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Resolução da pRova de matemática uFsc 2011 – pRova veRde
Prof. Guilherme Sada Ramos – “Guiba”
FORMULÁRIO
30o
45o
60o
sen 21
22
23
cos 23
22
21
tg 33
1
3
1) an = a1+ (n-1) r
2) Sn =
+2
aa n1 n
3) an = a1 qn –1
4) Sn 1q
1)n(qa−
−=
1
5) q1
aS 1−
=
6) Vcone = 3hr π 2
7) (x – a)2 + (y – b)2 = r2
8) dA,B= ( ) ( )22ABAB yyxx −+−
9) a2 = b2 + c2 – 2 c b cos
10) Atriângulo = D21 ,
1yx1yx1yx
D
33
22
11= onde
11) Tp+1 = pnp xapn −
12) ( )
=−
n n!p p! n p !
13) sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a
Questão 21 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. As sequências (4, 7, 10, ...) e (5, 10, 15, ...) são duas progressões aritméticas
com 50 termos cada uma. A quantidade de termos que pertencem a ambas as sequências é 15.
02. Segundo o Larousse Cultural, Hórus é o deus-falcão do Egito Antigo, com muitas
atribuições e locais de culto. Na ideologia antiga, Hórus foi confundido com o céu ou assimilado ao Sol (disco solar ladeado por duas grandes asas). No papiro de Rhind ficou registrado que a sequência das frações dos olhos do deus Hórus era
21
, 41
, 81
, 161
, 321
,
641
. O valor numérico da soma dos termos desta
sequência é 1.
04. O primeiro termo da progressão geométrica em que 15a3 = e 95a6 = é 135.
08. O valor de x na equação 440x...753 =++++ , sabendo que as parcelas do
primeiro membro formam uma progressão aritmética, é 41. RESOLUÇÃO
:
01. A primeira sequência é formada dos 50 primeiros múltiplos positivos de 3 adicionados de uma unidade. Já a segunda é formada pelos 50 primeiros múltiplos de 5. Como mmc (3,5) = 15, então de 15 em 15 unidades, teremos elementos repetidos das duas sequências. Assim, teremos a sequência (10, 25, 40, 55, ..., p), sendo p o último termo em comum. Esse termo é certamente menor ou igual ao 50º termo da primeira PA, este que pode ser calculado por ( )n 1a a n 1 r= + − . Teremos:
( )50 1p a a 49r
p 4 49. 3 151≤ = +
≤ + =
A sequência dos termos comuns será dada por (10, 25, 40, 55, 70, 85, 100, 115, 130, 145), que tem 10 termos. Item FALSO!!!
02. Ocorre que 1 1 1 1 1 1 32 16 8 4 2 1 63 12 4 8 16 32 64 64 64
+ + + + ++ + + + + = = ≠ .
Note que não se trata de uma sequência infinita (nesse caso a soma daria 1, conforme a fórmula 5). Item FALSO!!!
04. Se 65a9
= e 3a 15= , podemos achar a razão da PG, fazendo 36 3a a .q= . Temos que:
3
3
5 15.q9
5q
=
=1
9.153
3
127
1 1q27 3
=
= =
Utilizando ainda n 1
n 1a a .q −= , ocorre:
23 1
2
1
1
1
a a .q
115 a .3115 a .9
a 15.9 135
=
=
=
= =
Item VERDADEIRO!!!
08. Temos n termos em PA cuja soma é 440, e queremos saber o valor de an. Retomemos
a fórmula ( )1 n
n
a a nS
2+
= . Como ( )n 1a a n 1 r= + − , então será verdade que
n 1n 1
a a ra a nr r n
r− +
= + − ⇒ = . Substituindo na relação da soma, teremos:
( )
( )
( )
n 11 n
n
2
2
2
a a ra arS
2x 3 23 x
24402
x 13 x2440
23x 3 x x880
21760 x 2x 30 x 2x 1763
− + + =
− + + =
− + =
− + −=
= + −
= + −
Resolvendo a equação do segundo grau, teremos x = –43 ou x = 41. Como os termos são positivos, então x = 41. Item VERDADEIRO!!!
GABARITO: 12
Questão 22 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. A reta que passa pela origem e pelo ponto médio do segmento AB com A=(0,3) e
B=(5,0) tem coeficiente angular 53
.
02. Dois automóveis, A e B, deslocam-se no mesmo sentido com movimento uniforme
em uma mesma estrada, que é reta. No instante t = 0, A se encontra no
quilômetro zero e B no quilômetro 60. Se, no intervalo de t = 0 a t = 1 h, A
percorreu 60 km e B percorreu 30 km, então A alcança B no instante t = 2 h
ao passarem pelo marco de 90 km.
04. A reta t de equação 063y4x =−+ é tangente à circunferência C de equação
4y4x 22 =+− )( e perpendicular à reta s de equação 023y4x =+− .
08. As circunferências C de equação 02210y2xyx 22 =+−−+ e C’ de
equação 0104y8xyx 22 =+−−+ são secantes.
RESOLUÇÃO
:
01. O ponto médio do segmento AB é dado pelas médias aritméticas entre as coordenadas
dos pontos A e B. Esse ponto é 5 3M ,2 2
=
. O coeficiente angular da reta que passa
pela origem ( )O 0,0 e por M é calculado por:
M O
M O
y ym
x x3
32m5 22
−=
−
= =2. 35 5=
Item VERDADEIRO!!!
02. Como o movimento é MRU, as velocidades são constantes. Como a velocidade de A é 60 km/h, e ele parte do quilômetro zero, ele não passa pelo quilômetro 90 no instante t = 2h. Item FALSO!!!
04. Para que duas retas não paralelas aos eixos cartesianos sejam perpendiculares, é preciso que o produto de seus coeficientes angulares seja igual a –1. Isolando y nas
duas equações de reta, teremos que t4m3
= − e s4m3
= . Assim, ocorre que
t s16m .m 19
= − ≠ − . Item FALSO!!!
Confira a figura abaixo. Note que C é de fato tangente a t, já que a distância entre O e t é igual ao raio (r = 2) de C. Entretanto, as duas retas não são perpendiculares.
08. Para que duas circunferências sejam secantes, basta que o sistema formado por suas equações admita duas soluções da forma (x, y). Cada uma das soluções (se existirem) será um ponto em comum das circunferências. Vamos resolver o sistema
2 2
2 2
x y 2x 10y 22 0x y 8x 4y 10 0
+ − − + =
+ − − + =.
Subtraindo a primeira equação da segunda, teremos que 6x 6y 12 0 x y 2 0 x y 2− + = ⇒ − + = ⇒ = − . Substituindo esta relação em qualquer uma das duas equações (opto pela segunda), teremos:
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
2
x y 8x 4y 10 0
y 2 y 8 y 2 4y 10 0
2y 4y 4 y 8y 16 4y 10 02y 16y 30 0
y 8y 15 0
+ − − + =
− + − − − + =
− + + − + − + =
− + =
− + =
Resolvendo a equação do segundo grau, temos y = 3 (que implica x = 1) e y = 5 (que resulta x = 3). Assim, temos duas soluções para o sistema, (1,3) e (3,5). Logo, as circunferências são secantes. Item VERDADEIRO!!!
GABARITO: 09
Questão 23 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. As soluções do sistema homogêneo
=+−=+−=−+
04z2y3x08z8yx02z3yx
são ternas ordenadas do
tipo ( , , )a b c com ( )a b c+ + múltiplo de 11.
02. Se 8det =A para
=
dcba
A , então 8det =B para B =
++ d 2bc 2aba
.
04. Se
=
3152
A então
−
−=−+ −
925514
AAA 2t )( 1 .
08. Se , ,A B C são matrizes inversíveis, então ( ) ( )[ ] .CBACAB ..111 =
−−− 16. O valor de x para que os pontos A(3, –5), B(x,9) e C(0,2) sejam colineares é 3. RESOLUÇÃO
:
01. Ao tentarmos resolver o sistema x 3y 2z 0x 8y 8z 03x 2y 4z 0
+ − = − + = − + =
, vamos concluir que se trata de um
sistema possível e indeterminado, já que a terceira equação é a soma da segunda com a primeira multiplicada por 2. Com isso, o sistema tem duas equações que são realmente relevantes, enquanto que a outra é redundante. De qualquer forma, podemos expressar duas das três variáveis em função da terceira. Vamos fazê-lo:
Isolando x na segunda equação, teremos x 8y 8z= − . Substituindo na primeira
equação, ocorre 108y 8z 3y 2z 0 11y 10z 0 11y 10z y z11
− + − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = .
Assim, 10 80 80z 88z 8x 8y 8z 8 z 8z z 8z x z11 11 11 11
− = − ⇒ − = − = ⇒ = −
.
Portanto, todas as infinitas soluções do sistema são da forma 8 10z, z,z11 11
−
.
Somando os três elementos da terna ordenada, teremos 8 10 8z 10z 11z 13zz z z11 11 11 11
− + +− + + = = .Esta soma não é múltipla de 11. Item FALSO!!!
02. Se det(A) = 8, então ad bc 8− = . O determinante da matriz B será dado por
( ) ( )a b2b d a 2a c b 2ab
2a c 2b d= + − + =
+ +ad 2ab+ − bc ad bc 8− = − = . Logo, det(B)
= 8. Item VERDADEIRO!!!
04. Vamos determinar a matriz inversa de A e a sua transposta. Em seguida, efetuamos a soma e, por último, multiplicamos este resultado por si próprio.
A matriz inversa, se existir, de a b
Ac d
=
, é dada por 1 d b1Ac adet A
− − = −
. No caso
de 2 5
A1 3
=
, como ( )det A 2.3 5.1 1= − = , então a matriz inversa será
1 3 5A
1 2− − = −
. Além disso, temos que t 2 1A
5 3
=
, trocando linhas por colunas.
Assim, nossa soma fica:
1 t 2 5 3 5 2 1 3 1A A A
1 3 1 2 5 3 5 2− − −
+ − = + − = − −
Multiplicando o resultado por ele próprio, temos:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )3.3 1 . 5 3. 1 1 .23 1 3 1 14 5
.5 .3 2. 5 5 . 1 2.25 2 5 2 25 9
+ − − − + −− − − = = − + − − − +− − −
Item VERDADEIRO!!!
08. Vamos nos fazer valer de quatro propriedades de operações entre matrizes:
• ( ) 1 1 1XY Y X− − −=
• ( ) ( )XY Z X YZ= , conhecida por propriedade associativa
•
da multiplicação.
( ) 11X X−− =
• 1 1nX X X.X I− −= = , em que In é a matriz identidade de ordem n, elemento neutro da
multiplicação
Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade questionada, temos:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )[ ] [ ] ( )
11 1 11 11 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1n n
AB AC B B A AC B BA AC B B A A C B
BI C B BC B C B .B C B B C .I C
−− − −− −− − − − −
− − − − − − − −
= = = =
= = = = =
O resultado é a matriz inversa de C, e não a própria C, como é afirmado. Item FALSO!!!
16. Para que três pontos no plano cartesiano estejam alinhados, basta que o determinante D da fórmula 10 seja igual a zero. Neste caso, fazendo D em termos de x, temos:
3 5 1
D x 9 1 27 2x 5x 6 7x 210 2 1
−= = + + − = +
Fazendo D = 0, obtemos 7x 21 0 7x 21 x 3+ = ⇒ = − ⇒ = − . Item FALSO!!!
GABARITO: 06
Questão 24 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Para que a função P(x) = x2 + px seja divisível por 4x – 1, é necessário que p
seja igual a 41
.
02. Os valores reais de x que satisfazem a equação 4x + 4 = 5 . 2x pertencem ao
intervalo (2, 4]. 04. Suponha que “Chevalier de Mére”, um jogador francês do Século XVII, que
ganhava a vida apostando seu dinheiro em jogos de dados, decidiu apostar que vai sair um “3” no lançamento de um dado perfeito de seis faces numeradas de 1 a 6. Com relação a esse experimento, há dois resultados possíveis: ou sai “3” e Chevalier ganha, ou não sai “3” e ele perde. Cada um destes resultados – “sai um 3” ou “não sai um 3” – tem a mesma probabilidade de ocorrer.
08. Se 3n = 5, então log5 225 = n2n2+
.
16. Se a, b e c são raízes reais da equação x3 – 20x2 + 125x – 250 = 0, então o valor
de log
++
c1
b1
a1
é nulo.
32. Se “A” é o número de arranjos de 6 elementos tomados 2 a 2; “B” é o número de
permutações de 5 elementos e “C” é o número de combinações de 5 elementos tomados 3 a 3, então A + B – C = 140.
RESOLUÇÃO
:
01. Como 4x – 1 é um polinômio do primeiro grau, basta que P(m) = 0, sendo m a raiz de 4x – 1, para que o polinômio P(x) seja divisível por 4x – 1 . Calculemos m primeiramente:
14x 1 0 4x 1 x4
− = ⇒ = ⇒ =
Assim, basta impor 1P 04
=
e calcular o valor de p correspondente:
( )2
2 1 1 1P x x px 0 P p 04 4 4
1 p 1 4p0 016 4 16
14p 1 0 4p 1 p4
= + = ⇒ = + =
++ = ⇒ =
+ = ⇒ = − ⇒ = −
Item FALSO!!!
02. Vamos resolver a equação, impondo 2x = t.
x x
x x x
2
2
4 4 5.22 .2 4 5.2
t 4 5tt 5t 4 0
+ =
+ =
+ =
− + =
Resolvendo a equação, temos t = 4 e t = 1. Calculando os valores de x:
x2 4
x 2==
x2 1
x 0==
Nenhum dos dois valores pertencem ao intervalo (2, 4]. Item FALSO!!!
04. Cada face tem chance 1/6 de ocorrer. Neste caso, ele tem 1/6 de chance de ganhar (saindo 3) e 5/6 de chance de perder (saindo 1, 2, 4, 5 ou 6). Item FALSO!!!
08. Podemos dizer que 3log 5 n= . Por propriedades de logaritmos, podemos ainda afirmar
que 51log 3n
= . Além dessa propriedade, lembremos que:
• b b blog a log c log ac+ = • n
b blog a nlog a=
Calculemos então, 5log 225 :
2 2 2 25 5 5 5 5 5
2 2 2nlog 225 log 3 .5 log 3 log 5 2log 3 2log 5 2n n
+= = + = + = + =
Item VERDADEIRO!!!
16. Pelas relações de Girard, numa equação da forma 3 2ax bx cx d 0+ + + = , temos que:
• cab ac bca
+ + = • dabca
= −
Na equação 3 2x 20x 125x 250 0− + − = , temos que ab ac bc 125+ + = e abc 250=
Como 1 1 1 bc ac aba b c abc
+ ++ + = , então, nesse caso, o valor de 1 1 1
a b c+ + é 125 1
250 2= . E
1log 02
≠
. Item FALSO!!!
32. Não dadas no formulário, temos as fórmulas ( )
pn
n!An p !
=−
, ( )
pn
n!Cp! n p !
=−
e nP n!= .
Façamos os cálculos:
( ) ( )
2 36 5 5A P C
6! 5!5!6 2 ! 3! 5 3 !
6! 5! 6.5 .4!5!4! 3!2!
+ − =
= + − =− −
= + − =4!
5. 4.5!+ −2
3!3! 2!
30 120 10 140
=
= + − =
Item VERDADEIRO!!! GABARITO: 40
Questão 25 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. A altura da pirâmide cuja secção transversal paralela à base está a 4 cm dessa
(base) e tem uma área igual a 41
da área da base é 8 cm.
02. Supondo que uma partícula tem o deslocamento dado pela equação s(t) = 5cos
+
2ππt em que t está em segundos e s em metros, então essa função tem
período de 2 segundos e seu conjunto imagem é Im(s) = [–1, 1].
04. Um quadrado de lado2
5 está inscrito numa circunferência de comprimento 5π .
08. Se a sombra de uma árvore, num terreno plano, em uma determinada hora do dia,
mede 10 m e, nesse mesmo instante, próxima à árvore, a sombra de um homem
de altura 1,70 m mede 2 m, então a altura da árvore é de aproximadamente 9,70
m.
16. O sangue humano pode ser classificado quanto ao sistema ABO e quanto ao fator
Rh. Sobre uma determinada população “P”, os tipos sanguíneos se repartem de acordo com as seguintes tabelas:
Tabela 1
A B AB O 40% 10% 5% 45%
Tabela 2
Grupo A B AB O RH+ 82% 81% 83% 80% RH− 18% 19% 17% 20%
Um indivíduo classificado como O Rh negativo é chamado doador universal. Podemos dizer que a probabilidade de que um indivíduo, tomado ao acaso na população “P”, seja doador universal é de 9%.
32. Um ciclista costuma dar 30 voltas completas por dia no quarteirão quadrado onde
mora, cuja área é de 102400 m2. Então, a distância que ele pedala por dia é de 19200 m.
RESOLUÇÃO
:
01. Qualquer secção transversal numa pirâmide determina um tronco e uma pirâmide menor semelhante à primeira. Se as duas pirâmides são semelhantes, então a razão entre as áreas da menor e da maior pirâmides é igual ao quadrado da razão entre as
medidas lineares da menor e da maior. Em outros termos, 2h a
H A =
, sendo h e a
altura e área da base da pirâmide menor, e H e A altura e área da base da pirâmide
maior. Como a 1A 4= , então h 1
H 2= . A distância entre as bases (diferença entre alturas)
é 4, então H h 4 h H 4− = ⇒ = − . Substituindo, temos:
H 4 1H 2
2H 8 HH 8
−=
− ==
Item VERDADEIRO!!!
02. Como o cosseno de qualquer arco real está entre –1 e 1, esse cosseno multiplicado por 5 estará no intervalo [–5, 5]. Esse conjunto representa a imagem da função. Item FALSO!!!
Nota: o período da função é de fato 2, já que 2pmπ
= , sendo m o coeficiente de t no
arco t2π π +
.
04. Considere a figura abaixo, em que o lado do quadrado mede 52
.
52
Como a diagonal de qualquer quadrado é igual ao produto do lado por 2 , então 5d . 2 52
= = . O raio é a metade desta medida, portanto, 5r2
= . Como comprimento
de qualquer circunferência é dado por C 2 r= π , então o comprimento neste caso será 5C 2 52
= π = π . Item VERDADEIRO!!!
08. Como os raios solares num dado instante são considerados paralelos, então a altura de qualquer objeto e a sua sombra estarão sempre a uma mesma razão. Se o indivíduo tem 1,70m de altura e a sombra mede 2m, então a altura de cada objeto neste instante é 85% da medida da sombra, tal qual ocorre com o sujeito. Logo, a altura da árvore deverá ser 85% da sombra que mede 10m, ou seja, deve essa altura valer 8,50m. Item FALSO!!!
16. A chance de escolhermos um indivíduo do tipo O é 45%. Desses 45%, 20% tem grupo Rh negativo. Calculemos 20% de 45%.
20 45 9 00.
100 100=
100 009 9%
100= =
Neste caso, a chance de o doador escolhido ser universal é de 9%. Item VERDADEIRO!!!
32. Se o quarteirão quadrado tem 102400 m² de área, então a medida do lado será 102400m 320m= . Se o ciclista dá 30 voltas por dia nesse quarteirão, então ele
percorre diariamente uma distância equivalente a 30 vezes o perímetro do quadrado. Como este período é 4.320 1280m= , ele pedala diariamente 30.1280 38400m= . Item FALSO!!!
GABARITO: 21
Questão 26 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Pode-se definir Divisão Áurea como sendo a divisão de um segmento de reta em
duas partes, de tal maneira que a razão entre a parte maior e a parte menor seja aproximadamente igual a 1,6. Um retângulo se diz dourado quando possui seus lados na razão áurea, isto é, seus lados medem e 1,6 . Assim, se o lado menor
de um retângulo dourado for 3 unidades de comprimento, então a área desse retângulo será igual a 14,4 unidades de área.
02. O valor numérico de x na figura abaixo é cm2,52x = . 04. As políticas de inclusão para deficientes, especificamente para os cadeirantes,
destacam a necessidade de rampas para o acesso do usuário de cadeira de rodas, e que as mesmas, segundo as normas técnicas, devem ter uma inclinação de, no máximo, 8,33%, ou seja, para cada metro horizontal subir 8,33 cm na vertical. A rampa da figura abaixo cumpre a norma especificada acima.
08. Os vários órgãos de defesa do consumidor, assim como o Inmetro, têm
denunciado irregularidades como, por exemplo, o peso real do produto ser inferior ao indicado na embalagem. Se a diferença entre o peso real e o peso anunciado na embalagem de uma determinada marca de feijão é de 13,60 g por cada quilograma e o preço do kg ao consumidor é de R$ 3,25, então o ganho indevido por tonelada é de R$ 442,00.
16. A soma dos coeficientes do binômio ( )5ba 32 − é 1.
8 m
80 cm
A
B C M y x
6,2 cm
6 cm
4,5 cm
RESOLUÇÃO
:
01. Se o lado menor do retângulo mede 3 u.c, então o lado maior medirá 3.(1,6) u.c., ou 4,8 u.c. Assim, a área do retângulo será dada por 3.(4,8) = 14,4 u.a. Item VERDADEIRO!!!
02. Observe a figura abaixo, em que AM é bissetriz interna do triângulo ABC em relação ao lado BC. Considere uma reta CD paralela à bissetriz AM. Prolongando a reta BA até encontrar CD, vamos concluir que os quatro ângulos indicados são congruentes: BAM e MAC pela hipótese de AM ser bissetriz, ADC por ser ângulo correspondente a BAM e ACD por ser alterno interno com MAC (lembremos que a reta BA é paralela a CD).
Neste caso, o segmento AD é congruente a AC, ou seja, também vale q. Pelo teorema de Tales, teremos:
m p m n m nn q p q p q
+= ⇔ = =
+
Na figura do item, vamos ter a seguinte relação:
x y x y 64,5 6,2 10,7 10,7
+= = =
Logo, x 6 6.4,5x 2,524,5 10,7 10,7
= ⇒ = ≅
Como o item considera valor aproximado, então é VERDADEIRO!!!
04. Essa rampa levanta 80 cm em 8 m, ou seja, 10 cm para cada metro, índice além do especificado no texto. Item FALSO!!!
08. Se para cada quilo o prejuízo ao consumidor é de 13,6 g, então em uma tonelada (1000 kg), a quantidade de feijão indevidamente “vendido” é 13,6 kg. Se cada quilo custa R$ 3,25, o ganho indevido por tonelada é de 3,25.13,6 44,2= reais. Item FALSO!!!
16. Para calcular essa soma, basta impor, para todas as variáveis, valor 1 e efetuar a potenciação. Neste caso, teremos ( ) ( )5 52.1 3.1 1 1− = − = − → . Item FALSO!!!
GABARITO: 03
Questão 27 O volume de um cone reto é 3cm1024π . Se a altura, o raio da base e a geratriz desse cone formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então calcule a medida da geratriz, em centímetros, e assinale o valor obtido no cartão-resposta. RESOLUÇÃO
:
A altura, o raio e a geratriz de um cone reto formam um triângulo retângulo. Neste caso, como estão estas medidas em PA, será verdade que:
( ) ( )2 22
2
x a x x a
x
− + = +22xa a− + 2 2x x+ = 22xa a+ +
2x 4 x= ax 4r=
Se o maior cateto é 4a, o menor será 3a e a hipotenusa, 5a. Assim, concluímos que as três medidas (altura, raio e geratriz) serão proporcionais a 3, 4 e 5 respectivamente. Lembrando que volume de cone é o fornecido na fórmula 6, temos que:
2
coner hV3
1024
π=
ππ
=( )24a .3a
33
3
3
1024 16a64 a
a 64 4
=
=
= =
Assim, ocorre que x 4 g 5x 20= ⇒ = =
GABARITO: 20
Questão 28 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). No capítulo X, denominado Contas, do Romance Vidas Secas, do escritor brasileiro Graciliano Ramos, considerado por muitos como a maior obra deste autor, temos: 01. Fabiano recorda-se do dia em que fora vender um porco na cidade e o fiscal da
prefeitura exigira o pagamento do imposto sobre a venda. Fabiano desconversou e disse que não iria mais vender o animal. Foi a outra rua negociar e, pego em flagrante, decidiu nunca mais criar porcos. Se o preço de venda do porco na época fosse de Rs 53$000 (cinquenta e três mil réis) e o imposto de 20% sobre o valor da venda, então Fabiano deveria pagar à prefeitura Rs 3$600 (três mil e seiscentos réis).
02. “Fabiano recebia na partilha a quarta parte dos bezerros e a terça dos cabritos.
Mas como não tinha roça e apenas limitava a semear na vazante uns punhados de feijão e milho, comia da feira, desfazia-se dos animais, não chegava a ferrar um bezerro ou assinar a orelha de um cabrito.” Suponha que Fabiano tenha vendido a sua parte dos bezerros com 4% de prejuízo e a sua parte dos cabritos com 3% de prejuízo. Se o prejuízo total de Fabiano foi de Rs 400$000 (quatrocentos mil réis), então o valor total da criação de bezerros e cabritos era de Rs 40:000$000 (quarenta contos de réis, ou seja, quarenta milhões de réis).
04. Assim como das outras vezes, Fabiano pediu à sinha Vitória para que ela fizesse
as contas. Como de costume, os números do patrão diferiam dos de sinha Vitória. Fabiano reclamou e obteve do patrão a explicação habitual de que a diferença era proveniente dos juros. Juros e prazos, palavras difíceis que os homens sabidos usavam quando queriam lograr os outros. Se Fabiano tomasse emprestado do patrão Rs 800$000 (oitocentos mil réis) à taxa de 5% ao mês, durante 6 meses, então os juros simples produzidos por este empréstimo seriam de Rs 20$000 (vinte mil réis).
08. Desde a década de 30, em que foi publicado o romance Vidas Secas, até os dias
de hoje, a moeda nacional do Brasil mudou de nome várias vezes, principalmente nos períodos de altos índices de inflação. Na maioria das novas denominações monetárias foram cortados três dígitos de zero, isto é, a nova moeda vale sempre 1000 vezes a antiga. Suponha que certo país troque de moeda cada vez que a inflação acumulada atinja a cifra de 700%. Se a inflação desse país for de 20% ao mês, então em um ano esse país terá uma nova moeda. (Considere: log2 = 0,301 e log 3 = 0,477)
RESOLUÇÃO
:
01. O imposto a pagar seria 20% de 53000, ou seja, 10600. Item FALSO!!!
02. Chamemos de b o valor de criação de bezerros e c o valor da criação de cabritos. Pelo enunciado, ele tem prejuízo de 4% vendendo um quarto dos bezerros e prejuízo de 3% vendendo um terço dos cabritos. Se o prejuízo total é Rs 400:000, podemos afirmar
que 4 1 3 1. b . c 400000100 4 100 3
+ = . Desenvolvendo a expressão, temos:
4 1.
100 43b +
1.100 3
c 400000
1 1b c 400000100 100
b c 400000100
b c 40000000
=
+ =
+=
+ =
Logo, a soma dos valores de bezerros e cabritos (valor total da criação é de 40 milhões de réis, ou quarenta contos de réis). Item VERDADEIRO!!!
04. Se o regime de capitalização é simples, então os juros relativos a 6 meses após o empréstimo é seis vezes 5% do capital, oitocentos mil réis. O total desses juros é dado por:
56.
100.8000 00 240000=
O juro total produzido é de 240 mil réis. Item FALSO!!!
08. Vamos retomar algumas propriedades de logaritmos
• b b blog a log c log ac+ =
• b b balog a log c logc
− =
• nb blog a nlog a=
• kb
k
log alog a
log b=
Aumentar algo em 700% é o mesmo que multiplicá-lo por 8. Como a inflação funciona no regime de juros sobre juros (juros compostos), então o montante é calculado por
( )tM C 1 i= + , em que M é o montante, C é o capital inicial (no tempo zero), i é a taxa de juros e t é o tempo da transação. Observe os cálculos a seguir:
( )tM C 1 i 8 C= + ⇒ C= ( )
( )
tt
1,2
3
22
201 8 1,2 t log 8100
log8 log2 3log2 3.0,301 0,903 0,903tlog1,2 log12 log10 2log2 log3 1 2.0,301 0,477 1log2 log3 1log 2 .3 1
0,903 0,903 11,430,602 0,477 1 0,079
+ ⇒ = ⇒ =
= = = = = = =− + − + −+ −−
= = ≅+ −
Serão necessários então 12 meses para que a inflação atinja 700%. Logo, a cada ano, a moeda mudará. Item VERDADEIRO.
GABARITO: 10
Questão 29 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Suponha que a decomposição de uma substância siga a lei dada por
0,2tk.2Q(t) −= , em que k é uma constante positiva e Q(t) é a quantidade da substância (em gramas) no instante t (em minutos). O valor de t0 , em minutos, considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico a seguir, é 15.
02. Para a função
≤<−≤≤+
=5x2x52x01x
xfsese
)( , a área da região limitada pelos
eixos coordenados (x = 0 e y = 0) e pelo gráfico de f , é 8,5 unidades de área.
04. Zero é o menor número real cuja soma com o próprio quadrado é igual ao próprio
cubo. 08. Se a receita mensal de uma loja de bonés é representada por R(x) = –200(x – 10)(x
– 15) reais, na qual x é o preço de venda de cada boné (10 ≤ x ≤ 15), então a receita máxima será de R$ 2.500,00.
RESOLUÇÃO
:
01. Pelo gráfico, vemos que Q(0) = 8. Com isso, podemos concluir que:
( )( ) ( )
0,2t
0,2. 0 0
Q t k.2
Q 0 k.2 k.2 k.1 k 8
−
−
=
= = = = =
Se k = 8, podemos dizer que ( ) 0,2tQ t 8.2−= . Se Q(t0) = 1, calculemos t0.
0 00,2t 0,2t11 8.2 2
8
2
− −= ⇒ =
32
−= 00,2t
0
0
3 0,2tt 15
−⇒ − = −
=
Item VERDADEIRO!!!
8
1 t0
Q(t)
t 0
02. O gráfico da função é dado a seguir. O segmento AB corresponde x + 1 e o segmento BC a 5 – x. A área do gráfico em questão pode ser calculada pela ajuda da malha. Temos 6 quadrados inteiros e mais cinco “meios quadrados” dentro do polígono em questão. Logo, a área é 8,5 u.a. Item VERDADEIRO!!!
04. Um número real cuja soma com o próprio quadrado seja igual ao próprio cubo é solução da equação 2 3x x x+ = . Vamos resolver a equação:
( )
2 3
3 2
2
2
x x x0 x x x
x x x 1 0
x 0ou
x x 1 0
1 5x2
+ =
= − −
− − = ⇒
=
− − =
±=
Notemos que das três soluções, 0, 1 5 1,6182+
≅ e 1 5 0,6182−
≅ − , uma é positiva,
outra é nula e a última negativa. Portanto, zero não é o menor número real solução da igualdade. Item FALSO!!!
08. A função ( ) ( )( ) 2R x 200 x 10 x 15 200x 5000x 30000= − − − = − + − , admite seu máximo
para o valor de x igual a vbx2a
= − . Neste caso, ( )v5000x 12,5
2 200= − =
−, valor que
pertence ao domínio estabelecido. Logo, a receita máxima será vy4a∆
= − . Vamos
calcular este valor.
( )( ) ( )( )
22
v
4 200 30000 50004ac b 24000000 25000000 10000 00y4a 4 200 800
− −− − −= = = =
− − 8 00−1250=
GABARITO: 03
Questão 30 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Um antigo mapa escondido embaixo de uma rocha continha as seguintes
instruções para se encontrar uma panela de moedas de ouro enterrada pelos tropeiros naquela região: a partir da rocha ande 4 km, em linha reta, no sentido leste-oeste. Depois disso, gire 60º para norte e caminhe, em linha reta, 3 km. A menor distância entre o local onde está enterrada a panela de moedas de ouro e a rocha onde estava escondido o mapa é de aproximadamente 6 km.
02. A equação 0xcos2xsen =+ admite 4 soluções no intervalo [ ]π30, .
04. O valor numérico de y na expressão πsec11870ºsencos330º240ºtgy−+
= é 3 .
08. Se 5xsec −= e
∈ 2
3πx ,π então tg x + cotg x é igual a 23
.
16. A figura a seguir mostra parte do gráfico de uma função periódica f, de em , de período 2.
RESOLUÇÃO
:
01. Na figura, o caçador percorre o caminho do ponto A até C, passando por B.
Pela lei dos cossenos, podemos calcular a medida AC.
y
x -2
-2
2
2 4 6 8 10 0
0
2 2 2
2
AC 3 4 2.3.4.cos120
AC 9 16 2
= + − °
= + −1.3.42
−
2
2
AC 25 12AC 37
AC 37 6,08
= +
=
= ≅
Item VERDADEIRO!!!
02. Como ( ) ( ) ( )sen 2x 2sen x cos x= , a equação fica:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
sen 2x cos x 0
2sen x cos x cos x 0
cos x 2sen x 1 0
cos x 0ou
2sen x 1 01sen x2
+ =
+ =
+ = ⇒
=
+ =
= −
Para ( )cos x 0= , no intervalo [ ]0,3π , as soluções possíveis são 2π , 3
2π e 5
2π
Já para ( ) 1sen x2
= − , temos as soluções 76π e 11
6π . Confira figura abaixo. Os pontos
A, B, C e D são os afixos dos arcos que servem de solução para a equação.
O total de soluções é 5. Item FALSO!!!
04. Devemos lembrar que:
• Para um arco x no segundo quadrante, ( )senx sen 180 x= ° −
• Para um arco x no terceiro quadrante, ( )tgx tg x 180= − °
• Para um arco x no quarto quadrante, ( )cos x cos 360 x= ° −
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
tg240 cos330ºysen870 sec11
tg 240 180º cos 360º 330ºsen 150 2.360 sec1980
tg60 cos301sen 180 150
cos 180 10.180
33 3 332 2
1 1sen30 1cos180 2
° += =
° − π° − + −
=° + ° − °
° + °= =
° − ° −° + °
+= = =
° − − −°
3232
3=
Item VERDADEIRO!!!
08. No terceiro quadrante, o valor da função tangente e cotangente são positivos. Pela relação ( ) ( )2 2tgx 1 sec x+ = , calculamos tg x e cotg x.
( ) ( )( )( )
22
2
2
tgx 1 5
tgx 1 5
tgx 4tgx 2
+ = −
+ =
=
=
Se tg x = 2, então 1 1cotgxtgx 2
= = . Logo, 1 5tgx cotgx 22 2
+ = + = . Item FALSO!!!
16. O período de uma função pode ser definido como o menor valor positivo p tal que, ( )x Dom f ,∀ ∈ ( ) ( )f x p f x+ = . Pelo gráfico, podemos notar que
( ) ( ) ( )f 2 2 e f 2 2 f 4 2= − + = =
Logo, o valor 2 não é período da função. Item FALSO!!!
GABARITO: 05
