+ tiver a sua lei de formação invertida, encontraremos a função f(x) = logax. Além disso, na função logarítmica, o

domínio e o contradomínio invertem-se em comparação com a função exponencial, como vimos na definição.

Graficamente, se traçarmos a bissetriz dos eixos ímpares, o gráfico da função exponencial é simétrico ao gráfico da

função logarítmica.

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